Элементарная математика для чайников: Математика — Всё для чайников

Видео уроки по математике для чайников — Колпаков Александр Николаевич

Вы посетили страницу, предназначенную для изучения основ математики через систему коротких видеоуроков. Сразу скажу, что ваш покорный слуга не имеет прямого отношения к их материалам и методикам используемых объяснений. Этим всецело и дистанционно занимается еще один мой коллега репетитор по математике, до мозолей набивший руку на работе с чайниками. Чайник – это ученик, в глубине души ненавидящий математику, ничего в ней не понимающий, но с амбициями сдать базовый ЕГЭ на минимальный выпускной балл. К сожалению, такие учащиеся не редкость и с ними тоже нужно уметь работать. Говорить о репетиторе по математике как о мега профессионале можно в том случае, если он способен опуститься в работе с «закипающим» от каждой новой цифры учеником с высот функций и интегралов до уровня паркета с плинтусом так, чтобы его слова и объяснения были понятны даже младенцу. Возможно, чуть позже я тоже поснимаю подобные видео, но сейчас есть более интересные темы для публикаций.

Репетитор по математике объясняет чайникам правила действий с дробями

Я бы не рекомендовал к просмотру эти уроки сильным и даже средним ученикам, если конечно у Вас нет цели поднять себе настроение на весь день. Как бы комично не выглядели репетиторы по математике с заданием 2+2 на весь урок 🙂 – вы попробуйте сами объяснить элементарное наглухо закрытому выпускнику, чьи взоры никогда не были обращены к математике и который с трудом вспоминает в 11 классе таблицу умножения. Будете еще более комично смотреться, если не сорветесь на крик. Намучаетесь так, что от перенапряжения потом ночью не сможете заснуть.

Вам предоставляется посмотреть 2 урока на сокращение дробей:

Урок 1. Числовые дроби.

Урок 2. Алгебраические дроби.

Материалы размещены последовательно, то есть в том порядке, в котором они должны просматриваться. Если вы усвоили всю информацию по сокращению — смотрите дальше объяснения репетитора правил сложения дробей через приведения их к общему знаменателю.

Урок 1. Репетитор по математике рассказывает о сложении числовых дробей.

Урок 2. Как складывать алгебраические дроби с разными знаменателями.

По статистике нулевой уровень знаний предмета наблюдается у 10-15% всех выпускников. Не важно из Москвы ли взят среднестатистический чайник, из Строгино ли, или из вашего соседнего подъезда. Полностью отрезанные от предмета ученики создают настоящий трудовой ад для репетитора по математике. Обеспеченные «золотые» детки руководителей и бизнесменов, у которых все уже есть и не к чему в жизни стремиться кроме развлечений.

Типичные ошибки чтения и понимания математических записей

В работе с чайниками и кипятильниками 🙂 репетитору приходится проявлять изрядную долю изобретательности. Один из приемов — использование сравнительных образов. Подмечаем какие-нибудь реальные процессы и явления, предметы или действия, бытовую логику которых может воспринимать ученик и стараемся найти их аналогии в математике. Наиболее точные сравнения привлекут интерес и внимание. Мной написано несколько близких статей и заметок по таким методам. Вы можете их найти и прочитать на сайте.

Элементарный метод интервалов на уроке с репетитором

Вот и Ваш покорный слуга решил поучаствовать в акции и присоединиться к видеоурокам. Мои объяснения относятся к обучению работе с наиболее простейшим видом алгебраических неравенств, решаемых методом интервалов. Я постарался максимально отойти от использования стандартной математической терминологии, используемой преподавателями по обыкновению и значительно усложняющей восприятие материала при несформированной базе. Простой бытовой язык репетитора по математике, не перегруженный специфическими терминами, — лучшее средство от тумана в голове чайника. Он максимально подходит для целей объяснить сложное.

С уважением, Колпаков А.Н.

матан с примерами и решениями

Содержание:

1. Замечания о доказательствах
2. Некоторые специальные обозначения
3. Заключительные замечания
4. Понятие множества
5. Понятие функции (отображения)
6. Пример решения
7. Целые числа
8. Рациональные числа
9. Иррациональные числа
10. Предел. Определения и примеры
11. Примеры с решением
12. Критерий Коши
13. Пример с решением

Язык этой страницы, как и большинства математических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем распространенные символы математической логики для обозначения соответственно отрицания «не» и связок «и», «или», «влечет», «равносильно».

Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес высказывания:

L. «Если обозначения удобны для открытий …, то поразительным образом сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц)).

Р. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми именами» (А. Пуанкаре)).

G. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей)).

Тогда в соответствии с указанными обозначениями:

Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка, — не всегда разумно.

Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, составленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

При таком соглашении выражение следует расшифровать как a соотношение но не как

Записи означающей, что влечет или, что то же самое, следует из , мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, говоря, что есть необходимый признак или необходимое условие и, в свою очередь, — достаточное условие или достаточный признак Таким образом, соотношение можно прочитать любым из следующих способов:

необходимо и достаточно для

тогда и только тогда, когда

, если и только если

равносильно

Итак, запись означает, что влечет и, одновременно, влечет .

Употребление союза в выражении пояснений не требует.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении союз или неразделительный, т. е. высказывание считается верным, если истинно хотя бы одно из высказываний Например, пусть — такое действительное число, что Тогда можно написать, что имеет место следующее соотношение:

Замечания о доказательствах

Типичное математическое утверждение имеет вид где — посылка, а — заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением).

В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: если истинно и то тоже истинно.

При доказательстве от противного мы будем использовать также принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания Следовательно, мы одновременно принимаем, что т. е. повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

Некоторые специальные обозначения

Для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знаками и соответственно.

Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посредством специального символа (равенство по определению), в котором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Например, запись

определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предполагается известным.

Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных выражений. Например,запись

вводит обозначение для стоящей слева суммы специального вида.

Заключительные замечания

Отметим, что мы здесь говорили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводимости, составляющих предмет исследования математической логики.

Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями.

Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были открыты еще в XVII —XVIII веках, но приобрели современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной теории действительных чисел (XIX век).

Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе II построение всего здания анализа

Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомиться с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с III главы, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости.

Понятие множества

С конца прошлого — начала нашего столетия наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Это проявилось даже в одном из определений математики как науки, изучающей различные структуры (отношения) на множествах).

«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» — так описал понятие «множество» Георг Кантор, основатель теории множеств.

Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, поскольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во всяком случае, не определенным ранее), чем само понятие множества. Цель этого описания — разъяснить понятие, связав его с другими.

Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят, «наивной») теории множеств сводятся к следующему:

• 1 Множество может состоять из любых различимых объектов.
• 2 Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.
• 3 Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если — объект, — свойство, — обозначение того, что обладает свойством то через обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Понятие функции (отображения)

Перейдем теперь к описанию фундаментального не только для математики понятия функциональной зависимости.

Пусть — какие-то множества.

Говорят, что имеется функция, определенная на со значениями в если в силу некоторого закона каждому элементу соответствует элемент

В этом случае множество называется областью определения функции; символ его общего элемента — аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению аргумента элемент называют значением функции на элементе или значением функции при значении аргумента и обозначают через При изменении аргумента значения вообще говоря, меняются в зависимости от значений По этой причине величину часто называют зависимой переменной.

Множество

всех значений функции, которые она принимает на элементах множества будем называть множеством значений или областью-значений функции.

В зависимости от природы множеств термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, преобразование, морфизм, оператор, функционал. Отображение — наиболее распространенный из них, и мы его тоже часто будем употреблять.

Для функции (отображения) приняты следующие обозначения:

Пример решения

Условие:

Формулы устанавливают функциональную зависимость длины окружности и объема шара от радиуса По смыслу каждая из этих формул задает свою функцию определенную на множестве положительных действительных чисел со значениями в том же множестве

Решение:

Пусть — множество инерциальных систем координат, а — функция, состоящая в том, что каждой инерциальной системе координат сопоставляется измеренное относительно нее значение скорости света в вакууме. Функция постоянна, т. е. при любом она имеет одно и то же значение (это фундаментальный экспериментальный факт).

Целые числа

Определение 3. Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется множеством целых чисел и обозначается символом

Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натуральных чисел не выводят за пределы то эти же операции над целыми числами не выводят за пределы множества

Действительно, если то либо одно из этих чисел равно нулю и тогда сумма равна другому числу, т. е. a произведение либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае либо и тогда либо и тогда либо и тогда т.е. либо, наконец, и тогда и снова

Таким образом, есть абелева группа по отношению к операции сложения. По отношению к операции умножения множество и даже не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в (кроме числа, обратного единице и минус единице).

Рациональные числа

Определение 4. Числа вида называются рациональными.

Множество рациональных чисел обозначается знаком Таким образом, упорядоченная пара целых чисел определяет рациональное число если

Число записывают также в виде отношения или так называемой рациональной дроби

Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вытекают из определения рационального числа и аксиом действительных чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля целое число величина дроби не изменяется», т. е. дроби и — представляют одно и то же рациональное число. В самом деле, поскольку

Иррациональные числа

Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Классическим примером иррационального действительного числа является т. е. число такое, что Иррациональность в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.

Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действительное число квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что

Пусть — множества положительных действительных чисел такие, что Поскольку -непустые множества.

Далее, поскольку для положительных то любой элемент меньше любого элемента По аксиоме полноты существует число такое, что

Покажем, что

Если бы было то, например, квадрат числа большего чем был бы меньше 2. Действительно, ведь поэтому и Значит,

Следовательно, что несовместимо с неравенством для любого элемента

Если бы было то, например, квадрат числа меньшего чем был бы больше 2. Действительно, ведь поэтому или Отсюда

и мы вступаем в противоречие с тем, что ограничивает множество снизу. Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность: Покажем, наконец, что Предположим, что и пусть несократимое представление Тогда следовательно, а значит, и делится на 2. Но если и по той же причине должно делиться на 2, что противоречит несократимости дроби

Предел. Определения и примеры

Напомним следующее

Определение 1. Функция областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения функции называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргумента, Саму последовательность в связи с этим обозначают символом а также записывают в виде и называют последовательностью в или последовательностью элементов множества

Элемент называется членом последовательности.

Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться только последовательности действительных чисел.

Определение 2. Число называется пределом числовой последовательности если для любой окрестности точки существует такой номер (выбираемый в зависимости от что все члены последовательности, номера которых больше содержатся в указанной окрестности точки

Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определения, но прежде укажем другую распространенную формулировку определения предела числовой последовательности:

Число называется пределом последовательности если для любого существует номер такой, что при всех имеем

Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!), если заметить, что в любой окрестности точки содержится некоторая окрестность этой же точки.

Последняя формулировка определения предела означает, что, какую бы точность мы ни задали, найдется номер такой, что абсолютная погрешность приближения числа членами последовательности меньше чем как только

Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в логической символике, договорившись, что запись означает, что предел последовательности Итак,

и соответственно

Определение 3. Если то говорят, что последовательность сходится к или стремится к и пишут при

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Примеры с решением

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. И, § 2, 4с, для любого можно найти число такое, что Поскольку то для любого будем иметь и определение предела удовлетворено.

Критерий Коши

Определение 7. Последовательность называется фундаментальной (или последовательностью Кошиесли для любого числа найдется такой номер что из следует

Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Пусть По числу найдем номер так, чтобы при иметь Если теперь и, таким образом, проверено, что сходящаяся

последовательность фундаментальна.

Пусть теперь — фундаментальная последовательность. По заданному найдем номер такой, что из следует

Фиксировав получаем, что при любом

но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности с номерами,-не превосходящими то мы доказали, что фундаментальная последовательность ограничена.

Для положим теперь

Из этих определений видно, что (поскольку при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку

Поскольку при любом

а при

то при имеем

Но из (1) следует, что при

поэтому при

Сравнивая (2) и (3), находим, что при любом

и мы показали, что

Пример с решением

Последовательность не имеет предела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевидно, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения, что последовательность фундаментальная, выглядит так:

т. е. найдется такое, что при любом найдутся числа большие для которых

В нашем случае достаточно положить Тогда при любом будем иметь

Вводный курс элементарной математики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Некоторые базовые сведения по основным математическим операциям

К оглавлению…

Правила умножения и деления отрицательных и положительных чисел:

• При умножении или делении двух положительных чисел в результате получается положительное число.
• При умножении или делении двух отрицательных чисел в результате получается положительное число.
• При умножении или делении одного положительного, а другого отрицательного числа (в любой последовательности) в результате получается отрицательное число.

Основное свойство дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одинаковое число, неравное нулю, при этом величина дроби не изменится. В случае если мы делим числитель и знаменатель на некоторое число, то такая процедура называется сокращением дроби. Умножение числителя и знаменателя на одинаковое число обычно используется для приведения нескольких дробей к одинаковому (общему) знаменателю. Заметим, что в записи обыкновенной дроби (т.е. в дроби с чертой): числитель вверху, а знаменатель внизу.

Наименьший (наилучший) общий знаменатель дробей – это самое маленькое из чисел, которое делится на все знаменатели исходных дробей.

При выполнении сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо выполнить сложение или вычитание числителей этих дробей, и результат этой операции записать в числитель, а знаменатель переписать исходный. Если необходимо сложить или вычесть дроби с различными знаменателями, то их сначала нужно привести к общему знаменателю, а затем выполнить сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Для преобразования дроби с целой частью в неправильную дробь можно использовать следующее правило: умножаем целую часть на знаменатель и к данному произведению прибавляем числитель. Результат записываем в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставляем без изменения.

Для обратного преобразования неправильной дроби в правильную с целой частью проделывают следующее: Сначала делят числитель на знаменатель. При делении большего числа на меньшее, получается целое число (целая часть) и остаток. Целую часть записывают перед дробью, остаток деления записывают в числитель, а знаменатель не изменяют.

Для умножения дробей применяют следующее правило (произведение числителей записывают в числителе, а знаменателей — в знаменателе), при этом обе дроби должны быть приведены к неправильному виду, т.е. у них не должна быть выделена целая часть.

Деление дробей выполняется при помощи замены деления на умножение. А именно: дробь на которую делят (вторую дробь), переворачивают, меняя числитель и знаменатель местами, а вместо знака деления ставится знак умножение. Затем выполняют умножение обычным образом. Дроби опять таки должны быть без целой части. Это правило можно записать в виде формулы:

При делении дроби на число, надо представить число в виде дроби со знаменателем 1, а затем выполнить обычное деление дробей пользуясь предыдущим свойством. Данное правило также можно представить в виде формулы:

Если знак деления (две точки) заменен на еще одну черту дроби, то чтобы выполнить операцию деления дроби на число, просто нужно выполнить обратную замену, а далее действовать как обычно:

При делении числа на дробь нужно действовать аналогично, т.е. заменять число на дробь с единичным знаменателем, а далее выполнять стандартные действия обычным образом. Запишем правила деления числа на дробь в виде формул:

Для того чтобы умножить число на сумму в скобках или наоборот необходимо данное число умножить на каждое слагаемое в скобках и результаты сложить. Это правило справедливо для любого количества слагаемых в скобке. В виде формул это правило можно записать следующим образом:

Для того чтобы умножить скобку на скобку нужно каждое слагаемое из первой скобки умножить на каждое слагаемое из второй скобки и результаты сложить. Это правило также справедливо при любом количестве слагаемых в скобках. Запишем в виде формулы пример такой операции:

Если при умножении скобки на число или при умножении скобки на скобку в одной из скобок встретятся минусы, то нужно просто рассматривать каждое число вместе со знаком, который стоит перед ним, и аккуратно выполнять умножение и дальнейшее суммирование по всем правилам.

Выполняя обычные вычисления с большим количеством действий:

• сначала выполняют операции в скобках;
• затем считают произведения и/или деления;
• потом суммируют или вычитают;
• и в последнюю очередь, если это была многоэтажная дробь, делят уже полностью упрощенный числитель на тоже полностью упрощенный знаменатель.

Причем выполняя в первую очередь операции в скобках также соблюдают ту же последовательность, сначала произведения или деления внутри скобок, потом суммирование или вычитание в скобках, а если внутри скобки есть другая скобка то действия в ней выполняются прежде всего.

Одночленом называется произведение какого-нибудь отрицательного или положительного числа на одну или несколько переменных в разных степенях. Многочленом называется сумма (или разность) одночленов.

Подобными слагаемыми в многочлене называются такие слагаемые-одночлены у которых полностью повторяется комбинация переменных и их степеней, при этом числа у этих одночленов могут быть разными. Таким образом, подобные слагаемые многочлена являются такими одночленами, которые можно сложить, обычно это нужно сделать, а процедуру сложения всех видов подобных слагаемых называют приведением подобных слагаемых.

Решение простейшего линейного уравнения выглядит следующим образом:

Алгоритм решения линейных уравнений:

• Раскрыть все скобки.
• Все слагаемые с переменной перенести налево от знака равно, а все слагаемые без переменной направо от знака равно, не забывая менять знаки перед слагаемыми при переносе.
• Привести все подобные слагаемые слева и справа. Получим уравнение вида: ax = b.
• Найти ответ делением, как: x = b/a.

При решении линейных неравенств есть только одна большая фишка: необходимо менять знак неравенства при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число. Менять знак неравенства значит изменять знак «меньше» на знак «больше» или наоборот. При этом знаки плюс на минус в обход ранее изученных математических правил нигде менять не надо. Если мы делим или умножаем неравенство на положительное число знак неравенства менять не нужно. В остальном решение линейных неравенств полностью идентично решению линейных уравнений.

Основное свойство пропорции:

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формулам:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой (обратите внимание, что скобка в квадрате):

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Основные свойства степеней

К оглавлению…

Формальное определение натуральной степени можно дать с помощью следующей записи:

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя:

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

Если перемножаются числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала перемножить числа, а затем произведение возвести в эту степень. Обратная процедура также возможна, если имеется произведение в степени, то можно каждое из умножаемых возвести в эту степень по отдельности а результаты перемножить:

Также, если делятся числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала поделить числа, а затем частное возвести в эту степень (обратная процедура также возможна): 

Несколько простых свойств степеней:

• Любое число в нулевой степени даёт единицу.
• Любое число в первой степени равно самому себе.
• Единица в любой степени равна единице.

• Ноль в любой положительной (n > 0) степени равен нолю. Запомните: ноль нельзя возводить в отрицательную или нулевую степень.

Основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

Замены в выражениях

Любое число в выражении может быть заменено таким же числом, но записанным в другой форме. Возьмём для примера следующее выражение, которое уже вычислено:

15 + 3 = 18

Давайте заменим число 15 на само себя, но запишем его в другом виде:

(10 + 5) + 3 = 18

Видно, что мы заменили число 15 на выражение в скобках (10 + 5). Но главное выражение 15 + 3 = 18 не пострадало от этого, потому что 15 и (10 + 5) это одно и то же. Ведь 10 + 5 = 15.

Давайте заменим число 18 на само себя, но запишем его в другом виде:

(10 + 5) + 3 = 3 × 6

Теперь заменим последнюю шестёрку на неё же саму, но опять же запишем её в другом виде:

(10 + 5) + 3 = 3 × 2 × 3

Теперь сравним два выражения: первое, которое у нас было и новое, которое мы видоизменили:

15 + 3 = 18

(10 + 5) + 3 = 3 × 2 × 3

На первый взгляд покажется, что это два разных выражения. И так подумает любой, кто увидит эти два выражения в первый раз. Но мы знаем, что это одно и то же выражение. Вся разница в том, что мы видоизменили некоторые его параметры.

Изменять внешний вид этого выражения можно хоть до бесконечности. Главное, чтобы не нарушалось равенство. Значок равенства (=) должен оправдывать своё положение. Помните второй урок? Знак равенства ставится между числами или выражениями только тогда, когда они равны между собой.

Подобные операции, где одно число или выражение заменяется на само себя, но записанное в другом виде, называют преобразованием или представлением.

Представление в виде суммы

Любое число или выражение можно представить в виде суммы. Например, число 10 можно представить в виде суммы 5+5 или 7+3 или 8+2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом и представленной суммой. Выглядеть это может следующим образом:

10 = 5 + 5

10 = 7 + 3

10 = 8 + 2

10 = 6 + 4

В книгах можно встретить задания следующего содержания: представьте в виде суммы и далее приводятся числа или выражения, которые нужно представить в виде суммы. Это как раз тот случай, когда надо включать свои творческие способности и решить какие числа (или выражения) использовать, чтобы выполнить задание.

Представление в виде разности

С прошлых уроков известно, что разность это результат, который получается в результате вычитания одного числа из другого. Но разностью также называется выражение, которое соединено знаком вычитания (−). Например следующие выражения являются разностями:

15 – 5

10 – 6

20 – 10

Любое число можно представить в виде разности. Например, число 50 можно представить в виде разности 90−40 или 80−30 или 60−10. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 50 и представленной разностью. Выглядеть это может следующим образом:

50 = 90 − 40

50 = 80 − 30

50 = 60 − 10

Представление в виде произведения

С прошлых уроков известно, что произведение это результат, который получается в результате умножения одного числа на другое. Но произведением также называется выражение, которое соединено знаком умножения (×). Например следующие выражения являются произведениями:

3 × 2

15 × 2

12 × 3

Любое число можно представить в виде произведения. Например, число 30 можно представить в виде произведения 5×6 или 10×3 или 15×2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 30 и представленным произведением. Выглядеть это может следующим образом:

30 = 5 × 6

30 = 10 × 3

30 = 15 × 2

Представление в виде частного

С прошлых уроков известно, что частное это результат, который получается в результате деления одного числа на другое. Но частным также называется выражение, которое соединено знаком деления (÷). Например, следующие выражения являются частными:

15 ÷ 5

30 ÷ 6

12 ÷ 4

Любое число можно представить в виде частного. Например, число 5 можно представить в виде частного 15÷3 или 25÷5 или 30÷6. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 5 и представленным частным. Выглядеть это может следующим образом:

5 = 15 ÷ 3

5 = 25 ÷ 5

5 = 30 ÷ 6

На этом данный урок завершён. Для закрепления материала, попробуйте выполнить следующие задания:

Задание 1. Представьте в виде суммы следующие числа: 20, 30, 45, 50. Можете представить любыми числами. Например, первое число 20 можно представить как 15 + 5.

Задание 2. Представьте в виде разности следующие числа: 10, 15, 12, 5 Можете представить любыми числами. Например, первое число можно представить как 15 − 5.

Задание 3. Представьте в виде произведения следующие числа: 30, 40, 72.

Задание 4. Представьте в виде частного следующие числа: 7, 5, 9, 3

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Высшая математика для чайников. Производные и дифференциалы

Добавить

• Читаю
• Хочу прочитать
• Прочитал

Оцените книгу

Скачать книгу (полная версия)

22 скачивания

О книге «Высшая математика для чайников. Производные и дифференциалы»

От автора: Так чем же моя книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не заумный; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет существенное различие между собой – главные вещи выделены определенными маркерами, и наконец, моя цель лишь одна – ваше понимание. От Вас требуется только одного: желания и умения. Мой язык написания отличается от всех официальных изданий. Это касается не только математики, но и всех других научных книг. Я как бы присутствую с читателем, даю советы и поддерживаю. При таком раскладе книга читается намного проще. В некоторых моментах вы можете расслабиться и просто почитать. Теперь про данное издание. Книга будет насыщенной и понятной, это я вам обещаю. Первая глава посвящена самым общим понятиям о дифференцировании. Мы в ней повторим школьный курс и постепенно будем переходить от элементарных примеров к более сложным.

Произведение было опубликовано в 2011 году издательством Интернет-издание. На нашем сайте можно скачать бесплатно книгу «Высшая математика для чайников. Производные и дифференциалы» в формате pdf или читать онлайн. Рейтинг книги составляет 3 из 5. Здесь так же можно перед прочтением обратиться к отзывам читателей, уже знакомых с книгой, и узнать их мнение. В интернет-магазине нашего партнера вы можете купить и прочитать книгу в бумажном варианте.

Отзывы читателей

Подборки книг

Похожие книги

Другие книги автора

Информация обновлена: 19.05.2020