Для чайников

Комплексные числа для чайников с примерами: Комплексные числа, примеры с решением

Содержание

Комплексные числа, примеры решений

Теория про комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Комплексным числом называется число вида , где и действительные числа, а – мнимая единица такая, что .

При этом такая запись комплексного числа называется алгебраической; является действительной частью комплексного числа, а – мнимою. Каждое комплексное число может быть так же представлено в тригонометрической форме

   

или показательной форме:

   

где – модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа такой, что , где или .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости. Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень, для этого используют формулу Муавра.

Примеры

ПРИМЕР 1




Задание Представить в показательной и тригонометрической формах комплексное число .
Решение Найдем модуль заданного комплексного числа, по условию действительная часть , а мнимая , тогда подставляя в формулу для нахождения модуля, получим

   

Вычислим аргумент заданного комплексного числа:

   

Тогда тригонометрическая форма этого комплексного числа будет иметь вид:

   

показательная:

   

Ответ

ПРИМЕР 2




Задание Найти разность и сумму комплексных чисел и .
Решение Найдем сумму комплексных чисел, при этом отдельно складываем действительные и мнимые части заданных чисел:

   

Вычислим разность заданных комплексных чисел, при этом действительные и мнимые части чисел вычитаются отдельно:

   

Ответ

ПРИМЕР 3




Задание Найти произведение и частное чисел и .
Решение Найдем произведение заданных комплексных чисел:

   

Учитывая, что , окончательно получим:

   

Вычислим частное комплексных чисел и :

   

умножим числитель и знаменатель полученной дроби на сопряженное комплексное число к знаменателю, то есть на , получим:

   

Учитывая, что , окончательно получим:

   

Ответ

ПРИМЕР 4




Задание Возвести комплексное число в степень : а) ; б) .
Решение а) Возведем заданное комплексное число в квадрат, используя формулы сокращенного умножения:

   

б) Для возведения комплексного числа в шестую степень, воспользуемся формулой Муавра. Чтобы её применить, необходимо представить комплексное число в тригонометрической или показательной формах. Найдем модуль заданного комплексного числа:

   

Далее находим его аргумент:

   

Запишем тригонометрическую форму заданного комплексного числа:

   

По формуле Муавра

   

Преобразовывая это выражение, получим алгебраическую форму шестой степени заданного комплексного числа :

   

Ответ

ПРИМЕР 5




Задание Вычислить и изобразить корни на комплексной плоскости.
Решение Представим число в тригонометрической форме, для этого найдем его модуль и аргумент:

   

   

Тогда

   

Корни четвертой степени найдем, используя формулу Муавра

   

В нашем случае . Найдем значения этого выражения для каждого :

   

   

   

   

Полученные корни можно изобразить на комплексной плоскости. Они будут точками, лежащими на окружности с центром в начале координат и радиусом , а центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки, равны (рис. 1).

Ответ

Комплексные числа примеры – Fib0.ru – Суть числа

График комплексные числа

Когда математики захотели разделить число на число там, где разделить нацело невозможно, они придумали дроби.
Когда они захотели вычесть большее число из меньшего, они придумали отрицательные числа.
Всякий раз, когда чего-то нельзя сделать, математики придумывают что-нибудь новое, чтобы все-таки сделать это.
Так что, когда невозможность извлечь квадратный корень из отрицательного числа начала серьезно раздражать, они… догадайтесь, что сделали?

И. Стюарт

Понятие комплексного числа

Среди всех множеств чисел, которые изучаются в курсе основной, старшей школы, а также в курсе высшей математики, можно выделить два множества, которые являются самыми широкими множествами. Это действительные и комплексные числа, при этом стоит отметить, что множество комплексных чисел шире, чем множество действительных и включает его. Комплексные числа в математике, которая изучается в школе, рассматриваются крайне редко. В основном это происходит в классах с углубленным изучением математических дисциплин. В курсе высшей математики с комплексными числами знакомятся при изучении такого раздела как алгебра, где впервые встречаются комплексные числа.

Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение.

Ф. Клейн.

Итак, для того чтоб ответить на вопрос какие числа называются комплексными, введем понятие комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида a + b * i, где i – мнимая единица – некий символ, квадрат которого равен -1, а числа а и b – это действительные числа. При этом выражения a и b * i, соответственно, это действительная и мнимая часть комплексного числа.

То есть действительная часть комплексного числа – это слагаемое, которое не содержит мнимую единицу, а для того, чтоб найти мнимую часть комплексного числа, достаточно рассмотреть второе слагаемое, содержащее i. Часто мнимые числа содержат в своей записи действительные числа, то есть b * i – это число мнимое, а b – действительное число, которое в нем содержится. Число а – это действительная часть комплексного числа.

Рассмотренная форма записи комплексного числа – это алгебраическая форма комплексного числа. Рядом с ней существуют, так называемые, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Нельзя сказать какая из них будет более удобная для вычислений, но наиболее распространенными являются алгебраическая и тригонометрическая формы. Им и уделим особое внимание.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

Л. Карно.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Прежде чем рассматривать другие формы записи комплексного числа рассмотрим не только сами комплексные числа, но и операции над ними.

К операциям над комплексными числами в алгебраической форме относятся:

  • Сложение;
  • Вычитание;
  • Умножение;
  • Деление.

Как считать и проводить алгебраические операции, содержащие комплексные числа

Введем комплексные числа как примеры 2 + 3 * i, 1 – 5 * i и рассмотрим выполнение указанных выше операций.

Сложение

2 + 3 * i + 1 – 5 * i = 2 + 1 + 3 * i – 5 * i = 3 + (3 – 5) * i = 3 – 2 * i.

Вычитание

2 + 3 * i – (1 – 5 * i) = 2 – 1 + 3 * i – (-5 * i) = 1 + (3 + 5) * i = 1 + 8 * i.

Умножение

(2 + 3 * i) * (1 – 5 * i) = 2 * 1 + 3 * i * 1 – 2 * 5 * i – 3 * i * 5 * i = 2 + 3 * i – 10 * i + 15 = 17 – 7 * i.

Деление

(2 + 3 * i) / (1 – 5 * i) = (2 + 3 * i) * (1 + 5 * i) / ((1 – 5 * i) * (1 + 5 * i)) =

= (2 * 1 + 3 * i * 1 + 2 * 5 * i + 3 * i * 5 * i) / (1 * 1 – 5 * i * 5 * i) =

= (2 + 3 * i + 10 * i – 15) / (1 + 25) = (-13 + 13 * i) / 26 = -0,5 + 0,5 * i.

Стоит обратить внимание, что при совершении арифметических операций над комплексными числами, выполняемые действия аналогичны к тем, которые производятся при преобразовании многочленов (двучленов). Однако не следует забывать, что при возведении в квадрат комплексного числа i, в результате всегда получается число -1.

Ещё одним важным нюансом при вычислении частного комплексных чисел является необходимость умножать числитель и знаменатель дроби, полученной при записи частного, на выражение (комплексное число), которое является сопряженным к знаменателю.

На этом этапе достаточно просто убедиться, что мало знать комплексные числа, нужны ещё формулы сокращенного умножения, которые позволяют получать упрощенное выражение (которое преобразуется в действительное число), в знаменателе дроби.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Приведенную выше информацию можно назвать «комплексные числа для чайников». Она включила информацию про комплексные числа кратко представленную в доступной для читателя форме.

Если же есть необходимость углубляться в теорию комплексных чисел, то тут уже стоит рассматривать тригонометрическую форму записи комплексного числа. Она представляет собой выражение вида r * (cos(f) + i * sin(f)).

В представленном выражении появляются новые обозначения помимо хорошо известных тригонометрических функций косинус и синус, которые находятся от угла f.

Итак, именно с угла f и начнем пояснение. Величина f для комплексного числа это угол наклона вектора, который характеризует комплексное число. Рассмотренная величина называется аргументом комплексного числа и используется не только в тригонометрической, а и в показательной форме записи комплексных чисел. Она может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Теперь вернемся к первому множителю, который указан в тригонометрической форме записи – множитель r. Эта величина r называется модулем комплексного числа. Для его вычисления необходимо найти корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа. При извлечении корня, находят арифметический квадратный корень, поэтому полученное значение величины r всегда будет только положительным (больше нуля).

Тригонометрическая, как и показательная формы записи комплексного числа необходимы в первую очередь для проведения таких операций над комплексными числами как извлечения корня комплексного числа, а также возведения комплексного числа в любую степень.

Безусловно, если говорить про алгебраическую форму записи, то возведение в степень будет доступным, но уже при возведении в степень большую чем, например, третья, будут возникать неудобства вычисления.

Возводя же в любую степень комплексное число в тригонометрической форме, достаточно в эту степень возвести модуль комплексного числа, а его аргумент – умножить на указанный показатель степени. В случае получения достаточно больших значений для аргумента, их без труда можно уменьшить, используя периодичность тригонометрических функций синус и косинус.

При правильном подходе видим, что комплексные числа являются достаточно простой темой, а действия над ними схожи с теми действиями, которые выполнялись при изучении таких тем курса алгебры и начал анализа как:

  • Тригонометрические функции;
  • Степенные выражения и действия над ними;
  • Многочлены и действия над ними.

Из истории о комплексных числах

Развитие понятия числа от натуральных к действительным был связан как с нуждами практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие математики считали «настоящими» лишь натуральные числа, но в житейских расчетах за тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим значительным этапом в развитии понятия о числе было открытие отрицательных величин. Их ввели китайские математики за два века до н. э. а древнегреческий ученый Диофант в III веке н.э. уже мог производить действия над отрицательными числами. В тринадцатом веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и определили, что с числами отрицательными эта операция неосуществима. Но в шестанадцатом веке в связи с познанием кубических уравнений математики столкнулись с данной проблемой. Исходя из этого итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 году в собственном труде «Великое мастерство, либо «Об алгебраических правилах» внес предложение ввести числа новой сущности. Он назвал эти величины «чисто отрицательными» либо «софистически отрицательными», но находил их совсем ненужными и пытался не пользоваться ими. Но в первой половине 70-ых годов XVI века его соплеменник Р. Бомбелли опубликовал книгу, в которой были введены первые правила арифметических операций над подобными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Наименование «мнимые числа» во второй половине 30-ых годов семнадцатого века было введено философом и французским великим математиком Р. Декартом. А во второй половине 70-ых годов восемнадцатого века один из виднейших алгебраистов 18 века – Л. Эйлер – внес предложение применять первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа I = √-1. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в оборот он вошел лишь благодаря трудам К. Гаусса. Постепенно расширялась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17 – 18 столетий была выстроена общая теория корней n-й степени сперва из отрицательных, а позже из любых комплексных чисел, а подробное геометрическое пояснение «мнимым» величинам дали в собственных трудах К. Вессель и Ж. Арган.

В конце 18 века великий математик из Франции Ж. Лагранж смог заявить, что матанализ уже не затрудняют мнимые величины. Посредством комплексных чисел обучились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а Я. Бернулли использовал комплексные числа для вычисления интегралов. Кроме этого посредством «мнимых» величин были решены задачи, которые связаны с гидродинамикой и картографией.

Интересные факты о комплексных числах

В 1572 году появилась книга, написанная великим математиком из Италии Рафаэлем Бомбелли – в этой книги автор описал правила арифметических операций с такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Для многих знаменитых деятелей – учёных XVII века алгебраическая и геометрическая природа мнимых величин представлялась непонятной.

Известно, например, что Исаак Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Готфрид Лейбниц высказал: «Мнимые числа – это чудесное и прекрасное убежище божественного духа, почти как амфибия бытия с небытием».

Урок 38. определение комплексного числа. действия с комплексными числами — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие мнимой единицы;

2) определение комплексного числа;

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Глоссарий по теме

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z,

что z + z2 = z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = —1.

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 — b1b2) + (a1b2 — a2b1) i.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 =z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a1 a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2 z1.

2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1 (z2z3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.

4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

1 способ.

2 способ.

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i3 = i2 i = -i,

i4 = i2 i2 = 1,

i5 = i4 i = i,

i6 = i4 i2 = -1,

i7 = i5 i2 = -i,

i8 = i6 i2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4)4⋅ i = 1 · i = i.

i 23 = i 4⋅ 5+3 = (i 4)5⋅ i3 = 1 · i3 = — i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 42⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x2 – 6x + 13 = 0;    б) 9x2 + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то 
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно, 
D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

  1. 7 +4i
  2. 7 — 4i
  3. 6 — 3i
  4. 6 + 3i

Решение: 2 + 3i + 5 — 7i = (2 + 5) + (3 — 7)i = 7 — 4i.

Можем сделать вывод, что верный ответ

2. 7 — 4i.

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно частное: (5 + 3i):(1 — 2i)=______

Решение:

Ответ: -0.2 + 2.6i

Калькулятор комлексных чисел | Вычисление выражений, содержащих комплексные числа

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

7

8

9

+

*

/

^

4

5

6

i

(

)

π

e

1

2

3

sin

cos

tg

ctg

ln

.

0

sh

ch

th

cth

abs

Скрыть клавиатуру

Вычислено выражений:

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
  2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
  3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

  • Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
  • Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
  • Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
  • Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

  • Арифметические операции: +, -, *, /, ^
  • Получение абсолютного значения числа: abs
  • Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
  • Получение действительной и мнимой частей: re, im
  • Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
  • Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
  • Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

  • (2+3i)*(5-7i)
  • sh(i)
  • (4+i) / (3 — 4i)
  • sqrt(2i)
  • (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy, где x, y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i2 = -1).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

  • 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
  • -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
  • i — действительная часть = 0, мнимая = 1
  • -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
  • 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
  • умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
  • деление: = = + i

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i:
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом:5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i:
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом:12-i(-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом:2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом:75-50i / (3+4i) = 1 - 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

  • Получение действительной части числа: Re(z) = a
  • Получение мнимой части числа: Im(z) = b
  • Модуль числа: |z| = √(a2 + b2)
  • Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
  • Экспонента: ez = ea·cos(b) + i·ea·sin(b)
  • Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
  • Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
  • Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
  • Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

  • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
  • Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
  • Показательная форма — запись вида r·e, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

Решение:

  • Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
  • Найдём аргумент числа: φ = arctan() = = 45°
  • Запишем результат в тригонометрической форме: √2·(cos(45°) + isin(45°))
  • Запишем результат в показательной форме: √2·eπi/4

Комплексные числа · Калькулятор Онлайн

Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить

Выполняет простые операции с комплексными числами.

Также умеет:

  • Выполнять деление с подробным решением
  • Находить разные формы комплексных чисел:
    1. Алгебраическую
    2. Тригонометрическую
    3. Показательную
  • Модуль и аргумент комплексного числа
  • Комплексно-сопряжённое к данному
  • Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Правила ввода комплексных выражений с примерами:

Комплексное число записывается в виде
a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно)
Комплексная единица (Мнимая)
— должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать)
(3+4j)/(7-5j)
— деление
(3.6+4j)*(7+5j)
— умножение
(3+56j)^7
— возведение в степень
(5+6j) + 8j
— сложение
(5+6j) — (7-1j)
— вычитание
conjugate(1+4j) или conj(1+4j)
Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j)

Можно использовать следующие функции от x (например, x = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция — арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция — арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
e
e число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
pi
Число — «Пи», которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция — Синус от x
cos(x)
Функция — Косинус от x
sinh(x)
Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция — Квадрат x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
— умножение
3/x
— деление
x^3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание

Другие функции:

floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа

Видео пример

Действия над комплексными числами

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия:

  • сложение;
  • вычитание;
  • умножение;
  • деление;
  • возведение комплексного числа в степень;
  • извлечение корня $n$—й степени из комплексного числа.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Определение 1

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа.

При этом:

  • $a$ — вещественная (действительная) часть;
  • $b$ — мнимая часть.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$

— модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$,

определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 3

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль

комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по

формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Примечание 1

При необходимости извлечения корня из комплексного числа, записанного в показательной форме, необходимо предварительно привести его к

тригонометрической форме представления.

Сумма комплексных чисел

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} +z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)+(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i.\]

Разность комплексных чисел

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется

равенством

\[z_{1} -z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)-(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i.\]

Пример 1

Выполнить действия: 1) $z_{1} +z_{2} $2) $z_{1} -z_{2} $ для заданных комплексных чисел $z_{1} =2+4i$ и $z_{2} =1-3i$.

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} +z_{2} =(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)+(1-3i)=(2+1)+(4-3)i=3+i\]

2) По определению имеем: $z_{1} -z_{2} =(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)-(1-3i)=(2-1)-(4+3)i=1-7i.\]

Произведение комплексных чисел

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается

перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2}

+i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].\]

Пример 2

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в алгебраической форме:

$z_{1} =1+3i$ и $z_{2} =2-2i$.

Решение:

Для исходных чисел, учитывая определение, получаем:

\[z_{1} \cdot z_{2} =(1+3i)\cdot (2-2i)=\]

\[1\cdot 2+3\cdot 2i+1\cdot (-2i)+3i\cdot (-2i)=2+6i-2i-6i^{2} =2+4i+6=8+4i\]

Пример 3

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_{1} =3\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )$ и $z_{2} =2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin{array}{l} {z_{1} \cdot z_{2} =\left(3\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )\right)\cdot \left(2\cdot (\cos \pi +i

\cdot \sin \pi )\right)=6\cdot \sqrt{3} \cdot \left[\cos \left(\frac{\pi }{2} +\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2} +\pi \right)\right]=} \\

{=6\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)} \end{array}\]

Частное комплексных чисел

Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i

\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )].\]

Примечание 2

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, необходимо:

  • представить запись операции деления в виде дроби;
  • числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
  • привести полученное выражение к алгебраической записи.

Пример 4

Выполнить деление комплексных чисел, представленных в алгебраической форме:

$z_{1} =2+i$ и $z_{2} =1-i$.

Решение:

Для исходных чисел получаем:

\[\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{2+i}{1-i} =\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{2+i+2i+i^{2} }{1^{2} -i^{2} } =\frac{2+3i-1}{1+1} =\frac{1+3i}{2} =

\frac{1}{2} +\frac{3}{2} i\]

Пример 5

Выполнить деление комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_{1} =3\cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)$ и $z_{2} =2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$.

Решение:

По определению имеем: $z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin{array}{l} {\frac{z_{1} }{z_{2} } =3\cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)\div \left(2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot

\sin 2\pi )\right)=\frac{3}{2} \cdot \left[\cos \left(\frac{2\pi }{3} -2\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{3} -2\pi \right)\right]=} \\ {=

\frac{3}{2} \cdot \left(\cos \left(-\frac{4\pi }{3} \right)+i\cdot \sin \left(-\frac{4\pi }{3} \right)\right)} \end{array}\]

Степерь комплексного числа

Степенью порядка $n$ некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется

равенством

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Данная формула называется формулой Муавра.

Пример 6

Выполнить действие $z^{3} $, где $z=3\cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

\[z^{3} =3^{3} \cdot \left(\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{4} \right)+i\cdot \sin \left(3\cdot \frac{\pi }{4} \right)\right)=27\cdot \left(\cos \frac

{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right).\]

Пример 7

Выполнить действие $z^{100} $, где $z=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

\[z^{100} =1^{100} \cdot \left(\cos \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=1\cdot \left(\cos

50\pi +i\cdot \sin 50\pi \right)=1\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right).\]

Корень комплексного числа

Корнем $n$-й степени некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется

равенством

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Пример 8

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z} $, где $z=4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]

{4} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]

{4} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$.

Как выполнять операции с комплексными числами

  1. Образование
  2. Математика
  3. Исчисление
  4. Как выполнять операции с комплексными числами

Ян Куанг, Эллин Касе

Иногда вы сталкиваетесь с ситуациями, когда вам нужно действовать на действительные и мнимые числа вместе, поэтому вы хотите записать оба числа как комплексные числа, чтобы иметь возможность складывать, вычитать, умножать или делить их.

Рассмотрим следующие три типа комплексных чисел:

  • Действительное число как комплексное число: 3 + 0 i

    Обратите внимание, что мнимая часть выражения равна 0.

  • Мнимое число как комплексное число: 0 + 2 i

    Обратите внимание, что действительная часть выражения равна 0.

  • Комплексное число с действительной и мнимой частью: 1 + 4 i

    Это число нельзя назвать исключительно реальным или исключительно воображаемым — отсюда термин комплексный.

Вы можете управлять комплексными числами арифметически, как действительными числами, для выполнения операций.Вам просто нужно быть осторожным, чтобы все и оставались ровными. Вы не можете комбинировать реальные части с мнимыми частями, используя сложение или вычитание, потому что они не похожи на термины, поэтому вы должны хранить их отдельно. Кроме того, при умножении комплексных чисел произведение двух мнимых чисел является действительным числом; произведение действительного и мнимого числа по-прежнему остается мнимым; и произведение двух действительных чисел является действительным. Многие путаются с этой темой.

В следующем списке представлены возможные операции с комплексными числами.

  • Для сложения и вычитания комплексных чисел: Просто объедините одинаковые термины. Например, (3 — 2 i ) — (2 — 6 i ) = 3 — 2 i — 2 + 6 i = 1 + 4 i.

  • Для умножения, когда используется комплексное число, использует один из трех различных методов в зависимости от ситуации:

    • Чтобы умножить комплексное число на действительное: Просто распределите действительное число как на действительную, так и на мнимую часть комплексного числа.Например, вот как вы обрабатываете скаляр (константа), умножая комплексное число в скобках: 2 (3 + 2 i ) = 6 + 4 i.

    • Чтобы умножить комплексное число на мнимое число: Сначала осознайте, что действительная часть комплексного числа становится мнимой, а мнимая часть становится действительной. Однако, когда вы даете свой окончательный ответ, вы все равно сначала выражаете действительную часть, а затем мнимую часть в форме A + B i.

      Например, вот как 2 i умножается на такое же число в скобках: 2 i (3 + 2 i ) = 6 i + 4 i 2 . Примечание: Вы определяете i как

      , так что i 2 = –1! Следовательно, у вас действительно 6 i + 4 (–1), поэтому ваш ответ будет –4 + 6 i.

    • Чтобы умножить два комплексных числа: Просто следуйте процедуре FOIL (первое, внешнее, внутреннее, последнее).Например, (3 — 2 i ) (9 + 4 i ) = 27 + 12 i — 18 i — 8 i 2 , что совпадает с 27 — 6 i — 8 (–1) или 35 — 6 i.

  • Чтобы разделить комплексные числа: Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя, FOIL числитель и знаменатель по отдельности, а затем объедините одинаковые члены. Этот процесс необходим, поскольку мнимая часть знаменателя на самом деле является квадратным корнем (из –1, помните?), А знаменатель дроби не должен содержать мнимую часть.

Например, вас просят разделить

Комплексное сопряжение 3 — 4 i равно 3 + 4 i. Выполните следующие действия, чтобы устранить проблему:

  1. Умножить числитель и знаменатель на сопряжение.

  2. ФОЛЬГА в числителе.

    Вы используете (1 + 2 i ) (3 + 4 i ) = 3 + 4 i + 6 i + 8 i 2 , что упрощается до (3-8) + (4 i + 6 i ) или –5 + 10 i.

  3. СОЙДИТЕ знаменатель.

    У вас есть (3 — 4 i ) (3 + 4 i ), который FOIL соответствует 9 + 12 i — 12 i — 16 i 2 . Поскольку i 2 = –1 и 12 i — 12 i = 0, в знаменателе остается действительное число 9 + 16 = 25 (вот почему вы умножаете на 3 + 4 i в первую очередь).

  4. Перепишите числитель и знаменатель.

    Однако этот ответ все еще не в правильной форме для комплексного числа.

  5. Разделите обе части на постоянный знаменатель.

    Обратите внимание, что окончательный ответ в форме A + B i.

Об авторе книги

Мэри Джейн Стерлинг занимается алгеброй, бизнес-расчетом, геометрией и конечной математикой в ​​Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет.Она является автором нескольких книг для чайников, в том числе Учебное пособие по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Учебное пособие по алгебре II для чайников.

.

Алгебра — Комплексные числа

Онлайн-заметки Павла

Заметки

Быстрая навигация

Скачать

  • Перейти к
  • Заметки

  • Проблемы с практикой

  • Проблемы с назначением

  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Рациональные выражения
  • Решение уравнений и неравенств Введение
  • Разделы
  • Решение уравнений и неравенств
  • Классы
  • Алгебра

  • Исчисление I

  • Исчисление II

  • Исчисление III

  • Дифференциальные уравнения

  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор

  • Распространенные математические ошибки

  • Праймер для комплексных чисел

  • Как изучать математику

  • Шпаргалки и таблицы

  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои студенты
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Practice Problems Загрузок
  • Полная книга — Только проблемы
  • Полная книга — Решения
  • Текущая глава — Только проблемы
  • Текущая глава — Решения
  • Текущий раздел — Только проблемы
  • Текущий раздел — Решения
  • Проблемы с назначением Загрузок
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Прочие товары
  • Получить URL для загружаемых элементов
  • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • Алгебра
    • Предварительные мероприятия
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • Полиномы
      • Факторинговые многочлены
      • Рациональные выражения
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и наборы решений
      • Линейные уравнения
      • Приложения линейных уравнений
      • Уравнения с более чем одной переменной
      • Квадратные уравнения — Часть I
      • Квадратные уравнения — Часть II
      • Квадратные уравнения: сводка
      • Приложения квадратных уравнений
      • Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
      • Уравнения с радикалами
      • Линейные неравенства
      • Полиномиальные неравенства
      • Рациональные неравенства
      • Уравнения абсолютных значений
      • Неравенства абсолютных значений
    • Графики и функции
      • Графики
      • Строки
      • Круги
      • Определение функции
      • Графические функции
      • Комбинирование функций
      • Обратные функции
    • Общие графы
      • Прямые, окружности и кусочные функции
      • Параболы
      • Эллипсы
      • Гиперболы
      • Разные функции
      • Преобразования
      • Симметрия
      • Рациональные функции
    • Полиномиальные функции

.

Как построить график комплексных чисел

  1. Образование
  2. Математика
  3. Исчисление
  4. Как построить график комплексных чисел

Ян Куанг, Эллейн Касе

Чтобы построить график комплексных чисел, вы просто объедините идеи реальных чисел. числовая координатная плоскость и координатная плоскость Гаусса или Аргана для создания комплексной координатной плоскости. Другими словами, учитывая комплексное число A + B i , вы берете действительную часть комплексного числа (A) для представления координаты x- , а вы берете мнимую часть (B) для представления y. — координата.

В координатной плоскости Гаусса или Аргана чистые действительные числа в форме a + 0 i существуют полностью на действительной оси (горизонтальной оси), а чисто мнимые числа в форме 0 + B i существуют полностью на мнимой оси (вертикальной оси). На рисунке a показан график действительного числа, а на рисунке b — график мнимого числа.

Сравнение графиков действительного и мнимого числа.

Хотя комплексные числа вы строите во многом так же, как любую точку в плоскости координат действительных чисел, комплексные числа не являются настоящими! Координата x- является единственной действительной частью комплексного числа, поэтому вы называете ось x- действительной осью , а ось y- — мнимой осью при построении графика в комплексной координатной плоскости.

Построение графиков комплексных чисел дает вам возможность визуализировать их, но построенное на графике комплексное число не имеет такого же физического значения, как пара координат действительных чисел. Для координаты ( x, y ) положение точки на плоскости представлено двумя числами. В комплексной плоскости значение одного комплексного числа представлено положением точки, поэтому каждое комплексное число A + B i может быть выражено как упорядоченная пара (A, B).

Комплексные числа, нанесенные на комплексную координатную плоскость.

На этом рисунке вы можете увидеть несколько примеров графических комплексных чисел:

  • Точка A. Действительная часть равна 2, а мнимая часть — 3, поэтому комплексная координата равна (2, 3), где 2 находится на действительной (или горизонтальной) оси, а 3 — на мнимой (или вертикальной) оси. . Это точка 2 + 3 i.

  • Точка B. Действительная часть равна –1, а мнимая часть — –4; вы можете нарисовать точку на комплексной плоскости как (–1, –4).Эта точка равна –1 — 4 i.

  • Точка C. Действительная часть равна 1/2, а мнимая часть — –3, поэтому комплексная координата равна (1/2, –3). Эта точка равна 1/2 — 3 i.

  • Точка D. Действительная часть равна –2, а мнимая часть — 1, что означает, что на комплексной плоскости точка равна (–2, 1). Эта координата равна –2 + i.

Об авторе книги

Мэри Джейн Стерлинг изучает алгебру, бизнес-исчисление, геометрию и конечную математику в университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет.Она является автором нескольких книг для чайников, в том числе Учебное пособие по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Учебное пособие по алгебре II для чайников.

.

алгебраических операций над комплексными числами с примерами

    • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
    • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
      • BNAT
      • Классы
        • Класс 1-3
        • Класс 4-5
        • Класс 6-10
        • Класс 110003 CBSE
          • Книги NCERT
            • Книги NCERT для класса 5
            • Книги NCERT, класс 6
            • Книги NCERT для класса 7
            • Книги NCERT для класса 8
            • Книги NCERT для класса 9
            • Книги NCERT для класса 10
            • NCERT Книги для класса 11
            • NCERT Книги для класса 12
          • NCERT Exemplar
            • NCERT Exemplar Class 8
            • NCERT Exemplar Class 9
            • NCERT Exemplar Class 10
            • NCERT Exemplar Class 11
            • 9plar

            • RS Aggarwal
              • RS Aggarwal Решения класса 12
              • RS Aggarwal Class 11 Solutions
              • RS Aggarwal Решения класса 10
              • Решения RS Aggarwal класса 9
              • Решения RS Aggarwal класса 8
              • Решения RS Aggarwal класса 7
              • Решения RS Aggarwal класса 6
            • RD Sharma
              • RD Sharma Class 6 Решения
              • RD Sharma Class 7 Решения
              • Решения RD Sharma Class 8
              • Решения RD Sharma Class 9
              • Решения RD Sharma Class 10
              • Решения RD Sharma Class 11
              • Решения RD Sharma Class 12
            • PHYSICS
              • Механика
              • Оптика
              • Термодинамика
              • Электромагнетизм
            • ХИМИЯ
              • Органическая химия
              • Неорганическая химия
              • Периодическая таблица
            • MATHS
              • Статистика
              • Числа
              • Числа Пифагора Тр Игонометрические функции
              • Взаимосвязи и функции
              • Последовательности и серии
              • Таблицы умножения
              • Детерминанты и матрицы
              • Прибыль и убыток
              • Полиномиальные уравнения
              • Разделение фракций
            • Microology
        • FORMULAS
          • Математические формулы
          • Алгебраические формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          • 000E
          • 000
          • 000
          • 000 Калькуляторы
          • 000 Образцы документов для класса 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 1 1
          • Образцы документов CBSE для класса 12
        • Вопросники предыдущего года CBSE
          • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
          • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • HC Verma Solutions Класс 12 Физика
        • Решения Лакмира Сингха
          • Решения Лахмира Сингха класса 9
          • Решения Лахмира Сингха класса 10
          • Решения Лакмира Сингха класса 8
        • 9000 Класс

        9000BSE 9000 Примечания3 2 6 Примечания CBSE

      • Примечания CBSE класса 7
      • Примечания

      • Примечания CBSE класса 8
      • Примечания CBSE класса 9
      • Примечания CBSE класса 10
      • Примечания CBSE класса 11
      • Примечания 12 CBSE
    • Примечания к редакции 9000 CBSE 9000 Примечания к редакции класса 9
    • CBSE Примечания к редакции класса 10
    • CBSE Примечания к редакции класса 11
    • Примечания к редакции класса 12 CBSE
  • Дополнительные вопросы CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
    • Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE Вопросы
    • CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
    • CBSE Class 10 Science Extra questions
  • CBSE Class
    • Class 3
    • Class 4
    • Class 5
    • Class 6
    • Class 7
    • Class 8 Класс 9
    • Класс 10
    • Класс 11
    • Класс 12
  • Учебные решения
  • Решения NCERT
    • Решения NCERT для класса 11
      • Решения NCERT для класса 11 по физике
      • Решения NCERT для класса 11 Химия
      • Решения NCERT для биологии класса 11
      • Решение NCERT s Для класса 11 по математике
      • NCERT Solutions Class 11 Accountancy
      • NCERT Solutions Class 11 Business Studies
      • NCERT Solutions Class 11 Economics
      • NCERT Solutions Class 11 Statistics
      • NCERT Solutions Class 11 Commerce
    • NCERT Solutions for Class 12
      • Решения NCERT для физики класса 12
      • Решения NCERT для химии класса 12
      • Решения NCERT для биологии класса 12
      • Решения NCERT для математики класса 12
      • Решения NCERT, класс 12, бухгалтерский учет
      • Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
      • NCERT Solutions Class 12 Economics
      • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
      • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
      • NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
      • NCERT Solutions Class 12 Commerce
      • NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
    • NCERT Solut Ионы Для класса 4
      • Решения NCERT для математики класса 4
      • Решения NCERT для класса 4 EVS
    • Решения NCERT для класса 5
      • Решения NCERT для математики класса 5
      • Решения NCERT для класса 5 EVS
    • Решения NCERT для класса 6
      • Решения NCERT для математики класса 6
      • Решения NCERT для науки класса 6
      • Решения NCERT для класса 6 по социальным наукам
      • Решения NCERT для класса 6 Английский язык
    • Решения NCERT для класса 7
      • Решения NCERT для математики класса 7
      • Решения NCERT для науки класса 7
      • Решения NCERT для социальных наук класса 7
      • Решения NCERT для класса 7 Английский язык
    • Решения NCERT для класса 8
      • Решения NCERT для математики класса 8
      • Решения NCERT для науки 8 класса
      • Решения NCERT для социальных наук 8 класса ce
      • Решения NCERT для класса 8 Английский
    • Решения NCERT для класса 9
      • Решения NCERT для класса 9 по социальным наукам
    • Решения NCERT для математики класса 9
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
      • Решения NCERT для математики класса 9, глава 2
      • Решения NCERT

      • для математики класса 9, глава 3
      • Решения NCERT для математики класса 9, глава 4
      • Решения NCERT для математики класса 9, глава 5
      • Решения NCERT

      • для математики класса 9, глава 6
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 7
      • Решения NCERT

      • для математики класса 9 Глава 8
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 9
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 10
      • Решения NCERT

      • для математики класса 9 Глава 11
      • Решения

      • NCERT для математики класса 9 Глава 12
      • Решения NCERT

      • для математики класса 9 Глава 13
      • NCER Решения T для математики класса 9 Глава 14
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
    • Решения NCERT для науки класса 9
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 3
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 4
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 5
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 6
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 7
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 8
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 9
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 10
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 12
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 11
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 13
      • Решения NCERT

      • для науки класса 9 Глава 14
      • Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
    • Решения NCERT для класса 10
      • Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
    • Решения NCERT для математики класса 10
      • Решения NCERT для класса 10 по математике Глава 1
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 2
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 3
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 4
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 5
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 6
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 7
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 8
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 9
      • Решения NCERT для математики класса 10, глава 10
      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 11
      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 12
      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава ter 13
      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 14
      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
    • Решения NCERT для науки класса 10
      • Решения NCERT для класса 10 науки Глава 1
      • Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 2
      • Решения NCERT для класса 10, глава 3
      • Решения NCERT для класса 10, глава 4
      • Решения NCERT для класса 10, глава 5
      • Решения NCERT для класса 10, глава 6
      • Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 7
      • Решения NCERT для класса 10, глава 8,
      • Решения NCERT для класса 10, глава 9
      • Решения NCERT для класса 10, глава 10
      • Решения NCERT для класса 10, глава 11
      • Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 12
      • Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 13
      • NCERT S Решения для класса 10 по науке Глава 14
      • Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 15
      • Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 16
    • Программа NCERT
    • NCERT
  • Commerce
    • Class 11 Commerce Syllabus
      • Учебный план класса 11
      • Учебный план бизнес-класса 11 класса
      • Учебный план экономического факультета 11
    • Учебный план по коммерции 12 класса
      • Учебный план класса 12
      • Учебный план бизнес-класса 12
      • Учебный план

      • Класс 12 Образцы документов для торговли
        • Образцы документов для предприятий класса 11
        • Образцы документов для коммерческих предприятий класса 12
      • TS Grewal Solutions
        • TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
        • TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
      • Отчет о движении денежных средств 9 0004
      • Что такое предпринимательство
      • Защита потребителей
      • Что такое основные средства
      • Что такое баланс
      • Что такое фискальный дефицит
      • Что такое акции
      • Разница между продажами и маркетингом

      9100003

    • Образцы документов ICSE
    • Вопросы ICSE
    • ML Aggarwal Solutions
      • ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
      • ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
      • ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
      • ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths Решения Математика класса 6
    • Решения Селины
      • Решения Селины для класса 8
      • Решения Селины для класса 10
      • Решение Селины для класса 9
    • Решения Фрэнка
      • Решения Фрэнка для математики 10 класса
      • Франк Решения для математики 9 класса

      9000 4

    • ICSE Class
      • ICSE Class 6
      • ICSE Class 7
      • ICSE Class 8
      • ICSE Class 9
      • ICSE Class 10
      • ISC Class 11
      • ISC Class 12
  • IC
    • 900 Экзамен по IAS
    • Экзамен по государственной службе
    • Программа UPSC
    • Бесплатная подготовка к IAS
    • Текущие события
    • Список статей IAS
    • Мок-тест IAS 2019
      • Мок-тест IAS 2019 1
      • Мок-тест IAS4

      2

    • Комиссия по государственной службе
      • Экзамен KPSC KAS
      • Экзамен UPPSC PCS
      • Экзамен MPSC
      • Экзамен RPSC RAS ​​
      • TNPSC Group 1
      • APPSC Group 1
      • Экзамен BPSC
      • Экзамен WPSC
      • Экзамен WPSC
      • Экзамен GPSC
    • Вопросник UPSC 2019
      • Ответный ключ UPSC 2019
    • 900 10 Коучинг IAS
      • Коучинг IAS Бангалор
      • Коучинг IAS Дели
      • Коучинг IAS Ченнаи
      • Коучинг IAS Хайдарабад
      • Коучинг IAS Мумбаи
  • JEE4
  • 9000 JEE 9000 Advanced

  • JEE Sample Paper
  • JEE Question Paper
  • Биномиальная теорема
  • Статьи JEE
  • Квадратичное уравнение
  • NEET
    • Программа BYJU NEET
    • NEET 2020
    • NEET Eligibility
    • NEET Eligibility
    • NEET Eligibility 2020 Подготовка
    • Программа обучения NEET
    • Поддержка
  • .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2022 © Все права защищены. Карта сайта