Больше меньше или равно правило: Больше, меньше, равно — урок. Математика, 1 класс.

Операции сравнения чисел

Операции сравнения чисел

В условных инструкциях, в инструкциях цикла, как правило используются сравнения вида x > 0 или a != b (числа a и b не равны), то есть некоторое логическое выражение. В таких выражениях как правило используются операции сравнения (равно, неравно, меньше, больше и т.д.).

В языке C подобные операции возвращают значение типа int, либо 0, что считается ложью, либо 1, которое означает истину. В языке C++ для этого есть специальный логический тип bool.

Переменные логического типа bool принимают два значения: true (истина) и false (ложь). Также любое целочисленное выражение можно трактовать, как логическое выражение, при этом нулевое целое число означает ложь, а ненулевое — истину. Таким образом, если вместо условия написать false или 0, то оно будет всегда ложно, если же указать true, 1 или любое ненулевое число, то условие будет истинно.

Как правило, в качестве проверяемого условия используется результат вычисления одного из следующих операторов сравнения:

Например, условие (x * x < 1000) означает “значение x * x меньше 1000”, а условие (2 * x != y) означает “удвоенное значение переменной x не равно значению переменной y”.

Будьте аккуратны: оператор == (два знака равенства) — это проверка на равенство двух выражений, а оператор = (один знак равенства) — это присваивание одной переменной значения выражения и использование его в условии оператора ветвления в большинстве случаев является ошибкой.

Рассмотрим эту типичную ошибку на следующем примере:

    int a, b;
    cin >> a >> b;
    if (a = b)
    {
        cout << "Числа равны" << endl;
    }
    else
    {
        cout << "Числа не равны" << endl;
    }

Здесь по ошибке вместо операции сравнения == использована операция присваивания =. Поэтому при любых значениях a и b переменной a будет присвоено значение переменной b, при проверке истинности выражения a = b. Но оператор присваивания еще и возвращает значение, поэтому если значение b было ненулевым (а это интерпретируется, как истина), то программа выведет строку «Числа равны», а если нулевым — то строку «Числа не равны». При этом значение переменной a может быть вообще любым.

Открытый урок математики «Знаки больше, меньше, равно» (1 класс)

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №7»

Открытый урок математики

1 класс, 2016 — 2017 учебный год

программа: «Школа России»

учитель: Жадова Мария Викторовна

Тема урока: Знаки «>» (больше), «<» (меньше), «=» (равно).

Тип урока: усвоение нового материала

Вид урока: проблемно-исследовательский урок

Технология: проблемного обучения и воспитания

Форма проведения: урок – исследование

Цель урока: открытие универсального способа сравнения совокупности предметов (чисел) с помощью знаков «>», «<», «=».

Задачи урока:

— Обучающая – создать условия для введения в практическую деятельность учащихся знаков «больше», «меньше», «равно».

— Развивающая – способствовать развитию у учащихся математической речи; коммуникативных качеств личности (умение работать в паре, вести учебный диалог, проводить самооценку).

— Воспитывающая – сотрудничество, товарищеские отношения друг к другу, при работе в парах.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний

1. Логическая разминка

-Составьте 2 треугольника из шести палочек

-Составьте 2 треугольника из пяти палочек

(ответы на откидной доске)

2. Устный счет

— Сосчитайте от 1 до 10

— Сосчитайте от 10 до 1

— от 1 до 10 через один: 1, хлопок, 3, хлопок…

— от 1 до 10 через один, начиная с хлопка: хлопок, 2, хлопок, 4.

3. Самоопределение к деятельности

(Один ученик работает у доски, остальные на местах)

— положите 2 зеленых квадрата, а ниже 3 синих квадрата.

— каких квадратов меньше? Почему? (Зеленых, их не хватает, чтобы составить пары с синим)

— какое число меньше? 2 или 3? (2)

Как показать, что зеленых квадратов меньше, чем синих?

Значок < это знак «меньше». (на доске вывешивается знак <)

— положите перед собой 2 зеленых квадрата и 1 синий квадрат.

— каких квадратов больше? (зеленых)

— какое число больше 2 или 1? (2)

(Учитель показывает знак >)

Значок > это знак «больше».

Чему мы будем сегодня учиться? (Правильно ставить знаки «больше» и «меньше»).

4. Фронтальная работа.

— На что похожи знаки «больше» и «меньше»? (слушаем ответы детей)

Еще знаки похожи на клювик птички. Эта птичка очень прожорливая, она всегда раскрывает клювик на большее число. (СЛАЙД 3)

Птичка счет ведет зерну:

Сколько, где и почему.

Если эта кучка больше-

Птичка разевает рот.

Много пищи – будешь толще,

Мало – так наоборот.

Как же запомнить, какой знак обозначает «больше», какой «меньше»?

— Ответ на этот вопрос спрятался в ваших руках. Может кто-то его уже нашел?

— Попробуйте изобразить знаки с помощью рук.

— Подумайте, какая у человека рука, как правило, самая сильная? Может больше сделать? (правая)

— И так, с помощью правой руки можно показать знак больше.

— А с помощью левой? (меньше)

5. Физкультминутка

Буратино потянулся,

Раз нагнулся,

Два нагнулся,

Руки в стороны развел,

Ключик видно не нашел.

Чтобы ключик нам достать,

Нужно на носочки встать.

6. Работа по учебнику

— Откройте учебник на стр. 46. Как называются знаки вверху? (больше, меньше и равно – с этим знаком мы уже знакомы).

Посмотрите на рисунок (СЛАЙД 4). Если левая и правая части равны, ставят знак «равно»

— Как вы думаете для чего эти знаки нужны? (чтобы не писать слова «больше», «меньше», «равно» и экономить время.)

Посмотрите на верхний левый рисунок. (СЛАЙД 5)

— Что вы здесь видите? (2 зеленых квадрата и 3 синих круга)

— Чего больше? (синих кругов)

— Как это записали? Прочитайте. (Три больше двух)

— Чего меньше? (Зеленых квадратов)

— Прочитайте запись (два меньше трех).

(По аналогии разбираются картинки справа)

— Посмотрите на рисунок с птицами. (СЛАЙД 6)

Шепотом, с соседом составьте рассказ по записи (работа в парах).

(было 3 птицы, прилетела еще 1. Птиц стало 4).

— Птиц стало больше или меньше? (больше)

— Прочитайте запись (четыре больше трех)

— Составьте рассказ по второй записи. (СЛАЙД 7) (было 4 птицы, 1 птица улетела, осталось 3 птицы)

— Птиц стало больше или меньше? (Меньше)

— Прочитайте запись (три меньше четырех).

Молодцы! Отложили учебник на край стола! Приготовили рабочую тетрадь по математике, открыли ее на стр. 18

Прежде, чем начать работать в тетради, мы что с вами делаем?

Правильно! Гимнастику для пальчиков.

Руки на локоточки поставили!

«Раз, два, три, четыре, пять

Будем листья собирать

(загибаем по одному пальчику на каждой руке)

-Листья березы

-Листья осины

-Листья тополя

-Листья рябины

-Листья дуба мы соберем

Маме осенний букет принесем!»

7. Работа в тетради с печатной основой

— Посмотрите на первое задание. Самостоятельно запишите, какое время показывают часы.

И так какие цифры вы записали? (СЛАЙД 8)

— Посмотрите на знаки приведенные ниже (СЛАЙД 9). Как называется знак, который записан первым? (БОЛЬШЕ)

Что показывают синие точки? (Начало письма)

Обведите и напишите этот знак до конца строки.

— Как называется второй знак? (меньше).

Найдите синюю точку, посмотрите как пишется этот знак.

Обведите и напишите этот знак до конца строки.

Поменяйтесь с соседом тетрадями и подчеркните самые красивые знаки «Больше» и «Меньше».

— Посмотрите на рисунок с мячами. Сколько зеленых мячей? (3)

— Впишите цифру 3 в пустую клетку.

— Сколько розовых мячей? (5)

— Впишите цифру 5 в пустую клетку

— Каких мячей больше? (Розовых)

— Составьте соответствующую запись (5>3)

— Каких мячей меньше? (зеленых)

— Составьте соответствующую запись (3<5)

8. Рефлексия

N2 в электронном приложении к учебнику Морро

— оцените, как вы поняли новую тему с помощью наших смайликов и дорисуйте улыбку. (СЛАЙД 10)

Что на уроке вам понравилось больше всего?

В чем были сложности?

9. Подведение итогов

С какими знаками мы сегодня познакомились? («больше» и «меньше» и повторили «равно»)

Ребята, вы сегодня прекрасно работали на уроке, старались, слушали учителя, красиво писали в тетрадях. Вы молодцы (СЛАЙД 11).

равно или не равно, больше или меньше?

Сравнение натуральных чисел между собой – тема данной статьи. Разберем сравнение двух натуральных чисел и изучим понятие равных и неравных натуральных чисел. Выясним большие и меньшие из двух чисел на примерах. Поговорим о натуральном ряде чисел и об их сравнении.  Будут показаны результаты сравнений трех и более чисел.

Сравнение натуральных чисел

Рассмотрим это на примере. Когда на дереве имеется стая, состоящая из 7 птиц, а на другом из 5 десятка птиц, то стаи считаются разными, так как не похожи друг на друга. Отсюда можно делать вывод о том, что эта непохожесть и есть сравнение.

При сравнении натуральных чисел проводится такая проверка на похожесть.

Если считать, что под сравнением натуральных чисел подразумевают действие, то оно может привести к нескольким результатам:

• Равенство. Этот случай возможен, когда числа равны.
• Неравенство. Когда числа не равны.

Когда получаем неравенство, это значит, что одно из этих чисел больше или меньше другого, что и увеличивает диапазон использования натуральных чисел.

Рассмотрим определения равных и неравных чисел. Разберем, каким образом это определяется.

Равные и неравные натуральные числа

Рассмотрим определение равных и неравных чисел.

Определение 1

В случае, когда записи двух натуральных чисел одинаковы, их считают равными между собой. Когда записи имеют различия, тогда эти числа неравные.

Исходя из определения, числа 402 и 402 считаются равными, также как и 7 и 7, так как они одинаково записываются. Но такие числа, как 55283 и 505283 не равны, так как записи их не одинаковы и имеют различия, 582 и 285 разные, так как по записи отличаются.

Такие равенства имеют краткую запись. Знак равно «=» и знак неравно «≠». Их расположение непосредственно между числами, например, 47=47. Означает, что эти числа равные. Или 56≠65. Это значит, что числа разные и отличаются по записи.

В записи, которая имеет два натуральных числа со знаком «=» называют равенством. Они бывают верными или неверными. Например, 45=45, что считается верным равенством. Если 465=455, что считается неверным равенством.

Сравнение однозначных натуральных чисел

Определение 2

Однозначными числами считают ряд от 1 до 9. Из двух записанных однозначных чисел меньше считается то, которое левее, а больше то, которое правее.

Числа могут быть одновременно больше или меньше нескольких. Например, если 1 меньше 2, то и меньше 8, а 5 меньше всех чисел, начиная от 6. Это относится к каждому числу данного ряда от 1 до 9.

Краткая запись знака меньше – «<»,  а знака больше – «>». Их расположение между двумя сравниваемыми числами. Когда имеется запись, где 3>1, это означает, что 3 больше единицы, если запись имеет вид 6<9, тогда 6 меньше 9.

Определение 3

Если в записи имеются два натуральных числа со знаками «<» и «>», тогда она называется неравенством. Неравенства могут быть верными и неверными.

Запись 4<7 – верная, а 3>9 – неверная.

Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел

Если принять за правило, что все однозначные числа меньше двухзначных, тогда получим:

5<10, 6<42, 303>3, 32043>7. Эта запись считается верной. Вот пример неверной записи неравенства: 3>11, 733<5 и 2>1 020.

Рассмотрим сравнения многозначных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел

Рассмотрим сравнение двух неравных многозначных натуральных чисел с равным количеством знаков. Предварительно следует повторить раздел, изучающий разряды натурального числа и значение разряда.

В таком случае производится поразрядное сравнение, то есть слева направо. Меньшим считается число, которое имеет меньшее значение соответствующего разряда и наоборот.

Чтобы решить пример, нужно уяснить, что 0 всегда меньше любого натурального числа и что он равен самому себе. Число ноль относится к разряду натуральных чисел.

Пример 1

Произвести сравнение чисел 35 и 63.

Решение

Визуально видно, что числа неравные, так как по записи они отличаются. Для начала сравним десятки данного числа. Видно, что 3<6, а это означает, что заданные числа 35 и 63 не равны, а первое число меньше второго. Это решение записывается так: 35<63.

 Ответ:  35<63.

Пример 2

Произвести сравнение заданных чисел 301 и 308.

Решение

Визуально очевидно, что числа не равны, так как их запись отличается. Они оба трехзначные, это значит, что сравнение необходимо начинать с сотен, после чего десяток и потом единиц. Получим, что 3=3, далее 0=0. Единицы отличаются друг от друга, имеем: 1<8. Отсюда имеем, что 301<308.

Ответ: 301<308.

Сравнение многозначных натуральных чисел производится по-другому. Большим числом считают то, которое имеет меньшее количество знаков и наоборот.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 3

Произвести сравнение заданных натуральных чисел 40391 и 92248712.

Решение

Визуально заметим, что число 40391 имеет 5 знаков, а 92248712 – 8.

Это значит, что количество знаков, равное 5, меньше 8. Отсюда имеем, что первое число меньше второго.

 Ответ:  40 391<92 248 712.

Пример 4

Выявить большее натуральное число из заданных: 50 933 387 или 10 000 011 348?

Решение

Заметим, что первое число 50 933 387 имеет 8 знаков, а второе 10 000 011 348 – 11. Отсюда следует, что 8 меньше 11. Значит, число 50 933 387 меньше 10 000 011 348.

 Ответ:  10000011348>50933387.

Пример 5

Произвести сравнение многозначных натуральных заданных чисел: 9 876 545 678 и 987 654 567 811.

Решение

Рассмотрим, что первое число имеет 10 знаков, второе – 12. Делаем вывод, что второе число больше первого, так как 10 меньше 12. Сравнение 10 и 12 выполняется поразрядно. Получаем, что 1=1, но 0 меньше 2. Отсюда получаем, что 0<2. Это говорит о том, что 10<12.

 Ответ:  9 876 545 678<987 654 567 811.

Натуральный ряд чисел, нумерация, счет

Произведем запись натуральных чисел так, чтобы последующее было больше предыдущего. Запишем этот ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эта последовательность имеет продолжение с двузначными числами: 1,2, .., 10, 11, .., 99. Ряд с трехзначными числами имеет вид 1,2, ..,10, 11, .., 99, 100, 101, .., 999.

Эта запись продолжается до бесконечности. Такая бесконечная последовательность чисел называется натуральным рядом чисел.

Существует еще один процесс – счет. Во время счета числа называются одно за другим, то есть таким образом, как они зафиксированы по ряду. Данный процесс применим для определения количества предметов.

Исли имеется определенное число предметов, но нам необходимо узнать количество, используем счет. Он производится, начиная с единицы. Если во время пересчета перекладывать предметы в кучу, то ее можно назвать натуральным рядом чисел. Последний предмет будет являться числом их количества. Когда процесс закончен, мы знаем их число, то есть предметы пересчитаны.

Во время счета меньше то натурально число, которое находится раньше и называется раньше. Применение нумерации используется для конкретного определения предмета, то есть присваивая ему определенный номер. Например, имеем некоторое количество предметов. На каждом из них зафиксируем их порядковый номер. Таким образом производится нумерация. Она применима для различения одинаковых предметов.

Натуральные числа на координатном луче

Для начала необходимо повторить определение координатного луча.

При просмотре слева направо видим штрихи, которые означают определенную последовательность чисел, начиная от 0 и до бесконечности. Эти штрихи называют точками. Точки, расположенные левее меньше точек, расположенных правее. Отсюда следует, что точка, имеющая меньшую координату на координатном луче, расположена левее точки с большей координатой.

Рассмотрим на примере двух чисел 2 и 6. Поставим две точки А и В на координатном луче, располагая на значениях 2 и 6.

Отсюда следует, что точка А находится левее, а, значит, что она меньше точки В, так как расположение точки В правее точки А. Запишем в виде неравенства: 2<6. Иначе можно озвучить, как «точка В лежит правее точки А, значит число 6 на координатном луче больше числа 2».

Наименьшее и наибольшее натуральное число

Считается, что 1 – это наименьшее натуральное число из множества всех натуральных чисел. Все числа, расположенные правее него считаются больше предыдущего. Этот ряд бесконечен, поэтому нет наибольшего числа из этого множества чисел.

Мы можем выделить наибольшее число из ряда однозначных натуральных чисел. Оно равно 9. Это легко сделать, так как количество однозначных чисел ограничено. Аналогично находим большее число из множества двузначных чисел. Оно равняется 99. Таким же образом выполняется поиск большего числа трехзначных и так далее чисел.

При сравнении пары чисел заметим, что возможен поиск меньшего и большего числа. Если 4 – число наименьшее, тогда 40 – наибольшее из заданного ряда: 4, 6, 34, 34, 67, 18, 40.

Двойные, тройные неравенства

Известно, что 5<12, а 12<35. Два неравенства можно представить в виде одного двойного. Такая запись имеет вид: 5<12<35. Отсюда видно, что при записи двойного неравенства получаем три неравенства, которые запишем 5<12, 12<35 и 5<35.

Запись в виде двойного неравенства применима для сравнения и трех чисел. Когда необходимо произвести сравнение 76, 512 и 10, мы получаем три неравенства 76<512, 76>10, 512>10. Их, в свою очередь, можно записать как одно, но двойное 10<76<512.

Таким же образом  выполняются тройные, четверные и так далее неравенства.

Если известно, что 5<16, 16<305, 305<1 001, 1 001<3 214, тогда запись может быть представлена в виде 5<16<305<1 001<3 214.

Необходимо быть внимательным при составлении двойных неравенств, так как можно произвести его неверно, что повлечет за собой неправильное решение задачи.

Технологическая карта урока математики в 1 классе. «Знаки > (больше),

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

(−∞; +∞)

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

−4 < −1

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

0 > −3

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

0 < 4

Ноль меньше, чем четыре

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Сравните числа −2 и 1

Задание 2. Сравните числа −5 и −2

Задание 3. Сравните числа −5 и −16

Задание 4. Сравните числа 15 и 20

Задание 5. Сравните числа −7 и 0

Задание 6. Сравните числа 5 и 0

Задание 7. Сравните числа 5 и 7

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Использование операторов в формулах Excel

Операторы определяют операции, которые необходимо выполнить над элементами формулы. В Excel используются общие математические правила для вычислений, в том есть круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание, а также сокращенное пемдас (заставьте Уважаемый родственницей Салли). С помощью скобок вы можете изменить порядок вычислений.

Типы операторов. Существуют четыре разных типа операторов вычислений: арифметическое, Сравнение, Объединение текстаи ссылка.

• 
  Арифметические операторы

  Арифметические операторы служат для выполнения базовых арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение, деление или объединение чисел. Результатом операций являются числа. Арифметические операторы приведены ниже.

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  Арифметический оператор	Значение	Пример
  + (знак «плюс»)	Сложение	= 3 + 3
  – (знак «минус»)	Вычитание Отрицание	= 3 – 3 =-3
  * (звездочка)	Умножение	= 3 * 3
  / (косая черта)	Деление	= 3/3
  % (знак процента)	Доля	30
  ^ (крышка)	Возведение в степень	= 3 ^ 3

• 
  Операторы сравнения

  Операторы сравнения используются для сравнения двух значений. Результатом сравнения является логическое значение: ИСТИНА либо ЛОЖЬ.

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  Оператор сравнения	Значение	Пример
  = (знак равенства)	Равно	= A1 = B1
  > (знак «больше»)	Больше	= A1>B1
  < (знак «меньше»)	Меньше	= A1<B1
  >= (знак «больше или равно»)	Больше или равно	= A1>= B1
  <= (знак «меньше или равно»)	Меньше или равно	= A1<= B1
  <> (знак «не равно»)	Не равно	= A1<>B1

• 
  Текстовый оператор конкатенации

  Амперсанд (&) используется для объединения (соединения) одной или нескольких текстовых строк в одну.

  
  

  Текстовый оператор	Значение	Пример
  & (амперсанд)	Соединение или объединение последовательностей знаков в одну последовательность	= «Север» & «обмотка» — это результат «Борей». Если ячейка a1 содержит «Last Name», а B1 — «First Name», = a1& «,» &B1 — «фамилия, имя».

• 
  Операторы ссылок

  Для определения ссылок на диапазоны ячеек можно использовать операторы, указанные ниже.

  
  

  
  

  
  

  Оператор ссылки	Значение	Пример
  : (двоеточие)	Оператор диапазона, который образует одну ссылку на все ячейки, находящиеся между первой и последней ячейками диапазона, включая эти ячейки.	B5:B15
  ; (точка с запятой)	Оператор объединения. Объединяет несколько ссылок в одну ссылку.	= СУММ (B5: B15, D5: D15)
  (пробел)	Оператор пересечения множеств, используется для ссылки на общие ячейки двух диапазонов.	B7:D7 C6:C8

Примечание: 
Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Была ли информация полезной? Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке).

Обучение условному форматированию в Excel с примерами

Условное форматирование – удобный инструмент для анализа данных и наглядного представления результатов. Умение им пользоваться сэкономит массу времени и сил. Достаточно бегло взглянуть на документ – нужная информация получена.

Как сделать условное форматирование в Excel

Инструмент «Условное форматирование» находится на главной странице в разделе «Стили».

При нажатии на стрелочку справа открывается меню для условий форматирования.

Сравним числовые значения в диапазоне Excel с числовой константой. Чаще всего используются правила «больше / меньше / равно / между». Поэтому они вынесены в меню «Правила выделения ячеек».

Введем в диапазон А1:А11 ряд чисел:

Выделим диапазон значений. Открываем меню «Условного форматирования». Выбираем «Правила выделения ячеек». Зададим условие, например, «больше».

Введем в левое поле число 15. В правое – способ выделения значений, соответствующих заданному условию: «больше 15». Сразу виден результат:

Выходим из меню нажатием кнопки ОК.



Условное форматирование по значению другой ячейки

Сравним значения диапазона А1:А11 с числом в ячейке В2. Введем в нее цифру 20.

Выделяем исходный диапазон и открываем окно инструмента «Условное форматирование» (ниже сокращенно упоминается «УФ»). Для данного примера применим условие «меньше» («Правила выделения ячеек» — «Меньше»).

В левое поле вводим ссылку на ячейку В2 (щелкаем мышью по этой ячейке – ее имя появится автоматически). По умолчанию – абсолютную.

Результат форматирования сразу виден на листе Excel.

Значения диапазона А1:А11, которые меньше значения ячейки В2, залиты выбранным фоном.

Зададим условие форматирования: сравнить значения ячеек в разных диапазонах и показать одинаковые. Сравнивать будем столбец А1:А11 со столбцом В1:В11.

Выделим исходный диапазон (А1:А11). Нажмем «УФ» — «Правила выделения ячеек» — «Равно». В левом поле – ссылка на ячейку В1. Ссылка должна быть СМЕШАННАЯ или ОТНОСИТЕЛЬНАЯ!, а не абсолютная.

Каждое значение в столбце А программа сравнила с соответствующим значением в столбце В. Одинаковые значения выделены цветом.

Внимание! При использовании относительных ссылок нужно следить, какая ячейка была активна в момент вызова инструмента «Условного формата». Так как именно к активной ячейке «привязывается» ссылка в условии.

В нашем примере в момент вызова инструмента была активна ячейка А1. Ссылка $B1. Следовательно, Excel сравнивает значение ячейки А1 со значением В1. Если бы мы выделяли столбец не сверху вниз, а снизу вверх, то активной была бы ячейка А11. И программа сравнивала бы В1 с А11.

Сравните:

Чтобы инструмент «Условное форматирование» правильно выполнил задачу, следите за этим моментом.

Проверить правильность заданного условия можно следующим образом:

1. Выделите первую ячейку диапазона с условным форматированим.
2. Откройте меню инструмента, нажмите «Управление правилами».

В открывшемся окне видно, какое правило и к какому диапазону применяется.

Условное форматирование – несколько условий

Исходный диапазон – А1:А11. Необходимо выделить красным числа, которые больше 6. Зеленым – больше 10. Желтым – больше 20.

• 1 способ. Выделяем диапазон А1:А11. Применяем к нему «Условное форматирование». «Правила выделения ячеек» — «Больше». В левое поле вводим число 6. В правом – «красная заливка». ОК. Снова выделяем диапазон А1:А11. Задаем условие форматирования «больше 10», способ – «заливка зеленым». По такому же принципу «заливаем» желтым числа больше 20.
• 2 способ. В меню инструмента «Условное форматирование выбираем «Создать правило».

Заполняем параметры форматирования по первому условию:

Нажимаем ОК. Аналогично задаем второе и третье условие форматирования.

Обратите внимание: значения некоторых ячеек соответствуют одновременно двум и более условиям. Приоритет обработки зависит от порядка перечисления правил в «Диспетчере»-«Управление правилами».

То есть к числу 24, которое одновременно больше 6, 10 и 20, применяется условие «=$А1>20» (первое в списке).

Условное форматирование даты в Excel

Выделяем диапазон с датами.

Применим к нему «УФ» — «Дата».

В открывшемся окне появляется перечень доступных условий (правил):

Выбираем нужное (например, за последние 7 дней) и жмем ОК.

Красным цветом выделены ячейки с датами последней недели (дата написания статьи – 02.02.2016).

Условное форматирование в Excel с использованием формул

Если стандартных правил недостаточно, пользователь может применить формулу. Практически любую: возможности данного инструмента безграничны. Рассмотрим простой вариант.

Есть столбец с числами. Необходимо выделить цветом ячейки с четными. Используем формулу: =ОСТАТ($А1;2)=0.

Выделяем диапазон с числами – открываем меню «Условного форматирования». Выбираем «Создать правило». Нажимаем «Использовать формулу для определения форматируемых ячеек». Заполняем следующим образом:

Для закрытия окна и отображения результата – ОК.

Условное форматирование строки по значению ячейки

Задача: выделить цветом строку, содержащую ячейку с определенным значением.

Таблица для примера:

Необходимо выделить красным цветом информацию по проекту, который находится еще в работе («Р»). Зеленым – завершен («З»).

Выделяем диапазон со значениями таблицы. Нажимаем «УФ» — «Создать правило». Тип правила – формула. Применим функцию ЕСЛИ.

Порядок заполнения условий для форматирования «завершенных проектов»:

Обратите внимание: ссылки на строку – абсолютные, на ячейку – смешанная («закрепили» только столбец).

Аналогично задаем правила форматирования для незавершенных проектов.

В «Диспетчере» условия выглядят так:

Получаем результат:

Когда заданы параметры форматирования для всего диапазона, условие будет выполняться одновременно с заполнением ячеек. К примеру, «завершим» проект Димитровой за 28.01 – поставим вместо «Р» «З».

«Раскраска» автоматически поменялась. Стандартными средствами Excel к таким результатам пришлось бы долго идти.

неравенств | Безграничная алгебра

Введение в неравенство

Неравенства используются для демонстрации отношений между числами или выражениями.

Цели обучения

Объясните, что представляет собой неравенство и как оно используется

Основные выводы

Ключевые моменты

• Неравенство описывает взаимосвязь между двумя разными значениями.
• Обозначение [latex] a b [/ latex] ] означает, что [latex] a [/ latex] строго больше, чем [latex] b [/ latex].
• Понятие [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex], а обозначение [latex] a \ geq b [ / latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex].
• Неравенства особенно полезны для решения проблем, связанных с минимальными или максимальными возможными значениями.

Ключевые термины

• числовая строка : визуальное представление набора действительных чисел в виде ряда точек.
• неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.

В математике неравенства используются для сравнения относительного размера значений. Их можно использовать для сравнения целых чисел, переменных и различных других алгебраических выражений. Ниже приводится описание различных типов неравенств.

Строгое неравенство

Строгое неравенство — это отношение между двумя значениями, когда они различны.Точно так же, как в уравнениях используется знак равенства =, чтобы показать, что два значения равны, в неравенствах используются знаки, чтобы показать, что два значения не равны, и описать их взаимосвязь. Символы строгого неравенства: [latex] <[/ latex] и [latex]> [/ latex].

Строгие неравенства отличаются от обозначения [latex] a \ neq b [/ latex], что означает, что a не равно [latex] b [/ latex]. Символ [latex] \ neq [/ latex] не говорит о том, что одно значение больше другого или даже о том, что их можно сравнить по размеру.

В двух типах строгих неравенств [latex] a [/ latex] не равно [latex] b [/ latex]. Для сравнения размеров значений существует два типа отношений:

1. Обозначение [латекс] a
2. Обозначение [латекс] a> b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex].

Значение этих символов можно легко запомнить, заметив, что «большая» сторона символа неравенства (открытая сторона) обращена к большему числу.«Меньшая» сторона символа (точка) обращена к меньшему числу.

Указанные выше отношения можно продемонстрировать на числовой прямой. Вспомните, что значения на числовой строке увеличиваются по мере продвижения вправо. Следовательно, следующее представляет отношение [латекс] a [/ латекс] меньше, чем [латекс] b [/ латекс]:

[латекс] a

[latex] a [/ latex] находится слева от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.

и следующее демонстрирует, что [латекс] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex]:

[латекс] a> b [/ латекс]

[latex] a [/ latex] находится справа от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.

В целом обратите внимание, что:

• [латекс] a a [/ latex]; например, [latex] 7 <11 [/ latex] эквивалентно [latex] 11> 7 [/ latex].
• [latex] a> b [/ latex] эквивалентно [latex] b 6 [/ латекс].

Прочие неравенства

В отличие от строгого неравенства, существует два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

• Обозначение [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex] (или, что эквивалентно, «максимум» [латекс] б [/ латекс]).
• Обозначение [latex] a \ geq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex] (или, что то же самое, «по крайней мере» [ латекс] б [/ латекс]).

Неравенства с переменными

В дополнение к отображению взаимосвязей между целыми числами, неравенства могут использоваться для отображения взаимосвязей между переменными и целыми числами.

Например, рассмотрим [латекс] x> 5 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] больше 5 ″ и указывает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может иметь любое значение больше 5, но не 5 сама по себе.Для визуализации этого см. Числовую строку ниже:

[латекс] x> 5 [/ латекс]

Обратите внимание, что кружок над цифрой 5 не заполнен, что означает, что 5 не входит в возможные значения [latex] x [/ latex].

В качестве другого примера рассмотрим [латекс] x \ leq 3 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] меньше или равно 3 ″ и указывает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может иметь значение 3 или любое значение меньше 3. Для визуализации это, см. числовую строку ниже:

[латекс] x \ leq 3 [/ латекс]

Обратите внимание, что кружок над цифрой 3 закрашен, что означает, что 3 входит в возможные значения [latex] x [/ latex].

Неравенства демонстрируются раскрашиванием стрелки в соответствующем диапазоне числовой линии, чтобы указать возможные значения [latex] x [/ latex]. Обратите внимание, что открытый кружок используется, если неравенство строгое (т. Е. Для неравенств, использующих [latex]> [/ latex] или [latex] <[/ latex]), а закрашенный кружок используется, если неравенство не является строгим ( т.е. для неравенств с использованием [latex] \ geq [/ latex] или [latex] \ leq [/ latex]).

Решение проблем с неравенствами

Напомним, что уравнения могут использоваться для демонстрации равенства математических выражений, включающих различные операции (например: [latex] x + 5 = 9 [/ latex]).Точно так же неравенства можно использовать для демонстрации взаимосвязи между различными выражениями.

Например, рассмотрим следующие неравенства:

• [латекс] x — 7> 12 [/ латекс]
• [латекс] 2x + 4 \ leq 25 [/ латекс]
• [латекс] 2x

Каждое из них представляет отношения между двумя разными выражениями.

Одно из полезных применений неравенств, подобных этому, — в задачах, связанных с максимальными или минимальными значениями.

Пример 1

У Джареда есть лодка, максимальная масса которой составляет 2500 фунтов. Он хочет взять на лодку как можно больше друзей и предполагает, что он и его друзья в среднем весят 160 фунтов. Сколько людей могут одновременно кататься на его лодке?

Эту проблему можно смоделировать с помощью следующего неравенства:

[латекс] 160n \ leq 2500 [/ латекс]

где [latex] n [/ latex] — это количество людей, которые Джаред может взять на лодку. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим левую часть неравенства.Он представляет собой общий вес [латексных] n [/ латексных] людей весом 160 фунтов каждый. Неравенство гласит, что общий вес Джареда и его друзей должен быть на меньше или равен максимальному весу 2500, что является пределом веса лодки.

Есть шаги, которые можно выполнить, чтобы решить такое неравенство. На данный момент важно просто понять значение таких утверждений и случаев, в которых они могут быть применимы.

Правила разрешения неравенств

Арифметические операции могут использоваться для решения неравенств для всех возможных значений переменной.

Цели обучения

Решите неравенства, используя правила работы с ними

Основные выводы

Ключевые моменты

• Когда вы выполняете алгебраические операции над неравенствами, важно выполнять одну и ту же операцию с обеими сторонами, чтобы сохранить истинность утверждения.
• Если обе части неравенства умножаются или делятся на одно и то же положительное значение, результирующее неравенство истинно.
• Если обе стороны умножаются или делятся на одно и то же отрицательное значение, направление неравенства изменяется.
• Неравенства, связанные с переменными, можно решить, чтобы получить все возможные значения переменной, которые делают утверждение истинным.

Ключевые термины

• неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.

Операции с неравенствами

Когда вы выполняете алгебраические операции с неравенствами, важно проводить точно такие же операции с обеих сторон, чтобы сохранить истинность утверждения.

Каждая арифметическая операция подчиняется определенным правилам:

Сложение и вычитание

Любое значение [латекс] c [/ латекс] может быть добавлено или вычтено из обеих сторон неравенства. То есть для любых действительных чисел [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс]:

• Если [латекс] a \ leq b [/ латекс], то [латекс] a + c \ leq b + c [/ латекс] и [латекс] a — c \ leq b — c [/ латекс].
• Если [латекс] a \ geq b [/ латекс], то [латекс] a + c \ geq b + c [/ латекс] и [латекс] a — c \ geq b — c [/ латекс].

Пока одна и та же стоимость добавляется или вычитается с обеих сторон, результирующее неравенство остается верным.

Например, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] 12 <15 [/ латекс]

Давайте применим описанные выше правила, вычтя 3 с обеих сторон:

[латекс] \ begin {align} 12 — 3 & <15 - 3 \\ 9 & <12 \ end {align} [/ latex]

Это утверждение все еще верно.

Умножение и деление

В свойствах, связанных с умножением и делением, указано, что для любых действительных чисел [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и ненулевое [latex] c [/ latex]:

Если [latex] c [/ latex] положительное значение, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] не меняет неравенства:

• Если [latex] a \ geq b [/ latex] и [latex] c> 0 [/ latex], то [latex] ac \ geq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ geq \ dfrac {b} {c} [/ latex].
• Если [latex] a \ leq b [/ latex] и [latex] c> 0 [/ latex], то [latex] ac \ leq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ leq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].

Если [latex] c [/ latex] отрицательно, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] меняет неравенство:

• Если [latex] a \ geq b [/ latex] и [latex] c <0 [/ latex], то [latex] ac \ leq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ leq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].
• Если [latex] a \ leq b [/ latex] и [latex] c <0 [/ latex], то [latex] ac \ geq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ geq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].

Обратите внимание, что умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет направление неравенства. Другими словами, символ больше становится символом меньше, и наоборот.

Чтобы увидеть применение этих правил, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] 5> -3 [/ латекс]

Умножение обеих сторон на 3 дает:

[латекс] \ begin {align} 5 (3) &> -3 (3) \\ 15 &> -9 \ end {align} [/ latex]

Мы видим, что это верное утверждение, потому что 15 больше 9.

Теперь умножьте то же неравенство на -3 (не забудьте изменить направление символа, потому что мы умножаем на отрицательное число):

[латекс] \ begin {align} 5 (-3) & <-3 (-3) \\ -15 & <9 \ end {align} [/ latex]

Это утверждение также верно. Это демонстрирует, насколько важно изменить направление символа «больше или меньше» при умножении или делении на отрицательное число.

Устранение неравенств

Решение неравенства, которое включает переменную, дает все возможные значения, которые может принимать переменная, которые делают неравенство истинным.Решение неравенства означает его преобразование таким образом, чтобы переменная находилась с одной стороны символа, а число или выражение — с другой. Часто для преобразования неравенства таким образом требуется несколько операций.

Сложение и вычитание

Чтобы увидеть, как правила сложения и вычитания применяются к решению неравенств, примите во внимание следующее:

[латекс] x — 8 \ leq 17 [/ латекс]

Сначала выделите [латекс] x [/ латекс]:

[латекс] \ begin {align} x — 8 + 8 & \ leq 17 + 8 \\ x & \ leq 25 \ end {align} [/ latex]

Следовательно, [латекс] x \ leq 25 [/ latex] является решением [латекса] x — 8 \ leq 17 [/ latex].Другими словами, [latex] x — 8 \ leq 17 [/ latex] истинно для любого значения [latex] x [/ latex], которое меньше или равно 25.

Умножение и деление

Чтобы увидеть, как применяются правила умножения и деления, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] 2x> 8 [/ латекс]

Делим обе стороны на 2, получаем:

[латекс] \ begin {align} \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align } [/ латекс]

Таким образом, выражение [latex] x> 4 [/ latex] является решением для [latex] 2x> 8 [/ latex].Другими словами, [latex] 2x> 8 [/ latex] верно для любого значения [latex] x [/ latex] больше 4.

Теперь рассмотрим другое неравенство:

[латекс] — \ dfrac {y} {3} \ leq 7 [/ латекс]

Поскольку используется отрицательный знак, мы должны умножить его на отрицательное число, чтобы найти [латекс] y [/ latex]. Это означает, что мы также должны изменить направление символа:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle -3 \ left (- \ frac {y} {3} \ right) & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -21 \ end {align} [/ латекс]

Следовательно, решение [latex] — \ frac {y} {3} \ leq 7 [/ latex] — [latex] y \ geq -21 [/ latex].Таким образом, данное утверждение верно для любого значения [latex] y [/ latex], большего или равного [latex] -21 [/ latex].

Пример

Решите следующее неравенство:

[латекс] 3л — 17 \ geq 19 [/ латекс]

Сначала прибавьте 17 к обеим сторонам:

[латекс] \ begin {align} 3y — 17 + 17 & \ geq 19 + 17 \\ 3y & \ geq 36 \ end {align} [/ latex]

Затем разделите обе стороны на 3:

[латекс] \ begin {align} \ dfrac {3y} {3} & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq 12 \ конец {align} [/ latex]

Особые соображения

Обратите внимание, что было бы проблематично, если бы мы попытались умножить или разделить обе части неравенства на неизвестную переменную.Если какая-либо переменная [latex] x [/ latex] неизвестна, мы не можем определить, имеет ли она положительное или отрицательное значение. Поскольку правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел различаются, мы не можем следовать этому же правилу при умножении или делении неравенств на переменные. Однако переменные можно складывать или вычитать с обеих сторон неравенства.

Сложные неравенства

Составное неравенство включает в себя три выражения, а не два, но также может быть решено, чтобы найти возможные значения переменной.

Цели обучения

Решите сложное неравенство, уравновесив все три компонента неравенства

Основные выводы

Ключевые моменты

• Составное неравенство имеет следующий вид: [латекс] a
• В составном неравенстве входят два утверждения. Первый оператор [латекс] a
• Пример составного неравенства: [латекс] 4
• Составное неравенство может содержать такое выражение, как [латекс] 1

Ключевые термины

• составное неравенство : Неравенство, состоящее из двух других неравенств, в форме [латекс] a
• неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.

Определение сложных неравенств

Сложное неравенство имеет следующий вид:

[латекс] a

На самом деле здесь есть два утверждения. Первый оператор [латекс] a

Составное неравенство [латекс] a a [/ latex]. Следовательно, форма [латекс] a

Рассмотрим [латекс] 4

[латекс] 4

Указанное выше неравенство по числовой прямой.

Аналогичным образом рассмотрим [латекс] -2

[латекс] -2

Указанное выше неравенство по числовой прямой.

[латекс] [/ латекс] Решение сложных неравенств

Теперь рассмотрим [латекс] 1 , а не число, лежит между двумя точками? Не волнуйтесь — мы все равно можем найти все возможные значения не только выражения, но и самой переменной [latex] x [/ latex].

Утверждение [латекс] 1

Чтобы найти возможные значения [latex] x [/ latex], нам нужно получить [latex] x [/ latex] отдельно:

[латекс] 1 — 6

[латекс] -5

Следовательно, мы находим, что если [latex] x [/ latex] — любое число строго между -5 и 2, утверждение [latex] 1

Пример 1

Решите [латекс] -3 <\ dfrac {-2x-7} {5} <7 [/ latex].

Умножьте каждую часть, чтобы удалить знаменатель из среднего выражения:

[латекс] -3 \ cdot (5) <\ dfrac {-2x-7} {5} \ cdot (5) <7 \ cdot (5) [/ латекс]

[латекс] -15 <-2x-7 <35 [/ латекс]

Изолировать [латекс] х [/ латекс] в середине неравенства:

[латекс] — 15 + 7 <-2x -7 + 7 <35 + 7 [/ латекс]

[латекс] — 8 <-2x <42 [/ латекс]

Теперь разделите каждую часть на -2 (и не забудьте изменить направление символа неравенства!):

[латекс] \ displaystyle \ frac {-8} {- 2}> \ frac {-2x} {- 2}> \ frac {42} {- 2} [/ латекс]

[латекс] 4> x> -21 [/ латекс]

Наконец, принято (хотя и не обязательно) писать неравенство так, чтобы стрелки неравенства указывали влево (т.е., чтобы числа шли от наименьшего к наибольшему):

[латекс] -21

Неравенства с абсолютным значением

Неравенства с абсолютными значениями можно решить, рассматривая абсолютное значение как расстояние от 0 до числа на числовой прямой.

Цели обучения

Решите неравенства с абсолютным значением

Основные выводы

Ключевые моменты

• К проблемам, связанным с абсолютными значениями и неравенствами, можно подойти по крайней мере двумя способами: путем проб и ошибок или путем представления абсолютного значения как представления расстояния от 0 с последующим нахождением значений, удовлетворяющих этому условию.
• При решении неравенств, которые включают абсолютное значение в более крупном выражении (например, [латекс] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]), необходимо алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для переменной.

Ключевые термины

• абсолютное значение : величина действительного числа без учета его знака; формально, -1 умножается на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
• неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.
• числовая линия : Линия, которая графически представляет действительные числа как серию точек, расстояние от которых до начала координат пропорционально их значению.

Рассмотрим следующее неравенство, которое включает абсолютное значение:

[латекс] | x | <10 [/ латекс]

Зная, что решение [latex] \ left | x \ right | = 10 [/ latex] — это [latex] x = ± 10 [/ latex], многие студенты отвечают на этот вопрос [latex] x <± 10 [/ latex ].Однако это неверно.

Вот два разных, но оба совершенно правильных подхода к решению этой проблемы.

Пробная версия и ошибка

Какие номера работают? То есть, для каких чисел [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] верное утверждение? Давай попробуем.

4 работы. -4 тоже. 13 не работает. Как насчет -13? Нет: Если [латекс] x = -13 [/ латекс], то [латекс] \ left | x \ right | = 13 [/ latex], что не менее 10.

Играя с числами таким образом, вы сможете убедить себя, что работающие числа должны быть где-то между -10 и 10.Это один из подходов к поиску ответа.

Абсолютное значение как расстояние

Другой способ — думать об абсолютном значении как о расстоянии от 0. [latex] \ left | 5 \ right | [/ latex] и [latex] \ left | -5 \ right | [/ latex] равны 5, потому что оба числа на 5 от 0.

В данном случае [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] означает «расстояние между [latex] x [/ latex] и 0 меньше 10». Другими словами, вы находитесь в пределах 10 единиц от нуля в любом направлении.Еще раз делаем вывод, что ответ должен быть между -10 и 10.

Этот ответ можно визуализировать в числовой строке, как показано ниже, в которой выделены все числа, абсолютное значение которых меньше 10.

Решение для [латекса] \ left | x \ right | <10 [/ latex]: Все числа, абсолютное значение которых меньше 10.

Нет необходимости использовать оба этих метода; используйте тот метод, который вам легче понять.

Решение неравенств с абсолютным значением

К более сложным задачам абсолютного значения следует подходить так же, как к уравнениям с абсолютными значениями: алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для [латекс] x [/ латекс].

Например, рассмотрим следующее неравенство:

[латекс] \ влево | 2x \ вправо | + 3> 8 [/ латекс]

Трудно сразу представить себе значение этого абсолютного значения, не говоря уже о самом значении [latex] x [/ latex]. Необходимо сначала выделить неравенство:

[латекс] \ begin {align} \ left | 2x \ right | + 3 — 3 &> 8 — 3 \\ \ left | 2x \ right | &> 8 \ end {align} [/ латекс]

А теперь подумайте о числовой прямой. В этих терминах это утверждение означает, что выражение [latex] 2x [/ latex] должно находиться более чем в 8 разрядах от 0.Следовательно, оно должно быть больше 8 или меньше -8. Выражая это неравенствами, имеем:

[латекс] 2x> 8 [/ латекс] или [латекс] 2x <-8 [/ латекс]

Теперь у нас есть 2 отдельных неравенства. Если каждая из них решается отдельно для [latex] x [/ latex], мы увидим полный диапазон возможных значений [latex] x [/ latex]. Рассмотрим их самостоятельно. Первый:

[латекс] \ begin {align} 2x &> 8 \\ \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align} [/ latex]

Секунда:

[латекс] \ begin {align} 2x & <-8 \\ \ dfrac {2x} {2} & <\ dfrac {-8} {2} \\ x & <-4 \ end {align} [/ latex ]

Теперь у нас есть два диапазона решений исходного неравенства абсолютных значений:

[латекс] x> 4 [/ латекс] и [латекс] x <-4 [/ латекс]

Это также может быть визуально отображено в числовой строке:

Решение для [латекса] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]: Решение — любое значение [latex] x [/ latex] меньше -4 или больше 4.

Пример

Решите следующее неравенство:

[латекс] \ влево | x-2 \ вправо | + 10> 7 [/ латекс]

Во-первых, алгебраически выделите абсолютное значение:

[латекс] \ begin {align} \ left | x-2 \ right | + 10-10 &> 7-10 \\ \ left | x-2 \ right | &> — 3 \ end {align} [/ латекс]

А теперь подумайте: абсолютное значение выражения больше –3. Чему могло быть равно выражение? 2 работы. –2 тоже работает. И 0. И 7. И –10. Абсолютные значения всегда положительны, поэтому абсолютное значение чего-либо больше –3! Поэтому все числа работают.

Устранение неравенств — объяснения и примеры

Что такое неравенство в математике?

Слово неравенство означает просто математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу. По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.

Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Символы неравенства

Эти символы неравенства: меньше или равно ( <), больше (> ), меньше или равно ( ≤ ), больше или равно ( ≥ ) и символ неравенства ( ≠ ) .

Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Операции с неравенствами

Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Общие правила этих операций показаны ниже.

Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.

• Символ неравенства не меняется при добавлении одного и того же числа к обеим сторонам неравенства.Например, если a
• Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Разделение обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
• Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства.Например, если a b *
• Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства. Если a b / c

Как устранить неравенства?

Так же, как и линейные уравнения, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений — это операция умножения или деления на отрицательное число.Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.

Линейные неравенства могут быть решены с помощью следующих операций:

• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• Деление
• Распределение собственности

Решение линейных неравенств с помощью сложения

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять это понятие.

Пример 1

Решите 3x — 5 ≤ 3 — x.

Решение

Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5

3x — 5 + 5 ≤ 3 + 5 — x

3x ≤ 8 — x

Затем сложим обе стороны на x.

3x + x ≤ 8 — x + x

4x ≤ 8

Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;

x ≤ 2

Пример 2

Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y — 4 <2y + 5.

Решение

Сложите обе части неравенства на 4.

y — 4 + 4 <2y + 5 + 4

y <2y + 9

Вычтите обе части на 2y.

y — 2y <2y - 2y + 9

−y <9 Умножьте обе части неравенства на −1 и измените направление символа неравенства. y> — 9

Решение линейных неравенств с вычитанием

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите x + 8> 5.

Решение

Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.

x + 8-8> 5-8 => x> −3

Следовательно, x> −3.

Пример 4

Решите 5x + 10> 3x + 24.

Решение

Вычтите 10 из обеих частей неравенства.

5x + 10-10> 3x + 24-10

5x> 3x + 14.

Теперь вычтем обе части неравенства на 3x.

5x — 3x> 3x — 3x + 14

2x> 14

x> 7

Решение линейных неравенств с умножением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 5

Решить x / 4> 5

Решение:

Умножить обе части неравенства на знаменатель дроби

4 (x / 4)> 5 x 4

x > 20

Пример 6

Решите -x / 4 ≥ 10

Решение:

Умножьте обе стороны неравенства на 4.

4 (-x / 4) ≥ 10 x 4

-x ≥ 40

Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства.

x ≤ — 40

Решение линейных неравенств с делением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 7

Решите неравенство: 8x — 2> 0.

Решение

Прежде всего, сложите обе стороны неравенства на 2

8x — 2 + 2> 0 + 2

8x> 2

Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;

x> 2/8

x> 1/4

Пример 8

Решите следующее неравенство:

−5x> 100

Решение

Разделите оба сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства

= −5x / -5 <100 / -5

= x <- 20

Решение линейных неравенств с использованием распределительного свойства

Давайте см. несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 9

Решить: 2 (x — 4) ≥ 3x — 5

Решение

2 (x — 4) ≥ 3x — 5

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.

⟹ 2x — 8 ≥ 3x — 5

Сложить обе стороны на 8.

⟹ 2x — 8 + 8 ≥ 3x — 5 + 8

⟹ 2x ≥ 3x + 3

Вычесть обе стороны на 3.

⟹ 2x — 3x ≥ 3x + 3 — 3x

⟹ -x ≥ 3

⟹ x ≤ — 3

Пример 10

Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать студент в третьем тесте, чтобы получить в среднем 62 балла.

Решение

Пусть в третьем тесте будет набрано x баллов.

(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Следовательно, учащийся должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.

Пример 11

Джастину требуется не менее 500 долларов для празднования своего дня рождения.Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?

Решение

Пусть минимальная ежемесячная экономия = x

150 + 7x ≥ 500

Решить для x

150-150 + 7x ≥ 500-150

x ≥ 50

Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов и более

Пример 12

Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.

Решение

Пусть меньшее нечетное число = x

Следовательно, следующее число будет x + 2

x> 10 ………. больше 10

x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40

Решите уравнения.

2x + 2 <40

x + 1 <20

x <19

Объедините два выражения.

10

Следовательно, последовательные нечетные числа следующие: 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.

Неравенства и числовая линия

Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат — отрицательные числа.

Линейные уравнения также можно решить графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы просто обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, удовлетворяющих условию неравенства.

Пример 13

Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, удовлетворяющих уравнению неравенства.

Пример 14

x ≥ 1

Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.

Пример 15

–2 < x <2

Пример 16

-1 ≤ x ≤ 2

3

Пример 17

–1 < x ≤ 2

Практические вопросы

Решите следующие неравенства и представьте свой ответ на числовой прямой.

1. 2x> 9
2. x + 5> 13
3. −3x <4
4. 7x + 11> 2x + 5
5. 2 (x + 3)
6. — 5 ≤ 2x — 7 ≤ 1
7. 4x — 8 ≤ 12

Ответы

1. x> 9/2
2. x> 8
3. x> −4/3
4. x> −6/5
5. x <−5.
6. 1 ≤ x ≤ 4.
7. x ≤ 5

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Уравнения и неравенства — Неравенства

Решение
неравенство очень похоже на решение уравнения.Вы следуете тем же шагам,
кроме одного очень важного отличия. Когда вы умножаете или делите каждый
сторону неравенства на отрицательное число, необходимо обратить неравенство
символ! Давайте попробуем пример:

-4x
> 24

С этого момента
неравенство предполагает умножение, мы должны использовать обратное или деление,
решить это. Мы разделим обе части на –4, чтобы оставить x в покое.
с левой стороны.

Когда мы упрощаем,
поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны не забыть перевернуть
символ. Это дает «x меньше –6», а не «x равно
больше –6. «

х
<-6

Почему мы
перевернуть символ? Посмотрим, что будет, если мы этого не сделаем. Подумайте о
простое неравенство –3 <9. Это, очевидно, верное утверждение.

-3
<9

Для демонстрации
что происходит, когда мы делим на отрицательное число, давайте разделим обе стороны
на –3.Если мы оставим символ неравенства прежним, наш ответ, очевидно, будет
неверно, так как 1 не меньше –3.

Мы должны перевернуть символ, чтобы найти правильный
ответ: «1 больше –3».

Вернемся назад
исходной задачи и изобразить решение x <–6 на число линия. Чтобы построить график решения неравенства, вы начинаете с определения точка в неравенстве.Здесь –6. Затем вы наносите на график все точки которые находятся в решении.

Красная стрелка
показывает, что все значения в числовой строке меньше –6 находятся в
решение. Белый кружок на –6 показывает нам, что –6 не входит в число
решение. Если бы решение было «x меньше или равно –6»,
круг будет темным или закрашенным.

Как мы можем
проверить наш ответ? Мы не можем использовать –6 для замены в неравенстве,
потому что он лежит за пределами нашего решения.Для проверки мы можем выбрать любое значение
это кроется в решении. Давайте использовать –7.

-4x
> 24
-4 (-7)> 24
28> 24 Правильно!

Наша замена
дала верный результат, значит, решение верное.

назад
наверх

Absolute Value Inequalities — ChiliMath

В этом уроке мы собираемся узнать, как решить абсолютные неравенства, используя стандартный подход, который обычно преподается на уроках алгебры.То есть выучите правила и правильно их применяйте. При решении неравенств абсолютных значений участвуют четыре случая .

ВНИМАНИЕ: Во всех случаях предполагается, что значение «a» положительно, то есть a> 0.

Четыре (4) случая, которые следует учитывать при решении неравенств абсолютных значений

СЛУЧАЙ 1 :

CASE 2 :

CASE 3 :

Абсолютное значение любого числа равно нулю (0) или положительному числу, которое никогда не может быть меньше или равно отрицательному числу.

Ответ в этом случае всегда нет решения .

CASE 4 :

Абсолютное значение любого числа равно нулю (0) или положительно. Имеет смысл, что оно всегда должно быть больше любого отрицательного числа.

Ответ в этом случае всегда , все действительные числа .

Примеры решения неравенств абсолютных значений

Пример 1 : Решите неравенства абсолютных значений.

Если вы еще не знакомы с различными случаями, я предлагаю вам сохранить копию приведенного выше списка случаев в качестве справки.Это определенно поможет вам легко решить проблемы.

Проблема предполагает, что существует значение «x», которое может сделать утверждение истинным. Что ж, абсолютное значение чего-либо всегда равно нулю или положительному значению, которое никогда не бывает меньше отрицательного числа. Это утверждение должно быть ложным, следовательно, нет решения . Это пример case 3 .

Выберите несколько тестовых значений для проверки:

• Если x положительный, скажем, x = 5;

• Если x отрицательно, скажем, x = -5;

Пример 2 : Решите неравенство абсолютных значений.

Если задуматься, любое значение «x» может сделать утверждение истинным. Проверьте несколько чисел, включая ноль, а также любые отрицательные или положительные числа. Что вы получаете?

Помните, что выражение абсолютного значения даст нулевой или положительный ответ, который всегда больше отрицательного числа. Следовательно, ответ , все действительные числа . Это корпус 4 .

Пример 3 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это неравенство «меньше чем» по абсолютной величине, которое является примером случая 1 .Избавьтесь от символа абсолютного значения, применив правило. Затем решите возникшее линейное неравенство.

Цель состоит в том, чтобы изолировать переменную «x» посередине. Для этого мы вычитаем левую, среднюю и правую части неравенства на 6.

Ответ в виде символа неравенства утверждает, что решениями являются все значения x от -8 до -4, но не включая — 8 и -4 сами по себе.

Мы также можем записать ответ в интервальной нотации, используя круглые скобки, чтобы обозначить, что -8 и -4 не являются частью решений.

Или напишите ответ в числовой строке, где мы используем белые кружки, чтобы исключить -8 и -4 из решения.

Пример 4 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это неравенство «меньше или равно» по абсолютной величине, которое все еще подпадает под случай 1 . Очистите символ абсолютного значения с помощью правила и решите линейное неравенство.

Выделите переменную «x» посередине, сложив все стороны на 6, а затем разделив на 3 (коэффициент при x).

Символ неравенства предполагает, что решением являются все значения x от -3 до 7, а также включая конечные точки -3 и 7. Мы включаем конечные точки, потому что мы используем символ «≤».

Чтобы записать ответ в виде интервалов, мы будем использовать квадратные скобки вместо обычных скобок, чтобы обозначить, что -3 и 7 являются частью решения.

И, наконец, мы будем использовать закрашенные или закрашенные кружки, чтобы показать, что включены -3 и 7.

Пример 5 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это пример неравенства абсолютного значения «больше», который является примером случая , случай 2 . Давайте удалим выражение абсолютного значения, используя приведенное ниже правило.

Как видите, мы решаем два отдельных линейных неравенства.

В интервальной записи слово « или » заменяется символом «\ чашка», означающим « объединение ». Объединение наборов означает, что мы собираем неперекрывающиеся элементы двух или более наборов решений.

Ответ в интервальной записи будет более понятным, если вы посмотрите, как он выглядит на числовой прямой. В случае 2 стрелки всегда будут в противоположных направлениях. Белые кружки означают, что -3 и 7 не включены в решения, которые являются следствием символа «>».

Пример 6 : Решите неравенство абсолютных значений.

Разбейте это на два линейных неравенства и решите каждое отдельно. Вот правило для case 2 .

Вот решение.

Для обозначения интервалов мы используем квадратные скобки, чтобы включить в решение -2 и 3.

Закрашенные или закрашенные кружки означают, что -2 и 3 являются частью решения. В случае 2 стрелки всегда будут указывать в противоположных направлениях.

Возможно, вас также заинтересует:

Решение уравнений абсолютных значений

Графики функций абсолютных значений

Как использовать условное форматирование для выделения ячеек меньше или больше некоторого значения

Если вы хотите выделить ячейки на основе для значения в качестве критерия, то вы можете использовать условное форматирование с помощью встроенного правила и настраиваемой формулы.Это руководство покажет вам, как это сделать, на нескольких иллюстрированных примерах.

Использовать условное выделение для выделения ячеек меньше или больше значения

В приведенном ниже примере вы установите условное форматирование так, чтобы ячейка:

• • Становится темно-синим, если содержит значение больше 90
  • Становится темно-синим, если содержит значение больше 90.

Использование встроенного правила

Выберите диапазон, который нужно отформатировать.В нашем случае выбран C5: G10. На вкладке Главная ленты Excel щелкните Условное форматирование , чтобы отформатировать значения, превышающие заданное, выберите Правила выделения ячеек , а затем выберите параметр Больше, чем .

В окне Больше, чем необходимо удалить значение, которое отображается в поле, а затем выбрать ссылку на ячейку, в этом примере $ I $ 6, или ввести конкретное значение, которое является для вас самым низким пределом.

Чтобы раскрыть список форматов, щелкните Пользовательский формат , щелкните вкладку Заливка и щелкните темно-синий цвет заливки, который вам нужен.

Чтобы закрыть окно Формат ячеек, щелкните Ok , ячейки со значениями больше 90 будут окрашены в темно-синий цвет при выборе цветового формата. Снова нажмите ОК

Использование правила формулы клиента

Вы можете условно выделить ячейки, которые больше или равны, чтобы установить значение, используя правило формулы клиента.

Выберите ячейки для форматирования. В этом примере выбраны ячейки C5: G10. На вкладке Home щелкните выделение Conditional Formatting . Щелкните « Новое правило » и щелкните «Использовать формулу для определения…». и введите следующую формулу в окне Редактировать описание правила . Выберите Формат> Заливка> Темно-синий цвет для предварительного просмотра и нажмите ОК.

= C5> = 6 долларов США

Эта формула проверяет все активные ячейки в выбранном диапазоне и сравнивает каждое значение ячейки с заданным значением в ячейке $ I $ 6 .Будут выделены все те ячейки, которые больше заданного значения 90.

Нужна дополнительная помощь по условному форматированию или у вас есть другие вопросы по Excel? Свяжитесь с живым экспертом по Excel здесь, чтобы получить помощь один на один. Ваша первая сессия всегда бесплатна.

Вам все еще нужна помощь с условным форматированием? Ознакомьтесь с нашим исчерпывающим обзором руководств по условному форматированию здесь.

Больше чем против Больше чем и Меньше чем против Меньше чем

«БОЛЬШЕ / БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ / МЕНЬШЕ чем»

В чем разница?

Когда мы должны использовать «больше, чем» , а когда мы должны использовать «больше, чем» ?

А как насчет «меньше чем» или «меньше чем»?

Есть разница?

Да.

Ответ частично заключается в том, СЧЕТНО ли что-то или НЕ СЧЕТНО

Три правила для БОЛЬШЕ / БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем…

1) Если СЧЕТНО (собаки, квартиры, возможности, агентства, люди)

-> затем используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем комбинация

2) Если СЧЕТНО , , но связано со временем, расстоянием или деньгами ИЛИ если НЕ СЧЕТНО

-> затем используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем комбинация

3) Для ОБЕИХ СЧЕТНЫХ И НЕ СЧЕТНЫХ , если проводится сравнение УРОВНЯ, СТЕПЕНИ или ЧИСЛА чего-то

-> затем используйте комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ

Итак, есть только 3 возможных комбинации:
1) БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем
2) БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем
3) БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ чем

Позвольте мне повторить это.

Для слов, которые можно подсчитать, используйте опцию № 1: БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ чем.

Для слов, которые связаны со временем, деньгами или расстоянием ИЛИ не подсчитываются, используйте вариант № 2: БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем

Для слов, которые структурно позиционируются таким образом, что выполняется сравнение между уровнем / степенью / количеством чего-либо, используйте вариант № 3: БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ чем.

Вот и все — это единственные 3 возможные комбинации.

Действительно, варианты №1 и №2 охватывают большинство ситуаций.

Вариант №3 больше связан со структурой.

Да, просто изменение структуры предложения может заставить вас перейти от двух вариантов по умолчанию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ или БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ -> к варианту №3: БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

Например, давайте использовать слово ЛЮБОВЬ.

Общий пример №1: ЛЮБОВЬ

Если мы хотим сравнить степень любви одного и другого, это будет выглядеть так:

1) Моя любовь БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем любовь x ».

Можно ли сказать ту же мысль — но вместо использования комбинации БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем, мы используем комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ или БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ?

Да, это возможно.

Так как ЛЮБОВЬ — слово, которое не исчисляется, мы не можем использовать комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ. Нам пришлось бы использовать комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ.

Итак, это будет выглядеть так:

2) У меня БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ любви, чем у тебя »

Обратите внимание, что оба предложения говорят о ЛЮБВИ — НЕ СЧЕТНОЙ вещи — но в первом примере вы сравниваете степень «моей любви» со степенью «любви x» — тогда как во втором примере вы просто говорите что «У меня БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ» любви, чем у вас.

Итак, у вас есть 2 варианта. БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ или БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, когда речь идет о слове ЛЮБОВЬ. Другой вариант БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ неприменим.

Общий пример № 2: ВОЗМОЖНОСТИ

1) Количество возможностей, которые у него есть, БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем x
Теперь, возможно ли выразить ту же мысль о возможностях, но выразить ее без использования комбинации БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ чем?

Да, это возможно.

Хотя слово «возможности» можно исчислить, оно заключено во фразе «количество возможностей.«Вот почему мы должны использовать БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем указано выше.

Если мы не хотим использовать комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, тогда мы должны изменить СТРУКТУРУ фразы.

Поэтому вместо того, чтобы говорить «количество возможностей», мы должны изменить его на:

2) У него БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ возможностей, чем у х.

Поскольку «возможности» можно подсчитать — и мы не имеем дело с уровнем / степенью / или количеством — ситуации, мы можем использовать стандартную комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ.

Отсюда можно сказать:

У него больше возможностей, чем у х.

или

У него меньше возможностей, чем у x.

ПРАВИЛО: Для СЧЕТНЫХ слов используйте стандартную комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

НО при сравнении уровня, степени или количества — используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

СЧЕТНЫЕ слова включают:

человек, телефоны, елки, двери, автомобили, рождественские огни, обеды, домашние хозяйства и т. Д.

Счетный пример №1: Собаки

Более 5 собак ( правильных )
Более 5 собак (неправильных)
Менее 5 собак ( правильных )
Менее 5 собак (неправильных)

Да, вы можете спросить: «Сколько собак?» — , следовательно, используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ

Счетный пример № 2: Квартиры

Более 5 квартир ( правильных )
Более 5 квартир (неправильно)
Менее 5 квартир ( правильных )
Менее 5 квартир (неправильно)

Да, вы можете спросить: «Сколько квартир?» — , следовательно, используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ

Счетный пример № 3: Подруги

Более 5 подруг ( правильных )
Более 5 подруг (неправильных)
Менее 5 подруг ( правильных )
Менее 5 подруг (неправильных)

Да, вы можете спросить: «Сколько подруг?» — , следовательно, используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ

Резюме для СЧЁТНЫХ слов

Примечание для счетных слов — это довольно просто.Просто используйте комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ ЧЕМ по умолчанию. НЕ используйте комбинацию БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ.

Единственная разница заключается в МЕНЬШЕ и МЕНЬШЕ для этих счетных слов.

Но если вы думаете об использовании БОЛЬШЕ или БОЛЬШЕ, ЧЕМ — почти всегда используйте БОЛЬШЕ, ЧЕМ. Вы используете только БОЛЬШЕ, чем когда вы структурируете фразу таким образом, что вы сравниваете уровень / степень / или номер элемента, на который вы ссылаетесь.

Вкратце — для СЧЕТНОГО слова используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ.

ПРАВИЛО

: для несчетных слов используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ

НО при сравнении уровня, степени или количества — используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

Несчетные слова включают:

земля, любовь, деньги, вода, информация, счастье, время, хорошее поведение, строительные материалы

Несчетный Пример # 1:

ЛЮБОВЬ -> Используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ

Я на БОЛЬШЕ любви к ней , чем у вас. ( правильно ) — из-за НЕ задействованного уровня или степени, -> используйте БОЛЬШЕ, ЧЕМ
Я люблю ее БОЛЬШЕ, чем вы.(неправильно) —
Я люблю ее МЕНЬШЕ, чем ты. (неправильно)
У меня на МЕНЬШЕ, любви к ней , чем у вас. ( правильно )

Мой [уровень или степень] любви (НЕ подсчитываемой) к ней БОЛЬШЕ, чем ваша. (неправильно)
Моя [уровень или степень] любви (НЕ подсчитываемая) к ней на БОЛЬШЕ, чем вашей. ( правильно ) — из-за уровня или степени
Моя [уровень или степень] любви (НЕ подсчитываемая) к ней МЕНЬШЕ, чем ваша. (неправильно)
Моя [уровень или степень] любви (НЕ подсчитываемая) к ней на МЕНЬШЕ, чем вашей.( правильно )

Итог (ЛЮБОВЬ):

1) Моя [уровень или степень] любви (НЕ подсчитываемая) к ней на [БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ] , чем ваша. ( правильно ) — из-за уровня или степени
2) У меня [БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ] любви к ней, чем у вас ( правильно )

Несчетный Пример # 2:

ЗЕМЛЯ -> Используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ

У меня БОЛЬШЕ земли, чем у вас ( правильно )
У меня БОЛЬШЕ земли, чем у вас (неверно)

У меня МЕНЬШЕ земли, чем у вас (неправильно)
У меня МЕНЬШЕ земли, чем у вас ( правильно )

[Уровень или степень] плодородия моей земли БОЛЬШЕ, чем у вашей земли.(неправильно)
[уровень или степень] плодородия моей земли на БОЛЬШЕ , чем плодородия вашей земли. ( правильно ) — из-за уровня или степени
[уровень или степень] плодородия моей земли МЕНЬШЕ, чем у вашей земли. (неправильно)
[уровень или степень] плодородия моей земли на МЕНЬШЕ , чем плодородия вашей земли. ( правильно ) — из-за уровня или степени

Итого (земля):

1) У меня на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ земли, чем у вас ( правильно )
2) Плодородие моей земли на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем плодородия вашей земли.( правильно ) — из-за уровня или степени

Несчетный Пример № 3:

СЧАСТЬЯ -> Используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ
Сейчас у меня БОЛЬШЕ счастья, чем когда-либо. ( правильно )

Сейчас у меня БОЛЬШЕ счастья, чем когда-либо. (неправильно)
Сейчас у меня МЕНЬШЕ счастья, чем когда-либо. (неправильно)
Сейчас у меня МЕНЬШЕ счастья, чем когда-либо. ( правильно )

Мое [уровень или степень] счастья (НЕ подсчитываемое) БОЛЬШЕ, чем его. (неправильно)
Мое [уровень или степень] счастья (НЕ подсчитываемое) БОЛЬШЕ, чем его.( правильно ) -в зависимости от уровня или степени
Мое [уровень или степень] счастья (НЕ подсчитываемое) МЕНЬШЕ, чем его. (неправильно)
Мое [уровень или степень] счастья (НЕ подсчитываемое) МЕНЬШЕ, чем его. ( правильно )

Итог (счастье):

1) Сейчас у меня на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ счастья, чем когда-либо. ( правильно, )
2) Мой [уровень или степень] счастья (НЕ подсчитывается) на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем его.( правильно ) — из-за уровня или степени

Несчетный Пример # 4:

ВРЕМЯ (независимо от исчисляемого или неисчисляемого) -> Используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

Но если сравниваете уровень, степень или количество — тогда используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

У меня на БОЛЬШЕ раз (НЕ в счет), чем мне нужно. ( правильно, )
У меня БОЛЬШЕ времени (НЕ подсчитываемое), чем мне нужно. (неправильно)
У меня МЕНЬШЕ времени (НЕ подсчитывается), чем мне нужно (неправильно)
У меня МЕНЬШЕ времени (НЕ подсчитывается), чем мне нужно ( правильно )

Я изучаю БОЛЬШЕ , чем 40 минут в день.( правильно )
Я занимаюсь БОЛЬШЕ, чем 40 минут в день. (неправильно)
Я занимаюсь МЕНЬШЕ 40 минут в день. (неправильно)
Я изучаю МЕНЬШЕ , чем 40 минут в день. ( правильно )

Итого (время):

1) У меня на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ времени, чем мне нужно.
2) У меня есть на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ времени, чем мне нужно. 3) Я работаю БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ более 40 часов в неделю.4) Я изучаю БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ , чем 40 минут в день. 5) Мое учебное время на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ , чем 40 минут в день.

Несчетный пример # 5:

ДЕНЬГИ (независимо от того, счетные или несчетные) -> Используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

Но при сравнении уровня, степени или количества — используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ
1) Страна X имеет БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ денег , чем у страны Y.
2) Денежная масса страны X на БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, чем денежной массы страны Y.

Несчетный Пример # 6:

РАССТОЯНИЕ (независимо от исчисляемого или неисчисляемого) -> Используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

Но если сравниваете уровень, степень или количество — тогда используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ

У меня осталось БОЛЕЕ 3 миль. ( правильно )
У меня осталось БОЛЬШЕ 3 миль. (неверно)
У меня осталось МЕНЬШЕ 3 миль. (неправильно)
У меня осталось МЕНЬШЕ 3 миль. ( правильно )

Итого (расстояние): 1) У меня осталось БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ 3 миль.
2) У меня осталось больше / меньше 3 миль.

Некоторые дополнительные сведения об использовании БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ, ЧЕМ для уровня

, степени или числа ….

Используйте БОЛЬШЕ / МЕНЬШЕ — при сравнении # из:

Количество яблок БОЛЬШЕ, чем количество апельсинов. (неверно)

Количество яблок БОЛЬШЕ, чем количество апельсинов. (правильно)

Количество яблок МЕНЬШЕ, чем количество апельсинов.(неверно)
Количество яблок МЕНЬШЕ, чем количество апельсинов. (правильно)

А как насчет процентов (%)?

Проценты — это числа, верно? Итак, поскольку они относятся к одной величине, это должно означать, что то, что следует далее, СЧЁТНО, верно?

Или это потому, что есть число — значит, оно СЧЁТНО?

Оба ошибаются.

Понимаете, иногда вы говорите:

1) менее 40 процентов

А иногда говорят:

2) менее 40 процентов

В чем разница?

Ну, разница в том, что СЛЕДУЕТ за 40 процентами.

40 процентов чего? Это имеет значение.

Хотя мы можем думать о процентах как об отдельных величинах, а не как о чем-то СЧЕТНОМ, когда они ссылаются на на что-то счетное, тогда вы используете МЕНЬШЕ ЧЕМ вместо МЕНЬШЕ ЧЕМ.

СЧЁТНОЕ Примеры:

1) менее 40 процентов домохозяйств (домохозяйства подсчитываются -> используйте МЕНЬШЕ, ЧЕМ)
2) менее 40 процентов рождественских списков (рождественские списки учитываются -> используйте МЕНЬШЕ ЧЕМ)
3) менее 40 процентов обедов на обед (ужины на полдник исчисляются -> используйте МЕНЬШЕ, ЧЕМ)

БЕССЧЕТНЫЕ Примеры:

1) менее 40 процентов строительных материалов (строительные материалы НЕ подсчитываются -> используйте МЕНЬШЕ, ЧЕМ)
2) менее 40 процентов хорошего поведения (хорошее поведение НЕ подсчитывается -> используйте МЕНЬШЕ, ЧЕМ)
3) менее 40 процент формы для желе (форма для желе НЕ подсчитывается -> используйте МЕНЬШЕ, ЧЕМ)