Расстояние и пространство: Скачать бесплатно Чайф & Би2 — Расстояние И Пространство в MP3

Методическая разработка по геометрии (10, 11 класс): Методы решения задач по теме: «Расстояния в пространстве (10-11 классы)».

Занятие № 1

Рассмотрим три типа стереометрических задач на нахождение расстояний в пространстве:

1. нахождение расстояния от точки до прямой;
2. нахождение расстояния от точки до плоскости;
3. нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояния в пространстве:

расстояние от точки до прямой в пространстве

Теория

Определение

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Теорема о трёх перпендикулярах

        Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема        

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Методы решения задач

При вычислении расстояния от точки до прямой необходимо:

1. определить плоскость, в которой находятся данная точка и данная прямая;
2. в этой плоскости построить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

№ 1.        Метод построения перпендикуляра (поэтапных вычислений)

Для нахождения расстояния от точки А до прямой а сначала находят основание А’ перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а.  Если найти длину перпендикуляра АА’ не удается непосредственно из условия задачи, то на прямой а выбирают какие-нибудь точки В, С и рассматривают треугольник АВС, в котором  АА’ является высотой. Для нахождения АА’ используют теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие треугольников, тригонометрические функции углов, формулы площади треугольника и др.

Задача № 1

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1  найдите    

расстояние от точки  А   до   прямой    BD1.

Решение

1. Расстояние от точки A до прямой BD1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую   BD1.  

Через точку А и прямую BD1 проводим плоскость АD1B.

АD1B – прямоугольный (, так как  

 D1D(ABC),  D1А – наклонная, АD – проекция,   АBAD, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах   AB АD1.  

Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1, проведенная к гипотенузе  BD1.    

2. Длину отрезка AH  можно найти различными способами.

Способ 1 (через площадь треугольника).       

В треугольнике  ABD1   АВ = 1 (по условию),  AD1 =  (как диагональ квадрата), BD1 =  (как диагональ куба).  

Найдем площадь  этого треугольника  по формулам:    

   и  , откуда

AB ∙ AD1 = BD1 ∙ AH

 =  .

Способ 2 (через подобие треугольников).

Треугольники   BAD1 и  ВНА  подобны по двум углам:                                         ,следовательно,    .         

 Откуда   АН  =   .

Способ 3 (через синус угла треугольника).

Из прямоугольных треугольников  BAD1 и  ВНА выразим синус угла В:

 ;        ,    откуда        AH  .

Способ 4 (через  теорему  Пифагора).

Пусть

Из   по теореме Пифагора находим  .

Из  по теореме Пифагора находим   .

Откуда   =

Тогда   ,   .

Ответ: 

Задача № 2

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF,  стороны  основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите  расстояние от точки S до прямой BF.

Решение

1. Расстояние от точки S до прямой BF есть длина перпендикуляра,

опущенного из точки S на прямую   BF.  Через точку S и прямую BF  проводим плоскость FSB.

FSB – равнобедренный (SF = SB), следовательно искомый перпендикуляр – это высота и медиана SM равнобедренного треугольника FSB.  

2. AFEDCB – правильный шестиугольник, следовательно,

FB = 2r = FB =   , .

3. Из SMB  (    по теореме Пифагора  ,  откуда

SM =   =  .

Ответ:  .

№ 2.         Метод параллельных прямых

Если искомый перпендикуляр выходит за пределы многогранника (точка А’ находится вне участка прямой а, данного в задаче), то через точку А  проводят  прямую  с, параллельную прямой  а, и выбирают не ней более удобную точку С , из которой перпендикуляр опускаем на прямую а. Длина отрезка СС’ будет равна искомому расстоянию от точки А до прямой а.

Задача № 3

В правильной шестиугольной призме А…F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АF1.

Решение

1. Расстояние от точки  B до прямой   АF1    есть длина перпендикуляра, опущенного из точки   B   на прямую   АF1.  
2. О1 – центр верхнего основания призмы,  (ABO1F1 – параллелограмм, так как AB = F1O1 = 1  и    AB  F1O1), следовательно, расстояние от точки  В до прямой АF1 равно расстоянию от точки О1 до прямой АF1.
3. Треугольник AF1O1 – равнобедренный: AF1 = AO1=   (AF1 = AO1 как равные наклонные на  плоскость верхнего основания призмы  и          AF1 =  как диагональ боковой грани), O1F1 = 1.
4. По теореме Пифагора из треугольника AF1K находим высоту AK треугольника AF1O1:

  =  .

5. Площадь треугольника   AF1O1 найдем двумя способами:

     и

  , значит,

 .  

Ответ:   .

Задача № 4

В правильной шестиугольной призме А…F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А1F1.

Решение

1. Расстояние от точки  B до прямой   А1F1    есть длина перпендикуляра, опущенного из точки   B   на прямую   А1F1.  
2.  , следовательно, .
3. BEF1A1 – равнобедренная трапеция  (BA1 = EF1  как диагонали граней правильной шестиугольной призмы),  A1F1 = 1 (по условию),  BE = 2  (как  диагональ правильного шестиугольника),

ρ  (В; A1F1) = BK = A1M , где  ВК  и  A1M– высоты трапеции.

4. В BА1М  (М = 900):  ВА1 = (диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы),

 ВМ =   , следовательно,  по теореме Пифагора   А1М = .

Ответ:    .

№ 3.        Координатный метод

Пусть    ,   , тогда расстояние между точками А и В можно вычислить по формуле   .

• Соотношение отрезков в правильных многоугольниках (для нахождения координат точек)

Равносторонний треугольник

AC = AB = BC = a

 =  =  =

BO =  BM;     MO =  BM;     BP =  BM;    OP =  BM  

BM  AC;   AM = MC

FC = =  = = =

Квадрат

AB = DC = CD = DA = a

AC = BD = a;      

 BO = OD = AO = OC =

BP = PO = OK = KD = AF =FO = OE = EC =

Правильный шестиугольник

AB = BC = CD = DE = EF = FA = a

AO = BO = CO = DO = EO = DO = a

AD = BE = FC = 2a

AE =   = a

Задача № 5

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки  D1  до   прямой  PQ, где P и Q – середины соответственно ребер  A1B1  и   ВС.

Решение

1. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А.  

Найдем координаты точек

.        

Тогда   

2. Из треугольника D1PQ  по теореме

косинусов , откуда

3. По основному тригонометрическому тождеству   получаем

        .  

4. Пусть , тогда  

Ответ: .

Полезные ссылки

1. Расстояние от точки до прямой. Решение задач  с №17 по № 20. Презентация.
2. Расстояние от точки до прямой. Решение задач   № 16, 17. Презентация.
3. Расстояние от точки до прямой. Решение задач  с №16 по №20. Презентация.
4. Расстояние от точки до прямой. Решение задач  с №19 по №22. Презентация.
5. Расстояние от точки до прямой. Решение задач .
6. Онлайн тесты ЕГЭ
7. Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
8. В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010

Различные методы нахождения расстояний и углов в пространстве

Цели урока:

Образовательные:

• изучить некоторые методы нахождения расстояний и углов в пространстве, такие как метод параллельных плоскостей, метод объёмов, с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;
• повторить основные способы решения задач нахождения расстояний и углов в пространстве: по определению и метод координат;
• проверить знание формул нахождения расстояний и углов в пространстве;
• проверить умения решать простейшие задачи на нахождение углов между прямыми и плоскостями в пространстве.

Ход урока

1. Организационный момент. 

2. Вступительное слово.

Цели нашего урока – повторить координатный метод решения задач нахождения расстояний и углов в пространстве, познакомиться с избранными методами решения задач на нахождение расстояний и углов в пространстве, научиться применять их при решении задач.

Начнем урок с устной работы, цель которой – повторить определения и формулы, которые нам понадобятся для нахождения расстояний и углов в пространстве.

3. Работа устно. 

Найти соответствие между левой и правой частями формул. 

4. Тренажер. 

Заполнить пропуски в решении.

1. Точка К – середина ребра АA₁ куба АВСDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми A₁В и СК.

2. В правильной треугольной призме АВСA₁B₁C₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка D – середина ребра CC₁. Найдите расстояние от вершины С до плоскости АDB₁.

3. Основание прямой четырехугольной призмы прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A₁D₁ перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 5.

5. Избранные методы нахождения расстояний и углов в пространстве. 

Каждая из трех групп за неделю до урока получила кейсы с методами решения задач. На уроке один представитель от группы показывает презентацию по решению задачи указанным способом.

1 группа (метод параллельных плоскостей).

Вывод. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми методом параллельных плоскостей, надо:

1. Определить параллельные плоскости, в которых лежат прямые.
2. Переформулировать данную задачу как задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости.
3. Построить расстояние от точки до плоскости.
4. Найти это расстояние.

2 группа (метод объёмов).

Вывод. Чтобы найти расстояние от точки до плоскости методом объёма, надо:

1. Построить искомое расстояние.
2. Определить пирамиду, содержащую это расстояние.
3. Найти объем этой пирамиды, используя равенство объёмов одной фигуры, выраженной двумя независимыми формулами.
4. Воспользоваться формулой

3 группа (с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

Вывод. Чтобы найти угол между плоскостями методом ортогональной проекции, надо:

1. Определить площадь многоугольника, лежащего в одной из плоскостей.
2. Определить площадь его ортогональной проекции на другую плоскость.
3. Воспользоваться формулой

6. Составление памятки по методам решения задач на нахождение углов и расстояний в пространстве 

7. Работа в группах. 

1. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от точки А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если AD = =2√5, AB = AC =10, BC = 4√5 (решить методом объёмов).
2. В правильной шестиугольной призме A…F₁, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти угол между плоскостями BA₁D₁ и AA₁E₁ (решить методом ортогонального проектирования).

8. Подведение итогов. 

1. Какие методы нахождения расстояний и углов в пространстве вы узнали сегодня на уроке?
2. Сможете ли вы самостоятельно находить расстояния и углы в пространстве?
3. Какой из методов нахождения расстояний и углов в пространстве вы считаете наиболее приемлемым для вас?
4. Чувствовали ли себя комфортно на уроке?

Методическая разработка по геометрии (11 класс): Расстояния в пространстве.

Слайд 1

Расстояния в пространстве ( расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми). Подготовила учитель математики МБОУ «СОШ №18» г. Энгельса Пастухова Наталья Алексеевна

Слайд 2

Цели и задачи: Цель : систематизировать знания по решению задач на нахождение расстояний в пространстве методами, изучаемыми в средней школе, а также методами, которым в школе по тем или иным причинам не уделяется должное внимание. Задачи: рассмотреть теоретический материал, различные методы и приемы, применяемые при решении задач на нахождение расстояний в пространстве; привести примеры решения задач, взятых из различных источников, и задач из вариантов ЕГЭ.

Слайд 3

Расстояние от точки до прямой. Определения: Расстояние от точки до прямой , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Слайд 4

Поэтапно-вычислительный метод. Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот.

Слайд 5

Пример 1. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки E и F так, что Найдите расстояние от точки до D 1 прямой EF .

Слайд 6

Координатный метод. Вводят декартову систему координат, начало координат совмещают с одной из вершин, оси, выходящие из этой вершины, направлены вдоль ребер многогранника, и проводят все вычисления в координатной форме. Пример 2. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние от точки D 1 до прямой PQ , где P и Q – середины соответственно ребер A 1 B 1 и BC .

Слайд 7

Векторный метод. Обычно при решении задач, в которых рассматривается призма или пирамида, в качестве базисных векторов выбирают какую либо тройку векторов, выходящих из одной вершины и направленных вдоль ребер многогранника. Пример 3 . В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние от точки D 1 до прямой PQ , где P и Q – середины соответственно ребер A 1 B 1 и BC . Решение. Пусть тогда

Слайд 8

Расстояние от точки до плоскости. Определения: Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Слайд 9

Поэтапно- вычислительный метод. Расстояние от точки Т до плоскости α можно найти руководствуясь следующим планом: (см. рис. 208) Выберем в плоскости α какую-нибудь прямую р и из точки Т опустим перпендикуляр TR на эту прямую; В плоскости α через точку R проведем прямую Найдем расстояние от точки Т до прямой q. Это TH — расстояние от точки Т до плоскости α.

Слайд 10

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Определение. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Так, если отрезок TH перпендикулярен скрещивающимся прямым p и q , то этот отрезок – общий перпендикуляр прямых p и q . 1) На прямой q выберем точку R . Через прямую p и точку R проведем плоскость β. 2) В пл. β через точку R проведем прямую р 1 ǁ р. 3) Через пересекающиеся прямые q и р 1 проведем плоскость α. 4) Из точки Т прямой р опустим перпендикуляр TH на пл. α.

Слайд 11

Расстояние между скрещивающимися прямыми (четыре способа) . Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный обеим) и найти его длину. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от какой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости. Заключить данные скрещивающиеся прямые в параллельные плоскости и найти расстояние между этими плоскостями. Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой. Расстояние между проекциями прямых на эту плоскость равно расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Слайд 12

Метод ортогонального проектирования Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой . BC 1 — ортогональная проекция l 2 на плоскость α, H — основание перпендикуляра, опущенного из А на ВС 1 .

Слайд 13

Пример 4. (4 способ) Найдите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна а . Найдем расстояние между диагоналями А 1 С 1 и AD 1

Слайд 14

1 способ Найдите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна а . Найдем расстояние между диагоналями А 1 С 1 и AD 1

Слайд 15

2 способ Найдите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна а . Найдем расстояние между диагоналями А 1 С 1 и AD 1

Слайд 16

3 способ Найдите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна а . Найдем расстояние между диагоналями А 1 С 1 и AD 1

Слайд 17

Список используемой литературы Книги 1.1 Литвиненко В.Н., Батугина О.А. Геометрия. Готовимся к ЕГЭ. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. –М.: Просвещение, 2011. – 158 с. 1.2 Сагателова Л.С., В.Н. Студенецкая В.Н. Практическая геометрия. Комбинации геометрических тел, 10 — 11классы. Методическое пособие. – М.: Планета, 2011. -334 с. 1.3 Орехова А.И. Задачи на готовых чертежах. Стереометрия. Практикум для учащихся общеобразовательных учреждений. – Мозырь: Белый ветер, 2010. – 50 с. Статьи 2.1 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МИЭТ «Абитуриенту 2011». – 89 с.

Измерение расстояний в мировом пространстве

У каждого, кто начинает знакомиться с астрономией и узнает, что до Луны 380 тыс., а до Солнца 150 млн. км, что звездные расстояния измеряются вместо километров сотнями, тысячами и миллионами «световых лет» и «парсеков», возникает вполне естественное и законное сомнение: «А как же измерили эти расстояния, эти миллионы и миллиарды километров? Ведь до Луны, а тем более до Солнца и звезд добраться нельзя, следовательно, нельзя применить и обычные способы измерения расстояний».

Наука и жизнь // Иллюстрации

Рис. 1. Измерение расстояния до недоступного предмета.

Рис. 2. Измерение расстояния до Луны (относительное расстояние Луны и звезды Е сильно искажено).

Наука и жизнь // Иллюстрации

Рис. 3. Прохождение Венеры по диску Солнца (относительные размеры Солнца, Земли и Венеры не в масштабе).

Рис. 4. Противостояние Марса.

Рис. 5. Расположение орбит Марса, Эроса и Земли.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

‹

›

Цель этой статьи — изложить вкратце способы, которыми астрономы измеряют расстояния до тел солнечной системы — Луны и Солнца. Определению расстояний более отдаленных объектов — звезд и туманностей — мы посвятим другую статью в с дном из ближайших номеров нашего журнала.

Измерение расстояния до Луны

Способы, применяемые астрономами для определения расстояния до близких к нам небесных тел, в принципе те же самые, которые применяют геодезисты при съемочных работах, землемеры, саперы, артиллеристы и т. д.

Как измерить расстояние до предмета, подойти к которому нельзя, например, до дерева на противоположной стороне реки (рис. 1)?

Топограф или землемер поступит просто. Он отложит на «своем» берегу линию АВ и измерит ее длину. Затем, став на один конец линии в точку А, измерит угол CAB — между направлением своей линии и направлением на предмет С. Перейдя в точку В он измерит угол СВА. А дальше можно поступить двумя способами: можно отложить на бумаге линию АВ в масштабе и построить на ее концах углы CAB и СВА, пересечение сторон которых и дает на плане точку С. Расстояние ее от точек А и В (да и от любой другой точки, отмеченной на плане) представит соответствующее действительное расстояние в том же самом масштабе, в котором изображена линия АВ. Или же можно по формулам тригонометрии, зная одну сторону треугольника и два его угла, вычислить все другие его линии, в том числе и высоту СН — расстояние точки С — далекого дерева до проведенной землемером линии АВ.

Точно так же поступили и астрономы, определяя расстояние до Луны. Если в один и тот же момент два наблюдателя сфотографируют небо с Луной из двух далеких друг от друга мест А и В (рис. 2) и затем сравнят свои снимки, они увидят, что положение Луны относительно звезд несколько различно. Например, звезда Е на снимке наблюдателя А будет видна к северу от Луны, а у наблюдателя В — к югу.

Измеряя снимки или, что проще, определяя положение Луны на небе в двух местах с помощью специальных телескопов, снабженных угломерными приспособлениями, можно по видимому смещению Луны найти и ее расстояние до Земли. Вспомним одну простую теорему из геометрии — сумма углов в четырехугольнике равна 360° — и применим ее к Земле и Луне.

Измерения дадут величину углов z₁ и z₂ — углов между вертикальным направлением в обоих местах и направлением на Луну. Предположим, для простоты, что места А и В лежат на одном меридиане, т. е. на круге, проходящем через оба полюса Земли. ЕЕ — земной экватор и утлы φ ₁ и φ₂ —географические широты обоих мест.

Применяя теорему к четырехугольнику OALB, где О — центр Земли, найдем, что

[(180° — z₁)+φ ₁ + φ ₁₂+ (180°—z₂)[+] p]= 360°

или

р = (z₁+ z₂) — (φ₁+ φ₂)

По известным углам найдем угол р, под которым из центра Луны видна линия АВ. Длина линии АВ известна, так как известен радиус Земли и положение мест наблюдения А и В. По длине этой линии и углу р, так же как и в случае недоступного предмета, можно вычислить расстояние до Луны.

Угол, под которым из центра Луны или другого небесного тела видна линия, длиной равная радиусу Земли, называется параллаксом этого небесного светила. Измерив угол р для любой линии АВ, можно вычислить и параллакс Луны.

Такие измерения были сделаны еще древними греками. Современные точные намерения дают для параллакса Луны на ее среднем расстоянии от Земли величину немного меньше градуса — 57′ 2″,7, т. е. Земля видна с Луны как диск диаметром почти в 2° (в 4 раза больше диаметра видимого нами диска Луны).

Отсюда следует между прочим тесьма интересный вывод: жители Луны (если бы они были там) с большим правом смогли бы сказать, что Земля служит для освещения Луны, чем мы говорим обратное. В самом деле: диск Земли, видимый с Луны, по площади в 14 раз больше видимого нами диска Луны; а так как каждый участок поверхности диска Земли отражает в 6 раз больше света (из-за наличия атмосферы), чем такой же участок диска Луны, то Земля посылает на Луну в 80 раз больше света, чем Луна на Землю (при одинаковых фазах).

По параллаксу Луны сейчас же находим, что расстояние до нее в 60,267 раз больше радиуса Земли или равно 384 400 км.

Однако — это среднее расстояние: путь Луны не точный круг, и Луна, обращаясь вокруг Земли, то подходит к ней на 363000 км, то удаляется на 405 000 км.

Так решается первая, самая простая задача — измерение расстояния до самого близкого к нам небесного тела. Это сравнительно не трудно, потому что видимое смещение Луны велико, и его можно было измерить с помощью даже тех примитивных приборов, которыми пользовались древние астрономы.

Чему равно расстояние до Солнца

Казалось бы, можно применить тот же самый способ и для измерения расстояния: до Солнца — произвести одновременные наблюдения в двух местах, вычислить углы четырехугольников и треугольников, и задача решена. На деле, однако, обнаружилось весьма много трудностей.

Уже древние греки установили, что Солнце во много раз дальше Луны, но во сколько именно — установить не смогли.

Древнегреческий астроном Аристарх нашел, что Солнце в 20 раз дальше Луны; это измерение было неверно. В 1650—1675 гг. голландские и французские астрономы показали, что Солнце дальше Луны примерно в 400 раз. Стало понятным, почему не удавались попытки обнаружить видимое смещение Солнца, как это удалось сделать для Луны. Ведь параллакс Солнца в 400 раз меньше параллакса Луны, всего около 1/400 градуса, или 9 сек. дуги. А это значит, что даже при наблюдении с двух мест Земли, лежащих на противоположных концах диаметра Земли, например с северного и южного полюсов, видимое смещение Солнца было бы равно видимой толщине проволоки в 0,1 мм (человеческий волос) при рассматривании ее с расстояния в 1,5 м. Величина ничтожная, и заметить ее трудно, хотя и возможно с помощью точного угломерного прибора.

Но возникают большие добавочные трудности. Луну наблюдают ночью и ее положение сравнивают с положениями соседних звезд. Днем звезд не видно, и сравнивать положение Солнца не с чем, приходится целиком полагаться на разделенные круги самого прибора. Прибор нагревается лучами Солнца, различные части его деформируются, вызывая появление новых ошибок. Да и сам воздух, нагретый лучами Солнца, неспокоен, край Солнца кажется волнующимся, дрожащим, по небу как бы бегут волны. Погрешности наблюдений будут больше той величины, которую необходимо измерить. От самого простого метода пришлось отказаться и пойти обходными путями.

Наблюдения видимых движений планет производились еще в глубокой древности. Из сравнения этих наблюдений с современными удалось с очень большой точностью определить время обращения планет вокруг Солнца. Так например, мы знаем что Марс совершает свой оборот в 1,8808 земных года. Но третий закон Кеплера говорит: «Квадраты времен обращения планет относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца». Отсюда, принимая за единицу среднее расстояние Земли от Солнца, можно вычислить, что среднее расстояние Марса равно 1,5237. Таким путем можно построить точный «план» солнечной системы, нанести орбиты планет, Земли, комет, но у плана будет не хватать «мелочи» — масштаба. Мы сможем уверенно сказать, что Венера в 1,38 раза ближе к Солнцу, чем Земля, а Марс в 1,52 раз дальше, но ничего не будем знать о том, сколько же километров от Венеры или Земли до Солнца. Достаточно, однако, найти хотя бы одно из расстояний в километрах: мы получим в свои руки масштаб и, пользуясь им, сможем измерить любое расстояние на плане.

Именно этот способ был применен для измерения расстояния от Солнца до Земли. Меркурий и Венера находятся ближе к Солнцу, чем Земля. Может оказаться, что когда Земля и Венера будут находиться по одну сторону от Солнца, — центры Солнца и обеих планет окажутся на одной «прямой линии (рис. 3). Венера будет видна с Земли на диске Солнца. Расстояние от Земли до Венеры будет почти в 4 раза меньше расстояния до Солнца, а параллакс ее почти в 4 раза больше параллакса Солнца. Кроме того, нужно будет определить положение Венеры относительно центра Солнца, что можно сделать гораздо точнее, чем определение видимого положения Солнца (ошибки, присущие инструменту, влияют значительно меньше при определении относительного положения двух небесных тел).

Если бы движение Земли и Венеры происходило в одной и той же плоскости, то «прохождения Венеры по диску Солнца» наблюдались бы каждый раз, когда Венера, движущаяся быстрее Земли, обгоняет ее, т. е. примерно раз в 1 год и 7 мес. Но плоскости путей Земли и Венеры наклонены друг к другу. Обгоняя Землю, Венера проходит выше или ниже Солнца и не может быть наблюдаема, так как она повернута к Земле темной, не освещенной Солнцем стороной. Мы увидим ее на диске Солнца лишь в том случае, если и «обгон» будет происходить вблизи линии пересечения плоскостей орбит обеих планет.

Такое «счастливое совпадение» случается не часто. После одного прохождения второе следует через 8 лет, но зато следующее — лишь через 105—120 лет. Впервые явление наблюдали в 1639 г. Следующие прохождения — 1761, 1769, 1874 и 1882 гг. наблюдались уже весьма тщательно для определения точного расстояния до Солнца. Для наблюдения последних двух прохождений было снаряжено большое число специальных экспедиций. Наблюдатели в далеко расположенных пунктах с наибольшей доступной точностью наблюдали моменты начала и конца явления, а также положение Венеры на диске Солнца. При наблюдениях последних прохождений применялось уже фотографирование Солнца. Видимый путь Венеры по диску Солнца будет несколько смещен у обоих наблюдателей (рис. 3). Из величины смещения можно вычислить расстояние от Земли до Венеры, т. е. найти тот ключ, масштаб, которого недоставало в построенном плане солнечной системы. Наблюдений прохождений Венеры дали для параллакса Солнца величину 8″,86 и для расстояния Солнца — 148 000 000 км.

Два ближайших прохождения Венеры по диску Солнца будут наблюдаться 8 июня 2004 г. и 6 июня 2012 г.

Могут наблюдаться и прохождения по диску Солнца ближайшей к Солнцу планеты — Меркурия. Они бывают значительно чаще, чем прохождения Венеры, но представляют несравненно меньше интереса для определения расстояния до Солнца: в момент прохождения расстояние от Земли до Меркурия составляет около 90 млн. км, и параллакс его лишь в 1,5 раза больше параллакса Солнца.

Другое удобное расположение планет бывает тогда, когда Земля, двигаясь быстрее Марса, перегоняет его (рис. 4). В это время Марс виден на ночном небе в противоположном от Солнца направлении, почему такие положения его и называются противостояниями. Расстояние между Землей и Марсом уменьшается в среднем до 78 млн. км. Однако орбита Марса сильно отлична от круга, и если сближение Марса и Земли происходит в августе — сентябре, расстояние до Марса может быть всего 56 млн. км. Марс виден всю ночь, и его положение можно очень точно определить, пользуясь как опорными точками близкими звездами.

Наблюдения из двух пунктов дадут параллакс Марса, а отсюда можно вычислить его расстояние и по нему — масштаб к плану солнечной системы. Приближения Марса и Земли — противостояния Марса — повторяются приблизительно через 2 года и 2 мес., а так называемые «великие противостояния», когда Марс ближе всего к Земле, — раз в 15 —17 лет. Последнее «великое противостояние» было 24 августа 1924 г., а следующее будет 23 июля 1939 г. Каждое противостояние используется не только для определения расстояния, но и для физических наблюдений самого Марса.

Еще ближе к Земле может подойти Эрос, одна из семейства малых планет, орбиты большинства которых лежат между орбитам Марса и Юпитера. Орбита Эроса очень сильно отлична от круга, и значительная часть ее лежит даже внутри орбиты Марса (рис. 5). В некоторых случаях расстояние между Землей и Эросом может уменьшаться до 22 млн. км, т. е. до 1/7 расстояния Солнца, довольно близко Эрос подходил к Земле в 1900—1901 гг. (на 48 млн. км) и в 1930— 1931 гг. (на 26 млн. км). Эрос наблюдался в это время, как звездочка, положение которой среди других звезд может быть определено весьма точно.

Нужно заметить, что для определения параллакса по наблюдениям Эроса не нужно обязательно производить наблюдения из двух далеких пунктов. Вращение Земли вокруг оси уносит с собой наблюдателя и, если он находится на экваторе, за 12 час. вращение Земли перенесет его на расстояние, равное диаметру Земли, или 12,7 тыс. км. Наблюдатель, расположенный к северу или к югу от экватора, переместится меньше. И если снимки Эроса произведены в начале и в конце ночи, — они равносильны снимкам, сделанным на большом расстоянии друг от друга. Нужно, конечно, принять во внимание движение Земли и Эроса по орбитам за время между снимками.

Существуют ещё другие способы измерения расстояния до Солнца, но они не являются основными, и рассматривать их мы не имеем возможности. Между прочим такой же метод использовался древними и для определения параллакса Луны.

Сопоставление всех наиболее точных определений дает для параллакса Солнца величину 8″,803 с возможной ошибкой в 0″,001, а отсюда — среднее расстояние Земли равно 149 450 000 км с возможной ошибкой в 17 000 км.

Среднее расстояние Солнца—Земля является основным для выражения других расстояний в солнечной системе и названо «астрономической единицей». Но действительное расстояние до Солнца может отличаться от среднего, так как путь Земли около Солнца — не круг, а эллипс. В июле расстояние до Солнца на 2,5 млн. км больше среднего, а в январе на столько же меньше.

Астрономическая единица есть та мера, которой мы измеряем «не только все расстояния до тел солнечной системы, но и расстояния самых далеких звезд, туманностей и звездных скоплений. Словом, это та мера, при помощи которой мы определяем масштаб строения вселенной. Поэтому на определения ее потрачено много усилий, и известна она современной науке с большой точностью.

Может показаться, что указанная выше ошибка в 17 000 км велика; но не надо забывать, что эта ошибка составляет лишь немногим больше 0,0001 всей астрономической единицы. Представим себе, что мы измерили длину комнаты в 9 м и при этом измерении ошиблись всего лишь на 1 мм. По сравнению с длиной комнаты эта ошибка соответствует точности, с которой известно среднее расстояние Земли от Солнца. Но если попробовать на самом деле измерить длину в 9 м с ошибкой в 1 мм, — это окажется совсем не так просто: потребуется большое внимание и хорошие измерительные инструменты, чтобы обеспечить такую точность при обыкновенном измерении по гладкому полу, во всех точках доступному измерителю. Тем более нужно отдать должное точности, с которой произведено измерение через межпланетное пространство расстояния до Солнца, к которому ни один человек ее приближался ближе чем на 147 млн. км, — расстояние, которое пушечное ядро сможет пролететь, двигаясь со скоростью 1000 м/сек, только в 4,5 года.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Измерение расстояний в мировом пространстве

Расстояния звезд

Рис. 1. Определение параллаксов звезд (размеры орбиты Земли сильно преувеличены).

Рис. 2. Темная туманность.

Рис. З. Участок Млечного Пути.

Рис. 4. Схема строения нашей звездной системы (Галактики).

Рис.5. Туманность в созвездии Андромеды — далекая звездная система.

Рис. 6. Зависимость между наблюдаемыми скоростями удаления внегалактических туманностей и их расстояниями.

‹

›

Тот способ, которым определяются расстояния до Луны, Солнца и других тел солнечной системы (см. «Наука и жизнь» № 6, 1938) совершенно неприменим для измерения расстояний до звезд. Звезды настолько далеки от нас, что направления к какой-нибудь из них с двух противоположных точек земного шара практически параллельны между собою, и самыми точными инструментами нельзя установить, где эти направления пересекаются. Все базисы, доступные нам на Земле, слишком малы для измерения звездных расстояний, — для этой цели необходимо иметь базис гораздо большей длины. Действительно, снимки одного и того же участка неба, сделанные на двух возможно более далеких друг от друга обсерваториях, оказываются совершенно тождественными.

Но, двигаясь вокруг Солнца, Земля проходит большой путь в пространстве; летом она находится в противоположной стороне от Солнца по отношению к тому месту, где она была зимой. В июне и декабре мы смотрим на небо с двух точек, лежащих на расстоянии в 300 млн. км одна от другой.

Смотря из окна движущегося поезда, мы видим, что далекие предметы как бы стоят на месте, а близкие «бегут» в направлении, противоположном движению поезда. Видимые движения должны наблюдаться и у звезд; вследствие движения Земли каждая звезда должна описывать в течение года маленький эллипс (тем больший, чем меньше расстояние до нее). Однако таких движений звезд не наблюдалось, и еще Коперник, излагая свою теорию строения мира, указывал, что мы не замечаем их из-за больших расстояний звезд.

Астрономы последующих поколений искали видимые движения звезд; телескопы совершенствовались, но все попытки определить расстояния звезд от нас оставались безуспешными.

Около 1725 г. английский астроном Брадлей укрепил неподвижно в стене дома телескоп так, что ежедневно через поле зрения последнего проходила звезда гамма Дракона. Брадлей очень точно определял положение звезды и вскоре заметил видимые смещения ее. Но Дальнейшие наблюдения принесли разочарование: Брадлей открыл не параллакс звезды, а совершенно другое явление — аберрацию света, т. е. видимое отклонение светового луча, происходящее вследствие сложения скорости движения Земли со скоростью света. Было найдено физическое доказательство движения Земли, но расстояния звезд оставались неизвестными.

Очевидно, что гораздо легче заметить смещение звезды, если вблизи нее видна другая звезда, значительно более далекая. Пусть (рис. 1) звезда S1 значительно ближе к нам, чем звезда S2. Когда Земля находится в точке Т1, мы будем видеть обе звезды в одном направлении. Но через полгода Земля перейдет в Т2, на расстояние 300 млн. км от Т\1, и звезды S1 и S2 как бы разойдутся. Измерив видимое расстояние между звездами, т. е. угол S1T2S2, и считая, что звезда S2 очень далека и не испытывает видимого смещения, можно найти угол, под которым с звезды S1 виден радиус орбиты Земли (параллакс звезды), а по нему и расстояние звезды от Земли (напомним, что для Солнца, Луны и планет параллаксом назывался угол, под которым с небесного тела виден радиус земного шара). По такому пути и пошли в дальнейшем астрономы: они стали искать относительное смещение двух звезд, одну из которых по тем или иным соображениям можно было считать близкой к Солнцу.

Сто лет назад работы астрономов, наконец, увенчались успехом: впервые удалось измерить расстояния до звезд. Почти одновременно 3 астронома — Бессель, Гендерсон и В. Струве (первый директор Пулковской обсерватории) — опубликовали найденные ими параллаксы звезд. Наибольший параллакс был найден Гендерсоном для звезды альфа Центавра (находящейся в южном полушарии неба), которая и до сих пор считается ближайшей к нам звездой. Но и ее параллакс равен всего 0″,76; видимое смещение ее за полгода равно 1»,52 или углу, под которым шарик диаметром в 1 мм виден с расстояния около 140 м. Параллаксы других звезд еще меньше. Становится понятным, почему так долго их не могли обнаружить.

Параллаксу в 0″,76 соответствует расстояние, в 270 тыс. раз большее расстояния от Земли до Солнца, или примерно 4 • 10¹³ км. Выражать такие расстояния в километрах уже неудобно, слишком мала и «астрономическая единица» — среднее расстояние от Земли до Солнца; пришлось вводить новые единицы. Одна из них «парсек» (от слов «параллакс-секунда») есть расстояние, соответствующее параллаксу в 1″. Парсек равен примерно 3,1 • 10¹³ км.

Свет проходит в секунду 300 тыс. км, следовательно, за год он пройдет 9,5 • 10¹² км.

Расстояние это тоже принято за единицу измерения и названо «световым годом». Мы можем сказать, что ближайшая к нам звезда — альфа Центавра — находится на расстоянии 1,3 парсека, или 4,3 световых года. Наблюдая эту звезду, мы видим ее такой, какой она была 4 с лишним года назад.

За первыми определениями параллаксов звезд последовали все новые и новые; особенно успешно пошло дело после развития звездной фотографии. Сейчас звездные параллаксы определяются исключительно фотографическим методом.

Казалось бы, что достаточно сделать два снимка звезды, которую есть основание считать близкой к нам, с интервалом в полгода, определить ее положение относительно слабых, значительно более далеких звезд, чтобы, сравнив эти два снимка, найти параллакс. Однако дело обстоит более сложно. Звезды, которые мы называли неподвижными, несутся в пространстве с большими скоростями, и движение их незаметно нам лишь потому, что они очень далеки от нас. Далее, Земля, кроме вращения вокруг Солнца, движется вместе с ним в пространстве, что также вызывает видимое смещение близких звезд. Для выделения параллактического смещения звезды необходимы по меньшей мере три снимка, сделанные через полгода один после другого. На практике же в течение года делается не три, а больше снимков, с помощью которых и находится параллакс звезды.

В настоящее время удалось определить расстояния примерно 4000 звезд. Чем дальше звезда, чем меньше ее параллакс, тем менее точно удается измерить ее расстояние. Современные методы дают возможность определять параллаксы вплоть до 0″,005;
меньшие величины уже нельзя считать реальными, они меньше возможных ошибок наблюдения. Параллаксу 0″,005 соответствует расстояние в 200 парсек или 650 световых лет; свет, дошедший до нас в 1938 г., вышел от такой звезды в 1288 г.

Но это только самые близкие к нам звезды, наши «соседи». Огромное большинство звезд несравненно более далеки. Как же измерили расстояния до них, если обычный, так называемый тригонометрический метод уже не в состоянии дать ответ?

Определение расстояний по яркости звезд

Освещение уменьшается пропорционально квадрату расстояния от источника света: лампа в 1000 свечей на расстоянии в 10 м освещает так же, как лампа в 10 свечей на расстоянии 1 м. Пользуясь этим законом, мы можем найти действительную яркость звезд, если известно их расстояние до нас. Условились принимать за меру яркости звезды ту видимую яркость, которую звезда имела бы при наблюдении ее с расстояния в 10 парсек, или 32,6 световых лет. Яркость эту называют «абсолютной величиной»¹ звезды. Так, «абсолютная величина» нашего Солнца 4,85 звездной величины, т. е. при удалении от него на 10 парсек оно будет видно как слабая звездочка 4,85 величины (самые слабые, еще видимые глазом звезды — 6-й величины). Если бы мы знали абсолютные величины звезд, мы могли бы по их видимым яркостям определять расстояния.

Оказалось, что такая задача разрешима. Для всех звезд, параллаксы которых измерены, можно найти абсолютные величины. Было сделано сопоставление абсолютных величин звезд и их спектров; установлено, что интенсивность некоторых фраунгоферовых линий в спектре зависит от абсолютной величины звезды. Астрономы получили в свои руки могучее орудие; сфотографировав спектр звезды, можно найти ее абсолютную величину, а сравнив эту последнюю с видимой, — найти расстояние звезды.

Например, из измерения спектра и яркости звезды получается, что ее яркость в миллион раз слабее той, которую она имела бы, если бы находилась на расстоянии 10 парсек. Отсюда легко найти расстояние звезды: оно равно 10 • √1 000 000 = 10 000 парсек, или 32 600 световых лет. Параллакс ее равен 0″,0001 (величина, которая непосредственно не может быть измерена). Такой способ, способ «спектроскопических параллаксов», годен для измерения каких угодно больших расстояний, лишь бы силы света звезды хватило для получения достаточно хорошего снимка спектра, пригодного для определения ее абсолютной яркости. Современные большие телескопы позволяют фотографировать очень слабые звезды.

Способ «спектроскопических параллаксов» хорош еще тем, что ошибка, полученная при определении расстояния, всегда около 20% и не зависит от самого расстояния, между тем как тригонометрические параллаксы определяются тем хуже, чем дальше звезда: при параллаксе 0″,5 ошибка в расстоянии будет порядка 2—5%, при параллаксе 0″,01 она может быть в 200%.

В настоящее время известны спектроскопические параллаксы многих тысяч звезд, на основании их сделан ряд весьма существенных выводов о строении нашего звездного мира.

Но работы последнего десятилетия принесли некоторое разочарование и заставили относиться к спектроскопическим параллаксам с большей осторожностью. Дело в том, что закон ослабления света пропорционально квадрату расстояния от его источника справедлив лишь в том случае, если пространство совершенно прозрачно и свет в нем не поглощается. Давно было известно существование областей, занятых темной, несветящейся материей, видимых на фоне более далеких звезд. Это так называемые темные туманности (рис. 2). Сейчас установлено, что темная материя имеется и во всем пространстве, и она ослабляет свет, доходящий к нам от звезд. Очень трудно учесть, насколько ослаблен свет звезды поглощением в темной материи, и всегда есть опасность недооценить или переоценить расстояние до нее. Поэтому при определении расстояний по абсолютной яркости всегда нужно тщательно учесть возможное влияние поглощения света.

Наша звездная система

Остановимся очень кратко на главных результатах, полученных из исследования расстояний до звезд.

Все знают полосу Млечного Пути — слабое сияние, пересекающее небо и особенно хорошо видимое у нас в ясные осенние и зимние вечера. Если навести на Млечный Путь телескоп, то можно убедиться, что это слабое сияние — свет многих миллионов звезд, расположенных настолько тесно, что для глаза они сливаются в общую массу (рис. 3).

Уже из одного вида Млечного Пути можно заключить, что звезды расположены в пространстве не равномерно и не беспорядочно, а по какому-то определенному закону.

Определение расстояний до звезд, с учетом межзвездного поглощения света и с применением статистических методов исследования, дало возможность построить картину окружающей нас звездной вселенной.

Несколько миллиардов звезд, в число которых входит и наше Солнце, образуют в пространстве как бы «чечевицу», диаметр которой раз в 5 больше ее толщины (рис. 4). Размеры чечевицы огромны, — диаметр ее около 30 000 парсек; иными словами, свет идет от одного ее края до другого примерно 100 000 лет. Смотря по направлению плоскости чечевицы, мы видим значительно больше звезд, чем в перпендикулярном направлении, — этим и объясняется полоса Млечного Пути. Солнце лежит не в центре системы, а примерно на 2/3 ее радиуса.

Центр системы расположен в направлении к созвездию Стрельца, там, где видны наиболее яркие «звездные облака» Млечного Пути. Кроме звезд, имеется много облаков темной несветящейся материи, видимой как темные туманности. Но если вблизи такого скопления материи расположена достаточно яркая звезда, — материя отражает ее свет или начинает светиться сама, и вместо темной туманности будет видна светлая. Такова, например, хорошо известная туманность в созвездии Ориона.

Коперник 400 лет назад доказал, что наша Земля лишь одна из планет; теперь мы знаем, что Солнце — одна из многих миллиардов звезд. Естественно возникает вопрос: существует ли только одна наша звездная система или есть много других таких же звездных групп.

Уже давно были известны небесные объекты, сходные по форме с Млечным Путем (как мы его себе представляем), — так называемые спиральные туманности. Самая большая и яркая из них находится в созвездии Андромеды (рис. 5). Смотря на Млечный Путь извне и издалека, мы видели бы его похожим на туманность Андромеды. Но не случайное ли это сходство? Подобна ли туманность Андромеды Млечному Пути?

Еще лет 20 назад такой вопрос вызывал большие споры. Чтобы ответить на него, надо знать размеры туманности Андромеды, что требует знания расстояния до нее.

Сильные телескопы показывают, что туманность Андромеды состоит из звезд, как
и многие другие подобные ей по виду туманности. Но быть может это тесные группы звезд, входящие в нашу звездную систему?

Звездные маяки

Давно известны звезды, меняющие свою яркость; такие звезды называются переменными. Причины изменения яркости переменных звезд различны. Среди них есть группа звезд, меняющих яркость строго периодически; причина этого связана с изменениями температуры и радиуса звезды; такие звезды названы цефеидами. Они-то и оказались теми «маяками», с помощью которых удалось определить расстояние до туманности Андромеды.

30 лет назад на Гарвардской обсерватории в Америке было сделано очень важное открытие: было установлено, что между периодом изменения яркости цефеид и их абсолютными яркостями существует определенная зависимость.

Наблюдая цефеиду, легко можно установить период изменения ее блеска и по нему найти ее абсолютную яркость. Сравнивая абсолютную величину с видимой, можно найти расстояние до звезды. Этот способ может быть применен и к слабым звездам, получить спектры которых для определения по ним абсолютных величин уже нельзя.

Среди звезд, видимых в туманности Андромеды и в других наиболее ярких туманностях, нашлось довольно много цефеид. Сравнение их с цефеидами в нашей звездной системе показало, что расстояние до туманности Андромеды около 700 000 световых лет. И отсюда определилась и ее величина: диаметр туманности Андромеды того же порядка, что и нашего Млечного Пути, она должна включать в себя миллиарды звезд.

Другие спиральные туманности находятся от нас дальше, размеры их того же порядка. Следовательно, наша звездная система не одна, есть очень много таких же звездных систем, расположенных далеко от нас.

Нашу звездную систему, систему Млечного Пути, часто называют Галактикой, от греческого слова галактос—молоко. Поэтому далекие звездные системы получили название «внегалактических туманностей», т. е. туманностей, лежащих за пределами нашей звездной системы. Часто называют их далекими галактиками.

Но цефеиды найдены далеко не во всех спиральных туманностях, зато во многих из них были замечены вспышки «новых» звезд. «Новая» звезда — вспышка слабой звездочки, происходящая от каких-то неизвестных пока причин. Вспыхнув, звезда светит ярко довольно короткое время, а затем ее свет снова ослабевает. Исследования «новых» звезд, вспыхивающих в нашей звездной системе, показали, что наибольшая абсолютная яркость их всегда примерно одинакова; такую же абсолютную яркость имели и «новые» звезды, вспыхивавшие в туманности Андромеды. Мы имеем право считать, что все процессы происходят так же и в других туманностях, следовательно, «новые» звезды в момент вспышки должны иметь ту же абсолютную яркость. «Новые» звезды тоже дают способ измерения расстояний далеких звездных систем; результаты определений расстояний по цефеидам и «новым» звездам сходятся достаточно хорошо.

Есть и еще одна возможность оценки расстояний. Самые яркие звезды в нашей и других системах должны быть примерно одинаковы. Следовательно, сравнив самые яркие звезды в двух туманностях, можно сказать, которая из них дальше и во сколько раз; обычно, во избежание ошибок берется 5—10 наиболее ярких звезд туманности, и оценка расстояния делается по ним. Так удалось узнать расстояния до других звездных систем и выяснить их природу и строение. Оказалось, что они тоже весьма сходны с системой Млечного Пути.

Все три описанных метода таят в себе, однако, некоторую опасность. Пространство между звездными системами света не поглощает, но внутри других звездных систем есть такая же темная материя, как и в нашей системе; свет цефеиды или «новой звезды» может быть из-за этого ослаблен, что приведет к преувеличенной оценке расстояния.

Статистические методы

К сожалению, выделить отдельные звезды можно лишь примерно в 10 самых близких туманностях, остальные же туманности, которых известно сейчас много тысяч, слишком далеки. Для определения их расстояний приходится пользоваться значительно менее точными статистическими методами.

По исследованию более близких туманностей установлено, что размеры их и полная абсолютная яркость колеблются сравнительно немного. Считая, что наблюдаемая туманность имеет средние размеры и среднюю яркость, можно по ее видимым размерам и яркости оценить расстояние.

Оценка расстояния по видимым размерам туманности менее точная, чем по видимой яркости; границы туманностей весьма неопределенны. Для более близких туманностей все же пользуются для контроля обоими способами. Расстояния очень далеких туманностей могут быть оценены лишь по видимой яркости этих туманностей.

Нельзя считать, что все внегалактические туманности построены совершенно одинаково, — и размеры и видимая яркость отдельной туманности могут отличаться от средних величин. Оценка расстояния до отдельной туманности может быть в значительной степени ошибочна, но средний результат для большого числа объектов будет близок к истине. В данное время приходится для далеких звездных систем удовольствоваться этим.

«Красное смещение»

Спектр звезды содержит многочисленные темные линии, называемые фраунгоферовыми, которые указывают на присутствие в атмосфере звезды известных химических элементов.

Каждая линия занимает в спектре определенное место, зависящее от длины ее волны. Но место линии может меняться под влиянием разных обстоятельств, из которых наиболее известное и хорошо изученное есть движение звезды по лучу зрения — к нам или от нас. По закону Допплера-Физо линии, соответствующие отдельным химическим элементам, сместятся к фиолетовому концу спектра, если звезда движется к нам, и к красному — при удалении от нас. По величине смещения можно найти скорость звезды относительно наблюдателя.

Спектр внегалактической туманности представляет собой сумму спектров входящих в нее звезд; движение, определенное по спектру туманности, будет движением системы как целого, движением ее центра тяжести. Исследование спектров туманностей показало удивительную вещь: линии в них всегда сильно смещены к красному концу, и если считать, что это смещение вызвано движением, то все внегалактические туманности удаляются от нас c большими скоростями.

В 1929 г. астроном Геббл обнаружил еще более удивительное обстоятельство: смещение линий каждой туманности пропорционально ее расстоянию от нас, далекие туманности имеют бо́льшие (рис. 6) смещения. Таким образом, определив смещение линий в спектре туманности, можно, воспользовавшись результатом Геббла, вычислить ее расстояние. В настоящее время известны у туманностей смещения, соответствующие расстояниям примерно в 100 и 200 млн. световых лет.

Чем вызывается это «красное смещение», пока еще не решено наукой. Несомненно, что здесь, кроме движения, замешаны еще другие влияния, — быть может свойства самого пространства. Но если только для очень далеких внегалактических туманностей пропорциональность наблюдаемого смещения расстоянию не нарушается, явление «красного смещения» дает средство для измерения расстояний предельно далеких звездных систем, свет от которых идет до нас сотни миллионов лет. Световой луч, давший на фотопластинке изображение самой далекой из исследованных внегалактической туманности в 1938 г., вышел из нее тогда, когда на Земле еще не существовало человека.

Комментарии к статье

¹ Под «величиной» звезды в астрономии понимается ее яркость, а не линейные размеры.

§23. Измерение расстояний в пространстве

В этом параграфе рассматривается измерение расстояний между основными фигурами стереометрии (точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, плоскостями).

Измерение расстояний между различными физи- ческими объектами является одним из самых рас- пространённых видов математической деятельности человека. Если размерами объекта можно пренебречь, то речь

идет об измерении расстояний между точками, то есть об определении длин отрезков. В других случаях моделирование данных объектовспомощьюточекприизмерениирасстояниймеждуними нецелесообразно или бессмысленно, например, когда речь идет об измерении расстояния между электролампой и столом (рис. 480), если первую можно отождествлять с точкой, то для моделирования стола более пригодна плоскость или ее часть. Аналогичная ситуация возникает при определении расстояния между фасадами зданий (рис. 481), что при математическом моделировании сводится к определению расстояния между параллельными плоскостями; при установлении вертикального рельса на определенном расстоянии от стены (рис. 482) (определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью) и т. п.

Рассмотрим вопрос об измерении расстояний между самыми простыми фигурами в пространстве. Содержание понятия рассто- яния остаётся таким же, как и в планиметрии. Например, рассто- яние d от точки А до прямой а — это кратчайшее расстояние меж- ду этой точкой и точками прямой (рис. 483), а расстояние между параллельными прямыми а и b — это длина d кратчайшего из отрезков, соединяющих точки этих прямых (рис. 484).

Такое же содержание имеет и общее понятие расстояния меж- ду фигурами. Например, измерение расстояния d от пункта А до озера В (рис. 485), расстояния d между озёрами A и В (рис. 486) сводится к измерению кратчайшего отрезка, соединяющего точки этих обьектов.

Обобщение понятия расстояния между фигурами в пространс- тве не вызывает затруднений.

Расстоянием между фигурами называют длину кратчайшего из отрезков, соединяющих точки дан­ ных фигур.

Если фигуры пересекаются, то будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Это и понятно, так как фигуры в целом «не удалены» друг от друга. Для фигур, не имеющих общих точек, расстояние между ними является одной из мер их взаимного рас- положения.

Понятно,чтозадачанахождениярасстояниймеждупроизволь- ными геометрическими фигурами является слишком общей, а потому ограничимся детальным рассмотрением расстояний меж- ду простейшими фигурами пространства — точками, прямыми, плоскостями. Как и в планиметрии, эти расстояния реализуются через длины соответствующих перпендикуляров. Кроме того, к указанным ситуациям часто сводится задача об измерении рас- стояний между более сложными фигурами.

Теорема 1 (о расстоянии от точки до плоскости).

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную плоскость.

Этосвойстворасстоянияотточкидоплос- кости непосредственно вытекает из свойс- тва наклонных и перпендикуляров. Дейс- твительно, перпендикуляр, проведенный

из точки к плоскости, меньше наклонных, проведенных из той же точки к плоскости

(рис. 487).

Теорема 2 (о расстоянии между прямой и плоскостью).

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к данной плоскости.

Обоснование этого свойства о расстоянии между прямой и плос- костью опирается на свойства прямой, параллельной плоскости, и теорему 1 о расстоянии от точки к плоскости.

Действительно, расстояние от каждой точки прямой до плоскости равно длине перпен- дикуляра, проведенного из данной точки к

плоскости. Для точек прямой, параллельной плоскости, эти расстояния являются равны-

ми (рис. 488).

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостя- ми).

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй плоскости.

Обоснование теоремы 3 аналогично обос- нованию теоремы 2. Отличие заключается лишь в том, что перпендикуляры проводят- ся из всех точек одной плоскости ко второй

(рис. 489).

Приведеннымисвойствамиширокопользу- ются в различных сферах деятельности чело- века, в быту. Например, с их помощью опреде- ляют расстояния от самолета до поверх­ности

3) Прямая AD и плоскость SBC параллельны, по признаку па- раллельности прямой и плоскости (теорема 1 § 11): AD||ВС. Поэто-

MKL || SBC. Следовательно, искомое расстояние, по свойству рас-

стояния между параллельными плоскостями (теорема 3), равно

Рассмотримболеедетальнодоказательствосвойстврас- стояний в пространстве. Поскольку теорема 1 является прямым следствием свойств наклонных и перпендику-

ляров,рассмотримдоказательствотеоремы2.

Доказательство теоремы 2

Пусть имеем прямую l и параллельную ей плоскость α (рис. 493). Поскольку расстояние между прямой l и плоскостью α — это длина кратчайшего отрезка, соединяющего их точки, то длина наклонной, соединяющей точки прямой и плоскости, не

может быть искомым расстоянием. Докажем, что длины всех перпендикуляров, проведен- ных из точек прямой l к плоскости α, равны

между собой. А потому расстояние между прямой и плоскостью равно длине каждого из таких перпендикуляров.

Проведем из двух точек А и В прямой l перпендикуляры АA1 и ВB1 к плоскости α.

Поскольку прямые, перпендикулярные одной плоскости, парал- лельны между собой (теорема 2 § 19), то через прямые АA1 и ВB1 можно провести плоскость, содержащую l. Пряма A1B1 является линией пересечения этой плоскости с плоскостью α (почему?). Од- нако в этом случае АВ || А1В1 , то есть четырехугольник АА1В1В является параллелограммом (даже прямоугольником). Отсюда

АА1 = ВB1. ■

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству преды- дущей теоремы.

Доказательство теоремы 3

Как и в теореме 2, наклонная, соединяющая две точки па- раллельных плоскостей, не может определять расстояние меж- ду ними. А все перпендикуляры, проведенные из точек одной из плоскостей ко второй, параллельны, по теореме о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости (теорема 2 § 19). Кстати, они одновременно перпендикулярны обеим плоскостям, по теоре- ме о параллельных плоскостях, одна из которых перпендикуляр- на прямой (теорема 3 § 19).

Пусть α и β — параллельные плоскости, а АА1 и ВВ1 — два произвольных перпенди-

куляра, соединяющие точки этих плоскостей (рис. 494). Они параллельны, а потому рав-

ны, по теореме об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями (теорема 4 § 12). Можно и непосредственно доказать равенство этих отрезков, рассмотрев четырехугольник АА1В1В, как это было сдела- но при доказательстве теоремы 2. ■

С помощью понятия расстояния можно характеризовать парал- лельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей. При этом справедливыследующиеутверждения,обратныетеоремам2и3.

Теорема 4 (признак параллельности прямой и плоскости).

Если все точки прямой лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от плоскости, то прямая и плоскость параллельны.

Теорема 5 (признак параллельности плоскостей).

Если все точки одной плоскости лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

Действительно, при выполнении условий этих утверждений соответствующие фигуры не могут иметь общих точек, иначе бы расстояние между ними равнялось нулю.

Утверждения будут правильными, если условия выполняются не для всех точек, а для нескольких. В первом утверждении до- статочно допустить, что условие выполняется для двух точек пря- мой, во втором — для трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 495, 496). Попробуйте доказать это самостоятельно. Приве- денные утверждения широко используются в практике как при- знаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. Так, параллельность поверхности стола полу обеспечивается одинако- вой длиной его ножек.

Ответ.

проектируется в центр описанной около треугольника АВС ок- ружности, то есть в точку О. Поэтому треугольник SOD — прямо-

угольный. По теореме Пифагора, имеем: SO = SD2 −OD2 =

= 16 −3 = 13 (см). Нетрудно увидеть (докажите это, пользуясь подобием треугольников или различными формулами площади

439 см.

6.Верно ли, что расстояние от отрезка до плоскости равно рас- стоянию от одного из его концов до этой плоскости?

7.Все стороны треугольника АВС находятся на расстоянии 3 от плоскости α. Параллельны ли плоскости АВС и плоскость α?

8.Какую фигуру образуют точки, равноудаленные от данной плоскости?

9.Как нужно закреплять провод на столбах, чтобы обеспечить его параллельность к поверхности земли?

10.Как измерить высоту дерева, не поднимаясь на его верхушку?

Графические упражнения

1.Нарис.499изображенкубABCDA1B1C1D1

сребром а, точки М, М1 — середины рё- бер АD, А1D1 соответственно. Найдите расстояние:

1)от точки А до прямой АВ;

2)от точки D1 до прямой АВ;

3)от точки А1 до плоскости ВСС1В1;

4)от точки А1 до плоскости АВ1С1В;

5)от точки М до плоскости AB1C1D;

6)от прямой A1D1 до плоскости AB1C1D;

7)от прямой AD1 до плоскости AB1C1D;

8)между плоскостями AA1D1 и BB1C1.

2.На рис. 500 изображен правильный тетраэдр ABCD, F — середина ВС, О — центр грани АВС. Длина какого отрезка

равна расстоянию:

1)от точки D до плоскости АВС;

2)от точки D до прямой ВС;

3)от точки С до плоскости АОВ?

3.Из центра О квадрата ABCD (рис. 501) проведен перпендикуляр OS к плоскости квадрата. Точка М — середина ВС, Р — основание высоты треугольника OMS,

его медиана. Длине какого отрез- ка равно расстояние:

1)от точки O до плоскости BCS;

2)от точки S до плоскости АВС;

3)от точки С до плоскости BDS? OK —

Задачи

3)от точки О до плоскости МСD, если b = 23 a ;

4)от точки М до прямой СD;

5)между прямыми ОМ и АD.

467.Концы отрезка удалены от некоторой плоскости на 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости.

468. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника лежит точка,

удаленная от каждой вершины треугольника на 10 2 см? 469. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. На ка-

ком расстоянии от плоскости треугольника расположена точка, удалённая на 9 см от:

1) сторон треугольника;

2*) каждой из прямых, содержащих стороны треугольника?

470°. Если из двух точек, находящихся на различных расстояни- ях от плоскости, провести к этой плоскости равные наклон- ные, то большей будет проекция наклонной, проведенной из более близкой к плоскости точки. Докажите это.

471. Если из точки А, находящейся вне плоскости α, опустить перпендикуляр на эту плоскость, а из его основания провес- ти перпендикуляр к прямой ВС, лежащей в плоскости α, то плоскость, проходящая через эти перпендикуляры, будет перпендикулярна прямой ВС. Докажите это.

472*.Плиту прямоугольной формы подняли краном так, что три её вершины удалены от поверхности земли, соответственно, на 2 м, 3 м и 4 м. На каком расстоянии от земли находится четвертая вершина?

473*.Точка А удалена от сторон угла, равного 60°, на 20 см и 7 см, а от его вершины — на 25 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости угла.

474*.Точка, лежащая вне плоскости прямого угла, находится на расстоянии 4 см от каждой из его сторон. Найдите расстоя- ние от точки до вершины угла, если точка удалена от плос-

кости угла на 7 см.

475. Плоскости квадрата АВСD и равностороннего треугольника АВМ взаимно перпендикулярны, АВ = а. Постройте общий перпендикуляр к прямой АС и к медиане МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.

476. Пусть АВ — общий перпендикуляр к скрещивающимся пря- мым а и b. Точки A и С лежат на прямой а, точки В и D — на прямой b; АС = ВD. Докажите, что АСВ = ВDС.

Упражнения для повторения

477.В одной полуплоскости, ограниченной прямой АВ, построе-

ны углы: ВАС = 38°, САD = 68°, DАЕ = 85°, ЕАK = 99°.

Определите KАС.

478.Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите их градусную меру.

479.Наблюдатель, находящийся на берегу озера на высоте h над уровнем воды, видит тучку под углом α, а ее отображение — под углом β к горизонту. Найдите высоту тучки над поверх-

ностью озера при α = 53°27′, β = 55°42′, h = 76,8 м.

Итог

Основное определение

Расстоянием между

произвольными фигу-

рами называют длину кратчайшего из отрез- ков, соединяющих точки данных фигур.

Свойства расстояний

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендику- ляра, проведенного из данной точки к данной плоскости.

Расстояние между прямой и параллель- ной ей плоскостью равно длине перпен- дикуляра, проведен- ного из произволь- ной точки прямой к данной плоскости.

Расстояние между па- раллельными плос- костями равно длине перпендикуляра,про- веденного из произ- вольной точки одной плоскости ко второй плоскости.

Невербальное общение: расстояние и пространство

Сводка

Невербальный день

Большая часть нашего общения невербальна. Невербальное общение часто называют телом.
язык. Язык тела включает выражение лица, позу, зрительный контакт, жесты и многое другое.
тонкие сигналы, которые мы все интерпретируем подсознательно. Язык тела — это то, чему нужно научиться.когда
существует конфликт между вербальным и невербальным общением, которое мы всегда считаем невербальным.
Культура, регион и даже пол могут влиять на невербальное общение.

День языка тела

Наш уровень комфорта рядом с людьми во многом зависит от расстояния и пространства. Расстояние и пространство — это
часть нашего невербального общения / языка тела.

Материалы

Инструкционные процедуры

Словарь
Основной словарь

• Невербальное общение
• Язык тела

Дополнительный словарь

• Интимная зона
• Личная зона
• Социальная зона
• Общественная зона

Введение / предварительная оценка

Введение в невербальное общение:

В рефлексивном дневнике или быстром письменном задании попросите учащихся написать на тему «Что такое
невербальное общение »и / или« Насколько важно невербальное общение? »

Введение в личное пространство / удаленную территорию:

Выполните следующее задание в личном пространстве.

Попросите волонтера покинуть класс. Учитель сообщает остальному классу, что когда
волонтер возвращается в класс, учитель приближается к ученику-волонтеру
вторжение в его / ее личное пространство. Класс должен заметить, в какой момент волонтер чувствует себя
неудобно и какова реакция ученика на ситуацию.

Волонтер возвращается в класс, и ему предлагается встать перед классом, чтобы его
проинтервьюирован.Учитель должен начать с того, что встанет на расстоянии 3-4 футов от ученика-добровольца. Как
учитель разговаривает с учеником, учитель медленно приближается к ученику, заставляя
ученик должен отступить, когда его / ее зона безопасности была нарушена. Волонтер, скорее всего, начнет
отступая, когда учитель оказывается в пределах 18 дюймов. Студенту, скорее всего, будет комфортно в
расстояние около 24 дюймов.

В классе постарайтесь определить, на каком расстоянии, по их мнению, добровольцу было наиболее комфортно, в какой именно момент ученику стало некомфортно, в какой момент доброволец начал отступать.

План содержания, мероприятия и стратегии обучения:

Вариант 1: невербальный день

Припасы:

• Знак на двери с надписью «Это невербальный опыт.
  общение. Сегодня в этом классе НЕТ разговоров ».
• Инструкции по невербальному общению (pdf) для каждого учащегося (комплект)
• учебный комплект пакета связи
  (pdf)
• невербальное общение
  лист вопросов (pdf) для каждого студента
• видео или DVD с фильмом, который подходит для показа, и желательно тот, который студенты не видели, поэтому им нужно посмотреть фильм, чтобы понять, о чем он вообще (старые фильмы — хороший выбор)
• 15 объявлений из журналов с обрезанными подписями.Наклейте эти объявления на плотную бумагу, пронумеруйте их и прикрепите подписи на обратной стороне.
  (Ламинирование этих объявлений помогает им прослужить дольше).

Начните урок с невербальной дневной активности. Пишите крупным
буквы на доске «Сегодня будет опыт невербальной
общение. В этой комнате вообще НЕ будет словесного общения ».
Учитель использует невербальное общение, чтобы показать ученикам, что они будут делать в этот урок (это можно найти в невербальном общении.
инструкция).(Преувеличение движений и сбивание с толку помогает
привлечь внимание и показать им, что нужно сделать. Не позволяйте ЛЮБОМУ
устное общение). См. Список материалов для этого мероприятия.

Дайте 45-60 минут на выполнение этого задания. В конце отведенного периода времени поговорите об опыте, который они только что завершили. Подробно обсудите, что они сделали в тот день, например, рабочий лист и пакет, видео и рекламу.

• Что за невербальное общение происходило в тот период?
• Как они относились к этому дню?
• Смогли ли они сделать
  что им нужно было делать с вербальным общением?
• Как близко к чему
  они написали в своем дневнике или срочно написали задание, чтобы
  что они узнали сегодня о невербальном общении?

Вариант 2: План урока UEN ARR

Посмотрите урок невербального общения Дорин Робинсон.Прочтите
статья «Приключения Шерлока Холмса» Деятельность Шерлока Холмса.

Вариант 3: Детские стишки

Попросите добровольцев прочитать один и тот же детский стишок, используя невербальные средства, чтобы изобразить разные чувства и настроения.

Вариант 4: Пантомима

Попросите учащихся разыграть описанное действие в Рабочем листе по пантомиме (pdf). Вы
также можете пригласить свой драматический кружок и сыграть несколько пантомим.
Обсудите с классом, что наши тела общаются гораздо больше, чем наши
язык в данных ситуациях.

Вариант 5: Шарады

Играйте в шарады. Запишите как можно больше эмоций (таких как гнев, скука, замешательство, волнение, счастье, вина, удивление,
нетерпеливость, застенчивость и т. д.) на учетных карточках. Разделите класс пополам и пусть каждая команда выберет добровольца, который подойдет, и только действиями изобразит эмоцию, указанную на карточке. Установите ограничение по времени, чтобы угадать. Команда-победитель определяется по наибольшему количеству очков или правильным предположениям.Учитель также может воспроизводить сигналы языка тела, которые отправляются учителям.
от студентов. Попросите учащихся угадать, что означают эти телесные сигналы, например:
голова на столе, глядя на часы, глядя на учителя и кивая головой
утвердительно и т.д. по каждой карте.

Вариант 6: Рабочий лист языка тела

Попросите учащихся заполнить Рабочий лист языка тела (pdf).

Вариант 7: Учебник

Предложите учащимся прочитать из учебника: Укрепление семьи и личности , страницы 109–127.

Личное пространство / расстояние / территория

Вариант 1: Лекция / дискуссия о личном пространстве / расстоянии

Следуйте «Заметкам для учителя о личном пространстве» (pdf), чтобы рассказать о пассивном, агрессивном и напористом поведении и их отношении к разрешению конфликтов. Попросите учащихся сделать заметки в Рабочем листе по PAA и разрешению конфликтов (pdf).

Вариант 2: Видео

Предложите учащимся посмотреть видеофильм под названием Body Language / Beyond Words and Body Language II: Reading People с сайта http: // www.Learningseed.com/.

Вариант 3: письменное задание

Это отчет о том, что происходит, когда мы нарушаем правила невербального
поведение. Поручите каждому ученику выбрать одно общепринятое правило
невербальное поведение, а затем нарушить это правило. Они должны сообщать о других
реакция людей на их поведение. (Пример: стоять слишком близко к человеку, стоять слишком далеко, переходить на чужую «отмеченную территорию», перемещать «территориальные маркеры» другого человека, идти против транспортного потока в зале, занимать чужое место в другом классе, повернуть неправильное направление в лифте и т. д.) Убедитесь, что они проводят этот «эксперимент в безопасной среде». Сообщите классу, что они сделали и что сделали.
мы.

.

distance space — определение — английский

Примеры предложений с «distance space», память переводов

Giga-fren Ключевые слова: разрезное кольцо, натяжение, конечное расстояние, интервал, сопротивление, древесина.OpenSubtitles2018.v3Это расстояние, пространство.Europarl8Distance, space и Время теперь приобрело совершенно новое значение по сравнению с тем, что было несколько десятилетий назад. Патенты-wipo Электрод (36) расположен внутри полости на расстоянии внутри дистального отверстия. Патенты-wipoHits могут быть сгруппированы на основе расстояний в информации. пространственно-взвешенное расстояние.opensubtitles2Это сделает возможным космическое путешествие на большие расстояния, ммм … больные люди могут впадать в спячку, пока не будет найдено лекарство. Датчики класса и измерительные системы / измерительные установки для бесконтактного и контактного измерения геометрических величин (расстояние, расстояние, длина, положение, диаметр, толщина, Поверхность) Обычное ползаниеОни позволили городским домам оставаться близко к стенам, не оставляя места для отдаления или рва.Расстояние, пространство и время больше не являются препятствием! OpenSubtitles2018.v3 Это означает, что мой отъезд и мое прибытие разделены большим расстоянием в пространстве, чем расстоянием во времени. (пространство), они не будут находиться на одном и том же пространственном расстоянии друг от друга, если смотреть из другой движущейся системы координат. пространство из-за этого свойства.opensubtitles2Он может использоваться для путешествий на большие расстояния в космосеQEDДалее на расстояния и пространства между нами OpenSubtitles2018.v3Ньютон пришел к выводу, что эти силы действуют на расстоянии, в пространстве, между всеми вещами. gv2019Они обнаружили галактики и туманности и создали методы для измерения расстояний в космосе. .v3 Его можно использовать для перемещения на большие расстояния в космосе. Обычное сканирование с шириной следа 0,5 мм и минимальным расстоянием (т. е. интервалом) 0,4 мм. OpenSubtitles2018.v3Они являются идеальными маркерами для измерения расстояния в космосе.opensubtitles2DAVlD: Излучение с такого расстояния в космосе может предполагать нечто жестокое. WikiMatrix С таким расстоянием евклидово пространство становится метрическим пространством.

Показаны страницы 1. Найдено 3466 предложения с фразой distance space.Найдено за 27 мс.Накопители переводов создаются человеком, но выравниваются с помощью компьютера, что может вызвать ошибки. Найдено за 0 мс.Накопители переводов создаются человеком, но выравниваются с помощью компьютера, что может вызвать ошибки. Они поступают из многих источников и не проверяются. Имейте в виду.

.

Как использовать запутанность для квантовой связи на большом расстоянии или в свободном пространстве

Предоставлено: Харальд Ритч для IQOQI-Vienna.

Запутанность, которую Эйнштейн однажды назвал «жутким действием на расстоянии», — это явление, при котором квантовые состояния разделенных частиц не могут быть описаны независимо. Это загадочное явление широко используется в инструментарии квантовой физики и является ключевым ресурсом для приложений в безопасной квантовой связи на большие расстояния и протоколах квантовой криптографии.К сожалению, запутанные частицы легко нарушаются окружающей средой, а их запутанность легко уменьшается при малейшем взаимодействии с окружающей средой.

В недавнем исследовании, опубликованном в журнале Physical Review X , международная группа физиков из Австрии, Шотландии, Канады, Финляндии и Германии продемонстрировала, как можно усилить квантовую запутанность, чтобы преодолеть потерю частиц или очень высокий уровень шума, который неизбежны в реальных приложениях вне лаборатории.Это усиление достигается за счет отказа от обычно используемых двухуровневых квантовых битов или кубитов. Кубиты — это двумерные системы, квантовый аналог классического бита, со значениями ноль или единица. Вместо этого в этом исследовании исследователи использовали переплетение систем с более чем двумя уровнями. Запутывая частицы света через их пространственные и временные свойства, ученые впервые наблюдали выживание квантовой запутанности в суровых условиях окружающей среды.

Когда дело доходит до распространения частиц света за пределами защищенной лаборатории, условия окружающей среды идентичны испытанным. Таким образом, эксперимент является не только экспериментальной реализацией, но и готов к квантовому общению на большие расстояния в реальных условиях. Следовательно, этот новый метод может оказаться полезным для распределения запутанности в квантовом Интернете будущего.

Исследователи разработали практический метод измерения квантовой запутанности.

Дополнительная информация:
Себастьян Эккер и др.Преодоление шума при распределении запутывания, Physical Review X (2019). DOI: 10.1103 / PhysRevX.9.041042

Предоставлено
Австрийская Академия Наук

Ссылка :
Как использовать запутанность для квантовой связи на большом расстоянии или в свободном пространстве (2019, 16 декабря)
получено 29 сентября 2020
с https: // физ.org / news / 2019-12-entanglement-long-distance-free-space-Quantum.html

Этот документ защищен авторским правом. За исключением честных сделок с целью частного изучения или исследования, нет
часть может быть воспроизведена без письменного разрешения. Контент предоставляется только в информационных целях.

.

Что такое параллакс? — Как астрономы измеряют расстояние до звезд

Астрономы оценивают расстояние до ближайших объектов в космосе с помощью метода, называемого звездным параллаксом или тригонометрическим параллаксом. Проще говоря, они измеряют видимое движение звезды на фоне более далеких звезд, когда Земля вращается вокруг Солнца.

Параллакс — «лучший способ определения расстояния в астрономии», — сказал Марк Рид, астроном из Гарвардского Смитсоновского центра астрофизики. Он назвал параллакс «золотым стандартом» для измерения расстояний до звезд, поскольку он не связан с физикой; скорее, он полагается исключительно на геометрию.

Метод основан на измерении двух углов и включенной стороны треугольника, образованного звездой, Землей на одной стороне ее орбиты и Землей шесть месяцев спустя на другой стороне ее орбиты, согласно Эдварду Л. Райту, профессор Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.

Это работает так: протяните руку, закройте правый глаз и поместите большой большой палец на удаленный объект. Теперь поменяйте глаза так, чтобы ваша левая сторона была закрыта, а ваша правая открыта. Ваш большой палец будет казаться немного сдвинутым на фоне.Измеряя это небольшое изменение и зная расстояние между глазами, вы можете рассчитать расстояние до большого пальца.

Чтобы измерить расстояние до звезды, астрономы используют базовую линию, равную 1 астрономической единице (а.е.), которая представляет собой среднее расстояние между Землей и Солнцем, около 93 миллионов миль (150 миллионов километров). Они также измеряют небольшие углы в угловых секундах, которые на ночном небе являются крошечными долями градуса.

Если мы разделим базовую линию одной AU на тангенс одной угловой секунды, получится примерно 19.2 триллиона миль (30,9 триллиона километров), или около 3,26 световых лет. Эта единица измерения расстояния называется секундой параллакса или парсек (пк). Однако даже самая близкая звезда находится на расстоянии более 1 парсек от нашего Солнца. Таким образом, астрономы должны измерять звездные сдвиги менее чем на 1 угловую секунду, что было невозможно до появления современных технологий, чтобы определить расстояние до звезды.

Метод тригонометрического параллакса определяет расстояние до звезды или другого объекта путем измерения его небольшого смещения в видимом положении, если смотреть с противоположных концов орбиты Земли.(Изображение предоставлено: Билл Сакстон, NRAO / AUI / NSF)

Ранние измерения

Считается, что первое известное астрономическое измерение с использованием параллакса произошло в 189 году до нашей эры, когда греческий астроном Гиппарх использовал наблюдения солнечного затмения с двух разных точек. — места для измерения расстояния до Луны, — сказал Рид.

Гиппарх отметил, что 14 марта того же года произошло полное солнечное затмение в Геллеспонте, Турция, в то время как южнее, в Александрии, Египет, Луна покрыла только четыре пятых Солнца.Зная базовое расстояние между Геллеспонтом и Александрией — 9 градусов широты или около 600 миль (965 км), а также угловое смещение края Луны относительно Солнца (около одной десятой градуса), он рассчитал расстояние до Луны должно быть около 350 000 миль (563 300 км), что почти на 50 процентов дальше. Его ошибка заключалась в том, что он предполагал, что Луна находится прямо над головой, таким образом неправильно рассчитав разницу углов между Геллеспонтом и Александрией.

В 1672 году итальянский астроном Джованни Кассини и его коллега Жан Рише провели одновременные наблюдения Марса с Кассини в Париже и Ричером во Французской Гвиане.Кассини вычислил параллакс, определив расстояние Марса от Земли. Это позволило впервые оценить размеры солнечной системы.

Первым человеком, которому удалось измерить расстояние до звезды с использованием параллакса, был Ф. В. Бессель, который в 1838 году измерил угол параллакса 61 Лебедя как 0,28 угловой секунды, что дает расстояние 3,57 пк. Ближайшая звезда, Проксима Центавра, имеет параллакс 0,77 угловой секунды, что дает расстояние 1,30 пк.

Астрономы используют метод, называемый параллаксом, для точного измерения расстояния до звезд на небе.Используя эту технику, которая требует наблюдения целей с противоположных сторон земной орбиты вокруг Солнца, астрономы точно определили расстояние до знаменитого звездного скопления «Семь сестер» — Плеяд. (Изображение предоставлено Александрой Ангелич, NRAO / AUI / NSF)

Космическое расстояние

Параллакс — важная ступенька на лестнице космических расстояний. Измеряя расстояния до ряда ближайших звезд, астрономы смогли установить взаимосвязь между цветом звезды и ее внутренней яркостью, т.е.Правило 2 гласит, что видимая яркость источника света пропорциональна квадрату расстояния до него. Например, если вы проецируете квадратное изображение размером один фут на экран, а затем переместите проектор вдвое дальше, новое изображение будет размером 2 на 2 фута или 4 квадратных фута. Свет распространяется по площади в четыре раза больше, и он будет только на четверть яркости, чем когда проектор находился вдвое дальше. Если вы переместите проектор в три раза дальше, свет покроет 9 квадратных футов и будет казаться только одной девятой яркости.

Если измеренная таким образом звезда оказывается частью далекого скопления, мы можем предположить, что все эти звезды находятся на одинаковом расстоянии, и мы можем добавить их в библиотеку стандартных свечей.

Съемка для точности

В 1989 году Европейское космическое агентство (ЕКА) запустило орбитальный телескоп Hipparcos (названный в честь Гиппарха). Его основная цель заключалась в измерении расстояний до звезд с использованием параллакса с точностью до 2–4 миллисекунд (мсек. Дуги), или тысячных долей дуги.Согласно их веб-сайту, «спутник ЕКА Hipparcos обнаружил более 100 000 звезд, что в 200 раз точнее, чем когда-либо прежде». Их результаты доступны в онлайн-каталоге с возможностью поиска.

Следующей миссией ESA для Hipparcos является Gaia, которая была запущена на околоземную орбиту в 2013 году. ESA описывает ее как «амбициозную миссию по нанесению трехмерной карты нашей галактики, Млечного Пути, в процессе выявления ее состава. формирование и эволюция галактики ». Спутник уже получил расстояния в 1 миллиард звезд, около 1 процента всех звезд Млечного Пути, и создал впечатляющие трехмерные карты.[По теме: Структура Млечного Пути нанесена на карту с беспрецедентной детализацией]

Стереоскоп использует две фотографии, сделанные под немного разными углами. При просмотре через линзы фотографии сливаются в трехмерное изображение. (Изображение предоставлено: prophoto14 / Shutterstock)

3D-изображение

Еще одно применение параллакса — воспроизведение и отображение 3D-изображений. Ключ состоит в том, чтобы захватить 2D-изображения объекта под двумя немного разными углами, подобно тому, как это делают человеческие глаза, и представить их таким образом, чтобы каждый глаз видел только одно из двух изображений.

Например, стереоптик или стереоскоп, который был популярным устройством в XIX веке, использует параллакс для отображения фотографий в 3D. Две картинки, расположенные рядом друг с другом, просматриваются через набор линз. Каждый снимок сделан с немного другой точки зрения, которая точно соответствует расстоянию между глазами. Левое изображение представляет то, что видит левый глаз, а правое изображение показывает то, что видит правый глаз. Через специальную программу просмотра пара двухмерных изображений объединяется в одну трехмерную фотографию.Современная игрушка View-Master использует тот же принцип. [Видео: Брайан Мэй из Queen собрал первое стереоскопическое изображение Плутона]

Другой метод захвата и просмотра 3D-изображений, Anaglyph 3D, разделяет изображения, фотографируя их через цветные фильтры. Затем изображения просматриваются в специальных цветных очках. Одна линза обычно красная, а другая голубая (сине-зеленая). Этот эффект работает для фильмов и напечатанных изображений, но большая часть или вся информация о цвете из исходной сцены теряется.

В некоторых фильмах 3D-эффект достигается с помощью поляризованного света.Два изображения поляризованы в ортогональных направлениях или под прямым углом друг к другу, обычно в виде X-образной формы, и вместе проецируются на экран. Специальные 3D-очки, которые носят зрители, блокируют одно из двух наложенных изображений для каждого глаза.

В большинстве современных 3D-телевизоров используется схема с активным затвором, чтобы отображать изображения для каждого глаза, чередующиеся с частотой 240 Гц. Специальные очки синхронизируются с телевизором, поэтому они попеременно блокируют левое и правое изображение для каждого глаза.

Игровые гарнитуры виртуальной реальности, такие как Oculus Rift и HTC Vive, создают виртуальную трехмерную среду, проецируя изображение под разными углами обзора на каждый глаз для имитации эффекта параллакса.

Существует также множество применений 3D-изображений в науке и медицине. Например, компьютерная томография, которая представляет собой фактическое трехмерное изображение областей внутри тела, а не просто пару двухмерных проекций, может отображаться таким образом, чтобы каждый глаз видел изображение под немного другим углом, создавая эффект параллакса. Затем изображение можно поворачивать и наклонять во время просмотра. Ученые также могут использовать трехмерные изображения для визуализации молекул, вирусов, кристаллов, тонкопленочных поверхностей, наноструктур и других объектов, которые нельзя увидеть непосредственно в оптические микроскопы, поскольку они слишком малы или заключены в непрозрачные материалы.

Дополнительные ресурсы:

Эта статья была обновлена ​​12 декабря 2018 г. автором Space.com Адамом Манном.

.