Комплексные числа для чайников: Комплексные числа, примеры с решением

Конспект лекций по теме «Комплексные числа»

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Брянский строительный колледж имени профессора Н.Е. Жуковского»

УТВЕРЖДАЮ:

И.О.заместителя директора по учебной работе

_______________________Т.В.Мамченко.

(подпись)

от « ____» _______________20_____ г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ТЕМЫ«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА».

Учебной дисциплины

МАТЕМАТИКА

по специальности

08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

23.02.04 Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования (по отраслям)

08. 02.09 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий

07.02.01 Архитектура

09.02.02 Компьютерные системы и комплексы

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Брянск

2016год

Содержание

Пояснительная записка. 4

Введение. 4

1.Понятие мнимой единицы. 5

2.Степень мнимой единицы. 6

3.Основные определения и свойства. 7

4.Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами. 11

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа. 12

6. Тригонометрическая форма комплексного числа. 13

Контрольные вопросы 15

Литература 16

Пояснительная записка.

Методические рекомендации для студентов по изучению одного из разделов математики: «Комплексные числа» составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника среднего профессионального образования по дисциплине и отвечают требованиям к реализации основной образовательной программы среднего (полного) общего образования средними специальными учебными заведениями.

Данное пособие включает теоретические сведения, необходимые для решения задач. Наличие методических указаний и примеров с подробным решением призвано облегчить освоение учебного материала студентами, и могут быть использованы, как на аудиторных занятиях, так и при самостоятельной работе студентов.

Введение

Понятие о комплексном числе появилось в середине 16 в. Математиков того времени заинтересовал вопрос, получения формул выражающую корни кубического уравнения через его коэффициенты.

В 1545г. была издана книга «Великое искусство, или об алгебраических преобразованиях», в которой Дж.Кардано(1501-1576) опубликовал формулу корней кубического уравнения, открытую его современниками С. дель Ферро(1465-1526) и Н. Тартальей(1500-1557). Обнаружилось, что в случае, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардана появляются квадратные корни из отрицательного числа. Такие числа называются мнимыми числами.

Мнимые числа стали широко использовать при решении уравнений. На рубеже 18 и 19вв. К.Ф. Гаусс назвал мнимые числа «Комплексными числами». Он дал им геометрическую интерпретацию и доказал, что каждый многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

В настоящее время комплексные числа широко применяются в математике, физике и технике; их применение часто упрощает решение задач.

Содержание данного материала направлено на формирование у обучающихся следующих общекультурных компитенций

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

ОК4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач

ОК 5.Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами

1. Понятие мнимой единицы.

Предположим, что существует такое число, квадрат которого равен — 1. Обозначим это число буквой i, тогда справедливо равенство (1):

;

Число i будем называть мнимой единицей, а равенство (1) будем считать определением мнимой единицы.

Например:

2. Степень мнимой единицы.

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i;
i² = – 1;
i³ = i²*i = (– 1)i = – i;
i⁴ = i^3*i = – i*i = – i² = – (– 1) = 1;
i⁵ = i^4*i = 1*i = i;
i⁶ = i^5*i = i*i = i² = – 1;
i⁷ = i^6*i = (– 1)*i = – i;
i⁸ = i^7*i = – i*i = 1;
…………………

Таким образом,

— если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1;

— если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i ;

— если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1;

— если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i.

Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Например:

а) т.к. 28=4*7 (нет остатка)

б) т.к. 33=4*8+1

в) т.к. 135=4*33+3

Задания для самостоятельной работы №1.

Вычислите:

1. i⁶⁶; i¹⁴³; i²¹⁶; i¹³⁷.
2. i⁴³ + i⁴⁸ + i⁴⁴ + i⁴⁵.
3. (i³⁶ + i¹⁷)i²³.
4. (i¹³³ + i¹¹⁵ + i²⁰⁰ + i¹⁴²)(i¹⁷ + i³⁶).
5. i¹⁴⁵ + i¹⁴⁷ + i²⁶⁴ + i³⁴⁵ + i¹¹⁷.
6. (i¹³ + i¹⁴ + i¹⁵)i³².
7. (i⁶⁴ + i¹⁷ + i¹³ + i⁸²)(i⁷² – i³⁴).

3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА.

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида a+bi , где a и b –действительные числа, а i-мнимая единица. Множество комплексных чисел обозначается через C.

Возможны случаи, когда a и b могут быть равные нулю.

— если a = 0, то комплексное число bi называют мнимым;

— если b = 0, то комплексное число a+bi = a и называется действительным;

— если a =0 и b=0,то комплексное число a+bi=0.

Определение 2. Комплексные числа и

называются равными, если a =c и b=d.

Например:

a) Найти x и y из равенства 3y+5xi=15-7i

Решение:

Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y=15; 5x=-7.Отсюда

б) Найти x и y из равенства(2х+3у) + (х-у)I =7+6i

Решение: Согласно условию равенства комплексных чисел имеем

2х+3у=7

х-у=6

Решая систему уравнений получаем: х=5,у=-1

Задания для самостоятельной работы №2.

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

8. 7x + 5i = 1 – 10iy. 9. (2x + y) – i = 5 + (y – x)i.
10. x + (3x – y)i = 2 – i. 11. (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.
12. (2 – i)x + (1 + i)y = 5 – i. 13. (3i – 1)x + (2 – 3i)y = 2 – 3i.

Определение 3. Суммой комплексных чисел и называется комплексное число вида (a+c)+(b+d)i

Например:

Найти сумму комплексных чисел и

Решение:

Определение 4. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число вида (ac — bd) + (ad + bc)i

Например:

Найти произведение комплексных чисел и

Решение:

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

(a b)² = a² 2ab + b²,
(a b)³ = a³ 3a²b + 3ab

Комплексные числа — формы комплексных чисел и действия над комплексными числами. Примеры решения задач по высшей математике онлайн

Комплексным числом

 называется
выражение вида

, где

 и

 – действительные
числа, а символ

 удовлетворяет
условию

.

 Число

 называется
действительной частью комплексного
числа и обозначается

,

 –
мнимой частью и обозначается

,

 –
мнимой единицей.

Комплексные числа

 и

 называется
комплексно-сопряженными. Так, если

, то

.

Сложение, вычитание и умножение
комплексным чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются по правилам
сложения, вычитания и умножения двучленов вида

 с заменой
каждый раз

 на

. Деление выполняется по формуле:

Геометрически комплексное число

 изображается
точкой

 на координатной
плоскости или радиус-вектором

 этой точки.

Тригонометрическая форма комплексного числа

 имеет вид:

где

 – модуль числа

;

 – его аргумент

 – величина угла
между положительным направлением оси

 и
радиусом-вектором

 (см. рисунок),
причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против
часовой стрелки, и отрицательной – если по часовой стрелке.

Величина угла

 определяется из
системы уравнений:

Значение

 (или

) обозначается

 и называется
главным.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Если

то

то есть при умножении комплексных
чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, аргументы
складываются, а при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
Геометрический умножение данного комплексного числа на другое комплексное
число, отличное от нуля, означает поворот радиус-вектора, изображающего данное
число, против часовой стрелки на угол, равный аргументу другого числа.
Аналогично деление означает поворот радиуса-вектора данного числа по часовой
стрелке на угол, равный аргументу другого числа, и деление этого вектора на
модуль другого числа.

При возведении в степень
используется формула Муавра

Все значения корня степени

 из комплексного
числа

 находятся по
формуле

Показательная форма комплексного числа

 имеет вид

, где

 – формула
Эйлера.

Действия над комплексными числами в показательной форме

Если

то

Если

то

Задача 1

Даны комплексные числа

.
Вычислить

Решение

Последовательно вычисляем:

Окончательно получаем:

Ответ:

Задача 2

1) Записать число

 в
алгебраической форме;

2) изобразить его на
координатной плоскости;

3) записать число

 в
тригонометрической и показательной формах;

4) вычислить

;

5) найти все корни
уравнения

Решение:

1) Запишем число

 в
алгебраической форме:

2) Изобразим число

 на
координатной плоскости:

3) Запишем
число

 в
тригонометрической и показательной формах

Модуль комплексного числа:

Вектор

 лежит в 4-й четверти. Аргумент комплексного
числа:

Комплексное число в тригонометрической форме:

Комплексное число в показательной форме:

4) Возведем
комплексное число в заданную степень:

5) Найдем корни
уравнения  

.

Получаем:

Тогда корни уравнения:

Задача 3

Даны три комплексных числа

,

Комплексные числа и операции с ними

Содержание

Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите

Введение

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена.
Например функция определена для , аналогично можно вспомнить,
что функция определена для , а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает,
что , или не имеют смысла.
Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том,
что не может быть представлено вещественным числом.
Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный.
В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке.
Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать
за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1),
на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа.
Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой.
Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения ,
или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве,
как на множестве вещественных чисел.

Комплексная плоскость и мнимая единица

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью.
Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1.
Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число.
Например на рисунке 1 показано число .

Рисунок 1. Расширение множества вещественных чисел до множества комплексных числел

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой,
однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и ,
которые пересекаются в начале координат.
Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа.
Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси .
Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно.
При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью
и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью
и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число ,
называемое мнимой единицей.
Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел.
Оно обладает особым свойством: .
Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево,
но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена
за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Модуль и фаза комплексного числа

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи.
Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1),
то можно вычислить длину этого вектора как

(1)

 — неотрицательное вещественное число характеризующее длину вектора и называется модулем комплексного числа.
При этом сам вектор комплексного числа повернут относительно реальной оси на некоторый угол ,
называемый фазой.
Фаза комплексного числа может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того в каком
направлении относительно оси отсчитывать угол.
Если угол поворота вектора на комплексной плоскости отсчитывать против часовой стрелки (как это показано на рисунке 1),
то фаза будет принимать положительные значения, а если по часовой — то отрицательные.

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

(2)

Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

(3)

Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа,
представленного в алгебраической форме:

(4)

тогда

(5)

где учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число :

(6)

Необходимость поправки возникает из-за того, что функция
периодическая функция с периодом рад.
В результате возвращает корректные значения только в интервале
.
Таким образом функция арктангенса не отличает четверть I от четверти III
(в обоих случаях отношение положительное),
а также не отличает четверть II от четверти IV (отношение отрицательное).

На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того
в какой четверти комплексной плоскости расположено число.

Рисунок 2. Значение поправки фазы комплексного числа в зависимости
от расположения на комплексной плоскости.

На рисунке 2а исходное комплексное число расположено
в первой четверти комплексной плоскости и .

Тогда и значение фазы комплексного числа равно:

(7)

Рассмотрим случай, когда комплексное число расположено
во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е. и .
В этом случае и угол
также будет отрицательным (красная пунктирная линия).
Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

(8)

Пусть комплексное число расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в),
т. е. и .
В этом случае и угол будет
положительным (красная пунктирная линия).
Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

(9)

Если расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г),
т.е. и , то в этом случае и угол
будет отрицательным и равным фазе комплексного числа без поправок ( рад):

(10)

Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа c учетом четверти комплексной плоскости в которой
расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается .

Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного
угла поворота вектора комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа.
Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:

(11)

связанная с тригонометрической формой формулой Эйлера:

(12)

Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

(13)

Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

(14)

Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях.

Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что , тогда ,
в свою очередь .

Таким образом, можно сделать вывод что .

Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: , тогда ,
в свою очередь и окончательно можно записать:
. Тогда (14) можно представить как:

(15)

В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции ,
а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции .
Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12).

Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного.
Так например при помощи формулы Эйлера можно связать математические константы и
с использованием мнимой единицы :

(16)

Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами.
Сумма двух комплексных чисел и представляет
собой комплексное число :

(17)

При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются.
На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных
чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).

Рисунок 3. Операции над комплексными числами

Разность двух комплексных чисел и
представляет собой комплексное число

(18)

При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются.
На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание
векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б).
На первом шаге из вектора формируется вектор (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б),
после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить
два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

(19)

Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:

(20)

При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются.
Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.

Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является
комплексно-сопряженным числу .

Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью.

Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г.

При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны
, а фазы имеют противоположные знаки.

Произведение комплексно-сопряженных чисел

(21)

представляет собой действительное число равное квадрату модуля этих чисел.

Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел.
Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:

(22)

Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел,
а фаза равна разности фаз исходных чисел.

При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю,
иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.

Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:

(23)

Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

(24)

Выводы

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.

Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической,
тригонометрической и показательной формах.
Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.

Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.

Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме,
введено понятие комплексно-сопряженных чисел,
а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.

Информация была полезна? Поделитесь с друзьями!

Facebook

Twitter

Мой мир

Вконтакте

Одноклассники

Список литературы

[1]

Пантелеев А.В., Якимова А.С.
Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах.
М: Высшая школа, 2011.

[2]

Дубровин В.Т.
Теория функций комплексного переменного. Теория и практика
Казань: Казанский государственный университет, 2010.
[PDF]

Последнее изменение страницы: 13.11.2020 (19:04:38)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.12

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ — Студопедия

Содержание

§1.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§2	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
§3.	ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§4	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§5.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
§6	ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§7.	ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ. ФОРМУЛА КОШИ
§8.	РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
§9.	РЯД ТЕЙЛОРА НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
§10.	РЯД ЛОРАНА ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
§11.	ВЫЧЕТЫ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ .
§12.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
	ЛИТЕРАТУРА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Уже простейшие алгебраические операции над действительными числами (извлечение квадратного корня из отрицательного числа, решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом) выводят за пределы множества действительных чисел. Дальнейшее обобщение понятия числа приводит к комплексным числам. Замечательным свойством множества комплексных чисел является его замкнутость относительно основных математических операций. Иначе говоря, основные математические операции над комплексными числами не выводят из множества комплексных чисел.

Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение

где – произвольные действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием .

Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis»), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius»).

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).

Комплексно-сопряженным к числу называется число . Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пусть , . Тогда

сумма ,

разность ,

произведение ,

частное (при )

Пример 1. Заданы комплексные числа , .

Найти , , .

Решение. ;

;

.

Задача 1. Пусть и – пара комплексно-сопряженных чисел. Показать, что их сумма есть действительное число, разность – мнимое число, а произведение есть действительное неотрицательное число.

Пример 2. Найти , .

Решение. ; .

,

Замечание. Степени числа можно представить в виде таблицы

Пример 3. Перемножить числа и .

Решение.

Пример 4. Вычислить а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Раскроем квадрат разности:

.

б) Раскроем куб суммы:

.

в) По биному Ньютона:

.

Можно было считать так: .

Пример 5. Найти частное , если .

Решение.

.

Пример 6. Вычислить а) , б) .

Решение. а) .

б) .

Запомним:

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат. Отложим по оси абсцисс действительную часть комплексного числа , а по оси ординат – его мнимую часть . Получим точку с координатами . При этом каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости. Верно и обратное: каждой точке плоскости можно поставить в соответствие комплексное число , действительная часть которого равна абсциссе точки, а мнимая часть равна ординате точки. Таким образом, между комплексными числами и точками плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Ранее мы говорили о взаимно однозначном соответствии между действительными числами и точками числовой прямой).

Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Для отличия её от действительной плоскости в правом верхнем углу пишут букву , обведенную кружком. Ось абсцисс на такой плоскости называют действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Комплексно-сопряженное число – это зеркальное отражение заданного комплексного числа относительно действительной оси. Начало координат называется нуль-точкой. Расстояние комплексного числа от начала координат называется модулем этого числа:

.

Задача 2. Доказать, что .

Модуль разности двух комплексных чисел – это расстояние между соответствующими точками:

.

Каждой точке комплексной плоскости поставим в соответствие вектор с началом в нуль-точке и концом в данной точке. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно. В такой интерпретации действительная и мнимая части комплексного числа – это первая и вторая компоненты вектора. Сумма представляется теперь диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , разность понимается как . Модуль комплексного числа представляет собой длину вектора. Геометрически очевидным является неравенство треугольника в комплексной плоскости: .

Пример 7. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых

Решение. а) Так как , то заданное двойное неравенство можно переписать в виде: . Получили вертикальную полосу.

б) Так как , то заданное двойное неравенство перепишем в виде: . Получили горизонтальную полосу. Задачи в) и г) решить самостоятельно.

Пример 8. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль комплексного числа – это длина вектора, идущего из нуль-точки в точку , т.е. расстояние от начала координат до точки . Значит, в случае речь идет о геометрическом месте точек плоскости, равноудаленных от начала координат – это окружность (в данном случае радиус окружности равен 1). Можно было перевести задачу на язык декартовых координат:

.

б) Здесь речь идет о геометрическом месте точек, находящихся вне круга радиуса (с центром в начале координат).

в) точки находятся в кольце между окружностями радиуса и .

Пример 9. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль разности – это расстояние между точкой комплексной плоскости и точкой 1. Значит, речь идет о геометрическом месте точек, равноудаленных (на расстояние 1) от точки 1, – это окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0). На языке координат:

.

б) Точки находятся одновременно в круге с центром в начале координат и в круге с центром, смещенным в точку : .

в) Это точки правой полуплоскости , лежащие внутри круга : .

:

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргументом комплексного числа называют угол , который составляет вектор с положительным направлением действительной оси, . Этот угол определяется неоднозначно:

.

Здесь – главное значение аргумента, оно выделяется неравенствами (т.е. на комплексной плоскости проводится разрез по действительной оси влево от начала координат).

В первом столбце указан для числа , лежащего на действительной или мнимой оси, а во втором столбце — для всех остальных комплексных чисел.

Обозначим . Так как , , то комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

.

Два комплексных числа и , заданных в тригонометрической форме

, ,

в силу неоднозначности аргумента равны тогда и только тогда, когда , .

Пример 10. Найти модули и аргументы, а также главные значения аргументов комплексных чисел . Записать каждое из них в тригонометрической форме.

Решение. Модули всех этих чисел одинаковы:

.

Аргумент каждого числа находим, учитывая четверть, в которой лежит соответствующая точка.

1) Точка лежит в первой четверти, значит,

.

В тригонометрической форме , здесь учтена — периодичность косинуса и синуса.

2) Точка лежит во второй четверти, значит,

,

.

3) Точка лежит в третьей четверти, значит,

,

.

.

4) Точка лежит в четвертой четверти, значит,

,

.

.

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:

.

Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем

. (1)

Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрический смысл этой операции: представляя числа и векторами на комплексной плоскости, исходящими из нуль-точки, видим, что вектор получается из вектора «растяжением» в раз и поворотом на угол .

Для частного получаем формулу:

. (2)

Пример 11. Найти произведение и частное чисел

и .

Решение. В соответствии с формулой (1) запишем:

.

Проверим результат, перемножая эти числа в алгебраической форме:

.

По формуле (2) находим

.

В алгебраической форме эта операция запишется так:

.

Возведение комплексного числа в степень. Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу

. (3)

Пример 12. Вычислить 1) ; 2) .

Решение. 1) Выше мы получили запись комплексного числа в тригонометрической форме: . По формуле (3) находим . Этот же результат был получен выше в примере 4в) с помощью бинома Ньютона.

2) Прежде всего представим число в тригонометрической форме.

, ,

точка лежит в четвертой четверти, значит, . Поэтому

.

Остается воспользоваться формулой (3):

.

Раскрывая куб разности, получим тот же результат (проверьте!).

При формула (3) превращается в формулу Муавра:

. (4)

С её помощью легко получаются соотношения, выражающие синусы и косинусы кратных углов с и .

Пример 13. Выразить и через и .

Решение. Полагая в формуле Муавра , получим:

.

Слева раскроем куб суммы и соберем подобные члены:

.

Здесь учтено, что . Пришли к равенству двух комплексных чисел в алгебраической форме

,

которое справедливо в том и только в том случае, когда равны действительные и мнимые части этих чисел.

Равенство действительных частей дает ;

приравнивая мнимые части, получаем .

Извлечение корня из комплексного числа. Если комплексные числа и связаны соотношением , то . Представим числа и в тригонометрической форме:

, .

Будем считать, что здесь – главное значение аргумента числа .

Наша задача – по заданному числу (т.е. по известным и ) определить (т.е. и ). В соответствии с формулой (3) равенство запишется в виде

.

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует:

.

Здесь – корень -ой степени из действительного неотрицательного числа. Значит, для корня -ой степени из комплексного числа получаем формулу

. (5)

Полагая последовательно , получим различных значений :

,

,

.

Все эти корни имеют одинаковые модули , т.е. соответствующие точки располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргументы двух соседних корней отличаются на угол . Значит, все значения корня -ой степени из комплексного числа находятся в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса .

Пример 14. Найти все значения корня -ой степени из комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости, если

1) , 2) , 3) , 4) .

Решение. 1) Прежде всего, найдем модуль и аргумент комплексного числа : . Формула (5) для примет вид

,

откуда ,

,

.

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса, один корень – является действительным числом. Аргументы двух соседних точек отличаются на угол . Заметим, что .

2) Здесь : , поэтому

,

откуда ,

,

.

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность , корень является действительным числом. Заметим, что . Сравните с результатом пр.12.2, где получили , т.е. .

3) Здесь : и при

,

откуда ,

.

4) Здесь и при

, откуда получаем два числа:

, .

Запомним: .

Задача 3. Выполнить задания пр.14, если 1) , 2) .

Пример 15. Разложить на линейные множители квадратный трехчлен

1) ; 2) .

Решение. 1) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант . Значит, действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями можем разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

.

2) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант , действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями разлагаем квадратный трехчлен на линейные множители:

.

Обращаем внимание на то, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет пару комплексно сопряженных корней.

Задача 4. Убедиться, что справедливы разложения на линейные множители

; ; .

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера (будет доказана позже):

, (6)

позволяет записать комплексное число в показательной форме:

, где .

Из формулы Эйлера и из — периодичности синуса и косинуса следует:

.

Значит, , т.е. .

Пример 16. Числа записать в показательной форме.

Решение. В примере 10 нашли ,

, , ,

, , , . ?

Легко проверить справедливость соотношений:

Сравните эти соотношения с правилами умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример 17. Сравните комплексные числа и .

Решение. Из пр.16: . У чисел и модули равны. Выделяя в показателе числа слагаемое, кратное , представим в виде , так как множитель . Значит, .

Лекция 10

Лекция 10. Теория комплексных чисел.

Комплексные числа были введены в связи
со следующей задачей. Известно, что
действительных чисел недостаточно для
того, чтобы решить любое квадратное
уравнение. Простейшее из квадратных
уравнений, не имеющих корней среди
действительных чисел, есть уравнение
.

Возникла задача:
расширить систему действительных чисел
до такой системы чисел, в которой
указанное уравнение имеет решение.

Покажем, что среди комплексных чисел
есть число, квадрат которого равен -1.
Это будет, например, число (0,1). Действительно,
(0,1)(0,1)=(-1,0)=
-1.

Комплексное число (0,1) называется мнимой
единицей и обозначается j
(или i). Итак, j=(0,1)
– мнимая единица.

Комплексное число z=(x,y)
имеет три формы записи.

Алгебраическая форма комплексного
числа

.

—
алгебраическая форма комплексного
числа.

Координатную плоскость хОу, точки
которой отождествлены с комплексными
числами, будем называть комплексной
плоскостью. Ох – вещественная ось,
служит для изображения действительной
части комплексных чисел. Оу – мнимая
ось, служит для изображения мнимой части
числа.

Комплексно-сопряженные числа

Комплексные числа

называются комплексно сопря-женными.

Геометрическая интерпретация:
комплексно-сопряженные числа

и

отождествляются с точками (х,у) и (х,-у),
симметричными относительно оси Ох.

Свойства комплексно-сопряженных
чисел:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.
(Проверить!)

Операции над комплексными числами
в алгебраической форме.

1.
.

При сложении (вычитании) комплексных
чисел складывают (вычитаются) их
вещественные и мнимые части соответственно.

2. Учитывая, что
:

Итак, комплексные числа умножаются по
правилу умножения многочленов, т.е.
почленно.

3.

Итак, при делении

на

числитель и знаменатель умножают на
число
.

Тригонометрическая форма комплексного
числа

,
где

— модуль числа z,

— аргумент числа z,
т.е. любое решение системы уравнений

и обозначается символом
.
Модуль комплексного числа есть
число неотрицательное и определяется
однозначно.

Аргумент комплексного числа
,
определяемый только в радианах,
имеет бесконечное множество своих
значений.

Они отличаются друг от друга на числа,
кратные
,
и только одно значение (обозначим его
)
удовлетворяет условию:
.
Его будем называть главным значением
аргумента числа z.
Множество всех значений аргумента z
можно записать так:
.

Если
0,
то очевидны следующие равенства

(рис. 31)

Г
еометрическая
интерпретация модуля и аргумента числа
z

Если число

изображается точкой М(х,у) на координатной
плоскости Оху (рис. 28), то |z|
— длина радиус-вектора

точки М, а

— угол между осью Ох и этим радиус-вектором.

Пример. Представить число z=
-1+j в тригонометрической
форме.

.

Ответ:
.

Пример. Представить число –j
в тригонометрической форме.

.

Ответ:
.

Операции над
комплексными числами в тригонометрической
форме

1. Умножение комплексных чисел.

Итак, при умножении комплексных чисел
их модули перемножаются, т.е.
,
а аргументы складываются, т.е.
.

2. Деление комплексных чисел.

При делении комплексных чисел

на
(0)
модули их делятся, т.е.
,
а аргументы вычитаются, т.е.
.
(Проверить!).

3. Возведение комплексного числа в
целую положительную степень

— n-я степень числа z.

Если
,
то
.

При

равенство примет вид:
.

Эта формула носит название формулы
Муавра.

4. Извлечение корня

Число w называется корнем
степени

из числа z, если
.
Используется обозначение
.

Если положить
,
где

и
,
то равенство

примет вид:
.

Зная, что модули равных чисел равны
между собой, а аргументы отличаются
друг от друга на число, кратное 2,
имеем два равенства:

и
(корень
арифметический),

.

Итак,
.

Формула определяет бесконечное множество
значений корня n-ой степени
из z. И только n
из них различные.

Полагая
k=0,1,2,…,n-1,
получаем n различных
значений корня
.

Геометрическая интерпретация

— различные значения корня

— вершины правильного n-угольника,
вписанного в окружность с центром в
начале координат и радиусом
.

Пример

Показательная форма комплексного
числа

Действие возведения числа е (неперово
число) в комплексную степень z=x+yj
определяется равенством

(10.1).

Это определение может показаться
искусственным. Заметим в его оправдание,
что при у=0, т.е.
,
степень

сводится к обычной степени
,
а также комплексная степень числа е
сохраняет свойства вещественных
степеней:

1.
;

2.
.
(Проверить!)

Комплексная степень

обладает также и новыми свойствами,
отсутствующими у действительных
степеней.

Например, свойство периодичности.

Докажем, что

.

Действительно,
.

Отсюда следует периодичность комплексной
степени
;

— ее периоды,
.

Полагая в формуле (10.1) х=0,
,
получим
.

Это равенство
носит название формулы Эйлера (Эйлер –
немецкий математик, академик Российской
Академии наук).

Пользуясь формулой Эйлера, можно
представить комплексное число z
в виде
.
Итак,

— показательная форма комплексного
числа.

Пример

Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа

Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Формулы. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа.

Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.

i ²= — 1

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

1.1 Сложение.

(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

2. Умножение.

(см. векторное произведение векторов)

3. Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Тригонометрическая форма.

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

,

очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.

Оказывается, что

z = ρ(cosφ+isinφ) .

Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы:

Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа:

таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.

Комплексные числа

• Мои предпочтения
• Мой список чтения

• Литературные заметки

• Подготовка к тесту

• Учебные пособия

!

• Дом
• Учебные пособия
• Алгебра II
• Комплексные числа

Все предметы

• Линейные предложения в одной переменной

  • Формулы
  • Викторина: формулы
  • Уравнения абсолютных значений
  • Викторина: уравнения абсолютных значений
  • Линейные неравенства
  • Линейные уравнения
  • Викторина: линейные уравнения
  • Викторина: линейные неравенства
  • Сложные неравенства
  • Викторина: Сложные неравенства
  • Неравенства абсолютных значений
  • Викторина: Абсолютное неравенство

• Линии сегментов и неравенства

  • Викторина: прямоугольная система координат
  • Формула расстояния
  • Викторина: формула расстояния
  • Формула средней точки
  • Викторина: Формула средней точки
  • Прямоугольная система координат
  • Уклон прямой
  • Викторина: уклон линии
  • Откосы параллельных и перпендикулярных линий
  • Викторина: уклоны параллельных и перпендикулярных линий
  • Уравнения линий
  • Викторина: уравнения линий
  • Графики линейных неравенств
  • Викторина: графики линейных неравенств

• Линейные предложения с двумя переменными

  • Линейные уравнения: решения с использованием замены с двумя переменными
  • Викторина: линейные уравнения: решения с использованием замены с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием исключения с двумя переменными
  • Викторина: линейные уравнения: решения с использованием исключения с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием матриц с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием построения графиков с двумя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием построения графиков с двумя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием матриц с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с двумя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с двумя переменными
  • Линейные неравенства: решения с использованием построения графиков с двумя переменными
  • Викторина: Линейные неравенства: решения с использованием построения графиков с двумя переменными

• Линейные уравнения с тремя переменными

  • Линейные уравнения: решения с использованием матриц с тремя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием матриц с тремя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с тремя переменными
  • Викторина: линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с тремя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием исключения с тремя переменными
  • Викторина: линейные уравнения: решения с использованием исключения с тремя переменными

• Полиномиальная арифметика

  • Умножающие многочлены
  • Викторина: умножение многочленов
  • Специальные произведения биномов
  • Викторина: специальные произведения биномов
  • Делительные многочлены
  • Сложение и вычитание многочленов
  • Викторина: деление многочленов
  • Викторина: сложение и вычитание многочленов
  • Синтетическое подразделение
  • Тест: отдел синтетических материалов

• Факторинговые полиномы

  • Разность квадратов
  • Викторина: разница квадратов
  • Сумма или разница кубиков
  • Викторина: сумма или разница кубиков
  • Трехчлены формы x ^ 2 + bx + c
  • Наибольший общий коэффициент
  • Викторина: наибольший общий фактор
  • Викторина: триномы формы x ^ 2 + bx + c
  • Трехчлены формы ax ^ 2 + bx + c
  • Викторина: Триномы формы ax ^ 2 + bx + c
  • Квадратные трехчлены
  • Викторина: Квадратные трехчлены
  • Факторинг путем перегруппировки
  • Викторина: факторинг путем перегруппировки
  • Краткое изложение методов факторинга
  • Решение уравнений по факторингу
  • Викторина: решение уравнений по факторингу

• Рациональные выражения

  • Тест: упрощение рациональных выражений
  • Умножение рациональных выражений
  • Викторина: умножение рациональных выражений
  • Разделение рациональных выражений
  • Викторина: деление рациональных выражений
  • Сложение и вычитание рациональных выражений
  • Примеры рациональных выражений
  • Викторина: примеры рациональных выражений
  • Упрощение рациональных выражений
  • Викторина: сложение и вычитание рациональных выражений
  • Сложные фракции
  • Викторина: сложные дроби
  • Решение рациональных уравнений
  • Викторина: решение рациональных уравнений
  • Пропорция, прямая вариация, обратная вариация, совместная вариация
  • Тест: пропорция, прямая вариация, обратная вариация, совместная вариация
  • Графические рациональные функции
  • Викторина: построение графиков рациональных функций

• Отношения и функции

  • Обозначение функций
  • Тест: обозначение функций
  • Состав функций
  • Викторина: Состав функций
  • Алгебра функций
  • Основные определения
  • Викторина: Алгебра функций
  • Тест: основные определения
  • Обратные функции
  • Тест: обратные функции

• Полиномиальные функции

  • Тест: теорема об остатке
  • Теорема о множителях
  • Тест: факторная теорема
  • Нули функции
  • Тест: нули функции
  • Полиномиальная функция
  • Викторина: полиномиальная функция
  • Теорема о рациональном нуле
  • Теорема об остатке
  • Викторина: рациональная теорема о нуле
  • Графические полиномиальные функции
  • Викторина: построение графиков полиномиальных функций

• Радикалы и комплексные числа

  • Радикалы
  • Викторина: радикалы
  • Упрощающие радикалы
  • Викторина: упрощение радикалов
  • Сложение и вычитание радикальных выражений
  • Викторина: сложение и вычитание радикальных выражений
  • Что такое радикалы?
  • Умножение радикальных выражений
  • Викторина: умножение радикальных выражений
  • Деление радикальных выражений
  • Викторина: деление радикальных выражений
  • Рациональные экспоненты
  • Тест: рациональные показатели
  • Комплексные числа
  • Викторина: комплексные числа

• Квадраты в одной переменной

  • Викторина: решение квадратичных расчетов с помощью факторинга
  • Решение квадратичных уравнений по свойству квадратного корня
  • Викторина: Решение квадратичных уравнений по свойству квадратного корня
  • Решение квадратики путем завершения квадрата
  • Викторина: решение квадратов путем завершения квадрата
  • Квадратичные уравнения
  • Квадратичное решение с помощью факторинга
  • Решение квадратичных уравнений по квадратичной формуле
  • Викторина: решение квадратичных уравнений по квадратичной формуле
  • Решение уравнений в квадратичной форме
  • Викторина: решение уравнений в квадратичной форме
  • Решение радикальных уравнений

Введение в комплексные числа

Это краткое введение в комплексные числа, написанное в основном для учащихся в возрасте от 14 или 15 до 18 или 19 лет. x $ и $ \ log (x) $), векторы и матрицы, а также степенные ряды. Отмечены сложные биты. (Для студентов из Великобритании первые разделы должны быть доступны для всех, кто делает GCSE или выше, но некоторые из более поздних разделов являются стандартными.) Повсюду есть упражнения для
вы, чтобы проверить свое понимание, с ответами на обороте.

Я пытался сделать упражнения менее похожими на стандартные вычислительные, которые вы делаете в школе, но это означает, что некоторые из них довольно сложны.

В этой статье я использовал радианы и градусы для измерения углов.2 + 40 \ alpha + 20 & \ textrm {(раскрытие)} & \\ & = & 0 & \ textrm {(используя уравнение выше)} & \ end {eqnarray}

Итак, какие еще уравнения мы можем решить, вооружившись нашим новым числом $ \ alpha $?
Как ни странно, оказывается, что если нам разрешено использовать $ \ alpha $, любое полиномиальное уравнение имеет хотя бы один корень, но доказать это очень сложно. Если вы изучаете математику в университете, это одна из вещей, которую вы узнаете. 2 = -1 $.2 + 20x + 20 = 0 $ равно $ x = 2 \ alpha = \ pm 2 i \ sqrt {5} $.

Что мы делаем сейчас, так это притворяемся, что число $ i $ действительно существует (а почему бы и нет?), Но что оно очень не похоже ни на одно число, которое мы видели раньше. Это новое число $ i $ называется мнимым числом, потому что вы должны представить себе, что оно существует, и затем вы можете что-то с ним делать. Комплексное число — это число $ a + i b $, где $ a $ и $ b $ — числа, с которыми вы знакомы (они называются действительными числами). Мы можем
сложите два комплексных числа, чтобы получить новое комплексное число, $ (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d) $.2 = — 1 $, поэтому если мы разделим обе части на $ i $, мы получим $ i
= — 1 / i $. А как насчет $ 1 / (1 + i) $? Сейчас мы не можем умножить верхнюю и нижнюю на $ i $, потому что нижняя часть все равно будет комплексным числом, что не годится. Однако, если мы умножим верхнюю и нижнюю часть на $ 1 — i $, мы получим: $$ \ frac {1} {1 + i} = \ frac {1- i} {(1 + i) (1- i)} = \ frac {1- i} {1 + i- i + 1} = \ frac {1- i} {2} = \ frac {1} {2} — i \ frac {1} {2} $$

Отлично, а что вообще? А как насчет $ 1 / (a ​​+ i b) $? Чтобы ответить на этот вопрос, мы вводим так называемое комплексное сопряжение. 2) $ в терминах $ \ textrm {Re} (z) $ и $ \ textrm {Im} (z) $.п $? Можете ли вы доказать это тем из вас, кто знаком с математической индукцией?

Самолет Аргана

Мы еще не дошли до самого удивительного в комплексных числах — геометрической интерпретации. Как известно, комплексное число $ z $ можно записать как $ a + i b $, где $ a $ и $ b $ — действительные числа. Если вы когда-либо рисовали векторы, это будет вам очень знакомо: 2D-вектор можно записать в виде $ a \ mathbf {i} + b \ mathbf {j} $, где $ \ mathbf {i} $ и $ \ mathbf {j} $ — единичные векторы. Итак, комплексное число $ z = a + i b $
соответствует точке на двумерной плоскости, заданной как $ a \ mathbf {i} + b \ mathbf {j} $.Если вы не создали векторы с использованием обозначений выше, $ a + ib $ просто соответствует точке в 2D с $ x $ -координатой $ a $ и $ y $ -координатой $ b $.

А как насчет суммы двух комплексных чисел $ z + w $. Оказывается, сложение двух комплексных чисел равносильно сложению двух векторов. Если вы не знаете, как сложить два вектора, посмотрите на следующую картинку:

Итак, сложение векторов соответствует сложению комплексных чисел. Двумерная плоскость комплексных чисел называется плоскостью Аргана или диаграммой Аргана.{-1} (\ textrm {Im} (z) / \ textrm {Re} (z)) $ (если $ \ textrm {Re} (z) = 0 $). Следующая картинка, надеюсь, объясняет модуль и аргумент комплексного числа:

Упражнение 12 Пусть $ w = (1 + i) / \ sqrt {2}. $ Что такое $ | w | $ и $ \ arg (w) $?

Упражнение 13 Что такое $ | z | — | \ textrm {Conj} (z) | $? Объясните геометрически, что такое $ \ textrm {Conj} (z) $ в терминах $ z $. Используя это, что такое $ \ arg (\ textrm {Conj} (z)) + \ arg (z) $?

Теперь мы можем обсудить удивительную вещь о геометрии комплексных чисел.{\ circ} / n) $. Найдите все $ n $ решений в терминах этого решения.

Полярные координаты и формула Де Муавра

Существует еще один способ записи комплексных чисел помимо $ a + i b $. Поскольку комплексное число похоже на точку на комплексной плоскости, мы можем вычислить расстояние от этой точки до начала координат, $ r $, и угол, который линия от начала координат до точки образует с осью $ x $. , $ \ theta $. После того, как мы их разработали, мы можем записать комплексное число как $ (r, \ theta) $, это называется нотацией полярных координат.Эти числа $ r $ и $ \ theta $ — всего лишь модуль и аргумент $ x + i y $, которые мы встречали выше.

Итак, комплексное число $ z = a + i b $ можно записать как $ z = (| z |, \ arg (z)) $. Кроме того, учитывая комплексное число $ (r, \ theta) $, мы можем преобразовать его в нотацию $ x + iy $ (это то, о чем Q1) как $ (r, \ theta) = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) $.

Хорошо, мы можем переключаться между двумя разными обозначениями для записи комплексных чисел, но какая от этого польза? Что ж, это очень полезно по причине, которая станет очевидной, если вы прочитаете следующий раздел (который немного сложнее), но он также полезен по нескольким другим причинам. 7} {7!}
+ \ dots $$

Фактически, по этой причине мы используем радианы вместо градусов.{-z}] / 2 $. Найдите разложение в степенной ряд для $ \ cosh (z) $ и докажите, что $ \ cosh (i z) = \ cos (z) $.

Классные вещи

Теперь мы знаем основы работы комплексных чисел, что мы можем с ними делать?

Предположим, у нас есть комплексное число $ z = (r, \ theta) $ в полярных координатах и ​​другое комплексное число $ w = (1, \ phi) $ с модулем 1. Произведение этих двух комплексных чисел равно $ zw = (г, \ theta + \ phi) $. Другими словами, $ z w $ — это $ z $, повернутый на угол $ \ phi $. Мы можем использовать их для построения матрицы, которая поворачивает вектор на угол $ \ phi $.Предположим, что $ z = x + i y $ и $ w = (1, \ phi) = \ cos \ phi +
i \ sin \ phi $, тогда $ zw = (x + iy) (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) = (x \ cos \ phi — y \ sin \ phi) + i (x \ sin \ phi + y \ cos \ phi) $. Другими словами, $ x $ -координата (эквивалентная действительной части комплексного числа) вектора, повернутого на угол $ \ phi $, равна $ x ‘= xcos \ phi — y \ sin \ phi $ и Координата $ y $ (мнимая часть) равна $ y ‘= xsin \ phi — y \ cos \ phi $. Мы можем представить это как продукт
матрицы:

\ [\ left (\ begin {array} {c} x ‘\\ y’ \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {cc} \ cos \ phi & — \ sin \ phi \\ \ sin \ phi & \ cos \ phi \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right) \]

Другими словами, матрица вращения $ M $, которая поворачивает вектор $ \ textbf {v} $ в вектор $ M \ mathbf {v} $ на угол $ \ phi $:

\ [\ mathbf {M} = \ left (\ begin {array} {cc} \ cos \ phi & — \ sin \ phi \\ \ sin \ phi & \ cos \ phi \ end {array} \ right) \ ]

В начале я упоминал, что вы можете решить любое полиномиальное уравнение, используя комплексные числа, это известно как Фундаментальная теорема алгебры, и известный математик, известный как Гаусс, дал около 9 различных доказательств этого сотни лет назад.8 = 1 $. Это называется корнем единства восьмой степени.

Ответ 8 $ \ quad X = \ pm i $.

Ответ 9 $ \ quad X = \ pm w = \ pm 1 + i / \ sqrt {2} $. Другие решения: $ — w $, $ i w $ и $ — i w $.

Ответ 10 Решение, используя формулу корней квадратного уравнения, $$ x = \ frac {-2 \ pm i \ sqrt {4-8}} {2} \ = 1 \ pm \ sqrt {-1} \ = — 1 \ pm i $$

Ответ 11 Расширение каждого из уравнений и упрощение дает 1 в каждом случае (включая общий случай). Посмотрите раздел формулы Де Муавра для доказательства.п) = п \ arg (z) $.

Ответ 15 Используя подсказку, что $ z = (z / w) w $ и тот факт, что $ | u v | = | u | | v | $ получаем, что $ | z | = | (z / w) | | w | $, поэтому $ | (z / w) | = | z | / | w | $. Аналогично, принимая аргументы обеих сторон, мы получаем $ \ arg (z) = \ arg (z / w) + \ arg (w) $ и, следовательно, $ \ arg (z / w) = \ arg (z) — \ arg (w) $.

Ответ 16 $ \ quad | z | = r $ и $ \ arg (z) = \ theta $. Итак, $ z = | z | (\ соз (\ arg (z)) + я \ sin (\ arg (z))) $. Теперь мы можем доказать, что $ | z w | = | z | | w | $ и $ \ arg (zw) = \ arg (z) + \ arg (w) $ путем раскрытия скобок с помощью этого разложения $ z $ и $ w $ и тригонометрической формулы для $ \ cos (A + B) = \ cos (A) \ cos (B) — \ sin (A) \ sin (B) $ и $ \ sin (A + B) =
\ cos (A) \ sin (B) + \ sin (A) \ sin (B) $.
Итак, если $ | z | = r_1, | w | = r_2 $, $ \ arg (z) = \ theta_1 $ и $ \ arg (w) = \ theta_2 $, тогда $ z = r_1 (\ cos \ theta_1 + i \ sin \ theta_1) $ и $ w = = r_2 ( \ cos \ theta_2 + i \ sin \ theta_2) $. Расширение

\ begin {eqnarray} zw & = & r_ {1} r_ {2} \ cos \ theta_ {1} + i \ sin \ theta_ {1}) (\ cos \ theta_ {2} + i \ sin \ theta_ { 2}) \\ & = & r_ {1} r_ {2} ((\ cos \ theta_ {1} \ cos \ theta_ {2} — \ sin \ theta_ {1} \ sin \ theta_ {2}) + i (\ cos \ theta_ {1} \ sin \ theta_ {2} + \ cos \ theta_ {2} \ sin \ theta_ {1})) \\ & = & r_1 r_2 (\ cos (\ theta_ {1} + \ theta_ {2}) + i \ sin (\ theta_ {1} + \ theta_ {2})) \ end {eqnarray}

Так $ | z w | = r_1 r_2 $ и $ \ arg (z w) = \ theta_1 + \ theta_2 $.{-z}] / 2 $ тогда
$ \ sinh (я z) = я \ sin (z) $. Кроме того, $ \ cos (i z) = \ ch (z) $ и $ \ sin (i z) = i \ sinh (z) $.

Cool Stuff

Ответ 25 Мы пытаемся доказать это индукцией, поэтому сначала мы должны доказать, что это верно для $ n = 1 $. 0 $ не определено, поэтому это не решение) и $ y $ является решением, тогда $ y = y / x \ times x $ или $ t = y / x $.{t / (t — 1)} $. Итак, мы нашли решения в терминах параметра $ t $.

Комплексные числа | Физика для идиотов

Я уверен, что все, кто будет читать этот сайт, будут знакомы с числовой строкой. Этот инструмент использовался еще в начальной школе для обучения детей числам

.

Вам сказали, что все существующие числа могут быть представлены в этой одной строке, будь то десятичные дроби или целые числа. Однако это далеко от истины.На самом деле числовая линия представляет собой лишь крошечную часть всех возможных чисел, и единственная причина, по которой мы вообще знаем о других, — это -1, но прежде чем я перейду к этому, давайте вернемся назад.

Числовая линия претерпела множество различных вариаций. Первый состоял из целых положительных чисел, например:

Так продолжалось до тех пор, пока люди занимались простыми вещами. Если у кого-то было 3 овцы, и вы дали им 5, вы могли бы сосчитать числовую линию, чтобы увидеть, что теперь у них будет восемь.Однако, как только было введено вычитание, все усложнилось. Конечно, вы могли бы делать такие вещи, как 5 овец, брать 2 овец, но что бы произошло, если бы у вас было 2, а вы забрали 5? Можно было сказать, что 2-5 — это то же самое, что 0-3 (взяв по 2 из каждого числа). Итак, 2-5 = 0-3 и, избавившись от нуля, 2-5 = -3. Так родились отрицательные целые числа, а числовая строка была расширена в другом направлении, чтобы учесть все новые красивые отрицательные числа.

Однако вскоре люди снова раздвинули границы цифр.4 человека украли 40 коров. Сколько они получают каждый? Легко, всего 40, разделенное на 4, что составляет 10, хорошее положительное целое число в числовой строке. Но что, если 2 человека украдут 1 корову? Вам нужно будет разделить 1 на 2, но для этого нет значения в числовой строке, поэтому были изобретены десятичные дроби, например 0,5, 0,25 и 0,1.

Но это было незадолго до того, как кто-то пошел и попытался разделить 100 на 3. Они устали, и они пытались, но они просто не могли этого сделать, это не помещалось в числовой строке, поскольку это было бесконечное число цифры 3 после десятичной точки просто продолжаются.Итак, они сделали то, что сделали бы большинство людей, они не стали решать эту проблему и изобрели новый способ отображения этого бесконечного числа, дробей! Дроби могут описывать не только бесконечные десятичные дроби, но также целые и рациональные десятичные дроби. Однако были некоторые бесконечные десятичные дроби, которые нельзя было выразить в виде дробей, и у каждого из них тоже есть свои символы, такие как, или.

Вероятно, это степень вашего знания числовой линии, вам, вероятно, сказали, что это все, что вам нужно знать, все, что вы делаете на числовой строке, остается на числовой строке, просто двигайтесь вверх или вниз в зависимости от операции .Боюсь, вас ввели в заблуждение.

Здесь начинается запретное знание. Одна простая операция над одним простым числом с ответом из одной буквы. Но как это решить? Числовая строка на самом деле представляет собой два набора чисел, положительных и отрицательных, независимо от числа, дробное, десятичное, целое, трансцендентное, оно все равно либо положительное, либо отрицательное, если, конечно, оно не равно нулю. Теперь ответ не может быть нулем, не равен -1. Число также не может быть положительным, как (положительное число) = (положительное число), и не может быть отрицательным, как (отрицательное число) = (положительное число).Так где же на числовой прямой? В 1799 году математик Каспар Вессель решил показать на новой оси, перпендикулярной текущей, проходящей через 0. Символ для был введен Гауссом в 1799 году как i .

Итак, больше не было просто линии с бесконечными числами, теперь была плоскость с бесконечными числами.

И поскольку теперь это плоскость, числа не должны оставаться на оси. Представьте это как график или координаты. Например, 1 будет (1,0), а 3i будет (0,3), но вы также можете иметь числа вроде 3 + 2i или -4-5i, которые будут в (3,2) и (-4, -5) соответственно

Этот тип диаграммы, отображающей комплексные числа, называется диаграммой Аргана.

Как упоминалось выше, у вас могут быть числа вроде 4 + 7i или 36-21i, они называются комплексными числами, потому что они состоят из нескольких частей. Общая форма комплексных чисел —

— это действительная часть, часть, которая сообщает вам, как далеко вы продвигаетесь по линии действительных чисел, а также мнимая часть, которая сообщает вам, насколько далеко вы продвигаетесь по линии воображаемых чисел. Вы должны помнить, что это число, а не два числа, сложенные вместе, однако при манипулировании комплексными числами вы обрабатываете действительную и мнимую части отдельно, но это все равно всего лишь одно число.Ниже приведены правила работы с комплексными числами.

Допустим, у вас есть два комплексных числа, каждое из которых состоит из любой действительной и любой мнимой частей, например,

Теперь, если вы хотите выполнить сложение этих двух чисел, вы должны просто сложить вместе действительные части, а затем мнимые части и вернуть два ответа в исходную форму.

Если вы хотите выполнить вычитание с этими двумя числами, вы просто убираете действительные числа друг от друга, затем мнимые числа друг от друга и возвращаете их в исходную форму

Для умножения вы можете относиться к нему так же, как если бы вы раскрывали квадратные скобки квадратного уравнения, как показано ниже

Вы умножаете числа, используя аббревиатуру F.О.И.Л. Во-первых, снаружи, внутри, в конце, так что вы получите + + +. Как и -1, тогда справедливо. Итак, вы просто группируете действительные числа и делаете то же самое с мнимыми, пока не получите что-то в форме x + iy

Теперь разделение становится немного сложнее. Если у вас что-то вроде

, то способ решить эту проблему — избавиться от i внизу. Для этого вы умножаете верхнюю и нижнюю части на то, что находится внизу, но поменяйте местами знак перед воображаемым термином.Итак, теперь у вас

Теперь вы можете сфокусироваться на верхней и нижней частях по отдельности, а затем снова сложить их вместе в конце, теперь это просто сложное умножение. Итак, для вершины у нас

и для низа получаем

Если снова собрать все вместе, мы получим ответ

Как вы могли заметить, независимо от того, какую операцию вы выполняете над комплексными числами, форма всегда остается неизменной, всегда.

Это было не так уж сложно, правда? Оказывается, у вещи, по которой вы умножаете верх и низ, есть особое название. Его называют сложным сопряжением, и все это комплексное число со знаком мнимой части, поменявшим местами, и представлено как z с полосой над ним.

Пытаясь усложнить жизнь людям, изучающим комплексные числа, люди, которые уже освоили диаграмму Аргана, придумали новый способ выражения того же самого.И хотя поначалу это может быть не очень хорошо для вас, ученика, оно позволяет вам делать довольно интересные вещи с числами. Новый способ их представления — сказать, что каждое число может быть выражено как расстояние от начала координат и угол от оси x / действительной оси.

Бит, помеченный на диаграмме r (расстояние от начала координат), называется модулем, а бит, помеченный (угол от реальной оси / x), называется аргументом. Несмотря на то, что у нас есть новые имена и новые номера, мы все равно можем записать его в старой форме

Используя какой-нибудь триггер, мы можем записать координаты в терминах r и θ, и они подставят их в стандартную форму

Оказывается, есть еще один способ записи комплексных чисел, на этот раз с использованием.Почему их можно записать в терминах, относительно просто и показано ниже. Во-первых, у нас есть разложение e в виде бесконечной серии сложений (для всех заинтересованных это делается с помощью разложения Тейлора)

Затем мы заменяем на. Теперь, поскольку ‘s повышаются до степеней, иногда‘ s становится 1, -1 или, например, равным

Теперь мы группируем все термины с вместе и все без них вместе, например

Эти биты в скобках поразительно напоминают бесконечные серии расширений Sin и Cos

.

Та-Да, готово.Теперь у нас есть новый способ выражения комплексных чисел

И если модуль числа отличен от 1, мы можем написать

Запись комплексных чисел в этой форме Аргумент (угол) и Модуль (расстояние) называются полярными координатами в отличие от обычных (x, y) декартовых координат.

Когда дело доходит до комплексных чисел, позволяет относительно легко выполнять сложные операции и приводит к самой удивительной формуле во всей математике.Как и раньше, в этой форме вы можете управлять комплексными числами особым образом.

Для Сложение и Вычитание в форме лучше всего просто преобразовать их обратно в форму. Это делает вашу жизнь намного проще и избавляет вас от множества ужасных триггеров и геометрии.

Для Умножение вы просто умножаете два модуля и складываете два угла вместе

и для Деление вы просто разделите два модуля и минус два угла

Запись комплексных чисел через полярные координаты позволяет с относительной легкостью вычислить ALL корни действительных чисел.Чтобы вычислить корень числа a, вы просто используете следующую формулу

Когда вы извлекаете n-й корень из числа, вы получаете n ответов, все они лежат на окружности радиуса n√a, причем корни находятся на расстоянии 360 / n ° друг от друга. Все это может показаться запутанным, поэтому, надеюсь, эти две диаграммы помогут. Здесь у нас есть все три кубических корня из 1

и вот все пять корней 5-й степени из 6

Его способность помещать комплексные числа в такую ​​форму рождает самые красивые и удивительные элементы математики.

Чтобы получить идентичность, подставьте θ как πr (что равно 180 °) и затем прибавив единицу. Графически айдентика выглядит так:

Его называют величайшим математическим символом, потому что он содержит следующие числа:

• Число 0.
• Число 1, которое есть единица. Это мультипликативное тождество целых, действительных и комплексных чисел
• Число π, которое встречается повсюду, особенно в тригонометрии, геометрии и математическом анализе.
  

  No related posts.