Логические задачи на взвешивание: Взвешивания. Логические задачи, головоломки, тесты на интеллект, логические игры

Логическая задача на взвешивание

Дано 20 баночек с таблетками. В 19 баночках лежат таблетки весом 1 г, а в одной — весом 1.1 г. Даны весы, показывающие точный вес. Как за одно взвешивание найти банку с тяжелыми таблетками?

Решение

Иногда «хитрые» ограничения могут стать подсказкой. В нашем случае подсказка спрятана в информации о том, что весы можно использовать только один раз.

У нас только одно взвешивание, а это значит, что придется одновременно взвешивать много таблеток. Фактически, мы должны одновременно взвесить 19 банок. Если мы пропустим две (или больше) банки, то не сможем их проверить. Не забывайте: только одно взвешивание!

Как же взвесить несколько банок и понять, в какой из них находятся «дефектные» таблетки? Давайте представим, что у нас есть только две банки, в одной из них лежат более тяжелые таблетки. Если взять по одной таблетке из каждой банки и взвесить их одновременно,то общий вес будет 2.1 г, но при этом мы не узнаем, какая из банок дала дополнительные 0. 1 г. Значит, надо взвешивать как-то иначе.

Если мы возьмем одну таблетку из банки №1 и две таблетки из банки №2, то, что покажут весы? Результат зависит от веса таблеток. Если банка №1 содержит более тяжелые таблетки, то вес будет 3.1 г. Если с тяжелыми таблетками банка №2 — то 3.2 грамма. Подход к решению задачи найден.

Можно обобщить наш подход: возьмем одну таблетку из банки №1, две таблетки из банки №2, три таблетки из банки №3 и т.д. Взвесьте этот набор таблеток. Если все таблетки весят 1 г, то результат составит 210 г. «Излишек» внесет банка с тяжелыми таблетками.

Таким образом, номер банки можно узнать по простой формуле: (вес — 210) / 0.1. Если суммарный вес таблеток составляет 211.3 г, то тяжелые таблетки находились в банке №13.

_{Разбор взят из перевода книги Г. Лакман Макдауэлл и предназначен исключительно для ознакомления.
Если он вам понравился, то рекомендуем купить книгу «Карьера программиста. Как устроиться на работу в Google, Microsoft или другую ведущую IT-компанию».}

Презентация «Задачи на взвешивание»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Задачи на взвешивание
Выполнил: учитель математики МБОУ Пуреховской СОШ Сущикова Татьяна Алексеевна.

Слайд 2

Дай человеку рыбу,- он будет сыт один день. Научи человека ловить рыбу,- он будет сыт всю жизнь. Китайская мудрость.

Слайд 3

Введение
Математика — одна из древних и важных наук. Многими математическими знаниями люди пользовались еще в глубокой древности- тысячи лет назад. Они необходимы купцам и строителям, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам. И в наши дни ни одному человеку не обойтись в жизни без хорошего знания математики. В данной работе рассматриваются способы решения таких задач, разобраны задачи старинные, дошедшие до нас из разных стран и времен, задачи на «фальшивые монеты», задачи на уравнивания с помощью весов.

Слайд 4

1. Задачи на сравнения с помощью весов.
ЗАДАЧА 1. На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чашке — 3 таких же яблоке и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша? РЕШЕНИЕ: Так как весы находятся в равновесии, а все яблоки и все груши одинаковы по весу, то: 6 яблок + 3 груши = 3 яблока + 5 груш; Снимем с обеих чашек по 3 яблока и по 3 груши, получим: 3 яблока = 2 груши, значит, 1 груша тяжелее 1 яблока. ОТВЕТ: Груша тяжелее.

Слайд 5

1. Задачи на сравнение с помощью весов.
ЗАДАЧА 2. На одной чашке весов лежит кусок мыла, а на другой три четверти такого куска и еще три четверти килограмма. Весы находятся в равновесии. Сколько весит кусок мыла? РЕШЕНИЕ: Разделим кусок мыла на 4 равные части, тогда 4 равные части куска мыла = 3 такие же части мыла + 3/4 кг; Снимем с каждой чашки по 3 части, получим: 1 часть = 3/4 кг, значит, целый кусок весит 3 кг. ОТВЕТ: 3 кг.

Слайд 6

2. Задачи на взвешивания на весах с гирями.
ЗАДАЧА 3. У барона Мюнхаузена есть 8 внешне одинаковых гирек весом 1г, 2 г, 3 г, …, 8 г. Он помнит, какая из гирек, сколько весит, но граф Склероз ему не верит. Сможет ли Барон провести одно взвешивание на чашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь? РЕШЕНИЕ: Так как, 7г + 8 г = 1 г + 2 г + 3 г + 4 г + 5г, то остается 6г, значит, за одно взвешивание барон сможет установить вес одной гирьки в 6 г. ОТВЕ : Да, сможет.

Слайд 7

2. Задачи на взвешивания на весах с гирями.
ЗАДАЧА 4. Золотоискатель Джек добыл 9 кг песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью двухчашечных весов с двумя гирями – 200 г и 50 г? РЕШЕНИЕ: Первым взвешиванием делим песок на две кучки по 4500 г, вторым – одну из этих кучек на две кучки по 2250 г, и, наконец, от одной из этих кучек с помощью гирь отсыпаем 250 г. Ответ: сможет.

Слайд 8

3. Задачи на взвешивания на весах без гирь.
ЗАДАЧА 5. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче остальных. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах без гирь? РЕШЕНИЕ: Кладем два кольца на весы. Если весы в равновесии, то оставшееся кольцо более легкое; если же одно кольцо не перевесит, то оно легче других.

Слайд 9

3. Задачи на взвешивания на весах без гирь.
ЗАДАЧА 6. Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче она остальных или тяжелее? Находить фальшивую монету не требуется. РЕШЕНИЕ: Взвешиваем по 50 монет. Возможны Следующие случаи : 1).Равенство: Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там. Тогда, если левая кучка тяжелее, то фальшивая монета тяжелее; а если левая кучка легче, то фальшивая монета легче. 2).Неравенство: Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет. Тогда, если весы в равновесии, то фальшивая монета легче, если же вес кучек неодинаковый, то фальшивая монета тяжелее.

Слайд 10

Заключение.
Данная работа посвящена решению одного из классов нестандартных задач – это задачам на взвешивания. Умение решать такие задачи помогает развивать логическое мышление, сообразительность, наблюдательность, смекалку, что поможет при изучении трудных тем по математике в старших классах.

Слайд 11

Спасибо за внимание!

Решение задач на определение фальшивой монеты взвешиванием 2.0 / Хабр

Сегодня я снова хочу вернуться к теме о задаче нахождении фальшивой монеты методом взвешивания на весах без циферблата.

Наиболее распространенные из таких задач — определение количества взвешиваний для выявления фальшивой монеты, если:

1) неизвестно какая она по весу;

2) известно, что она легче/тяжелее остальных.

Или обратная задача: можно ли за определенное количество взвешиваний выявить фальшивую из заданного количества монет.

1. Давайте сначала разберемся с 2 вариантом, который является частным случаем варианта 1.

Некоторое время назад, я на Хабре уже описывал решение такой задачи, но в одном из комментариев было замечание о немного странном первом разделении монет, по-этому предлагаю другой алгоритм решения. Хотя результат будет тот же и формула решения задачи остается та же:

N >= log

₃A,

где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число, округленное в большую сторону;
A — количество монет.
Которая выведена на основании опытов (за 1 взвешивание можно найти одну фальшивую из 3-х монет, за 2 — из 9, за 3 — из 27 и т.д.)

Сам алгоритм решения простой, и я покажу его на примерах

1) Пусть у нас есть 26 монет. Нужно найти одну, которая легче/тяжелее

Первым действием буде разделение монет на три группы, в двух из которых число монет будет одинаковым, важно только что бы в третьей группе — остатке — было меньше монет, чем в каждой из двух других групп. То есть частое округляется к большему натуральному числу. То есть

A = 2 * B + C,

где A — количество монет;
B — частное от деления количества монет на 3, натуральное число, округленное в большую сторону;
C — остаток.

По условию задачи

26/3 = 8.666(6),

26 = 2 * 9 + 8,

При первом взвешивании будут сравниваться две группы: правая (ПГ) — 9 монет и левая (ЛГ) — 9 монет.

Далее у нас возможны два варианта:

1) фальшивая монета в левой/правой группе (9 монет)

2) фальшивая монета в остатке (8 монет)

для 1 варианта следующее деление на группы будет — 9 = 2 * 3 + 3;

для 2 варианта — 8 = 2 * 3 + 2

Ну и за одно взвешивание можно определить какая из 2 или 3 монет легче/тяжелее

Этот же результат я приведу в таблице

по формуле — log₃26 =2. 9656 — соответственно количество взвешиваний — 3.

еще пример:

число монет- 71. По формуле log₃71 =3.8800 — количество взвешиваний — 4. Проверяем

Ну с алгоритм решения этих задач, я думаю, понятен.

2.

Теперь перейдем к задачам, в которых не известно легче монета или тяжелее.

В данном случае я предлагаю такое первое действие: разделить монеты на четыре группы, три — с максимально одинаковым количеством монет, а в четвертой группе — остаток. Причем в остатке должны быть 1 или 2 монеты. То есть при делении на 3 частное округляется до меньшего натурального числа.

A = 3 * B + C,

где A — количество монет;
B — частное от деления количества монет на 3, натуральное число, округленное в меньшую сторону;
C — остаток.

Например, для 58-ми монет — это будет 58 = 3 * 19 + 1, для 23 = 3 * 7 + 2, для 15 = 3 * 5 + 0 и т. д.

Далее выполняем два взвешивания:

1) первая и вторая группы;

2) первая и третья группы;

и анализируем результат.

Здесь возможны четыре варианта:1, 2, 3 — это первая, вторая или третья группа отличаются по весу от двух остальных, или они равны, тогда нам повезло, так как фальшивая — в остатке. Так же два взвешивания помогают определить определить тяжелее фальшивая монета или легче. Кстати, если в остатке две монеты, то нужно выполнить еще 2 взвешивания для определения фальшивой монеты.

Теперь у нас есть задача: определить одну фальшивую монету из группы, которая легче/тяжелее.

Что касается формулы, то она примет следующий вид

N >= log

₃B + 2,

где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число;
B — количество монет в группе после второго взвешивания.
А если учесть, что B = A/3, где A — количество всех монет, тогда получим:

log3B = log

₃A — 1,

N >= log

₃A + 1

Итог:

1) если известно, что фальшивая монета легче/тяжелее, тогда максимальное число взвешиваний определяется по формуле:

N >= log

₃A

2) если не известно, какая фальшивая, тогда максимальное число взвешиваний определяется по формуле:

N >= log

₃A + 1

где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число, округленное в большую сторону;

А — количество монет.

Задачи на взвешивания — презентация онлайн

1. Тема: «Задачи на взвешивания»

ТЕМА:
«ЗАДАЧИ НА
ВЗВЕШИВАНИЯ»
Цель занятия: изучить общие приёмы решения задач на взвешивания.

2. Задача 1

◦ Есть три монеты. Среди них одна фальшивая, которая весит меньше настоящей.
Как с помощью одного взвешивания определить фальшивую монету?
Решение. Положим на каждую чашу по монете. Если весы находятся в равновесии,
то фальшивая монета — это третья, если же какая-то чаша оказалась легче, то на
ней и лежит фальшивая монета.

3. Задача 2

◦ Есть девять монет. Среди них одна фальшивая, которая весит меньше настоящей.
Как с помощью двух взвешиваний определить фальшивую монету?
◦ Решение. Положим на каждую чашу по три монеты. За первое взвешивание
можно узнать в какой группе из трех монет находится фальшивая. А из трех монет
за одно взвешивание находить фальшивую мы научились в предыдущей задаче.

4. Задача 3

◦ Среди 101 монеты есть одна фальшивая, которая по весу отличается от
настоящей. Но на этот раз неизвестно, в какую сторону. За два взвешивания
определите, легче или тяжелее настоящей фальшивая монета. (Саму монету
определять не нужно.)
◦ Решение. Положим на каждую чашу по 50 монет. Если чаши будут весить
одинаково, то оставшаяся монета фальшивая, а монеты, которые лежат на
чашах, настоящие. Чтобы узнать, тяжелее или легче весит фальшивая настоящей,
достаточно сравнить ее с любой настоящей монетой.Если же одна из чаш весит
больше другой, то возьмем ее и разобьем на две кучки по 25 монет. Если они
весят одинаково, то фальшивая монета была на другой чаше, значит, фальшивая
легче. Если же одна из чаш перевесит, то фальшивая монета была в этих 50, т.е.
фальшивая тяжелее.

5. Задача 4

◦ Имеются четыре гири. Одна из них большая и тяжелая, вторая поменьше и полегче,
третья — еще меньше и еще легче, а четвертая — самая маленькая и самая
легкая. Гири по очереди ставятся на чашки весов (каждый раз берется любая из
гирь и ставится на любую чашку весов). Можно ли, не зная точного веса гирь,
положить по одной их все на весы в таком порядке, чтобы сначала три раза
перевешивала левая чашка, а последний раз — правая?
◦ Решение. Пусть самая тяжелая гиря — A, вторая — B, третья — C и четвертая — D.
Сначала положим на левую чашу гирю B. Левая чаша перевесит. Затем добавим
к ней гирю D. Левая чаша опять перевесит. Теперь положим на правую чашу
гирю C. Т.к. B весит больше C, то левая снова перевесит. Теперь поставим
гирю A на правую чашу. Т.к. A > B и C> D, правая чаша перевесит.

6. Задача 5

◦ Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна — фальшивая, которая весит больше
настоящей, и одна — фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три
взвешивания определите обе фальшивые монеты.
◦ Решение. Первым взвешиванием сравним веса первых двух монет. Вторым — веса
третей и четвертой.Покажем, что если в обоих взвешиваниях одна из чаш
перевешивала, то за оставшееся взвешивание можно установить фальшивые монеты.
Действительно, тяжелая монета не может лежать на легкой чашке, а легкая на тяжелой.
Также тяжелая и легкая монеты не могли участвовать в одном взвешивании. Значит, в
одном взвешивании участвовали тяжелая и настоящая, а в другом — настоящая и
легкая. Т.е. оставшаяся монета настоящая. Остается сравнить ее с монетой с тяжелой
чаши, например, в первом взвешивании.
◦ Очевидно, в обоих взвешиваниях чаши не могли находиться в равновесии.
◦ Если же в одном из взвешиваний чаши находились в равновесии, то на ней лежали две
настоящие монеты. Теперь взвесим настоящую и оставшуюся. Мы можем узнать тип
этой монеты. А далее узнаем тип монет на чашах, находившихся в одном из первых
двух взвешиваний не в равновесии.

7. Задача 6

◦ В 9 мешках лежат настоящие монеты (по 10 г), а в одном — фальшивые (11 г).
Одним взвешиванием на двухчашечных весах со стрелкой определите, в каком
мешке фальшивые монеты. (Стрелка показывает, на сколько масса монет на
«тяжёлой» чашке больше, чем на «легкой». )
◦ Решение. Пронумеруем мешки числами от 1 до 10. Из i-го мешка возьмем i монет
и положим на левую чашку. Ясно, что если бы все монеты были настоящими, то
левая чаша была бы на 550 г тяжелее правой. А так она будет тяжелее правой на
550 + i г, где i — номер мешка, из которого взяты фальшивые монеты.

8. Задача 7

Имеются 64 монеты, все разные по весу. За не более, чем 94 взвешивания, определите
самую легкую и самую тяжелую монеты.
◦ Решение. Разобьем все монеты на 32 пары монет. Далее найдем в каждой паре
легкую и тяжелую монету (это делается за одно взвешивание). Очевидно, что самая
легкая монета будет среди легких, а самая тяжелая среди тяжелых. Действительно,
самая легкая монета легче любой другой, а, значит, в своей паре она будет легкой.
Аналогично с тяжелыми.У нас осталось 94 − 32=62 взвешивания.
◦ Теперь возьмем все «легкие» монеты. Покажем, как за 31 взвешивание определить
среди них самую легкую монету. Сначала положим на каждую чашу по монете. А
далее будем повторять следующую операцию: после взвешивания будем убирать
тяжелую монету, и класть вместо нее любую монету, которая еще не участвовала во
взвешиваниях. Ясно, что всего будет проведено 31 взвешивание. А монета, которая
останется на весах и будет самой легкой.
◦ Аналогично за 31 взвешивание определим самую тяжелую монету.

Занятия школьного математического кружка

Тематическое планирование к программе
подготовки учащихся 5-6-х классов для участия в
математических олимпиадах (36 часов)

Раздел 1. Логика и смекалка (12 часов)

Задачи на сравнение, взвешивания, переливания,
перекладывания, дележи, комбинаторные задачи,
сюжетно-логические задачи, принцип Дирихле,
геометрические задачи (упражнения со спичками,
задачи на “разрезание” вычерчивание одним
росчерком.

Раздел 2. Цифры и числа (8 часов)

Десятичная запись числа, числовые игры (ребусы,
логические квадраты)

Раздел 3. Делимость и остатки (8 часов)

Признаки делимости, остатки, НОД, НОК.

Раздел 4. Вычисления (8 часов)

Задачи “на движение”, задачи “на части”,
решение “от конца к началу”, задачи на проценты,
пересечение и объединение.

Занятие № 3-4

Тема: Взвешивания, переливания.

Цели:

• Обучение общим приёмам решения разнообразных
  задач на взвешивания и переливания.
• Отработка умения логически рассуждать,
  правильно строить свои умозаключения.
• Привитие вкуса к логическим рассуждениям.
• Научить творчески относится к решению каждой
  интересной задаче.

Методические рекомендации: Учитель
должен учесть, что чем больше учащихся
заинтересуются математикой, достигнут
конкретных успехов, тем легче будет продолжать
занятия кружка. Поэтому, переходя к рассмотрению
второй темы, учитель уже может сделать вывод,
насколько владеют его учащиеся основными
методами решения нестандартных задач. На данном
занятии идёт отработка умений правильно строить
свои умозаключения, логически рассуждать,
объяснять каждый шаг в процессе решения. Мало кто
из учащихся может предложить решение задачи
устно. Большая часть из них уделяет серьёзное
внимание оформлению решения. Поэтому, чтобы не
возникла неуверенность, а решения задач
приводили к желаемому результату, на первых
занятиях следует учить оформлять решение задач.

Взвешивания.

1) В мешке 24 кг. гвоздей. Как, имея только
чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг. гвоздей?

2) Из девяти монет одна фальшивая, она легче
остальных. Как за два взвешивания на чашечных
весах без гирь определить, какая именно монета
фальшивая?

3) Есть 9кг. крупы и чашечные весы с гирями 50 г. и
200 г. Как в три приёма отвесить 2 кг. крупы?

4) На складе имеются гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16
кг. Можно ли отправить со склада 9 кг. гвоздей, не
распечатывая ящики?

5) В пакете 3 кг. 600 г. крупы. Как разделить крупы
на три части: две по 800 г. и 2 кг., сделав три
взвешивания на чашечных весах, имея одну гирю в 200
г.

6) Имеются двух чашечные весы и массой 1, 3, 9, 27 и 81
г. На одну чашку весов кладут груз, гири
разрешается класть на обе чашки. Докажите, что
весы можно уравновесить, если масса груза равна

а) 13 г.;

б) 19 г.;

в) 23 г.;

г) 31 г.

7) Из 75 одинаковых по виду колец, одно отличается
от других по весу. Как за два взвешивания на
чашечных весах определить, легче или тяжелее это
кольцо, чем остальные?

8) Имеется одиннадцать мешков монет. В десяти
мешках монеты настоящие (весят по 10 г.), а в одном
фальшивые (весят по 11 г. ). Одним взвешиванием
определите, в каком мешке фальшивые монеты.

9) Имеются 4 арбуза различной массы. Как,
используя чашечные весы без гирь, не более чем за
5 взвешиваний расположить их по возрастанию
массы?

10) Из четырёх внешне одинаковых деталей одна
отличается по массе от четырёх остальных, однако,
не известно, больше её масса или меньше. Как
выяснить эту деталь двумя взвешиваниями на
чашечных весах без гирь?

11) Дано 6 гирь: две зелёных, две красных, две
синих. В каждой паре одна гиря тяжёлая, одна
лёгкая, причём все тяжёлые весят одинаково. Можно
ли за два взвешивания на чашечных весах найти все
тяжёлые гири?

Решения

1) Основная доступная операция – деление
некоторого (вообще говоря, произвольного)
количества гвоздей на две равные по весу кучи.
Результаты взвешивания будем записывать в
таблицу:

Вначале имеем 24 кг.

———-	1 куча	2 куча	3 куча	4 куча
1-й шаг	12 кг.	12 кг.
2-й шаг	12 кг.	6 кг.	6 кг.
3-й шаг	12 кг.	6 кг.	3 кг.	3 кг.

2) Первое взвешивание: положим по три монеты на
каждую чашку весов. Возможны два случая.

1 случай: имеет место равновесие, тогда
на весах только настоящие монеты, а фальшивая
находится среди тех монет, которые не
взвешивались.

2 случай: если одна из кучек легче, то в
ней фальшивая монета. Теперь требуется найти
фальшивую монету среди трёх имеющихся, действуя
аналогично.

3) С помощью операции деления пополам за два
взвешивания отвесим 2 кг. 250 г. С помощью гирь 50 и 200
г. уберём “лишние” 50 г.

Переливания.

1) Три сосуда вместимостью 20 л наполнили водой,
причём в первом – 11 л, во втором – 7 л, а в третьем
– 6 л. Как разлить имеющуюся воду поровну, если в
сосуд разрешается наливать только такое
количество воды, которое в нём уже имеется?

2) Как, имея пятилитровую банку и девятилитровое
ведро, набрать из реки ровно три литра воды?

3) Как из восьмилитрового ведра, наполненного
водой, отлить 1л с помощью трёхлитровой банки и
пятилитрового бидона?

4) В шестилитровом ведре содержится 4л кваса, а в
семилитровом – 6л. Как разделить весь имеющийся
квас пополам, используя эти вёдра и пустую
трёхлитровую банку?

Решения:

1) Решения удобно записать в виде таблицы:

2) Ход решения удобно записать в виде таблицы:

После окончания курса итоговым занятием
является совместное заседание учащихся 6 и 10
классов.

Обобщающее занятие-путешествие по основным
темам кружковых занятий в 6-м классе

Цель: Обобщить и систематизировать
знания по 4 основным тема кружковых занятий:

• Решение задач с помощью графов;
• Задачи “на бассейны”;
• Принцип Дирихле;
• Задачи на взвешивание.

Оформление:

1. Кабинет оформлен под морское
путешествие.

Вывески островов:

• остров Граф;
• остров Старинных задач;
• остров Дирихле;
• архипелаг Вероятностей; королевство
  Взвешиваний

2. Плакаты:

• виды графов: таблица истинности; множество;
  схемы; чертежи к условиям задач;
• старинные задачи весы

3. Приз: медаль “Супер – математик”

4. Портреты Магницкого, Толстого, Ньютона,
Пифагора.

5. Костюмы.

Вступление

Ведущий 1: Начинаем очередное занятие
математического кружка “За страницами учебника
математики”. На нашем занятии мы
систематизируем знания по 4 темам, которые вы
наиболее часто будете применять в дальнейшей
математике.

Сегодня у нас совместное заседание двух
кружков. В гостях у нас учащиеся 10 класса. Это
занятие мы проведём в игровой форме.

Учащиеся 10 класса:

1. Мы совершим с вами увлекательное путешествие
в страну Математика. Обычно в путешествие берут
компас, но в нашем путешествии нам помогут наши
друзья: карандаш и бумага.

2. Слово “Математика” пришло к нам из
древнегреческого языка. По древнегречески
“мантанейн” означает “учиться”, “приобретать
знания”. Много тысяч лет люди накапливали
математические знания, т. е. знания о числах,
количествах и количественных отношениях. Без
таких знаний древние египтяне, например, не могли
бы построить знаменитые пирамиды.

3. Математика помогает нам познавать и
совершенствовать тот мир, в котором мы живём.
Запуск на орбиту спутников, строительство
автострад, вождение поездов, даже оклейка стен
обоями, – всё это и многое, многое другое было бы
просто невозможно без математических расчётов.
Математика может научиться мыслить яснее и
последовательнее.

4. На пути в страну Математика, нам
повстречаются острова и архипелаги, где мы будем
делать остановки.

Ведущий 1: В морское путешествие мы
отправимся на корабле “МиФ”, капитаном которого
буду я. А вы будете членами команды и моими
помощниками.

Путешествие

Ведущий 1: Плывём, но точного курса не
знаем. Вначале нам нужно попасть на остров
“Граф”, где мы найдем подсказку для дальнейшего
путешествия. Итак, держим курс на остров “Граф”.
Я слышала, что этот остров появился недавно,
жители этого острова помогают тем, кто
испытывает трудности при решении задач. Говорят,
что самые трудные задачи они представляют в виде
схем и чертежей так, что потом остаётся прочитать
только ответ. Команда готова к высадке на берег?

Остров “Граф”

Встречают два смотрителя ( учащиеся 10
класса)

1. Добро пожаловать на остров “Граф”. Мы
смотрители этого острова и мы знаем, что привело
вас к нам. Вы хотите получить подсказку для
путешествия. Наш остров необычный. Вся жизнь на
нём протекает по своим схемам, законам и
зависимостям. Мы вам предложим одну ситуацию.
Если вы решите её так, как решают жители нашего
острова, то получите подсказку для дальнейшего
путешествия.

Задача Коля , Боря, Вова и Юра заняли первые
четыре места в соревнованиях, причём никакие два
мальчика не делили между собой какие нибудь два
места. На вопрос, какие места они заняли, трое
ответили:

1. Коля – ни первое, ни четвёртое

2. Боря – второе

3. Вова – не был четвёртым

Какое место занял каждый мальчик?

(Команда решает задачу. Решение на доске в виде
таблицы истинности.)

Решение:

1 смотритель: Ну что же! Я вижу, что вы
владете одним из видов графов – таблицей
истинности. Но есть и другие способы задания
графов:

• схемы, диаграммы;
• множества; (смотритель предлагает посмотреть
  таблицы с графами)
• точки – линии.

Если взглянуть на географическую карту, то
бросается в глаза сеть железных дорог. Это
типичный граф; кружочки обозначают станции –
вершины графа, а соединяющие их пути – рёбра.

Графы используют при нахождении наилучших
вариантов развозки товаров по магазинам, часто
используют для решения логических проблем,
связанных с перебором вариантов. Можно составить
граф любой позиционной игры: шахмат, шашек,
“крестиков – ноликов” и т. д. Надеюсь моя
информация пригодится вам в дальнейшем.

Желаю вам удачи в вашем путешествии. Вашей
следующей остановкой будет остров Старинных
задач. Координаты этого острова вы найдёте в
конверте, который даст вам второй смотритель.

2 смотритель:

Но для начала немного информации.

Из первых известных письменных источников мы
узнаём о том, что математические знания на Руси
были распространенны уже в Х – ХI веках. Они были
связанны, естественно, с практическими нуждами
людей, с летоисчислением, с вычислением
поголовья и стоимости стада, с определением
прибыли от сбора урожая и т.д.

В XVI–XVII веках в России начинает появляться и
распространяться рукописная математическая
литература. В основном она предназначалась для
купцов, торговцев, чиновников и носила сугубо
практический характер.

В 1703 г. выходит в свет знаменитая “Арифметика”
Леонтия Филипповича Магницкого, которая
являлась энциклопедией математических знаний
того времени. Магницкий приводил очень много
задач с остроумным содержанием, занятными
формулировками, интересными способами решения.
Задачи из учебника Магницкого весьма
жизнеспособны.

Кроме знаменитых задач Магницкого до нашего
времени дошли знаменитые задачи Пифагора,
Ньютона, Толстого. ( Над вывеской острова
Старинных задач представлены портреты Пифагора,
Ньютона, Архимеда, Толстого)

Думаю, эта информация поможет вам, когда вы
доберётесь до острова Старинных задач.
Предупреждаю, что остров не обитаем. Там вы
найдёте шифровку, расшифровав которую получите
подсказку. (Смотритель отдаёт конверт.)

Ведущий 1: Держим курс на остров Старых
задач. Откроем конверт: 1/а + 1/в = 1/с Что это? (Ответ
команды: формула задач “на бассейны”.)

Эта формула показывает важную зависимость
между величинами, которые часто встречаются в
природе и в жизни. Здесь за один берётся: • объём
бассейна; • расстояние; • выполненная работа; •
кадь пития; • воз сена и т. д.

Задачи “на бассейны” – это классические
задачи, известные с древнегреческих времён. К
сожалению, в конце 60 – х годов эти задачи исчезли
из учебников математики 4 – 5 классов. Вот и
сейчас корабельный кок принёс мне сообщение:

“Имеющегося запаса воды хватит девочкам на 6
дней, а мальчикам на 3 дня. На сколько дней пути
хватит воды всей команде?” (Команда решает
задачу. Решение объявляется вслух.)

Ведущий: Да, с такой командой и без
воды можно путешествовать, но не будем терять
времени. Впереди ещё много испытаний. Внимание,
корабль подходит к острову. Команде высадится на
берег. Остров “Старинные задачи”/

(Декорация: одинокое дерево, на
котором прикреплены карточки с задачами,
предлагаемые ученикам) Внимание, шифровка:

Условие. Ответы заменяем буквами:
ответ первой карточки – первая буква шифровки, и
т. д.

Карточки с задачами:

Задача № 1: Лев съел овцу за 1 час, волк
съел овцу за 2 часа, а пёс съел овцу за 3 часа. Как
скоро они втроём съели бы одну овцу?

Задача № 2: Одна труба заполняет бак
водой за 10 минут, а другая этот же бак за15 мин. За
сколько минут заполняет бак водой обе трубы,
работая одновременно?

Задача № 3: Один автомат выполняет
заказ за 20 минут, а другой этот же заказ – за 30
минут. За сколько минут выполнят заказ оба
автомата, работая одновременно?

Задача № 4: Путешественник идёт из
одного города в другой за 10 дней, а другой
путешественник тот же путь проходит за 15 дней.
Через сколько дней встретятся путешественники,
если выйдут одновременно навстречу друг другу из
этих городов?

Задача № 5: Один косец скашивает луг за
6 дней, а другой этот же луг скашивает за 14 дней. За
сколько дней скосят луг оба косца, работая
вместе?

Задача № 6: Четыре плотника хотят
построить дом. Первый плотник может построить за
год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, а
четвёртый за 4 года. За сколько лет они построят
дом при совместной работе? (Из “Арифметики” Л. Ф.
Магницкого)

Задача № 7: Дикая утка от южного моря
до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от
северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь
дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно.
Через сколько дней они встретятся?

Задачи команда решает самостоятельно. Проверка
ведётся ведущими.

Расшифровка: Д И Р И Х Л Е

Ведущий 1: Держим курс на остров
“Дирихле”. Остров Дирихле! Посмотрим, что
записано об этом острове в моём бортовом журнале.
Ничего. А вам, ребята, это название ни о чём не
говорит?

Информация учеников: Принцип Дирихле
– распределение вещей по ящикам

Простая формулировка: если вещей
больше, чем ящиков, по которым мы хотим их
разложить, то, по крайней мере, в одном из ящиков
должно быть 2 или более вещей.

Шутливая формулировка: нельзя
посадить 7 зайцев в 3 клетки так, чтобы в каждой
клетки находилось не более 2-х зайцев.

Ведущий 1: Команде высадится на берег.

Остров “Дирихле”

Встречает команду немецкий математик
профессор Дирихле (учащийся 10 класса)

Дирихле: Стой! Назад! Я математик
Дирихле. Вы ступили в мои владения. Но никто не
сделает и шагу, не познакомившись со мной. Я
внимательно наблюдал за вами во время вашего
путешествия и убедился, что вы немного знаете и о
моих достижениях. Вы знаете, что я разработал
принцип распределения величин, а также вам
известна простая и шутливая формулировка этого
принципа. А так как вам известен мой принцип, то я
уверен, что вы можете решать простые задачи на
распределение вещей по ящикам. Но имейте ввиду,
что существуют более и усложнённые варианты
принципа, с которыми вы познакомитесь позже. А
сейчас я вам сформулирую принцип с
математической точки зрения и покажу его
применение на примере задачи, которая
предлагалась на математической районной
олимпиаде. Итак:

Принцип Дирихле – принцип ящиков –
предложение, утверждающее, что в случае m>n, при
отнесении каждого из m предметов к одному из
классов n, то хотя бы в один класс попадёт не менее
двух предметов.

Задача. В розыгрыше кубка по футболу в
один круг участвуют 30 команд. Доказать, что в
любой момент найдутся две команды, сыгравшие
одинаковое количество игр.

Дирихле: Надеюсь, что эта встреча
оказалась для вас полезной. До меня дошли слухи,
что вы следуете в страну Математика. Я желаю вам
достигнуть этой земли без трудностей. По пути вам
встретится архипелаг вероятностей, где живет
королева Взвешиваний. Посетите это королевство,
оно должно вам понравится. Но имейте ввиду, что
всем в этом королевстве заправляет министр
Весов. Он очень коварен и любит задавать трудные
вопросы и задачи. Королева Взвешиваний укажет
вам, как попасть в страну Математика.

В добрый путь!

Ведущий: Без паники! Мы уже прошли
такой трудный путь, что никакие другие
приключения нам уже не страшны. По курсу –
королевство Взвешиваний.

Королевство Взвешиваний.

Встречает министр Весов (учащийся 10-го класса).

Министр: С чем пожаловали?

Команда: Мы хотели бы познакомиться с
королевством и самой королевой.

Министр: Королева любит умных людей и
принимает только тех, кто может решить её задачи.

Министр предлагает на выбор одну из двух задач.
(Карточки на чашах рычажных весов).

№ 1. Из восьми колец одно несколько
легче остальных. Найди это кольцо, использую
чашечные весы не более, чем двумя взвешиваниями.

№ 2. Из восьми внешне одинаковых монет
7 золотых и одна фальшивая, которая несколько
легче остальных. Требуется при помощи не более
чем двух сравнений массы данных монет на
чашечных весах определить фальшивую монету.
(Решение одинаково для обеих задач. Решение
задачи выносится на доску и обсуждается всей
командой.)

Министр: Молодцы! Я вижу, что вы умеете
решать задачи на взвешивания. А сейчас я вам
предложу решение задачи, которая была предложена
учащимся на районной математической олимпиаде.
Задача: Имеются 4 пакета и весы с двумя чашечками
без гирь. С помощью 5 взвешиваний расположить
пакеты по весу. Идет решение задачи и ее
обсуждение.

Итог

Ведущий 2: Вы ищете страну Математика?
Ну, тогда я обрадую вас тем известием, что вы и
находитесь в стране Математика. Всё наше
путешествие от самого начала до самого конца
было путешествием по стране Математика. Мы все
внимательно наблюдали за тем, как вы доблестно
преодолевали одно препятствие за другим. И,
наконец, достигли своей цели. Вы показали свои
умения и смекалку при решении задач и разрешении
ситуации. Надеемся, что путешествие оказалось
интересным, и вы получили от него удовольствие.
Пусть наше занятие послужит для вас стартовой
площадкой для увлекательных путешествий в
страну Математика.

Математическое путешествие – это поход в
неизвестность, но мы постараемся в следующих
классах разыскать тот самый путь, от которого вы
будете испытывать удовольствие. В чём же
ценность удовольствия? Это, может быть, самый
трудный вопрос, потому что ответ на него зависит
от ваших усилий. Если вы будете работать так же
серьёзно, как и сегодня, то испытаете
удовольствие неминуемо.

Пытаясь решить задачу разными способами,
находя для себя новые пути, вы научитесь лучше
решать задачи – не только математические, но и
все, которые ставит жизнь.

А теперь давайте, определим среди вас
супер-математика.

(По наибольшему количеству жетонов
определяется супер-математик и ему вручается
медаль).

Литература:

1. Кострикина Н.П. задачи повышенной трудности в
   курсе 4-5-х классов М., “Просвещение”, 1986
2. Задачи по математике для внеклассной работы в
   5-6-х классах
3. Математика после уроков М., “Просвещение”, 1977.

Конспект факультативного занятия по математике на тему «Задачи на взвешивание, переливание, перекладывания»

Конспект факультативного занятия по математике на тему «Задачи на взвешивание, переливание, перекладывания»

Цели:

• Обучение общим приёмам решения разнообразных задач на взвешивания, переливания и перекладывания.

• Отработка умения логически рассуждать, правильно строить свои умозаключения.

• Привитие вкуса к логическим рассуждениям.

• Научить творчески относится к решению каждой интересной задаче.

Методы: исследовательский, частично- поисковый, творческий.

Ход занятия

I. Орг. момент

«Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая сделать его немного занимательным.»

Блез Паскаль

II Беседа по теме занятия

Рассказ учителя

Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики — нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего — половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.

Есть люди, для которых решение логической задачи — увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом они не могут объяснить, как они пришли к решению. «Ну это же очевидно, ясно», — говорят они. «Ведь если … » — и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. «Действительно, все ясно», — говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения.

Известно несколько различных способов решения логических задач. Давайте назовем их:

1) Метод рассуждений.

Способ рассуждений — самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

2) Метод таблиц.

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

3) Метод графов.

4) Метод кругов Эйлера

5) Метод бильярда.

Всем известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма

.

Задача. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

(Решение задачи демонстрируется учителем)

Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников (см.рис.1)

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны в точке А. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд.

Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.1), в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице.

6) Метод блок-схем

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

(Учитель комментирует решение данной задачи, представленное в виде блок-схемы. Учащиеся делятся на две группы и проверяют данное решение практическим способом, выявляя фальшивую монету из полученного набора монет.)

Задача. Среди четырех монет одна фальшивая. Она отличается массой, однако неизвестно, легче она или тяжелее. Масса настоящей монеты 5 г. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах обнаружить фальшивую монету, если имеется одна гиря массой 5 г? Можно ли при этих условиях опознать, легче фальшивая монета или тяжелее?

Решение. Пусть m1, m2, m3, m4 – массы четырех монет соответственно, Г — масса гири. Оформим решение в виде блок-схемы (см.рис.). Приведенная схема задает программу, осуществление которой позволяет установить фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее. Взвешиваниям в блок-схеме соответствуют прямоугольники — операторы условного перехода. В схеме выделены первое и второе взвешивания горизонтальными линиями.

Прокомментируем для примера ход рассуждений, двигаясь лишь по одной ветви блок-схемы. Итак, первое взвешивание: пусть m1 + m2

Второе взвешивание: пусть m1+m3 m4+Г. Тогда фальшивая монета тяжелее (так как m4+Г — вес двух истинных монет) и это либо первая, либо третья монета. Но показания весов при первом взвешивании (m1+m2

III. Решение задач

(Класс делится на группы по два человека. Каждая группа получает по одной задачи, решение которой обсуждается в паре, а затем объясняется у доски.)

Задачи на переливание

№1. Бэтмен и Человек-Паук

Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100 метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу.

Решение
Как в результате получить 7 литров? – Нужно к 5 литрам долить 2 л. А где их взять? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. А как их получить? В 8 литровый перелить из 5 литрового 5 литров, потом еще три. 
Решение задачи показано в таблице:

№2. Молоко из Простоквашино

Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Решение

Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровое. Переливаем из пятилитрового бидона 3 литра в трёхлитровый бидон. Переливаем их теперь в восьмилитровое ведро. Итак, теперь трёхлитровое ведро пусто, в восьмилитровом 6 литров молока, а в пятилитровом — 2 литра молока.  Переливаем 2 литра молока из пятилитрового бидона в трёхлитровый, а потом наливаем 5 литров из восьмилитрового ведра в пятилитровый бидон. Теперь в восьмилитровом 1 литр молока, в пятилитровом — 5, а в трёхлитровом — 2 литра молока.  Доливаем дополна трёхлитровый бидон из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. В восьмилитровом ведре стало 4 литра, так же, как и в пятилитровом бидоне. №3. Том Сойер

Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Решение

Решение задачи показано в таблице: 

№4. Белоснежка

У Белоснежки есть полное восьмилитровое ведро компота. Как ей отлить 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона?

Решение

Решение задачи представлено в таблице:

Задачи на взвешивание.

№5. Буратино и Кот Базилио

У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету? 

Решение

Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

№6. Фальшивая монета

Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.

Решение

Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая. 

1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там: 

а) Левая кучка тяжелее = фальшивая монета тяжелее; 

б)Левая кучка легче = фальшивая монета легче. 

2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет: 

а) Вес кучек одинаковый = фальшивая монета легче; 

б) Вес кучек неодинаковый = фальшивая монета тяжелее.

№7.Дядюшка Скрудж

Дядюшке Скруджу принесли 8 одинаковых по виду монет, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Помогите Скруджу определить фальшивую монету. Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?

Решение

Разделим монеты на кучки по 3, 3, 2 монеты. Положим на чаши весов кучки по 3 монеты – по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка. 
Если весы покажут равенство, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда кладем на чаши весов монеты из третьей кучки. Фальшивкой будет та, которая легче. 
Если весы покажут неравенство. Тогда кладем на чаши весов по монете из более легкой кучки; если установилось равенство, то фальшивкой является третья монета из этой кучки; если неравенство – то более легкая монета и есть фальшивка. Следовательно, Скруджу потребуется минимум два взвешивания.

IV. Итоги занятия.

Из 8 монет 1 фальшивая — Логические задачи — Занимательная математика — Каталог статей

головоломок с логическим мышлением и весами

Давайте рассмотрим несколько головоломок, которые требуют использования традиционных весов. Когда мы помещаем объект на эту шкалу, он показывает нам вес объекта.

Пазлы с весами могут быть довольно сложными! Давайте посмотрим на пару примеров:

У вас есть 10 мешков по 1000 монет в каждом. В одном из пакетов все монеты — подделки. Настоящая монета весит 1 грамм; каждая фальшивая монета весит 1.1 грамм.

Если у вас есть точные весы, которыми можно пользоваться только один раз, как вы можете идентифицировать сумку с подделками?

Нам разрешено только одно взвешивание, поэтому мы не можем взвесить все 10 пакетов на весах по отдельности, чтобы определить, в каком из них есть поддельные монеты. Нам нужно найти сумку всего за одно взвешивание, поэтому нам нужно как-то сделать монеты в сумках отличительными.

Как мы это делаем? Мы можем вынуть одну монету из первого мешка, две монеты из второго мешка, три монеты из третьего мешка и так далее.В итоге у нас будет 1 + 2 + 3 +… + 10 = 10 * 11/2 = 55 монет.

Давайте теперь взвесим эти 55 монет.

Если бы все монеты были правдой, общий вес был бы 55 граммов. Но поскольку некоторые монеты поддельные, общий вес будет больше. Скажем, общий вес получается 55,2 грамма. Что мы можем из этого сделать? Мы можем сделать вывод, что должно быть две фальшивых монеты (потому что каждая фальшивая монета весит на 0,1 грамма больше). Значит, второй мешок должен быть мешком поддельных монет.

Давай попробуем еще:

Настоящий мармеладный мишка имеет массу 10 граммов, а имитация мармеладного мишки — 9 граммов. У вас есть 7 коробок мармеладных мишек, 4 из которых содержат настоящих мармеладных мишек, а другие — имитаций мишек.

Используя шкалу только один раз и минимальное количество мармеладных мишек, как определить, в каких коробках находятся настоящие мармеладные мишки?

Теперь это стало немного сложнее! Есть три пакета с имитацией мармеладных мишек.Исходя из предыдущего вопроса, мы знаем, что должны вынуть фиксированное количество мармеладных мишек из каждого мешка, но теперь мы должны убедиться, что сумма любых трех чисел уникальна. Также мы должны помнить, что нам нужно использовать минимальное количество мармеладных мишек.

Итак, из первого пакета не вынимайте мармеладных мишек.

Из второго пакета достаньте 1 мармеладного мишку.

Из третьего мешка достаньте 2 мармеладных мишек (если достанем 1 мармеладного мишку, то сумма будет такой же, если во втором пакете имитация мармеладных мишек или если в третьем пакете имитация мармеладных мишек.

Из четвертого мешка достаньте 4 мармеладных мишек. Мы не вынимаем 3, потому что в противном случае 0 + 3 и 1 + 2 дадут нам одинаковую сумму. Поэтому мы не знаем, есть ли в первом и четвертом пакетах имитация мармеладных мишек или во втором и третьем пакетах есть имитация мармеладных мишек.

Из пятого мешка достаньте 7 мармеладных мишек. Мы получили это число, сложив наивысшую тройку: 1 + 2 + 4 = 7. Обратите внимание, что значение меньше 7 даст нам сумму, которую можно получить несколькими способами, например:

0 + 1 + 6 = 7 и 1 + 2 + 4 = 7
или
0 + 1 + 5 = 6 и 0 + 2 + 4 = 6

Но нам нужно, чтобы эту сумму можно было получить только одним способом, чтобы мы могли узнать, в каких трех пакетах находится имитация мармеладных мишек.

На данный момент мы убрали 0, 1, 2, 4 и 7 мармеладных мишек.

Из шестого мешка достаньте 13 мармеладных мишек. Мы получили это число, сложив наивысшую тройку: 2 + 4 + 7 = 13. Обратите внимание, что значение меньше 13, опять же, даст нам сумму, которую можно получить несколькими способами, например:

12 + 1 + 0 = 13 и 2 + 4 + 7 = 13
или
0 + 1 + 9 = 10 и 1 + 2 + 7 = 10
… и т. Д.

Обратите внимание, что таким образом мы также гарантируем, что мы измеряем только минимальное количество мармеладных мишек, что и требует от нас вопрос.

Из седьмого мешка достаньте 24 мармеладных мишки. Мы получили это число, снова сложив наивысшую тройку: 4 + 7 + 13 = 24. Опять же, значение меньше 24 даст нам сумму, которую можно получить несколькими способами, например:

0 + 1 + 15 = 16 и 1 + 2 + 13 = 16
или
0 + 1 + 19 = 20 и 0 + 7 + 13 = 20
или
0 + 1 + 23 = 24 и 4 + 7 + 13 = 24
… и т. Д.

Таким образом, мы будем выбирать мармеладных мишек из 7 пакетов: 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24.

Всего будет взвешен 51 мармеладный мишка. Их общий вес должен составлять 510 грамм (51 * 10 = 510), но поскольку три пакета имеют имитацию мармеладных мишек, полученный вес будет меньше.

Допустим, вес меньше на 8 грамм. Это означает, что первый мешок (из которого мы вытащили 0 мармеладных мишек), второй мешок (из которого мы вытащили 1 мармеладного мишку) и пятый мешок (из которого мы вытащили 7 мармеладных мишек) содержат имитацию мармеладных мишек. Это потому, что 0 + 1 + 7 = 8 — обратите внимание, что мы не сможем получить 8 с любой другой комбинацией.

Логическая головоломка с балансом.

Трудно поверить, что эта классическая головоломка еще не задокументирована в MSE, но FWIW, вот одно из стандартных «статических» решений. «Статический» означает, что взвешивание фиксировано заранее — мы знаем, какая монета (или шар, или что-то еще) проходит на каком плече весов на каждом этапе независимо от результатов предыдущих взвешиваний. Кажется, что эту проблему решить сложнее, но на самом деле она несколько упрощает процесс поиска решения, чем более естественный индивидуальный анализ.

Создайте матрицу 3 на 12. Строки соответствуют взвешиваниям, столбцы — монетам. Каждая запись в матрице — это либо L (монета идет слева от шкалы при взвешивании), либо R (монета идет справа), либо O (при взвешивании монета не учитывается).

Теперь, если монета тяжелая, она сделает все взвешивания, при которых у нее L, тяжелой левой, все те, где она равна R, чтобы быть тяжелой справа, и все взвешивания, где она равна O, чтобы уравновесить. Для легкой монеты все наоборот.Таким образом, каждая пара (монета, смещение веса) создает последовательность результатов, и вам просто нужно убедиться, что все эти последовательности различны для всех комбинаций (монета, смещение). Другими словами, все столбцы матрицы должны быть разными, и, более того, ни один из них не должен быть инверсным друг другу (поскольку, если монета x является инверсией монеты y, вы не можете отличить тяжелую монету x от легкой. монета y).

Вот пример решения (здесь я использую +, — и пробелы вместо R, L и O, так как я думаю, это легче понять), которое имеет небольшую структуру, упрощающую проверку требований.

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б В
+ + - + - - + -
  + + + - - - - +
    + - + + - - - +
  

РЕДАКТИРОВАТЬ: чтобы еще раз объяснить, что все это означает, при первом взвешивании мы противопоставляем монеты 1, 4, 6 и 10 монетам 5, 7, 9 и 12. При втором взвешивании 2, 4, 5, 11 против 6, 7, 8, 10 и последний имеет 3, 5, 6, 12 против 4, 8, 9, 11. Таким образом, взвешивания всегда 4 против 4, и, как уже упоминалось, результат взвешивания № 1 не имеет значения при все о том, как мы решаем проводить другие взвешивания.Все статично.

Если, например, монета 1 тяжелая, мы получим «Левая, сбалансированная, сбалансированная». Никакая другая монета не может сделать это, будучи тяжелой (нет другого столбца, подобного этому), и никакая другая монета не может сделать это, будучи легкой (поскольку нет столбца с надписью «- пустой пробел»).

Вес Логические Задачи Алгебраического Мышления

Автор: Мэри Кинстра 14 февраля 2015 г. в: алгебра, взаимодействие, математика

Весовая логика Марси Кук

Ученики начальной школы получают доступ к алгебраическому мышлению, используя различные форматы и задачи.Я обнаружил, что лучший способ научить своих студентов алгебраическому мышлению — это еженедельно заниматься с задачами алгебры логики веса из Marcy Cook Math. Эти задачи поощряют алгебраическое мышление очень дружелюбно — с помощью весов и фруктов!

Продукты Marcy Cook по математике развивают у учащихся чувство числа, вовлекая учащихся в решение интересных задач. В ее продуктах используются разные форматы, чтобы обогатить и расширить математическое мышление, чего не делают рабочие листы и тексты. Хотя я пользовался многими продуктами Marcy Cook Math, я думаю, что Weight Logic — мой любимый!

Задача логики веса Марси Кук

Наш еженедельный распорядок предполагает, что учащиеся просматривают логическую задачу веса на экране и решают ее самостоятельно.Затем они показывают, как они решали каждую проблему и как определяли вес каждого вида фруктов. Они объясняют свои стратегии и комментируют идеи друг друга. Это обсуждение богато, поскольку они описывают алгебраические концепции и различные стратегии решения. Наконец, мои ученики преобразовывают представления весов в традиционные уравнения алгебры, используя символы вместо кусочков фруктов. На этом последнем шаге они переходят от конкретного к абстрактному, углубляя свое понимание и укрепляя уверенность в себе.

После того, как мои ученики справились с задачами Марси Кук по логике веса, я понял, что следующим шагом в прогрессе может быть замена изображений фруктов на символы алгебры. Я создал серию задач алгебры и логики, используя идеи Марси Кук: А для яблока, В для банана и В для апельсина (цитрусовых). Мои ученики легко понимают, что для решения этих новых задач требуется такое же алгебраическое мышление. Они сделали еще один шаг ближе к абстрактному мышлению, необходимому для решения задач алгебры, поскольку они, по сути, решают 3 неизвестных в 3 уравнениях.

Вес Логические задачи с использованием символов алгебры и десятичных операций

Чтобы сделать их еще более сложными, я добавил десятичные точки к исходным задачам Марси Кук. Теперь мои ученики используют свои знания о работе с десятичными знаками для решения этих задач весовой логической алгебры. Поскольку я поставил строительные леса по пути, студенты более чем готовы решать эти проблемы.

Мои ученики уверенно решают множество различных задач, требующих алгебраического мышления.Я показал им задачи, которые они решили в 3-м или 4-м классе, используя догадки и проверки. Теперь они могут решить эти проблемы, поместив их в формат баланса и решив, используя мышление логики веса. Я чувствую, что теперь они на пути к абстрактному мышлению, которое им понадобится для решения задач алгебры.

12 монет, старые весы

1. Вам дается набор весов и 12 шариков. Весы старой разновидности весов.То есть небольшая тарелка свисает с каждого конца стержня, уравновешенного посередине. Устройство позволяет сделать вывод о том, что содержимое посуды одинаково или что в одной тарелке, которая опускается ниже, содержание тяжелее, чем в другой.

12 шариков кажутся идентичными. Фактически, 11 из них идентичны, а один другого веса. Ваша задача — определить необычный шарик и выбросить его. При желании можно использовать весы трижды, но не более.

Обратите внимание, что необычный мрамор может быть тяжелее или легче других.Вас просят идентифицировать его и определить, тяжелый он или легкий.

Во-первых, позвольте мне подчеркнуть, что эта головоломка очень сложна, и, что еще хуже, ответ не вызывает особого удовлетворения. Это не лучший способ познакомиться с моим сайтом. Вопросы 3 и 5 довольно просты. 9 доступно и интересно, а 13 — мое любимое. Вы были предупреждены.

Мой ответ представляет собой нечто среднее между веб-сайтом Dr. Math, мной и различными электронными письмами, которые я получил, включая исправление от Бена Кронина.Теперь он является строгим, но максимально простым в выполнении.

Прежде чем читать ответ, могу я вас заинтересовать подсказкой?

Большинство людей, кажется, думают, что нужно взвесить шесть шариков против шести шариков, но если вы задумаетесь, это не даст вам никакой информации о местонахождении единственного другого шарика или о характере его различия, как мы уже знаем. что одна сторона будет тяжелее другой. Стоит упомянуть, что если это будет использоваться в качестве вопроса интервью, это наблюдение само по себе может помочь вам в этом.

Чтобы можно было следовать плану, пронумеруем шарики от 1 до 12. Для первого взвешивания положим на левую чашу 1,2,3,4 шарики, а на правую — 5,6,7. , 8.

Есть две возможности. Либо они уравновешивают, либо нет. Если они уравновешены, то другой шарик находится в группе 9,10,11,12. Итак, для нашей второй возможности — взвесить 9,10,11 против 1,2,3

(1) Они уравновешивают, и в этом случае вы знаете, что 12 — это другой шарик, и вы просто взвешиваете его против любого другого шарика, чтобы определить, он тяжелый или легкий.
(2) 9,10,11 — тяжелый. В этом случае вы знаете, что разные шарики — это 9, 10 или 11, и что этот шарик тяжелый. Просто взвесьте 9 против 10; если они уравновешивают, 11 — тяжелый мрамор. В противном случае более тяжелый мрамор.
(3) 9,10,11 светлый. Действуйте, как в предыдущем шаге, но мрамор, который вы ищете, будет светлым.

Это была легкая часть.

Что делать, если первое взвешивание 1,2,3,4 против 5,6,7,8 не уравновешивается? Тогда любой из этих шариков может быть другим мрамором.Теперь, чтобы продолжить, мы должны отслеживать, какая сторона тяжелая, для каждого из следующих взвешиваний.

Предположим, что 5,6,7,8 — тяжелая сторона. Теперь мы весим 1,5,6 против 2,7,8. Если они уравновешивают, то другой шарик будет либо 3, либо 4. Взвесьте 4 против 9, известный хороший шарик. Если они уравновешивают, то другой шарик равен 3, в противном случае — 4. Направление наклона может сказать нам, тяжелее или легче поражающий шарик.

Теперь, если 1,5,6 vs 2,7,8 не сбалансированы, а 2,7,8 — тяжелая сторона, то либо 7, либо 8 — это другой, тяжелый шарик, либо 1 — другой, легкий мрамор.

При третьем взвешивании весите 7 против 8. Какая бы сторона ни была тяжелой, это другой шарик. Если они уравновешивают, то 1 — другой шарик. Если вес 1,5, 6 против 2,7,8 показывает, что 1,5,6 — тяжелая сторона, то либо 5, либо 6 — это другой тяжелый шарик, либо 2 — это другой легкий шарик. Взвешиваем 5 против 6. Более тяжелый — другой шарик. Если они уравновешивают, то 2 — это другой светлый шарик.

Теория чисел

Стив Менсински прислал мне по электронной почте подход, основанный на теории чисел, впоследствии Нельсон Хименес да Мотта также поддерживал контакт, он взял работу Стива и использовал ее.Я не собираюсь, чтобы кто-либо, использующий этот сайт, действительно проходил какое-либо формальное углубленное обучение математике. Я стремлюсь объяснить все с помощью здравого смысла и логики, даже если то, что мы тайно делаем, использует математические методы. Этот подход теории чисел действительно вводит важный метод, к которому я хотел бы вернуться, способность быстро определить, достаточно ли у нас информации для решения проблемы.

Первый подход, мой подход, использует три зависимых взвешивания, то есть то, что мы взвешиваем при втором взвешивании, зависит от результатов первого и так далее.Он демонстрирует, что при каждом индивидуальном взвешивании, имеющем 3 возможных результата (левый, правый и сбалансированный), и при трех взвешиваниях всего получается 3 ³ = 27 возможных результатов. Отражения нам не нужны, поэтому 3 независимых взвешиваний дают достаточно информации, чтобы определить результаты для 13,5 шариков. Это важный первый шаг.

Значение полушарая Я оставлю Стиву и Нельсону описать. Ниже приведены электронные письма, которые они мне прислали.
Показать / скрыть адрес электронной почты

Привет, Найджел.Использование теории чисел для решения этой проблемы дает нам еще один шарик и неожиданный забавный поворот. Ваше (правильное) решение включает то, что я бы назвал тремя «зависимыми» взвешиваниями. То есть стратегия второго и третьего взвешивания зависит от результата предыдущего взвешивания (ов).

Используя теорию чисел, можно создать три «независимых» взвешивания.

Действуем следующим образом. Каждое взвешивание дает три возможных результата: левая сторона вниз (которую я определю как НОЛЬ), все шарики равны (я определяю это как ОДИН), правая сторона вниз (ДВА).Итак, это арифметика по основанию три (тройная). Таким образом, с тремя троекратными числами мы получаем 3 ³ = 27 возможных результатов: от 000 до 222. Один из них — действительно особый случай, который я обсуждаю в конце.

Мы размещаем шарики так, чтобы каждый из 27 возможных результатов однозначно определял каждый шарик. Я нашел, что проще всего разделить эту задачу на три случая.

Случай (1): шарик участвует только в одном взвешивании. Поместите шарик A справа только при взвешивании №1, B справа только при взвешивании №2, C справа только при взвешивании №3.
Ящик (2): Шарик участвует в двух взвешиваниях. Поместите D слева при взвешивании №1 и слева при взвешивании №2, E слева при взвешивании.
№1 и справа при взвешивании №2. Допускаются еще четыре комбинации, весящие шесть шариков.
Ящик (3): Шарик участвует во всех трех взвешиваниях. Это дает нам еще четыре: лево-лево-лево, лево-право-лево, лево-лево-право, лево-право-право.

Это фактически позволяет нам взвесить ТРИНАДЦАТЬ шариков, и полученные 27 троичных чисел однозначно идентифицируют каждый шарик и его статус легче / тяжелее.Используя примеры из случаев (1) и (2) выше:
0 1 1 = A тяжелее
2 1 1 = A легче
1 0 1 = B тяжелее
1 2 1 = B легче
1 1 0 = C тяжелее
1 1 2 = C легче
0 0 1 = D тяжелее
2 2 1 = D легче
0 2 1 = E тяжелее
2 0 1 = E легче

Но только половина разрешены все 27 комбинаций! Зеркальные изображения запрещены — это своего рода принцип исключения Паули для мрамора, если хотите. Возможно, лучше всего это проиллюстрировано на примере.Предположим, что для мрамора X он лево-лево-лево. Это мешает нам поставить шарик Y как право-право-право, потому что это даст тот же образец результатов 0/1/2 с, конечно, противоположным статусом легче / тяжелее. Более простой пример: left-none-none затем запрещает right-none-none.

Другой способ сказать то же самое: образец размещения любого ОДНОГО шарика будет соответствовать ДВА из наших 27 троичных чисел, в зависимости от того, легче или тяжелее шарик. Таким образом, имея 27 вариантов, мы получаем 13 И ПОЛОВИНУ взвешиваний.

А вот и самое забавное. Что такое половина взвешивания? Очень простой. Половина взвешивания — это взвешивание, которое дает нам только половину информации. Итак, если вы не взвесите 14-й шарик и обнаружите, что все 13, которые вы взвесили, все одинаковы (тройное число 1111), тогда вы знаете, что 14-й шарик, который вы не взвешивали, является необычный, но вы не знаете, легче он или тяжелее.

При всем этом есть одна «сложность реализации».Вы должны быть очень осторожны при выборе одного из двух отображений, иначе вы получите слишком много шариков с одной или другой стороны. Если вы хотите, я, вероятно, мог бы сесть и вычислить точные весовые нагрузки и отправить вам их по отдельной электронной почте. На самом деле я не делал этого примерно с 1982 года, так что это может занять у меня некоторое время.

Стив из Маджи.

Итак, это электронное письмо Стива, теперь Нельсона …

Привет, Найджел,

Меня зовут Нельсон, я из Бразилии, прости, пожалуйста, мой английский ??

На прошлой неделе меня заинтриговало объяснение теории чисел первой головоломки на вашем веб-сайте (http: // puzzles.nigelcoldwell.co.uk/one.htm). Я изо всех сил пытался понять это, но теперь я думаю, что разобрался. Однако я считаю, что некоторые заявления Стива могут быть неверными.

Попробую объяснить свою логику ниже.

1) Назовем каждый возможный результат для данного взвешивания:

Возможные результаты
-1	Левая сторона вниз
0	Равновесие
1	Правая сторона вниз

2) Мы перечисляем все возможные трио результатов (3 взвешивания).Затем мы отображаем каждую из этих троек на шарик. Как объяснил Стив, зеркала должны быть сопоставлены с одним и тем же мрамором из-за тяжелой / легкой двойственности:

-1

902

-1

9 0218 1

-1

0215

Тройной								Мрамор
-1	0	0	или	1	0	0		A
0	-1	0	или 1		0		B
0	0	-1	или	0	0	1		C
или	1	1	0		D
0	-1	-1	или	0	1					0	-1	или	1	0	1		F
-1	1	0	или	-1	0		G
0	-1	1	или	0	1	-1
	0	1	или	1	0	-1		I
-1	-1	1	или	1	1	1		J
-1	1	1	или	1	-1	-1		K
-1	-1		или	1	-1	1		L
-1	-1	-1	или	1	1	1
0	0	0						нет

3) Теперь нам нужно разбить шарики на 3 взвешивания так, чтобы каждый шарик соответствовал одной из троек, которые мы ему присвоили.Я использовал цветовые коды, чтобы было легче проверить, какие тройки использовались:

-1

902

-1

9 0218 1

-1

0215

Тройки								Мрамор на карте
-1	0	0	или	1	0	0		A
0	-1	0	или 1		0		B
0	0	-1	или	0	0	1		C
или	1	1	0		D
0	-1	-1	или	0	1					0	-1	или	1	0	1		F
-1	1	0	или	-1	0		G
0	-1	1	или	0	1	-1
	0	1	или	1	0	-1		I
-1	-1	1	или	1	1	1		J
-1	1	1	или	1	-1	-1		K
-1	-1		или	1	-1	1		L
-1	-1	-1	или	1	1	1
0	0	0						нет

	Левая сторона	Правая сторона
1-е взвешивание	AGJL	ДФИК
2-е взвешивание	BHJK	DEGL
3-е взвешивание	CIKL	EFHJ

Заключение: используя результаты этих трех взвешиваний, мы можем найти разные шарики и определить, легче они или тяжелее других.
Пример:
1-е взвешивание = левая сторона вниз (-1)
2-е взвешивание = равновесие (0)
3-е взвешивание = левая сторона вниз (-1)
Это соответствует тройному (-1; 0; -1), что соответствует к мрамору «F». Этот мрамор легче других, потому что сторона, которую он вкладывал в 1-е и 3-е взвешивания, поднялась вверх.

Используя эту логику, мы можем решить полную проблему — какой мрамор отличается И является ли он легче или тяжелее — для 12 шариков. Но Стив заявил, что можно решить полную задачу за 13 шаров.Я бы хотел это оспорить.

На первый взгляд, мы можем заключить, что неиспользованную тройку в таблице выше (1; 1; 1) можно сопоставить с 13-м шариком. Однако физически невозможно положить дополнительный шарик во все три взвешивания, не испортив весы. Таким образом, 13-й шарик может быть отображен только в тройку (0; 0; 0). Следовательно, если эта тройка является результатом трех взвешиваний, мы можем сделать вывод, что этот 13-й шарик отличается от других, но поскольку мы не взвешивали его, невозможно сделать вывод, легче ли он или тяжелее других.

Я не могу сейчас это продемонстрировать, но формула, которая, кажется, описывает количество шариков, которое мы можем идентифицировать (полная проблема) с помощью взвешивания «x»: (3 ^x — 3) / 2. Для 3 взвешиваний мы имеем (3 ³ — 3) / 2 = 12. Для 4 взвешиваний у нас будет (3 ⁴ — 3) / 2 = 39. Я думаю, что часть уравнения «-3» относится к неиспользованные тройки и «/ 2» относятся к двойственности тяжелого / легкого.

Что вы думаете об этом заключении? Имеет ли это смысл?

Ура,
—
Нельсон Хименес да Мотта

© Найджел Колдуэлл 2004 —
— вопросов на этом сайте могут быть воспроизведены без дополнительного разрешения, я не претендую на авторские права на них. ответов принадлежат мне и не могут быть воспроизведены без моего явного предварительного согласия. Пожалуйста, задавайте вопросы, используя ссылку вверху страницы. Безопасная версия этой страницы.

Проблема с 12 идентичными шарами »Мои технические интервью

Вопрос: Вы даете 12 одинаковых шаров. Один из них поддельный (может быть тяжелее или легче), чем остальные 11 (все остальные весят точно так же). Вам предоставлены простые механические весы, и вы можете использовать их только 3 раза.Найдите фальшивый мяч.

Ответ: Для удобства назовем шары 1–12. Это довольно сложный вопрос. Если вы хотите улучшить свои навыки, вы можете сначала попробовать эту более простую задачу с восьмёрками.

Хорошо, давайте поработаем.

Сначала мы взвешиваем {1,2,3,4} слева и {5,6,7,8} справа. Из этого могут возникнуть три сценария.

Если они уравняют , тогда мы знаем, что 9, 10, 11 или 12 — фальшивка. Взвесьте {8, 9} и {10, 11} (Примечание: 8 определенно не подделка)

Если они уравняются, мы знаем, что 12 — фальшивая.Просто взвесьте его с любым другим мячом и выясните, легче он или тяжелее.

Если {8, 9} тяжелее, то либо 9 — тяжелое, либо 10 — легкое, либо 11 — легкое. Взвесьте {10} и {11}. Если они уравновешивают, 9 — фальшивка (тяжелее). Если они не уравновешены, то то, что легче, будет фальшивым.

Если {8, 9} легче, то либо 9 — легкий, либо 10 — тяжелый, либо 11 — тяжелый. Взвесьте {10} и {11}. Если они уравновешивают, 9 — фальшивка (светлее). Если они не уравновешены, то то, что тяжелее, будет фальшивым (тяжелее).

Фууу, это было достаточно запутанным, но мы еще не закончили.

Если {1,2,3,4} тяжелее , мы знаем, что один из {1,2,3,4} тяжелее или один из {5,6,7,8} легче, но есть гарантии, что {9,10,11,12} не подделка. Здесь все становится действительно сложно, внимательно наблюдайте. Взвесьте {1,2,5} и {3,6,9} (примечание: 9 определенно не подделка).

Если они уравновешивают, то либо 4 — тяжелое, либо 7 — легкое, либо 8 — легкое. Следуя последнему шагу из предыдущего случая, мы взвешиваем {7} и {8}.Если они уравновешивают, 4 — фальшивка (тяжелее). Если они не уравновешены, то то, что легче, будет фальшивым.

Если {1,2,5} тяжелее, то либо 1 — тяжелый, либо 2 — тяжелый, либо 6 — легкий. Взвесьте {1} и {2}. Если они уравновешивают, 6 — фальшивка (светлее). Если они не уравновешены, то то, что тяжелее, будет фальшивым (тяжелее).

Если {3,6,9} тяжелее, то либо 3 — тяжелое, либо 5 — легкое. Взвесьте {5} и {9}. Они не уравновесят. Если {5} светлее, 5 — подделка (светлее). Если они уравновешивают, 3 — фальшивка (тяжелее).

Если {5,6,7,8} тяжелее , ситуация такая же, как если бы {1,2,3,4} был тяжелее. Просто выполните те же шаги, используя 5, 6, 7 и 8. Если вам не лень пытаться повторить шаги, продолжайте читать решение. Взвесьте {5,6,1} и {7,2,9} (примечание: 9 определенно не подделка).

Если они уравновешивают, то либо 8 тяжелое, либо 3 легкое, либо 4 легкое. Следуя последнему шагу из предыдущего случая, мы взвешиваем {3} и {4}. Если они уравновешивают, 8 — фальшивка (тяжелее).Если они не уравновешены, то то, что легче, будет фальшивым.

Если {5,6,1} тяжелее, то либо 5 — тяжелое, либо 6 — тяжелое, либо 2 — легкое. Взвесьте {5} и {6}. Если они уравновешивают, 2 — фальшивка (легче). Если они не уравновешены, то то, что тяжелее, будет фальшивым (тяжелее).

Если {7,2,9} тяжелее, то либо 7 — тяжелое, либо 1 — легкое. Взвесьте {1} и {9}. Если они уравновешивают, 7 — фальшивка (тяжелее). Если они не сбалансированы, то 1 фальшивка (светлее).

Вуаля !!!!

Голова пока кружится.Возьмите бумагу и попробуйте, чтобы все стало ясно. Теперь, когда вы знаете, как решить эту проблему, вы готовы покорить этот мир.

Если у вас есть какие-либо вопросы, напишите мне по адресу [email protected]. Если у вас есть какие-либо вопросы на собеседовании, которые, по вашему мнению, будут полезны другим, я хотел бы услышать об этом.

Если вы хотите серьезно подготовиться к собеседованию, я бы порекомендовал эту книгу, написанную ведущим интервьюером Google. В нем 189 вопросов по программированию и решений:

Головоломка с 8 шариками: Найди 1 тяжелее из 2 весов

Найдите более тяжелый мяч за 2 взвешивания — головоломка с весом 8 мячей

В этой головоломке с первым весом 8 шаров найдите один более тяжелый шар за 2 взвешивания.Все 8 мячей выглядят одинаково, и у вас есть весы без утяжелителей.

Какими способами вы можете решить головоломку — это вторая часть головоломки.

Общее время на решение: 12 минут.

Попробуйте, прежде чем искать решение.

Решение головоломки с весом 8 шаров: найдите более тяжелый шар в 2 весит

Без весов у вас есть единственная возможность взвесить несколько шаров на одной чаше и такое же количество шаров на второй чаше.

Проще говоря, вам нужно сравнить вес равного количества мячей.

Вопрос: Сколько должно быть шариков в каждой чаше при первом взвешивании?

Давайте посмотрим, как получится разделить все 8 взвешиваний на две группы по 4 плюс 4 при первом взвешивании.

Какая бы сковорода не упала, эта группа из 4 шаров должна иметь более тяжелый шар.

У вас осталось только одно взвешивание. Вы бы снова пошли по простому пути, разделив 4 шара на 2 плюс 2 группы и взвесив их? Что будет в результате? В более тяжелой кастрюле с двумя шарами наверняка окажется, что один из них будет тем шаром, который вы пытаетесь найти.Но вы исчерпали свою квоту на взвешивание шансов. Этот простой способ не сработает.

Вы можете попробовать другие способы найти более тяжелый шар среди 4 шаров за одно взвешивание, но это может оказаться невозможным.

Анализ первого этапа: стратегический подход к работе в обратном направлении

Итак, выбрав сейчас более многообещающий путь, вы бы решили проверить, сможете ли вы найти более тяжелый шар среди 3 шаров, которые были определены как подозрительные шары при первом взвешивании.

Теперь вы уменьшили число в подозрительном наборе шаров на 1. На этом этапе не думайте, как бы вы изолировали набор из 3 шаров при первом взвешивании.

Это то, что мы называем — Техника работы в обратном направлении.

Если 3 мяча содержат более тяжелый мяч, то, естественно, вы бы взвесили один мяч против другого из трех, не считая третьего шара. В результате.

В зависимости от того, какая чаша упадет, мяч окажется тяжелее, и если обе стороны уравновешены одинаково, то третий, отложенный в стороне, должен быть более тяжелым.

Итак, вы наверняка сможете идентифицировать более тяжелый шар. , если после первого взвешивания вы сможете идентифицировать 3 шара, содержащих более тяжелый шар.

Теперь обратим внимание на первое взвешивание. Ваша цель состоит в том, чтобы изолировать набор не более 3 мячей, которые содержат более тяжелый мяч.

Второй этап: Как выделить 3 шара, содержащих более тяжелый шар, среди 8 шаров при первом взвешивании

Теперь вы знаете, что вам нужно сделать — вам нужно просто разделить 6 шаров, а не 8, на две группы по 3 в каждой, удерживая 2 шара в стороне , и взвесить две группы по 3 шаров друг против друга.

Это снова применение техники уменьшения количества шаров в наборе действий.

Возможности:

1. Какая бы кастрюля ни опускалась, в ней находится более тяжелый шар. И вы уже знаете, как найти более тяжелый мяч среди 3 подозреваемых мячей.
2. Если сковороды одинаково сбалансированы, 2 оставленных шара должны иметь более тяжелый шар. К настоящему времени вы знаете, что найти более тяжелый шар среди 2 шаров было бы чертовски легко.

Хорошо, первая часть головоломки решена . Теперь займемся второй частью.

Какими способами можно решить загадку?

На первый взгляд кажется, что нет другого способа решить загадку — если вы уменьшите общее количество шариков, которые сначала будут весить, до 4, 2 плюс 2, а затем, если две сковороды уравновешены, вы все равно останетесь. с 4 шарами, оставленными в стороне, как подозреваемый, установленный для второго взвешивания.

Помните, когда вы впервые столкнулись с этой ситуацией? Когда вы попытались взвесить все 8 мячей, разделитесь на две группы по 4 плюс 4.

Итак, все сводится к задаче по определению более тяжелого шара среди 4 подозрительных шаров за одно взвешивание.

Как идентифицировать 1 более тяжелый шар среди 4 подозрительных наборов мячей в 1 весе

Первое действие естественно — вы бы отложили 1 шар, уменьшив количество взвешиваемых шаров до 3. Это то же самое, что и стратегический подход по уменьшению числа переменных , который мы часто используем для быстрого решения алгебраических задач.

Вы можете думать об этом подходе в форме действия, в данном случае, как,

Уменьшите общее количество шариков в подозрительном наборе шариков, которые нужно взвесить, насколько это возможно.

И теперь вы можете назвать это просто стратегией уменьшения количества шаров. По сути, это то же самое, что и стратегия решения алгебраических задач.

Хорошо, что бы вы еще сделали с тремя оставшимися шарами?

Естественно, вы заполнили бы пустую ячейку для 1 шара, вызванную отложением 1 шара хорошим мячом.

Вы знаете, что у вас есть как минимум 4 хороших шара в качестве ресурсов, которые можно использовать. Теперь вы взвешиваете 2 подозрительных мяча против 1 подозрительного мяча и 1 хорошего мяча.

Возможные результаты:

1. Если сковорода с хорошим шаром опускается вниз, то сопутствующий ей одиночный шар должен быть более тяжелым,
2. Если две сковороды одинаково сбалансированы, оставшийся четвертый шар должен быть более тяжелым, но,
3. Если чаша с 2 подозрительными шариками опускается вниз, у вас все равно останется 2 подозрительных шарика и ваш предел взвешивания исчерпан.

Значит, это не сработает.

Мыслить по-новому — мыслить нестандартно

Это время, когда вам нужно вводить новшества и мыслить нестандартно — представьте, что вы обменяли 1 мяч между двумя лотками, а затем ввели хороший мяч.Это новая техника обмена мячами. Но сработает ли это?

К сожалению, нет — если чаша с двумя подозрительными шарами опускается, у вас снова остаются 2 шара с исчерпанной квотой взвешивания.

Теперь вы точно знаете, что если после первого взвешивания у вас останутся 4 подозрительных мяча, будет действительно невозможно определить более тяжелый мяч за одно взвешивание.

Итак, может быть только один способ решить загадку, которую мы уже нашли.

Вы исчерпали все возможности, следуя принципу исчерпания .

Пазлы, которые могут вам понравиться

Загадки

Загадка с двумя кувшинами

Загадка воссоединения трамвая

Загадка о переходе 4 человек через мост через реку ночью

Загадка с тремя ящиками

ЗАГАДКА РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ — Создание и применение техники, основанной на повторении паттернов

Самолет-загадка, летающий вокруг света

Загадка лжи и правдивых близнецов

Загадка двух кувшинов по 1 литру молока

Как Соня могла продать загадку на полпуделя

Математические пазлы

Обратный чек

Решение головоломки обратного чека

Пазлы о подсчете яиц на основе леммы Евклида о делении

Пазл Обезьяна и кокосы с решениями

Пазл с 10-значными числами Конвея и решением

Самая сложная геометрическая головоломка в мире, решенная с помощью пошаговых методов

Задачи сложной алгебры, решаемые с помощью основных экспонентных понятий и рассуждений

Три квадрата в треугольнике

9 квадратов в прямоугольной математической головоломке

Сколько знаков сложения необходимо, чтобы получить сумму 99

Головоломки логического анализа

Решение задачи логического анализа Эйнштейна на основе методов, чьи рыбы

Как решить головоломку Эйнштейна, чья рыба уверенно, решение на основе улучшенного метода

Логическая головоломка, Когда день рождения Шерил

Загадка лжеца и рассказчика правды с легким пошаговым решением

Пазлы переходы через реки

Фермер пересекает реку с лисой, гусем и мешком кукурузы

Пазл: две свиньи и две курицы переходят реку

3 обезьяны и 3 человека переходят реку Пазл

Король королева-министр пазл для переправы через реку

Пазлы для взвешивания мячей

Найдите более тяжелый среди 8 одинаковых шаров в 2 головоломке с взвешиванием

Пазл с 8 шариками: Найдите фальшивый мяч за 3 веса

Найдите фальшивый мяч среди 9 одинаковых шаров в 3 головоломке с взвешиванием

Найдите фальшивый мяч среди 12 одинаковых шаров в 3 сложной головоломке с решением для взвешивания

Пазлы со спичками

Решение от 6 треугольников до 5 треугольников за 2 хода, первая головоломка со спичками

Головоломка со спичками 5 на 4 квадрата за 2 хода

Головоломка со спичками: от 5 до 4 клеток за 3 хода

Головоломка со спичками, переверните рыбу за 3 хода

Пятая головоломка со спичками, переместите 3 палочки в крестики-нолики, чтобы сформировать 3 идеальных квадрата

Шестиугольное колесо на 3 треугольника путем удаления 4 стержней

Преобразуйте 5 квадратов в 4 за 3 хода палкой, третья головоломка из 5 спичек

Головоломка со спичками — Сделайте прыжок носом воздушного змея за 5 движений рукоятью

Сделайте 5 квадратов из 6 за 2 движения палкой — головоломка из 6 квадратных спичек

Переместите 3 палки и превратите 5 квадратов в 4 квадрата в 4-й головоломке из 5 спичек

Переместите 3 палки и превратите 4 квадрата в 3 квадрата головоломки со спичками

Переместите 8 палочек и превратите 5 квадратов в 2 квадрата головоломки со спичками

Сначала сделайте 3 палочки и сделайте 2 квадрата головоломки из спичек

Вторая сделайте 3 палочки и сделайте 2 квадрата головоломки из спичек

Удалите 3 спички, чтобы получить загадку из 6 треугольников

Добавьте 3 спички, чтобы получилось 4 треугольника — головоломка с палкой нестандартного мышления

Переместите 1 палку, чтобы образовать 4 замкнутые формы, каждая с 3 или 4 сторонами

Переместите 2 палки, чтобы собрать 5 замкнутых фигур из спичек

Переместите 2, чтобы собрать головоломку из 7 спичек — решение, основанное на решении проблем и инновационной модели

Переместите 4, чтобы перевернуть башню Головоломка со спичками

Переместите 2 спички, чтобы получилось 6 квадратов, и переместите 8 спичек, чтобы получилось 6 квадратов — пара головоломок со спичками

Переместите 3 спички, чтобы вынуть вишенку из бокала, и переместите 2 спички, чтобы вынуть вишенку — пара головоломок из спичек

Переместите 6 спичек, чтобы получилось 5 квадратов

Переместите 2 спички и сложите 1, чтобы получить загадку 2 ромба

Переместите 4 спички, чтобы собрать 5 треугольников, головоломка со спичками

Удалите 4 спички, чтобы получить 4 равных треугольника. Головоломка

Найдите одну фальшивку из 12 шариков, одинаковых в 3 весах

Пазл из 12 шаров: у вас есть 12 шаров, похожих по внешнему виду на один поддельный

12 мячей взвесьте 3 раза, чтобы найти один фальшивый.Все 12 мячей выглядят одинаково, и у вас есть весы без утяжелителей. Время решить загадку с 12 шарами 40 мин.

У вас есть 12 шаров, идентичных по внешнему виду, но один фальшивый мяч легче или тяжелее других 11 шаров. Весы с двумя чашами — это единственный инструмент для взвешивания, который у вас есть. И у вас нет весов, чтобы взвесить 12 мячей.

Вы должны взвесить 12 шаров 3 раза на весах и определить, какой из них является фальшивым, И является ли он легче или тяжелее остальных 11 шаров.

Время на решение: 40 минут.

Попробуйте, прежде чем продолжить.

Бонусная головоломка

Сможете ли вы найти все возможные способы решить загадку?

Никаких ограничений по времени для этого, равно как и никакого решения от нас. Это только для тебя, если тебе интересно.

Решение загадки 12 шаров

Чтобы определить первую комбинацию весов, примените стратегию наилучшего разделения и господства и принцип симметрии

Каким должен быть лучший план для первого взвешивания?

Стоит ли сначала взвесить 6 против 6 шаров? Это приведет к тому, что все 12 шаров будут считаться подозреваемыми после первого взвешивания — количество подозрительных шаров не уменьшается вообще, за исключением того, что шары разделяются на две группы по 6 шаров, содержащие более легкий или более тяжелый шар.

Работа с 12 подозрительными шарами, даже если они разделены на две группы и осталось всего две попытки взвешивания, кажется слишком сложной.

Оставив этот более сложный путь действий с большим количеством будущих осложнений, примите действие, которое будет иметь на меньшее количество подозрительных шаров после взвешивания,

Разделите 12 шаров на три группы: два набора шаров одинакового размера, взвешенные друг против друга, и третий набор шаров, оставленный в стороне.

Максимальное количество подозрительных шаров будет не более 10 после этого взвешивания.

Следующий вопрос возникает немедленно,

Как лучше всего разделить 12 мячей на 3 группы?

Тогда задача

Две группы равного количества шаров должны быть взвешены друг против друга, а третья группа шаров должна быть отложена.

Сначала перечисляет все возможные способы, которыми 12 может быть разделен на 3 чисел в этом случае взвешивания. Это метод исчерпывающего перебора . Вы используете числовые комбинации, возможные при условии два числа, равных друг другу.

Можно разделить 12 на три такие группы:

$ 12 = 5 + 5 + 2 $,

$ 12 = 4 + 4 + 4 $, или

12 $ = 3 + 3 + 6 $.

Вы, , останавливаетесь на комбинации 3-го размера оставшейся группы 6 , потому что следующая комбинация $ 12 = 2 + 2 + 8 $ будет иметь оставленных размеров группы как 8 шаров, слишком большое число для обработки в 2 взвешивание с неизвестной даже природой фальшивого мяча. Это будет сложнее, чем разделить 12 подозрительных шаров на две группы по 6 после первого взвешивания.

Здесь есть компромисс. Давайте проясним компромисс ,

Если количество шаров, выбранных для 1-го взвешивания, больше, оставленная группа шаров будет меньше, и наоборот.

Почему мы называем это компромиссом?

Это связано с характером результатов 1-го взвешивания,

1. Если две чаши идеально сбалансированы, фальшивый шар должен быть в третьей группе оставленных шаров с , даже если фальшивый шар легче или тяжелее известен.Ответ будет труднее найти с таким большим количеством оставленных в стороне подозрительных шаров.
2. Если одна из кастрюль опускается, все взвешенные шары считаются , но делится на две группы, содержащие более легкий или более тяжелый поддельный мяч. Чем больше это общее количество шаров, тем труднее будет получить ответ.

Тогда самый простой вариант — сохранить размеры обеих взвешенных групп и оставить группу как можно меньшими.

В этой ситуации наиболее многообещающим курсом действий будет следовать общему принципу решения проблем , основанному на опыте — , как лучше всего разделять и побеждать ,

Разделите врага на группы наименьшего размера с группами, максимально равными друг другу.

Следуя этому принципу, все три размера группы должны быть как можно меньшими, то есть 12 должны быть разделены на три группы по 4 шара в каждой,

12 $ = 4 + 4 + 4 $.

Эта стратегия также следует принципу симметрии ,

Если вы увеличите симметрию задачи с помощью действия , это будет вашим САМЫМ ПЕРСПЕКТИВНЫМ ДЕЙСТВИЕМ.

Таким образом, вы выбираете наиболее многообещающий курс действий для более быстрого решения,

Взвесьте первым, 4 мяча против 4 других, с 4 мяча отложены.

На рисунке ниже показана первая комбинация весов .

Может быть трех результатов или результатов вашего взвешивания.

Результат 1 из 12 шаров: первый результат 1-го взвешивания — правая чаша опускается, а левая чаша поднимается.

Заключение: Все восемь мячей подозрительны. В частности,

1.1. Либо на левой стороне восходящие четыре шара содержат поддельный зажигательный шар , или

1.2. Правая опускающаяся сковорода содержит ложный более тяжелый шар .

На рисунке ниже показана ситуация.

Результат 2 из 12 шаров: вторая возможность — левая чаша опускается вниз:

Заключение: Все 8 мячей подозрительны. В частности,

2.1. Либо левая сторона, нисходящая 4 шара содержит ложный более тяжелый шар , либо

2.2. Поднимающийся вверх поддон с правой стороны содержит поддельный шар зажигалки .

По сути, для этих двух результатов потребуются очень похожие действия, что и для результатов 1.1 и 1.2.

Таким образом, вы не будете анализировать эти два результата дальше — анализа результатов 1.1 и 1.2 должно быть достаточно для достижения решения и для этого результата.

Результат 3 загадки из 12 шаров: Третья возможность — сковороды одинаково сбалансированы:

Заключение:

4 оставленных шара должны содержать фальшивый мяч, более легкий или тяжелый и,

Все 8 взвешенных мячей являются хорошими мячами.

Давайте сначала решим третий результат .

Решение головоломки Результат 3 из 12 шаров: В 4 + 4 1-м взвешивании две чаши уравновешены: Нахождение фальшивого шара среди 4 оставленных подозрительных шаров в 2-х мячах весом

Первое заключение анализа,

При 2-м взвешивании вы не можете взвесить два подозрительных шарика против двух других подозрительных шариков , потому что после этого второго взвешивания у вас все равно останется 4 подозрительных шарика , хотя они разделены на две группы противоположного характера, только с одним взвешиванием попытка оставлена. Решение невозможно.

Вы можете проверить правильность этого вывода.

Итак, до увеличьте количество идентифицированных хороших шаров и уменьшите количество подозрительных шаров на этом втором этапе,

Вы должны разбить проблемную группу из 4 шаров на три группы.

Вы снова применяете , как лучше всего разделять и властвовать.

Посмотрите вперед и подумайте , чтобы представить, что произойдет в худшем случае , если вы оставите в стороне 2 мяча и взвесите 1 против 1. Вы выполняете анализ наихудшего случая в сочетании с анализом последствий , которые представляют собой общих методов управления и решения проблем.

Если весы сбалансированы, у вас останется 10 хороших мячей, но 2 мяча неизвестного типа. Заключение,

При таком подходе также невозможно найти фальшивый мяч и его природу среди 2 непроверенных мячей за одно взвешивание.

ФИРМЕННОЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

При втором взвешивании можно отложить только 1 мяч.

И чтобы число взвешиваемых шаров было ЧЕТНЫМ,

Просто добавьте 1 хороший мяч из группы 8 хороших и взвесьте 2 подозреваемых против 1 хорошего и 1 подозреваемого.

Окончательное решение: Загадка из 12 шаров: Вторая комбинация взвешивания для 3-го результата:

Добавьте 1 хороший мяч из 8 к 4 подозрительным мячам, отложите 1 подозрительный мяч и взвесьте 1 хороший мяч плюс 1 подозреваемый мяч против 2 подозрительных мячей. Из 8 хороших мячей семь не используются.

На следующей схеме показана комбинация весов . Подозрительные шары заштрихованы оранжевым цветом, подозрительный шар левой чаши отмечен буквой L, а правая чаша подозрительного шара помечен как R. взвешивание.

Возможные результаты:

3.1. Чашки неуравновешены: одна чаша поднимается, а другая опускается при втором взвешивании после того, как чаши уравновешены при первом взвешивании.У этого есть две возможности:

3.1.1. Левая кастрюля с хорошим шаром опускается, а правая кастрюля с двумя подозрительными шарами поднимается.

3.1.2. Левая чаша с хорошим мячом поднимается, а правая чаша с двумя подозрительными шарами опускается.

3.2. Посуда снова уравновешивается при втором взвешивании после того, как чаши уравновешиваются при первом взвешивании.

Заключение и действие по результату 3.2 прост — оставленный единственный подозрительный шар должен быть фальшивым.Просто взвесьте его с хорошим мячом, и вы поймете, легче он или тяжелее.

Заключение по результату 3.1.1. Если левая чаша с 1 хорошим шаром опускается вниз: Либо L-шар в левой чаше тяжелее, либо два R-шара в правой чаше легче. Если сковорода с 1 хорошим шаром поднимется вверх, вывод будет прямо противоположным, и действия будут очень похожими.

Таким образом, мы будем анализировать только результат 3.1.1 о том, что левая чаша с 1 хорошим мячом упала во 2-м взвешивании.

Решение задачи «Результат 3.1.1 из 12 шаров»: когда чашки одинаково уравновешены при 1-м взвешивании И чаша с 1 исправным шаром опускается во 2-м взвешивании

Возможные выводы: если левая чаша с 1 хорошим шаром опускается,

Либо , либо единственный подозреваемый мяч с хорошим мячом (оранжевый заштрихован и отмечен L), тяжелее ,

Или, , два правых шарика (с оранжевым заштрихованным и отмеченным R) содержат поддельный зажигалку .

У вас остается 3 подозрительных шара, разделенных на две группы, идентифицируемые природой, по количеству шаров с номерами 1 и 2.

Это наилучший результат после второго взвешивания. Вы достигли этого результата с помощью систематических аналитических методов и приемов — вовсе не случайно.

Вы еще не совсем уверены, но,

Одно взвешивание все еще остается у вас, а количество подозрительных шаров составляет 3-1, возможно, более тяжелый фальшивый, или один из двух других, возможно, более легкий фальшивый.

Снова выполните Анализ последствий наихудшего случая .

В 3-й попытке , , если вы взвесите предполагаемый более тяжелый шар относительно более легкого шарика из правой чаши , и чаша с предполагаемым более легким шаром поднимется вверх, вы не можете быть уверены, какой из двух является фальшивым. Итак, эта комбинация взвешивания отклонена.

Единственно возможная 3-я комбинация взвешивания состоит в том, чтобы взвесить 1 предполагаемый более легкий поддельный шар в правой чаше против другого правого поддельного шара той же природы , оставив в стороне 1 предполагаемый более тяжелый шар из левой чаши.

Какая бы сковорода ни поднималась, у нее будет фальшивый шар зажигалки (поскольку оба взвешенных шара предположительно легче).

Если две чаши уравновешивают, предполагаемый более тяжелый оставленный мяч на самом деле является поддельным более тяжелым мячом.

Обратите внимание, как в этом случае мы также использовали , как лучше всего разделить и победить стратегию вместе с , постепенно сужая рассуждения сериями из вопросов, ответов и анализа или технику QAA .

Посмотрим визуально эту третью комбинацию весов.

Решение для результата 3.1.1 головоломки из 12 шаров: Третья схема взвешивания для результата 3.1.1

Взвесьте два подозрительных шара в правой чаше, расположив их напротив друг друга. — Оранжевый заштрихованный R против другого оранжевого затененного R. Один из них — фальшивая зажигалка , если одна сторона поднимается вверх. Если две сковороды уравновешены, оставленный подозрительный мяч будет поддельным более тяжелым мячом.

Это показано на следующей схеме.

Окончательные выводы из 3-го взвешивания для результата 3.1.1 головоломки из 12 шаров:

Выводов может быть только два,

1. Поднимающаяся сковорода содержит поддельный шар зажигалки.

2. Если сковороды уравновешивают, единственный подозреваемый шар в левой чаше ранее — это поддельный более тяжелый шар .

Первый показан на рисунке слева, а второй — справа, как показано ниже.

Вы еще не закончили решение головоломки — вам нужно проанализировать возможности для первого результата 1 первого взвешивания.

Решение головоломки «Результат 1 из 12 шаров»: Изучение 1-го результата первого взвешивания 4 + 4, когда левая чаша с 4 шарами выросла

Схема результата 1 первого взвешивания показана ниже для удобства.

И ВЫВОД: Все 8 мячей подозрительные. В частности,

1.1. Либо на левой восходящей чаше с четырьмя шарами находится поддельный шар зажигалки,

1.2. Или, правая опускающаяся чаша с четырьмя шарами содержит поддельный более тяжелый шар.

Все 8 предполагаемых поддельных шаров окрашены в оранжевый цвет, при этом идущие вверх левые шары панорамирования отмечены буквой L, а нисходящие правые шары панорамирования отмечены буквой R для облегчения дальнейшего использования.

Анализ и решение о взвешивании для второго взвешивания для двух групп по 4 подозрительных шарика в каждой — всего 8 подозрительных шариков

Для второго взвешивания вы без колебаний примените стратегию наилучшего способа разделить и победить, разделив 8 на 3 группы,

Разделите 8 шаров на 3 группы числовой силы как можно ближе друг к другу — 3 + 3 + 2.

Непосредственно возникает вопрос : , взвесите ли вы просто 3 шара L левой чашки против 3 мячей правой чашки R?

Это явно невыполнимая комбинация , как и в наихудшем исходе этого второго плана взвешивания , если чаша с 3-литровыми шарами снова поднимется, у вас все равно останется 6 подозрительных мячей и 1 оставшаяся попытка взвешивания. Этот план не даст вам решения.

Что делать?

Ответ ясен.

Вы должны улучшить наихудший результат 2-го взвешивания.

Как?

Опять же, ответить несложно,

Вместо того, чтобы взвешивать 3 против 3, вы отложите 3 мяча и добавите 1 хороший мяч к остальным 5, чтобы взвесить 3 против 3 — количество подозрительных мячей в худшем случае снизится до 5.

Это имеет смысл, и вы принимаете твердое решение. — оставляете в стороне 3 подозрительных шара.

Какие из них оставить в стороне? Не могли бы вы отложить 3 шарика L (или 3 шарика R) все той же природы?

Имея уже опыт поиска ответа в 3-м взвешивании с шаром 1 L и 2 R-шарами, которые окончательно оказались подозрительными (в третьей схеме взвешивания для результата 3.1.1), вы с уверенностью принимаете следующее решение:

Вы должны отложить 1 шарик L и 2 шарика R.

Осталось

шаров 3 L и 2 R.

Добавьте 1 хороший мяч, чтобы получилось четное число для взвешивания — 3 + 3 (предполагаемое разбивание мяча будет 2 + 3 + 3 вместо 3 + 3 + 2).

Этот еще больше упростит последнее взвешивание наихудшего возможного результата , потому что у вас все еще может быть 5 подозрительных шаров, но у них будет более сбалансированная комбинация природных шаров — 3 L-шара и 2 R-шара (вместо 4 L-мячей и 1 шар R, который приведет к более сложному наихудшему исходу.

Это очень мощный общий метод увеличения симметрии или уменьшения асимметрии в природе взвешиваемых мячей , вступающих в игру.

Исходя из опыта, мы выяснили истину, что

Если вы можете усилить симметрию проблемы с помощью действия, это действие будет вашим наиболее многообещающим действием для решения проблемы.

Примечание: При решении сложной головоломки и многих сложных математических задач использовалась эта абстрактная техника, что привело к гарантированному быстрому решению.

Хорошо, возвращаясь к нашей головоломке, после принятия решения о том, какие шары нужно оставить в стороне, у вас будет 3 шарика L и 2 шарика R.

Подумайте на мгновение, что если вы просто взвесите 3 л на левой чаше с 2 R плюс 1 хороший на правой чаше, худшим исходом все равно будет эти 5 подозрительных шаров, оставшихся подозрительными. Никакого прогресса.

Как же тогда исправить эту ситуацию?

Если вы все еще с нами так долго, ОСТАНОВИТЕСЬ и подумайте, как выбраться.

Да, конечно. Вы могли бы снова,

Примените ту же технику увеличения симметрии в природе шаров в двух группах , взвешенных просто путем ЗАМЕНА 1 L шара на 1 R мяч.

Как вы думаете, это максимум, что вы можете сделать на данный момент. Тогда комбинация взвешивания для 2-го взвешивания будет

.

Левая чаша: 2 L шарика + 1 R шар — Правая кастрюля: 1 R шар + 1 L шар + 1 хороший шар.

Вторая комбинация взвешивания для результата 1 первого взвешивания показана ниже.

Три возможных результата, действия и выводы для решения головоломки теперь легко визуализировать,

1.1 Левая чаша поднимается вверх: Поддельный шар находится в двух предполагаемых более легких L-шариках в левой чаше или одном предполагаемом более тяжелом R-шаре в правой чаше. Теперь вы легко найдете поддельный мяч по , используя метод решения для результата 3.1.1.

1.2 Правая чаша поднимается: Поддельный шар может быть либо более легким L-шаром в правой чаше, либо подозрительным более тяжелым R-шаром в левой чаше. Взвесьте любого из этих двух оставшихся подозреваемых против хорошего мяча, и вы узнаете ответ.

1.3 Две чаши идеально сбалансированы: Фальшивый мяч должен находиться в 3-х сторонних шарах. Это будет один из двух предполагаемых более тяжелых R-мячей или более легкого L-шарика. Решите, как прежде, используя метод решения для результата 3.1.1.

Нет необходимости вдаваться в подробности. Верно?

Конечная нота

Слишком сложно?

Поначалу может так показаться. Но шаги, которым вы следовали, никогда не отклонялись от систематического, логичного и подхода к выбору наиболее многообещающего пути.

Для ключевых достижений вы также использовали мощные методы решения общих проблем.

С таким пошаговым методом решения с привязкой к разуму, , если вы просто вспомните несколько ключевых идей , вы легко сможете повторить процесс самостоятельно, не обращаясь к этому длинному решению, сделанному более длинным для подробного объяснения.

Фактическое решение с использованием этих методов должно занять максимум 30 минут.

Наконец, если вы серьезно исследуете, чтобы найти ответ самостоятельно, вы можете открыть новые способы решения этой сложной головоломки, а также , вы поймете причины и потребности предпринятых действий и применяемых методов.

Пазлы, которые могут вам понравиться

Загадки

Загадка с двумя кувшинами

Загадка воссоединения трамвая

Загадка о переходе 4 человек через мост через реку ночью

Загадка с тремя ящиками

ЗАГАДКА РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ — Создание и применение техники, основанной на повторении паттернов

Самолет-загадка, летающий вокруг света

Загадка лжи и правдивых близнецов

Загадка двух кувшинов по 1 литру молока

Как Соня могла продать загадку на полпуделя

Математические пазлы

Обратный чек

Решение головоломки обратного чека

Пазлы о подсчете яиц на основе леммы Евклида о делении

Пазл Обезьяна и кокосы с решениями

Пазл с 10-значными числами Конвея и решением

Самая сложная геометрическая головоломка в мире, решенная с помощью пошаговых методов

Задачи сложной алгебры, решаемые с помощью основных экспонентных понятий и рассуждений

Три квадрата в треугольнике

9 квадратов в прямоугольной математической головоломке

Сколько знаков сложения необходимо, чтобы получить сумму 99

Головоломки логического анализа

Решение задачи логического анализа Эйнштейна на основе методов, чьи рыбы

Как решить головоломку Эйнштейна, чья рыба уверенно, решение на основе улучшенного метода

Логическая головоломка, Когда день рождения Шерил

Загадка лжеца и рассказчика правды с легким пошаговым решением

Пазлы переходы через реки

Фермер пересекает реку с лисой, гусем и мешком кукурузы

Пазл: две свиньи и две курицы переходят реку

3 обезьяны и 3 человека переходят реку Пазл

Король королева-министр пазл для переправы через реку

Пазлы для взвешивания мячей

Найдите более тяжелый среди 8 одинаковых шаров в 2 головоломке с взвешиванием

Пазл с 8 шариками: Найдите фальшивый мяч за 3 веса

Найдите фальшивый мяч среди 9 одинаковых шаров в 3 головоломке с взвешиванием

Найдите фальшивый мяч среди 12 одинаковых шаров в 3 сложной головоломке с решением для взвешивания

Пазлы со спичками

Решение от 6 треугольников до 5 треугольников за 2 хода, первая головоломка со спичками

Головоломка со спичками 5 на 4 квадрата за 2 хода

Головоломка со спичками: от 5 до 4 клеток за 3 хода

Головоломка со спичками, переверните рыбу за 3 хода

Пятая головоломка со спичками, переместите 3 палочки в крестики-нолики, чтобы сформировать 3 идеальных квадрата

Шестиугольное колесо на 3 треугольника путем удаления 4 стержней

Преобразуйте 5 квадратов в 4 за 3 хода палкой, третья головоломка из 5 спичек

Головоломка со спичками — Сделайте прыжок носом воздушного змея за 5 движений рукоятью

Сделайте 5 квадратов из 6 за 2 движения палкой — головоломка из 6 квадратных спичек

Переместите 3 палки и превратите 5 квадратов в 4 квадрата в 4-й головоломке из 5 спичек

Переместите 3 палки и превратите 4 квадрата в 3 квадрата головоломки со спичками

Переместите 8 палочек и превратите 5 квадратов в 2 квадрата головоломки со спичками

Сначала сделайте 3 палочки и сделайте 2 квадрата головоломки из спичек

Вторая сделайте 3 палочки и сделайте 2 квадрата головоломки из спичек

Удалите 3 спички, чтобы получить загадку из 6 треугольников

Добавьте 3 спички, чтобы получилось 4 треугольника — головоломка с палкой нестандартного мышления

Переместите 1 палку, чтобы образовать 4 замкнутые формы, каждая с 3 или 4 сторонами

Переместите 2 палки, чтобы собрать 5 замкнутых фигур из спичек

Переместите 2, чтобы собрать головоломку из 7 спичек — решение, основанное на решении проблем и инновационной модели

Переместите 4, чтобы перевернуть башню Головоломка со спичками

Переместите 2 спички, чтобы получилось 6 квадратов, и переместите 8 спичек, чтобы получилось 6 квадратов — пара головоломок со спичками

Переместите 3 спички, чтобы вынуть вишенку из бокала, и переместите 2 спички, чтобы вынуть вишенку — пара головоломок из спичек

Переместите 6 спичек, чтобы получилось 5 квадратов

Переместите 2 спички и сложите 1, чтобы получить загадку 2 ромба

Переместите 4 спички, чтобы собрать 5 треугольников, головоломка со спичками

Удалите 4 спички, чтобы получить 4 равных треугольника.