Инструменты математические: История математических инструментов и их применения в обучении математике

История математических инструментов и их применения в обучении математике

Книга «История математических инструментов и их применения в обучении математике» готовится к изданию в этом году. А пока вы можете купить книгу «История математики» (2018) на сайте издательства:

https://ridero.ru/books/istoriya_matematiki/

Гильмуллин М.Ф, Новоженина Т.Е.

Исторически сложилось, что практическим предназначением математического образования является создание и применение инструментария, необходимого человеку в его повседневной деятельности. Каждому человеку приходится выполнять некоторые расчеты, измерения, построения, пользоваться общеупотребительными приборами и инструментами, таблицами. Поэтому одной из целей обучения математике в современной школе объявляется овладение знаниями, необходимыми в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования [6]. Хотя в требованиях к математической подготовке учащихся и в содержании обучения это отражается недостаточно.

Мы исходим из положения, что понимание учителем существования математических закономерностей в приложениях должно найти отражение в преподавании математики в целом. При этом условии учитель сможет мотивировать у учащихся необходимость отыскания этих закономерностей и их применения для решения конкретных практических задач.

В программах и планах средней школы по математике для проведения практических занятий, связанных с моделированием и измерительными работами, специальные часы теперь не отводятся. Когда-то в советской школе такие часы были, особенно в период перехода к политехническому обучению [3]. Уже в 20-30-х годах XX в. был издан ряд книг для учителя и брошюр о геодезических работах (Г.А. Владимирский, М.А. Знаменский, Н.А. Попов и др.).

В журнале «Математика в школе», начиная с 1937 г., был помещен ряд статей об измерительных работах. Позже, в 50-х годах, в комплексе разнообразных умений и навыков учащихся, были выделены умения пользоваться таблицами, счетными приборами, владеть чертежными и измерительными инструментами, производить измерения и обрабатывать их результаты [5].

Уже в начальной школе проводились простейшие работы на местности: провешивание прямых, измерение отрезков, упражнения в развитии глазомера. В основной школе программа перечисляла их характер и давала учителю право устанавливать сроки работ.

В учебниках геометрии (например, Н.Н. Никитина и др.) давались описания некоторых инструментов (астролябия, мензула, эккер). Разрабатывалась система учебного оборудования по математике, включающая также приборы и инструменты, например, «Типовые перечни учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ» (1977). В соответствии с этим перечнем, в состав учебного оборудования по математике для средней школы входили: приборы, модели, инструменты; печатные средства обучения; экранные средства обучения. В некоторых современных учебниках геометрии (А.Д. Александрова, Л.С. Атанасяна) можно встретить рисунки тех же самых инструментов, но их изучение не предполагается. В тематическом планировании, в теме «Инструменты для вычислений и измерений» (V-VI класс) даются только начальные сведения о вычислениях на калькуляторе, таблицы и диаграммы, линейка и транспортир.

Таким образом, одним из путей реализации прикладной направленности обучения математике в школе являлось применение математических инструментов. С течением времени, в связи с изменением целей математического образования, они все больше выходили из употребления. Возможно, их исключение из практики обучения являлось методологической ошибкой.

Применение инструментов решает многие задачи обучения. Осознание этого факта может прийти в процессе изучения истории их изобретения и применения на практике. Модели, приборы, инструменты могут быть использованы в различных формах обучения и на разных этапах занятий:

• при введении новых понятий и доказательстве теорем,
• при решении задач,
• при выполнении лабораторных и практических работ.

Такие исследования проводил, например, Р.А. Хабиб [8]: «Если внимательно присмотреться к принципу устройства приборов, если попытаться определить те геометрические свойства, которые лежат в основе их схем, то нетрудно убедиться, насколько тесно связано конструирование этих приборов с геометрической задачей на построение.

Идея использовать в обучении геометрии конструктивные приборы и инструменты весьма плодотворна: она показывает школьникам геометрические свойства в действии. Не менее важен и обратный переход: от геометрических свойств – к инструментам и приборам, которые могли бы реализовать эти свойства».

Многие изучаемые в школе теоремы лежат в основе математических инструментов. Например, описанный Г.М. Михайловым [5] «делительный угол» основан на свойстве биссектрисы угла треугольника. Агрометр Бибикова использует равновеликость треугольников с одним и тем же основанием, вершины которых находятся на прямой, параллельной основанию. Диаметромер для определения диаметров круглых тел опирается на свойства проекций катетов на гипотенузу. При помощи инверсора строятся фигуры, соответствующие данным в данной инверсии, а при помощи пантографа – гомотетичные фигуры. Логарифмическая линейка опирается на свойства логарифмов чисел. Нониус и поперечный масштаб основаны на подобии треугольников. Гомотетия находит применение при мензульной съемке.

Основная идея каждого инструмента наиболее выпукло представляется и легче усваивается на его самодельном варианте. Поэтому необходимо привлекать учащихся к их изготовлению. В условиях отсутствия часов на такие виды работ выходом является изучение этих вопросов в рамках факультативных и элективных курсов. Теория планиметра, номография, анаглифы представляют прекрасный материал для работы математического кружка. Теория математических инструментов является также основой для выполнения качественных творческих работ учащихся.

Опыт использования математических инструментов имеется и в зарубежной школе. Например, Б.П. Эрдниев писал: «Поучительно также обратить внимание на то, что в Японии обучение вычислениям на соробане (японских счетах) является полноправной темой курса математики в начальной школе. Педагоги этой страны напрямую связывают успешное овладение детьми математическими знаниями с хорошей постановкой вычислений на счетах» [9].

Фактически теория инструментов выделяется как специальный раздел математики – «инструментальная математика» [2]. Инструменты конструируются для проведения часто встречающихся вычислительных и измерительных операций и осуществляют их с известной степенью точности. Тем не менее, эта точность практически приемлема. Главное, использование инструментов упрощает трудоемкие операции, требующие опытных вычислителей. Инструменты могут обслуживаться людьми, не понимающими существа вычислительного процесса. Но в учебных целях необходимо изучение и математических основ инструмента.

Теория и конструирование инструментов привлекали внимание многих выдающихся ученых (Б. Паскаль, Г.В. Лейбниц, П.Л. Чебышев, А.Н. Крылов). Б.Н. Делоне написал «Краткий курс математических машин». Я.И. Перельман дал описания многих полезных инструментов.

Большое внимание истории и теории инструментов уделял и журнал «Историко-математические исследования». В течение XVII-XX веков практической разработке вычислительных средств, приборов, инструментов и машин уделялось большое внимание и в России, и за рубежом.

Были построены счетные машины от арифмометра до ЭВМ, для измерения площадей – планиметры, для определения длины кривых – курвиметры, для решения дифференциальных уравнений – интеграторы. Развивались новые отрасли вычислительной математики, например, номография [1].

Студентов физико-математических факультетов педагогических институтов теории и практике математических инструментов теперь тоже не обучают. Тем не менее, они в своей будущей профессиональной деятельности обязательно столкнутся с этими вопросами. Поэтому, по мере возможности, их надо познакомить хотя бы с теми инструментами, названия которых встречаются и в современных школьных учебниках. Сделать это можно было бы в курсе «Теории и методики обучения математике», а более подробно в специальных курсах, курсах по выбору. Истории изобретения математических инструментов нужно уделить внимание и в курсе «Истории математики».

К сожалению, сведения о происхождении и математических основаниях инструментов и приборов нигде не собраны. Они рассеяны в различных книгах и журналах. Книг для учителей и учащихся, написанных специально на эту тему, нет. Некоторые подобные сведения, посвященные в основном средствам измерений на местности, содержатся в книгах М.А. Знаменского [4], В.Г. Прочухаева [7] и др.

Когда-то большое внимание развитию инструментальной математики уделялось и за рубежом. Книга Ф.А. Виллерса «Математические инструменты» [2] представляет собой справочного характера монографию по некоторым типам математических приборов. Она не содержит описания немеханических, то есть оптических, электрических, электронных устройств.

Поэтому возникла идея собрать в одной книге материалы об истории возникновения математических инструментов и их применения в обучении математике. Предполагалось ответить на следующие вопросы о каждом конкретном инструменте: кем и когда изобретен, на каких принципах основан, где применялся, как назывался, использовался ли в школьной практике и может ли быть использован в настоящее время.

Относительно некоторых инструментов удалось ответить не на все вопросы. Мы не ставили цели полностью описать их устройство и дать инструкции по применению. Без слишком больших технических подробностей мы разъяснили принцип работы и теорию инструмента, так как только знание теории позволяло полностью использовать его возможности. Более подробные описания даны в указанных источниках. В них же содержатся и некоторые методические указания для работы учителя. Понятно, что такая работа должна быть органически связана с программным материалом. Мы пока не ставили задачу описания методики применения математических инструментов.

Наша работа ограничивается теорией и практикой применения математических инструментов. Четкого определения этого понятия нет. Поэтому сначала уточним, что мы предполагаем под понятием «математический инструмент». Практическая полезность математики основана на том, что ее предметом являются количественные отношения и пространственные формы реального мира, которые выражаются в числах и фигурах. Любое применение математики связано с этими основными понятиями. Будем исходить из определения, что математические инструменты – это технические средства, применяемые для изучения предметов и явлений через их числовые и геометрические характеристики. Они используются для вычислений, измерений и построений фигур. Из этих соображений мы проводим их классификацию: вычислительные, измерительные и конструктивные инструменты.

В результате измерения получаются числа, выражающие математические свойства: длина, площадь, объем и др. Хотя все измерительные инструменты выдают некоторые числа, эти характеристики могут выражать физические, химические и др. свойства. Поэтому некоторые физические приборы и инструменты (например, амперметр, манометр) мы не относим к математическим. При этом физические основы приборов значения не имеют: они могут быть механическими, оптическими, электрическими, электронными устройствами.

Некоторые инструменты применяются в практике многих наук (например, угломерные инструменты). Также на стыке наук используются многие вычислительные средства «на бумажном носителе»: таблицы, графики, номограммы и др. Так как они отражают числовые характеристики математических моделей реальных процессов, их можно считать математическими инструментами.

Конструктивные инструменты используются для построений фигур, как на бумаге, так и на местности. К ним же относятся чертежные инструменты. Условно можно отнести к ним и геометрические модели, стереочертежи.

Некоторые инструменты являются комбинированными, например, используются и как измерительные, и как конструктивные. Большинство приборов и инструментов для работы на местности являются таковыми.

Более подробно описываются те инструменты, которые когда-то использовались в процессе обучения математике, но не только в средней школе. Среди них есть как простейшие инструменты (линейка, циркуль), так и сложнейшие оборудования (ЭВМ, интегриметр).

Приведем примеры названий статей: абак, арифмометр, логарифмическая линейка, счеты, астролябия, буссоль, планиметр, эклиметр, инверсор, мензула, пантограф, эккер. Даны описания некоторых редко встречающихся инструментов: агрометр Бибикова, гармонический анализатор, гиперболическая доска, гониометр, кипрегель. Статьи в книге расположены в алфавитном порядке, содержат ссылки на другие статьи. Для каждого инструмента дано объявленное нами описание и библиографический указатель. Описаны более сотни инструментов. Приведем для примера статьи из нашего сборника, посвященные астролябии и пантографу.

Астролябия – классический угломерный инструмент. Известен со времен астрономов Гиппарха (II в. до н.э.) и Птолемея (II в. н.э.). Слово «астролябия» происходит от греческих слов astron (звезда, по лат. astrum) и lambanw (брать, схватывать, по лат. labium – губа). Это показывает, что в древности астролябия применялась для определения углов на небосводе. Позднее астролябия превратилась в основной геодезический инструмент для измерения углов, расположенных в горизонтальной плоскости, проведения параллельных и перпендикулярных линий, для съемки плана местности и др. [4]. До XVIII в. он служил также для определения широт и долгот.

Астролябия состоит из металлического лимба с градусным делением и неподвижно скрепленной с ним парой диоптров. В центре лимба вращается алидада с подвижной парой диоптров. Лимб при помощи втулки надевается на штатив. Более совершенные астролябии имеют укрепленную на алидаде зрительную трубу для визирования на далекое расстояние и могут быть снабжены компасом или буссолью, верньером для отсчета долей градуса, лимбом для измерения углов в вертикальной плоскости.

Измерение углов при помощи астролябии заключается в съемке показаний на лимбе угломера после его наведения с точки стояния на предметы, между направления на которые требуется определить угол. Разность этих показаний дает величину измеряемого угла.

В учебных целях астролябия используется давно. В 50-е годы XX в. Главучтехпром Министерства просвещения РСФСР выпускал школьную астролябию. Модели астролябии можно изготовить своими силами. Для этого выпускались даже шкалы лимба и инструкции по их изготовлению [3]. Самодельные астролябии могут быть изготовлены также из двух ученических транспортиров, дающих полный лимб [4].

Пантограф – инструмент для вычерчивания гомотетичных фигур (рисунков, планов, карт). С помощью пантографа производят подобное копирование. Такой механический прибор изобрел в 1603 г. Христофор Шейнер и назвал его пантографом, основываясь на греческие слова pan (все) и grajw (пишу), буквально «тот, что все пишет».

Пантограф может иметь различные конструкции. Его теория описывается во многих учебниках геометрии, например, у А.П. Киселева. Обычная конструкция пантографа содержит параллелограмм, сторонами которого служат металлические стержни, могущие на шарнирах вращаться вокруг вершин. Одна из вершин укрепляется неподвижно, она исполняет роль центра гомотетии. На продолжении одной из сторон устанавливается штифт, описывающий заданную фигуру. Тогда карандаш, установленный на отрезке между этими точками на расстоянии, определяемом коэффициентом гомотетии, описывает подобную фигуру [4]. Установление этого факта – элементарная геометрическая задача.

Самодельный пантограф, который можно изготовить из пяти планок равной длины из детского набора «Конструктор», описан Г.М. Михайловым [5]. На этих планках просверлены отверстия, расположенные на равных расстояниях друг от друга. Четыре планки образуют ромб, а положение пятой регулируемой планки определяется коэффициентом подобия.

Надеемся, что творчески работающие учителя смогут использовать наши материалы в процессе обучения математике в школе и вузе.

Список литературы


1. Брадиc В.М. Средства и способы элементарных вычислений / В.М. Брадис. – М.: Учпедгиз, 1954. – 230 с.
2. Виллерс Ф.А. Математические инструменты / Ф.А. Виллерс. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. – 302 с.
3. Дорф П.Я. Измерения на местности: пос. для учит. мат. V-VII кл. / П.Я. Дорф, А.О. Румер. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1953.
4. Знаменский М.А. Измерительные работы на местности: пос. для студ. физ.-мат. фак-ов пед. ин-ов / М.А. Знаменский. – М.: Учпедгиз, 1960. – 192 с.
5. Преподавание математики: сб. статей / под ред. А.И. Фетисова. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1957. – 252 с.
6. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002. – 320 с.
7. Прочухаев В.Г. Измерения в курсе математики средней школы: пос. для уч. / В.Г. Прочухаев. – М.: Просвещение, 1965. – 140 с.
8. Хабиб Р.А. О новых приемах обучения планиметрии / Р.А. Хабиб. – М.: Просвещение, 1969. – 158 с.
9. Эрдниев Б.П. Не выбрасывайте русские счеты / Б.П. Эрдниев // Математика в школе. – 1988. – №5. – С. 53.
10. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / А.Я. Блох, Е.С. Канин и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.
11. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.
12. Большая Советская Энциклопедия: 3-е изд. / гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1970-1978.

Опубликовано:


Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: Материалы Международной научной конференции / Отв. ред. А.Е. Малых; Перм. гос. пед. ун-т. – Пермь, 2007. – С. 218-223.

КОНКУРСНАЯ РАБОТА по математике «Математические инструменты». (проект

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
НЕМЧИНОВСКИЙ ЛИЦЕЙ

(143021, Московская область, Одинцовский район,рп Нвоивановское, ул.Агрохимиков, д.1)

тел.591-92-65

КОНКУРСНАЯ РАБОТА

по математике

«Математические инструменты».

(проект)

Выполнил:

Родионов Антон, 6а класс

Московская область,

Одинцовский район, ул.Агрохимиков

Руководитель:

Буравлева Елена Федоровна,

учитель математики

Немчиновского лицея.

рп Новоивановское

2017

Оглавление.

п/п

Название раздела

Стр.

1

Введение:

2

2.Актуальность

4

3.О проекте

6

4

Математические инструменты.

8

4.1 Общие сведения.

8

4.2 Циркуль.

9

4.3 Линейка.

11

4.4 Карандаш.

13

5

Задачи на построение

15

6

Заключение.

17

7

Список используемой литературы

18

Приложения

19

1. Актуальность.

Если ваш единственный инструмент — молоток,

то каждая проблема становится похожей на гвоздь.
Абрахам Маслоу

Исторически сложилось, что практическим предназначением математического образования является создание и применение инструментария, необходимого человеку в его повседневной деятельности. Каждому человеку приходится выполнять некоторые расчеты, измерения, построения, пользоваться общеупотребительными приборами и инструментами, таблицами. Поэтому одной из целей обучения математике в современной школе является овладение знаниями, необходимыми в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

В программах и планах средней школы по математике для проведения практических занятий, связанных с моделированием и измерительными работами, специальные часы теперь не отводятся. Когда-то в советской школе такие часы были, особенно в период перехода к политехническому обучению (про это мне рассказывали мои бабушка и дедушка). Уже в 20-30-х годах XX в. был издан ряд книг для учителя и брошюр о геодезических работах (Г.А. Владимирский, М.А. Знаменский, Н.А. Попов и др.)

В журнале «Математика в школе», начиная с 1937 г., был помещен ряд статей об измерительных работах. Позже, в 50-х годах, в комплексе разнообразных умений и навыков учащихся, были выделены умения пользоваться таблицами, счетными приборами, владеть чертежными и измерительными инструментами, производить измерения и обрабатывать их результаты ¹[5].

Уже в начальной школе проводились простейшие работы на местности: провешивание прямых, измерение отрезков, упражнения в развитии глазомера. В основной школе программа перечисляла их характер и давала учителю право устанавливать сроки работ.

В учебниках геометрии (по рассказам нашей учительницы) давались описания некоторых инструментов (астролябия, мензула, эккер). Разрабатывалась система учебного оборудования по математике, включающая также приборы и инструменты, например, «Типовые перечни учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ». В состав учебного оборудования по математике для средней школы входили: приборы, модели, инструменты; печатные средства обучения; экранные средства обучения. В некоторых современных учебниках геометрии (А.Д. Александрова, Л.С. Атанасяна) (видел у друга) можно встретить рисунки тех же самых инструментов, но их изучение не предполагается.

В теме «Инструменты для вычислений и измерений» (V-VI класс) даются только начальные сведения о вычислениях на калькуляторе, таблицы и диаграммы, линейка и транспортир.

Таким образом, одним из путей реализации прикладной направленности обучения математике в школе являлось применение математических инструментов. С течением времени, в связи с изменением целей математического образования, они все больше выходили из употребления. Возможно, их исключение из практики обучения является ошибкой. Поэтому, главной причиной, послужившей выбору этой темы и созданию данной работы, является попытка, хотя бы частично, ее устранить.

2. О проекте.

Тема проекта: «Математические инструменты».

Идея проекта: создание временной экспозиции «Математические инструменты».

Проблема, на решение которой направлена работа: недостаточные знания (результаты анкетирования – приложение №1) о роли математических инструментов в жизни каждого человека ( в том числе ученика), которое проявляется в невысоком уровне математической культуры, в узком понимании важности математических инструментов.

Объект исследования: история возникновения математических инструментов, современное их трактование.

Предмет исследования: роль измерительных инструментов в математике, условия формирования у современных школьников интереса к измерительным инструментам, как к фактору, влияющему на жизнь людей.

Гипотеза: каждый ученик сможет показать более высокие результаты в изучении математики, если создать положительную мотивацию для изучения предмета через применение инструментов и соотнесение практических результатов со своим жизненным опытом.

Цель: получение положительной мотивации к изучению предмета математика через создание интереса к математическим инструментам, как фундаменту любой науки и даже жизни, необходимыми в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин.

Задачи:

1. Изучение имеющегося опыта и литературы по вопросу влияния инструментария на качество изучения предмета математика и смежных наук.

2. Систематизация материала, его обобщение и их использование при изучении разных тем в математике.

3. Создание временной выставочной экспозиции «Математические инструменты».

Этапы Проекта:

Январь

аналитический

Разработка мероприятий и создание условияй для привлечения к работе учителей и обучающихся. Проведение экспертной оценки методов и форм деятельности, составление рекомендаций.

Февраль, март

обобщающий

Подведение итогов работы. Создание временной выставочной экспозиции. Участие в Школьной НПК.

Задачи этапов Проекта:

Подборка материалов для обработки

Показать связь математики и измерительных инструментов на примере достоверных исторических данных, аналитических материалов.

Сбор материала, его обработка

Выступление перед заинтересованной аудиторией

Разработать диагностические анкеты, с целью повышения интереса к объекту исследования

Проведение анкетирования.

Результаты анкетировния.(приложение №1 и таблица п.5 работы)

Показать красоту и многогранность математики через знакомство с материалами работы над проектом

Проведение экскурсий. Выступление на школьной НПК

Проект и компьютерная программа «Расчет числа жизни».

(Со)участники проекта: ученики (6-9 кл.), учителя и родители (проявившие интерес).

Ожидаемые результаты: в результате работы над Проектом будут получены сведения, которые расширят наши знания о математических инструментах, откроют новые стороны науки математика (прикладное ее значение), а также позволят нам лучше понимать предмет через практические навыки работы с математическими инструментами.

3.Введение.

«Если внимательно присмотреться к принципу устройства приборов,

если попытаться определить те геометрические свойства,

которые лежат в основе их схем, то нетрудно убедиться,

насколько тесно связано конструирование этих приборов

с геометрической задачей на построение»

Р.А.Хабиб.

Опыт использования математических инструментов имеется и в зарубежной школе. Например, стоит обратить внимание на то, что в Японии обучение вычислениям на соробане (японских счетах) является полноправной темой курса математики в начальной школе. Педагоги этой страны напрямую связывают успешное овладение детьми математическими знаниями с хорошей постановкой вычислений на счетах»².

Фактически теория инструментов выделяется как специальный раздел математики – «инструментальная математика»³ . Инструменты конструируются для проведения часто встречающихся вычислительных и измерительных операций и осуществляют их с известной степенью точности. Тем не менее, эта точность практически приемлема. Главное, использование инструментов упрощает трудоемкие операции, требующие опытных вычислителей. Инструменты могут обслуживаться людьми, не понимающими существа вычислительного процесса. Но в учебных целях необходимо именно изучение и математических основ инструмента.

Теория и конструирование инструментов привлекали внимание многих выдающихся ученых (Б. Паскаль, Г.В. Лейбниц, П.Л. Чебышев, А.Н. Крылов). Б.Н. Делоне написал «Краткий курс математических машин». Я.И. Перельман дал описания многих полезных инструментов.

Большое внимание истории и теории инструментов уделял и журнал «Историко-математические исследования». В течение XVII-XX веков практической разработке вычислительных средств, приборов, инструментов и машин уделялось большое внимание и в России, и за рубежом.

К сожалению, сведения о происхождении и математических основаниях инструментов и приборов нигде не собраны. Они рассеяны в различных книгах и журналах. Книг для учителей и учащихся, написанных специально на эту тему, нет. Некоторые подобные сведения, посвященные в основном средствам измерений на местности, содержатся в книгах М.А. Знаменского, В.Г. Прочухаева⁴ и др.

Когда-то большое внимание развитию инструментальной математики уделялось и за рубежом. Книга Ф.А. Виллерса «Математические инструменты»⁵ представляет собой справочного характера монографию по некоторым типам математических приборов. Она не содержит описания немеханических, то есть оптических, электрических, электронных устройств.

Поэтому возникла идея собрать в одной работе материалы об истории возникновения математических инструментов и их применения в обучении математике. Хотелось ответить на следующие вопросы о каждом конкретном инструменте: кем и когда изобретен, на каких принципах основан, где применялся, как назывался, использовался ли в школьной практике и может ли быть использован в настоящее время.

Относительно некоторых инструментов удалось ответить не на все вопросы. Мы не ставили цели полностью описать их устройство и дать инструкции по применению. Без слишком больших технических подробностей мы разъяснили принцип работы и теорию инструмента, так как только знание теории позволяло полностью использовать его возможности. Более подробные описания даны в указанных источниках. В них же содержатся и некоторые методические указания для работы учителя. Понятно, что такая работа должна быть органически связана с программным материалом. Мы пока не ставили задачу описания методики применения математических инструментов.

Наша работа ограничивается теорией и практикой применения математических трех основных инструментов, трех китов геометрических построений, ЛИНЕЙКА, ЦИРКУЛЬ, КАРАНДАШ.

4.Математические инструменты.

Чем бы вы не занимались,

никогда не экономьте на инструменте —

работа будет доставлять удовольствие

и идти быстрее.

4.1 Общие сведения.

Четкого определения понятия «математический инструмент» нет. Поэтому сначала уточним, что предполагается под понятием «математический инструмент» (одна из возможных версий. «Практическая полезность математики основана на том, что ее предметом являются количественные отношения и пространственные формы реального мира, которые выражаются в числах и фигурах. Любое применение математики связано с этими основными понятиями. Будем исходить из определения, что математические инструменты – это технические средства, применяемые для изучения предметов и явлений через их числовые и геометрические характеристики». Они используются для вычислений, измерений и построений фигур. Из этих соображений проводится их классификация: вычислительные, измерительные и конструктивные инструменты.

В результате измерения получаются числа, выражающие математические свойства: длина, площадь, объем и др. Хотя все измерительные инструменты выдают некоторые числа, эти характеристики могут выражать физические, химические и др. свойства. Поэтому некоторые физические приборы и инструменты (например, амперметр, манометр) мы не относим к математическим. При этом физические основы приборов значения не имеют: они могут быть механическими, оптическими, электрическими, электронными устройствами.

Некоторые инструменты применяются в практике многих наук (например, угломерные инструменты). Также на стыке наук используются многие вычислительные средства «на бумажном носителе»: таблицы, графики, номограммы и др. Так как они отражают числовые характеристики математических модел

Математический инструментарий — Энциклопедия по экономике

Как мне представляется, научность и значимость любой университетской дисциплины в области прикладной экономики отнюдь не определяются одной лишь сложностью используемого в ней математического инструментария, а пробелы в базовом экономическом образовании, да и в математическом тоже, нигде не проявляются так явно, как в необоснованной математизации процесса принятия управленческого решения. Именно поэтому хочется подчеркнуть, что, обосновывая базовые методы финансовой аналитики, во главу угла нужно ставить экономическую, финансовую природу операции что касается используемого математического аппарата, то он имеет лишь вспомогательное значение.  [c.316]










В связи с тем, что основой математического инструментария эконометрики является теория вероятностей и математическая статистика, в главе 2 представлен краткий обзор ее основных понятий и результатов. Следует иметь в виду, что данный обзор не может заменить систематического изучения соответствующего вузовского курса.  [c.3]

Прежде чем изучать основные разделы эконометрики — классическую и обобщенную модели регрессии, временные ряды и системы одновременных уравнений (гл. 3—10), рассмотрим в следующей главе (гл. 2) основные понятия теории вероятностей и математической статистики, составляющие основу математического инструментария эконометрики. Подготовленный соответствующим образом читатель может сразу перейти к изучению гл. 3.  [c.23]

Более сложный метод оценки эффективности деятельности предприятия состоит в оценке уровня взаимосвязи между затратами и результатами, между затратами и ресурсами, в оценке взаимосвязи конечных результатов деятельности. Проведение такого анализа требует специально разработанного математического инструментария — построения производственной функции. Анализ производственной функции позволяет количественно измерить влияние различных затрат на конечный результат (прибыль), оценить влияние различных факторов.  [c.372]

На то была хорошая причина. Экономическая теория отвечала двум важнейшим потребностям инвестиционных банкиров. Прежде всего инвестиционным банкирам нужны практичные люди, готовые подчинить образование карьерным замыслам. Экономическая теория, превращавшаяся во все более глубокомысленную и трудную для понимания дисциплину, обильно оснащенную почти бесполезным математическим инструментарием, казалась почти специально созданной на роль сортировочного устройства. Способ ее преподавания вряд ли мог зажечь чье-либо воображение. Я имею в виду, что мало кто мог похвалиться, что ему действительно нравится изучать экономическую теорию это занятие было не для тех, кто ценит удовольствия. Изучение экономической теории было разновидностью ритуального жертвоприношения. Доказать это свое утверждение я, разумеется, не могу. Это чистая догадка, основанная на том, что экономисты называют ползучим эмпиризмом . Иными словами, я наблюдал. Я видел, как мои друзья неумолимо чахнут. Я часто спрашивал интеллигентных во всех остальных отношениях студентов,  [c.11]

Для того, чтобы установить факт монополизации, антимонопольное регулирование предполагает широкое использование математического инструментария и вообще всего теоретического аппарата концепций несовершенной конкуренции Э. Чемберлина, Дж. Робинсон, В. Парето и других экономистов. Исполнительные органы власти ведут не только карательную , но и профилактическую работу по предотвращению монополистических ограничений. Например, министерством юстиции издаются справочные материалы, содержащие параметры сделок по  [c.119]

Макаров В.Л. О развитии экономико-математического инструментария на современном эта пе // Экономика и мат. методы. 1986. № 3. С. 417.  [c.346]

В 90-х гг. после некоторого спада Э.-м.и. в России вновь активизировались. Исследования развивались по двум основным направлениям. С одной стороны, продолжилось развитие общего экономико-математического инструментария, средств математического анализа экономики, с другой — активизировалась разработка аналитических и прогнозных моделей переходной, смешанной экономики, учитывающих специфику исторического пути России и особенности текущего состояния ее социально-экономических, микроэкономических объектов, мезо- и макроэкономических систем.  [c.408]

Математический инструментарий обладает рядом свойств, среди которых наиболее важными являются  [c.105]

При описании экономико-математических моделей и методов главное внимание обращается на их экономическое содержание и интерпретацию. Авторы умышленно отказались от полноты перечисления и отражения всего накопленного экономико-математического инструментария, ибо это невозможно в ограниченном объеме учебного пособия и нецелесообразно по методическим соображениям (учебник — не энциклопедия). Был выбран другой путь — везде, где это возможно, делался акцент на методологических и методических вопросах, выводя их из как можно более простых для восприятия и прозрачных по экономическому содержанию моделей и методов. Указанные особенности материала книги делают возможным ее широкое использование (в тех или иных разделах и фрагментах) для студентов экономических специальностей, в том числе и не обладающих серьезной математической подготовкой.  [c.3]

Столь длинное предисловие обусловлено тем, что автор придерживается сформулированного принципа в настоящей статье. Будут указываться доводы и за и против , но когда нетерпеливый читатель будет уже готов проглотить готовый рецепт-вывод типа плюсы перевешивают минусы или наоборот, то такой читатель будет разочарован — никакого итога подведено не будет. К этому надо привыкнуть. Зачем же такая наука — воскликнет разочарованный читатель. Затем, что на практике всегда есть дополнительные обстоятельства, которые, быть может, весьма косвенно связаны с изучаемым явлением, но существенны для определенного выбора между за и против в данной конкретной ситуации. Формализация же таких дополнительных обстоятельств, накладываемых на данную теорию, практически невозможна. Это соображение объясняет, например, почему теоретическая экономика не может быть сведена к своему математическому инструментарию в той же степени, как это удается сделать в теоретической физике.  [c.296]

Экономико-математическое моделирование — эффективный инструмент изучения экономических объектов и способ принятия решений по их поведению в реальных жизненных ситуациях. Математический инструментарий, применяемый в экономико-математических исследованиях, весьма разнообразен и достаточно сложен. Он находится в стадии постоянного совершенствования, углубления, для его применения требуется специальная подготовка. Вместе с тем потребность в экономико-математических исследованиях реальных объектов все время возрастает, а разрыв между спецификой математических методов и необходимой глубиной познания реальных объектов при их моделировании увеличивается. Например, прогнозирование поведения курса акций на рынке ценных бумаг требует изучения большого числа факторов, влияющих на этот процесс, а отбор и анализ факторов, знание мотивационных, политических условий, предвидение тех или иных событий, владение доверительной тайной или иной информацией — необходимые условия эффективной курсовой политики. Эксперты, соблюдающие эти условия, конечно, не в состоянии в совершенстве знать математическую статистику, регрессионный анализ, теорию игр, алгебру конфликта, спектральный анализ циклических колебаний и другие математические инструменты, необходимые для исследований рыночной конъюнктуры. Точно также специалист-математик не в состоянии в достаточной степени владеть рыночной конъюнктурой. Поэтому важно найти способ преодолеть разрыв между знаниями специалиста-математика и специалиста-экономиста по проблемам конкретного объекта исследования. Необходим язык понимания между математиком и экономистом.  [c.13]

Чтобы тот же эффект проявился в мире факторных цен и номинальных доходов, нужно было бы проследить всю цепь взаимосвязей товарных и факторных рынков, возникающих на пути к состоянию общего экономического равновесия. Необходимый для такого анализа математический инструментарий Смиту и Рикардо был недоступен. Пионером такого анализа стал Л. Вальрас, работавший век спустя после А. Смита (см. гл. 13). Тем поразительнее успех Рикардо, добившегося аналогичного результата с помощью одной лишь системы строго выверенных научных абстракций.  [c.70]

С другой стороны, повышенная степень абстрактности основного течения, его относительная независимость от реальных фактов представляет собой серьезную методологическую проблему. Соотношение теории и фактов ни в какой другой общественной науке не является столь болезненным вопросом, как в экономической теории. Повышенный уровень абстрактности, позволяющий применить в чрезвычайно широких масштабах математический инструментарий, приводит в конечном счете к проблеме выбора между истиной и строгостью .  [c.759]

Для того, чтобы установить факт монополизации, антимонопольное регулирование предполагает широкое использование математического инструментария и теоретического аппарата концепций несовершенной конкуренции, разработанных Э. Чемберлином, Дж. Робинсон, В. Парето и другими экономистами. Исполнительные органы власти ведут не только карательную , но и профилактическую работу по предотвращению монополистических ограничений. Например, министерством юстиции США издаются справочные материалы, содержащие параметры сделок по слиянию и поглощению компаний, которые подпадают под действие антитрестовского законодательства. Так, интересен критерий, на основе которого делается заключение о факте установления на рынке монополистического превосходства одного или нескольких предприятий 33% — для одного предприятия, 50% — для трех, 66,6% — для пяти.  [c.186]

Исходя из данного вывода для более углубленного понимания возможностей оптимизации процессов управления на микроуровне остановимся на анализе параметров жизненного цикла организаций с использованием математического инструментария.  [c.176]

В целом же решение задач оптимизационного антикризисного менеджмента предполагает систематическую прогнозно-аналитическую деятельность с широким использованием экономико-математического инструментария, электронно-вычислительной техники, активной работы экспертов, аналитиков, разработчиков систем.  [c.192]

Особенности учебника. Учебник содержит не только инструментарий экономического анализа, знание которого необходимо любому грамотному экономисту, но и многочисленные примеры его применения. Последние способствуют лучшему использованию экономических знаний при выборе математического инструментария и построении экономико-математических моделей. Вопросы, приведенные в конце каждой главы, помогают читателю лучше разобраться в пройденном материале и проверить его усвоение.  [c.8]

Другая особенность состоит в том, что в книге читатель найдет как общую методологию использования математического инструментария и математических моделей в экономике, так и конкретное изложение основных математических понятий и методов функций и графиков функциональных зависимостей, производных и эластичности, предельного анализа и направлений его применения в экономике (построение и анализ функциональных зависимостей и решение оптимизационных задач различной сложности), понятий и методов теории игр, понятий и методов теории вероятностей, математической статистики и эконометрики с многочисленными примерами их применения.  [c.8]

Учебное пособие позволяет оценщику развить свои профессиональные знания в сфере оценки объектов недвижимости, а также технической экспертизы реального состояния объекта оценки. В пособии раскрыты методы оценки объектов недвижимости, а также математический инструментарий обработки оценочной информации.  [c.2]

Проблему оценки способностей работников (специалистов) к руководящей деятельности предстоит решать, опираясь на опыт развитых стран и тот математический инструментарий, который предоставил нам квалиметрический подход к оценке качественных явлений, в частности, факторно-критериальные модели.  [c.139]

Наблюдаемость определяется устойчивостью воспроизведения реперных точек переходной характеристики качества услуги с координатами (Кн, тн) и (Кк, тк) с помощью соответствующего экономико-математического инструментария.  [c.33]

Для того, чтобы величина прибыли была максимальной, фирме необходимо производить такое количество продукции, при котором предельная выручка равна предельным издержкам. Формально MR(Q)-M (Q). Данное утверждение можно объяснить и более строго, используя математический инструментарий.  [c.235]

В курсе проблематики «Экономикс» широко используются методы анализа, синтеза, индукции, дедукции, научного абстрагирования, а также математический инструментарий.  [c.4]

ИНСТРУМЕНТАРИЙ СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ — система методических и технических приемов осуществления исследования, воплощенная в соответствующих операциях и процедурах и представленная в форме разнообразных документов. В состав И.с.и. входят методики сбора первичных данных — инструкции по проведению наблюдения, выборки, анализа документов, опросные листы и т.д. формы протоколов записи данных и их подготовки к ручной или машинной обработке логико-математическое обеспечение анализа эмпирической информации инструкции для научно-вспомогательного персонала и руководителей различных стадий подготовки полевого исследования, его осуществления и обработки собранных данных.  [c.100]

В ходе изучения инновационно-инвестиционной модели необходимо задействовать инструментарий математического анализа экономики, и отправной точкой является факторная модель производственной функции.  [c.12]

Фундаментальный анализ представляет собой углубленное, комплексное исследование сущности изучаемых явлений с использованием математического аппарата и другого сложного инструментария.  [c.15]

Совершенствование инструментария научных исследований имеет очень большое значение и является основой успеха и эффективности аналитической работы. Чем глубже человек проникает в сущность изучаемых явлений, тем более точные методы исследования ему требуются. Это характерно для всех наук. За последние годы методики исследования во всех отраслях науки стали более совершенными. Важным приобретением экономической науки является использование математических методов в экономических исследованиях, что делает анализ более глубоким и комплексным.  [c.26]

К сожалению, до сих пор еще встречаются рецидивы подобного подхода, проявляющиеся, прежде всего, в высказываниях либо некоторых «чистых» математиков, не нашедших своего места в собственной классической науке и пытающихся «прислониться» к прикладным экономическим разработкам путем бездумной их математизации, когда в угоду красоте математических выкладок выхолащивается экономическая природа изучаемого явления, либо отдельных специалистов, работающих в смежных с бухгалтерско-финансовым блоком дисциплинах (автоматизированные системы управления, математическое моделирование экономических процессов и т.п.). Выдвигаемый ими в качестве аргумента тезис как «заезженная пластинка» повторяет уже не раз слышанное «в финансовых и коммерческих вычислениях пользуются простым инструментарием, доступным даже школьнику, а потому в университетах следует читать не финансовые вычисления, а финансовую математику».  [c.315]

Вид кривой жизненного цикла потребности и ее теоретическая интерпретация в каждом конкретном случае могут быть различными. Наиболее приемлемыми функциями, описывающими поведение графика потребности в этот период могут быть кривая Гомпертца и логистическая кривая. Но в отдельных случаях с достаточной степенью точности изменение потребности может быть аппроксимировано модифицированной экспонентой, логарифмической и обратнологарифмической зависимостями. При этом идентификация кривой жизненного цикла потребности по выбранной аналитической зависимости производится с использованием математического инструментария, в частности, основных положений теории математической статистики.  [c.136]

Математический инструментарий, используемый для выработки управленческих решений, имеет потребительную стоимость только в случае его реализованности в виде действующего программ-  [c.113]

Научный подход к решению проблем. Иной раз исследование операций рассматривается исключительно как способ использования математических методов для решения управленческих проблем. Несмотря на то что математика играет важную роль при формулировке операционистских задач и что математический инструментарий используется для нахождения и опробования возможных решений, исследование операций представляет собой нечто большее, ч м математика. Это прикладная наука. Математика имеет к исследованию операций такое же отношение, как в химии или физике, она дает возможность формулировать задачи и их решения на недвусмысленном языке математических знаков, символов- и чисел.  [c.445]

Вернемся к общему (негауссовскому) случаю. Практика многомерного статистического анализа показала, что частные коэффициенты корреляции, определенные соотношениями (1.22) — (1.23 ), являются, как правило, удовлетворительными измерителями очищенной линейной связи между х(1) и при фиксированных значениях остальных переменных и в случае, когда распределение анализируемых показателей ( (0), x(l . .., х(р>) отличается от нормального. Определив с помощью формулы (1.22) частный коэффициент корреляции в случае любого исходного распределения признаков (х(0 х(1 . .., х(р)), включим его в общий математический инструментарий корреляционного анализа линейных моделей. При этом их можно интерпретировать как показатели тесноты очищенной связи, усредненные по всевозможным значениям фиксируемых на определенных уровнях мешающих переменных. 1.2.3. Статистические свойства выборочных частных коэффициентов корреляции (проверка на статистическую значимость их отличия от нуля, доверительные интервалы). При исследовании статистических свойств выборочного частного коэффициента корреляции порядка k (т. е. при исключении опосредованного влияния k мешающих переменных) следует воспользоваться тем (см., например, [20, теорема 4.3.4]), что он распределен точно так же, как и обычный (парный) выборочный коэффициент корреляции между теми же переменными с единственной поправкой объем выборки надо уменьшить на k единиц, т. е. полагать его равным п — , а не я. Поэтому  [c.84]

Теория ожидаемой полезности возникла как побочный продукт, юбавление к теории игр. Во втором издании своей книги (1947) в качестве вводной главы, предшествующей описанию теории игр нее применений к экономике, фон Нейман и Моргенштерн дают краткое описание основных положений экономической теории, которой он и предлагают дать адекватный математический инструментарий на ьазе теории игр. Именно здесь, в этой вспомогательной по общему  [c.523]

Однако, как показывает опыт, учащиеся МФТИ испытывают трудности отнюдь не с решением счётных задач по микроэкономике и не с пониманием экономических моделей. Это и понятно. Решение задач на условный или безусловный экстремум функции в экономической теории ничем не отличается от решения аналогичных задач в курсе математического анализа. И студенты МФТИ дифференцируют функцию полезности так же, как и любую другую математическую функцию, не задумываясь над экономическим смыслом первой или второй производной. Особую сложность для учащихся представляют те экономические проблемы, при решении которых нельзя воспользоваться математическим инструментарием. Но ведь микроэкономика не сводится к дифференциалам, интегралам и окаймлённым гессианам. Она имеет свой собственный предмет, который в первую очередь, и должен быть постигнут студентами на занятиях.  [c.2]

В некоторых случаях может потребоваться, чтобы ресурсы для инвестирования были доступны в течение нескольких периодов, и в каждом из периодов могут накладываться свои ограничения на финансирование проектов. В подобных обстоятельствах будет необходимо учитывать более одного ограничения. В условиях, когда не все проекты с положительным значением NPV могут быть реализованы, для максимизации величины чистой приведенной ценности можно использовать математический инструментарий, известный как линейное программирование (linear programming). Эта модель использует тот же подход  [c.189]

Фактическое окончание приватизации средств производства в нынешней России означает, что основная тяжесть информационной деятельности (такой, например, как планирование инвестиций, производства и сбыта продукции, банковское дело, государственный контроль за соблюдением законов и нормативных актов на производстве) сместились в область частнособственнических отношений. Будет ли частная собственность на информацию лучше общественной Отрицательный ответ на этот вопрос будет иметь непредставимо тяжелые последствия. Принципиально лучшим вариантом использования информации является ее общедоступность при принятии решений, выполнении необходимых расчетов и подготовки обоснованных прогнозов. (Институциональная структура директивной экономики социалистического образца не содействовала замене четвертого экономического уклада пятым.) Советская наука накопила богатый опыт практической реализации указанного преимущества с помощью теоретически обоснованного экономико-математического инструментария. Однако отсутствие эффективных технологий, обеспечивающих продуктивную обработку огромных массивов информации, и соответствующих вычислительных средств не позволили в полной мере воспользоваться достижениями советской научной школы для укрепления и развития социалистической экономики. Закрытость информации, характерная для рыночных отношений, не позволяет с системных позиций подойти к проблеме переработки данных, но дает возможность использовать ее более тщательно и эффективно, что обеспечивает аккумулирование в частном бизнесе достаточных капиталов, направляемых на развитие НИТ.  [c.15]

Иными словами, необходимо всегда помнить о том, что обоснованность решений финансового характера определяется вовсе не сложностью привлекаемого аналитического инструментария приоритет здесь имеет другое измерение — ответственность за возможные последствия. Так, непродуманно составленный договор о некоторой финансовой операции (ставка, частота и схема начисления, поправка на инфляцию и т. п.) может привести к существенным финансовым потерям независимо от того, ка-KOF сложности модель была использована, например, для прогнозирования денежного потока. Какими методами обосновано решение — это уже другой вопрос ясно только одно обоснование с помощью хитроумной математической модели далеко не всегда минимизирует негативные по-слецс»вия.  [c.10]

Инструменты для вычислений и измерений

В древние времена люди для облегчения счета уже использовали различные средства и приборы. Изначально они для счета применяли пальцы на руках и ногах, затем использовали различные камушки, узелки на веревках, насечки на палках и т.д. Древние финикийские торговцы и вавилоняне использовали зерна или камешки, которые выкладывали на специальные доски. Позже стали использовать доски с камешками, на которых были углубления, по которым эти камешки передвигались. Подобное приспособление получило название абак и стало прародителем русских счетов.

Сегодня для облегчения процесса счета разработано большое количество разных приборов, среди которых одним из самых распространенных является микрокалькулятор.

Кроме вычислительных приборов используются измерительные приборы, которые также были изобретены в древние времена. Среди них самыми простыми и доступными является линейка и транспортир.

Микрокалькулятор

Прародителем микрокалькулятора является вавилонский абак. С возникновением необходимости производить более сложные расчеты стали разрабатываться более совершенные приборы для вычисления. Среди них были и вычислительные машины, над разработкой которых работали многие ученые на протяжении длительного времени, начиная с $XVII$ столетия.

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 1

Первые калькуляторы стали выпускаться в Англии в $1961$ г. Они по функциям напоминали современные электронные устройства. Первые карманные микрокалькуляторы были выпущены в $1971$ г.

С помощью микрокалькулятора можно выполнять арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление. Калькулятор имеет табло, на котором высвечиваются цифры и результаты операций, и клавиатуру с клавишами цифр и арифметических действий.

Рисунок 1. Микрокалькулятор

Чертежный треугольник

В повседневной жизни человек постоянно встречается с понятием угол. Множество объектов содержит углы – тетрадь, книга, стол, комната, здание. Некоторые геометрические фигуры также содержат углы.

Изучение свойств углов началось еще в древности с развитием строительства и астрономии. Древние ученые именно благодаря знаниям о некоторых свойствах углов могли с высокой точностью рассчитывать расстояния до некоторых небесных тел и определять траекторию движения планет.

Для построения углов используется чертежный треугольник, с помощью которого можно легко построить прямой угол.

Рисунок 2. Чертежный треугольник

Транспортир

Для измерения углов использовались специальные инструменты, первые из которых появились более $4$ тысяч лет назад в Древнем Вавилоне, где была разработана система мер для определения величины угла. Вавилоняне делили круг на $360$ равных частей. Одну такую часть принято было считать единицей измерения углов. Такие единицы измерения сегодня называются градусами.

Транспортир является самым простым и распространенным инструментом для измерения величины углов. Этот инструмент был изобретен еще в глубокой древности, но его современное название происходит от французского «transporter» – «переносить».

Рассмотрим особенности использования транспортира.

Шкала на транспортир нанесена на полуокружность, центр которой отмечен на нем черточкой. Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на $180$ одинаковых делений. Если провести лучи из центра полуокружности через эти штрихи, то они образуют $180$ углов, каждый из которых равен $1/180$ доле развернутого угла. Такие углы и называются градусами.

Рисунок 3. Транспортир

Градусы обозначают знаком $°$. Каждое деление шкалы транспортира равно $1°$. Кроме делений по $1°$, на транспортире есть еще деления по $5°$ и по $10°$.

Транспортир также применяют и для построения углов.

Логарифмическая линейка

Логарифмическая линейка (или счетная линейка) используется для выполнения математических операций, таких как умножение, деление чисел, возведение в степень (например, в квадрат или куб), вычисление квадратных и кубических корней, логарифмов, тригонометрических и гиперболических функций и других операций. С помощью логарифмической линейки можно возвести число в любую действительную степень и извлечь корень любой действительной степени.

Логарифмическую линейку до появления карманных калькуляторов чаще всего использовали инженеры. Она позволяет производить расчеты с точностью около $3$ значащих цифр.

Рисунок 4. Логарифмическая линейка

Принцип действия логарифмической линейки состоит в том, что умножение и деление чисел заменено соответственно сложением и вычитанием их логарифмов.

Рисунок 5. Круговая логарифмическая линейка (логарифмический круг)

Замечание 2

Самая простая логарифмическая линейка состоит из двух шкал, которые могут двигаться относительно друг друга. На обратной стороне линейки расположены справочные таблицы.

Например, для вычисления произведения двух чисел с помощью линейки нужно начало или конец подвижной шкалы совместить с первым множителем на неподвижной шкале, а на подвижной шкале найти второй множитель. Напротив него на неподвижной шкале будет результат умножения данных чисел.

история математического инструмента | Образовательная социальная сеть

Слайд 1

История математических инструментов Касаткина Алина МКОУ « Заринская СОШ» 5 класс Научный руководитель: Ботвинкина Л.А. 2012 год. 1

Слайд 2

В своей презентации я хочу рассказать о хорошо знакомом каждому ученику инструменте. Все часто используют его, но не все знакомы с его историей. 2

Слайд 3

Не обходились без линейки и русские писцы. В расходных книгах московских приказов 17 века нередко встречается названия «каркаса». Так назывались своеобразные линейки. Они представляли собой раму в размер листа, на которую туго натягивали нити. Положив на лист бумаги каркасу, писец проводил вдоль нитей костяной палочкой, выдавливая на бумагу линии-строчки. Вот почему рукописи того времени удивляют нас ровностью строк и четкими интервалами. 3

Слайд 4

Линейки обычно производят из пластмассы или дерева. 4

Слайд 5

Линейка инструмент позволяющий; -провести прямую -построить луч -построить отрезок… 5

Слайд 6

В Германии средневековые монахи в качестве линейки использовали размеченные пластины. 6

Слайд 7

Деление на линейке (сантиметры, миллиметры) появились после того, как в 1719 году по предложению Парижской академии наук за единицу длины был принят метр- одна десятимиллионная часть четверти Парижского географического меридиана. Но и до этого существовали различные меры длины. 7

Слайд 8

В Древней Руси единицами мер длины были сажень и локоть.

Слайд 9

Локоть — размер локтя от 38 до 48 сантиметров, что соответствует расстоянию от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба!!! 9

Слайд 10

С ажень соответствовала расстоянию между вытянутыми руками от большого пальца одной руки до большого пальца другой. 10

Слайд 11

С конца 15 века с древними мерами длины начинают употреблять новую- аршин. Аршин делится на 4 четверти ,каждая четверть- на 4 вершка. Четверть принималась равной пяди. Сейчас действующей и узаконенной является метрическая система, которая прочно вошла в нашу жизнь!!! 11

Слайд 12

Талое успел одарить людей своим изобретением . Он соединил с помощью шарнира два одинаковых по длине стержня — так получился циркуль. Ц иркуль и линейка, наверное, самые старые чертежные инструменты на земле. На стенах и куполах храмов и домов, на резных чашах и кубках древних Вавилонии и Ассирии нарисованы такие ровные прямые линии, такие правильные круги, что без циркуля и линейки их просто невозможно провести. А существовали эти государства около 3 тысяч лет назад. Циркуль всегда был незаменимым помощником архитекторов и строителей. Не случайно на фасаде одного из самых древних и красивых храмов Грузии (он называется Светицховели) изображена рука архитектора, а позади нее циркуль. В Древней Руси любили узор из мелких правильных кружков. Стальной циркуль — резец для нанесения такого рисунка — археологи нашли при раскопках в Новгороде. Сегодня существует множество самых разных циркулей. Они нужны для вычерчивания окружностей и дуг, измерения длины отрезков, перенесения размеров с одного чертежа на другой и т. п. 12

Слайд 13

История циркуля насчитывает уже несколько тысяч лет — судя по сохранившимся начерченным кругам, инструмент был знаком еще вавилонянам и ассирийцам ( II — I века до нашей эры). На территории Франции, в галльском кургане был найден железный циркуль ( I век нашей эры), во время раскопок в Помпеях было найдено много древнеримских бронзовых циркулей. Причем в Помпеях найдены инструменты уже совсем современные: циркули с загнутыми концами для измерения внутренних диаметров предметов, «кронциркули» для измерения максимального диаметра, пропорциональные — для кратного увеличения и уменьшения размеров. 13

Слайд 14

При раскопках в Новгороде был найден стальной циркуль-резец для нанесения орнамента из мелких правильных кружочков, очень распространенного в Древней Руси. Со временем конструкция циркуля практически не изменилась, но ему придумали массу насадок, так что теперь он может вычерчивать окружности от 2 миллиметров до 60 сантиметров, кроме того, обычный графитный грифель можно заменить насадкой с рейсфедером для черчения тушью. Есть несколько основных типов циркулей: разметочный или делительный. Его применяют для снятия и перенесения линейных размеров; чертежный или круговой, его применяют для вычерчивания окружностей диаметром до 300 миллиметров; чертежный кронциркуль для вычерчивания окружностей от 2 до 80 миллиметров в диаметре; чертежный штангенциркуль для вычерчивания окружностей диаметром больше 300 миллиметров; пропорциональный — для изменения масштабов снимаемого размера. Циркуль используется не только в черчении, навигации или картографии — применение ему нашлось и в медицине: например, большой и малый толстотные циркули применяются для измерения поперечных размеров тела человека и для измерения размеров черепа соответственно, а циркуль — калипер используется для измерения толщины подкожно-жировой складки. 14

Слайд 15

Первый циркуль 15

Слайд 16

Вот что можно нарисовать циркулем 16

Слайд 17

Виды циркулей 17

Слайд 18

литература Я познаю мир : Детская энциклопедия : Математика / сост. А.П.Савин, В.В.Стацко и др. – М. : ООО «Издательство АСТ – ЛТД» 1997 Интернет — ресурсы 18

Обзор инструментов группы Математические—ArcGIS Pro

Доступно с лицензией Spatial Analyst.

Доступно с лицензией Image Analyst.

Группа Математические содержит инструменты, выполняющие математические операции на растрах.

Инструменты сгруппированы в четыре основные категории:

• Математические

  Инструменты верхнего уровня группы Математические выполняют основные математические операции на растрах в следующих категориях: Арифметические, Степени, Экспоненциальные и Логарифмические. Также включены инструменты, которые меняют знак значений растра, а также инструменты, используемые для конвертации значений между целыми числами и числами с плавающей точкой.

• Побитовые

  Инструменты группы Математические Побитовые содержит инструменты, выполняющие побитовые операции на входных растрах.

• Логические

  Группа логических математических инструментов содержит инструменты для выполнения логических уравнений на растрах в следующих категориях: Булевы, Комбинаторные, Относительные и Условные.

• Тригонометрические

  Группа тригонометрических математических инструментов содержит инструменты для тригонометрических вычислений в нескольких категориях: Регулярные, Обратные, Гиперболические и Обратные гиперболические.

Лицензия:

Математические инструменты также доступны, если у вас есть лицензия Image Analyst.

Определенные Математические инструменты также доступны с лицензией 3D Analyst. Это инструменты: Разделить, С плавающей точкой, Целое, Вычесть, Сложить и Умножить.

В следующей таблице содержится список доступных инструментов группы Математические и дано краткое описание каждого.

Инструменты группы Математические

Инструмент	Описание
Общие математические инструменты	Общие математические инструменты применяют математические функции к входным данным. Эти инструменты попадают в несколько категорий. Арифметические инструменты выполняют базовые арифметические операции, например, сложение или умножение. Есть инструменты, которые выполняют различные типы операций возведения в степень, которые включают экспоненты и логарифмы, а также основные операции степени. Остальные инструменты используются для изменения знака или конвертации типов данных между целочисленным и с плавающей точкой.
Побитовые математические инструменты	Побитовые математические инструменты производят вычисления над бинарным представлением входных значений.
Логические математические инструменты	Логические математические инструменты оценивают значения входных данных и определяют выходные значения на основании Булевой логики. Инструменты сгруппированы в четыре основные категории: Булевы, Комбинаторные, Логические и Относительные.
Тригонометрические математические инструменты	Тригонометрические математические инструменты (группа Trigonometric Math) выполняют различные тригонометрические вычисления над значениями во входном растре.

Общие математические инструменты

Написанное далее относится только к инструментам верхнего уровня группы. Для получения более подробной информации о других инструментах перейдите в соответствующие разделы, посвященные Побитовым, Логическим и Тригонометрическим математическим операциям.

Общие математические инструменты применяют математические функции к входным данным. Эти инструменты попадают в несколько категорий. Арифметические инструменты выполняют базовые арифметические операции, например, сложение или умножение. Есть инструменты, которые выполняют различные типы операций возведения в степень, которые включают экспоненты и логарифмы, а также основные операции степени. Остальные инструменты используются для изменения знака или конвертации типов данных между целочисленным и с плавающей точкой.

Некоторые инструменты требуют двух элементов входных данных:

• Арифметические: Сложить, Вычесть, Умножить, Разделить, Остаток, Изменить знак
• Степень: Степень

В то время как другие – одного элемента входных данных:

• Арифметический: Изменить знак
• Экспоненциальные: Exp, Exp2, Exp10
• Логарифмические: Ln, Log2, Log10
• Степень: Возвести в квадрат, Квадратный корень
• Знак: Абсолютное значение, Изменить знак
• Преобразование типов: Float, Int, Округлить в меньшую сторону, Округлить в большую сторону

В следующей таблице содержится список доступных общих математических инструментов и дано краткое описание каждого:

Инструменты группы Общие математические

Инструмент	Описание
Абсолютное значение	Вычисляет абсолютное значение ячеек в растре.
Разделить	Делит значения двух растров по принципу ячейка-за-ячейкой.
Exp	Вычисляет экспоненту по основанию е ячеек в растре.
Exp10	Вычисляет экспоненту по основанию 10 для ячеек в растре.
Exp2	Вычисляет экспоненту по основанию 2 ячеек в растре.
С плавающей точкой	Преобразует значение каждой ячейки растра в представление с плавающей запятой.
Целое	Преобразовывает значения ячеек растров в целочисленные путем округления.
ln	Вычисляет натуральный логарифм для ячеек растра.
Log10	Вычисляет десятичный логарифм для ячеек растра.
Log2	Вычисляет логарифм на основе 2 для ячеек растра.
Вычесть	Вычитает значение второго входного растра из значений первого входного растра по принципу ячейка-за-ячейкой.
Остаток	Находит остаток (по модулю) первого растра при делении на второй растр по принципу ячейка-за-ячейкой.
Изменить знак	Изменяет знак (умножает на -1) для ячеек входного растра по принципу ячейка-за-ячейкой.
Сложить	Добавляет (суммирует) значения двух растров по принципу ячейка-за-ячейкой.
Степень	Возводит в степень значения ячеек растра, где степень равна значениям ячеек другого растра.
Округлить в меньшую сторону	Возвращает ближайшее меньшее целое значение, только представленное как значение с плавающей точкой, для каждой ячейки растра.
Округлить в большую сторону	Возвращает ближайшее большее целое значение, только представленное как значение с плавающей точкой, для каждой ячейки растра.
Возвести в квадрат	Возводит в квадрат значения ячеек растра.
Квадратный корень	Вычисляет квадратный корень значений ячеек растра.
Умножить	Поячеечно перемножает значения их двух растров.

Связанные разделы

---

Отзыв по этому разделу?

Презентация по математике «Инструменты учат» — Интерактивные презентации по математике — Математика, алгебра, геометрия

Пояснительная записка

Конкурс интерактивных презентаций
«Интерактивная мозаика»
http://pedsovet.su

Презентация «Математические инструменты
учат»

Автор: Бобылева Елена Александровна

Место работы: Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение средняя
общеобразовательная школа №146 г.Челябинска

Должность: учитель математики и
информатики

Категория: высшая

Предмет: математика

Класс: 5

Цель: повторить и обобщить знания
учащихся по темам умножение и деление
натуральных чисел, решение уравнений,
упрощение выражений. Познакомить
учащихся с историей создания математических
инструментов: линейка, транспортир,
циркуль, карандаш, ластик.

Всего в презентации 31 слайд. Слайды с 1
по 9 настроены переходом по щелчку, с 10
по 29 скрытые слайды настроены переходом
по управляющим кнопкам и гиперссылкам,
с 30 по 31 слайды – список используемых
источников.

Урок можно построить по плану:

1. Актуализация знаний учащихся.

Для концентрации внимания учащимся
предлагается слайд

Следующие слайда направлены на повторение
основных понятий и подготовки учащихся
к следующей работе

Используется
щелчок мыши для показа ответа

Тест — повторение

на слайде используются триггеры, щелчком
на неправильных ответах они исчезают,
остается только правильный ответ.

2. Математическая игра «Инструменты
учат».

Перед игрой учащимся задается вопрос
«Какие инструменты нужны математику?».
После ответов учащихся показывается
слайд с основными инструментами: линейка,
транспортир, карандаш, ластик, циркуль.

Для всех инструментов настроены
гиперссылки перехода на слайд с историей
инструмента. После истории идет задание
от каждого инструмента. Переход сделан
с помощью управляющей кнопки.

Ответы показываются по щелчку.

Для возврата на выбор инструмента
используется управляющая кнопка «Домой».

3.Рефлексия.

В конце урока учащимся можно предложить
математический кроссворд. Слайды с
кроссвордом настроены на щелчок для
показа вопроса и ответа.

Последнее слово кроссворда «Молодцы».

Список источников:

математических инструментов — это … Что такое математические инструменты?

Математическая и теоретическая биология — это междисциплинарная область научных исследований с множеством приложений в биологии, медицине и биотехнологии. [1] Эта область может называться математической биологией или биоматематикой, чтобы подчеркнуть математическую сторону, или теоретической…… Wikipedia

Математические финансы — это область прикладной математики, связанная с финансовыми рынками.Предмет тесно связан с дисциплиной финансовой экономики, которая касается большей части лежащей в основе теории. Как правило, математические финансы…… Wikipedia

Математическая экономика — Экономика… Википедия

Математическая биология — Для использования основ артиметики в биологии см. Соответствующую тему, например, Последовательное разбавление. Математическая биология, биологическое математическое моделирование, биоматематика или вычислительное биомоделирование — это междисциплинарная область академических исследований, цель которой…… Wikipedia

Математическая формулировка квантовой механики — Квантовая механика Принцип неопределенности… Wikipedia

Математическая модель — Не путать с тем же термином, который используется в теории моделей, ветви математической логики.Артефакт, который используется для иллюстрации математической идеи, также можно назвать математической моделью, использование которой противоположно смыслу… Wikipedia

Математическая шутка — Математическая шутка — это форма юмора, основанная на математических аспектах или стереотипе математиков для получения юмора. Юмор может исходить от каламбура или от двойного значения математического термина. Он также может исходить от непрофессионала…… Wikipedia

Математическая таблица — До того, как калькуляторы стали дешевыми и многочисленными, люди использовали математические таблицы, списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами, чтобы упростить и значительно ускорить вычисления.Таблицы логарифмов и тригонометрии…… Wikipedia

Математическое моделирование инфекционного заболевания — Можно математически смоделировать развитие большинства инфекционных заболеваний, чтобы определить вероятный исход эпидемии или помочь контролировать их с помощью вакцинации. В этой статье используются некоторые основные предположения и некоторые простые математические данные, чтобы найти…… Wikipedia

Математическое моделирование в эпидемиологии — Можно математически смоделировать развитие большинства инфекционных заболеваний, чтобы определить вероятный исход эпидемии или помочь контролировать их с помощью вакцинации.В этой статье используются некоторые основные предположения и некоторые простые математические данные, чтобы найти…… Wikipedia

Математическая статистика — это изучение статистики с математической точки зрения с использованием теории вероятностей, а также других разделов математики, таких как линейная алгебра и анализ. Термин математическая статистика тесно связан с термином статистическая теория … … Wikipedia

.

математический инструмент — это … Что такое математический инструмент?

Математическая и теоретическая биология — это междисциплинарная область научных исследований с множеством приложений в биологии, медицине и биотехнологии. [1] Эта область может называться математической биологией или биоматематикой, чтобы подчеркнуть математическую сторону, или теоретической…… Wikipedia

Математическая логика — (также известная как символическая логика) — это подраздел математики, тесно связанный с основами математики, теоретической информатики и философской логики.[1] Эта область включает в себя как математическое изучение логики, так и…… Wikipedia

Mathematical Reviews — это журнал и онлайн-база данных, издаваемая Американским математическим обществом (AMS), которая содержит краткие резюме (а иногда и оценки) многих статей по математике, статистике и теоретической информатике. Содержание 1 Обзоры 2…… Википедия

Математическое моделирование воздействия — это косвенный метод определения воздействия, особенно воздействия на человека загрязнителей окружающей среды.Это полезно, когда прямое измерение концентрации загрязняющих веществ невозможно, потому что для прямого измерения иногда требуются квалифицированные…… Wikipedia

Математическая экономика — Экономика… Википедия

Математическая модель — Не путать с тем же термином, который используется в теории моделей, ветви математической логики. Артефакт, который используется для иллюстрации математической идеи, также можно назвать математической моделью, использование которой противоположно смыслу… Wikipedia

Математический манипулятор — Математический манипулятор — это объект, который спроектирован таким образом, чтобы учащийся мог воспринимать математическое понятие, манипулируя им.Использование манипуляторов дает детям возможность изучать концепции с помощью подходящих для развития рук… Wikipedia

математическое программирование — Применение методов математического и компьютерного программирования для построения детерминированных моделей, в основном для бизнеса и экономики. Для моделей, требующих только линейных алгебраических уравнений, методы называются линейными…… Универсальный

Математический инструмент — Математический инструмент — это инструмент или устройство, используемое при изучении или практике математики.Большинство инструментов используются в области геометрии, включая линейку, делители, транспортир, угольник, компас, эллипсограф и опизометр.…… Wikipedia

Математическое обсуждение дальности — В морской артиллерии, когда стали доступны дальнобойные орудия, вражеский корабль перемещался на некоторое расстояние после выстрела снарядов. По прибытии снарядов возникла необходимость выяснить, где будет находиться вражеский корабль, цель. Процесс…… Википедия

Структура (математическая логика) — В универсальной алгебре и в теории моделей структура состоит из набора вместе с набором конечных операций и отношений, которые определены на нем.Универсальная алгебра изучает структуры, которые обобщают алгебраические структуры, такие как…… Wikipedia

.

стандартов математической практики | Инициатива Common Core State Standards

Стандарты математической практики описывают различные виды знаний, которые преподаватели математики на всех уровнях должны стремиться развивать у своих учеников. Эти практики опираются на важные «процессы и навыки», которые имеют давнюю важность в математическом образовании. Первыми из них являются стандарты процесса NCTM для решения проблем, аргументации и доказательства, коммуникации, представления и связей.Вторые — это направления математической подготовки, указанные в отчете Национального исследовательского совета Adding It Up : адаптивное мышление, стратегическая компетентность, концептуальное понимание (понимание математических понятий, операций и отношений), беглость процедур (умение гибко выполнять процедуры, точно, эффективно и уместно) и продуктивному расположению (привычная склонность рассматривать математику как разумную, полезную и полезную, в сочетании с верой в усердие и собственную эффективность).

Стандарты в этой области:

CCSS.Math.Practice.MP1 осмысливать проблемы и настойчивость в их решении.

Учащиеся со знанием математики начинают с того, что объясняют себе смысл проблемы и ищут точки входа для ее решения. Они анализируют данные, ограничения, отношения и цели. Они строят предположения о форме и значении решения и планируют путь решения, а не просто предпринимают попытки решения. Они рассматривают аналогичные проблемы и пробуют частные случаи и более простые формы исходной проблемы, чтобы получить представление о ее решении.Они контролируют и оценивают свой прогресс и при необходимости меняют курс. Учащиеся старшего возраста могут, в зависимости от контекста задачи, преобразовывать алгебраические выражения или изменять окно просмотра на своем графическом калькуляторе, чтобы получить необходимую информацию. Математически опытные студенты могут объяснять соответствия между уравнениями, словесными описаниями, таблицами и графиками или рисовать диаграммы важных функций и отношений, графических данных и искать закономерности или тенденции. Учащиеся младшего возраста могут полагаться на использование конкретных предметов или изображений, чтобы помочь осмыслить и решить проблему.Математически опытные студенты проверяют свои ответы на задачи, используя другой метод, и они постоянно спрашивают себя: «Имеет ли это смысл?» Они могут понимать подходы других к решению сложных проблем и определять соответствия между разными подходами.

CCSS.Math.Practice.MP2 Размышляйте абстрактно и количественно.

Студенты со знанием математики понимают величины и их отношения в проблемных ситуациях. Они привносят две взаимодополняющие способности для решения проблем, связанных с количественными отношениями: способность деконтекстуализировать — абстрагироваться от данной ситуации и представлять ее символически и манипулировать репрезентативными символами, как если бы они жили своей собственной жизнью, не обязательно обращая внимание на их референты — и возможность контекстуализировать , останавливаться по мере необходимости во время процесса манипуляции, чтобы исследовать референты для задействованных символов.Количественное рассуждение влечет за собой привычку создавать связное представление о проблеме; с учетом задействованных единиц; внимание к значению количеств, а не только к тому, как их вычислить; знание и гибкое использование различных свойств операций и объектов.

CCSS.Math.Practice.MP3 Создавайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.

Студенты со знанием математики понимают и используют заявленные предположения, определения и ранее установленные результаты при построении аргументов.Они делают предположения и строят логическую последовательность утверждений, чтобы исследовать истинность своих предположений. Они могут анализировать ситуации, разбивая их на случаи, а также распознавать и использовать контрпримеры. Они оправдывают свои выводы, сообщают их другим и отвечают на аргументы других. Они индуктивно рассуждают о данных, приводя правдоподобные аргументы, учитывающие контекст, из которого данные возникли. Математически опытные студенты также могут сравнивать эффективность двух правдоподобных аргументов, отличать правильную логику или рассуждения от ошибочных и — если в аргументе есть изъян — объяснять, что это такое.Учащиеся начальной школы могут строить аргументы, используя конкретные референты, такие как объекты, рисунки, диаграммы и действия. Такие аргументы могут иметь смысл и быть правильными, даже если они не обобщаются и не принимаются формально до более поздних оценок. Позже студенты учатся определять области, к которым применим аргумент. Учащиеся всех классов могут слушать или читать аргументы других, решать, имеют ли они смысл, и задавать полезные вопросы, чтобы прояснить или улучшить аргументы.

CCSS. Математика. Практика.Модель MP4 с математикой.

Учащиеся со знанием математики могут применять полученные знания для решения задач, возникающих в повседневной жизни, в обществе и на рабочем месте. В младших классах это может быть так же просто, как написать дополнительное уравнение для описания ситуации. В средних классах ученик может применять пропорциональное рассуждение для планирования школьного мероприятия или анализа проблемы в сообществе. В старшей школе ученик может использовать геометрию для решения задачи проектирования или использовать функцию, чтобы описать, как одна интересующая величина зависит от другой.Математически опытные студенты, которые могут применять то, что они знают, комфортно делают предположения и приближения, чтобы упростить сложную ситуацию, понимая, что они могут потребовать пересмотра позже. Они могут определять важные величины в практической ситуации и отображать свои отношения с помощью таких инструментов, как диаграммы, двусторонние таблицы, графики, блок-схемы и формулы. Они могут математически проанализировать эти отношения, чтобы сделать выводы. Они обычно интерпретируют свои математические результаты в контексте ситуации и размышляют о том, имеют ли результаты смысл, возможно, улучшая модель, если она не служит своей цели.

CCSS.Math.Practice.MP5 Стратегически используйте соответствующие инструменты.

Студенты, разбирающиеся в математике, рассматривают доступные инструменты при решении математической задачи. Эти инструменты могут включать карандаш и бумагу, конкретные модели, линейку, транспортир, калькулятор, электронную таблицу, систему компьютерной алгебры, статистический пакет или программное обеспечение для динамической геометрии. Опытные студенты в достаточной мере знакомы с инструментами, соответствующими их классу или курсу, чтобы принимать обоснованные решения о том, когда каждый из этих инструментов может быть полезен, признавая как понимание, которое необходимо получить, так и их ограничения.Например, старшеклассники со знанием математики анализируют графики функций и решений, полученные с помощью графического калькулятора. Они обнаруживают возможные ошибки, стратегически используя оценки и другие математические знания. Создавая математические модели, они знают, что технологии могут позволить им визуализировать результаты различных предположений, исследовать последствия и сравнивать прогнозы с данными. Учащиеся с математическими знаниями в различных классах могут определять соответствующие внешние математические ресурсы, такие как цифровой контент, размещенный на веб-сайте, и использовать их для постановки или решения задач.Они могут использовать технологические инструменты для изучения и углубления понимания концепций.

CCSS.Math.Practice.MP6 Внимание к точности.

Учащиеся со знанием математики стараются точно общаться с другими. Они пытаются использовать четкие определения в обсуждениях с другими и в собственных рассуждениях. Они заявляют значение выбранных символов, в том числе используют знак равенства последовательно и надлежащим образом. Они осторожны при указании единиц измерения и маркировке осей, чтобы уточнить соответствие количеству в проблеме.Они производят точные и эффективные вычисления, выражают числовые ответы со степенью точности, соответствующей контексту проблемы. В начальных классах ученики дают друг другу тщательно сформулированные объяснения. К моменту поступления в среднюю школу они научились проверять утверждения и явно использовать определения.

CCSS.Math.Practice.MP7 Ищите и используйте структуру.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру. Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон имеют формы.Позже учащиеся увидят, что 7 × 8 равно хорошо запоминающимся 7 × 5 + 7 × 3, чтобы подготовиться к изучению свойства распределения. В выражении x ² + 9 x + 14 ученики старшего возраста могут видеть 14 как 2 × 7 и 9 как 2 + 7. Они осознают значение существующей линии в геометрической фигуре и могут использовать стратегия проведения вспомогательной линии для решения задач. Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы. Они могут видеть сложные вещи, такие как некоторые алгебраические выражения, как отдельные объекты или состоящие из нескольких объектов.Например, они могут видеть 5 — 3 ( x — y ) ² как 5 минус положительное число, умноженное на квадрат, и использовать это, чтобы понять, что его значение не может быть больше 5 для любых действительных чисел x и и .

CCSS.Math.Practice.MP8 Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.

Студенты, разбирающиеся в математике, замечают, если вычисления повторяются, и ищут как общие методы, так и ярлыки. Ученики старших классов могут заметить при делении 25 на 11, что они повторяют одни и те же вычисления снова и снова, и заключить, что у них есть повторяющаяся десятичная дробь.Обращая внимание на расчет наклона, поскольку они неоднократно проверяют, находятся ли точки на линии, проходящей через (1, 2) с наклоном 3, ученики средней школы могут абстрагироваться от уравнения ( y — 2) / ( x — 1) = 3. Обратите внимание на закономерность в том, как условия отменяются при раскрытии ( x — 1) ( x + 1), ( x — 1) ( x ² + x + 1), и ( x — 1) ( x ³ + x 2 + x + 1) может привести их к общей формуле для суммы геометрического ряда.Работая над решением задачи, ученики с математическими знаниями следят за процессом, уделяя внимание деталям. Они постоянно оценивают разумность своих промежуточных результатов.

Соединение стандартов математической практики со стандартами математического содержания

Стандарты математической практики описывают способы, с помощью которых развивающиеся студенты, практикующие математическую дисциплину, должны все больше вовлекаться в предмет по мере того, как они растут в математической зрелости и опыте в течение начальной, средней и старшей школы.Разработчики учебных программ, оценок и повышения квалификации должны уделять внимание необходимости увязать математические практики с математическим содержанием в преподавании математики.

Стандарты математического содержания представляют собой сбалансированное сочетание процедуры и понимания. Ожидания, начинающиеся со слова «понять», часто являются особенно хорошей возможностью связать практику с содержанием. Студенты, которым не хватает понимания темы, могут слишком сильно полагаться на процедуры.Без гибкой основы для работы они с меньшей вероятностью будут рассматривать аналогичные проблемы, связно представлять проблемы, обосновывать выводы, применять математику в практических ситуациях, осознанно использовать технологии для работы с математикой, точно объяснять математику другим ученикам, сделайте шаг назад, чтобы получить обзор, или отклонитесь от известной процедуры, чтобы найти ярлык. Короче говоря, непонимание фактически мешает студенту заниматься математической практикой.

В этом отношении те стандарты содержания, которые устанавливают ожидания понимания, являются потенциальными «точками пересечения» между Стандартами математического содержания и Стандартами математической практики.Эти точки пересечения предназначены для взвешивания по отношению к центральным и генеративным концепциям школьной программы математики, которые в наибольшей степени заслуживают времени, ресурсов, инновационной энергии и внимания, необходимых для качественного улучшения учебной программы, обучения, оценивания, профессионального развития и успеваемости учащихся. математика.

.

No related posts.