Нейронных сетей моделирование: Новые нейронные сети или моделирование работы нервной системы / Хабр

Новые нейронные сети или моделирование работы нервной системы / Хабр

Привет, Geektimes! Хочу представить свои наработки в исследовании в области искусственного интеллекта.

Я с юности мечтал о возможности создания искусственного интеллекта. Еще в школьные годы я прочитал фантастическое произведение «Черный Яша» Зиновия Юрьева, в котором главный герой создал прибор сравнимый по сложности с человеческим мозгом, представляющий собой черный ящик, наполненный множеством связанных между собой элементов — нейристоров, обучал его как ребенка, обрушив на него лавину информации. После чего, прибор превратился в разумное существо, личность, которую назвали Яша. Я задумался, над тем, как должны функционировать нейристоры. Ответ я искал в нейробиологии и физиологии нервной системы. Изучение книг на данную тему дало мне хорошее представление о биологическом нейроне, а работы И.П. Павлова сформировали во мне убеждение о том, что любое проявление сколь угодно сложного поведения живых существ, проявление условных и безусловных рефлексов. Тогда и появились первые, наивные гипотезы о принципах работы биологического нейрона и попытки систематического описания этих принципов. О том, что существуют искусственные нейронные сети, я не имел представления, в то время интернет был редкость.

Только в студенческие годы, я познакомился с некоторыми статьями на тему искусственных нейронных сетей, знакомство с ними на меня произвели неоднозначное впечатление. С одной стороны, удивило столь серьезные различия между моделью нейрона, принятым за основу перцептрона и биологическим нейроном. С другой стороны, описательные методы, использованные в искусственных нейронных сетях, позволили мне пересмотреть свои гипотезы о работе нейрона и представить их в уже более систематизированном виде. Хотя и тогда это были весьма иллюзорные представления.

Модель нейрона в основе классических искусственных сетей обычно представлялась, как клетка с множеством входов – дендритов и с одним выходом – аксоном. Клетка анализировала сигналы, поступающие с входов, и подобно функции выдавала результат, который передавался следующим нейронам. На самом деле нейрон с аксоном лишь частный случай в нервной системе, большинство нейронов в мозгу человека не имеет аксона. Нейрон принимает сигналы практически всей поверхностью мембраны, специальными рецепторами. После чего, передает сигналы по дендритам через синапсы к другим клеткам, причем, синапсы клетки имеют различную силу, их сила определяется независимо друг от друга. У биологического нейрона много входов и множество независимо определяемых выходов. Получалось что, в математическом нейроне анализируются и подсчитываются коэффициенты весов входных сигналов, а в биологическом нейроне происходит анализ силы выходных.

Несмотря на сильные несоответствия искусственных сетей от биологических, они оказались весьма продуктивными, работы в этой области дали множество интересных и практичных результатов.

Классические нейронные сети являются очень удобными для реализации, у меня был опыт написания простой программы на Delphi в основе перцептрона, но к моему стыду, у меня навыков в программировании было недостаточно для реализации своих идей по моделированию нервной системы.

Я долгое время не обращался к этой теме, но продолжал интересоваться и изучать книги и статьи по нейробиологии и психологии. Примерно два года назад, я занялся изучением игрового движка Unity3D, меня он интересовал именно, как игровой движок. Создав пару игровых приложений на нем, я понял, что Unity3D лучше всего подходит для отработки идей. Здесь и рабочее трехмерное пространство, и удобство в программировании, и свобода в организации структуры объектов. Я поставил себе задачу сделать простую модель, демонстрирующую элементарные принцы работы нейрона и нервной системы, основанную на своих предположениях.

Уже через некоторое время работы над моделью, меня ждало первое разочарование. Модель представляла собой некоторое подобие клеточного автомата, связанных между собой элементов. Созданная сеть нейронов, примерно 450 клеток, расположенных в трёхмерном пространстве, в кубическую сетку, работала не в соответствии с моими представлениями. Попытки откорректировать её работу были безуспешными.

Расположение в трехмерном пространстве, является очень важным аспектом для системы, так как для анализа и определения силы своих выходов, в нейроне принимается в расчет его местоположение относительно других активных клеток.

Первая неудачная архитектура нейронной сети

Посчитав, что причиной моих неудач может служить предопределённость в количестве нейронов и количестве связей имеющихся у нейрона. Было принято решение создавать нейроны динамически. Дело в том, что существует принцип последовательной передачи возбуждения от нейрона к нейрону, каждый рефлекторный акт можно представить, как цепочку последовательных передач нервного сигнала. Некоторые нейроны могли быть не задействованы ни в одном рефлекторном акте, при этом использовать ресурсы компьютера и мешать обзору при изучении сети.

При динамическом создании нейронов, можно сказать, что рабочая область программы представляет собой пространство, заполненное гипотетическими нейронами, которые будут активированы при необходимости. Программа создает нейроны там, где они необходимы с определёнными ограничениями, имитирующими предварительную наполненность пространства клетками.

Однако, после внесённых модификаций процесс работы с моделью, представлял собой поиски, круговорот из гипотез и их проверок. Я вносил изменения в скрипт нейрона, наблюдал за поведением системы, которая вела себя не в соответствии с моими ожиданиями, что заставляло меня строить новые гипотезы и опять вносить правки в программу. Данная работа заставила меня переоценить важность некоторых аспектов в биологии нейрона, которые ранее для меня казались незначащими. К примеру, пришлось учитывать изменение отрицательного следового потенциала, добавлять усталость нейронов и тормозящие клетки.

В результате я получил результат, который ставил перед собой изначально. Программа, которая может продемонстрировать, как происходит ассоциативное обучение в нервных тканях, формирование новых рефлекторных дуг, подобно тому, как это происходит в мозгу собаки в экспериментах И.П. Павлова.

В сравнении с классическими нейронными сетями, которые с меньшим количеством элементов могут распознавать лица, рисовать картины и сочинять музыку, функционально моя нейронная сеть практически бесполезна. Однако, для меня большее значение имеет потенциал, заложенный в ней.

В системе существуют двенадцать входов, представляющие собой рецепторы-кнопки, это кнопки клавиатуры, которым соответствуют индикаторы обозначенные буквами и двенадцать выходов, которые представляют собой индикаторы активности определённых клеток. Программа позволяет редактировать сеть: создавать нейроны, настраивать их синапсы (связи), настраивать входы и выходы.

Изначально создаются безусловные рефлексы, на базе которых происходит обучение. Человек рождается с уже готовым набором безусловных рефлексов, которые старательно подготовила и подобрала эволюция. Этот набор рефлексов и предопределяет вариативность нашего обучения.

На видео можно увидеть как два простых индифферентных рефлекса состоящих из одного рецепторного и одного моторного нейрона, после нескольких совместных повторений становятся ассоциативно связанными. Происходит формирование «перемычки» между ними.

Я пока не описываю деталей касательно принципов работы системы и нейронов, потому что работа над теоретической основой еще ведется, и не хотелось бы выкладывать сырые теории.

Это только начало пути, еще предстоит множество работы. Сейчас я планирую работу над новой версией программы, которая позволит мне разобраться в некоторых деталях, касательно торможения в нервной системе. Планирую расширить возможности входных сигналов, более развернутую и разнообразную систему чувств, а так же учесть специфические химические информационные сигналы, которые позволят смоделировать подобие эмоций.

Отработав на подобных моделях, все аспекты работы нейронов, можно будет переходить к созданию системы, позволяющей создавать, как в редакторе структуры имитирующих работу мозга животных. На этом этапе будут так же востребованы знания специалистов в области физиологии мозга.

Способность к самоидентификации личности и самосознании являются неотъемлемыми элементами интеллекта, как известно, все это заложено в структурах мозга. И не возможно создание мыслящей машины без копирования структур и принципов работы мозга.

P.S.

Исследования в области искусственного интеллекта, как и написание статей на эту тему не является основным видом моей деятельности, поэтому не судите строго. Буду благодарен любому содействию в работе, помощи, совету, напутствию. Ваше мнение и конструктивная критика для меня очень важны.

Факторное моделирование с помощью нейронной сети / Хабр

В статье рассматривается факторное моделирование с помощью метода факторизации на базе нейронной сети и алгоритма обратного распространения ошибки. Этот метод факторизации является альтернативой классическому факторному анализу. Данный метод был усовершенствован для проведения факторного вращения и получения интерпретируемого решения. Факторная структура, полученная с помощью данного метода факторизации, находятся в соответствии с результатами факторного моделирования посредством других методов.

Введение. Классический факторный анализ [1] позволяет на базе выборки различных показателей сформировать факторные показатели с необходимой точностью описывающие исходный объект и уменьшающие размерность задачи путем перехода к ним. Факторные показатели являются линейной комбинацией исходных показателей. Тем самым факторные модели носят линейный характер.

Нейронная сеть позволяет аппроксимировать отображения между исходными и целевыми показателями. При этом аппроксимируемые отображения могут иметь нелинейный характер. Двухслойный персептрон позволяет аппроксимировать любую булеву функцию булевых переменных [2]. Двухуровневая нейронная сеть способна аппроксимировать в равномерной метрике с любой заданной погрешностью ε> 0 любую непрерывную функцию , а в среднеквадратической метрике – любую измеримую функцию, определенную на ограниченном множестве [3, 4, 5, 6].

Для восстановлений закономерностей между параметрами используется специальный алгоритм обучения нейронной сети: алгоритм обратного распространения ошибки [7]. Этот алгоритм с математической точки зрения представляет собой градиентный метод оптимизации.

Суть данного метода для построений факторных моделей заключается в том, что для выявления закономерностей между параметрами используется математическая модель нейронной сети с линейной передаточной функцией. Значения факторных переменных определяется равным значениям выходных сигналов нейронов скрытого слоя нейронной сети. Тем самым нейронная сеть осуществляет классический факторный анализ, т.е. строит линейные комбинации исходных параметров [8, 9, 10].

В данной работе предлагается усовершенствованный алгоритм обратного распространения ошибки посредством введения дополнительного слагаемого в функцию ошибки для построения интерпретируемой факторной структуры и решения задачи факторного вращения на базе нейронной сети.

Математическая модель нейрона.Состояние нейрона описывается набором переменных:

весами входных сигналов , где m– количество входных сигналов ;

свободным членом в вычислении выходного сигнала. Сигнал на выходе нейрона вычисляется по формуле:

, где – взвешенная сумма сигналов на входах нейрона,

σ – передаточная функция нейрона, например сигмоидальная функция .

Нейронная сеть. Отдельные нейроны объединяются в слои. Выходные сигналы нейронов из одного слоя поступают на вход нейронам следующего слоя, модель так называемого многослойного персептрона (рис. 1). В программной реализации авторской нейронной сети вводится понятие нейронов потомков и нейронов предков. Все нейроны, имеющие входной сигнал от данного нейрона являются его потомками или пассивными нейронами или аксонами. Все нейроны образующие входные сигналы данного нейрона являются его предками или активными нейронами или дендритами.

Рис. 1.Схема простой нейронной сети (входные нейроны, скрытые нейроны, выходной нейрон).

Алгоритм обратного распространения ошибки. Алгоритм обратного распространения ошибки для обучения нейронной сети соответствует минимизации функции ошибки E(w_ij). В качестве такой функции ошибки может быть использована сумма квадратов отклонений выходных сигналов сети от требуемых:

,

где − выходное значение i-го нейрона выходного слоя,

− требуемое значение i-го нейрона выходного слоя.

В данном алгоритме итерация обучения состоит из трех процедур:

1. Распространение сигнала и вычисление сигналов на выходе каждого нейрона.

2. Вычисление ошибки для каждого нейрона.

3. Изменение весов связей.

Путем многократного цикличного подставления наборов сигналов на входе и выходе и обратного распространения ошибки производится обучение нейронной сети. Для многослойного персептрона и определенного вида передаточной функции нейрона, при определенном виде функции ошибки доказана сходимость этого метода [11].

Вычисление ошибок. Если передаточная функция нейронов является сигмоидальной, то ошибки для нейронов различных слоев вычисляются по следующим формулам.

Вычисления ошибок для нейронов выходного слоя производится по формуле:

,

где – желаемое значение на выходе j-го нейрона выходного слоя L,

– сигнал на выходе j-го нейрона выходного слоя L,

L– глубина нейронной сети,

Ошибки для нейронов остальных слоев рассчитываются по формуле:

,

где i– индексы нейронов-потомков данного нейрона,

– сигнал на выходе j-го нейрона слоя l,

– связь междуj-ым нейроном l-го слоя и i-ым нейроном (l+1)-го слоя.

Изменение пороговых уровней нейронов и весов связей. Для изменения весов связей используется следующая формула:

,

,

,

где i– индекс активного нейрона (нейрона источника входных сигналов пассивных нейронов),

j– индекс пассивного нейрона,

n–номер итерации обучения,

α– коэффициент инерциальности для сглаживания резких скачков при перемещении по поверхности целевой функции,

0<η<1– множитель, задающий скорость «движения».

Метод построения факторной модели. Факторный анализ основывается на следующей линейной модели, связывающей исходные показателии факторы :

m– число переменных,

g– число факторов,

− исходные переменные,

− общие факторы,

− специфичные факторы.

В матричном виде линейная модель факторного анализа записывается в виде:

,

где − матрица размерности значений mпараметров у nобъектов,

− матрица размерности значений g факторов у nобъектов,

− матрица размерности значений mспецифичных факторов у nобъектов,

− матрица факторного отображения размерности весовых коэффициентов,

− диагональная матрица размерностивесовых коэффициентов специфичных факторов.

В данном методе построения факторной модели латентные характеристики ставятся в соответствие нейронам скрытого слоя. При этом число нейронов скрытого слоя полагают меньшим числа нейронов входного слоя для осуществления факторного сжатия входной информации. Для оценки числа нейронов скрытого слоя можно применять правило Кайзера классического факторного анализа. Нейронам входного и выходного слоя ставится в соответствие исходные характеристики объектов исследования. Когда передаточная функция нейронов линейна такая конфигурация нейронной сети соответствует классическому факторному анализу (рис. 2).

Рис. 2.Схема нейронной сети классического факторного анализа (число нейронов входного слоя равно числу нейронов выходного слоя, число нейронов скрытого слоя меньше числа нейронов входного слоя).

С помощью обучения нейронной сети вычисляются веса входных связей нейронов скрытого и выходного слоя, которые соответствуют элементам обратного и прямого факторного отображения. Веса нейронов ищутся в интервале [-1, 1]. Наполнение факторов исходными переменными определяется с помощью значений элементов факторного отображения и выбранного порогового уровня значимости. Переменная iвходит в фактор j, если .

Для раскрытия взаимосвязи факторной модели и нейронной сети, воспользуемся формулами получения выходного сигнала нейронов скрытого слоя.

Обозначим выходной сигнал j-го нейрона скрытого слоя . Выходной сигнал i-го нейрона входного слоя обозначим . В качестве передаточной функции будем использовать линейную функцию .

В результате

,

где m– число нейронов входного слоя;

− связь между i-ым нейроном s-го слоя и j-ым нейроном t-го слоя,

− пороговый уровень i-го нейрона s-го слоя.

Аналогично для выходного слоя:

,

где− выходное значение i-го нейрона выходного слоя,

g − число нейронов скрытого слоя.

Полученная линейная взаимосвязь переменных соответствует классической модели факторного анализа, в которой факторы являются линейными комбинациями исходных переменных. Задача поиска факторного отображения и значений факторов сводится к задаче поиска весов связей и пороговых уровней нейронной сети. Поскольку факторное отображение и значения факторов являются неизвестными, необходима сеть с промежуточным слоем. Сеть в целом осуществляет тождественное преобразование, т.е. выходной сигнал наi-ом нейроне входного слоя равен выходному сигналу i-го нейрона выходного слоя. Отдельные части сети (входная и выходная часть) соответствуют прямому и обратному факторному отображению.

Теорема.

Пустьи − веса входных сигналов выходного и скрытого слоя нейронной сети с линейной передаточной функцией. Число нейронов на выходном слое равно числу нейронов входного слоя. Нейронная сеть состоит из входного, скрытого и выходного слоя и осуществляет тождественное преобразование для любого входного сигнала (вектор входных сигналов сети равен вектору выходных сигналов).

Тогда выполняется следующее равенство:

,

где– связь междуi-ым нейрономs-го слоя иj-ым нейрономt-го слоя,

g − число нейронов скрытого слоя.

Доказательство:

Обозначим – выходной сигнал i-го нейрона k-го слоя,

– i-ый выходной сигнал нейронов первого слоя.

Для поиска весов нейронной сети необходимо выполнение условия:

, выходной сигнал на i-ом нейроне входного слоя равен выходному сигналу i-го нейрона выходного слоя. Из этого условия следует вспомогательное условие:

, изменение i-го входного сигнала сети равно изменениюi-го выходного сигнала. При этом справедливы следующие равенства:

,

, где и – входной и выходной сигнал до изменения,

.

Допустим, что производилось изменение только i-го входного сигнала.

Из этих условий следует:

;

Поскольку , то должно выполняться для всех i, поскольку выбор i-го входного сигнала был произволен.

Теорема доказана ■.

Веса и входных сигналов выходного и скрытого слоя нейронной сети с линейной передаточной функцией соответствуют коэффициентам прямого и обратного факторного отображения. Чем точнее нейронная сеть с факторным сжатием информации осуществляет тождественное преобразование, тем точнее будет выполняться равенство теоремы, соответствующее тому, что композиция прямого и обратного факторного преобразования должно давать тождественное преобразование. Докажем соответствующую теорему.

Теорема.

Пустьи − веса входных сигналов выходного и скрытого слоя нейронной сети с линейной передаточной функцией. Число нейронов на выходном слое равно числу нейронов входного слоя. Нейронная сеть состоит из входного, скрытого и выходного слоя.

– средняя невязка сигнала между входом и выходом сети, приходящаяся на один входной (выходной) нейрон,

–невязка равенства , т.е.,

где– связь междуi-ым нейрономs-го слоя иj-ым нейрономt-го слоя,

g − число нейронов скрытого слоя.

Тогда чем меньше , тем меньше.

Доказательство:

В предыдущей теореме доказано следующее равенствозначения сигнала по одной переменной на выходеот приращения сигнала по той же переменной на входе :

.

Поскольку ,

где – начальная невязка сигналов между входом и выходом сети до изменения i-го входного сигнала,

то . Это означает монотонную зависимость между и .

Теорема доказана ■.

Для построения нелинейных главных компонент в качестве передаточной функции может быть выбрана антисимметричная сигмоидальная функция:

.

В любом случае независимо от вида передаточной функции для получения интерпретируемого факторного отображения вводится дополнительное слагаемое в общую целевую функцию квадратов невязок, соответствующее критерию «варимакс» классического факторного анализа – это максимизация дисперсии нагрузок переменной, приходящихся на все факторы:

,

.

Учет «варимакс» критерия приводит к появлению дополнительных слагаемых при изменении весов нейронной сети на выходном слое:

.

Другим вариантом получения интерпретируемого факторного отображения может быть использование специального критерия интерпретируемости [12]. Данный критерий заключается в том, что только одна факторная нагрузка для фиксированной переменной, должна быть близкой к 1, тогда как остальные должны быть близкими к 0. Учет эмпирического критерия интерпретируемости, предлагается осуществить следующим образом: среди факторных нагрузок для фиксированной переменной выбирается максимальная по модулю. Все факторные нагрузки отличные от максимальной уменьшаются по модулю на γ, тогда как максимальная увеличивается на γ.

Аналогичный учет главных условий факторного анализа на сумму квадратов факторных нагрузок переменной, приходящихся на все факторы, и поиск факторных нагрузок в допустимом интервале приводит к поправкам на изменение весов нейронной сети для выходного слоя. В случае нарушения этих условий предлагается использовать штрафную функцию , соответствующую минимизации весов нейронов. Тогда .

Для стандартизации входных значений нейронной сети используется линейное преобразование:

, переводящее диапазон исходных величинxиз [min,max] в [s,t].

Тогда ,.

Для обратного преобразования выходных значений нейронной сети из диапазона [s, t] в [min,max] используется преобразование .

В качестве интервала [s,t] для антисимметричной сигмоидальной функции может быть выбран интервал [-0.85, 0.85].

Тогда ,.

Численный эксперимент. В качестве исходных параметров были взяты 15 биофизических показателей для 131 лица с артериальной гипертензией начальной стадии:

1. вес,

2. индекс массы тела (ИМТ),

3. частота дыхания (ЧД),

4. сегментоядерные нейтрофилы (С),

5. лимфоциты (Л),

6. конечно-систолический размер левого желудочка (КСР),

7. конечно-систолический объем левого желудочка (КСО),

8. конечно-диастолический размер левого желудочка (КДР),

9. конечно-диастолический объем левого желудочка (КДО),

10. ударный объем (УО),

11. минутный объем сердца (МОС),

12. общее периферическое сосудистое сопротивление (ОПСС),

13. индекс Хильдебрандта (ИХ),

14. фракция выброса левого желудочка (ФВ),

15. фракция укорочения левого желудочка (ФУ).

При обучении нейронной сети на данных артериальной гипертензии начальной стадии содержащих 131 паттерн и 15 переменных с антисимметричной сигмоидальной передаточной функцией и 5-ю нейронами на скрытом слое ошибка, приходящаяся на одну переменную, составляла не более 10% от диапазона значений переменной по выборке. График сходимости процесса обучения представлен на рисунке 3. Под итерацией обучения понимается одна эпоха обучения, когда сети подставляется весь набор паттернов обучения. Под суммарной ошибкой на обучающей выборке понимается сумма ошибок для всех паттернов обучающего множества на одной итерации обучения.

Для проверки эффективности обучения нейронной сети исходное множество входных-выходных значений было разделено на 2 независимых подмножества: обучающее и тестовое. Обучение проводилось на обучающем множестве, а верификация – на тестовом. Ошибка нейронной сети на тестовом множестве является показателем того, насколько точно обучилась нейронная сеть. Относительный объем тестового множества был оценен по формуле [7]:

,

где W− количество входных параметров.

При W= 15, . При 131 паттерне на тестовое множество приходится 20 паттернов.

График изменения суммарной ошибки для паттернов тестового множества при верификации на каждой эпохе процесса обучение представлен на рисунке 4. Под суммарной ошибкой на тестовом множестве понимается сумма ошибок для 20 паттернов тестового множества при процессе верификации на каждой эпохе обучения, т.е. когда для обучения был использован полный набор паттернов обучающего множества, но тестовое множество не участвовало в обучении. На каждой эпохе относительная ошибка для тестового множества больше относительной ошибки для обучающего множества. В пределе, когда ошибка для обучающего множества начинает сходится, возможен эффект переобучения, т.е. значение ошибки при верификации на тестовом множестве начинает не уменьшатся, а расти это связано с тем, что промежуточные точки между точками обучающего множества в многомерном пространстве плохо аппроксимируются восстанавливаемой зависимостью нейронной сети. Рисунок 4 и его график изменения ошибки на тестовом множестве показывает, что эффекта переобучения нет и объем обучающего множества достаточен для количества исходных показателей равным 15. На графики заметны лишь незначительные флуктуации ошибки при дальнейшем обучении на обучающем множестве в процессе сходимости ошибки для обучающего множества.

Из графика видно, что эффекта переобучения не наблюдается, дальнейшее обучение приводит лишь к небольшой флуктуации суммарной ошибки на тестовом множестве.

Рис. 3.График изменения суммарной ошибки на обучающей выборке (131 паттерн, 15 переменных).

Рис. 4.График изменения суммарной ошибки на тестовом множестве (20 паттернов, 15 переменных).

Рис. 5.Собственные значения исходных переменных.

Средние ошибки, приходящиеся на 15 переменных для одного паттерна на обучающем и тестовом множестве равны 1.28 и 1.54. При исходном диапазоне изменения параметров [-0.85, 0.85] ошибка, приходящаяся на одну переменную, для обучающего и тестового множества равны 5 и 6 %. Например, для параметра «вес» наибольший вес был равен 116 кг, наименьший 45 кг, при диапазоне в 71 кг, ошибка в 6% соответствует 4.26 кг. Это свидетельствует о хорошей способности нейронной сети к обобщению. Поскольку ошибка в 6% для 15 входных параметров и 131 примера для обучения меньше теоретической оценки ошибки в 10%, когда требуется 15 * 10 примеров для обучения, то можно говорить о достаточности обучающего множества. Известно, что между действительно достаточным размером множества обучения и теоретическими оценками может существовать большой разрыв [7].

Число нейронов на скрытом слое выбиралось согласно правилу Кайзера факторного анализа, когда число факторов выбирается не больше чем количество собственных значений корреляционной матрицы переменных больших 1. График собственных значений исходных переменных приведен на рисунке 5. В ходе численного эксперимента с данными артериальной гипертензии было установлено, что хорошая обучаемость нейронной сети достигается при числе нейронов в скрытом слое не меньшем верхней границы числа собственных значений исходных переменных по правилу Кайзера. При меньшем числе нейронов в скрытом слое наблюдались значительные ошибки на обучающей выборке и наоборот, чем больше нейронов выбиралось на скрытом слое, тем меньше была ошибка на тестовом и обучающем множестве. Это связано с факторным сжатием и потерей информации на скрытом слое.

Факторное отображение, полученное с помощью нейронной сети, незначительно отличается от факторного отображения, получаемого методом главных компонент с последующим «варимакс» вращением и имеет тот же интерпретационный характер, все значимые факторные нагрузки двух матриц факторных отображений близки друг к другу. Соответствующие факторные структуры приведены в таблице 1, 2, 3.

С точки зрения совпадения факторных структур ошибка прогноза входного паттерна менее 10% оказалась не критичной и нейронная сеть является достаточно обученной для проведения факторного анализа. Данные факторные структуры подтверждаются предыдущими работами [11].

Таблица 1. Факторная структура «варимакс»

(метод главных компонент + «варимакс» вращение)

Таблица 2. Факторная структура на базе нейронной сети («варимакс» критерий)

Таблица 3. Факторная структура на базе нейронной сети (критерий интерпретируемости)

Специальный критерий интерпретируемости оказался более эффективным, чем «варимакс» критерий. Разделение исходных переменных на факторы более мощное: незначимые факторные нагрузки близки к 0, тогда как значимые близки к 1. Незначимые факторные нагрузки отдают свою долю дисперсии переменных, приходящиеся на факторы, значимым фактоным нагрузкам, тем самым повышая эффективность разбиения исходных параметров на факторы. Конечным этапом факторного моделирования является интерпретация наполнения факторов переменными и более эффективное разбиение исходных переменных на факторы, соответствующее целям классического факторного вращения, является плюсом факторного моделирования на базе нейронной сети со специальным критерием интерпретируемости. Расхождение величин незначимых факторных нагрузок матриц факторного отображения до и после факторного вращения является обычным эффектом, целью которого является повышение эффективности интерпретационного разделения исходных переменных на факторы.

Матрица корреляций факторов немного отличается от ортогональной, что соответствует общему косоугольному случаю (таблица 4).

Таблица 4.Корреляции факторов, полученных на базе нейронной сети

с использованием критерия интерпретируемости

Факторное моделирование позволяет выделить группы взаимосвязанных параметров, образующих факторы заболевания артериальной гипертензии. Факторы проинтерпретированы в ранних работах[13, 14]:

1. Главный фактор можно интерпретировать как гемодинамический фактор, включающий параметры, описывающие центральную и периферическую гемодинамику. Переменные УО, МОС, ОПСС определяют уровень артериального давления. В норме, изменениям минутного объема циркуляции должна соответствовать адекватная по величине и направлению реакция прекапиллярного русла, которая бы нивелировала эти изменения и сохраняла среднее давление на нормальном уровне. Например, если МО снижен, то артериолы должны сузиться. Если МО увеличен, то артериолы должны расшириться. Нарушения взаимосвязи этих показателей лежат в основе изменений уровня АД. Вместе с тем изменение уровня артериального давления взаимосвязано с модуляцией сердца, за которую отвечают параметры КСР, КСО, КДР, КДО.

2. Фактор составленный из параметров Фракция выброса левого желудочка и Фракция укорочения ЛЖ можно считать важным для непосредственной оценки контрактильной (сократительной, нагнетательной) функции левого желудочка. Этот фактор определяет объемную ресурсоемкость ЛЖ. Он показывает, насколько использованы объемные резервы самого сердца для поддержания уровня артериального давления.

3. Фактор, отвечающий за соответствие массы и роста.

4. Фактор, характеризующий уровень слаженности работы сердца и легких, определяется через частоту дыхания и индекс Хильдебранта.

5. Иммунологический фактор, который может отражать психосоматическое состояние индивида, поскольку этот фактор активируется в стрессовых состояниях. Основной вклад в формирования этого фактора вносят сегментоядерные нейтрофилы и лимфоциты.

Выделенные факторы являются различными аспектами заболевания. Например, это может быть такой фактор риска как ожирение и нарушение фактора 3. Факторы 4 и 5 соответствуют стрессовой восприимчивости, при которой нарушается иммунологический фактор и фактор слаженности работы сердца и легких. Все выделенные факторы подтверждены независимыми медицинскими исследованиями.

В ранней работе [13] даны рекомендации по нормализации выделенных факторов. Выделенные пять факторов позволяют указать группу параметров, на которую нужно воздействовать, чтобы получить максимальный эффект от лечения. Например, для стабилизации уровня артериального давления следует воздействовать на всю группу признаков, описывающих гемодинамический фактор. При этом следует учитывать ремоделирование сердца (структурно-геометрическое состояние) при формировании патофизиологических взаимоотношений в системе кровообращения у пациентов с гипертонической болезнью. Поскольку ожирение является одним из факторов риска, то снижение веса позволит нормализовать фактор, отвечающий за соответствие массы и роста. Исключение стрессовых ситуаций пациентом позволит улучшить показатели, формирующие иммунологический фактор, а также нормализовать фактор, характеризующий уровень слаженности работы сердца и легких.

Заключение. Рассмотрен известный альтернативный метод построения факторной модели на основе нейронной сети и алгоритма обратного распространения ошибки. Данный метод был усовершенствован для проведения факторного вращения и получения интерпретируемого решения. Преимущества данного метода заключается в том, что он объединяет в себе все этапы классического факторного анализа: поиск факторного отображения, факторное вращение и вычисление значений факторов. Этот метод осуществляет косоугольный факторный анализ, тем самым имеет максимальную степень общности для линейной модели.

На базе нейронной сети с нелинейной передаточной функцией получен вариант нелинейного факторного анализа. Факторная структура артериальной гипертензии, полученная с помощью нейронной сети и критериев интерпретируемости, незначительно отличается от факторной структуры, полученного методом главных компонент с последующим «варимакс» вращением и имеет тот же интерпретационный характер.

1. Иберла К. Факторный анализ. Пер. с нем. В. М. Ивановой; Предисл. А. М. Дуброва. — М.: Статистика, 1980.

2. Гаврилевич М. Введение в нейроматематику. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1994.

3. Hornik K., Stinchcombe M., White H. Multilayer Feedforward Networks are Universal Approximators.// Neural Networks, 1989, v.2, N.5.

4. Cybenko G. Approximation by Superpositions of a Sigmoidal Function.// Mathematics of Control, Signals and Systems, 1989, v.2.

5. Funahashi K. On the Approximate Realization of Continuous Mappings by Neural Networks. // Neural Networks. 1989, v.2,N.3, 4.

6. Горбань А.Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронных сетей.// Сибирский журнал вычислительной математики / РАН. Сиб. отделение. – Новосибирск, 1998. – Т.1, №1. – с. 11-24.

7. Хайкин C.Нейронные сети: Полный курс. Пер. с англ. Н. Н. Куссуль, А. Ю. Шелестова. 2-е изд., испр. — М.: Издательский дом Вильямс, 2008, 1103 с.

8. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2002, 344 с.

9. Gorban A., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A., Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction// Springer, Berlin – Heidelberg – New York, 2007.

10. Kruger U., Antory D., Hahn J., Irwin G.W., McCullough G. Introduction of a nonlinearity measure for principal component models.// Computers & Chemical Engineering, 29 (11-12), 2355–2362 (2005)

11. Jain A.K., Mao J., Mohiuddin K.M.Artificial Neural Networks: A Tutorial.Computer, March, 1996, pp. 31-44.

12. Шовин В.А., Гольтяпин В.В. Методы вращения факторных структур.// Математические структуры и моделирование. 2015. № 2. С. 75-84.

13. Гольтяпин В.В., Шовин В.А.Косоугольная факторная модель артериальной гипертензии первой стадии. // Вестник Омского университета. 2010. № 4. c. 120-128.

14. Шовин В.А. Конфирматорная факторная модель артериальной гипертензии. // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4. № 4. c. 885-894.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Модель нейронной сети

Аннотация: Лекция носит вводный и ознакомительный характер и скорее ориентирована на того исследователя, что пытается, более точно абстрагируя природные процессы, познать и воссоздать реальные мозговые функции. Его интересует: как формируется исходная информация на рецепторах, как осуществляется простейшее распознавание, как при переходе в пространство признаков объекта увеличить эффективность распознавания, как реализовать устойчивое, четкое выделение сигнала, необходимое при построении длинных цепочек вывода, зачем нужна кора головного мозга. Из этих проблем особое внимание читателю следует обратить на задание информации на рецепторах. Даны действенные рекомендации для разработчика системы управления или принятия решений на основе технологии логических нейронных сетей.

Модель мозга

…письмоводитель градоначальника, вошедши утром с докладом в его кабинет, увидел такое зрелище: градоначальниково тело, облеченное в вицмундир, сидело за письменным столом, а перед ним, на кипе недоимочных реестров, лежала, в виде щегольского пресс-папье, совершенно пустая градоначальникова голова.

М.Е. Салтыков-Щедрин, «История одного города.»

Мозг представляет собой нейронную сеть содержащую узлы — нейроны (рис.1.1) и их соединения — синапсические связи.

Рис.
1.1.
Нейрон

Тело нейрона является средством выполнения пороговой функции активации над сигналами, пришедшими по входам нейрона – дендритам. (Нейрон мозга содержит до 10 тыс. дендритов.) Для того чтобы перейти в возбужденное состояние, в теле нейрона выполняются около 240 химических реакций. Величина возбуждения нейрона с помощью ветвящегося аксона передается на дендриты других нейронов.

Важными управляющими элементами связей нейронов являются синапсы. Синапс аналогичен переменному сопротивлению, определяющему вес связи (вес дендрита). Этот вес является коэффициентом, с которым дендрит принимает возбуждение нейрона, связанного с данным. Поэтому связи между нейронами называются синапсическими.

Изменение весов синапсических связей позволяет регулировать направления и пути распространения возбуждений в нейронной сети , т.е. в множестве взаимосвязанных нейронов. Так в этой сети образуются связи вида «если … то».

Поэтому настройка весов синапсических связей является основной задачей обучения нейронной сети , когда возбуждение некоторого множества нейронов обязательно должно приводить к возбуждению определенного нейрона. Это важнейший элемент выполнения мозгом функций распознавания, управления и принятия решений.

Рис.
1.2.
Модель нейрона

Математическая, абстрактная, модель нейрона во взаимодействии с другими нейронами сети представлена на рис.1.2.

Здесь — импульсы возбуждения, выработанные другими нейронами и поступившие на дендриты нейрона — веса дендритов, — пороги. В свою очередь, выработанный импульс также направляется на дендриты нейронов, с которыми связан нейрон с помощью ветвящегося аксона. Значение импульса возбуждения находится, как говорилось ранее, в результате счета функции активации, возможный вид которой приведен на рисунке.

Еще раз обращаем внимание на то, что значения весов синапсических связей и значения порогов могут регулироваться. Такое регулирование, во многих вариантах реализованное в разных моделях, и определяет возможность обучения и самообучения сети. Оно задает направление распространения возбуждений через сеть, простейшим образом формируя связи «посылка — следствие».

Нейронная сеть

На рис.1.3 показан фрагмент нейросети, по которому мы можем представить следующее.

Рис.
1.3.
Фрагмент нейронной сети

1. В сети распознают входной (рецепторный) слой , воспринимающий сигналы внешнего возбуждения (например, экран, на который подается видеоизображение), и выходной слой, определяющий результат решения задачи распознавания или принятия решений. Работа сети тактируется для имитации прохождения по ней возбуждения и управления им.
2. Каждый нейрон обрабатывает сигнальную информацию (это важнейший принцип логической нейронной сети!) в диапазоне от нуля до условной единицы. Исходные данные в виде сигналов поступают (от пользователя, от блока обработки ситуации на входе, от другой нейронной сети и т.д.) или формируются (например, с помощью видео ввода) на рецепторном слое.
3. Функции активации бывают различны, но просты по объему вычислений. В простейшем случае такая функция совпадает с линейной формой, где аргументы, показанные на рис.1.2, связаны операцией вычитания. Часто удобно не вычитать порог, а только лишь сравнивать с ним указанную сумму. Другие, не менее простые, функции активации будут рассмотрены в соответствии с целесообразным их применением.
4. Найденная взвешенная сумма, превысившая порог, или величина превышения порога является величиной возбуждения нейрона либо определяет значение величины возбуждения (например, в некоторых моделях величина возбуждения всегда равна единице, отсутствие возбуждения соответствует нулю). В некоторых моделях допускают и отрицательную величину возбуждения. Значение возбуждения передается через ветвящийся аксон в соответствии со связями данного нейрона с другими нейронами.
5. По дендритам может передаваться как возбуждающее, так и тормозящее воздействие. Первое может соответствовать положительному значению веса синапсической связи , второе — отрицательному. В нейронной сети возможны обратные связи.
6. Нейронная сеть работает в двух режимах: в режиме обучения и в режиме распознавания (рабочем режиме).

В режиме обучения на рецепторном слое сети предъявляются эталоны. Веса связей на пути прохождения возбуждения формируют таким образом, чтобы на выходном слое максимально возбудился нейрон, с которым связано решение по данному эталону. Например, если показан эталон буквы А, то (по прошествии нескольких тактов, в течение которых промежуточные нейроны считают значения функции активации и передают результаты далее в соответствии со своими связями) максимально должен возбудиться нейрон, связанный с решением: «Это буква А». В рабочем режиме (в режиме распознавания), в результате показа буквы А, даже искаженной и «зашумленной», должен максимально возбудиться соответствующий нейрон выходного слоя. Так достигается эффект ассоциативного мышления.

Таким образом, «подкручивая» веса, мы учим сеть по эталонным ситуациям, по которым мы знаем решение, а затем в рабочем режиме она выдает нам решение во всем диапазоне ситуаций. При этом она автоматически решает проблему, на какую «знакомую» ей ситуацию похожа более всего предъявленная ситуация, и, следовательно, какое решение следует выдать. Конечно, — с определенной вероятностью правильности.

Это открывает широкие возможности «живого» моделирования, не только в сфере развлечений, как показано на рисунках 1.4 и 1.5, но и в сфере интеллектуального отображения. Например, «реагирующие объекты» могут своим поведением указывать на нарушение технологического процесса, на перегрузку коммуникационной сети, предвещать стихийные бедствия и т.д.

Однако то, что изображено на рис.1.3, больше соответствует воплощению в природе – в мозге. Искусственные нейронные сети значительно проще. Они сводятся к однослойным, где сигналы с рецепторов сразу обрабатываются нейронами единственного слоя, являющегося выходным. Да и формирование весов, в природе связанное со сложными биохимическими процессами, на логическом уровне реализуется исключительно просто. Как это происходит, мы рассмотрим далее на примерах построения систем принятия решений.

Введение в нейросети / Хабр

Искусственные нейронные сети сейчас находятся на пике популярности. Можно задаться вопросом, сыграло ли громкое название свою роль в маркетинге и применении этой модели. Я знаю некоторых бизнес-менеджеров, радостно упоминающих об использовании в их продуктах «искусственных нейронных сетей» и «глубокого обучения». Так ли рады были бы они, если бы их продукты использовали «модели с соединёнными кругами» или «машины „совершишь ошибку — будешь наказан“»? Но, вне всяких сомнений, искусственные нейросети — стоящая вещь, и это очевидно благодаря их успеху во множестве областей применения: распознавание изображений, обработка естественных языков, автоматизированный трейдинг и автономные автомобили. Я специалист по обработке и анализу данных, но раньше не понимал их, поэтому чувствовал себя мастером, не освоившим свой инструмент. Но наконец я выполнил своё «домашнее задание» и написал эту статью, чтобы помочь другим преодолеть те же самые препятствия, которые встретились мне в процессе моего (всё ещё продолжающегося) обучения.

Код на R для примеров, представленных в этой статье, можно найти здесь в Библии задач машинного обучения. Кроме того, после прочтения этой статьи стоит изучить часть 2, Neural Networks – A Worked Example, в которой приведены подробности создания и программирования нейросети с нуля.

Мы начнём с мотивирующей задачи. У нас есть набор изображений в градациях серого, каждое из которых является сеткой пикселей 2×2, в которой каждый пиксель имеет значение яркости от 0 (белый) до 255 (чёрный). Наша цель — создать модель, которая будет находить изображения с паттерном «лестницы».

На этом этапе нас интересует только нахождение модели, которая сможет логично подбирать данные. Методология подбора нам будет интересна позже.

Предварительная обработка

В каждом изображении мы помечаем пиксели $inline$x_{1}$inline$, $inline$x_{2}$inline$, $inline$x_{3}$inline$, $inline$x_{4}$inline$ и генерируем входной вектор $inline$x=\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\end{bmatrix}$inline$, который будет являться входными данными нашей модели. Мы ожидаем, что наша модель будет прогнозировать True (изображение содержит паттерн лестницы) или False (изображение не содержит паттерна лестницы).

Однослойный перцептрон (итерация модели 0)

Мы можем построить простую модель, состоящую из однослойного перцептрона. Перцептрон использует взвешенную линейную комбинацию входных данных для возврата оценки прогноза. Если оценка прогноза превышает выбранный порог, то перцептрон прогнозирует True. В противном случае он прогнозирует False. Если более формально, то

$$display$$f(x)={\begin{cases} 1 &{\text{if }}\ w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + w_4x_4 > threshold\\ 0 & {\text{otherwise}} \end{cases}}$$display$$

Давайте выразим это иначе

$$display$$\widehat y = \mathbf w \cdot \mathbf x + b$$display$$

$$display$$f(x)={\begin{cases} 1 &{\text{if }}\ \widehat{y} > 0\\ 0 & {\text{otherwise}} \end{cases}}$$display$$

Здесь $inline$\hat{y}$inline$ — наша оценка прогноза.

Графически мы можем представить перцептрон как входные узлы, передающие данные выходному узлу.

Для нашего примера мы построим следующий перцептрон:

$$display$$\hat{y}=-0.0019x_{1}+0.0016x_{2}+0.0020x_{3}+0.0023x_{4}+0.0003$$display$$

Вот как будет работать перцептрон на некоторых из обучающих изображений.

Это определённо лучше случайных догадок и имеет здравый смысл. У всех паттернов лестниц есть в нижнем ряду тёмные пиксели, что создаёт большие положительные коэффициенты $inline$x_{3}$inline$ и $inline$x_{4}$inline$. Тем не менее, в этой модели есть очевидные проблемы.

1. Модель выдаёт на выходе действительное число, значение которого коррелирует с концепцией похожести (чем больше значение, тем выше вероятность того, что на изображении есть лестница), но нет никакой основы для интерпретации этих значений как вероятностей, потому что они могут находиться вне интервала [0, 1].
2. Модель не может ухватить нелинейные взаимосвязи между переменными и целевым значением. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующие гипотетические сценарии:

Случай A

Начнём с изображения x = [100, 0, 0, 125]. Увеличим $inline$x_{3}$inline$ с 0 до 60.

Случай B

Начнём с предыдущего изображения, x = [100, 0, 60, 125]. Увеличим $inline$x_{3}$inline$ с 60 до 120.

Интуитивно понятно, что случай A должен гораздо сильнее увеличить $inline$\hat{y}$inline$, чем случай B. Однако поскольку наша модель перцептрона является линейным уравнением, то прирост +60 $inline$x_{3}$inline$ в обоих случаях приведёт к приросту +0.12 $inline$\hat{y}$inline$.

У нашего линейного перцептрона есть и другие проблемы, но давайте сначала решим эти две.

Однослойный перцептрон с сигмоидной функцией активации (итерация модели 1)

Мы можем решить проблемы 1 и 2, обернув наш перцептрон в сигмоиду (с последующим выбором других весов). Стоит напомнить, что функция «сигмоида» — это S-образная кривая, ограниченная по вертикальной оси между 0 и 1, благодаря чему она часто используется для моделирования вероятности двоичного события.

$$display$$sigmoid(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$display$$

В соответствии с этой мыслью, мы можем дополнить нашу модель следующим изображением и уравнением.

$$display$$z = w \cdot x = w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + w_4x_4$$display$$

$$display$$\widehat y = sigmoid(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$display$$

Выглядит знакомо? Да, это наша старая подруга, логистическая регрессия. Однако она хорошо послужит нам для интерпретации модели как линейного перцептрона с сигмоидной функцией активации, потому что это даёт нам больше возможностей для более общего подхода. Кроме того, поскольку мы теперь можем интерпретировать $inline$\hat{y}$inline$ как вероятность, то нам нужно соответствующим образом изменить правило принятия решений.

$$display$$f(x)={\begin{cases} 1 &{\text{if }}\ \widehat{y} > 0.5\\ 0 & {\text{otherwise}} \end{cases}} $$display$$

Продолжим с нашим примером задачи и будем считать, что у нас получилась следующая подобранная модель:

$$display$$\begin{bmatrix} w_1 & w_2 & w_3 & w_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.140 & -0.145 & 0.121 & 0.092 \end{bmatrix}$$display$$

$$display$$b = -0.008$$display$$

$$display$$\widehat y = \frac{1}{1 + e^{-(-0.140x_1 -0.145x_2 + 0.121x_3 + 0.092x_4 -0.008)}}$$display$$

Понаблюдаем, как эта модель ведёт себя на тех же примерах изображений из предыдущего раздела.

Нам определённо удалось решить проблему 1. Посмотрите, как она решает и проблему 2.

Случай A

Начнём с изображения [100, 0, 0, 100]. Увеличим $inline$x_3$inline$» с 0 до 50.

Случай B

Начнём с изображения [100, 0, 50, 100]. Увеличим $inline$x_3$inline$» с 50 до 100.

Заметьте, как кривизна сигмоиды заставляет случай A «сработать» (быстро увеличиться) с увеличением $inline$z = w \cdot x$inline$, но темп замедляется при продолжении увеличения $inline$z$inline$. Это соответствует нашему интуитивному пониманию, что случай A должен отражать бОльшее увеличение вероятности паттерна лестницы, чем случай B.

К сожалению, эта модель по-прежнему имеет проблемы.

1. $inline$\widehat y$inline$ имеет монотонную связь с каждой переменной. А что если нам нужно распознавать лестницы более светлого оттенка?
2. Модель не учитывает взаимодействие переменных. Предположим, что нижний ряд изображения чёрный. Если верхний левый пиксель белый, то затемнение верхнего правого пикселя должно увеличить вероятность паттерна лестницы. Если верхний левый пиксель чёрный, то затенение верхнего правого пикселя должно снижать вероятность лестницы. Другими словами, увеличение $inline$x_3$inline$ должно потенциально приводить к увеличению или уменьшению $inline$\widehat y$inline$, в зависимости от значений других переменных. В нашей текущей модели этого никак не достичь.

Многослойный перцептрон с сигмоидной функцией активации (итерация модели 2)

Мы можем решить обе вышеуказанные проблемы, добавив в нашу модель перцептрона ещё один слой. Мы создадим несколько базовых моделей, похожих на представленные выше, но мы будем передавать выходные данные каждой базовой модели на вход другого перцептрона. Эта модель на самом деле является «ванильной» нейронной сетью. Давайте посмотрим, как она может работать в разных примерах.

Пример 1: распознавание паттерна лестницы

1. Построим модель, которая срабатывает при распознавании «левых лестниц», $inline$\widehat y_{left}$inline$
2. Построим модель, которая срабатывает при распознавании «правых лестниц», $inline$\widehat y_{right}$inline$
3. Добавим базовым моделям оценку, чтобы конечная сигмоида срабатывала только если оба значения ($inline$\widehat y_{left}$inline$, $inline$\widehat y_{right}$inline$) велики

Другой вариант

1. Построим модель, срабатывающую, когда нижний ряд тёмный, $inline$\widehat y_1$inline$
2. Построим модель, срабатывающую, когда верхний левый пиксель тёмный и верхний правый пиксель светлый, $inline$\widehat y_2$inline$
3. Построим модель, срабатывающую, когда верхний левый пиксель светлый и верхний правый пиксель тёмный, $inline$\widehat y_3$inline$
4. Добавим базовые модели так, что конечная сигмоидная функция срабатывала только когда $inline$\widehat y_1$inline$и $inline$\widehat y_2$inline$ велики, или когда $inline$\widehat y_1$inline$и $inline$\widehat y_3$inline$ велики. (Заметьте, что $inline$\widehat y_2$inline$ и $inline$\widehat y_3$inline$ не могут быть большими одновременно.)

Пример 2: распознать лестницы светлого оттенка

1. Построим модели, срабатывающие при «затенённом нижнем ряде», «затенённом x1 и белом x2», «затенённом x2 и белом x1», $inline$\widehat y_1$inline$, $inline$\widehat y_2$inline$ и $inline$\widehat y_3$inline$
2. Построим модели, срабатывающие при «тёмном нижнем ряде», «тёмном x1 и белом x2», «тёмном x2 и белом x», $inline$\widehat y_4$inline$, $inline$\widehat y_5$inline$ и $inline$\widehat y_6$inline$
3. Соединим модели таким образом, чтобы «тёмные» идентификаторы вычитались из «затенённых» идентификаторов перед сжиманием результата сигмоидой

Примечание о терминологии

Однослойный перцептрон имеет один выходной слой. То есть построенные нами модели будут называться двуслойными перцептронами, потому что у них есть выходной слой, являющийся входом другого выходного слоя. Однако мы можем называть те же самые модели нейронными сетями, и в этом случае сети имеют три слоя — входной слой, скрытый слой и выходной слой.

Альтернативные функции активации

В наших примерах мы использовали сигмоидную функцию активации. Однако можно применять и другие функции активации. Часто применяются tanh и relu. Функция активации должна быть нелинейной, в противном случае нейронная сеть упростится до аналогичного однослойного перцептрона.

Многоклассовая классификация

Мы с лёгкостью можем расширить нашу модель, чтобы она работала в многоклассовой классификации, с помощью использования нескольких узлов в конечном выходном слое. Идея здесь заключается в том, что каждый выходной узел соответствует одному из классов $inline$C$inline$, которые мы стремимся спрогнозировать. Вместо сужения выхода с помощью сигмоиды, которая отражает элемент из $inline$\mathbb{R}$inline$ в элемент из интервала [0, 1] мы можем использовать функцию softmax, которая отражает вектор в $inline$\mathbb{R}^n$inline$ в вектор в $inline$\mathbb{R}^n$inline$ таким образом, что сумма элементов получившегося вектора равна 1. Иными словами, мы можем создать такую сеть, которая даёт на выходе вектор [$inline$prob(class_1)$inline$, $inline$prob(class_2)$inline$, …, $inline$prob(class_C)$inline$].

Использование трёх и более слоёв (глубокое обучение)

Вы можете задаться вопросом — можно ли расширить нашу «ванильную» нейронную сеть так, чтобы её выходной слой передавался на четвёртый слой (а потом на пятый, шестой и т.д.)? Да. Обычно это называется «глубоким обучением». На практике оно может быть очень эффективным. Однако стоит заметить, что любую сеть, состоящую из более чем одного скрытого слоя, можно имитировать сетью с одним скрытым слоем. И в самом деле, согласно универсальной теореме аппроксимации любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с помощью нейронной сети с одним скрытым слоем. Причина частого выбора глубоких архитектур нейронных сетей вместо сетей с одним скрытым слоем заключается в том, что при процедуре подбора они обычно сходятся к решению быстрее.

Подбор модели под размеченные обучающие образцы (обратное распространение ошибки обучения)

Увы, но мы добрались и до процедуры подбора. До этого мы говорили о том, что нейросети могут работать эффективно, но не обсуждали то, как нейросеть подгоняется под размеченные обучающие образцы. Аналогом этого вопроса может быть такой: «Как можно выбрать наилучшие веса для сети на основании нескольких размеченных обучающих образцов?». Обычным ответом является градиентный спуск (хотя может подойти и ММП). Если продолжить работу над нашим примером задачи, то процедура градиентного спуска может выглядеть примерно так:

1. Начинаем с каких-то размеченных обучающих данных
2. Выберем для минимизации дифференцируемую функцию потерь, $inline$L(\mathbf{\widehat Y}, \mathbf{Y})$inline$
3. Выберем структуру сети. Особенно чётко нужно определить количество слоёв и узлов на каждом слое.
4. Инициализируем сеть со случайными весами
5. Пропускаем сквозь сеть обучающие данные, чтобы сгенерировать прогноз для каждого образца. Измерим общую погрешность согласно функции потерь, $inline$L(\mathbf{\widehat Y}, \mathbf{Y})$inline$. (Это называется прямым распространением.)
6. Определяем, насколько меняются текущие потери относительно небольших изменений каждого из весов. Другими словами, вычисляем градиент $inline$L$inline$ с учётом каждого веса в сети. (Это называется обратным распространением.)
7. Делаем небольшой «шаг» в направлении отрицательного градиента. Например, если $inline$w_{23} = 1.5$inline$, а $inline$\frac{\partial L}{\partial w_{23}} = 2.2$inline$, то уменьшение $inline$w_{23}$inline$ на небольшую величину должно привести к небольшому уменьшению текущих потерь. Поэтому мы изменяем $inline$w_3 := w_3 — 2.2 \times 0.001$inline$ (где 0.001 — заданный «размер шага»).
8. Повторяем этот процесс (с шага 5) фиксированное количество раз или пока потери не сойдутся

По крайней мере, такова основная идея. При реализации на практике возникает множество затруднений.

Затруднение 1 – вычислительная сложность

В процессе подбора среди прочего нам нужно вычислять градиент $inline$L$inline$ с учётом каждого веса. Это сложно, потому что $inline$L$inline$ зависит от каждого узла в выходном слое, и каждый из этих узлов зависит от каждого узла в слое перед ним, и так далее. Это значит, что вычисление $inline$\frac{\partial L}{\partial w_{ab}}$inline$ превращается в настоящий кошмар с формулами сложных производных. (Не забывайте, что многие нейронные сети в реальном мире содержат тысячи узлов в десятках слоёв.) Решить эту задачу можно, заметив, что при применении формулы сложной производной большинство $inline$\frac{\partial L}{\partial w_{ab}}$inline$ повторно использует одинаковые промежуточные производные. Если вы будете внимательно это отслеживать, то сможете избежать одних и тех же повторных вычислений тысячи раз.

Ещё одна хитрость заключается в использовании специальных функций активации, производные которых можно записать как функцию их значения. Например, производная $inline$sigmoid(x)$inline$ = $inline$sigmoid(x)(1 — sigmoid(x))$inline$. Это удобно, потому что во время прямого прохода при вычислении $inline$\widehat y$inline$ для каждого обучающего образца нам нужно вычислять $inline$sigmoid(\mathbf{x})$inline$ поэлементно для некоторого вектора $inline$\mathbf{x}$inline$. Во время обратного распространения мы можем повторно использовать эти значения для вычисления градиента $inline$L$inline$ с учётом весов, что позволит сэкономить время и память.

Третья хитрость заключается в разделении обучающих образцов на «минигруппы» и в изменении весов с учётом каждой группы, одной за другой. Например, если мы разделим обучающие данные на {batch2, batch3, batch4}, то первый проход по обучающим данным будет

1. Изменять веса на основе batch2
2. Изменять веса на основе batch3
3. Изменять веса на основе batch4

где градиент $inline$L$inline$ повторно вычисляется после каждого изменения.

Напоследок стоит упомянуть ещё одну технику — использование вместо центрального процессора видеопроцессора, потому что он лучше подходит для выполнения большого количества параллельных вычислений.

Затруднение 2 – у градиентного спуска могут возникать проблемы с поиском абсолютного минимума

Это проблема не столько нейросетей, сколько градиентного спуска. Существует вероятность, что во время градиентного спуска веса могут застрять в локальном минимуме. Также возможно, что веса «перепрыгнут» минимум. Один из способов справиться с этим — использовать различные размеры шагов. Ещё один способ — увеличить количество узлов и/или слоёв в сети. (Но стоит опасаться чрезмерно близкой подгонки). Кроме того, могут быть эффективными некоторые эвристические техники, например, использование момента.

Затруднение 3 – как выработать общий подход?

Как написать генетическую программу, которая сможет подбирать значения для любой нейросети с любым количеством узлов и слоёв? Правильный ответ — никак, нужно использовать Tensorflow. Но если вы хотите попробовать, то самой сложной частью будет вычисление градиента функции потерь. Хитрость здесь в том, чтобы определить, что градиент можно представить как рекурсивную функцию. Нейронная сеть с пятью слоями — это просто нейронная сеть с четырьмя слоями, передающая данные в какие-то перцептроны. Но нейросеть с четырьмя слоями — это просто нейросеть с тремя слоями, передающая данные в какие-то перцептроны и так далее. Более формально это называется автоматическим дифференцированием.

Математика для искусственных нейронных сетей для новичков, часть 1 — линейная регрессия

Оглавление

Часть 1 — линейная регрессия
Часть 2 — градиентный спуск
Часть 3 — градиентный спуск продолжение

Введение

Этим постом я начну цикл «Нейронные сети для новичков». Он посвящен искусственным нейронным сетям (внезапно). Целью цикла является объяснение данной математической модели. Часто после прочтения подобных статей у меня оставалось чувство недосказанности, недопонимания — НС по-прежнему оставались «черным ящиком» — в общих чертах известно, как они устроены, известно, что делают, известны входные и выходные данные. Но тем не менее полное, всестороннее понимание отсутствует. А современные библиотеки с очень приятными и удобными абстракциями только усиливают ощущение «черного ящика». Не могу сказать, что это однозначно плохо, но и разобраться в используемых инструментах тоже никогда не поздно. Поэтому моей первичной целью является подробное объяснение устройства нейронных сетей так, чтобы абсолютно ни у кого не осталось вопросов об их устройстве; так, чтобы НС не казались волшебством. Так как это не математический трактат, я ограничусь описанием нескольких методов простым языком (но не исключая формул, конечно же), предоставляя поясняющие иллюстрации и примеры.

Цикл рассчитан на базовый ВУЗовский математический уровень читающего. Код будет написан на Python3.5 с numpy 1.11. Список остальных вспомогательных библиотек будет в конце каждого поста. Абсолютно все будет написано с нуля. В качестве подопытного выбрана база MNIST — это черно-белые, центрированные изображения рукописных цифр размером 28*28 пикселей. По-умолчанию, 60000 изображений отмечены для обучения, а 10000 для тестирования. В примерах я не буду изменять распределения по-умолчанию.

Пример изображений из MNIST:

Я не буду заострять внимание на структуре MNIST и просто выложу код, который загрузит базу и сохранит в нужном формате. Этот формат в дальнейшем будет использован в примерах:

loader.py

import struct
import numpy as np
import requests
import gzip
import pickle

TRAIN_IMAGES_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/train-images-idx3-ubyte.gz"
TRAIN_LABELS_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/train-labels-idx1-ubyte.gz"

TEST_IMAGES_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/t10k-images-idx3-ubyte.gz"
TEST_LABELS_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/t10k-labels-idx1-ubyte.gz"


def downloader(url: str):
    response = requests.get(url, stream=True)
    if response.status_code != 200:
        print("Response for", url, "is", response.status_code)
        exit(1)
    print("Downloaded", int(response.headers.get('content-length', 0)), "bytes")
    decompressed = gzip.decompress(response.raw.read())
    return decompressed


def load_data(images_url: str, labels_url: str) -> (np.array, np.array):
    images_decompressed = downloader(images_url)

    # Big endian 4 числа типа unsigned int, каждый по 4 байта
    magic, size, rows, cols = struct.unpack(">IIII", images_decompressed[:16])
    if magic != 2051:
        print("Wrong magic for", images_url, "Probably file corrupted")
        exit(2)

    image_data = np.array(np.frombuffer(images_decompressed[16:], dtype=np.dtype((np.ubyte, (rows * cols,)))) / 255,
                          dtype=np.float32)

    labels_decompressed = downloader(labels_url)
    # Big endian 2 числа типа unsigned int, каждый по 4 байта
    magic, size = struct.unpack(">II", labels_decompressed[:8])
    if magic != 2049:
        print("Wrong magic for", labels_url, "Probably file corrupted")
        exit(2)

    labels = np.frombuffer(labels_decompressed[8:], dtype=np.ubyte)

    return image_data, labels


with open("test_images.pkl", "w+b") as output:
    pickle.dump(load_data(TEST_IMAGES_URL, TEST_LABELS_URL), output)

with open("train_images.pkl", "w+b") as output:
    pickle.dump(load_data(TRAIN_IMAGES_URL, TRAIN_LABELS_URL), output)

Линейная регрессия

Линейная регрессия — метод восстановления зависимости между двумя переменными. Линейная означает, что мы предполагаем, что переменные выражаются через уравнение вида: Эпсилон здесь — это ошибка модели. Также для наглядности и простоты будем иметь дело с одномерной моделью — многомерность не прибавляет сложности, но иллюстрации сделать не выйдет. На секунду забудем про MNIST и сгенерируем немного данных, вытянутых в линию. Также перепишем модель (гипотезу) регрессии следующим образом: . y с шапкой — это предсказанное моделью значение. 1 и 2 — неизвестные параметры — основная задача эти параметры отыскать, а x — свободная переменная, ее значения нам известны. Сформулируем задачу еще раз и немного другим языком — у нас есть набор экспериментальных данных в виде пар значений и нужно найти прямую линию, на которой эти значения располагаются, найти линию, которая бы наилучшим образом обобщала экспериментальные данные. Немного кода для генерации данных:generate_linear.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

TOTAL = 200
STEP = 0.25


def func(x):
    return 0.2 * x + 3


def generate_sample(total=TOTAL):
    x = 0
    while x < total * STEP:
        yield func(x) + np.random.uniform(-1, 1) * np.random.uniform(2, 8)
        x += STEP


X = np.arange(0, TOTAL * STEP, STEP)
Y = np.array([y for y in generate_sample(TOTAL)])
Y_real = np.array([func(x) for x in X])

plt.plot(X, Y, 'bo')
plt.plot(X, Y_real, 'g', linewidth=2.0)
plt.show()

В результате должно получиться что-то вроде этого — достаточно случайно для неподготовленного человеческого глаза:

Зеленая линия — это «база» — сверху и снизу от этой линии случайным образом распределены данные, распределение равномерное. Уравнение для зеленой линии:

Метод наименьших квадратов

Суть МНК заключается в том, чтобы отыскать такие параметры , чтобы предсказанное значение было наиболее близким к реальному. Графически это выражается как-то так:Код

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot([1, 2, 3, 4, 5], [4, 2, 9, 9, 5], 'bo')
plt.plot([1, 2, 3, 4, 5], [3, 5, 7, 9, 11], '-ro')
plt.show()

Наиболее близким — значит, что вектор должен иметь наименьшую возможную длину. Так как вектор не единственный, то постулируется, что сумма квадратов длин всех векторов должна стремится к минимуму, учитывая вектор параметров . На мой взгляд, довольно логичный метод, умозрительный. Тем не менее, существует математическое доказательство корректности этого метода Ремарка: под длиной будем понимать Евклидову метрику, хотя это необязательно. Ремарка 2: обратите внимание, что сумма квадратов. Опять-таки, никто не запретит попробовать минимизировать просто сумму длин. На этой картинке красные точки — предсказанное значение (), синие — полученные в результате эксперимента(y без шапки). — это как раз различие между ними, длина вектора.

Математически это выглядит так: — требуется найти такой вектор , при котором выражение достигает минимума. Функция f в этом выражении — это:

или

Я долго думал, стоит ли сразу переходить к векторизации кода и в итоге без нее статья слишком удлиняется. Поэтому введем новые обозначения:
— вектор, состоящий из значений зависимой переменной y —
— вектор параметров —

A — матрица из значений свободной переменной x. В данном случае первый столбец равен 1 (отсутствует x_0) — . В одномерном случае в матрице A только два столбца —

После новых обозначений уравнение линии переходит в матричное уравнение следующего вида: . В этом уравнении 2 неизвестных — предсказанные значения и параметры. Мы можем попробовать узнать параметры из такого же уравнения, но с известными значениями: Иначе можно представить как систему уравнений:

Казалось бы, что все известно — и вектор Y, и вектор X — остается только решить уравнение. Большая проблема заключается в том, что система может не иметь решений — иначе, у матрицы A может не существовать обратной матрицы. Простой пример системы без решения — любые три\четыре\n точки не на одной прямой\плоскости\гиперплоскости — это приводит к тому, что матрица А становится неквадратной, а значит по определению нет обратной матрицы .

Наглядный пример невозможности решения «простым способ» (каким-нибудь методом Гаусса решить систему):

Система выглядит так: — вряд ли выйдет отыскать решения для такой системы.

Как итог невозможно построить линию через эти три точки — можно лишь построить примерно верное решение.

Такое отступление — это объяснение того, зачем вообще понадобился МНК и его братья. Минимизации функции стоимости (функции потерь) и невозможность (ненужность, вредность) найти абсолютно точное решение — одни из самых базовых идей, что лежат в основе нейронных сетей. Но до них еще далеко, а пока вернемся к методу наименьших квадратов.

МНК говорит нам, что необходимо найти минимум суммы квадратов векторов вида: Сумму квадратов с учетом того, что все преобразовано в вектора\матрицы можно записать следующим образом: .

У меня не повернется язык назвать это тривиальным преобразованием, новичкам бывает довольно сложно уйти от простых переменных к векторам поэтому я распишу все это выражение полностью в «раскрытых» векторах. Опять-таки, чтобы ни одна строка не была непонятым «волшебством».

Для начала просто «раскроем» вектора в соответствии с их определением: .

Проверим размерность — для матрицы А она равна (n;p), а для вектора — (p;1), а для вектора — (n;1). В результате получим разницу двух векторов размерностью (n;1) —

Сверимся с определением — по определению выходит, что каждая строка правой матрицы равна . Запишем далее:

В итоге последняя строка и есть сумма квадратов длин, как нам и нужно. Каждый раз, конечно же, такие фокусы в уме проворачивать довольно долго, но к векторной нотации можно привыкнуть быстро. У этого есть и плюс для программиста — удобней работать и портировать код для GPU, где ехал вектор через вектор. Я как-то портировал генерацию шума Перлина на GPU и примерное понимание векторной нотации неплохо облегчило работу. Есть и минус — придется постоянно лезть в интернет, чтобы вспомнить тождества и правила линейной алгебры. После доказательства верности векторной нотации перейдем к дальнейшим преобразованиям:

Здесь использованы свойства транспонирования матриц — а именно транспонирование суммы и произведения. А также тот факт, что выражения и есть константа. Доказать можно взяв размерность матриц из их определения и посчитав размерность выражения после всех умножений:

Константу можно представить как симметричную матрицу, следовательно:

После преобразований и раскрытия скобок, приходит время решить-таки поставленную задачу — найти минимум данного выражения, учитывая . Минимум находится весьма буднично — приравнивая первый дифференциал по к нулю. По-хорошему, нужно сначала доказать, что этот минимум вообще существует, предлагаю доказательство опустить и подсмотреть его в литературе самостоятельно. Интуитивно и так понятно, что функция квадратичная — парабола, и минимум у нее есть.

Итак,

Часть называют псевдообратной матрицей.

Теперь в наличии все нужные формулы. Последовательность действий такая:

1) Сгенерировать набор экспериментальных данных.

2) Создать матрицу A.

3) Найти псевдообратную матрицу .

4) Найти

После этого задача будет решена — у нас в распоряжении будут параметры прямой линии, наилучшим образом обобщающей экспериментальные данные. Иначе, у нас окажутся параметры для прямой, наилучшим образом выражающей линейную зависимость одной переменной от другой — именно это и требовалось.

generate_linear.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

TOTAL = 200
STEP = 0.25


def func(x):
    return 0.2 * x + 3

def prediction(theta):
    return theta[0] + theta[1] * x


def generate_sample(total=TOTAL):
    x = 0
    while x < total * STEP:
        yield func(x) + np.random.uniform(-1, 1) * np.random.uniform(2, 8)
        x += STEP


X = np.arange(0, TOTAL * STEP, STEP)
Y = np.array([y for y in generate_sample(TOTAL)])
Y_real = np.array([func(x) for x in X])


A = np.empty((TOTAL, 2))
A[:, 0] = 1
A[:, 1] = X

theta = np.linalg.pinv(A).dot(Y)
print(theta)
Y_prediction = A.dot(theta)

error = np.abs(Y_real - Y_prediction)
print("Error sum:", sum(error))

plt.plot(X, Y, 'bo')
plt.plot(X, Y_real, 'g', linewidth=2.0)
plt.plot(X, Y_prediction, 'r', linewidth=2.0)
plt.show()

И результаты:

Красная линия была предсказана и почти совпадает с зеленой «базой». Параметры в моем запуске равны: [3.40470411, 0.19575733]. Попробовать предсказать значения не выйдет, потому что пока неизвестно распределение ошибок модели. Все, что можно сделать, так это проверить, правда ли для данного случая МНК будет подходящим и лучшим методом для обобщения. Условий три:

1) Мат ожидание ошибок равно нулю.

2) Дисперсия ошибок — постоянная величина.

3) Отсутствует корреляция ошибок в разных измерениях. Ковариация равна нулю.

Для этого я дополнил пример вычислением необходимых величин и провел измерения дважды:

generate_linear.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

TOTAL = 200
STEP = 0.25


def func(x):
    return 0.2 * x + 3


def prediction(theta):
    return theta[0] + theta[1] * x


def generate_sample(total=TOTAL):
    x = 0
    while x < total * STEP:
        yield func(x) + np.random.uniform(-1, 1) * np.random.uniform(2, 8)
        x += STEP


X = np.arange(0, TOTAL * STEP, STEP)
Y = np.array([y for y in generate_sample(TOTAL)])
Y_real = np.array([func(x) for x in X])


A = np.empty((TOTAL, 2))
A[:, 0] = 1
A[:, 1] = X

theta = np.linalg.pinv(A).dot(Y)
print(theta)
Y_prediction = A.dot(theta)

error = Y - Y_prediction
error_squared = error ** 2
M = sum(error) / len(error)
M_squared = M ** 2
D = sum([sq - M_squared for sq in error_squared]) / len(error)

print("M:", M)
print("D:", D)

plt.plot(X, Y, 'bo')
plt.plot(X, Y_real, 'g', linewidth=2.0)
plt.plot(X, Y_prediction, 'r', linewidth=2.0)
plt.show()

Неидеально, но все без обмана работает так, как и ожидалось.

Следующая часть.

Полный список библиотек для запуска примеров: numpy, matplotlib, requests.

Материалы, использованные в статье — https://github.com/m9psy/neural_nework_habr_guide

Разработка математической модели нейронной сети



В статье рассмотрены вопросы разработки математической модели нейронной сети.

Ключевые слова: модель, нейрон, математика, нейронные сети, основные модели нейронных сетей, нейрон

В последние большое внимание изучению и созданию нейронных сетей, используются в различных управления, аэронавтике, экономике. Прототипом для искусственного нейрона биологический нейрон, клетка головного Известно, что размер клетки в поперечнике микрон (мкм). У нервной клетки отростки, представляющие ветвящиеся структуры, дендритами, они простираются на тела клетки. нейронов имеют более длинный называемый аксоном, может иметь нескольких метров и разветвленным.

В 1943 американским ученым Маккалоком (W. McCulloch) и его учеником Питтсом (W. Pitts) была первая математическая нейрона (базового мозга). Также они основные положения деятельности головного

Ими было следующее:

1. разработана модель простейшего процессорного выполнявшего вычисление функции от скалярного вектора входных вектора весовых
2. предложена конструкция таких элементов для логических и арифметических
3. сделано основополагающее том, что такая способна обучаться, образы, обобщать информацию.

За последнее развитие теории сетей ушло вперед, но по-прежнему утверждения У. Маккаллока актуальными. В частности, при разнообразии моделей принцип их действия, У. Маккаллоком и У. Питтсом, неизменным. Недостатком У. Маккаллока является то, что эта использует пороговый вид функции нейрона, дает нейронной достаточную гибкость при настройке для решения задачи.

Дальнейшее развитие нейронных сетей работах американского Френсиса Розенблатта F.).

В 1958 Ф. Розенблат создал модель нейронной путем введения в У. Маккаллока и У. Питтса связей к модификации, что обучаемой. Такая модель получила название персептрон. [2]

Первоначально персептрон собой однослойную жесткой пороговой процессорного элемента и многозначными входами, в модель была усовершенствована.

В 1982 американский биофизик Хопфилд (J. Hopfield) свою модель сети. Сеть имеет обратные между слоями, что обобщающие свойства, сети нашли применение при распознавании дальнейшем, за несколько лет установлено множество алгоритмов и архитектур сетей, таких как обратного распространения, ассоциативная память, карты и др.

Формирование каждой сети предполагает объем вычислений сети обычно итерационным процессом). только с ростом мощности компьютеров возможность практического нейронных сетей, что мощный толчок к распространению программ, принципы нейросетевой данных.

Под внешним нейрон может создавая выходной который далее аксону. Обычно это воздействием импульсов, других нейронов возбуждающие синапсы. моментом прихода данному нейрону и сигнала на его выходе имеется синаптическая задержка (которая равна приблизительно 1 мс). образом, «вычислительные» мозга действуют сравнению с элементами машин, где скорости сигналов измеряются в

Высокая «вычислительная эффективность» мозга достигается не за больших скоростей операций на нейронном благодаря одновременному большого числа отличие от этого в машинах все операции последовательно.

В настоящее большое внимание моделированию и исследованию нейронных сетей, управления которыми работать в реальном обладать способностью к максимально полно поступающую извне иметь память о ситуациях, обладать беспрерывного суммирования и поступающей информации.

Представим проблему обучения искусственной сети достаточно топологии, описываемой дифференциальных уравнений с запаздыванием, которое вызвано временем передачи входного синапса к одного нейрона к решения этой используется аппарат теории оптимального позволяющий для различных определить оптимальные коэффициенты нейронной теория решения задач методами программирования.

На динамическое нейронной сети такие факторы, как данные, топология физические свойства элемента. В нашем выходные характеристики сети являются топологии сети и данных. При этом влияние запаздывания при сигнала от одного другому. Взаимодействие описывается весовыми , которые силу воздействия на нейрон: будь, то связь возбуждающая, тормозящая, нейтральная либо будет вообще отсутствовать.

Коэффициенты устанавливают и раскрывают организацию сети. Согласно [5] из организаций можно основных типа: тип, локальные дивергентные сети с входом.

Иерархическая организация систем, которые воспринимают и проводят информацию в мозг, а осуществляют исполнительскую этих сетях передается последовательно от уровня к другому. осуществляется конвергентно нейронов одного контактируют с одним другого уровня) и (нейрон одного образует связи с нейронами другого

Считается, что конвергенция и обеспечивают точность и предоставления информации.

Локальные сети нейронами с короткими нейроны этих действуют как фильтры, поток информации в определенного иерархического

Дивергентные сети с входом имеют своей отличительной чертой то, что один нейрон выходные связи с обширным числом элементов, оказывает множество нейронов и проводить связь со иерархическими уровнями.

В некоторых рассматривается модульный организации, строения мозга, нейроны разбиваются на динамически связанные собой.

Разработанный здесь накладывает незначительные топологию нейронной сети (и возможно дополнительных изменений для работы сети в непрерывном заданном интервале времени). [1]

Искусственный нейрон процессорный элемент) — основой любой нейронной сети (ИНС).

Рис. 1. Изображение искусственного нейрона в виде схемы

Нейроны выступают как относительно простые, элементы, имитирующие нейронов мозга. нейрон характеризуется текущим состоянием заторможен) по аналогии с клетками головного

Искусственно созданный нейрон, естественный прототип, группу синапсов которые соединены с других нейронов, а выходную данного нейрона — аксон, сигнал возбуждения или поступает на синапсы нейронов.

Искусственный нейрон состоит из двух взвешенного сумматора и преобразователя.

На вход некоторое множество каждый из которых выходом другого нейрона. вход умножается на вес, аналогичный силе, и все произведения определяя уровень [4]

Взвешенный сумматор суммирование по формуле:

где, n — номер нейрона; — номер слое; i, j, l — номер .

входные сигналы, всех входных нейрона, образующих

весовые коэффициенты, весовых коэффициентов, вектор весов.

— вес, пороговый уровень

Взвешенная входных сигналов:

где — вектор сигналов нейрона, вход с весом;

– вектор .

Нелинейный элемент выход сумматора по

,

Где функция которая подбирается решаемой задачи, реализации нейронной алгоритмом обучения.

Среди простых искусственных нейронов известен «Adaline», созданный которого функция — выход определяется

где, – весовые — входы

Рис. 2. Схематическое однослойной линейной нейронной сети

Простейшая однослойная , которая имеет в своем составе K нейроны типа «adaline» (Рис. 2) и носит название «madaline».

K- входы и выходы ИНС могут быть представлены в векторно-матричной форме

где — вектор — вектор входа, с инициализации, всех адалин, — матрица коэффициентов; — матрица, матрицы удалением столбца — вектора инициализирующих связей

В соответствии с , линейная многослойная типа «madaline»осуществляет

Литература:

1. Хайкин, С. Нейронные полный курс, 2-е испр.: Пер. с «И. Д. Вильямс», 1104 с.
2. Андреева Е. А. искусственной нейронной Применение функционального теории приближений. научн. тр. — Тверь: 1996. — С. 7–12.
3. Интеллектуальные процессы и их //Сб. под ред. Наука, 1987.
4. Кащенко С. А., В. В. Об одном уравнении, моделирующем активность нейрона — 1993. — Т. 5. — 13–25.
5. Майоров В. В., И. Ю. Математическое нейронов сети на уравнений с запаздыванием. — 1990. — Т. 2. — 64–76.

Основные термины (генерируются автоматически): нейрон, искусственный нейрон, нейронная сеть, сеть, вход, взвешенный сумматор, клетка головного, модель, процессорный элемент, связь.

Нейронная сеть с использованием TensorFlow: классификация изображений / Хабр

Привет, Хабр! Представляю вашему вниманию перевод статьи «Train your first neural network: basic classification».

Это руководство по обучению модели нейронной сети для классификации изображений одежды, таких как кроссовки и рубашки. Для создания нейронной сети используем python и библиотеку TensorFlow.

Установка TensorFlow

Для работы нам понадобятся следующие библиотеки:

1. numpy (в командной строке пишем: pip install numpy)
2. matplotlib (в командной строке пишем: pip install matplotlib)
3. keras (в командной строке пишем: pip install keras)
4. jupyter (в командной строке пишем: pip install jupyter)

С помощью pip: в командной строке пишем pip install tensorflow

Если у вас возникает ошибка, то можно скачать .whl файл и установить с помощью pip: pip install путь_к_файлу\название_файла.whl

Официальное руководство по установке TensorFlow (на англ.)

Запускаем Jupyter. Для запуска в командной строке пишем jupyter notebook.

Начало работы

#Подключаем библиотеки
import tensorflow as tf
from tensorflow import keras
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

В этом руководстве используется набор данных Fashion MNIST, который содержит 70 000 изображений в оттенках серого в 10 категориях. На изображениях показаны отдельные предметы одежды с низким разрешением (28 на 28 пикселей):

Мы будем использовать 60 000 изображений для обучения сети и 10 000 изображений, чтобы оценить, насколько точно сеть научилась классифицировать изображения. Вы можете получить доступ к Fashion MNIST непосредственно из TensorFlow, просто импортировав и загрузив данные:

fashion_mnist = keras.datasets.fashion_mnist
(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = fashion_mnist.load_data()

Загрузка набора данных возвращает четыре массива NumPy:

1. Массивы train_images и train_labels — это данные, которые использует модель для обучения
2. Массивы test_images и test_labels используются для тестирования модели

Изображения представляют собой NumPy массивы 28×28, значения пикселей которых находятся в диапазоне от 0 до 255. Метки (labels) представляют собой массив целых чисел от 0 до 9. Они соответствуют классу одежды:

Имена классов не включены в набор данных, поэтому прописываем сами:

class_names = ['T-shirt/top', 'Trouser', 'Pullover', 'Dress', 'Coat', 
               'Sandal', 'Shirt', 'Sneaker', 'Bag', 'Ankle boot']

Исследование данных

Рассмотрим формат набора данных перед обучением модели.

train_images.shape #В обучающем наборе имеется 60 000 изображений, каждое изображение представлено как 28 x 28 пикселей

test_images.shape #В тестовом наборе имеется 10 000 изображений, каждое изображение представлено как 28 x 28 пикселей

len(train_labels) #В учебном наборе 60 000 меток

len(test_labels) #В тестовом наборе 10 000 меток

train_labels #Каждая метка представляет собой целое число от 0 до 9 (Показывается первые 3 метки и последние 3 метки)

Предварительная обработка данных

Перед подготовкой модели данные должны быть предварительно обработаны. Если вы проверите первое изображение в тренировочном наборе, вы увидите, что значения пикселей находятся в диапазоне от 0 до 255:

plt.figure()
plt.imshow(train_images[0])
plt.colorbar()
plt.grid(False)

Мы масштабируем эти значения до диапазона от 0 до 1:

train_images = train_images / 255.0
test_images = test_images / 255.0

Отобразим первые 25 изображений из тренировочного набора и покажем имя класса под каждым изображением. Убедимся, что данные находятся в правильном формате.

plt.figure(figsize=(10,10))
for i in range(25):
    plt.subplot(5,5,i+1)
    plt.xticks([])
    plt.yticks([])
    plt.grid(False)
    plt.imshow(train_images[i], cmap=plt.cm.binary)
    plt.xlabel(class_names[train_labels[i]])

Построение модели

Построение нейронной сети требует настройки слоев модели.

Основным строительным блоком нейронной сети является слой. Большая часть глубокого обучения состоит в объединении простых слоев. Большинство слоев, таких как tf.keras.layers.Dense, имеют параметры, которые изучаются во время обучения.

model = keras.Sequential([
    keras.layers.Flatten(input_shape=(28, 28)),
    keras.layers.Dense(128, activation=tf.nn.relu),
    keras.layers.Dense(10, activation=tf.nn.softmax)
])

Первый слой в сети tf.keras.layers.Flatten преобразует формат изображений из 2d-массива (28 на 28 пикселей) в 1d-массив из 28 * 28 = 784 пикселей. У этого слоя нет параметров для изучения, он только переформатирует данные.

Следующие два слоя это tf.keras.layers.Dense. Это плотно связанные или полностью связанные нейронные слои. Первый слой Dense содержит 128 узлов (или нейронов). Второй (и последний) уровень — это слой с 10 узлами tf.nn.softmax, который возвращает массив из десяти вероятностных оценок, сумма которых равна 1. Каждый узел содержит оценку, которая указывает вероятность того, что текущее изображение принадлежит одному из 10 классов.

Скомпилирование модели

Прежде чем модель будет готова к обучению, ей потребуется еще несколько настроек. Они добавляются во время этапа компиляции модели:

• Loss function (функция потери) — измеряет насколько точная модель во время обучения
• Optimizer (оптимизатор) — это то, как модель обновляется на основе данных, которые она видит, и функции потери
• Metrics (метрики) — используется для контроля за этапами обучения и тестирования

model.compile(optimizer=tf.train.AdamOptimizer(), 
              loss='sparse_categorical_crossentropy',
              metrics=['accuracy'])

Обучение модели

Обучение модели нейронной сети требует следующих шагов:

1. Подача данных обучения модели (в этом примере — массивы train_images и train_labels)
2. Модель учится ассоциировать изображения и метки
3. Мы просим модель сделать прогнозы о тестовом наборе (в этом примере — массив test_images). Мы проверяем соответствие прогнозов меток из массива меток (в этом примере — массив test_labels)

Чтобы начать обучение, вызовите метод model.fit:

model.fit(train_images, train_labels, epochs=5)

При моделировании модели отображаются показатели потерь (loss) и точности (acc). Эта модель достигает точности около 0,88 (или 88%) по данным обучения.

Оценка точности

Сравним, как модель работает в тестовом наборе данных:

test_loss, test_acc = model.evaluate(test_images, test_labels)
print('Test accuracy:', test_acc)

Оказывается, точность в тестовом наборе данных немного меньше точности в тренировочном наборе. Этот разрыв между точностью обучения и точностью тестирования является примером переобучения. Переобучение — это когда модель машинного обучения хуже работает с новыми данными, чем с данными обучения.

Прогнозирование

Используем модель для прогнозирования некоторых изображений.

predictions = model.predict(test_images)

Здесь модель предсказала метку для каждого изображения в тестовом наборе. Давайте посмотрим на первое предсказание:

predictions[0]

Предсказание представляет собой массив из 10 чисел. Они описывают «уверенность» модели в том, что изображение соответствует каждому из 10 разных предметов одежды. Мы можем видеть, какая метка имеет наибольшее доверительное значение:

np.argmax(predictions[0]) #9

Таким образом, модель наиболее уверенна в том, что это изображение — Ankle boot (Ботильоны), или class_names [9]. И мы можем проверить тестовую метку, чтобы убедиться, что это правильно:

test_labels[0]  #9

Напишем функции для визуализации этих предсказаний

def plot_image(i, predictions_array, true_label, img):
  predictions_array, true_label, img = predictions_array[i], true_label[i], img[i]
  plt.grid(False)
  plt.xticks([])
  plt.yticks([])

  plt.imshow(img, cmap=plt.cm.binary)

  predicted_label = np.argmax(predictions_array)
  if predicted_label == true_label:
    color = 'blue'
  else:
    color = 'red'

  plt.xlabel("{} {:2.0f}% ({})".format(class_names[predicted_label],
                                100*np.max(predictions_array),
                                class_names[true_label]),
                                color=color)

def plot_value_array(i, predictions_array, true_label):
  predictions_array, true_label = predictions_array[i], true_label[i]
  plt.grid(False)
  plt.xticks([])
  plt.yticks([])
  thisplot = plt.bar(range(10), predictions_array, color="#777777")
  plt.ylim([0, 1]) 
  predicted_label = np.argmax(predictions_array)

  thisplot[predicted_label].set_color('red')
  thisplot[true_label].set_color('blue')

Давайте посмотрим на 0-е изображение, предсказания и массив предсказаний.

i = 0
plt.figure(figsize=(6,3))
plt.subplot(1,2,1)
plot_image(i, predictions, test_labels, test_images)
plt.subplot(1,2,2)
plot_value_array(i, predictions,  test_labels)

Построим несколько изображений с их прогнозами. Правильные метки прогноза — синие, а неправильные метки прогноза — красные. Обратите внимание, что это может быть неправильно, даже когда он очень уверен.

num_rows = 5
num_cols = 3
num_images = num_rows*num_cols
plt.figure(figsize=(2*2*num_cols, 2*num_rows))
for i in range(num_images):
  plt.subplot(num_rows, 2*num_cols, 2*i+1)
  plot_image(i, predictions, test_labels, test_images)
  plt.subplot(num_rows, 2*num_cols, 2*i+2)
  plot_value_array(i, predictions, test_labels)

Наконец, используем обученную модель, чтобы сделать предсказание об одном изображении.

# Возьмём изображение из тестового набора данных
img = test_images[0]

Модели tf.keras оптимизированы для того, чтобы делать прогнозы на пакеты (batch) или коллекции (collection). Поэтому, хотя мы используем одно изображение, нам нужно добавить его в список:

#Добавим изображение в пакет, где он является единственным членом
img = (np.expand_dims (img, 0))

Прогноз для изображения:

predictions_single = model.predict(img)
print(predictions_single)

plot_value_array(0, predictions_single, test_labels)
_ = plt.xticks(range(10), class_names, rotation=45)

np.argmax(predictions_single[0])

Как и прежде, модель предсказывает метку 9.

Если есть вопросы, пишите в комментариях или в личные сообщения.

Моделирование нелинейных динамических систем с долгосрочным прогнозированием с использованием нейронных сетей

Мы изучаем использование нейронных сетей прямого распространения (FNN) для разработки моделей нелинейных динамических систем на основе данных. Акцент делается на прогнозы на длительные периоды времени при ограниченной доступности данных. Вдохновленные анализом глобальной устойчивости и наблюдением сильной корреляции между локальной ошибкой и максимальным сингулярным значением якобиана ИНС, мы вводим якобианскую регуляризацию функции потерь.Эта регуляризация подавляет чувствительность прогноза к локальной ошибке и, как показано, улучшает точность и надежность. Сравнение предлагаемого подхода и разреженной полиномиальной регрессии представлено в численных примерах, начиная от простых систем ОДУ до нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, включая вихревой отрыв за цилиндром и управляемый неустойчивостью плавучий перемешивающий поток. Кроме того, подчеркиваются ограничения нейронных сетей с прямой связью, особенно когда обучающие данные не включают низкоразмерный аттрактор.Стратегии увеличения объема данных представлены как средства решения этих проблем в определенной степени.

1. Введение

Необходимость моделирования динамического поведения на основе данных широко распространена в науке и технике. Применения можно найти в различных областях, таких как системы управления [1], моделирование временных рядов [2] и описание эволюции когерентных структур [3]. Хотя моделирование динамических систем на основе данных можно в целом классифицировать как частный случай идентификации системы [4], важно отметить определенные отличительные качества: процесс обучения может выполняться в автономном режиме, физические системы могут иметь очень большие размеры, и цель может включать прогнозирование поведения в течение длительного времени на основе ограниченных обучающих данных.

Искусственные нейронные сети (ИНС) в последние годы привлекли к себе большое внимание в таких областях, как распознавание изображений в компьютерном зрении [5, 6] и в управляющих приложениях [7]. Успех ИНС обусловлен их способностью эффективно изучать низкоразмерные представления сложных данных и выстраивать отношения между функциями и выходными данными. Нейронные сети с одним скрытым слоем и нелинейной функцией активации гарантированно способны предсказать любую измеримую по Борелю функцию с любой степенью точности в компактной области [8].

Идея использования нейронных сетей для моделирования динамических систем изучается с 1990-х годов. ИНС широко распространены в сообществе системной идентификации и моделирования временных рядов [9–12], где отображение между входами и выходами представляет первостепенный интерес. Биллингс и др. [13] исследовали связи между нейронными сетями и моделью нелинейного авторегрессионного скользящего среднего (NARMAX) с внешними входными данными. Было показано, что нейронные сети с одним скрытым слоем и сигмоидной функцией активации представляют собой бесконечную серию, состоящую из полиномов входных и состояний.Эланаяр и Шин [14] предложили аппроксимацию нелинейных стохастических динамических систем с использованием радиальных базисных нейронных сетей с прямой связью. Ранняя работа с использованием нейронных сетей для прогнозирования многомерных временных рядов цен на сырьевые товары [15] продемонстрировала ее способность моделировать стохастические системы без знания основных управляющих уравнений. Цунг и Коттрелл [16] предложили изучать динамику в фазовом пространстве с помощью нейронной сети прямого распространения с координатами с временной задержкой.

Паез и Урбина [17–19] смоделировали нелинейный осциллятор упрочнения, используя модель на основе нейронной сети в сочетании с уменьшением размерности с использованием канонического вариационного анализа (CVA).Смауи [20–22] впервые применил нейронные сети для прогнозирования гидродинамических систем, таких как модель неустойчивого многообразия для поведения разрыва в двумерных уравнениях Навье-Стокса и Курамото-Сивашинского. Размерность исходной системы УЧП уменьшается за счет учета небольшого числа коэффициентов правильного ортогонального разложения (POD) [23]. Интересно, что аналогичные идеи использования анализа главных компонентов для уменьшения размерности можно проследить до работы в когнитивной науке Элмана [24].Эльман также показал, что знание внутренних размеров системы может быть очень полезным при определении структуры нейронной сети. Однако в большинстве результатов [20–22] модель нейронной сети оценивается только на нескольких временных шагах от обучающего набора, что может не быть строгим тестом производительности, если более длительные прогнозы представляют интерес.

ИНС также применяются к хаотическим нелинейным системам, которые являются сложными с точки зрения моделирования на основе данных, особенно если требуются долгосрочные прогнозы.Вместо того, чтобы минимизировать ошибку точечного предсказания, Баккер и др. [25] удовлетворяли критерию Дикса при изучении хаотического аттрактора. Позже Lin et al. [26] продемонстрировали, что даже простейшая нейронная сеть с прямой связью для нелинейной хаотической гидродинамики может показать согласованность усредненных по времени характеристик, спектров мощности и показателя Ляпунова между измерениями и моделью.

Основная трудность при моделировании динамических систем — проблема памяти. Известно, что даже для марковской системы соответствующая система приведенной размерности может быть немарковской [27, 28].В общем, существует два основных способа введения эффектов памяти в нейронных сетях. Во-первых, простой обходной путь для нейронных сетей с прямой связью (FNN) состоит во введении во входные данные состояний с временной задержкой [11]. Однако недостатком является то, что это потенциально может привести к излишне большому количеству параметров [29]. Чтобы смягчить это, Баккер [25] рассмотрел вслед за Брумхедом и Кингом [30] уменьшение размерности вектора задержки с помощью взвешенного анализа главных компонент (PCA). Второй подход использует выходные или скрытые единицы в качестве дополнительной обратной связи.Например, сеть Элмана [29] представляет собой рекуррентную нейронную сеть (RNN), которая динамически включает память.

Miyoshi et al. [31] продемонстрировали, что повторяющиеся RBF-сети обладают способностью восстанавливать простую хаотическую динамику. Сато и Нагая [32] показали, что эволюционные алгоритмы могут быть использованы для обучения рекуррентных нейронных сетей захвату системы Лоренца. Bailer-Jones et al. [33] использовали стандартную RNN для предсказания производной по времени в дискретной или непрерывной форме для простых динамических систем; это можно считать расширением RNN к изучению фазового пространства Цунга [16].Wang et al. [34] предложили структуру, сочетающую POD для уменьшения размерности и рекуррентные нейронные сети с долговременной краткосрочной памятью (LSTM), и применили ее к гидродинамической системе.

Мы ограничиваемся нейронными сетями прямого распространения, поскольку остается еще много безответных вопросов о моделировании динамических систем даже в этой простейшей форме. Известно, что FNN с временной задержкой очень похожи на простые RNN, обученные с помощью принуждения учителя [35]. Кроме того, RNN непросто обучить, поскольку стандартные алгоритмы обучения (например,g., обратное распространение во времени [36]), вероятно, приведет к более сильному переобучению, чем FNN, из-за исчезающих градиентов [35]. В последнее время разреженная регрессия (SINDy) [3, 4] приобрела популярность как инструмент моделирования, управляемого данными. Идея состоит в том, чтобы найти разреженное представление линейной комбинации функций, выбранных из библиотеки. В этой работе мы сравним его с моделями на основе FNN и выделим некоторые отличия.

Работа организована следующим образом: описание проблемы представлено в разделе 2, а математическая формулировка стандартных и якобиан-регуляризованных FNN представлена ​​в разделе 3.Результаты и обсуждение представлены в разделе 4. Сначала мы представим сравнение с SINDy для простых динамических систем. Затем мы подчеркиваем важность стабилизации для управления глобальной ошибкой прогнозируемой траектории и влияние якобианской регуляризации. Наконец, мы применяем модель в нелинейной системе уравнений в частных производных, где низкоразмерный аттрактор не реализован, и обсуждаем ограничения моделирования динамической системы черным ящиком и предлагаем увеличение данных в качестве решения. Выводы сделаны в разделе 5.

2. Описание задачи

Рассмотрим динамическую систему в евклидовом пространстве, которая описывается непрерывно дифференцируемой функцией, где. Состояние удовлетворяет соотношению композиции для и является функцией тождества. — карта потока, описываемого векторной функцией как

Аналогично, можно определить дискретную динамическую систему, индуцированную вышеуказанной гладкой динамической системой, рассматривая постоянный временной шаг и карту перехода состояний, такую ​​что

Аналогично, можно переписать указанную выше систему как
где напоминает решение первого порядка [33] к.

Наша цель — найти приближение к динамике, либо (i) в дискретном смысле, учитывая данные, равномерно отобранные из траектории с заданным начальным условием, либо (ii) в непрерывном смысле, учитывая данные, где N — количество точек данных. Следует отметить, что — как выделено в разделе результатов — данные необязательно собирать по одной и той же траектории.

В зависимости от способа определения обучающей и тестовой выборок в данной работе рассматриваются два типа задач.(1) Прогнозирование определенной траектории, начиная с начального условия, которое отличается от тренировочных траекторий (2) Прогнозирование будущей траектории с учетом прошлой информации о траектории в виде тренировочных данных

Консервативно говоря, успех решения первой из Вышеупомянутые проблемы требуют, чтобы траектории в обучающих данных были репрезентативными для распределения в интересующей области, что может быть или не выполнимо в зависимости от того, насколько информативны данные.В контексте моделирования динамических систем в предыдущей литературе [22] часто подразумевается, что начальное состояние невидимых данных тестирования находится недалеко от данных обучения. Вторая проблема также может быть сложной, поскольку она поставит под сомнение эффективность модели, поскольку прошлой информации может быть недостаточно для того, чтобы модель могла быть предсказательной на невидимых данных. Опять же, в предыдущих работах [20, 34, 37] часто подразумевается, что успешные предсказания часто сопровождаются лежащим в основе низкоразмерным аттрактором, поэтому прошлые состояния как обучающие данные могут быть собраны до тех пор, пока они не станут репрезентативными для будущего.

3. Структура математического моделирования

В этом разделе мы сначала определяем показатели производительности приближения к динамике f ; затем введите стандартную модель FNN и модель FNN, регуляризованную по Якоби. Наконец, описаны методы снижения переобучения.

3.1. Определения показателей ошибок

Чтобы измерить ошибку предсказания для каждой выборки в априорном смысле (т. Е. С учетом точности), мы определяем вектор локальной ошибки для -й выборки как
где i -я цель, которую нужно изучить на основе i -й функции.Например, признак — это вектор состояния на шаге i , а целью может быть дискретная динамическая система или непрерывная динамическая система.

Тогда мы можем определить локальную ошибку в i -й выборке следующим образом:
где — векторная 2-норма, т. е. норма, — модуль.

Мы можем дополнительно определить локальную ошибку i -го образца для j -го компонента, как показано

.

Страница не найдена · GitHub Pages

Страница не найдена · GitHub Pages

Файл не найден

Сайт, настроенный по этому адресу, не
содержать запрошенный файл.

Если это ваш сайт, убедитесь, что регистр имени файла соответствует URL-адресу.
Для корневых URL (например, http://example.com/ ) вы должны предоставить
index.html файл.

Прочтите полную документацию
для получения дополнительной информации об использовании GitHub Pages .

.