Разное

На сколько нулей оканчивается 100 факториал: Сколько нолей будет в 100! ( факториал) с решением! Помогите плиз!

Содержание

Сколько всего нулей в 100 факториале

100! это большое число:

100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

Чтобы быть более точным, ему нужен ~525 бит и он не может быть вычислен без какой-либо формы bigint математики.

Однако нули trailing могут быть вычислимы на нормальных целых числах:

Идея состоит в том, чтобы ограничить результат, чтобы он все еще вписывался в ваш тип данных. Поэтому после каждой итерации проверяйте, делится ли результат на 10. Если это так, увеличьте счетчик нулей и разделите результат на 10, пока можете. То же самое относится и к любым простым числам, за исключением тех, которые делят 10, а не: 2,5 (но без увеличения счетчика нулей). Таким образом, у вас будет небольшой подрезультат и количество нулей trailing.

Таким образом, если вы сделаете факторизацию 2,5 всех мультипликантов в n! , то min обоих показателей 2,5 будет числом нулей trailing, поскольку каждая пара производит одну нулевую цифру ( 2*5 = 10 )., если вы понимаете, что показатель 5 всегда меньше или равен показателю 2 , этого достаточно, чтобы сделать факторизацию 5 (точно так же, как вы делаете в своем обновленном коде).

int fact_trailing_zeros(int n)
    {
    int i,n5;
    for (n5=0,i=5;n>=i;i*=5) n5+=n/i;
    return n5;
    }

С результатами:

Trailing zeors of n!
       10! :         2
      100! :        24
     1000! :       249
    10000! :      2499
   100000! :     24999
  1000000! :    249998
 10000000! :   2499999
100000000! :  24999999
[   0.937 ms]

Однако 100! содержит также не trailing нулей , и для их вычисления я не вижу другого способа, кроме как вычислить реальную вещь на bigint math . .., но это не означает, что нет обходного пути, как для trailing нулей…

Если это поможет, здесь вычисляются факториалы до 128! , чтобы вы могли проверить свои результаты:

В случае, если n ограничено достаточно малым значением, вы можете использовать LUT , удерживая все факториалы до предела в виде строк или BCD , и просто подсчитывать нули оттуда… или даже иметь только окончательные результаты в виде LUT

Школа олимпийского резерва. Математика: занятие 10

1. Простые и составные

     Задача 5. Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?

     Задача 6. Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

     Задача 7. На сколько нулей оканчивается число 100!  ?

     Задача 8. Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, — точный квадрат. (точные квадраты — это 1, 4, 9, 16 …  Мы с вами наблюдали это явление, здесь надо просто описать свои наблюдения и сделать вывод в общем виде).

     Задача 9. Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры — на одинаковые буквы, а разные — на разные. В итоге у него получилось АБ    ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся. 

     Задача «не в тему». За один ход число, записанное на доске, разрешается либо заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Вначале на доске написано число 458. Как за несколько ходов получить число 14?

Ответы и решения

     Задача 5. В разложении числа 990 на простые множители присутствуют числа 3, 3, 2, 5 и 11. Значит, число n должно быть не меньше 11, а 11! содержит все перечисленные множители.

Ответ: n = 11

     Задача 6. Используем простой перебор: 10! — 2 нуля, 20! — 4 нуля, 30! — 7 нулей. Вернемся немножко назад: 24! — 4 нуля, 25! — сразу 6 нулей.

Ответ: нет, не может

     Задача 7. Как мы понимаем, нули добавляются за счет чисел, оканчивающихся на 0,  их 10, но 100 даёт сразу 2 нуля, всего 11. Далее, числа, оканчивающиеся на 5 в произведении с четными числами дают еще 10 нулей. И еще 3 числа 25, 50 и 75 в произведении с четными числами дают дополнительные три нуля. Итого: 11 + 10 + 3 = 24 нуля.

Вообще, нужно было очень тщательно посчитать количество пятерок: в каждом десятке их 2, то есть всего 20, а числа 25, 50, 75 и 100 добавляют еще 4 пятерки. 

Ответ: на 24 нуля

     Задача 8. Чтобы перечислить все делители числа, удобно это делать парами: называем делитель и результат от деления числа на этот делитель (он ведь тоже является делителем). Когда же число является точным квадратом, в данной паре делитель и результат деления оказываются одинаковыми, но считать их 2 раза не надо. Потому и получается нечетное количество делителей. Например, делители числа 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9, 6 и 6, а всего 9 делителей.

Запомните эту формулировку: если число имеет нечетное количество делителей, то это — точный квадрат!

     Задача 9. Внешний вид числа ДДЕЕ говорит о том, что это число кратно 11, но тогда хотя бы один из множителей должен быть кратным 11, а там таких нет.

     Задача «не в тему». Один из вариантов: 458-45-90-180-18-36-72-144-14 (8 ходов).

Факторизация факториала

Полученный результат

Название темы, для несведущих людей, может быть немного запутанным, и даже похоже на тафтологическое выражение «масло масленое». На самом деле, под название темы  подразумевается разложение факториала на простейшие множители с степенями.

Зачем это надо?

Кто сталкивался с факториалами, знают что уже при значении 20, факториал достигает огромных значений 2432902008176640000

При факториале 100 значение получается еще больше, и возникает резонный вопрос а как можно представить факториал такого числа в более удобной и наглядной форме? Во первых это красиво, а во вторых полезно, так как отвечает еще и на попутно возникающий вопрос, например , сколько двоек/пятерок/семерок в факториале числа 2015? 

Что бы решить такую задачу, не надо  вычислять факториал от числа 2015, а потом искать число целочисленных делений на тройку например , достаточно  знать формулу  по который рассчитывается число вхождений. k}]\)

где квадратные скобки означают что берётся целая часть от деления.

Самый простой пример, сколько раз входит число 3 в факториал 50?

\(S=[\cfrac{50}{3}]+[\cfrac{50}{9}]+[\cfrac{50}{27}]+[\cfrac{50}{81}]=16+5+1+0=22\)

то есть тройка встречается в числе 50! ровно 22 раза.

Теперь несложно, пробежавшись по всем простым числам  от 1 до 50, для каждого из них узнать количество вхождений.

Окончательный ответ, в виде факторизации факториала пятидести будет иметь вид.

Решим еще один пример, часто встречающийся.

На какое количество нулей оканчивается факториал числа 306?

Для решения такой задачи надо знать что 10 это произведение двух простых чисел 2 и 5.

Таким образом узнав количество вхождений пятерки в факториал ( количество вхождений двойки, естественно будет больше), мы  узнаем какое количество нулей будет в факториала 306.

Ответ:  на 75 нулей будет оканчиваться заданный факториал.

Удачных расчетов!

  • Формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени >>

1543; 20123; 10v-start

1543; 20123; 10v-start


Задача 1. «Сумма введенных чисел»



Задано число N (1≤N≤100) и затем N чисел — элементы исходного массива

(элементы массива — натуральные числа, не превышающие 100).

Посчитайте сумму элементов массива.

Задача 2. «Номера мест равных элементов»



Вводится число N, а затем N чисел — элементов массива (1≤N≤100), элементы массива — числа из диапазона Int.

Выведите два числа — номера мест в массиве, на которых стоят одинаковые элементы, или два числа 0 (то есть 0 0),

если все элементы различны. Если есть несколько пар чисел, являющихся ответом, выведите любую из них.


Примеры

5 
1 2 1 3 4	--->	1 3

4
1 2 3 4		--->	0 0





Задача 3.

Количество пар до 15 43


Вводятся пары чисел до тех пор, пока не будет введена пара чисел 15 43

(ровно в таком порядке — первое число 15 и второе — 43).

Требуется посчитать, сколько пар чисел будет введено (не считая пару 15 43).

Причем если в двух последовательных парах выполняется, что
второе число первой пары равно 15, а первое число второй пары — 43, то
это не нужно считать признаком окончания ввода.



Примеры ввода Примеры вывода
12 10
15 10
12 43
43 15
2 3
15 43
5
1 15
43 2
15 43
2

Задача 4. Количество цифр.


Вводятся числа от 1 до 9 до тех пор,
пока не будет введен 0. Всего будет введено не больше 100 чисел.

Посчитать количество единиц в этой последовательности,
количество двоек, количество троек и так далее (программа должна вывести ровно 9 чисел).



Пример ввода Пример вывода Пояснение
1 1 4 1 5 8 6 3 5 1 0
4 0 1 1 2 1 0 1 0
Это означает, что в исходной последовательности было 4 единицы, ни одной двойки, 1 тройка и т.д.

Задача 5. «Номер Фибоначчи»


По данному числу K (K не больше 30000) определите, является ли оно
числом Фибоначчи, и если да, то напечатайте номер этого числа.

Если K является числом Фибоначчи, выведите его номер, иначе выведите 0.
Если введено 1, выведите 1.

Напоминание Числа Фибоначчи устроены следующим образом.
Первое и второе равны единице. А каждое следующее — сумме
двух предыдущих.
То есть третье равно 2, четвертое — 3,
пятое — 5, шестое — 8 и т.д.


Пример ввода Пример вывода
3 4
7 0

Задача 6. «Длинный факториал»


Напишите программу, которая по числу N (N<2000) считает N!

Если останется время — определите на сколько нулей оканчивается число 1543!

Разложение факториала на простые множители

Несложно разложить на простые множители факториал натурального числа, воспользовавшись рассуждениями, наподобие только что приведённых для деления 100! на 5.

Каждое простое число p входит в разложение числа n! следующее количество раз:

(Обоснование формулы состоит в том, что сначала рассматривают числа, кратные p, затем кратные квадрату p, затем кратные кубу p, и так далее).

Количество слагаемых не бесконечно, поскольку начиная с некоторого места они равны нулю.

Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел

Доказательство бесконечности множества простых чисел.

Предположим, что простых чисел конечное количество. Выпишем их все: p1, p2, … , pn.

Затем перемножим все эти числа и прибавим 1. Рассмотрим число N = p1 ∙ p2 ∙ … ∙ pn + 1.

Это число не может быть простым, поскольку больше любого из простых чисел.

При этом оно не может быть и составным, поскольку не делится ни на одно из простых чисел.

Получаем противоречие, которое говорит о том, что простых чисел бесконечно много.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10808 — | 7380 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Название темы, для несведующих людей, может быть немного запутанным, и даже похже на тафтологическое выражение «масло масленное». На самом деле, под название темы подразумевается разложение факториала на простейшие множители с степенями.

Кто сталкивался с факториалами, знают что уже при значении 20, факториал достигает огромных значений 2432902008176640000

При факториале 100 значение получается еще больше, и возникает резонный вопрос а как можно представить факториал такого числа в более удобной и наглядной форме? Во первых это красиво, а во вторых полезно, так как отвечает еще и на попутно возникающий вопрос, например , сколько двоек/пятерок/семерок в факториале числа 2015?

Что бы решить такую задачу, не надо вычислять факториал от числа 2015, а потом искать число целочисленных делений на тройку например , достаточно знать формулу по который рассчитывается число вхождений.

Итак если число p простое, то количество вхождений в факториал числа m, вычисляется как

где квадратные скобки означают что берётся целая часть от деления.

Самый простой пример, сколько раз входит число 3 в факториал 50?

то есть тройка встречается в числе 50! ровно 22 раза.

Теперь несложно, пробежавшись по всем простым числам от 1 до 50, для каждого из них узнать количество вхождений.

Окончательный ответ, в виде факторизации факториала пятидести будет иметь вид.

Решим еще один пример, часто встречающийся.

На какое количество нулей оканчивается факториал числа 306?

Для решения такой задачи надо знать что 10 это произвдение двух простых чисел 2 и 5.

Таким образом узнав количество вхождений пятерки в факториал ( количество вхождений двойки, естественно будет больше), мы узнаем какое количество нулей будет в факториала 306.

Ответ: на 75 нулей будет оканчиватся заданный факториал.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Выведем общую формулу для разложения числа n! на простые множители. Запишем это разложение в виде , где — все простые числа не превосходящие n и — степени, с которыми они входят в это разложение, i=1. k. Докажем, что , где [. ] обозначает целую часть числа, т.е. для действительного числа х, запись [x] обозначает максимальное целое число не превосходящее х. Заметим, что в этой сумме всегда конечное число слагаемых, т.к. рано или поздно степень простого станет больше n, и с этого момента под целой частью будут числа меньшие 1, т.е. целая часть от них будет равна 0.

Доказательство. Пусть p — любое простое от 1 до n включительно. Понятно, что в разложении числа n! на простые множители будут встречаться только такие простые числа. Среди чисел 1, 2. n количество чисел делящихся на p равно [n/p]. Т.к. среди них есть числа делящиеся на p², p³. то количество чисел среди них, которые делятся на p только в первой степени равно [n/p]-[n/p²], т.е. мы из всех делящихся на р вычли все, делящиеся на р². Аналогично, количество чисел в ряду 1. n делящихся ровно на p² и не делящихся на p в степенях больших 2, равно [n/p²]-[n/p³]. Для степени p³ таких чисел будет [n/p³]-[n/p⁴] и т.д. Таким образом, количество чисел, у которых в разложении на простые p входит в разложение ровно в j-ой степени равно .

Значит в разложении n! на простые множители простое p входит в степени
([n/p]-[n/p²])+2([n/p²]-[n/p³])+3([n/p³]-[n/p⁴])+. =[n/p]+[n/p²]+[n/p³])+.
Как уже упоминал раньше, с некоторой степени все целые части будут равны 0, т.к. станет меньше 1 при больших j (а именно, при j>[ln(n)/ln(p)]).

Итак, чтобы разложить число 1980! нужно подставить n=1980 в эту формулу. Получаем, что 2 входит в разложение в степени
[1980/2]+[1980/2²]+[1980/2³]+. +[1980/2¹⁰]=
=990+495+247+123+61+30+15+7+3+1=1972. Т.к. 1980/2¹¹

Перестановки и факториал — online presentation

Перестановки и
факториал
Лавлинский М.В., [email protected]
I. Факториал
Факториал числа n (n!) — произведение всех натуральных
чисел от 1 до n включительно
1800 г. – Л. Арбогаст (1759 — 1803) ввёл термин факториал
1808 г. — К. Крамп (1760 — 1826) придумал обозначение n!
Если n=0 то n!=1
Если n>0 то n!=1 2 3 … n
#:
2! = 1 2 = 2
3! = 1 2 3 = 6
4! = 1 2 3 4 = 24
5! = 1 2 3 4 5 = 120
Рекуррентная формула:
n 0
1
n!
n (n 1)! n 0
Таблица факториалов
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600
13! = 6227020800
14! = 87178291200
15! = 1307674368000
16! = 20922789888000
100! ≈ 9,33×10157
17! = 355687428096000
1000! ≈ 4,02×102567
18! = 6402373705728000
10000! ≈ 2,85×1035 659
19! = 121645100408832000
20! = 2432902008176640000
21! = 51090942171709440000
22! = 1124000727777607680000
23! = 25852016738884976640000
24! = 620448401733239439360000
25! = 15511210043330985984000000
26! = 403291461126605635584000000
27! = 10888869450418352160768000000
28! = 304888344611713860501504000000
29! = 8841761993739701954543616000000
30! = 265252859812191058636308480000000
II. Решение задач
#1. Вычислить:
5! 4! 5
4! 1 2 3 4 24
5
5
#2.
14!
7! 8 9 10 11 12 13 14 5 11 12 13 14
7! 3! 4!
7! 1 2 3 1 2 3 4
1
120120
#3. Делится ли 11! на 49?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7 7
Ответ: нет
#4. Сколькими нулями оканчивается число 26!
26!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26
Ответ: 6
#5. Сократить дробь
(4m 1)! (4m 3)!(4m 2)( 4m 1)
(4m 3)!
(4m 3)!
(4m 2)( 4m 1)
#6. Упростить выражение
(3k 3)! k! (k 3)!(3k 1)
:
18 (3k 2)
2
(3k )!
3!(k 5k 6)
2
(3k )! (3k 1) (3k 2) (3k 3) k! 3!(k 5k 6)
(3k )!
(k 3)!(3k 1)
2
(3k 2) (3k 3) k!
3!(k 5k 6)
1
k!(k 1)(k 2)(k 3)
(3k 2) (3k 3) 3!(k 2)( k 3)
1
(k 1)( k 2)( k 3)
(3k 2) (3k 3) 3! (3k 2) 3 (k 1) 6
(k 1)
(k 1)
#7. Решить уравнение
(k 10)! 77(k 11)!
(k 10)! 77(k 11)!
(k 11)!
(k 11)!
(k 11)! (k 10) 77(k 11)!
(k 11)!
(k 11)!
(k 10) 77
k 87
III. Перестановки
Перестановки из n элементов
— это комбинации из n элементов, отличающиеся друг от
друга только порядком расположения в них элементов.
Pn – обозначение
#1. Найдите все возможные перестановки цифр: 1, 2, 3.
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
P3 = 3! = 6
Формула нахождение количества перестановок:
Pn = n!
IV. Решение задач
Задача №1.
«Проказница-Мартышка, Осел, Козел
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.
Достали нот, баса, альта, две скрипки
И сели на лужок под липки,Пленять своим искусством свет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. Погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.
*** *** *** *** ***
Послушались Осла: уселись чинно в ряд;
А все-таки Квартет нейдет на лад.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…»
Сколькими
различными
способами могут сесть
музыканты?
Решение:
n=4
P4 = 4! =24
Ответ: 24
Задача 2.
Сколькими способами можно развесить 5
цветных шаров на гирлянде?
Решение:
Р5 = 5! = 1·2·3·4·5= 120
Ответ: 24
Задача №3. В расписании 9 класса на четверг должно быть 6
предметов: русский язык, литература, алгебра, география,
физика, физкультура. Сколькими способами можно
составить расписание на этот день?
P6 = 6! = 720
Задача №4. Сколькими способами можно составить
расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы
урок физкультуры был последним?
P5=5!= 120
Задача №5.
Сколькими способами из тех же 6 предметов можно
составить такое расписание, в котором русский язык и
литература стоят рядом?
P5= 5!*2 = 240
(1. РЛ 2. ЛР)
Задача 6.
Сколько различных 5-значных чисел, все цифры которых
различны можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8?
P5 = 5! = 120
Задача 7.
Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг,
если среди них 2 книги одного автора, которые при любых
перестановках должны стоять рядом?
P7 = 7! = 5040
5040 * 2 = 10080
V. Обобщения факториала
1. Двойной факториал числа n
— обозначается n!!
— произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n],
имеющих ту же чётность что и n.
Для чётного n:
n!! = 2 · 4 · 6 · … · n
Для нечётного n:
n!! = 1 · 3 · 5 · … · n
#: Вычислить:
10!! = 2 · 4 · 6 · 8 · 10 = 3840
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945
0!! = 1
!!
2. Праймориал (примориал) числа n
— обозначается n#
— произведение простых чисел, не превышающих n.
11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310
#: Вычислить:
7# = 8# = 9# = 10# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
5# = 6# = 2 · 3 · 5 = 30
3# = 4# = 2 · 3 = 6
2# = = 2
#
3. Суперфакториал числа n
— обозначается sf(n)
— произведение первых n факториалов
— определили в 1995 г. – Н.Слоан и С.Плоуф
sf(4) = 1! · 2! · 3! · 4! = 288
#: Вычислить:
sf(3) = 1! · 2! · 3! = 12
sf(2) = 1! · 2! = 2
sf(1) = 1! = 1
sf(0) = 1
sf

Целые числа с использованием цикла

2.1 Дано натуральное
число N. Найти сумму и произведение не нулевых цифр
этого числа

2.2 Дано натуральное
число N. Найти количество нечетных цифр в этом числе.

2.3 Среди натуральных чисел,
больших 99 и не превосходящих заданного числа n, найти такие, цифры которых образуют арифметическую прогрессию.

2.4 Дано натуральное число N. Удалить из
этого числа все четные цифры.

2.5 Найти наибольшее
число лежащие в диапазоне от M  до  N  ( M
< N < 10000), у которого наибольшее количество делителей.

2.6 Определить наименьшее число, которое при делении на
2,3,4,5,6,7,8,9 дает одинаковые остатки — 1.

2.7 Требуется вычислить сумму произведений цифр каждого
N-значного числа. Для N=3 искомая сумма представлена следующим рядом:

S = 1*0*0 + 1*0*1 + 1*0*2 + … + 9*9*8 + 9*9*9 = 91125

2.8 Найти все натуральные числа
от 1 до 100000, кото­рые совпадают с последними разрядами своих квадра­тов,
например: 252 = 625 ; 762 = 5676.

2.9 Найти количество
натуральных чисел, не превосходящих N<100000, и делящихся на каждую из  своих цифр.

2.10 Натуральное число называется совершенным, если
оно равно сумме всех своих делителей, за исключением самого себя. Например,
число 6 совершенное, так как 6 =  1 + 2 +
3. Дано натуральное число N < 10000. Найти все совершенные числа, меньшие
N.  Примечание.
На сегодня известно 24 совершенных чис­ла; все они четные.

2.11 Определить   количество шестизначных
«счастливых» чисел,  у которых
сумма первых трех цифр совпадает с суммой трех последних

2.12 Имеется два
натуральных числа X, Y(1<X, Y <100).  Некто  
A   знает
произведение  X×Y  этих чисел, а 
B  знает
сумму X + Y этих чисел. Между ними
происходит следующий диалог:

А:  Я не знаю эти числа.

В:  Я 
знал, что ты не знаешь эти числа.

А:  А вот теперь я знаю эти числа.

В:  Ну, теперь и я знаю эти числа.

Найдите пару
чисел  X, Y , которые удовлетворяли бы
этому диалогу.

факториал — Сколько нулей в числе 50! $?

факториал — Сколько нулей в числе $ 50! $? — Обмен математическим стеком

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
7к раз

$ \ begingroup $

На этот вопрос уже есть ответы здесь :

Закрыт 5 лет назад. 3} \ right \ rfloor +… = 10 + 2 + 0 = 12 $$ это означает 12 ноль перед 50!

Создан 26 мая 2015, 12:19.

Хосроташ

22.3k22 золотых знака3131 серебряный знак6969 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

В ответ на ваш конкретный вопрос есть не только 12 нулей в конце числа, но и еще 7 нулей, встречающихся среди других ненулевых цифр

Создан 26 мая 2015, 13:15.

Дэвид КуиннДэвид Куинн

25.2,112 золотых знаков1414 серебряных знаков4343 бронзовых знака

$ \ endgroup $

2

$ \ begingroup $

Конечно, намного больше, чем 5 долларов. Поскольку $ 50! $ Делится на $ 2 \ cdot 5 \ cdot 10 \ cdot 20 \ cdot 30 \ cdot 40 \ cdot 50 $, и это число уже имеет $ 6 $ нулей, вы можете быть уверены, что $ 50! $ Имеет как минимум $ 6 $ нули.

Фактически, вам нужно подсчитать, сколько двоек и сколько пятерок появляется при факторизации 50! $.Тогда количество нулей будет меньшим из этих двух чисел.

Создан 26 мая 2015, 12:16.

5xum5xum

1,955 11 золотых знаков108108 серебряных знаков176176 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

1

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками факториал или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Ответ на головоломку № 19: 100! Факториал

19. Сколько последовательных нулей в конце 100! (100 факториал).Как бы изменилось ваше решение, если бы проблема была в базе 5? Как насчет двоичного ???

Это немного сложно, здесь необходимо нестандартное мышление …

Прежде чем читать ответ, могу я вас заинтересовать подсказкой?

(Задача с основанием 5 на самом деле немного проще, чем задача с основанием 10, но ради условности мы рассмотрим основание 10 перед основанием 5.)

Сначала давайте убедимся, что мы знаем, что имеется в виду под 100 !, 100! = (100 x 99 x 98 x 97 x …. …. x 3 x 2 x 1)

Одним из решений было бы решить это и посчитать нули, ну, я сделал это, поэтому вы не я должен.Ответ…

93,
326,
215,
443, г.
944, г.
152,
681,
699,
238, г.
856, г.
266,
700,
490, г.
715, г.
968, г.
264,
381, г.
621, г.
468, г.
592,
963, г.
895, г.
217, г.
599, г.
993, г.
229,
915, г.
608, г.
941, г.
463, г.
976, г.
156,
518, г.
286, г.
253, г.
697, г.
920, г.
827, г.
223,
758, г.
251,
185,
210,
916, г.
864, г.
000,
000,
000,
000,
000,
000,
000,
000

Что ж, теперь вы можете просто сосчитать нули, но на самом деле вычислить число непрактично, поэтому нам нужен другой план.

Здесь есть умный момент: какие числа при умножении будут оканчиваться на ноль, если вас спросят, сколько нулей было в конце 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 000 000, вам не нужно будет вычислять сумму. знаю, что ответ — 6.

Итак, произведение чисел при умножении заканчивается на ноль:

  1. Когда одна из умножаемых вещей оканчивается на ноль.
  2. Число, оканчивающееся на 5, умноженное на четное число.
  3. 25, 50 и 75 при умножении на некоторые из имеющихся небольших чисел, например (4, 2 и 6), генерируют дополнительный ноль.

Ниже приводится таблица происхождения всех нулей:

Число Нули Число Нули
100 2 95 1
90 1 85 1
80 1 75 2
70 1 65 1
60 1 55 1
50 2 45 1
40 1 35 1
30 1 25 2
20 1 15 1
10 1 5 1
Итого 12 Всего 12

Вот и все, 24 нулей в конце 100!

Другой способ мышления — использовать множители 5.То есть, сколько раз вы можете разделить число на 5 без получения нецелочисленного результата. В приведенной выше таблице на самом деле учитываются все множители 5 в диапазоне от 1 до 100. Очевидно, что некоторые числа имеют более одного множителя 5.


Теперь проблема с основанием 5 …

Мы будем использовать технику, аналогичную той, что мы использовали в базе 10, но сначала давайте удостоверимся, что мы знаем, что мы подразумеваем под базой пять.

Базовая пятерка — это система подсчета, в которой вместо 10 доступных цифр (0–9) есть 5 (0–4), следовательно, цифры числа с основанием 5 представляют справа, единицы, пятерки, 25, 125 и т. Д.вместо 1, 10, 100, 1000 и т. д.

Итак, первые несколько чисел в базе 5 — это 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21 … … 43, 44, 100, 101, 102 …

Мы снова должны взглянуть на источники нулей, только на этот раз все намного проще. Поскольку 5 — простое число, нет другого способа получить ноль, кроме как умножением на число, которое заканчивается на ноль при записи с основанием 5. Вы можете записать все числа и посчитать нули. См. Таблицу ниже.

Номер
База 10
Номер
База 5
Нули Номер
База 10
Номер
База 5
Нули
100 400 2 95 340 1
90 330 1 85 320 1
80 310 1 75 300 2
70 240 1 65 230 1
60 220 1 55 210 1
50 200 2 45 140 1
40 130 1 35 120 1
30 110 1 25 100 2
20 40 1 15 30 1
10 20 1 5 10 1
Всего 12 Всего 12

Теперь в двоичном формате.

Подход здесь будет примерно таким же … Нам нужно подумать, что может привести к тому, что в конце произведения умножения окажется ноль.

Я предлагаю это, как и в случае с проблемой с основанием 5, потому что 2 — простое число (помните, что двоичный код — это основание 2), единственный способ получить ноль — это умножить на число, которое заканчивается на ноль. И поэтому количество нулей в конце 100! в двоичном формате — это сумма количества нулей в конце чисел от 1 до 100 при записи в двоичном формате.

Если это не ясно, подумайте о двух двоичных числах, умножьте их вместе и убедитесь, что количество нулей сохраняется.

Я разработал электронную таблицу, чтобы преобразовать числа от 1 до 100 в двоичные и подсчитать количество нулей, вам понадобится Excel и, возможно, установить набор инструментов аналитики.

19binary100.xls (49 Кбайт) — 19binary100.zip (9,7 Кбайт)

Таблица, очевидно, 100 строк ниже, изначально скрыта.
Показать / Скрыть

Число двоичный Нули
1 0000001 0
2 0000010 1
3 0000011 0
4 0000100 2
5 0000101 0
6 0000110 1
7 0000111 0
8 0001000 3
9 0001001 0
10 0001010 1
11 0001011 0
12 0001100 2
13 0001101 0
14 0001110 1
15 0001111 0
16 0010000 4
17 0010001 0
18 0010010 1
19 0010011 0
20 0010100 2
21 0010101 0
22 0010110 1
23 0010111 0
24 0011000 3
25 0011001 0
26 0011010 1
27 0011011 0
28 0011100 2
29 0011101 0
30 0011110 1
31 0011111 0
32 0100000 5
33 0100001 0
34 0100010 1
35 0100011 0
36 0100100 2
37 0100101 0
38 0100110 1
39 0100111 0
40 0101000 3
41 0101001 0
42 0101010 1
43 0101011 0
44 0101100 2
45 0101101 0
46 0101110 1
47 0101111 0
48 0110000 4
49 0110001 0
50 0110010 1
51 0110011 0
52 0110100 2
53 0110101 0
54 0110110 1
55 0110111 0
56 0111000 3
57 0111001 0
58 0111010 1
59 0111011 0
60 0111100 2
61 0111101 0
62 0111110 1
63 0111111 0
64 1000000 6
65 1000001 0
66 1000010 1
67 1000011 0
68 1000100 2
69 1000101 0
70 1000110 1
71 1000111 0
72 1001000 3
73 1001001 0
74 1001010 1
75 1001011 0
76 1001100 2
77 1001101 0
78 1001110 1
79 1001111 0
80 1010000 4
81 1010001 0
82 1010010 1
83 1010011 0
84 1010100 2
85 1010101 0
86 1010110 1
87 1010111 0
88 1011000 3
89 1011001 0
90 1011010 1
91 1011011 0
92 1011100 2
93 1011101 0
94 1011110 1
95 1011111 0
96 1100000 5
97 1100001 0
98 1100010 1
99 1100011 0
100 1100100 2
97

Скрыть
Итак, ответ — 97. Однако есть более красноречивый способ подсчета суммы, кроме прямого ее подсчета. Кажется, что-то вроде образца есть. Хитрость заключается в том, чтобы подумать об источнике нулей …

Число с коэффициентом два будет иметь на конце по крайней мере один ноль, так же, как и число с десятичным основанием, имеющее коэффициент десять, будет иметь хотя бы один ноль.

Число с коэффициентом четыре оканчивается как минимум двумя нулями, множителем 8 — тремя нулями и т. Д.

Проблема заключается в следующем: поскольку число является множителем, скажем, 16 и, следовательно, имеет 4 нуля, нам нужно будьте осторожны, чтобы не пересчитать дважды нули, которые мы заметим, поскольку это множитель 8, 4 и 2.Точно так же число может быть множителем 32 и 64.

Решение состоит в том, что, когда мы отмечаем, что число является множителем 2, 4, 8, 16, 32 или 64, мы добавляем только один ноль, зная, что мы уже учли его более низкие множители и продолжим рассматривать любые высшие факторы.

теперь нам просто нужно сложить количество множителей 2, 4, 8, 16, 32 и 64

Факторы Вхождения
2 50
4 25
8 12
16 6
32 3
64 1
всего 97

Итак, снова 97! Ненавижу создавать таблицы в HTML.

© Найджел Колдвелл, 2004 г. —
вопросов на этом сайте могут быть воспроизведены без дополнительного разрешения, я не претендую на авторские права на них. Ответы принадлежат мне и не могут быть воспроизведены без моего явного предварительного согласия. Пожалуйста, задавайте вопросы, используя ссылку вверху страницы. Безопасная версия этой страницы.

Подсчет завершающих нулей в факториале: рай для ботаников

Вы когда-нибудь замечали, как большие факториалы всегда заканчиваются тонной нулей? Если нет, взгляните на 999 Factorial (прокрутите до конца). Куча нулей!

Почему это так? Рассмотрим 15 факториал:


15! = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Очевидно, что в конце конечного продукта стоит как минимум 1 ноль, потому что у вас есть 10 добавленных туда. Однако вы также должны учитывать, что, умножив 5 и 2 вместе, вы получите еще 10. Это означает минимум 2 нуля в конечном продукте. И последнее, но не менее важное: есть еще 15.Если вы умножите эти 15 на четное число (например, 4), вы получите еще одно число, кратное 10.

Конечный продукт — 1307674368000. 3 нуля благодаря нашим 5, 10 и 15. Обратите внимание на шаблон? К каждому кратному 5 в вашем списке чисел вы добавляете ноль. Значит ли это 100! заканчивается 20 нулями?

 100! = 93326blahblahblahblah0

4000000000000000000000000

24 нуля. Откуда взялись лишние 4?

Вы также должны учитывать, что некоторые из чисел, которые вы умножаете, содержат множитель 5 несколько раз.25, 50, 75 и 100 имеют множитель 5 дважды. Таким образом, для каждого числа, кратного 25, вам нужно добавить еще 1 ноль. Если бы число, которое мы вычисляли, было больше, нам также пришлось бы учитывать множители 125, у которых есть 3 множителя 5.

Обратите внимание, что мы не учитываем количество, кратное 2, необходимое для умножения этих 5 и получения 10. Это потому, что в любом факториале гораздо больше кратных 2, чем 5.

Сколько нулей в 879! заканчивать на?

Сначала мы подсчитываем, сколько чисел от 1 до 879 содержат хотя бы 1 множитель 5.

 879/5 = 175,8 

175 чисел с коэффициентом 5. Это означает, что в нашем факториале будет не менее 175 нулей.

Теперь мы посчитаем, сколько чисел от 1 до 879 содержат как минимум 2 делителя из 5.

 879/25 = 35,16 

Есть 35 чисел, в которых есть как минимум два делителя из 5. Это означает, что факториал будет иметь по крайней мере 175 + 35 нулей.

Подсчитайте, сколько чисел имеет хотя бы 3 разряда 5. ..

 879/125 = 7,032 

879! оканчивается минимум на 175 + 35 + 7 нулей

Теперь посчитайте, сколько факторов имеет 5 в них 4 раза.

 879/625 = 1,4064 

879! оканчивается на 175 + 35 + 7 + 1 нули

Нам не нужно больше проверять, потому что 625 * 5 больше числа, которое мы факторизуем. Следовательно, ваш окончательный ответ — 218 нулей.

Давайте проверим нашу работу …

 879! знак равно
7807233019 1554549656 8822717391 8496468070 7507748996 0813492397
2526949223 3381995549 8133963142 5829715464 2166031710 4985392271
8851963397 0474264206 5389635993 5286963902 8862715976 7542577436
7636420532 7401092380 8749716987 5302684162 3019854640 9293314024
4511806802 3808832307 66458

7501514474 56056 7174437604 2283652700 6607845736 3439753378 6328791870 03841 6151004100 5477233862 3268489362 6248858094 7550975430 3698213193 0931186304 8114404811 8421058219 5584516776 58156 5304685260 1213198893 1456621846 78198 4014618126 8400274680 5435476607 7892196180 4227583291 6635167933 3682523565 4828989835 27097

2246056288 1595624523 3603289500 9342000449 3813021847 9308479842 2405210023 96782 6841575647 8452822796 6601140228 4484233078 1804126798 9823018175 4236812822 8507070156 3352854071 8519744472 0357238012 4381718006 2500419750 9841920651 3047806813 9438335527 4898270918 6248319566 0862377750 99376 3704514408 2896275343 52248 0532062634 4740675555 4301515639 9216717768 7426246425 1263405575 8337449073 7225071243 0559972595 0337185007 4451940095 2067437481 0645581830 3679592992 0630010699 6863357836 9252477883 1918507637 98499 73497 12597 58585 1566578576 7570567262 82105 6382060960 2447953037 0721428389 7762235940 5724563749 6550474210 3271397205 8675756103 16908 4725501943 4708237000 3604820512 2717953496 1947236409 8201029917 6358217030 6582502635 5265255974 7505236220 8217979185 0542081579 2795665404 0069814182 5177727217 6171463038 7206398810 5175536207 3261783255 17271 2072561989 0121999367 29551 1892264406 4045936746 2809626164 2656823522 21

925 1782330900 6213440295 0349449927 0075099729 1337561234 1885529151 8009423803 4929343661 4385845250 4435317255 8282379392 00489 3395578489 6672562174 5797556692 2542030360 1661967769 0434258143 3838663981 4655847741 85953 6067239055 3721686778 22858

0723469639 8788200795 43357 50171 6376713647 4941381905 20271 0447658627 6969402559 4691918781 6734087426 7970668210 4503047426 13998 4135744365 3945868172 4664768724 2315097167 7736527894 0657050564 3813377742 9628295103 7308895232 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 00000000

math - Сколько нулей в 100 факториале

Общее количество нулей в п! задается последовательностью A027869 в интерактивной энциклопедии целочисленных последовательностей. На самом деле, похоже, нет никакого способа вычислить общее количество нулей в n! если не считать н! и считая количество нулей. С большой библиотекой int это достаточно просто. Простой пример Python:

  импорт математики

def zeros (n): вернуть str (math.factorial (n)). count ('0')
  

Так, например, нулей (100) оценивается как 30 . Для больших n вы можете пропустить относительно дорогое преобразование в строку и получить нулевой счет арифметически путем многократного деления на 10 .

Как вы заметили, гораздо проще вычислить количество конечных нулей. Ваш код на Python по существу:

  def trailing_zeros (n):
    count = 0
    р = 5
    в то время как p <= n:
        count + = n // p
        р * = 5
    счетчик возврата
  

В качестве эвристического способа оценки общего количества нулей вы можете сначала подсчитать количество завершающих нулей, вычтите это из количества цифр в n! , вычтите дополнительные 2 из этой разницы (поскольку ни первая цифра числа n! , ни последняя цифра перед конечными нулями не являются кандидатами на место незавершенных нулей) и предположите, что 1/10 этих цифр фактически будет нули.7
если n == 0:
возврат 1
еще:
вернуть math.ceil (math.log10 (2 * math.pi * n) / 2 + n * (math.log10 (n / math.e)))

Отсюда:

  def est_zeros (n):
    # сначала вычислим количество позиций-кандидатов для незавершенных нулей:
    internal_digits = max (0, num_digits (n) - конечные_ноли (n) - 2)
    вернуть trailing_zeros (n) + internal_digits // 10
  

Например, est_zeros (100) оценивается как 37, что не очень хорошо, но тогда нет причин думать, что эта оценка лучше асимптотической (хотя доказать , что она асимптотически правильна, будет очень сложно , Я вообще-то не знаю, так ли это). Для больших чисел это дает разумные результаты. Например, нулей (10000) == 5803 и est_zeros == 5814 .

Безопасность | Стеклянная дверь

Мы получаем подозрительную активность от вас или кого-то, кто пользуется вашей интернет-сетью.
Подождите, пока мы убедимся, что вы настоящий человек. Ваш контент появится в ближайшее время.
Если вы продолжаете видеть это сообщение, напишите нам
чтобы сообщить нам, что у вас проблемы.

Nous aider à garder Glassdoor sécurisée

Nous avons reçu des activités suspectes venant de quelqu’un utilisant votre réseau internet.Подвеска Veuillez Patient que nous vérifions que vous êtes une vraie personne. Вотре содержание
apparaîtra bientôt. Si vous continuez à voir ce message, veuillez envoyer un
электронная почта à
pour nous informer du désagrément.

Unterstützen Sie uns beim Schutz von Glassdoor

Wir haben einige verdächtige Aktivitäten von Ihnen oder von jemandem, der in ihrem
Интернет-Netzwerk angemeldet ist, festgestellt. Bitte warten Sie, während wir
überprüfen, ob Sie ein Mensch und kein Bot sind.Ihr Inhalt wird в Kürze angezeigt.
Wenn Sie weiterhin diese Meldung erhalten, informieren Sie uns darüber bitte по электронной почте:
.

We hebben verdachte activiteiten waargenomen op Glassdoor van iemand of iemand die uw internet netwerk deelt.
Een momentje geduld totdat, мы выяснили, что u daadwerkelijk een persoon bent. Uw bijdrage zal spoedig te zien zijn.
Als u deze melding blijft zien, электронная почта:
om ons te laten weten dat uw проблема zich nog steeds voordoet.

Hemos estado detectando actividad sospechosa tuya o de alguien con quien compare tu red de Internet. Эспера
mientras verificamos que eres una persona real. Tu contenido se mostrará en breve. Si Continúas recibiendo
este mensaje, envía un correo electrónico
a para informarnos de
que tienes problemas.

Hemos estado percibiendo actividad sospechosa de ti o de alguien con quien compare tu red de Internet. Эспера
mientras verificamos que eres una persona real.Tu contenido se mostrará en breve. Si Continúas recibiendo este
mensaje, envía un correo electrónico a
para hacernos saber que
estás teniendo problemas.

Temos Recebido algumas atividades suspeitas de voiceê ou de alguém que esteja usando a mesma rede. Aguarde enquanto
confirmamos que Você é Uma Pessoa de Verdade. Сеу контексто апаресера эм бреве. Caso продолжить Recebendo esta
mensagem, envie um email para
пункт нет
informar sobre o проблема.

Abbiamo notato alcune attività sospette da parte tua o di una persona che condivide la tua rete Internet.Attendi mentre verifichiamo Che sei una persona reale. Il tuo contenuto verrà visualizzato a breve. Secontini
visualizzare questo messaggio, invia un'e-mail all'indirizzo
per informarci del
проблема.

Пожалуйста, включите куки и перезагрузите страницу.

Это автоматический процесс. Ваш браузер в ближайшее время перенаправит вас на запрошенный контент.

Подождите до 5 секунд…

Перенаправление…

Заводское обозначение: CF-102 / 63908e2f7eec498d.

заметок по математике: сколько нулей?

Проблемы: (Решения ниже.)


№1. 2003 Chapter Team # 7 - Сколько нулей в конце (100!) (200!) (300!) При умножении?


№2. Сколько нулей в конце 2013 года !?


№ 3. Сколько нулей в конце 10! * 9! * 8! * 7! * 6! * 5! * 4! * 3! * 2! * 1! * 0 !?


№4. Какая единица измерения - 10! + 9! + 8! + 7! + 6! + 5! + 4! +3! + 2! +1! + 0 !?


№5.{n} \) множитель 1 × 3 × 5 ×… × 97 × 99?

Решения:

# 1.Для 100 !, есть - 100/5 = 20, 20/5 = 4 (остановитесь, когда частное не делится на 5, а затем сложите все частные.) Или 20 + 4 = 24 нуля.
Для 200 !, 200/5 = 40,
40/5 = 8 и
8/5 = 1, или всего 40 + 8 + 1 = 49 нулей.
Для 300 !, имеется 300/5 = 60, 60/5 = 12 и 12/5 = 2, или всего 60 + 12 + 2 = 74 нуля.
Сложите все частные, и вы получите 147 нулей.

№2. Используйте тот же метод, что и # 1, и ответ - 501 ноль .{6} \) после этого.
2 * 5 = 10 даст вам ноль, поскольку 5 меньше, чем 2, поэтому ответ - 6 нулей .

# 6: Вам нужно одинаковое число, кратное 2 и 5, чтобы получить «0».
31! дает 30/5 = 6, 6/5 = 1 или 6 + 1 = 7, кратное 5
31! дает вам 10 // 2 = 15 ... 15/2 = 7 ... 7/2 = 3 ... 3/2 = 1 или 15 + 7 + 3 + 1 = 26 кратных 2.
16! * 8! * 4! * 2! * 1! дает вам 4 кратных 5 и 8 + 4 + 2 + 1 (16!) + 4 + 2 + 1 (8!) + 2 + 1 (4!) + 1 (2!)
= 26 кратных 2.
Таким образом, все числа, кратные 2, сокращаются, ответ - "0" нулей.

# 7: Есть 3 * 1, 3 * 3, 3 * 5 ... 3 * 33 или \ (\ dfrac {33-1} {2} + 1 = 17 \), кратные 3.
Там 9 * 1, 9 * 3 ... 9 * 11 или \ (\ dfrac {11-1} {2} +1 = 6 \), кратные 3.
Есть 27 * 1, 27 * 3 или 2 дополнительные числа, кратные 3.
Имеется 81 * 1 или 1 дополнительное число, кратное 3.
Сложите их, и ответ: 26 .

Конечное число нулей | Блестящая вики по математике и науке

В свете вышеупомянутой теоремы стратегия нахождения конечных нулей факториала будет вращаться вокруг факторизации на простые множители.2.
\ end {align} 7! 8! 9! === 7 × 6! = 24 × 32 × 5 × 78 × 7! = 24 × 32 × 5 × 7 × 239 × 8! = 24 × 32 × 5 × 7 × 23 × 32.

Потому что наивысшая степень 5, которая делит 6!, 7!, 8!, 9! 6!, 7!, 8!, 9! 6!, 7!, 8!, 9! равно 1, все они имеют одинаковое количество завершающих нулей. □ _ \ квадрат □

Теперь стратегия состоит в том, чтобы подсчитать количество кратных 5 в факториальном произведении. Однако необходимо также учитывать, что число в факторном произведении может давать степень 5, превышающую 1.

Найдите количество нулей в конце числа в 30 !.151 фактор. Следовательно, количество завершающих нулей 30! 30! 30! равно 7. \ boxed {7} .7. □ _ \ квадрат □

Обратите внимание, что каждое кратное 5 в факториальном произведении будет давать 111 вклад в число конечных нулей. Вдобавок к этому, каждое кратное 25 будет добавлять 111 к количеству конечных нулей. Затем каждое кратное 125 добавит еще 111 к числу конечных нулей и так далее.

Найдите количество нулей в конце в 500! 500! 500 !.


Количество кратных 5, которые меньше или равны 500, равно 500 ÷ 5 = 100,500 \ div 5 = 100,500 ÷ 5 = 100.
Тогда число, кратное 25, будет 500 ÷ 25 = 20,500 \ div 25 = 20,500 ÷ 25 = 20.
Тогда количество кратных 125 равно 500 ÷ 125 = 4.500 \ div 125 = 4.500 ÷ 125 = 4.
Следующая степень 5 - 625, что больше 500.

Следовательно, количество завершающих нулей 500! 500! 500! равно 100 + 20 + 4 = 124,100 + 20 + 4 = \ в штучной упаковке {124}. 100 + 20 + 4 = 124. □ _ \ квадрат □

Как вы, наверное, догадались, мы можем определить количество завершающих нулей N! ​​N! N! для любого натурального числа NNN.Попробуйте следующий пример и посмотрите, сможете ли вы найти хороший способ выразить это.

1000! = 4023872600770… 4720000000… 0⏟Множество нулей из 1000! = 4023872600770 \ ldots 472 \ underbrace {0000000 \ ldots 0} _ {\ text {Множество нулей}} 1000! = 4023872600770… 472 Множество нулей0000000… 0

Выше приведены некоторые цифры из числа 1000! 1000! 1000 !. Сколько (завершающих) нулей в конце этого числа?


Способ решения такой же, как в предыдущем примере:

  • Количество кратных 5, которые меньше или равны 1000, равно 1000 ÷ 5 = 2001000 \ div5 = 200 1000 ÷ 5 = 200.
  • Количество кратных 25, которые меньше или равны 1000, равно 1000 ÷ 25 = 401000 \ div25 = 40 1000 ÷ 25 = 40.
  • Количество кратных 125, которые меньше или равны 1000, равно 1000 ÷ 125 = 81000 \ div125 = 8 1000 ÷ 125 = 8.
  • Единственное кратное 625, которое меньше или равно 1000, составляет 625 само по себе.

Таким образом, 1000! 1000! 1000! всего 200 + 40 + 8 + 1 = 249200 + 40 + 8 + 1 = \ в штучной упаковке {249} 200 + 40 + 8 + 1 = 249 завершающих нулей.

Есть необычный способ выразить эту стратегию, используя функцию минимума и логарифмы:

Пусть f (n) f (n) f (n) задает количество конечных нулей в десятичном представлении n! N! N !.k}} \ right \ rfloor = 0,0 <5kn <1 ⟺ ⌊5kn ⌋ = 0, поэтому для основной суммы это не имеет значения.

Первый член подсчитывает, сколько раз в факториальном произведении появляется число, кратное 5, второе - число, кратное 25, и так далее.

Определите количество завершающих нулей 777! 777! 777 !.


Подключаем 777 к формуле и получаем

⌊7775⌋ + ⌊77725⌋ + ⌊777125⌋ + ⌊777625⌋ = 155 + 31 + 6 + 1 = 193. □ \ begin {align} \ left \ lfloor {\ frac {777} {5}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {777} {25}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac { 777} {125}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {777} {625}} \ right \ rfloor & = & 155 + 31 + 6 + 1 \\ & = & 193.\ _ \ квадрат \ конец {выровнен} ⌊5777 ⌋ + ⌊25777 ⌋ + ⌊125777 ⌋ + ⌊625777 ⌋ == 155 + 31 + 6 + 1193. □

Обратите внимание, что последовательность остановилась после ⌊777625⌋ \ left \ lfloor {\ frac {777} {625}} \ right \ rfloor⌊625777 ⌋, потому что все после этого будет 0. Вам не нужно запоминать причудливые формулы, чтобы решайте подобные задачи постоянно, но просто знайте, как и почему это работает.

Найдите количество нулей в конце числа 60! 60! 60 !.

Отправьте свой ответ

2015! умножается на себя в 2015 раз следующим образом:

2015! × 2015! × ⋯ × 2015! ⏟2015. 2} (1001!) 22002!

Сколько нулей в конце у числа, указанного выше?

Альтернативный способ вычисления конечных нулей факториала - анализ числа в другом основании простых чисел.

Для целого числа nnn и простого числа p, p, p пусть Sp (n) {S} _ {p} (n) Sp (n) будет суммой цифр nnn по основанию p, p, p, и пусть vp (n) v_p (n) vp (n) - наивысшая степень ppp в n! .n! .n !. Затем

vp (n) = n − Sp (n) p − 1. {v} _ {p} (n) = \ frac {n - {S} _ {p} (n)} {p - 1}. vp (n) = p − 1n − Sp (n).

Найдите количество нулей в конце в строке 452! .452! .452 !.


Для приведенной выше формулы n = 452.n = 452.n = 452. Учитывая, что этот факториал находится по основанию десять, цель состоит в том, чтобы найти наибольшую степень 555 из 452!452! .452 !. Следовательно, p = 5.p = 5.p = 5.

Сначала необходимо вычислить число в базе 5:

⌊452125⌋ = 3452−3⋅125 = 77⌊7725⌋ = 377−3⋅25 = 2⌊25⌋ = 0. \ Begin {align}
\ left \ lfloor \ frac {452} {125} \ right \ rfloor & = 3 \\
452 - 3 \ cdot 125 & = 77 \\ \\
\ left \ lfloor \ frac {77} {25} \ right \ rfloor & = 3 \\
77 - 3 \ cdot 25 & = 2 \\ \\
\ left \ lfloor \ frac {2} {5} \ right \ rfloor & = 0.
\ end {выровнен} ⌊125452 ⌋452−3⋅125⌊2577 ⌋77−3⋅25⌊52 ⌋ = 3 = 77 = 3 = 2 = 0.

Тогда 45210 = 33025.452_ {10} = 3302_ {5}. 45210 = 33025.

Сумма цифр 452 в базе 5 равна

.

S5 (452) = 3 + 3 + 0 + 2 = 8. S_5 (452) = 3 + 3 + 0 + 2 = 8. S5 (452) = 3 + 3 + 0 + 2 = 8.

Используя приведенную выше формулу, наибольшая степень 5 из 452! 452! 452! это

v5 (452) = 452−85−1 = 111. \ Begin {align}
v_5 (452) & = \ frac {452-8} {5-1} \\\\
& = 111.
\ end {align} v5 (452) = 5−1452−8 = 111.

Следовательно, в 452! .452! .452 !. есть 111 \ упакованных {111} 111 нулей в конце. □ _ \ квадрат □

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *