Разное

Си умножение: Операции: арифметические, логические, отношения, сдвига

Содержание

Арифметические операторы в C++ | Уроки С++

  Обновл. 7 Сен 2020  | 

На этом уроке мы рассмотрим арифметические операторы и их использование в языке С++.

Унарные арифметические операторы

Существуют два унарных арифметических оператора: плюс (+) и минус (). Унарные операторы — это операторы, которые применяются только к одному операнду.

Оператор Символ Пример Операция
Унарный плюс + +x Значение x
Унарный минус −x Отрицательное значение x

Унарный оператор + возвращает значение операнда. Другими словами, +5 = 5 или +х = х. Унарный плюс вам, скорее всего, не придется использовать. Его по большей части добавили в качестве симметрии с унарным оператором минус. Унарный оператор минус возвращает операнд, умноженный на −1. Например, если х = 5, то −х = −5.

Оба этих оператора пишутся непосредственно перед самим операндом, без пробела (−x, а не − x).

Не следует путать унарный оператор минус с бинарным оператором вычитания, хоть они и используют один и тот же символ. Например, в выражении х = 5 − −3;, первый минус — это оператор вычитания, а второй — унарный минус.

Бинарные арифметические операторы

Бинарные операторы — это операторы, которые применяются к двум операндам (слева и справа). Существует 5 бинарных операторов.

Оператор Символ Пример Операция
Сложение + x + y x плюс y
Вычитание x − y x минус y
Умножение * x * y x умножить на y
Деление / x / y x разделить на y
Деление с остатком % x % y Остаток от деления x на y

Операторы сложения, вычитания и умножения работают так же, как и в обычной математике. А вот деление и деление с остатком рассмотрим детально.

Деление целых чисел и чисел типа с плавающей точкой

Оператор деления имеет два режима. Если оба операнда являются целыми числами, то оператор выполняет целочисленное деление. Т.е. любая дробь (больше/меньше) отбрасывается и возвращается целое значение без остатка, например, 7 / 4 = 1.

Если один или оба операнда типа с плавающей точкой, то тогда будет выполняться деление типа с плавающей точкой. Здесь уже дробь присутствует. Например, выражения 7.0 / 3 = 2.333, 7 / 3.0 = 2.333 или 7.0 / 3.0 = 2.333 имеют один и тот же результат.

Попытки деления на 0 (или на 0.0) станут причиной сбоя в вашей программе, и это правило не следует забывать!

Использование оператора static_cast в операциях деления

На уроке №35 мы уже использовали оператор static_cast для вывода ASCII-символов в виде целых чисел.

Аналогичным образом мы можем использовать static_cast для конвертации целого числа в число типа с плавающей точкой. Таким образом, вместо целочисленного деления выполнится деление типа с плавающей точкой. Например:

#include <iostream>

int main()
{
int x = 7;
int y = 4;

std::cout << «int / int = » << x / y << «\n»;
std::cout << «double / int = » << static_cast<double>(x) / y << «\n»;
std::cout << «int / double = » << x / static_cast<double>(y) << «\n»;
std::cout << «double / double = » << static_cast<double>(x) / static_cast<double>(y) << «\n»;

return 0;
}



#include <iostream>

int main()

{

    int x = 7;

    int y = 4;

    std::cout << «int / int = » << x / y << «\n»;

    std::cout << «double / int = » << static_cast<double>(x) / y << «\n»;

    std::cout << «int / double = » << x / static_cast<double>(y) << «\n»;

    std::cout << «double / double = » << static_cast<double>(x) / static_cast<double>(y) << «\n»;

    return 0;

}

Результат выполнения программы:

int / int = 1
double / int = 1.75
int / double = 1.75
double / double = 1.75

Деление с остатком

Оператор деления с остатком (%) работает только с целочисленными операндами и возвращает остаток от целочисленного деления. Например:

   Пример №1: 7 / 4 = 1 с остатком 3, таким образом, 7 % 4 = 3.

   Пример №2: 25 / 7 = 3 с остатком 4, таким образом, 25 % 7 = 4. Остаток составляет не дробь, а целое число.

   Пример №3: 36 % 5 = 7 с остатком 1. В числе 36 только 35 делится на 5 без остатка, поэтому 36 − 35 = 1, 1 — это остаток и результат.

Данный оператор чаще всего используют для проверки деления без остатка одних чисел на другие. Если х % у == 0, то х делится на у без остатка.

Например, мы хотим написать программу, которая выводит числа от 1 до 100 по 20 значений в каждой строке. Мы можем использовать оператор деления с остатком для создания разрыва строк. Несмотря на то, что мы еще не рассматривали цикл while, в следующей программе всё максимально просто и понятно:

#include <iostream>

int main()
{
// Переменная count хранит текущее число для вывода
int count = 1; // начинаем с 1

// Повторение операции (цикл) до тех пор, пока count не будет равен 100
while (count <= 100)
{
std::cout << count << » «; // вывод текущего числа

// Если count делится на 20 без остатка, то вставляем разрыв строки и продолжаем с новой строки
if (count % 20 == 0)
std::cout << «\n»;

count = count + 1; // переходим к следующему числу
} // конец while

return 0;
} // конец main()


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

#include <iostream>

int main()

{

    // Переменная count хранит текущее число для вывода

    int count = 1; // начинаем с 1

    // Повторение операции (цикл) до тех пор, пока count не будет равен 100

    while (count <= 100)

    {

        std::cout << count << » «; // вывод текущего числа

        // Если count делится на 20 без остатка, то вставляем разрыв строки и продолжаем с новой строки

        if (count % 20 == 0)

            std::cout << «\n»;

        count = count + 1; // переходим к следующему числу

    } // конец while

    return 0;

} // конец main()

Результат выполнения программы:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

О while мы еще поговорим на соответствующем уроке.

Отрицательные числа в операциях деления до C++11

До C++11, если любой из операндов целочисленного деления является отрицательным, то компилятор округляет результат самостоятельно! Например, результатом −5 / 2 может быть либо −3, либо −2. Однако большинство современных компиляторов округляют числа в сторону нуля (например, в −5 / 2 результатом будет −2). В спецификации C++11 определили, что компилятор должен всегда округлять к нулю (или, проще говоря, просто отбрасывать дробь).

Также до C++11, если один из операндов оператора деления с остатком является отрицательным, то результат может быть как положительным, так и отрицательным! Например, результатом −5 % 2 может быть как 1, так и −1. В спецификации C++11 решили сделать так, чтобы результат a % b был того же знака, что и значение а.

Арифметические операторы присваивания

Оператор Символ Пример Операция
Присваивание = x = y Присваиваем значение y переменной x
Сложение с присваиванием += x += y Добавляем y к x
Вычитание с присваиванием −= x −= y Вычитаем y из x
Умножение с присваиванием *= x *= y Умножаем x на y
Деление с присваиванием /= x /= y Делим x на y
Деление с остатком и с присваиванием %= x %= y Присваиваем остаток от деления x на y переменной x

До этого момента, когда нам нужно было добавить число 5 к определенной переменной, мы делали следующее:

Это работает, но требуется два оператора для выполнения.

Так как стейтменты типа х = х + 5 являются очень распространенными, то C++ предоставляет 5 арифметических операторов присваивания для нашего удобства. Вместо х = х + 5, мы можем записать:

Вместо:

Мы можем записать:

Где оператор возведения в степень?

В языке C++ вместо оператора возведения в степень есть функция pow(), которая находится в заголовочном файле cmath. pow(base, exponent) эквивалентно baseexponent. Стоит отметить, что параметры pow() имеют тип double, поэтому вы можете использовать не только целые числа, но и дробные. Например:

#include <iostream>
#include <cmath> // подключаем pow()

int main()
{
std::cout << «Enter the base: «;
double base;
std::cin >> base;

std::cout << «Enter the exponent: «;
double exp;
std::cin >> exp;

std::cout << base << «^» << exp << » = » << pow(base, exp) << «\n»;

return 0;
}


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

#include <iostream>

#include <cmath> // подключаем pow()

int main()

{

    std::cout << «Enter the base: «;

    double base;

    std::cin >> base;

    std::cout << «Enter the exponent: «;

    double exp;

    std::cin >> exp;

    std::cout << base << «^» << exp << » = » << pow(base, exp) << «\n»;

    return 0;

}

Тест

Задание №1

Вычислите результат следующего выражения: 6 + 5 * 4 % 3.

Ответ №1

Поскольку операторы * и % имеют более высокий приоритет, чем оператор +, то оператор + будет выполняться последним. Мы можем переписать наше выражение следующим образом: 6 + (5 * 4 % 3). Операторы * и % имеют одинаковый приоритет, но их ассоциативность слева направо, так что левый оператор будет выполняться первым. Получается: 6 + ((5 * 4) % 3).

6 + ((5 * 4) % 3) = 6 + (20 % 3) = 6 + 2 = 8

Ответ: 8.

Задание №2

Напишите программу, которая просит пользователя ввести целое число, а затем сообщает, является ли его число чётным или нечётным. Напишите функцию isEven(), которая возвращает true, если целое число является чётным. Используйте оператор деления с остатком, чтобы определить чётность числа.

Подсказка: Используйте ветвление if и оператор сравнения (==).

Ответ №2

#include <iostream>

bool isEven(int x)
{
// Если x % 2 == 0, то x — это чётное число
return (x % 2) == 0;
}

int main()
{
std::cout << «Enter an integer: «;
int x;
std::cin >> x;

if (isEven(x))
std::cout << x << » is even\n»;
else
std::cout << x << » is odd\n»;

return 0;
}


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

#include <iostream>

bool isEven(int x)

{

    // Если x % 2 == 0, то x — это чётное число

    return (x % 2) == 0;

}

int main()

{

    std::cout << «Enter an integer: «;

    int x;

    std::cin >> x;

    if (isEven(x))

        std::cout << x << » is even\n»;

    else

        std::cout << x << » is odd\n»;

    return 0;

}

Возможно, вы хотели написать или написали функцию isEven() следующим образом:

bool isEven(int x)
{
if ((x % 2) == 0)
return true;
else
return false;
}



bool isEven(int x)

{

    if ((x % 2) == 0)

        return true;

    else

        return false;

}

Хотя этот способ тоже рабочий, но он сложнее. Посмотрим, как его можно упростить. Во-первых, давайте вытащим условие if и присвоим его отдельной переменной типа bool:

bool isEven(int x)
{
bool isEven = (x % 2) == 0;
if (isEven) // isEven — true
return true;
else // isEven — false
return false;
}



bool isEven(int x)

{

    bool isEven = (x % 2) == 0;

    if (isEven) // isEven — true

        return true;

    else // isEven — false

        return false;

}

В коде, приведенном выше, если переменная isEven имеет значение true, то возвращаем true, в противном случае (если isEven имеет значение false) — возвращаем false. Мы же можем сразу возвращать isEven:

bool isEven(int x)
{
bool isEven = (x % 2) == 0;
return isEven;
}



bool isEven(int x)

{

    bool isEven = (x % 2) == 0;

    return isEven;

}

Так как переменная isEven используется только один раз, то мы можем её вообще исключить:

bool isEven(int x)
{
return (x % 2) == 0;
}



bool isEven(int x)

{

    return (x % 2) == 0;

}

Оценить статью:

Загрузка…

Поделиться в социальных сетях:

Математические операции в C++

Доброго времени суток! Тема математических операций является неотъемлемой частью любого языка программирования. А поскольку мы уже успели познакомится с переменными в C++, то самое время поподробнее узнать об использовании математических операторах.

Содержание статьи:

Теперь давайте по порядку рассмотрим каждый математический оператор.

Сложение

Сложение в C++ реализовано абсолютно также как и в математике. Собственно, если мы хотим сложить два числа или переменные, то мы должны между ними поставить знак плюс (+):

int a = 9, b = 10 + a; // в итоге b равно девятнадцати

int a = 9, b = 10 + a; // в итоге b равно девятнадцати

Операцию сложения можно выполнять практически со всеми типами в С++.

Вычитание

Для вычитания в C++ используется тот же принцип, что и для сложения. Мы просто указываем два числа или переменные, а между ними знак минус (-):

int a = 9, b = a — 15; // в итоге b равно минус шести

int a = 9, b = a — 15; // в итоге b равно минус шести

Операцию вычитания, также как и сложения, можно использовать почти всеми типами в C++.

Также у оператора вычитания есть еще одна возможность: если мы перед переменной или числом поставим минус, то данное число или переменная поменяет свой знак на противоположный (минус на плюс, а с плюса на минус):

int a = 9, b = -a + 15; // теперь b равно шести

int a = 9, b = -a + 15; // теперь b равно шести

Тоже самое можно сделать и с плюсом, но он совершенно ничего не меняет (проверьте сами).

Умножение

Если мы хотим умножить переменные или числа, то мы должны между ними поставить знак звездочки (*). Он имеет больший приоритет, нежели сложение или вычитание (только если это не унарный оператор минус, который указывается перед числом):

int a = 9, b = 2 + a * 3; // b равно двадцати девяти

int a = 9, b = 2 + a * 3; // b равно двадцати девяти

Как видите вначале выполняется умножение, а только потом сложение (или вычитание). Также, как и в математике, мы можем группировать несколько действий с помощью скобок:

int a = 9, b = (2 + a) * 3; // теперь b уже равен тридцати трем

int a = 9, b = (2 + a) * 3; // теперь b уже равен тридцати трем

Скобки можно применять с любыми операторами в C++.

Деление

Если вы хотите разделить число, то вам нужно воспользоваться слешем (/). Вот пример его использования:

int a = 9, b = a / 3; // b равен трем

int a = 9, b = a / 3; // b равен трем

Приоритет у операции деления такой же, как и у умножения.

Но будьте осторожны при делении числа целого типа. Если оно не будет делится нацело, то C++ возьмет только целую часть и полностью отбросит дробную. Если вы хотите сохранить точность, то пользуйтесь типом float или double:

float a = 9, b = a / 4; // b равен 2.25

float a = 9, b = a / 4; // b равен 2.25

Как видите, теперь дробная часть никуда не денется от нас 🙂 .

Остаток от деления

Если же вы хотите узнать, делится ли число нацело на другое, то вам нужно узнать остаток от деления. В C++ для выполнения этой операции используется знак процента (%). Если остаток от деления будет равен нулю, то число A нацело делится на число B:

int a = 9, b = a % 2; // b хранит значение 1, а это значит,
// что a не делится на два

int a = 9, b = a % 2; // b хранит значение 1, а это значит,

                      // что a не делится на два

Оператор остатка от деления имеет такой же приоритет, как и операции умножения и деления.

Вот мы и рассмотрели математические операции в C++. Поскольку мы полностью рассмотрели данную тему, я вам рекомендую пройти небольшой тест. Тем самым вы сможете протестировать свои знания.

Тест на тему «Математические операции»

Пожалуйста, подождите пока страница загрузится полностью.
Если эта надпись не исчезает долгое время, попробуйте обновить страницу. Этот тест использует javascript. Пожалуйста, влкючите javascript в вашем браузере.

If loading fails, click here to try again

Данный тест специально подобран для тестирования ваших знаний по теме математических операций и операторов.

Количество оставшихся вопросов: 4.

В качестве домашнего задания, я вам советую составить программу, которая вычисляет время машины в пути при заданных скорости и длинны пути. Ввод и вывод данных производится с консоли.

На этом все. Удачи!

Поделиться ссылкой:

C++ | Арифметические операции

Арифметические операции

Последнее обновление: 12.09.2017

Арифметические операции производятся над числами. Значения, которые участвуют в операции, называются операндами.
В языке программирования C++ арифметические операции бинарными (производятся над двумя операндами) и унарными (выполняются над одним операндом).
К бинарным операциям относят следующие:

  • +

    Операция сложения возвращает сумму двух чисел:

    
    int a = 10;
    int b = 7;
    int c = a + b;	// 17
    int d = 4 + b;	// 11
    

  • Операция вычитания возвращает разность двух чисел:

    
    int a = 10;
    int b = 7;
    int c = a - b;	// 3
    int d = 41 - b;	// 34
    

  • *

    Операция умножения возвращает произведение двух чисел:

    
    int a = 10;
    int b = 7;
    int c = a * b;	// 70
    int d = b * 5;	// 35
    

  • /

    Операция деления возвращает частное двух чисел:

    
    int a = 20;
    int b = 5;
    int c = a / b;	// 4
    double d = 22.5 / 4.5;	// 5
    

    При делении стоит быть внимательным, так как если в операции участвуют два целых числа, то результат деления будет округляться до целого числа, даже если результат присваивается переменной float или double:

    
    double k = 10 / 4;     // 2
    std::cout << k;
    

    Чтобы результат представлял числос плавающей точкой, один из операндов также должен представлять число с плавающей точкой:

    
    double k = 10.0 / 4;     // 2.5
    std::cout << k;
    

  • %

    Операция получения остатка от целочисленного деления:

    
    int a = 33;
    int b = 5;
    int c = a % b;	// 3
    int d = 22 % 4;	// 2 (22 - 4*5 = 2)
    

Также есть две унарные арифметические операции, которые производятся над одним числом: ++ (инкремент) и — (декремент).
Каждая из операций имеет две разновидности: префиксная и постфиксная:

  • Префиксный инкремент.

    Увеличивает значение переменной на единицу и полученный результат используется как значение выражения ++x

    
    int a = 8;
    int b = ++a;
    std::cout << a << "\n";	// 9
    std::cout << b << "\n";	// 9
    

  • Постфиксный инкремент.

    Увеличивает значение переменной на единицу, но значением выражения x++ будет то, которое было до увеличения на единицу

    
    int a = 8;
    int b = a++;
    std::cout << a << "\n";	// 9
    std::cout << b << "\n";	// 8
    

  • Префиксный декремент.

    Уменьшает значение переменной на единицу, и полученное значение используется как значение выражения —x

    
    int a = 8;
    int b = --a;
    std::cout << a << "\n";	// 7
    std::cout << b << "\n";	// 7
    

  • Постфиксный декремент.

    Уменьшает значение переменной на единицу, но значением выражения x— будет то, которое было до уменьшения на единицу

    
    int a = 8;
    int b = a--;
    std::cout << a << "\n";	// 7
    std::cout << b << "\n";	// 8
    

Арифметические операции вычисляются слева направо. Одни операции имеют больший приоритет чем другие и поэтому выполняются вначале.
Операции в порядке уменьшения приоритета:

+ (инкремент), — (декремент)
* (умножение), / (деление), % (остаток от деления)
+ (сложение), — (вычитание)

Приоритет операций следует учитывать при выполнении набора арифметических выражений:


int a = 8;
int b = 7;
int c = a + 5 * ++b;      // 48
std::cout << c;

Хотя операции выполняются слева направо, но вначале будет выполняться операция инкремента ++b, которая увеличит значение переменной
b и возвратит его в качестве результата, так как эта операция имеет больший приоритет. Затем выполняется умножение 5 * ++b,
и только в последнюю очередь выполняется сложение a + 5 * ++b

Скобки позволяют переопределить порядок вычислений. Например:


int a = 8;
int b = 7;
int c = (a + 5) * ++b;      // 104
std::cout << c;

Несмотря на то, что операция сложения имеет меньший приоритет, но вначале будет выполняться именно сложение, а не умножение, так как операция сложения заключена в скобки.

C++. Арифметические операции. Примеры кода


Содержание


Поиск на других ресурсах:

1. Какие арифметические операции используются в языке C/C++?

В языке C/C++ поддерживаются следующие арифметические операции:

+ – сложение;
- – вычитание;
* – умножение;
/ – деление;
% – остаток от деления.

Все эти операции являются бинарными. Это означает, что для получения результата, нужно 2 операнда. Общий вид арифметической операции:

операнд1 операция операнд2

где

операция – одна из операций +, , *, %, /.

2. Для каких типов данных можно применять арифметические операции?

Арифметические операции можно применять для:

  • целочисленных типов: short int, unsigned short int, int, unsigned int, long, unsigned long;
  • типов с плавающей запятой (вещественных типов): float, double, long double;
  • типов (классов), которые содержат «перегруженные» арифметические операции.

В арифметических операциях один из операндов может иметь целочисленный тип, а второй быть типом с плавающей запятой. В этом случае результат имеет тип с плавающей запятой.

3. Как осуществляется приведение типов в операциях +, —, *?

В выражениях, где используются операции +, , *, действуют следующие правила приведения типа результата:

  • если оба операнда имеют целый тип, то результат также будет целого типа;
  • если хотя бы один из операндов имеет вещественный (с плавающей запятой) тип а другой целый тип, то результат также будет вещественного типа;
  • если один из операндов имеет тип float, а другой тип double, то результат будет типа double. Это связано с тем, что тип double требует больше памяти чем тип float. В этом случае происходит расширение типа float к типу double.


4. Какой приоритет и ассоциативность арифметических операций?

Арифметические операции имеют приоритет и ассоциативность, как изображено в следующей таблице.

Знаки операций

Наименование

Ассоциативность

*   /   %

Бинарные, мультипликативные

Слева направо

+   —

Бинарные, аддитивные

Слева направо

5. Какое отличие между бинарными и унарными операциями сложения (+) и вычитания (—)?

Операции сложения (+) и вычитания () могут быть как бинарными, так и унарными.

Бинарные операции + и используются в выражениях при проведении вычислений.

Унарные операции + и используются для обозначения знака числа (положительное число или отрицательное число).

Пример.

int a, b;

a = -8; // унарная операция '-', обозначает знак числа
b = +9; // унарная операция '+', b = 9
a = b-5; // бинарная операция '-', используется для вычисления выражения

6. Какие особенности использования операции % (остаток от деления)?

Операция % используется над целыми операндами. Операция % позволяет получить остаток от деления целых операндов.

Пример.

// Операция % - взятие остатка от деления
int a, b;
int c;

a = 3;
b = 5;
c = a % b;   // c = 3

a = 8;
b = 4;
c = a % b;   // c = 0
c = 12 % 35; // c = 12
c = 35 % 12; // c = 11
c = -5 % -3; // c = -2

7. Какие особенности использования операции / (деление)?

Операция деления имеет свои особенности, которые состоят в следующем:

  • если два операнда имеют целочисленный тип, то результат возвращается целого типа. В этом случае происходит деление нацело. Остаток от деления урезается;
  • если один из операндов имеет тип с плавающей запятой, тогда результат имеет также тип с плавающей запятой.

Пример.

// Операция деления '/'
int a, b;
int c;
float x;

a = 8;
b = 3;
c = a / b; // c = 2

x = a / b; // x = 2.0
x = a / (float)b; // x = 2.666667

x = 17.0 / 3; // x = 5.666667
x = 17 / 3;   // x = 5.0


Связанные темы


Быстрое умножение целых чисел с использованием таблиц / Хабр

Хочу рассказать читателям о программистском трюке, с которым я познакомился в какой-то переводной книжке, содержащей подборку таких трюков, в те далёкие времена, когда ещё не изобрели не то что байт, а страшно сказать — стек, а великий Дейкстра ещё не проклял оператор GOTO (sic, in uppercase).

Трюк настолько мне понравился простотой и изяществом, что уже в этом тысячелетии я с удовольствием рассказывал о нём студентам в виде следующей задачи.

Представьте себе, что в процессе возвращения в 2030 году с Луны вы вдруг обнаружили, что ваш бортовой компьютер неправильно выполняет операции целочисленного умножения, и это непременно приведёт к аварии при посадке.

В таком сюжете нет ничего особо фантастического. Вспомним, например, какие проблемы случались когда-то с процессорами Pentium , а к моменту отправки на Луну вы ещё не достигли полного импортозамещения. И вообще надо проверить, а не были ли процессоры просверлены специально.

Но к делу. Вам надо срочно реализовать умножение программно, чтоб работало быстро в реальном времени и укладывалось в доступный ресурс.


Из школьного курса арифметики вспоминаем, что многозначные числа умножать можно столбиком, а результат умножения отдельных цифр брать из таблицы умножения.

Вот только если цифры выбрать короткими (например 0 и 1), таблица умножения будет короткой, а столбики длинными, и их вычисление будет занимать много времени.

Если, наоборот, взять цифры длинные (например от 0 до 65535), то для 16-битной арифметики

результат берётся прямо из таблицы, а столбики отсутствуют. Однако размер классической таблицы Пифагора при этом оказывается около 17GB (4*65536*65536), если учесть симметрию относительно диагонали, то половина — около 8.5GB.

Может оказаться многовато.

Напрягаемся и вспоминаем алгебру.

(1)

(2)

Вычитаем (2) из (1)

и далее

Таким образом, имея таблицу квадратов в массиве sqr, получаем

a * b = ( sqr[a + b] — sqr[a — b]) / 4 (*)

Размер таблицы 8*(65535+65535) около 8.4MB, что уже может оказаться приемлемым.

Размер элемента таблицы в 8 байт связан с тем, что при максимальных a и b квадрат их суммы в 4 байта не влезает — не хватает 2-х бит.

Далее опишу некоторое улучшение, которого в книжке не было. Его я придумал сам, когда уже писал эту заметку.

Заметим, что два младших бита квадрата чётного числа всегда 00, а квадрата нечётного — всегда 01. С другой стороны для любой пары чисел их сумма и разность имеют одинаковую чётность.

Поэтому в нашей формуле (*) процесс вычитания в скобках не может иметь переносов,

связанных с двумя младшими битами. Поэтому содержимое элементов таблицы квадратов

можно заранее сдвинуть на два бита вправо и тем самым сэкономить половину памяти.

Окончательно имеем

a * b = sqr4[a + b] — sqr4[a — b] (**)

где sqr4 — модифицированная таблица квадратов.

В нашем примере её размер около 4.2 MB.

Ниже для иллюстрации этого подхода включен текст программы на языке Lua.

function create_multiplier(N)  -- N это число разных цифр
 local sqr4 = {}		-- создаём таблицу
 for i = 1, 2 * N - 1 do
  local temp = 0
  for j = 1, i - 1 do		-- для вычисления квадрата
   temp = temp + i - 1	-- используем многократное сложение
  end					-- т.к. умножение "неисправно"
  sqr4[i] = math.floor(temp / 4)  -- экономим 2 бита
 end
 return 			-- возвращаем мультипликатор (функцию)
  function (i, j)
   if i < j then i, j = j, i end
   return sqr4[1 + i + j] - sqr4[1 + i - j]
  end
end
N = 256
mpy = create_multiplier(N)
for i = 0, N - 1 do
 for j = 0, N - 1 do
  if i * j ~= mpy(i,j) then
   print("Ошибка", i, j, i * j, mpy(i,j))
  end
 end
end
print("Всё работает.")

Для современных процессоров представляется разумным иметь размер цифр кратным размеру байта для лёгкого доступа к ним. При цифрах размером в 1 байт, размер таблицы всего лишь 1022 байт, что может позволить использовать этот трюк в 8-битных процессорах, не имеющих аппаратного умножения.

Буду благодарен всем читателям этой заметки за исправления и замечания.

Целочисленная арифметика. Делим с округлением результата. Часть 1 / Хабр

Чем проще, на первый взгляд, задача, тем меньше разработчик вдумывается в то, как грамотно её реализовать, и допущенную ошибку, в лучшем случае, обнаруживает поздно, в худшем — не замечает вовсе. Речь пойдет об одной из таких задач, а именно, о дробном делении и о масштабировании в контроллерах, поддерживающих исключительно целочисленную арифметику.

Почему тонкостям вычислений в условиях такой арифметики разработчики прикладных программ не уделяют внимание, вопрос. Рискну только предположить, что, по всей вероятности, сказывается привычка производить вычисления на калькуляторе… Во всяком случае, с завидной регулярностью «имею счастье» лицезреть, как коллеги по цеху наступают на одни и те же грабли. Этот материал нацелен на то, чтобы те самые «грабли» нейтрализовать.


При целочисленной арифметике результат деления одного целого числа на другое состоит из двух чисел — частного и остатка. Если остаток деления отбросить, получим результат, в абсолютной величине округленный до меньшего целого.

Реализуя вычисления с дробями, этот момент частенько упускают из вида, а, упустив, получают потери в точности вычислений. Причем точность вычислений падает с ростом величины делителя. К примеру, что 53/13, что 64/13 дадут в результате 4, хотя, по факту, частное от деления второй дроби существенно ближе к 5.

На самом деле, округление результата до ближайшего целого организовать элементарно. Для этого достаточно удвоить остаток деления, просуммировав его сам с собою, а затем вновь поделить его на то же число, на которое делили первоначально, и частное от этого деления сложить с частным, полученным от первоначальной операции деления.

В первом простеньком примере продемонстрирую, как такое округление реализуется программно на примере вычисления соотношения двух величин

Принимая во внимание то, что такие вычисления в программе могут потребоваться неоднократно, алгоритм вычислений реализуем в формате, пригодном для упаковки в подпрограмму.

Для корректного выполнения необходимых для этого промежуточных вычислений понадобится массив из пяти регистров, обозначим его условно TEMP[0..4]. Почему пять и не меньше, поясню чуть ниже.

Алгоритм действий:

1.  TEMP[2]= A
2.  TEMP[3]= B
-----
3.  TEMP[0,1]= TEMP[2]/TEMP[3]
4.  TEMP[1,2]= TEMP[1]*2
5.  TEMP[4]= 0
6.  TEMP[1..4]= TEMP[1,2]/TEMP[3,4]
7.  TEMP[0]= TEMP[0]+TEMP[1]
-----
8.  Y= TEMP[0]



Шаги с 3-го по 7-й могут быть вынесены в подпрограмму.

При желании, запись результата может быть произведена непосредственно суммированием TEMP[0] c TEMP[1] за пределами подпрограммы расчета. Это непринципиально. Единственное, следует иметь в виду, что при множестве однотипных расчетов вынос операции сложения в основное тело программы способен привести к возрастанию задействованного ею объема программной памяти.

Так почему же для промежуточных вычислений потребовалось целых 5 регистров? А операция суммирования остатка деления самого с собой, о чем говорилось ранее, заменена умножением остатка на два? Очень просто — для того, чтобы оперировать с неограниченным набором целых чисел.

Поясню: если поделить, к примеру, число 32767 на -32768 в остатке получим 32767, и результат его сложения несомненно выйдет за пределы диапазона integer.

То бишь, удвоенный остаток от целочисленного деления дроби в интересах округления результата такого деления всегда должен быть представлен в формате double integer.

Продолжение следует…

Умножение × | Основы арифметики

На этой странице описаны основы умножения (×) .

См. Другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: Сложение (+), Вычитание (-) и Деление ( ÷ ).

Умножение

При записи общий знак умножения — « × ». В электронных таблицах и некоторых других компьютерных приложениях символ « * » (или звездочка) используется для обозначения операции умножения.

Чтобы выполнять вычисления умножения без калькулятора или электронной таблицы, вам нужно знать, как складывать числа. См. Нашу страницу добавления, чтобы узнать, как добавить.

Когда вы «умножаете» или «умножаете» число, вы добавляете его к самому себе несколько раз, например, умножение 4 на 3 — это то же самое, что сказать 4 + 4 + 4 = 12. Следовательно, умножение — это более быстрый способ сложения одно и то же число много раз, например 3 × 4 = 12. Этот расчет аналогичен выражению, если у меня есть 3 пакета по 4 яблока, сколько всего яблок у меня есть?

Основные правила умножения:


  • Любое число, умноженное на 0, равно 0.200 × 0 = 0
  • Любое число, умноженное на 1, остается неизменным. 200 × 1 = 200.
  • Когда число умножается на два, мы удваиваем число. 200 × 2 = 400.
  • Когда целое число умножается на 10, мы можем просто написать 0 в конце (один ноль из 10, потому что это 1 × 10). 200 × 10 = 2000.
  • При умножении на 100 мы записываем два нуля в конце, на тысячу записываем три нуля в конце и так далее. Например, 4 × 2000 — это 4 × 2 = 8 с 3 нулями: 8000.

Для простого и быстрого умножения полезно запомнить умножение или «таблицу умножения », как показано ниже. Эта таблица дает ответы на все умножения до 10 × 10. Чтобы получить ответ на 4 × 6, например, найдите 4 в верхней (заштрихованной красным) строке и найдите 6 в левом (заштрихованном красным) столбце — столбец точка пересечения двух линий и есть ответ: 24 .

Неважно, с какой стороны искать числа; если вы найдете 4 в первом столбце и 6 в первой строке, вы получите тот же ответ, 24.

Таблица умножения

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Приведенная выше таблица может помочь нам быстро вычислить ответ на следующую проблему.Меган ведет трех своих братьев в кино, ей нужно купить всего 4 билета, каждый стоит 8 фунтов. Сколько будет общая стоимость поездки? Нам нужно вычислить 4 лота по 8 фунтов стерлингов, что написано 4 × 8.

Найдите 4 в вертикальном красном столбце и 8 в горизонтальном красном столбце, ответ находится в ячейке, где пересекаются две линии: 32 . Стоимость поездки в кинотеатр составит 32 фунтов стерлингов.

Часто бывает необходимо умножать числа больше 10.В этом случае приведенная выше таблица умножения не может дать немедленного ответа. Однако мы все еще можем использовать его, чтобы упростить расчет.

Лиза занимается ресторанным бизнесом. Она должна доставить бутерброды 23 предприятиям, в каждом из которых работает 14 сотрудников. Если предположить, что каждый сотрудник съедает один бутерброд, сколько бутербродов нужно приготовить Лизе?

23 предприятиям нужно 14 бутербродов, что составляет 23 лота по 14 или, другими словами, 23, умноженные на 14. Как мы уже обнаружили, мы можем записать расчет наоборот.14 × 23. Ответ будет таким же.

Нам нужно найти ответ на расчет 23 × 14.

Сначала запишите свои числа в столбцы, представляющие сотни, десятки и единицы (за помощью см. Нашу страницу Числа ).

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4

Шаг 1: Начиная с правого столбца (единицы), умножьте 4 на 3.При необходимости вы можете обратиться к приведенной выше таблице умножения. Напишите ответ (12) под своими вычислениями, стараясь поставить 1 в столбце десятков и 2 в столбце единиц.

Синие числа — это те, над которыми мы сейчас работаем, а розовые числа — это первая часть нашего ответа.

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
1 2

Шаг 2: Затем мы умножаем 4 на следующее число, равное 2 (или 20, потому что оно находится в столбце десятков).Напишите свой ответ внизу в столбце десятков: мы пишем 8 в столбце десятков (4 раза по 2 десятка) и ноль в столбце единиц (4 раза по 2 десятка это то же самое, что 4 × 20 = 80).

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
1 2
8 0

Шаг 3: В приведенных выше шагах мы умножили единицы нижнего числа (4) на верхнее число (23).Затем нам нужно умножить десятки в нижнем числе (1) на верхнее число (23). Теперь мы работаем с цифрой в столбце десятков нижнего числа и повторяем описанные выше шаги. Оглядываясь на наши основные правила умножения, приведенные выше, мы знаем, что, умножая число на 10, мы пишем ноль в конце. На этом этапе, поскольку мы переместились по столбцу и работаем с десятками, мы должны не забыть записать нули в первый столбец (единицы).

Выполните 1 × 3. Как и выше, мы записываем наш ответ (3) в столбец десятков и (0) в столбец единиц.

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
1 2
8 0
3 0

Шаг 4: Последнее умножение, которое нам нужно выполнить, это 1 × 2.Оба числа находятся в столбце десятков, поэтому мы умножаем один лот из 10 на два лота по 10. Используя правила, которые мы узнали на предыдущих шагах, нам нужно записать ноль в столбец единиц и ноль в столбец десятков. Наш ответ (1 × 2 = 2) записан в столбце сотен, потому что мы фактически вычислили 10 × 20 = 200.

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
1 2
8 0
3 0
2 0 0

Этап 5: На этом этапе мы закончили умножение; остается только сложить все наши ответы (розовые числа), чтобы найти общее количество необходимых бутербродов.См. Нашу страницу Дополнение , если вам нужна помощь в сложении чисел.

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
1 2
8 0
3 0
2 0 0
Всего: 3 2 2

12 + 80 + 30 + 200 = 322. Мы подсчитали, что Лизе нужно сделать в общей сложности 322 бутербродов.

В приведенном выше примере показано, как выполнить умножение, разбитое на все возможные части, но по мере повышения уверенности можно пропустить шаги.

Мы могли бы, например, умножить 4 на 23, разбив сумму на две части:

4 × 20 = 80
4 × 3 = 12
80 + 12 = 92

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
9 2

Затем то же самое для второго столбца:

10 × 23 = 230

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
9 2
2 3 0

Наконец, мы складываем два наших ответа:

Сот Десятки Квартир
2 3
1 4
9 2
2 3 0
Всего: 3 2 2

92 + 230 = 322.


Умножение более двух чисел

Если вам нужно перемножить более двух элементов, обычно проще перемножить первые два элемента, получить результат, а затем умножить следующее число на первое число. Например, если Джо хотел вычислить, сколько часов он проработал за четырехнедельный период, расчет будет выглядеть так:

Джо работает 7 часов в день 5 дней в неделю в течение четырех недель.

Шаг первый:

7 × 5 = 35 (количество часов, которые Джо работает в неделю).

Шаг второй:

Чтобы узнать, сколько часов Джо работает за четыре недели, мы можем затем умножить этот ответ (35) на 4. 35 × 4 = 140.

Если мы знаем, что Джо платят 12 фунтов в час, мы можем затем подсчитать, сколько денег он заработал за четырехнедельный период: 12 × 140.

Быстрый способ решить это — вычислить:
10 × 140 = 1400 (помните, что если мы умножаем на 10, мы просто добавляем ноль в конец числа, на которое умножаем).
2 × 140 = 280 то же, что 2 × 14 (с нулем на конце) или 140 + 140.

Мы складываем наши ответы вместе: 1400 + 280 = 1680.
Таким образом, Джо заработал 1680 фунтов стерлингов за четырехнедельный период.

Умножение отрицательных чисел


Умножение отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный ответ:

15 × (−4) = −60

Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число всегда дает положительный ответ:

(−15) × (−4) = 60


.

Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

Умножение — это арифметическая операция для нахождения произведения двух чисел в математике. Он часто представлен такими символами, как × {\ displaystyle \ times} и ⋅ {\ displaystyle \ cdot}. [1] [2] Умножение — это третья операция в математике, после сложения, которое является первым, и вычитания, которое является вторым. Это также может быть определено на нечисловых математических объектах. [3]

Для натуральных чисел умножение дает количество плиток в прямоугольнике, где одно из двух чисел равно количеству плиток на одной стороне, а другое число равно количеству плиток на другой стороне.

В случае действительных чисел умножение дает площадь прямоугольника, где первое число совпадает с размером одной стороны, а второе число совпадает с размером другой стороны.

Например, три умноженные на пять — это сумма пяти троек, сложенных вместе, или сумма трех пятерок.Это можно записать как 3 × 5 = 15 или произнести как «трижды пять равно пятнадцать». Математики называют два умножаемых числа «коэффициентами» или «умножаемое» и «мультипликатор» по отдельности (где умножаемое × множитель = произведение).

Умножение чисел называется коммутативным, когда порядок чисел не влияет на стоимость продукта. Это верно для целых чисел (целых чисел), например 4 × 6 совпадает с 6 × 4, а также для рациональных чисел (дробей) и для всех других действительных чисел (представляемых в виде поля в непрерывной строке), а также для комплексных чисел (чисел, представляемых в виде поля в плоскости).Однако это неверно для кватернионов (чисел, представленных в виде кольца в четырехмерном пространстве), векторов или матриц.

Определение умножения как повторного сложения дает возможность прийти к теоретико-множественной интерпретации умножения кардинальных чисел. Более точное представление — это масштабирование величин. На этой анимации показано умножение 3 на 2, в результате чего получается 6. Обратите внимание, что синяя точка в синем сегменте длиной 3 помещается в позицию 1, а синий сегмент масштабируется так, что эта точка помещается в конец красного сегмента (длиной 2).При умножении на любой X синяя точка всегда будет начинаться с 1 и заканчиваться на X. Это работает, даже если X меньше 1 или отрицательное значение.

Деление, противоположное умножению.

Учителя обычно требуют от своих учеников запоминать таблицу первых 9 чисел при обучении умножению, чтобы можно было выполнять более сложные задачи умножения.

Таблица умножения
Таблица из 1
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1
1 × 2 = 2
1 × 3 = 3
1 × 4 = 4
1 × 5 = 5
1 × 6 = 6
1 × 7 = 7
1 × 8 = 8
1 × 9 = 9
1 × 10 = 10
Таблица из 2
2 × 0 = 0
2 × 1 = 2
2 × 2 = 4
2 × 3 = 6
2 × 4 = 8
2 × 5 = 10
2 × 6 = 12
2 × 7 = 14
2 × 8 = 16
2 × 9 = 18
2 × 10 = 20
Таблица из 3
3 × 0 = 0
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
3 × 10 = 30
Таблица из 4
4 × 0 = 0
4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36
4 × 10 = 40
Таблица из 5
5 × 0 = 0
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
5 × 6 = 30
5 × 7 = 35
5 × 8 = 40
5 × 9 = 45
5 × 10 = 50
Таблица из 6
6 × 0 = 0
6 × 1 = 6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30
6 × 6 = 36
6 × 7 = 42
6 × 8 = 48
6 × 9 = 54
6 × 10 = 60
Таблица из 7
7 × 0 = 0
7 × 1 = 7
7 × 2 = 14
7 × 3 = 21
7 × 4 = 28
7 × 5 = 35
7 × 6 = 42
7 × 7 = 49
7 × 8 = 56
7 × 9 = 63
7 × 10 = 70
Таблица из 8
8 × 0 = 0
8 × 1 = 8
8 × 2 = 16
8 × 3 = 24
8 × 4 = 32
8 × 5 = 40
8 × 6 = 48
8 × 7 = 56
8 × 8 = 64
8 × 9 = 72
8 × 10 = 80
Таблица из 9
9 × 0 = 0
9 × 1 = 9
9 × 2 = 18
9 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81
9 × 10 = 90
Таблица из 10
10 × 0 = 0
10 × 1 = 10
10 × 2 = 20
10 × 3 = 30
10 × 4 = 40
10 × 5 = 50
10 × 6 = 60
10 × 7 = 70
10 × 8 = 80
10 × 9 = 90
10 × 10 = 100
  1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище . 2020-03-01. Проверено 26 августа 2020.
  2. Weisstein, Eric W. «Умножение». mathworld.wolfram.com . Проверено 26 августа 2020.
  3. Weisstein, Eric W. «Product». mathworld.wolfram.com . Проверено 26 августа 2020.

.

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Сложное умножение — сложная операция для понимания с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена:

(3 + 2 и ) (1 + 4 и ) =
3 + 12 i + 2 i + 8 i 2 .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно же, . А как насчет 8 i 2 ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i 2 равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе:

( x + yi ) u =
xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C с коэффициентом 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай для умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (т.е. расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ш. Это было тогда, когда w было действительным числом и чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда, согласно формуле умножения, zw равно ( xu yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | 2 = x 2 + y 2

Аналогично имеем

| w | 2 = и 2 + v 2

и, поскольку zw = ( xu yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | 2 = ( xu yv ) 2 + ( xv + yu ) 2

Итак, чтобы показать | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu yv ) 2 + ( xv + yu ) 2 = ( x 2 + y 2 ) ( u 2 + v 2 )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия i.

В следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i 2 = –1. Что насчет i 3 ? Это всего лишь i 2 умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i 3 = — i. Что интересно: куб i — это собственное отрицание.Затем рассмотрим i 4 . Это квадрат i 2 , то есть квадрат –1. Итак, i 4 = 1. Другими словами, i — это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что — i — это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно,
1, i, –1 и — i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z 4 = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i теперь легко найти, когда мы знаем i 4 = 1. Например, i 5 равно i умножить на i 4 , а это всего i. . Вы можете уменьшить степень i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i 11 = i 7 = i 3 = — i.

Как насчет отрицательной степени и ? Какова величина, обратная i,
то есть i –1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i –1 = i 3 = — i. Таким образом, i обратное — i. Представьте себе — число, обратное значение которого есть собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно,
i и — i являются обратными величинами.


Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, согласно фундаментальной теореме алгебры, число n корней -й степени из единицы равно n, , поскольку имеется n корней из уравнения n -й степени.
z u — 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе было упомянуто, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и — i, и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восьми из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно расположены по единичной окружности.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.


Умножение комплексного числа на i.

В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i.

z i = ( x + yi ) i =
y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что при умножении на i повернулся к точке z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что происходит при умножении на — i таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 ​​или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай — это комбинация масштабирования и вращения.

Пусть z и w будут точками на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | Вт |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ — «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z под определенным углом, называемым аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.)

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где находится zw в C :

.Алгоритм

— модульное умножение больших чисел в c ++

Переполнение стека

  1. Около
  2. Продукты

  3. Для команд
  1. Переполнение стека
    Общественные вопросы и ответы

  2. Переполнение стека для команд
    Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

  3. Вакансии
    Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

  4. Талант
    Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

  5. Реклама
    Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2022 © Все права защищены. Карта сайта