Задача эйлера: О Проекте Эйлера

О Проекте Эйлера

О проекте

Что такое Проект «Эйлер»?

Проект «Эйлер» — это набор интригующих задач по математике и программированию, для решения которых, однако, недостаточно одной только математической интуиции. Разумеется, математика поможет прийти к красивому и элегантному решению, но для успешного решения большинства задач без навыков программирования не обойтись.

Основная мотивация для создания и поддержки проекта — предоставить пытливым умам платформу для погружения в незнакомые области и добавить немного веселья в процесс изучения новых идей.

Для кого предназначены задачи?

Целевая аудитория проекта включает в себя студентов, которым мало университетского курса, не-математиков, которым, тем не менее, интересна математика, а также профессионалов, которым хотят быть в хорошей математической форме.

Значит, задачи может решить кто угодно?

Задачи эти разной степени сложности, и большинство их предполагает индуктивное обучение. То есть очередная решённая задача открывает нечто новое, что позволит подобраться к ранее недоступной задаче. Таким образом упорный участник проекта будет медленно, но верно продвигаться по списку задач.

С чего мне начать?

Это зависит от ваших навыков и способностей. В таблице «Задачи» можно посмотреть сколько человек уже решило каждую из них. В общем случае — чем больше людей решило задачу, тем она проще.

Я написал программу, теперь придётся ждать результата вычислений пару дней?

Разумеется, нет! Каждая задача подчиняется «правилу одной минуты», которое гласит: несмотря на то, что на построение алгоритма решения могут уйти часы, эффективная реализация позволяет получить ответ на компьютере средней вычислительной мощности меньше, чем за одну минуту.

А если моя программа проработала дольше минуты, решение не засчитывается?

Засчитывается. Однако в идеале это должно побудить вас вернуться к задаче и проверить, можно ли как-то улучшить решение. Как только вы решите задачу, вы получите доступ к ветке форума с её обсуждением, где могут найтись советы по отпимизации от других участников.

Можно ли пользоваться поисковиком в процессе решения?

Многие задачи таят в себе настоящие математические сокровища, и использование интернета для их поиска никоим образом не возбраняется. Но существует чёткая граница между собственным исследованием и копипастой решения с другого сайта. Чему вы научитесь, списывая с решебника?

Я перепроверил свою программу десять раз, а ответ всё равно не принимается! Может, у вас там ошибка?

Мы постоянно выкладываем новые задачи, поэтому в самые свежие вполне могут закрасться мелкие ошибки, или же условие может быть сформулировано недостаточно чётко. Но согласитесь, что когда большинство попадает в цель, а один стрелок промахивается десять раз подряд, вряд ли ему придёт в голову стрелять себе в ногу и заключать, что раз оружие работает как нужно, то во всём виновата мишень.

Можете дать парочку советов по решению задач?

Внимательно прочитайте условие и изучите приведённые примеры. Карандаш и бумага помогут лучше понять идею, лежащую в основе задачи. Если идея эта для вас нова, обратитесь к дополнительной литературе и интернету; в условии могут содержаться подсказки, на что обратить внимание. Попробуйте написать программу для простых случаев и удостоверьтесь, что она правильно работает на тестовых данных из условия, это послужит знаком того, что вы вникли в суть задачи и продвигаетесь в верном направлении. Попытайтесь оценить время, которое потребуется для получения окончательного ответа, и если оно явно будет больше минуты, пересмотрите свою стратегию.

Я столько всего изучил, пока решал задачу ХХХ, можно мне публиковать своё решение?

На самом деле, ответ заключается в самом вопросе. Ничто не сравнится с удовлетворением от решения задачи, над которой вы ломали голову не один час. Конечно, желая поделиться своим озарением с другими, вы действуете из лучших побуждений, но увы, скорее всего вы оказывате своим читателям медвежью услугу. Настоящее обучение — это активный процесс, одно дело наблюдать за процессом, и совсем другое — переживать этот опыт самому. Пожалуйста, не лишайте других столь ценного удовольствия.

Кто это всё придумал?

Проект «Эйлер» был основан Colin Hughes (aka euler) в октябре 2001 как подраздел сайта mathschallenge.net. Кто бы мог подумать, что такие задачи окажутся настолько популярными? Поскольку количество пользователей продолжало неуклонно расти, Проект «Эйлер» переехал на отдельный домен в 2006 году.

Кто поддерживает работу Проекта «Эйлер»?

Идеи для новых задач приходят к нам от участников проекта. Затем над ними работает команда трудолюбивых и талантливых математиков и программистов. Проще говоря, Проект живёт благодаря своим участникам.

Благодарности

За создание сайта — Виталию aka Vitalg.
За перевод задач — Элану aka Konnektor, Виталию aka Stumbler.
За адскость — Антону aka antox(z*)

Урок и презентация «Задача Эйлера»

Цель урока: Познакомить с математическим понятием граф.

Задачи урока:

Образовательные:

— ввести понятие нового термина «граф» ;

— научить строить графы;

Развивающие:

— развивать практические умения;

— развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения;

— развивать память, внимание, математические исследовательские способности;

— развивать навыки рефлексии.

Воспитательные:

— воспитывать организованность, умение работать в группах;

— прививать интерес к предмету.

Тип урока: открытие нового знания

Методы обучения:

— словесные методы: объяснение, беседа, работа с карточками;

— наглядные методы: наблюдение;

— практические методы: поисковый, практическая работа индивидуальная и в группах.

Оборудование – мультимедиа проектор, экран, компьютер, индивидуальный раздаточный материал: карточки.

Ход урока:

Сегодня на уроке у нас две темы и первая из них «Порядок и хаос». С вашей точки зрения, что такое хаос? (нарушение порядка), а порядок? Хаос – это хорошо или плохо? (плохо) Хорошо запомним это и пойдём дальше. У нас урок математики. Как вы думаете математика это мир порядка или хаоса? (порядка) Почему?

Устный счёт (слайд 2)

На прошлом уроке вы познакомились с правилами раскрытия скобок. Продолжите запись. (слайд 3) Молодцы. Как вы думаете записанные правила это порядок или хаос? (порядок) А теперь нарушим этот порядок, поменяем местами части утверждений. И проверим сохранится ли истина утверждений? Да. Таким образом мы нарушили порядок и в результате опять получили порядок. Так может хаос всё таки не так и плохо?

У вас на столах лежат файлы, возьмите каждый свой. Выполним первое задание. У каждого из вас есть по одному примеру, его нужно выполнить и выбрать нужную букву. Теперь переверните листочки там номер места вашей буквы в слове. Составьте слова и назовите. (семь, мост, Эйлер).

Если слова семь и мост вам знакомы, то слово Эйлер нет.

Леонард Эйлер жил в 18 веке, (слайд 5) родился в Швейцарии, но большую часть своей жизни он прожил в России, в Санкт – Петербурге. Это один из немногих математиков, который при жизни был признан первым математиком мира. Именно Леонард Эйлер ввёл понятие скобки и впервые записал их.

Вернёмся к нашим словам. Так что же их объединяет? А объединяет их знаменитая задача Эйлера о семи мостах. Посмотрите на экран. (слайд 6)

Леонард Эйлер гулял в городе Кёнигсберг по берегам реки Прегель. Жители города задали ему вопрос: «Можно ли совершить прогулку по семи мостам, так чтобы не проходить по каждому мосту дважды?»

Что сделал Эйлер? Он изобразил острова в виде точек, мосты в виде линий и построил схему. (слайд 7). Впоследствии такие схемы он назовёт ГРАФ. Позже мы вернёмся к этой задаче и вы сами дадите мне ответ. А сейчас познакомимся понятием граф?(слайд 8)

Граф – это набор точек некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами, а соединяющие их линии – рёбрами. Обращаю ваше внимание, я не сказала отрезки это линии. Давайте посчитаем сколько в этом графе вершин, а сколько ребёр? (3 и 3) Ещё один граф (6 и 6)

(слайд 9) Число рёбер выходящих и любой вершины называется степень вершины. Если из из вершины нечётное число рёбер, то она называется нечётной. Если чётное число рёбер, то чётной. Назовите степень каждой вершины на слайде? ( А – 1, В – 3, С — 2, D – 2)

(слайд 10) Следующий граф (А – 1, В – 3, С – 1, D – 1, Е – 2, О — 4)

Ребята, скажите, как связаны количество ребёр и сумма степеней вершин? (рёбер в 2 раза меньше суммы степеней вершин) Молодцы. Итак, чтобы найти количество рёбер графа нужно суммировать степени вершин и поделить на 2.

Возьмите листы со 2 — м заданием, постройте граф который у вас слева. ( на листе даны все определения). Что определяем в первую очередь?

А – 2, В – 1, С – 3, D – 4, Е – 2

Граф справа А – 1, В – 3, С – 2. Опредяляем количество рёбер (2, 5). Можно ли его построить? (нет) Сделайте вывод. (Если сумма степеней вершин графа четная его можно построить, а если нечётная нельзя)

Теперь я попрошу вспомнить пытались ли вы когда – нибудь рисовать домик не отрывая карандаша от бумаги? (да). Вы строили уникурсальный граф. Построение графа не отрывая карандаша от бумаги.

Возьмите листы с заданием №3 и выясните, какую фигуру можно построить, а какую нет.

Ребята, как вы думаете , почему графы 1, 3, 5, 6 сразу получилось построить, а 2 и 4 нет? Не знаете? Давайте подсчитаем степени вершин.

Возвращаемся к нашей задаче. «Можно ли совершить прогулку по семи мостам, так чтобы не проходить по каждому мосту дважды?» Т. е. можно ли нарисовать граф не отрывая карандаша от бумаги?(НЕТ) все его вершины его нечётные.

Давайте вернёмся в начало урока. Вы сказали, что хаос – это плохо. Я внесла хаос в планирование вашего учителя. Это плохо, но вы узнали много нового и это по — моему хорошо. Ведь мы проводили урок математики в кабинете английского языка, а это не порядок, т. е. хаос.

В конце урока мне хотелось, чтобы вы ответили «Не говори чему учили, а скажи, что узнал»

Д/з

У вас остались листы с заданием №4 выполнив его вы узнаете номер домашнего задания.

Спасибо за урок!

Project Euler — решайте алгоритмические задачи и смотрите как это делали другие 30к участников на огромном количестве языков.

Пару-тройку месяцев назад наткнулся на замечательный ресурс Project Euler.

Project Euler представляет собой набор математических задач, которые вам предлагается решить хоть программным методом, хоть на бумаге.

Для участия в проекте надо пройти быструю регистрацию, после чего можно смело штурмовать алгоритмы.
подробно — внутри

Изюминка ресурса в том, что вы можете решить задачу на любом удобном для вас языке, надо только вписать в форму правильный ответ.

После того как будет дан ответ вы сможете войти в ветку форума по данной задаче и увидеть какими методами данную задачу решили остальные участники, которых за время проекта набралось огромное количество (So far 29276 users have submitted 537919 correct solutions; that is an average of 18 problems per user).

Вы можете посмотреть как данную задачу решили на почти всех живых языках программирования, увидеть красивые решения и грубый брутофорс)

По мере прохождения сложность задач увеличивается.

Посоревноваться в скорости алгоритма и просто обсудить математический аспект задачи.

Выдержки из статистики:

Вот так, к примеру, выглядит самая первая задача из 200штук:

Add all the natural numbers below one thousand that are multiples of 3 or 5.

Вот так 50-я

Which prime, below one-million, can be written as the sum of the most consecutive primes?

100я

Investigate the optimum polynomial function to model the first k terms of a given sequence.
Удачного погружения

Использование метода кругов Эйлера (диаграмм Эйлера–Венна) при решении задач в курсе информатики и ИКТ

1. Введение

В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей
школы рассматриваются такие важные темы как
“Основы логики” и “Поиск информации в
Интернет”. При решении определенного типа задач
удобно использовать круги Эйлера (диаграммы
Эйлера-Венна).

Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна
используются прежде всего в теории множеств как
схематичное изображение всех возможных
пересечений нескольких множеств. В общем случае
они изображают все 2ⁿ комбинаций n свойств.
Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно
изображается в виде трех кругов с центрами в
вершинах равностороннего треугольника и
одинаковым радиусом, приблизительно равным
длине стороны треугольника.

2. Представление логических связок в поисковых
запросах

При изучении темы “Поиск информации в
Интернет” рассматриваются примеры поисковых
запросов с использованием логических связок,
аналогичным по смыслу союзам “и”, “или”
русского языка. Смысл логических связок
становится более понятным, если
проиллюстрировать их с помощью графической
схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).

3. Связь логических операций с теорией множеств

С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно
представить связь логических операций с теорией
множеств. Для демонстрации можно
воспользоваться слайдами в Приложение
1.

Логические операции задаются своими таблицами
истинности. В Приложении 2
подробно рассматриваются графические
иллюстрации логических операций вместе с их
таблицами истинности. Поясним принцип
построения диаграммы в общем случае. На
диаграмме – область круга с именем А отображает
истинность высказывания А (в теории множеств
круг А – обозначение всех элементов, входящих в
данное множество). Соответственно, область вне
круга отображает значение “ложь”
соответствующего высказывания. Что бы понять
какая область диаграммы будет отображением
логической операции нужно заштриховать только
те области, в которых значения логической
операции на наборах A и B равны “истина”.

Например, значение импликации равно “истина”
в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем
последовательно: 1) область вне двух
пересекающихся кругов, которая соответствует
значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к
кругу В (полумесяц), которая соответствует
значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу
А и к кругу В (пересечение) – соответствует
значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей
и будет графическим представлением логической
операции импликации.

4. Использование кругов Эйлера при
доказательстве логических равенств (законов)

Для того, чтобы доказать логические равенства
можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна.
Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон
де Моргана).

Для наглядного представления левой части
равенства выполним последовательно:
заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым
цветом, затем для отображения инверсии
заштрихуем область за пределами кругов черным
цветом:

Рис.3 Рис.4

Для визуального представления правой части
равенства выполним последовательно:
заштрихуем область для отображения инверсии (¬А)
серым цветом и аналогично область ¬В также серым
цветом; затем для отображения конъюнкции нужно
взять пересечение этих серых областей (результат
наложения представлен черным цветом):

Рис.5 Рис.6 Рис.7

Видим, что области для отображения левой и
правой части равны. Что и требовалось доказать.

5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск
информации в Интернет”

Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.

В таблице приведены запросы к поисковому
серверу. Для каждого запроса указан его код –
соответствующая буква от А до Г. Расположите коды
запросов слева направо в порядке убывания количества
страниц, которые найдет поисковый сервер по
каждому запросу.

Решение:

Для каждого запроса построим диаграмму
Эйлера-Венна:

Ответ: ВАГБ.

Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.

В таблице приведены запросы и количество
найденных по ним страниц некоторого сегмента
сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет
найдено по запросу Эсминец?

Считается, что все запросы выполнялись
практически одновременно, так что набор страниц,
содержащих все искомые слова, не изменялся за
время выполнения запросов.

Решение:

Пусть

Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат;

Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец;

Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в
котором упоминается Фрегат и не упоминается
Эсминец;

У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в
котором упоминается Эсминец и не
упоминается Фрегат.

Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого
запроса:

Согласно диаграммам имеем:

1. Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
2. Э = 900+У = 900+1300= 2200.

Ответ: 2200.

6. Решение логических содержательных
задач методом диаграмм Эйлера-Венна

Задача 1.

В классе 36 человек. Ученики этого класса
посещают математический, физический и
химический кружки, причем математический кружок
посещают 18 человек, физический — 14 человек,
химический — 10. Кроме того, известно, что 2
человека посещают все три кружка, 8 человек — и
математический и физический, 5 и математический и
химический, 3 — и физический и химический.

Сколько учеников класса не посещают никаких
кружков?

Решение:

Для решения данной задачи очень удобным и
наглядным является использование кругов Эйлера.

Самый большой круг – множество всех учеников
класса. Внутри круга три пересекающихся
множества: членов математического (М),
физического (Ф), химического (Х) кружков.

Пусть МФХ – множество ребят, каждый из
которых посещает все три кружка. МФ¬Х –
множество ребят, каждый из которых посещает
математический и физический кружки и не
посещает химический. ¬М¬ФХ — множество ребят,
каждый из которых посещает химический кружок и
не посещает физический и математический кружки.

Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ,
М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Известно, что все три кружка посещают 2
человека, следовательно, в область МФХ впишем
число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и
физический кружки и среди них уже есть 2 человека,
посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем
6 человек (8-2). Аналогично определим количество
учащихся в остальных множествах:

Просуммируем количество человек по всем
областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из
класса посещают кружки.

Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.

Ответ: 8.

Задача 2.

После зимних каникул классный руководитель
спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк.
Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были
ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало
25 человек, в театре — 11, в цирке 17 человек; и в кино,
и в театре — 6; и в кино и в цирке — 10; и в театре и в
цирке — 4.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и
в цирке?

Решение:

Пусть х – количество ребят, которые побывали и
в кино, и в театре, и в цирке.

Тогда можно построить следующую диаграмму и
посчитать количество ребят в каждой области:

О компании — Project Euler

О проекте Euler

Что такое проект Эйлер?

Project Euler — это серия сложных задач математического / компьютерного программирования, для решения которых потребуется нечто большее, чем просто математическое понимание. Хотя математика поможет вам найти изящные и эффективные методы, для решения большинства проблем потребуется использование компьютера и навыков программирования.

Мотивация для запуска Project Euler и его продолжения состоит в том, чтобы предоставить пытливому уму платформу для того, чтобы вникнуть в незнакомые области и изучить новые концепции в увлекательном и развлекательном контексте.

На кого нацелены проблемы?

Целевая аудитория включает студентов, для которых базовая учебная программа не утоляет их жажду учиться, взрослых, чье образование не связано в первую очередь с математикой, но интересовалось математикой, и профессионалов, которые хотят, чтобы их решение задач и математика оставались на переднем крае.

В настоящее время у нас есть
1034243 зарегистрированных участника, которые решили хотя бы одну проблему, представляющую 219 населенных пунктов по всему миру, и в совокупности используют 105 различных языков программирования для решения проблем.

Может кто решит проблемы?

Задачи различаются по сложности, и для многих это индуктивное цепное обучение. То есть, решив одну проблему, вы познакомитесь с новой концепцией, которая позволит вам взяться за ранее недоступную проблему. Таким образом, целеустремленный участник будет медленно, но верно работать над каждой проблемой.

Что дальше?

Для того, чтобы отслеживать ваш прогресс, необходимо создать учетную запись и включить куки.

Если у вас уже есть учетная запись, то войдите. В противном случае, пожалуйста, зарегистрируйтесь — это совершенно бесплатно!

Однако, поскольку проблемы являются сложными, вы можете просмотреть Проблемы перед регистрацией.

«Проект Эйлер существует, чтобы поощрять, бросать вызов и развивать навыки и удовольствие для всех, кто интересуется увлекательным миром математики».

.

Задача 13 — Project Euler

Найдите первые десять цифр суммы следующих ста 50-значных чисел.

37107287533902102798797998220837590246510135740250
463769376774
712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
5820356532535939
02633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
353986643728271126538299872407844730531
293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
7169388870771546649911559348760 3532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793 950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
6772018697169854431241957240991395
52310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
377742425354112916842768655389262050 24910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
8618808822587531452958409925120382
07770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
7550616496 5184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
995186714302352196288948
423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710 598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690

.