Матрица это математика: Виды матриц и операции над матрицами

примеры с решением и объяснением

Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.

Размер матрицы определяется её порядками — количеством строчек $m$ и столбцов $n$, которые в ней присутствуют. Строчки образованы элементами, стоящими на горизонтальных линиях, а столбцы — элементами, стоящими на прямых вертикальных линиях. В случае если количество строчек эквивалентно количеству столбцов — порядок рассматриваемой таблички определяется лишь одним значением $m = n$.

Замечание 1

Для любого элемента матрицы номер строчки, в которой он находится, записывается первым в индексе, а номер столбца — вторым, то есть запись $a_{ij}$ обозначает, что элемент стоит в $i$-ой строчке и в $j$-ом столбце.

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

Готовые работы на аналогичную тему

В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$

и $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{pmatrix}$

Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_{ij} + b_{ij}$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_{11} + b_{11}$,а весь результат целиком выглядит так:

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+ b_{13} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+ b_{23} \\ a_{31}+ b_{31} & a_{32}+ b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ \end{pmatrix}$

Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_{ij} – b_{ij}$.

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.

Пример 1

Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Объяснение:

Действия выполняем для каждой пары элементов $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно:

$A+B=\begin{pmatrix} 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 — 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 — 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix} 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Умножение матрицы на число

Для того чтобы произвести умножение матричной таблички на какое-либо число, нужно каждый её элемент умножить на это число, то есть любой элемент новой матрицы $C$, являющейся результатом произведения $A$ на $λ$ будет равен $с_{ij}=λ \cdot a_{ij}$.

Пример 2

Умножьте $A$ на $λ$, где $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$, а $λ=5$:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end{pmatrix}$.

Произведение матричных таблиц

Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.

Для осуществления умножения двух матриц $A \cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.

Математически это можно записать так:

$A_{m \times n}\cdot B_{n \times p} = С_{m \times p}$

То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_{3 \times 2}$ и $B_{2 \times 3}$ — полученный результат будет иметь размер $3 \times 3$:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} &b_{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} • & • & • \\ • & • & • \\ • & • & • \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{22}b_{23}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}) & (a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23}) \\ \end{pmatrix}$

Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.

Пример 3

Решите пример:

$A \times B = ?$, если $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 3 & — 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$.

$A \times B = \begin{pmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end{pmatrix} $

$A \times B= \begin{pmatrix} (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end{pmatrix}$.

Нахождение определителя матрицы

Определитель матрицы обозначается как $Δ$ или $\det$.

Замечание 2

Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.

В простейшем случае, когда матрица состоит из всего одного элемента, её определитель равен этому элементу:
$det A = |a_{11}|= a_{11}$

Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:

Определение 1

Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:

$\begin{array}{|cc|} a_{11}& a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} = a_{11} \cdot a_{22} – a_{12} \cdot a_{21}$

В случае если определитель матрицы задан размером $3 \times 3$, то найти его можно используя мнемонические правила: Саррюса или треугольников, также можно разложить матрицу по строчке или столбцу или воспользоваться преобразованиями Гаусса.

Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.

Обратные матрицы

По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+\frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^{-1}$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.

Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы — Жордана-Гаусса. Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.

Пример 4

Дана $A=\begin{pmatrix}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$

Получить обратную матрицу.

Решение:

Пишем вместе $A$ и справа от неё соответствующего размера $E$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}$

Получаем нуль в последней строчке на первой позиции:прибавляем к ней верхнюю, умноженную на $-3$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Делим вторую на $-2$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}$

Получили результат:

$A=\begin{pmatrix}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$

Транспонирование матричных таблиц

Транспонирование — это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.

Пример 5

Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ — 1 & -2 & -3\\ \end{pmatrix}$

Решение:

Применим метод Саррюса для детерминанта:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Мы получили вырожденную матрицу.

Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = — 15 -24 — 12+24+12+15 = 0$.

Основы высшей математики — Матрицы — Высшая математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению…

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a₁₄ есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a₃₂ стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается A^T. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

• Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
• В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
• Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
• Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу a_ik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)^i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента a_ik. Обозначают алгебраическое дополнение A_ik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)^i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

Обратная матрица

К оглавлению…

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A^–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

1. Найти определитель матрицы.
2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

Матрицы: определение и основные понятия.

Навигация по странице:

Определение матрицы

Определение.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A_n×m.

Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются a_ij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Пример.

Элементы матрицы A_4×4:

a₁₁ = 4

Определение.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:

Определение.

Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых столбцов матрицы:

не не нулевой столбец

Диагонали матрицы

Определение.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Определение.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Пример.

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:

Определение.

Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.

Обозначение.

След матрицы обозначается trA = a₁₁ + a₂₂ + … + a_nn.

что это такое в математике, операции и действия, как составить, примеры

При решении алгебраических или дифференциальных уравнений студенты сталкиваются с понятием матрицы. Этот термин используется в программировании, электронике, фотоискусстве, но основная область применения — математика. Рассмотрим, что это такое, как применяется и какие операции позволяет осуществить.

Что такое матрицы в математике

Матрица в математике — это абстрактный объект, имеющий вид таблицы чисел или других математических величин. Чаще таблица прямоугольная, но встречаются и другие виды (квадратные, треугольные).

Обычно матрица называется заглавной буквой латинского алфавита: матрица A, матрица B. В таблице есть строки (их количество называется m) и столбцы (их количество называется n). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы и может называться порядком. Матрицы такого типа называются матрицами строения m×n, или размера m×n, или порядка m×n.

Элементы матрицы, т.е. числа или остальные величины, называются строчной буквой. Они имеют 2 нижних индекса, необходимых для определения их положения в матрице. Например, элемент a13 располагается на пересечении 2 строки и 3 столбца. Значения элемента а13 читаются по-отдельности, не как целое число: «а один-три».

Откуда они взялись и чем полезны

Первые упоминания матрицы появились в Древнем Китае. Это была квадратная таблица, получившая название магического или волшебного квадрата. Самым древним и известным считается квадрат 3×3, датируемый около 2200 г до н.э. Он был высечен на панцире черепахи. В Китае его называют квадрат Ло Шу, а в Западной Европе — «Печать Сатурна».

Таким же древним является квадрат, найденный в Кхаджурахо, столице средневекового государства Чандела (IX–XIII вв.) в Центральной Индии. Это первый из «дьявольских квадратов». Также он называется пандиагональным.

В древности матрицы были необходимы преимущественно для решения линейных уравнений. Когда матрицы появились в арабских странах, стали разрабатываться принципы работы с ними, в том числе, принцип сложения. В XVIII веке швейцарский математик, «отец линейной алгебры» Габриэль Крамер опубликовал правило Крамера. Это способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы.

Источник: ruspekh.ru

Способ Крамера не подходит для решения тех систем линейных уравнений, в которых может быть бесконечное множество решений.

В следующем веке появляется метод немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Этот способ решения алгебраических уравнений не является открытием ученого. Впервые о методе Гаусса написали в китайском трактате «Математика в девяти книгах», а сам он только привел способ в удобную форму.

Для решения уравнений таким способом необходимо записать расширенную матрицу системы.

Источник: ruspekh.ru

В отличие от метода Крамера, правило Гаусса можно использовать для решения любых систем линейных уравнений.

Детальная разработка теории матриц активно продолжилась с середины XIX века. Наиболее значимые ученые: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Мари Энмон Камиль Жордан, Фердинанд Георг Фробениус.

Сам термин «матрица» предложил английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г.

В наше время матрицы используются не только для записи и решения систем линейных уравнений. Списки, статистические данные, табеля с информацией — все это в какой-то степени матрица. Их применяют для упрощения подачи и работы с информацией в любой сфере. Например, таблица продаж, где указан год (первый столбец), вид продукции (первая строка), а остальные значения — количество проданных единиц.

Обозначения матриц

Помимо самого термина «матрицы», при их решении нужно знать и другие обозначения.

Элементы матрицы — любые математические объекты: числа, переменные, другие матрицы. Элемент обозначается как a_ab, где a — номер строки расположения элемента, b — номер столбца.

Главная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая квадратную матрицу из верхнего левого угла в нижний правый угол (квадратные матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов). Прямоугольные матрицы также могут иметь диагонали: они пересекают элементы с одинаковыми индексами.

Побочная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая верхний правый и нижний левый углы. Для прямоугольного вида матриц понятие «побочные диагонали» не используется.

Диагональные элементы — числа и другие математические величины матрицы, расположенные на главной диагонали.

Размер (порядок) матрицы — произведение количества строк на количество столбцов: m×n. Например, если матрица содержит 2 строки и 3 столбца, то ее обозначают матрицей 2×3.

След матрицы — сумма элементов матрицы, расположенных на главной диагонали. Обозначается как Sp (А) или Tr (A), где A — название матрицы.

Равные матрицы — матрицы, у которых соответствующие элементы равны.

Виды матриц, какие бывают

В математике существует несколько видов матриц в зависимости от их размера.

1. Матрица–строка. Имеет размер 1×n, т.е. состоит из одной строки и нескольких столбцов.
   \(\begin{vmatrix}54&2&-7&0&4\end{vmatrix}\)
2. Матрица–столбец. Имеет размер m×1, т.е. состоит из одного столбца и нескольких строк.
   \(\begin{vmatrix}3\\-6\\64.5\end{vmatrix}\)

Также различают матрицы по значениям их элементов.

1. Нулевая матрица. Все элементы матрицы равны 0.
   \(\begin{vmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{vmatrix}\)
2. Квадратная матрица. Количество строк и столбцов одинаковое: m=n.
   \(\begin{vmatrix}4&5&1\\5&0&0\\-2&2&-8\end{vmatrix}\)
3. Диагональная матрица — разновидность квадратной матрицы, у которой все элементы равны 0, за исключением диагональных элементов.
   \(\begin{vmatrix}3&0&0\\0&-8&0\\0&0&1.5\end{vmatrix}\)
4. Единичная матрица — разновидность диагональной матрицы. На главной диагонали расположены 1, а все остальные элементы равны 0. Обозначается латинской буквой E.
   \(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}\)
5. Треугольная матрица. Имеет 2 разновидности: верхняя и нижняя. У верхней треугольной матрицы равны 0 элементы под главной диагональю, а у нижней треугольной матрицы — над главной диагональю.
   \(A=\begin{vmatrix}4&1.5&-2\\0&1&7\\0&0&4\end{vmatrix}\)

Треугольная матрица всегда квадратная: m=n.

6. Противоположная матрица. Обозначается -A и всегда рассматривается в отношении матрицы A. Ее элементы имеют обратный знак от элементов матрицы A.
7. Кососимметрическая (антисимметричная) матрица. Отличается множителем -1. Т.е. все элементы матрицы A были умножены на -1 и получилась матрица A^T, или транспонированная матрица.
   \(A=\begin{vmatrix}0&5&217\\-5&0&-43\\-217&43&0\end{vmatrix},\;A^T=\begin{vmatrix}0&-5&-217\\5&0&43\\217&-43&0\end{vmatrix}\)

Кососимметрическая матрица всегда квадратная.

8. Симметрическая матрица. Элементы лежат симметрично по отношению к главной диагонали. Матрица всегда квадратная.
   \(A=\begin{vmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{vmatrix}\)
9. Трапециевидная матрица. Есть ряд условий, при которых матрица становится такого вида. Например, она должна быть квадратной или прямоугольной, при этом количество столбцов обязательно больше числа строк. Также элементы, расположенные над главной диагональю, не равны 0, а элементы под главной диагональю равны 0.
   \(A=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5&6\\0&-1&0&7&-3&2\\0&0&4&1&-1&-2\end{vmatrix}\)

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

С древности и по настоящее время матрицы используются для решения и удобной записи системы линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. Но их также применяют в математико-экономическом моделировании для структурирования данных и комфортной работы с ними.

Наиболее популярной является матричная модель экономики «затраты–выпуск». Ее внедрил Василий Леонтьев — американский экономист. За развитие этого метода он получил нобелевскую премию: матричная модель упростила решение некоторых экономических проблем. В последствии Леонтьева стали называть «апостолом планирования».

Суть модели «затраты–выпуск» в том, что экономист разделил производственный сектор экономики на отрасли, число которых обозначается n. 1 отрасль — 1 вид продукции. Значит, n количество отраслей выпускает n количество продуктов. Это приводит к появлению межотраслевых связей: одна отрасль заимствует у другой продукт и использует в процессе производства своей продукции. Данная балансовая модель представлена в виде системы линейных уравнений, решаемых с помощью матрицы.

Какие операции можно производить с матрицами

С матрицами можно проводить несколько операций.

1. Сложение и вычитание. Это действие можно проводить только с теми матрицами, у которых одинаковый размер. Например, матрица размера 3×2. Ответом будет матрица такого же размера. Чтобы получить ответ нужно вычесть или сложить соответствующие элементы двух матриц. Т.е. при сложении элемент a₁₁ складывается с элементом b₁₁.
2. Умножение матрицы на число. Каждый элемент матрицы нужно умножить на число. Получится матрица такого же размера.
3. Умножение матриц. Не все матрицы можно умножить между собой. Обязательное свойство: число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы. Например, можно умножить матрицу A размером 3×2 и матрицу B размером 2×3. Как осуществляется умножение: чтобы получить элемент a₁₁ новой матрицы, нужно поочередно умножить элементы строки матрицы A на соответствующие элементы столбца матрицы B, а затем суммировать эти произведения.

При умножении матрицы нельзя менять местами.

4. Транспонирование матрицы. Смена мест строк и столбцов матрицы. Первая строка матрицы становится первым столбцом. Дальше по аналогии.

Примеры решения задач на матрицы

Пример решения задачи на умножение.

Дано: \( A=\begin{vmatrix}1&-1\\2&0\\3&0\end{vmatrix},\;B=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}\)

Найти: \(A*B\)

Решение: 

Назовем искомую матрицу \(C\). Она будет иметь следующий вид:

\(C=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\\c_{31}&c_{32}\end{vmatrix}\)

Найдем значение каждого элемента:

\(с_{11}=a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}=1*1+(-1)*2=-1\)
\(c_{12}=a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}=1*1+(-1)*0=1\)
\(c_{21}=a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}=2*1+0*2=2\)
\(c_{22}=a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22}=2*1+0*0=2\)
\(c_{31}=a_{31}*b_{11}+a_{32}*b_{21}=3*1+0*2=3\)
\(c_{32}=a_{31}*b_{12}+a_{32}*b_{22}=3*1+0*0=3\)

Ответ: \(C=\begin{vmatrix}-1&1\\2&2\\3&3\end{vmatrix}\)

Пример решения задачи на умножение матрицы на число 5.

Дано: \(A=\begin{vmatrix}12&-1\\7&0\end{vmatrix}\)

Найти: \(A*5\)

Решение: \(5\ast\begin{vmatrix}12&-1\\7&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5\ast12&5\ast(-1)\\5\ast7&5\ast0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}60&-5\\35&0\end{vmatrix}\)

Ответ: \(\begin{vmatrix}60&-5\\35&0\end{vmatrix}\)

Учитесь работать с матрицами и продолжайте осваивать математику, а если задач накопилось слишком много и «горят» сроки, вам поможет сервис Феникс.Хелп. Обращайтесь!

Что такое матрица? Понятие матрицы.

        Матрицы – традиционная головная боль для очень многих студентов. Я бы даже сказал, подавляющего большинства. Ну вот не любят студенты матрицы, хоть ты убей!

        Но высшая математика на то и высшая, что работает с более сложными объектами, чем привычная школьная. От этого никуда не деться.) И матрица – один из первых таких объектов, с которым студенты знакомятся уже на первом курсе ВУЗа. И мы тоже познакомимся.)

        Итак, ключевые причины, почему же студенты не любят матрицы и всячески стараются избегать работы с ними. Перечислю их.

        Причина первая – визуальное восприятие. Оно… непривычно, да.) С формулами, уравнениями, графиками у народа обычно всё более-менее ясно и прозрачно: в школе всё худо-бедно решалось, строилось, ощущалось. Всё знакомо. А тут… Какая-то табличка, какие-то малопонятные буковки с индексами (аж двумя!), которые так и норовят путаться перед глазами. Всё это поначалу очень смущает и даже пугает, да…

        Причина вторая – это действия с матрицами. Их очень и очень много. Сложение матриц, умножение матриц, транспонирование матриц, поиск обратной матрицы, вычисление определителя, вычисление миноров матрицы, ранга матрицы… Причём все эти операции тоже весьма специфичны и имеют очень мало общего с действиями над обычными числами и алгебраическими выражениями из школьной математики. Эти фишки тоже очень здорово выбивают из колеи.

        Причина третья – это рутина. Спору нет, работа с матрицами порой бывает весьма занудной. И скучной. А вместе с рутиной неизбежно возрастает и вероятность глупых арифметических ошибок, да… Особенно при работе с матрицами больших размерностей и/или в процессе элементарных преобразований. Где-то минус теряется, где-то вместо нуля единица пишется, где-то 3+4 двенадцать получается… Эти ляпы на общем фоне рутинной работы просто-напросто не замечаются. И лечатся только лишь предельным вниманием. К сожалению.

        И даже после прочтения всех этих ужасов отчаиваться и впадать в панику рано. Прорвёмся!) Для начала успокою: матрица сама по себе – понятие очень простое. Да-да! И главное – полезное и очень мощное в высшей математике. Такое же полезное и мощное, как, скажем, формулы сокращённого умножения в школьной алгебре.) Сомневаетесь? Не надо.) Всё сами дальше увидите. Нужно лишь собраться с духом, рискнуть и… почитать.)

        Итак, начнём с первой проблемы – с визуального восприятия.)

Что такое матрица? Устройство матрицы.

        Так что же такое матрица? Нет, ничего общего с известным американским научно-фантастическим боевиком данное понятие не имеет. Ну… очень-очень отдалённое сходство всё же есть.)

        Итак, удивляемся, но запоминаем:

        Матрица – это просто прямоугольная таблица каких-либо элементов.

        И всё! Ничего хитрого за этим страшным понятием больше не кроется.) Разумеется, каждое слово в определении несёт свой собственный смысл, да. Разберёмся?)

        Слова «прямоугольная таблица» вопросов ни у кого не вызывают (надеюсь).

        Например, можно сочинить что-нибудь типа такого:

        Чем не прямоугольная табличка?) Но матрицы в высшей математике изображаются и выглядят немножко по-другому, нежели то что мы называем таблицей в привычном восприятии.

        Чаще всего матрица в математике записывается вот так:

        Всё очень просто и компактно, правда? Никаких рамок, никаких ячеек — ничего чертить и рисовать не нужно. Любая матрица записывается просто набором каких-то чисел в скобочках. Скобочки, кстати, могут быть не только круглыми. Могут быть и квадратными:

        Или даже в виде вот таких двойных прямых палочек:

        Это всё одно и то же. В большинстве учебников обычно используются круглые скобки. Квадратные скобки чаще встречаются в технических дисциплинах – в сопромате, строительной механике, теории упругости и т.п. Двойные – почти нигде не встречал. Я всё-таки буду следовать традициям и рисовать круглые скобки. Надеюсь, возражений нет.)

        Итак, с таблицей разобрались. Что же такое «элемент»? Тоже элементарно (сорри за тавтологию). Любое число, стоящее в матрице на определённом месте, и будет её элементом! Для нашей матрицы число 1 – элемент, 5 – тоже элемент, и 10 – тоже элемент. В общем, вы поняли…

        Кстати, слова «на определённом месте» я выделил не зря. И вот почему. Дело всё в том, что любую матрицу следует воспринимать именно как таблицу! А вовсе не как простое множество или набор чисел. Поясняю в чём суть. Рассматривая простое множество чисел, скажем, {1; 2; 3}, мы имеем полное право переставлять элементы множества как попало.

        Например, мы можем переставить единичку и двойку. Получим:

        {2; 1; 3}

        Или переставить двойку и тройку:

        {1; 3; 2}

        И так далее. Перестановки элементов множества на его сути никак не сказываются. А вот матрицы более чувствительны к перестановкам. И переставлять элементы матрицы просто так нельзя! Каждый элемент строго на своём месте, в своей ячейке. И если переставить местами хотя бы два элемента, то получится, вообще говоря, уже другая матрица. С другими свойствами, да.

        Элементами матрицы, кстати, могут быть не только числа. Могут быть и буквенные выражения, и даже функции. Всякое может быть.) Матрицы с функциями в качестве элементов так и называются – функциональными. Это – довольно сложная штука. И встречается уже в серьёзных разделах высшей математики – в дифференциальных уравнениях, в теории функций нескольких переменных и т.п. Этих ужасов пока не будет.)

        Мы же пока будем работать только с матрицами, элементами которых являются числа. Или с числовыми матрицами. Намёк понятен?)

Откуда взялись матрицы, зачем они нужны и в чём их смысл?

        Итак, мы выяснили, что матрица – это какая-то табличка. Чаще всего с какими-то числами. Ну и что из этого – спросите вы? Табличка и табличка… Что с ней делать-то? Просто пучить глазки? А делать можно очень много полезного! В соответствующих уроках сами увидите.)

        На самом деле с матрицами вы постоянно сталкивались ещё в школе. Сами того не подозревая. Не верите? Сейчас удивитесь.)

        Слова «система уравнений» вам знакомы?

        Например, такая простенькая системка из двух линейных уравнений:

        Решив её (например, подстановкой), получим ответ:

        х=1; у=2.

        Или, кратенько: (1; 2).

        Можно изменить коэффициенты при икс и игрек и получить какую-то новую систему. Например, такую:

        Решив её, получим новый ответ: (1; 3).

        А можно, например, коэффициенты при переменных не трогать, зато как-то поменять свободные члены. Вместо 8 и 3 записать, скажем, 1 и 2. Получим снова какую-то систему и какое-то решение…

        Короче говоря, меняя в системе уравнений коэффициенты при неизвестных и/или свободные члены, можно получать какие-то решения для конкретной системы. Для каждого набора чисел – свои. Кстати, можно и такое наподбирать, что система вообще не будет иметь решений или будет иметь бесконечно много решений.)

        Например:

        Эта система имеет бесконечно много решений. И (1; 1) — решение, и (0; 2) — решение, и (0,5; 1,5) — тоже решение. Можно перечислять до посинения…)

        А теперь я изменю в этой системе всего одно число и получу систему, которая вообще не имеет решений:

        Кому интересно, можете решить подстановкой. Получите забавный результат 6=5. Попробуйте.)

        Итак, что мы видим? Мы видим, что решение системы колоссальным образом зависит от этого самого набора чисел. Причём только от него! Этот факт настолько важен, что математики даже придумали этот самый набор чисел (коэффициентов и свободных членов системы) оформлять в виде таблички. Или, говоря математическим языком, в виде матрицы.

        Вот так:

        Меняя содержимое табличек (матриц) коэффициентов и свободных членов, мы будем получать различные системы линейных уравнений. С различными решениями, да.)

        Кстати, вот вам и ответ на вопрос, почему мы не можем просто так переставлять элементы в матрице. Не догадались? Да! Переставив местами хотя бы два элемента, мы получим уже другую матрицу, соответствующую другой системе уравнений. И с другими решениями…

        Ну ладно, системы из двух уравнений – это ещё легко. При их решении про матрицы можно особо не вспоминать: выражай себе по-школьному икс через игрек (или наоборот), делай подстановку, решай – и дело с концом. А вот система из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными уже гораздо злее.) Заниматься явным выражением одной переменной через другую, подстановкой и прочим школьным занудством уже неохота, да… А если уравнений и/или неизвестных ещё больше? Скажем, четыре или пять…)

        И вот тут возникает вполне закономерный вопрос: а можно ли, как-то работая напрямую только с матрицами (коэффициентов и свободных членов), попробовать выяснить:

        1) Есть у системы решение или нет его? Или решений вообще бесконечно много?

        2) Если решение есть и единственно, то отыскать его быстро и легко.

        Новость хорошая: да, можно! Добро пожаловать в новый раздел высшей математики! Под названием линейная алгебра.)

        Именно этот раздел и занимается решением систем линейных алгебраических уравнений. Сокращённо – СЛАУ.) Эта страшная аббревиатура будет мозолить вам глаза на протяжении почти всех уроков этого раздела. Привыкаем.)

        Причём прошу обратить особое внимание на слово «линейных». Это слово означает, что все неизвестные (x, y, z, …) входят во все уравнения максимум в первой степени и нигде не должно быть деления на неизвестное.

        Например:

        Это система двух линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными. Все неизвестные (x, y, z) в только первой степени, деления на неизвестное ни в одном из уравнений нету. То что число неизвестных больше числа уравнений – вопрос другой. В соответствующем уроке мы научимся с такими злыми системами расправляться.) Главное, что оба уравнения – линейные. Это важно.)

        А теперь я изменю в этой системе всего одно слагаемое. Нарисую, например, квадратик над иксом во втором уравнении:

        А вот такая система уравнений будет уже нелинейна, да… Именно из-за этого самого квадратика, нарушающего базовый принцип «все неизвестные только в первой степени». К нелинейным системам имеется свой индивидуальный подход, и линейная алгебра перед ними бессильна… С такими системами мы в этом разделе работать не будем. На радость студентам.)

        Итак, запоминаем:

        Матрицы – очень мощный инструмент для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

        Намёк понятен?)

        Но не одними лишь системами уравнений ограничивается применение матриц! Матрица — это ещё и своего рода математический оператор. Или преобразователь. Который что-то куда-то преобразует. Или отображает. Как фотоаппарат.) Скажем, один вектор через матрицу можно отобразить в другой. Мощная штука.) Об этом в более серьёзных темах линейной алгебры будет. А системы — так, частный случай. Для начального знакомства.

Как обозначать матрицу и её элементы?

        Очень просто. Любые матрицы в математике обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C и так далее.

        Например, нашу матрицу, приведённую в начале урока, можно обозначить вот так:

        И все дела. Слева от знака равенства – название матрицы, справа – её содержимое. В скобочках.)

        Но это ещё не все обозначения. Есть и другие, более специфические. Разберём и их.

        Любая матрица – это ведь табличка, не так ли? А из чего у нас состоит любая табличка? Правильно, из строчек и колонок! Только это в обиходе.) А в математике те же самые названия звучат более научно – строки и столбцы! Зацените.)

        Количество этих самых строк и столбцов коротко записывают в виде произведения m x n и называют размерностью матрицы. Которая дополнительно может указывается в виде подстрочного знака.

        Вот так:

        A_{m x n}

        Читается эта запись очень просто: «матрица A размерности m на n». И вот тут студентов могут подстерегать первые проблемы. Какое число (буква) за что отвечает?

        Запоминаем:

        В размерности матрицы m x n первое число (m) – это (всегда!) количество СТРОК в матрице. Второе число (n) – количество СТОЛБЦОВ.

        Именно в таком порядке. Сначала строки, а потом – столбцы. А не наоборот. Например, наша матрица – это матрица размера «два на три»:

        У неё две строки (m=2) и три столбца (n=3).

        Размерность – ключевая характеристика любой матрицы. Почему? А потому, что на некоторые операции с матрицами (например, на сложение, умножение, взятие определителя и обратной матрицы) существуют очень жёсткие ограничения по размерности! Сами увидите. В соответствующих уроках.)

        А как кратко в общем виде обозначать элементы матрицы? Тоже просто. Маленькими латинскими буквами с двойным индексом.

        Например, вот так:

        a_ij

        И всё. Читается эта закорючка так: «а и-жи». Или: «а итое-житое». Забавно, да? Тем не менее вполне себе научно.)

        И снова могут быть проблемы с расшифровкой индексов. В школе ведь мы привыкли работать с одиночными индексами. В прогрессиях, например. А тут – двойной! Какой индекс что означает? Не беда! Принцип расшифровки индексов тот же самый – сначала строка, а потом столбец. Первый индекс «i» («и»)– это номер строки, где находится интересующий нас элемент. Второй индекс «j« («жи») – номер столбца.

        Например, нам дана такая матрица A:

        Размерности какой, кстати? Правильно, «три на три». Или A_3x3. Пусть нам надо обратиться, скажем, к элементу матрицы a₂₃.

        Здесь первый индекс «и» равен двойке (i=2), а второй индекс «жи» – тройке (j=3). Вот и пересекаем (мысленно!) вторую строку и третий столбец. На пересечении получаем нужный нам элемент a₂₃ = 3.

        Вот так:

        Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца мы получим элемент матрицы a₁₁ = 0, на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент a₃₂ = 7 и так далее. Чем-то похоже на игру в кораблики или морской бой, не находите?) Вроде бы, всё элементарно. И что, думаете не ошибаются люди? Ошибаются, ещё как! Ещё один источник дурацких ошибок при работе с элементами матриц – это неправильная нумерация строк и столбцов. Со столбцами обычно всё ясно – нумеруем и читаем привычно, слева направо. Не арабы, чай…) А вот со строками могут случаться и непонятки – сверху вниз их нумеровать или снизу вверх…

        Запоминаем:

        В элементе матрицы a_ij первый индекс (i) – номер строки, второй индекс (j) – номер столбца. Нумерация строк (всегда!) – сверху вниз. Нумерация столбцов (всегда!) – слева направо.

        А теперь, разобравшись с загадочными индексами i и j, мы подходим к самому научному способу задания матрицы – через элемент матрицы в общем виде и диапазон изменения индексов.

        Вот она, эта запись:

        Расшифровываются эти страшные иероглифы так:

        Задана матрица А с элементами a_ij, где индекс «i» принимает все натуральные значения от единицы до «эм» включительно, а индекс «j» – все натуральные значения от единицы до «эн» включительно.

        Солидно, да… Куда проще не заморачиваться и написать кратко и точно A_mxn, правда? Но будьте готовы и к такой супернаучной форме записи. Особенно в каких-нибудь продвинутых учебниках.)

        Внимание! Запись элемента a₂₃ читается и произносится как «а два три«. Именно так, вы не ослышались.) Ни в коем случае не «a двадцать три«! Или b₁₁ – это элемент «бэ один один« (а не «бэ одиннадцать«)! Такое чтение – это… гм… серьёзный вызов преподавателю.) И говорит о полном отсутствии хоть какого-то понимания. О «зачёте» (или «удовл») даже и не мечтайте после этого. Вот так.

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,…m; j=1,2,…n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a₁₁, a₂₂ ,…, a_nn образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы a_ii ( i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a_1n, a_2n-1 ,…, a_n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E ⁿ, где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(A^T).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

A^T=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A⁰=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию
A=A^T
называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

a_ij=a_ji ;   i=1,2,…n,   j=1,2,…n

Решение матриц ℹ️ методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Понятие выражения

Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.

От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.

Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:

• a — действительная часть числа;
• b — мнимая часть;
• i — мнимая единица (квадратный корень из -1).

На приведенном примере показаны варианты.

Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:

• умножение;
• вычитание;
• умножение на число;
• перемножение между собой;
• транспортирование матриц.

Сложение и вычитание

Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.

Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.

Умножение на число

Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:

​

Операция перемножения

Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.

Возведение в степень

Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:

Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:

Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.

2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.

3 этап: в итоге получаем:

Расчёт определителя

В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.

Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.

Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:

Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:

Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:

Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.

Обратная матрица

Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:

По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.

Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.

Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:

Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:

Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.

2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.

При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:

3 этап: находят алгебраические дополнения.

4 этап: определяют транспонированную матрицу.

Итогом будет:

Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.

В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.

Нахождение собственных векторов

Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:

Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:

Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.

Метод Гаусса

Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:

• действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
• произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
• сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.

Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.

Следует переписать эту систему в матричный вид:

А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.

В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.

Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:

Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3…m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11….- аm1/a11. В результате система примет вид:

На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:

Обращают внимание на последние строки.

В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).

Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,…Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.

Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».

Способ Крамера

Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:

Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.

Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:

В итоге получают выражения:

Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:

Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:

1. Высчитывают определитель дельта базовой матрицы.
2. В матричной таблице А замещают первый столбец на вектор свободных элементов b.
3. Выполняют расчёт определителя дельта1 выявленной матрицы А1.
4. Определяют переменную Х1 = дельта1/дельта.
5. Повторяют шаги со 2 по 4 пункт в матрице А для столбов 2,3…n.

Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.

Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.

Матрица

| математика | Britannica

Matrix , набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам, чтобы сформировать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы находят широкое применение в технике, физике, экономике и статистике, а также в различных областях математики. Исторически первым распознаванием была не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникла идея матрицы как алгебраической сущности.Термин матрица был введен английским математиком 19-го века Джеймсом Сильвестром, но именно его друг, математик Артур Кейли, развил алгебраический аспект матриц в двух статьях 1850-х годов. Кэли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они также важны, потому что, как признал Кэли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых действуют многие обычные законы арифметики (например, ассоциативные и распределительные законы), но в которых другие законы (например,g., коммутативный закон) не действуют. Матрицы также нашли важное применение в компьютерной графике, где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.

Если имеется m строк и n столбцов, матрица называется матрицей « m на n », записанной « m × n ». Например,

— это матрица 2 × 3. Матрица с n строками и n столбцами называется квадратной матрицей порядка n .Обычное число можно рассматривать как матрицу размером 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3].

Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 с вашей подпиской.
Подпишитесь сегодня

В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая малая буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы. Таким образом, a _ij — это элемент в i -й строке и j -м столбце матрицы A .Если A — это матрица 2 × 3, показанная выше, то a ₁₁ = 1, a ₁₂ = 3, a ₁₃ = 8, a ₂₁ = 2, a ₂₂ = −4 и a ₂₃ = 5. При определенных условиях матрицы можно складывать и умножать как отдельные объекты, что дает начало важным математическим системам, известным как матричные алгебры.

Матрицы естественным образом встречаются в системах одновременных уравнений.В следующей системе для неизвестных x и y ,

массив чисел

представляет собой матрицу, элементы которой являются коэффициентами неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения. Если бы 3 и 4 поменяли местами, решение было бы другим.

Две матрицы A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a _ij = b _ij для каждый i и каждый j .Если A и B — две матрицы размером m × n , то их сумма S = A + B является матрицей m × n , элементы которой s _ij = a _ij + b _ij . То есть каждый элемент S равен сумме элементов в соответствующих позициях A и B .

Матрица может быть умножена на обычное число c , которое называется скаляром. Продукт обозначается cA или Ac и представляет собой матрицу, элементы которой равны ca _ij .

Умножение матрицы A на матрицу B для получения матрицы C определяется только тогда, когда количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй матрицы B .Чтобы определить элемент c _ij , который находится в строке i и столбце j продукта, первый элемент в строке i числа A умножается на первый элемент в j -м столбце B , второй элемент в строке — второй элемент в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не умножится на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент c _ij .В символах для случая, когда A имеет м столбцов, а B имеет м строк,

Матрица C имеет столько же строк, сколько A и столько же столбцов, сколько B .

В отличие от умножения обычных чисел a и b , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц A и B не является коммутативным. Однако оно ассоциативно и распределительно по сравнению с сложением.То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( BC ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC и ( B + C ) A = BA + CA . Если матрица 2 × 2 A со строками (2, 3) и (4, 5) умножается сама на себя, то произведение, обычно записываемое A ² , имеет строки (16, 21) и ( 28, 37).

Матрица O со всеми ее элементами 0 называется нулевой матрицей. Квадратная матрица с единицами на главной диагонали (вверху слева направо вниз) и нулями во всех остальных местах называется единичной матрицей. Он обозначается I или I _n , чтобы показать, что его порядок равен n . Если B — любая квадратная матрица, а I и O — единичная и нулевая матрицы одного порядка, всегда верно, что B + O = O + B = B и BI = IB = B .Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. Фактически, обычная арифметика является частным случаем матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.

Связано с каждой квадратной матрицей A — это число, известное как определитель A , обозначаемое det A . Например, для матрицы 2 × 2

det A = ad — bc . Квадратная матрица B называется невырожденной, если det B ≠ 0.Если B неособое, существует матрица, обратная B , обозначенная B ^-1 , так что BB ^-1 = B ^-1 B = Я . Уравнение AX = B , в котором A и B — известные матрицы, а X — неизвестная матрица, может быть решено однозначно, если A — невырожденная матрица, тогда A ⁻¹ существует, и обе части уравнения можно умножить слева на него: A ⁻¹ ( AX ) = A ⁻¹ B .Теперь A ⁻¹ ( AX ) = ( A ⁻¹ A ) X = IX = X ; следовательно, решение равно X = A ⁻¹ B . Систему м линейных уравнений в n неизвестных всегда можно выразить как матричное уравнение AX = B , в котором A — это матрица коэффициентов неизвестных м × n , X — это матрица неизвестных размером n × 1, а B — это матрица n × 1, содержащая числа в правой части уравнения.

Задача, имеющая большое значение во многих областях науки, заключается в следующем: для квадратной матрицы A порядка n, найти матрицу n × 1 X, , называемую n -мерным вектором, таким образом, что AX = cX . Здесь c — число, называемое собственным значением, а X — собственным вектором. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что определенное преобразование пространства, связанное с матрицей A , растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .

.

базовых матричных операций
— Пример MATLAB и Simulink

Этот пример показывает основные методы и функции для работы с матрицами на языке MATLAB®.

Во-первых, давайте создадим простой вектор из 9 элементов с именем a .

 а =  1 × 9 

     1 2 3 4 6 4 3 4 5

 

Теперь добавим 2 к каждому элементу нашего вектора, и , и сохраним результат в новом векторе.

Обратите внимание, что MATLAB не требует специальной обработки векторной или матричной математики.

 b =  1 × 9 

     3 4 5 6 8 6 5 6 7

 

Создание графиков в MATLAB так же просто, как одна команда. Давайте нарисуем результат нашего векторного сложения линиями сетки.

MATLAB может также создавать другие типы графиков с метками осей.

 бар (б)
xlabel ('Образец №')
ylabel ('Pounds') 

MATLAB также может использовать символы на графиках. Вот пример использования звездочек для обозначения точек. MATLAB предлагает множество других символов и типов линий.

 участок (b, '*')
ось ([0 10 0 10]) 

Одной из областей, в которой MATLAB выделяется, является матричное вычисление.

Создать матрицу так же просто, как создать вектор, используя точку с запятой (;) для разделения строк матрицы.

 A = [1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1] 

 A =  3 × 3 

     1 2 0
     2 5 -1
     4 10 -1

 

Мы легко можем найти транспонирование матрицы A .

 B =  3 × 3 

     1 2 4
     2 5 10
     0 -1 -1

 

Теперь перемножим эти две матрицы.

Еще раз обратите внимание, что MATLAB не требует, чтобы вы работали с матрицами как с набором чисел. MATLAB знает, когда вы имеете дело с матрицами, и соответствующим образом корректирует свои вычисления.

 С =  3 × 3 

     5 12 24
    12 30 59
    24 59 117

 

Вместо умножения матриц мы можем умножить соответствующие элементы двух матриц или векторов с помощью оператора. *.

 С =  3 × 3 

     1 4 0
     4 25 -10
     0-10 1

 

Давайте воспользуемся матрицей A для решения уравнения A * x = b.Мы делаем это с помощью оператора \ (обратная косая черта).

Теперь мы можем показать, что A * x равно b.

MATLAB имеет функции почти для каждого типа вычисления общей матрицы.

Есть функции для получения собственных значений …

 ans =  3 × 1 

    3,7321
    0,2679
    1.0000

 

… а также сингулярные числа.

 ans =  3 × 1 

   12,3171
    0,5149
    0,1577

 

Функция «poly» генерирует вектор, содержащий коэффициенты характеристического полинома.

Характеристический многочлен матрицы A равен

Мы можем легко найти корни многочлена с помощью функции roots .

Фактически, это собственные значения исходной матрицы.

 ans =  3 × 1 

    3,7321
    1.0000
    0,2679

 

MATLAB имеет множество приложений, помимо вычисления матриц.

Для свертки двух векторов …

 q =  1 × 7 

     1-10 35-52 35-10 1

 

… или снова свернуть и построить результат.

 г =  1 × 10 

     1-15 90-278 480-480 278-90 15-1

 

В любое время мы можем получить список переменных, которые мы сохранили в памяти, используя команду who или whos .

 Имя Размер Байт Атрибуты класса

  Двойной 3x3 72
  B 3x3 72 двухместный
  C 3x3 72 двойной
  1x9 72 двойной
  ans 3x1 24 двухместных
  b 3x1 24 двойной
  п 1х4 32 двойной
  q 1x7 56 двойной
  r 1x10 80 двойной
  x 3x1 24 двойных
 

Вы можете получить значение конкретной переменной, введя ее имя.

 A =  3 × 3 

     1 2 0
     2 5 -1
     4 10 -1

 

Вы можете разместить более одного оператора в одной строке, разделив каждый оператор запятыми или точкой с запятой.

Если вы не назначаете переменную для хранения результата операции, результат сохраняется во временной переменной с именем и .

Как видите, MATLAB легко обрабатывает комплексные числа в своих вычислениях.

Связанные темы

.

матриц и массивов
— MATLAB и Simulink

MATLAB — это сокращение от «матричная лаборатория». В то время как другие языки программирования в основном работают с числами по одному, MATLAB® разработан для работы в основном с целыми матрицами и массивами.

Все переменные MATLAB — это многомерные массивы , независимо от типа данных. Матрица — это двумерный массив, часто используемый в линейной алгебре.

Создание массива

Чтобы создать массив из четырех элементов в одной строке, разделите элементы запятой (, ) или пробелом.

Этот тип массива представляет собой вектор-строку .

Чтобы создать матрицу, состоящую из нескольких строк, разделите строки точкой с запятой.

 a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10] 

 a =  3 × 3 

     1 2 3
     4 5 6
     7 8 10

 

Другой способ создать матрицу — использовать функцию, например, единиц , нулей или рандов . Например, создайте вектор-столбец из нулей размером 5 на 1.

Операции с матрицами и массивами

MATLAB позволяет обрабатывать все значения в матрице с помощью одного арифметического оператора или функции.

 ANS =  3 × 3 

    11 12 13
    14 15 16
    17 18 20

 

 ANS =  3 × 3 

    0,8415 0,9093 0,1411
   -0,7568 -0,9589 -0,2794
    0,6570 0,9894 -0,5440

 

Чтобы транспонировать матрицу, используйте одинарные кавычки ( '):

 ans =  3 × 3 

     1 4 7
     2 5 8
     3 6 10

 

Вы можете выполнить стандартное матричное умножение, которое вычисляет внутренние произведения между строками и столбцами, используя оператор * .Например, подтвердите, что матрица, умноженная на обратную, возвращает единичную матрицу:

 p =  3 × 3 

    1,0000 0 0
    0,0000 1,0000 0
    0,0000 -0,0000 1,0000

 

Обратите внимание, что p не является матрицей целых значений. MATLAB хранит числа как значения с плавающей запятой, а арифметические операции чувствительны к небольшим различиям между фактическим значением и его представлением с плавающей запятой. Вы можете отобразить больше десятичных цифр с помощью команды format :

 p =  3 × 3 

   1.000000000000000 0 0
   0,000000000000002 1,00000000000000000 0
   0.000000000000002 -0.000000000000004 1.000000000000000

 

Сбросьте отображение на более короткий формат, используя

формат влияет только на отображение чисел, а не на то, как MATLAB вычисляет или сохраняет их.

Чтобы выполнить поэлементное умножение, а не матричное умножение, используйте оператор . * :

 p =  3 × 3 

     1 4 9
    16 25 36
    49 64 100

 

Матричные операторы умножения, деления и мощности имеют соответствующий оператор массива, который работает поэлементно.Например, возвести каждый элемент a в третью степень:

 ans =  3 × 3 

           1 8 27
          64 125 216
         343 512 1000

 

Конкатенация

Конкатенация — это процесс объединения массивов в более крупные. Фактически, вы создали свой первый массив, объединив его отдельные элементы. Пара квадратных скобок [] — это оператор конкатенации.

 A =  3 × 6 

     1 2 3 1 2 3
     4 5 6 4 5 6
     7 8 10 7 8 10

 

Объединение массивов рядом друг с другом с использованием запятых называется горизонтальным объединением .Каждый массив должен иметь одинаковое количество строк. Точно так же, когда массивы имеют одинаковое количество столбцов, вы можете объединить вертикально , используя точки с запятой.

 А =  6 × 3 

     1 2 3
     4 5 6
     7 8 10
     1 2 3
     4 5 6
     7 8 10

 

Комплексные числа

Комплексные числа имеют как действительную, так и мнимую части, где мнимая единица представляет собой квадратный корень из -1 .

Для представления мнимой части комплексных чисел используйте i или j .

 c = [3 + 4i, 4 + 3j; -i, 10j] 

 c =  Комплекс 2 × 2 

   3.0000 + 4.0000i 4.0000 + 3.0000i
   0,0000 - 1,0000i 0,0000 + 10,0000i

 

.

Массив против матричных операций
— MATLAB и Simulink

Операции с матрицами

Введение

MATLAB ^® имеет два различных типа арифметических операций: операции с массивами и
матричные операции. Вы можете использовать эти арифметические операции для выполнения числовых
вычисления, например, сложение двух чисел, повышение элементов массива до
заданной мощности или умножения двух матриц.

Матричные операции подчиняются правилам линейной алгебры.Напротив, массив
операции выполняют поэлементные операции и поддерживают многомерные
массивы. Знак точки (. ) выделяет массив
операции из матричных операций. Однако, поскольку матрица и массив
операции сложения и вычитания одинаковы, пары символов
. + и .- не нужны.

Операции с массивами

Операции с массивами выполняют поэлементные операции над соответствующими элементами
векторов, матриц и многомерных массивов.Если у операндов одинаковые
size, то каждый элемент в первом операнде сопоставляется с элементом в
то же место во втором операнде. Если операнды имеют совместимые размеры, то
каждый вход неявно расширяется по мере необходимости, чтобы соответствовать размеру другого. Для большего
Информацию см. в разделе «Совместимые размеры массивов для основных операций».

В качестве простого примера вы можете добавить два вектора одинакового размера.

Если один операнд является скаляром, а другой — нет, то MATLAB неявно расширяет скаляр до того же размера, что и другой
операнд.Например, вы можете вычислить поэлементное произведение скаляра и
матрица.

Неявное расширение также работает, если вы вычитаете вектор размером 1 на 3 из матрицы 3 на 3
потому что два размера совместимы. Когда вы выполняете вычитание, вектор
неявно расширяется до матрицы 3 на 3.

 A = [1 1 1; 2 2 2; 3 3 3] 

 ans =

    -1-3-5
     0-2-4
     1 -1 -3 

Вектор-строка и вектор-столбец имеют совместимые размеры.Если вы добавите вектор размером 1 на 3
в вектор размером 2 на 1, то каждый вектор неявно расширяется в матрицу 2 на 3 перед
MATLAB выполняет поэлементное добавление.

Если размеры двух операндов несовместимы, вы получите сообщение об ошибке.

 A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2] 

 Размеры матрицы должны совпадать. 

В следующей таблице приводится сводка операторов арифметических массивов в
MATLAB. Для получения информации о функции щелкните ссылку на функцию
справочная страница в последнем столбце.

Матричные операции

Матричные операции подчиняются правилам линейной алгебры и несовместимы с
многомерные массивы. Требуемый размер и форма входов относительно
друг друга зависит от операции. Для нескалярных входов матричные операторы
обычно вычисляют ответы, отличные от их аналогов оператора массива.

Например, если вы используете оператор матричного деления вправо, /,
чтобы разделить две матрицы, матрицы должны иметь одинаковое количество столбцов.Но если
вы используете оператор матричного умножения * , чтобы умножить два
матрицы, то матрицы должны иметь общий внутренний размер .
То есть количество столбцов в первом вводе должно быть равно количеству
строки во втором входе. Оператор матричного умножения вычисляет произведение
двух матриц с формулой,

C (i, j) = ∑k = 1nA (i, k) B (k, j).

Чтобы увидеть это, вы можете вычислить произведение двух матриц.

Предыдущее матричное произведение не равно следующему поэлементному
товар.

В следующей таблице представлен обзор матричных арифметических операторов в
MATLAB. Для получения информации о функции щелкните ссылку на функцию
справочная страница в последнем столбце.

Связанные темы

.