1000 факториал: Точное вычисление 1000!

Содержание

Таблица факториалов до 50

Таблица факториалов до 50

Главная > ф >

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
Например: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Принято: 0! = 1.

В таблице приведены значения факториалов для чисел от 0 до 50.

число факториал числа
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5040
8! 40320
9! 362880
10! 3628800
11! 39916800
12! 479001600
13! 6227020800
14! 87178291200
15! 1307674368000
16! 20922789888000
17! 355687428096000
18! 6402373705728000
19! 121645100408832000
20! 2432902008176640000
21! 51090942171709440000
22! 1124000727777607680000
23! 25852016738884976640000
24! 620448401733239439360000
25! 15511210043330985984000000
26! 403291461126605635584000000
27! 10888869450418352160768000000
28! 304888344611713860501504000000
29! 8841761993739701954543616000000
30! 265252859812191058636308480000000
31! 8222838654177922817725562880000000
32! 263130836933693530167218012160000000
33! 8683317618811886495518194401280000000
34! 295232799039604140847618609643520000000
35! 10333147966386144929666651337523200000000
36! 371993326789901217467999448150835200000000
37! 13763753091226345046315979581580902400000000
38! 523022617466601111760007224100074291200000000
39! 20397882081197443358640281739902897356800000000
40! 815915283247897734345611269596115894272000000000
41! 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42! 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43! 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44! 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45! 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46! 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47! 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48! 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49! 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50! 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

 

 

comments powered by HyperComments

Таблица факториалов

Таблица факториалов
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5 040
8!40 320
9!362 880
10!3 628 800
11!39 916 800
12!479 001 600
13!6 227 020 800
14!87 178 291 200
15!1 307 674 368 000
16!20 922 789 888 000
17!355 687 428 096 000
18!6 402 373 705 728 000
19!121 645 100 408 832 000
20!2 432 902 008 176 640 000
21!51 090 942 171 709 440 000
22!1 124 000 727 777 607 680 000
23!25 852 016 738
884 976 640 000
24!620 448 401 733
239 439 360 000
25!15 511 210 043
330 985 984 000 000
26!403 291 461 126
605 635 584 000 000
27!10 888 869 450 418
352 160 768 000 000
28!304 888 344 611 713
860 501 504 000 000
29!8 841 761 993 739 701
954 543 616 000 000
30!265 252 859 812 191 058
636 308 480 000 000

— версия для печати
Определение (что такое факториал)
Факториал числа — результат последовательного умножения числа на все натуральные числа меньшие данного числа и большие единицы. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа — «n!».
Факториал натурального числа n можно также определить как рекуррентную функцию F (n). Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1;
F (n)
= n * F (n-1).
Пример:
7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040
Не стоит забывать
По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.
Полезный факт
Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н. Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи Π! приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

Факториал натурального числа n: как вычислить, формула

Факториал натурального числа n пишется как n! и считается как произведение всех натуральных чисел от 1 до n (включительно).

Для n>0:

n! = 1 * 2 * 3 * 4 … * n

Для n=0:

0! = 1

Формула для определения факториала

Примеры:

1! = 1

2! = 1*2 = 2

3! = 1*2*3 = 6

4! = 1*2*3*4 = 24

5! = 1*2*3*4*5 = 120

Рекуррентная формула факториала

Примеры:

5! = 5*(5-1)! = 5×4! = 5×24 = 120

7! = 7*(7-1)! = 7×6! = 5×720 = 5040

Формула Стирлинга

Используется для приблизительного нахождения факториала.

Пример:

Таблица факториалов

Число n Факториал n!
0
1
1 1
2 2
3
6
4 24
5 120
6 720
7
5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 3,991680×107
12 4,790016×108
13 6,227021×109
14 8,717829×1010
15 1,307674×1012
16 2,092279×1013
17 3,556874×1014
18 6,402374×1015
19 1,216451×1017
20 2,432902×1018

microexcel.ru

Факториал — Википедия

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

Из определения факториала следует соотношение (n−1)!=n!n{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}, откуда при n=1{\displaystyle n=1} формально находим

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
25 ≈1,551121004 × 1025
50 ≈3,041409320 × 1064
70 ≈1,197857167 × 10100
100 ≈9,332621544 × 10157
450 ≈1,733368733 × 101000
1000 ≈4,023872601 × 102567
3249 ≈6,412337688 × 1010000
10000 ≈2,846259681 × 1035659
25206 ≈1,205703438 × 10100000
100000 ≈2,824229408 × 10456573
205023 ≈2,503898932 × 101000004
1000000 ≈8,263931688 × 105565708
10100 ≈109,956570552 × 10101
101000 ≈10101003
1010 000 ≈101010 004
10100 000 ≈1010100 005
1010100 ≈101010100

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция nn{\displaystyle n^{n}} растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например een{\displaystyle e^{e^{n}}}.

Свойства

Рекуррентная формула

n!={1n=0,n⋅(n−1)!n>0.{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1{\displaystyle 0!=1}. Так, формула для числа размещений из n{\displaystyle n} элементов по m{\displaystyle m}

Anm=n!(n−m)!{\displaystyle A_{n}^{m}={\frac {n!}{(n-m)!}}}

при n=m{\displaystyle n=m} обращается в формулу для числа перестановок из n{\displaystyle n} элементов (порядка n{\displaystyle n}), которое равно n!{\displaystyle n!}.

Связь с гамма-функцией

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

n!=Γ(n+1){\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n=−1,−2,−3…{\displaystyle n=-1,-2,-3\ldots }.

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция Π(z)=Γ(z+1){\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}, которая при Re(z)>−1{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1} может быть определена как

Π(z)=∫0∞tze−tdt{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t} (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: Π(n)=n!{\displaystyle \Pi (n)=n!}. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению Π(z)=zΠ(z−1){\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)}.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

n!=2πn(ne)n(1+112n+1288n2−13951840n3−5712488320n4+163879209018880n5+524681975246796800n6+O(n−7)),{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}

см. O-большое[1].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

При этом можно утверждать, что

2πn(ne)ne1/(12n+1)<n!<2πn(ne)ne1/(12n).{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.}

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

  • 100! ≈ 9,33×10157;
  • 1000! ≈ 4,02×102567;
  • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+….{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .}

Таким образом,

n!=∏pp⌊np⌋+⌊np2⌋+…,{\displaystyle n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },}

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, следовательно произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

(xn)(n)=n!{\displaystyle \left(x^{n}\right)^{(n)}=n!}

Например:

(x5)(5)=(5⋅x4)(4)=(5⋅4⋅x3)‴=(5⋅4⋅3⋅x2)″=(5⋅4⋅3⋅2⋅x)′=5⋅4⋅3⋅2⋅1=5!{\displaystyle \left(x^{5}\right)^{(5)}=\left(5\cdot x^{4}\right)^{(4)}=\left(5\cdot 4\cdot x^{3}\right)»’=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot x^{2}\right)»=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot x\right)’={5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5!}

Другие свойства

Для натурального числа n:
n!2⩾nn⩾n!⩾n{\displaystyle n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n}
Для любого n>1:
n!{\displaystyle n!} не является квадратом целого числа.

История

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n!{\displaystyle n!} предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} была неопределённая константа)[3].

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

(12)!=π2{\displaystyle \left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение[4]:

x!=limm→∞mxm!(x+1)(x+2)…(x+m){\displaystyle x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)}}}

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Санкт-Петербургской Академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

n!!=2⋅4⋅6⋅…⋅n=∏i=1n22i=21n2⋅(n2)!{\displaystyle n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}2i=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!}
  • Для нечётного n:
n!!=1⋅3⋅5⋅…⋅n=∏i=0n−12(2i+1)=n!21n−12⋅(n−12)!{\displaystyle n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{i=0}^{\frac {n-1}{2}}(2i+1)={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

n!!=(n+1)!(n+1)!!{\displaystyle n!!={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}}
  • Для нечётного n:
n!!=n!(n−1)!!{\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}}

Выведение формул

Осуществив замену n=2k{\displaystyle n=2k} для чётного n и n=2k+1{\displaystyle n=2k+1} для нечётного n соответственно, где k{\displaystyle k} — целое неотрицательное число, получим:

  • для чётного числа:
(2k)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2k=∏i=1k2i=2k⋅k!{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!}
  • для нечётного числа:
(2k+1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2k+1)=∏i=0k(2i+1)=(2k+1)!2k⋅k!{\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}}

По договорённости: 0!!=1{\displaystyle 0!!=1}. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!!=20⋅0!=1⋅1=1{\displaystyle 0!!=2^{0}\cdot 0!=1\cdot 1=1}

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так[5]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается n!!…!⏟m{\displaystyle \textstyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}} и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде n=mk−r,{\displaystyle n=mk-r,} где k∈Z,{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} r∈{0,1,…,m−1}.{\displaystyle r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.} Тогда[6]

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r){\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)}

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[7]:

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r)=mk⋅Γ(k−rm+1)Γ(1−rm).{\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.}

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

(n)k=nk_=n[k]=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=n!(n−k)!=∏i=n−k+1ni{\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}=\prod _{i=n-k+1}^{n}i}.

Например:

n = 7; k = 4,
(nk) + 1 = 4,
nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

n(k)=nk¯=n⋅(n+1)⋅…⋅(n+k−1)=(n+k−1)!(n−1)!=∏i=n(n+k)−1i.{\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}=\prod _{i=n}^{(n+k)-1}i.}

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

p5#=2×3×5×7×11=2310{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}.

Иногда праймориалом называют число n#{\displaystyle n\#}, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая 1#≡1{\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) начинается так[8]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Симон Плуффэ (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

sf⁡(4)=1!×2!×3!×4!=288{\displaystyle \operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288}

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

sf⁡(n)=∏k=1nk!=∏k=1nkn−k+1=1n⋅2n−1⋅3n−2⋯(n−1)2⋅n1.{\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так[9]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так[10]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

mf⁡(n,m)=mf⁡(n−1,m)mf⁡(n,m−1)=∏k=1nk(n−k+m−1n−k),{\displaystyle \operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},}

где mf⁡(n,0)=n{\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для n>0{\displaystyle n>0} и mf⁡(0,m)=1.{\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также

Примечания

  1. ↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
  2. ↑ Крамп, Кристиан
  3. ↑ Pearson, Karl (1924), «Historical note on the origin of the normal curve of errors», Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
  4. Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
  5. ↑ Последовательность A006882 в OEIS
  6. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
  7. ↑ wolframalpha.com.
  8. ↑ Последовательность A002110 в OEIS
  9. ↑ Последовательность A000178 в OEIS
  10. ↑ Последовательность A055462 в OEIS

Факториал — Википедия

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

Из определения факториала следует соотношение (n−1)!=n!n{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}, откуда при n=1{\displaystyle n=1} формально находим

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
25 ≈1,551121004 × 1025
50 ≈3,041409320 × 1064
70 ≈1,197857167 × 10100
100 ≈9,332621544 × 10157
450 ≈1,733368733 × 101000
1000 ≈4,023872601 × 102567
3249 ≈6,412337688 × 1010000
10000 ≈2,846259681 × 1035659
25206 ≈1,205703438 × 10100000
100000 ≈2,824229408 × 10456573
205023 ≈2,503898932 × 101000004
1000000 ≈8,263931688 × 105565708
10100 ≈109,956570552 × 10101
101000 ≈10101003
1010 000 ≈101010 004
10100 000 ≈1010100 005
1010100 ≈101010100

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция nn{\displaystyle n^{n}} растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например een{\displaystyle e^{e^{n}}}.

Свойства

Рекуррентная формула

n!={1n=0,n⋅(n−1)!n>0.{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1{\displaystyle 0!=1}. Так, формула для числа размещений из n{\displaystyle n} элементов по m{\displaystyle m}

Anm=n!(n−m)!{\displaystyle A_{n}^{m}={\frac {n!}{(n-m)!}}}

при n=m{\displaystyle n=m} обращается в формулу для числа перестановок из n{\displaystyle n} элементов (порядка n{\displaystyle n}), которое равно n!{\displaystyle n!}.

Связь с гамма-функцией

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

n!=Γ(n+1){\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n=−1,−2,−3…{\displaystyle n=-1,-2,-3\ldots }.

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция Π(z)=Γ(z+1){\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}, которая при Re(z)>−1{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1} может быть определена как

Π(z)=∫0∞tze−tdt{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t} (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: Π(n)=n!{\displaystyle \Pi (n)=n!}. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению Π(z)=zΠ(z−1){\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)}.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

n!=2πn(ne)n(1+112n+1288n2−13951840n3−5712488320n4+163879209018880n5+524681975246796800n6+O(n−7)),{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}

см. O-большое[1].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

При этом можно утверждать, что

2πn(ne)ne1/(12n+1)<n!<2πn(ne)ne1/(12n).{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.}

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

  • 100! ≈ 9,33×10157;
  • 1000! ≈ 4,02×102567;
  • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+….{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .}

Таким образом,

n!=∏pp⌊np⌋+⌊np2⌋+…,{\displaystyle n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },}

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, следовательно произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

(xn)(n)=n!{\displaystyle \left(x^{n}\right)^{(n)}=n!}

Например:

(x5)(5)=(5⋅x4)(4)=(5⋅4⋅x3)‴=(5⋅4⋅3⋅x2)″=(5⋅4⋅3⋅2⋅x)′=5⋅4⋅3⋅2⋅1=5!{\displaystyle \left(x^{5}\right)^{(5)}=\left(5\cdot x^{4}\right)^{(4)}=\left(5\cdot 4\cdot x^{3}\right)»’=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot x^{2}\right)»=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot x\right)’={5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5!}

Другие свойства

Для натурального числа n:
n!2⩾nn⩾n!⩾n{\displaystyle n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n}
Для любого n>1:
n!{\displaystyle n!} не является квадратом целого числа.

История

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n!{\displaystyle n!} предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} была неопределённая константа)[3].

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

(12)!=π2{\displaystyle \left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение[4]:

x!=limm→∞mxm!(x+1)(x+2)…(x+m){\displaystyle x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)}}}

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Санкт-Петербургской Академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

n!!=2⋅4⋅6⋅…⋅n=∏i=1n22i=21n2⋅(n2)!{\displaystyle n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}2i=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!}
  • Для нечётного n:
n!!=1⋅3⋅5⋅…⋅n=∏i=0n−12(2i+1)=n!21n−12⋅(n−12)!{\displaystyle n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{i=0}^{\frac {n-1}{2}}(2i+1)={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

n!!=(n+1)!(n+1)!!{\displaystyle n!!={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}}
  • Для нечётного n:
n!!=n!(n−1)!!{\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}}

Выведение формул

Осуществив замену n=2k{\displaystyle n=2k} для чётного n и n=2k+1{\displaystyle n=2k+1} для нечётного n соответственно, где k{\displaystyle k} — целое неотрицательное число, получим:

  • для чётного числа:
(2k)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2k=∏i=1k2i=2k⋅k!{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!}
  • для нечётного числа:
(2k+1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2k+1)=∏i=0k(2i+1)=(2k+1)!2k⋅k!{\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}}

По договорённости: 0!!=1{\displaystyle 0!!=1}. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!!=20⋅0!=1⋅1=1{\displaystyle 0!!=2^{0}\cdot 0!=1\cdot 1=1}

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так[5]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается n!!…!⏟m{\displaystyle \textstyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}} и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде n=mk−r,{\displaystyle n=mk-r,} где k∈Z,{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} r∈{0,1,…,m−1}.{\displaystyle r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.} Тогда[6]

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r){\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)}

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[7]:

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r)=mk⋅Γ(k−rm+1)Γ(1−rm).{\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.}

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

(n)k=nk_=n[k]=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=n!(n−k)!=∏i=n−k+1ni{\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}=\prod _{i=n-k+1}^{n}i}.

Например:

n = 7; k = 4,
(nk) + 1 = 4,
nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

n(k)=nk¯=n⋅(n+1)⋅…⋅(n+k−1)=(n+k−1)!(n−1)!=∏i=n(n+k)−1i.{\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}=\prod _{i=n}^{(n+k)-1}i.}

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

p5#=2×3×5×7×11=2310{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}.

Иногда праймориалом называют число n#{\displaystyle n\#}, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая 1#≡1{\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) начинается так[8]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Симон Плуффэ (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

sf⁡(4)=1!×2!×3!×4!=288{\displaystyle \operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288}

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

sf⁡(n)=∏k=1nk!=∏k=1nkn−k+1=1n⋅2n−1⋅3n−2⋯(n−1)2⋅n1.{\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так[9]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так[10]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

mf⁡(n,m)=mf⁡(n−1,m)mf⁡(n,m−1)=∏k=1nk(n−k+m−1n−k),{\displaystyle \operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},}

где mf⁡(n,0)=n{\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для n>0{\displaystyle n>0} и mf⁡(0,m)=1.{\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также

Примечания

  1. ↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
  2. ↑ Крамп, Кристиан
  3. ↑ Pearson, Karl (1924), «Historical note on the origin of the normal curve of errors», Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
  4. Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
  5. ↑ Последовательность A006882 в OEIS
  6. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
  7. ↑ wolframalpha.com.
  8. ↑ Последовательность A002110 в OEIS
  9. ↑ Последовательность A000178 в OEIS
  10. ↑ Последовательность A055462 в OEIS

Подсчет конечных нулей факториала числа в любой системе счисления / Хабр

Как я могу посчитать количество конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления?


Давайте рассмотрим случай, когда мы находимся в 10-й системе счисления, а затем посмотрим, как мы можем обобщить это в универсальное решение. Нам дано число N и для его факториала нужно найти количество конечных нулей. Решение будет довольно простым — сумма:
Math.floor(N/5) + Math.floor(N/25) + Math.floor(N/125) + Math.floor(N/625) + ...

Её мы можем обобщить в такую формулу:

Почему 5? Это просто. Конечный ноль получается только тогда, когда в составе факториала число имеет 10. Таким образом, посчитав количество десяток в факториале, мы узнаем количество конечных нулей.

Почему в примере выше мы делим на 5? Потому что 10 может быть получено умножением 5 на 2. Поэтому полное решение будет иметь две формулы:

и

Но, рассуждая логически, мы знаем, что первая сумма будет меньше, поэтому нам нужно посчитать только её (подробнее можно почитать тут).

Решение нашей проблемы


Для подсчёта конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления я составил алгоритм, приведенный ниже:
  1. Разложить число B системы счисления на простые множители.
  2. Разделить число N на каждый уникальной простой множитель K, домножая K сам на себя до тех пор, пока будет больше единицы, при этом округляя каждый результат до меньшего целого.
  3. Если при разложении числа системы счисления мы получили несколько одинаковых простых множителей K, то результат выше мы должны разделить на количество одинаковых K.
  4. Из всех делений N на каждый уникальный множитель K выбрать наименьшее частное, которое и будет нашим ответом.

Я покажу это на примере.
Пусть число N = 5, система счисления B = 12. Факториал 5! = 120, а 120 в 12-ой системе — A0. Мы видим, что в конечной системе счисления факториал исходного числа имеет один ноль. При разложении 12 на простые множители получим 2, 2, 3. У нас есть два уникальных числа: 2 и 3. Следуя нашему алгоритму выполним пункт 2 с числом 2.

Но двойка встречалась дважды при разложении 12-и, поэтому конечный результат мы делим на 2 и округляем до меньшего целого. В результате получаем 1.

Проделываем тоже самое с 3:

Таким образом, мы получили два частных от делений числа N на простые множители числа системы счисления. Они оба равны 1, поэтому меньшее нам выбирать не приходится и мы просто даем ответ — 1.

Рассмотрим еще один пример.

Пусть число N = 16, система счисления B = 16. Факториал 16! = 20922789888000, а 20922789888000 в 16-ой системе — 130777758000. Мы видим, что в конечной системе счисления факториал исходного числа имеет три ноля. При разложении 16 на простые множители, получим 2, 2, 2, 2. Здесь у нас только одно уникальное число, поэтому пункт 2 выполняется только один раз:

При разложении у нас было четыре двойки, поэтому сумму делений делим на 4 с округлением до меньшего целого:

P.S. Большую часть материала для поста перевел отсюда. Автор — Aditya Ramesh.

Факториал — Википедия. Что такое Факториал

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

Из определения факториала следует соотношение (n−1)!=n!n{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}, откуда при n=1{\displaystyle n=1} формально находим

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
25 ≈1,551121004 × 1025
50 ≈3,041409320 × 1064
70 ≈1,197857167 × 10100
100 ≈9,332621544 × 10157
450 ≈1,733368733 × 101000
1000 ≈4,023872601 × 102567
3249 ≈6,412337688 × 1010000
10000 ≈2,846259681 × 1035659
25206 ≈1,205703438 × 10100000
100000 ≈2,824229408 × 10456573
205023 ≈2,503898932 × 101000004
1000000 ≈8,263931688 × 105565708
10100 ≈109,956570552 × 10101
101000 ≈10101003
1010 000 ≈101010 004
10100 000 ≈1010100 005
1010100 ≈101010100

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция nn{\displaystyle n^{n}} растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например een{\displaystyle e^{e^{n}}}.

Свойства

Рекуррентная формула

n!={1n=0,n⋅(n−1)!n>0.{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1{\displaystyle 0!=1}. Так, формула для числа размещений из n{\displaystyle n} элементов по m{\displaystyle m}

Anm=n!(n−m)!{\displaystyle A_{n}^{m}={\frac {n!}{(n-m)!}}}

при n=m{\displaystyle n=m} обращается в формулу для числа перестановок из n{\displaystyle n} элементов (порядка n{\displaystyle n}), которое равно n!{\displaystyle n!}.

Связь с гамма-функцией

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

n!=Γ(n+1){\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n=−1,−2,−3…{\displaystyle n=-1,-2,-3\ldots }.

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция Π(z)=Γ(z+1){\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}, которая при Re(z)>−1{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1} может быть определена как

Π(z)=∫0∞tze−tdt{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t} (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: Π(n)=n!{\displaystyle \Pi (n)=n!}. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению Π(z)=zΠ(z−1){\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)}.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

n!=2πn(ne)n(1+112n+1288n2−13951840n3−5712488320n4+163879209018880n5+524681975246796800n6+O(n−7)),{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}

см. O-большое[1].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

При этом можно утверждать, что

2πn(ne)ne1/(12n+1)<n!<2πn(ne)ne1/(12n).{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.}

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

  • 100! ≈ 9,33×10157;
  • 1000! ≈ 4,02×102567;
  • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+….{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .}

Таким образом,

n!=∏pp⌊np⌋+⌊np2⌋+…,{\displaystyle n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },}

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, следовательно произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

(xn)(n)=n!{\displaystyle \left(x^{n}\right)^{(n)}=n!}

Например:

(x5)(5)=(5⋅x4)(4)=(5⋅4⋅x3)‴=(5⋅4⋅3⋅x2)″=(5⋅4⋅3⋅2⋅x)′=5⋅4⋅3⋅2⋅1=5!{\displaystyle \left(x^{5}\right)^{(5)}=\left(5\cdot x^{4}\right)^{(4)}=\left(5\cdot 4\cdot x^{3}\right)»’=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot x^{2}\right)»=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot x\right)’={5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5!}

Другие свойства

Для натурального числа n:
n!2⩾nn⩾n!⩾n{\displaystyle n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n}
Для любого n>1:
n!{\displaystyle n!} не является квадратом целого числа.

История

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n!{\displaystyle n!} предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} была неопределённая константа)[3].

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

(12)!=π2{\displaystyle \left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение[4]:

x!=limm→∞mxm!(x+1)(x+2)…(x+m){\displaystyle x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)}}}

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Санкт-Петербургской Академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

n!!=2⋅4⋅6⋅…⋅n=∏i=1n22i=21n2⋅(n2)!{\displaystyle n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}2i=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!}
  • Для нечётного n:
n!!=1⋅3⋅5⋅…⋅n=∏i=0n−12(2i+1)=n!21n−12⋅(n−12)!{\displaystyle n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{i=0}^{\frac {n-1}{2}}(2i+1)={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

n!!=(n+1)!(n+1)!!{\displaystyle n!!={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}}
  • Для нечётного n:
n!!=n!(n−1)!!{\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}}

Выведение формул

Осуществив замену n=2k{\displaystyle n=2k} для чётного n и n=2k+1{\displaystyle n=2k+1} для нечётного n соответственно, где k{\displaystyle k} — целое неотрицательное число, получим:

  • для чётного числа:
(2k)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2k=∏i=1k2i=2k⋅k!{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!}
  • для нечётного числа:
(2k+1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2k+1)=∏i=0k(2i+1)=(2k+1)!2k⋅k!{\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}}

По договорённости: 0!!=1{\displaystyle 0!!=1}. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!!=20⋅0!=1⋅1=1{\displaystyle 0!!=2^{0}\cdot 0!=1\cdot 1=1}

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так[5]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается n!!…!⏟m{\displaystyle \textstyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}} и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде n=mk−r,{\displaystyle n=mk-r,} где k∈Z,{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} r∈{0,1,…,m−1}.{\displaystyle r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.} Тогда[6]

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r){\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)}

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[7]:

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r)=mk⋅Γ(k−rm+1)Γ(1−rm).{\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.}

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

(n)k=nk_=n[k]=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=n!(n−k)!=∏i=n−k+1ni{\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}=\prod _{i=n-k+1}^{n}i}.

Например:

n = 7; k = 4,
(nk) + 1 = 4,
nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

n(k)=nk¯=n⋅(n+1)⋅…⋅(n+k−1)=(n+k−1)!(n−1)!=∏i=n(n+k)−1i.{\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}=\prod _{i=n}^{(n+k)-1}i.}

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

p5#=2×3×5×7×11=2310{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}.

Иногда праймориалом называют число n#{\displaystyle n\#}, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая 1#≡1{\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) начинается так[8]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Симон Плуффэ (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

sf⁡(4)=1!×2!×3!×4!=288{\displaystyle \operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288}

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

sf⁡(n)=∏k=1nk!=∏k=1nkn−k+1=1n⋅2n−1⋅3n−2⋯(n−1)2⋅n1.{\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так[9]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так[10]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

mf⁡(n,m)=mf⁡(n−1,m)mf⁡(n,m−1)=∏k=1nk(n−k+m−1n−k),{\displaystyle \operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},}

где mf⁡(n,0)=n{\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для n>0{\displaystyle n>0} и mf⁡(0,m)=1.{\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также

Примечания

  1. ↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
  2. ↑ Крамп, Кристиан
  3. ↑ Pearson, Karl (1924), «Historical note on the origin of the normal curve of errors», Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
  4. Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
  5. ↑ Последовательность A006882 в OEIS
  6. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
  7. ↑ wolframalpha.com.
  8. ↑ Последовательность A002110 в OEIS
  9. ↑ Последовательность A000178 в OEIS
  10. ↑ Последовательность A055462 в
Факториальный калькулятор

n!

Использование калькулятора

Вместо того, чтобы вычислять факториал по одной цифре за раз, используйте этот калькулятор для вычисления факториала n! числа n. Введите целое число длиной до 4 цифр. Вы получите длинный целочисленный ответ, а также научную запись для больших факториалов. Вы можете скопировать результат длинного целочисленного ответа и вставить его в другой документ, чтобы просмотреть его.

Что такое факториал?

Факториал — это функция, которая умножает число на каждое число под ним.Например, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Эта функция, среди прочего, используется для определения количества вариантов расположения «n» объектов.

Факториал
Есть! способы организации n различных объектов в упорядоченную последовательность.
n
комплект или население

По математике их нет! способы расположить n объектов по порядку. «Факториал n! Дает количество способов, которыми можно переставить n объектов.»[1] Например:

  • 2 факториал равен 2! = 2 х 1 = 2
    — Есть 2 разных способа расположить числа от 1 до 2. {1,2,} и {2,1}.
  • 4 факториал равен 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24
    — Есть 24 различных способа расположить числа от 1 до 4. {1,2,3,4}, {2,1,3,4}, {2,3,1,4}, {2,3 , 4,1}, {1,3,2,4} и т. Д.
  • 5 факториал равен 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120
  • 0 факториал — это определение: 0! = 1.Есть ровно 1 способ расставить 0 объектов.

Факториальная задача 1

Сколько разных способов можно расположить буквы в слове «документ»?

Для этой задачи мы просто берем количество букв в слове и находим факториал этого числа. Это работает, потому что каждая буква в слове уникальна, и мы просто находим максимальное количество способов, которыми можно заказать 8 элементов.

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40,320


Факторная задача 2

Сколько разных способов можно расположить буквы в слове «физика»?

Эта проблема немного отличается, потому что здесь две буквы «s». Чтобы учесть это, мы делим факториал на количество повторяющихся букв. В слове «физика» 7 букв и две повторяющиеся буквы, поэтому мы должны найти 7! / 2 !.Если бы у слова было несколько дубликатов, например, «маленький», формула была бы 6! / (2! * 2!).

7! / 2! = (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 2,520


Список литературы

[1] Дополнительную информацию о факториалах см. В Факториальная страница в Wolfram MathWorld.

.

Факториалы и конечные нули

Факториалы и конечные нули


Вы, наверное, читаете эту страницу, потому что вам было назначено, казалось бы, невозможное упражнение, что-то вроде «Вот действительно большое число; подумайте его гораздо больший факториал, а затем выясните, сколько нулей в конец умноженного факториала.«

This «конечные нули в «факторном» упражнении довольно легко ответить, если вы подумаете об этом правильно. Ничего особо полезного в Интернете не нашел, Итак, вот небольшой урок о том, как с этим справиться.

  • Найдите количество завершающие нули в расширении 23!
  • Если я попробую воткнуть это в свой калькулятор, я получу что-то в экспоненциальном представлении, потому что ответ слишком велик для отображения на калькуляторе.В практическом плане калькулятор покажет мне начало числа, а я только забота о конце числа («замыкающая» часть). Так что калькулятор не поможет. Попробую расширить факториал:

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 × 17 × 18 × 19 × 20 × 21 × 22 × 23

    Я знаю, что номер получает ноль в конце, если число имеет 10 в качестве множителя.Например, 10 — это коэффициент 50, 120, и 1234567890. Итак, мне нужно выяснить, сколько умножить на 10 — это фактор расширения 23 !.

    Но так как 5 × 2 = 10, мне нужен аккаунт для всех продуктов 5 и 2. Глядя на факторы в приведенном выше расширении, можно увидеть гораздо больше цифр. которые кратны 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …), чем кратные 5 (5, 10, 15 ,…). То есть, если я возьму все числа с 5 в качестве множителя, у меня будет более чем достаточно четных чисел для пары с чтобы получить множители 10 (и еще один конечный ноль на моем факториале). Итак, чтобы найти количество умножение на 10 — это множитель, все, о чем мне действительно нужно беспокоиться, это сколько умножить на 5 множитель во всех числах от 1 до 23.

    Сколько чисел, кратных 5, от 1 до 23? Есть 5, 10, 15, и 20, для четырех кратных 5.В паре с 2 из четных множителей получается четыре деления из 10, итак:

  • Найдите количество завершающие нули в 101!
  • Хорошо, сколько кратных из 5 есть числа от 1 до 101? Есть 5, 10, 15, 20, 25, …

    О, черт возьми; давай сделаем это короткий путь: 100 является ближайшим кратным 5 ниже 101, и 100 ÷ 5 = 20, поэтому там являются двадцатью кратными 5 от 1 до 101.

    Но подождите: 25 — это 5 × 5, поэтому каждое кратное 25 имеет дополнительный коэффициент 5, который мне нужно учитывать. Сколько чисел, кратных 25, от 1 до 101? С 100 ÷ 25 = 4, есть четыре кратных 25 от 1 до 101.

      Добавляя их, я получаю 20+ 4 = 24 конечных нулей в 101!

Это рассуждение расширяется работать с большими числами.

  • Найдите количество завершающие нули в расширении 1000!

    Ладно, есть 1000 ÷ 5 = 200 крат из 5 от 1 до 1000. Следующая степень 5, а именно 25, имеет 1000 ÷ 25 = 40 крат от 1 до 1000. Следующая степень 5, а именно 125, также впишется в расширение и имеет 1000 ÷ 125 = 8 крат от 1 до 1000.Следующая степень 5, а именно 625, также подходит для расширения и имеет 1000 ÷ 625 = 1,6 … мкм, хорошо, 625 имеет 1 кратное от 1 до 1000. (Меня не интересуют кратные 0,6, только один полный кратный, поэтому я усекаю деление до целого числа.)

    Всего у меня 200 + 40 + 8 + 1 = 249 копий множителя 5 в разложении, и, таким образом:

Предыдущий пример выделяет общий метод ответа на этот вопрос, независимо от факториала они дают вам.

  • Возьмите число, которое вам дан факториал.
  • Разделить на 5; если вы получили десятичное число, обрежьте его до целого числа.
  • Разделить на 5 2 = 25; если ты получишь десятичная дробь, округленная до целого числа.
  • Разделить на 5 3 = 125; если ты получишь десятичная дробь, округленная до целого числа.
  • Продолжайте с еще более высоким степени 5, пока ваше деление не даст число меньше 1. Когда деление меньше 1, стоп.
  • Суммировать все целые числа вы попали в свои подразделения.Это количество нулей в конце.

Вот как процесс работ:

  • Сколько в конце нулей можно было бы найти в 4617! , г. при расширении?
  • Приму процедуру сверху:

Кстати, можно получить тот же результат, , если вы отслеживаете по ходу, просто многократно деля в своем калькуляторе по 5: 4617 ÷ 5 = 923.4 (запишите 923), 923,4 ÷ 5 = 184,68 (запишите 184), 184,68 ÷ 5 = 36.936 (запишите 36), 36.936 ÷ 5 = 7,3827 (запишите 7), 7,3827 ÷ 5 = 1,47744 (запишите 1), и 1.47744 ÷ 5 подходит для быть меньше 1, так что все готово. Перейдите к бумаге для заметок, где вы записали целые числа и просуммируем их, чтобы получить 1151.

Примечание: программное обеспечение, такое как Excel не поможет с такими вычислениями, как и ваш калькулятор бы. Программное обеспечение обычно хранит только пятнадцать или около того цифр «точности», поэтому, когда число становится достаточно большим, дисплей переключается автоматически в научную запись. Поскольку программа хранит только первые несколько ведущих цифр, остальные конечные цифры должны быть заполнены нулями.Если вы попытаетесь выполнить первое раскрытие выше, «23!», В Excel, вы получите что-то с гораздо большим количеством нулей, чем на самом деле. Другими словами, компьютер даст вам неправильный ответ. Так учись концепции; не пытайтесь обмануть программное обеспечение.

Вверх | Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Факториалы и конечные нули». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/factzero.htm . Доступ [дата] [месяц] 2016

Этот урок можно распечатать для личного пользования.

.

Наибольшая степень числа в факториале

В этом посте мы рассмотрим советы и методы вычисления наибольшей степени числа в факториале. Мы начнем с понимания важной концепции, называемой функцией наибольшего целого числа, которая требуется для вычисления максимальной мощности в факториале. Опубликовав это, мы рассмотрим методику вычисления наивысшей степени числа N в факториале в зависимости от того, является ли число N простым или составным.

В конце этого поста у нас есть тест по этой теме.Пройдите этот тест, чтобы проверить свое понимание.

Кроме того, после того, как вы заполните этот пост, сообщите нам, если вы нашли этот пост полезным своим комментарием. Заранее спасибо.

Видео:

Что такое факториал?

Факториал числа n равен

$ n! = n $ x $ (n-1) $ x $ (n-2) $ x $ (n-3)… 2 $ x $ 1 $.

Например, факториал 4 будет равен 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Теперь, учитывая число x, как нам найти наибольшую степень x в n! ? Чтобы решить эту проблему, мы должны сначала понять концепцию функции наибольшего целого числа.

Наибольшее целое число Функция:

Если x — целое число, то наибольшая целая функция от x — это наибольшее целое число, которое меньше или равно x. Он представлен как [x]

Пример :

1. Наибольшее целое число, меньшее или равное 2,1 => [2,1] = 2

2. [1,9] = 1

3. [-2,1] = -3 (Поскольку -3 — наибольшее целое число, которое меньше или равно -2,1)

Вычисление Наибольшая степень числа в факториале.

Если $ p $ — простое число, то наибольшая степень $ p $ в факториале $ n $ равна

$ [\ frac {n} {p}] + [\ frac {n} {p ^ 2}] + [\ frac {n} {p ^ 3}] +… $

Наивысшая степень простого числа в факториале

Для вычисления максимальной степени простого числа в факториале просто используется формула, описанная выше.4}] +… $

=> $ [\ frac {50} {3}] + [\ frac {50} {9}] + [\ frac {50} {27}] + [\ frac {50} {81}] +…

$

=> 16 + 5 + 1 + 0

=> 22

Наивысшая степень составного числа в факториале

Чтобы вычислить наивысшую степень составного числа в факториале, сначала выразим составное число как произведение простых чисел. Среди этих простых множителей наибольшая степень наибольшего простого множителя будет равна наибольшей степени этого составного числа. Давайте разберемся с этим с помощью следующих примеров.

Максимальная степень 15 из 24!

Шаг 1: Выразите 15 через его простые множители

15 = 3 x 5

Шаг 2: Среди двух простых множителей максимум большего простого числа всегда будет меньше максимума меньшего простого множителя . Соответственно, среди простых множителей 3 и 5 самая высокая степень 5 из 24! будет меньше максимальной степени 3 из 24 !.

Отсюда наибольшая степень 15 из 24! будет равна наибольшей степени 5 из 24!

Максимальная степень 5 из 24! = [$ \ frac {24} {5} $] + [$ \ frac {24} {5 ^ 2} $]

= 4 + 0 = 4

Следовательно, наибольшая степень 15 из 24! = 4

Найдите максимальную степень 6, которая может разделить 120! не оставляя остатка!

Шаг 1: Выразите 6 через его простые множители

6 = 2 x 3

Шаг 2: Среди простых множителей 2 и 3 наибольшая степень 3 из 120! будет меньше максимальной степени 2 из 120 !.5} $]

=> [$ \ frac {120} {3} $] + [$ \ frac {120} {9} $] + [$ \ frac {120} {27} $] + [$ \ frac {120} {81} $] + [$ \ frac {120} {243} $]

=> 40 + 13 + 4 + 1 + 0

=> 58

Следовательно, максимальная мощность 6, которая может разделить 120! без остатка 58.

Найдите максимальную степень 15 из 75!

Шаг 1: Выразите 15 через его простые множители

15 = 3 x 5

Шаг 2: Среди простых множителей 3 и 5 наибольшая степень 5 из 75! будет меньше максимальной степени 5 из 75 !.3 $, максимальная мощность 40 в 120! будет 5 максимальная мощность будет равна 120! что составляет 28.


Тест: проверьте свое понимание

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Theme: Overlay by Kaira Extra Text
Cape Town, South Africa