C a b матрица: Матричный калькулятор

Матричный калькулятор онлайн

Инструкция матричного онлайн калькулятора

С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить, вычитать, умножить, транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень, умножить матрицу на число, сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы, проводить исключение Гаусса, решить матричное уравнение AX=B, сделать LU разложение матрицы, вычислить ядро (нуль пространство) матрицы, сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта.

Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы и вводить числа в виде a или a/b, где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.

Кнопка в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы , нулевой матрицы , очищать содержимое ячеек ) и т.д.

Рис.1

При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.

Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .

Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.

Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы и , а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.

Рис.2

Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.

Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:

1. Введите размерности матриц и .
2. Введите элементы матриц.
3. Нажмите на кнопку «A+B «,»A-B» или «A×B».

Вычисление обратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу. Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления обратной матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы .
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «обратное «.

Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы. Теорию вычисления обратной матрицы смотрите здесь.

Вычисление определителя матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления определителя матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы .
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «определитель «.

Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.

Вычисление ранга матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы.

Для вычисления ранга матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы .
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «ранг «.

Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы. Теорию вычисления ранга матрицы смотрите здесь.

Вычисление псевдообратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.

Для вычисления псевдообратной матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «псевдообратное «.

Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.

Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «полный ранг строк » или «полный ранг столбцов».

Скелетное разложение матрицы онлайн

Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Введите размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «скелетное разложение «.

Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.

Для решения матричного уравнения:

1. Введите размерности матриц и .
2. Введите элементы матриц.
3. Нажмите на кнопку «решение AX=B».

Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк .

Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн

Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.

Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Задайте размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «Треугольный вид».

LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн

Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU), где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т.е. такое разложение , при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.

Для LU(LUP)-разложения:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Задайте размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «LU-разложение».

Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн

С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.

Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Задайте размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «ядро (·)».

Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн

С помощью матричного калькулятора можно сделать ортогонализацию и ортонормализацию Грамма-Шмидта матрицы онлайн.

Для ортогонализации или ортонормализации матрицы:

1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
2. Задайте размерность матрицы.
3. Введите элементы матрицы.
4. Нажмите на кнопку «Ортогонализация Г.-Ш. (·)» или «Ортонормализация Г.-Ш. (·)».

Умножение матриц

Произведением двух матриц A порядка m×n и B порядка n×k называется матрица C такая, что

где c_ij элементы матрицы C стоящие на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C=A·B или C=AB.

Из сформулированного выше определения вытекает, что для умножения матрицы A на матрицу B необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Операция нахождения произведения матрицы A на матрицу B называется умножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения следует,что эта операция обладает следующими свойствами:

1. (AB)C=A(BC).
2. (A+B)C=AC+BC.
3. A(B+C)=AB+AC.
4. (αA)B=A(αB)=α(AB)=(AB)α.

Здесь α вещественное число.

Пример умножения двух матриц

Пусть заданы матрица A размера 2×3 и матрица B размера 3×3.

Тогда

где

c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₃b₃₁,
c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂+a₁₃b₃₂,
c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃+a₁₃b₃₃, c₂₁=a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁+a₂₃b₃₁, c₂₂=a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₃b₃₂, c₂₃=a₂₁b₁₃+a₂₂b₂₃+a₃₂b₃₃.

Умножение матрицы в общем случае не обладает свойством коммутативности:

AB≠BA.

Пример:

Если AB=BA, то матрицы A и B называются коммутативными.

Умножение матриц онлайн

Для умножения матриц пользуйтесь матричным онлайн калькулятором.

Действия с матрицами

Матрицы и действия с ними, определители

Сложение матриц

Сложение определено для матриц одного типа, т.е. для матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Сумма матриц \(A=\{A_{ik}\}\) и \(B=\{B_{ik}\}\), матрица \(A+B\), определяется следующим образом: \((A+B)_{ik}=A_{ik}+B_{ik}\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n\). Иными словами: складываются элементы матриц \(A\) и \(B\), стоящие на одинаковом месте (т.е. на пересечении одинаковых строк и столбцов) и записываются в то же место.

Пример. Пусть
\[
A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 &4 & -1 \\
3 & -6 & 7
\end{array}
\right) ,
\]
\[
B=\left(
\begin{array}{ccc}
2 &1 & 0 \\
1 & 3 & 4
\end{array}
\right) ,
\]
тогда
\[
A+B=\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 5 & -1 \\
4 & -3 & 11
\end{array}
\right) .
\]

Умножение матрицы на число

Пусть \(A=\{a_{ik}\}\) — матрица типа \((m,n)\), \(\lambda\) — произвольное число. Тогда матрица \(\{\lambda a_{ik}\}\) называется произведением числа \(\lambda \) на матрицу \(A\) и обозначается \(\lambda \cdot A\).

Пример. Пусть
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \end{array}
\right) ,
\]
тогда
\[
5A=\left( \begin{array}{ccc} 5 &20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \end{array}
\right) .
\]

Замечание.

Как и в обычной, в матричной арифметике знак умножения иногда не указывают, так что выражения \(c\cdot A\) и \(cA\) равноправны.

Пусть
\[
A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{array} \right).
\]

Вычислить \(3A-2B\).

Проверить ответ

\[3A-2B=\left( \begin{array}{cc} 4 & 13 \\ 6 & 7 \end{array} \right)\]

Транспонирование матриц

Если для заданной матрицы \(A\) ее строки записать как столбцы, получим новую матрицу, которая называется транспонированной исходной, и обозначается \(A^T\).

Пример. Пусть
\[
A=\left(
\begin{array}{cccc}
1 &4 & -1 & 4 \\
7 & 5 & 2 & 2\\
3 & -6 & 7 & 8
\end{array}
\right),
\]
тогда
\[
A^T=\left(
\begin{array}{ccc}
1 &7 & 3 \\
4 & 5 & -6 \\
-1 & 2 & 7 \\
4 &2 &8
\end{array}
\right) .
\]

Подчеркнем, если матрица \(A\) имеет тип (\(m,n)\), то \(A^T\) имеет тип \((n,m)\), так что эта операция, вообще говоря, меняет тип матрицы. В частности, если \(A\) была матрицей-столбцом, \(A^T\) будет матрицей-строкой той же длины. Поэтому из типографских соображений матрицу-столбец часто представляют в виде \((a_1,a_2,a_3,….,a_n)^T\) (это выражение занимает меньше места).

Элементарные свойства операций с матрицами

Введенные операции обладают многими естественными арифметическими свойствами. Перечислим ряд из них.

1. Для любых матриц \(A,B,C\) одного типа \((A+B)+C=A+(B+C)\)(ассоциативность сложения).

2. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \(A+B=B+A\) (коммутативность сложения).

3. Пусть \((m,n)\)-матрица \(O\) состоит из нулей. Такая матрица играет роль нуля при сложении матриц типа \((m,n)\), \(A+O=A\), \(0\cdot A=O\) для любой матрицы \(A\) того же типа.

4. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1+c_2)A=c_1A+c_2A\).

5. Для любых матриц \(A,B\) одного типа и любого числа \(c\) верно \(c(A+B)=cA+cB\).

6. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1c_2)A=c_1(c_2A)\).

7. Для любой матрицы \(A\) верно \(1\cdot A=A\).

8. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \((A+B)^T=A^T+B^T\).

9. Для любого числа \(c\) и любой матрицы \(A\) верно: \((cA)^T=cA^T\).

10. Для любой квадратной матрицы \(detA=detA^T\).

11. Для любой матрицы \((A^T)^T=A\).

Умножение матриц

Рассмотрим сначала умножение матрицы-строки на матрицу столбец. Пусть \(A=(a_1,a_2,…,a_n)\), \(B=(b_1,b_2,…,b_n)^T\). Тогда

\[
AB=a_1b_1+a_2b_2+….+a_nb_n=\sum _{m=1}^na_mb_m. \quad \quad(9)

\]

Для того, чтобы было определено умножение между \(A\) и \(B\), необходимо, чтобы длина строки была равна длине столбца. Это условие называют условием согласования типов. Формулу (9) называют правилом умножения строчки на столбец.

Теперь обсудим общий случай. Пусть матрица \(A\) имеет тип \((m,n)\), а матрица \(B\) имеет тип \((n,p)\) (так что длина строки матрицы \(A\) совпадает с длиной столбца матрицы \(B\)). Тогда можно определить их произведение, матрицу \(C\), следующим образом: матрица \(C\) будет иметь тип \((m,p)\), причем для вычисления ее элемента \(C_{ik}\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq p\), следует взять строку с номером \(i\) матрицы \(A\) и умножить на столбец с номером \(k\) матрицы \(B\),
\[
c_{ik}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+…+a_{in}b_{nk}=\sum _{m=1}^na_{im}b_{mk}.
\]
Таким образом следует вычислить все \(mp\) элементов матрицы \(C\). Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы можно было перемножать матрицы \(A\) и \(B\), их типы должны быть согласованы!

Пример. Пусть
\[
A=\left(
\begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 2 &1 \\ 1 & 3 \\ -3 &5
\end{array}
\right) .
\]

В данном случае матрица \(A\) имеет тип (2,3), матрица \(B\) имеет тип (3,2), так что типы матриц согласнованы и в результате умножения \(A\) на \(B\) получим матрицу типа \((2,2)\). Получаем:

\[
AB=\left (
\begin{array}{cc}
1\cdot 2 +4 \cdot 1+(-1)\cdot (-3) & 1\cdot 1 +4 \cdot 3+(-1)\cdot 5\\
3\cdot 2 +(-6) \cdot 1+7\cdot (-3) &3\cdot 1 +(-6) \cdot 3+7\cdot 5
\end{array}
\right )=
\left( \begin{array}{cc} 9 & 8\\ -21 & 20
\end{array} \right).
\]

Замечание.
Для приведенных матриц произведение \(BA\) не определено — типы матриц \(B\) и \(A\)не согласованы. Это отражает общую ситуацию: результат произведения матриц зависит от порядка сомножителей (в отличие от обычной арифметики) — и даже может не существовать для одного выбора порядка сомножителей, существуя для другого.

Элементарные свойства операций с матрицами (продолжение)

Операция умножения матриц также обладает рядом естественных свойств. (Ниже считается, что типы матриц \(A,B\) согласованы, так что их можно перемножать).

1. \((cA)B=A(cB)=cAB\).

2. \((A_1+A_2)B=A_1B+A_2B\).

3. \(A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2\).

4. \((AB)C=A(BC)\).

5. \((AB)^T=B^TA^T\).

6. Для квадратных матриц \(A,B\) одного типа \(det(AB)=detA \cdot detB\).

7. Рассмотрим квадратную матрицу порядка \(n\), \(E=diag\{1,1,1,…,1\}\). Такая матрица играет выделенную роль в умножении матриц: для любых матриц \(A,B\) имеем \(EA=A\), \(BE=B\). Матрица \(E\) называется единичной матрицей порядка \(n\). Согласно описанным выше результатам, \(detE=1\).

1. Умножить матрицы:

а)
\[
\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\cdot
\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right).
\]

б)
\[
\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right)\cdot
\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right).
\]

2. Вычислить
\[
\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -2 \end{array} \right)^5.
\]

3. Вычислить \(AB-BA\), если

а)
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right),
B=\left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ — 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right).
\]

б)
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right),
B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\3 & 5 & 1 \end{array} \right).
\]

4. Вычислить

а) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2-3x+3\),
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right).
\]

б) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2+4x-2\),
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{array} \right).
\]

5. Показать, что каждая матрица второго порядка
\[
A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)
\]

удовлетворяет уравнению
\[
x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0.
\]

Обратная матрица

В рамках обычной арифметики обсуждается решение числового уравнения
\[
ax=1,
\]
где \(a\) — заданное число. Если \(a \neq 0\), это уравнение имеет единственное решение, которое обозначается \(x=a^{-1}\) и называется обратным к \(a\) числом.

Пусть \(A\) — заданная квадратная матрица порядка \(n\), можно рассмотреть матричное уравнение
\[
AX=E. \quad \quad(10)
\]

Определение. Если \(detA \neq 0\), матрица \(A\) называется невырожденной.

Определение. Решение уравнения (\ref{obr}) называется матрицей, обратной \(A\).

Теорема. Для того, чтобы существовала обратная \(A\) матрица, небходимо и достаточно, чтобы матрица \(A\) была невырожденной.

Обратную матрицу обозначают \(A^{-1}\).

Основные свойства обратной матрицы.

1. $$AA^{-1}=A^{-1}A=E.$$

2. $$det(A^{-1})=(detA)^{-1}.$$

3. Если квадратные матрицы порядка \(n\) \(A\) и \(B\) невырождены, то \(AB\) тоже невырождена, у нее существует обратная матрица, причем \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

4. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^{-1})^{-1}=A\).

5. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\).

Докажите эти свойства обратной матрицы.

Для вычисления эелементов обратной матрицы существуют явные формулы.

Пусть \(A\) — квадратная невырожденная матрица порядка \(n\). Вычислим матрицу \(D\) — матрицу алгебраических дополнений, согласно соотношениям

\[ D_{ik}=(-1)^{i+k}det(\widetilde{A}_{ik}), 1 \leq i,k \leq n, \quad \quad(11) \]

где \(\widetilde{A}_{ik} \)- матрица, которая получается из матрицы \(A\) после вычеркивания \(i\)-ой строки и \(k\)-того столбца. Тогда
\[
A^{-1}=\frac{D^T}{detA}.
\]

Пример. Пусть \(n=2\),
\[
A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right),
\]
\(detA=ad-bc \neq 0\). Следуя (11), получаем:
\[
D=\left( \begin{array}{cc} d & -c \\ -b & a \end{array} \right),
\]
так что
\[
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right).
\]

Таким образом, для матрицы порядка 2 формулы для обратной матрицы достаточно простые. Для больших порядков формулы становятся существенно более громоздкими.

Найти обратную матрицу для матрицы

1.
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right).
\]

2.
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right).
\]

3.
\[
A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right).
\]

Матричные уравнения

Матричными уравнениями называются уравнения вида
\[ AX=G, \quad \quad(12)\]
\[ XB=G, \quad \quad(13)\]
\[ AXB=G, \quad \quad(14)\]
где матрицы \(A,B,G\) заданы и требуется построить матрицу \(X\). Мы будем здесь считать, что матрицы \(A,B,G\) — квадратные одного порядка. Решение этих уравнений нетрудно построить, если матрицы \(A,B\) невырождены, так что существуют их обратные \(A^{-1}, B^{-1}\). Умножая, например, уравнение (12) слева на матрицу \(A^{-1}\), получаем:
\[
A^{-1}(AX)=(A^{-1}A)X=EX=X=A^{-1}G.
\]
Умножая уравнение (13) справа на \(B^{-1}\), получаем:
\[
(XB)B^{-1}=X(BB^{-1})=XE=X=GB^{-1}.
\]
Аналогично, умножая (14) слева на \(A^{-1}\) и справа на \(B^{-1}\), получим:
\[
X=A^{-1}GB^{-1}.
\]

1. Найти решение матричного уравнения (12), если
\[
A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -9 & 3 \end{array} \right) ,
G=\left( \begin{array}{cc} -26 & -50 \\ 27 & -15 \end{array} \right) .
\]

2. Найти решение матричного уравнения (12), если
\[
A=\left( \begin{array}{cc} 8 & -7 \\ -5 & 4 \end{array} \right) ,
G=\left( \begin{array}{cc} 25 & -34 \\ -16 & 22 \end{array} \right) .
\]

3. Найти решение матричного уравнения (13), если
\[
B=\left( \begin{array}{cc} -8 & -5 \\ -9 & 5 \end{array} \right) ,
G=\left( \begin{array}{cc} -20 & 30 \\ -19 & 20 \end{array} \right) .
\]

4. Найти решение матричного уравнения (13), если
\[
B=\left( \begin{array}{cc} 9 & 8 \\ -3 & 7 \end{array} \right) ,
G=\left( \begin{array}{cc} -72 & 23 \\ 0 & 58 \end{array} \right) .
\]

5. Найти решение матричного уравнения (14), если
\[
A=\left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) ,
B=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & -1 \end{array} \right) ,
G=\left( \begin{array}{cc} 20 & -50 \\ 26 & 23 \end{array} \right) .
\]

6. Найти решение матричного уравнения (14), если
\[
A=\left( \begin{array}{cc} -4 & -2 \\ -3 & 3 \end{array} \right) ,
B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} \right) ,
G=\left( \begin{array}{cc} 132 & 134 \\ 18 & 24 \end{array} \right) .
\]

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы из m
строк и n столбцов. Эту таблицу
обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа,
составляющие матрицу, называются элементами
матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер
строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице
число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше
примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая
матрица – её порядок 1.

Матрица, в
которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также
матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у
которой всего одна строка , называется матрицей –
строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все
элементы которой равны нулю, называется нулевой
и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую
из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная
матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю,
называется треугольной матрицей.

.

Квадратная
матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих
на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная
матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой
E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если
они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны
a_ij = b_ij. Так если и , то A=B,
если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно
сопоставить такую матрицу B из
n строк и m столбцов, у которой каждая
строка является столбцом матрицы A с
тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак,
если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это
перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной
можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового
числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры.
Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по
правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

1. .
2. — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
3. .

Легко проверить,
что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить
матрицу A на число k нужно каждый элемент
матрицы A умножить на это число.
Таким образом, произведение матрицы A на
число k есть новая матрица, которая
определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и
матриц A и B выполняются равенства:

3. .

Примеры.

1. .
2. Найти 2A-B, если , .

   .

3. Найти C=–3A+4B.

   Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному
закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть
согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов
первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки
первой равна высоте столбца второй). Произведением
матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB,
элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом,
например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой
строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять
1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на
соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие
элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения
строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В
общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на
матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C
размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате
произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го
столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует,
что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в
результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную
матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным
случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина
первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого
порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

1. Пусть

   Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

2. Найти произведение матриц.

   .

3. .
4. — нельзя, т.к. ширина
   первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
5. Пусть

   Найти АВ и ВА.

6. Найти АВ и ВА.

   , B·A – не имеет смысла.

Таким образом,
эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении
матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно
проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному
законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также
проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E
того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно
отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от
нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение
2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана
матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух
столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной
матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается
символом .

Итак, для того
чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов
главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

2. .
3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно
рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной
квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и
получаемое следующим образом:

.

Таким образом,
эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой
строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению
определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

1. .
2. .
3. Решите уравнение..

   .

   (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

   (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

   (x-4)(x-1)=0.

   x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей
четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам
1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие
от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число,
которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в
которых присутствует операция умножения. Например,

ax=b,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц,
то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

A ⋅ X = B

или

X ⋅ A = B,

где A и B —
известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того,
чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B,
обе его части следует умножить на обратную к A матрицу
слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную
матрицу равно единичной матрице: ,
поэтому

.

Так как E — единичная матрица, то
E ⋅ X = X. В результате
получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы,
обратной к матрице A, слева, на матрицу B:

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

X ⋅ A = B,

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X
и известной матрицы A матрица A
находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу,
обратную матрице A, и умножать матрицу B
на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как
. Обратная к
A матрица умножается на матрицу B
с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную
матрицу X. То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной
матрицей находится матрица A.

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой
части уравнения неизвестная матрица X находится в середине
произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева
на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на
матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

A ⋅ X ⋅ B = C,

является

.

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится слева.
Поэтому решение следует искать в виде ,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A:

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Решить матричное уравнение самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится справа.
Поэтому решение следует искать в виде ,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

.

Находим матрицу, обратную матрице A:

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь
матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится слева.
Поэтому решение следует искать в виде ,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

.

Находим матрицу, обратную матрице A, и делаем
это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится справа.
Поэтому решение следует искать в виде ,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

.

Находим матрицу, обратную матрице A:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C, то
есть неизвестная матрица X находится в середине
произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде
. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

.

Находим матрицу, обратную матрице A:

.

Найдём матрицу, обратную матрице
B.

Сначала найдём определитель матрицы B:

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B:

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
B:

.

Находим матрицу, обратную матрице B:

.

Находим неизвестную матрицу:

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Продолжение темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

Умножение матриц (Формула, умножение матриц 2 × 2 и 3 × 3)

• • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
  • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
    • BNAT
    • Классы
      • Класс 1-3
      • Класс 4-5
      • Класс 6-10
      • Класс 110003 CBSE
        • Книги NCERT
          • Книги NCERT для класса 5
          • Книги NCERT, класс 6
          • Книги NCERT для класса 7
          • Книги NCERT для класса 8
          • Книги NCERT для класса 9
          • Книги NCERT для класса 10
          • NCERT Книги для класса 11
          • NCERT Книги для класса 12
        • NCERT Exemplar
          • NCERT Exemplar Class 8
          • NCERT Exemplar Class 9
          • NCERT Exemplar Class 10
          • NCERT Exemplar Class 11

          9plar

          • RS Aggarwal
            • RS Aggarwal Решения класса 12
            • RS Aggarwal Class 11 Solutions
            • RS Aggarwal Решения класса 10
            • Решения RS Aggarwal класса 9
            • Решения RS Aggarwal класса 8
            • Решения RS Aggarwal класса 7
            • Решения RS Aggarwal класса 6
          • RD Sharma
            • RD Sharma Class 6 Решения
            • RD Sharma Class 7 Решения
            • Решения RD Sharma Class 8
            • Решения RD Sharma Class 9
            • Решения RD Sharma Class 10
            • Решения RD Sharma Class 11
            • Решения RD Sharma Class 12
          • PHYSICS
            • Механика
            • Оптика
            • Термодинамика
            • Электромагнетизм
          • ХИМИЯ
            • Органическая химия
            • Неорганическая химия
            • Периодическая таблица
          • MATHS
            • Статистика
            • Числа
            • Числа Пифагора Тр Игонометрические функции
            • Взаимосвязи и функции
            • Последовательности и серии
            • Таблицы умножения
            • Детерминанты и матрицы
            • Прибыль и убыток
            • Полиномиальные уравнения
            • Разделение фракций
          • Microology
      • FORMULAS
        • Математические формулы
        • Алгебраические формулы
        • Тригонометрические формулы
        • Геометрические формулы
      • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
        • Математические калькуляторы
        • 000E
        • 000
        • 000
        • 000 Калькуляторы
        • 000 Образцы документов для класса 6
        • Образцы документов CBSE для класса 7
        • Образцы документов CBSE для класса 8
        • Образцы документов CBSE для класса 9
        • Образцы документов CBSE для класса 10
        • Образцы документов CBSE для класса 1 1
        • Образцы документов CBSE для класса 12
      • Вопросники предыдущего года CBSE
        • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
        • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
      • HC Verma Solutions
        • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
        • HC Verma Solutions Класс 12 Физика
      • Решения Лакмира Сингха
        • Решения Лахмира Сингха класса 9
        • Решения Лахмира Сингха класса 10
        • Решения Лакмира Сингха класса 8

      9000 Класс

      9000BSE 9000 Примечания3 2 6 Примечания CBSE

    • Примечания CBSE класса 7

    Примечания

    • Примечания CBSE класса 8
    • Примечания CBSE класса 9
    • Примечания CBSE класса 10
    • Примечания CBSE класса 11
    • Примечания 12 CBSE
  • Примечания к редакции 9000 CBSE 9000 Примечания к редакции класса 9
  • CBSE Примечания к редакции класса 10
  • CBSE Примечания к редакции класса 11
  • Примечания к редакции класса 12 CBSE
• Дополнительные вопросы CBSE
  • Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
  • Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
  • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
  • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE Вопросы
  • CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
  • CBSE Class 10 Science Extra questions
• CBSE Class
  • Class 3
  • Class 4
  • Class 5
  • Class 6
  • Class 7
  • Class 8 Класс 9
  • Класс 10
  • Класс 11
  • Класс 12
• Учебные решения

9000 JEE 9000 JEE 9000 Advanced