Чем алгебра отличается от математики: Чем алгебра отличается от математики?

Почему математика, а не арифметика? |

Для того чтобы понять, чем отличается курс арифметики от математики, показать разницу между тем, как учили арифметике раньше и как изучают математику сейчас, вспомним свои школьные годы.

Учительница спрашивала: сколько будет 1 + 2 ? Весь класс хором отвечал: три! А сколько будет 2 + 2? Четыре!
И так до тех пор происходило обучение, пока действие сложения не закреплялось всеми учениками. Затем переходили к вычитанию. После этого учились умножать, а затем делить. Это был метод, при котором больше времени отводилось на запоминание результата каждого отдельного действия сложения, чем на развитие мышления младших школьников.

Целостность знания разбивалась на отдельные части — сложение, вычитание, деление, умножение, и каждая часть усваивалась отдельно. В первом классе элементы знания подавались как отдельные единицы, а во втором классе и в третьем эти умения и навыки соединялись в целостное знание.
Только после того, как первоклассники усваивали каждое математическое действие в отдельности, они начинали складывать их в единое целое, приступая к изучению математических отношений и связей.

От детей требовали, чтобы они внимательно слушали учительницу и запоминали приемы решения задачи или примера. Считалось, что такой традиционный подход к изучению математики отвечал особенностям психики младших школьников. Даже учебник назывался “Арифметика”. Тем самым подчеркивался тот факт, что в начальных классах изучается только один из разделов науки математики.
Современная программа начальной школы предусматривает иной подход к обучению детей основам математических знаний. Она позволяет приблизить школьный курс математики к современной науке, полнее использовать умственные возможности детей и развить их способности.

Теперь в младших классах используется более содержательный метод обучения математике. В новой программе предусматривается обучение детей одновременно сложению и вычитанию, умножению и делению.

Новый школьный курс математики объединяет арифметику с элементами геометрии и алгебры. Дети уже с первого класса узнают, как взаимосвязаны математические действия. Это более содержательный путь обучения, и он дает больше, чем простая сумма знаний о сложении, вычитании, делении и умножении.

Усвоение математических знаний становится более емким и приводит к пониманию сути математических действий.
Например, вот какие преобразования можно произвести с простым примером:
1 + 2 = 3, но и 2 + 1 = 3.

Значит, уже в первом классе школьники узнают переместительный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
С этими же числами можно произвести вычитание: 3-2=1.
И закончит целостную единицу математического знания решение примера:
3-1 = 2.

Усвоение школьниками этих четырех примеров помогает им разобраться во взаимосвязи математических отношений.

Знакомство с элементами алгебры приходит с решением простейших уравнений, которые даются в виде практических задач.

Например:
В коробке было несколько (х) конфет. Наташа положила в коробку еще 3 конфеты, и в ней стало 10 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала ?
Простое вычитание 10 — 3 = 7 позволяет найти значение загадочного х. Можно записать решение в таком виде: х = 10 – 3; х = 7.

Новая методика преподавания математики основывается на противопоставлении сложения и вычитания, увеличения и уменьшения. У детей появляется представление о связях между предметами и явлениями. Ведь все в математике подчинено взаимосвязи понятий, логических построений, математических действий.

Чем отличается математика от физики?

Математика и логика — Математическая составляющая

Математика и логика


Поделиться    

Лев Дмитриевич Беклемишев

Логика как наука — предмет почти такой же древний, как и математика. В античное время и средние века она была составной частью тривиума (грамматика, риторика, логика/диалектика) — базового уровня образования; математические же предметы (арифметика, геометрия, астрономия и музыка) составляли следующий, более продвинутый, уровень, называемый квадривиум. (От слова «тривиум» происходит одно из любимых математиками выражений «тривиально».) Предметы тривиума понимались как науки о том, как правильно, без ошибок, писать, говорить и, соответственно, рассуждать.

Мы расскажем о том, как и почему возникла математическая логика, что она изучает, какие у неё есть достижения и современные применения.

От Аристотеля к Булю. Основы учения о правильных рассуждениях заложил Аристотель. Он заметил, что корректные умозаключения следуют определённым элементарным схемам, называемым силлогизмами, и перечислил ряд таких схем. (Классический пример силлогизма: «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен».) Учение о силлогизмах в свою очередь опиралось на глубокий анализ понятий и их соединения в высказывания.

Силлогистика Аристотеля была не лишена недостатков, однако в целом была выдающейся теорией и стала основой изучения логики на протяжении античности и средних веков. В трудах античных стоиков и средневековых схоластов она была модифицирована и дополнена. В таком виде аристотелевская логика дошла вплоть до середины XIX века, где и встретила революцию, связанную с проникновением в логику математических методов.

Возникновение математической логики полностью изменило представления учёных как о методах исследования логики, так и о том, что составляет сам предмет её изучения. В наше время заявления, что логика есть наука о правильных рассуждениях, кажутся настолько же справедливыми, насколько утверждение «математика — это наука о правильных вычислениях».

Аналогия между рассуждениями и вычислениями несколько глубже, чем кажется на первый взгляд. Возникновение логики как математической науки было связано с работами британских учёных Джорджа Буля и Августа де Моргана, которые обнаружили, что с логическими высказываниями можно оперировать как с алгебраическими выражениями. Например, если сложение читать как логическую связку «или», умножение как «и», а равенство как «равносильно», то для любых высказываний $a$, $b$ выполняются законы
$$ a+b=b+a,\quad a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c, $$

как и многие другие привычные нам законы арифметики. Но, помимо этого, в алгебре высказываний выполняется и кое‐что непривычное, например всегда
$$ a+a=a\quad \hbox{и}\quad a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c). $$

Такой взгляд на логику высказываний и силлогистику оказался и неожиданным, и плодотворным. В наше время эту точку зрения разрабатывает область, называемая алгебраической логикой, а одним из её центральных понятий является понятие булевой алгебры, названной так в честь её первооткрывателя. Эта область исследований, через понятие реляционной алгебры, обобщающей булеву, привела в 1960‐х годах к теории реляционных баз данных, в наше время лежащей в основе самых распространённых языков запросов, таких как SQL.

Математизация логики и аксиоматизация математики. Движущей причиной процесса математизации логики был назревший в самой математике на рубеже XIX—XX веков кризис оснований. С одной стороны, во второй половине XIX века в математике получил распространение удобный язык теории множеств, созданной Георгом Кантором. Математики стали уверенно использовать в своих рассуждениях конструкции с бесконечными множествами. Математика, вооружённая теорией множеств, шла от успеха к успеху.

С другой стороны, в самой теории множеств Кантора обнаружились парадоксы, которые указывали на то, что с этой теорией не всё в порядке на самом базовом уровне. Простейший парадокс такого рода, в фольклорном варианте известный как парадокс брадобрея, был придуман Бертраном Расселом: рассмотрим множество $R$ всех тех множеств, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Тогда $R\in R$ если и только если $R\notin R$, противоречие.

Такое положение дел заставило многих выдающихся математиков и философов той эпохи (Пеано, Фреге, Рассел, Гильберт, Пуанкаре, Брауэр, Вейль и др.) задуматься об основаниях математики. Их волновали такие фундаментальные вопросы как:

• Что означает доказать математическую теорему? Какие средства при этом законно использовать?
• Что значит выразить то или иное математическое понятие или утверждение на том или ином языке?
• Когда мы говорим об истинности и о доказуемости какого‐либо математического утверждения, имеется ли в виду одно и то же?

Параллельно в математике стали укореняться новые стандарты строгости. Основные области математики — анализ, алгебра, геометрия — были поставлены на аксиоматическую основу. Великий математик Давид Гильберт (1862—1943) был ярким сторонником и пропагандистом аксиоматического метода. Под его влиянием была построена и общепринятая в наше время система аксиом теории множеств, свободная от очевидных парадоксов. Эту аксиоматику предложил в 1908 году Э. Цермело и в дальнейшем дополнили Дж. фон Нейман и А. Френкель. Но где же настоящая гарантия, что полученная система не содержит противоречия? Каким образом это можно установить?

Эти вопросы оказались гораздо сложнее, чем представлялось тогда Гильберту. Они потребовали глубокого изучения аксиоматических систем и их формализации, привели к точному анализу структуры математического высказывания, первым формулировкам строгих математических моделей таких явлений, как доказуемость, выразимость, истинность, и сделали возможным их изучение математическими методами. Так возникла математическая логика — особая область исследований внутри математики. В рамках этой дисциплины был создан точный язык и математический аппарат для исследования целого пласта явлений, ранее относившихся к чисто гуманитарному знанию. (В этой роли математическую логику можно сравнить с такой областью современной математики, как теория вероятностей, которая ещё в начале XX века не была строго математической дисциплиной.)

Формальные языки. С современной точки зрения область интересов математической логики значительно шире, чем наука о правильных рассуждениях; её можно приблизительно описать, с оговорками и уточнениями, как построение и исследование формальных языков и систем математическими методами. Заметим, что если в этом определении отбросить слово «формальных», то вместо логики мы получим, по существу, математическую лингвистику — что указывает на определённое родство между этими двумя дисциплинами. Ключевое же отличие математической логики от логики в широком смысле слова — это именно использование математических методов, применяемых к точным формальным моделям.

Математическая логика по предмету сво-
ему есть логика, а по методу — математика.(П. С. Порецкий, 1884 год, Казань.)

Формальные и естественные языки имеют общие черты: у тех и у других есть синтаксис (то, как мы говорим или пишем), семантика (смысл того, что написано) и прагматика (то, как используется написанное). Основное отличие заключается в том, что — по крайней мере в идеале — синтаксис и семантика формальных языков могут быть определены на уровне математической строгости и поэтому в принципе поддаются анализу чисто математическими методами.

В наше время формальные языки встречаются в каждом доступном нам электронном устройстве, вроде мобильного телефона, а некоторые из них — языки программирования — даже изучают в школе. Поэтому за примерами далеко ходить не надо. Однако в середине XIX века, когда начался процесс математизации логики, формальных языков ещё не было, их только предстояло создать.

Логика предикатов. Разработчики первых формальных языков и систем, как правило, не думали о том, что эти системы могут быть реально использованы в вычислительных устройствах. (Исключением, видимо, можно считать великого учёного Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716), который почти за два века до Буля предвосхитил многие идеи математической логики, включая идею формализации языка математики, и даже построил механический арифмометр.)

Первые формальные языки и системы возникли как результат выделения фрагмента естественного языка, достаточного для передачи формулировок математических утверждений и их анализа. Процесс выработки основных категорий этого языка был продолжительным и шёл параллельно с выработкой некоторых ставших в наше время стандартными математических обозначений. (Одним из важных понятий, введённых в это время, стало понятие квантора, сформировавшееся в работах Г. Фреге и Ч. Пирса. Кванторы существования $\exists$ и всеобщности $\forall$ заменяют языковые конструкции «для некоторого» и «для всех». Первое из этих обозначений введено Дж. Пеано в 1897 году, второе — по аналогии — Г. Генценом в 1935 году, однако общеупотребительными эти обозначения стали лишь под влиянием Бурбаки во второй половине XX века.) Этот процесс в основном завершился в 1920‐х годах, когда в качестве стандартного класса языков, предназначенных для формализации и анализа математических утверждений, стал рассматриваться язык логики предикатов (первого порядка).

Предикатом на множестве $M$ мы называем высказывание, зависящее от $n$ параметров из этого множества (например, «натуральное число $x$ чётно», «точки $x$, $y$ и $z$ плоскости лежат на одной прямой»). Как только фиксированы значения параметров, предикат принимает логическое значение ложь или истина. Таким образом, с формальной точки зрения предикат представляет собой функцию от $n$ аргументов из множества $M$ в $\{0,1\}$.

Не вдаваясь в технические подробности, можно приблизительно описать высказывания логики предикатов как такие, которые можно сформулировать (предполагая заранее заданными обозначения некоторых базовых предикатов) с помощью конструкций $\land$ «и», $\lor$ «или», $\neg$ «не», $\to$ «влечёт» и уже упомянутых кванторов. Например, текст $\forall{x} \exists{y} (y>x \land P(y))$ выражает неограниченность множества простых чисел, если договориться, что переменные пробегают множество натуральных чисел, «$>$» означает «больше», а $P(y)$ выражает простоту числа $y$. Эти договорённости составляют часть того, что мы назвали семантикой языка логики предикатов.

Удивительный факт, подтверждаемый всей существующей математической практикой, состоит в том, что выразительных средств языка логики предикатов — на первый взгляд очень скромных — достаточно для формулировки любых известных математических результатов. При этом может быть использовано всего лишь одно базовое понятие — предикат принадлежности $x\in y$ «множество $x$ есть элемент множества $y$». (В картине мира аксиоматической теории множеств все объекты, обозначаемые переменными, являются множествами.)

Доказуемость и вычислимость. Выразить в данном языке то или иное осмысленное утверждение — совсем не то же самое, что суметь его доказать. Следующий уровень языка логики предикатов состоит в описании таких текстов, которые следует признать корректными доказательствами. Традиционно этот уровень называется в математической логике исчислением предикатов. Формальное доказательство (в формате, который принято называть гильбертовским, но который существовал и до работ Давида Гильберта) представляет собой конечную цепочку высказываний логики предикатов, каждое из которых либо является аксиомой, либо получается из предшествующих высказываний по одному из постулируемых правил. Минимальный стандартный набор таких правил содержит лишь два: правило, позволяющее из высказываний $A$ и $A\to B$ вывести $B$, и правило, позволяющее из высказывания $A$ вывести $\forall x A$. (Если высказывание $A$ содержит параметр $x$, то формальное доказательство $A$ обосновывает его истинность при всех возможных значениях параметра.)

Таким образом, математическая доказуемость описывается двумя формальными языками — языком утверждений, описанным в предыдущем разделе, и языком доказательств — из которых второй является надстройкой над первым.

Похожая ситуация имеет место и с понятием вычислимости. Языки программирования предназначены для описания алгоритмов. Алгоритм при этом описывается программой — построенным по определённым правилам формальным текстом, который принято называть кодом. Таким образом, первый уровень языка программирования составляет язык текстов программ. Однако, процесс выполнения программы на данном компьютере на данном входе также может быть зафиксирован в виде текста (не важно, сохраняется ли этот текст в ходе работы программы или нет). В теории алгоритмов принято называть такой текст полным протоколом работы программы. То, каким образом порождается этот протокол, и составляет полное описание той или иной вычислительной модели. Для реальных языков программирования, разумеется, такое описание чрезвычайно сложно, однако для простейших моделей, таких как машина Тьюринга, оно гораздо проще.

Теория алгоритмов и создание компьютеров. Математическая логика сыграла важную роль в появлении компьютеров, хотя и не была единственной движущей силой в этом сложном процессе. Именно в математической логике, в попытке дать наиболее общее определение задачи, имеющей алгоритмическое решение, было осознано, что возможно построение универсального вычислительного устройства (машины), которое будет способно решать все теоретически разрешимые алгоритмические задачи.

Одним из первых, кто это понял, был Алан Тьюринг, давший точное определение и наиболее убедительный анализ понятия вычислимой функции в 1936 году. Другими учёными, которые наряду с Тьюрингом пришли к тем же идеям приблизительно в то же время, были Алонзо Чёрч и Эмиль Пост. Этими и другими исследователями в 1930‐х годах были созданы начала теории алгоритмов, которая стала основой понимания работы и построения вычислительных устройств в 40‐е и 50‐е годы. В частности, идея универсальной машины Тьюринга была в дальнейшем технически реализована в компьютерной архитектуре «по фон Нейману», в соответствии с которой программа хранится в памяти устройства и может быть модифицирована в ходе его работы. На основе этой идеи построены все операционные системы.

Задачей, которую стремились решить пионеры теории алгоритмов, был вопрос, поставленный Гильбертом и названный им по‐немецки Entscheidungsproblem, «проблема решения». Вопрос состоял в том, чтобы найти алгоритм, который по данному утверждению, записанному на языке логики предикатов, давал бы ответ, существует ли формальное доказательство этого утверждения или нет. Если бы такой алгоритм существовал, то все математические проблемы в некотором смысле имели бы чисто механическое решение: как уже упоминалось, на языке логики предикатов можно сформулировать практически любое математическое утверждение, например знаменитую гипотезу о бесконечности числа пар простых чисел‐близнецов. Тогда вопрос о том, выводима ли эта гипотеза из аксиом теории множеств, сводился бы к проверке доказуемости некоторого высказывания в исчислении предикатов. Неудивительно, что исследователи Entscheidungsproblem стремились показать, что требуемого алгоритма в принципе не может существовать.

Если доказать существование того или иного алгоритма можно, предъявив его явно, то для того, чтобы утверждать, что такого алгоритма не существует, необходимо располагать точным математическим описанием того класса задач, которые допускают алгоритмическое решение. Ответ на этот вопрос потребовал разработки формальных языков описания алгоритмов ещё до появления компьютеров. Причём, поскольку цель такой разработки была более теоретическая, чем практическая, исследователи стремились к формулировке наиболее простых для описания и в то же время универсальных вычислительных моделей. Первыми такими моделями были рекурсивные функции Гёделя—Эрбрана, лямбда‐исчисление Чёрча и машины Тьюринга.

Гёдель, хотя и был первым, кто фактически сформулировал универсальный язык программирования, не считал, что найденное им (и французским логиком Эрбраном) понятие является универсальным в смысле способности запрограммировать любой алгоритм. Первым, кто высказал тезис об универсальности своей вычислительной модели, был Алонзо Чёрч. Он также предъявил доказательство невозможности решения Entscheidungsproblem в рамках этой модели. Исчисление Чёрча было очень простым по форме, но больше напоминало формальное логическое исчисление, чем реальную вычислительную машину. Машины Тьюринга в этом смысле были ближе к будущей реальности, и поверить в тезис Тьюринга о том, что любая задача, имеющая алгоритмическое решение, может быть решена на машине Тьюринга, было намного легче, чем в аналогичный тезис Чёрча (известно, что именно работа Тьюринга смогла убедить Гёделя в справедливости этого тезиса). Тьюринг также показал, что его машины эквивалентны лямбда‐исчислению в смысле вычислительных возможностей, что стало косвенным свидетельством справедливости тезиса Чёрча—Тьюринга, как его теперь принято называть.

Впоследствии многие исследователи предлагали свои вычислительные модели в надежде расширить класс вычислимых функций, впервые описанный Чёрчем и Тьюрингом. Все такие попытки не привели к расширению этого класса, который оказался очень устойчивым. В настоящее время тезис Чёрча—Тьюринга — понимаемый в смысле любой из эквивалентных вычислительных моделей — является одним из краеугольных камней, на которых базируется теория алгоритмов.

Что касается лямбда‐исчисления, то оно долгое время пребывало на обочине математической логики, будучи вытеснено из теории алгоритмов более удобными и интуитивными моделями. Однако во второй половине XX века лямбда‐исчисление и системы на его основе нашли серьёзные практические применения. Лямбда‐исчисление Чёрча стало прообразом так называемых функциональных языков программирования (таких как современный язык Haskell), которые имеют ряд преимуществ по сравнению с традиционными императивными языками и в настоящее время очень активно развиваются.

Алгоритмически неразрешимые проблемы в математике. Вслед за Entscheidungsproblem с точки зрения теории алгоритмов были проанализированы и многие другие математические проблемы, поставленные как вопросы о построении того или иного алгоритма. Некоторые из таких трудных проблем, остававшихся открытыми десятилетиями, оказались алгоритмически неразрешимыми задачами.

Среди такого рода вопросов наиболее известна 10‐я проблема Гильберта о распознавании разрешимости диофантовых уравнений. Диофантово уравнение — это уравнение вида $P(x_1,…,x_n)=0$, где $P$ — многочлен с целыми коэффициентами от переменных $x_1$, …, $x_n$. Требуется узнать по заданному многочлену $P$, существуют ли целые числа $x_1$, …, $x_n$, удовлетворяющие такому уравнению.

Вопрос Гильберта о построении общего алгоритма, работающего для всех диофантовых уравнений, с самого начала выглядел безнадёжным. С появлением теории алгоритмов исследователи стали предпринимать усилия в попытке доказать неразрешимость этой задачи. Промежуточные результаты в этом направлении получили американские логики Дж. Робинсон, М. Дэвис и Х. Патнэм, на их основе окончательное решение задачи было получено лишь в 1970 году ленинградским математиком Ю. В. Матиясевичем.

В наше время в математике алгоритмические вопросы занимают подобающее им важное место. Математическая логика научила нас тому, что далеко не всякий такой вопрос является разрешимым. Кроме того, даже если алгоритм решения той или иной задачи существует в принципе, не всегда можно говорить о его применимости на практике. Например, выполнение алгоритма может потребовать слишком много времени или памяти компьютера. Такого рода вопросами занимается отдельная область теории алгоритмов — теория сложности вычислений, о которой подробно рассказано в другой статье этого сборника (см. «Теория сложности»).

Теоремы Гёделя и недоказуемые утверждения. Ещё одним открытием, сделанным гениальным австрийским логиком Куртом Гёделем в 1931 году, было явление непополняемости аксиоматических систем. Знаменитые теоремы Гёделя о неполноте не только оказали большое влияние на развитие математической логики и дали толчок к созданию теории алгоритмов, но и стали общекультурным явлением, затронувшим даже творчество писателей и художников. Гёдель был назван в числе ста наиболее влиятельных личностей XX века по версии журнала Тайм. Однако известность теорем Гёделя приводит и к тому, что часто они интерпретируются в слишком расширительном, метафорическом смысле.

Полными называют такие системы аксиом, в которых доказуемо или опровержимо любое утверждение того же языка (можно говорить о доказуемости в исчислении предикатов из данного множества аксиом). Понятно, что если мы хотим построить систему аксиом для той или иной области математики, нам бы хотелось, чтобы эта система была непротиворечивой и полной — неполнота означает, что мы «забыли» постулировать какие‐то принципы, касающиеся базовых понятий данного языка, и нужно их добавить к списку аксиом.

Теоремы Гёделя относятся к классу аксиоматических систем, удовлетворяющих двум естественным и широким требованиям. Во‐первых, необходимо, чтобы в рассматриваемом формальном языке по меньшей мере было выразимо понятие натурального числа и операции сложения и умножения. На первый взгляд это требование кажется весьма специальным, однако натуральные числа — один из базовых математических объектов, и языки, претендующие на формализацию значительной части математики, должны позволять о них говорить.

Целые числа создал Господь Бог,
всё остальное — дело рук человеческих. (Леопольд Кронекер, 1886 год, Берлин.)

Во‐вторых, должен существовать алгоритм, распознающий, является ли данный текст аксиомой рассматриваемой теории или нет. (Если аксиомы теории нераспознаваемы, то неясно, как можно строить доказательства в такой системе.)

Гёдель показал, что при выполнении этих требований любая система аксиом либо противоречива, либо неполна. Более того, для любой непротиворечивой системы можно явно указать предложение, касающееся арифметики натуральных чисел, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в данной системе (такие утверждения принято называть независимыми от данной системы аксиом). В частности, это означает, что систему аксиом формальной арифметики нельзя никаким непротиворечивым образом «пополнить»: всегда найдутся независимые от неё арифметические утверждения. Это составляет содержание так называемой первой теоремы Гёделя.

Вторая теорема Гёделя говорит о том, что утверждение, выражающее непротиворечивость данной аксиоматической системы, не доказуемо в самой системе, если эта система и в самом деле непротиворечива. Если считать, что стандартные математические методы укладываются в рамки аксиоматической теории множеств, то из этой теоремы следует, например, что стандартными математическими методами нельзя установить непротиворечивость теории множеств (и, тем самым, их собственную непротиворечивость).

Теоремы Гёделя позволили построить первые примеры независимых утверждений для сильных систем аксиом, таких как арифметика или даже теория множеств. После работ Гёделя такие примеры были обнаружены среди открытых проблем в различных областях математики. Одной из самых знаменитых открытых проблем в математике была континуум‐гипотеза Кантора, в соответствии с которой всякое бесконечное подмножество множества вещественных чисел либо счётно (равномощно множеству натуральных чисел), либо континуально (равномощно множеству вещественных чисел). В 1938 году Гёдель сумел доказать, что эту гипотезу невозможно опровергнуть в теории множеств, а в 1961 году американский математик Пол Коэн установил её недоказуемость.

Недоказуемые утверждения теоретико‐множественной природы впоследствии были обнаружены в самых разных частях математики — в анализе, алгебре, топологии и др. Сравнительно недавно, в конце 1970‐х годов, были найдены первые простые примеры утверждений из области конечной комбинаторики, независимые от аксиом формальной арифметики и даже от более сильных аксиоматических систем. Принципиальная разница с примерами типа континуум-гипотезы состоит в том, что комбинаторные примеры относятся к конечным и совершенно элементарным объектам, и их можно легко объяснить школьнику. Исследования в направлении поиска естественных примеров независимых утверждений активно ведутся и в наши дни.

Логика в других разделах математики. Наиболее впечатляющие достижения математической логики, описанные выше, так или иначе связаны с анализом трудных проблем, в том или ином смысле не имеющих решения. Такие проблемы в математике встречаются, по счастью, довольно редко. Для работающих математиков поэтому более ценным является вклад в копилку методов, годных для решения их собственных повседневных задач. Здесь мы упомянем некоторые известные приложения логики такого рода, хотя в целом следует признать, что их не слишком много.

Область математики, которая испытала на себе сильное влияние логических методов — это абстрактная алгебра. Соответствующее направление математической логики — теория моделей — возникло в 1940‐х годах в работах А. И. Мальцева в России и А. Тарского и А. Робинсона в США с прицелом на приложения в алгебре. Первые такие приложения были найдены в 1941 году А. И. Мальцевым, который осмыслил доказанную им (а ранее в более слабой форме Гёделем) теорему о компактности для логики предикатов как общий метод получения локальных теорем в алгебре. Оказалось, что методы универсальной алгебры и методы теории моделей весьма близки и понимание взаимосвязей обогатило обе дисциплины. Некоторые конструкции, впервые найденные в математической логике, стали стандартными в алгебре и анализе, например так называемая конструкция ультрапроизведения, придуманная польским логиком Е. Лосем.

Одним из ярких достижений теории моделей 1960‐х годов стало создание нестандартного анализа Абрахамом Робинсоном. Он описал логическую конструкцию, которая позволила непротиворечиво рассматривать пополнение множества вещественных чисел бесконечно малыми и бесконечно большими числами. С помощью этой конструкции стало возможным дать объяснение исходной интуиции лейбницевских «бесконечно малых» и дать технически простое и интуитивное построение основных результатов математического анализа.n$ при $n>2$).

Методы теории доказательств — области математической логики, изучающей формальную доказуемость — также находят применения в «обычной» математике. Одним из успешных современных направлений является proof mining, извлечение конструктивных оценок из априори неконструктивных математических доказательств. Так называемые функциональные интерпретации, первоначально разработанные для анализа формальных систем, оказалось возможным применить и к конкретным содержательным математическим результатам (например, из области вещественного анализа, где интересен вопрос о скорости сходимости того или иного процесса к неподвижной точке и требуется явная оценка этой скорости). Результаты, полученные логическими методами, часто дают совершенно неочевидные усиления исходных теорем.

Логика в компьютерных науках. Если применения математической логики в «обычной» математике достаточно редки, то роль логических методов в информатике и компьютерных науках намного выше. Здесь математическая логика даёт подходящий язык для изучения возникающих задач и набор общих подходов к их решению. Удивительным образом, иногда оказывается, что концепции, сформулированные в математической логике очень давно и с другими целями, обретают новую жизнь в конкретных прикладных областях. Расскажем о некоторых направлениях, в которых логика доказала свою эффективность.

Реляционные базы данных и языки запросов. Многомиллиардная индустрия баз данных связана с технологией хранения больших объёмов структурированных данных, извлечением из них полезной информации и её обновлением. Поиск информации в базе данных осуществляется пользователем на языке запросов, который позволяет найти среди большого массива данных нужные сведения, потратив на это не слишком много времени. Поэтому языки запросов должны сочетать в себе достаточную гибкость для формулировки запросов и одновременно обеспечивать возможность эффективного поиска информации.

В 1960‐х годах американский учёный T. Кодд понял, что самый обычный язык логики предикатов очень удобен для обеих целей, поскольку позволяет эффективно осуществлять поиск по запросу. Эффективность обеспечивается с помощью аппарата реляционной алгебры — языка операций над отношениями, разработанного до этого в математической логике (в школе Альфреда Тарского) как алгебраический эквивалент языка логики предикатов. Идея Кодда о том, что запросы на языке реляционной алгебры допускают эффективный поиск, была первоначальным стимулом в разработке реляционных баз данных и общеупотребительных в настоящее время языков запросов, таких как SQL. С тех пор теория баз данных и логических языков успешно развиваются рука об руку.

Верификация программ и протоколов. Задача верификации программ, протоколов, аппаратных средств является одной из наиболее трудных и практически важных в компьютерной индустрии. Под верификацией понимается доказательство корректности работы программы (протокола, процессорного чипа, и т. д.), т. е. соответствия того, что реально делает программа, тому, что нам хотелось бы, чтобы она делала. Поскольку программа работает с входными данными, а вариантов входных данных может быть бесконечно много, мы не можем протестировать работу программы на всех возможных входах. На практике применяют методы тестирования, которые увеличивают вероятность обнаружения ошибок, однако полной гарантии надёжности всё‐таки не дают.

Другой путь решения этой проблемы, также активно применяемый на практике, состоит в сведении рассматриваемой задачи к логическому вопросу о соответствии программы её формальной спецификации. Это предполагает формулировку требований к тому, что должна делать программа, на формальном языке спецификаций программ. (В качестве такого языка часто используется язык так называемой темпоральной, или временной, логики, одной из разновидностей модальных логик.)

Подход, называемый model checking, состоит в том, чтобы сопоставить программе граф, представляющий её возможные состояния и переходы между ними. Это позволяет свести задачу верификации программы к вопросу о выполнимости формулы, задающей спецификацию, в модели, представляющей программу. Для решения задачи проверки выполнимости формулы в данной модели разработаны эффективно работающие алгоритмы, что позволяет на практике верифицировать программы с большим числом состояний. Этот метод особенно хорошо себя зарекомендовал для верификации чипов.

Альтернативный подход, называемый theorem proving, состоит в том, чтобы сопоставить программе логическую формулу, выражающую её корректность, и искать формальное доказательство этой формулы — например, в исчислении предикатов. Этот подход на данный момент не так распространён на практике, как model checking, но продолжает развиваться. Успешность этого метода во многом зависит от эффективности работы пруверов — программ автоматического поиска формальных доказательств. Разработка такого рода систем активно ведётся в наши дни.

Теории типов и функциональное программирование. Парадигма функционального программирования сочетает в себе несколько базовых идей, первоначально возникших в математической логике.

Первая идея — это взгляд на функцию как на объект, к которому может применяться программа наряду с другими данными (аргументы функций в свою очередь могут быть функциями и т. д.). Функциональная программа в целом может рассматриваться как определение некоторой сложной функции, а исполнение программы — как процесс вычисления значения функции на данном аргументе, сводящийся к пошаговому упрощению (редукции) её определения.

Более привычный нам императивный стиль программирования, в традиции Тьюринга и фон Неймана, привязан к понятию состояния памяти компьютера, которое изменяется в результате применения команд, таких как присваивания переменным новых значений. Функциональные программы не предполагают явного хранения состояния вычисления, в них нет присваиваний, а функции больше соответствуют математическому пониманию функций, чем подпрограммы в императивном программировании, которые могут зависеть от внешних переменных и иметь побочные эффекты.

Эти особенности позволяют писать в функциональном стиле более прозрачный код, потенциально содержащий меньше ошибок. Кроме того, функциональные программы допускают хорошее распараллеливание, поскольку разные части определения функции могут быть вычислены независимо.

В последние годы функциональные языки занимают всё более важную нишу среди употребительных языков программирования и применяются в тех областях, где важно иметь надёжные программы, например, в банковской сфере. По существу, первым функциональным языком программирования было лямбда‐исчисление, придуманное Чёрчем как простейшая универсальная вычислительная модель. Идеи лямбда‐исчисления были затем воплощены в одном из первых действующих функциональных языков — языке LISP, а также во многих более современных языках вплоть до Ocaml и Haskell.

Другой ключевой идеей, идущей из математической логики, является идея типа данных, на которой основано подавляющее большинство языков программирования высокого уровня, не обязательно именно функциональных. Использование переменных и функций, которым приписан определённый тип (например, тип «число с плавающей точкой», или тип «массив целых чисел»), позволяет на уровне компиляции проводить контроль типов, что избавляет программы от значительного числа ошибок (связанных с несоответствием значения переменной типу). Развитие языков программирования идёт в сторону усовершенствования и усложнения системы типов, где контролю типов отводится всё большая роль.

Формальные языки с типами (в отличие от бестиповых языков, в которых все переменные имеют один и тот же тип) впервые возникли в фундаментальном труде Б. Рассела и А. Уайтхеда «Основания математики», целью которого было построение математики на основе непротиворечивой системы аксиом теории множеств. В математике эта система, однако, не прижилась и была заменена более простой бестиповой теорией множеств Цермело—Френкеля с аксиомой выбора.

В 1950‐е годы в логике было обнаружено, что в достаточно развитых системах на базе лямбда‐исчисления с типами последние ведут себя в точности как логические высказывания (языка интуиционистской логики), а функциональные программы — как формальные доказательства этих высказываний. Это явление, описанное здесь, разумеется, очень приблизительно, получило название соответствия Карри—Говарда. Через несколько десятков лет оно послужило основой для создания функциональных языков, в которых возможно написание программ с одновременной верификацией их кода. Наиболее известными языками такого рода являются Coq и Agda, созданные для формализации математических доказательств. В частности, именно на языке Coq удалось построить формальное доказательство гипотезы четырёх красок и ряда других трудных математических результатов. Эти же языки начинают применяться и для задач верификации программ, описанных в предыдущем пункте.

Этими тремя темами мы ограничим избранный список областей информатики, в которых на деле применяются результаты математической логики. Многие не менее важные темы при этом оказались не затронутыми: теория сложности вычислений, теория автоматов и монадическая логика, SAT‐solving, языки авторизации и контроля доступа к информации, логическое программирование и хорнова логика, онтологические базы данных и дескрипционная логика — перечисление можно очень долго продолжать.

Завершая обзор, посмотрим на отдельные области гуманитарных наук, испытавшие на себе влияние методов математической логики. Выбранные нами предметы касаются философии, языкознания и даже теории права. Эти разнообразные темы объединены в одну группу, поскольку связаны с изучением явлений, требующих модификации тех или иных аспектов классической логики.

Неклассические логики. Первые логические системы, отличные от традиционной двузначной, стали появляться ещё в то время, когда процесс формализации классической логики предикатов не был завершён. К настоящему времени неклассические логики представляют собой большое царство, населённое самыми разнообразными и экзотическими представителями (исчисляемое десятками семейств). Мотивации при рассмотрении неклассических логик могут быть самыми разными: попытки точнее передать те или иные свойства естественного языка; попытки построить систему, отвечающую тем или иным философским установкам; попытки расширить язык классической логики новыми выразительными возможностями или, наоборот, сузить выразительные возможности классической логики с тем, чтобы сделать её более эффективной для решения тех или иных задач. Проведём небольшую экскурсию по «зоопарку» неклассических логик.

Интуиционизм как философское течение возник в самом начале XX века в работах молодого нидерландского математика Л. Э. Я. Брауэра как реакция на кризис оснований математики и теории множеств. Характерной чертой философии Брауэра было желание избавить математику от неконструктивных теорем существования, т. е. утверждений о существовании тех или иных объектов, без возможности предъявить явно их конструкцию. Глубокий анализ привёл Брауэра к идее о том, что сама классическая логика, а именно закон исключённого третьего, является источником таких неконструктивных утверждений в математике. Это потребовало радикально пересмотреть традиционное понимание смысла математических утверждений, логических операций и кванторов.

Хотя сам Брауэр настаивал на неформальном характере своей философии математики — отсюда её название «интуиционизм» в противоположность гильбертовскому «формализму» — к началу 1930‐х годов возникла потребность в уточнении совокупности логических принципов, приемлемых с интуиционистской точки зрения. Решение этой задачи было дано учеником Брауэра А. Гейтингом, который сформулировал общепринятую в настоящее время интуиционистскую логику предикатов, опираясь на предшествовавшую работу А. Н. Колмогорова. Парадоксально, но в результате интуиционизм был также поставлен на прочную формальную основу.

Несмотря на поддержку ряда выдающихся математиков, одним из которых был Герман Вейль, интуиционизм не стал преобладающей философией математики. В настоящее время трудно найти подлинных сторонников этой философии даже среди логиков. Тем не менее, с точки зрения формальной логики, интуиционизм представляет собой стройную и богатую содержательными результатами систему. С течением времени было осознано, что интуиционистская логика скрывается во многих математических структурах, в частности в структурах топологической природы. Например, было обнаружено, что возникшее в работах А. Гротендика понятие топоса можно рассматривать как модель интуиционистской логики.

С другой стороны, интуиционистская логика часто возникает в различных приложениях в компьютерных науках. Это не случайно, поскольку интуиционистская логика теснее связана с понятием вычисления, чем логика классическая. Одним из важнейших проявлений этой связи является уже упомянутое соответствие Карри—Говарда.

Классическая логика допускает интерпретацию в логике интуиционистской, поэтому современная точка зрения на их соотношение состоит в том, что интуиционистская логика не ограничивает, а, наоборот, добавляет в классическую новые выразительные возможности — такие как различие между неконструктивным и конструктивным утверждением о существовании.

Модальная логика. Другим классом логик, обогащающих классическую новыми выразительными возможностями, являются так называемые модальные логики. Язык модальной логики, наряду с обычными связками, содержит новую одноместную логическую связку $ □\, $. Высказывание $□\, A$ в разных контекстах может пониматься совершенно по‐разному, что приводит к разным постулируемым принципам, т. е. разным модальным логикам. Стандартные логические связки, такие как импликация или отрицание, как правило, сохраняют в модальной логике классическую интерпретацию. (Разумеется, могут рассматриваться модальные логики и над другими логиками, например над интуиционистской, однако такие системы в целом сложнее и потому менее распространены.)

Исторически первым, идущим ещё от Аристотеля, прочтением формулы $□\, A$ было высказывание «$A$ необходимо». (Здесь мы говорим о языковой конструкции, присутствующей в нашем естественном языке, а не о каком‐либо математическом понимании того, что значит «необходимо».) Двойственное высказывание «не $A$ не является необходимым» обычно отождествляется с высказыванием «$A$ возможно» и обозначается $◇\, A$.

Перечислим некоторые известные интерпретации модальности, приводящие к интересным и полезным семействам логик.

Логика доказуемости: $□\, A$ означает «$A$ доказуемо» в данной аксиоматической теории, например в теории множеств. При этом высказывания понимаются как высказывания в языке теории множеств, каковым можно считать и само высказывание о доказуемости утверждения $A$. Эта логика интересна тем, что даёт точную математическую семантику модальности и применяется для исследования обычных классических аксиоматических теорий.

Временная логика, описывающая развитие некоторого процесса во времени: $□\, A$ означает «всегда в будущем будет верно $A$». Различные модели течения времени — непрерывное, дискретное или даже ветвящееся — приводят к разным временным логикам. Временные логики, применяемые на практике для верификации программ, используют и некоторые дополнительные связки, например двухместную связку, выражающую «$A$ имеет место до тех пор, пока $B$».

Эпистемическая логика, описывающая знания и обмен информации между несколькими агентами: $□\,_x A$ означает «агенту $x$ известно $A$» (в этой логике, как правило, описываются знания нескольких агентов $x$, $y$, … и каждому из них соответствует своя модальность $□\,_x$, $□\,_y$, …). Эпистемическая логика является частью (формальной) эпистемологии — обширного и важного раздела философии, занимающегося исследованием таких понятий, как знание и вера, того как знание возникает, как оно связано с понятием доказательства (обоснования). Формализм эпистемической логики позволяет построить модели различных аспектов этих явлений и использовать их для анализа тех или иных теоретических положений.

Эпистемическая логика также находит более конкретные применения в компьютерных науках и искусственном интеллекте для описания знания, возникающего в системах с несколькими агентами. Например, условие корректности протокола, связанного с обменом информацией, в котором не должна допускаться утечка информации третьим лицам, может быть сформулировано на языке эпистемической логики.

Деонтическая логика формализует модальности типа долженствования, например $□\, A$ можно понимать как «$A$ требуется» или «$A$ обязательно» (двойственную модальность можно понимать как «$A$ разрешено»). Такие логики впервые стали рассматриваться в философии и теории права для формализации и анализа различных аспектов правовых систем.

Многозначная логика и нечёткая логика. Многозначные логики возникают, если допускаются другие истинностные значения, помимо классических истины 1 и лжи 0. Например, можно рассматривать промежуточное значение 1/2 и интерпретировать его как «неизвестно». Следующий шаг требует определения того, каким образом вычисляются значения логических связок, и конкретное решение по этому поводу может привести к различным логикам.

Если пойти дальше по пути многозначности, то естественно возникает идея о том, что истинностным значением высказывания может быть любое вещественное число в интервале $[0,1]$ (например, это число может выражать степень нашей уверенности в справедливости высказывания). Такие логики часто называют «нечёткими» (fuzzy), поскольку предикаты в такой системе могут выглядеть как размытые, не имеющие чётких границ. Например, высказывание о том, что видимый цвет является красным, не является чётким в силу неопределённости самого понятия «красный».

Нечёткие логики призваны формализовать рассуждения в условиях неопределённости или неточности информации. Подлинным «отцом» нечёткой логики и теории нечётких множеств был Л. Заде. Он увидел потенциал этой логики для различных инженерных применений, например в такой области, как экспертные системы или теория управления, и сделал очень много для её популяризации.

Немонотонная логика. Классическая логика обладает очевидным свойством монотонности: добавление новых аксиом не отменяет никаких ранее доказанных теорем. В работе с базами данных, где не вся содержащаяся информация может быть верной, появление новой информации может привести к пересмотру уже известных фактов и их отмене. В этом случае свойство монотонности нарушается.

Аргументы и доказательства, приводимые в суде, могут быть оспорены или опровергнуты противной стороной. Процесс выстраивания аргументов, таким образом, на практике выглядит совершенно непохоже на привычные нам дедуктивные математические доказательства. Эти аспекты изучает теория аргументации — весьма развитая область исследований, связанная с философией, лингвистикой, теорией права и искусственным интеллектом. Формальные модели аргументации во многих случаях базируются на немонотонных логиках.

Паранепротиворечивая логика. Как известно, в классической логике действует закон ex contradictio quodlibet, т. е. из противоречия следует всё что угодно. Поэтому противоречивые классические системы все эквивалентны между собой и, по существу, бесполезны. На практике людям приходится рассуждать в не столь стерильных условиях: не всегда бывает известно, есть ли противоречие в имеющейся информации, на основании которой приходится делать выводы. Логики, приспособленные для рассуждений в условиях возможно противоречивых предположений, называются паранепротиворечивыми. В таких системах возникновение противоречия не приводит к доказуемости всех вообще утверждений.

Можно сказать, что наша обыденная логика (как способ умозаключений на основе имеющейся информации) является одновременно нечёткой, паранепротиворечивой и немонотонной. Разумеется, все эти формальные системы являются лишь приближёнными и грубыми моделями отдельных аспектов той самой «обыденной логики».

Грамматики Хомского и семантика Монтегю. Одной из теорий, соединивших в себе сразу несколько аспектов неклассических логик — кванторы, предикаты, модальности, модели Крипке и лямбда‐абстракцию — является семантика Монтегю. Эта теория, предложенная американским логиком Р. Монтегю в начале 1970‐х годов, представляет собой попытку применить идеи математической логики к трудной задаче описания семантики естественного языка. Она, по существу, положила начало целому направлению в математической лингвистике — формальной семантике. Ранее работы Н. Хомского, создавшего теорию формальных грамматик, произвели революцию в понимании синтаксиса естественных языков. Применения математической логики в лингвистике, из которых мы вскользь упомянули лишь два важных направления, безусловно заслуживают отдельного разговора.

Неужели это всё математика? — недоумённо воскликнет читатель. И да, и нет. Исследователи, применяющие методы математической логики в той или иной области знания, должны прежде всего быть компетентными специалистами именно в этой области и разбираться в постановках специфических для неё задач. Напомним, что многие создатели математической логики — Гёдель, Тьюринг, фон Нейман и др. — не были только лишь «чистыми» математиками.

Тем не менее, используемый в приложениях логический аппарат является самым настоящим математическим аппаратом, даже если он и совсем не похож на ту математику, которой традиционно обучают на математических факультетах университетов. Вопросы, связанные с неклассическими логиками — например, вопросы их полноты относительно семантики Крипке или топологической семантики, вопросы классификации различных семейств неклассических логик — имеют существенную математическую составляющую. Для успешной работы в философской логике, математической лингвистике, теории игр, теории баз данных и других областях приложений этой математикой также нужно овладеть. К счастью, порог входа здесь не так уж высок, и математическую логику с успехом преподают на факультетах компьютерных наук, философии и лингвистики.

Математически наиболее развитые части математической логики — такие, как теория множеств, теория алгоритмов и сложности вычислений, теория моделей или ординальный анализ формальных систем, содержат некоторые из наиболее сложных с математической точки зрения результатов и применяемых методов. Разумеется, современные исследования в этих давно сложившихся областях целиком и полностью лежат в области математики.

«Математики — это национальность»

Одним из двух лауреатов премии имени Георгия Гамова 2019 года, наряду с химиком Валерием Фокиным из Университета Южной Калифорнии, стала Вера Серганова, профессор Университета Калифорнии в Беркли. N + 1 поговорил с Верой Сергановой о том, как в математике рождаются идеи, как они влияют на физиков и чем математика XXI века отличается от математики минувших веков.

N + 1: Вы так долго работаете в знаменитом Беркли. Расскажите, как там работается математику, как организован обмен идеями?

Вера Серганова: Да, правда, долго я там — 27 лет, с 1992 года. Да обычно никак не организован. Конечно, есть семинары, на семинарах делаются доклады. Но очень много простых связей. У тебя возникает вопрос — ты идешь к коллеге. Коллега отвечает на твой вопрос, или наоборот. Иногда в результате получается работа.

Я сейчас очень много работаю на расстоянии — у меня соавторы в основном не в Беркли, они в других местах. Мы разговариваем по скайпу. Это так замечательно, когда находишь людей, которые думают про те же вещи. И почти не важно, кто они по национальности. Математик — он всегда математик.

Но сохраняется ли ценность влиятельного университета как места работы, где рядом много нужных коллег — как это было в больших советских институтах?

Мне кажется, сейчас это менее важно. Когда вы уже нашли, с кем вы работаете, то уже не очень важно, где этот человек числится. Но находить себе подобных, чтобы работать, все-таки проще лично. Поэтому конференции — это очень важная вещь. На конференции кто-то выступает, ты слушаешь и понимаешь, что ты тоже что-то можешь здесь сделать. Начинается совместная работа.

Но математики много работают и в одиночестве, совсем не обязательно иметь соавтора. Это не такая командная работа, как экспериментальная наука. Кто как.

Вера Серганова

Понятно, что математика — это не коллайдер. Но все равно ведь важно иметь возможность подойти к коллеге и что-то обсудить, особенно на раннем этапе?

О да, конечно. Для меня этот этап был еще в Москве. Прекрасное было научное сообщество, начиная с замечательной математической школы. Была замечательная атмосфера, все друг другу очень помогали. И это было очень важно.

Американская культура математиков отличается?

Отличается! Например, семинары здесь проходят более формально, чем в России. Здесь очень редко бывает, чтобы человек оставался дольше назначенного времени.

Хотя разница не такая уж и большая. Мне кажется, математики примерно все везде одинаковые. Математики — это национальность, это такой специальный народ. Поскольку я училась в России, мне не всегда понятно, каково молодому человеку здесь, в США, входить в науку.

Вы преподаете в Беркли?

Да, преподаю. Осенью читаю общие курсы по математике, их слушают все будущие ученые — химики, физики. А весной буду, наоборот, преподавать алгебры Ли для аспирантов — только математиков. Но больше я люблю преподавать аспирантам.

То есть вы уже вводите молодых людей в науку. Как вы это делаете?

Честно говоря, я никогда про это не думала. Разговариваешь с ними, они задают вопросы. Я отвечаю на вопросы. У меня нет никаких теорий по этому поводу.

А каким был ваш путь, вы направленно шли заниматься теорией представлений?

Нет, это получилось случайно. Мои научные руководители тогда этим интересовались, и я этим заинтересовалась. Может быть, я бы заинтересовалась чем-то другим. Некоторые люди очень талантливые и с самого начала ставят себе задачи сами, но мои первые задачи были мне поставлены.

Вы помните их — свои первые задачи?

Самая первая задача — я вычисляла автоморфизмы и вещественные формы супералгебр Ли. Это была чисто алгебраическая задача — на 3-4 курсе университета. Это была не очень трудная задача, ученическая. Я работала тогда под руководством [Дмитрия] Лейтеса, ходила на семинар [Юрия] Манина.

В принципе, было понятно, как ее решать, не было никакой загадки, надо было аккуратно разобраться. Это была классификационная задача. А потом я занималась классификацией симметрических суперпространств, которая вроде как используется физиками.

Моя первая самостоятельная задача у меня долго-долго не получалась — это формула характера неприводимых представлений конечномерных супералгебр Ли. Я была тогда на последнем курсе и начала работать с Иваном Пенковым, в то время тоже студентом Манина. Мы много лет ее решали, в какой-то момент думали, что мы ее решили, — а потом я нашла ошибку.

Только потом, уже приехав в Америку, в Гарвард, я в конце концов эту задачу решила. Решила, разговаривая уже с другим человеком — Иосифом Бернштейном.

Гамовская премия вручается с 2015 года «членам русскоязычной научной диаспоры за выдающийся вклад в мировую науку». Ее учредила ассоциация русскоязычных ученых в США RASA-USA в память о выдающемся советском и американском физике Георгии Гамове.

Вера Серганова получила награду «за выдающиеся работы по теории представлений супералгебр Ли». Валерий Фокин был отмечен «за пионерские химические исследования и разработку эффективных методов конструирования химических веществ». Профессор Серганова стала первым лауреатом-женщиной за всю историю премии.

Церемония вручения премии 2019 года состоялась на юбилейной X ежегодной конференции RASA-USA 9 ноября в Чапел-Хилл (Северная Каролина). Лауреаты получили памятные дипломы и денежный приз. С этого года также планируется посвящать лауреатам тематические выпуски профильных научных журналов издательства Pleiades Publishing, с которым сотрудничает RASA.

На чем основан ваш интерес к таким абстрактным вещам?

Для меня они очень конкретные, совсем не абстрактные. Да и не такие уж абстрактные эти вещи, которыми я занимаюсь. Там очень много комбинаторики. Я так вижу эту работу: есть какая-то загадка, и ее надо раскрыть, объяснить.

А потом задачу, которую я решила, через некоторое время решили другим способом — и это было прекрасное новое решение, через категорификацию. Я когда прочитала это решение, я стала больше интересовать теорией категорий, тензорными категориями.

Я не знаю, почему мне интересно представление о какой-либо алгебраической структуре. Так сложилась моя жизнь, мне это интересно.

А физическими приложениями вы не интересуетесь?

Не то чтобы мне была неинтересна физика. Но мне очень трудно общаться с физиками, как будто мы говорим на разных языках. Они иногда даже спрашивают меня, какой-нибудь физик может написать: «Как устроено представление вот такой супергруппы?» Ему зачем-то надо это знать, но я никогда не могу понять, почему это важно.

Мне очень приятно, конечно. И я отвечаю, как устроено, — если знаю. Потому что есть математическая задача, ее можно вычленить. И я доверяю физикам, раз им это нужно. Но я сама не смогла бы заниматься физикой.

Почему?

Потому что физики делают какие-то допуски, пренебрегают чем-то. Математик обычно хочет дать точный ответ, а у физиков это не совсем так. И я никогда не могла понять, чем надо пренебрегать.

Хотя теоретические физики мало отличаются от математиков. Разве только тем, что у них не такие строгие доказательства. Но как они додумываются в своих теориях, что нужно рассматривать, например, струну? Вот теория относительности — вроде понятно, но непонятно, как Эйнштейн придумал, что кривизна — самое главное в уравнении Эйнштейна.

А как вы приходите к постановке задач и к решениям?

Одна вещь ведет к другой, обычно из старой работы возникают новые вопросы. Иногда новое начинается с того, что кто-то задает тебе вопрос и ты понимаешь, что что-то можешь в этом направлении сделать. Но часто у тебя самой возникает вопрос, как устроены те или иные представления. И вот ты уже не спишь, а только и думаешь — так или эдак.

Я не могу объяснить, почему это такая загадка, которую ты очень хочешь понять. Или я вдруг утром просыпаюсь и думаю: боже мой, я же понимаю, как эту задачу решить.

Откуда берутся идеи — я не знаю. Когда я просыпаюсь и мне никуда не надо идти, я могу думать некоторое время, лежа в постели. И вот тогда приходят самые лучшие мысли. Вообще в отношении идей математики очень разные. Я говорю про себя, но я тут не могу обобщать.

То есть математику, чтобы думать, даже карандаш и бумага не нужны?

Нужны! Но утром можно без них. У меня была замечательная коллега Марина Ратнер, которая мне объяснила, как мы работаем. У нас все это получается только потому, что мы постоянно думаем. Вот ты идешь в магазин, ставишь коляску — и все время думаешь, думаешь, думаешь. И так все время — ты просто не можешь не думать.

Это началось все с решения задачек — были задачки, которые не отпускали тебя, пока ты не решишь. А потом ты сам начинаешь придумывать задачки — только и всего. Здесь на конференции [RASA-USA] все говорят о какой-то пользе от своих работ. И мне даже как-то стыдно, потому что от меня никакой пользы нет!

Это бесконечная дискуссия о пользе фундаментальной науки!

Ну да. Вот сейчас физики начали использовать p-адические. Кто бы мог подумать, что p-адический анализ пригодится в физике? Но как они это используют, я не могу понять! Иногда мне кажется, что если бы этого аппарата не было, они бы придумали что-то другое. А иногда я думаю, что существующий математический аппарат все-таки подталкивает физиков к новым теориям.

Вот например есть такая алгебра Ли E8. Некоторые физики считают, что эта алгебра E8 все объясняет. Почему? Это самая большая исключительная алгебра. Еще есть супергравитация — это еще одна вещь, с которой я хочу разобраться с точки зрения математики. Там добавляются нечетные переменные и уравнения пишутся, добавляя суперсимметрию. Насколько это подтверждается экспериментом? Как я понимаю, пока нет.

Вы находите красоту в своих задачах?

Да, конечно! Казалось бы, математика, тензорные категории — это что-то, что придумано людьми. Но на самом деле в них есть гармония — когда ты понимаешь, как все это устроено, и все становится на свои места, это какая-то красота пейзажа. Вы смотрите и видите, как все здорово, как все сложилось. Как вычисление объясняется общими принципами.

Общие принципы в математике — это очень важно. Мой замечательный одноклассник Миша Капранов говорит, что все надо доказывать из общих принципов. И в конце концов все оказывается очень просто, когда все понимаешь. В сущности, уравнение Эйнштейна — это очень просто. Вот в этом красота.

Математика — это язык. В математике XXI века или даже XX-го очень много всего было сделано по поводу языка, почти философского. Очень много общих понятий и определений, которые позволяют решать разные задачи — в математике и не только.

А какой была математика до этого, отличалась?

Мне кажется, да. Математика меньше была языком. Меньше давали определений и больше доказывали теорем. Математика была раньше более экспериментальная — как прямоугольный треугольник. А теперь мы даем определения — в какой-то мере это возврат к Евклиду, когда объект определяется через его свойства. Это аксиоматический подход, и он сейчас играет он важную роль.

Возьмите простую вещь — понятие группы. Где оно только ни используется, где только ни возникает. Общие методы теории групп применяются во многих областях математики и не только математики. Вот возникает понятие группы, пучка, категории, пункта. И это понятие может применяться в разных направлениях. И мне кажется, что такое развитие математики — это XXI век.

Как математики вводят понятия, дают определения?

Все начинается с примеров. Какое-то абстрактное понятие можно определить, дав пример. А понятие — это обобщение.

Например, понятие производного функтора, производной категории, пришло постепенно — сначала была теорема, были топологии. А потом это все собралось вместе. Возникла наука о том, как обращаться с комплексами. Теперь это аппарат, который все используют, все говорят на этом языке.

Какое ваше любимое определение?

Определение — не знаю. У меня есть любимая теорема. Я много лет занималась этими супергруппамми, супералгебрами. И было всегда ощущение, что это частный пример чего-то общего. И есть замечательная теорема Делиня, которая говорит, что если у вас есть тензорная симметрическая моноидальная категория и она достаточно маленькая, то это и есть представление супергруппы.

Эта теорема у меня сейчас любимая. Она говорит, что на самом деле пример супергрупп достаточно универсален. Придает смысл всему тому, чем я занималась.

Есть некоторые симметрические полиномы, которые зависят от параметра, и при определенном значении параметра они соответствуют задаче из теории представлений. И у меня есть такая идея, что, используя тензорную категорию, где параметр t — это размерность образующего объекта, мы можем получить все семейство, решая те же задачи. На лекции я это иллюстрировала цитатой из Хармса:

Жил один рыжий человек, у которого не было глаз и ушей.
У него не было и волос, так что рыжим его называли условно.
Говорить он не мог, так как у него не было рта.
Носа тоже у него не было.
У него не было даже рук и ног.
И живота у него не было, и спины у него не было, и хребта у него не было, и никаких внутренностей у него не было.
Ничего не было!
Так что непонятно, о ком идет речь.
Уж лучше мы о нем не будем больше говорить.

И только математик говорит: «Нет будем, будем!» Это и есть теория представлений без векторных пространств — человек, у которого ничего нет.

Вот какая есть важная идея. Люди долгое время рассматривали поверхности — то, что называется «многообразие», — и все делали там через точки. Идея такая, что вместо того, чтобы рассматривать точки, вы с самого начала берете функции. Рассматриваете функции как некий алгебраический объект. И из этих функций вы восстанавливаете все — и точки не нужны.

Беседовала Александра Борисова

Почему кому-то легче даётся алгебра, а кому-то — геометрия?

Вообще если вы будете учиться высшей математике в институте, то вскоре поймёте, что разница между алгеброй и геометрией весьма и весьма условна. Один из самых красивых, абстрактных и продвинутых разделов математики так кстати и называется: алгебраическая геометрия.

Была ещё и геометрическая алгебра. То есть, её так никто из современников не звал, но в целом поздняя математика пифагорейской школы являлась именно чем-то таким — решение уравнений, вытекающих из длин, площадей и объёмов. Именно потому, что греки слишком сильно привязались к наглядной науке, они так и не додумались до уравнений выше третьей степени.

Если смотреть в корень, алгебра и геометрия в целом восходят к двум разным сферам деятельности.

Геометрия по-гречески означает «землемерие» и служила, понятное дело, вполне наглядным и практичным целям — производству нямки. В дальнейшем она нашла своё применение и в архитектуре, и в искусстве. Ну, и померять линейкой или ещё чем-нибудь те вещи довольно легко. Хотя здесь постоянно возникали квадратные-кубические уравнения — и у вас в школьной программе по геометрии они тоже скоро возникнут.

Здесь, кстати, следует сказать, что во многом ограниченность греческой математики — это вина Платона, который несмотря на знаменитую фразу «Не знающий геометрии на да не войдёт [в Академию]», с самой геометрией не очень-то дружил. Он был больше мистик, считал, что «правильные» приборы — это только циркуль и линейка, и навязал эту точку зрения своим ученикам. Хотя на тот момент греческие учёные уже могли чертить эллипсы, и развивали основы математического анализа. К несчастью, Академию основал именно Платон, а не Архимед, своим авторитетом на два тысячелетия стреножив европейскую науку.

Алгебра, в свою очередь, в первую очередь пошла из области тоже наглядной, но в которой линейкой особо не померяшь, а именно — из астрономии. Как и землемерие, дисциплина эта тоже была тесно связана с производством нямки, а именно — с сотавлением календаря. Ну, и, конечно, астрономия вплоть до Раннего Нового Времени оставалась неотделимой от астрологии, считавшейся (а подавляющим большинством людей и сейчас, к несчастью, считающейся) вещью не менее практичной — будущее всем знать хочется. И вот там-то и требовались сложные уравнения чтобы вычислить, в каком созвездии когда какая будет планета. Появлялись, конечно, и другие применения — посчитать, например, сколько наплодится кроликов (числа Фибоначчи), сколько зерна оставить на посев, сколько набежит процентов по долгам, сколько рисинок положить на шахматную доску и всякое такое.

Так или иначе, геометрия была больше связана с пространством, а алгебра — со временем. Так уж получилось, что геометрия лучше давалась людям на западе, а алгебра — на востоке. Недаром первое из этих слов греческое, а второе — арабское.

Всё начало меняться, когда молодой французский офицер Рене Декарт, будучи на службе у императора Священной Римской Империи, воевал в во время Тридцатилетней Войны в современной Чехии. Как-то раз, лёжа на кровати, он смотрел на солнечные зайчики на стене комнаты, и вдруг понял, что может охарактеризовать положение каждого из них двумя числами: расстоянием от угла комнаты и высотой от пола. То есть точки — в некотором смысле ещё и числа или их последовательности. А последовательности чисел уже можно складывать друг с другом, умножать на число… и вообще много чего интересного с ними делать. Таким образом точка, фундаментальный объект геометрии, долгое время остававшийся вещью в себе, стала обретать алгебраический смысл, и постепенно геометрия и алгебра стали сближаться, обогащая друг друга и давая начало современной математике. Именно алгебраическими методами, в частности, была доказана невозможность решения доставшихся нам по вине всё того же Платона классических проблем геометрии, над которыми люди бились два тысячелетия: квадратуры круга, трисекции угла и удвоения объёма.

В настоящее время разделить алгебру и геометрию можно разве только в школьной программе. Так же, как пространство и время с появлением теории относительности перестали быть чем-то раздельным, превратившись в пространство-время, алгебра и геометрия срослись так, что уже и непонятно, где из них что. Та же точка может означать функцию — только это будет точка уже не в двумерном пространстве стены, на которую смотрел Рене Декарт, а в бесконечномерном пространсвте функций. Уже упомянутая алгебраическая геометрия вообще выворачивает всё наизнанку, задавая точку, грубо говоря, множеством всех функций, обращающихся в этой точке в нуль. А в некоммутативной геометрии — ещё одном разделе современной математики — несмотря на название, вообще точек нет, только алгебры, хотя есть, к примеру, понятие объёма.

Лично мне в школе лучше давалась геометрия. Сейчас я занимаюсь функциональным анализом, но, несмотря на то, что в нашей дисциплине постоянно приходится работать с бесконечномерными пространствами, которые нарисовать нельзя, порой удобно бывает предствить их в виде чего-то геометрического — это порой даёт дать хорошее интуитивное представление о каком-нибудь явлении, а его потом уже можно выразить в строгих формулах.

Чем отличается математика от прикладной математики

Математика – это фундаментальная наука, которая занимается изучением разных структур, их отношений и порядков. Математика, как наука, появилась очень давно, наверное, с возникновением человечества. Уже в раннем палеолите люди были знакомы с основами счета. У людей всегда была необходимость что-то подсчитать или пересчитать. Известно, что для счета люди пользовались и пальцами, и камнями, и палками и различными метками. Историю развития математики отсчитывают именно с того момента, как люди научились считать.

Для того чтобы понять, чем отличается прикладная математика от математики, нужно рассмотреть основные понятия, которыми оперирует одна и вторая наука.

Математика

Если посмотреть определение математики в различных словарях и энциклопедиях, то можно заметить, что единого точного определения математики не существует. Однако мы все интуитивно понимаем, что такое математика. Наилучшее определение было дано, наверное, Бурбаки.

Бурбаки – это псевдоним группы математиков, которые написали серию книг по математике. По определению Бурбаки, математика изучает отношения между какими-то объектами. Каждый объект описывается с точки зрения его количественных характеристик. Сущностью математики является описание некоторого набора абстрактных структур.

Из этого определения становится понятно, чем занимается теоретическая математика. Она должна описать отношения различных структур данных.

Математика делится на элементарную и высшую части. Элементарную математику изучают в школе.

Она включает в себя такие разделы, как:

1. Арифметика.
2. Начала алгебры.
3. Геометрия.

Высшая математика состоит из:

• Математического анализа.
• Алгебры.
• Аналитической геометрии.
• Дифференциальных уравнений.
• Теории вероятности.
• Математической статистики.
• Теории чисел.
• Функционального анализа.

В теоретической математике разработан математический аппарат, основу которого составляют обозначения, аксиомы, утверждения. А на базе уже этого аппарата развивается дальнейшая теория, доказываются теоремы и выводятся определенные правила.

Например, в математическом анализе используются такие понятия, как бесконечно малая величина, дифференциал, функция. Алгебра оперирует понятиями множество, группа, кольцо и т.д. Дифференциальные уравнения работают с производной и интегралом. Таким образом, видно, что теоретическая математика разрабатывает некий понятийный аппарат. Английский математик Годфри Харди говорил, что чистая математика не приносит никакой практической пользы.

Прикладная математика

Прикладная математика является частью математики. Если говорить обычным языком, прикладная математика – это математика, которая используется на практике. Прикладная математика изучает и разрабатывает способы применения теоретической математики в других дисциплинах. Если вернуться к словам математика Харди, то в отличие от чистой математики, прикладная математика приносит практическую пользу.

Разделы прикладной математики

1. Численные методы.
2. Математическая физика.
3. Программирование.
4. Оптимизация вычислений.
5. Теория игр.
6. Криптография.
7. Теория оптимального управления.
8. Биоматематика.
9. Биоинформатика и др.

Предметом исследования прикладной математики является применение теоретических математических методов чистой математики в других науках. Например, строятся экономические модели и с помощью методов теории оптимального управления вырабатываются наилучшие управленческие решения.

В физике или химии для проведения каких-либо экспериментов или опытов, не всегда представляется возможным провести испытания на реальном объекте. Поэтому строится его модель. Модель – это уменьшенная или увеличенная копия реального объекта, которая имеет точно такие же свойства.

Модели бывают математическими. Модель может быть создана и на компьютере с помощью графических редакторов. Моделирование разных физических или химических процессов заканчивается решением с использованием численных методов.

Криптография – это наука, которая занимается шифрованием. В шифровании используются различные математические методы и алгоритмы.

Таким образом, из вышеприведенного понятно, что и чистая математика, и прикладная математика использует одни и те же методы. Но чистая математика использует эти методы для дальнейшего развития теории, а прикладная математика использует математические методы и теорию чистой математики для того, чтобы можно было решать реальные задачи в физике, химии, биологии, статистике, экономике и в других науках.

студенты-математики рассказывают, зачем занимаются наукой. «Бумага»

Почему математика — это социальное занятие, чем работа в индустрии отличается от науки в университете, по какому принципу ученые выбирают задачи для изучения и из-за чего достижения «чистой» математики иногда становятся очевидны только через десятилетия?

В партнерском материале с «Газпром нефтью» «Бумага» публикует рассказы студентов матмеха СПбГУ — участников проекта «Математическая прогрессия» и международных олимпиад, а также сотрудника математической лаборатории.

Студент 3-го курса матмеха

— Я начал заниматься математикой еще в школе: ходил в кружок во Дворце пионеров, затем в кружок физматшколы № 239, был победителем разных олимпиад. Поэтому я особенно не думал, куда поступать: раз есть успех в математике, раз это нравится, то понятно, куда идти дальше. Я поступил на новое направление бакалавриата по математике, которое организовал Станислав Константинович Смирнов (бакалавриат по математике был открыт в СПбГУ в 2015 году. Совет программы возглавляет лауреат премии Филдса Станислав Смирнов — прим. «Бумаги»).

Вообще, математика, которой мы занимаемся, — это совсем не то, что преподают в школе. То, чему там учат, даже нам не очень интересно: тебе не надо много думать или что-то осознавать — нужно просто выполнять какие-то действия по определенному алгоритму. И это довольно скучно. А то, чем мы занимаемся, это творческая работа.

Это не рутинная работа, а творческий процесс. Ты можешь выбрать направление, которое тебе нравится, и изучать его так, как хочешь

Для студента всё начинается с научного руководителя: он рассказывает, чем занимается, и предлагает некоторые задачи по теме. Потом, когда студент втягивается в работу, читает статьи, книги по разным темам, — становится понятно, откуда эти задачи происходят и зачем они нужны. И человек уже сам может выбрать, какие из них наиболее важны. Так что если заниматься наукой, всё это становится более или менее ясно.

База, которую должен знать любой студент, сформировалась достаточно давно. На мой взгляд, обновление учебных программ происходит довольно медленно. Тем не менее направления исследований немного меняются — и надо иметь представление о более современных областях, чтобы люди могли сразу после университета заниматься современной наукой. Например, у нас в последнем семестре была включена гомологическая алгебра, потому что сейчас это нужно всем.

Многие математики идут в науку и занимаются ей в лабораториях при университетах. Но есть те, кто идет в индустрию и работает на компании — например, связанные с финансами, IT или биоинформатикой.

Для математиков главное — это общение, обмен идеями

Мне нравится заниматься математикой, потому что это очень креативный процесс. Есть задача — и надо самому искать методы ее решения: можно попробовать разные способы, общаться с другими математиками, которые тоже могут предложить новые идеи. Это не рутинная работа, а творческий процесс создания чего-то своего. Ты можешь выбрать направление, которое тебе нравится, и изучать его так, как хочешь.

Для математиков главное — это общение. В отличие от разных прикладных наук вроде физики и биологии, где нужно проводить какие-то эксперименты, в математике важнее всего обмен идеями.

В математике, когда находится ответ на один вопрос, всегда встает новый. Поэтому невозможно прийти к окончательному ответу: постоянно будет что-то, о чем можно подумать. Не всегда сразу очевидно, можно ли решить задачу, тяжелая она или простая. Некоторые задачи до сих пор не решены, хотя над ними думали многие люди. Иногда результаты этой работы находят неожиданные приложения через годы.

Студент 4-го курса матмеха, сотрудник лаборатории имени Чебышева

— Я работаю в исследовательской лаборатории Чебышева (математическая лаборатория в СПбГУ, которой руководит Станислав Смирнов — прим. «Бумаги»). Все ее сотрудники занимаются своими исследованиями. Помимо этого здесь организуют много рабочих групп, где обсуждаются общие проекты, устраивают семинары, на которых мы все вместе пытаемся понять, как дальше продвинуть науку.

Чем занимаются современные математики и почему от них зависит вся наука

paperpaper.ru

Интервью с лауреатом премии Филдса Станиславом Смирновым

В лаборатории также есть группа людей, которая занимается проектом с «Газпром нефтью» и пытается применять современные математические методы для улучшения процессов добычи нефти. Хотя это практическая задача, она не отличается от чистой науки, потому что методы, которые там используются, чисто математические.

Однако большинство наших исследований связано с теоретической математикой. Сложно сказать, какое направление — основное, потому что сейчас сотрудники лаборатории занимаются более или менее всеми областями математики. Я в основном занимаюсь математической физикой: мы пытаемся анализировать, насколько математические модели помогают описать какие-то явления в реальном мире.

Человек задается не конкретным вопросом «как доказать данное утверждение», а более абстрактным: как нам лучше понять ту или иную область

В каком-то смысле в математике сложнее отследить начало и конец проекта. Окончание проекта обычно воплощается в написании работы, но намного важнее, чтобы появилось адекватное понимание чего-то нового. Исследование никогда не заканчивается тем, что кто-то сделал прибор или еще что-нибудь. Математические вопросы — за редким исключением — не имеют финального ответа. Хотя человек всё больше изучает предмет исследования, очень редко это заканчивается полным пониманием природы всего. По крайней мере, у меня такое впечатление.

В математике присутствует элемент субъективности, потому что бывает сложно оценить, насколько одна задача важнее другой. Когда математическое сообщество долгое время пытается развивать какую-то область и когда критическая масса людей начинает заниматься одной задачей, обычно происходит прорыв. Хотя в математике, как правило, становится понятно, какие результаты стали прорывным, в течение нескольких лет. Понять это сразу сложно.

Одна из идей новой программы бакалавриата была в том, чтобы дать возможность студентам после окончания выбрать: идти в индустрию или в науку. Преподаватели показывают студентам, в каких областях математика востребована. Поэтому сейчас у студентов больше возможностей после окончания бакалавриата уйти в индустрию и заниматься тоже математикой, но при этом более прикладной.

Мне кажется, базовые законы рынка быстро выравнивают ситуацию: как только люди поняли, что, например, в финансовой области математика востребована, то компании стали нанимать сотрудников со знанием математических программ, которые, в частности, окончили университет по направлению чистой математики. Так исследования в области финансов становятся более автоматизированными.

Многих людей привлекает в математике свобода выбирать то, чем заниматься

Вопрос в том, насколько компании, которые работают в таких областях, готовы вкладываться в чисто научные исследования и заниматься математическими областями. Отличие чистой науки от исследований состоит в том, что нет 100-процентной уверенности в результате в конкретные сроки. Поэтому такие вложения могут окупиться довольно быстро, но этого может и не произойти. Многие компании понимают: чтобы через 10–20 лет быть экспертами на рынке, необходимо сейчас вкладываться в теоретические исследования.

Думаю, что буду заниматься скорее как раз теоретическими исследованиями. Несмотря на мнение общества о том, как устроена математика, это намного более социальное занятие, чем думают. Математика во многом про общение, про то, чтобы делиться своими знаниями с другими.

Мне кажется, многих людей привлекает в математике свобода выбирать то, чем заниматься. В отличие от индустрии, где в большинстве случаев перед работниками ставят конкретные задачи, в исследовательских институтах люди выбирают их сами. При этом обычно человек задается не конкретным вопросом «как доказать данное утверждение», а более абстрактным: как нам лучше понять ту или иную область.

Студент 4-го курса матмеха,
победитель международной олимпиады по математике IMC 2017

— В школе у меня были математические успехи, я побеждал в олимпиадах и решил, что так и надо продолжать заниматься математикой. Мне это было интересно.

Сейчас занимаюсь алгеброй, теорией представлений. Это чистейшая математика, которая абсолютно никакого отношения к жизни не имеет. Мне это нравится, потому что ты изучаешь множество красивых идей, которые переплетаются друг с другом и дают содержательные результаты. Так перед тобой развивается какая-то теория. Интересно изучать и самому пытаться что-то придумать, хотя это и тяжело.

Это чистейшая математика, которая абсолютно никакого отношения к жизни не имеет

В студенческом возрасте математические олимпиады значат гораздо меньше, чем в школьном (Даниил Клюев стал победителем и обладателем гран-при Международной олимпиады для студентов по математике IMC 2017 — прим. «Бумаги»). Школьные олимпиады — это соревнования, на которые приезжают все самые сильные ученики. Но в университете ты либо занимаешься наукой, либо работаешь, и олимпиады уже нужны гораздо меньше. Люди выступают на них от университетов, но нет такого мероприятия, куда бы приезжали все самые сильные представители со всего мира, потому что у кого-то могут быть более важные дела. Поэтому и такой серьезной подготовки к олимпиаде, как в школе, когда ты каждый день на протяжении пары часов решаешь задачи, у студентов нет.

Недавно я рассказывал в Бостоне о полученном мной результате. Мой научный руководитель предложил задачу: провести классификацию объектов и рассмотреть то, что не рассматривали раньше. Я год или полтора над этим думал, писал вместе с научным руководителем статью, и в итоге получилась какая-то классификация. В алгебре есть понятие фильтрованной деформации, когда мы берем объект и его немного меняем. Мне посоветовали посмотреть, что получается, когда мы берем два объекта и деформируем их согласовано. Были примеры того, что может получиться, и считалось, что они исчерпывающие. И я доказал, что действительно больше ничего здесь получить нельзя.

Я бы хотел заниматься наукой, потому что это интересно: это сложные задачи, красивые теории

Проблема абстрактной алгебры в том, что она пока оторвана от реальности. Например, была в начале ХХ века теория чисел: люди считали, что это чистая математика, которая никогда не пригодится. Пригодилась она в 80–90-е, когда в компьютерах появилось шифрование с использованием эллиптических кривых. То есть [то, чем мы занимаемся сейчас,] это какие-то абстрактные приложения, их пока вообще не видно.

В математике все не могут стремиться к одному и тому же, потому что занимаются разными вещами. Чтобы решать задачи вроде задач института Клэя, нужно хорошо понимать, что происходит вокруг них. И быть готовым к тому, чтобы, как Перельман, несколько лет подряд работать над этим. Это не каждый себе может позволить, потому что все-таки статьи нужно выпускать с какой-то периодичностью.

Я бы хотел заниматься наукой, потому что это интересно: сложные задачи, красивые теории. Хотя, конечно, в прикладных вещах тоже есть что-то интересное.

Алгебра против исчисления | Линейная алгебра против исчисления и др.

Линейная алгебра называется линейной, потому что это изучение прямых линий. Это математика для решения систем, смоделированных с помощью нескольких линейных функций.

Многие системы в природе можно описать множеством линейных уравнений. Каждая область современной науки, которая легко решается, содержит модели, в которых уравнения аппроксимируются линейными уравнениями.

В исчислении с несколькими переменными мы изучаем функции двух или более независимых переменных e.грамм. z = f (x, y), p = f (x, y, z) и т. д. Многопараметрическое исчисление расширяет ваши знания об исчислении одной переменной и применяется в трехмерном мире.

Другими словами, мы будем исследовать функции двух переменных, которые описаны в трехмерной системе координат.

В заключение, хотя линейная алгебра и многомерное исчисление демонстрируют разные уровни сложности, нельзя исключать их взаимозависимость и вклад в науку и технику.

Линейная алгебра сложнее исчисления?

Как следует из названия, линейная алгебра — это исследование прямых линий с использованием линейных уравнений.Исчисление — это понимание плавно меняющихся вещей, включая производные, интегралы, векторы, матрицы, параметрические кривые и т. Д.

Итак, линейная алгебра сложнее исчисления?

Далее упоминается уровень сложности вопроса: линейная алгебра сложнее, чем исчисление.

• Линейная алгебра требует меньшего умственного труда, чем исчисление. Линейная алгебра проще элементарного исчисления. В исчислении вы можете обойтись без понимания интуиции, лежащей в основе теорем, и просто запомните алгоритмы, которые не будут работать в случае линейной алгебры.
• Понимая теоремы линейной алгебры, можно решить все вопросы. Это не относится к исчислению, и вычислительные вопросы могут быть очень сложными даже при хорошем знании теории.
• Вы не собираетесь каждый день изучать новые технологии в линейной алгебре, как в исчислении. Метод Ньютона, объем цилиндра, правило частного, определение предела и многое другое, что трудно запомнить, являются частью курса математического анализа.
• Исчисление 3 или многомерное исчисление — сложнейший курс математики.Исчисление — самый сложный предмет математики, и лишь небольшой процент учащихся достигает его в старших классах школы или где-либо еще.
• Линейная алгебра — это часть абстрактной алгебры в векторном пространстве. Однако он более конкретен с матрицами, следовательно, менее абстрактен и более понятен.

• Как линейная алгебра, так и исчисление включают определение длины, площади и объема. Что касается определения длины, линейная алгебра имеет дело с прямыми линиями, включающими линейные уравнения, тогда как исчисление может вычислять длину изогнутых линий, используя нелинейные уравнения с показателями, которые труднее взломать, чем линейные.

Аналогично рассматривая площадь и объем, линейная алгебра имеет дело с областями идеальных кругов и объемами твердых тел правильной формы, в то время как исчисление используется для поиска замкнутых областей с изогнутыми границами и объемов твердых тел неправильной формы.

В то время как в первом используются простые квадратные уравнения, во втором используются уравнения с более высокими показателями, которые, безусловно, сложнее простых квадратных уравнений.

После ответа «линейная алгебра сложнее исчисления?» Сложность предмета зависит от способностей человека к этому предмету.Следовательно, тема, трудная для кого-то, может быть легкой для кого-то. Несомненно, будут разные мнения. Поэтому трудно сделать вывод, «неужели линейная алгебра сложнее исчисления?» Вероятнее всего.

Также читайте:

Сводка

Спор о том, что сложнее — алгебра или исчисление — это классика. Это будет продолжаться вечно. Однако давайте резюмируем их общие сходства и различия здесь.

1. Алгебра и Исчисление, хотя и относятся к разным разделам математики, они неразрывно связаны друг с другом. Изучая алгебру и исчисление, применяя основные алгебраические формулы и уравнения, мы можем найти решения многих наших повседневных проблем.

Расчет в основном применяется в профессиональных областях из-за его способности находить решения для многих типов конструкций

2. Знакомство с алгеброй позволяет чувствовать себя комфортно с математическим расчетом. Алгебра позволит вам лучше разбираться в математических вычислениях и наоборот.Фактически, хорошее понимание алгебры помогает лучше овладеть математикой.

Следовательно, это необходимо иметь в виду после изучения алгебры и исчисления.

3. Что касается линейной алгебры и исчисления, давайте посмотрим на контекст на примере. И линейная алгебра, и исчисление включают определение длины, площади и объема.

Что касается определения длины, линейная алгебра имеет дело с прямыми линиями, включающими линейные уравнения, тогда как исчисление может вычислять длину изогнутых линий, используя нелинейные уравнения с показателями степени.Какой путь выберет человек для ответа, зависит от его математического мышления.

4. Что касается ответа: «Линейная алгебра сложнее исчисления?»

Многопараметрическое исчисление считается самым сложным курсом математики. Исчисление — самый сложный предмет математики, и лишь небольшой процент учащихся достигает его в старших классах школы или где-либо еще.

5. Однако, как и в случае со всеми другими дисциплинами, выбор, который является более трудным, в конечном итоге зависит от интересов и способностей человека, который его преследует.

Автор Арти Агарвал

О компании Cuemath

Cuemath, удобная для учащихся математическая платформа, проводит регулярные онлайн-классы для учебы и развития навыков, а их приложение Mental Math для iOS и Android представляет собой универсальное решение для детей, развивающее несколько навыков. Ознакомьтесь со структурой Cuemath Fee и подпишитесь на бесплатную пробную версию.

Часто задаваемые вопросы по алгебре и исчислению

Алгебра — это то же самое, что и исчисление?

№Хотя они тесно связаны, оба принадлежат к разным разделам математики. В то время как исчисление имеет дело с операциями над функциями и их производными, алгебра включает операции с числами и переменными.

Можно ли выучить математику, не изучая алгебру?

Ответ снова отрицательный. Исчисление основано на наших знаниях алгебры и на шаг впереди алгебры. Будет практически невозможно выучить или понять исчисление, если у человека нет прочного основания в алгебре.

Почему алгебра считается сложной?

Алгебра отличается от большинства других разделов математики тем, что предполагает логическое мышление о числах. Большинство людей склонны думать о числах в арифметическом смысле, а не в алгебраическом смысле. Следовательно, им это трудно. Когда вы научитесь думать в алгебраическом смысле, вам будет очень легко.

В чем разница между алгеброй и исчислением?

Алгебра фокусируется на решении уравнений, тогда как исчисление в первую очередь сосредоточено на скорости изменения функций.Две основные операции исчисления — это дифференцирование (найти скорость изменения функции) и интегрирование (найти площадь под кривой функции).

1. Эти две важные операции связаны вместе основной теоремой исчисления.
2. Алгебра, как и в большинстве математических дисциплин, является важным инструментом в исчислении, и хорошее понимание алгебры и пределов является фундаментальным для понимания исчисления
3. Исчисление имеет дело с операциями над функциями и их производными, тогда как алгебра имеет дело с операциями над переменными и числами.
4. Алгебра помогает найти наклон прямой, а исчисление — найти наклон кривой.
5. Алгебра помогает найти направление движения по прямой, тогда как исчисление делает то же самое по любой кривой.
6. Алгебра используется для определения длины отрезка прямой, в то время как исчисление используется для нахождения длины отрезка кривой.

Алгебра против арифметики — математика для обучения

Алгебра всегда была связана с математикой в ​​средней школе, а арифметика, изучение чисел, — с математикой в ​​начальной школе.Одно из решений, которое поможет учащимся понять алгебру в старшей школе, — это начать изучение алгебры раньше, поэтому в программу начальной школы включены некоторые темы, традиционно изучаемые в старшей школе. Однако я считаю, что ученики могут быть лучше подготовлены к дальнейшей работе по математике, чем знания дополнительного содержания, если вовлечь их в занятия более глубокими и сложными способами, используя традиционное содержание математики в начальной школе. Я считаю, что дети, которые знакомятся с алгебраическим мышлением с раннего возраста и в содержательном контексте, будут лучше учиться по математике.

В этой статье я прочитал исследование под названием Когнитивный разрыв между арифметикой и алгеброй . В этом исследовании алгебра и арифметика различаются по типу задач на уравнение. По их мнению, если в уравнение входит только одно неизвестное, то это арифметическая задача. Если уравнение включает в себя два неизвестных, то это задача алгебры. Например,

(1) 15 + ____ = 40 — это арифметическая задача, а

(2) ____ = 4 + _____ — задача по алгебре.

В каком-то смысле это различие имеет смысл. Чтобы ответить на уравнение (1), ребенку нужно только спросить: какое число я должен вписать в поле, чтобы при добавлении его к 15 получалось 40? Уравнение (2) включает понятие переменной. Есть бесконечные значения, которые вы можете ввести в два пробела. Это также включает понятие функции, отношения между двумя числами. Два числа в пробелах не могут быть просто любыми числами. Два числа должны отличаться на 4, а число в первом пробеле всегда должно быть большим.Это отношение является «очень алгебраическим» понятием. Но даже тогда меня все еще не очень волнует это различие между алгеброй и арифметикой!

Я считаю, что человек занимается алгеброй, когда думает реляционно. Например, уравнение (1) не обязательно является арифметической задачей. Если ученик решает его, рассуждая «, потому что они равны», даже если я вычту 15 с обеих сторон знака равенства, я все равно сохраню равенство , тогда он занимается алгеброй. Другое решение уравнения (1) состоит в том, чтобы выразить 40 как 15 плюс еще одно число, т.е.е., 15 + ___ = 15 + 25. Это может быть простое решение, но оно включает в себя еще один очень важный принцип: Поскольку количества по обе стороны от знака равенства равны и 15 равно 15, то бланк должен быть равно 25! Это алгебраическое рассуждение! Что касается уравнения (2), даже если учащиеся могут сгенерировать сотни правильных пар значений, если они не могут увидеть взаимосвязь между двумя числами, которые попадают в пробелы, то они еще не занимаются алгеброй. Так что не столько задача или проблема, сколько решения, которые мы используем для ее решения, могут сказать, занимаемся мы алгеброй или нет.

Что такое алгебраическое мышление?

Алгебраическое мышление при работе с числами, описанное Кираном, характеризуется акцентом на взаимосвязи между числами, а не только на вычислении; сосредоточение на операциях и их обратных и на связанной идее действия / отмены; сосредоточение внимания на представлении и решении проблем, а не на их простом решении; акцент на значении знака равенства не как сигнала к выполнению операции, а как обозначения эквивалентности. Алгебраическое мышление включает в себя преднамеренное обобщение, активное исследование и предположения (Kaput, NCTM, 1993) и рассуждения в терминах отношений и структуры.

Предлагаю вам также прочитать профессора Кейта Девлина Что такое алгебра?

Дополнительные занятия по алгебраическому мышлению:

14.651177121.062287

Филиппинский университет — Дилиман, Кесон-Сити

Пример из реальной жизни, объясняющий разницу между алгеброй и арифметикой

Очень известная книга по алгебре, та самая, которая дала алгебре само ее название, была написана около 1200 лет назад мусульманским математиком по имени аль-Хорезми.Одним из типов реальных проблем, которые он широко рассматривает, является расчет наследства в соответствии с исламским законом о наследовании того времени.

Вот один пример из той книги:

Женщина умирает, оставив мужа, сына и трех дочерей.

Подразумевается вопрос: как разделить имущество женщины между пятью наследниками?

Согласно законодательству того времени, муж имеет право на ¼ имущества женщины, дочери — на равные доли в оставшейся части, а сыновья — на доли, которые в два раза превышают долю дочерей.Итак, небольшой арифметики будет достаточно, чтобы решить эту простую задачу: мы начнем с мужа, который получает 25%. Сын получает две акции, а три дочери получают по одной акции из оставшихся 75%. Итого пять долей, каждая доля составляет 75% ÷ 5 = 15%, и, таким образом, сын получает 30%, а дочери — по 15% каждая. Никакой алгебры не требовалось, только прямые вычисления.

Но более сложная проблема, которую также рассматривал аль-Хорезми, звучит так:

Человек умирает, оставив двух сыновей и завещав одну треть своего состояния чужому.Его имущество состоит из десяти дирхамов наличных денег и десяти дирхамов в качестве требования к одному из сыновей, которому он одолжил деньги.

Закон в этом случае гласит, что незнакомец получает право забрать свое наследство до того, как будут рассчитаны доли остальной части наследства, и что если доля сына-должника в наследстве недостаточно велика, чтобы он мог полностью выплатить долг , остаток списывается как безнадежный.

Здесь арифметики недостаточно, потому что некуда начинать.Для расчета суммы списания нам необходимо знать долю сына-должника. Но нам нужно знать списание, чтобы рассчитать общую стоимость имущества, нам нужна стоимость имущества, чтобы рассчитать наследство незнакомцу, и нам нужно знать размер наследства, чтобы рассчитать размер долей сыновей. .

Круговидность превращает эту проблему в алгебру, а не в арифметику, и мы должны решить ее, используя алгебраическую технику: пусть $ e $ будет общей стоимостью имущества, $ c $ будет суммой наличных денег, $ d $ будет записью сына-должника. долга, $ w $ — сумма списания, $ b $ — это наследство незнакомцу, а $ s $ — доля каждого сына в имуществе.Тогда имеем:

$$ \ begin {eqnarray}
c & = & 10 \\
d & = & 10 \\
е & = & c + (d — w) \\
w & = & d — s \\
б & = & е / 3 \\
s & = & (e — b) / 2
\ end {eqnarray} $$

Мы можем решить их и найти $ w = 5 $, $ e = 15 $, $ b = 5 $, $ s = 5 $, так что 5 дирхамов долга списываются, оставляя наследство в 15 дирхамов. Незнакомец получает одну треть этой суммы, 5 дирхамов наличными, сын-не-должник получает остальные 5 дирхамов наличными, а доля сына-должника заключается в прощении оставшихся 5 дирхамов его долга.

Я взял эти задачи из книги « эпизодов математики средневекового ислама » Дж. Л. Берггрена (Springer, 1983).

Алгебра и анализ — Обмен стеками по математике

Алгебра — это объединение вещей вместе с операциями, в то время как анализ больше фокусируется на изучении близости или «связности» между точками.

Некоторое замешательство может быть вызвано тем фактом, что алгебра и анализ часто могут работать вместе. Если вы пройдете курсы абстрактной алгебры и реального анализа, вы будете изучать каждую тему отдельно, по большей части в отрыве от другой.

Немного расширить алгебру …

Алгебра для старших классов включает в себя сложение и умножение действительных чисел, а также свойства этих операций. Например, если $ ab = 0 $, то вы знаете либо $ a = 0 $, $ b = 0 $, либо и то, и другое.

На более поздних курсах алгебры вы узнаете о более интересных алгебраических структурах, которые имеют другие правила. Если вы изучали линейную алгебру, вы бы знали, что, в отличие от умножения действительных чисел, умножение матриц в общем случае не коммутирует, $ AB \ neq BA $, и знание $ AB = 0 $ не означает, что $ A $ или $ B $ — нулевая матрица.Вы также можете изучить алгебраические правила для комплексных чисел, многочленов и многих других структур. (Кватернионы — еще один пример, когда умножение не коммутируется.)

В классе абстрактной алгебры вы забудете о том, «что это такое» изучаете, и сосредоточите свое обучение на операциях, используемых для объединения объектов. В некотором смысле вы изучаете, как вещи ведут себя , а не то, чем они являются . Это приводит к идее групп, колец и полей среди других структур, которые позволяют вам распознавать общие алгебраические закономерности во всех областях математики, вместо того, чтобы сосредотачиваться на конкретных деталях.

У меня меньше опыта в анализе, но кое-что могу сказать …

Вы уже были знакомы с некоторыми идеями анализа из исчисления. Многие классы исчисления не дают строгого определения предела и просто предполагают, что он работает на основе интуиции (действительно, именно так исчисление развивалось исторически).

Исследование анализа позволило бы пересмотреть пределы и дать строгое определение, что означает «сходиться» ряд и что означает «непрерывность» функции.Отсюда можно получить строгие определения производных и интегралов.

Позже эти идеи будут обобщены для работы в $ n $ -мерном пространстве, для функций комплексных переменных и любых пространств, в которых идея «непрерывности» функций имеет смысл. (Эти пространства называются топологическими пространствами).

После изучения их по отдельности анализ и алгебра, как правило, появляются вместе повсюду. Простым примером может быть правило произведения из исчисления, которое представляет собой алгебраическое правило, которое возникает в результате изучения аналитических свойств функций:

$$ d (fg) = df g + fdg $$

Другой пример — это внутреннее произведение, которое выросло из скалярного произведения линейной алгебры, но также может применяться к парам непрерывных функций.

взаимосвязей между геометрией и алгеброй — видео и стенограмма урока

Их взаимосвязь

Как мы уже говорили, алгебра связана с уравнениями и формулами, а геометрия связана с объектами и формами, так как же эти две вещи могут быть связаны? Что ж, в качестве одного примера вы, вероятно, знакомы с тем фактом, что уравнение можно изобразить в виде графика. Например, уравнение y = x + 3 представляет собой график набора точек, удовлетворяющих уравнению, и он оказывается прямой линией.

Мы уже видим связь между алгеброй и геометрией. Мы можем взять уравнение, которое является алгебраическим понятием, и построить его график, сделав его геометрическим понятием.

В общем, уравнение прямой имеет вид y = mx + b , где m равно наклону прямой (то есть, где наклон — это изменение y -значение, деленное на изменение x -значения от одной точки к следующей на линии), и b равно y -перехват линии.Мы видим, что переменные в уравнении (оба алгебраических понятия) могут фактически использоваться для обозначения геометрических понятий (наклон и пересечение y ) прямой.

Боже мой! Так много связей между алгеброй и геометрией! Посмотрим, что еще мы можем придумать.

Рассмотрим формы круга, прямоугольника и квадрата. Эти формы подпадают под категорию геометрической концепции. Однако как насчет площадей этих фигур? Чтобы найти площади каждой из этих фигур, мы используем алгебраические формулы.Например, для круга формула: A = π r 2, а для прямоугольника площадь определяется путем умножения длин сторон, или A = lw , где l равно длина и w ширина.

Ага! Еще одна связь между алгеброй и геометрией!

Вот еще один: слышали ли вы когда-нибудь о теореме Пифагора ? Это теорема, которая утверждает, что если прямоугольный треугольник имеет катеты длиной a и b и гипотенузу длиной c , то a 2 + b 2 = c 2.

Сама теорема показывает связь между геометрией и алгеброй, связывая длины сторон прямоугольного треугольника (геометрическое понятие) с уравнением (алгебраическое понятие).

Вау! Становится ясно, насколько алгебра и геометрия связаны друг с другом! Большинство рассмотренных нами примеров довольно просты и понятны. Давайте посмотрим на то, что может быть немного менее очевидным.

Преобразования и функции

Есть две концепции (одна в алгебре, а другая в геометрии), с которыми вы, возможно, знакомы, но, возможно, не заметили связи между ними.Это преобразования (геометрическое понятие) и функции (алгебраическое понятие). Видите ли, преобразование — это то, что мы применяем к двухмерной фигуре, чтобы изменить ее положение или размер. Четыре основных типа преобразований:

1. Отражения — отражение объекта над линией
2. Переводы — перемещение объекта
3. Rotations — поворот объекта вокруг точки
4. Изменение размера — увеличение или уменьшение объекта

Например, сдвиг квадрата на четыре единицы вправо — это перевод.

Теперь рассмотрим функции. Функцию можно рассматривать как машину. Он принимает ввод, выполняет некоторую функцию на входе и выдает вывод, где любой ввод соответствует ровно одному выводу. Говоря алгебраически, многие уравнения являются функциями. Например, уравнение y = 2 x принимает на входе x , умножает его на 2 и дает на выходе y .

Хорошо, мы знаем, что такое преобразования, и мы знаем, что это за функции, но как они связаны? Как мы уже говорили, функция — это алгебраическая концепция, которая принимает входные данные, выполняет некоторую функцию на входе и выдает результат.Рассмотрим преобразование. Преобразование принимает форму, выполняет преобразование этой формы и выводит форму в новом положении и / или размере.

Хммм. . . вы видите связь? Преобразования на самом деле являются типом функции, поскольку они принимают входные данные (исходную фигуру), выполняют преобразование на этом входе, а затем выводят выходные данные (новую фигуру). Круто! Эти связи между алгеброй и геометрией становятся все более увлекательными!

Краткое содержание урока

Алгебра — это область математики, в которой переменные в форме букв и символов используются в качестве чисел или величин в уравнениях и формулах. Геометрия — это область математики, изучающая точки, линии, объекты и формы различных размеров, поверхности и твердые тела. Хотя их определения заставляют их звучать по-разному, на самом деле в обоих исследованиях существует много взаимосвязей между концепциями.

Графики уравнений, теорем, формул площадей, формул объема и доказательства — это лишь верхушка айсберга, когда дело касается взаимосвязи между алгеброй и геометрией. Например, теорема Пифагора , которая говорит, что если прямоугольный треугольник имеет катеты длиной a и b и гипотенузу длиной c , то a 2 + b 2 = c 2, показывает взаимосвязь между геометрией и алгеброй, связывая длины сторон прямоугольного треугольника (геометрическая концепция) с уравнением (алгебраическая концепция).

Как мы видели, кажущиеся несвязанными концепции в обеих областях, такие как преобразования и функции (которые похожи на математические машины, которые принимают входные данные и превращают их в выходы), на самом деле в конечном итоге очень похожи.

Мы только что коснулись поверхности, приведя несколько примеров взаимосвязи между алгеброй и геометрией. Между этими двумя предметами существует гораздо больше корреляций, которые можно идентифицировать. Теперь, когда мы знакомы с этим фактом, можете ли вы придумать еще какие-либо взаимосвязанные понятия в алгебре и геометрии?

Разница между «исчислением» и «алгеброй»

Математика — это исследовательская и исследовательская деятельность.Неформально и исчисления, и алгебры — это инструменты, которые состоят из наборов символов и систем правил (обычно называемых аксиомами) для управления этими символами.

Исчисления, как правило, уточняются / определяются / исследуются / используются для ответа на вопросы «расчета» или расчета в некотором очень общем смысле. Исчисления обычно используются для исследования свойств объектов (например, «Какова площадь под кривой?»)

Алгебры, как правило, уточняются / определяются / исследуются / используются для ответа на вопросы о том, как разные «вещи» связаны в некотором очень общем смысле.Алгебры, как правило, используются для изучения отношений между объектами. (т.е. «Это уравнение« то же самое », что и это уравнение?»)

Я думаю, можно с уверенностью сказать, что сегодня термин «алгебра» для большинства математиков имеет немного большее значение, чем общий терам «исчисление».

В качестве примеров:

Исчисление (как его преподают в средней школе или в университете), также известное как «исчисление бесконечно малых», — это исчисление, ориентированное на пределы, функции, производные, интегралы и бесконечные ряды.В основном это касается расчетов или ответов на вопросы об изменениях. Исчисление использует комплексные числа (в основном) в качестве основы для этого исследования.

Открывая книгу по информатике, вы можете найти «вычислительное исчисление», которое может включать символы и правила, позволяющие «вычислить» или «обнаружить» поведенческие свойства компьютерной программы. В качестве основы такое исчисление может использовать «состояния» и «переходы» вместо комплексных чисел для обоснования расследования.

Элементарная алгебра (т.е. алгебра средней школы) неформально представляет собой изучение взаимосвязей переменных и структур (например, уравнений), возникающих в результате объединения переменных в соответствии с определенными правилами (т.е. выполнения «операций»). Он использует комплексные числа в качестве основного фундамента, на котором можно «проверять» или «проверять» утверждения, но быстро обнаруживается, что «вычисления с числами» не так полезны (или практичны) при исследовании взаимосвязей между уравнениями.

«Общая теория арифметических операций — это алгебра: поэтому мы можем также разработать алгебру теории множеств.»- Концепции современной математики, Ян Стюарт

В этом смысле элементарная алгебра более «абстрактна», чем арифметика, и часто является предметом, по которому школы (особенно плохие учителя) теряют интерес и внимание учеников к математике. Это трагедия, ведь именно в элементарной алгебре все становится интересно.

В информатике или других инженерных дисциплинах вы можете найти «алгебру процессов», когда рассуждаете о том, как различные состояния компьютерной программы соотносятся друг с другом.Мы можем задавать такие вопросы, как «является ли спецификация набора процессов« функционально эквивалентной »другой спецификации (т. Е. Делают ли они то же самое? Как в случае конкретной конструкции оборудования по сравнению с программой)? Та же самая« алгебра процессов » «может быть использовано для рассуждения о том, как различные« состояния »открывания гаражных ворот связаны с каждым из них. Такая алгебра может использовать состояния, переходы и время в качестве основы.

сигстоп

Разница между алгеброй и арифметикой

Ключевое отличие: Арифметика и алгебра — два раздела математики.Арифметика, являясь самым основным из всех разделов математики, занимается вычислением чисел с помощью таких операций, как сложение, умножение, деление и вычитание. С другой стороны, алгебра использует числа и переменные для решения задач. Он основан на применении обобщенных правил решения проблем.

Арифметика и алгебра — две разные области математики. Арифметика, сам термин произошел от греческого слова, означающего число. Это самый основной раздел математики.Все дело в числах, и поэтому обычно используется каждым в повседневной жизни. Элементарная арифметика работает с четырьмя основными операциями: сложение, вычитание, деление и умножение. Он просто использует числа для различных типов вычислений

Высшая арифметика также известна как теория чисел. Это касается характеристик целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел и действительных чисел.

С другой стороны, алгебра — это еще один раздел математики.Слово происходит от арабского слова аль-джабр, которое в древнем медицинском термине означает «воссоединение сломанных частей». Его можно рассматривать как следующий уровень математики после основания арифметики. В отличие от арифметики, он имеет дело с неизвестными величинами в сочетании с числами. Можно легко идентифицировать алгебраическую операцию с помощью символов X, Y, a, b и т. Д. В основном это касается правил для управления арифметической операцией.

Он также включает в себя степени, алгоритм и комплексные числа.Алгебра использует произведения и факторизацию, квадратичные формальные и биномиальные теоремы и т. Д. Для достижения решения. Основные алгебраические свойства используются для вычисления алгебраических уравнений.

Например, 3 + 7 = 7 + 3, это арифметическое выражение

Принимая во внимание, что a + b = b + a является алгебраическим уравнением, потому что оно будет справедливо для ряда ситуаций. Арифметика может показывать некоторую регулярность, тогда как алгебра дает выражение для определения этих шаблонов на основе закономерностей. Таким образом, арифметика может рассматриваться как вычисление определенных чисел, тогда как алгебра — это обобщение некоторых условий, которые будут выполняться для всех чисел, или всех целых чисел, или целых чисел и т. Д.

В отличие от элементарной арифметики, в элементарной алгебре для решения задач используются буквы. Однако высшая арифметика использует буквы так же, как и в остальной области математики.

Сравнение алгебры и арифметики: