Алгоритм в математике: Алгоритм (в математике) — Викизнание… Это Вам НЕ Википедия!

Алгоритмы в математике — Студопедия

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида является универсальным способом, который позволяет вычислять наибольший общий делитель двух положительных целых чисел.

Описание алгоритма нахождения НОД делением:

1. Большее число делим на меньшее

2. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла). Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.

3. Переходим к пункту 1.

Найти НОД для 40 и 15.

40/15 = 2 (остаток 10)

15/10 = 1 (остаток 5)

10/5 = 2 (остаток 0). Конец: НОД – это делитель. НОД (40, 15) = 5

Описание алгоритма нахождения НОД вычитанием:

1. Из большего числа вычитаем меньшее

2. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла)

3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания

4. Переходим к пункту 1

Пример:

Найти НОД для 40 и 15.

40 – 15 = 25

25 – 15 = 10

15 – 10 = 5

10 – 5 = 5

5 – 5 = 0 Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (40, 15) = 5

Решето Эратосфена

Решето Эратосфена — это алгоритм нахождения простых чисел до заданного числа n. При исполнения данного алгоритма постепенно отсеиваются составные числа, кратные простым, начиная с числа 2.

Описание алгоритма:

1. Нужно выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n)

2. Пусть переменная p изначально равна двум — первому простому числу

3. Нужно зачеркнуть в списке числа от 2p до n считая шагами по p (это будут числа кратные p: 2p, 3p, 4p, …)

4. Найти первое незачеркнутое число в списке, большее, чем p, и присвоить значению переменной p это число

5. Повторять шаги 3 и 4, пока это возможно

Рисунок 2

Алгоритм при решении уравнений

Алгоритм нахождения неизвестного слагаемого

Для того чтобы вычислить неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое

Алгоритм нахождения неизвестного уменьшаемого

Для того чтобы вычислить неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое

Алгоритм нахождения неизвестного вычитаемого

Для того чтобы вычислить неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность

Алгоритм нахождения неизвестного множителя

Для того чтобы вычислить неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель

Алгоритм нахождения неизвестного делимого

Для того чтобы вычислить неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель

Алгоритм нахождения неизвестного делителя

Для того чтобы вычислить неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное

Алгоритмические действия с положительными и отрицательными числами

Алгоритм сложения двух отрицательных чисел

1. Определить, являются ли слагаемые отрицательными числами

2. Сложить модули слагаемых

3. Поставить перед полученной суммой знак «минус»

Алгоритм сложения чисел с разными знаками

1. Определить модуль какого из чисел больше

2. Вычесть из большего модуля меньший

3. Поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше

Алгоритм умножения чисел с разными знаками

1. Определить, являются ли умножаемое и множитель отрицательными числами.

2. Перемножить модули этих чисел

3. Поставить перед полученным произведение знак «минус»

Алгоритм деления отрицательного числа на отрицательное число

1. Определить, являются ли делимое и делитель отрицательными

2. Разделить модуль делимого на модуль делителя

Алгоритм деления чисел с разными знаками

1. Определить, являются ли делимое и делитель числами с разными знаками

2. Разделить модуль делимого на модуль делителя

3. Поставить перед полученным числом знак «минус»

Заключение

Понятие «алгоритм» вошло в наш обиход еще в IX веке и до сих пор является фундаментом для любых действий, как в точных науках, так и в обычной жизни. Это понятие входит в любую сферу деятельности человека.

Искусство выделять алгоритмическую сущность явлений и возводить методы – чрезвычайно важно для человека любой специальности. Понятие алгоритма значимо не только практическим применением, кроме того, оно имеет весомое общеобразовательное и мировоззренческое значение. Навыки алгоритмического мышления содействуют формированию определенного стиля культуры человека, основополагающими которого считаются: целеустремленность и сосредоточенность, объективность и точность, логичность и последовательность в планировании и исполнении своих действий, искусство верно и лаконично выражать собственные идеи, адекватно ставить задачу и выискать окончательные пути её решения, быстро ориентироваться в стремительном потоке информации.

Существуют огромное количество алгоритмов, которые помогают нам в решении задач и в программировании. Здесь я рассмотрела лишь малую часть известных алгоритмов в математике. Но алгоритм для каждой задачи не единственен. Для каждой задачи может существовать множество алгоритмов, приводящих к цели.

Список литературы

1. (2013). Получено из Алгоритмы, методы, исходники — сайт по алгоритмам и методам программирования.

2. (2014). Получено из Дискретная математика: Алгоритмы — список алгоритмов.

3. В., Ш.В. (б.д.). Слово „алгоритм“: происхождение и развитие. Журнал «Потенциал».

4. И., И.В. (2008). Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стер.. — М.: ИЦ «Академия».

5. Кнут, Д. (2006). Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс».

6. Кормен, Т.Х. (2014). Алгоритмы: вводный курс = Algorithms Unlocked. — М.: «Вильямс».

7. Томас Х. Кормен, Ч.И. (2013). Алгоритмы: построение и анализ, 3-е издание = Introduction to Algorithms, Third Edition. — М.:«Вильямс»,.

Размещено на Allbest.ru

Применение алгоритмов при обучении школьников математике

Сложившаяся в школе методическая система
обучения ориентирована на возможно более
высокий уровень усвоения школьником содержания
предмета. Такая ориентация была довольно
естественна в условиях, когда среднее
образование получала наиболее подготовленная
часть школьников, которые намеревались
продолжить своё образование в высших учебных
заведениях. Сложности возникли уже в то время и
особенно обострились теперь, когда в десятые
классы школы приходят ученики (от 30% до 60% общего
числа десятиклассников) не только не знающие
таблицу умножения, не умеющие решать простейшие
уравнения типа 6х = 1, складывать обыкновенные
дроби, но и просто ненавидящие математику. В этих
условиях ориентация на максимум усвоения
учебного материала приводит к заметной
перегрузке более слабых учащихся. Они находятся
в дискомфортном положении не справляющихся с
учёбой; развивается чувство собственной
неполноценности, которое по законам психологии
требует вытеснения, поиска удовлетворения в
других сферах.

Выход из этой ситуации в осуществлении
дифференцированного подхода к обучению учащихся
на основе явного выделения уровня
математической подготовки, обязательного для
каждого ученика школы. Следует иметь в виду, что
ограничение требований к части учащихся
связанное с ориентацией на обязательный минимум
знаний, вовсе не означает ослабление учебной
дисциплины или снижения требовательности к
сильным учащимся. Скорее, выделение
элементарного уровня овладения математическими
умениями позволяет формировать умения применять
известные способы и приёмы решения задач в
усложнённых и новых ситуациях, а также поднимать
уровень, соответствующий повышенным оценкам,
естественным образом.

Работая последние года в старших классах школы,
принимая учащихся из разных школ города, от
разных учителей, ребят с низким темпом
продвижения в обучении, испытывающих
затруднения при усвоении нового материала,
имеющих существенные пробелы в знаниях, я была
вынуждена решать сложную педагогическую задачу:
достижения всеми учениками уровня обязательных
результатов обучения.

Не претендуя на решение этой неразрешимой
проблемы, думаю, что можно терпимо относиться к
тем пробелам в знаниях, которые непосредственно
не мешают пониманию учебного материала. Если
ученик твёрдо заучил формулы и алгоритмы, даже не
вполне понимая их смысл, и умеет применять их при
решении упражнений, то у слабых учащихся вполне
можно удовлетвориться выработкой автоматизма.
Это и побудила меня заняться изучением и
применением на практике алгоритмизации
обучения.

Под алгоритмом в педагогической психологии
обычно понимают точное, общепонятное описание
определённой последовательности
интеллектуальных операций, необходимых и
достаточных для решения любой из задач,
принадлежащих некоторому классу.

Алгоритмическая деятельность может быть
описана разными способами: в виде программы
обычного алгоритма, в виде формулы, правила, с
помощью инструкции к таблице и т. д. Каждый из них
можно назвать способом задания алгоритма
решения задач определённого вида. Чем же
отличаются эти способы задания от обычного
способа задания алгоритма в виде пошаговой
задачи? Основное отличие в том, что формула,
таблица, правило являются свёрнутыми, между тем,
как обычная программная форма является
развёрнутой. Алгоритм, заданный в виде формулы,
правила и т. д., такой программы явно не
представляет: она предполагается, но не дана, её
ещё надо представить и вывести. В наших учебниках
дают алгоритмы, как правило в свёрнутом виде, а
ученик не умеет самостоятельно преобразовывать
его в развёрнутый вид, единственно пригодный для
решения задачи.

Так, например, формула (а + в)² = а² + 2ав
+ в² в свёрнутом виде обозначает алгоритмом
возведения в квадрат суммы двух выражений. Чтобы
применить её для решения какой-либо задачи,
ученик должен уметь развернуть её (устно, в уме) в
алгоритм – программу:

1. Указать первое и второе выражение.

2. Найти квадрат первого выражения.

3. Найти удвоенное произведение первого и
второго выражения

(можно сначала произведение, а затем удвоить)

4. Найти квадрат второго выражения.

5. Записать сумму (п. 2, 3, 4).

Можно составить программу иначе, подобно
алгоритму квадрата разности двух выражений:

1. Указать первое и второе выражение

(назвать первое и второе выражение)

2. После знака равенства записать квадрат
первого выражения.

3. Вычесть удвоенное произведение первого и
второго выражения.

4. Прибавить квадрат второго выражения.

5. Каждое слагаемое записать в стандартном виде.

При составлении такого типа алгоритмов –
программ удобнее формулы записать в виде:

Важно научить учащихся переходить от формулы,
словесного правила, определения и т. д. к
алгоритму – программе реализации этой формулы,
правила и т. д., научить ребят строить программы
по свёрнутым формам задания алгоритмов.

Обучение алгоритмам можно производить
по-разному. Давать учащимся алгоритмы в готовом
виде, чтобы они могли их просто заучить, а затем
закрепить во время упражнений. Но можно
организовать учебный процесс и так, чтобы
алгоритмы “открывались” самими учащимися. Этот
способ наиболее ценный в дидактическом
отношении.

Психологически было замечено, что, решая
какую-либо задачу с помощью алгоритма, ученик
идёт одним путём. Разбирая следующее,
аналогичное задание, не может выделить частный
случай; в связи с этим возникает у учащихся
неуверенность в своих действиях и решениях.
Особое внимание поэтому необходимо обратить на
изучение алгоритмов распознавания (т. е. таких
алгоритмов, которые предписывают, что и как нужно
делать, чтобы распознать к какому классу
принадлежит данный объект).

Составляя алгоритм – программу, необходимо
руководствоваться следующими принципами:

1. Теоретический фундамент алгоритма должны
   составлять теоретические сведенья, имеющие
   непосредственное отношение к нему.
2. Система предписаний, имея дискретный характер,
   должна быть общей по отношению к целому классу
   однородных задач.
3. По содержанию система предписаний должна быть
   полной или достаточной, т. е. обеспечивать на
   каждом конкретном шаге учебной деятельности
   учащихся однозначное получение промежуточной
   информации, которая в своём комплексе
   гарантирует получение конечного результата.
4. Система предписаний должна быть совместимой
   или непротиворечивой, т. е. каждое предыдущее
   предписание должно являться малой посылкой для
   последующего, а последующее – логическим
   следствием предыдущего.
5. Число пунктов программы не должно быть большим.
   Это обеспечивает его подвижность: объединение
   отдельных шагов или дробление шагов на более
   элементарные.
6. Система предписаний должна обеспечивать
   многократное решение однотипных задач, т. е.
   обладать свойством массовости.

Алгоритм составления уравнения
касательной к графику функции.

Уравнение касательной

Алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функций.

Знакомство учащихся с алгоритмами решения
задач осуществляется на уроке – лекции. Многие
ребята имеют отдельную тетрадь, в которую
записывают предписания и образец выполнения
задания. Дальнейшая отработка выполняется на
практических занятиях при различных формах
работы (фронтальной, групповой, индивидуальной).
В целях оперативного контроля за усвоением
алгоритма очень часто (каждый урок или через
урок) провожу небольшие самостоятельные работы,
цель которых – не выставление оценок, а
выявление тех учащихся, которые что-то не поняли.
Этим ребятам оказывается оперативная помощь
консультантами или объясняю ещё раз, вызывая к
доске. При организации работы в группах, часть
учащихся получает задания, направленные на
достижение обязательных результатов обучения,
причём, некоторые имеют перед собой образец
выполнения задания, а другие – только алгоритм,
более сильные учащиеся получают задания на
продвинутом уровне. На таком уроке моя работа
сосредоточена на более слабых учениках, в
сильной группе, как правило, всегда
коллективными усилиями находят верное решение,
самостоятельно применяя знания и приёмы
деятельности в новой ситуации. Оценивая
учащихся, не спешу выставлять оценки в журнал,
всегда даю возможность получить более высокую
отметку и обязательно поправить “двойку”, для
этого ученик должен сделать работу над ошибками
самостоятельно или с помощью консультантов (с
моей помощью),

АЛГОРИТМ, — это… Что такое АЛГОРИТМ,?

алгорифм, Ч точное предписание, к-рое задает вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного (из нек-рой совокупности возможных для данного А. исходных данных) и направленный на получение полностью определяемого этим исходным данным результата. А. являются, напр., известные из начальной школы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком; в этих А. возможными результатами служат натуральные числа, записанные в десятичной системе, а возможными исходными данными — упорядоченные пары таких чисел.

Вообще говоря, не предполагается, что результат будет обязательно получен: процесс применения А. к конкретному возможному исходному данному (т. е. алгоритмич. процесс, развертывающийся начиная с этого данного) может также оборваться безрезультатно (в этом случае говорят, что произошла безрезультатная остановка) или не закончиться вовсе. В случае, если процесс заканчивается (соответственно не заканчивается) получением результата, говорят, что А. применим (соответственно неприменим) к рассматриваемому возможному исходному данному. (Можно построить такой А. , для к-рого не существует А., распознающего по произвольному возможному для исходному данному, применим к нему или нет; такой А. можно, в частности, построить так, чтобы совокупностью его возможных исходных данных служил натуральный ряд.)

Понятие А. занимает одно из центральных мест в современной математике, прежде всего вычислительной.

Так, проблема численного решения уравнений данного типа заключается в отыскании А., к-рый всякую пару, составленную из произвольного уравнения этого типа и произвольного положительного рационального числа , перерабатывает в число (или набор чисел), отличающееся (отличающихся) от корня (корней) этого уравнения меньше, чем на . Усовершенствование цифровых вычислительных машин дает возможность реализовать на них все более сложные А. Однако встретившийся в описывающей понятие А. формулировке термин «вычислительный процесс» не следует понимать в узком смысле только цифровых вычислений: уже в школьном курсе алгебры говорят о буквенных вычислениях, да и в арифметич. вычислениях появляются отличные от цифр символы (скобки, знак равенства, знаки арифметич. действий). Целесообразно, таким образом, рассматривать А., оперирующие с произвольными символами и их комбинациями. Простейшим случаем такой комбинации является линейная последовательность символов, образующая слово, однако можно рассматривать и «нелинейные» комбинации — такие, как алгебраич. матрицы, знакосочетания в смысле Н. Бурбаки (N. Bour-baki), фразы того или иного языка с расставленными стрелками синтаксич. управления и, вообще, размеченные тем или иным способом графы. Наиболее общее интуитивное понимание состоит в том, что исходными данными и результатами А. могут служить самые разнообразные конструктивные объекты. Это открывает возможность широкого применения понятия А. Можно говорить об А. перевода с одного языка на другой, об А. работы поездного диспетчера (перерабатывающего информацию о движении поездов в приказы) и др. примерах алгоритмич. описания процессов управления; именно поэтому понятие А. является одним из центральных понятий кибернетики.

Пример алгоритма. Пусть возможными исходными данными и возможными результатами служат всевозможные слова в алфавите . Условимся называть переход от слова Xк слову Y»допустимым» в следующих двух случаях (ниже Робозначает произвольное слово): 1) X имеет вид аР, а Y имеет вид Рb;2) Xимеет вид bаР, a Y имеет вид Раbа. Формулируется предписание: «взяв к.-л. слово в качестве исходного, делай допустимые переходы до тех пор, пока не получится слово вида ааР;тогда остановись, слово Ри есть результат». Это предписание образует А., к-рый обозначим . Возьмем в качестве исходного данного слово bаbаа. После одного перехода получим bаааbа, после второго ааbааbа. В силу предписания мы должны остановиться, результат есть bааbа. Возьмем в качестве исходного данного слово bааbа. Получим последовательно аbааbа, bааbаb, аbаbаbа, bаbаbаb, bаbаbаbа,…. Можно доказать, что процесс никогда не кончится (т. е. никогда не возникает слово, начинающееся с аа, и для каждого из получающихся слов можно будет совершить допустимый переход). Возьмем теперь в качестве исходного данного слово аbааb. Получим bааbb, аbbаbа, bbаbаb. Далее мы не можем совершить допустимый переход, и в то же время нет сигнала остановки. Произошла безрезультатная остановка. Итак, применим к слову bаbаа и неприменим к словам bааbа и аbааb.

Значение алгоритмов. А. встречаются в науке на каждом шагу: умение решать задачу «в общем виде» всегда означает, по существу, владение нек-рым А. Говоря, напр., об умении человека складывать числа, имеют в виду не то, что он для любых чисел рано или поздно сумеет найти их сумму, а то, что он владеет нек-рым единообразным приемом сложения, применимым к любым двум конкретным записям чисел, т. е., иными словами, А. сложения (примером такого А. и является известное правило сложения чисел столбиком). Понятие задачи «в общем виде» уточняется при помощи понятия массовая алгоритмическая проблема (м. а. п.). М. а. п. задается серией отдельных, единичных проблем и состоит в требовании найти единый А. их решения (когда такого А. не существует, говорят, что рассматриваемая м. а. п. неразрешима). Так, проблема численного решения уравнений данного типа и проблема автоматического перевода суть м. а. п.: образующими их единичными проблемами являются в 1-м случае проблемы численного решения отдельных уравнений данного типа, а во 2-м случае — проблемы перевода отдельных фраз. Ролью м. а. сфера приложения понятия А.: напр., а алгебре возникают м. а. п. проверки алгебраич. равенств различных типов, в математич. логике — м. а. п. распознавания выводимости предложений из заданных аксиом и т. п. (для математич. логики понятие А. существенно еще и потому, что на него опирается центральное для математич. логики понятие исчисления, служащее обобщением и уточнением интуитивных понятий «вывода», и «доказательства»). Установление неразрешимости к.-л. м. а. п. (напр., проблемы распознавания истинности или доказуемости для к.-л. логнко-математич. языка) является важным познавательным актом, показывающим, что для решения конкретных единичных проблем данной серии принципиально необходимы специфические для каждой отдельной проблемы методы.

Содержательные явления, к-рые легли в основу образования понятия «А.», издавна занимали важное место в науке. С древнейших времен многие задачи математики заключались в поисках тех или иных конструктивных методов. Эти поиски, особенно усилившиеся в связи с созданием удобной символики, а также осмысления принципиального отсутствия искомых методов в ряде случаев (задача о квадратуре круга и подобные ей) — все это было мощным фактором развития научных знаний. Осознание невозможности решить задачу прямым вычислением привело к созданию в 19 в. теоретико-множественной концепции. Лишь после периода бурного развития этой концепции (в рамках к-рой вопрос о конструктивных методах в современном их понимании вообще не возникает) оказалось возможным в сер. 20 в. вновь вернуться к вопросам конструктивности, но уже на новом уровне, обогащенном выкристаллизовавшимся понятием А. Это понятие легло в основу конструктивного направления в математике.

Само слово «А.» происходит от algoritmi, являющегося, в свою очередь, латинской транслитерацией арабского имени хорезмийского математика 9 в. аль-Хорезми.

В средневековой Европе А. назывались десятичная позиционная система счисления и искусство счета в ней, поскольку именно благодаря латинскому переводу (12 в.) трактата аль-Хорезми Европа познакомилась с позиционной системой.

Строение алгоритмического процесса. Алгоритмич. процесс есть процесс последовательного преобразования конструктивных объектов (к. о.), происходящий дискретными «шагами»; каждый шаг состоит в смене одного к. о. другим. Так, при применении А. к слову baaba возникают последовательно baaba, abaaba, bааbаb и т. д. А при применении, скажем, А. вычитания столбиком к паре (307, 49) последовательно возникнут такие к. о.:

При этом в ряду сменяющих друг друга к. о. каждый последующий полностью определяется (в рамках данного А.) непосредственно предшествующим. При более строгом подходе предполагается также, что переход от каждого к. о. к непосредственно следующему достаточно «элементарен» — в том смысле, что происходящее за один шаг преобразование предыдущего к. о: в следующий носит локальный характер (преобразованию подвергается не весь к. о., а лишь нек-рая, заранее ограниченная для данного А. его часть, и само это преобразование определяется не всем предыдущим к. о., а лишь этой ограниченной частью).

Таким образом, наряду с совокупностями возможных исходных данных и возможных результатов для каждого А. имеется еще совокупность возможных промежуточных результатов, представляющая собой ту рабочую среду, в к-рой развивается алгорит-мич. процесс. Для А. все три совокупности совпадают, а для А. вычитания столбиком — нет: возможными исходными данными служат пары чисел, возможными результатами — числа (все в десятичной системе), а возможные промежуточные результаты суть «трехэтажные» записи вида где — запись числа в десятичной системе, — такая же запись или пустое слово, а р — запись числа в десятичной системе с допущением точек над нек-рыми цифрами. Как правило, для данного А. можно выделить 7 характеризующих его (не независимых) параметров: 1) совокупность возможных исходных данных, 2) совокупность возможных результатов, 3) совокупность возможных промежуточных результатов, 4) правило начала, 5) правило непосредственной переработки, 6) правило окончания, 7) правило извлечения результата.

«Уточнения» понятия алгоритма. Понятие А. в его общем виде принадлежит к числу основных первоначальных понятий математики, не допускающих определения в терминах более простых понятий. Возможные уточнения понятия А. приводят, строго говоря, к известному сужению этого понятия. Каждое такое уточнение состоит в -том, что для каждого из указанных 7 параметров А. точно описывается нек-рый класс, в пределах к-рого этот параметр может меняться. Выбор таких классов и отличает одно уточнение от другого. Поскольку 7 параметров однозначно определяют нек-рый А., то выбор 7 классов изменения этих параметров определяет нек-рый класс А. Однако такой выбор может претендовать на название «уточнения», лишь если имеется убеждение, что для произвольного А., имеющего допускаемые данным выбором совокупности возможных исходных данных и возможных результатов, может быть указан равносильный ему А. из определенного данным выбором класса А. Это убеждение формулируется для каждого уточнения в виде основной гипотезы, к-рая — при современном уровне наших представлений — не может быть предметом математич-доказательства.

Первые уточнения описанного типа предложили в 1936 Э. Л. Пост (Е. L. Post, см. [5]) и А. М. Тьюринг (А. М. Turing, см. [3], [4]), их конструкции во многом предвосхитили идеи, заложенные в основу современных цифровых вычислительных машин. Известны также уточнения, сформулированные А. А. Марковым (см. [10], [11], Нормальный алгорифм).и А. Н. Колмогоровым (см. [ 12], [ 13]; последний предложил трактовать конструктивные объекты как топологич. комплексы определенного вида, что дало возможность уточнить свойство «локальности» преобразования). Для каждого из предложенных уточнений соответствующая основная гипотеза хорошо согласуется с практикой. В пользу этой гипотезы говорит и то, что, как можно доказать, все предложенные уточнения в нек-ром естественном смысле эквивалентны друг другу.

В качестве примера рассмотрим уточнение, предложенное А. М. Тьюрингом. В своем оригинальном виде это уточнение заключалось в описании нек-рой абстрактной вычислительной машины, состоящей из: 1) бесконечной ленты, разбитой на следующие друг за другом в линейном порядке ячейки, причем в каждой ячейке записан к.-л. символ из так наз. «внешнего алфавита» машины, и 2) каретки, находящейся в каждый момент в нек-ром «состоянии» (из заданного конечного списка состояний), способной перемещаться вдоль ленты и изменять содержимое ячеек; А. вычислений на такой машине («тыорингов А.») задается в виде программы, управляющей действиями каретки. Более подробное и точное описание см. в статье Тьюринга машина;здесь приводится модернизированное изложение конструкции Тьюринга в терминах, указанных выше 7 параметров. Чтобы задать тыорингов А., надо указать: а) попарно непересекающиеся алфавиты Б, Д, Ч с выделенной в Дбуквой и выделенными в Чбуквами и , б) набор пар вида , где , а Тесть один из трех знаков — , 0, +, причем предполагается, что в этом наборе (наз. программой) нет 2 пар с одинаковыми первыми членами. Параметры А. задаются так: возможными исходными данными и возможными результатами служат слова в Б, а возможными промежуточными результатами — слова в алфавите содержащие не более одной буквы из Ч. Правило начала: исходное слово Рпереводится в слово . Правило окончания: заключительным является промежуточный результат, содержащий со. Правило извлечения результата: результатом объявляется цепочка всех тех букв заключительного промежуточного результата, к-рая идет вслед за w и предшествует первой букве, не принадлежащей Б. Правило непосредственной переработки, переводящее , состоит в следующем. Приписываем к Аслева и справа букву ; затем в образовавшемся слове часть вида , где , , заменяем на слово Qпо следующему правилу: в программе ищется пара с первым членом ; пусть второй член этой пары есть ; если есть -, то ; если Тесть 0, то ; если Тесть +, то Возникающее после этой замены слово и есть А’.

Лит. см. [3]-[5], [10]-[13] при СТ. Алгоритмов теория, В. А. Успенский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.

Циклические алгоритмы

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: изучение алгоритмической структуры циклы, создание моделей и алгоритмов для решения практических задач.

Ход урока

I. Актуализация знаний

• Повторить понятие алгоритма, основные конструкции алгоритмического языка.
• Уметь разрабатывать математическую модель, алгоритм и блок схему решения задачи.
• Иметь понятие о языках программирования и их назначении.
• Уметь работать в среде программирования.
• Знать структуры программы.
• Уметь записывать выражения, содержащие числовые и символьные величины.
• Знать структуры операторов и особенности их работы.
• Уметь применять операторы при написании программ с линейными и ветвящимися структурами.
• Уметь на компьютере создавать и запускать программы на отладку.

II. Теоретический материал урока

Большинство практических задач требует многократного повторения одних и тех же действий, т. е. повторного использования одного или нескольких операторов. (Презентация)

Пусть требуется ввести и обработать последовательность чисел. Если чисел всего пять, можно составить линейный алгоритм. Если их тысяча, записать линейный алгоритм можно, но очень утомительно и нерационально. Если количество чисел к моменту разработки алгоритма неизвестно, то линейный алгоритм принципиально невозможен.

Другой пример. Чтобы найти фамилию человека в списке, надо проверить первую фамилию списка, затем вторую, третью и т.д. до тех пор, пока не будет найдена нужная или не будет достигнут конец списка. Преодолеть подобные трудности можно с помощью циклов.

Циклом называется многократно исполняемый участок алгоритма (программы). Соответственно циклический алгоритм — это алгоритм, содержащий циклы.

Различают два типа циклов: с известным числом повторений и с неизвестным числом повторений. При этом в обоих случаях имеется в виду число повторений на стадии разработки алгоритма.

Существует 3 типа циклических структур:

• Цикл с предусловием;
• Цикл с послеусловием;
• Цикл с параметром;

Иначе данные структуры называют циклами типа «Пока», «До», «Для».

Графическая форма записи данных алгоритмических структур:

Цикл с предусловием (иначе цикл пока) имеет вид:

где

условие – выражение логического типа.

Цикл может не выполняться ни разу, если значение логического выражения сразу же оказывается ложь.

Серия команд, находящихся между begin и end, выполняются до тех пор, пока условие истинно.

Для того чтобы цикл завершился, необходимо, чтобы последовательность инструкций между BEGIN и END изменяла значение переменных, входящих в условие.

Цикл с постусловием (иначе цикл до) имеет вид:

где

условие – выражение логического типа.

Обратите внимание:

Последовательность инструкций между repeat и until всегда будет выполнено хотя бы один раз;

Для того чтобы цикл завершился, необходимо, чтобы последовательность операторов между repeat и until изменяла значения переменных, входящих в выражение условие.

Инструкция repeat, как и инструкция while, используется в программе, если надо провести некоторые повторяющиеся вычисления (цикл), однако число повторов заранее не известно и определяется самим ходом вычисления.

Цикл с параметром (иначе цикл для) имеет вид:

где

i – параметр цикла;

a – начальное значение цикла;

b – конечное значение цикла;

h – шаг изменения параметра.

Структура данного цикла иначе называют циклом i раз.

Эта команда выполняется таким образом: параметру i присваивается начальное значение а, сравнивается с конечным значением b и, если оно меньше или равно конечному значению b, выполняется серия команд. Параметру присваивается значение предыдущего, увеличенного на величину h – шага изменения параметра и вновь сравнивается с конечным значением b.

На языке программирования Паскаль шаг изменения параметра может быть равным одному или минус одному.

Если между begin и end находится только один оператор, то операторные скобки можно не писать. Это правило работает для цикла типа «Пока» и «Для».

Рассмотрим пример решения задач с использованием данных структур

Пример.

Вычислить произведение чисел от 1 до 5 используя различные варианты цикла

Математическая модель:

Р= 1· 2· 3· 4· 5=120

Составим алгоритм в виде блок-схемы.

Для проверки правильности алгоритма заполним трассировочную таблицу.

Проверка условия происходит в несколько шагов: проверка условия и выполнение команд на одной из ветвей. Поэтому в трассировочной таблице записываются не команды алгоритма, а отдельные операции, выполняемые компьютером на каждом шаге.

Шаг первый: Р присваивается значение один.

Шаг второй: i присваивается значение один.

Шаг третий: при i равном единице проверяем условие один меньше или равен пяти, да, условие истинно, значит Р присваивается значение один умноженное на один, будет два. Для i: один плюс один, будет два.

Шаг четвертый: при i равном двум проверяем условие два меньше или равен пяти, да, условие истинно, значит Р присваивается значение 2 умноженное на один, будет 2. Для i: два плюс один, будет три.

Шаг пятый: при i равном трем проверяем условие три меньше или равен пяти, да,

15 важнейших алгоритмов, которые помогли определить математику, вычисления и физику

Алгоритмы используются всеми нами постоянно, с нашим непосредственным знанием или без него. У них есть приложения во многих различных дисциплинах, от математики и физики до, конечно же, вычислений .

Оказывается, алгоритмов имеют долгую и выдающуюся историю, уходящую корнями в древние месопотамские времена. Но какой из этих сложных вычислительных процессов можно считать одними из самых важных?

Это 15 наиболее вероятных кандидатов.

СВЯЗАННЫЙ: КАК АЛГОРИТМЫ РАБОТАЮТ В МИРЕ, В КОТОРОМ МЫ ЖИВЕМ чем вы могли ожидать. С древнего Вавилона до наших дней алгоритмы были важной особенностью нашего общества на протяжении тысячелетий.

Алгоритмы буквально управляют современным миром, Источник : Маркус Списке / Flickr

Самыми первыми примерами были простые алгоритмы, которые использовались древними для отслеживания своего зерна и домашнего скота, среди прочего.Вслед за ними и с появлением формализованной системы счисления были достигнуты другие технологические и концептуальные скачки, включая изобретение счётов, алгебры и концепции переменных.

Древнегреческие мыслители, такие как Евклид, Архимед и Эратосфен, использовали ранние алгоритмы для таких вещей, как определение наибольшего общего делителя различных чисел, приближение числа Пи и вычисление простых чисел.

Со временем такие умения приведут к появлению символов и правил, используемых при разработке систем оценки.

Считается, что сам термин «алгоритм» берет свое начало от персидского астронома и математика IX века Мухаммада ибн Муса аль-Харизми. Этот человек широко известен как человек, который первым ввел десятичное позиционирование в числовую систему западного мира.

Его фамилия, латинизированная как Algorithmi, станет синонимом инструкций по выполнению вычислений для выполнения задач.

Ему также приписывают разработку первой в мире системы для решения линейных и квадратных уравнений.Первоначальные, хотя и рудиментарные формы алгоритмов, называемые алгоритмами , рассматривались как правила для выполнения арифметических вычислений с индуистско-арабскими цифрами.

Источник: Vertigo3d / iStock

Следующий крупный скачок в истории алгоритмов произошел в 1800-х годах благодаря работам великого Джорджа Буля. Многие другие продвигали алгоритмы вперед в 19 и 20 веках, в том числе Джузеппе Пеано и Ада Лавлейс, и это лишь некоторые из них.

Но благодаря работам Эмиля Поста и Алана Тьюринга в 1930-х годах алгоритмы существенно улучшатся, что в конечном итоге приведет к созданию современного компьютера.Больше ничего не будет прежним.

Какие алгоритмы являются наиболее важными?

Итак, без лишних слов, вот несколько примеров самых важных алгоритмов всех времен. Список включает древние примеры, а также некоторые из самых новаторских алгоритмов компьютерных наук и алгоритмов программирования в истории.

Следующий список алгоритмов далеко не исчерпывающий и не имеет определенного порядка.

1. Вавилонские алгоритмы — самые старые из когда-либо обнаруженных

Создатель: Неизвестно

Когда он был создан: около 1600 г. до н.э.

Его влияние / последствия для мира: Первый известный алгоритм в мире

18-й Медицинская табличка века до нашей эры, Источник : Усама Шукир Мухаммед Амин FRCP / Wikimedia Commons

Хотя есть некоторые свидетельства ранних алгоритмов умножения в Египте (около 2000-1700 гг. До н.э., ), самый старый письменный алгоритм широко признан был найден на наборе вавилонских глиняных табличек, датируемых примерно 1800-1600 годами до нашей эры.

Их истинное значение стало известно только около 1972 годов, когда компьютерный ученый и математик Дональд Э. Кнут опубликовал первые английские переводы различных клинописных математических табличек.

Вот некоторые выдержки из его рукописи 1972 , которые объясняют эти ранние алгоритмы: —

«Расчеты, описанные в вавилонских таблицах, не просто решения конкретных индивидуальных проблем; они фактически являются общими процедурами для решения целого класса проблем. .«- Страницы 672–673« Древних вавилонских алгоритмов ».

Таблицы также, кажется, были ранней формой руководства по эксплуатации: —

« Обратите внимание также на стереотипное окончание «Это процедура», которое обычно встречается в конце каждого раздела на таблице. Таким образом, вавилонские процедуры являются подлинными алгоритмами, и мы можем похвалить вавилонян за разработку прекрасного способа объяснения алгоритма на примере, когда сам алгоритм определялся … »- Страницы 672–673« Древних вавилонских алгоритмов ».

2. Алгоритм Евклида все еще используется сегодня

Создатель: Евклид

Когда он был создан: 300 г. до н.э.

Его влияние / последствия для мира: Алгоритм Евклида — один из самых ранних алгоритмов создан и с некоторыми изменениями до сих пор используется компьютерами.

Сравнение методов Евклида и Никомаха для поиска НОД, Источник : Wvbailey / Wikimedia Commons

Алгоритм Евклида — это процедура, используемая для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух положительных целых чисел.Впервые он был описан Евклидом в его рукописи Elements , написанной около 300 г. до н.э. г.

Это очень эффективное вычисление, которое до сих пор в той или иной форме используется компьютерами.

Алгоритм Евклида требует последовательного деления и вычисления остатков до достижения результата. Лучше всего это описать на примере:

Что такое НОД 56 и 12?

Шаг 1 — Разделите большее на меньшее число: —

56/12 = 4 (остаток 8)

Шаг 2 — Разделите делитель на остаток от предыдущего шага: —

12/8 = 1 ( остаток 4)

Шаг 3 — Продолжайте шаг 2 до тех пор, пока не останутся остатки (в данном случае это простой трехэтапный процесс): —

8/4 = 2 (без остатка)

В этом случае GCD равен 4 .

Этот алгоритм широко используется для приведения обыкновенных дробей к наименьшим членам и в сложных математических приложениях, таких как поиск целочисленных решений линейных уравнений.

3. Сито Эратосфена — древний простой алгоритм.

Создатель : Эратосфен

Когда оно было создано: 200 г. до н.э.

Его влияние / значение на мир: Сито Эратосфена широко принят как один из самых древних алгоритмов всех времен.Это позволяет вам найти все простые числа в таблице заданных чисел (столько, сколько вы хотите включить).

Источник : Роберт Монтгомери / Flickr

Чтобы выполнить это, вы находите все числа больше 2, затем вычеркиваете те, которые делятся на 2. Затем вы делаете то же самое для неперечеркнутых чисел больше 3, поэтому далее до бесконечности , пока все составные (непростые) числа не будут вычеркнуты.

4. Логическая (двоичная) алгебра была основой информационной эры

Создатель : Джордж Буль

Когда она была создана: 1847

Ее влияние / значение на мир: Этот алгоритм широко используется признана основой современного компьютерного кодирования.Он все еще используется сегодня, особенно в компьютерных схемах.

Источник : Уильям Мерфи / Wikimedia Commons

Возможно, вы знакомы с термином Булево из математики, логики и компьютерного кодирования.

Булева алгебра — это раздел алгебры, в котором переменная может быть только истинной или ложной — так называемые значения истинности (обычно двоичные 1 или 0). Впервые его изобрел Джордж Буль в его работе 1845 Исследование законов мышления .

Булева алгебра широко считается основой информационной эпохи.

5. Алгоритм Ады Лавлейс был первой компьютерной программой

Создатель : Ада Лавлейс

Когда он был создан: 1842

Его влияние / последствия для мира: Этот алгоритм широко признан первым компьютерная программа.

Источник : Ада Лавлейс / Wikimedia Commons

Ада Лавлейс потратила большую часть года на перевод одной из лекций Чарльза Бэббиджа (которая была переведена на французский итальянский инженер) на английский язык.Во время этого процесса она послушно добавила дополнительные пояснительные примечания.

Ее записи были помечены буквами A — G, причем последняя описывала алгоритм «аналитического механизма» для вычисления чисел Бернулли. Примечание G сейчас широко признано как первый записанный пример компьютерного кода, что делает ее первым в мире программистом.

Двигатель так и не был построен, и поэтому ее алгоритм никогда не тестировался при ее жизни. Ее работы были повторно открыты в 1953 годах, когда ее записи были переизданы.

6. Быстрое преобразование Фурье разбивает сигналы на частоты

Создатель : Карл Гаусс, Джозеф Фурье, Джеймс Кули и Джон Тьюки

Когда оно было создано: 1802, 1822, 1965

Его влияние / Значение для мира: Этот алгоритм используется для разбивки сигнала на составляющие его частоты — подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в частотах или высотах каждой ноты в нем.

Источник : DaveSGage / Wikimedia Commons

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (FTT) может проследить свое происхождение от Карла Гаусса, который первым создал его для расчета траекторий астероидов.Позднее формула была расширена Жозефом Фурье в 1822 .

Но более современная и широко используемая форма алгоритма была создана и опубликована Джеймсом Кули и Джоном Тьюки в 1965 . Эта версия является наиболее прогрессивным алгоритмом в прикладной математике и произвела революцию в обработке сигналов.

«БПФ опирается на стратегию« разделяй и властвуй »для сокращения якобы O (N2) рутинной работы до O (N log N) резвости. Но в отличие от Quicksort, реализация (на первый взгляд) неинтуитивна и непроста.Это само по себе дало информатике толчок к исследованию внутренней сложности вычислительных задач и алгоритмов ». — Барри А. Ципра.

7. Алгоритм ранжирования Google (PageRank) может быть наиболее широко используемым алгоритмом

Создатель: Ларри Пейдж (в основном) и Сергей Брин

Когда он был создан: 1996

Его влияние / последствия для мира: PageRank, возможно, является наиболее часто используемым алгоритмом в мире сегодня. Это, конечно же, основа ранжирования страниц в поисковой системе Google.

Источник : PhotoMIX-Company / Pixabay

Интересно, что PageRank назван в честь Ларри Пейджа, а не буквально означает «ранжировать веб-страницы». Это не единственный алгоритм, который Google использует в настоящее время для упорядочивания страниц в результатах поиска, но это самый старый и самый известный из них.

PageRank был разработан Ларри Пейджем и Сергеем Брином, когда они учились в Стэнфордском университете в рамках своего исследовательского проекта по поисковой системе нового типа.

Основная идея заключалась в ранжировании страниц по их относительной важности или популярности.Вообще говоря, страницы, которые появляются выше в иерархии, имеют больше обратных ссылок или ссылок на них.

Алгоритм PageRank определяется по следующей формуле:

PR (A) = (1-d) + d (PR (T1) / C (T1) + … + PR (Tn) / C (Tn) )

где:

• PR (A) — это PageRank страницы A,
• PR (Ti) — PageRank страниц Ti, которые ссылаются на страницу A,
• C (Ti) — количество исходящих ссылок на страница Ti и;
• d — коэффициент демпфирования, который может быть установлен от 0 до 1.

Мы видим, что этот алгоритм не ранжирует сайты в целом, а ранжирует каждую страницу в отдельности. Его также можно сравнить со «схемой пирамиды», в которой определенная страница ранжируется рекурсивно в зависимости от того, какие другие страницы ссылаются на нее.

PageRank в последние годы потерял популярность, но до сих пор используется как часть общего набора других алгоритмов в Google.

8. Метод Монте-Карло (алгоритм Метрополиса) использовался в Лос-Аламосе.

Создатель: Джон фон Нейман, Стэн Улам и Ник Метрополис

Когда он был создан: 1946

Его влияние / последствия на the world: Он использовался как кодовое слово Лос-Аламоса для стохастического моделирования, примененного для создания более совершенных атомных бомб после Второй мировой войны.

Базовая визуализация метода Монте-Карло, Источник : —pbroks13 / Wikimedia Commons

Метод Монте-Карло определяется следующим образом: «Монте-Карло — это искусство приближения математического ожидания выборочным средним для функции смоделированного случайные переменные.»

Этот важный алгоритм используется для приближения решений числовых задач неуправляемой сложности путем имитации случайного процесса. Он полагается на повторную случайную выборку для получения результата — по сути, использование случайности для решения проблем, которые в принципе могут быть детерминированными.

Алгоритм широко используется в физических и математических задачах и наиболее полезен, когда трудно или невозможно использовать другие подходы.

Методы Монте-Карло в основном используются в трех классах задач: оптимизация, численное интегрирование и получение результатов на основе распределения вероятностей.

9. Симплексный метод линейного программирования получил широкое распространение в промышленности

Создатель: Джордж Данциг

Когда он был создан: 1947

Его влияние / последствия для мира: Симплексный метод линейного программирования программирование — один из самых успешных алгоритмов всех времен.Он широко использовался в мире промышленности или в любой другой ситуации, когда экономическое выживание зависит от способности максимизировать эффективность в рамках бюджета и / или других ограничений.

Источник: Марк Сомервилль / YouTube

Этот алгоритм, разработанный Джорджем Данцигом в 1947 году, стал одним из самых распространенных в истории, несмотря на то, что большинство реальных проблем очень редко бывают линейными по своей природе.

Однако он предлагает простой и элегантный способ поиска решений проблем.Некоторые отметили, что на него могут влиять экспоненциальные задержки, но в остальном он очень эффективен — для завершения обычно требуется от 2 м (где м — число ограничений равенства) до 3 м итераций.

Он работает, используя систематическую стратегию для генерации и проверки возможных решений вершин в линейной программе. На каждой итерации алгоритм выбирает переменную, которая вносит наибольшие изменения в решение с минимальной стоимостью.

Затем эта переменная заменяет одну из своих ковеременных, которая наиболее сильно ее ограничивает, тем самым смещая симплекс-метод к другой части набора решений и к окончательному решению.

10. Методы итерации подпространства Крылова используются до сих пор.

Создатель (если известен): Магнус Хестенес, Эдуард Штифель и Корнелиус Ланцош

Когда оно было создано (если известно): 1950

Его влияние / Impactations on the world: Итерационный метод подпространства Крылова входит в десятку самых важных классов численных методов в мире.

Итерационные методы подпространства Крылова представляют собой набор алгоритмов, которые были разработаны в Институте численного анализа Национального бюро стандартов в 1950-х годах.Они обращаются к обманчиво простой задаче решения уравнений вида Ax = b.

Конечно, все не так просто, A — это огромная матрица размером n на n. Следовательно, это означает, что алгебраический ответ x = b / A не совсем детская игра для вычисления.

«Итерационные методы, такие как решение уравнений вида Kx _i + 1 = Kx _i + b — Axi с ​​более простой матрицей K, которая идеально« близка »к A, — приводят к изучению подпространств Крылова. для русского математика Николая Крылова подпространства Крылова натянуты на степени матрицы, примененной к начальному вектору «остатка» r ₀ = b — Ax ₀ .»- Барри А. Ципра.

» Ланцош нашел изящный способ генерировать ортогональный базис для такого подпространства, когда матрица симметрична. Хестенс и Штифель предложили еще более изящный метод, известный как метод сопряженных градиентов, для систем, которые являются как симметричными, так и положительно определенными ».

Эти алгоритмы постоянно изменялись в течение последних 50 лет. Их текущие итерации для несимметричных систем включают Обобщенный метод минимального остатка (GMRES) и метод стабилизации биконъюгированного градиента (Bi-CGSTAB).

11. Фильтр Калмана отлично подходит для предсказания будущего, вроде

Создатель: Рудольф Э. Кальман

Когда он был создан (если известен): 1958-1961

Его влияние / последствия для world: Фильтр Калмана — это универсальный и мощный инструмент для объединения информации в условиях неопределенности.

Источник: Alma News / YouTube

Фильтрация Калмана, также известная как линейно-квадратичная оценка (LQE), — это алгоритм, который использует серию измерений, наблюдаемых во времени и включающих статистический шум, для получения оценки неизвестных переменных с помощью совместной вероятности. распространение.

Другими словами, это помогает вам сделать обоснованное предположение о том, что система, вероятно, будет делать дальше, в разумных пределах, конечно. Фильтры Калмана отлично подходят для ситуаций, когда системы постоянно меняются.

Еще одна замечательная особенность этого алгоритма заключается в том, что он не занимает много «памяти». Для прогресса необходим только результат предыдущего шага, что делает его очень быстрым и идеально подходящим для решения проблем в реальном времени.

12. QR-алгоритмы для вычисления собственных значений оказались невероятно полезными

Создатель: Джон Г.Ф. Фрэнсис и Вера Н. Кублановская независимо друг от друга

Когда он был создан: Конец 1950-х годов

Его влияние / последствия для мира: QR-алгоритм значительно упрощает вычисление собственных значений (которые являются наиболее важными связанными числами с матрицами). После его разработки расчет этих надоедливых чисел стал рутинной задачей, а не сложным и трудоемким процессом.

Источник: JoLynne Martinez / Flickr

QR-алгоритм, также известный как алгоритм собственных значений, важен в числовой линейной алгебре.Помимо возможности быстрого вычисления собственных значений, он также помогает в обработке собственных векторов в данной матрице.

Его основная функция — выполнить QR-разложение, записать матрицу как произведение ортогональной матрицы и верхней треугольной матрицы, а также умножить множители в обратном порядке и выполнить итерацию.

13. Формулировка оптимизирующего компилятора Фортрана может стать самым важным событием в истории программирования

Создатель: Джон Бэкус (и команда IBM)

Когда он был создан: 1957

Его влияние / последствия для мира: Вполне возможно, самый важный алгоритм / событие в компьютерном программировании.

Источник: GLMEW / Wikimedia Commons

Fortran был разработан Джоном Бэкусом и его командой в IBM в конце 1950-х годов. Он позволил ученым и другим пользователям фактически сообщать компьютеру, что они хотят, чтобы он делал, без необходимости получать «Увязли» в мелочах машинного кода. Оптимизирующий компилятор Fortran скромен по современным стандартам и содержит «23 500 инструкций на языке ассемблера — тем не менее ранний компилятор был способен выполнять удивительно сложные вычисления». — Барри А.Cipra.

Бэкус признал его значение для мира позже, в 1998 году, когда он вспомнил историю Fortran I, II и III для IEEE Annals of the History of Computing . Компилятор, по словам Бэкуса, «создал код такой эффективности, что его результаты поразили бы программистов, которые его изучали».

14. Quicksort отлично помогает сортировать вещи

Создатель: Тони Хоар из Elliott Brothers, Limited, Лондон

Когда он был создан: 1962

Его влияние / последствия для мира: Он предоставил средство быстрой и эффективной сортировки списков по алфавиту и числам.

Пример быстрой сортировки по случайному набору чисел. Источник: Znupi / Wikimedia Commons

Сортировка определенного количества вещей в алфавитном или цифровом порядке всегда была трудоемкой и утомительной задачей. Тони Хоару удалось в 1962 разработать алгоритм для быстрого выполнения этой задачи.

Его алгоритм Quicksort использовал рекурсивную стратегию «разделяй и властвуй» для быстрого достижения решения. Это окажется в два-три раза быстрее, чем его основные конкуренты, объединяющие сортировку слиянием и сортировку в кучу.

Он работает, выбирая один элемент в качестве «стержня». Все остальные затем сортируются на «большие» и «меньшие» группы элементов относительно оси поворота.

Затем этот процесс повторяется для каждой стопки.

«Хотя можно застрять, выполняя все сравнения N (N — 1) / 2 (особенно если вы используете в качестве точки поворота первый элемент в уже отсортированном списке!), Quicksort работает в среднем с O (N log N ) эффективность «. — Барри А. Ципра.

Простота и элегантность этого алгоритма снискали ему большую похвалу в свое время и сделали его образцом вычислительной сложности в конце 1990-х годов.

15. JPEG и другие алгоритмы сжатия данных невероятно полезны

Создатель: Joint Photographic Experts Group, IBM, Mitsubishi Electric, AT&T, Canon Inc., Исследовательская группа ITU-T 16

Когда он был создан: 1992

Его влияние / последствия для мира: Алгоритмы сжатия данных, такие как JPEG, MP3, zip или MPEG-2, широко используются во всем мире. Большинство из них стали стандартом de facto для своего конкретного приложения.Со временем они сделали компьютерные системы дешевле и эффективнее.

Источник : Basile Morin / Wikimedia Commons

Трудно выделить один конкретный алгоритм сжатия данных, поскольку их ценность или важность зависит от приложений файлов. Сегодня они стали настолько распространенными, что используются всякий раз, когда вы загружаете файл на свой компьютер, воспроизводите музыку или видеоигры, транслируете видео, используете базу данных или взаимодействуете с облаком.

.

math — символьная математика в алгоритмах

Переполнение стека

1. Около

2. Продукты

3. Для команд

1. Переполнение стека
   Общественные вопросы и ответы

2. Переполнение стека для команд
   Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

3. Вакансии
   Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

4. Талант
   Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

5. Реклама
   Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

6. О компании

.

math — Математика, участвующая в анализе алгоритмов

Переполнение стека

1. Около

2. Продукты

3. Для команд

1. Переполнение стека
   Общественные вопросы и ответы

2. Переполнение стека для команд
   Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

3. Вакансии
   Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

4. Талант
   Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

5. Реклама
   Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

.

алгоритм Евклида | математика | Britannica

Алгоритм Евклида , процедура нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, описанная греческим математиком Евклидом в его Elements ( c. 300 до н. Э.). Этот метод эффективен в вычислительном отношении и, с небольшими изменениями, до сих пор используется компьютерами.

Подробнее по этой теме

арифметика: фундаментальная теория

… процесс, известный как алгоритм Евклида , который работает, потому что GCD a и b равны…

Алгоритм предполагает последовательное деление и вычисление остатков; лучше всего это проиллюстрировать на примере. Например, чтобы найти НОД 56 и 12, сначала разделите 56 на 12 и обратите внимание, что частное равно 4, а остаток равен 8. Это можно выразить как 56 = 4 × 12 + 8. Теперь возьмем делитель (12). , разделите его на остаток (8) и запишите результат как 12 = 1 × 8 + 4. Продолжая таким же образом, возьмите предыдущий делитель (8), разделите его на предыдущий остаток (4) и запишите результат как 8 = 2 × 4 + 0.Поскольку остаток теперь равен 0, процесс завершен, и последний ненулевой остаток, в данном случае 4, является НОД.

Алгоритм Евклида полезен для сокращения общей дроби до наименьших членов. Например, алгоритм покажет, что НОД для 765 и 714 равно 51, и, следовательно, 765/714 = 15/14. Он также имеет ряд применений в более продвинутой математике. Например, это основной инструмент, используемый для поиска целочисленных решений линейных уравнений a x + b y = c , где a , b и c являются целыми числами.Алгоритм также предоставляет в качестве последовательных частных, полученных в процессе деления, целые числа a , b ,…, f , необходимые для разложения дроби p / q в виде непрерывной дроби:
a + 1 / ( b + 1 / ( c + 1 / ( d … + 1/ f )

.