6 в 6 степени как вычислить: Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней

Содержание

Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней

Таблица степеней — перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от
1 до 10. Таблица степеней редко применяется в учебе, но когда она нужна, без нее просто не обойтись. Ведь не сразу вспомнишь сколько будет
6 в 4-ой степени! Всятаблица степеней представлена ниже. На нашем сайте помимо таблицы степеней советуем посмотреть программы для
решения задач по
теории вероятности,
геометрии и математике! Также на сайте работает
форум, на котором Вы всегда можете
задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!

Таблица степеней 1 — 10

1 в степени:

1¹ = 1

1² = 1

1³ = 1

1⁴ = 1

1⁵ = 1

1⁶ = 1

1⁷ = 1

1⁸ = 1

1⁹ = 1

1¹⁰ = 1

2 в степени:

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

3 в степени:

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

3⁶ = 729

3⁷ = 2187

3⁸ = 6561

3⁹ = 19683

3¹⁰ = 59049

4 в степени:

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

4⁶ = 4096

4⁷ = 16384

4⁸ = 65536

4⁹ = 262144

4¹⁰ = 1048576

5 в степени:

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125

5⁴ = 625

5⁵ = 3125

5⁶ = 15625

5⁷ = 78125

5⁸ = 390625

5⁹ = 1953125

5¹⁰ = 9765625

6 в степени:

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

6⁴ = 1296

6⁵ = 7776

6⁶ = 46656

6⁷ = 279936

6⁸ = 1679616

6⁹ = 10077696

6¹⁰ = 60466176

7 в степени:

7¹ = 7

7² = 49

7³ = 343

7⁴ = 2401

7⁵ = 16807

7⁶ = 117649

7⁷ = 823543

7⁸ = 5764801

7⁹ = 40353607

7¹⁰ = 282475249

8 в степени:

8¹ = 8

8² = 64

8³ = 512

8⁴ = 4096

8⁵ = 32768

8⁶ = 262144

8⁷ = 2097152

8⁸ = 16777216

8⁹ = 134217728

8¹⁰ = 1073741824

9 в степени:

9¹ = 9

9² = 81

9³ = 729

9⁴ = 6561

9⁵ = 59049

9⁶ = 531441

9⁷ = 4782969

9⁸ = 43046721

9⁹ = 387420489

9¹⁰ = 3486784401

10 в степени:

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

10⁵ = 100000

10⁶ = 1000000

10⁷ = 10000000

10⁸ = 100000000

10⁹ = 1000000000

10¹⁰ = 10000000000

Слишком сложно?

Таблица степеней не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

1.

2. Корень n-й степени

1.2. Корень n-й степени

В 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также
корнями 2-й степени).

Перейдем к изучению корней степени n для
произвольного натурального числа n≥2.

Определение. Пусть n≥2 и n∈N.

Корнем

n-й степени

из числа a
называется такое число t, n-я степень
которого равна a

Таким образом, утверждение «t —
корень n-й степени из a» означает, что
tn=a.

Корень 3-й степени называется также кубическим.

Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53=125. Кубический корень из числа −125 — это число −5, так как (−5)3=−125.

Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27=128. Корень 7-й степени из числа −128 — это число −2, так как (−2)7=−128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07=0.

Во множестве действительных чисел существует единственный
корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень
обозначается

Например, 1253=5,−1287=−2,07=0.

Стр. 11

Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы
принимаем без доказательства.

Согласно определению, когда n нечетное, то при любом
значении а верно равенство

Например, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень
которого равна 0. Поэтому

при любом натуральном n≥2 существует единственный корень n-й степени
из 0 — это число 0, т. е. 0n=0.

Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: −7 и 7 —
квадратные корни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров.
Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во множестве действительных чисел существует ровно два
корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а
знаки противоположны. Положительный корень обозначается

Например, 814=3,646=2.

Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного
числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n четное, то при любом положительном значении а верно
равенство

Например, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не существует такого числа, 4-я степень которого равна −81. Поэтому корня 4-й
степени из числа −81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа,
четная степень которого была бы отрицательной, то

Стр. 12

не существует корня четной степени из отрицательного
числа.

Определение.

Неотрицательный корень n-й степени из числа
a
называется

арифметическим корнем n-й степени из a
.

При четном n символом an обозначается только арифметический корень n-й степени из числа a (при чтении
записи an слово «арифметический» обычно пропускают).

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь корень n-й степени
из числа a — это значит найти значение выражения an.

Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение
an при четном n и отрицательном а не имеет смысла.

Например, не имеют смысла выражения −814 и −646.

Как мы установили, при любом значении а, при котором
выражение an имеет смысл, верно равенство

Поэтому равенство
(1)
является тождеством.

В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования
в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова radix — корень). Так,
выражение 24+374 в символике Шюке имело вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К.
Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился
знаменитый математик Л. Эйлер.

Знак еще называют радикалом.

Стр. 13

Пример 1. Верно
ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Решение. а) По определению арифметический корень
n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является
неотрицательным числом, n-я степень которого равна
подкоренному выражению a.

Поскольку −2<0, то равенство (−2)44=−2 неверное. Верно равенство (−2)44=2.

б) По определению корень n-й степени из числа
а (n — нечетное
число) является числом, n-я степень которого равна
подкоренному выражению а.

Поскольку (−2)7=−27 — верное равенство, то равенство (−2)77=−2 − верное.

Пример 2. Решить
уравнение:

а) x3=7;

б) x4=5.

Решение. а) Решением этого уравнения является такое
значение х, 3-я степень которого равна 7, т. е. по
определению кубического корня имеем:

б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) х — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного
числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют
противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают 54, то второй корень равен −54, т. е. x=±54.

Ответ: а) 73; б) ±54.

В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:

Решение: x4=5 ⇔ x=±54.

Ответ: ±54.

Пример 3. Решить
уравнение:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Стр. 14

Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное
равенство является тождеством при x≥0, поэтому каждое неотрицательное значение х
является решением (корнем) уравнения (x8)8=x.

б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом
значении х, поэтому решением уравнения (x13)13=x является любое действительное число, а R —
множество всех его корней.

Ответ: а) [0;+∞); б) R.

Пример 4. Решить
уравнение

Решение. Обозначим x6=t, тогда получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, имеем

откуда x=±2 (поясните, почему уравнение x6=−1 не имеет корней).

Ответ: ±2.

1Какое число называется корнем n-й степени из
числа а?

2Сколько существует корней четной степени n
из положительного числа а?

3Корень какой степени существует из любого числа а?

4Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим?

5При каких значениях а верно равенство (an)n=a, если:

а) n — нечетное число;

б) n — четное число?

Упражнения

1. 24°

1.24°Используя определение арифметического корня n-й
степени, докажите, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

Стр. 15

1.25°

1.25°Верно ли, что:

1) число −4 является корнем четвертой степени из числа 256;

2) число −0,3 является корнем четвертой степени из числа −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Верно ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Найдите арифметический квадратный корень из числа:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1.28°

1.28°Найдите кубический корень из числа:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Найдите арифметический корень четвертой степени из числа:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вычислите (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30°

1.31°

1.31°1) −10003;

2) −115;

3) −643;

4) −10245;

5) −1273;

6) −3433;

7) −272163;

8) −31255;

9) −0,000325.

1.31°

Стр. 16

1.32

1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

5) ⎛⎝567⎞⎠21;

6) ⎛⎝239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

2) ⎛⎝534⎞⎠48;

3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

4) ⎛⎝643⎞⎠12;

5) ⎛⎝108⎞⎠16;

6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

1.35

1.36°

1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

2) ⎛⎝53⎞⎠3;

3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

4) −1244;

5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

6) ⎛⎝323⎞⎠3;

7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

9) −5555;

10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

12) −488.

1.36°

1.37°

1.37°1) 325+−83;

2) 6254−−1253;

3) 12−60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164−4273;

6) −3383+2,25;

7) 83−643;

8) 164−643.

1. 37°

1.38°

1.38°1) 9+4;

2) 36−164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273−0,04;

5) 5−2564;

6) 7+83;

7) −325+164;

8) −273+814.

1.38°

1.39°

1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

1.39°

Стр. 17

1.40

1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

2) 58+442−26235;

3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

1.40

1.41

1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

1.41

1.42

1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) −9+2×4;

3) 5×2−6×10;

4) 8x−4×212;

5) x+33;

6) x−75;

7) x2−47;

8) 2×2−329.

1.43

1.44

1.441) 34x−112;

2) −48x−314;

3) 2−59−5×8;

4) 3−1016−7×6;

5) 2+x4−2(8−6x)3;

6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

1.44

Стр. 18

1.45

1.45Найдите длину ребра куба, если его объем равен:

1) 27 см³;

2) 64 мм³;

3) 0,125 дм³;

4) 0,216 м³.

1.45

Решите уравнение (1.46—1.54).

1.46°

1.46°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=−64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=−16.

1.46°

1.47

1.471) x3=−27;

2) x5=−132;

3) x7=−1;

4) x9=−512;

5) x3=−0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48°

1.48°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=−2;

7) x15=−6;

8) x17=4;

9) x13=−13.

1.48°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2−20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2·4=0;

8) −6×2=0;

9) 113×2−12=0;

10) 13×2−1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) −0,1×4=−0,00001;

4) 16×4−81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6−2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5−3=30;

3) x6−7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (x−2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3x−1)5=32.

1.52

1. 53

1.531) x10−31×5−32=0;

2) x8−15×4−16=0;

3) x4−12×2+27=0;

4) x6−7×3−8=0;

5) x8−82×4+81=0;

6) x4+2×2−15=0.

1.53

Стр. 19

1.54

1.541)° (x6)6=x;

2)° (x10)10=x;

3)° (x3)3=x;

4)° (x5)5=x;

5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;

6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;

7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;

8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.

1.54

Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0,5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0,5)5.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите -2 в степень 4.

Решение

Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3272

Решение

Данную запись можно переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π.

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно 73.

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

Пример 5

Примеры:

50=1, (-2,56)0=1230=1

00- не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 6

Возведите 2 в степень -3.

Решение

Используя определение выше, запишем: 2-3=123

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 23=2·2·2=8.

Тогда ответ таков: 2-3=123=18

Пример 7

Возведите 1,43 в степень -2.

Решение

Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1,43)-2=1000020449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

Пример 8

Пример: 3−1=1/3

913-1=13964-1=164 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8-23.

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8-23=1643=133643=133433=14

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадрат: 2-2=122=14

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44,89 в степень 2,5.

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

Ответ: 13 501,25107.

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367….

Решение

Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.

СТЕПЕНЬ (функция СТЕПЕНЬ) — Служба поддержки Office

Предположим, что вам нужно вычислить очень маленький допуск для детали механизма или огромное расстояние между двумя галактиками. Для возведения числа в степень используйте функцию СТЕПЕНЬ.

Описание

Возвращает результат возведения числа в степень.

Синтаксис

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргументы функции СТЕПЕНЬ описаны ниже.

Число — обязательный аргумент. Базовое число. Это может быть любое настоящее число.

Степень Обязательный. 2.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=СТЕПЕНЬ(5;2)	Число 5 в квадрате.	25
=СТЕПЕНЬ(98,6;3,2)	Число 98,6, возведенное в степень 3,2.	2401077,222
=СТЕПЕНЬ(4;5/4)	Число 4, возведенное в степень 5/4.	5,656854249

Формула

Описание

Результат

=СТЕПЕНЬ(5;2)

Число 5 в квадрате.

=СТЕПЕНЬ(98,6;3,2)

Число 98,6, возведенное в степень 3,2.

2401077,222

=СТЕПЕНЬ(4;5/4)

Число 4, возведенное в степень 5/4.

5,656854249

Почему число в степени 0 равно 1?

☰

Существует правило, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, будет равно единице:
2⁰ = 1; 1.5⁰ = 1; 10000⁰ = 1

Однако почему это так?

Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:

4³ = 4 × 4 × 4; 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель (если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени:

18¹ = 18; (–3. 4)¹ = –3.4

Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается?

Попробуем пойти иным путем. Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом (если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого (если степени делятся):

3² × 3¹ = 3²⁺¹ = 3³ = 3 × 3 × 3 = 27
4⁵ ÷ 4³ = 4^5–3 = 4² = 4 × 4 = 16

А теперь рассмотрим такой пример:

8² ÷ 8² = 8^2–2 = 8⁰ = ?

Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования:

8² ÷ 8² = 64 ÷ 64 = 1

Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя.

И отсюда становится понятно, почему выражение 0⁰ не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0.

Можно рассуждать по-другому. Если имеется, например, умножение степеней 5² × 5⁰ = 5²⁺⁰ = 5², то отсюда следует, что 5² было умножено на 1. Следовательно, 5⁰ = 1.

3 степени, 6 типов и методы борьбы 👨‍⚕️

Что такое ожирение

Ожирение — это хроническое заболевание, вызванное нарушением процесса обмена веществ. Главный симптом — избыток жировых отложений в подкожной клетчатке, органах и тканях. Чтобы определить степень ожирения используют индекс массы тела.

Рассчитывается он так:

вес / рост² = ИМТ

Например, при массе 60 кг и росте 1,70 м индекс массы тела будет составлять:

60 : (1,70 × 1,70) = 20,7

Рамки нормы — 18,5–24. При ИМТ 25–30 диагностируется избыточная масса тела.

Дальше идут три степени ожирения:

первая степень: 30–35;

вторая степень: 35–40;

третья степень: более 40.

6 типов ожирения

Тип ожирения определяется по тому, в каких местах тела наиболее «охотно» накапливается жир. В зависимости от этого можно определить и причины избыточного веса, и меры по борьбе с ним.

Важно помнить, что отложения в области бёдер и ягодиц не опасны. А вот ожирение в области живота может привести к патологическим изменениям в состоянии внутренних органов. Чем больше жировых отложений скапливается в области печени или почек, тем выше риск серьёзных заболеваний.

Таблица поможет определить, к какому именно типу ожирения вы склонны, почему и что с этим можно сделать. Но, конечно, поставить точный диагноз и дать медицинские рекомендации может только врач.

1. Тип «Скафандр»

Причины: переедание, избыток мучного и сладкого.

Рекомендации:

Заведите дневник питания.

Выпивайте 2 стакана воды за 20 минут до еды.

Увеличьте физическую активность, занимайтесь как минимум полчаса в день.

2. Тип «Жировой пояс»

Причины: стресс, повышенная тревожность, нервное состояние.

Рекомендации:

Посоветуйтесь с неврологом или психотерапевтом, чтобы справиться с негативным влиянием стресса.

Если есть привычка «заедать» тревоги, замените её на прослушивание успокаивающей музыки, спа-процедуры, прогулки.

3. Тип «Галифе»

Причины: гормональные нарушения, менопауза.

Рекомендации:

Откажитесь от алкоголя и курения.

Старайтесь не вести сидячий образ жизни.

Обратитесь к врачу, чтобы нормализовать гормональный фон.

4. Тип «Щит»

Причины: неправильное питание.

Рекомендации:

Откажитесь от алкоголя, жирных, солёных и копчёных продуктов.

Рассмотрите возможность вегетарианства или добавьте больше овощей в свой рацион.

Добавьте приятные и умеренные физические нагрузки, например танцы.

5. Тип «Брюки»

Причины: наследственность.

Рекомендации:

Такие жировые могут быть связаны с состоянием вен. Подсказать смогут специалисты: флебологи, сосудистые хирурги, ангиологи.

Старайтесь регулярно давать ногам умеренную физическую нагрузку — гуляйте, ходите пешком по лестнице.

6. Тип «Двойной живот»

Причины: смена активного образа жизни на малоподвижный — частая проблема бывших спортсменов.

Рекомендации:

Увеличьте двигательную активность.

Выработайте режим питания: ешьте регулярно, как минимум 3 раза в день.

Высыпайтесь.

ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СТЕПЕНИ

Старцев Д. В. 1

1МБОУ СОШ № 77

Кулагина О.А. 1

1МБОУ СОШ № 77

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

«Математику уже затем учить следует,

что она ум в порядок приводит»

М. В. Ломоносов

Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа ?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…

В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Цели работы

Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.

2. Последняя цифра степени

Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа , где N , n – натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:

N n

128

256

512

1024

2048

4096

8192

243

729

2187

6561

19683

59049

177147

531441

1594323

256

1024

4096

16384

65536

262144

1048576

4194304

16777216

67108864

125

625

3125

15625

78125

390625

1953125

9765625

48828125

244140625

1220703125

216

1296

7776

46656

279936

1679616

10077696

60466176

362797056

2176782336

13060694016

343

2401

16807

117649

823543

5764801

40353607

282475249

1977326743

13841287201

96889010407

512

4096

32768

262144

2097152

16777216

134217728

1073741824

8589934592

68719476736

549755813888

729

6561

59049

531441

4782969

43046721

387420489

3486784401

31381059609

282429536481

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

100000000

1000000000

10000000000

100000000000

1000000000000

121

1331

14641

161051

1771561

19487171

214358881

2357947691

25937424601

285311670611

144

1728

20736

248832

2985984

35831808

429981696

5159780352

61917364224

743008370688

169

2197

28561

371293

4826809

62748517

815730721

10604499373

137858491849

Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

N n

Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.

3. Закономерности возведения в степень

Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.

Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.

Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.

Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.

Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,

Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой

Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

24: 4=5(остаток 0)

48:4=12(остаток 0)

2016:4=504(остаток0)

28:4=7(остаток0)

Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.

Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3

45:4=11 (остаток 1)

37:4=9 (остаток 1)

18:4=4 (остаток 2)

102:4=25 (остаток 2)

31:4=7(остаток3)

1199:4=299(остаток3)

Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;

Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.

Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.

4. Последние две цифры степени

Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами ? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

N n

Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:

Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.

Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.

Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:

Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени

Для числа 21 – период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному , если число 2 умножить на показатель степени

5. Заключение

Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.

Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.

6. Задачи

Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)

Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207. 41 .

(8+3=11, последняя цифра 1)

Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.

(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)

В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?

(опечатка. Число 23021³³⁷ оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021³³⁷ − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)

Делится ли число+ на 10 ?

(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

Найдите последнюю цифру числа . Степени считаются сверху вниз: =

Последние две цифры числа 7⁷ образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7⁷ делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7⁷ делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).

Найдите 2 последние цифры числа 8¹⁹⁸⁹ .

В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 8¹⁹⁸⁹ – 28).

На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 — жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).

Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 — (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).

11. Доказать, что число кратно 2.

12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

13. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?

7. Использованная литература

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева — СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.

4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995

5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.

6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. — 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.

Просмотров работы: 41320

Калькулятор экспонентов

Использование калькулятора

Это онлайн-калькулятор показателей степени. Вычислите степень больших целых и действительных чисел. Вы также можете вычислять числа в степени большой степени меньше 1000, отрицательной степени и действительных чисел или десятичных знаков для экспонент.

Для больших показателей попробуйте
Калькулятор больших показателей

В учебных целях решение расширяется, когда основание x и показатель степени n достаточно малы, чтобы поместиться на экране. {4}} \)

\ (= \; \ dfrac {1} {3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3} \)

\ (= \; \ dfrac {1} {81} \)

\ (= 0,012346 \)

экспонент:

Обратите внимание, что -4 ² и (-4) ² дают разные ответы: -4 ² = -1 * 4 * 4 = -16, а (-4) ² = (-4) * (-4) = 16. Если вы вводите отрицательное значение для x, например -4, этот калькулятор принимает (-4) ⁿ .

«Когда знак минус встречается в экспоненциальном представлении, следует соблюдать определенную осторожность. Например, (-4) ² означает, что -4 должно быть возведено во вторую степень. Следовательно (-4) ² = (-4) * (-4) = 16. С другой стороны, -4 ² представляет собой аддитивную инверсию 4 ². Таким образом, -4 ² = -16. Это может помочь подумать о -x ² как -1 * x ² . .. «[1]

Примеры:

3 в степени 4 записывается 3 ⁴ = 81.
-4 в степени 2 записывается (-4) ² = 16.
-3 в степени 3 записывается (-3) ³ = -27. Обратите внимание, что в этом случае ответ будет одинаковым для -3 ³ и (-3) ³, однако они все равно рассчитываются по-разному. -3 ³ = -1 * 3 * 3 * 3 = (-3) ³ = -3 * -3 * -3 = -27.
Для 0 в степени 0 ответ — 1, однако это считается определением, а не фактическим вычислением.м} \)
Ссылки
[1] Алгебра и тригонометрия: функциональный подход; М. Л. Киди и Марвин Л. Биттингер; Издательская компания «Эддисон Уэсли»; 1982, стр. 11.
Математический форум:
Показатели и отрицательные числа.
Подробнее о теории экспонент см.
Экспонентные законы.
Для вычисления дробных показателей используйте нашу
Калькулятор дробных показателей.
Для вычисления корня или корней используйте наш Калькулятор корней.
экспонентов
Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении.
В 8 ² «2» означает использование 8 дважды при умножении,
, поэтому 8 ² = 8 × 8 = 64
Словами: 8 ² можно назвать «8 в степени 2» или «8 во второй степени», или
просто «8 в квадрате»
Показатели также называют степенями или индексами.
Еще несколько примеров:
Пример:
5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125
- Словами: 5 ³ можно было бы назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто
  «5 кубов»
Пример:
2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
- Прописью: 2 ⁴ можно было бы назвать «2 в четвертой степени» или «2 в степени 4» или просто
  «2–4»
Показатели упрощают запись и использование множества умножений
Пример: 9 ⁶ легче писать и читать, чем 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Вы можете умножить любое число на само столько раз, сколько хотите, используя экспоненты. 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Отрицательные экспоненты

Отрицательный? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

Итак, мы каждый раз делим на число, что аналогично умножению на 1 число

Пример: 8 ^-1 = 1 8 = 0,125

Мы можем продолжить так:

Пример: 5 ^-3 = 1 5 × 1 5 × 1 5 = 0.008

Но зачастую проще сделать так:

5 ^-3 также можно рассчитать как:

1 5 × 5 × 5 = 1 5 ³ = 1 125 = 0,008

Отрицательный? Переверните позитив!

Последний пример показал более простой способ работы с отрицательными показателями:

Вычислить положительный показатель степени (a ⁿ)
Затем возьмите Reciprocal (т. е. 1 / а ^н)

Другие примеры:

Отрицательная экспонента		Взаимное значение положительной экспоненты		Ответ
4 ^-2	=	1/4 ²	=	1/16 = 0,0625
10 ^-3	=	1/10 ³	=	1/1000 = 0.001
(-2) ^-3	=	1 / (-2) ³	=	1 / (- 8) = -0,125

Что, если показатель степени равен 1 или 0?

1		Если показатель степени равен 1, то у вас есть только само число (например, 9 ¹ = 9 )

0		Если показатель степени равен 0, то вы получите 1 (например, 9 ⁰ = 1 )

		А как насчет 0 ⁰ ? Это может быть либо 1, либо 0, поэтому люди говорят, что это «неопределенный» .

Все имеет смысл

Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите положительный результат, ноль или
отрицательные показатели на самом деле являются частью того же (довольно простого) паттерна:

Пример: Полномочия 5
	.. и т.д ..
5 ²	5 × 5	25
5 ¹	5	5
5 ⁰	1	1
5 ^-1	1 5	0.2
5 ^-2	1 5 × 1 5	0,04
	. . и т.д ..

Будьте осторожны при группировке

Во избежание путаницы используйте круглые скобки () в таких случаях:

С ():	(-2) ² = (-2) × (-2) = 4
Без ():	-2 ² = — (2 ²) = — (2 × 2) = -4

С ():	(ab) ² = ab × ab
Без ():	ab ² = a × (b) ² = a × b × b

Тем по алгебре: Показатели

/ ru / algebra-themes / order-of-operations / content /

Что такое экспоненты?

Показатели — это числа, которые были умножены сами на себя. Например, 3 · 3 · 3 · 3 можно записать как показатель степени 3 ⁴: число 3 было умножено само на себя 4 раз.

Экспоненты полезны, потому что они позволяют записывать длинные числа в сокращенной форме. Например, это число очень большое:

1 000 000 000 000 000 000 9 0005

Но вы могли бы записать это как экспонента:

10 ¹⁸

Он также работает с маленькими числами с большим количеством десятичных знаков.Например, это число очень маленькое, но состоит из множества цифр:

.00000000000000001

Его также можно было бы записать в виде экспоненты:

10 ^-17

Ученые часто используют экспоненты для обозначения очень больших и очень маленьких чисел. Вы также часто будете встречать их в задачах алгебры.

Показатели степени

Как вы видели на видео, экспоненты записываются так: 4 ³ (вы бы прочитали это как 4 в третьей степени ). 3.Не волнуйтесь, это точно такое же число: основание — это число слева, а степень — это число справа. В зависимости от типа калькулятора, который вы используете, и особенно если вы используете калькулятор на своем телефоне или компьютере, вам может потребоваться ввести показатель степени таким образом, чтобы вычислить его.

Показатели в 1-й и 0-й степени

Как бы вы упростили эти показатели?

7 ¹ 7 ⁰

Не расстраивайтесь, если вы запутались. Даже если вы чувствуете себя комфортно с другими показателями, непонятно, как их вычислять со степенями 1 и 0.К счастью, эти показатели следуют простым правилам:

Показатели степени 1
Любой показатель степени 1 равен основанию , поэтому 5 ¹ равно 5, 7 ¹ равно 7, а x ¹ равно x .
Показатели степени 0
Любой показатель степени со степенью 0 равен 1 , поэтому 5 ⁰ равно 1, а также 7 ⁰, x ⁰ и любой другой показатель степени с мощностью 0 вы можете думать.

Операции с показателями

Как бы вы решили эту проблему?

2 ² ⋅ 2 ³

Если вы думаете, что вам нужно сначала решить экспоненты, а затем перемножить полученные числа, вы правы. (Если вы не уверены, ознакомьтесь с нашим уроком о порядке действий).

Как насчет этого?

х ³ / х ²

Или этот?

2x ² + 2x ²

Хотя вы не можете точно решить эти проблемы без дополнительной информации, вы можете упростить , их.В алгебре вас часто просят выполнить вычисления экспонент с переменными в качестве основы. К счастью, эти показатели легко складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение показателей

Когда вы добавляете два показателя степени, вы не добавляете фактические полномочия — вы добавляете основания. Например, чтобы упростить это выражение, вы просто добавите переменные. У вас есть два xs, которые можно записать как 2x . Итак, x ² + x ² будет 2x ² .

x ² + x ² = 2x ²

Как насчет этого выражения?

3 года ⁴ + 2 года ⁴

Вы добавляете 3y к 2y. Поскольку 3 + 2 равно 5, это означает, что 3 года ⁴ + 2 года ⁴ = 5 лет ⁴.

3 года ⁴ + 2 года ⁴ = 5 лет ⁴

Вы могли заметить, что мы рассматривали только те задачи, в которых добавляемые показатели имели одинаковую переменную и мощность.Это связано с тем, что вы можете добавлять экспоненты только в том случае, если их основания и экспоненты точно такие же, как . Таким образом, вы можете добавить их ниже, потому что оба члена имеют одинаковую переменную ( r ) и одинаковую мощность (7):

4к ⁷ + 9 ⁷

Вы не можете никогда. добавлять какие-либо из них в том виде, в каком они написаны. В этом выражении есть переменные с двумя разными степенями:

4к ³ + 9 ⁸

У этого есть те же возможности, но разные переменные, поэтому вы также не можете добавить его:

4к ² + 9с ²

Вычитание показателей

Вычитание экспонент работает так же, как их сложение.Например, вы можете придумать, как упростить это выражение?

5x ² — 4x ²

5–4 равно 1, поэтому, если вы сказали 1 x ² или просто x ², вы правы. Помните, что, как и при сложении показателей, вы можете вычитать только показатели с одинаковой степенью и основанием .

5x ² — 4x ² = x ²

Показатели умножения

Умножить экспоненты просто, но способ, которым вы это делаете, может вас удивить. Чтобы умножить степень, сложите степени . Например, возьмите это выражение:

x ³ ⋅ x ⁴

Мощности: 3 и 4 . Поскольку 3 + 4 равно 7, мы можем упростить это выражение до x ⁷.

x ³ ⋅ x ⁴ = x ⁷

А как насчет этого выражения?

3x ² ⋅ 2x ⁶

Степени равны 2 и 6 , поэтому наша упрощенная экспонента будет иметь степень 8.В этом случае нам также потребуется умножить коэффициенты. Коэффициенты равны 3 и 2. Нам нужно умножить их, как и любые другие числа. 3⋅2 равно 6 , поэтому наш упрощенный ответ: 6x ⁸ .

3x ² ⋅ 2x ⁶ = 6x ⁸

Вы можете упростить умножение экспоненты только с той же переменной. Например, выражение 3x ² ⋅2x ³ ⋅4y ² будет упрощено до 24x ⁵ ⋅y ². Для получения дополнительной информации перейдите к нашему уроку «Упрощение выражений».

Показатели деления

Деление показателей аналогично их умножению. Вместо того, чтобы складывать степени, вы вычитаете из них . Возьмите это выражение:

х ⁸ / х ²

Поскольку 8-2 равно 6, мы знаем, что x ⁸ / x ² равно x ⁶.

x ⁸ / x ² = x ⁶

Что насчет этого?

10x ⁴ / 2x ²

Если вы думаете, что ответ — 5x ², вы правы! 10/2 дает нам коэффициент 5, а вычитание степеней ( 4-2 ) означает, что степень равна 2.

Возведение власти в степень

Иногда можно увидеть такое уравнение:

(х ⁵) ³

Показатель степени на другом показателе степени может сначала показаться запутанным, но у вас уже есть все навыки, необходимые для упрощения этого выражения. Помните, что показатель степени означает, что вы умножаете основание само на себя столько раз. Например, 2 ³ это 2⋅2⋅2. Это означает, что мы можем переписать (x ⁵) ³ как:

x ⁵ ⋅x ⁵ ⋅x ⁵

Чтобы умножить экспоненты с одинаковым основанием, просто добавьте показателей.Следовательно, x ⁵ ⋅x ⁵ ⋅x ⁵ = x ^{5 + 5 + 5} = x ¹⁵.

На самом деле есть еще более короткий способ упростить подобные выражения. Взгляните еще раз на это уравнение:

(x ⁵) ³ = x ¹⁵

Вы заметили, что 5⋅3 тоже равно 15? Помните, умножение — это то же самое, что и более одного сложения чего-либо. Это означает, что мы можем представить 5 + 5 + 5, как мы делали раньше, как 5 умножить на 3.Следовательно, когда вы возводите степень в степень , вы можете на умножить степень .

Рассмотрим еще один пример:

(х ⁶) ⁴

Так как 6⋅4 = 24, (x ⁶) ⁴ = x ²⁴

х ²⁴

Рассмотрим еще один пример:

(3x ⁸) ⁴

Во-первых, мы можем переписать это как:

3x ⁸ ⋅3x ⁸ ⋅3x ⁸ ⋅3x ⁸

Помните, что при умножении порядок не имеет значения.Следовательно, мы можем переписать это снова как:

3⋅3⋅3⋅3⋅x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸

Поскольку 3⋅3⋅3⋅3 = 81 и x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸ = x ³², наш ответ:

81x ³²

Обратите внимание, что это также было бы то же самое, что и 3 ⁴ ⋅x ³².

Все еще не знаете, как умножать, делить или возводить экспоненты в степень? Посмотрите видео ниже, чтобы узнать, как запомнить правила:

/ ru / algebra-themes / negative-numbers / content /

чисел — экспоненты — подробно

Показатель говорит
сколько раз базовое число используется в качестве множителя.База из пяти поднятых
во второй степени называется «пять в квадрате» и означает «пять».
умножить на пять ». Пять в третьей степени называют« пятью кубами ».
и означает «пять раз по пять раз». База может быть любой
число — целое число, десятичное число или дробь могут быть возведены в
власть.

Здесь
несколько простых правил для использования с показателями степени.

а ¹ =

Любое число, возведенное в степень единицы, равно самому числу.
Для любого
число a, кроме 0, a ⁰ = 1
Любое число, возведенное в степень нуля, кроме нуля, равно единице.
Для любого
числа a, b и c,
a ^b x a ^c = a ^{b + c}
Это правило умножения говорит нам, что мы можем просто сложить показатели, когда
умножение двух степеней с одинаковым основанием.

ВНИМАНИЕ!
Это ошибки, которые студенты часто допускают при работе с экспонентами.

Ошибка!
Не умножайте основание и показатель степени. 2 ⁶ не равно 12,
это 64!

Ошибка!
Правило умножения применяется только к выражениям с одинаковым основанием. Четыре
квадрат, умноженный на два в кубе — это не то же самое, что 8 в степени два плюс
три.

Ошибка!
Правило умножения применяется только к произведению, а не к сумме двух
числа.

Научный
Обозначение
Что происходит, когда вы используете калькулятор, и ваш ответ слишком длинный, чтобы
влезть в окно? Воспользуйтесь калькулятором, чтобы умножить эти 2 числа:

60 000 000 000 000
х 20 000 000 000
Вы откроете для себя короткий способ написания очень длинных чисел. Это называется научным
обозначение или обозначение E на калькуляторе («E» означает «Exponent»).
Число, записанное в научных обозначениях, записывается как произведение числа.
между 1 и 10 и степенью 10.

Например,
чтобы записать 127 680 000 в экспоненциальном представлении, замените число на число
от 1 до 10, переместив десятичную запятую на 8 знаков влево. Затем умножьте
на 10 в степени количества знаков, на которое нужно было переместить десятичную дробь
точка — то есть 108:

127 680 000
= 1,2768 x 10 ⁸
В окне вашего калькулятора основание 10 не отображается; буква E означает «10»
возведен в следующую степень.«

Примеры

7 х 7 х 7 х 7 =? 7 ⁴
2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 =? 2 ⁶
1 ¹⁰ = 1
5 ³ = 5 x 5 x 5 = 125

Напишите следующее
числа в экспоненциальной записи.
565 000
= 5,65 х 10 ⁵
7,325,000 = 7,325 x 10 ⁶
91 247 000 000 = 9,1247 x 10 ¹⁰

назад
наверх

Степени и показатели (предалгебра, открытие дробей и множителей) — Mathplanet

Мы знаем, как вычислить выражение 5 x 5. {3} $$

Отрицательные показатели — как решить

Как рассчитать отрицательные показатели.

Правило отрицательных показателей

Основание b в степени минус n равно деленному на 1
по основанию b в степени n:

b ^-n = 1/ b ⁿ

Пример отрицательной экспоненты

Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1
по основанию 2 в степени 3:

2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2⋅2⋅2) = 1/8 = 0.125

Дробные отрицательные показатели

База b, возведенная в степень минус n / m, равна деленному на единицу
по основанию b в степени н / м:

b ^{-н / м} = 1/ b ^{н / м} = 1/
( ^м √ b ) ⁿ

Основание 2 в степени минус 1/2 равно деленному на 1
по основанию 2 в степени 1/2:

2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1/ √ 2
= 0. 7071

Дроби с отрицательной степенью

Основание a / b в степени минус n равно деленному на единицу.
по основанию a / b в степени n:

( a / b ) ^{— n} = 1 /
( a / b ) ⁿ = 1 / ( a ⁿ/ b ⁿ)
= b ⁿ/ a ⁿ

Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1
по основанию 2 в степени 3:

(2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ²/3 ²)
= 3 ²/2 ² = 9/4 = 2.25

Умножение отрицательной степени

Для показателей с одинаковым основанием можно добавить показатели:

a ^-n ⋅ a ^-m = a ^{— (п + т} ⁾ = 1 /
а ^{н + м}

Пример:

2 ^-3 ⋅ 2 ^-4 = 2 ^{— (3 + 4)}
= 2 ^-7 = 1/2 ⁷ = 1 / (2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2) = 1/128
= 0,0078125

Когда основания разные, а показатели a и b равны
то же самое, мы можем сначала умножить a и b:

a ^-n ⋅ b ^-n = ( a ⋅ b ) ^-n

Пример:

3 ^-2 ⋅ 4 ^-2 = (3⋅4) ^-2
= 12 ^-2 = 1/12 ² = 1 / (12-12) = 1/144 =
0. 0069444

Если основания и показатели различаются, мы должны
вычислить каждый показатель, а затем умножить:

a ^-n ⋅ b ^-m

Пример:

3 ^-2 ⋅ 4 ^-3 = (1/9) ⋅ (1/64) = 1
/ 576 = 0,0017361

Деление отрицательной степени

Для экспонент с одинаковым основанием мы должны вычесть
экспоненты:

a ⁿ / a ^м = a ^n-м

Пример:

2 ⁶/2 ³ = 2 ^6-3 = 2 ³ = 2⋅2⋅2 =
8

Когда основания разные, а показатели a и b равны
то же самое, мы можем сначала разделить a и b:

a ⁿ / b ⁿ = ( a
/ b ) ⁿ

Пример:

6 ³/2 ³ = (6/2) ³ =
3 ³ = 3⋅3⋅3 = 27

Когда основания и показатели различаются, мы должны
вычислите каждый показатель и затем разделите:

a ⁿ / b ^m

Пример:

6 ²/3 ³ = 36/27 = 1. 333

См. Также

Вычислить любую степень i (квадратный корень из -1)

Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех сложных чисел, Сложение сложных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степень комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesTheotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Поиск шансов, Математика, Практика полиномов, Математика, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными Числа, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с помощью GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Январь 2025
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

6 в 6 степени как вычислить: Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней

Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней

Таблица степеней 1 — 10

1.

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

Упраж­не­ния

Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

Понятие возведения в степень

Как возвести число в натуральную степень

Как возвести число в целую степень

Как возвести число в дробную степень

Как возвести число в иррациональную степень

СТЕПЕНЬ (функция СТЕПЕНЬ) — Служба поддержки Office

Описание

Синтаксис

Пример

Почему число в степени 0 равно 1?

3 степени, 6 типов и методы борьбы 👨‍⚕️

Что такое ожирение

6 типов ожирения

1. Тип «Скафандр»

2. Тип «Жировой пояс»

3. Тип «Галифе»

4. Тип «Щит»

5. Тип «Брюки»

6. Тип «Двойной живот»

ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СТЕПЕНИ

ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СТЕПЕНИ

Использование калькулятора

экспонент:

Примеры:

Ссылки

экспонентов

Пример:

Пример:

Отрицательные экспоненты

Отрицательный? Переверните позитив!

Что, если показатель степени равен 1 или 0?

Все имеет смысл

Будьте осторожны при группировке

Тем по алгебре: Показатели

Что такое экспоненты?

Показатели степени

Показатели в 1-й и 0-й степени

Операции с показателями

Сложение показателей

Вычитание показателей

Показатели умножения

Показатели деления

Возведение власти в степень

чисел — экспоненты — подробно

Степени и показатели (предалгебра, открытие дробей и множителей) — Mathplanet

Отрицательные показатели — как решить

Правило отрицательных показателей

Пример отрицательной экспоненты

Дробные отрицательные показатели

Дроби с отрицательной степенью

Умножение отрицательной степени

Деление отрицательной степени

См. Также

Вычислить любую степень i (квадратный корень из -1)

Добавить комментарий Отменить ответ

1.2. Корень n-й степени

Упражнения