Как понять высшую математику: Как понять высшую математику? — Хабр Q&A

Высшая математика — Lurkmore

Высшая математика или вышка (не путать с этой и этой) — одна из важнейших причин, по которым студенты становятся солдатами, а гуманитарии ненавидят технарей.

Эта страна

В настоящее время употребляется чаще всего всевозможными гуманитариями для обозначения некой совокупности преподаваемых в технических вузах дисциплин, где используется неведомая им математическая символика. Что касается самих выпускников этих самых техвузов, то они чаще всего отвечают, что такого, мол, зверя они никогда не видели; не слышали, как ревёт; и не знают, где он водится. Ибо, как правило, на пристойных факультетах нет предмета «высшая математика», а есть несколько предметов из спискоты, которую можно обозреть ниже.

Впрочем, нет правил без исключений. Например, в МГРИ инженеры-технари проходят джва года высшую математику. Как результат, как только начинается физика, гидромеханика, или какие-нибудь спецпредметы, типа «теории разрушения при бурении и взрывании», 95% вдруг выясняют, что нихуя не знают. А преподы дружно возмущаются на придурков-студентов, ни хрена не знающих.
Так что же вкладывается в понятие «высшая математика»?

• аналитическая геометрия (анал, аналит, ангем)
• алгебра: общая (обычно говорят высшая) и линейная (линейка, линал)
• многомерная геометрия и линейная алгебра (мгла)
• математический анализ (матан, матанализ, матанал)
• векторный анализ (выкидыш матана)
• дифференциальные уравнения (дифуры)
• интегральные уравнения (интуры)
• дифференциальные уравнения с частными производными (УРЧП), хотя тут возможны варианты: например, уравнения математической физики (урмат, УМФ)
• теория функций комлексного переменного (тфкп, комплан, копьё)
• функциональный анализ (функан, фан, фуан)
• дифференциальная геометрия и топология (дифгем)
• теория вероятностей (тервер)
• математическая статистика (матстат)
• теория случайных процессов (слупы)
• теория чисел (ТЧ)
• численные методы (ЧМы, числаки, чисмет), иногда величаются «вычислительной математикой» (вычмат)
• дискретная математика (дискра, дискретка)
• математическая логика и теория алгоритмов (матлог, логика)
• теория формальных языков и методы трансляции (метран) aka теория автоматов и формальных языков (таифя)
• вариационное исчисление и теория управления (вариационка)
• методы оптимизации (медопты)
• исследование операций (исо, иссоп)
• теория игр (тигры)
• математическое моделирование (матмод)
• тензорный анализ (тенза)
• алгебраическая геометрия
• десятки всякоразных спецкурсов — интегральные преобразования, специальные функции, теория групп, группы Ли, математические модели нелинейной динамики etc

Этот список, похожий на учебный план мехмата МГУ, может разниться от ВУЗа к ВУЗу: одни дисциплины совмещаются в составных курсах, другие разделяются. Например, в последнее время появилась мода выделять из матана кратные интегралы и ряды в векторный анализ.

[править] Взгляд из школы

Согласно версии школьных учителей, 95% из которых училась на каждом курсе по джва года, высшая математика — это лютый кровожадный ненасытный зверь. Зверь сей водится в застенках вузов и питается трупами мозгами студентов. При этом они, конечно, выполняют указания школьной верхушки и элиты родительского комитета, цель которых — не допустить чужое быдло и небыдло в технические вузы, но чтоб их-то безмозглое чадо всенепременно туда поступило и не отправилось в армию. Во исполнение этой благородной цели в школе преподают элементы высшей математики: производные, простенькие интегралы и чуть-чуть теории вероятностей. Преподают, надо сказать, так, что потом в ВУЗах преподы срут кирпичами от той ереси, которую несут первокурсники после слов «я это знаю, мы в школе проходили». Именно поэтому первое, что слышит вчерашнее школиё по приходу в новую Аlma mater — «Забудьте всё, чему вас учили в школе».

Ку! Тру!

Надо заметить, что советское книгостроение породило такую вещь, как справочники по высшей математике, среди которых встречаются очень даже годные творения, и многочисленные учебники по высшей математике. Справочники в массе своей являются просто справочниками по математике, отличной от школьной. То есть если теорему Пифагора там найти ещё можно, то вот про какую-нибудь точку Лемуана — ни строчки. Зато написано много про разделы, перечисленные выше.

Учебники по сабжу — это, как правило, сборная солянка из линала, кусков матана, дифуров и ещё какой-нибудь НЁХ из наиболее любимых сердцу автора разделов математики. В целом, обычно нечитабельны чуть менее чем полностью, и частенько содержат грубые ошибки. Вменяемые преподы обычно советуют читать классику типа Фихтенгольца. Раки же иногда начинают срать кирпичами, когда видят задачу, решённую не по методичке. Разгадка проста. В шарашкиных конторах, как правило, работают поциэнты, больные ФГМ, закончившие такую же шарагу на такие же тройки, да ещё и 40 лет назад.

Вот примеры книготы для интересующихся:

[править] Вышка в массах

На некоторых нематематических факультетах вузов вышак таки бывает нужен. Например, на химфаке МГУ есть аналитическая геометрия, линейная алгебра, матан, тервер, урматы, матстат и диффуры. В качестве бонуса можно также получить статфиз, ТФКП и вариационное исчисление. Разгадка столь годной математической программы в истории факультета — ломоносовский химфак был отпилен от физфака, в то время как остальные химфаки Этой страны выделялись с медфаков.

Бывает, однако, что математика вроде как нужна, но и вроде как не особо много. Вот тут-то и появляется на божий свет такой предмет как высшая математика. Рождённый ублюдок обычно является компиляцией из самых разных разделов математики, но традиционно обязательно включает в себя матан и линал.

Бывает, конечно, и третья ситуация. Когда вышак вроде есть, но как-то не особо нужен. Например, бывает высшая математика у филологов. С точки зрения технарей выглядит как ликбез для слабоумных, а с точки зрения гуманитариев как НЁХ. В силу скверного характера большинства ведущих сие преподов часто превращается в жестокий мозгосос и культивирует ненависть к технарям вообще и математике в частности.

[править] Современное использование

В последнее время серьёзные люди об этом меме стали забывать^{[Ололо, на башорг!]}. Однако, недавний министр образования Этой страны, в миру Андрей Фурсенко, обнаружил в школьной программе эту самую высшую математику, которую необходимо оттуда срочно выпиливать, дабы окончательно не прикончить детскую креативность и вырастить «грамотного потребителя». При этом добавил, что сам её в школе не изучал и при этом не дурее других. Что он при этом имел в виду, остаётся загадкой, особенно с учётом того, сколь ничтожное время на это тратится. Освободившееся время предложено занять уроками патриотизма, физкультурой, основами православной духовности, мусульманской культуры, чуркистанских языков и прочими архиважными предметами.

На самом деле, высшая математика была в школьной программе при совке, потом её оттуда пидорнули, а с введением ЕГЭ снова вернули взад. Зачем она там нужна в том уёбищном виде, в котором она там есть сейчас — загадка. Так что это один из тех немногих случаев, когда вменяемая общественность таки согласна с Фурсенкой. Что, впрочем, не отменяет жгучей попоболи по поводу необходимости растить потреблядей.

Надо отметить, что во всяких школах-рассадниках матана (типа 57-й, 1543-й, СУНЦа или «Второй») различные аспекты высшей математики преподают наряду с олимпиадной. Причём иногда даже весьма успешно и лучшие вполне годно знают к моменту окончания процентов 80 универской программы мехмата за первые два, а то и три курса. Но закон Парето не наебёшь, а 80% усилий к оставшимся 20% курса прикладывать обычно не хочется. В результате хорошие некогда школьники превращаются в плохих студентов и отправляются в биореактор армию.

[править] Позиция Миши Вербицкого

Другой крайности придерживается, в частности Миша Вербицкий, изучавший матан в Пиндостане. Его проект реформы математического образования, представляющий собой довольно странно систематизированный образовательный стандарт с сильным доминированием алгебраической геометрии, опубликован здесь.Если такая программа будет введена, то студентам нужно будет выдавать на каждый семестр по трёхлитровой банке, доверху набитой мелкими кусочками промокательной бумаги, пропитанной растворами ДМТ и ЛСД, а также полмешка сушёной гармалы или другой травы, содержащей бета-карболины, для того, чтобы их организмы лучше усваивали вышеприведённые вещества. Для этой же цели вместо травы могут быть использованы антидепрессанты из класса ингибиторов МАО. Обычно употребляемые студентами в период сессии глицин и ноотропы (пирацетам, аминалон и другие) здесь уже не помогут.

[править] Высшая математика на экономических факультетах

На экономических факультетах сей предмет изучается в течение первых четырёх семестров. На его изучение отводится, как правило, по четыре часа в неделю, без учета статистики, теорвера и матметодов в экономике. В некоторых особо продвинутых мухосранских университетах в качестве регионально-вузовского компонента отдельно выносится односеместровый курс дифференциальных уравнений (для отсева студентов, не являющихся родственниками и единомышленниками преподавателей, а также являющихся просто неугодными преподавательскому составу лицами, со второго курса). Следует заметить, что для освоения на втором курсе даже односеместровых диффуров нужен более серьёзный уровень математической культуры, нежели тот, который приобретается студентами-экономистами в течение первого курса. В прочих более-менее нормальных ВУЗах в отдельную дисциплину выносится теория вероятностей и математическая статистика, служащая базой для дальнейшего изучения статистических дисциплин.

Вылезший из таких шараг частично загнутый, отупевший и озверевший офисный планктон уверен в том, что изучил математику в том же объёме, в каком она изучается на мехматах и при этом люто бешено негодует, когда ему стараются доказать обратное.

Однако, есть среди экономистов лица изучающие математику в большем объёме. Они учатся в РЭШ, МГУ, РАНХиГС, ФУ и ВШЭ. Когда же дипломированные математики начинают учиться экономике, то иногда получаются высококлассные специалисты и исследователи. Действительная илита экономистов, единственно востребованные специалисты, в отличие от выпускников всякого говна, не годных даже дворы подметать.

14 книг, которые помогут вам лучше понять математику

Вы когда-нибудь задумывались о том, сколько учебников по математике вам пришлось пройти за время учебы в общеобразовательной школе? Впрочем, можно подсчитать прямо сейчас: учебники математики за 1-5 классы (5 штук), алгебры – за 6-11 класс (6 штук), геометрии – за 7-9 и 10-11 классы (2 штуки) и наглядная геометрия для 5-6 классов (1 штука). Итого получается 14 книг.

Конечно, в разных школах возможны разные варианты, свои программы и альтернативные учебные материалы, но, в целом, для получения твердых базовых знаний по математике нужно изучить 14 книг. Если бы речь была исключительно о них, на этом статью можно было бы и закончить. Но, нет, практика показывает, что не так все просто.

Кому-то приходится учиться всю жизнь и держать наготове формулы из математического анализа и теории вероятностей. Кто-то не может вспомнить таблицу умножения и не в состоянии без калькулятора сложить даже двухзначные числа. А кому-то и вовсе неясно, зачем ему понимать математику с его гуманитарным образованием. Что же, давайте поясним!

Зачем понимать математику?

Для начала следует понять вот что: если вы с момента окончания школы не решили ни одного уравнения, это вовсе не значит, что математика вам никак не пригодилась. Пригодилась, просто это не всегда очевидно.

И дело не только в банальностях вроде развития логического мышления: его вполне развивают физика, шахматы и собственно логика, которую преподают в гуманитарных вузах тоже. И даже не в усидчивости и тренировке памяти, которые необходимы всем работающим в офисе: эти качества еще в большей степени развивают занятия музыкой, ежедневная игра на музыкальных инструментах, чтение художественной и любой другой литературы.

Дело в том, что математика окружает нас повсюду, даже когда мы об этом не подозреваем. И чтобы успешно жить и работать, нам нужно математическое мышление и математические навыки. Впрочем, давайте по порядку.

Где и зачем нужна математика:

• Подготовка к ЕГЭ и поступлению в технические и экономические вузы.
• Учеба в технических и экономических вузах.
• Работа в банковской, финансовой, производственной, IT-сфере.
• Любая работа, связанная с закупками и подсчетами.
• Домашний ремонт с закупкой материалов.
• Поиск выгодных условий ипотеки, страхования и кредитов.
• Освоение гуманитарных предметов.

Если первые шесть пунктов особых возражений обычно не вызывают, то последний, как минимум, удивляет. Однако если вы попытаетесь вспомнить собственные «школьные годы чудесные», заодно вспомните, что отличники по математике прекрасно успевали по всем остальным предметам.

Хотя бы потому, что в сравнении с математикой остальное намного легче, а развитое логическое и абстрактное мышление помогает быстро найти закономерности в исторических процессах, природных явлениях и даже развитии литературных сюжетов. Нет, мы вовсе не отказываемся от своих слов, что физика и шахматы развивают логику ничуть не хуже. Просто шахматами занимаются не все, а физика начинается только с 5 класса.

14 книг, которые облегчат понимание математики

Теперь, когда мы разобрались, зачем нам понимать математику, перейдем собственно к литературе по математике, которая полезна каждому человеку. Полезна тем, что облегчит (а не затруднит!) понимание этого нужного и важного предмета. И даже поможет преодолеть стойкое отвращение к цифрам и расчетам, если у вас сформировалась таковое по итогам обучения в средней школе.

Кьяртан Поскитт «Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений»

Кьяртан Поскитт (Kjartan Poskitt) приобрел широкую известность в качестве ведущего образовательных программ на телеканале ВВC и автора детских сказок, в ненавязчивой форме раскрывающих множество природных явлений и математических закономерностей. «Математика для взрослых» в доступной форме научит быстро проводить любые арифметические действия, считать в уме, проверять правильность кассового чека, высчитывать пропорции ингредиентов для кулинарных рецептов и строительных смесей.

Алекс Беллос «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры»

Еще один британский ведущий и писатель Алекс Беллос (Alexander Bellos) взялся поставить математику на службу простым смертным. С помощью этой книги вы не только быстро поймете, что такое пропорции, синусоиды, факториал, полухорды, но и заметно пополните запас знаний по истории Древнего мира, т.к. многие математические открытия уходят корнями в древность.

Барбара Оакли «Думай, как математик»

Профессор Оклендского университета Барбара Оакли (Barbara Ann Oakley) в своей книге «Думай, как математик» потрудилась собрать большой массив лайфхаков по изучению математики от своих коллег и студентов. Узкоспециальные знания чередуются с увлекательными жизненными историями, что делает чтение интересным и захватывающим. Книга рекомендуется к прочтению в случае, если математика зачем-либо понадобилась, однако изучать ее не очень хочется.

Дьердь Пойа «Математическое открытие»

Эта книга для тех, кто хочет научиться решать любые задачи. Автор дает методику поиска правильного решения различными способами и разбирает наиболее частые ошибки, которые мешают человеку освоить математику. Для этого он использует математические софизмы, т.е. доказывает заведомо ложные утверждения. Кроме того, американский ученый венгерского происхождения Дьердь Пойа (George Pólya) известен своими работами по теории чисел и функциональному анализу.

Джордан Элленберг «Как не ошибаться. Сила математического мышления»

Тут название говорит само за себя. Книга учит не ошибаться, причем не только в математических расчетах, но даже в выборе профессии, бизнес-стратегии и лотерее. Профессор математики Висконсинского университета (США) Джордан Элленберг (Jordan Ellenberg) считает, что, цитируем: «Знание математики – своего рода рентгеновские очки, позволяющие увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью». Конец цитаты. В этом и есть сила математического мышления по Элленбергу.

Ханна Фрай «Математика любви»

Чем дальше – тем горячее. Радио- и телеведущая Ханна Фрай (Hannah Fry) расскажет, как не ошибиться в любви. Она получила математическое образование в университетском колледже Лондона и успешно применила свои знания на практике. Сейчас Ханна регулярно выступает с лекциями, как вычислить свои шансы на взаимность, как рассчитать совместимость, как просчитать вероятность супружеских измен и как оптимизировать свадьбу. Естественно, с помощью математики.

Артур Бенджамин «Магия математики»

А вот американский математик Артур Бенджамин (Arthur T. Benjamin) считает математику настоящей магией чисел, и готов убедить в этом своего читателя. Также он готов научить быстро считать в уме и объяснить тригонометрию понятным языком. Сейчас он преподает в колледже Харви-Мад (США), а в юности, будучи студентом, писал песни и придумывал спецэффекты для студенческого мюзикла, который впоследствии победил на конкурсе.

Иэн Стюарт «Математические головоломки профессора Стюарта»

Еще один пример творческой личности, преуспевшей в разных сферах, это математик и писатель-фантаст Иэн Стюарт (Ian Andrew Robert Stewart). За свою долгую научную карьеру он преподавал в университетах США, Новой Зеландии, Германии, Великобритании. Также он увлекается живописью, подводным плаваньем, разводит аквариумных рыбок и играет на гитаре. Иэн Стюарт выпустил сборник математических головоломок, который не оставит равнодушным даже самого далекого от математики человека, и позволит вплотную приблизиться к тайнам точных наук.

Борис Кордемский «Математическая смекалка»

Еще одна книга для тех, кто думает, будто математика – это скучно. В отличие от любой другой книги по точным наукам, ее можно открывать на любой странице и пытаться решить любую из 369 занимательных задач. Примечательно, что эта книга, впервые увидевшая свет в далеком 1955 году, выдержала 11 переизданий и по-прежнему пользуется огромным успехом. Автор Борис Кордемский при жизни преподавал математику во многих средних и высших учебных заведениях, в т.ч. в Военной академии химической защиты.

Яков Перельман «Занимательная геометрия»

Продолжим тему книг на все времена. В золотой фонд научно-популярной литературы, популяризирующей точные науки, нужно включить и сборник головоломок величайшего российского физика и математика Якова Перельмана. Это настоящее пособие по применению знаний геометрии в реальной жизни для ориентировки на местности, вычисления расстояний и т.д. Вы увидите реальную геометрию в течении реки, изгибе дороги, окружности леса и периметре поля.

Нелли Литвак, Андрей Райгородский «Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир»

Вузовские преподаватели со стажем взялись более глубоко раскрыть волнующую многих молодых людей тему компьютерных профессий. Вы узнаете, как пригодится математика, если вы хотите писать программы, проектировать компьютерные сети, заниматься шифрованием данных или запускать рекламную кампанию в Интернете. Нелли Литвак преподает высшую математику в Университете Твенте (Нидерланды), Андрей Райгородский успел поработать преподавателем в нескольких ведущих вузах России, в т.ч. МФТИ, а также в компании «Яндекс», зарегистрированной, кстати, в Нидерландах.

Микул Патель «Веселая математика»

А это книга для тех, кто хочет приобщить к математике своих детей. Писатель Микул Патель взял на себя труд дать уроки математики, рассказать о математических формулах и геометрических фигурах в простой доступной форме, рассчитанной на возраст 10-12 лет. А также на взрослых, которые помнят школьную математику максимум за 5 класс. Все пояснения снабжены веселыми картинками.

Лев Генденштейн «Алиса в Стране Математики»

Учащихся начальной школы, пока не полюбивших математику, можно попытаться увлечь сказкой. Серьезный человек, кандидат физико-математических наук, автор научных статей и учебников Лев Генденштейн написал хорошую добрую сказку про математику для младших школьников, название которой созвучно всем известному произведению Льюиса Кэрролла «Алиса в Стране Чудес». Точно также как «кэрроловская» Алиса познает «Страну Чудес», наша Алиса знакомится со «Страной Математики».

Михайл Пегов «Семь раз отмерь»

И на «закуску» предлагаем книгу о математике, написанную гуманитарием для гуманитариев. Историк и писатель Михаил Пегов, успевший, кстати, поработать в банковской сфере, решил просветить молодое поколение, что же такое верста, сажень, аршин и семь пядей во лбу, сколько это в современных единицах измерения. Прочитав книгу, можно научиться мерить все, что угодно разными альтернативными методами, в том числе руками, ладонью, пальцами, шагами и т.д. Полезный навык, не так ли?

В общем, пока мы готовили подборку из 14 лучших книг, помогающих понять математику, мы наши еще одну причину, по которой нам следует понимать математику. Это наши дети, самое ценное, что есть в нашей жизни. Мы все хотим, чтобы дети хорошо учились и нашли свое призвание в жизни. Но для этого им нужно тактично и ненавязчиво помочь, в том числе с математикой, в чем помогут вам наши уроки онлайн-курса «Как научить ребенка считать». Желаем всем успеха и взаимопонимания с детьми!

Zero To Hero

У меня непростые отношения с матанализом: с одной стороны он демонстрирует всю красоту и мощь математики, а с другой — агонию математического образования.

Математический анализ связывает различные темы в элегантной, но довольно сложной для ума манере. Ближайшая аналогия, которая приходит мне на ум, — Дарвиновская теория эволюции: стоит ее понять, и весь мир видится с позиции выживания. Вы понимаете, почему лекарства привели к резистентным микробам (выживает наиболее приспособленный). Вы понимаете, почему сахар и жир сладкие на вкус (вкус стимулирует потребление высококалорийных продуктов в условиях дефицита резервов организма). И все эти моменты складываются в единую, логическую картину.

Матанализ таким же образом проливает свет на всю систему математики. Не кажется ли вам, что все эти формулы как-то связаны?

Так и есть. Но большинство из нас изучают эти формулы независимо друг от друга. Математический анализ позволяет начать с «длина окружности = 2 * π * r» и вывести остальные формулы для вычисления площади круга, сферы и даже объема шара — древним грекам очень бы пригодился подобный подход.

К сожалению, матанализ олицетворяет собой все трудности в изучении математики. Большинство уроков объясняются на натянутых, неправдоподобных примерах, заумных доказательствах и банальном заучивании, которое напрочь убивает интуицию.

Так действительно не должно происходить.

Математика, искусство и идеи

Кое-что я понял еще со школы: математика — не самая сложная часть математики; самое тяжелое — мотивация к ее освоению. Особенно, умение не терять энтузиазм, несмотря на:

• Преподавателей, больше сконцентрированных на штамповке публикаций и своей карьере, чем на преподавании
• Небеспочвенные опасения, что математика — это сложно, скучно, непопулярно или «не ваш предмет»
• Учебники и учебные планы, больше нацеленные на получение прибыли и хорошую статистику по тестированиям знаний, чем на пояснение сущности предмета.

‘Плач математика’ [pdf] — отличное эссе на эту тему, которое вызвало бурный резонанс среди многих прочитавших его:

«…если бы мне пришлось создавать механизм с единственной целью разрушить природное любопытство ребенка и его любовь к моделированию, вряд ли бы у меня получилось лучше, чем это уже реализовано — у меня бы просто не хватило фантазии, чтобы тягаться с такими бесчувственными, унылыми идеями, которые воплощены в современных методах изучения математики».

Представьте изучение изобразительного искусства так: Детки, никакого рисования в детском садике. Вместо этого, давайте-ка изучим химию лакокрасочных изделий, физику света и анатомию глаза. После 12 лет изучения этих аспектов, если дети (точнее уже подростки) всё еще не возненавидят искусство, они смогут начать рисовать самостоятельно. В конечном итоге, они теперь владеют полноценным фундаментом для того, чтобы начать уважать искусство. Верно?

Также и с поэзией. Представьте изучение этой цитаты (формулы):

«Но главное: будь верен сам себе; Тогда, как вслед за днем бывает ночь, Ты не изменишь и другим.» —Вильям Шекспир, Гамлет

Это элегантный способ сказать «будь собой» (и если это означает непочтительно писать о математике, пусть будет так). Но если бы мы рассматривали поэзию на уроке математики, вместо поиска смысла мы бы занялись подсчётом количества слогов, анализировали пятистопный ямб, разметкой существительных, глаголов и прилагательных.

Математика и поэзия — это как разные способы пояснить, охарактеризовать одно и то же. Формулы — это средства к достижению цели, способ выражения математической истины.

Мы забыли, что математика оперирует идеями, это не машинальное маниппулирование формулами, которые выражают эти идеи.

Ну это всё понятно, так в чем же твоя великая мысль?

Вот, что я не буду делать: я не буду пересказывать уже написанные учебники. Если вам нужны ответы здесь и сейчас, есть масса вебсайтов, видеоуроков и 20-минуток в помощь.

Вместо этого давайте освоим основные положения матанализа. Уравнений недостаточно — я хочу моментов озарения, чтобы вы действительно видели их смысл и понимали язык математики.

Формальный математический язык — это просто способ коммуникации. Графики, информативные анимированные модели и разговор простым языком могут дать больше знаний, чем целая страница заумных доказательств.

Но матанализ — это сложно!

Я думаю, что любой человек сможет понять основные положения матанализа. Нам не обязательно быть поэтами, чтобы наслаждаться произведениями Шекспира.

Вам будет гораздо проще, если вы знаете алгебру и интересуетесь математикой. Не так давно, чтение и письмо были работой специально обученных писцов. А сегодня это может сделать любой 10-летний ребенок. Почему?

Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в развитии возможностей. Так что ожидайте, что матанализ — это просто еще один предмет. Некоторые люди доходят до мельчайших подробностей (писатели/математики). Но остальные из нас могут просто восторгаться происходящим и попытаться его понять. Я бы хотел, чтобы каждый освоил основные понятия матанализа и сказал «Вот это да!».

Так о чем же матанализ?

Некоторые определяют матанализ как «область математики, которая изучает пределы, дифференцирование, интегрирование функций с одной или более переменных». Это определение верно, но оно совсем не полезно для новичков.

Вот мой ход: Матанализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.

• Арифметика — это манипуляция числами (сложение, умножение и т.д.).
• Алгебра находит связи между числами: a² + b² = c² — очень известная связь, описывающая соотношение сторон в прямоугольном треугольнике. Алгебра находит целые наборы чисел — если вы знаете a и b, вы можете вычислить и c.
• Матанализ находит связи между уравнениями: вы можете видеть, как одно уравнение (длина окружности = 2 * π * r) связано с другим (площадь круга = π * r²).

Используя матанализ, мы можем спросить самые разные вопросы:

• Как уравнение растет и сокращается? Наращивается со временем?
• Когда оно достигнет самой высокой/низкой точки?
• Как мы используем переменные, которые постоянно меняются? (Тепло, движение, популяции, …).
• И многое, многое другое!

Алгебра и матанализ решают задачи вместе: матанализ находит новые уравнения, а алгебра их решает. Как эволюция, матанализ расширяет ваше понимание того, как работает матушка-природа.

Пример, пожалуйста

Представим, что мы знаем уравнение длины окружности (2 * π * r), и нам нужно найти площадь. С чего начнем?

Представьте, что заполненный диск круга — это как набор матрешек.

Тут есть два способа нарисовать этот диск:

• Нарисовать окружность и закрасить ее
• Нарисовать набор колец толстым маркером

Количество «пространства» (площадь) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? И сколько пространства занимает кольцо?

Самое большое кольцо имеет радиус «r», и длина окружности кольца вычисляется как 2 * π * r. По мере того, как кольца уменьшаются, окружность также становится меньше, но всё равно сохраняется соотношение 2 * π * текущий радиус. Последнее кольцо больше похоже на булавочную головку, и длину окружности уже не вычислишь.

А теперь начинается самое интересное. Давайте раскрутим эти кольца и выровняем их. Что произойдет?

• У нас получится набор линий, который составит зубчатый треугольник. Но если взять более тонкие кольца, то треугольник становится уже менее зубчатым (об этом мы еще поговорим в других статьях).
• С одной стороны будет самое маленькое кольцо (0), а с другой — самое большое (2* π * r)
• Кольца имеют радиусы от 0 до «r». Для каждого возможного радиуса из этого диапазона (от 0 до r), мы просто помещаем раскрученное кольцо на свое место.
• Общая площадь «кольцевого треугольника» = 1/2 основания * высоту = 1/2 * r *(2 * π * r) = π * r², а это и есть формула поиска площади круга!

Ух ты! Общая площадь колец = площадь треугольника = площадь круга!

(Изображение из Википедии)

Это был простой пример, но вы уловили основную идею? Мы взяли диск, разделили его, и сложили части вместе немного другим путем. Матанализ показал, что диск и кольцо тесно связаны друг с другом: диск — это действительно набор колец. Это очень популярная тема в матанализе: Большие предметы состоят из более мелких предметов. И иногда именно с этими мелкими предметами работается проще и понятнее.

Немного о примерах

Множество примеров в матанализе основано на физике. Это, конечно, замечательно, но бывает сложно их воспринимать: честно, далеко не всегда удается держать в голове разные физические формулы вроде формулы скорости объекта.

Я предпочитаю начать с простых визуальных примеров, потому что именно так и работает наш мозг. Кольцо/круг, которое мы исследовали — вы бы могли смоделировать то же самое из нескольких отрезков трубок разного диаметра: разделить их, выровнять и уложить в грубый треугольник, чтобы убедиться, что математика действительно работает. С простой физической формулой такое вряд ли удастся провернуть.

Немного о математической строгости (для фанатиков этой науки)

Я чувствую, как математики-педанты жгут свои клавиатуры. Поэтому я вставлю всего несколько слов о «строгости». Знаете ли вы, что мы не учим матанализ способами, которыми его открыл Ньютон или Лейбниц? Они использовали интуитивные идеи «флюксии» и «бесконечно малых величин», которые были заменены пределами, потому что «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».

Мы создали сложные механические модели, чтобы «точно» доказать матанализ, но мы утратили интуитивное восприятие предмета в процессе таких доказательств.

Мы смотрим на сладость сахара с точки зрения химии мозга, вместо того, чтобы пояснять это языком науки «В сахаре много энергии. Ешьте его».

Я не хочу (и не могу) преподавать матанализ студентам или обучать ученых. Но будет ли плохо, если каждый сможет понимать матанализ на том «неточном» уровне, на котором его понимал Ньютон? Чтобы это также изменило мир для вас, как когда-то изменило для него?

Преждевременная концентрация на точности рассредоточивает учеников и делает математику сложной для изучения. Вот хороший пример: число е технически определено пределом, но открыто оно было именно с помощью интуитивной догадки о росте. Натуральный логарифм может выглядеть как интеграл, или время, которому нужно расти. Какие объяснения лучше помогут новичкам?

Давайте немного порисуем от руки, а в химию погрузимся уже по ходу дела. Приятных вычислений.

(P.S: Один любезный читатель создал анимированное слайд-шоу powerpoint, которое помогает презентовать эту идею более наглядно (лучше посмотреть ее в PowerPoint, там будут видны анимации). Спасибо!)

Перевод статьи «A Gentle Introduction To Learning Calculus»

Каково быть слабым в математике / Хабр

Я, как учитель математики нередко разочаровываюсь в учениках. Они прогуливают. Они ленятся. Они плачут, словно младенцы, если у них отнять калькуляторы. Но хуже всего то, чего они не делают. Не задают вопросов. Не записывают. Не исправляют тесты, даже если это может повысить их общий балл. Разве их не волнуют их неудачи в учебе?

Существует много объяснений такого поведения: лень, равнодушие, отвлекающие внешкольные факторы и т.д. Но если спросите меня, то я назову более глубокую причину: незнание математики заставляет чувствовать себя глупо. А это неприятно.

Это трудно понять, если вы никогда не испытывали подобное. К счастью, у меня такой опыт есть (хотя тогда нечему было радоваться). Мой рассказ о математической безграмотности. Возможно что-то вам будет знакомо.

В колледж я поступал математически подкованным, на выпускном экзамене я набрал самый высокий балл. Казалось, что математика мне дается совсем легко. Но потом я столкнулся с топологией.

Уроки по топологии проходила в формате семинаров, где студенты учили друг друга. Дважды за семестр каждый из нас должен быть подготовить лекцию, дать домашнее задание и оценить его.

Мое непонимание предмета приходило спокойно, постепенно. Я читал лекции одноклассников, смутно понимая только половину из написанного. Я заучивал основные моменты, но не понимал сути предмета, надеясь, что когда-нибудь отрывочные знания примут форму чего-то целого. Но я ничего не делал для этого. Не задавал вопросов, потому что боялся показаться глупым. В итоге все становилось только хуже, проблески понимания угасали, становилось неинтересно. Я понял, что совсем запутался.

В итоге я сделал то, что делают большинство студентов. Я положился на человека, который разбирался в предмете лучше меня. Это была моя девушка (учащаяся в том же классе). Все, что она объясняла мне, я просто записывал своими словами, не вникая в суть, из-за чего знания не задерживались надолго в моей голове.

Я винил всех вокруг в своих неудачах. Свою девушку, которая уговорила меня выбрать этот курс. Преподавателя, который сидел на занятиях в стороне и посмеивался над нашей некомпетентностью. Зачем вообще нужна эта топология? Когда все оправдания закончились, я сказал себе: я ненавижу этот класс! Я ненавижу топологию!

Я ненавижу математику!

Мой первый опыт в качестве лектора в классе был положительным, несмотря на то, что знания предмета почти не было. Но погружаясь в материал, понимал, что вторая лекция не будет такой легкой прогулкой.

Я постоянно ленился, часто жалуясь на сложность предмета. Но вскоре понял, что дело не просто в лени. Сталкиваясь с тем, что я не понимал, я сталкивался со своими сомнениями и тревогами. А постоянное откладывание отодвигает эти неприятные чувства.

Поскольку день второй лекции приближался, я начал паниковать. Я позвонил отцу, человеку с доброй душой. Не помогло. Я позвонил сестре, учителю математики, с которой всегда было весело. Не помогло. Тогда я договорился о встрече с преподавателем по топологии.

Я потел, пока поднимался в лифте к нему в кабинет. Самое страшное было то, что я восхищался им. Большинство математиков мирового класса относились к общению со студентами как к обременительному акту благотворительности. Он же был другим: проницательным, трудолюбивым, искренним. Я стучал в дверь кабинета, чтобы сказать ему, что потерпел неудачу.

Он был благосклонен ко мне, предложил несколько идей и помог с презентацией, чтобы я мог показать хоть что-то на предстоящей лекции. Я умолял не задавать вопросов по материалу на уроке, по сути просил его не делать свою работу. И он нехотя согласился.

Я провел вторую лекцию и попытался забыть ее как можно быстрее.

Оглядываясь назад, я понимаю, что был идеальным примером плохого студента, продемонстрировав все симптомы:

• Запутался в материале
• Боялся задавать вопросы
• Стеснялся принимать помощь преподавателя
• Вместо этого изводил друзей
• Копировал чужие домашние работы
• Оправдывался, обвиняя других
• Медлил
• Боялся провала на публике
• Боялся осуждения преподавателя
• Чувствовал себя идиотом
• Не желал признавать ничего из вышеперечисленного

Удивительно, насколько трудно писать об этом даже сейчас. Математические неудачи так же, как и романтические, запоминаются надолго.

Я рассказал эту историю, чтобы показать, что проблема не в отсутствии «природного ума», наоборот, подобные неудачи происходят при сочетании множества причин: излишней тревожности, низкой мотивации, пробелов в знании предмета и т.д. Сложнее всего избежать неудач в моменты, когда требуется обнажить свои недостатки.

Незнание топологии не делает меня глупым. Это делает меня слабым в топологии. Эту разницу очень важно понимать. В конце концов, я благодарен за полученный опыт.

А можно ли вообще понять мат.анализ?

Разговорились со студентками на тему: «А можно ли вообще понять мат.анализ?»

Одна из моих коллег сказала им, что поняла мат.анализ только перед гос.экзаменами. Когда весь накопленный за пять лет багаж математических знаний, разные, но чем-то похожие дисциплины и междисциплинарные связи, а также диплом по близкой тематике, наконец уложились в голове в единую картину.

Другая из моих коллег сказала им, что мат.анализ поняла уже будучи преподавательницей, когда самой пришлось встать к доске и объяснять.

И, кстати, эти два подхода очень-очень распространены. Очень-очень. Так бывает часто. И не только с мат.анализом.

У меня история сложнее. В школьные годы я была олимпиадницей. Математические кружки, летние математические школы, очень сильная физико-математическая школа, спецкурсы. И да, я просто не помню те времена, когда я не понимала мат.анализ. Дело в том, что в мат.анализе не было ничего специфически необычного. Мат.анализ естественным образом в школьной программе возник в 9 классе, параллельно с фокальными свойствами коник, доказательством неравенства Коши индукцией вверх-вниз, распределением простых чисел в ассимптотике и началами теории вероятностей. Тут же подоспели и замечательные пределы, и начала дифференцирования-интегрирования.

И да, поскольку я была олимпиадницей, то возникновение в школьной программе мат.анализа не было для меня шоком. Идеи бесконечности в разных ее ипостасях витают в олимпиадных кружках класса практически сразу, класса с пятого-шестого (а сейчас и раньше — класса с первого; у нас на Малом матфаке обязательно с первоклашками изучают Ковер Серпинского )))). Индукция класса с седьмого. А от идеи бесконечности до всего остального мат.анализа на самом деле рукой подать.

И да, я, конечно, была олимпиадницей. Но у меня было больше половины класса обычных ребят — не олимпиадников. И для них тоже не было ничего специфически сложного именно в мат.анализе. Ты с одинаковым успехом мог забуксовать на задачах на движение, на инверсии или на пределах. Хотя больше всего непоняток было все-таки с физикой )))
И собственно того, чтобы кто-то боялся прицельно мат.анализа — этого не было, как ни странно.

Да, мы сейчас можем сказать, что в физ.мат.школе учились умненькие, отобранные, мотивированные ребята. Но на матфаке учатся тоже умненькие, отобранные, мотивированные ребята (по-крайней мере, разговариваю я только с такими). И у матфаковцев больше опыта, больше бэкграунд, но при этом лучшие студенты матфака (за исключением выпускников физ.мат.школ) хуже понимают мат.анализ, чем восьмиклассники. Алгебру, например, понимают не хуже. А мат.анализ хуже. Почему же так?

Я не могу утверждать наверняка. И вообще, это очень сложный вопрос. Но у меня закралась мысль, что вся проблема в чистоте и в строгости математического изложения. Когда деткам 10-12 лет начинают объяснять идею бесконечности, ее объясняют буквально на пальцах, не вдаваясь в идеи, и даже более того, часто опытные преподаватели подсказывают новичкам: «а этот вопрос замни для ясности, если его не объяснять, то школьникам понятнее, чем если начать объяснять строго».

Мне так папа подсказывал, когда я первый раз доказывала 6-клашкам теорему о платоновых телах. Говорит: «скажи так: три квадрата могут встретиться в одной вершине; три пятиугольника могут, три шестиугольника уже раскладываются в плоскость. А три семиугольника и вовсе не влезают! И все». Вот это вот крайне нестрогое с математической точки зрения, но крайне точное с бытовой «не влезают» — это так и есть. И так гораздо понятнее. чем если начать наводить тень на плетень.

И тут возникает совершенно неразрешимая дилемма. С одной стороны, на матфаке, безусловно, надо доказывать все крайне строго. По всем критериям строгости, применимым в современной науке. Но с другой стороны, как мне кажется, да простят меня коллеги, специализирующиеся на анализе, иногда, что называется, за деревьями лес не видно. Начинается такое строгое изложение, что за всеми эпсилон-дельтами и прочими проколотыми омега-окрестностями теряется суть того, что пытались донести.

В конце-концов, великие, которые начинали мат.анализ — Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Гаусс и так далее — они иногда в работах такую чушь с современной точки зрения писали. Суммировали расходящиеся ряды, вычисляли несуществующие пределы, дифференцировали всюду разрывные функции. И тем не менее, они-то, возможно, лучше кого-либо когда-либо понимали мат.анализ.

Если начинать рассказывать теорию чисел с аксиоматики «обычной» арифметики, ее непротиворечивости и единственности — то собственно до теории чисел вообще никогда не доберешься, погрязнув в дебрях теории множеств и логики. И специалисты по теории чисел в этом конкретном моменте никогда не гонятся за строгостью, предпочитая понятность.
/* Хотя теорию чисел я, наверное, в пример зря привожу — вообще не сказать, что кристально понятный предмет. */
Тогда пусть среди примеров будет геометрия. Всех, начиная со школы, и даже более того — с детского сада, обучают евклидовой геометрии. А ее вообще в реальном мире нет! Но она зато всем интуитивно более понятная, чем настоящая геометрия реального мира.

Первое понятие, которое из математики изучает маленький ребенок — это единица. Ну, или одно из первых. А если мы попытаемся с математической точки зрения объяснить, что такое единица — мы можем посмотреть на опыт товарищей Бурбаки. У которых на объяснение числа 1 ушло 100 страниц.

Иногда лучше и правильнее будет преподавателю чуть-чуть скруглить острые углы, а не следовать всем изгибам сложных как норвежские фьорды линиям математики. Или нет?

Как изучать математику: 7 советов по решению проблем

Как изучать математику

Математика — это предмет, от которого нельзя отказаться. Некоторым это нравится, но, честно говоря, большинство людей ненавидят изучение математики. Важность математики для студентов как никогда. Предметы STEM — основа технологий завтрашнего дня. Большинство университетских курсов включают определенный уровень математики, в то время как почти каждая профессия использует математику в той или иной форме ежедневно. Проблема многих студентов заключается в том, что они не знают , как изучать математику для получения хороших результатов.

Математика — один из тех предметов, на изучение которых можно легко потратить часы, но в конечном итоге вы не окажетесь мудрее. Сколько бы вы ни изучали, если вы не можете решить задачу в день теста, вы потеряны. К счастью, есть техник изучения математики , которые вы можете выполнять независимо от вашего уровня. К концу записи в блоге вы можете даже полюбить математику!

7 советов по решению математических задач

1.Практика, практика и еще раз Практика

Невозможно правильно изучать математику, просто читая и слушая. Чтобы изучать математику, нужно засучить рукава и действительно решить некоторые задачи. Чем больше вы тренируетесь решать математические задачи, тем лучше . Каждая проблема имеет свои особенности, и перед экзаменом важно решить ее множеством способов. От этой реальности никуда не деться, чтобы хорошо сдать экзамен по математике, вам нужно заранее решить МНОГО математических задач.

2. Просмотрите ошибки

Когда вы практикуетесь с этими проблемами, важно, чтобы проработал процесс для каждого решения . Если вы допустили какие-либо ошибки, вам следует просмотреть их и понять, где ваши навыки решения проблем подвели вас. Понимание того, как вы подошли к проблеме и где вы ошиблись, — отличный способ стать сильнее и избежать тех же ошибок в будущем.

Присоединяйтесь к тысячам студентов в нашей математической группе и ощутите всю мощь совместного обучения.Это бесплатно!

3. Освойте ключевые концепции

Не пытайтесь запоминать процессы. Это контрпродуктивно. В долгосрочной перспективе гораздо лучше и полезно сосредоточиться на понимании процесса и логики, которые задействованы. Это поможет вам понять, как вам следует подходить к таким проблемам в будущем.

Помните, что математика — это последовательный предмет , поэтому важно иметь твердое представление о ключевых концепциях, лежащих в основе математической темы, прежде чем переходить к другим, более сложным решениям, основанным на понимании основ.

4. Разберитесь в своих сомнениях

Иногда вы можете застрять, пытаясь решить часть математической задачи, и вам будет трудно перейти к следующему этапу. Многие студенты часто пропускают этот вопрос и переходят к следующему. Вам следует избегать этого и вместо этого тратить время на попытки понять процесс решения проблемы. Как только вы поймете, в чем состоит первоначальная проблема, вы можете использовать ее как ступеньку для перехода к оставшейся части вопроса.

Помните: освоение математики требует времени и терпения.

Хорошая идея — учиться с другом, с которым вы можете посоветоваться и поделиться идеями при решении сложных проблем.

5. Создайте среду обучения, свободную от отвлекающих факторов

Математика — это предмет, требующий большей концентрации , чем любой другой. Правильная учебная среда и свободных от отвлекающих факторов зона может быть определяющим фактором при решении сложных уравнений или задач по геометрии, алгебре или тригонометрии!

Обучение под музыку может помочь создать расслабляющую атмосферу и стимулировать поток информации.Наличие подходящей фоновой музыки может способствовать достижению максимальной концентрации. Конечно, стоит держаться подальше от Pitbull и Eminem , инструментальная музыка — лучшее в наши дни.

В нашем сообщении в блоге «Музыка для учебы: 10 советов по выбору лучшей музыки для учебы» дается больше советов по выбору лучшей музыки для учебы.

6. Создайте математический словарь

Математика имеет специфическую терминологию с большим количеством словаря .Мы предлагаем вам создать заметки или карточки со всеми понятиями, терминологией и определениями, которые вам нужно знать. Вы должны указать их значение, некоторые ключевые моменты и даже несколько примеров ответов, чтобы вы могли в любое время проконсультироваться с ними и подвести итоги.

7. Применение математики к реальным задачам

При приближении к математике старайтесь, насколько это возможно, применять реальные задачи. Математика может быть очень абстрактной, поэтому поиск практического применения может помочь изменить вашу точку зрения и по-другому усвоить идеи.

Вероятность, например, может использоваться в повседневной жизни, чтобы предсказать исход происходящего и определить, хотите ли вы пойти на риск, например, если вам нужно купить лотерейный билет или сыграть в азартную игру.

О, и не забывайте, что также важно, чтобы быть уверенным в себе и сдать экзамен, зная, что вы подготовились правильно!

О блоге GoConqr

Наш блог является частью GoConqr, бесплатной обучающей платформы для создания, обмена и поиска учебных ресурсов, которые помогают учащимся и учителям достигать своих учебных целей.Нажмите здесь, чтобы начать создавать интеллектуальные карты, карточки, заметки, викторины, блок-схемы слайдов и курсы прямо сейчас!

.

Как изучать математику

Онлайн-заметки Павла

Посмотреть

Быстрая навигация

Скачать

• Показать / скрыть
• Показать все решения / шаги / и т. Д.
• Скрыть все решения / шаги / и т. Д.

• Разделы
• Общие советы
• Классы

• Алгебра

• Исчисление I

• Исчисление II

• Исчисление III

• Дифференциальные уравнения

• Дополнительно

• Алгебра и триггерный обзор

• Распространенные математические ошибки

• Праймер для комплексных чисел

• Как изучать математику

• Шпаргалки и таблицы

• Разное
• Свяжитесь со мной
• Справка и настройка MathJax
• Мои студенты

• Дополнительно Скачать
• Полная книга
• Прочие товары
• Получить URL для загружаемых элементов

• Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
• Показать все решения / шаги и распечатать страницу
• Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу

• Дом
• Классы
• Алгебра
  • Предварительные мероприятия
    • Целые экспоненты
    • Рациональные экспоненты
    • Радикалы
    • Полиномы
    • Факторинговые многочлены
    • Рациональные выражения
    • Комплексные числа
  • Решение уравнений и неравенств
    • Решения и наборы решений
    • Линейные уравнения
    • Приложения линейных уравнений
    • Уравнения с более чем одной переменной
    • Квадратные уравнения — Часть I
    • Квадратные уравнения — Часть II
    • Квадратные уравнения: сводка
    • Приложения квадратных уравнений
    • Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
    • Уравнения с радикалами
    • Линейные неравенства
    • Полиномиальные неравенства
    • Рациональные неравенства
    • Уравнения абсолютных значений
    • Неравенства абсолютных значений
  • Графики и функции
    • Графики
    • Строки
    • Круги
    • Определение функции
    • Графические функции
    • Комбинирование функций
    • Обратные функции
  • Общие графы
    • Прямые, окружности и кусочные функции
    • Параболы
    • Эллипсы
    • Гиперболы
    • Разные функции
    • Преобразования
    • Симметрия
    • Рациональные функции
  • Полиномиальные функции
    • Делительные многочлены
    • Нули / корни многочленов
    • Графические полиномы
    • Нахождение нулей многочленов
    • Частичные дроби
  • Экспоненциальные и логарифмические функции
    • Экспоненциальные функции
    • Логарифмических функций
    • Решение экспоненциальных уравнений
    • Решение логарифмических уравнений
    • Приложения
  • Системы уравнений
    • Линейные системы с двумя переменными
    • Линейные системы с тремя переменными
    • Расширенные матрицы
    • Подробнее о расширенной матрице
    • Нелинейные системы
• Исчисление I
  • Обзор
    • Функции
    • Обратные функции
    • Триггерные функции
    • Решение триггерных уравнений
    • Триггерные уравнения с калькуляторами, часть I
    • Триггерные уравнения с калькуляторами, часть II
    • Экспоненциальные функции

.

Что значит быть успешным в математике? | Помощь детям в изучении математики

с коэффициентом n ³ , они могут понять многие ситуации, в которых объекты любой формы пропорционально увеличиваются или уменьшаются. (Они могут понять, например, почему чашка на 16 унций, имеющая ту же форму, что и чашка на 8 унций, намного меньше, чем в два раза по высоте.)

Знания, полученные с пониманием, обеспечивают основу для запоминания или воссоздания математических фактов и методов, для решения новых и незнакомых проблем и для генерирования новых знаний.Например, студенты, которые хорошо разбираются в операциях с целыми числами, могут распространить эти концепции и процедуры на операции с десятичными знаками.

«Понимание» также помогает учащимся избежать серьезных ошибок при решении проблем, особенно серьезных. Любой учащийся с хорошим пониманием чисел, который умножает 9,83 и 7,65 и получает за ответ 7 519,95, должен немедленно увидеть, что что-то не так. Ответ не может быть больше 10 умножить на 8 или 80, так как одно число меньше 10, а другое меньше 8.Это рассуждение должно наводить на мысль студенту о том, что десятичная точка была неправильно поставлена.

(2) Вычисления: выполнение математических процедур, таких как сложение, вычитание, умножение и деление чисел гибко, точно, эффективно и надлежащим образом.

Вычислительная техника включает в себя свободное владение процедурами сложения, вычитания, умножения и деления мысленно или с помощью бумаги и карандаша, а также знание того, когда и как правильно использовать эти процедуры. Хотя слово вычисление подразумевает арифметическую процедуру, в этом документе оно также относится к свободному владению процедурами из других разделов математики, таких как измерение (измерение длины), алгебра (решение уравнений), геометрия (построение подобных фигур) и статистика (графические данные). Свободное владение означает умение выполнять процедуру эффективно, точно и гибко.

Ученикам необходимо быстро и точно вычислить основные числовые комбинации (6 + 7, 17–9, 8 × 4 и т. Д.). Им также необходимо стать точными и эффективными с помощью алгоритмов — пошаговых процедур для сложения, вычитания, умножения и деления многозначных целых чисел, дробей и десятичных знаков, а также для выполнения других вычислений. Например, у всех учащихся должен быть понятный им алгоритм умножения 64 и 37, который является достаточно эффективным и достаточно общим, чтобы использовать его с другими двузначными числами, и который может быть расширен для использования с более крупными числами.

Использование калькуляторов не должно угрожать развитию вычислительных навыков учащихся. Напротив, калькуляторы могут улучшить как понимание

.