Факториал 1 равен: Таблица факториалов от 1 до 100, с примерами

Факториал | Математика для всех

Что такое факториал

Чтобы найти факториал числа, нужно умножить все целые числа от 1 до этого числа.

Факториал обозначается символом «!»

Примеры:

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Выражение 5! = 120 читается так: «пять факториал равно 120» или «факториал пяти равен 120»

Расчет факториала от предыдущего значения

Мы можем легко вычислить факториал из факториала предыдущего числа.

Небольшая таблица для понимания

Число	Факториал числа	Другое разложение	Значение факториала
1	1	1	1
2	1 · 2	1! · 2	2
3	1 · 2 · 3	2! · 3	6
4	1 · 2 · 3 · 4	3! · 4	24
5	1 · 2 · 3 · 4 · 5	4! · 5	120
. . .	и т. д.

• Чтобы получить 6!, умножьте 6 на 5! или на 120, чтобы получить 720
• Чтобы получить 7!, умножьте 7 на 6! или на 720, чтобы получить 5040
• И так далее

Пример:

9! равняется 362880. Попробуйте посчитать 10!

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362880 = 3 628 800

Итак, правило такое:

п! = n × (n − 1)!

которое говорит :

«Чтобы получить факториал любого числа, нужно это число, умножить на факториал предыдущего числа »

Итак, 10! = 10 × 9!, … и 125! = 125 × 124!, и т. д.

Факториал нуля

А существует ли факториал нуля?

Принято считать, что 0! = 1. Таким образом, факториал нуля равен единице.

Где используется факториал

Одна из областей, в которой факториал часто используется — это раздел математики, который называется комбинаторика, где нужно посчитать количество перестановок, размещений или сочетаний.

Пример:

Сколько существует способов расположить буквы а,б,в,г без повторений.

Для одной буквы — это один способ — а (или 1! способов)

Для двух букв — два способа — аб, ба. (или 2! способов)

Для трех букв — шесть способов — абв, авб, бав, бва, ваб, вба (или 3! способов).

Для четырех букв — 24 или 4! способов (комбинации попробуйте сами)

Факториалы отрицательных чисел

Могут ли быть факториалы для чисел типа -1, -2 и т. д.?

Нет. Факториалы отрицательных целых чисел не определены.

Интересные факты о факториале

Шесть недель — ровно 10! секунд (= 3 628 800)

Есть 52! способа перемешать колоду карт.

Это  8,0658175 … × 10 ⁶⁷ способов

В наблюдаемой вселенной около  60! атомов.

60! составляет около  8,320987 … × 10 ^81, а текущие оценки числа атомов составляют от 10 ⁷⁸до 10 ⁸² .

Метод метод WorksheetFunction. факт (Excel)

• 
  05/22/2019
• Чтение занимает 2 мин

В этой статье

Возвращает факториал числа.Returns the factorial of a number. Факториал числа равен 1*2*3*… * Number (число).The factorial of a number is equal to 1*2*3*…* number.

СинтаксисSyntax

Expression. Факт (arg1)expression.Fact (Arg1)

Expression (выражение ) Переменная, представляющая объект метод WorksheetFunction .expression A variable that represents a WorksheetFunction object.

ПараметрыParameters

Возвращаемое значениеReturn value

DoubleDouble

Поддержка и обратная связьSupport and feedback

Есть вопросы или отзывы, касающиеся Office VBA или этой статьи?Have questions or feedback about Office VBA or this documentation? Руководство по другим способам получения поддержки и отправки отзывов см. в статье Поддержка Office VBA и обратная связь.Please see Office VBA support and feedback for guidance about the ways you can receive support and provide feedback.

Сколько нулей в конце факториала 100?

Факториал одной сотни записывается как 100! Это произведение всех натуральных чисел до ста включительно. Иногда запись факториала имеет такой вид:

100 х 99 х 98 х 97 х … х 4 х 3 х 2 х 1

Для ответа на вопрос задачи вам не обязательно находить результат умножения. От вас ждут, чтобы вы лишь определили число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для решения этой задачи потребуется сформулировать несколько правил. Одно из них вы уже знаете. Взгляните на следующее выражение.

387 000 х 12 900 = 5 027 131 727

Вам не кажется, что здесь есть что-то забавное? Ведь при перемножении двух круглых чисел, то есть тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число. Это нарушило бы закон сохранения конечных нулей (закон, который я только что вывел, но, тем не менее, он является верным). Произведение всегда унаследует нулевые окончания своих составляющих. Вот несколько верных примеров этого:

10 х 10 = 100
7 х 20 = 140
30 х 400 = 12 000

Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! обязательно унаследует.
Предупреждение: следование только этому правилу иногда побуждает некоторых кандидатов в своем ответе заявить, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным. Иногда можно умножить два числа, не заканчивающихся на ноль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей. Вот несколько примеров этого рода:

2 х 5 = 10
5 х 8 = 40
6 х 15 = 90
8 х 125 = 1000

Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100. Поэтому ваша работа не закончилась. Теперь мы подходим к закону «сосисок и булочек». Представьте себе ситуацию, когда на пикник одни люди приносят сосиски (в упаковках по десять штук), другие — булочки (упакованные по восемь штук), а некоторые — и то, и другое. Есть единственный способ, позволяющий определить, сколько хотдогов из этих продуктов можно приготовить. Сосчитайте сосиски, сосчитайте булочки и выберите меньшее число из двух.

Тот же самый закон следует использовать и отвечая на наш вопрос. Для этого надо заменить «сосиски» и «булочки» на «сомножители на 2» и «сомножители на 5».

В каждом из приведенных выше уравнений число, которое делится на 2, умножается на число, которое делится на 5. Сомножители на 2 и на 5 при их перемножении «совместно» дают идеальную десятку, что добавляет еще один ноль к общему произведению. Посмотрите на последний пример, где в конце, можно сказать, из воздуха возникает три нуля.

8 х 125 = (2 х 2 х 2) х (5 х 5 х 5)
= (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5)
= 10 х 10 х 10
= 1000

Поэтому надо составить пары из двоек и пятерок. Возьмем, к примеру, число, равное 692 978 456 718 000 000.

Оно оканчивается на шесть нулей. Это означает, что его можно записать следующим образом:

692 978 456 718 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10,

или так:

692 978 456 718 х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5).

Первая часть, 692 978 456 718, не делится на 10. В ином случае она бы оканчивалась на ноль, и можно было бы эту часть уменьшить еще в 10 раз. К тому же здесь есть шесть сомножителей, равных 10 (или 2 х 5), что соответствует шести нулям в конце числа 692 978 456 718 000 000. Ну как, убедительно?

Это дает нам надежную систему для определения количества нулей в конце любого большого числа. Выделите сомножители 2 и 5. Составьте из них пары и перемножьте их: (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х … Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце. Закройте глаза на все, что осталось слева.

В целом слева у вас останется двойка или пятерка, для которых не нашлось пары. Обычно это двойки. Более того, когда вы имеете дело с факториалом, это всегда двойки. (В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5.) Поэтому узким местом является число пятерок. Из этого следует, что вопрос можно сформулировать по-другому: сколько раз 100! можно разделить без остатка на 5?

Эту арифметическую операцию можно легко проделать даже в голове. В диапазоне от 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Обратите внимание, что 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5 х 5), и к тому же в этой группе есть еще три числа, в состав которых входит 25: 50, 75 и 100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. 24 множителя на пять дают 24 пары с равным числом двоек, в результате чего получается 24 множителя на 10 (оставляя слева еще множество двоек, для которых не оказалось пары). Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.

Если вам любопытно узнать точный ответ, то значение факториала 100 равно:

93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000. k = (n + k -1)!/(n — 1)!

Праймориал числа равен произведению простых чисел меньше самого числа и обозначается #, например:
12# = 2*3*5*7*11, очевидно, что 13# = 11# = 12#.

Суперфакториал равен произведению факториалов чисел на интервале от 1 до исходного числа, т.е.:
sf(n) = 1!*2!*3*…(n — 1)!*n!, например, sf(3) = 1!*2!*3! = 1*1*2*1*2*3 = 12.

ПОЧЕМУ НУЛЕВОЙ ФАКТОР РАВЕН ЕДИНИЦЕ? — НАУКИ

Нулевой факториал — это математическое выражение для количества способов упорядочить набор данных без значений в нем, который равен единице. В общем, факториал числа — это сокращенный способ записать

Содержание:

Нулевой факториал — это математическое выражение для количества способов упорядочить набор данных без значений в нем, который равен единице. В общем, факториал числа — это сокращенный способ записать выражение умножения, в котором число умножается на каждое число, меньшее его, но большее нуля. 4! = 24, например, то же самое, что написать 4 x 3 x 2 x 1 = 24, но для выражения того же уравнения используется восклицательный знак справа от факториала (четыре).

Из этих примеров довольно ясно, как вычислить факториал любого целого числа, большего или равного единице, но почему значение факториала равно нулю, несмотря на математическое правило, что все, умноженное на ноль, равно нулю?

Определение факториала гласит, что 0! = 1. Это обычно сбивает людей с толку в первый раз, когда они видят это уравнение, но мы увидим в приведенных ниже примерах, почему это имеет смысл, когда вы посмотрите на определение, перестановки и формулы для нулевого факториала.

Определение нулевого факториала

Первая причина, по которой нулевой факториал равен единице, заключается в том, что это то, что, согласно определению, должно быть, что является математически правильным объяснением (хотя и несколько неудовлетворительным).Тем не менее, нужно помнить, что определение факториала — это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению исходному числу, другими словами, факториал — это количество возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.

Поскольку ноль не имеет меньших чисел, но сам по себе является числом, существует только одна возможная комбинация того, как этот набор данных может быть организован: это невозможно. Это по-прежнему считается способом упорядочения, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как и 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.

Для лучшего понимания того, как это имеет математический смысл, важно отметить, что подобные факториалы используются для определения возможных порядков информации в последовательности, также известных как перестановки, которые могут быть полезны для понимания того, что даже если в таблице нет значений пустой или нулевой набор, есть еще один способ упорядочивания набора.

Перестановки и факториалы

Перестановка — это особый уникальный порядок элементов в наборе. Например, есть шесть перестановок набора {1, 2, 3}, который содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Мы также можем констатировать этот факт с помощью уравнения 3! = 6, что является факториальным представлением полного набора перестановок. Аналогично есть 4! = 24 перестановки набора из четырех элементов и 5! = 120 перестановок набора из пяти элементов. Итак, альтернативный способ подумать о факториале — позволить п быть натуральным числом и сказать, что п! — количество перестановок для множества с п элементы.

Рассматривая факториал таким образом, давайте рассмотрим еще пару примеров. Набор из двух элементов имеет две перестановки: {a, b} могут быть расположены как a, b или как b, a. Это соответствует 2! = 2. Набор с одним элементом имеет единственную перестановку, поскольку элемент 1 в наборе {1} может быть упорядочен только одним способом.

Это приводит нас к нулевому факториалу. Набор с нулевыми элементами называется пустым набором. Чтобы найти значение нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколько способов мы можем упорядочить набор без элементов?» Здесь нам нужно немного расширить наше мышление. Несмотря на то, что навести порядок нечего, есть один способ сделать это. Таким образом, мы имеем 0! = 1.

Формулы и другие проверки

Еще одна причина определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций. Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 — хорошая идея.

Комбинация — это группировка элементов набора без учета порядка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Как бы мы ни располагали эти элементы, в итоге получается одинаковая комбинация.

Мы используем формулу для комбинаций с комбинацией трех элементов, взятых по три за раз, и видим, что 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!), И если мы обрабатываем 0! как неизвестную величину и решаем алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и так 0! = 1.

Есть и другие причины, по которым определение 0! = 1 правильно, но приведенные выше причины наиболее очевидны. Общая идея математики состоит в том, что при построении новых идей и определений они остаются согласованными с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, равного единице.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Рекурсия

Аннотация: Рекурсия. Достоинства и недостатки рекурсии. Хвостовая рекурсия. Организация циклов на основе рекурсии. Вычисление факториала.

В отличие от традиционных языков программирования, в которых основным средством организации повторяющихся действий являются циклы, в Прологе для этого используются процедура поиска с возвратом (откат) и рекурсия. Откат дает возможность получить много решений в одном вопросе к программе, а рекурсия позволяет использовать в процессе определения предиката его самого. При изучении рекурсии частенько вспоминается случай с бароном Мюнхгаузеном, который сам себя за волосы вытаскивал из болота. Про откат мы подробнее поговорим в шестой лекции, а в этой займемся изучением рекурсии. Заметим, что рекурсию используют не только в Прологе, но и в обычных императивных языках программирования. Но для Пролога, в отличие от императивных языков, рекурсия является основным приемом программирования. Более того, Пролог позволяет определять рекурсивные структуры данных. Работе с ними будет посвящено несколько лекций нашего курса.

Начнем изучение рекурсии в Прологе с классического примера. Предположим, что в базе знаний есть набор фактов, описывающий родственные связи людей через отношение «быть родителем». Предикат родитель имеет два аргумента. В качестве его первого аргумента указывается имя родителя, в качестве второго — имя ребенка. Мы хотим создать отношение «быть предком», используя предикат родитель.

Для того чтобы один человек был предком другого человека, нужно, чтобы он либо был его родителем, либо являлся родителем другого его предка.

Запишем эту идею:

предок(Предок,Потомок):-
	родитель(Предок,Потомок). 
	/* предком является родитель */
предок(Предок,Потомок):-
	родитель(Предок,Человек),
	предок(Человек,Потомок). 
	/* предком является родитель предка */

Отношение предок является транзитивным замыканием отношения родитель, то есть это наименьшее отношение, включающее отношение родитель и обладающее свойством транзитивности. Напомним, что отношение называется транзитивным, если для любых пар (А,В) и (В,С), находящихся в этом отношении, пара (А,С) также находится в этом отношении. Очевидно, что отношение предок содержит отношение родитель. Это следует из первого предложения, в котором записано, что всякий родитель является предком. Второе предложение дает транзитивность.

По аналогии с математической индукцией, на которую рекурсия немного похожа, любая рекурсивная процедура должна включать в себя базис и шаг рекурсии.

Базис рекурсии — это предложение, определяющее некую начальную ситуацию или ситуацию в момент прекращения. Как правило, в этом предложении записывается некий простейший случай, при котором ответ получается сразу даже без использования рекурсии. Так, в приведенной выше процедуре, описывающей предикат предок, базисом рекурсии является первое правило, в котором определено, что ближайшими предками человека являются его родители. Это предложение часто содержит условие, при выполнении которого происходит выход из рекурсии или отсечение.

Шаг рекурсии — это правило, в теле которого обязательно содержится, в качестве подцели, вызов определяемого предиката. Если мы хотим избежать зацикливания, определяемый предикат должен вызываться не от тех же параметров, которые указаны в заголовке правила. Параметры должны изменяться на каждом шаге так, чтобы в итоге либо сработал базис рекурсии, либо условие выхода из рекурсии, размещенное в самом правиле. В общем виде правило, реализующее шаг рекурсии, будет выглядеть так:

<имя определяемого предиката>:-
	[<подцели>],
	[<условие выхода из рекурсии>],
	[<подцели>],
	<имя определяемого предиката>, 
	[<подцели>].

В некоторых ситуациях предложений, реализующих базис рекурсии, и предложений, описывающих шаг рекурсии, может быть несколько. Как правило, это бывает в сложных случаях, например, когда выполняемые в процессе реализации шага рекурсии действия зависят от выполнения или невыполнения какого-либо условия. Такие задачи встретятся нам в последующих лекциях, когда речь пойдет об обработке рекурсивных структур данных. В этой же лекции мы будем иметь дело в основном с простыми случаями рекурсии, когда рекурсивная процедура имеет один базис и один шаг рекурсии.

Пример. Создадим предикат, который будет вычислять по натуральному числу его факториал. Эта задача допускает рекурсивное решение на многих языках программирования, а также имеет рекурсивное математическое описание:

1!=1 /* факториал единицы равен единице */
N!=(N-1)!*N /* для того, чтобы вычислить факториал 
               некоторого числа, нужно вычислить 
               факториал числа на единицу меньшего 
               и умножить его на исходное число */

Попробуем записать реализацию предиката, эквивалентную математическому определению предиката:

fact(1,1). /* факториал единицы равен единице */
fact(N,F):-
	N1=N-1,
	fact(N1,F1), /* F1 равен факториалу числа 
	                на единицу меньшего исходного 
	                числа */
	F=F1*N. /* факториал исходного числа равен 
	           произведению F1 на само число */

К сожалению, при попытке вычислить факториал произвольного натурального числа с помощью описанного выше предиката fact произойдет переполнение стека ( «Stack overflow» ). Попробуем разобраться, в чем причина. Рассмотрим, например, что будет происходить, если мы попытаемся вычислить факториал трех.

Соответствующий вопрос можно записать следующим образом:

Пролог-система попытается унифицировать цель с заголовком первого предложения ( fact(1,1) ). Ей это не удастся, поскольку число три не равно единице. При унификации цели с заголовком второго предложения ( fact(N,F) ) переменная N конкретизируется числом три, а переменная X связывается с переменной F. После этого происходит попытка выполнить подцели, расположенные в теле правила слева направо. Сначала переменная N1 означивается числом на единицу меньшим, чем значение переменной N, то есть двойкой. Срабатывание следующей подцели ( fact(N1,F1) ) приводит к рекурсивному вызову предиката, вычисляющего факториал, со значением переменной N1, равным двум.

Так же, как и в случае, когда первый аргумент был равен трем, унификации с головой первого предложения не происходит (единица не равна двум). Сопоставление с головой второго правила происходит успешно. Дальше все происходит почти так же, как для значения переменной N, равного трем. Вычисляется новое значение N1, равное двум без единицы, то есть единице. Пролог снова пытается вычислить подцель fact(N1,F1) (правда, со значением переменной N1, равным единице).

На этот раз происходит сопоставление цели ( fact(1,F1) ) с заголовком первого предложения, при этом переменная F1 конкретизируется единицей. Пролог-системе наконец-то удалось вычислить вторую подцель второго правила, и она переходит к вычислению третьей подцели ( F=F1*N ). Переменная N была равна двум, переменная F1 — единице, произведение двух и единицы равно двум и, значит, переменная F конкретизируется двойкой.

Начинается обратный ход рекурсии. После того, как был вычислен факториал двойки, Пролог-система готова вычислить факториал тройки. Для этого нужно умножить факториал двух на три. Переменная F будет конкретизирована числом шесть. Мы получили ответ на вопрос о факториале трех.

Однако вычисления на этом не заканчиваются. Пролог-система обнаруживает, что цель fact(1,F1) может быть сопоставлена не только с заголовком первого предложения, но и с заголовком правила ( fact(N,F) ). Переменная N конкретизируется единицей, а переменная F1 связывается с переменной F. После этого переменная N1 означивается числом на единицу меньшим, чем значение переменной N, то есть нулем. Пролог-система пытается вычислить цель fact(0,F1). С заголовком первого предложения ( fact(1,1) ) сопоставить эту цель не удается, поскольку ноль не равен единице. Зато с заголовком второго предложения ( fact(N,F) ) цель успешно унифицируется. Переменная N1 становится равна минус единице. После этого делается попытка вычислить цель fact(-1,F1)…. Потом fact(-2,F1), fact(-3,F1), fact(-4,F1), fact(-5,F1)… .

Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не будет исчерпана часть оперативной памяти, отведенная под стек. После этого выполнение программы остановится с сообщением о том, что стек переполнен.

Почему так получилось? Что мы сделали неправильно? Причина в том, что в исходном определении факториала, которое мы использовали, предполагалось, что правило работает только для натуральных чисел, то есть для положительных целых чисел. У нас же в программе произошел выход в отрицательную часть целых чисел, что не было предусмотрено формулой, на которой была основана наша процедура.

Как можно исправить ошибку? У нас есть два варианта корректировки процедуры.

Можно проверить, что число, для которого применяется правило, больше единицы. Для единицы останется факт, утверждающий, что факториалом единицы будет единица. Выглядеть этот вариант будет следующим образом:

fact(1,1). /* факториал единицы равен единице */
fact(N,F):-
	N>1, /* убедимся, что число больше единицы */
	N1=N-1,
	fact(N1,F1), /* F1 равен факториалу числа, 
	                на единицу меньшего исходного 
	                числа */
	F=F1*N. /* факториал исходного числа равен 
	           произведению F1 на само число */

В этом случае, хотя и произойдет повторное согласование цели fact(1,F1) с заголовком правила, и переменная N будет конкретизирована единицей, а переменная F связана с переменной F1, первая подцель правила ( N>1 ) будет ложной. На этом процесс оборвется. Попытки вычислять факториал на неположительных числах не произойдет, процедура будет работать именно так, как нам хотелось.

Признак Даламбера сходимости ряда

Исследование сходимости рядов является важным с точки зрения их оценки и необходимым в случае вычисления суммы ряда. Признаков сходимости рядов несколько, популярный и достаточно прост в применении для рядов с положительными членами — признак сходимости Даламбера. Ниже будет разобран ряд примеров на установление сходимости ряда по признаку Даламбера, советую для себя взять максимум полезного.
Напомним что предпосылками для применения признака Даламбера служит наличие степенной зависимости (2, 3, a в степени n) или факториалов в формуле общего члена ряда. Будет это знаменатель или числитель дроби совсем не имеет значения, важно что имеем подобную зависимость, ну или факториал и степенную зависимость в одном наборе. С факториалами у многих на первых порах возникают проблемы но с практикой Вы заметете что ничего сложного в факториалах нет. Надо только расписать факториал подробно до тех пор когда в числителе или знаменателе дроби поучим одинаковые множителе. На словах это звучит не всем понятно, но следующие примеры помогут Вам в этом разобраться. Ну и самые сложные примеры предполагают наличие комбинаций факториалов и степенных зависимостей, два или более факториала, тоже и для степенной фунции, всевозможные цепочки множителей и другие каверзные комбинации. Ниже приведены базовые примеры с которых и начинается практика проверки сходимости ряда по Даламберу.

Пример: 2.5 Исследовать сходимость рядов
а)
Вычисления: Поскольку данный ряд имеет положительные члены то исследовать его на сходимость можем с помощью признака Даламбера:

Если А<1 ряд сходящийся, А>1 — ряд расходящийся и при A=0 следует использовать другие признаки сходимости рядов.
Записываем общий член ряда и следующий, идущий после него

И находим границу их доли

Поскольку граница бесконечна то по признаку Даламбера ряд расходящийся. Если искать суму ряда то она будет бесконечная.
б)
Вычисления: Члены ряда положительные поетому исследуем на сходимость по признаку Даламбера — записываем формулы последовательных членов ряда

И находим предел отношения следующего члена к предыдущему при n стремящемуся к бесконечности

Граница равна нулю так как показатель стремится к бесконечности, а в скобках имеем значение меньше единицы.
По теореме Даламбера A = 0 <1 ряд сходится!

Пример: 2.8 Исследовать ряды на сходимость:
а)
Вычисления: Как Вы уже убедились все примеры которые здесь рассматриваются следует проверять по признаку Даламбера.
В результате упрощения придем ко второму замечательному пределу — экспоненте

В общем граница меньше единицы следовательно ряд сходится.

б)
Вычисления: Для проверки на сходимость ряда по признаку Даламбера вычисляем предел

Предел равен 0 (A = 0 <1) следовательно ряд сходится!

Пример: 2.14 Исследовать ряд на сходимость
а)

Вычисления: Находим предел следующего члена ряда к предыдущему

Для удобства чтения формул следующий член ряда выделенный в формулах черным цветом. Хорошо разберитесь как делить факториал на факториал, как показывает статистика множество неверных ответов Вы у Вас выходит в примерах с факториалами.
По признаку Даламбера ряд сходится.
б)
Вычисления: Записываем формулу общего члена ряда и последовавшего за ним

Подставляем их в формулу Даламбера и вычисляем предел

Граница равна нулю 0 <1, а это значит что данный ряд сходящийся.

Пример: 2.16 Исследовать ряд на сходимость:
а)
Вычисления: По признаку Даламбера проверяем границу общего члена ряда на ограниченность

Превратив множители в числителе и знаменателе дроби сведем функцию в скобках ко второму замечательному пределу

Поскольку граница меньше единицы

то согласно теореме Даламбера ряд сходящийся.
б)
Вычисления: Задан числовой степенной ряд с положительными членами. Найдем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

При исчислении границы считаю все моменты Вам понятны, если нет то Вам нужно прочесть статьи с категории «предел функций».
Получили предел меньше единицы,

следовательно ряд сходится за Даламбером .

Пример: 2.26 Исследовать сходимость ряда:
а)
Вычисления: Для применения признака Даламбера выпишем общий член ряда и последующий за ним

Далее подставим их и найдем предел дроби

Предел равен A = 3/2> 1, а это значит что данный ряд расходящийся.

б)
Вычисления: Записываем два последовательных члены положительного ряда

Находим границу для оценки сходимости ряда по теореме Даламбера.

В ходе вычислений получим второй замечательный предел (экспоненту) как в числителе, так и в знаменателе. Результирующая граница больше единицы , следовательно делаем вывод о расхождении ряда.

Почему нулевой фактор равен единице?

Нулевой факториал — это математическое выражение количества способов упорядочить набор данных без значений в нем, равный единице. В общем, факториал числа — это сокращенный способ записать выражение умножения, в котором число умножается на каждое число, меньшее его, но большее нуля. 4! = 24, например, то же самое, что и запись 4 x 3 x 2 x 1 = 24, но для выражения того же уравнения используется восклицательный знак справа от факториала (четыре).

Из этих примеров довольно ясно, как вычислить факториал любого целого числа, большего или равного единице, но почему значение факториала равно нулю, несмотря на математическое правило, что все, умноженное на ноль, равно нулю?

Определение факториала гласит, что 0! = 1. Это обычно сбивает людей с толку в первый раз, когда они видят это уравнение, но мы увидим в приведенных ниже примерах, почему это имеет смысл, когда вы посмотрите на определение, перестановки и формулы для нулевого факториала.

Определение нулевого факториала

Первая причина, по которой нулевой факториал равен единице, заключается в том, что это то, что, согласно определению, должно быть, что является математически правильным объяснением (хотя и несколько неудовлетворительным). Тем не менее, нужно помнить, что определение факториала — это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению исходному числу, другими словами, факториал — это количество возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.

Поскольку ноль не имеет меньших чисел, но сам по себе является числом, существует только одна возможная комбинация того, как этот набор данных может быть организован: это невозможно. Это по-прежнему считается способом упорядочения, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как и 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.

Для лучшего понимания того, как это имеет математический смысл, важно отметить, что подобные факториалы используются для определения возможных порядков информации в последовательности, также известной как перестановки, которые могут быть полезны для понимания того, что даже если в таблице нет значений пустой или нулевой набор, есть еще один способ упорядочивания набора.

Перестановки и факториалы

Перестановка — это особый уникальный порядок элементов в наборе. Например, существует шесть перестановок набора {1, 2, 3}, который содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Мы также можем констатировать этот факт с помощью уравнения 3! = 6, что является факториальным представлением полного набора перестановок.Аналогично есть 4! = 24 перестановки набора из четырех элементов и 5! = 120 перестановок набора из пяти элементов. Таким образом, альтернативный способ подумать о факториале — позволить n быть натуральным числом и сказать, что n ! — количество перестановок для набора из n элементов.

Рассматривая факториал таким образом, давайте рассмотрим еще пару примеров. Набор из двух элементов имеет две перестановки: {a, b} могут быть расположены как a, b или как b, a.Это соответствует 2! = 2. Набор с одним элементом имеет единственную перестановку, так как элемент 1 в наборе {1} может быть упорядочен только одним способом.

Это приводит нас к нулевому факториалу. Набор с нулевыми элементами называется пустым набором. Чтобы найти значение нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколько способов мы можем упорядочить набор без элементов?» Здесь нам нужно немного расширить наше мышление. Несмотря на то, что навести порядок нечего, есть один способ сделать это. Таким образом, мы имеем 0! = 1.

Формулы и другие подтверждения

Еще одна причина определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций.Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 — хорошая идея.

Комбинация — это группировка элементов набора без учета порядка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Как бы мы ни расположили эти элементы, у нас получается одинаковая комбинация.

Мы используем формулу для комбинаций с комбинацией из трех элементов, взятых по три за раз, и видим, что 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!), И если мы обрабатываем 0! как неизвестную величину и решаем алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и так 0! = 1.

Есть и другие причины, по которым определение 0! = 1 правильно, но причины, указанные выше, наиболее очевидны. Общая идея математики состоит в том, что когда конструируются новые идеи и определения, они остаются совместимыми с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, равного единице.

Zero Factorial — ChiliMath

Я могу понять, почему многим из нас трудно принять тот факт, что значение нулевого факториала равно единице. Это выглядит как абсурдное заявление о том, что это никак не может быть правдой. У нас есть общее представление о том, что ноль является печально известным, потому что в нем есть что-то такое, что может заставить любое число, связанное с ним, исчезнуть или вести себя неправильно.

Например, большое число, такое как 1000, умноженное на ноль, становится нулем. Он исчезает! С другой стороны, хорошее число, такое как 5, деленное на ноль, становится неопределенным. Это плохо себя ведет. Так что можно скептически относиться к тому, почему ноль «внезапно» становится единицей, хорошим числом, после обработки его с помощью какой-либо специальной операции.

Есть и другие способы показать, почему утверждение верно. Для этого мы будем использовать определение самого факториала. Честно говоря, с помощью этого метода обоснование простое и требует небольшой математики.

Простое «доказательство», почему нулевой факториал равен единице

Пусть n будет целым числом, где n! определяется как произведение всех целых чисел меньше n, включая само n.

Это означает, что сначала вы начинаете записывать целое число n, а затем вести обратный отсчет, пока не дойдете до целого числа 1.

Общая формула факториала может быть записана в полностью развернутой форме как

или в частично развернутой форме как

Мы знаем с абсолютной уверенностью, что 1! = 1 , где n = 1. Если мы подставим это значение n во вторую формулу, которая представляет собой частично развернутую форму n !, мы получаем следующее:

Для того, чтобы уравнение было истинным, мы должны принудительно установить значение нулевого факториала равным 1, а не Другие.В противном случае 1! ≠ 1; противоречие.

Так что да, 0! = 1 является правильным, потому что математики согласились определить его таким образом (ни больше, ни меньше), чтобы соответствовать остальной математике.

Вас также может заинтересовать:

Факториальная нотация, формулы и основные примеры
Деление факториалов
Упрощение факториалов с переменными

какой факториал равен 1?

Вот ответ на такие вопросы, как: что такое факториал 1? Что такое факториал -1? Каковы последние цифры факториала -1? Сколько завершающих нулей в факториале -1? Сколько цифр в факториале -1? Воспользуйтесь приведенным ниже калькулятором факториала, чтобы найти факториал любого действительного числа от 0 до 10 000.

Что такое факториал?

Определение факториала

Факториал — это величина, определяемая любым целым числом x, большим или равным 0.

Факториал — это произведение всех целых чисел, меньших или равных x, но больших или равных 1. Факториал 0 по определению равен 1. Для отрицательных целых чисел факториалы не определены. Факториал можно рассматривать как результат умножения последовательности убывающих натуральных чисел (например, 3 × 2 × 1).Факториал — восклицательный знак!.

Факториальная формула

Если n — натуральное число, большее или равное 1, то

н! знак равно n x (n — 1) x (n — 2) x (n — 3) … 3 x 2 x 1

Если p = 0, то p! = 1 условно.

Пример: 6! = 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720

Ярлык для поиска конечных нулей в факториале

Завершающие нули — это последовательность нулей в десятичном представлении числа, после которой не следуют никакие другие цифры.В этом видео показано, как легко найти конечные нули факториала.

Таблица факториалов до 30

120148

8176640000

403291461126605635584000000

+10888869450418352160768000000

+304888344611713860501504000000

8841761993739701954543616000000

265252859812191058636308480000000

Факториальный калькулятор

Пожалуйста, дайте ссылку на эту страницу! Просто щелкните правой кнопкой мыши на изображении выше, выберите копировать адрес ссылки и вставьте его в свой HTML-код.

Примеры расчетов факториалов.

Заявление об ограничении ответственности

Несмотря на то, что прилагаются все усилия для обеспечения точности информации, представленной на этом веб-сайте, ни этот веб-сайт, ни его авторы не несут ответственности за какие-либо ошибки или упущения или за результаты, полученные в результате использования этой информации. Вся информация на этом сайте предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий полноты, точности, своевременности или результатов, полученных в результате использования этой информации.

Почему нулевой факториал равен единице?

Эта запись в блоге на самом деле для моей дочери. Ей восемь лет и уже
превращаясь в математического мастера. В то время как другие дети борются с простыми
умножение, она вникает в квадратные корни, отрицательные числа, факториалы,
и так далее. Она также спрашивала своего учителя в школе, когда они собираются
начинают получать проблемы в базе 5 (теперь она может считать в разных базах <10).

Итак, когда мы обсуждали факториалы, она спросила, почему факториал нуля
мы с одним споткнулись.Я был математиком в старшей школе, изучал математику
в младшем классе, в окружении пожилых людей, но я забыл большую часть своей математики
и хоть убей, я не мог вспомнить ответ на ее вопрос. Так
вот он, немного напомнив себя.

Вы, наверное, помните, что множитель целого числа n является произведением
все целые числа от 1 до n . Итак, мы бы сказали, что факториал 4 или
4 !, равно:

$$ 4! = 4 \ times3 \ times2 \ times1 = 24 $$

И еще несколько номеров:

$$ 3! = 3 \ times2 \ times1 = 6 $$
$$ 2! = 2 \ times1 = 2 $$
$$ 1! = 1 = 1 $$

Но где же тогда факториал нуля? Кажется, нет
любая комната осталась, чтобы поставить это уравнение.

Есть два простых способа ответить на этот вопрос. Один интуитивно понятен, а другой
включает простую математику.

Представьте, что у вас есть трое бегунов, Алиса, Боб и Чарли.
Если предположить, что связи недопустимы, сколько способов вы можете расположить их в первую очередь,
второе и третье место? Математически мы бы спросили: «Учитывая набор n
элементов, сколькими различными способами вы можете их упорядочить? » Это то, что называется
«Перестановка».

Другой способ описания перестановки — «сколькими способами вы можете переставить
набор предметов? »

Что ж, давайте разберемся с этим по-крупному:

1. Алиса, Боб, Чарли
2. Алиса, Чарли, Боб
3. Боб, Алиса, Чарли
4. Боб, Чарли, Алиса
5. Чарли, Алиса, Боб
6. Чарли, Боб, Алиса

Итак, для трех участников есть шесть различных способов их упорядочивания.Нет
по совпадению, это равно 3! (трехфакторный). Что, если это только Алиса
и Боб?

1. Алиса, Боб
2. Боб, Алиса

Это 2! (два факториала).

Если очень скучно, можно отработать четырех участников, но я вам обещаю
что оно равно 4! (четыре факториала).

Итак, чтобы выяснить количество способов, которыми вы можете заказать n элементов, вы просто
вычислить n ! ( n факториал).

а что такое n ? В математике у нас есть концепция набора . Набор — это просто
Коллекция n различных вещей. Порядок этих вещей не имеет значения.
Набор {Алиса, Боб, Чарли} такой же, как набор {Чарли, Алиса,
Bob} . Итак, наш первоначальный вопрос: «Сколько существует вариантов набора?
когда n = 3? » И ответ — 3! (трехфакторный).

Но оказывается, что важным понятием в математике является «пустое множество»,
обозначен как {} . Сколько в нем перестановок? Или спросить другого
путь: «сколькими способами мы можем ничего не устроить?» 1 и только 1.Таким образом, 0! = 1.

Хорошо, это звучит как жульничество, давайте посмотрим на это с другой стороны.

Оказывается, можно сказать следующее:

$$ n! = \ frac {(n + 1)!} {n + 1} $$

Как это работает? Что ж, давайте использовать 4! Например.

$$ 4! = \ frac {(4 + 1)!} {4 + 1} $$
$ 4! = \ frac {5!} {5} $$
$ 4! = \ frac {5 \ times4 \ times3 \ times2 \ times1} {5} $$

А поскольку пятерки отменяются:

$$ 4! = 4 \ times3 \ times2 \ times1 $$

И работаем с другими числами:

$$ 3! = \ frac {(3 + 1)!} {3 + 1} $$
$$ 2! = \ frac {(2 + 1)!} {2 + 1} $$
$$ 1! = \ frac {(1 + 1)!} {1 + 1} $$
$ 0! = \ frac {(0 + 1)!} {0 + 1} $$

Так как это 0! что нас интересует, мы видим, что получается:

$$ 0! = \ frac {1!} {1} $$

С 1! равно 1, имеем:

$$ 0! = \ frac {1} {1} $$

И один за другим — это один.Таким образом, 0! = 1.

Пожалуйста, оставьте комментарий ниже!

Если вам нужны первоклассные консультации или обучение, напишите мне, и давайте обсудим
как я могу помочь. Прочтите мою страницу наймите меня
чтобы узнать больше о моем прошлом.

Факториалы

Факториалы

Факториалы очень простые
вещи.Это просто продукты, обозначенные восклицательным знаком. Например,
«четырехфакториал» записывается как «4!»
и означает 1234
= 24. В общем n !
(«энн факториал») означает произведение всех целых чисел.
от 1 до
n ;
то есть n !
= 123 … n .

(Для различных
причин, 0!
определяется равным 1,
не 0.Запомните это сейчас: 0!
= 1.)

Многие (большинство?) Калькуляторов
может оценить факториалы для вас. Например, команда факториала
доступно в меню «вероятность» на одном из моих калькуляторов:

Ищите «!»
кнопку или обратитесь к руководству пользователя.

• Упростить 12!
  Авторские права
  Элизабет Стапель 2004-2011 Все права защищены

12! = 1234…
О, черт с этим. Где мой калькулятор …?

12! = 47

00

Когда начинаешь делать комбинации,
перестановок и вероятностей, вы будете упрощать выражения, которые
имеют факториалы в числителях и знаменателях. Например:

• Упростите следующее:

Я могу сделать это в своем калькуляторе:




Я также могу работать с
определение факториала:

В любом случае 6!
4! = 30

Обратите внимание, как мне удалось
отмените кучу цифр в предыдущей задаче.Это потому что
того, как определяются факториалы, и это свойство может упростить вашу работу
много.

• Упростите следующее:

Сразу могу отменить
от факторов 1
через 14
это будет общим для обоих 17!
и 14 !.
Тогда я могу упростить то, что осталось, чтобы получить:

Обратите внимание, как я сократил
то, что я должен был написать, оставив пробел («многоточие» или тройной период)
в центре.Этот процесс отмены и отмены станет удобен позже.
(как в исчислении, где вы будете часто использовать эту технику), особенно
когда вы имеете дело с выражениями, которые ваш калькулятор не может обработать.
Например:

• Упростите следующее:

Мой калькулятор не умеет оценивать
это для меня, поскольку я имею дело с переменными, а не числами. Больной
придется упростить это вручную.Для этого я выпишу факториалы,
используя достаточное количество факторов, чтобы получить то, что можно компенсировать. Мышление
назад к «числам» задачи со словами, последовательные целые числа
разделены на одну единицу, поэтому множители в произведении ( n
+ 2)! имеют вид:

Вернувшись
перечень факторов до « n
1 «, я создал
список факторов, которые можно свести на нет:

Обратите внимание на то, как я обращался
что отмена.Я достаточно расширил факториальные выражения, чтобы
мог бы увидеть, где я мог бы отменить повторяющиеся факторы. Хотя у меня было
понятия не имею, что н
может быть, я все еще могу отменить. Сохраните эту технику в своем мозгу,
потому что даже если он вам сейчас не нужен, вам почти наверняка понадобится
это позже.

Для информации о поиске
количество нулей в конце факториала (например, «Сколько нулей
находятся в конце 23!
после того, как вы умножите его? «), посмотрите на эту заметку.

Верх
| Вернуться к индексу

Определение нулевого факториала

Вещи определены так, как они есть, по уважительным причинам.Сейчас это кажется очевидным, но когда я узнал об этом на первом курсе колледжа, это открыло мне глаза. Наш профессор Майк Старберд попросил нас пойти домой и подумать о том, как следует определять сходимость ряда. Не то, как это определяется , а как это должно быть определено . Мы должны были не искать определение, а думать о том, каким оно должно быть. На следующий день мы предложили свои определения. В хорошем сократовском стиле Starbird показал нам недостатки каждого из них и привел к стандартному определению.

Это упражнение дало мне уверенность в том, что математические определения были созданы такими же простыми смертными, как я. Это также привело к моей привычке внимательно изучать определения, чтобы понять, что ими движет.

Часто возникает вопрос, почему нулевой факториал равен 1. Педантичный ответ: «Потому что он определен таким образом». Сам по себе этот ответ не очень полезен, но он приводит к более тонкому вопросу: почему 0! определяется как 1?

Ответ на измененный вопрос состоит в том, что многие формулы будут проще, если мы определим 0! быть 1.Если бы мы определили 0! например, чтобы быть равным 0, бесчисленные формулы должны были бы добавить дисквалификаторы, такие как «кроме случая, когда n равно нулю».

Например, биномиальные коэффициенты определяются как

C ( n , k ) = n ! / k ! ( n — k ) !.

Биномиальный коэффициент C ( n , k ) говорит нам, сколько способов можно рисовать, возьмите набор из n предметов и выберите из них k .Например, количество способов раздачи пяти карт из колоды из 52 составляет C (52, 5) = 52! / 5! 47! = 2 598 960.

Сколько существует способов сдать руку из 52 карт из колоды из 52 карт? Очевидно одно: колода — это рука. Но наша формула говорит, что ответ —

.

C (52, 52) = 52! / 52! 0 !,

и формула верна, только если 0! = 1. Если 0! были определены как любые другие, мы должны были бы сказать: «Количество способов сдать руку из k карт из колоды из n карт составляет C ( n , k ), кроме , когда k = 0 или k = n , и в этом случае ответ — 1. (См. [1] ниже для придирчивых деталей.)

Приведенный выше пример, конечно, не единственный, в котором удобно определять 0! быть 1. Бесчисленные теоремы было бы труднее сформулировать, если бы 0! были определены иначе.

Иногда люди обращаются к гамма-функции для обоснования того, что 0! должен быть определен как 1. Гамма-функция расширяет факториал до действительных чисел, а значение гамма-функции, связанное с 0! равно 1. (Подробно, n ! = Γ ( n +1) для натуральных чисел n и Γ (1) = 1.Это обнадеживает, но поднимает другой вопрос: почему гамма-функция должна быть авторитетной?

Действительно, существует много способов расширить факториал до нецелочисленных значений, и исторически было предложено много способов. Однако гамма-функция победила, и ее конкуренты ушли в безвестность. Так почему это победило? По аналогии с обсуждением выше, мы могли бы сказать, что гамма-функция победила, потому что с этим определением работает больше формул, чем с другими. То есть очень часто можно заменить на ! с Γ ( n + 1) в формуле, истинной для положительных целочисленных значений n , и получить новую формулу, действительную для действительных или даже комплексных значений n .

Есть еще одна причина, по которой гамма победила, и это теорема Бора – Моллерупа. В нем говорится, что если вы ищете функцию f ( x ), определенную для x > 0, которая удовлетворяет f (1) = 1 и f ( x +1) = x f ( x ), то гамма-функция является единственным логарифмически выпуклым решением. Зачем искать логарифмически выпуклые функции? Поскольку факториал логарифмически выпуклый, это естественное свойство, требующее его расширения.

Обновление : Иногда я слышу, как кто-то говорит, что гамма-функция (сдвиг аргумента на 1) — единственная аналитическая функция, которая расширяет факториал на комплексную плоскость, но это неверно. Например, если вы добавите sin (πx) к гамма-функции, вы получите другую аналитическую функцию, которая принимает те же значения, что и гамма, для положительных целочисленных аргументов.

Похожие сообщения

* * *

[1] Теоремы о биномиальных коэффициентах должны накладывать некоторые ограничения на аргументы.См. Эти примечания для получения полной информации. Но в случае раздачи карт единственными необходимыми ограничениями являются естественные : мы предполагаем, что количество карт в колоде и число, которое мы хотим в руке, являются неотрицательными целыми числами, и что мы не пытаемся возьмите на руку больше карт, чем есть в колоде. Определение 0! поскольку 1 избавляет нас от необходимости делать какие-либо неестественные оговорки, такие как «если вы не раздаете всю колоду».

Обзор, формула, таблица и приложения

Что такое факторный?

Факториал (обозначаемый или представленный как n!) Для положительного числа или целого числа (обозначаемого n) — это произведение всех положительных чисел, предшествующих n (положительное целое число) или эквивалентных ему.Факториальную функцию можно найти в различных областях математики, включая алгебру, математический анализ и комбинаторику.

Начиная с 1200-х годов, факториалы использовались для подсчета перестановок. Обозначение факториала (n!) Было введено в начале 1800-х годов французским математиком Кристианом Крампом.

Формулу факториала можно увидеть ниже:

Резюме

• Факториал (обозначенный или представленный как n!) Для положительного числа или целого числа (обозначаемого n) является произведение всех положительных чисел, предшествующих n (положительное целое число) или эквивалентных ему.
• В математике есть ряд последовательностей, сравнимых с факториалом. Они включают двойные факториалы, мультифакториалы, примориалы, суперфакториалы и гипер-факториалы.
• Факториал 0 равен 1 (единице).

Определение факториала

Функция факториала определяется произведением всех положительных целых чисел до и / или равных n, то есть:

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙∙∙ ( n -2) ∙ ( n -1) ∙ n ,

при просмотре значений или целых чисел, больших или равных 1.Тогда его можно записать как:

Вышеприведенное уравнение записано в соответствии с обозначением произведения пи и приводит к повторяющейся зависимости, показанной ниже:

n! = n ∙ (n — 1) !.

Некоторые примеры обозначений можно увидеть ниже:

• 4! = 4 ∙ 3!
• 7! = 7 ∙ 6!
• 80! = 80 ∙ 79 !, и т. Д.

Факториальная таблица

В таблице ниже представлен обзор факториалов для целых чисел от 0 до 10:

Факториал 0 (ноль)

It Широко известно, что факториал 0 равен 1 (единице).Его можно обозначить как:

0! = 1

Есть несколько причин для оправдания использования обозначений и определения, приведенных выше. Во-первых, определение дает возможность компактного выражения значительного числа формул, включая экспоненциальную функцию, и определение создает расширение рекуррентного отношения до 0.

Кроме того, где n = 0, определение его факториала (n!) включает в себя произведение без чисел, что означает, что оно эквивалентно мультипликативному тождеству в более широком смысле.

Более того, определение нулевого факториала включает только одну перестановку нуля или отсутствия объектов. Наконец, определение также подтверждает ряд тождеств комбинаторики.

Определения, которые следует учитывать в связи с нулевым факториалом

• Комбинаторика : Область математики, в которой основное внимание уделяется счету.
• Перестановка : В математике перестановка относится к расположению членов набора в линейном порядке или последовательности.
• Отношение повторяемости : Отношение повторяемости в математике относится к уравнению, которое рекурсивно определяет последовательность или обширный массив значений. Рекурсия означает определение чего-либо в терминах самого себя.

Различные применения факторной функции

Факториальную функцию можно найти в различных областях математики. Во-первых, это n ! различные способы упорядочить n определенных объектов в последовательность.Кроме того, факториалы могут использоваться для учета незнания или игнорирования порядка в формуле, выступая в качестве знаменателя.

Факториалы также встречаются в алгебре через биномиальную теорему и в исчислении, где они встречаются в знаменателях формулы Тейлора. Кроме того, факториал можно найти в теориях вероятности и чисел, и их можно использовать для манипулирования выражениями.

Другие последовательности, похожие на факториал

В математике есть ряд последовательностей, сравнимых с факториалом.К ним относятся:

• Двойные факториалы , которые используются для упрощения тригонометрических интегралов.
• Многофакторные числа , которые можно обозначать несколькими восклицательными знаками.
• Primorials , которые влекут за собой получение произведения простых чисел, которые меньше или равны n .
• Супер-факториалы , которые определяются как произведение первых n факториалов.
• Гиперфакториалы , которые являются результатом умножения ряда последовательных значений в диапазоне от 1 до n .

Дополнительные ресурсы

CFI является официальным поставщиком глобальной сертификации коммерческого банковского и кредитного аналитика (CBCA) ™ CBCA ™.