Матрица для чайников: умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Содержание

Как быстро освоить высшую математику?


Спешу вас обрадовать – это реально. Даже если теорема Пифагора благополучно забыта после 9 класса. И даже если через пару дней вам нужно сдавать контрольную / зачёт в ВУЗе. Или вообще завтра. Или, как оно бывает, вчера.

Приветствую тех, кто зашёл с поисковика – меня зовут Eмeлин Aлeксaндр, я преподаватель математики и автор сайта mathprofi.ru. За годы работы по моим лекциям и урокам успешно и быстро (!) подготовились группы и группы студентов, и на этой странице я рад представить вам долгожданные книги!

По существу, это печатная версия статей, с которыми вы можете  свободно ознакомиться на mathprofi.ru. НО! Я постарался сделать высшую математику ещё доступнее, и преимущества книжного формата таковы:

Собственно, удобный формат pdf (A4), обеспечивающий комфортное чтение на большинстве устройств.

Улучшенная структура и стилевое оформление текста. Одно за другим – ничего лишнего!

Возможность распечатать файлы и изучать тему оффлайн (что, кстати, эффективнее).

Пятилетняя выдержка. Да, мои материалы прошли испытания временем и получили тысячи положительных отзывов. Я постоянно поддерживаю диалог с читателями, выясняю непонятные моменты и улучшаю качество своих лекций!

Дополнительные материалы и примеры. И, конечно, новый юмор =)

В настоящий момент создано 8 интенсивных курсов и 2 практикума,

и во избежание недопонимания и претензий, сразу пояснение:

Практикум содержит азы теории и обширный практический материал (разобранные примеры, задачи и задания для самостоятельного решения). По сути, это «классическая» книга, для изучения которой требуется время – 7-10 дней и больше. Но может быть, и меньше, зависит от ваших потребностей.

Интенсивные курсы предназначены для того, чтобы вы БЫСТРО (буквально за считанные часы)

научились решать* примеры по той или иной теме. В них я зачастую не останавливаюсь даже на определениях, но зато вам потребуется минимум знаний для освоения техники решения, что может быть критически важным, когда «на носу» контрольная / зачёт / экзамен.

Все книги доступны ПРЯМО СЕЙЧАС – сразу после символической оплаты

(эл. деньгами, сотовым, пластиковой картой, через онлайн-банк, др. способами)

Далее по законам жанра обычно пишут про бонусы. Бонус есть!

Вы получаете самое свежее издание!

Я постоянно улучшаю и обновляю свои материалы; так, некоторые статьи сайта подвергались правке более 100 (!) раз. Критические недочёты исправляются в кратчайшие сроки, и через пару минут обновлённый файл отправляется не только в продажу, но и в Личный кабинет каждого покупателя!

Внимание! Перед покупкой ОБЯЗАТЕЛЬНО откройте демо-версию книги и проверьте, корректно ли у вас отображается pdf-файл. Об устранении проблем на платформах Windows, Mac OS, Android можно прочитать здесь. Кроме того, файлы упакованы в zip-архивы (тестовый архив на всякий случай).

Интенсивный курс «Матрица, определитель и зачёт!»

Описание: чтобы освоить данный курс нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить. Уже через 2-3 часа вы будете уверенно выполнять действия с матрицами и вычислять определители. Объяснения ведутся только на типовых практических примерах – ничего лишнего. Более того, приложенный Матричный калькулятор не пропустит ни одной ошибки – забудьте о том, что такое «незачёт»!

Формат: pdf-книга, А4, 56 страниц + Памятка по арифметике + Матричный калькулятор (требуется MS Excel).

Посмотреть демо-версию курса >>>


Практикум «Аналитическая геометрия для чайников»

Описание на отдельной странице >>>


Интенсивный курс «Учимся решать пределы»

Описание: курс ориентирован на студентов-заочников с начальным уровнем подготовки и позволяет в кратчайшие сроки научиться решать типовые пределы функций одной переменой и пределы числовых последовательностей. Обладая большим практическим опытом, я включил в курс именно те задания, которые реально встретятся в ваших контрольных работах!

Формат: pdf-книга, А4, 66 страниц (с Приложениями включительно)

Посмотреть демо-версию курса >>>


Интенсивный курс «Как найти производную?»

Описание: курс позволяе

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

В высшей математике существует понятие матрицы системы чисел. С комбинацией элементов, заключённых в таблице, выполняют различные операции. Прежде чем переходить к решению матриц сложными методами, следует ознакомиться с понятием этого выражения и простейшими логическими операциями над ним.

Понятие выражения

Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.

От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.

Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:

  • a — действительная часть числа;
  • b — мнимая часть;
  • i — мнимая единица (квадратный корень из -1).

На приведенном примере показаны варианты.

Простейшие действия с матрицами могут быть разными.

К их числу относятся:

  • умножение;
  • вычитание;
  • умножение на число;
  • перемножение между собой;
  • транспортирование матриц.

Сложение и вычитание

Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.

Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.

Умножение на число

Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:

Операция перемножения

Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.

Возведение в степень

Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:

Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:

Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.

2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.

3 этап: в итоге получаем:

Расчёт определителя

В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.

Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.

Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:

Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:

Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:

Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.

Обратная матрица

Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:

По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.

Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.

Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:

Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:

Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.

2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.

При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:

3 этап: находят алгебраические дополнения.

4 этап: определяют транспонированную матрицу.

Итогом будет:

Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.

В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.

Нахождение собственных векторов

Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:

Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:

Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.

Метод Гаусса

Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:

  • действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
  • произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
  • сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.

Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.

Следует переписать эту систему в матричный вид:

А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.

В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.

Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:

Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3…m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11….- аm1/a11. В результате система примет вид:

На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:

Обращают внимание на последние строки.

В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).

Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,…Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.

Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».

Способ Крамера

Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:

Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.

Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:

В итоге получают выражения:

Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:

Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:

  • Высчитывают определитель дельта базовой матрицы.
  • В матричной таблице А замещают первый столбец на вектор свободных элементов b.
  • Выполняют расчёт определителя дельта1 выявленной матрицы А1.
  • Определяют переменную Х1 = дельта1/дельта.
  • Повторяют шаги со 2 по 4 пункт в матрице А для столбов 2,3…n.
  • Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.

    Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.

    Предыдущая

    АлгебраЧетность и нечетность функции как определить, примеры решения задач на исследование функции на определение четности и нечетности, условие

    Следующая

    АлгебраФункция y=k/х свойства и график, область определения функции, коэффициент в графике функции, примеры решения задач

    Гредасова_Линейная алгебра.indd

    %PDF-1.3 % 1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream 2019-11-28T13:32:30+05:002019-11-28T13:33:54+05:002019-11-28T13:33:54+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:00c1fb3b-4aa1-4a2a-977e-7fd9644c6a32xmp.did:A3EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cxmp.id:09641ADCB811EA1189EACDFBC919C62Dproof:pdf1xmp.iid:07641ADCB811EA1189EACDFBC919C62Dxmp.did:A7EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cxmp.did:A3EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cdefault

  • convertedfrom application/x-indesign to application/pdfAdobe InDesign CS6 (Windows)/2019-11-28T13:32:30+05:00
  • application/pdf
  • Гредасова_Линейная алгебра.indd
  • Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001 endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 19 0 obj > endobj 20 0 obj > endobj 21 0 obj > endobj 22 0 obj > endobj 23 0 obj > endobj 24 0 obj > endobj 25 0 obj > endobj 56 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 57 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 58 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 59 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 60 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 61 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 62 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 63 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 88 0 obj >stream HWMo6b~lI=-^lSmHڷ»p,K9o޼n*O?ꢑ?ӝ汒2>[email protected]}b_,mdq’#fOaJ9ͥSx~`\qwyy??7VWWW܄S?xL ?j|lA#4X4̒>5\ֶf3j}ނPxJWj[P=lAZ:UxWޘ[:*jn[$OL.d͚&˚l6_/ɥX7a2TYhh螉t1?}:rCwYCM!=p9rXEgVoƗGWsP8{ؓ~Rؓ6YLָ߇{

    Матрицы в математике для чайников

    Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

    Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

    Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

    Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

    Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

    Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

    Данная матрица состоит из шести элементов:

    Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

    Это просто таблица (набор) чисел!

    Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

    Рассматриваемая матрица имеет две строки:

    и три столбца:

    СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

    Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

    Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

    На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

    Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

    1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

    Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

    У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

    Обратный пример: . Выглядит безобразно.

    Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

    Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

    2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

    Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

    Еще один полезный пример:

    – умножение матрицы на дробь

    Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

    Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

    И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

    Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

    Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

    А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

    В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

    Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

    3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

    Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

    Транспонировать матрицу

    Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

    – транспонированная матрица.

    Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

    Транспонировать матрицу

    Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

    Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

    И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

    Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

    4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

    Сумма матриц действие несложное.
    НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

    Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

    Сложить матрицы и

    Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

    Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

    Найти разность матриц ,

    А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

    Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

    5) Действие пятое. Умножение матриц.

    Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

    Какие матрицы можно умножать?

    Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу

    Матричный метод решения систем линейных уравнений

    Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

    Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

    Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

    Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

    Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

    Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

    Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

    .

    Тогда

    То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

    Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

    Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

    Решение состоит из следующих шагов.

    Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

    Матрица коэффициентов при неизвестных:

    Матрица неизвестных:

    Матрица свободных членов:

    Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

    По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

    Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

    .

    Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

    Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

    .

    Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

    Итак, получили решение:

    .

    Сделаем проверку:

    Следовательно, ответ правильный.

    Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

    Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

    Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

    Матрица коэффициентов при неизвестных:

    Матрица неизвестных:

    Матрица свободных членов:

    Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

    .

    Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

    Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

    .

    Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

    Итак, получили решение:

    .

    Сделаем проверку:

    Следовательно, ответ правильный.

    Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

    Начало темы «Линейная алгебра»

    Поделиться с друзьями

    Умножение матриц, формулы и примеры

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ Произведением матрицы размером на матрицу размером называется матрица () размером элементы которой определяются формулой:

       

    Иначе говоря, элемент матрицы стоящий в -той строке и -том столбце, равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы Таким образом, умножение осуществляется по правилу умножения строки на столбец.

    Не всякие две матрицы можно перемножить. Произведение двух матриц возможно только в том случае, если число столбцов матрицы совпадает с числом строк в матрице . Для того чтобы перемножить две квадратные матрицы необходимо, чтобы они были одного порядка. При этом в результате получится матрица того же порядка, что и перемножаемые матрицы.

    Как умножать матрицы, примеры

    ПРИМЕР 1
    Задание Найти произведение матрицы и вектора-столбца .

       

    Решение Матрица имеет размерность матрица имеет размерность значит размерность произведения будет Действительно,

       

       

    Заметим, что произведение этих матриц в обратном порядке невозможно.

    Ответ

    Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, то есть оно не коммутативно:

       

    ПРИМЕР 2
    Задание Заданы матрицы и . Найти их произведения и

       

    Решение Матрица имеет размерность а матрица – размерность тогда размерность произведения будет . Действительно, умножая по принципу, строка первой матрицы на столбец второй, получим

       

       

    Произведение так же будет существовать и его размерность будет .

       

       

    Ответ

    Но бывают матрицы, для которых выполняется равенство

       

    такие матрицы называются перестановочными или коммутирующими. Такие матрицы будут обязательно квадратными.

    ПРИМЕР 3
    Задание Проверить являются ли перестановочными матрицы и , если

       

    Решение Найдем произведения этих матриц и .

       

       

       

       

    Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство поэтому они являются перестановочными.

    Ответ Матрицы и перестановочные.
    Читайте также:

    Определитель матрицы и способы вычисления

    Обратная матрица и способы вычисления

    Ранг матрицы

    Транспонирование матрицы

    Сложение матриц

    Единичная матрица

    % PDF-1.4 % 1 0 obj > endobj 4 0 obj (Основы) endobj 5 0 obj > endobj 8 0 объект (След) endobj 9 0 объект > endobj 12 0 объект (Определитель) endobj 13 0 объект > endobj 16 0 объект (Особый случай 2×2) endobj 17 0 объект > endobj 20 0 объект (Производные) endobj 21 0 объект > endobj 24 0 объект (Производные от определителя) endobj 25 0 объект > endobj 28 0 объект (Производные обратного) endobj 29 0 объект > endobj 32 0 объект (Производные от собственных значений) endobj 33 0 объект > endobj 36 0 объект (Производные матриц, векторов и скалярных форм) endobj 37 0 объект > endobj 40 0 obj (Производные от следов) endobj 41 0 объект > endobj 44 0 объект (Производные векторных норм) endobj 45 0 объект > endobj 48 0 объект (Производные матричных норм) endobj 49 0 объект > endobj 52 0 объект (Производные структурированных матриц) endobj 53 0 объект > endobj 56 0 объект (Перевернутые) endobj 57 0 объект > endobj 60 0 obj (Базовый) endobj 61 0 объект > endobj 64 0 объект (Точные отношения) endobj 65 0 объект > endobj 68 0 объект (Последствия для инверсий) endobj 69 0 объект > endobj 72 0 объект (Приближения) endobj 73 0 объект > endobj 76 0 объект (Обобщенное обратное) endobj 77 0 объект > endobj 80 0 объект (Псевдо обратный) endobj 81 0 объект > endobj 84 0 объект (Комплексные матрицы) endobj 85 0 объект > endobj 88 0 объект (Комплексные производные) endobj 89 0 объект > endobj 92 0 объект (Высшие порядки и нелинейные производные) endobj 93 0 объект > endobj 96 0 объект (Инверсия комплексной суммы) endobj 97 0 объект > endobj 100 0 объект (Решения и разложения) endobj 101 0 объект > endobj 104 0 объект (Решения линейных уравнений) endobj 105 0 объект > endobj 108 0 объект (Собственные значения и собственные векторы) endobj 109 0 объект > endobj 112 0 объект (Разложение по единственному значению) endobj 113 0 объект > endobj 116 0 объект (Треугольное разложение) endobj 117 0 объект > endobj 120 0 объект (LU разложение) endobj 121 0 объект > endobj 124 0 объект (Разложение LDM) endobj 125 0 объект > endobj 128 0 объект (Разложение ЛПНП) endobj 129 0 объект > endobj 132 0 объект (Статистика и вероятность) endobj 133 0 объект > endobj 136 0 объект (Определение моментов) endobj 137 0 объект > endobj 140 0 объект (Ожидание линейных комбинаций) endobj 141 0 объект > endobj 144 0 объект (Взвешенная скалярная переменная) endobj 145 0 объект > endobj 148 0 объект (Многовариантные распределения) endobj 149 0 объект > endobj 152 0 объект (Коши) endobj 153 0 объект > endobj 156 0 объект (Дирихле) endobj 157 0 объект > endobj 160 0 объект (Обычный) endobj 161 0 объект > endobj 164 0 объект (Нормальная-обратная гамма) endobj 165 0 объект > endobj 168 0 объект (Гауссовский) endobj 169 0 объект > endobj 172 0 объект (Полиномиальный) endobj 173 0 объект > endobj 176 0 объект (Студенческий т) endobj 177 0 объект > endobj 180 0 объект (Уишарт) endobj 181 0 объект > endobj 184 0 объект (Wishart, Inverse) endobj 185 0 объект > endobj 188 0 объект (Гауссианцы) endobj 189 0 объект > endobj 192 0 объект (Основы) endobj 193 0 объект > endobj 196 0 объект (Моменты) endobj 197 0 объект > endobj 200 0 объект (Разное) endobj 201 0 объект > endobj 204 0 объект (Смесь гауссианов) endobj 205 0 объект > endobj 208 0 объект (Специальные матрицы) endobj 209 0 объект > endobj 212 0 объект (Блочные матрицы) endobj 213 0 объект > endobj 216 0 объект (Матрица дискретного преобразования Фурье, The) endobj 217 0 объект > endobj 220 0 объект (Эрмитовы матрицы и косоэрмитовы) endobj 221 0 объект > endobj 224 0 объект (Идемпотентные матрицы) endobj 225 0 объект > endobj 228 0 объект (Ортогональные матрицы) endobj 229 0 объект > endobj 232 0 объект (Положительно определенные и полуопределенные матрицы) endobj 233 0 объект > endobj 236 0 объект (Матрица одиночного входа, The) endobj 237 0 объект > endobj 240 0 объект (Симметричный, Кососимметричный / Антисимметричный) endobj 241 0 объект > endobj 244 0 объект (Матрицы Теплица) endobj 245 0 объект > endobj 248 0 объект (Матрицы переходов) endobj 249 0 объект > endobj 252 0 объект (Единицы, перестановка и сдвиг) endobj 253 0 объект > endobj 256 0 объект (Матрицы Вандермонда) endobj 257 0 объект > endobj 260 0 объект (Функции и операторы) endobj 261 0 объект > endobj 264 0 объект (Функции и серии) endobj 265 0 объект > endobj 268 0 объект (Оператор Кронекера и Века) endobj 269 ​​0 объект > endobj 272 0 объект (Векторные нормы) endobj 273 0 объект > endobj 276 0 объект (Матричные нормы) endobj 277 0 объект > endobj 280 0 объект (Ранг) endobj 281 0 объект > endobj 284 0 объект (Интеграл с участием дельта-функций Дирака) endobj 285 0 объект > endobj 288 0 объект (Разное) endobj 289 0 объект > endobj 292 0 объект (Одномерные результаты) endobj 293 0 объект > endobj 296 0 объект (Гауссовский) endobj 297 0 объект > endobj 300 0 объект (Одномерная смесь гауссиан) endobj 301 0 объект > endobj 304 0 объект (Доказательства и подробности) endobj 305 0 объект > endobj 308 0 объект (Разные доказательства) endobj 309 0 объект > endobj 312 0 obj> ручей xMOK19 & `fw & {؃ R) x) = l.] .ޤ! — YDHYd5ZtlÛCR9W4_Ei «4nbJLTan4ha> yU ~ 8Ƕfu» $ y mǜ, _v | -8Ť9] y «ym | / ˱? weY! HP & Q_s! uyD3vqy ճ TTn? 1 =. ܘ} fnI конечный поток endobj 310 0 obj> endobj 313 0 obj> endobj 314 0 obj> endobj 311 0 объект> / ProcSet [/ PDF / Text] >> endobj 323 0 объект> ручей x ڕ Xs6 _4ɾqR’inia I (ipw (K N &

    Элементарные матричные операции

    Элементарные матричные операции играют важную роль во многих матричных приложения алгебры, такие как найти инверсию матрицы а также решение одновременных линейных уравнений.

    Основные операции

    Существует три вида операций с элементарной матрицей.

    1. Поменяйте местами две строки (или столбцы).
    2. Умножьте каждый элемент в строке (или столбце) на ненулевое число.
    3. Умножьте строку (или столбец) на ненулевое число и добавьте результат в другую строку (или столбец).

    Когда эти операции выполняются со строками, они вызываются операции элементарной строки ; и когда они исполняются на столбцы, они называются элементарными операциями столбца .

    Обозначение элементарных операций

    Во многих ссылках вы встретите компактные обозначения для описания элементарные операции. Эти обозначения показаны ниже.

    Описание работы Обозначение
    Операции со строками
    1.Поменяйте местами ряды i и j R i R j
    2. Умножить строку i на s , где s ≠ 0 SR i -> R i
    3. Добавьте с раза строку i к строке j SR i + R j -> R j
    Колоночные операции
    1.Сменные стойки i и j C i C j
    2. Умножить столбец i на s , где s ≠ 0 SC i -> C i
    3. Добавьте с раз столбец i к столбцу j SC i + C j -> C j

    Начальные операторы

    Каждый тип элементарной операции может выполняться умножением матриц, с использованием квадратных матриц, называемых элементарные операторы .

    Например, предположим, что вы хотите поменять местами строки 1 и 2 матрицы А . Для этого вы можете предварительно умножить A по E для производства B , как показано ниже.


    R 1 R 2 =
    E А

    R 1 R 2 =
    0 + 2 0 + 4 0 + 6
    0 + 1 0 + 3 0 + 5

    R 1 R 2 = = В

    Здесь E — элементарный оператор.Он действует на A для создания желаемых перестановок рядов в В . Что мы хотели бы знать, конечно, это как найти E . Читать дальше.

    Как выполнять элементарные операции со строками

    Для выполнения операции элементарной строки над A , матрица r x c , возьмем следующее шаги.

    1. Чтобы найти E , оператор элементарной строки , примените операцию к r x r единичная матрица.
    2. Чтобы выполнить операцию элементарной строки, предварительно умножьте A по E .

    Мы проиллюстрируем этот процесс ниже для каждого из трех типов элементарных строковые операции.

    • Поменять местами два ряда . Предположим, мы хотим поменять местами вторая и третья строки A , матрица 3 x 2. Чтобы создаем оператор элементарной строки E , меняем местами вторая и третья строки единичной матрицы И 3 .

      Затем поменять местами второй и третий ряды из А , предварительно умножаем A на E , так как показано ниже.

      R 2 R 3 =
      E А

      R 2 R 3 =
      1 * 0 + 0 * 2 + 0 * 4 1 * 1 + 0 * 3 + 0 * 5
      0 * 0 + 0 * 2 + 1 * 4 0 * 1 + 0 * 3 + 1 * 5
      0 * 0 + 1 * 2 + 0 * 4 0 * 1 + 1 * 3 + 0 * 5

    • Умножить строку на число .Предположим, мы хотим умножьте каждый элемент во второй строке Matrix A на 7. Предположим, что A — это матрица 2 x 3. Чтобы создаем оператор элементарной строки E , умножаем каждый элемент во второй строке единичной матрицы I 2 по 7.

      Затем, чтобы умножить каждый элемент в второй ряд А по 7, умножаем A на E .

      7R 2 -> R 2 =
      E А

      7R 2 -> R 2 =
      1 * 0 + 0 * 3 1 * 1 + 0 * 4 1 * 2 + 0 * 5
      0 * 0 + 7 * 3 0 * 1 + 7 * 4 0 * 2 + 7 * 5


    • Умножьте строку и добавьте ее к другой строке .Предположим, что A — это матрица 2 x 2. Предположим, мы хотим умножьте каждый элемент в первой строке A на 3; и мы хотим добавить этот результат во вторую строку А . За это Операция по созданию оператора элементарной строки представляет собой двухэтапный процесс. Сначала умножаем каждый элемент в первой строке единичной матрицы I 2 по 3.Далее добавляем результат это умножение на вторую строку I 2 произвести E .

      . .
      I 2 E

      Затем, чтобы умножить каждый элемент на первую строку A на 3 и прибавьте этот результат к второй ряд, умножаем A на E .

      3R 1 + R 2 -> R 2 =
      E А

      3R 1 + R 2 -> R 2 =
      1 * 0 + 0 * 2 1 * 1 + 0 * 3
      3 * 0 + 1 * 2 3 * 1 + 1 * 3

      3R 1 + R 2 -> R 2 =

    Как выполнять операции с элементарными столбцами

    Чтобы выполнить элементарную операцию столбца на A , матрица r x c , возьмем следующее шаги.

    1. Чтобы найти E , оператор элементарного столбца , применить операцию к c x c единичная матрица.
    2. Чтобы выполнить элементарную операцию столбца, умножьте A по E .

    Давайте рассмотрим элементарную операцию столбца, чтобы проиллюстрировать процесс.Например, предположим, что мы хотим поменять местами первый и второй столбцы A , матрица 3 x 2. Чтобы создаем элементарный оператор столбца E , меняем местами первый и второй столбцы единичной матрицы И 2 .

    Затем, чтобы поменять местами первую и вторую колонки из А , умножаем A на E , как показано ниже.

    C 1 C 2 =
    А E

    C 1 C 2 =
    0 * 0 + 1 * 1 0 * 1 + 1 * 0
    2 * 0 + 3 * 1 2 * 1 + 3 * 0
    4 * 0 + 5 * 1 4 * 1 + 5 * 0

    Обратите внимание, что процесс выполнения операции элементарного столбца на r x c матрица очень похожа на процесс выполнения простейшая строчная операция.Основные отличия:

    • Для работы на r x c матрица A , оператор строки E создается из r x r единичная матрица; тогда как оператор столбца E создается из c x c Идентификационная матрица .
    • Чтобы выполнить строковую операцию, A — это , предварительно умноженное на на E ; в то время как для выполнения операции столбца A после умножения по E .

    Проверьте свое понимание

    Проблема 1

    Предположим, что A — это матрица 4 x 3. Предположим, вы хотите умножаем каждый элемент во втором столбце матрицы A на 9. Найдите оператор элементарного столбца E .

    Решение

    Чтобы найти оператор элементарного столбца E , мы умножаем каждый элемент во втором столбце единичной матрицы I 3 по 9.

    Матрица

    R (создание и изменение матрицы и элементы матрицы доступа)

    В этой статье вы научитесь работать с матрицей в R. Вы научитесь создавать и изменять матрицу, а также получать доступ к элементам матрицы.

    Матрица — это двумерная структура данных в R-программировании.

    Матрица аналогична векторной, но дополнительно содержит атрибут размера. Все атрибуты объекта можно проверить с помощью функции attributes () (размерность можно проверить напрямую с помощью функции dim () ).

    Мы можем проверить, является ли переменная матрицей или нет, с помощью функции class () .

     > а
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 5 8
    [3,] 3 6 9
    > класс (а)
    [1] "матрица"
    > атрибуты (а)
    $ тусклый
    [1] 3 3
    > тусклый (а)
    [1] 3 3
      

    Как создать матрицу в R программировании?

    Матрица может быть создана с помощью функции matrix () .

    Размер матрицы можно определить, передав соответствующее значение аргументам nrow и ncol .

    Предоставлять значение для обоих измерений не обязательно. Если один из параметров указан, другой выводится из длины данных.

     > матрица (1: 9, nrow = 3, ncol = 3)
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 5 8
    [3,] 3 6 9
    > # такой же результат получается, если указать только одно измерение
    > матрица (1: 9, nrow = 3)
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 5 8
    [3,] 3 6 9
      

    Мы видим, что матрица заполняется по столбцам.Это можно изменить на заполнение по строкам, передав ИСТИНА аргументу рядом с строкой .

     > matrix (1: 9, nrow = 3, byrow = TRUE) # заполнять матрицу по строкам
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 2 3
    [2,] 4 5 6
    [3,] 7 8 9
      

    Тем не менее, во всех случаях матрица хранится внутри по столбцам, как мы увидим в последующих разделах.

    Можно дать имена строкам и столбцам матрицы во время создания, передав список из 2 элементов в аргумент dimnames .

     > x <- матрица (1: 9, nrow = 3, dimnames = list (c («X», «Y», «Z»), c («A», «B», «C»)) )
    > х
    А Б В
    1 4 7 х
    Д 2 5 8
    Я 3 6 9
      

    К этим именам можно получить доступ или изменить их с помощью двух полезных функций: colnames () и rownames () .

     > имена столбцов (x)
    [1] «А» «Б» «В»
    > rownames (x)
    [1] «X» «Y» «Z»
    > # Также можно изменить имена
    > colnames (x) <- c ("C1", "C2", "C3")
    > rownames (x) <- c («R1», «R2», «R3»)
    > х
    C1 C2 C3
    R1 1 4 7
    R2 2 5 8
    R3 3 6 9
      

    Другой способ создания матрицы — использование функций cbind () и rbind () , как при связывании столбцов и строк.

     > cbind (c (1,2,3), c (4,5,6))
    [, 1] [, 2]
    [1,] 1 4
    [2,] 2 5
    [3,] 3 6
    > rbind (c (1,2,3), c (4,5,6))
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 2 3
    [2,] 4 5 6
      

    Наконец, вы также можете создать матрицу из вектора, установив ее размер с помощью dim () .

     > x <- c (1,2,3,4,5,6)
    > х
    [1] 1 2 3 4 5 6
    > класс (x)
    [1] "числовой"
    > dim (x) <- c (2,3)
    > х
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 3 5
    [2,] 2 4 6
    > класс (x)
    [1] "матрица"
      

    Как получить доступ к элементам матрицы?

    Мы можем получить доступ к элементам матрицы, используя квадратную скобку [метод индексации .Доступ к элементам можно получить как var [строка, столбец] . Здесь строк, и столбцов, являются векторами.

    Использование целочисленного вектора в качестве индекса


    Мы указываем номера строк и столбцов как векторы и используем их для индексации.

    Если какое-либо поле внутри скобок оставлено пустым, выбираются все.

    Мы можем использовать отрицательные целые числа, чтобы указать строки или столбцы, которые нужно исключить.

     > х
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 5 8
    [3,] 3 6 9
    > x [c (1,2), c (2,3)] # выбрать строки 1 и 2 и столбцы 2 и 3
    [, 1] [, 2]
    [1,] 4 7
    [2,] 5 8
    > x [c (3,2),] # если оставить поле столбца пустым, будут выбраны целые столбцы
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 3 6 9
    [2,] 2 5 8
    > x [,] # оставив строку и поле столбца пустым, вы выберете всю матрицу
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 5 8
    [3,] 3 6 9
    > x [-1,] # выбираем все строки кроме первой
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 2 5 8
    [2,] 3 6 9
      

    Здесь следует отметить одну вещь: если матрица, возвращаемая после индексации, является матрицей-строкой или матрицей столбцов, результат дается как вектор.

     > x [1,]
    [1] 1 4 7
    > класс (x [1,])
    [1] "целое число"
      

    Этого поведения можно избежать, используя аргумент drop = FALSE при индексировании.

     > x [1`` drop = FALSE] # теперь результат - матрица 1x3, а не вектор
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    > class (x [1`` drop = FALSE])
    [1] "матрица"
      

    Можно индексировать матрицу с одним вектором.

    При таком индексировании он действует как вектор, сформированный путем наложения столбцов матрицы один за другим.Результат возвращается в виде вектора.

     > х
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 4 8 3
    [2,] 6 0 7
    [3,] 1 2 9
    > х [1: 4]
    [1] 4 6 1 8
    > х [c (3,5,7)]
    [1] 1 0 3
      

    Использование логического вектора в качестве индекса


    Два логических вектора могут использоваться для индексации матрицы. В такой ситуации возвращаются строки и столбцы, в которых значение ИСТИНА . Эти векторы индексации при необходимости повторно используются и могут быть смешаны с целочисленными векторами.

     > х
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 4 8 3
    [2,] 6 0 7
    [3,] 1 2 9
    > x [c (ИСТИНА, ЛОЖЬ, ИСТИНА), c (ИСТИНА, ИСТИНА, ЛОЖЬ)]
    [, 1] [, 2]
    [1,] 4 8
    [2,] 1 2
    > x [c (TRUE, FALSE), c (2,3)] # двухэлементный логический вектор перерабатывается в трехэлементный вектор
    [, 1] [, 2]
    [1,] 8 3
    [2,] 2 9
      

    Также возможно индексирование с использованием одного логического вектора, в котором при необходимости выполняется повторное использование.

     > x [c (ИСТИНА, ЛОЖЬ)]
    [1] 4 1 0 3 9
      

    В приведенном выше примере матрица x обрабатывается как вектор, сформированный путем наложения столбцов матрицы один за другим, то есть (4,6,1,8,0,2,3,7,9) .

    Логический вектор индексации также повторно используется, и поэтому выбираются чередующиеся элементы. Это свойство используется для фильтрации элементов матрицы, как показано ниже.

     > x [x> 5] # выбрать элементы больше 5
    [1] 6 8 7 9
    > x [x %% 2 == 0] # выбрать четные элементы
    [1] 4 6 8 0 2
      

    Использование вектора символов в качестве индекса


    Индексирование с помощью вектора символов возможно для матрицы с именованной строкой или столбцом.Это может быть смешано с целочисленным или логическим индексированием.

     > х
    А Б В
    [1,] 4 8 3
    [2,] 6 0 7
    [3,] 1 2 9
    > x [, "A"]
    [1] 4 6 1
    > x [ИСТИНА, c ("A", "C")]
    А С
    [1,] 4 3
    [2,] 6 7
    [3,] 1 9
    > x [2: 3, c («A», «C»)]
    А С
    [1,] 6 7
    [2,] 1 9
      

    Как изменить матрицу в R?

    Мы можем комбинировать оператор присваивания с описанными выше методами доступа к элементам матрицы для ее изменения.

     > х
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 5 8
    [3,] 3 6 9
    > x [2,2] <- 10; x # изменить отдельный элемент
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 10 8
    [3,] 3 6 9
    > x [x <5] <- 0; x # изменить элементы меньше 5
    [, 1] [, 2] [, 3]
    [1,] 0 0 7
    [2,] 0 10 8
    [3,] 0 6 9
      

    Обычная операция с матрицей - это транспо.

    Манекены игры Matrix Скачать бесплатно для Windows

    Org-Matters Solutions Inc.14 Коммерческий

    Это дешевле и проще, чем покупать и маркировать 200 бумажных папок.

    Anuman Interactive 1 Коммерческий

    Найдите своих предков, используя личные и публичные записи.

    ANUMAN Interactive S.A. 11 Коммерческий

    Домашний бюджет для чайников - для эффективного управления своим бюджетом.

    ANUMAN Interactive S.A. 16 Коммерческий

    Повысьте качество фотографий с помощью простых инструментов редактирования.

    2 Оберон Медиа 21 год Условно-бесплатное ПО

    Solitaire For Dummies - ваш билет в идеальную стопку карт.

    2 Оберон Медиа 19 Условно-бесплатное ПО

    Развивайте свой мозг, ежедневно играя в эту веселую игру!

    Программное обеспечение Betelgeuse 21 год Условно-бесплатное ПО

    Расслабьтесь и получайте удовольствие, устраняя пары фигурок в Матрице, чтобы выиграть игру.Ваш г ....

    12 Atari, Inc. 1,471 Коммерческий

    Игра, в которой игрок может сыграть за выбранного: NEO.

    5 Papertoys.com 30 Бесплатное ПО

    Tic Tac Toe Game - бесплатная игра, в которой вы можете играть против компьютера.

    2 Двенадцать интерактивных 251 Условно-бесплатное ПО

    - это приключенческая видеоигра, в которую можно играть на 4 различных платформах.

    1 Microgameplay 9 Условно-бесплатное ПО

    Сыграйте в эту фантастическую игру-головоломку - Матрица Судоку 2.03.

    3 Программное обеспечение для ПК 203 Условно-бесплатное ПО

    Улучшает приложения, устанавливая приоритеты производительности ЦП на основе матричного анализа.

    ePlaybus.com 12 Бесплатное ПО

    Это позволяет вам разблокировать новые скины, когда вы злоупотребляете манекенами для краш-тестов.

    2 Программное обеспечение Hamumu 31 год Бесплатное ПО

    Цель этой игры - собрать все свитки и уничтожить все учебные манекены.

    1 Команда Spring 19 Бесплатное ПО

    Это игра, в которой компьютерные системы, хакеры и сети ведут матричную войну.

    16 Программное обеспечение GraphNow 35 год Условно-бесплатное ПО

    Visual Matrix - это калькулятор для матричных операций и разложения матриц.

    5 KellySoftware 816 Бесплатное ПО

    Заставка, в которой используется оригинальный шрифт Matrix из фильма «Матрица».

    1 Emotion Rays Entertainment Group 54 Условно-бесплатное ПО

    Получите плавную матрицу из фильма «Матрица» для своего рабочего стола!

    1 ff Softworks Условно-бесплатное ПО

    Matrix Mania - это настраиваемая трехмерная заставка с темой «Матрица».

    Astro Gemini 7 Условно-бесплатное ПО

    3D Matrix Screensaver вы перенесете вас в Матрицу, чтобы узнать ее секреты.

    1 3d-заставки 55 Бесплатное ПО

    Free Matrix Reality Screensaver перенесет вас в мир Матрицы.

    3 SMA Solar Technology AG 26 Бесплатное ПО

    Sunny Matrix Admin Tool - это программное обеспечение для администрирования Sunny Matrix.

    Модель

    .матричная функция | R Документация

    Матрицы конструктивного проектирования

    model.matrix создает матрицу проекта (или модели), например, по расширяющиеся факторы до набора фиктивных переменных (в зависимости от контрасты) и аналогично расширяют взаимодействия.

    Ключевые слова
    модели
    Использование
      model.matrix (object,…) 

    # Метод S3 по умолчанию модель.матрица (объект, данные = среда (объект), Contrasts.arg = NULL, xlev = NULL,…)

    Аргументы
    объект

    объект соответствующего класса. По умолчанию метод, формула модели или объект условий .

    данные

    фрейм данных, созданный с помощью модели . фрейм . Если объект другого сорта, модель .фрейм вызывается первым.

    contrasts.arg

    список, записи которого являются значениями (числовые матрицы, функция s или именование символьных строк функции), которые будут использоваться как значения замены для контрастирует функция замены и чьи имена являются именами столбцы данных , содержащие фактор s.

    xlev

    для использования в качестве аргумента модели .кадр , если data таковы, что вызывается model.frame .

    дополнительных аргумента, переданных другим методам или от них.

    Детали

    model.matrix создает матрицу дизайна из описания задано в терминах (объект) , используя данные в данные , которые должен предоставлять переменные с теми же именами, которые были бы созданы Звоните на модель .кадр (объект) или, точнее, оценивая attr (условия (объект), «переменные») . Если данные - это данные кадра, могут быть другие столбцы, и порядок столбцов не важный. Любые символьные переменные приводятся к факторам. После принуждения, все переменные, используемые в правой части формула должна быть логической, целочисленной, числовой или множительной.

    Если для коэффициента указано значение contrasts.arg , он имеет приоритет над кодирование коэффициента по умолчанию для этой переменной и любых «контрастов» атрибут, установленный параметром C или , контрастирует .В то время как недопустимые значения contrasts.arg всегда игнорировались, они предупреждал, начиная с версии R 3.6.0.

    В термине взаимодействия переменная, уровни которой изменяются быстрее всего, - это первый, который появится в формуле (а не в члене), поэтому в ~ a + b + b: a взаимодействие будет иметь a различных самый быстрый.

    По соглашению, если переменная ответа также появляется в правая часть формулы опущена (с предупреждением), хотя взаимодействия, связанные с этим термином, сохраняются.

    Значение

    Матрица плана для регрессионной модели с указанной формулой и данные.

    Имеется атрибут "assign" , целочисленный вектор с записью для каждого столбца в матрице, содержащего член формулы, который дали начало колонне. Значение 0 соответствует точке пересечения (если есть), и положительные значения для терминов в порядке, заданном term.labels атрибут структуры terms соответствует объекту .

    Если в модели присутствуют факторы в терминах, то имеется атрибут «противопоставляет» , именованный список с записью для каждого фактора. Этот определяет контрасты, которые будут использоваться в терминах, в которых фактор кодируется контрастами (в некоторых терминах может использоваться фиктивное кодирование), либо как вектор символов, называющий функцию, либо как числовую матрицу.

    Список литературы

    Чемберс, Дж. М. (1992) Данные для моделей. Глава 3 из Статистические модели в S редакторы Дж. М. Чемберс и Т. Дж. Хасти, Wadsworth & Brooks / Cole.

    См. Также

    модель рама , модель экстракт , термины

    разреженная. Модель. Матрица из упаковки Матрица для создания разреженных матриц моделей, которые могут быть более эффективным в больших габаритах.

    Псевдонимы
    • модель.матрица
    • model.matrix.default
    • модель.matrix.lm
    Примеры

    библиотека (статистика) # NOT RUN { ff <- log (Объем) ~ log (Высота) + log (Обхват) utils :: str (m <- model.frame (ff, деревья)) mat <- model.matrix (ff, m) dd <- data.frame (a = gl (3,4), b = gl (4,1,12)) # сбалансированный двусторонний options ("контрасты") # обычно 'обработка' (для неупорядоченных факторов) модель.матрица (~ a + b, dd) model.matrix (~ a + b, dd, contrasts = list (a = "contr.sum")) model.matrix (~ a + b, dd, contrasts = list (a = "contr.sum", b = contr.poly)) m.orth <- model.matrix (~ a + b, dd, contrasts = list (a = "contr.helmert")) crossprod (m.orth) # m.orth ПОЧТИ ортогонален # недопустимые контрасты .. игнорируются с предупреждением: стопифнот (идентичный ( модель. матрица (~ a + b, dd), model.matrix (~ a + b, dd, contrasts.arg = "contr.FOO"))) #}

    Документация воспроизведена из статистики пакета, версия 3.6.2, Лицензия: Часть R 3.6.2

    Примеры сообщества

    Похоже, примеров пока нет.

    Умножение матриц в C | Упрощенное программирование

    Вы находитесь здесь


    Умножение матриц на языке C для вычисления произведения двух матриц (двумерных массивов). Пользователь вводит порядки и элементы матриц.Если умножение невозможно, отображается сообщение об ошибке. Возможно, вы изучали метод умножения матриц по математике.

    Умножение матриц в языке C

    #include

    int main ()
    {
    int m, n, p, q, c, d, k, sum = 0;
    int первый [10] [10], второй [10] [10], умножить [10] [10];

    printf ("Введите количество строк и столбцов первой матрицы \ n");
    scanf ("% d% d", & m, & n);
    printf ("Ввести элементы первой матрицы \ n");

    для (c = 0; c для (d = 0; d scanf ("% d", & first [c] [d]);

    printf ("Введите количество строк и столбцов второй матрицы \ n");
    scanf ("% d% d", & p, & q);

    if (n! = P)
    printf ("Умножение невозможно.\ n ");
    else
    {
    printf (" Введите элементы второй матрицы \ n ");

    для (c = 0; c для (d = 0; d scanf ("% d", & second [c] [d]);

    для (c = 0; c для (d = 0; d для (k = 0; k sum = sum + first [c] [k] * second [k] [d];
    }

    multiply [c] [d] = sum;
    sum = 0;
    }
    }

    printf ("Произведение матриц: \ n");

    для (c = 0; c для (d = 0; d printf ( "% d \ t", multiply [c] [d]);

    printf ("\ n");
    }
    }

    return 0;
    }

    Вывод программы C умножения матриц 3 X 3:

    Скачать программу умножения матрицы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *