Числа фибоначчи последовательность: Последовательность Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи, известная всем по фильму «Код Да Винчи» — ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки:
Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.

 
В итоге получается такая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Её суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.
У этой последовательности есть ряд математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Так отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618, через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618, что обратно пропорционально 1,618. Если мы будем делить элементы последовательности через одно, то получим числа 2,618 и 0,382, которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.
К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение, которое не уступает по значимости теореме Пифагора.
Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение  — высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.
Если на простом примере, то Золотое Сечение — это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

Если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b — 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение c к a равно 1,618, а с к b2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.
Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.

Изображение: marcus-frings.de

Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.
Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.

Ничего не напоминает?

Фото: ethanhein on Flickr
И не только в раковине моллюска можно найти спирали Архимеда, а во многих цветах и растениях, просто они не такие явные.
Алое многолистный:

Фото: brewbooks on Flickr
Броколи романеско:

Фото: beart.org.uk
Подсолнечник:

Фото: esdrascalderan on Flickr
Сосновая шишка:

Фото: mandj98 on Flickr
А если взглянуть чуть подальше, то можно разглядеть последовательность Фибоначчи в недосягаемых галактиках.

И тут самое время вспомнить о Золотом Сечении! Ни одни ли из самых прекрасных и гармоничных творений природы изображены на этих фотографиях? И это далеко не все. Присмотревшись, можно найти похожие закономерности во многих формах.
Конечно заявление, что все эти явление построены на последовательности Фибоначчи звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама последовательность далека от совершенства, как и всё в этом мире.
Есть предположение, что последовательность Фибоначчи — это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любой последовательности достаточно знать три её члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.
Каждый член золотой логарифмической последовательности явлется степенью Золотой Пропорции (z). Часть ряда выглядит примерно так: … z^-5; z^-4; z^-3; z^-2; z^-1; z⁰; z¹; z²; z³; z⁴; z⁵ … Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618, тогда ряд выглядит так: … 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 … Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618, но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост в последовательности обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.
И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
От куда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?
Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55…

Источник: http://greenword.ru/

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Определение чисел Фибоначчи

      Последовательностью (числами) Фибоначчи называют возвратную последовательность 2-го порядка, определяемую рекуррентной формулой

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 1 .

(2)

      Другими словами, последовательность Фибоначчи — это такая последовательность, у которой первые два члена равны 1, а каждый член, начиная с третьего члена, равен сумме двух предыдущих членов.

      Таким образом, числа

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55

являются первыми десятью членами последовательности Фибоначчи.

      Замечание. Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника.

Вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи

      Нашей целью является вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи. Чтобы получить эту формулу, будем действовать в соответствии со схемой, изложенной в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена».

1. Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид

   λ² – λ – 1 = 0 .

   Найдем его корни:

2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид

   где c₁ и c₂ – произвольные действительные числа.

3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c₁ и c₂так, чтобы для последовательности

   (3)

   выполнялись начальные условия (2). Это означает, что числа c₁ и c₂должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

4. Решение этой системы имеет вид:

   Посмотреть, как получено это решение можно, включив эту страницу на стационарном компьютере или планшете.

5. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c₁ и c₂в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности Фибоначчи:

      Замечание. Число

входящее в формулу общего члена последовательности Фибоначчи, является золотым отношением.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Числа фибоначчи практическое применение в жизни. Исследовательская работа «числа фибоначчи»

Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.

Золотое сечение

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):

В результате получается уравнение: х 2 — х — 1=0,
которое решается как х=(1±√5)/2.

Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

• Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.
• Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.
• Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, чи

Последовательность чисел Фибоначчи в трейдинге

Уровни фибоначчи – один из базовых инструментов анализа движений в контексте их размеров. На первый взгляд может показаться, что это значения, которые просто за уши притянуты к реальности, однако можно просто открыть любой график и посмотреть на соотношения между разными колебаниями. Тут даже самые упёртые скептики сдадутся. Этот необычный метод активно используется во многих стратегиях, а также играет важную роль при волновой разметке движений, Эллиотт уделял большое внимание пропорциям, что позволяет в значительной степени повысить точность таких прогнозов. На данный момент уровни фибоначчи входят в состав базовых графических инструментов практически любого терминала, и даже если он отсутствует, его легко можно найти в интернете или, на крайний случай, посчитать самому на калькуляторе.

В основе значений фибоначчи лежит числовая последовательность, которая имеет такое же название. Это достаточно простой алгоритм, последовательность строится по следующему принципу: каждый последующий член последовательности фибоначчи равен сумме двух предыдущих. Начинается она с нуля и двух единиц. Впрочем, ноль очень часто опускается.

По мере продолжения этой последовательности каждый предыдущий член будет всё больше приближаться к так называемому “Золотому сечению”. В процентном выражении это 61,8%. Взято это значение из простой формулы деления отрезка на две части так, чтобы меньшая часть относилась к большей так же, как большая часть относится ко всему отрезку. После несложных расчётов получается как раз 61,8%. Так мы получаем самое главное значение, от которого строятся все остальные. Второе важное значение – 38,2%. Оно получается путём вычета из 100% значения основного.  Рассмотрим, как это получается:

Интерес представляет правый столбик, показанный на картинке. Буквально десятый член последовательности уже показывает очень близкие к нашему золотому сечению значения. Далее, продолжая строить ряд, мы получаем ещё более точные. В целом, в трейдинге вполне достаточно использовать общепринятое значение 61,8%, дальнейшее уточнение уже ни к чему.

Важность последовательности фибоначчи

Теперь перейдём к более важному вопросу, а именно по какой причине всё это работает. Дело в том, что золотое сечение названо так совсем не случайно. Первые упоминания датируются аж четвёртым веком до нашей эры в работах известного математика Евклида, который упоминал золотое сечение в контексте построения пятиугольника.  Само же название связывают обычно с очень известным инженером, художником и изобретателем – да Винчи, хотя именно литературное распространение началось с математических пособий Германии, где другой известнейший учёный Ом ввёл его именно в этой формулировке. В целом, всё это не так важно, главное – это идея, которая лежит в самом соотношении. К которому приводит последовательность фибоначчи. Подобное соотношение можно встретить в следующих областях:

1. Архитектура. История знает огромное количество примеров, где было сознательно использовано правило разделения различных элементов исходя из их соотношений между собой определённым коэффициентом. Самый яркий пример – пирамиды в Египте, а также многие здания (храмы) в Древней Греции. Прямоугольник, разделённый таким образом получается очень гармоничным, поэтому он часто лоижлся в основу формы здания. То же самое относится и к элементам украшения, декора, везде можно проследить эту туенденцию. Конечно же, это не говорит о том, что прямо вот вся архитектура была заточена именно под такие пропорции, но тот факт, что они далеко нередко появлялись, свидетельствует о том, что золотое сечение было известно давно, и использовалось вполне сознательно. В целом, и последовательность фибоначчи появилась не просто так – числа, которые приближаются к золотому сечению позволяют определить само сечение через такую математическую операцию, как вычисление предела.

2. Геометрия молекул и химия. Очень сложные формы соединений на атомном уровне могут содержать как числа, входящие в последовательность фибоначчи, так и само золотое сечение. Как уже говорилось ранее, наш коэффициент присутствует в пятиугольнике, а сами атомы между собой образуют очень сложные геометрические фигуры. В основном, коэффициент прослеживается в додекаэдрах и икосаэдрах. Не вдаваясь в подробности, это многогранные фигуры, имеющие сложную симметрию. Также здесь присутствует число из поселдовательности фибоначчи – 21, которое получается одной молекулой, вокруг которой располагается ещё двадцать молекул. В итоге вся эта композиция из двадцати одной молекулы даёт додекаэдр.

3. Биология. Пропорции тела очень приближены к главному коэффициенту.  Например, соотношение между расстояние от подбородка до бровей стремится к коэффициенту, входящему в последовательность чисел фибоначчи, по отношению оставшейся части головы, то есть лба. Аналогичная ситуация и с размером ладони, только в роли этого сечения выступает линия, проходящая через сустав между третьей и второй фалангой. Также считается, что изначально на подобные части, как в последовательности фибоначчи, делил тело пупок. Однако, со временем начались отклонения от этих значений, что объясняется эволюцией и приспособлением под окружающие человека условия.

4. Музыка. Здесь речь идёт о количество нот разной длины. Например, золотое сечение использовал Иоганн Себастьян Бах, один из величайших композиторов в истории.

5. Природа. Золотое сечение прослеживается в цветах, листьях, расположении сучков на более крупном суке дерева. Наибольший интерес представляет раковина улитки, которая “раскручивается” по строгой спирали, шаг которой определяется нашим коэффициентом. Вообще, если взглянуть на все примеры, становится очевидным, что каким-то необъяснимым образом и сама природа стремится к таким пропорциям. Человеческое восприятие объектов, в которых есть такие соотношения ассоциируется с гармонией, что довольно странно на фоне восприятия симметричных объектов, как практически идеальных. Тем не менее, данный факт известен очень давно и активно применяется.

Данное соотношение, полученное из чисел фибоначчи, ложится в основу системы коэффициентов, которые называются уровнями фибоначчи. Они устанавливают пропорции между двумя разнонаправленными движениями, по ним можно определять размеры коррекции и предполагать точки окончания. Но об этом мы поговорим позднее, а сейчас перейдём непосредственно к самим числам фибоначчи, а вернее, последовательности, которая имеет очень важное значение в волновой теории, разработанной Эллиоттом.

Последовательность чисел фибоначчи в волновой теории

До этого мы говорили о предельном отношении двух соседних членов последовательности чисел фибоначчи. Теперь посмотрим, как волновая теория использует последовательность. Из общего описания нам известно, что все движения делятся на импульсы и коррекции. В глобальном масштабе вся волновая конструкция стремится к циклу роста и снижения, меняется размерность, но эти две фазы последовательно происходят одна за другой. Минимальный набор волн для отличия одной структуры от другой – 5 и 3. У импульсов пять составляющих, у коррекции – три. В этом мы видим первые два числа, которые относятся к последовательности фибоначчи. И даже суперцикл из двух фаз также входит в последовательность – это 1 и 1. Рассмотрим более подробно рост и коррекцию.

1. В составе импульса мы можем выделить 5 элементов – три из них также импульсы, оставшиеся два – коррекции. Соответственно, при таком приближении у нас уже получается 5+3+5+3+5=21 Итого двадцать одна волна составляет импульс.
2. Коррекция, как известно, состоит из трёх движений, в которых два – импульсы и одно – коррекция. При таком раскладе у нас получается 5+3+5=13 волн. Здесь есть исключение, так как иногда первая волна в коррекции может быть представлена тройкой, но зато это компенсируется тем, что вторая волна может быть треугольником, в котором не 3, а уже 5 волн. К тому же треугольники могут встречаться и в четвёртой волне импульса.

Что мы видим в итоге: 21 волна в импульсе и 13 волн в коррекции в рамках одного цикла. Оба числа из последовательности фибоначчи, причём следуют они сразу за 8 и 5 волн из предыдущего примера. И если это покажется совпадением, перейдём ещё на один уровень подробнее. В этом случае получается следующее:

1. Импульс представлен 21 волной, коррекция 13, значит, весь импульс будет состоять из 21+13+21+13+21=89 волн. Это также вытекает из структуры простого 5+3.
2. Коррекция состоит из:  21+13+21=55 волн.

И снова у нас два числа из последовательности фибоначчи. В сумме такой цикл даёт следующее число – 144. Так можно продолжить до бесконечности, и каждый раз будем получать следующие два числа из последовательности фибоначчи. Подобная последовательность свидетельствует о том, что волновая теория имеет глубокую связь с происходящим на рынке, ведь мы имеем не только количество волн, но и самое главное соотношение и его производные, которые также вписываются в гармонию природы и поведения людей. И чем больше объёмы, тем чётче должна прослеживаться зависимость всего происходящего в разных циклах между собой.   Это выражается как в самой структуре, так и в коэффициентах.

Читайте далее — Уровни Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи – SViKK

Последовательность чисел Фибоначчи. Вы впервые слышите об этом и даже не предполагаете, из какой это области знаний? Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это объясняет суммационная последовательность Фибоначчи.

Извечное стремление человека познать себя и окружающий мир двигало науку вперёд.

Одним из наиболее значимых достижений в математике является введение арабских цифр вместо римских. Оно принадлежит одному из самых замечательных ученых двенадцатого столетия Фибоначчи (1175 г.). Его именем было названо ещё одно сделанное им открытие – суммационную последовательность: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Это – так называемые числа Фибоначчи.

Эта закономерность в математике интересовала ещё одного ученого средневековья – Фому Аквинского. Движимый желанием «алгеброй гармонию измерить», учёный сделал вывод о прямой связи математики и красоты. Эстетические чувства, возникающие при созерцании гармоничных, пропорционально созданных природой объектов, Фома Аквинский объяснял тем же принципом суммационной последовательности.

Этот принцип поясняет, что начиная с 1,1, следующим числом будет сумма двух предыдущих чисел. Эта закономерность имеет большое значение.Это последовательность все медленнее и медленнее – асимптотически – приближается к некоему постоянному отношению. Однако отношение это является иррациональным, то есть имеет в дробной части бесконечную и непредсказуемую последовательность цифр. Точное его выражение невозможно. Разделив любой член последовательности Фибоначчи на член, предшествующий ему, мы получим величину, которая колеблется возле значения 1.61803398875… (иррациональное), которая будет то не достигать, то превосходить его всякий раз. Даже Вечности не хватит для того, чтобы точно определить это соотношение. Для краткости мы будем использовать его в виде 1.618.

Средневековый математик Лука Пачиоли назвал это соотношение Божественной пропорцией. Кеплеpом  суммационная последовательность названа “одним из сокровищ геометрии”. В современной науке суммационная последовательность Фибоначчи имеет несколько названий, не менее поэтичных: Отношение вертящихся квадратов, Золотое среднее, Золотое сечение. В математике его обозначают греческой буквой фи (Ф=1,618).

Асимптотический характер последовательности, ее колебания возле иррационального числа Фибоначчи, имеющие свойство затухать, станут понятнее, если рассмотреть соотношения первых членов этой последовательности. В примере ниже мы рассмотрим числа Фибоначчи приведем отношение второго к первому члену, третьего ко второму и так далее:
1:1 = 1.0000, это меньше фи на 0.6180
2:1 = 2.0000, это больше фи на 0.3820
3:2 = 1. 5000, это меньше фи на 0.1180
5:3 = 1.6667, это больше фи на 0.0486
8:5 = 1.6000, это меньше фи на 0.0180
Двигаясь дальше по последовательности Фибоначчи, каждый ее новый член разделит следующий, все более и более приближаясь к недостижимому числу Ф.

Впоследствии мы увидим, что некоторые числа Фибоначчи, составляющие его суммационную последовательность, видны в динамике цен на различные товары; среди методов технического анализа Форекс используются уровни Фибоначчи. Колебания отношений возле 1.615 на ту или иную величину могут быть обнаружены в Волновой Теории Эллиотта, в ней они фигурируют в Правиле чередования. Подсознательно каждый человек ищет пресловутую Божественную пропорцию, которая необходима для удовлетворения стремления к комфорту.

Если мы разделим любой член последовательности Фибоначчи на член, следующий за ним, мы получим обратную к 1.618 величину, то есть 1:1.618. Это тоже достаточно необычное явление, пожалуй, даже замечательное. Исходное соотношение является бесконечной дробью, следовательно, и данное соотношение тоже должно быть бесконечным.

Другой немаловажный факт заключается в следующем. Квадрат любого члена последовательности Фибоначчи равняется числу, которое стоит перед ним в последовательности, умноженному на то число, что идет следом за ним, плюс или минус.
5² = (3 x 8) + 1
8² = (5 x 13) – 1
13² = (8 x 21) + 1
Плюс и минус всегда чередуются, и в этом заключается проявление части Волновой Теории Эллиотта, которая называется Правилом чередования. Это правило гласит: сложные волны коррективного характера перемежаются с простыми, сильные волны импульсного характера – со слабыми волнами коррективного характера, и так далее.

Проявления Божественной пропорции в природе

Обнаруженная математическая последовательность позволяет вычислить бесконечное число постоянных величин. Члены этой последовательности всегда будут проявляться в нескончаемом количестве сочетаний.
С помощью установленной закономерности даётся  математическое толкование природных явлений. В этой связи, открытию математической последовательности принадлежит одно из самых значительных мест в историческом знании.
Мы можем сослаться на целый ряд интересных  теорий, выведенных на основе математической последовательности.

Пирамида в Гизе

Конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Это открытие было сделано после многочисленных попыток разгадать секреты этой пирамиды. Сама пирамида в Гизе представляется неким посланием потомкам, с тем, чтобы передать определенные знания законов математической последовательности. Во времена возведения пирамиды ее строители не располагали достаточными возможностями для выражения известных им закономерностей. В ту пору не существовала письменность, не использовались ещё и иероглифы. Однако создателям пирамиды удалось с помощью геометрической пропорции своего творения передать свои знания математической закономерности будущим поколениям.

Храмовые жрецы передали Геродоту секрет пирамиды в Гизе. Она выстроена таким образом, что площадь каждой грани равняется квадрату высоты этой грани.
Площадь тpеугольника: 356 x 440 / 2 = 78320
Площадь квадpата: 280 x 280 = 78400
Грань пирамиды в Гизе имеет длину 783.3 фута (238.7 м), ее высота составляет 484.4 фута (147.6 м). Разделив длину грани на высоту, вы придем к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13), а это не что иное, как числа последовательности Фибоначчи. Все эти наблюдения приводят нас к выводу, что вся конструкция пирамиды базируется на пропорции Ф=1,618.
– это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618.
Эти сведения дают основание полагать о высоком развитии в те времена  знаний в области математики и астрологии. В строгом соответствии с числом 1.618 возведено это величайшее творение не только рук человека, но и его разума. Сами внутренние и внешние пропорции пирамиды, соблюдённые в строгом соответствии с законом Золотого сечения являются посланием нам, потомкам,  из глубины веков величайшего знания.

Мексиканские пирамиды

Поражает воображение тот факт, что пирамиды в Мексике построены по такому же принципу. Невольно возникает предположение о строительстве мексиканских пирамид в одно время с египетскими, к тому же строители обладали знаниями о математическом законе Золотого сечения.
Поперечное сечение пирамиды обнаруживает форму лестницы. В пеpвом её яpусе 16 ступеней, второй содержит 42 ступени, третий – 68 ступеней. Числа базируются на последовательности Фибначчи по следующей схеме:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68
Число Ф = 1.618 лежит в основе пропорций мексиканской пиpамиды. (Источник: Mysteries of the Mexican Pyramids, by Peter Thomkins /Питеp Томкинс, “Тайны мексиканских пиpамид”/ (New York: Harper & Row, 1976) p. 246, 247.)

Растения

Не менее замечательным является проявление суммарной последовательности Фибоначчи в строении растений.
Такой вывод можно сделать, наблюдая за ростом и развитием стеблей и цветов sneezewort’а. Каждая его новая ветвь, прорастая, дает начало другим ветвям. Рассматривая старые и новые ветви совместно, мы обнаружим число Фибоначчи в каждой из горизонтальных плоскостей. (Источник: The Divine Proportion, by H. E. Huntley /Х. Е. Хантли, “Божественная пpопоpция”/ (New York: Dover, 1970) p. 163.).
В строении соцветий сложноцветных растений вновь проявляется закономерность Золотого сечения:
Иpис имеет 3 лепестка;
Пpимула имеет 5 лепестков;
Амбpозия полыннолистная имеет 13 лепестков;
Hивяник обыкновенный имеет 34 лепестка;
Астpа имеет 55 и 89 лепестков.
Таким образом, суммарной последовательностью Фибоначчи легко можно трактовать закономерность проявлений Золотых чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют в независимости от нашего знания, от чьего-то желания принимать или не принимать их.

+

Лекция № 8. Числа фибоначчи и простые числа

1. Задача Фибоначчи

Итальянский
математик Леонардо Фибоначчи жил в 13
столетии и одним из первых в Европе
стал использовать арабские (индийские)
цифры. Он придумал несколько искусственную
задачу о кроликах, которых выращивают
на ферме, причем все они считаются
самками, самцы игнорируются. Кролики
начинают размножаться после того, как
им исполняется два месяца, а потом каждый
месяц рожают по кролику. Кролики никогда
не умирают.

Нужно
определить, сколько кроликов будет на
ферме через n
месяцев, если в начальный момент времени
был только один новорожденный кролик.

Очевидно, что
фермер имеет одного кролика в первый
месяц и одного кролика – во второй
месяц. На третий месяц будет уже два
кролика, на четвертый – три и т. д.
Обозначим количество кроликов в n
месяце как
.
Таким образом,,,,,,
…

Можно построить
алгоритм, позволяющий найти
при любомn.

Согласно условию
задачи общее количество кроликов
вn+1
месяце раскладывается на три составляющие:

• одномесячные
  кролики, не способные к размножению, в
  количестве

;

• кролики, способные
  к размножению, в количестве
  ;

• новорожденные
  кролики, их количество также равно
  .

Таким образом,
получим

. (8.1)

Формула (8.1)
позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Числа в данной
последовательности называются числами
Фибоначчи.

Если
принять
и
,
то с помощью формулы (8.1) можно определить
все остальные числа Фибоначчи. Формула
(8.1) называется рекуррентной
формулой (recurrence
– «возвращение» на латыни).

Пример 8.1.
Предположим,
что имеется лестница в n
ступенек. Мы можем подниматься по ней
с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом
в две ступеньки. Сколько существует
комбинаций различных способов подъема?

Если
n
= 1, имеется только один вариант решения
задачи. Для n
= 2 существует 2 варианта: два единичных
шага либо один двойной. Для n
= 3 существует 3 варианта: три единичных
шага, либо один единичный и один двойной,
либо один двойной и один единичный.

В
следующем случае n
= 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1,
1+1+2, 2+2).

Для
того чтобы ответить на заданный вопрос
при произвольном n,
обозначим количество вариантов как
,
и попробуем определитьпо известными
.
Если мы стартуем с единичного шага, то
имеем
комбинаций для оставшихсяn
ступенек. Если стартуем с двойного шага,
то имеем
комбинаций для оставшихсяn–1
ступенек. Общее количество вариантов
для n+1
ступенек равно

. (8.2)

Полученная
формула как близнец напоминает формулу
(8.1). Тем не менее, это не позволяет
отождествлять количество комбинаций

с числами Фибоначчи.
Мы видим, например, что,
но.
Однако имеет место следующая зависимость:

.

Это
справедливо для n
= 1, 2, и также справедливо для каждого n.
Числа Фибоначчи и количество комбинаций

вычисляются по одной и той же формуле,
однако начальные значения,и,у них различаются.

Пример 8.2. Этот
пример имеет
практическое
значение для задач помехоустойчивого
кодирования. Найдем число всех двоичных
слов длины n,
не содержащих несколько нулей подряд.
Обозначим это число через
.
Очевидно,,
а слова длины 2, удовлетворяющие нашему
ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е..
Пусть– такое слово изn
символов. Если символ
,
томожет быть произвольным ()-буквенным
словом, не содержащим несколько нулей
подряд. Значит, число слов с единицей
на конце равно.

Если же символ
,
то обязательно,
а первыесимволамогут быть произвольными с учетом
рассматриваемых ограничений. Следовательно,
имеетсяслов длины
n
с нулем на конце. Таким образом, общее
число интересующих нас слов равно

.

С учетом того, что
и,
полученная последовательность чисел
– это числа Фибоначчи.

Пример 8.3. В
примере 7.6 мы нашли, что число двоичных
слов постоянного веса t
(и длиной k)
равно
.
Теперь найдем число двоичных слов
постоянного весаt,
не содержащих несколько нулей подряд.

Рассуждать можно
так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах.
В любом слове имеетсяпромежутков между ближайшими нулями,
в каждом из которых находится одна или
несколько единиц. Предполагается, что.
В противном случае нет ни одного слова
без рядом стоящих нулей.

Если из каждого
промежутка удалить ровно по одной
единице, то получим слово длины
,
содержащеенулей. Любое такое слово может быть
получено указанным образом из некоторого
(и притом только одного)k-буквенного
слова, содержащего
нулей, никакие два из которых не стоят
рядом. Значит, искомое число совпадает
с числом всех слов длины,
содержащих ровнонулей, т.е. равно.

Пример 8.4. Докажем,
что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого.
Символобозначаетнаименьшее
целое число, большее или равное
.
Например, если,
то;
а если,
то.
По-английски эту операцию называютceil
(«потолок»). Также встречается символ
,
который обозначаетнаибольшее
целое число, меньшее или равное
.
По-английски эту операцию называютfloor
(«пол»).

Если
,
то.
Если,
то.
Если,
то.

Таким образом, для
рассмотренных случаев сумма действительно
равна числам Фибоначчи. Теперь приведем
доказательство для общего случая.
Поскольку числа Фибоначчи можно получить
с помощью рекуррентного уравнения
(8.1), то должно выполняться равенство:

.

И оно действительно
выполняется:

Здесь мы использовали
полученную ранее формулу (4.4):
.

2. Сумма чисел
   Фибоначчи

Определим
сумму первых n
чисел Фибоначчи.

0 = 0,

0+1 = 1,

0+1+1 = 2,

0+1+1+2 = 4,

0+1+1+2+3 = 7,

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Легко
заметить, что прибавлением к правой
части каждого уравнения единицы мы
снова получаем число Фибоначчи. Общая
формула для определения суммы первых
n
чисел Фибоначчи имеет вид:

.

Докажем это,
используя метод математической индукции.
Для этого запишем:

.

Эта
сумма должна быть равна
.

.

Сократив левую и
правую часть уравнения на –1, получим
уравнение (6.1).

3. Формула для
   чисел Фибоначчи

Теорема
8.1.
Числа
Фибоначчи можно рассчитать по формуле

.

Доказательство.
Убедимся в справедливости этой формулы
для n
= 0, 1, а затем докажем справедливость
данной формулы для произвольного n
по индукции. Вычислим отношение двух
ближайших чисел Фибоначчи:

Мы
видим, что отношение этих чисел колеблется
около значения 1.618 (если игнорировать
несколько первых значений). Этим свойством
числа Фибоначчи напоминают члены
геометрической прогрессии. Примем
,
().
Тогда выражение

преобразуется в

,

которое после
упрощений выглядит так

.

Мы
получили квадратное уравнение, корни
которого равны:

Теперь
можем записать:

(где
c
является константой). Оба члена
и
не дают чисел Фибоначчи,
например
,
в то время как.
Однако разность
удовлетворяет
рекуррентному уравнению:

.

Для
n=0
эта разность дает,
то есть: .
Однако при n=1
мы имеем .
Чтобы получить
,
необходимо принять:.

Теперь
мы имеем две последовательности:
и ,
которые начинаются с одинаковых двух
чисел и удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле. Они должны быть
равны: .
Теорема доказана.

При
возрастании n
член
становится очень большим, в то время
как,
и роль членав разности сокращается.
Поэтому при больших n
приближенно можем записать

.

Мы
игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи
возрастают до бесконечности при росте
n
до бесконечности).

Отношение

называется золотым
сечением,
его используют за пределами математики
(например, в скульптуре и архитектуре).
Золотым сечением является отношение
между диагональю и стороной правильного
пятиугольника
(рис. 8.1).

Рис.
8.1. Правильный пятиугольник и его
диагонали

Для обозначения
золотого сечения принято использовать
букву
в честь известного афинского скульптора
Фидия.

4. Простые числа

Все натуральные
числа, большие единицы, распадаются на
два класса. К первому относятся числа,
имеющие ровно два натуральных делителя,
единицу и самого себя, ко второму – все
остальные. Числа первого класса называют
простыми,
а второго – составными.
Простые числа в пределах первых трех
десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Свойства простых
чисел и их связь со всеми натуральными
числами изучалась Евклидом (3 век до
нашей эры). Если выписывать простые
числа подряд, то можно заметить, что
относительная плотность их убывает. На
первый десяток их приходится 4, т. е. 40%,
на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е.
меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше
8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число
бесконечно.

Среди простых
чисел попадаются пары таких, разность
между которыми равна двум (так называемые
простые
близнецы),
однако конечность или бесконечность
таких пар не доказана.

Евклид считал
очевидным, что с помощью умножения
только простых чисел можно получить
все натуральные числа, причем каждое
натуральное число представимо в виде
произведения простых чисел единственным
образом (с точностью до порядка
множителей). Таким образом, простые
числа образуют мультипликативный базис
натурального ряда.

Изучение распределения
простых чисел привело к созданию
алгоритма, позволяющего получать таблицы
простых чисел. Таким алгоритмом является
решето
Эратосфена
(3 век до нашей эры). Этот метод заключается
в отсеивании (например, путем зачеркивания)
тех целых чисел заданной последовательности
,
которые делятся хотя бы на одно из
простых чисел, меньших.

Теорема
8.2.
(теорема Евклида).
Число
простых чисел бесконечно.

Доказательство.
Теорему
Евклида о бесконечности числа простых
чисел докажем способом, предложенным
Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер
рассмотрел произведение по всем простым
числам p:

при
.
Это произведение сходится, и если его
раскрыть, то в силу однозначности
разложения натуральных чисел на простые
сомножители получается, что оно равняется
сумме ряда,
откуда следует тождество Эйлера:

.

Так как при
ряд справа расходится (гармонический
ряд), то из тождества Эйлера следует
теорема Евклида.

Русский математик
П.Л. Чебышев (1821–1894) вывел формулу,
определяющую пределы, в которых заключено
число простых чисел
,
не превосходящихX:

,

где
,.

Невероятный Фибоначчи

Введение

Числа Фибоначчи — интересная математическая идея. Хотя обычно они не преподаются в школьной программе, особенно в младших классах, преобладание их внешнего вида в природе и легкость их понимания делают их отличным принципом для обучения детей младшего возраста.

Цели обучения
После завершения уроков в этом разделе учащиеся смогут:

• Объясните числа Фибоначчи и их происхождение.
• Определите числа Фибоначчи в природе и искусстве.
• Сгенерировать следующие числа в последовательности Фибоначчи.
• Создайте исходную номерную серию.
• Создайте прямоугольник и спираль Фибоначчи.
• Напишите стихотворение акростиха Фибоначчи.

Препарат

• Внимательно прочтите уроки.
• Соберите материалы.
• Распечатайте уроки на цветном принтере.

Урок 1: Введение в числа Фибоначчи

Вы когда-нибудь срывали лепестки с ромашки? Если вы внимательно посмотрите на центр ромашки, вы обнаружите, что желтый центр не сплошной.Он состоит из наборов спиралей, выходящих из центра. Это не только ромашки! Природа — это математика.

Посмотрите на фотографии шишки. У него такие же спирали. Они не ходят по кругу — они гаснут, как фейерверк. Посмотрите на изображения ниже, чтобы увидеть, как это выглядит. Сколько спиралей идет по часовой стрелке (зеленые линии)? Сколько спиралей идет против часовой стрелки (желтые линии)? Разве это не странно? Разве вы не ожидали, что они будут такими же?

Чтобы понять спирали в сосновых шишках, ананасах, маргаритках и многих других вещах в природе, нам нужно встретиться с математиком по имени Леонардо де Пиза. Большинство людей называют его Фибоначчи (произносится как фиб-о-науч-и). Около 800 лет назад он написал книгу, в которую включил математическую задачу следующего вида:

«Некий человек посадил пару кроликов на место, обнесенное стеной. Сколько пар кроликов можно произвести из этой пары в год, если предполагается, что каждый месяц каждая пара дает новую пару, от которой второй месяц становится продуктивным? »
(Liber abbaci, стр. 283-284)

(Разве не странно, что 800 лет назад у них были проблемы со словами?) Работа Фибоначчи над этой проблемой привела его к следующей последовательности чисел:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Можете ли вы определить, какое будет следующее число в последовательности?

Мы называем это последовательностью Фибоначчи, а числа — числами Фибоначчи.Чтобы получить следующее число в последовательности, вы складываете два предыдущих числа вместе. А теперь вернитесь и посмотрите на эти спирали из шишек. Что вы заметили в количестве спиралей в каждом направлении, теперь, когда вы знаете о числах Фибоначчи?

Урок 2: Нахождение Фибоначчи

Теперь, когда вы знаете, что такое числа Фибоначчи, вы готовы к охоте на Фибоначчи.

Цветы
Посмотрите на этот цветок (это лилейник Blizzard Bay, изображение любезно предоставлено Barossa Daylilies).Сколько у него лепестков? Вы видите шесть? Вы думаете, что шесть — это не число Фибоначчи? Посмотри внимательнее. Вы видите, что на самом деле есть два набора по три лепестка? Внешние лепестки с прямыми краями на самом деле не являются лепестками. Их называют чашелистиками. Так сколько же настоящих лепестков?

Не все цветы имеют по три лепестка. У некоторых есть намного больше. Некоторые трудно сосчитать, потому что лепестков слишком много или они расположены рядами. И есть несколько цветов, у которых нет числа Фибоначчи для лепестков.Посмотри, сможешь ли ты найти рисунок ромашки. Являются ли лепестки числом Фибоначчи?

Семенные головки
Семенные головки цветов расположены в виде спиралей последовательности Фибоначчи, как вы видели в шишках. Посмотрите на семенную головку этого подсолнуха. Вы видите, как упакованы семена? Но ни один из них не разбит. Спиральный узор позволяет цветку умещаться в большинстве семенных головок на минимальном пространстве.

Как вы думаете, вы могли бы использовать эту информацию в своей жизни? Как вы думаете, получится ли попытаться собрать такой чемодан? Почему или почему нет?

Еда
Посмотрите на это изображение фиолетовой цветной капусты.Если вы посмотрите внимательно, вы можете увидеть его центр, где начинаются маленькие цветы (соцветия).

Вы видите спираль?

Природа полна чисел Фибоначчи и последовательностей Фибоначчи. Посмотрите на плакат Лесной службы с полевыми цветами. Сколько примеров чисел Фибоначчи вы можете найти на плакате? (Не волнуйтесь, что слова расплывчаты; просто посмотрите на изображения цветов.)

Урок 3: Работа с Фибоначчи

Материалы

• Большой лист бумаги
• Миллиметровая бумага (Если вам нужна миллиметровая бумага, распечатайте ее на enchantedlearning. com / math / graphs / graphpaper)
• Линейка
• Компас
• Карандаши цветные

Прямоугольники Фибоначчи
Давайте нарисуем несколько прямоугольников, используя числа Фибоначчи. Это перенесет нас в удивительное место. Завершите последовательность Фибоначчи ниже (попробуйте сделать это без посторонней помощи!):

0, 1, 1, 2, 3, 5, __, __, __, __,

Отлично! Вы готовы начать. Во-первых, мы сделаем простую задачу на миллиметровой бумаге.

Интересная вещь в создании таких прямоугольников заключается в том, что соотношение (число, которое показывает, как стороны соотносятся друг с другом) остается неизменным, независимо от того, насколько большим становится прямоугольник.Это соотношение дает нам прямоугольники, которые мы называем «Золотым прямоугольником», потому что они считаются самыми красивыми прямоугольниками для его внешнего вида. Это соотношение называется золотым сечением. Вы можете найти его, разделив длинную сторону на короткую. Итак, если у вас есть прямоугольник 3 × 5, вы должны разделить 5 на 3. Это даст нам число примерно 1,61. (Узнайте больше о золотом сечении.)

Можете ли вы найти вокруг себя золотые прямоугольники? Как насчет этой бумажки?

Теперь вы собираетесь создать золотой прямоугольник самостоятельно (на большом листе бумаги, а не на миллиметровой бумаге) и увидите что-то действительно удивительное!

1. Сначала нарисуйте два квадрата рядом.С помощью линейки сделайте из них квадрат 0,5 см.
2. Теперь создайте квадрат 2 × 2 поверх первого квадрата. Итак, если бы первый квадрат был 0,5 см, квадрат 2 × 2 был бы квадратом 1 см, верно?
3. Продолжайте эту модель, делая каждый квадрат следующего размера в последовательности Фибоначчи. Итак, после квадрата 2 × 2 вы должны сделать квадрат 3 × 3 (1,5 см × 1,5 см), затем квадрат 5 × 5 (2,5 см × 2,5 см) и так далее. Это похоже на то, что вы делали с миллиметровой бумагой, только с помощью линейки. Продолжайте идти, пока не получите квадрат 21 × 21 (10.5 см × 10,5 см).
4. У каждого квадрата будет край, который представляет собой сумму двух квадратов перед ним, как и в последовательности Фибоначчи.
5. См. Схему ниже, чтобы узнать, как это должно выглядеть. Последнее еще не сделано. Вы видите, куда он пойдет?

Теперь с помощью циркуля нарисуйте дугу из квадратов с радиусом, равным размеру края квадрата. Не волнуйтесь из-за этих громких слов; они просто означают, что дуга будет составлять четверть круга.Дуги в первых квадратах будут действительно очень маленькими. Но посмотрите, как они растут!

Посмотрите на это изображение раковины наутилуса. Что ты заметил?

Art Connection
А теперь посмотрите на эту картину Мондриана:

Какие связи вы обнаруживаете между тем, что вы рисовали, и тем, что рисовал Мондриан? Все ли его прямоугольники выглядят для вас как прямоугольники, основанные на Фибоначчи?

Добавочный номер

Оценка

ЧИСЛО ФИБОНАЧЧИ

Теперь о «фокусе» с последовательностью чисел Фибоначчи.
Спросите у друга два числа.
Затем вы можете ввести числа на этой компьютерной странице, но будет гораздо более впечатляющим, если этот трюк будет проделан на бумаге.
Сложив два числа, создайте последовательность Фибоначчи длиной ровно десять шагов.
Когда вы дойдете до десятого числа, скажите другу, что вы можете суммировать все десять чисел в уме!

А в чем секрет?

Всякий раз, когда у вас есть последовательность Фибоначчи из 10 чисел, сумма всегда будет седьмым числом, умноженным на 11.

Для практики введите два и три в первые два поля, а затем нажмите «ВЫЧИСЛИТЬ».
Да, вы, , могли бы получить результат , щелкнув «Вычислить итого» или воспользовавшись уловкой.

Если вы ввели два и три для первых двух чисел, седьмое число будет 34, и умножение его на 11 даст результат 374.
Умножить на 11 в уме не так уж и сложно.
Например, чтобы умножить 34 на 11, подумайте о суммировании 34 и 34, но сдвиньте один десятичный разряд.

34
34
374

Очевидно, когда вы просите друга назвать два числа, убедитесь, что вы упомянули, что они должны быть относительно небольшими.

Выполнение этого трюка на бумаге производит гораздо большее впечатление, чем на компьютере, так почему бы не использовать эту компьютерную страницу просто для практики?

Помните, прежде чем показывать это кому-либо, лучший совет — потренироваться .

* * * * * * * * * * * * * * * *
И, если вам интересно, вот первые 60 чисел Фибоначчи:

0

46. 1836311903

47. 2971215073

48. 4807526976

49. 7778742049

50. 12586269025

51. 20365011074

52. 32951280099

53. 533162

54. 86267571272

55. 139583862445

56. 225851433717

57. 365435296162

58. 5

729879

59. 956722026041

60. 1548008755920

61. 2504730781961

62. 4052739537881

63. 6557470319842

64. 10610209857723

65. 17167680177565

66. 277778

288

67. 44945570212853

68. 72723460248141

69. 11766

0553832073954

130. 65

6503408712937

135. 7308805952221443105020355490

136. 118258964478718349764227

137. 102400093278081449423917

138. 30960598847965113057878492344

139. 500953012480583327

1

140. 810556023504197206408605

141. 131151201344081895336534324866

142. 212207101440105399533740733471

143. 343358302784187294870275058337

144. 5555654042242926944040157

145. 8989237070084799892742

145

146. 14544832772683678306641953

147. 23534128182412526729525974

4051

149. 6161314747715278029583501626149

150. 9969216677189303386214405760200

151. 16130531424

163. 5193981023518027157495786850488117

164. 8404037832974134882743767626780173

165. 13598018856492162040239554477268290

166. 22002056689466296922983322104048463

167. 35600075545958458963222876581316753

168. 57602132235424755886206198685365216

169. 9320220778138321484942

66681969

170. 150804340016807970735635273952047185

171. 2440065477981

585064349218729154

172. 3948108878149920699623170776339

173. 6388174356131

3972389505493

174. 1033628323428189498226463595560281832

175. 167244575

79840132227567949787325

176. 27060740824695693383586510069157

177. 437851984151094

731459856482

178. 7084593923980518516849609894969925639

179. 114631137654695340528626429782121

180. 185477076894719862121

521399707760

181. 30010821454963453

0667147829489881

182. 4855852354401197208056692241

183. 78569350599398894027251472817058687522

184. 127127879743834334146972278486287885163

185. 205697230343233228174223751303346572685

186. 332825110087067562321196029789634457848

187. 5385223404303007

419781092981030533

188. 871347450517368352816615810882615488381

189. 1409869766

120355^596518914

190. 2281217241465037496128651402858212007295

191. 36032412706639440686994833808526209

192. 59723042738777441355693383976533504

193. 96633

2

77501002539252582

13

194. 15635695580168194

93637

80528

205. 311158198980407018609932064572616

37705

206. 5034645418285014325766435419644478339818233

207. 814622740808

11865756065370647467555938

208. 131808728263740988376321

015125807374171

209. 21327100234463183349497947550385773274930109

210. 3450797306083728218713013

008904280

211. 55835073295300465536628086585786672357234389

212.

84785

216. 6192204516665

9877834488152161

240. 642020148637230941267428873111802307548623680

241. 103881042195729

8510518382775401680142036775841

242. 168083057059453008835412295811648513482449585399521

243. 27196409925518292354392281419442325

175362

244. 440047156314635932379335110006072428645041207574883

245. 712011255569818855923257924200496343807632829750245

246. 1152058411884454788302593034206568772452674037325128

247. 1864069667454273644225850958407065116260306867075373

248. 3016128079338728432528443992613633888712980

63095319772838289364792345825123228624

253. 334493729719811956813568067329443966

381570580873

254. 54122222371037658776676579571233761483351206693809497

255. 875715953430188544580333863041781581743565882643

258. 3709592307711318809274533180550019974897721781807

259. 6002246438282072486201966702345

333694786514446266146

280. 146

4068621881489442072459540548093601382197697835

281. 23770696554372451866815101694984845480039225387896643963981

282. 384617949612346400157593089409397575

756936378415884538348976340768064993978954512095813

294. 123845785297973041924932936273167812677324937803538016392

295. 20038668997554240570

8165665757608500558774338041350112205

296. 32423247527351544763402471792982538876233052554697128188128597

297. 524614

533431164995864829648473361132

69538240802

298. 84885164052257330097714121751630835360966663883732297726369399

299. 13734708057716311543202577171027

45700275212767467264610201

300. 222232244629420445529739893461720666693997649600

R Программа для печати последовательности Фибоначчи

В этом примере вы научитесь печатать последовательность Фибоначчи с помощью цикла while.

Чтобы понять этот пример, вы должны знать следующие темы программирования R:

Последовательность Фибоначчи — это целочисленная последовательность

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8.... 

Первые два члена — это 0 и 1. Все остальные члены получаются путем сложения двух предыдущих членов.

Это означает, что n-й член является суммой (n-1) ^-го и (n-2) ^-го члена.

Вы также можете распечатать последовательность Фибоначчи, используя рекурсивную функцию. Узнайте больше о том, как распечатать последовательность Фибоначчи с помощью рекурсии.

Пример: печать последовательности Фибоначчи

  # принять ввод от пользователя
nterms = as.integer (readline (prompt = "Сколько терминов?"))
# первые два условия
п1 = 0
п2 = 1
count = 2
# проверяем правильность количества терминов
if (nterms <= 0) {
print ("Пожалуйста, введите положительное целое число")
} else {
if (nterms == 1) {
print ("Последовательность Фибоначчи:")
печать (n1)
} else {
print ("Последовательность Фибоначчи:")
печать (n1)
печать (n2)
while (count  

Выход

  Сколько терминов? 7
[1] «Последовательность Фибоначчи:»
[1] 0
[1] 1
[1] 1
[1] 2
[1] 3
[1] 5
[1] 8
  

Здесь мы спрашиваем у пользователя количество терминов в последовательности.Мы инициализируем первый член равным 0, а второй член - 1.

Если количество терминов больше 2, мы используем цикл , а , чтобы найти следующий член в последовательности.

Внутри цикла while сначала выводим первые два члена n1 и n2 соответственно. Затем мы вычисляем следующий член nth , складывая последние два члена и распечатывая его.

Теперь мы обновляем значения n1 и n2 до двух последних членов, т.е.е. член в n2 - n1 и член, который мы только что вычислили, nth - n2 .

Это продолжается до тех пор, пока количество терминов не достигнет nterms , введенных пользователем.

Число Фибоначчи Свойства