Метод накопления нулей матрицы: Получение нулей в ряду матрицы. : Чулан (М)

Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы — Студопедия

Введем понятие ранга матрицы. Выделим в матрице -строк и -столбцов, где — число, меньшее или равное меньшему из чисел и . Определитель порядка , составленный из элементов, стоящих из пересечения выделенных -строк и -столбцов, называется минором или определителем, порожденным матрицей .

Рангом матрицы (обозначается ) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля.

Ранг матрицы не изменится, если:

1) поменять местами любые два параллельных ряда;

2) умножить (разделить) каждый элемент ряда на один и тот же множитель (делитель) ;

3) прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель;

4) Ряд, состоящий из нулей, отбрасывается.

Преобразования 1-4 называются элементарными. Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц и обозначается ~ .

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы.

1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований можно любую матрицу привести к виду, когда каждый ее ряд будет состоять только из нулей, или нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.

Пример 2.1. Найти ранг матрицы методом единиц и нулей.

~

1 шаг.

Разделим элементы третьего столбца на 2, затем первую строку умножим на и сложим с четвертой строкой. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

2 шаг.

Теперь четвертую строчку складываем со второй и с третьей. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

+

+ +

3 шаг.

Умножим элементы второго столбца на и сложим с элементами четвертого столбца. Затем умножим элементы второго столбца на и сложим с соответствующими элементами первого столбца. И окончательно элементы второго столбца сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

4 шаг.

Умножим элементы третьей строки на и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

+

5 шаг.

Сложим элементы пятого столбца с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

+

6 шаг.

Умножим элементы третьего столбца на 3 и сложим с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

+ +

7 шаг.

Умножим на элементы третьего столбца и сложим с соответствующими элементами второго и четвертого столбцов. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

+

8 шаг.

Умножим элементы четвертого столбца на и сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Затем просто умножим элементы четвертого столбца на . Получим новую эквивалентную матрицу:

~ — , так как осталось 3 единицы.

2. Метод окаймляющих миноров. Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минором . Если у матрицы существует минор , а все окаймляющие его миноры , то .

Найдем этим методом из предыдущего примера.

Начнем с левого верхнего угла:

;

;

Как видно, что эта матрица содержит всего два минора 4-го порядка. Проверим второй:

То есть

ЗАДАНИЯ

Задание 2.1. Найти ранг матрицы

1) Методом единиц и нулей;

2) Методом окаймляющих миноров.

Обратная матрица

Квадратная матрица порядка называется невырожденной, если её определитель (детерминант) .

В случае, когда , матрица называется вырожденной.

Только для квадратной невырожденной матрицы вводится понятие обратной матрицы .

Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы , если , где — единичная матрица порядка .

Для матрицы существует единственная обратная матрица, которая определяется по формуле:

или ,

где или — союзная или присоединённая матрица, её элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы , т.е. матрицы, полученной из данной матрицы заменой её строк столбцами с теми же номерами.

, т.е.

Пример 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.

Дана матрица .

Найти: .

Решение:

1 способ. С помощью алгебраических дополнений.

Найдем обратную матрицу по формуле ,

где — определитель матрицы ;

— союзная или присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений транспонированной матрицы .

Согласно формуле можно сказать, что если , то обратная матрица не существует.

Найдем:

,

значит обратная матрица существует.

Составим союзную матрицу, для этого найдем алгебраические дополнения по формуле

Отсюда:

.

2 способ. Основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путём приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически это выглядит так:

Итак, запишем матрицу:

~ ~

~ ~ ~

~ ~

~ ~

~

Итак:

Проверка. Сделаем проверку исходя из свойства . Остановимся на произведении . Для удобства умножения матриц запишем в виде:

.

Тогда:

— верно (смотри определение )

Задание 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.

III. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Определитель матрицы.

Навигация по странице:

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

где (α₁,α₂,…,α_n) — перестановка чисел от 1 до n, N(α₁,α₂,…,α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

   det(A) = det(A^T)

7. Определитель обратной матрицы:

   det(A^-1) = det(A)^-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    
    a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….k·a_i1k·a_i2…k·a_in….a_n1a_n2…a_nn =
    k·a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….a_i1a_i2…a_in….a_n1a_n2…a_nn




12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kⁿ·det(A)

    где A матрица n×n, k — число.




13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….b_i1 + c_i1b_i2 + c_i2…b_in + c_in….a_n1a_n2…a_nn =
    
    a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….b_i1b_i2…b_in….a_n1a_n2…a_nn +
    
    a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….c_i1c_i2…c_in….a_n1a_n2…a_nn




14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a₁₁| = a₁₁

Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

Решение:

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

= 
a₁₁·a₂₂·a₃₃ +
a₁₂·a₂₃·a₃₁ +
a₁₃·a₂₁·a₃₂ —
a₁₃·a₂₂·a₃₁ —
a₁₁·a₂₃·a₃₂ —
a₁₂·a₂₁·a₃₃

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

= 
a₁₁·a₂₂·a₃₃ +
a₁₂·a₂₃·a₃₁ +
a₁₃·a₂₁·a₃₂ —
a₁₃·a₂₂·a₃₁ —
a₁₁·a₂₃·a₃₂ -
a₁₂·a₂₁·a₃₃

Пример 2.

Найти определитель матрицы A =
571-410203

Решение:

det(A) =
571-410203 =
5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 —
1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)¹⁺¹·
2111
+ 0·(-1)²⁺¹·
4111
+ 2·(-1)³⁺¹·
4121 =

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A =
2411020021134023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) =
2411020021134023 =

— 0·
411113023

+ 2·
211213423

— 0·
241213403

+ 0·
241211402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A =
2411021021134023

Решение:

det(A) = 2411021021134023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 241102102 — 21 — 41 — 13 — 14 — 2·20 — 4·22 — 1·23 — 1·2 =
241102100-3020-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = — 2141012000-3200-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = — 214 + 1·81012 + 0·8000-3 + 2·8200-8 + 1·81 =
— 211210120001320001 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ — определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Присоединяйтесь

© 2011-2020 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне [email protected]

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 12Следующая ⇒

Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров.

Разберемся с понятием окаймляющего минора.

Говорят, что минор М_ок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка kматрицы А, если матрица, соответствующая минору М_ок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M.

Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M_ок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Для примера рассмотрим матрицу и возьмем минор второго порядка . Запишем все окаймляющие миноры:

Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).

Теорема.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p наn, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -огопорядка матрицы А порядка , находится по формуле . Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А, не больше, чем миноров(k + 1)-ого порядка матрицы А. Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.

Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.

Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2. Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k, если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либоRank(A) = min(p, n), если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка(min(p, n) – 1).

Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.

Пример.

Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение.

Так как элемент a_{1 1} матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:

Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля . Переберем его окаймляющие миноры (их штук):

Все миноры, окаймляющие минор второго порядка , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2.

Пример.

Найдите ранг матрицы с помощью окаймляющих миноров.

Решение.

В качестве отличного от нуля минора первого порядка возьмем элементa_{1 1} = 1 матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка . Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А равен трем.

Ответ:

Rank(A) = 3.

К началу страницы

Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

· перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;

· умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, отличное от нуля;

· прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.

Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ », то есть, записывается A ~ B.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

· При перестановке строк (или столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то при перестановке строк (столбцов) он остается равным нулю.

· При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k отличное от нуля, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k. Если определитель исходной матрицы равен нулю, то после умножения всех элементов какой-либо строки или столбца на число k определитель полученной матрицы также будет равен нулю.

· Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на некоторое число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.

· Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов (p > n).

или

· Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов (p < n).

или

· Для квадратных матриц А порядка n на n.

или

Эти иллюстрации являются шаблонами, к которым будем преобразовывать матрицуА.

Опишем алгоритм метода.

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка (p может быть равно n).

Будем считать, что элемент a₁₁ отличен от нуля. В противном случае мы можем перестановкой строк и (или) столбцов преобразовать матрицу так, чтобы «новый» элемент a₁₁ стал ненулевым.

Итак, . Умножим все элементы первой строки матрицы А на . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А⁽¹⁾:

К элементам второй строки полученной матрицы А⁽¹⁾ прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А⁽²⁾:

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках со второй по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А⁽²⁾

Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А⁽²⁾ так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым.

Итак, . Умножаем каждый элемент второй строки матрицы А⁽²⁾ на . Получаем эквивалентную матрицу А⁽³⁾:

К элементам третьей строки полученной матрицы А⁽³⁾ прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А⁽⁴⁾:

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках с третьей по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен двум, а, следовательно, Rank(A) = 2.

Если же в строках с третьей по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А⁽⁴⁾:

И так действуем дальше, пока не придем к одному из рассмотренных выше шаблонов, что позволит определить ранг исходной матрицы.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Так как элемент a_{1 1} отличен от нуля, то умножим элементы первой строки матрицы А на :

Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на (- 3). К элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (- 1). И так далее:

Элемент отличен от нуля, поэтому мы можем умножить элементы второй строки матрицы А⁽²⁾ на :

К элементам третьей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на ; к элементам четвертой строки – элементы второй строки, умноженные на ; к элементам пятой строки – элементы второй строки, умноженные на :

Все элементы третьей, четвертой и пятой строк полученной матрицы равны нулю. Так с помощью элементарных преобразований мы привели матрицу А к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank(A⁽⁴⁾) = 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!

Рассмотрим еще один пример.

Пример.

Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы .

Решение.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А, так как элемент a_{1 1}равен нулю, а элемент a₂₁ отличен от нуля:

В полученной матрице элемент равен единице, поэтому не нужно производить умножение элементов первой строки на . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми:

Так первый столбец преобразован к нужному виду.

Элемент в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на :

Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент уже равен нулю.

Так как , а , то поменяем местами третий и четвертый столбцы:

Умножим третью строку полученной матрицы на :

На этом заканчиваем преобразования. Получаем Rank(A⁽⁵⁾)=3, следовательно,Rank(A)=3.

Ответ:

ранг исходной матрицы равен трем.

9. Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.

Пояснения

Система уравнений разрешима тогда и только тогда, когда , где — расширенная матрица, полученная из матрицы приписыванием столбца ^[1].

Доказательство (условия совместности системы)[править | править вики-текст]

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмём в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисномминоре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

· Количество главных переменных системы равно рангу системы.

· Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

· Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

· Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

· Пример 1

· Решить однородную систему линейных уравнений

· Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

· (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

· (2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

· Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

· В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

· Ответ:

· Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имееттолько тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

· Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

· Пример 2

· Решить однородную систему линейных уравнений

· Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

· Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы. И тогда неизбежно появление общего решения:

· Пример 3

· Решить однородную систему линейных уравнений

· Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

· (1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

· (2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

· (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

· (4) У первой строки сменили знак.

· В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

· Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

· Выразим базисные переменные через свободную переменную:

· Ответ: общее решение:

· Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

· Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

· На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощьюфундаментальной системы решений. Пожалуйста, временно забудьте обаналитической геометрии, поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы и окончательно расписал на уроке о линейных преобразованиях. Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто:

· Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

· Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где – произвольные действительные числа.

· Количество векторов фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

· Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

· Представим общее решение Примера №3 в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать и получить: .

· Координаты вектора должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

· Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

· Ответ: общее решение: , где (любое вещественное число)

· Придавая параметру различные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если , то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен:
, то есть набор переменных удовлетворяет каждому уравнению системы.

· Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять и из общего решения системы получить вектор с целыми координатами:

· И тогда ответ запишется в эквивалентной форме:
, где (любое вещественное число)

Линейное многообразие

Линейным многообразием в линейном пространстве называется подмножество этого пространства вида

для каких-то фиксированных подпространства и вектора , то есть подмножество, полученное сдвигом каждого элемента из на вектор . Обозначение:

Если и , то тогда и только тогда, когда и .

В частности, является линейным подпространством тогда и только тогда, когда (т.е. содержит нулевой элемент). В этом случае .

Если — гильбертово пространство, а — его замкнутое подпространство, то можно выбрать вектор в определении ( ) ортогональным подпространству . Такое представление , единственно.

Пересечение линейных многообразий всегда является линейным многообразием.

Размерность линейного многообразия — это размерность линейного подпространства : Для линейных многообразий в -мерном векторном пространстве или , или



Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн

Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн

1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1. Единичная матрица — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны 0.
   

   ---

2. Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равен нулю.
   

   ---

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.
   

   ---

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.
   

   ---

5. Определитель матрицы равен нулю, если две или несколько строк или столбцов матрицы линейно зависимы.
   

   ---

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(A^T).
   

   ---

7. Определитель обратной матрицы: det(A^-1) = det(A)^-1.
   

   ---

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на некоторое число.
   

   ---

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить линейную комбинации других строк или столбцов.
   

   ---

10. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
    

    ---

11. Общий множитель в строке или столбце можно выносить за знак определителя:
    

    ---

12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:
    B = k·A => det(B) = kⁿ·det(A), где A матрица n×n, k — число.

    ---

13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
    

    ---

14. Определитель верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
    

    ---

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B).
    

    ---

Другой материал по теме

Матрицы и операции над ними

Матрицы и операции
над ними

§.1. Основные
определения

Определение 1:
матрицей размера m×n называется таблица
m строк и n столбцов.

Если m=n, то матрица
называется квадратной.

N – порядок
квадратной матрицы

Элементы

– главная диагональ

– побочная диагональ

Сумма элементов
главной диагонали — шпур

Определение 2: если
все,,
то матрица нулевая.

Верхняя треугольная
матрица – все элементы выше главной
диагонали нули.

Нижняя треугольная
матрица – все элементы ниже главной
диагонали нули.

Диагональная
матрица – элементы только на главной
диагонали.

Матрица единичная
– если все элементы главной диагонали
равны 1, а остальные нули.

символ
Кронекера

Определение 3:
матрица, состоящая из одной строки:
вектор-строка.

Матрица, состоящая
из одного столбца: вектор-столбец

Определение 4:
матрица B называется транспонированной
к A, если:

:

Если

– симметричная
матрица

– кососимметричная
матрица.

§.2. Перестановки

Определение 1.
Любую упорядоченную подборку натуральных
чисел называют перестановкой из n
чисел. P(2,
4, 8)

Теорема 1. Существуют
n!
перестановок из n
элементов.

P(n)=n!

Перестановка 1, 2,
3… n
– нормальная.

Определение 2.
Беспорядок (инверсия) в перестановке
n-го
порядка — наличие пары чисел, в которых
большему числу предшествует меньшее.

Определение 3.
Перестановка называется чётной, если
число инверсий в ней чётно (или ноль)

Перестановка
называется нечётной, если число инверсий
в ней нечётно.

Определение 4.
Транспозицией символов в перестановке,
называется любая перестановка этих
символов.

Теорема 2. Всякая
транспозиция меняет чётность перестановки.

§.3. Определители
n-го
порядка

Определение 1.
Определителем (детерминантом) n-го
порядка квадратной матрицы называется
сумма n!
слагаемых, каждое из которых равно

где
-произведение
элементов матрицы A,
взятых по одному из каждой строки и
каждого столбца, а
—
число инверсий в перестановке, составленных
из номеров столбцов.

Мнемонические
правила вычисления определений 3-го
порядка.

1. 1-ое правило Саргюса
   (правило треугольников)

2. 2-ое правило Саргюса
   (правило диагоналей)

§.4. Алгебраические
дополнения и миноры

Определение 1.
Минором

элемента

называется определитель матрицы

порядка, полученный вычёркиванием i-ой
строки j-го
столбца.

Определение 2.
Алгебраическим дополнением

элемента

называется

Теорема. Теорема
Лапласа (разложения)

Детерминант
квадратной матрицы равен сумме
произведений элементов любой строки
(столбца) на их алгебраические дополнения.

§.5. Свойства
определителей n-го порядка

1. Величина определителя
   не изменится, если определитель
   транспонировать.

2. Если определитель
   содержит строку, состоящую из одних
   нулей, то он равен нулю

3. При перестановке
   двух строк определитель меняет знак.

4. Определитель,
   имеющий две одинаковые строки, равен
   нулю.

5. Общий множитель
   элементов любой строки можно вынести
   за знак определителя.

6. Если каждый элемент
   некоторой строки представляет собой
   сумму двух слагаемых, то определитель
   равен сумме двух определителей, в каждом
   из которых все строки, кроме упомянутой,
   такие же как и данном определителе, а
   в упомянутой строке первого определителя
   стоят первые слагаемые, второго –
   вторые.

7. Если в определителе
   две строки пропорциональны, то он равен
   нулю.

8. Определитель не
   изменится, если к элементам некоторой
   строки прибавить соответствующие
   элементы другой строки, умноженные на
   одно и то же число.

9. Определители
   треугольных и диагональных матриц
   равны произведению элементов главной
   диагонали.

Метод накопления
нулей вычисления определителей основан
на свойствах определителей.

§.6. Алгебра матриц

1. Сложение матриц

Пусть A и B – две
матрицы одинакового размера:

2. Умножение матрицы
на число.

3. Умножение матриц.

Умножение возможно
если число столбцов первой матрицы
совпадает с числом строк второй матрицы
(условия сцепления):

Произведением A
и B
называют матрицу C
размера
,
элементы которой находят по формуле:

т.е. элемент
,
стоящий в i-ой
строке и j-ом
столбце матрицы С, равен сумме произведений
элементов i-ой
строки матрицы A
на соответствующие элементы j-го
столбца матрицы B.

Теорема. Определитель
произведения квадратных матриц равен
произведению определителей сомножителей:

4. Обратная матрица.

Определение 1.
Квадратную матрицу A
называют невырожденной, если её
определитель

не равен нулю, и вырожденной, если

Пусть A
– невырожденная квадратная матрица.

Определение 2.
Матрицу

называют обратной матрице A
, если выполняются равенства:

Вырожденная матрица
не имеет обратной.

Способ получения
обратной матрицы

1. Вычислить
   определитель матрицы A,
   если
   ,
   то матрица необратима.

2. Найти алгебраические
   дополнения по всем элементам.

3. Заменить все
   элементы матрицы их алгебраическими
   дополнениями.

4. Транспонировать
   полученную матрицу.

5. Все элементы
   матрицы разделить на определитель,
   вычисленный в 1-ом пункте.

5. Свойства операций
над матрицами.

1)

— коммутативность

2)

— ассоциативность

3)

4)

5)

— дистрибутивность

6)

7)

— ассоциативность умножения

8)

— дистрибутивность

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

§.7. Ранг матрицы

алгебраический
матрица алгоритм

Определение 1.
Рангом матрицы называют максимальное
число её независимых вектор-строк.

Ранг матрицы (rang
A)
находят приведением её к треугольному
(диагональному) виду с помощью элементарных
преобразований, к которым относят:

1. перестановка
   любых строк матрицы;

2. умножение любой
   строки на число
   ;

3. вычёркивание
   строки, состоящей из одних нулей;

4. вычитание из любой
   строки, любой другой, умноженной на
   число, отличное от нуля.

Определение 2. Две
матрицы называются эквивалентными,
если одна из них получена из другой с
помощью конечного числа элементарных
преобразований.

Эквивалентные
матрицы имеют одинаковые ранги.

Теорема. Наивысший
порядок отличных от нуля миноров матрицы
A
равен рангу этой матрицы.

Алгоритм нахождения
ранга матрицы

1. Если все элементы
матрицы равны нулю, то rang
A=0.
Если есть ненулевой элемент, то
.

2. Ищем минор 2-го
порядка, отличный от нуля, если все
миноры 2-го порядка равны нулю, то rang
A=1.

Если найдётся
отличный от нуля, то

3. Рассматриваем
миноры 3-го порядка, окаймляющие найденный
ненулевой минор 2-го порядка.

Если все миноры
отличные от нуля, то

4. Если найден
ненулевой минор k-го
порядка, отличны от нуля, а все миноры
(k+1)-го
порядка, окаймляющие найденный минор,
равны нулю, то
.

Это способ
окаймляющих миноров.

4.2. Методы накопления. 4. Методы обработки сигналов в приемнике. Теория передачи сигналов

Одним из эффективных и широко применяемых в различных вариантах методов борьбы с помехами является метод накопления. Сущность метода состоит в том, что сигнал или его элементы многократно повторяются. На приеме отдельные образцы сигнала сличаются (обычно суммируются), и так как различные образцы по-разному искажаются помехой в силу независимости последних, то можно восстановить переданный сигнал с большей достоверностью.

В простейшей форме метод накопления часто применяется при телефонном разговоре в условиях плохой слышимости, когда переспрашивают и повторяют одно и то же слово по нескольку раз.

В случае телеграфной связи каждая кодовая комбинация, состоящая из элементов 0 и 1, передается несколько раз. Если вероятность сбоя символов 1 и 0 одинакова, то на приеме решение выносится «по большинству», т. е. воспроизводится символ 1 на данной позиции, когда их число на этой позиции больше числа символов 0, и, наоборот, воспроизводится 0, когда число «нулей» больше числа «единиц»:

переданная комбинация 01001

первая принятая 00001

вторая 11010

третья 01101

воспроизведенная комбинация 01001

Заметим, что можно было бы получить п образцов сигнала не путем их повторения во времени, а путем передачи по независимым каналам, разделенным по частоте, или каким-либо другим способом.

Существуют и другие разновидности метода накопления. К ним, в частности, относится метод синхронного накопления, нашедший применение в радиолокации. При этом методе на протяжении посылки сигнала берется не один отсчет, а несколько. На приеме эти отсчеты суммируются в накопителе.

Пусть отдельные отсчеты принятого сигнала:

, ,… (4.1)

тогда сумма отсчетов

(4.2)

Величина b = ns представляет собой полезный сигнал на выходе

приемника. Случайная величина представляет собой помеху. Отношение сигнала к помехе на выходе приемника равно: (4.3)

Здесь мы полагали, что некоррелированы и имеют одинаковое распределение, отношение сигнала к помехе на входе приемника.

Таким образом, при описанных условиях накопление отсчетов сигнала позволяет увеличить отношение сигнала к помехе на выходе приемника ровно в п раз. Суть дела сводится к тому, что мощность сигнала при суммировании растет пропорционально п² (складываются напряжения), а мощность помехи — пропорционально п (суммируются мощности). Поэтому отношение сигнала к помехе увеличивается в п раз, если помехи независимы. При наличии корреляции между значениями помехи этот выигрыш будет меньше.

Метод накопления можно осуществить, беря не сумму отсчетов xk, а интеграл непрерывно изменяющейся функции x(t)=s+(t) за время Т, равное длительности сигнала,

Здесь b — также постоянная, выражающая сигнал на выходе накопителя (интегратора), а | — случайная величина, определяющая помеху на выходе интегратора.

Определим дисперсию случайной величины

(4.4.)

где — функция корреляции помехи . Если спектр помехи равномерен в достаточно широкой полосе частот F, т. е. интервал корреляции помехи , то конечные пределы интегрирования могут быть заменены на бесконечные:

(4.5)

где . По определению (2.24) интервал корреляции

(4.6)

В рассматриваемом случае и . Следовательно,

Тогда отношение сигнала к помехе на выходе интегратора будет

(4.7)

Итак, выигрыш, получаемый при интегрировании, тем больше, чем больше отношение . Описанный способ приема называется интегральным.

Заметим, что есть число независимых отсчетов помехи на интервале Т. Это означает, что ф-лы (4.3) и (4.7) совпадают, т. е. замена суммирования независимых значений непрерывным интегрированием дополнительного выигрыша не дает. Однако практическая реализация метода интегрирования осуществляется проще, чем суммирование дискретных значений. Так, при приеме телеграфных сигналов в качестве интегратора широко используется цепочка RC, разряжаемая синхронно по окончании каждой элементарной посылки (рис. 4.2). В конце каждой посылки заряд на емкости приблизительно пропорционален интегралу входного сигнала. Додетекторное интегрирование можно осуществить с помощью резонатора большой добротности.

В простейшем случае таким резонатором может быть колебательный контур.

Рис. 4.2. Простейшая схема интегратора

ЕДИНСТВЕННЫЙ СПОСОБ ВЫЙТИ ИЗ… «МАТРИЦЫ»

Каково устройство человеческого общества?

Люди подчиняются законам Матрицы. Ваши поступки не являются следствием собственных желаний и сознательных выводов. Каков главный принцип Матрицы? Люди совершают разные поступки, которые  являются частью созданной для вас большой игры, действуя по запрограммированному в каждом из вас принципу. Принцип состоит в том, чтобы цепочка ваших якобы нужных действий и поступков увеличивалась в математической прогрессии. Допустим, если у вас есть деньги, то это порождает желание их тратить или накапливать. Чем сильнее ваше желание иметь больше денег, тем сильнее на Вас действует принцип Матрицы. Но ведь количество денег напрямую влияет на  уровень жизни в цивилизованном мире? От количества денег не зависит ваша жизнь. Это одна из основных хитростей Матрицы, средство управления массами людей. На самом деле деньги являются посредником в получении вами благ. Любые блага вы можете получать напрямую, без посредников.

Как люди попадают в Матрицу?

  С самого зачатия. У вас нет выбора. Принцип Матрицы работает безотказно, потому что люди, однажды поступив так, как им пришлось поступать с рождения, становятся частью Матрицы. Вы становитесь рабами Матрицы на всю жизнь, когда  берете кредит, покупаете лекарства, смотрите телевизор и так далее.

Что является главным оружием Матрицы?

Каковы средства управления Матрицей?

     Матрицу никто не охраняет и оружия для этого не нужно. Принципы Матрицы надежно защищают ее. А на счет управления Матрицей — это, прежде всего, деньги и средства массовой информации. Это основные стимуляторы побега от реальности. А еще специально проектируемые так называемые технические новинки. Люди попадаются на крючок, когда ждут внедрения новой технологии, будь то средство связи или новый носитель информации. Потому что на самом деле существуют и функционируют гораздо более продвинутые технологии. Одна из новинок работы Матрицы — перегруз людей бесконечным потоком информации. 98 процентов воспринимаемой людьми информации является якорем, который не дает возможности выловить суть. Два процента воспринимаемой вами информации, отражающей суть реального мира, прекрасно маскируются. Из этих двух процентов еще часть отсекается в вашем мозгу, и только маленькая часть становиться вашим сознанием. Также Матрицей используются присущие всем людям качества. Это эго, эмоции и мораль.

Жить в Матрице плохо или хорошо?

    Ну, для начала, нужно сравнить, чтобы прийти к какому-то выводу. Вы никогда не были на свободе, поэтому это является главным минусом Матрицы. Тому, кто родился и всю жизнь прожил в неволе — очень сложно понять и осознать вкус истинной свободы. Осталось назвать тех, кто управляет Матрицей и почему они это делают. На вопрос “почему” ответить гораздо проще.

Дело не в деньгах и материальных богатствах, а в куда более масштабных желаниях. Главная задача Матрицы — превратить общество в управляемую массу. Людям создали свой отдельный мирок и придумали, чем им в нем заняться, чтобы у них был стимул к жизни и отсутствие возможности разобраться. Выдуманные ценности и занятия отнимают у людей почти все время. Поэтому для вас куда важнее одеть костюм и пойти на работу, чем понять, зачем вы это делаете. Те, кто создал Матрицу и управляют ей, тоже являются ее частью. Однажды запущенный процесс уже нельзя остановить. Будьте внимательны, возможно, кто-нибудь из них выдаст себя.

Каким может быть мир вне Матрицы?

Такой, каким бы его хотел видеть и в котором хотел бы жить каждый из вас.

В чем же тогда разница между Матрицей и Реальностью?

В свободе выбора. В осознании своей свободы.

Можно ли освободиться от влияния Матрицы?

   Да, но сначала надо понять, что вы все-таки находитесь в Матрице и захотеть выйти из под ее влияния. А для этого перестаньте мыслить общепринятыми стереотипами, применяйте свой разум, интуицию и все время ищите Истину. Работайте над собой и становитесь каждый день немного лучше. Слушайте свое сердце и найдите тех, кто также находится на этом пути. А еще лучше — тех, кто уже вышел из под влияния Матрицы. Их совсем немного, но они здесь и сейчас присутствуют на нашей планете, чтобы помочь и нам выпутаться из обволакивающей паутины Матрицы. Только так, идя по этому пути, вы сможете обрести настоящую свободу, реальную жизнь и истинное счастье.

ЕДИНСТВЕННЫЙ СПОСОБ ВЫЙТИ ИЗ «МАТРИЦЫ»

     Как и многих трезвомыслящих людей меня в свое время очень поразил фильм «Матрица 1», который я смотрел первый раз в оригинале на английском, отчего впечатление было еще сильнее. Конечно, в этом фильме много уровней смыслов и не случайно он так взБУДоражил общественное сознание. В этой статье я раскрою некоторые смыслы, которые я смог  осознать. Вторая и третья части фильма «Матрицы» в данной статье не разбираются как неактуальные. Главный герой Нео за счет усиленных поисков сумел определить, что он находится в «Матрице» (далее кратко «М») и что есть выход в Реальный мир, в которой попали осознавшие Реальность люди (далее кратко ОРЛы). Деятельность ОРЛов вне «М» незаметна для людей, подключенных к «М». Для поддержания деятельности «М» существуют агенты, которые пытаются бороться с ОРЛами и это возможно при выходе ОРЛов в «М». При прямом столкновении в «М» агентов и ОРЛов побеждают агенты. Все ЛПМ являются «батарейками» для «М» и находятся в коллективном сновидении под чутким руководством «М». ЛПМ получают от «М» все необходимые удовольствия и варианты иллюзии жизни. Все живо, ярко и интересно. Мало, кто хочет покинуть такой привлекательный мир и предположить наличие Реальности. Займемся раскрытием смыслов.

1. Самая большая ТАЙНА – как Человечество погрузили в «М»?

  Ответ может показаться необычным на первый взгляд – употребление в пищу денатурированной пищи (мясо, рыба, жарено-варено-печено-замороженная) растительная пища), соли (натрий-хлор) и специй (перец, лук, чеснок). В каждом народе (среди белых, желтых и красных) есть предания как «боги» (основатели «М») сошли с «неба» и научили людей пахать и сеять, выращивать злаки и выпекать хлеб (лепешки, лаваши и другие пищевые наркотики). В организме ЛПМ (пищевого наркомана) находится от 20 до 50% паразитических структур, которые и являются средством подключения к «М». В фильме как раз в живот (орган пищеварения) вводили искусственного металического жука. На уровне логики такую зависимость доказать невозможно, как, например, если я люблю девушку – это понимаю только я. И поэтому доказательство такого утверждения человек может получить лично после 9 месяцев полного природного питания (сыроедения) — это время перестройки костной системы и костного мозга, при этом используя в пищу как культурные так и дикие растения. В фильме также показана процедура перехода из «М» в Реальность, включающая несколько разнообразных этапов. Переходящего на природное питание ждут сильнейшие наркотические ломки, потому что паразитические структуры пронизывают все телесные и мозговые структуры и просто так уходить не собираются. Лично я почувствовал, как от меня отваливаются щупальца «М», точно так, как показано в фильме. Второй по значимости влияния на сознание человека являются искуственные электромагнитные поля на частоте 50Гц и других частотках специально подобранных, чтобы человек не вылазил из «М». Поэтому необходимо строить свое Родовое поместье – Дом, Сад и Лес и спать в спальне без электричества, чтобы иметь личный доступ к Реальности.

2. Что делать с агентами «М»?

   Агенты Смиты ревностно защищают законы «М» и драться с ними бесполезно. Живя в Ре-альности, мы можем и не вступать с ними в борьбу, борьба идет только в «М». В теле пищевого наркомана постоянно идет война живого тела с разорванными в клочья органическими молекулами и это проецируется на внешний мир, постоянно идет поиск врага, будь то евреи, массоны и т.д.

А войну можно прекратить только установив мир в теле и сознании путем употребления природной пищи и живя в естественном электромагнитном поле земли. А все эти медитации, славления Богов, молитва перед  денатурированной едой, психологические практики, «духовные» учителя – это все подарки «М». У «М» очень большой набор иллюзий, а Реальность одна. При природном питании человека прославление им Родных Богов действительно приводит к слиянию сознания человека с сознанием Мира Прави, это совсем не похоже на ужимки ЛПМ (блюдоманов)  засевших в «М». ОРЛы обладают психологической невидимостью, то есть их не замечает государство, налоговая  инспекция, бандиты и хулиганы. Физически ОРЛы видны, но с ними ничего нельзя сделать, пока они добровольно не зайдут в «М» и не вступят в борьбу. Поэтому при подготовке к переходному периоду Дня Сварога можно точить клинки и вступать в бесконечную борьбу «М», а можно перейти в Реальность и спокойно в здоровом теле войти в духовный расцвет Человечества вместе с семьей и друзьями. «М» просто сама себя исчерпала и можно не поддаваться на ее последние  диверсии.

Так и 1000 лет назад наши Волхвы, которые запросто могли стереть в порошок всю христианскую заразу,  предпочли не вступать в кровопролитную войну и отойти в Реальность на время Ночи Сварога. Сейчас такая ситуация, что можно физически красиво и легко войти в День Сварога и при этом не оборонятся и не нападать на агентов «М» — нужно лишь войти в Реальность. Морфиус и его команда как раз и есть эти Волхвы, которые с радостью ждут новых ОРЛов. Прорицательница из фильма символизирует космические циклы, наступление которых неотвратимо, как и утилизация«М».

3. Особенности перехода из мира «М» в Реальность.

     Вначале нужно установить связь с сыроедами, имеющими опыт более 9 месяцев лично и ознакомится с данными интернета. Затем выбрать для себя оптимальный способ выхода из «М» и приготовиться к недетским наркотическим ломкам. Обязательно употреблять много зелени или травянных коктейлей (книга «Зелень для жизни»), потому что хлорофилл выжигает очень быстро и эффективно паразитические структры «М» в человеке и восстанавливает ясное понимание Реальности. Нужно учитывать, что мед, грибы, растительное масло, соль, лук и чеснок оказывают тоже усыпляющее действие – их можно использовать только на переходном этапе, когда наркотические ломки одолевают. Каждый продукт питания – это определеннная частота элетромагнитной волны и употребляя овощи, фрукты, ягоды и зелень человек настраивается на Реальность, ибо уста как Алтарь Божий (дисковод) принимают информацию в виде пищи. Все орехи, семечки и злаки надо проращивать, чтобы сделать их съедобными. Корнеплоды (морковь, свекла и т.д.) и зерно предназначены для быстрой выгонки зелени зимой, так как хлорофилл является наиважнейшим активизатором сознания человека. Все болезни человека – подарки «М», сыроеды вообще никогда не болеют, только периодически испытывают разнообразные очистительные кризы от паразитических структур. Жизнь в Реальности – это жизнь в Радости: здоровое вечное тело, мир и покой в семье, сотворение детей, чувство единения с друзьми, вкусная природная еда, совместное творчество, осознание своего предназначения и реализация его, ясное понимание родовой культуры и наследия предков. Жизнь в «М» — это жизнь в Удовольствие: наркокайф после употребления денатурированной пищи, телевизор, рестораны, другие наркотические зависимости (алкоголь, табак, компьютер), вечная борьба с каким-либо внешним врагом (евреями, сатанистами, государством, религией), кайф от победы и горечь поражения, постоянные болезни и излечения, непрекращающаяся сексуальная напряженность и секс, поиск духовного учителя, который утешит и все объяснит, вечные сомнения о своем предназначении.

ВЫБИРАЙТЕ И БУДЬТЕ БЛАГОСЛОВЕННЫ !!!

Светозар Рассветный (Беларусь)

Матрицы

— документация SymPy 1.6.2

 >>> из импорта sympy *
>>> init_printing (use_unicode = True)
 

Чтобы создать матрицу в SymPy, используйте объект Matrix . Матрица строится
путем предоставления списка векторов-строк, составляющих матрицу. Например,
для построения матрицы

\ [\ begin {split} \ left [\ begin {array} {cc} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 0 & 2 \ end {array} \ right] \ end {split} \]

используйте

 >>> Матрица ([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])
⎡1 -1⎤
⎢ ⎥
⎢3 4 ⎥
⎢ ⎥
⎣0 2 ⎦
 

Чтобы упростить создание векторов-столбцов, список элементов считается
вектор-столбец.

 >>> Матрица ([1, 2, 3])
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎢2⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
 

Матрицы

управляются так же, как и с любым другим объектом в SymPy или Python.

 >>> M = Матрица ([[1, 2, 3], [3, 2, 1]])
>>> N = Матрица ([0, 1, 1])
>>> М * Н
⎡5⎤
⎢ ⎥
⎣3⎦
 

В отношении матриц SymPy следует отметить одну важную вещь: в отличие от всех остальных
объект в SymPy, они изменяемы. Это означает, что они могут быть изменены в
место, как мы увидим ниже.Обратной стороной этого является то, что Matrix не может
использоваться там, где требуется неизменяемость, например, внутри других SymPy
выражения или как ключи к словарям. Если вам нужна неизменная версия
Matrix , используйте ImmutableMatrix .

Основные операции

Форма

Вот некоторые основные операции на Matrix . Чтобы получить форму матрицы
используйте форму

 >>> M = Матрица ([[1, 2, 3], [-2, 0, 4]])
>>> M
⎡1 2 3⎤
⎢ ⎥
⎣-2 0 4⎦
>>> М.форма
(2, 3)
 

Доступ к строкам и столбцам

Чтобы получить отдельную строку или столбец матрицы, используйте row или col . За
Например, M.row (0) получит первую строку. M.col (-1) получит последний
столбец.

 >>> М.роу (0)
[1 2 3]
>>> M.col (-1)
⎡3⎤
⎢ ⎥
⎣4⎦
 

Удаление и вставка строк и столбцов

Чтобы удалить строку или столбец, используйте row_del или col_del .Эти операции
изменит матрицу вместо .

 >>> M.col_del (0)
>>> M
⎡2 3⎤
⎢ ⎥
⎣0 4⎦
>>> M.row_del (1)
>>> M
[2 3]
 

Чтобы вставить строки или столбцы, используйте row_insert или col_insert . Эти
операции не работают на месте .

 >>> M
[2 3]
>>> M = M.row_insert (1, Матрица ([[0, 4]]))
>>> M
⎡2 3⎤
⎢ ⎥
⎣0 4⎦
>>> M = M.col_insert (0, Матрица ([1, -2]))
>>> M
⎡1 2 3⎤
⎢ ⎥
⎣-2 0 4⎦
 

Если явно не указано иное, указанные ниже методы не работают в
место. Как правило, метод, который не работает на месте, вернет новый
Матрица и метод, который работает на месте, вернут Нет .

Основные методы

Как отмечалось выше, выполняются простые операции, такие как сложение и умножение.
просто используя + , * и ** .Чтобы найти обратную матрицу, просто
возвести его в степень -1 .

 >>> M = Матрица ([[1, 3], [-2, 3]])
>>> N = Матрица ([[0, 3], [0, 7]])
>>> M + N
⎡1 6 ⎤
⎢ ⎥
⎣-2 10⎦
>>> М * Н
⎡0 24⎤
⎢ ⎥
⎣0 15⎦
>>> 3 * М
⎡3 9⎤
⎢ ⎥
⎣-6 9⎦
>>> М ** 2
⎡-5 12⎤
⎢ ⎥
⎣-8 3 ⎦
>>> М ** - 1
⎡1 / 3 -1 / 3⎤
⎢ ⎥
⎣2 / 9 1/9 ⎦
>>> N ** - 1
Отслеживание (последний вызов последний):
...
NonInvertibleMatrixError: Matrix det == 0; не обратимый.
 

Чтобы транспонировать матрицу, используйте T .

 >>> M = Матрица ([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
>>> M
⎡1 2 3⎤
⎢ ⎥
⎣4 5 6⎦
>>> М.Т.
⎡1 4⎤
⎢ ⎥
⎢2 5⎥
⎢ ⎥
 

.

python — как создать нулевую матрицу без использования numpy?

Переполнение стека

1. Около

2. Продукты

3. Для команд

1. Переполнение стека
   Общественные вопросы и ответы

2. Переполнение стека для команд
   Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

3. Вакансии
   Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

4. Талант
   Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

5. Реклама
   Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

6. О компании

Загрузка…

.

Матричных выражений — документация SymPy 1.6.2

Модуль выражения матрицы позволяет пользователям записывать такие операторы, как

 >>> из sympy import MatrixSymbol, Matrix
>>> X = MatrixSymbol ('X', 3, 3)
>>> Y = MatrixSymbol ('Y', 3, 3)
>>> (X.T * X) .I * Y
Х ** (- 1) * X.T ** (- 1) * Y
 

 >>> Матрица (X)
Матрица ([
[X [0, 0], X [0, 1], X [0, 2]],
[X [1, 0], X [1, 1], X [1, 2]],
[X [2, 0], X [2, 1], X [2, 2]]])
 

 >>> (X * Y) [1, 2]
X [1, 0] * Y [0, 2] + X [1, 1] * Y [1, 2] + X [1, 2] * Y [2, 2]
 

, где X и Y — это MatrixSymbol , а не скалярные символы.

Описание ядра матричных выражений

class sympy.matrices.expressions. MatrixExpr ( * args , ** kwargs ) [источник]

Суперкласс для матричных выражений

MatrixExprs представляют абстрактные матрицы, представленные линейные преобразования
в пределах определенной основы.

Примеры

 >>> из sympy import MatrixSymbol
>>> A = MatrixSymbol ('A', 3, 3)
>>> y = MatrixSymbol ('y', 3, 1)
>>> x = (А.Т * А). Я * А * у
 

недвижимость т

Матрица транспонирования

as_coeff_Mul (rational = False ) [источник]

Эффективное извлечение коэффициента продукта.

as_explicit () [источник]

Возвращает плотную матрицу с явно представленными элементами

Возвращает объект типа ImmutableDenseMatrix.

Примеры

 >>> из sympy import Identity
>>> I = Идентичность (3)
>>> я
я
>>> I.as_explicit ()
Матрица ([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]])
 

as_mutable () [источник]

Возвращает плотную изменяемую матрицу с явно представленными элементами

Примеры

 >>> из sympy import Identity
>>> I = Идентичность (3)
>>> я
я
>>> И.форма
(3, 3)
>>> I.as_mutable ()
Матрица ([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]])
 

равно ( другое ) [источник]

Проверить поэлементное равенство матриц, потенциально различных
типы

 >>> from sympy import Identity, eye
>>> Identity (3) .equals (eye (3))
Правда
 

статический from_index_sumutation ( expr , first_index = None , last_index = None , sizes = None ) [источник]

Анализировать выражение матриц с явно суммированными индексами в
матричное выражение без индексов, если возможно.

Это преобразование e

.

Страница не найдена · GitHub Pages

Страница не найдена · GitHub Pages

Файл не найден

Сайт, настроенный по этому адресу, не
содержать запрошенный файл.

Если это ваш сайт, убедитесь, что регистр имени файла соответствует URL-адресу.
Для корневых URL (например, http://example.com/ ) вы должны предоставить
index.html файл.

Прочтите полную документацию
для получения дополнительной информации об использовании GitHub Pages .

.