Разное

Как обозначается в математике знак больше и меньше: Какой знак больше какой меньше в математике как пишутся

Содержание

Урок математики. (1-й класс): «Знаки «меньше», «больше», «равно»

Цели урока:

  • Образовательная: познакомить со знаками меньше «<», больше « >», равно «=» и записями вида 2<3, 3>2, 4=4, повторить геометрический материал, состав чисел;
  • Развивающая: развитие коммуникативных качеств личности (умение работать в паре, вести учебный диалог, проводить самооценку)
  • Воспитательная: воспитание чувства сопереживания, взаимопомощи.

Ход урока

1. Орг. момент

Внимание, проверь дружок,

Готов ли ты начать урок?

Всёли на месте, всёли в порядке

Книга, ручка и тетрадки?

И цветные карандаши

Ты на парту положи,

И линейку не забудь

В математику держим путь!

А сейчас, ребята, поудобнее садитесь,

Не шумите, не вертитесь,

И внимательно считайте

А спрошу вас – отвечайте.

Вам условие понятно?

– Да!

Это слышать мне приятно

Путешествие зовёт

Первоклашек на урок!

2. Основная часть:

Учитель: А совершим мы с вами сегодня полёт в неизведанное космическое пространство. Сегодня мы будем не учениками, а исследователями космического пространства. А чтобы полёт прошёл удачно давайте вспомним, чем мы занимаемся на уроках математики?

Ученики: Решаем, считаем, пишем, думаем…

Учитель: А как вы думаете, что мы будем делать сегодня?

Ученики: Считать, решать, отвечать, думать, чертить…

Учитель: Чтобы полёт прошёл удачно, необходимо быть:

  • Внимательными
  • Точно и правильно выполнять задания
  • Не допускать ошибок, иначе ракета может потерпеть аварию.

В расчётное время, стартуя с Земли,

К загадочным звёздам

Летят корабли

Представим: чуть-чуть помечтали –

И все космонавтами стали.

Учитель: Итак, повышенное внимание! До старта ракеты осталось 10 секунд, давайте немного посчитаем. (Ученики ведут счёт)

  • Счёт цепочкой до 10.
  • Начинает учитель, дети продолжают.
  • Отсчёт в обратном направлении.
  • Отсчитываем секунды 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 пуск. Мы в полёте!

Учитель: Ребята, посмотрите на доску, она сегодня превратилась в «звёздное небо». Но какие необычные звёзды! Что они нам напоминают?

Ученики: геометрические фигуры.

Учитель: Что это за фигуры, назовите.

Ученики: отрезок, прямая, точки, ломаная, кривая.

Учитель: Пока мы смотрели на небо глазки устали, давайте сделаем для них зарядку.

Рисуй глазами треугольник,

Теперь его переверни

Вершиной вниз

И вновь глазами

Ты по периметру веди.

Рисуй восьмёрку вертикально

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води

И на бочок её клади.

Теперь следи горизонтально.

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец

Зарядка окончилась.

Ты молодец!

Учитель: Ребята, посмотрите, наш пульт управления находится в аварийном состоянии. Запали кнопки, необходимо исправить пульт.

1*34**7*910

  • Какое число идёт при счёте за числом 3, 6, 9?
  • Какое число стоит перед числом 2, 5, 8, 10?
  • Назовите соседей числа 2, 7?

Но на пульте кроме цифр есть ещё различные знаки, они тоже стёрлись, давайте их восстановим (дети по очереди отвечают, остальные хлопают в ладоши, если верно)




2 3=5            4 =2
5 1=4   1+ =4
3+ =5   5- =4

Молодцы! Пульт исправен.

Учитель: Пока наша ракета поднимается ввысь, поиграем в игру «Сложи фигуру».

Нужно из палочек сложить фигуру, состоящую из четырёх квадратов.

Посчитай сколько здесь квадратов? (фигура состоит из 4 квадратов)

Переложи 2 палочки так, чтобы получилось 5 одинаковых квадратов.

Наша ракета всё дальше и дальше удаляется от Земли, как приятно вспомнить всё, что связано с землёй. Представьте, что мы на большой лесной полянке.

Физминутка: (негромко звучит весёлая музыка)

На зарядку солнышко поднимает нас,

Поднимаем руки мы по команде раз,

А над нами весело шелестит листва,

Опускаем руки мы по команде два.

Соберём в корзину ягоды, грибы –

Дружно наклоняемся по команде три.

На четыре и на пять

Будем дружно мы скакать.

Ну, а по команде шесть

Всем за парты тихо сесть!

Учитель: А сейчас приготовьте свои квадраты. Положите в верхний ряд 2 зелёных квадрата, а в нижний 3 синих.

Каких квадратов меньше?

Какое число меньше 2 или 3?

В математике есть специальная запись. Это записывают так: 2<3

< – знак меньше

Каких квадратов больше? (синих)

Какое число больше? (3)

Кто догадался, как это записать? 3>2

> – знак больше

Знак ставится так, чтобы к большему числу «клювик» был открыт.

Давайте отдохнём и посмотрим телевизор, что у нас сегодня показывают (работа с учебником, выполнение задания).

  • Сколько было птичек на первой картинке
  • Сколько прилетело
  • Сколько стало
  • Их стало больше или меньше
  • Как это записали, прочитайте
  • Сколько ягод на кисточке
  • Что произошло с ягодами
  • Как это записать
  • Какое число больше, меньше?

Учитель: Наша ракета стремительно несётся ввысь. Экипаж работает слаженно, чётко. Сейчас серьёзная работа, мы выходим в открытый космос. О, я вижу планету, от неё отделяется какой-то неожиданный летающий объект. Что это? Инопланетяне хотят уничтожить нашу ракету. Приготовьтесь к математическому сражению. А оружием будет ум и смелость. Я показываю пример, вы с помощью веера цифр ответ.

У кого можно попросить помощи, если очень трудно? (соседа по парте)



2+2            1+2            4-2
3+2   3-1   5-3

– Мы победили, корабль удаляется. Заполним ботржурналы. Проверьте рабочее место, сядьте поудобнее, чтобы бортжурналы лежали правильно, записи были чёткими и аккуратными. Работаем на странице 11. (работа в тетрадях на печатной основе для 1 класса)

– Перед вами знаки. Как называется первый знак? (больше)

Как называется второй знак? (меньше)

Напишите знак по точкам, допишите до конца строки.

Учитель: Перед стартом ракеты я предлагаю вам поработать в паре. У вас на столах карточки, нужно вставить недостающие знаки «больше» или «меньше».

Карточка.




2*3            5*7           8*5
5*3   10*7   6*2
3*9   7*1   6*9

3. Рефлексия:

Благодаря дружной работе наша ракета совершила мягкую посадку. Во время полёта мы провели большую работу.

– Скажите, что вы для себя узнали нового?

– Чем мы сегодня занимались?

– Что вам помогло хорошо работать на уроке?

У вас на столах лежат мордочки, нарисуйте на них выражения лица весёлое или грустное, кому на уроке было хорошо поднимите весёлую мордочку. А у кого что-то не получилось и было грустно? (таких может не быть)

Полёт завершён, всем спасибо!

урок по математике «Числовые неравенства, их запись. Знаки «больше», «меньше» | Методическая разработка по математике (1 класс) на тему:

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

Организационный момент

 Прозвенел уже звонок? (да)

 Уже кончился урок? (нет)

 Только начался урок? (да)

 Хотите учиться? (да)

 Значит можно всем садиться.

Проверим все ли у нас на месте.

Учебник и тетрадки на месте?

Ручка и карандаши на месте?

Линейка есть?

— Да

— Нет

— Да

— Да

— На месте.

— На месте

— Есть.

 

Формирование внутренней позиции школьника на уровне положительного отношения к школе

Мотивационный момент

Веселая задачка

Белочка грибы сушила,                                                                                                                        Только посчитать забыла.

 Белый и масленок,                                        Сыроежка и опенок,          

 Груздь и две лисички,                

 Очень рыженьких сестрички.      

  У кого ответ готов?                                                                                          

 Сколько было всех грибов?

— Выберите ответ из предложенных на доске?

Семь

7

♠♠♠♠♠♠♠

— Почему выбрали именно этот ответ?

— Правильно, ребята,  математика – это точная наука и ученые договорились заменять многие слова специальными знаками, например числа один два три обозначают специальными знаками – цифрами 1,2,3.

— Хотите узнать какие еще слова в математике заменяют знаками?

Слушают задачку, считают грибы устно.

К доске выходит один из учеников, выбирает ответ, аргументирует, если затрудняется ему помогают другие ребята.

— Да

Формировать учебно-познавательный интерес к новому материалу и способам решения новой учебной задачи; принимать и сохранять учебную задачу и активно включаться в деятельность, направленную на ее решение в сотрудничестве с учителем и одноклассниками;

понимать информацию, представленную в разных формах: изобразительной, схематической, модельной; переводить её в словесную форму.

Актуализация знаний

— Посмотрите на доску. Что изображено?

(на доске луч)

— Можно его назвать числовым лучом?

— Почему?

Постройте у себя в рабочей тетради правильный числовой луч.

На доске исправить луч, сделав все мерки одинаковыми.

Луч.

Нет.

— На луче все мерки должны быть одинаковой длины.

Строят луч в тетради.

читать и слушать, извлекая нужную информацию, критически оценивать ее, соотносить с имеющими знаниями, опытом; вступать в учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками, осуществлять совместную деятельность

Открытие нового знания

— Верно ли утверждение, что:

6 больше 5

— Давайте проверим с помощью числового луча.

Заключаем между ладонями числовой отрезок от 0 до 5.

— Что обозначает число 5.

Сдвигаем правую руку до числа 6.

В какую сторону мы двигали руку?

Что это значит?

Проверим таким же образом следующие высказывания.

9 больше 8

3 меньше 4

4 меньше 5

— Посмотрите на эти записи еще раз. Кроме цифр, что в них встречается?

Как вы думаете, удобно нам будет в тетради делать такие записи? Почему?

— Что же делать?

— Вы правы. Но прежде чем познакомиться с новыми знаками, отдохнем. Закройте глазки.

Звучит запись птичьих голосов. На доску вывешивается две птички.

— Что за звуки вы слышите?

Откройте глаза, посмотрите на доску. Кто прилетел к нам в гости?

— У этих птичек непростые клювики. Клюв открыт всегда в сторону большего числа, а закрыт в сторону меньшего.

— Посмотрите как можно заменить слово больше.

На доске заменяет слово в неравенстве

5больше 6

— Кто попробует заменить слово меньше

3 меньше 4

Итак, слово больше обозначается знаком >, а слово меньше знаком

Учебник №170

— Найдите значок восклицательного знака в зеленом кружке, что означает этот знак? Где можно посмотреть?

Учитель читает текстовую информацию, затем предлагает прочесть записи.

Записи с такими знаками называются НЕРАВЕНСТВА.

— Верно.

Выполняют действия вместе с учителем в тетради.

— Что на луче отложили 5 мерок.

— Вправо.

— Числа, расположенные справа больше, а слева меньше. Значит 6 больше 5.

Таким же образом подтверждают верность высказываний.

— Слова БОЛЬШЕ и МЕНЬШЕ

— Мы не все буквы умеем писать, очень много времени на это будет уходить и т.д.

Высказывают предположение заменить слова знаками.

Закрывают глаза, расслабляются.

— Птичьи голоса.

— Птички.

Один ученик выходит и подставляет птичку с закрытым клювиком.

Работа с учебником.

Читающий ученик находит значение данного знака «Новая информация»

Знакомятся с новым словом

Вступать в учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками, осуществлять совместную деятельность; выполнять логические действия с материалом; осуществлять анализ ,синтез, аналогию, сравнение, классификацию, обобщение; различать способ и результат действия; устанавливать причинно-следственные связи, подводить под понятие; формировать учебно-познавательный интерес к новому материалу и способам решения новой учебной задачи; осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебного материала

Физминутка

Игра «Изобрази птицу»

  • дятел
  • сова
  • петух
  • лебеди улетают на юг
  • воробышки

Выполняют упражнения для снятия напряжения и эмоционально настраиваются на дальнейшую работу

Формировать учебно-познавательный интерес к новому материалу и способам решения новой учебной задачи

Работа по теме урока

Учебник №171

— Задание звучит так: сравни количество предметов на картинках слева и справа?

— Вы умеете сравнивать количество предметов в группах? Какие способы знаете?

— Так мы поступали раньше, когда не все еще умели считать и писать цифры, а сейчас вы умеете считать предметы? Записывать числа цифрами? Сравнивать числа, опираясь на числовой луч?

1 и 2 пункт задания вместе,3 самостоятельно по времени

ТПО№77

На доске рассмотреть пункт №1 совместно

— Нам нужно записать два неравенства с числами, которые соответствуют точкам А и К.

— Вам известно какое число соответствует точке А? (подпишите цифру 2 под точкойА)

 — Вам известно какое число соответствует точке К? (подпишите цифру 7 под точкой К)

— Теперь можем составить неравенства?

Пункт №2 по тому же алгоритму

В рабочей тетради

— Читать знак и больше меньше вы уже научились, а писать? Будем учиться?

Посмотрите, знак «больше – меньше» живет в клетке.

Физминутка для пальцев рук

— Посыпьте крошки птичкам…

Разгадайте правило и продолжите последовательность до конца строки

 

Парная работа

— У вас на парте лежит листочек с заданием, почему я вам дала один листочек на двоих?

— работая в паре нужно выполнять задания вместе, договариваться, а не ссориться и чем дружнее вы будете работать, тем быстрее справитесь с заданием, а задание такое:

Вставить нужный знак, чтобы получилось верное неравенство.

— сначала работаете с неравенствами со звездочкой. Вставили знаки в неравенства в столбике, проверили, зажигайте звездочку.

Фронтальная работа

Считают предметы, обозначают числа цифрами, вписывают их в неравенства, чтобы они становились верными.

Работа с числовым лучом

Фронтальная работа

Пробуют выполнить самостоятельно, один ученик у доски

Мотивация на письменную работу

Подготовка руки

Письменная работа

Работаю в паре: 2 уровня заданий.

Работают с неравенствами для самоконтроля используется значки: звездочка, сердечко, которые раскрашиваются после выполнения заданий.

Формировать  умение соотносить результат действия с поставленной целью и выражать их в речи; формировать способность к организации  самостоятельной учебной деятельности; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации ,в том числе во внутреннем плане; читать и слушать, извлекая нужную информацию, критически оценивать ее, соотносить с имеющими знаниями, опытом; осуществлять анализ ,синтез, аналогию, сравнение, классификацию, обобщение вступать в учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками, осуществлять совместную деятельность

Подведение итогов урока

Вам понравился урок?

С какими новыми знаками познакомились?

Что это за знак > ?

Что это за знак  ?

Как называются такие выражения

4

8>3?

Какое задание было самым интересным?

Отвечают на вопросы

понимать зависимость характера речи от ситуации общения, стараться строить свои диалогические и монологические высказывания с учетом речевых задач, умело пользоваться средствами языка

Рефлексия

Выбрать из двух отпечатков руки (красного и синего) тот который определяет  отношение к пройденной теме. Расположить слева красные отпечатки, а справа синие.

Какой знак поставим?

Самооценка собственных знаний и умений приобретенных на уроке, закрепление темы путем моделирования ситуации освоения нового материала

адекватно оценивать свои достижения, осознавать возникающие трудности и искать способы их преодоления

Знак (математика) — Википедия

Это статья о понятии положительности и отрицательности. О математических символах см. таблицу математических символов. О других значениях термина см. Знак.

Знак вещественного числа в арифметике позволяет отличить отрицательные числа от положительных; традиционно знак обозначается символом плюса (положительные числа) или минуса (отрицательные) перед записью числа. Если ни плюс, ни минус не указаны, число считается положительным. Ноль как особое число не имеет знака.

Примеры записи чисел: +36,6; −273; 142.{2})} символы плюса и минуса задают не знак выражения, перед которым они стоят, а знак арифметической операции, так что знак результата может быть любым, он определяется только после вычисления выражения.

Кроме арифметики, понятие знака используется в других разделах математики, в том числе для нечисловых математических объектов (см. ниже). Понятие знака важно также в тех разделах физики, где физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными — например, электрические заряды, положительная и отрицательная обратная связь, разнообразные силы притяжения и отталкивания.

Знак числа

Положительные и отрицательные числа

Вещественное число называется положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если меньше. Положительные числа записываются со знаком плюс или вообще без знака, отрицательные — со знаком минус[1].

Нулю не присвоен никакой знак, то есть +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} — это в арифметике одно и то же число[1]. В математическом анализе смысл символов +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} может различаться, см. об этом Отрицательный и положительный ноль; в информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) может отличаться, см. Прямой код.

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

  • Число неотрицательно, если оно больше или равно нулю.
  • Число неположительно, если оно меньше или равно нулю.
  • Положительные числа без нуля и отрицательные числа без нуля иногда (чтобы подчеркнуть, что они ненулевые) называют «‘строго положительными» и «строго отрицательными» соответственно.

Та же терминология иногда используется для вещественных функций. Например, функция называется положительной, если все её значения положительны, неотрицательной, если все её значения неотрицательны и т. д. Говорят также, что функция положительна/отрицательна на заданном интервале её определения..

Для комплексных чисел понятия знака числа не существует, потому что для них не определено, как сравнивать числа на больше/меньше.

Функция знака sgn(x)

График функции y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)}
Основная статья: sgn

Функция знака y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)} (произносится: сигнум от x) часто бывает полезна как индикатор знака числа. Эта функция определяется следующим образом:

sgn⁡(x)={−1(x<0),  0(x=0),  1(x>0).{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1\quad (x>0).\end{cases}}}

Другими словами, функция равна 1{\displaystyle 1} для положительного аргумента, −1{\displaystyle -1} для отрицательного и нулю для нулевого аргумента. Функция предусмотрена и в ряде языков программирования.

Пример использования функции см. в статье Квадратный корень#Комплексные числа.

Модуль (абсолютная величина) числа

Если у числа x{\displaystyle x} отбросить знак, полученное значение называется модулем или абсолютной величиной числа x{\displaystyle x}, оно обозначается |x|.{\displaystyle |x|.} Примеры: |3|=3; |−3|=3.{\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.}

Для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} имеют место следующие свойства.

Знак у нечисловых объектов

Знак угла

Положительные и отрицательные углы

Величина угла на плоскости считается положительной, если она измеряется против часовой стрелки, иначе — отрицательной. Аналогично классифицируются два случая вращения:

  • вращение на плоскости — например, вращение на (–90°) происходит по часовой стрелке;
  • поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика», иначе он считается отрицательным.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Например, при подсчёте длины дуги кривой часто удобно приписать этой длине на одном из двух возможных направлений знак минус.

Знак в вычислительной технике

старший бит
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
1 1 1 1 1 1 1 1

Знак (математика) — Википедия.{2})} символы плюса и минуса задают не знак выражения, перед которым они стоят, а знак арифметической операции, так что знак результата может быть любым, он определяется только после вычисления выражения.

Кроме арифметики, понятие знака используется в других разделах математики, в том числе для нечисловых математических объектов (см. ниже). Понятие знака важно также в тех разделах физики, где физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными — например, электрические заряды, положительная и отрицательная обратная связь, разнообразные силы притяжения и отталкивания.

Знак числа

Положительные и отрицательные числа

Вещественное число называется положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если меньше. Положительные числа записываются со знаком плюс или вообще без знака, отрицательные — со знаком минус[1].

Нулю не присвоен никакой знак, то есть +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} — это в арифметике одно и то же число[1]. В математическом анализе смысл символов +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} может различаться, см. об этом Отрицательный и положительный ноль; в информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) может отличаться, см. Прямой код.

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

  • Число неотрицательно, если оно больше или равно нулю.
  • Число неположительно, если оно меньше или равно нулю.
  • Положительные числа без нуля и отрицательные числа без нуля иногда (чтобы подчеркнуть, что они ненулевые) называют «‘строго положительными» и «строго отрицательными» соответственно.

Та же терминология иногда используется для вещественных функций. Например, функция называется положительной, если все её значения положительны, неотрицательной, если все её значения неотрицательны и т. д. Говорят также, что функция положительна/отрицательна на заданном интервале её определения..

Для комплексных чисел понятия знака числа не существует, потому что для них не определено, как сравнивать числа на больше/меньше.

Функция знака sgn(x)

График функции y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)}

Функция знака y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)} (произносится: сигнум от x) часто бывает полезна как индикатор знака числа. Эта функция определяется следующим образом:

sgn⁡(x)={−1(x<0),  0(x=0),  1(x>0).{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1\quad (x>0).\end{cases}}}

Другими словами, функция равна 1{\displaystyle 1} для положительного аргумента, −1{\displaystyle -1} для отрицательного и нулю для нулевого аргумента. Функция предусмотрена и в ряде языков программирования.

Пример использования функции см. в статье Квадратный корень#Комплексные числа.

Модуль (абсолютная величина) числа

Если у числа x{\displaystyle x} отбросить знак, полученное значение называется модулем или абсолютной величиной числа x{\displaystyle x}, оно обозначается |x|.{\displaystyle |x|.} Примеры: |3|=3; |−3|=3.{\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.}

Для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} имеют место следующие свойства.

Знак у нечисловых объектов

Знак угла

Положительные и отрицательные углы

Величина угла на плоскости считается положительной, если она измеряется против часовой стрелки, иначе — отрицательной. Аналогично классифицируются два случая вращения:

  • вращение на плоскости — например, вращение на (–90°) происходит по часовой стрелке;
  • поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика», иначе он считается отрицательным.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Например, при подсчёте длины дуги кривой часто удобно приписать этой длине на одном из двух возможных направлений знак минус.

Знак в вычислительной технике

старший бит
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1

Знак (математика) — Википедия.{2})} символы плюса и минуса задают не знак выражения, перед которым они стоят, а знак арифметической операции, так что знак результата может быть любым, он определяется только после вычисления выражения.

Кроме арифметики, понятие знака используется в других разделах математики, в том числе для нечисловых математических объектов (см. ниже). Понятие знака важно также в тех разделах физики, где физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными — например, электрические заряды, положительная и отрицательная обратная связь, разнообразные силы притяжения и отталкивания.

Знак числа

Положительные и отрицательные числа

Вещественное число называется положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если меньше. Положительные числа записываются со знаком плюс или вообще без знака, отрицательные — со знаком минус[1].

Нулю не присвоен никакой знак, то есть +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} — это в арифметике одно и то же число[1]. В математическом анализе смысл символов +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} может различаться, см. об этом Отрицательный и положительный ноль; в информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) может отличаться, см. Прямой код.

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

  • Число неотрицательно, если оно больше или равно нулю.
  • Число неположительно, если оно меньше или равно нулю.
  • Положительные числа без нуля и отрицательные числа без нуля иногда (чтобы подчеркнуть, что они ненулевые) называют «‘строго положительными» и «строго отрицательными» соответственно.

Та же терминология иногда используется для вещественных функций. Например, функция называется положительной, если все её значения положительны, неотрицательной, если все её значения неотрицательны и т. д. Говорят также, что функция положительна/отрицательна на заданном интервале её определения..

Для комплексных чисел понятия знака числа не существует, потому что для них не определено, как сравнивать числа на больше/меньше.

Функция знака sgn(x)

График функции y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)}

Функция знака y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)} (произносится: сигнум от x) часто бывает полезна как индикатор знака числа. Эта функция определяется следующим образом:

sgn⁡(x)={−1(x<0),  0(x=0),  1(x>0).{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1\quad (x>0).\end{cases}}}

Другими словами, функция равна 1{\displaystyle 1} для положительного аргумента, −1{\displaystyle -1} для отрицательного и нулю для нулевого аргумента. Функция предусмотрена и в ряде языков программирования.

Пример использования функции см. в статье Квадратный корень#Комплексные числа.

Модуль (абсолютная величина) числа

Если у числа x{\displaystyle x} отбросить знак, полученное значение называется модулем или абсолютной величиной числа x{\displaystyle x}, оно обозначается |x|.{\displaystyle |x|.} Примеры: |3|=3; |−3|=3.{\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.}

Для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} имеют место следующие свойства.

Знак у нечисловых объектов

Знак угла

Положительные и отрицательные углы

Величина угла на плоскости считается положительной, если она измеряется против часовой стрелки, иначе — отрицательной. Аналогично классифицируются два случая вращения:

  • вращение на плоскости — например, вращение на (–90°) происходит по часовой стрелке;
  • поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика», иначе он считается отрицательным.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Например, при подсчёте длины дуги кривой часто удобно приписать этой длине на одном из двух возможных направлений знак минус.

Знак в вычислительной технике

старший бит
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126

Знак (математика) — Википедия. Что такое Знак (математика)

Это статья о понятии положительности и отрицательности. О математических символах см.{2})} символы плюса и минуса задают не знак выражения, перед которым они стоят, а знак арифметической операции, так что знак результата может быть любым, он определяется только после вычисления выражения.

Кроме арифметики, понятие знака используется в других разделах математики, в том числе для нечисловых математических объектов (см. ниже). Понятие знака важно также в тех разделах физики, где физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными — например, электрические заряды, положительная и отрицательная обратная связь, разнообразные силы притяжения и отталкивания.

Знак числа

Положительные и отрицательные числа

Вещественное число называется положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если меньше. Положительные числа записываются со знаком плюс или вообще без знака, отрицательные — со знаком минус[1].

Нулю не присвоен никакой знак, то есть +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} — это в арифметике одно и то же число[1]. В математическом анализе смысл символов +0{\displaystyle +0} и −0{\displaystyle -0} может различаться, см. об этом Отрицательный и положительный ноль; в информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) может отличаться, см. Прямой код.

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

  • Число неотрицательно, если оно больше или равно нулю.
  • Число неположительно, если оно меньше или равно нулю.
  • Положительные числа без нуля и отрицательные числа без нуля иногда (чтобы подчеркнуть, что они ненулевые) называют «‘строго положительными» и «строго отрицательными» соответственно.

Та же терминология иногда используется для вещественных функций. Например, функция называется положительной, если все её значения положительны, неотрицательной, если все её значения неотрицательны и т. д. Говорят также, что функция положительна/отрицательна на заданном интервале её определения..

Для комплексных чисел понятия знака числа не существует, потому что для них не определено, как сравнивать числа на больше/меньше.

Функция знака sgn(x)

График функции y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)}

Функция знака y=sgn⁡(x){\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)} (произносится: сигнум от x) часто бывает полезна как индикатор знака числа. Эта функция определяется следующим образом:

sgn⁡(x)={−1(x<0),  0(x=0),  1(x>0).{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1\quad (x>0).\end{cases}}}

Другими словами, функция равна 1{\displaystyle 1} для положительного аргумента, −1{\displaystyle -1} для отрицательного и нулю для нулевого аргумента. Функция предусмотрена и в ряде языков программирования.

Пример использования функции см. в статье Квадратный корень#Комплексные числа.

Модуль (абсолютная величина) числа

Если у числа x{\displaystyle x} отбросить знак, полученное значение называется модулем или абсолютной величиной числа x{\displaystyle x}, оно обозначается |x|.{\displaystyle |x|.} Примеры: |3|=3; |−3|=3.{\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.}

Для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} имеют место следующие свойства.

Знак у нечисловых объектов

Знак угла

Положительные и отрицательные углы

Величина угла на плоскости считается положительной, если она измеряется против часовой стрелки, иначе — отрицательной. Аналогично классифицируются два случая вращения:

  • вращение на плоскости — например, вращение на (–90°) происходит по часовой стрелке;
  • поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика», иначе он считается отрицательным.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Например, при подсчёте длины дуги кривой часто удобно приписать этой длине на одном из двух возможных направлений знак минус.

Знак в вычислительной технике

старший бит
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
1 1 1 1 1 1 1 1 = −1
1 1 1 1 1 1 1 0 = −2
1 0 0 0 0 0 0 1 = −127
1 0 0 0 0 0 0 0 = −128
Для представления знака целого числа большинство компьютеров используют дополнительный код.

Целое число, хранящееся в памяти компьютера, может быть знаковым или беззнаковым (в последнем случае оно рассматривается как положительное). Знаковые числа используют один из битов как код знака (обычно 0 кодирует положительное число, 1 — отрицательное), у беззнаковых все биты равноправны. Для представления знака и значения целых чисел большинство компьютеров используют дополнительный код, хотя встречается и прямой код.

Вещественные числа хранятся и обрабатываются как числа с плавающей запятой, то есть содержат мантиссу и порядок числа, причём каждая из этих частей снабжена битом своего знака.

Дискретная математика

В комбинаторике определяется знак перестановки — положительный, если перестановка чётная, и отрицательный, если перестановка нечётная.

В теории графов рассматриваются ориентированные и знаковые графы[en], в которых каждому ребру соответствует направление или знак (положительный или отрицательный).

Другие применения знака

Существует знако-разрядная система счисления[en], в ней каждая цифра числа может иметь положительный или отрицательный знак..

В теории меры определено понятие обобщённой меры со знаком («заряда»), которая может иметь положительные или отрицательные значения.

Знак может быть присвоен бесконечно удалённой точке расширенной числовой оси.

В физике, любой электрический заряд обладает знаком, положительным или отрицательным. По соглашению, положительным считается заряд с тем же знаком, что у протона, а отрицательный заряд — это заряд с тем же знаком, что у электрона.

См. также

Примечания

Литература

ТЕКСТ I. ВВЕДЕНИЕ В РЕАЛЬНЫЙ

Математический анализ изучает концепций , так или иначе связанных с действительными числами, , поэтому мы начинаем изучение анализа с действительной системы счисления. Для введения действительных чисел используются несколько методов. Один метод начинается с положительных целых чисел 1, 2, 3… .. как неопределенных концепций и использует их для построения более крупной системы, положительных рациональных чисел (частных положительных целых чисел), их отрицательных значений и нуля. Рациональные числа, в свою очередь, , затем используются для построения иррациональных чисел, действительных чисел, таких как √2 и p , которые не являются рациональными. Рациональные и иррациональные числа вместе составляют действительную систему счисления.

Хотя эти вопросы являются важной частью основ математики, они не будут здесь подробно описываться. На самом деле на большинстве этапов анализа нас интересует только свойств действительных чисел, а не методы, использованные для их построения.

Для удобства , мы используем некоторый элементарный набор обозначений и терминологию . Пусть S обозначает набор (набор объектов). Обозначение xÎS означает, что объект x находится в наборе, и мы пишем x Ï S , чтобы указать, что x не входит в S .

Набор S называется подмножеством из T , и мы пишем SÍT , если каждый объект в S также находится в T .Набор называется непустым, если он содержит хотя бы один объект .

Мы предполагаем, что существует непустой набор R объектов, называемых действительными числами, которые удовлетворяют десяти аксиомам. Аксиомы естественным образом делятся на три группы, которые мы называем аксиомами поля , аксиомами порядка, аксиомами полноты (также называемыми аксиомами верхней границы или аксиомами непрерывности

).

I. Переведите определения следующих математических терминов.

1. математика — группа наук (включая арифметику, геометрию, алгебру, исчисление и т. Д.), Занимающуюся величинами, величинами и формами , и их отношениями, атрибутами и т. Д. С помощью чисел и символов;

2. отрицательный — обозначение количества, меньшего нуля или подлежащего вычитанию;

3. положительный — обозначение количества больше нуля или единицы, которое нужно добавить;

4. иррациональный — обозначение действительного числа, которое нельзя выразить как целое число или как частное двух целых чисел;

5.рациональный — обозначение числа или величины, выражаемой как отношение двух целых чисел, одно из которых может быть единицей;

6. целое число — любое положительное или отрицательное число или ноль: отличное от дроби;

7. частное — результат, полученный при делении одного числа на другое;

8. подмножество — математический набор, содержащий некоторые или все элементы данного набора;

9. поле — набор чисел или других алгебраических элементов, для которых арифметические операции (кроме деления на ноль) определены согласованным образом для получения другого элемента множества.

10. порядок — а) установленная последовательность цифр , букв , события, единицы,

б) целое число, характеризующее степень или стадию сложности алгебраического выражения;

с) количество элементов в данной группе .

(Из словаря Вебстера «Новый мир»).

II. Сопоставьте термины из левого столбца и определения из

правая колонка:

отрицательный обозначение числа или величины, выражаемой как частное двух целых чисел, одно из которых может быть единицей
положительный Набор чисел или других алгебраических элементов, для которых арифметические операции (за исключением деления на ноль) определены согласованным образом, чтобы получить другой элемент набора
рациональный обозначение количества больше нуля или единицы, подлежащей добавлению
иррациональный количество элементов в данной группе
заказать Обозначение действительного числа, которое нельзя выразить как целое число или как частное двух целых чисел
частное математический набор, содержащий некоторые или все элементы данного набора
подмножество количество меньше нуля или единицы, подлежащей вычитанию
поле любое положительное или отрицательное число или ноль: отличается от дроби
заказать результат, полученный при делении одного числа на другое число

III.Прочтите и решите, какие из утверждений верны, а какие нет. Измените предложения, чтобы они были верными.

1. Действительное число х называется положительным, если х > 0, и отрицательным, если x < 0.

2. Действительное число х называется неотрицательным, если x = 0.

3. Существование отношения> удовлетворяет единственной аксиоме: если х < у, то для каждого z имеем х + z < у + z.

4. Символ ≥ используется аналогично символу ≤.

МАТЕМАТИКА [1968 .., .. — ()]

НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ О РАЗВИТИИ НОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

Наша нынешняя система счисления не всегда была настолько развита, как сегодня. Система счисления тесно связана с ранним доисторическим человеком и с самыми последними открытиями в атомной науке.

Но было время, когда человек не умел считать. Происхождение числа и счета скрыто за бесчисленными доисторическими эпохами. Никто не знает, когда впервые начался подсчет. Прежде чем человек научился считать, он, вероятно, использовал имена или знаки для каждого человека или предмета. Считается, что ранние пастухи называли своих овец по имени, чтобы определить, пропала ли какая-нибудь из них. Подсчет представляет собой очень важную веху в развитии цивилизации. Конечно, сначала числовых имен не было; Так было использовано счетчиков .Для прилавков человек использовал палки, камешки, пальцы рук, а в некоторых случаях и пальцы ног. Фактически, слово исчисление происходит от латинского, что означает камешек ; наши цифры называются цифрами от латинского, что означает палец .

Ранний пастырь, вероятно, узнал, что вместо того, чтобы называть своих овец по имени, он мог отложить по камешку для каждой овцы, когда он приводил их в загон на ночь, и таким образом узнавал, потерялась ли хоть одна из них.

Можно упомянуть лишь несколько важных достижений в истории математики. Исторические записи свидетельствуют об астрономических и арифметических достижениях ранних вавилонян, шумеров и китайцев. Где-то в далеком прошлом человек узнал, что число полезно для цивилизованной жизни. Уже 5700. . у предшественников вавилонян был календарь и тип практической арифметики.

Одним из величайших математиков записанной истории был грек Архимед (287 — 212 гг….), который разработал динамическую математику, которую можно было применить к законам природы.

Практическая цивилизация Древнего Рима, великая во многих других областях, мало способствовала математике.

Переходя к периоду Возрождения, мы обнаруживаем, что в Европу пришли мусульманские племена, принесшие с собой культуру многих цивилизаций, в том числе странную систему счисления, заимствованную у индусов.

Всего около 300 лет назад великий математик и философ.Рене Декарт (1596 — 1650) изображал пары чисел точками. Это создание сделало возможным большой прогресс в науке и математике в восемнадцатом веке. В 1642 году родился один из величайших умов всех времен Исаак Ньютон (1642 — 1727). Ньютон был одним из изобретателей исчисления, которое сейчас изучается студентами колледжей, серьезно интересующимися математикой или физическими науками.

Немногие открытия в мировой науке могут сравниться с открытием Лобачевского (1792–1856).Подобно Архимеду, Галилею, Копернику и Ньютону, он является одним из тех, кто заложил основы науки. Лобачевский создал один из величайших шедевров математики — неевклидову геометрию.

В нашей системе счисления используются только символы 0, 1, 2 … 9; он имеет десятичную основу и позиционное обозначение. Таким образом, любое целое число может быть выражено этими символами в различных комбинациях и расположениях. База нашей системы — десять. Десять — это, вероятно, основа, потому что у нас десять пальцев, и «пальцы» использовались на ранних стадиях счета.

Неизвестно, когда и кем был изобретен ноль (ноль). Историки считают, что ноль был введен индусами или вавилонянами не позднее девятого века нашей эры и, вероятно, уже во втором веке. . Изобретение нуля и нашей системы счисления — одно из величайших достижений человечества, без которого прогресс науки, промышленности и торговли был бы невозможен. Эта новая система была введена в Европе арабами или мусульманами примерно в начале десятого века.Эти новые числа использовались, и, наконец, примерно через пять веков десятичная система чисел выиграла битву.


год нашей эры

Древний Рим

Архимед

Вавилоняне

исчисление

китайский ,

Коперник

счетчиков ,

считая

Декарт, Рене ,

динамическая математика

Индусы

Галилео

Если какой-либо из них отсутствовал .-

Считается ,

этап

неевклидова геометрия

число наименований

система счисления

точка

по пункту

позиционное обозначение

доисторический возраст

Период Возрождения ()

Шумеры

ноль (ноль)

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ? | Математический

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ? 4 марта 2009 г.

Автор: фариедхермаван в математике.
трекбэк

Математика — это изучение количества, структуры, пространства, отношений, изменений и различных тем, касающихся паттернов, форм и сущностей. Математики ищут закономерности и другие количественные измерения, имея дело с числами, пространствами, естественными науками, компьютерами, воображаемыми абстракциями или другими объектами. [2] [3] Математики формулируют новые гипотезы и устанавливают истину путем строгого вывода из правильно выбранных аксиом и определений. [4]

Ведутся споры о том, существуют ли математические объекты объективно в силу своей логической чистоты или они созданы человеком и отделены от реальности. Математик Бенджамин Пирс назвал математику «наукой, делающей необходимые выводы». [5] Альберт Эйнштейн, с другой стороны, заявил, что «насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они уверены, они не относятся к реальности ». [6]

Благодаря использованию абстракции и логических рассуждений математика эволюционировала из счета, вычислений, измерений и систематического изучения форм и движений физических объектов.Знание и использование базовой математики всегда были неотъемлемой и неотъемлемой частью индивидуальной и групповой жизни. Уточнения основных идей видны в математических текстах, происходящих из древнеегипетского, месопотамского, индийского, китайского, греческого и исламского мира. Строгие аргументы впервые появились в греческой математике, особенно в книге Евклида Elements . Развитие продолжалось прерывистыми скачками до периода Возрождения 16 века, когда математические инновации вступили во взаимодействие с новыми научными открытиями, что привело к ускорению исследований, которое продолжается и по сей день. [7]

Сегодня математика используется во всем мире как важный инструмент во многих областях, включая естественные науки, инженерию, медицину и социальные науки, такие как экономика и психология. Прикладная математика, раздел математики, связанный с применением математических знаний в других областях, вдохновляет и использует новые математические открытия, а иногда приводит к развитию совершенно новых дисциплин. Математики также занимаются чистой математикой или математикой ради нее самих, не имея в виду какого-либо приложения, хотя практические применения того, что начиналось как чистая математика, часто обнаруживаются позже.

Этимология

Слово «математика» происходит от греческого μάθημα ( máthēma ), что означает обучение , обучение , наука , и, кроме того, стало иметь более узкое и техническое значение «математическое исследование», даже в классической литературе. раз. Его прилагательное μαθηματικός ( mathēmatikós ), , относящееся к обучению , или прилежный , что в дальнейшем также стало обозначать математическое . В частности, μαθηματικὴ τέχνη ( mathēmatikḗ tékhnē ), на латыни ars mathematica , означало математическое искусство .

Видимая форма множественного числа в английском языке, такая как французская форма множественного числа les mathématiques (и менее часто используемая производная единственного числа la mathématique ) восходит к латинскому среднему множественному числу mathematica (Цицерон), основанному на греческом множественном числе. τα μαθηματικά ( ta mathēmatiká ), используемый Аристотелем и означающий примерно «все математические». [9] Однако в английском существительное Mathematics принимает глагольные формы единственного числа.Его часто сокращают до math в англоязычных странах Северной Америки и math в других странах.

История

Кипу, использовавшийся инками для записи чисел.

Основная статья: История математики

Эволюцию математики можно рассматривать как постоянно увеличивающийся ряд абстракций или, альтернативно, как расширение предметной области. Первой абстракцией, которую разделяют многие животные [10] , вероятно, была абстракция чисел: осознание того, что два яблока и два апельсина (например) имеют что-то общее.

В дополнение к умению считать физических объекта, доисторические народы также научились считать абстрактных величин, таких как время — дни, времена года, годы. Естественно, последовала элементарная арифметика (сложение, вычитание, умножение и деление).

Дальнейшие шаги требовали написания или какой-либо другой системы для записи чисел, такой как счетчики или завязанные узлами строки, называемые кипу, которые инки использовали для хранения числовых данных. Системы счисления были многочисленными и разнообразными, с первыми известными письменными цифрами, созданными египтянами в текстах Среднего царства, таких как Математический папирус Райнда.Цивилизация долины Инда разработала современную десятичную систему счисления, включая понятие нуля.

цифры майя

С самого начала записанной истории основные дисциплины в математике возникли из-за необходимости производить расчеты, связанные с налогообложением и торговлей, понимать отношения между числами, измерять землю и предсказывать астрономические события. Эти потребности могут быть примерно связаны с широким подразделением математики на исследования количества , структуры , пространства и изменения .

С тех пор математика значительно расширилась, и между математикой и наукой произошло плодотворное взаимодействие, приносящее пользу обоим. Математические открытия делались на протяжении всей истории и продолжают делаться сегодня. По словам Михаила Б. Севрюка в январском выпуске Бюллетеня Американского математического общества за 2006 г., «количество статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews с 1940 года (первый год работы MR), сейчас превышает 1. .9 миллионов и более 75 тысяч наименований добавляются в базу данных каждый год. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства ». [11]

Вдохновение, чистая и прикладная математика и эстетика

Сэр Исаак Ньютон (1643-1727), изобретатель исчисления бесконечно малых.

Основная статья: Математическая красота

Математика возникает везде, где возникают сложные проблемы, связанные с количеством, структурой, пространством или изменением.Сначала они были найдены в торговле, измерениях земли и позже в астрономии; В настоящее время все науки предлагают проблемы, изучаемые математиками, и многие проблемы возникают внутри самой математики. Например, физик Ричард Фейнман изобрел формулировку квантовой механики с интегралом по траекториям, используя комбинацию математических рассуждений и физического понимания, и сегодняшняя теория струн, все еще развивающаяся научная теория, которая пытается объединить четыре фундаментальные силы природы, продолжает вдохновлять новая математика. [12] Некоторая математика актуальна только в той области, которая ее вдохновила, и применяется для решения дальнейших задач в этой области. Но часто математика, вдохновленная одной областью, оказывается полезной во многих областях и присоединяется к общему арсеналу математических понятий. Замечательный факт, что даже у самой «чистой» математики часто оказывается практическое применение, — это то, что Юджин Вигнер назвал «необоснованной эффективностью математики». [13]

Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в научный век привел к специализации в математике.Одно из основных различий заключается между чистой математикой и прикладной математикой: большинство математиков сосредотачивают свои исследования исключительно на одной из этих областей, и иногда выбор делается еще на этапе обучения в бакалавриате. Некоторые области прикладной математики слились со смежными традициями за пределами математики и стали самостоятельными дисциплинами, включая статистику, исследование операций и информатику.

Для тех, кто склонен к математике, большая часть математики часто имеет определенный эстетический аспект.Многие математики говорят об элегантности математики, ее внутренней эстетике и внутренней красоте. Ценится простота и общность. Есть красота в простом и элегантном доказательстве, таком как доказательство Евклида, что существует бесконечно много простых чисел, и в элегантном численном методе, ускоряющем вычисления, таком как быстрое преобразование Фурье. Г. Х. Харди в книге A Mathematician’s Apology выразил уверенность в том, что эти эстетические соображения сами по себе достаточны, чтобы оправдать изучение чистой математики. [14] Математики часто стремятся найти особенно элегантные доказательства теорем. Пол Эрдёш часто называет поиском доказательств из «Книги», в которую Бог записал свои любимые доказательства. [15] [16] Популярность развлекательной математики — еще один признак того удовольствия, которое многие находят при решении математических вопросов.

Обозначения, язык и строгость

Леонард Эйлер. Вероятно, самый плодовитый математик всех времен

Основная статья: Математические обозначения

Большинство математических обозначений, используемых сегодня, были изобретены только в 16 веке. [17] До этого математика писалась словами, и это был кропотливый процесс, ограничивавший математические открытия. [ необходима ссылка ] В 18 веке Эйлер был ответственным за многие из используемых сегодня обозначений. Современные обозначения значительно упрощают математику для профессионалов, но новички часто находят ее сложной. Он очень сжат: несколько символов содержат большой объем информации. Как и музыкальная нотация, современная математическая нотация имеет строгий синтаксис и кодирует информацию, которую было бы трудно записать другим способом.

Математический язык может быть трудным для начинающих. Такие слова, как или и , только имеют более точное значение, чем в повседневной речи. Кроме того, такие слова, как open и field , получили специализированные математические значения. Математический жаргон включает такие технические термины, как гомеоморфизм и интегрируемый . Но есть причина для специальных обозначений и технического жаргона: математика требует большей точности, чем повседневная речь.Математики называют эту точность языка и логики «строгостью».

Символ бесконечности в нескольких шрифтах.

Строгость — это, по сути, вопрос математического доказательства. Математики хотят, чтобы их теоремы вытекали из аксиом посредством систематических рассуждений. Это сделано для того, чтобы избежать ошибочных «теорем», основанных на ошибочной интуиции, которые неоднократно встречались в истории данного предмета. [18] Уровень строгости математики со временем менялся: греки ожидали подробных аргументов, но во времена Исаака Ньютона применяемые методы были менее строгими.Проблемы, присущие определениям, используемым Ньютоном, приведут к возрождению тщательного анализа и формальных доказательств в 19 веке. Сегодня математики продолжают спорить между собой о компьютерных доказательствах. Поскольку большие вычисления трудно проверить, такие доказательства могут быть недостаточно строгими. [19]

Аксиомы в традиционной мысли были «самоочевидными истинами», но эта концепция проблематична. На формальном уровне аксиома — это просто строка символов, которая имеет внутреннее значение только в контексте всех выводимых формул аксиоматической системы.Целью программы Гильберта было поставить всю математику на прочную аксиоматическую основу, но согласно теореме Гёделя о неполноте каждая (достаточно мощная) аксиоматическая система имеет неразрешимые формулы; и поэтому окончательная аксиоматизация математики невозможна. Тем не менее математика часто представляется (с точки зрения ее формального содержания) не чем иным, как теорией множеств в некоторой аксиоматизации в том смысле, что каждое математическое утверждение или доказательство может быть преобразовано в формулы в рамках теории множеств. [20]

Математика как наука

Карл Фридрих Гаусс, сам известный как «принц математиков», называл математику «королевой наук».

Карл Фридрих Гаусс называл математику «королевой наук». [21] В оригинальном латинском Regina Scientiarum , а также в немецком Königin der Wissenschaften слово, соответствующее науке, означает (область) знания. В самом деле, это также первоначальное значение английского языка, и нет никаких сомнений в том, что математика в этом смысле является наукой. Специализация, ограничивающая значение естественными науками, возникла позже.Если рассматривать науку как строго физический мир, то математика или, по крайней мере, чистая математика не является наукой. Альберт Эйнштейн заявил, что «насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они уверены, они не относятся к реальности. [6]

Многие философы считают, что математика не поддается экспериментальному опровержению и, следовательно, не является наукой в ​​соответствии с определением Карла Поппера. [22] Однако в 1930-х годах важная работа по математической логике показала, что математика не может быть сведена к логике, и Карл Поппер пришел к выводу, что «большинство математических теорий, как и теории физики и биологии, являются гипотетико-дедуктивными: следовательно, чистая математика оказывается чтобы быть намного ближе к естественным наукам, гипотезы которых являются домыслами, чем это казалось еще недавно. [23] Другие мыслители, особенно Имре Лакатос, применили одну из версий фальсификационизма к самой математике.

Альтернативная точка зрения состоит в том, что определенные области науки (например, теоретическая физика) представляют собой математику с аксиомами, которые должны соответствовать действительности. Фактически, физик-теоретик Дж. М. Зиман предположил, что наука — это общественное знание и, следовательно, включает математику. [24] В любом случае, математика имеет много общего со многими областями физических наук, в частности, исследование логических следствий предположений.Интуиция и экспериментирование также играют роль в формулировании предположений как в математике, так и в (других) науках. Экспериментальная математика продолжает приобретать все большее значение в математике, а вычисления и моделирование играют все более важную роль как в науках, так и в математике, ослабляя возражения против того, что математика не использует научный метод. В своей книге A New Kind of Science 2002 года Стивен Вольфрам утверждает, что вычислительная математика заслуживает эмпирического исследования как самостоятельная область науки.

Мнения математиков по этому поводу разнятся. Многие математики считают, что называть свою область наукой — значит преуменьшать важность ее эстетической стороны и ее истории в традиционных семи гуманитарных науках; другие считают, что игнорировать ее связь с науками — значит закрывать глаза на тот факт, что взаимодействие между математикой и ее приложениями в науке и технике привело к значительному развитию математики. Один из способов проявления этой разницы во взглядах — это философский спор о том, математика была создана (как в искусстве) или открыта (как в науке).Часто можно увидеть, что университеты разделены на разделы, которые включают в себя раздел Наука и математика , что указывает на то, что области рассматриваются как связанные, но не совпадают. На практике математики обычно объединяются с учеными общего уровня, но разделяются на более тонких уровнях. Это один из многих вопросов, рассматриваемых в философии математики.

Математические награды обычно хранятся отдельно от их эквивалентов в естественных науках. Самая престижная награда в области математики — медаль Филдса, [25] [26] , учрежденная в 1936 году и теперь присуждаемая каждые 4 года.Его часто считают эквивалентом Нобелевской премии в области науки. Премия Вольфа по математике, учрежденная в 1978 году, присуждается за достижения на протяжении всей жизни, а в 2003 году была учреждена еще одна крупная международная награда, Премия Абеля. Они присуждаются за конкретный объем работ, которые могут быть новаторскими или разрешенными. в установленном поле. Знаменитый список из 23 таких открытых проблем, названный «проблемами Гильберта», был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом. Этот список получил широкую известность среди математиков, и по крайней мере девять из задач уже решены.В 2000 году был опубликован новый список из семи важных проблем, озаглавленный «Проблемы, связанные с Премией тысячелетия». Решение каждой из этих проблем требует вознаграждения в 1 миллион долларов, и только одна (гипотеза Римана) дублируется в задачах Гильберта.

Области математики

Счеты, простой инструмент для расчетов, используемый с древних времен.

Основные дисциплины в математике впервые возникли из-за необходимости выполнять вычисления в торговле, понимать взаимосвязь между числами, измерять землю и предсказывать астрономические события.Эти четыре потребности могут быть примерно связаны с широким подразделением математики на изучение количества, структуры, пространства и изменений (то есть арифметики, алгебры, геометрии и анализа). Помимо этих основных задач, существуют также подразделения, посвященные изучению связей из сердца математики с другими областями: с логикой, с теорией множеств (основания), с эмпирической математикой различных наук (прикладная математика) и с недавних пор. к тщательному изучению неопределенности.

Кол. Акций

Изучение количества начинается с чисел, сначала знакомых натуральных и целых чисел («целых чисел») и арифметических операций над ними, которые характеризуются арифметикой.Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теории чисел, откуда приходят такие популярные результаты, как Великая теорема Ферма. Теория чисел также имеет две широко признанные нерешенные проблемы: гипотезу о простых числах-близнецах и гипотезу Гольдбаха.

По мере дальнейшего развития системы счисления целые числа распознаются как подмножество рациональных чисел («дроби»). Они, в свою очередь, содержатся в действительных числах, которые используются для представления непрерывных количеств. Действительные числа обобщаются на комплексные числа.Это первые шаги иерархии чисел, которая включает четвертионы и октонионы. Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитным числам, которые формализуют концепцию счета до бесконечности. Еще одна область изучения — это размер, который ведет к количественным числам, а затем к другой концепции бесконечности: числам алефа, которые позволяют осмысленно сравнивать размеры бесконечно больших множеств.

Космос

Изучение пространства берет свое начало с геометрии, в частности, с евклидовой геометрии.Тригонометрия сочетает в себе пространство и числа и включает в себя известную теорему Пифагора. Современное исследование пространства обобщает эти идеи, включая геометрию более высоких измерений, неевклидову геометрию (которая играет центральную роль в общей теории относительности) и топологию. Количество и пространство играют роль в аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии. В дифференциальной геометрии есть понятия расслоений и исчисления на многообразиях. В рамках алгебраической геометрии есть описание геометрических объектов как наборов решений полиномиальных уравнений, объединяющих понятия количества и пространства, а также изучение топологических групп, которые объединяют структуру и пространство.Группы Ли используются для изучения пространства, структуры и изменений. Топология во всех ее многочисленных ответвлениях, возможно, была самой большой областью развития математики 20-го века и включает давнюю гипотезу Пуанкаре и спорную теорему о четырех цветах, единственное доказательство которой с помощью компьютера никогда не было проверено человеком.

Изменение

Понимание и описание изменений — обычная тема в естественных науках, и математические вычисления были разработаны как мощный инструмент для их исследования.Функции возникают здесь как центральное понятие, описывающее изменяющуюся величину. Строгое изучение действительных чисел и функций действительной переменной известно как реальный анализ, а комплексный анализ — эквивалентное поле для комплексных чисел. Гипотеза Римана, один из самых фундаментальных открытых вопросов математики, основана на комплексном анализе. Функциональный анализ фокусирует внимание на пространствах функций (обычно бесконечномерных). Одно из многих приложений функционального анализа — квантовая механика.Многие проблемы естественным образом приводят к взаимосвязям между величиной и скоростью ее изменения, которые изучаются как дифференциальные уравнения. Многие явления в природе можно описать динамическими системами; Теория хаоса уточняет способы, которыми многие из этих систем демонстрируют непредсказуемое, но все же детерминированное поведение.

Структура

Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функций, обладают внутренней структурой. Структурные свойства этих объектов исследуются при изучении групп, колец, полей и других абстрактных систем, которые сами являются такими объектами.Это область абстрактной алгебры. Важным понятием здесь является понятие векторов, обобщенное на векторные пространства и изучаемое в линейной алгебре. Изучение векторов объединяет три фундаментальные области математики: количество, структуру и пространство. Векторное исчисление расширяет эту область до четвертой фундаментальной области — области изменений. Тензорное исчисление изучает симметрию и поведение векторов при вращении. Ряд древних проблем, связанных с конструкциями циркуля и линейки, был наконец решен с помощью теории Галуа.

Теория чисел Абстрактная алгебра Теория групп Теория порядка

Основы и философия

Чтобы прояснить основы математики, были разработаны области математической логики и теории множеств, а также теория категорий, которая все еще находится в разработке. Выражение «кризис основ» описывает поиск прочного основания математики, который велся примерно с 1900 по 1930 год. [27] Некоторые разногласия по поводу основ математики продолжаются и по сей день. Кризис основ был вызван рядом споров в то время, в том числе спорами по поводу теории множеств Кантора и споров Брауэра-Гильберта.

Математическая логика занимается установкой математики на строгую аксиоматическую структуру и изучением результатов такой структуры. Таким образом, он является домом для второй теоремы Гёделя о неполноте, возможно, наиболее широко известного результата в логике, который (неформально) подразумевает, что любая формальная система, содержащая базовую арифметику, если звучит как (что означает, что все теоремы, которые могут быть доказаны, верны ), обязательно неполный (это означает, что есть истинные теоремы, которые не могут быть доказаны в этой системе ).Гёдель показал, как построить, независимо от данного набора теоретико-числовых аксиом, формальное утверждение в логике, которое является истинным теоретико-числовым фактом, но которое не следует из этих аксиом. Следовательно, никакая формальная система не является истинной аксиоматизацией полной теории чисел. Современная логика делится на теорию рекурсии, теорию моделей и теорию доказательств и тесно связана с теоретической информатикой.

Математическая логика Теория множеств Теория категорий

Дискретная математика

Дискретная математика — это общее название областей математики, наиболее часто используемых в теоретической информатике.Это включает теорию вычислимости, теорию сложности вычислений и теорию информации. Теория вычислимости исследует ограничения различных теоретических моделей компьютера, включая самую мощную из известных моделей — машину Тьюринга. Теория сложности — это исследование управляемости компьютером; некоторые проблемы, хотя теоретически решаемые с помощью компьютера, настолько дороги с точки зрения времени и пространства, что их решение, вероятно, останется практически невозможным даже при быстром развитии компьютерного оборудования.Наконец, теория информации связана с объемом данных, которые могут храниться на данном носителе, и, следовательно, имеет дело с такими понятиями, как сжатие и энтропия.

Как относительно новая область, дискретная математика имеет ряд фундаментальных открытых проблем. Самый известный из них — «P = NP?» проблема, одна из задач Премии тысячелетия. [28]

Комбинаторика Теория вычислений Криптография Теория графов

Прикладная математика

Прикладная математика рассматривает использование абстрактных математических инструментов для решения конкретных задач в науке, бизнесе и других областях.

Прикладная математика во многом пересекается с дисциплиной статистики, теория которой формулируется математически, особенно с теорией вероятностей. Статистики (работающие в рамках исследовательского проекта) «создают разумные данные» с помощью случайной выборки и рандомизированных экспериментов; план статистической выборки или эксперимента определяет анализ данных (до того, как данные будут доступны). При пересмотре данных экспериментов и выборок или при анализе данных наблюдательных исследований статистики «разбираются в данных», используя искусство моделирования и теорию вывода — с выбором и оценкой модели; предполагаемые модели и последующие прогнозы должны быть проверены на новых данных. [29]

Вычислительная математика предлагает и изучает методы решения математических задач, которые обычно слишком велики для численных возможностей человека. Численный анализ изучает методы анализа задач с использованием идей функционального анализа и техники теории приближений; Численный анализ включает в себя изучение аппроксимации и дискретизации в целом с особым вниманием к ошибкам округления. Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления.

Математическая физика

Математическая гидродинамика

Численный анализ

Оптимизация

Теория вероятностей

Статистика

Финансовая математика

Теория игр

Распространенные заблуждения

Математика — это не замкнутая интеллектуальная система, в которой все уже продумано.Нет недостатка в открытых проблемах. Каждый месяц математики публикуют тысячи статей, в которых воплощены новые открытия в этой области.

Математика — это не нумерология; его не интересуют «сверхъестественные» свойства чисел. Это не бухгалтерский учет; это не ограничивается арифметикой.

Псевдоматематика — это форма деятельности, подобная математике, которая осуществляется вне академических кругов, а иногда и самими математиками. Он часто состоит из решительных нападок на известные вопросы, состоящих из попыток доказательства, предпринимаемых изолированно (то есть из длинных статей, не поддерживаемых ранее опубликованной теорией).Отношение к общепринятой математике аналогично отношениям между псевдонаукой и реальной наукой. Ошибочные представления обычно основаны на:

  • непонимание значения математической строгости;
  • пытается обойти обычные критерии публикации математических статей в научном журнале после рецензирования, часто полагая, что журнал настроен против автора;
  • Отсутствие знакомства с существующей литературой и, следовательно, недооценка ее.

Как и астрономия, математика многим обязана авторам-любителям, таким как Ферма и Мерсенн.

Нравится:

Нравится Загрузка …

THE NOUN

Вопросы для обсуждения:

1. Существительное в составе речи

2. Типы сочетаемости существительных.

3. Грамматические категории английских существительных:

а) категория пола;

б) категория числа: Абсолютное единственное число.Абсолютное множественное число;

в) категория дела. Теории кейсов.

Существительное как часть речи имеет категориальное значение субстанции или вещности.

Категориальные функциональные свойства существительного определяются его семантическими свойствами. Наиболее характерная субстантивная функция существительного — это функция подлежащего предложения. Функция объекта также типична для существительного как субстанциального слова. Другие его синтаксические функции (атрибутивная, наречивая и предикативная) выполняются с такой же легкостью, но не являются характеристикой его субстантивного качества.При выполнении несущественных функций существительное существенно отличается от других частей речи из-за преобразований, в результате которых существительное из различных несубъектных синтаксических позиций может быть смещено в подлежащие синтаксические позиции того же общего семантического значения.

например Мэри — цветочница.

Цветочница — Мария.

Он живет в Глазго.

Глазго — его место жительства.

Это произошло три года назад.

Прошло три года с тех пор, как это произошло.

Существительное характеризуется некоторыми особенностями сочетаемости:

а) предложная сочетаемость с другим существительным, глаголом, прилагательным, наречием:

например подъезд в дом; повернуть за угол; покраснение лица; далеко от пункта назначения;

б) касальная (притяжательная) сочетаемость существительного с другим существительным:

e.грамм. Речь Президента Речь Президентов;

обложка книги обложка книги

c) возможность комбинирования существительного с другим существительным, где существительное в предлоге играет роль семантического квалификатора существительного в постпозиции:

например ядро; спортивное мероприятие; кинофестиваль.

Существительное в составе речи также характеризуется набором формальных признаков. У него есть свои словообразовательные особенности, включая типичные суффиксы, модели составных основ, шаблоны преобразования.Он различает грамматические категории рода, числа, падежа, определения артикля.

Эти формальные особенности относятся к разделению существительных на несколько строго ограниченных подклассов, которые сгруппированы в четыре оппозиционные пары:

1. Существительные собственные и нарицательные (в основе этого деления лежит тип имени).

2. Одушевленное и неодушевленное (форма существования).

3. Человек и нечеловеческий (личностные качества).

4. Счетное и несчетное (количественный состав).

Несколько менее явно и строго реализовано разделение английских существительных на конкретное и абстрактное.

ГЕНДЕРНАЯ КАТЕГОРИЯ

Категория рода выражается в английском языке обязательными соотношениями существительных с личными местоимениями 3 rd человека. Это специфические гендерные классификаторы существительных.

Категория пола строго оппозиционная.Он образован двумя оппозициями, связанными друг с другом на иерархической основе:

— во всем множестве существительных действует одно противопоставление, разделяющее их на личностные (человеческие) существительные и не-личные (нечеловеческие) существительные;

— другая оппозиция действует только в подмножестве существительных-лиц, разделяя их на мужской и женский род.

Таким образом, первая общая оппозиция может быть обозначена как верхняя оппозиция в категории f гендер, а вторая — частичная оппозиция — может быть названа нижней оппозицией в этой категории.

В результате двойного оппозиционного соотношения возникает особая система трех полов:

— средний (т.е. не личный) пол,

— мужской род,

— женский род.

Сильный член верхней оппозиции — человеческий подкласс существительных, его метка — личность или личность. Слабый член оппозиции состоит как из неодушевленных, так и одушевленных существительных, не являющихся личностью.Сюда относятся такие существительные как: дерево, гора, любовь; кошка, ласточка, муравей; общество, толпа, ассоциация; бык и корова, петух и курица.

В случаях оппозиционной редукции, существительные, не являющиеся личностями, и их заменитель (оно) используются в позиции нейтрализации:

например Вдруг что-то двигалось в темноте впереди нас. Может ли это быть человеком в этом пустынном месте в это время ночи?

Сильный представитель низшей оппозиции — это женский подкласс существительных-лиц, его признак — женский пол.Сюда относятся такие существительные, как: женщина, девочка, мать, невеста и т.д.

Слабый представитель оппозиции — мужской род существительных-лиц. Сюда относятся такие существительные как: мужчина, мальчик, отец, жених и т. Д.

Очень много существительных в английском языке способны выражать как женский, так и мужской род человека посредством рассматриваемого местоименного соотношения. Они называются существительными общего рода. Сюда относятся такие слова как: человек, родитель, двоюродный брат, врач, президент и т. Д.

Способность выражать оба пола превращает гендерные различия в существительных общего рода в переменную категорию. Но когда нет необходимости указывать пол человека, относящегося к этим существительным, они используются нейтрально как мужской род.

Помимо грамматических гендерных различий, английские существительные могут лексически отображать пол своих референтов либо посредством объединения с определенными условными словами, используемыми в качестве показателей пола, либо путем суффиксального образования:

e.грамм. дружок, подружка;

мужчина-производитель, женщина-производитель;

домовладелец, домовладелица;

медведица, медведица;

актер-актриса пр.

Референты таких существительных, как lenny-ass или pea-hen и т.п., представлены как it , как и соответствующие существительные мужского рода jack-ass, pea-cock и т.п.Этот вид представления отличается от соответствующего представления таких существительных пар, как женщина-мужчина, сестра-брат и т. Д.

С другой стороны, когда местоименное отношение одушевленных существительных, не являющихся личностью, превращается в he / she , мы можем говорить о грамматической персонифицирующей транспозиции, что очень типично для английского языка. Этот вид перестановки влияет не только на одушевленные существительные, но и на широкий спектр неодушевленных существительных. Названия стран, транспортных средств, более слабых животных и т. Д.именуются она. Имена более сильных животных, названия явлений, предполагающих грубую силу и свирепость, упоминаются как he .

НОМЕР

Категория числа выражается противопоставлением формы множественного числа существительного форме единственного числа. Сильным членом этой бинарной оппозиции является множественное число, его продуктивным формальным знаком является суффикс (e) s / -z, -s, -iz /, как в формах dog-dog, clock clock, box коробки. Продуктивный формальный знак коррелирует с отсутствием числового суффикса в единственной форме существительного. Таким образом, можно говорить о нулевом суффиксе единственного числа в английском языке.

Другие, непродуктивные способы выражения числовых противоположностей:

— чередование гласных в нескольких архаичных формах: мужчина — женщина, зуб зубы;

— архаический суффикс (e) n , поддерживаемый фонематическим обменом в паре других архаичных форм: волов, детей детей, братьев братьев ;

— соотношение отдельных суффиксов единственного и множественного числа в ограниченном количестве заимствованных существительных: формула-формулы, явления-явления.

В некоторых случаях форма множественного числа существительного омонимична форме единственного числа: овца, олень, рыба .

Наиболее общие количественные характеристики отдельных слов составляют лексико-грамматическую основу для разделения существительного словаря в целом на исчисляемые существительные и неисчислимые существительные.

Бесчисленные существительные грамматически трактуются как единственное или множественное число. А именно, несчетные существительные в единственном числе модифицируются кванторами много / мало , и они принимают конечный глагол в единственном числе, в то время как несчетные существительные во множественном числе принимают конечный глагол во множественном числе.

Два подкласса неисчислимых существительных обычно обозначают как:

— singularia tantum (только единственное число),

— тантум множественного числа (только множественное число).

Поскольку грамматическая форма бесчисленных существительных единственного числа не исключена из категории числа, о нем можно говорить как об абсолютном единственном числе , в отличие от общего единственного числа исчисляемых существительных. Абсолютное единственное число исключает использование модифицирующей цифры , одной , а также неопределенного артикула .

Абсолютное единственное число характерно для имен:

— абстрактные понятия: мир, любовь, радость, отвага, дружба;

— отрасли профессиональной деятельности: химия, архитектура, математика, лингвистика;

— материалы: вода, снег, сталь, волосы ;

— коллективные неодушевленные предметы: листва, фрукты, мебель .

Некоторые из этих слов могут использоваться в форме общего единственного числа, но в этом случае они означают либо разные виды материалов, либо отдельные конкретные проявления качеств, обозначенных абстрактными существительными, или конкретные объекты, проявляющие соответствующие качества:

например Joy абсолютно необходима для нормальной жизни человека.

Было радостью увидеть ее среди нас.

Обычное число с бесчисленными существительными в единственном числе также может быть выражено путем объединения их со словами, показывающими дискретность, например, бит, кусок, предмет, вид .

например Последние две новости оказались весьма сенсационными.

Теперь я хочу добавить еще один бит информации .

В сфере множественного числа мы должны распознать общее множественное число как регулярную черту счетности и абсолютную форму, свойственную несчетному подклассу существительных множественного числа tantum. Абсолютное множественное число не может напрямую сочетаться с числительными, и лишь изредка оно сочетается с дискретными кванторами, например.г . много / мало и т. д. .

Абсолютное множественное число характерно для бесчисленных существительных, которые обозначают:

— предметы, состоящие из двух половинок: брюки, ножницы, щипцы, очки ;

— существительные, выражающие некое собирательное значение, т.е. передающие идею неопределенного множества, как конкретного, так и абстрактного: припасы, окраины, одежда, содержимое, политика, полиция, скот, птица;

— существительные, обозначающие некоторые болезни: корь, свинка, истерика .

Абсолютное множественное число может быть представлено в счетных существительных, имеющих форму единственного числа, а также в счетных существительных, имеющих форму множественного числа. Представление абсолютного множественного числа в различных комбинациях возможно за счет функциональной оппозиционной редукции, которая может быть трех видов:

1. Первый тип редукции , состоящий в использовании абсолютного множественного числа с исчисляемыми существительными в единственном числе, касается собирательных существительных, которые рассматриваются как существительные множества.

например Семья собралась за столом.

Правительство единодушно не одобряет действия оппозиции. Эта форма абсолютного множественного числа называется множественным множественным числом.

2. Второй тип состоит в употреблении абсолютного множественного числа с бесчисленными существительными во множественном числе и касается случаев стилистического обозначения существительных. Таким образом получается выразительная транспозиция.

например пески пустыни; снега Арктики; воды океана и пр.

Эта форма называется описательного несчетного множественного числа.

3. Третий тип редукции касается общеупотребительных счетных существительных, используемых в группах повторения. Существительные в повторяющихся группах могут употребляться во множественном или единственном числе.

например Вокруг нас было деревьев и деревьев .

Я закурил сигарету за сигаретой .

Эта форма называется повторение множественного числа.

КОРПУС

Падеж — имманентная морфологическая категория существительного, проявляющаяся в форме склонения существительного и показывающая отношения существительного референта к другим предметам и явлениям.

Эта категория в английском языке выражается противопоставлением формы s / -z, -s, -iz /, обычно называемой притяжательный падеж или, более традиционно, родительный падеж , форме существительного без признаков. , обычно называемый общим случаем.

В ходе лингвистических исследований категория падежа в английском языке стала одной из острых проблем теоретической дискуссии.

Четыре особых взгляда, выдвинутых в разное время разными учеными, рассматриваются как последовательные этапы в анализе этой проблемы.

Первая точка зрения называется теорией позиционных случаев . Эта теория напрямую связана со старой грамматической традицией. Согласно этой теории неизменные формы существительного различаются как разные падежи на основании функциональных позиций, занимаемых существительным в предложении.Таким образом, английское существительное будет различать, помимо флексионного родительного падежа, также нефлексиональные, то есть чисто позиционные падежи: именительный, звательный, дательный, винительный.

например В именительном падеже (с учетом глагола): Дождь .

Звательный падеж (адрес): Ты идешь, дружище?

Дательный падеж (косвенное дополнение к глаголу): Я дал Джону долларов.

Винительный падеж (прямой объект, а также объект на предлог):

Кот убил крысу . Земля покрыта снегом .

Кардинальная ошибка этой точки зрения состоит в том, что она заменяет функциональные характеристики части предложения морфологическими признаками класса слов, поскольку падежная форма является изменчивой морфологической формой существительного.В действительности падежные формы как таковые служат средством выражения функций существительного в предложении, но не наоборот.

Вторая точка зрения называется теорией предложных падежей. Он также связан с преподаванием грамматики старой школы и был выдвинут как логическое дополнение к позиционному взгляду на этот случай.

Согласно этой теории сочетания существительных с предлогами в определенном предмете и атрибутивных словосочетаний следует понимать как морфологические падежные формы.К ним относятся прежде всего дательный падеж (to + noun, for + noun) и родительный падеж (of + noun). Эти предлоги, согласно Г. Курме, являются флексионными предлогами, т. Е. Грамматическими элементами, эквивалентными падежным формам.

Предполагаемые предложные падежи обычно используются учеными, которые признают, что они сосуществуют с позиционными падежами вместе с классическим флексионным родительным падежом, завершающим падежную систему английского существительного.

Теория предлогов непоследовательна из-за хорошо известного факта, что в языках существительного склонения все их предлоги требуют определенных падежей существительных (управление предлогным падежом).Этот факт показывает, что любой предлог по своей функциональной природе находится в тех же грамматических отношениях с существительными. Из этого следует, что не только of-, to-, for- фраз , но и все другие предложные фразы в английском языке следует рассматривать как аналитические случаи. Таким образом, общее количество дел исчислится десятками.

Третий вид падежа английского существительного признает ограниченную флексионную систему из двух падежей в английском языке, один из которых представлен, а другой — нет.Эта точка зрения называется теорией ограниченного случая .

Эта теория в настоящее время наиболее широко принята лингвистами. Его сформулировали такие ученые, как Х. Свит, О. Джесперсен, и радикально развили А. И. Смирницкий, Л. С. Бархударов и другие.

Теория ограниченного падежа в ее современном изложении основана на явном оппозиционном подходе к распознаванию грамматических категорий. В системе английского падежа различаются две формы: притяжательная или родительная форма, как сильный член категорической оппозиции и общая или не родительная форма как слабая форма оппозиции.

Четвертый взгляд на указанную проблему приближает английское существительное как полностью потерявшее категорию падежа в ходе своего исторического развития. Все существительные считаются вымершими, и единица, названная родительным падежом в силу традиции, в действительности является не чем иным, как комбинацией существительного с послелогом.

Этот взгляд, выдвинутый Г.Н. Воронцовой, получил название теории притяжательного послелога .

Теория послелогий имеет как сильные, так и слабые стороны.Его сильная сторона состоит в том, что он основан на тщательном изучении языковых данных. Но он не принимает во внимание последовательное понимание природы формы существительного в s , достигнутое с помощью теории ограниченного падежа.

Это мнение считается крайне спорным. Решение проблемы следует искать на основе положительных утверждений двух теорий: теории ограниченного случая и теории притяжательных послесловий.

В английском языке следует распознавать двухпадежное склонение существительных, при этом общий падеж является единственным наклонным падежом. Но в отличие от падежной системы в обычных языках существительного с склонением, основанной на флексионной смене слов, падежная система в английском языке основана на выражении частицы. Частичная природа s очевидна из того факта, что оно добавляется в пост-позиции как к отдельным существительным, так и к существительным группам слов различного статуса.

Таким образом, в выражении родительного падежа в английском языке следует распознать два подтипа:

первое — родительный падеж слова: — докладывают студенты;

второй — родительный падеж: первокурсники сообщают

Оба они не флексионны, а форма частиц.

Предпринятое исследование падежа существительного делает необходимым переформулировать принятую интерпретацию форм-типов личных местоимений английского языка.

Личные местоимения обычно рассматриваются как имеющие собственную падежную систему. Здесь традиционно признаются два падежа: именительный падеж ( I, you, he и т. Д., .) И объективный падеж ( me, you, him и т. Д. .). К этим формам добавляются два ряда форм притяжательных местоимений: , объединенный ряд (my, you, his и т. Д.)) и абсолютная серия (моя, ваша, его и т.д.).

В лингвистике предпринимались попытки перенести общепринятый взгляд на местоименные падежи на неизменяемые формы существительного. Этот факт позволил поддержать позиционную теорию случая. Однако в свете настоящего исследования становится ясно, что этим попыткам недостает адекватной лингвистической основы.

Фактически, категории заменителя должны отражать категории антецедента, а не наоборот.

Вывод состоит в том, что в настоящее время в личных местоимениях английского языка нет падежа. На его месте появились четыре отдельных словоформы местоимений:

— именительная форма;

— объективная форма;

— притяжательная форма в двух вариантах: слитном и абсолютном.

Таким образом, можно сказать, что прежняя система английского флексионного склонения полностью распалась, как в сфере существительных, так и замещающих их местоимений.На его месте возникла новая, ограниченная падежная система, основанная на противопоставлении частицы и вспомогательной по отношению к предложному выражению синтаксических отношений существительного.

1. Что входит в речевые свойства существительного?

2. Почему лексические гендерные маркеры не отменяют грамматический характер английского рода?

3. Почему интерпретация категориального значения существительной формы множественного числа как «более одного» считается необоснованной?

4.Что делает категорию случае на английском Спорные?

5. Каковы сильные и слабые стороны теории предложных, позиционных и послелогических падежей?

6. Что обеспечивает особый статус -s?


Дата: 28.02.2015; view: 6482


4 СТРОПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ | Добавляем: помощь детям в изучении математики

Свободное владение процедурой

Беглость процедур означает знание процедур, знание того, когда и как их использовать надлежащим образом, а также умение выполнять их гибко, точно и эффективно.В области чисел особенно необходима процедурная беглость для поддержки концептуального понимания разрядов и значений рациональных чисел. Он также поддерживает анализ сходств и различий между методами расчета. Эти методы включают в себя, помимо письменных процедур, мысленные методы для нахождения определенных сумм, различий, продуктов или частных, а также методы, в которых используются калькуляторы, компьютеры или манипулятивные материалы, такие как блоки, счетчики или бусинки.

Беглость процедур означает знание процедур, знание того, когда и как их использовать надлежащим образом, а также умение выполнять их гибко, точно и эффективно.

Учащимся необходимо уметь эффективно и точно выполнять базовые вычисления с целыми числами (6 + 7, 17–9, 8 × 4 и т. Д.), Не обращаясь всегда к таблицам или другим вспомогательным средствам. Им также необходимо знать достаточно эффективные и точные способы сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел как мысленно, так и с помощью карандаша и бумаги. Хорошее концептуальное понимание разряда в системе с основанием 10 способствует развитию беглости в многозначных вычислениях. 11 Такое понимание также поддерживает упрощенную, но точную ментальную арифметику и более гибкие способы работы с числами, чем в конечном итоге достигают многие студенты.

С процедурной беглостью связано знание способов оценки результата процедуры. Не так важно, как, например, когда-то было, чтобы учащиеся развивали скорость или эффективность при вычислении больших чисел вручную, и, похоже, мало пользы от тренировок студентов для достижения такой цели. Но многие задачи, связанные с математикой в ​​повседневной жизни, требуют владения алгоритмами для выполнения вычислений мысленно или письменно.

Помимо предоставления инструментов для вычислений, некоторые алгоритмы важны как самостоятельные концепции, что еще раз демонстрирует связь между концептуальным пониманием и беглостью процедур.Студенты должны увидеть, что можно разработать процедуры, которые решат целые классы проблем, а не только отдельные проблемы. Изучая алгоритмы как «общие процедуры», учащиеся могут получить представление о том, что математика хорошо структурирована (высокоорганизована, наполнена шаблонами, предсказуема) и что тщательно разработанная процедура может быть мощным инструментом для выполнения рутинных задач.

Важно, чтобы вычислительные процедуры были эффективными, чтобы они использовались точно и давали правильные ответы.Как точность, так и эффективность можно улучшить с практикой, что также может помочь студентам поддерживать беглость речи. Студенты также должны уметь гибко применять процедуры. Не все вычислительные ситуации одинаковы. Например, применение стандартного алгоритма «карандаш и бумага» для нахождения результата каждой задачи умножения не обязательно.

«Математический словарь» — язык математики

Изучите математический словарь на английском языке с помощью изображений и видео.

Язык математики — это система, используемая математиками для обмена математическими идеями между собой. Этот язык состоит из субстрата некоторого естественного языка (например, английского), использующего технические термины и грамматические соглашения, характерные для математического дискурса, дополненные узкоспециализированной символической нотацией для математических формул.

Математический словарь | Видео

Математический словарь | Картинки

Как правильно произносить и записывать числа на английском языке

Словарь «Углы»

  • Угол, равный 1/4 оборота (90 ° или π / 2 радиана), называется прямым углом .Две прямые, образующие прямой угол, называются нормальными, ортогональными или перпендикулярными.
  • Пара углов, противоположных друг другу, образованная двумя пересекающимися прямыми линиями, которые образуют X-образную форму, называются вертикальными углами или противоположными углами или вертикально противоположными углами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены. Карта сайта