Математика и криптография: О применениях математики в криптографии

Содержание

О применениях математики в криптографии — Математическая составляющая

О применениях математики в криптографии

Поделиться

Андрей Михайлович Зубков

Одной из важнейших областей применений математики является криптография — наука о шифрах, т. е. способах преобразования информации, позволяющих скрывать её содержание от посторонних. Государство, не имеющее возможности защищать дипломатическую, военную и иную секретную переписку, неизбежно проиграет в борьбе с конкурентами.

С развитием электронных коммуникаций криптография стала предметом интереса более широкого круга потребителей: возникла необходимость защиты технических, коммерческих, персональных и других данных, передаваемых негосударственными организациями по общедоступным каналам связи.

Основы современной теории секретной связи были разработаны Клодом Шенноном во время Второй мировой войны. Им была теоретически обоснована возможность построения совершенного шифра — такого способа шифрования, что у перехватившего преобразованное сообщение злоумышленника не будет ни одной «зацепки» для выделения исходного сообщения.

Допустим, что есть сообщение, которое надо зашифровать и передать получателю. Сначала исходное сообщение «оцифровывают», записав его в виде двоичной последовательности, состоящей из нулей и единиц. Способы преобразования сообщения (и шифрование, и расшифрование) можно подготовить заранее, если условиться, что сообщение в виде двоичной последовательности должно иметь не более $T$ знаков. Строится секретная случайная двоичная последовательность длины $T$ (например, её можно получить, подбрасывая $T$ раз идеальную монету и полагая очередной знак равным 1, если выпал «орёл», и 0, если выпала «решка»). Эту секретную последовательность («ключ») необходимо доставить отправителю и получателю так, чтобы никому, кроме них, она не была известна. Когда придёт время передачи, отправитель воспользуется ключом: «сложит по модулю 2» (т. е. по правилу $0+0=0$, $0+1=1$, $1+1=0$) каждый знак передаваемого сообщения с соответствующим знаком ключа. Полученная последовательность и будет зашифрованным сообщением. Приняв зашифрованное сообщение, получатель также воспользуется секретным ключом: прибавит (по модулю 2) к каждому знаку зашифрованного сообщения соответствующий знак ключа и восстановит исходное сообщение.

Описанный шифр является совершенным, так как прибавление к шифрованному сообщению всех возможных двоичных последовательностей длины $T$ даёт все возможные двоичные последовательности, и выделить из них истинное сообщение без знания ключа будет невозможно. Однако если использовать ту же секретную последовательность ещё хотя бы раз, то шифр перестанет быть совершенным.

Понятно, что применять подобные шифры при больших объёмах переписки неудобно. Как правило, для шифрования используют электронные устройства или компьютерные программы, реализующие сложные алгоритмы преобразования сколь угодно длинных сообщений с помощью секретных ключей. Таким образом, при выбранном алгоритме зашифрованное сообщение является функцией от исходного сообщения и ключа. Эту связь можно рассматривать как уравнение относительно ключа, если известны алгоритм, исходное и зашифрованное сообщения. Чтобы обеспечить практическую невозможность решения таких уравнений перебором всех возможных ключей, множество этих ключей должно быть астрономически велико.

В последние десятилетия в криптографии стали появляться шифры, стойкость которых обосновывается сложностью решения чисто математических задач: разложения больших чисел на множители, решения показательных сравнений в целых числах и других. Стойкость шифров зависит также и от качества генераторов случайных чисел, порождающих ключи.

Методы и результаты различных разделов математики (в частности, алгебры, комбинаторики, теории чисел, теории алгоритмов, теории вероятностей и математической статистики) используются как при разработке шифров, так и при их исследованиях, в частности, при поиске методов вскрытия шифров. Шифр можно считать стойким, пока при его исследовании не выявляются особенности, которые потенциально можно использовать для вскрытия шифра. Для пользователей шифра очень важно узнать, что он ненадёжен, раньше, чем этим смогут воспользоваться злоумышленники.

Криптография является богатым источником трудных математических задач, а математика — одной из основ криптографии. История показывает, что рано или поздно развитие математических методов и техники приводит к тому, что задачи, казавшиеся неразрешимыми, находят решение. Отставание в творческом соревновании математиков разных стран может привести к поражениям в экономике, дипломатии и военных операциях.

Литература

Дориченко С. А., Ященко В. В. 25 этюдов о шифрах. — М.: ТЕИС, 1994.

Введение в криптографию / Под ред. В. В. Ященко. — 4‐е изд. — М.: МЦНМО, 2012.

от сцитала до RSA / Блог компании Leader-ID / Хабр

Красота математики в современном шифровании выражается в том, что когда у вас есть зашифрованное сообщение и открытый ключ, которым его шифровали, на расшифровку современными вычислительными мощностями может уйти бесконечность. При этом расшифровка со вторым (секретным) ключом пройдет практически мгновенно. Но эта революция произошла относительно недавно, а до этого столетиями использовали другие принципы.

Под катом несколько исторических примеров систем шифрования, а также математические принципы, заложенные в современных алгоритмах с открытым и закрытым ключом. А поскольку все гениальное просто, в статье не будет сложных формул и чрезмерного занудства.

Этот пост — адаптация лекции Евгения Бережного, доктора физико-математических наук и профессора математического факультета ярославского Демидовского университета, которая прошла в Точке кипения ЯрГУ.

Давайте на примерах рассмотрим общие принципы криптографии, существовавшие до эпохи вычислительных машин.

Шифрование в древности: несколько примеров

Натан Ротшильд когда-то сказал легендарную фразу, что тот, кто владеет информацией — владеет миром.

И хотя с тех пор никто нам внятно так и не объяснил, зачем нужно этим миром владеть, информация в цене только растет.

Когда у человека появились ценные сведения, возникла потребность в ограничении доступа к ним. Это означает, что одна группа людей должна понимать сообщение, а для другой группы эта информация должна быть закрытой.

Первые попытки закрыть информацию были, по теперешним меркам, наивно-примитивны: часть информации просто писали на другом языке.

Например, вместо греческого языка текст писали на латинском. Это делали для той части греков, которые не знали латынь.

Пример текста диалога Платона и Евтифрона на греческом и латинском языках под редакцией Роберта Этьена (репринт 1578 года)

Современная криптография работает по похожему принципу — изобретается некий «язык», который недоступен основной массе.

Сцитала — первый механический шифр

Одна из первых криптографических систем и первых попыток изобрести свой секретный язык — шифросистема сцитала (другое название — скитала).

Главная деталь такой системы — стержень или конус определенного диаметра. На него наматывали длинную полоску бумаги, на витках которой записывали текст. Затем бумагу снимали и отправляли, скажем, в другой город, где получатель имел цилиндр или конус аналогичной формы. Намотав такую бумагу на такой стержень, человек мог прочитать послание.

Чтобы такая система работала, необходимо, чтобы и на передаче, и на приёме для восстановления информации использовали один и тот же цилиндр. Это был один из самых первых известных нам механических шифров. И, если говорить современным языком, он был не очень криптостойким.

Шифр Цезаря

Следующие шифросистемы были более хитрыми. Например, стоит упомянуть так называемый «шифр Цезаря». Суть шифра состояла в подмене значений. Предположим, у нас есть алфавит, неважно какой — латинский, русский, цифровой. И есть цифры — от единицы до пяти. Каждой цифре соответствует другая цифра, например, единице — тройка, двойке — пятерка, тройке — четверка, четверке — двойка, пятерке — единица. Таким образом, если необходимо было передать сообщение в виде последовательности цифр 1, 2, 3, 4, 5, информацию кодируют как 3, 5, 4, 2, 1. Для восстановления исходной информации на приеме используют табличку с теми же соответствиями символов.

Подмену символов делали разными способами. Например, одному символу могли соответствовать сразу несколько символов алфавита. Для упрощения дешифровки использовали сдвиг алфавита на заданное число символов. Все эти типы шифров — вариации шифра Цезаря. В каждом таком случае для шифрования информации на передаче и дешифровки на приеме использовали один и тот же ключ — табличку с сопоставленными исходными и подменяемыми символами.

Поворотная решетка: надежный механический шифр

Совершенствуя навыки тайнописи, человек создавал все более экзотические шифры. Один из них — поворотная решетка. Как и в случае со сциталой, это механический шифр. Для него необходим специальный инструмент: некий квадратный трафарет с вырезанными отверстиями-окошечками. В этих отверстиях писали текст сообщения. Далее решетку поворачивали на 90 градусов относительно центра, и отверстия попадали на чистые поля бумаги, где можно было продолжать текст. Потом решётку поворачивали еще два раза. Когда текст сообщения заканчивался, оставшиеся пустые места заполняли случайными буквами.

В результате написанный текст образовывал некий массив бессвязных символов. Для восстановления информации, то есть на приеме, использовали аналогичную поворотную решетку с тем же набором отверстий. Криптостойкость такой системы зависила от числа ячеек в решетке. Чем больше окошечек, тем выше стойкость шифрования поворотной решеткой.

Обычно под криптостойкостью понимают количество идентичных шифров, похожих на данный. Если вернуться к шифру Цезаря и нашему примеру с цифрами от единицы до пяти, то всего количество перестановок будет 5!. Поэтому криптостойкость нашего примера шифрования будет 1/5!. Это, конечно, не очень большое число, но если у нас 32 элемента в алфавите, то вероятность того, что мы угадаем шифр, уже будет 1/32!.

Если число элементов поворотной решетки вдоль одной стороны будет 4n, то криптостойкость метода составит 4²ⁿ.

По мере развития криптографии появлялось все больше и больше «секретов», в то время как главный принцип — замещения — оставался неизменным.

Криптографические приемы нашли место во многих литературных произведениях, особенно в детективах. В рассказе «Пляшущие человечки» Конан Дойл описал шифр, где использовали принцип замещения — каждой букве присваивали свой рисунок человечка. Шерлок Холмс блестяще справился с разгадкой этого шифра, используя простую логику и принципы построения фраз.

Оригинальный шифр из книги Артура Конан Дойла. Человечки с флагами работают пробелами

Переход в эпоху вычислительной техники и создание несимметричного шифра

Промышленные криптосистемы появились позже, когда возникла необходимость скрывать большие объемы данных и ограничивать доступ к информации государственной важности. Во вторую мировую войну наибольшую известность обрела немецкая шифровальная машина «Энигма», историю которой все знают по фильмам «U-571», «Игра в имитацию» и других. В легендарной немецкой шифровальной машине тоже использовали шифр, основанный на шифре Цезаря, многократно усложненный.

Подробнее об алгоритме работе «Энигмы» можно узнать из этого ролика (eng.)

С появлением электроники криптографические системы заметно изменились. Метод закрытия информации стал иным: передаваемое сообщение в виде последовательного набора цифр 1, 2, 3, 4, 5 складывали с так называемой псевдослучайной последовательностью, генерируемой вычислительными машинами. На приеме для получения исходного сообщения эту избыточную информацию вычитали с помощью тех же вычислительных машин.

Еще лет пятьдесят назад подобные способы закрытия данных считали относительно надежными: их, например, широко использовали вооруженные силы. Ключевой момент таких систем шифрования в том, что и на передаче сообщения, и на приеме используют, грубо говоря, одну «перфокарту», которая содержит псевдослучайную последовательность — один пароль.

RSA — имея зашифрованное сообщение и шифровальный ключ, расшифровать практически нереально

К середине восьмидесятых годов прошлого века никаких новых методов закрытия информации не появилось, и многие сочли криптографию устаревшей наукой.

Даже в опубликованной в 1988 году советской брошюре по криптографии было написано, что эта тема себя исчерпала и не может содержать ничего нового.

Автор брошюры ошибался. В это же время в Массачусетском технологическом институте трое сотрудников — Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман — придумали новую шифросистему с высокой криптостойкостью, которая базировалась на принципах, отличных от тех, что использовались ранее.

Ади Шамир, Рональд Ривест и Леонард Адлеман — создатели алгоритма несимметричного шифрования

Для взлома этой системы на то время понадобилось бы примерно 10 тысяч лет.

До ее изобретения все шифровальные методы основывались на целочисленной арифметике и использовали все множество целых чисел. Уникальность нового метода в том, что он использовал также и арифметику остатков.

Предположим, у нас есть произвольное целое число n. И давайте возьмем m=5. Произвольное число n можно поделить на пять, в результате чего получится частное плюс остаток. Остаток может принимать значение 0, 1, 2, 3, 4. Оказывается, эти остатки могут вести себя как обычные числа. Запишем две таблицы — таблицу сложения для остатков и таблицу умножения для остатков.

Таблицы остатков от сложения и деления (плюс в карму тому, кто первый найдет у лектора ошибку, сделанную по невнимательности)

Имея на руках такие таблицы, можно опять получить новую арифметику. Объекты с такой новой арифметикой обозначаются как Z(m). Остаток от деления числа a на m записывается следующим образом: a mod m = b. Мы записали таблицы для числа пять — Z(5). Аналогичным образом можно записать такие таблицы для любого натурального числа Z(m).

Пример

Предположим, мы имеем исходное сообщение, которое необходимо закрыть — x. Нам необходимо придумать некоторое число m — основание для создания Z(m), а также придумать число a. Эти два числа находятся в открытом доступе, известны всем. Кроме того известно, что m=m₀ × m₁, где m₁и m₀ — простые числа (которые делятся только на себя и единицу).

Далее согласно алгоритму шифрования создаем уравнение: x^amod m = b, где b (остаток от деления x^a на m) — наше зашифрованное сообщение. Таким образом, a,b,m — известны, и необходимо вычислить x. Для решения этой задачи нужно найти разложение m = m₀ × m₁. Как только m₁и m₀ будут найдены, расшифровать сообщение можно будет достаточно быстро через специальную систему уравнений.

Криптостойкость зависит от того, насколько большими будут числа m0 и m1 . А m, по сути, является открытым ключом, который передает отправителю получатель для шифровки сообщения

Изобретатели нового шифра зашифровали фразу, где в качестве a было взято число 1007, m₀ и m₁_{содержали примерно по 65 знаков в десятичной системе. Математики озвучили публичные а, зашифрованную фразу и m, предлагая всем желающим расшифровать секретную фразу. Также был опубликован алгоритм, как взломать эту систему. Вся криптостойкость определялась разложением m = m₀ × m₁.}

История длилась 17 лет, пока с появлением интернета у пользователей не появилась возможность задействовать сеть компьютеров с распределенными вычислениями. За 220 дней около 1600 компьютеров смогли восстановить исходную информацию, разложив m на два простых числа. Это событие показало, что криптография как наука жива.

Также это доказало непостижимую эффективность математики при решении реальных задач. Сама же система получила название RSA — по именам своих создателей.

Практическое применение криптографии

С появлением интернета возник целый класс задач, для решения которых снова и снова приходится прибегать к математике. В частности, речь идет об удаленных и защищенных действиях. Используя интернет и инструменты для закрытия информации можно, скажем, открыть счет в банке, провести платеж без личного присутствия человека. Требования к таким криптосистемам отличаются от классических, присутствовавших в жизни человека раньше.

Если при зарождении криптографии на передаче и на приеме была одна и та же шифросистема — поворотная решетка, сцитала и т. д., — то теперь ситуация кардинально иная. На передаче и приеме в новых криптосистемах применяют совершенно разные методы обработки информации.

На передаче используют простые алгоритмы, чтобы закрыть информацию (в нашем случае — возвести x в степень a), а на приеме происходит быстрое восстановление (если вам заранее известно разложение m на m₀ и m₁). Получается несимметричная система шифрования, которая удобна и надежна.

По сравнению с симметричными системами шифрования, предложенный вариант не годится для передачи данных сверхбольшого объема ввиду ресурсоемкости операций. Зато в случае несимметричного шифра отпадает необходимость в передаче секретного ключа, что весьма удобно, если необходимо использовать сеансовый пароль.

Новые принципы криптографии привели к созданию цифровой подписи — механизму, который подтверждает аутентификацию пользователя.

Им можно подписывать документы и заверять свою личность — например, в финансовых документах.

Наш ГОСТ и американский стандарт цифровой подписи основаны на эллиптических кривых и решении логарифмических уравнений. Математика, которую там используют, очень сложна, и сегодня мы опустим эти математические выкладки.

Иногда криптографию применяют в неожиданных сферах, где требуется подтверждение достоверности информации. Например, если вы, расслабившись в конце рабочего дня, сядете играть в карты, то вы можете быть уверены в честной игре, даже не имея на руках реальных карт. Скрытую информацию с помощью описанных алгоритмов всегда можно восстановить и проверить. Тем же способом же можно организовывать честное голосование без необходимости физического присутствия человека на избирательном участке.

Математика позволяет решать самые разные и сложные задачи обеспечения информационной безопасности. И по мере развития вычислительных систем алгоритмы будут только усложняться.

НОУ ИНТУИТ | Математика криптографии и теория шифрования

Форма обучения:

дистанционная

Стоимость самостоятельного обучения:

бесплатно

Доступ:

свободный

Документ об окончании:

Уровень:

Специалист

Длительность:

26:16:00

Выпускников:

392

Качество курса:

4.28 | 4.00

Данный курс дает представление о криптографии
с симметричными ключами (симметричное шифрование) — и шифровании с помощью асимметричных ключей (асимметричное шифрование).

В первой части курса описывается как традиционный, так и современный подход к процессу шифрования симметричными ключами. Лекции второй части показывают, как асимметричное шифрование может обеспечить безопасность информации.

ISBN: 978-5-9963-0242-0

Теги: AES, DES, RSA, алгоритмы, анализ, арифметика, безопасность, блочный шифр, инверсия, ключи доступа, книги, конфиденциальность, криптография, криптосистема, открытые ключи, полином, потоки, приложения, процедуры, регистр сдвига, симметричный ключ, сложность, стандарты, шифрование, электронная почта, элементы, эллиптические кривые

Предварительные курсы

Дополнительные курсы

2 часа 30 минут

—

Введение

Эта лекция преследует несколько целей: определить три цели информационной безопасности, определить виды атак на безопасность информации, которые угрожают секретности, определить службы безопасности и как они связаны с тремя задачами безопасности, определить механизмы безопасности, которые обеспечивают службы секретности, познакомить с двумя методами шифрования для реализации механизма безопасности — криптографией и стеганографией.

—

Модульная арифметика

Эта лекция необходима, чтобы подготовить читателя к дальнейшему разговору о криптографии. Лекция имеет несколько целей: рассмотреть арифметику целых чисел, которая базируется на теории делимости и нахождении наибольшего общего делителя, обратить внимание на важность модульной арифметики (арифметики над вычетами по модулю n) и операций в ней, потому что они широко используются в криптографии.

—

Сравнения и матрицы

В данной лекции рассматриваются матрицы и операции с матрицами вычетов, которые широко используются в криптографии. Используя матрицы вычетов решается набор уравнений сравнения.

—

Традиционные шифры с симметричным ключом

Эта лекция представляет собой обзор традиционных шифров с симметричным ключом, которые использовались в прошлом. Изучение принципов таких шифров готовит читателя к следующим лекциям, которые рассматривают современные симметричные шифры. Эта лекция имеет несколько целей.

—

Алгебраические структуры

Мы постараемся здесь подготовить читателя к следующим нескольким лекциям, в которых рассматриваются современные шифры с симметричным ключом, основанные на алгебраических структурах. Эта лекция имеет несколько целей: рассмотреть понятие алгебраических структур; определить и привести некоторые примеры алгебраических групп; определить и привести некоторые примеры алгебраических колец.

—

Поля

Цели данной лекции: определить и привести некоторые примеры алгебраических полей; поговорить о таких операциях, как сложение, вычитание, умножение и
деление c n-битовыми словами в современных блочных шифрах.

—

Введение в основы современных шифров с симметричным ключом

В этой лекции поставлено несколько целей. Показать различие между традиционными и современными шифрами с симметричным ключом. Привести современные блочные шифры и обсудить их характеристики. Объяснить, почему современные блочные шифры должны быть спроектированы как шифры подстановки. Ввести компоненты блочных шифров, таких как P-блоки и S-блоки. Обсудить и показать различие между двумя классами шифров: шифры Файстеля и шифры не-Файстеля. Обсудить два вида атак, особо направленных на раскрытие современных блочных шифров: дифференциальный и линейный криптоанализ. Ввести понятие «шифры для потока» и показать различие между синхронными и несинхронными шифрами. Обсудить линейную и нелинейную обратную связь регистров сдвига для реализации поточных шифров.

—

Стандарт шифрования данных (DES)

В этой лекции мы обсуждаем Стандарт шифрования данных (DES — DATA ENCRIPTION STANDARD) — современный блочный шифр с симметричными ключами. Наши основные цели для этой лекции: рассмотреть короткую историю DES; определить основную структуру DES; описать детали основных элементов DES; описать процесс генерации ключей для раундов; провести анализ DES. Особое внимание уделяется тому, как DES использует шифр Файстеля, чтобы достигнуть перемешивания и рассеивания на выходе из битов исходного текста к битам зашифрованного текста.

—

Преобразования

В этой лекции мы обсуждаем Усовершенствованный стандарт шифрования (AES — ADVANCED ENCRYPTION STANDARD) — современный блочный шифр с симметричными ключами, который может заменить DES.

—

Усовершенствованный стандарт шифрования (AES — Advanced Encryption Standard)

В данной лекции особое внимание уделяется тому, как DES использует шифр Файстеля, чтобы достигнуть перемешивания и рассеивания на выходе из битов исходного текста к битам зашифрованного текста. Описывается процесс генерации ключей для раундов;
и проводится анализ DES.

—

Простые числа

Эта лекция имеет несколько целей: ввести простые числа и их приложения в криптографии, обсудить некоторые алгоритмы проверки простоты чисел и их эффективность, обсудить алгоритмы разложения на множители и их приложения в криптографии, описать китайскую теорему об остатках и ее приложения, ввести квадратичное сравнение, ввести возведение в степень по модулю и логарифмы.

—

Квадратичное сравнение

Линейное сравнение уже рассматривалось в лекции 2, а китайская теорема об остатках была обсуждена в предыдущей секции. Для решения задач криптографии мы также должны уметь решать квадратичное сравнение, имеющее следующую форму a2x2 + a1x + a0 = 0 (mod n).

—

Криптосистемы

В этой лекции рассматриваются несколько асимметрично-ключевых криптографических систем: Рабина (Rabin), Эль-Гамаля (ElGamal), криптосистемa на основе метода эллиптических кривых (ECC — Elliptic Curve Cryptosystem).

—

Математика и криптография онлайн

Математика и криптография онлайн

29 ноября прошел заключительный этап Межрегиональной олимпиады школьников им. И.Я. Верченко по математике и криптографии. Участники решали задачи дистанционно, сотрудники университета контролировали процесс, применяя систему прокторинга.

Заключительный этап Межрегиональной олимпиады школьников им. И.Я. Верченко по математике и криптографии проходил в дистанционном формате на сервере для видеоконференций (Discord). В нем приняли участие семь учеников 8-11 классов из Лицея народной дипломатии, Физико-математического лицея-интерната, Лицея для одаренных детей.

— Дистанционный формат никак не повлиял на олимпиаду. Ребята имени возможность написать работу в домашних условиях, при этом мы контролировали процесс применяя прокторинг, — рассказал о ходе олимпиады руководитель бизнес-инкубатора в СГУ им. Питирима Сорокина Александр Некрасов.

Олимпиада по математике и криптографии проводится с 1991/1992 учебного года ежегодно и включена в Перечень олимпиад школьников, утверждаемый Министерством образования и науки России, что позволяет предоставлять льготы победителям и призерам при поступлении в вузы.

Организаторы отмечают, что никаких специальных знаний для решения задач не требуется. Предварительное знакомство с криптографией полезно чисто психологически, поскольку «внешний вид» задач может показаться необычным. Многие задачи олимпиады — криптографические. Часть задач имеют криптографическую окраску, но их суть — математическая.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии проводится ежегодно Академией ФСБ России, Академией криптографии Российской Федерации, Учебно-методическим объединением высших учебных заведений России по образованию в области информационной безопасности (УМО ИБ) при участии входящих в состав УМО ИБ вузов, других государственных образовательных учреждений и содействии иных юридических лиц. Координацию организационного обеспечения проведения Олимпиады осуществляет Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России.

Пресс-служба

Фото из открытых источников

Математика и криптография

Математика и криптография

Юных шифровальщиков приглашают в СГУ им. Питирима Сорокина на олимпиаду. 24 ноября состоится XXIX межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии им. И.Я. Верченко. Олимпиада рассчитана на учеников 8-11 классов, но к участию приглашают и школьников младших классов.

Первый этап проводится в дистанционной форме и продлится до 17 ноября 2019 года. При успешном прохождении отборочного тура с 19 ноября у участников появится возможность зарегистрироваться на второй (заключительный) этап Олимпиады. Он проводится в очной форме в СГУ им. Питирима Сорокина.

Олимпиада по математике и криптографии с 2008 года ежегодно включается в Перечень олимпиад школьников, утверждаемый Министерством образования и науки России, что позволяет предоставлять льготы победителям и призерам при поступлении в вузы.

Для участия нужно зарегистрироваться на сайте Олимпиады (http://v-olymp.ru/cryptolymp/) и пройти по ссылке «Регистрация на отборочный тур» в верхней строке раздела «Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии». Затем из списка площадок нужно выбрать СГУ им. Питирима Сорокина.

Второй этап пройдет по адресу: г. Сыктывкар, Октябрьский пр-т, 55., 412 аудитория. Желающих ждут 24 ноября 2019 года в 10:00.

По всем вопросам можно обращаться:

e-mail: [email protected]

Телефон для справок: (495) 989 34 28

Сайт олимпиады: cryptolymp.ru

Контакты площадки (СГУ им. Питирима Сорокина): [email protected]

Фото из открытых источников

Использование математики в криптографии | Статья в журнале «Юный ученый»

Защита данных с помощью шифрования — одно из возможных решений проблемы конфиденциальности информации. Зашифрованные сообщения становятся открытыми и доступными только тем, у кого есть ключ.

Криптография — наука о методах обеспечения конфиденциальности, целостности и аутентификации информации.

Под конфиденциальностью здесь понимается невозможность прочтения информации несанкционированными людьми, целостность данных подразумевает невозможность внесения в них незаметных изменений, а аутентификация означает проверку подлинности авторства и свойств данных.

Шифрование — это процесс преобразования открытого текста в шифрованный с помощью определенного алгоритма, правил и ключа.

Математические методы и вычисления неразрывно связаны с криптографическими методами, которые мы и рассмотрим:

Арифметика остатков или вычетов, используемая в шифровании и дешифровке методом простой постановки и многоалфавитной замены.

Предположим, что в русском алфавите буквы Е и Ё один элемент, так же как и буквы Ь и Ъ, если сюда прибавить символ пробела, то получится 32 символа. 0 — пробел, А — 1,.. Я — 31. Шифрование будет производиться по следующему алгоритму (например, для кодировки слова ЗИМА при помощи ключа Б):

− Берем порядковый номер первой буквы З — 8 и складываем с порядковым номером буквы ключа Б-2, получаем 10 — порядковый номер буквы Й;

− По порядку определяем другие буквы: К, О, В, получаем ЙКОВ;

− Для расшифровки используем вычитание. Если результат при сложении получился больше 31, то из него нужно вычесть 32 и использовать соответствующий символ.

2. При расшифровке без ключа может использоваться математический метод частотного анализа символов. Не секрет, что в разных алфавитах частота встречаемости разных букв разная. Например, в русском языке, наиболее встречаемая буква — «О». В таблице 1 представлены частоты встречаемости символов для русского алфавита:

Таблица 1

Частоты встречаемости символов русского алфавита в текстах

Так что для взлома достаточно большого текста, зашифрованного методом простой перестановки можно посчитать, насколько часто встречается та или иная буква в тексте и сравнить полученные частоты с данными, приведенными в таблице.

3. Стенография или метод Френсиса Бэкона. Шифрование производится битами, где все буквы русского алфавита можно закодировать двоичной системой от 00000 до 11111

Таблица 2

Кодировка букв русского алфавита в двоичной системе

Если текст написан обычными буквами и буквами, выделенными жирным шрифтом, то нужно все сообщение разбить на группы по 5 символов, в которых обычные буквы будут иметь значение 0, остальные — 1.

Также могут использоваться заглавные и строчные буквы, буквы 2 цветов и т. д.

4. Операция XOR (исключающее ИЛИ) используется, когда текст, зашифрованный в двоичной системе, дополнительно шифруется с помощью одноалфавитной или многоалфавитной замены.

Основные правила исключающего ИЛИ приведены ниже:

Эту операцию можно применять к двоичным числам. При этом она выполняется в столбик над каждым битом числа. Например:

Если сложить с помощью этого метода два двоичных числа, например X и Y, то получим число Z. Криптографическая привлекательность данной операции заключается в том, что Z+Y=X и Z+X=Y.

То есть расшифровка и зашифровка производится сложением. Это важное свойство обратимости результата постоянно используется криптографами.

В процессе изучения криптографии всегда хочется создать свой неповторимый шифр и пользоваться им с друзьями. Мне стало интересно, насколько мои одноклассники, и другие ученики нашей гимназии знакомы с шифрованием и его методами.

Для изучения этой информации была разработана анкета, состоящая из 5 вопросов:

− Как Вы считаете, необходимо ли защищать информацию?

− Какие способы защиты информации Вы знаете?

− Пользовались ли Вы когда-либо шифрами в письме или речи?

− Какие методы шифрования Вам знакомы?

− Создавали ли Вы когда-нибудь собственный шифр?

В опросе приняло участие 187 учеников 5–11 классов БОУ г. Омска «Гимназия № 115».

Анализ полученных данных показал, что 98,4 % опрошенных осознают, что информацию необходимо защищать. Знакомство с методами защиты информации неравномерно. Данные распределились следующим образом:

Рис. 1. Распределение ответов на вопрос: «Какие способы защиты информации Вы знаете?», в % к общему количеству опрошенных

Таким образом, можно утверждать, что самым известным способом защиты информации является установка паролей.

Около 67 % всех опрошенных пользовались шифрами в письме или речи.

Знакомство гимназистов с этими методами шифрования представлено на рисунке 2.

Рис 2. Распределение ответов на вопрос анкеты: «Какие методы шифрования Вам знаком?», в % к общему количеству опрошенных

Исходя из данных диаграммы, можно заключить, что 81,8 % анкетируемых знакома азбука Морзе, лишь 18,7 % учеников слышали об Энигме и только около 6 % смогли назвать другие методы шифрования, среди них: шифр Виженера, массонский шифр, атбаш, авторские тайные языки, двоичные коды, пляшущие человечки, шифры простой и многоалфавитной подстановки.

Чуть более 65 % респондентов создавали собственный шифр и пользовались им, что показывает заинтересованность гимназистов данным вопросом.

После проведения опроса было принято решение организовать криптографический квест среди старших школьников БОУ г. Омска «Гимназия 115» и БОУ г. Омска СОШ 141.

Основной целью проведения криптографического квеста является демонстрация возможностей шифрования и дешифровки для старших школьников (5–11 классы).

Проведение криптоквеста осуществляется по следующим основным этапам:

Согласование с администрацией образовательного учреждения.

Информирование потенциальных участников о мероприятии.

Разработка шифров.

Размещение первого шифра в группе социальной сети ВКонтакте в первый день мероприятия в 12:00 по местному времени.

Выявление и награждение победителя.

Каждый желающий может попробовать взломать шифр, прислать администратору кодовое слово и получить в личной переписке шифр следующего этапа. То есть шифры 2–4 этапов открыто не выкладываются.

Ученики старшей школы взламывают сообщения вне школы, уделяя данному мероприятию столько времени, сколько считают нужным.

Первый ученик, разместивший ключевое сообщение на стене группы ВК становится победителем квеста.

Криптоквест включает 4 зашифрованных сообщения. Например, в БОУ г. Омска «Гимназия 115» один из шифров был на английском языке и зашифрован с помощью решетки Кардано, 2 сообщения зашифрованы методом подстановки и одно методом Бэкона.

Участников квеста, приславших первое ключевое слово в Гимназии № 115–15. С заданием 2 тура справилось 9 учеников, 3 тур прошли 6 человек. Победителем криптоквеста стала ученица 5Г класса Будко Вероника.

Участников группы, приславших первое ключевое слово для школы 141–22. Второй тур криптоквеста прошло 12 человек, 3 тур — 5 учеников, победителем стал ученик 8В класса Юнусов Михаил.

Как показали результаты, прием кодовых слов происходил и после определения победителя, что указывает на наличие интереса и азарта со стороны учеников.

Реализация криптографических квестов показала, что дети старшего школьного возраста активно интересуются методами шифрования, сталкивались с ними, умеют применять математические методы для их взлома.

Литература:

Анин, Б. Ю. Англичане. Истоки. Шифртелеграмма Циммермана. // Радиоэлектронный шпионаж. — М.: Центрполиграф, 2017. — С. 323–327.

Дориченко С. А., Ященко В. В. 1.4 Криптография как искусство. Немного истории. // 25 этюдов о шифрах: Популярно о современной криптографии. — М.: Теис, 1994. — С. 14–18.

Душкин, Р. Шифры и квесты: таинственные истории в логических загадках. — м.: Издательство АСТ, 2017–288с.

Жельников В. Становление науки криптологии // Кpиптография от папируса до компьютера. — М.: ABF, 1996. — 335 с.

Скляров Д. В. 5.2 Криптография и наука // Искусство защиты и взлома информации. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — 288 с.

Скляров Д. В.. 6.2 Литература по криптологии // Искусство защиты и взлома информации. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — 212 с.

Токарева Н. Н. Об истории криптографии в России (рус.) // ПДМ. — 2016. — Декабрь. — С. 82–107.

Криптография и бесполезная математика. Часть 1

Знание логарифмов и интегралов мало кому помогло в обыденной жизни. Мы прекрасно считаем проценты по ипотеке или размер скидки в магазине и без этого.

Возможно, вам в школе попались учителя, которые более осознанно смогли объяснить важность этой науки: гимнастика для мозгов, расширение кругозора, понимание механик окружающего мира и прочее. Если же такие преподаватели вам не попались или вы не поверили им, надеемся, мы сможем вас сегодня переубедить. Но осторожно: здесь будет математика, вероятно даже слишком много математики. Но не страшной.

Бесполезная математика

Практическая польза математики часто не очевидна сама по себе. Иногда она не очевидна даже самим математикам. Взять хотя бы теорию чисел: это раздел математики, в котором изучают магическое взаимодействие чисел и подмечают интересные закономерности. Тем не менее он абсолютно непригоден для практического применения.

Разобраться в бесполезности математики невозможно без самой математики. Поэтому вы можете либо верить на слово, либо предпринимать попытки разобраться в механизме действия самостоятельно. Давайте условно назовем такие математические или не очень механизмы черными коробками: каждую из таких простых черных коробок, которые влезут в статью, мы попытаемся объяснить доступным языком.

Пьер Ферма был хитрым парнем и оставил после себя теоремы, которые пришлось доказывать другим математикам. Например, в черной коробке малой теоремы Ферма находится утверждение:

Есть число а, оно целое, т.е. не дробное. И есть число р, оно простое, т.е. делится без остатка только на 1 и на само себя. Если а не делится на р, то ар-1-1 делится на р. Возьмем числа 7 и 3. При делении 7 на 3 целое число не получится. Но если 7 возвести в степень 3-1 и вычесть 1 получится 48. И 48 прекрасно делится на 3 без остатка.

Интересная теорема и, на первый взгляд, абсолютно бесполезная. А особенно на взгляд математиков, которые в свое время просто не понимали, как ее использовать. Небольшой спойлер: эта теорема защищает вашу информацию каждый день, просто вы не подозреваете об этом. Пока не подозреваете, но мы до этого еще дойдем.

На самом деле, эта статья о криптографии

У человека всегда были свои секреты. И если пересказать секрет на ухо другу не составит никакого труда, то передать его на расстоянии уже гораздо сложнее. Особенно много секретов было у государственных деятелей: на это влияли условия войны, заговоров и постоянных придворных интриг. Таким образом, первые шифры были изобретены именно в политических целях.

Иудеи придумали шифр Атбаш. Правило шифрования было следующее:
замена n-ной буквы в слове производилась на букву i-n+1. Т.е. первая буква алфавита заменялась на последнюю, вторая — на предпоследнюю и так далее.

Название этого шифра происходило от букв «алеф», «тав», «бет» и «шин», то есть первой, последней, второй и предпоследней букв еврейского алфавита.

Немного сложнее был шифр спартанцев — Скитала. Для зашифровки и расшифровки сообщений они использовали специальные инструменты — цилиндры разных диаметров. Наматывая спиралью узкую полоску пергамента на палку, они горизонтально записывали сообщение. Когда пергамент разматывался, фраза зашифровывалась.

На любой лекции по криптографии вам обязательно расскажут про шифр Цезаря. Посылая тайные сообщения своим приближенным, Цезарь сдвигал буквы в алфавите на произвольное значение. Например, в кириллице при сдвиге на три позиции вперед буква «А» станет шифрованной «Г». Хорошо, если приближенный знал значение этого самого сдвига. В противном случае римский император обрекал подданных на бессонные ночи разгадывания, а самого себя — на перспективу стать одноименным салатом.

Шифр Цезаря со сдвигом тринадцать сегодня используется в алгоритме ROT13. Цифра тринадцать не имеет никакой подоплеки: просто в латинском алфавите 26 букв, и при сдвиге на 13 алгоритм зашифровки совпадает с алгоритмом расшифровки. А еще им баловался сэр Артур Конан Дойл в своем рассказе «Пляшущие человечки».

Все шифры, где используется сдвиг букв, называются моноалфавитными. Они были хороши на полях сражений Цезаря против Обеликса и Астерикса. Сегодня любой смартфон сможет расшифровать их методом перебора, но даже в те времена их разгадывали безо всяких компьютеров.

Грамматика нас всех предала

Тайное рано или поздно становится явным. И если ваш секрет о том, что вы любитель “My Little Pony”, не вызовет особых волнений даже у родственников, то вскрытие планов наступления армии может стать фатальным. Эти сведения очень важны. И, конечно же, всегда есть тот, кто захочет их перехватить.

Например, для расшифровки спартанской Скиталы был привлечен Аристотель. И довольно успешно. Он использовал конус, наматывая на него зашифрованную записку и меняя диаметр. Рано или поздно слова приобретали смысл, а сам шифр этот самый смысл терял. Другие шифры так взломать невозможно.

В стародавние времена люди не знали, что такое криптографический частотный анализ, но, сами того не подозревая, активно им пользовались — помогала им в этом грамматика. В каждом языке есть свои слабые места: наиболее очевидный пример — артикли в английском языке. Они часто повторяются в тексте и этим делают его более уязвимым. Выделяя одинаковые фрагменты шифра, можно предположить, что это артикль, узнать сдвиг и методом перебора и догадок получить ответ.

Чтобы тайное оставалось тайным нужно лучше шифровать, Цезарь.

Шифрование наносит ответный удар

И тогда был придуман полиалфавитный шифр. В нем используется совокупность моношифров: не один сдвиг, а несколько. Наглядный пример — шифр Виженера. В нем для зашифровки текста используется специальная таблица и кодовое слово. Так выглядит таблица шифра для английского языка.

Зашифруем в ней фразу «шифрырулят». Выдумаем ключ. Это может быть любое слово или фраза не длиннее самого шифра: количество букв ключа должно равняться количеству букв шифра. Пусть ключом будет слово «гуси». Повторим буквы в ключе столько раз, сколько букв в зашифрованном сообщении. Получается «гусигусигу». Теперь шифруем. На пересечении первых букв нашей фразы и ключа будет буква «ы», на пересечении вторых букв тоже «ы», дальше «е» и так далее. Готовый шифр будет выглядеть так: «ыьёщюдефвё».

Шифр Виженера тоже можно подвергнуть частотному анализу, но проследить закономерности в нем намного сложнее, ведь каждая буква сдвигается в случайном порядке. Это устраивало всех, кто передает сообщения. Перебор занимал много времени, и расшифровать сообщение вовремя было крайне сложно — информация просто устаревала.

Тем не менее бесконечная война шифровки и дешифровки продолжалась. В начале двадцатого века тенденции криптографической моды поменялись. Электромеханические машины начали шифровать за нас. И дешифровать за нас тоже.

Самое сложное и интересное в криптографии только начинается.

Какой самый низкий уровень математики требуется, чтобы понять, как работают алгоритмы шифрования?

В большинстве случаев шифрование основано на теории чисел, большая часть которой представляет собой абстрактную алгебру. Исчисление и тригонометрия широко не используются. Кроме того, следует хорошо разбираться в других предметах; в частности вероятность (включая базовую комбинаторику), теорию информации и асимптотический анализ алгоритмов. Чтобы стать хорошим программистом, нужно знать больше математики, что очень важно, если вы действительно хотите стать экспертом.Теория чисел более важна для понимания асимметричного шифрования, но она также проявляется и в симметричном шифровании (например, в AES, как получить S-блок, а MixColumns относится к пониманию полей Галуа).

Во-первых, вам нужно выучить некоторые обозначения. Такие вещи, как логические операторы, что наиболее важно для криптографии XOR (иногда обозначается кружком плюс: ⊕), где 0 XOR 1 = 1 XOR 0 = 1 и 0 XOR 0 = 1 XOR 1 = 0. Это также помогает понять обозначения и язык абстрактной математики и теории множеств; е.g., {0,1} ¹²⁸ означает набор всех строк, состоящих из 128 двоичных цифр (каждая цифра равна 0 или 1). Точно так же F: {0,1} ⁶⁴ → {0,1} ¹²⁸ означает, что F — это функция, которая отображает 64-битный ввод на вывод, который представляет собой 128-битную строку. Вам нужно будет изучить разницу между функцией, биекцией, перестановкой и т. Д., Но опять же, это в основном просто терминология относительно простых понятий.

Одна из самых важных тем — модульная арифметика. Э.2 ≡ 1 (мод. 21) . Многие языки программирования (например, C, Java, python, javascript) используют % для деления по модулю — например, 64% 21 дает 1 . Классная особенность модульной арифметики заключается в том, что вы можете просто выполнять обычную арифметику (сложение и умножение) и уменьшать в конце (или на любом этапе посередине), поскольку модульная арифметика формирует конечное поле; например, 8 ≡ 29 ≡ 50 (мод 21), поэтому, поскольку 8 * 8 ≡ 64 ≡ 1 (мод 21) , мы также знаем, что 29 * 8 = 232 ≡ 29 * 50 = 1450 ≡ 1 (мод 21) .В модульной арифметике нет разницы: 8, 29, 50 представляют одно и то же число.

Вам нужно будет понять такие вещи, как маленькая теорема Ферма, теорема Эйлера (основанная на общем), алгоритм Евклида для наибольших общих знаменателей (в частности, расширенный алгоритм Евклида для генерации мультипликативных обратных чисел), числа Кармайкла, критерий простоты Ферма, критерий простоты Миллера-Рабина. , модульное возведение в степень и дискретные логарифмы.

Если вы хотите пойти дальше, вы можете узнать о таких вещах, как конечные поля (в частности, поля Галуа), кольца полиномов, эллиптические кривые и т. Д.Это не предназначено для ограничения вещей; например, криптография (и атаки на криптографию) не обязательно ограничиваются этими типами математики. Например, NUTRUEncrypt основан на задаче решеток / кратчайших векторов, а криптосистема Мак-Элиса основана на кодах Гоппа, но, опять же, вам все равно нужно изучить приведенную выше математику, чтобы понимать эту математику.

А затем у вас есть базовая математическая подготовка, чтобы узнать о криптографии, которая не только математика, но также включает использование математики безопасными способами.e mod p q небезопасен по ряду причин — вы должны использовать безопасную схему рандомизированного заполнения для своего сообщения и, вероятно, в сочетании с симметричным шифрованием для длинных сообщений).

Бесплатные электронные справочные материалы

Справочник по прикладной криптографии — Глава 2 дает достойное введение в эти концепции для продвинутых учащихся — он вводит концепции очень быстро и компактно и, вероятно, лучше в качестве справочника или второй / третьей попытки изучения материала.
Глава 1 алгоритмов DPV (в частности, разделы с 1.2 по 1.4) дает более мягкое введение в математику, лежащую в основе RSA. ( Обновление 2015 г. : Этот предварительный оттиск книги, похоже, был снят с академического веб-сайта авторов. Хороший учебник доступен для покупки на Amazon. Я думаю, вы все еще можете найти книгу бесплатно через Выполните поиск в Google по запросу «Dasgupta Papadimitriou Vazirani алгоритмы pdf», хотя я не даю ссылку напрямую, так как не уверен, что она используется правообладателем, имеющим право на законное распространение книги.)
Shoup — Вычислительное введение в теорию чисел и алгебру — Из предисловия «Теория чисел и алгебра играют все более важную роль в вычислениях и коммуникациях, о чем свидетельствует поразительное применение этих предметов в таких областях, как криптография и теория кодирования. Цель написания этой книги состояла в том, чтобы дать введение в теорию чисел и алгебру с упором на алгоритмы и приложения, которые были бы доступны для широкой аудитории.»Очень подробный и довольно доступный.
Введение в AES на разных уровнях сложности с помощью фигурок, на последнем уровне показано, где находится теория чисел.
Курс Udacity Applied Crypto. Это больше введение в криптографию, чем математика, стоящая за ней, но при необходимости вводит математику.
Курс Дэна Боне по криптографии Coursera. Основательное введение в криптографию, при необходимости снова вводя математику.

эллиптических кривых — Насколько близка к чистой математике теория криптографии?

Криптографические исследования проводятся в том же направлении, что и формально-математические.
доказательство?

Не всегда, но большая область доказуемой безопасности есть. Доказуемая безопасность — это (по сути) задача формального доказательства теорем о криптографии, которая в целом будет иметь форму «если эта математическая гипотеза верна, то этот криптографический примитив защищен от данного типа атак».Каждый раз, когда предлагается новый примитив для решения некоторых требований безопасности, он сопровождается доказательствами теорем, дающими ретроспективный анализ безопасности схемы (хотя это не всегда так, особенно с работами из первых дней криптографии). Важной частью криптографии также является анализ и реализация криптографических протоколов и примитивов, но это не означает, что все криптографы также реализуют криптографию. Во многих лабораториях 95% работы будет включать в себя анализ, выполненный ручкой и бумагой, хотя даже самые теоретические работы иногда приводят к результатам, которые можно было бы реализовать, хотя бы для того, чтобы увидеть, насколько это эффективно.

Есть ли потребность в абстрактной математике в современной криптографии?

Да и нет. Знание формализма в некоторой области абстрактной математики может очень помочь в понимании и изучении криптографии, но в большинстве случаев вам не потребуется глубокое знание самых передовых результатов в абстрактной математике. Например, большинство результатов, которые вы могли бы узнать из продвинутого курса математики об эллиптических кривых, выходят за рамки предыстории, необходимой для понимания криптографии на основе эллиптических кривых.Точно так же вам не понадобятся чрезвычайно продвинутые курсы по алгебре, чтобы понять понятия, используемые в криптографии (по сути, стандартных результатов по алгебре для конечных полей и аддитивных групп достаточно для многих вещей, плюс еще несколько результатов, связанных с криптоалгеброй).

Однако, как это принято в теоретической информатике, математика часто неожиданно появляется при изучении некоторых проблем, и относительно глубокие математические результаты могут оказаться полезными при анализе некоторых криптографических примитивов.Первый пример, который приходит мне в голову, — это недавняя статья из ePrint (криптоархив), в которой устанавливаются нижние границы для примитива, известного как шифрование с обнаружением порядка (схема шифрования, которая не скрывает результат сравнения зашифрованных сообщений). , и опирается на (расширение) теоремы Эрдеша о турнирных графах.

Высокий уровень: изучение математики — очень уместный выбор, если вы планируете позже заниматься теоретической криптографией, потому что свободное владение математическими формализмами сделает вас более комфортным, чем многие другие.В криптографии широко признано, что для этой области было бы полезно, если бы больше математиков изучали эту область. Однако не ожидайте, что ваши знания о результатах продвинутой математики будут иметь решающее значение для вашей повседневной работы в криптографии, а теоретическая криптография сама по себе остается наукой со своими формализмами и практиками, которые вам придется изучить, если вы хотите работать. поле.

Специальный выпуск: математика, криптография и информационная безопасность

Уважаемые коллеги,

В области криптографии ожидается, что квантовые вычисления смогут успешно атаковать большинство используемых в настоящее время криптографических алгоритмов, особенно конструкций с открытым ключом, поэтому академическое сообщество работает над квантово-устойчивыми примитивами и алгоритмами.Однако не ожидается, что в ближайшем будущем появятся практичные компьютеры, которые можно использовать для взлома систем с высокой степенью защиты. Это означает, что в ближайшие несколько лет доквантовые и квантовые алгоритмы будут сосуществовать, а тем временем появятся новые угрозы для существующих алгоритмов безопасности, что повлияет на развертывание в таких разных контекстах, как технология блокчейн, электронное голосование или имплантируемые медицинские устройства. .

Еще одна консолидированная тенденция в современных технологиях — это Интернет вещей, т.е.е., Интернет вещей. Системы, в которых вычислительные устройства взаимосвязаны и могут передавать данные между собой по сети, пронизывают все слои нашего общества; таким образом, защита этих устройств имеет первостепенное значение. Учитывая ограниченные ресурсы, доступные в некоторых случаях для устройств IoT, криптографические реализации в этом контексте должны быть мощными, но в то же время выполнимыми, что создает проблему для разработчиков безопасности.

В этом специальном выпуске приветствуются теоретические и прикладные материалы, посвященные криптографическим алгоритмам, технологиям и методам, особенно тем, которые связаны с пре-квантовой и пост-квантовой криптографией, безопасностью IoT, криптографическими протоколами и реализациями.Список возможных тем включает, но не ограничивается:

Постквантовые криптографические алгоритмы
Криптография применена к блокчейну
Разработка и реализация криптографических устройств IOT и смарт-карт
Криптографические методы электронного голосования
Алгоритмы безопасности в носимых и имплантируемых медицинских устройствах
Алгоритмы обнаружения и извлечения личных данных с помощью мобильных датчиков
Атаки по побочному каналу

Др.Луис Эрнандес Энсинас
Доктор Виктор Гайосо Мартинес
Приглашенные редакторы

Информация для подачи рукописей

Рукописи должны быть представлены онлайн по адресу www.mdpi.com, зарегистрировавшись и войдя на этот сайт. После регистрации щелкните здесь, чтобы перейти к форме отправки. Рукописи можно подавать до установленного срока. Все статьи будут рецензироваться. Принятые статьи будут постоянно публиковаться в журнале (как только они будут приняты) и будут перечислены вместе на веб-сайте специального выпуска.Приглашаются исследовательские статьи, обзорные статьи, а также короткие сообщения. Для запланированных статей название и краткое резюме (около 100 слов) можно отправить в редакцию для объявления на этом сайте.

Представленные рукописи не должны были публиковаться ранее или рассматриваться для публикации в другом месте (кроме трудов конференции). Все рукописи тщательно рецензируются в рамках процесса одинарного слепого рецензирования. Руководство для авторов и другая важная информация для подачи рукописей доступна на странице Инструкции для авторов. Mathematics — это международный рецензируемый полумесячный журнал с открытым доступом, публикуемый MDPI.

Пожалуйста, посетите страницу Инструкции для авторов перед отправкой рукописи.
Плата за обработку статьи (APC) для публикации в этом журнале с открытым доступом составляет 1600 швейцарских франков.
Представленные статьи должны быть хорошо отформатированы и написаны на хорошем английском языке. Авторы могут использовать MDPI
Услуги редактирования на английском языке перед публикацией или во время редактирования автора.

Применения теории чисел в криптографии

Обзор

Криптография — это раздел прикладной математики, занимающийся разработкой схем и формул для повышения конфиденциальности общения с помощью кодов.Криптография позволяет своим пользователям, будь то правительства, военные, предприятия или частные лица, сохранять конфиденциальность и конфиденциальность при общении. Цель каждой криптографической схемы — быть «стойкой к взлому» (т.е. быть способной декодировать и понимать только авторизованные получатели). Криптография также является средством обеспечения целостности и сохранности данных от несанкционированного доступа. Современные криптографические системы полагаются на функции, связанные с продвинутой математикой, включая специализированный раздел математики, называемый теорией чисел, который исследует свойства чисел и отношения между числами.

Предпосылки

Попытки сохранить конфиденциальность коммуникаций — это вековой поиск. От использования скрытого текста, исчезающих чернил и кодовых панелей возникла современная наука криптографии. Слово криптография происходит от греческого слова kryptos (скрывать). По сути, криптография — это изучение процедур, которые позволяют закодировать (скрыть) сообщения или информацию таким образом, что чрезвычайно трудно прочитать или понять информацию, не имея определенного ключа (т.е., процедуры для декодирования).

Системы шифрования могут включать упрощенную замену букв цифрами или могут включать использование высоконадежных «одноразовых блокнотов» (также известных как шифры Вернама). Поскольку одноразовые планшеты основаны на кодах и ключах, которые можно использовать только один раз, они предлагают единственный известный метод криптографии с защитой от взлома. Однако из-за большого количества требуемых кодов и ключей одноразовые планшеты не подходят для общего использования.

Множество войн и дипломатических переговоров ограничивают способность одного комбатанта или страны читать якобы секретные сообщения своих врагов.Например, во время Второй мировой войны союзные войска получили важные стратегические и тактические преимущества благодаря возможности перехватывать и читать секретные сообщения нацистской Германии, закодированные с помощью шифровальной машины под названием Enigma. Кроме того, Соединенные Штаты получили решительное преимущество над японскими войсками благодаря развитию операции MAGIC, которая взламывала коды, используемые Японией для защиты своих коммуникаций.

По мере роста компьютерных технологий и упадка бумажных и ручных записей важность криптографии возрастала во второй половине двадцатого века.Все большие объемы данных стали постоянно храниться только в памяти компьютера. Хотя технологическая революция и развитие Интернета породили уникальные проблемы безопасности, существовали также проблемы с базовой безопасностью из-за растущих уровней информации, хранимой и передаваемой только в электронной форме. Эта растущая зависимость от электронной связи и хранения данных увеличила спрос на достижения в области криптологии. Использование криптографии расширилось от ее основных дипломатических и военных пользователей до повседневного использования компаниями и отдельными лицами, стремящимися к конфиденциальности при общении.Правительствам, компаниям и частным лицам требовались более безопасные и простые в использовании криптологические системы для защиты своих баз данных и электронной почты.

В дополнение к улучшениям, внесенным в криптологические системы на основе информации, опубликованной в рамках секретных государственных исследовательских программ, международные научно-исследовательские организации, занимающиеся исключительно развитием криптографии (например, Международная ассоциация криптологических исследований или IACR), начали применять математические методы. теория чисел для повышения конфиденциальности, конфиденциальности и безопасности данных.Применения теории чисел использовались для разработки все более сложных алгоритмов (пошаговых процедур для решения математической задачи). Кроме того, по мере роста коммерческого и личного использования Интернета становилось все более важным не только хранить информацию в секрете, но и иметь возможность проверять личность отправителя сообщения. Криптографическое использование определенных типов алгоритмов, называемых «ключами», позволяет ограничить информацию определенной и ограниченной аудиторией, индивидуальные данные которой могут быть аутентифицированы.

В некоторых криптологических системах шифрование выполняется путем выбора определенных простых чисел, а затем произведений этих простых чисел.
как основу для дальнейших математических операций. Помимо разработки таких математических ключей, сами данные делятся на блоки определенной и ограниченной длины, так что информация, которую можно получить даже из формы сообщения, ограничена. Расшифровка обычно выполняется с помощью сложного процесса реконструкции, который сам по себе включает уникальные математические операции.В других случаях дешифрование выполняется путем выполнения обратных математических операций, выполняемых во время шифрования.

Хотя он мог быть разработан ранее правительственными спецслужбами, в августе 1977 года Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман опубликовали алгоритм, которому суждено было стать крупным достижением в криптологии. Алгоритм RSA, лежащий в основе системы, основан на сложности факторизации очень больших составных чисел. К концу двадцатого века алгоритм RSA стал наиболее часто используемым алгоритмом шифрования и аутентификации в мире.Алгоритм RSA использовался при разработке интернет-браузеров, электронных таблиц, анализа данных, электронной почты и программ обработки текстов.

Однако Ривест, Шамир и Адлеман разработали первую криптографическую систему с открытым ключом, широко доступную как коммерческим, так и частным пользователям, — это не просто публикация математического алгоритма. Наиболее важные из современных криптографических систем, основанных на алгоритме RSA (и его модификациях и производных), называются системами с «открытым ключом».Эти системы считаются одними из самых безопасных криптографических методов. Кодирование и декодирование выполняется с использованием двух ключей — математических процедур для блокировки (кодирования) и разблокировки (декодирования) сообщений. В таких «двухключевых» криптологических системах те, кто желает использовать систему с открытым ключом, распространяют «открытый» ключ тем, кому предназначено иметь возможность кодировать сообщения. Отправитель использует открытый ключ получателя для кодирования сообщения, но сообщение может быть декодировано только с помощью закрытого ключа получателя.Это гарантирует, что только владелец закрытого ключа может декодировать закодированное сообщение. Начиная с 1991 года, метод открытого ключа использовался для повышения безопасности в Интернете с помощью свободно распространяемого пакета под названием Pretty Good Privacy (PGP).

Impact

Приложения теории чисел позволяют разрабатывать математические алгоритмы, которые могут сделать информацию (данные) непонятной для всех, кроме предполагаемых пользователей. Кроме того, математические алгоритмы могут обеспечить реальную физическую безопасность данных, позволяя только авторизованным пользователям удалять или обновлять данные.Одна из проблем при разработке инструментов для взлома кодов шифрования заключается в поиске способов разложить на множители очень большие числа. Достижения в области применения теории чисел, наряду со значительным увеличением мощности компьютеров, сделали факторинг больших чисел менее сложной задачей.

В целом, чем больше размер ключа, используемого в системах криптологии с открытым ключом RSA на основе PGP, тем больше времени потребуется компьютерам для разложения составных чисел, используемых в ключах. Соответственно, криптологические системы RSA черпают свою надежность из того факта, что существует бесконечное количество простых чисел, а также из трудностей, возникающих при разложении на множители больших составных чисел, составленных из простых чисел.

Специализированные математические выводы теории чисел, такие как теория и уравнения, относящиеся к эллиптическим кривым, также оказывают все большее влияние на криптологию. Хотя, как правило, большие ключи обеспечивают повышенную безопасность, применение теории чисел и эллиптических кривых к криптологическим алгоритмам позволяет использовать более простые в использовании меньшие ключи без какой-либо потери безопасности.

Еще одно ответвление, связанное с приложениями теории чисел, — это развитие «неуважаемых» транзакций.Отсутствие авторитета означает, что стороны не могут впоследствии отрицать участие в разрешении определенных транзакций (например, заключение контракта или соглашения). Многие криптологи и специалисты по коммуникациям утверждают, что глобальная электронная экономика зависит от развития проверяемых и не заслуживающих доверия транзакций, которые имеют юридический вес бумажных контрактов. Суды по всему миру все чаще сталкиваются с делами, основанными на спорах, касающихся электронных коммуникаций.

Однако достижения теории чисел также были применены в попытке взломать важные криптологические системы.В двухключевых криптологических системах RSA, основанных на составных числах, есть открытые и закрытые ключи. Попытка взломать коды (процедуры шифрования) требует использования продвинутых теорий чисел, которые позволяют, например, неавторизованному пользователю определить произведение простых чисел, используемых для запуска процесса шифрования. Факторинг этого продукта — сложная и утомительная процедура для определения основных простых чисел. Несложным подходом может быть просто попытка попробовать все простые числа.Однако время выполнить эту задачу может победить всех, кроме
самый решительный из неавторизованных пользователей. Другие, более экзотические попытки включают алгоритмы, называемые квадратичными ситами, метод разложения целых чисел на множители, разработанный Карлом Померансом, который используется для атаки меньших чисел, и алгоритмы полевых сит, которые используются в попытках определить большие целые числа.

В течение последних двух десятилетий двадцатого века достижения в теории чисел позволили разложить большие числа на множители, которые вручную могут занять миллиарды лет, до процедур, которые с использованием передовых вычислений могут быть выполнены за считанные месяцы.Дальнейшие успехи в теории чисел могут привести к открытию алгоритма разложения на множители полиномиального времени, который может за часы выполнить то, что сейчас занимает месяцы или годы компьютерного времени.

Прогресс в методах факторинга и растущая доступность вычислительного оборудования (как с точки зрения скорости, так и низкой стоимости) делают безопасность алгоритмов, лежащих в основе криптологических систем, все более уязвимой. Эти угрозы безопасности криптологических систем в некотором отношении компенсируются продолжающимся прогрессом в разработке мощных компьютеров, способных генерировать большие ключи путем умножения очень больших простых чисел.Несмотря на успехи теории чисел, по-прежнему легче генерировать более крупные составные числа, чем разложить эти числа на множители.

Национальный институт стандартов и технологий (NIST) курирует разработку многих стандартов криптографии. Один из таких стандартов, разработанный коммерческими организациями и Агентством национальной безопасности США (NSA) в 1970-х годах, был назван стандартом шифрования данных (DES). В ожидании возрастающих потребностей в безопасности, в конце двадцатого века NIST начал работать над внедрением Advanced Encryption Standard (AES) для замены DES.Хотя предпринимались усилия по либерализации торговой политики, в конце двадцатого века алгоритмы безопасности, используемые в программах типа PGP, были классифицированы правительством США как боеприпасы. Как таковые, они по-прежнему подвергались строгому экспортному контролю и ограничениям, которые препятствовали их широкому распространению и использованию.

К. ЛИ ЛЕРНЕР

Дополнительная литература

Беккет, Б. Введение в криптологию. Blackwell Scientific, 1988.

Берн, Р. П. Путь в теорию чисел. Издание второе. Издательство Кембриджского университета, 1997.

Менезес, А., П. ван Оршот и С. Ванстон. Справочник по прикладной криптографии. CRC Press, 1997.

Розен, К. Х. Элементарная теория чисел и ее приложения. Addision-Wesley, 1986.

Seberry, J., and J. Pieprzyk. Криптография: Введение в компьютерную безопасность. Prentice-Hall, 1989.

Наука и ее времена: понимание социального значения научных открытий

Темы прикладной математики: криптография

Встреча курса в 11:30 MWF в Baker Hall A51 (аудитория Giant Eagle).Часы работы офиса
10: 30-11: 30 MWF или по предварительной записи, отправьте электронное письмо на
[email protected], чтобы договориться о встрече.
Домашнее задание будет выполняться по понедельникам и должно быть выполнено в следующий понедельник.
Поздняя домашняя работа не будет принята ни при каких обстоятельствах, кроме двух наименьших
баллы за домашнее задание будут сброшены.

Грейдер по курсу
Данут Арама. Отправь ему письмо, если ты
есть вопросы по выставлению оценок.

Пререквизиты: базовые знания в области математического анализа.

Текст: Гарретт «Создание, взлом кодов». Шнайера «Прикладная криптография» — полезный
ссылка на некоторые материалы курса, такие как Коблиц «Курс теории чисел и
криптография ».

Вполне вероятно, что у вас есть копия первого известного издания Гаррета.
иметь несколько опечаток. Вот список
опечатка
подготовлено автором. Если вы заметите еще что-нибудь, пожалуйста, передайте их мне, и я перешлю нашу коллекцию в
автор в конце срока.

Самая гнусная опечатка (известная мне) находится на странице 33 в таблице частотности букв в английском тексте.
Я отсканировал проблемную страницу.

Эта программа нечеткая и предварительная. По мере прохождения курса я буду
создайте подробный отчет о том, что было изучено в каждом классе.

Простые шифры
Вероятность (и некоторые основы теории информации)
Разрушение Виженера и двукратный блокнот
Теория чисел
RSA
Проверка на примитивность и факторизация
Протоколы
Конечные поля, дискретные записи, эллиптические кривые
Взгляните на расширенный стандарт шифрования

Воспользуемся системой компьютерной алгебры Maple.
для автоматизации некоторых утомительных вычислений, необходимых в криптографии.Мы также
научиться использовать TeX, который является стандартной системой для
компьютеризированный набор математических документов.

Если вы используете рабочую станцию Andrew Unix, то TeX и Maple уже установлены.
TeX бесплатно доступен для большинства популярных платформ, дайте мне знать, если у вас есть
любые проблемы с поиском копии, которая работает для вас.

Будут промежуточные и финальные. Оценки будут выставляться по формуле
в которой домашнее задание составляет 30 процентов, среднесрочное — 25 процентов.
и окончательный счет составляет 45 процентов.

Это домашнее задание состоит из трех частей: Часть первая,
Часть вторая и часть третья.
Он должен быть сдан во время занятий в понедельник, 27 января. Вам не нужно ничего сдавать
для части 1 или части 2. Вы должны отправить решение для части 3 по электронной почте.
на выделенный адрес [email protected].
Это домашнее задание состоит из двух частей, вам нужно только что-то сдать для второй части.
Домашнее задание следует отправлять по электронной почте на тот же адрес, что и на прошлой неделе.
Часть 1 посвящена выходу Maple
в ваши документы TeX, часть 2
посвящен шифрованию Vigenere и связанным темам.
Домашнее задание 3.
Домашнее задание 4.
Поскольку этот был выдан поздно, он должен быть сдан в пятницу, 28 февраля.
Среднесрочная. Срок сдачи: среда, 19 марта.
Домашнее задание 6.
Срок сдачи: среда, 9 апреля.
Домашнее задание 7.
Срок сдачи: среда, 23 апреля.
Финал.

Решения для HW 1 в TeX. Вы можете найти полезным
прочтите код TeX, поскольку я присыпал его комментариями о том, как делать определенные вещи в TeX.
Решения для HW 2 в TeX.
Решения для HW 3 в PostScript.
Решения для HW 4 в PostScript.
Решения для HW 6 в PostScript
и рабочий лист Maple с некоторыми сопутствующими материалами.
Решения для HW7.
Совместное решение первого квартала в среднесрочной перспективе
с ответами на напоминание вопросов.

Ссылки на страницы относятся к компании Garrett, если не указано иное.

Введение в курс. Криптология = Криптография (создание кодов) + Криптоанализ (взлом кодов).
Ключи шифрования и дешифрования. Симметричные криптосистемы (стр. Xviii). Шифр Цезаря и его тривиальность
вариации (с. 1-5). Классификация атак на криптосистемы по количеству доступных данных (стр. Xviii).
Вопрос: как автоматизировать процесс распознавания английского текста? (стр.31-37).
Тривиальная атака известного шифротекста на шифр Цезаря методом перебора (всего 25 ключей).Перестановки.
Количество перестановок набора из n элементов. 26! довольно большой (403291461126605635584000000).
Но перестановка букв (криптограмм) не дает хорошей криптосистемы из-за статистических
особенности английского языка и «одноалфавитное» свойство шифра (с39-42). Подсчет букв, биграмм
и триграммы (стр.31-37).
Подробнее по статистике англ. Английский язык имеет сильную местную корреляцию (скажем, между последовательными буквами)
но на больших расстояниях корреляция между буквами незначительна или отсутствует: мы будем использовать оба этих
Особенности.Одноразовый блокнот (стр. 10-13) Что такое случайная последовательность и как ее получить? Никогда не используйте повторно
одноразовый блокнот (объяснение позже). Шифр Виженера (с. 58-61). Основная теория вероятностей.
Исходы, события, случайные величины. Математическое ожидание случайной величины (стр. 21-30 и 69-72).
Продолжение шифра Виженера. Для ключа длины m это выглядит как m чередующихся шифров сдвига.
Это полиалфавитный шифр замещения. Слабость: каждые m символов мы возвращаемся к
тот же символ в ключе, это оставляет некоторую структуру в зашифрованном тексте, которую мы можем использовать.Индекс совпадения Фридмана (IOC) (стр.74). Обычно это около 0,065 при сравнении двух
несвязанные куски английского текста (рассматриваемые как потоки строчных букв) (стр. 77).
Обычно это около 0,038, когда мы сравниваем поток на английском языке со случайным потоком (стр. 77).
Шифрование обоих потоков с помощью шифра подстановки не меняет
МОК. В конце я сделал несколько компьютерных демонстраций, и когда я их доработаю, я
сделать их доступными на этой странице.n для автоматизации дешифрования шифра сдвига (что полезно
потому что, как только вы определите, что ключ Виженера имеет длину m, вам необходимо
расшифровать m отдельных зашифрованных последовательностей сдвига)
Уникальное разложение на натуральные числа. НОД целых чисел a и b.
НОД всегда имеет форму M a + N b, а также набор чисел формы
M a + N b = множество кратных НОД точек a и b. Алгоритм Евклида
дает эффективный способ вычисления gcd a и b, а также
представление в форме M a + N b.
Остаток в алгоритме Евклида уменьшается как минимум вдвое.
каждые два шага. Итак, если мы начнем с a, b с a
Функции, вычислимые по Тьюрингу. Не все функции вычислимы.
Тезис Чёрча. Размер целого числа = количество необходимых двоичных цифр
для его представления размер n примерно равен log-to-the-base-2 (n).
Эффективно: время выполнения полиномиально от размера ввода.
Неэффективно: время выполнения экспоненциально зависит от размера входных данных.

Вам понадобятся файлы стиля TeX, если вы хотите использовать вывод TeX, экспортированный Maple и
включите его в свои документы TeX. Это будет в HW 2 (возможно), но для всех, кто хочет
для экспериментов прямо сейчас это сжатый файл tar, содержащий
соответствующие файлы стилей. Распакуйте его в свой каталог TeX.

Люди, которые используют Microsoft Windows дома, столкнулись с проблемой предварительного просмотра вывода TeX
когда они подключены удаленно к машинам Andrew Unix.Это связано с тем, что программа предварительного просмотра xdvi является приложением X-Windows, а Microsoft Windows делает
не очень хорошо играть с X. Существуют различные варианты решения этой проблемы.

Перейдите в кластер с машинами Unix или установите Linux.
Установите сервер X-Windows на свой компьютер Microsoft Windows, тогда вы сможете использовать любой
X на любой удаленной машине (если вы используете SSH,
не забудьте включить X-переадресацию).
Вы можете найти бесплатный сервер X-Windows для Microsoft Windows
здесь.
Установите TeX на свой компьютер с Microsoft Windows и выполните весь свой TeX
активность на местном уровне. Бесплатная версия TeX для Microsoft Windows
можно найти здесь.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут проблемы с вариантами 2) или 3).

Математика криптографии с открытым ключом

Математика криптографии с открытым ключом

Стивен Гэлбрейт

2012

Cambridge University Press

амазонка.co.uk

Обзоры

Включено в Computing Reviews ( Computing Reviews) Список заметных вычислительных устройств , опубликованный в 2012 году.
Математические обзоры AMS MathSciNet, Хосе Игнасио Фарран.
« Эта книга, написанная активным исследователем данной темы, нацелена на
точно объяснить основные идеи и методы, лежащие в основе открытого ключа
криптография, как с исторической точки зрения, так и с точки зрения будущего развития.
Из-за обилия примеров, доказательств и упражнений это
подходит как учебник для продвинутого курса или даже для самостоятельного обучения.Для более опытных читателей это базовый справочник по важным темам.
такие как алгоритмы Полларда, эллиптические кривые и изогении, алгебраические
торы и решетки. «
Zentralblatt MATH, Хуан Тена Аюсо.
« В книге собраны основные математические темы, связанные с криптографией с открытым ключом, и она является отличным источником информации как для студентов, так и для исследователей, интересующихся этой областью.
« Мне нравится экспозиция Гэлбрейта, и я очень счастлив иметь копию этой книги на моей полке »

Исправление

Раздел 2.* не является гомоморфизмом k-алгебр (рассмотрим сумму двух многочленов разной полной степени). Часть 6 леммы 5.2.20: f должна быть однородной. Также доказательство части 2 леммы 5.2.25: f должно быть однородным.
(Ошибки, замеченные Париназом Шахаби.)
Раздел 5.3, стр. 76, теорема 5.3.8: Очевидно, что теорема неверна, поскольку если f — квадрат неприводимого многочлена, то V (f) неприводимо, а f — нет. Требуется дополнительное условие, что f не имеет повторяющихся множителей. Правильное доказательство приведено в pdf-файле на этой веб-странице.
Раздел 6.3.1, с. 91, Упражнение 6.3.5:
Этот вопрос имеет смысл только тогда, когда $ q $ нечетное.
(Ошибка, замеченная Бараком Шани.)
Раздел 7.1, лемма 7.1.19:
Ноэль Робинсон указал, что есть более простое доказательство этого результата.
Если P не равно Q, то можно записать функцию, которая является регулярной в P, но не регулярной в Q. Подробнее см. Исправленный PDF-файл.
Раздел 7.7, с. 113, Доказательство леммы 7.7.10 (вторая строка): «\ iota (P) = \ iota (P) =» должно быть просто «\ iota (P) =».* \ circ \ alpha_2.
(Ошибка, замеченная Ян Бо Ти.)
Раздел 9.11, с. 165, Пример 9.11.6: F (x) лежит в F_q [x].
Раздел 9.11, стр. 166, лемма 9.11.8: R [x] должно быть R [T].
Раздел 10.3, с. 188, Определение 10.3.1:
Пункт 1 должен гласить: Если $ P = \ iota (P) $, то $ n_P \ in \ {0, 1 \} $.
(Ошибка, замеченная Альфредом Менезесом.)
Раздел 12.2.1, стр. 241, строка -5: Стандартное определение простого числа Софи Жермен — это простое число p, такое что 2p + 1 является простым числом. В книге 2p + 1 определяется как простое число Софи Жермен, что нестандартно.{(п-1) / 2}.
(Ошибка, замеченная Эдоардо Персичетти.)
Раздел 18.2, стр. 371, строка 1: Согласно определению, используемому в книге, [7/2] = [3.5] = 4, поэтому правильный вектор должен быть 4 b_1 + 2 b_2 = (10, 8, 6 ). Но это разрушает мораль Примера 18.2.4 (страницы 372-373), что ближайший самолет Бабая и округление Бабая могут дать разные результаты (что в целом верно, но не в данном случае).
(Ошибка, замеченная Барт Коппенс.)
Раздел 18.4, стр. 376, строка -3:
Уравнение $ 0 \ le x_n \ le \ sqrt {A / B_i} $ должно быть $ 0 \ le x_n \ le \ sqrt {A / B_n} $.n} $ не $ \ F_q $.
(Ошибка, замеченная Альфредом Менезесом.)
Раздел 25.2, стр. 523, строка -3: неверно, что Phi_ {ell} (j (E), j (tilde {E}) = 0 подразумевает, что существует изогения от E до тильды {E}, поскольку изогения может быть связана с поворотом тильды {E}. Правильная формулировка — заменить «циклическое ядро от E до тильды {E}» на «циклическое ядро от E до поворота тильды {E}». (Ошибка, замеченная Дрю Сазерленд.)
Раздел 25.3, стр. 532, замечание 25.3.6:
«определить соответствующую изогению» следует читать «определить соответствующий идеал».(Ошибка, замеченная Альфредом Менезесом.)
Приложение A.10.3, стр. 575, определение A.10.7:
Сумма должна варьироваться от $ i = 1 $ до $ n $.
(Ошибка, замеченная Дугласом Стебилой.)

Полный расширенный текст

ПРИМЕЧАНИЕ. Большинство этих глав являются «расширенными версиями» глав книги и поэтому содержат дополнительный материал. Глава 19а — дополнительная глава. Нумерация разделов / теорем / лемм / страниц не обязательно совпадает с нумерацией страниц в опубликованной версии книги.

Весь pdf

Содержание

Благодарности

Таблица обозначений
1. Введение

Часть I: Справочная информация

2. Основные алгоритмы

3. Хеш-функции

Часть II: Алгебраические группы

4. Предварительные замечания об алгебраических группах.

5. Разновидности

6. Tori, LUC и XTR

7. Кривые и группы классов делителей.

8. Рациональные карты на кривых и делителях.

9.Эллиптические кривые

10. Гиперэллиптические кривые.

Часть III: Возведение в степень, разложение на множители и дискретные логарифмы

11. Основные алгоритмы для алгебраических групп.

12. Проверка простоты и целочисленная факторизация с использованием
алгебраические группы

13. Основные алгоритмы дискретного логарифмирования.

14. Факторинг и дискретные логарифмы с использованием псевдослучайных блужданий.

15. Факторинг и дискретные логарифмы в субэкспоненциальном времени.

Часть IV: Решетки

16.Решетки

17. Уменьшение решетки

18. Алгоритмы для задачи поиска ближайшего и кратчайшего вектора.

19. Метод медника и другие применения

19а. Криптосистемы на основе решеток (не входит в опубликованную версию книги)

Часть V: Криптография, связанная с дискретными логарифмами

20. Проблема Диффи-Хеллмана и криптографические приложения.

21. Проблема Диффи-Хеллмана

22. Цифровые подписи на основе дискретных логарифмов.

23.Шифрование с открытым ключом на основе дискретных логарифмов

Часть VI: Криптография, связанная с целочисленной факторизацией

24. Криптосистемы RSA и Рабина.

Часть VII: Дополнительные вопросы по эллиптическим и гиперэллиптическим кривым

25. Изогении эллиптических кривых.

26. Спаривания на эллиптических кривых.

Приложения

A. Базовая математика

Б. Подсказки и решения упражнений
Ссылки

Индекс

индекс-оф.es /

 Название Размер
 Android / -
 Галерея искусств/                  -
 Атаки / -
 Переполнение буфера / -
 C ++ / -
 CSS / -
 Компьютер / -
 Конференции / -
 Растрескивание / -
 Криптография / -
 Базы данных / -
 Глубокая сеть / -
 Отказ в обслуживании/            -
 Электронные книги / -
 Перечисление / -
 Эксплойт / -
 Техники неудачной атаки / -
 Судебная экспертиза / -
 Галерея / -
 HTML / -
 Взломать / -
 Взлом-веб-сервер / -
 Взлом беспроводных сетей / -
 Взлом / -
 Генератор хешей / -
 JS / -
 Ява/                         -
 Linux / -
 Отмыкание/                  -
 Журналы / -
 Вредоносное ПО / -
 Метасплоит / -
 Разное / -
 Разное / -
 Протоколы сетевой безопасности / -
 Сеть / -
 ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ/                           -
 Другое / -
 PHP / -
 Perl / -
 Программирование / -
 Python / -
 RSS / -
 Rdbms / -
 Разобрать механизм с целью понять, как это работает/          -
 Рубин/                         -
 Сканирование сетей / -
 Безопасность/                     -
 Захват сеанса / -
 Снифферы / -
 Социальная инженерия/           -
 Поддерживает / -
 Системный взлом / -
 Инструменты/                        -
 Учебники / -
 UTF8 / -
 Unix / -
 Вариос-2 / -
 Варианты / -
 Ролики/                       -
 Вирусы / -
 Окна / -
 Беспроводная связь / -
 Xml / -
 z0ro-Репозиторий-2 / -
 z0ro-Репозиторий-3 / -