Дискретная математика для школьников: Почему школам важно уделять больше времени изучению дискретной математики

Почему школам важно уделять больше времени изучению дискретной математики

Автор материала приводит аргументы в пользу изучения дискретной математики на этапе школьного образования.

Большинство программ по математике [в США] для средних и старших классов следуют четко прописанной схеме:

Предалгебраические задачи → Алгебра 1 → Геометрия → Алгебра 2 → Тригонометрия/начала матанализа → Матанализ

В некоторых других школах предпочтение отдается более комплексному подходу, в рамках которого элементы алгебры, геометрии и тригонометрии подаются смешанно в течение 3-х или 4-х летнего курса. Однако обоим методикам недостает существенного акцента на дискретную математику и такие ее разделы, как комбинаторика, теория вероятности, теория чисел, теория множеств, логика, алгоритмы и теория графов. Дискретная математика очень мало фигурирует в большинстве «критически важных» промежуточных экзаменов средних и старших классов. Аналогично ситуация обстоит и с приемными экзаменами для вузов и колледжей, таких, как SAT. Из-за этого дискретной математике часто уделяется мало внимания.

Тем не менее эта область знаний в последние годы становится все более и более важным направлением. И на то есть целый ряд причин:

Дискретная математика играет существенную роль в изучении математики в колледжах, вузах и более высоких ступенях.

Дискретная математика наряду с численными методами и общей алгеброй входит в список фундаментальные компонентов математики вузовского уровня. Ученики, получившие солидный объем знаний по дискретной математике перед поступлением в колледж, получают существенное преимущество во время дальнейшей учебы.

Дискретная математика — это математика вычислительных процессов.

Все вычисления современной компьютерной науки практически полностью основаны на дискретной математике, и в частности, комбинаторике и теории графов. Это значит, что для изучения фундаментальных алгоритмов, используемых компьютерными программистами, студентам требуется иметь твердые знания в этих областях. Действительно, для получения диплома в области компьютерных наук в большинстве университетов предусмотрен соответствующий обязательный курс по дискретной математике.

Дискретная математика больше всего приближена к задачам реального мира.

Многие учащиеся часто задаются вопросами о том, где в реальной жизни им может пригодится традиционная высшая математика, то есть алгебра, геометрия, тригонометрия и другие ее направления. Часто, глядя на абстрактную природу этих предметов, они теряют к ним интерес. Дискретная математика, и в частности, комбинаторика и теория вероятности, позволяют ученикам даже уровня средней школы очень быстро прийти к изучению интересных и нетривиальных задач, имеющих прямое отношение к задачам реального мира.

Дискретная математика — популярное направление большинства математических соревнований средней и старшей школы.

Видные математические олимпиады вроде MATHCOUNTS (средняя школа) и American Mathematics Competitions (старшие классы) включают значительное количество заданий по дискретной математике. В более сложных соревнования для старшеклассников, таких, как AIME, количество задач увеличивается еще сильнее. Ученики, не имеющие соответствующей базы знаний будут иметь гораздо меньше шансов на успех в таких соревнованиях. Один известный преподаватель, занимающийся подготовкой учеников к MATHCOUNTS, даже уделяет половину времени подготовке к заданиям по комбинаторике и теории вероятности. Настолько он считает их важными.

Дискретная математика развивает логическое мышление и учит техникам доказательства.

Алгебра часто преподается в виде совокупности формул и алгоритмов, которые ученики должны запомнить. Например, формула корней квадратного уравнения, или решение систем линейных уравнений путем замены. Геометрия часто преподается как серия упражнений, доказывающих теоремы и объясняющих их суть, которые нередко предлагается заучить наизусть. Несмотря на несомненную важность изучения подобного материала, в целом он не очень хорошо способствует развитию творческого математического мышления учеников. В противовес этому, изучающие дискретную математику дети учатся мыслить гибко и творчески уже с самого начала. Количество формул, которые требуется знать наизусть, относительно невелико. В этой области знаний акцент делается скорее на потребность изучить некоторое количество фундаментальных понятий, которые впоследствие можно применять совершенно по-разному.

Дискретная математика — это весело.

Многие студенты, особенно одаренные и мотивированные находят алгебру, геометрию и даже методы матанализа скучными, не вызывающими живого интереса. Что же касается дискретной математики, то в ней такие темы встречаются редко. Когда мы интересуемся у учащихся их любимыми темами, большинство называет комбинаторику или теорию чисел. Самой непопулярной темой при этом оказывается геометрия. Иными словами, большинство студентов находят дискретную математику более интересной, чем алгебра или геометрия.

Исходя из всех этих аргументов, мы настоятельно рекомендуем строить программу так, чтобы после изучения геометрии, школы уделяли некоторое время ознакомлению учеников с элементарными идеями дискретной математики, и в частности, комбинаторики, теории вероятности и теории чисел.

Дискретная математика — Всё для чайников

Открытое образование — Дискретная математика

• 14 недель

• от 6 до 8 часов в неделю

• 5 зачётных единиц

Курс содержит теоретические материалы по дискретной математике и примеры решения задач в форме текста, упражнений и видеозаписей. Рассматриваются сюжеты по теории целых чисел, комбинаторике, булевым функциям, множествам и отношениям.

О курсе

В этом курсе вы изучите несколько сюжетов дискретной математики и узнаете основные определения и свойства объектов:

• теории чисел;
• комбинаторики;
• булевых функций;
• бинарных отношений на множествах.

Кроме этого, вы научитесь осуществлять вычисления и преобразования, связанные с этими объектами, решать конструктивно-исследовательские задачи и пользоваться основными методами применения алгоритмов.

Формат

Курс включает:

• тематические теоретические и практические видеолекции;
• практические задания на оценку;
• итоговый тест.

Курс рассчитан на 10 недель изучения. Недельная учебная нагрузка обучающихся по курсу составляет 8-12 часов (в зависимости от сложности раздела). Общая трудоемкость курса – 5 зачетных единицы.

Информационные ресурсы

1. Поздняков С.Н.,Рыбин С.В. Дискретная математика. М.: Издательский центр «Академия», 2008.
2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер, 2009.
3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М., Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1998.

Требования

Курс рассчитан на студентов бакалавриата и специалитета различных форм обучения, освоивших базовые курсы школьной математики. Требуется минимальное владение знаниями из теории чисел, комбинаторики, логики. 

Программа курса

Глава 1 «Введение в курс. Делимость, НОД, НОК»

Глава 2 «Применение алгоритма Евклида. Линейное представление НОД. Решение линейных диофантовых уравнений»

Глава 3 «Простые числа. Основная теорема арифметики и её применение»

Глава 4 «Задачи о простых и составных числах. Решение задач в множестве остатков по данному модулю. Работа в системах счисления»

Глава 5 «Решение уравнений в кольце остатков по данному модулю»

Глава 6 «Введение в тему «Комбинаторика». Перевод текстовых задач на язык комбинаторики, применение правила сложения и правила произведения в различных ситуациях»

Глава 7 «Различные сюжеты, сводящиеся к задачам на перестановки, размещения с повторениями и размещения без повторений. Умение применять комбинации различных методов»

Глава 8 «Задачи на сочетания, переход к дополнению, применение взаимно-однозначного соответствия множеств и принципа включений-исключений»

Глава 9 «Свойства и применение биномиальных коэффициентов. Сведение комбинаторных задач к задачам про биномиальные коэффициенты или к задачам на бином Ньютона»

Глава 10 «Введение в тему «Булевы функции», первые представления о булевых функциях, примеры вычислений»

Глава 11 «Таблица истинности булевой функции от трёх переменных. СДНФ, СКНФ. Вычисление композиции булевых функций»

Глава 12 «Вычисление многочлена Жегалкина от булевой функции двумя способами, нахождение таблицы двойственной функции и формулы для двойственной функции»

Глава 13 «Классы замкнутости булевых функций. Возможность выразить все булевы функции через набор из двух функций»

Глава 14 «Множества и отношения. Свойства отношений, примеры, конструктивно-исследовательские задачи»

Заключение к курсу

Результаты обучения

В результате освоения курса слушатель должен:

• Знать основные понятия и алгоритмы, лежащие в основе теории чисел, комбинаторики и булевой алгебры.
• Владеть навыками алгоритмического мышления, необходимыми для эффективного решения задач с использованием компьютера.
• Уметь использовать типовые алгоритмы решения задач по разделам теории чисел, комбинаторики и булевой алгебры.

Дискретная математика — МФТИ

Курсы дискретной математики.

Math.ru

5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ, ПРИНИМАЕМЫЕ ДЕТЯМИ В ШКОЛУ | Сложение: Помощь детям в изучении математики

Fuson, K.C., Smith, S.T., & Lo Cicero, A.M. (1997). Поддержка десятиуровневого мышления латиноамериканских первоклассников в городских классах. Журнал исследований в области математического образования , 28 , 738–766.

Гельман Р. (1990). Первые принципы организуют внимание и изучение соответствующих данных: число и различие между живым и неживым в качестве примеров. Когнитивные науки , 14 , 79–106.

Гельман Р. (1993). Рационально-конструктивистский подход к раннему изучению чисел и предметов. В издании Д.Л. Медина, Психология обучения и мотивации: Т. 30. Успехи исследований и теории (стр. 61–96). Сан-Диего: Academic Press.

Гельман, Р., Галлистель, К.Р. (1978). Детское понимание числа . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.

Гельман Р. и Мек Э. (1983). Счет дошкольников: принципы важнее навыков. Познание , 13 , 343–359.

Гельман Р., Мек Э. и Меркин С. (1986). Числовая грамотность детей младшего возраста. Когнитивное развитие , 1 , 1–29.

Гинзбург, Х. (1989). Детская арифметика (2-е и изд.). Остин, Техас: Pro-Ed.

Гинзбург, Х.П., Кляйн А. и Старки П. (1998). Развитие математического мышления детей: соединение исследования с практикой. В I.Sigel & A.Renninger (Eds.), Справочник по детской психологии: Vol. 4. Детская психология и практика (5 изд., С. 401–476). Нью-Йорк: Вили.

Гриффин, С., Кейс, Р., и Зиглер, Р. (1994). Rightstart: Обеспечение основных концептуальных предпосылок для первого формального изучения арифметики учащимся из группы риска школьной неуспеваемости. В К.МакГилли (ред.), Классные уроки: объединение когнитивной теории и классной практики (стр. 25–49). Кембридж, Массачусетс: MIT Press / Bradford Books.

Хейман, Г.Д., и Двек, К.С. (1998). Дети думают о чертах характера: влияние на суждения о себе и других. Развитие ребенка , 69 , 391–403.

Heyman, G.D., Dweck, C.S., & Cain, K.M. (1992). Уязвимость маленьких детей к самообвинению и беспомощности: отношение к убеждениям о добре. Развитие ребенка , 63 , 401–415.

Хьюз, М. (1986). Детский и номер . Оксфорд: Блэквелл.

Huttenlocher, J., Jordan, N.C., & Levine, S.C. (1994). Ментальная модель для ранней арифметики. Журнал экспериментальной психологии: Общие , 123 , 284–296.

Ifrah, G. (1985). От единицы до нуля: универсальная история чисел . Нью-Йорк: Викинг.

Jordan, N.C., Huttenlocher, J., and Levine, S.C. (1992). Дифференциальные расчетные способности у детей раннего возраста из средне- и малообеспеченных семей. Психология развития , 28 , 644–653.

Джордан, Северная Каролина, Левин, С.С., & Хаттенлочер, Дж. (1995). Расчетные способности у детей раннего возраста с различными моделями когнитивного функционирования. Журнал нарушений обучаемости , 28 , 53–64.

Меннингер, К. (1969). Числовые слова и цифровые символы: Культурная история чисел (P. Broneer, Trans.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. (Оригинальная работа опубликована в 1958 г.).

Миллер, К.Ф., Смит, К.М., Чжу, Дж., И Чжан, Х. (1995). Дошкольное происхождение межнациональных различий в математической компетентности: роль систем именования чисел. Психологические науки , 6 , 56–60.

Миллер, К.Ф. и Стиглер Дж. (1987). Подсчет на китайском языке: культурные различия в основных когнитивных навыках. Когнитивное развитие , 2 , 279–305.

.

Математика 114 Дискретная математика

Syllabus. Не все эти темы будут рассмотрены одинаково, и домашние задания не будут назначаться по всем разделам.

1 Основы: логика и доказательства

§ 1.1 Логика

§ 1.2 Эквивалентность утверждений

§ 1.3 Предикаты и квантификаторы

§ 1.4 Вложенные квантификаторы

§ 1.5 Правила вывода

§ 1.6 Введение в доказательства

§ 1.7 Методы и стратегия доказательства

Темы в главе 1: предложение, значение истинности, отрицание, логические операторы, составное предложение, таблица истинности, дизъюнкция, конъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация, обратное, противоположное, бит, логическая переменная, битовая операция, битовая строка, побитовая операция; тавтология, противоречие, случайность, логическая эквивалентность, пропсиональная функция законы Де Моргана; предикаты, квантор существования, универсальный квантор; вложенные квантификаторы, свободные и связанные переменные; правила вывода; теорема, гипотеза, доказательство, лемма, следствие, заблуждение, круговое рассуждение (напрашивается вопрос), пустое и тривиальное доказательство, прямое и косвенное доказательство; доказательство по делам, контрпример.

2 Базовые структуры: множества, функции, последовательности и суммы

§ 2.1 Наборы

§ 2.2 Операции установки

§ 2.3 Функции

§ 2.4 Последовательности и суммирование [необязательно]

Темы в главе 2: множество, аксиома, парадокс, элемент, пустое множество, равенство множеств, подмножество, конечное и бесконечное множество, мощность, множество, произведения множеств; объединение, пересечение, непересекающиеся множества, разность множеств, дополнение множеств, симметричная разность, диаграммы Венна; функция, домен, кодомен, изображение, прообраз, диапазон, функция, функция 1-1, соответствие 1-1, обратная функция, композиция, пол, потолок; последовательность, строка, обозначение суммирования, обозначение произведения.

3 Основы: алгоритмы, целые числа и матрицы

§ 3.1 Алгоритмы

§ 3.2 Рост функций

§ 3.3 Сложность алгоритмов

§ 3.4 Целые числа и деление

§ 3.5 Простые числа и наибольшие общие делители

§ 3.6 Целые числа и алгоритмы

§ 3.7 Приложения теории чисел [необязательно]

Темы в главе 3: алгоритм, алгоритм поиска, алгоритм линейного поиска, алгоритм двоичного поиска, временная сложность, пространственная сложность, временная сложность наихудшего случая, временная сложность среднего случая; делимость, простое и составное число, простое число Мерсенна, наибольший общий делитель, относительно простое число, попарно относительно простые целые числа, наименьшее общее кратное, остаток и модуль, шифрование и дешифрование, двоичное представление, шестнадцатеричное представление, линейная комбинация, обратный модуль по модулю n, линейный соответствие, псевдопервичное, частное и открытое шифрование ключей; Евклидов алгоритм.

4 Индукция и рекурсия

§ 4.1 Математическая индукция

§ 4.2 Сильная индукция и упорядочение

§ 4.3 Рекурсивные определения и структурная индукция [необязательно]

§ 4.4 Рекурсивные алгоритмы [необязательно]

Темы главы 4: математическая индукция; рекурсивно определенные функции, множества и структуры; рекурсивные алгоритмы; итерация.

5 Подсчет

§ 5.1 Основы подсчета

§ 5.2 Принцип голубятни

§ 5.3 Перестановки и комбинации

§ 5.4 Биномиальные коэффициенты

Темы главы 5: мультипликативные и аддитивные принципы подсчета, принцип включения и исключения, древовидные диаграммы; основной и обобщенный принцип ячеек; перестановки, r — перестановки, комбинации; биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля.

6 Дискретная вероятность

§ 6.1 Введение в дискретную вероятность

§ 6.2 Теория вероятностей

§ 6.3 Теорема Байеса

§ 6.4 Ожидаемое значение и отклонение

Темы главы 6: основы вероятности, частотная интерпретация, симметричные ситуации, исходы, события, пространство выборки, правило сумм, принцип включения и исключения; равномерное распределение, условная вероятность, независимость, испытания Бернулли, биномиальное распределение; определение ожидаемого значения, частотная интерпретация, случайные величины, линейность ожидания, независимые случайные величины, дисперсия.

8 Отношения

§ 8.1 Отношения и их свойства

§ 8.3 Представление отношений

§ 8.4 Прекращение отношений

§ 8.5 Отношения эквивалентности

§ 8.6 Частичные заказы

Темы в главе 8: бинарные отношения, n -арное отношение, симметрия, антисимметрия, рефлексивность, транзитивность, композиция; графики и отношения, матрицы инцидентности; закрытие отношения, переходное закрытие; отношение эквивалентности, класс эквивалентности, разбиение; частичный порядок, лексикографический порядок, диаграммы Хассе.

9 графиков

§ 9.1 Графы и графические модели

§ 9.2 Терминология графов и специальные типы графов

Темы главы 9: определение графов, вершин (узлов), ребер, ориентированных и неориентированных графов, применения графов; смежность вершин, степень (валентность), изолированные и висячие вершины, теорема установления связи, полные графы, циклы, двудольные графы, локальные сети, подграфы.

Классные заметки, викторины, тесты, домашние задания

Все будущие даты являются предварительными.Разделы часто переполняются в предыдущие или последующие дни. Кроме того, каждый раздел будет обсуждаться более одного дня — в один день, когда он будет представлен, позже, когда по нему появятся вопросы и упражнения по его заданию.

Эта страница находится в Интернете по адресу

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma114/

Дэвид Э. Джойс

.

Математика для детей, рабочие листы, веселые игры, викторины, видео, для детского сада, с 1 по 6 класс

• Fractions4kids включает все виды деятельности по фракциям от K до 7 класса

Веселые игры для математической практики

Математических игровых упражнений поможет детям заниматься математикой в ​​увлекательной игровой форме. Дети очень хорошо относятся к играм. От дошкольного учреждения / детского сада, от первого до шестого класса включены все уровни математических игр.Если вы учитель или родитель и ищете интерактивные веселые игры с идеями поиска, например: классная математика 4, дети, то этот сайт для вас. У нас есть математические игры на следующие темы:

• Игры для практики сложение, вычитание, геометрия, сравнение, алгебра, формы, время, дроби, десятичные дроби, последовательность, деление, метрическая система, логарифмы, отношения, вероятность, умножение и многое другое >>

Среди прочих игр: игры на запоминание, Прогулка по доске, Fling the Teacher, En Garde Duel, Basketball Game, Penalty Shoot и многое другое — для первого, второго, третьего, четвертого, пятого и шестого классов.

Рабочие листы по математике и печатные формы

Эти рабочие листы представляют собой упражнения в формате PDF высочайшего качества для печати. Письмо укрепляет изученную математику. Эти рабочие листы от дошкольных учреждений, детских садов, от первого класса до шестиклассников уровней математики. Если вы ищете материалы для печати, имея в виду такие идеи, как математика 4, дети, математика и т. Д., То этот сайт для вас. Рассмотрены следующие темы:

• Рабочие листы для практики сложения, вычитания, геометрии, сравнения, алгебры, форм, времени, дробей, десятичных дробей, последовательности, деления, метрической системы, логарифмов, отношений, вероятности, умножения и т. Д. >>> — для первого класса, второго класс, третий класс, четвертый класс, пятый класс и шестой класс.

Видеоуроки по математике

У нас есть богатая коллекция математических видеороликов, ориентированных на определенные математические навыки. Просто позвольте детям посмотреть наши ярко оформленные видео. Эти видео охватывают ряд математических тем и просто преподают урок. Хорошо то, что это видео, а это значит, что их можно смотреть снова и снова. Эти видео также совместимы с iPod. Обсуждаемые темы: Сложение, Вычитание, Геометрия, Сравнение, Алгебра, Формы, Время, Дроби, Десятичные числа, Последовательность, Деление, Метрическая система, Логарифмы, отношения, вероятность, умножение и многое другое >>> — для первого и второго класса , третий класс, четвертый класс, пятый класс и шестой класс.

Математические викторины и онлайн-тесты

Математические викторины — это набор интерактивных тестов в виде MCQ, заполнения пробелов и головоломок на совпадение. Рассмотрены следующие темы: Сложение, Вычитание, Геометрия, Сравнение, Алгебра, Формы, Время, Дроби, Десятичные числа, Последовательность, Деление, Метрическая система, Логарифмы, Отношения, Вероятность, Умножение

Эти викторины варьируются от тестов по математике с несколькими вариантами ответов, викторин по заполнению пробелов, упражнений на сопоставление, викторин с графикой и многого другого для интерактивной математической практики.- Для детей первого, второго, третьего, четвертого, пятого, шестого, седьмого и восьмого классов.

математические задания для детей, математика для детей, математические игры и упражнения, математические рабочие листы, печатные формы, онлайн, интерактивные, викторины, для детского сада, дошкольного, первого класса, математическая практика, для учителей и родителей, учите своих детей математике, помогайте детям изучать математику _____
1 класс | 2 класс | Grade3 | 4 класс | 5 класс | 6 класс | рабочие листы grade6 | Математика на пасхальных мероприятиях | Мероприятия на Хэллоуин
Продукты по математике: электронные книги по математике, учебные пособия по математике, компакт-диск с математическими играми Только по математике для детей.

Наука по классам, детская

.

ИАП || Книга || Дискретная математика для учителей

Автор:
Эд Уиллер, Гордон Колледж
Джим Браунер, Атлантический государственный университет Армстронга

Опубликован в 2010 г.

(Первоначально опубликовано Houghton Mifflin Company, 2004)

Существует общее мнение, что учителя, преподающие математику в средних классах и элементарную математику, нуждаются в более глубоком и широком знакомстве с математикой как в бакалавриате, так и в аспирантуре.В «Математическом образовании учителей», опубликованном The Conference Board on the Mathematical Sciences, рекомендуется 21 семестр математических занятий для будущих учителей математики в средних классах. В некоторых штатах предварительные учителя, готовящиеся преподавать математику в средних классах, и предварительные учителя, готовящиеся к преподаванию в начальной школе, должны отучить 6-9 семестровых часов по математике на уровне младших и старших классов. Аспирантура по всей стране разработала специальные программы для преподавателей, специализирующихся на преподавании математики учащимся начальных и средних классов.

Однако не хватает текстовых материалов для поддержки этих усилий на курсах младшего и старшего уровней и курсов для выпускников. Преподаватели должны выбрать преподавание еще одного курса из учебников «Математика для учителей», которые легли в основу учебной программы на протяжении последних двух десятилетий. Эти тексты имеют тенденцию рассматривать очень ограниченный набор тем на несколько поверхностном уровне. Кроме того, преподаватели могут использовать учебники по математике, написанные в первую очередь для студентов, изучающих математику или естественные науки.Ни выбор темы, ни педагогический стиль этих текстов не являются оптимальными для учителей средних классов и элементарной математики до и в процессе работы.

Дискретная математика для учителей — это текст, призванный заполнить этот пробел. Тема правильная. Дискретная математика предоставляет богатый и разнообразный источник проблем для исследования и общения, расширяет знания по математике в направлениях, связанных с учебными планами начальной и средней школы, и легко преподносится с использованием нашего лучшего понимания способов изучения и преподавания математики.Презентация правильная. В духе Принципов и стандартов школьной математики NCTM, темы представлены с особым вниманием к лучшим традициям решения задач, рассуждений и доказательств, общения, связей с другими дисциплинами и другими областями математики, а также различных способов представления.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
РУКОВОДСТВА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ПО ГЛАВАМ В ЭТОЙ КНИГЕ ДОСТУПНЫ БЕСПЛАТНО. НАЖМИТЕ СЮДА ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ СКАЧАТЬ. Требуется MS Word.

.

No related posts.