Обратная и транспонированная матрица: Транспонирование матриц. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством)

Транспонирование матриц. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством)

Транспонирование матриц. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством)

Транспонированная матрица получается из исходной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером.

Квадратная матрица называется обратной к данной квадратной матрице, если их произведение равно единичной матрице.

Вырожденной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю.

Теорема:

Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

4) Ранг матрицы. Элементарные преобразования, не меняющие ранг матрицы (с доказательством).

1) Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, лежащих на пересечении каких-либо её k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы A.

2) Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Минор, имеющий порядок r, называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называется соответственно базисными строками и столбцами.

Т.е. ранг матрицы не изменится если в матрице следующие преобразования:

5) Системы линейных уравнений: основные понятия, теорема Кроннекера-Капелли.

Система уравнений – множество уравнений с n<=2 неизвестными, для которых требуется найти значения, удовлетворяющие всем ур-м системы.

Совокупность чисел a1, a2 …an называется решением системы, если она обращает все ур-я системы в тождества.

Если система имеет решения, то её называют совместной, иначе – несовместная. Если совместная система имеет одно решение – определённая, если >1, то неопределённая.

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу основной матрицы. При этом если они равны числу неизвестных, то система определённая. Если <числа неизвестных, то система неопределённая.

Решение систем линейных уравнений: матричный метод, формулы Крамера (с выводом).

Матричный метод.

Вывод: Матрица-столбец X неизвестных равна произведению обратной матрицы системы на столбец свободных членов.

Формулы Крамера.

Последовательно заменяются столбцы системы столбцом свободных членов. Определители = значения неизвестных, соответственно заменённым столбцам.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод – последовательное исключение неизвестных путём элементарных преобразований матрицы.

Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Однородная система – если свободные члены в системе равны нулю. ( => всегда совместна )

Чтобы система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы а) ранг её основной матрицы был меньше количества неизвестных, б) определитель = 0.

Множество решений, полученных при решении методом Гаусса – фундаментальная система решений.

9) Векторы: Основные определения, линейные операции над векторами, проекция вектора на ось.

Вектор – направленный отрезок.

Модуль вектора – его длина (| расстояние между его началом и концом |).

Нулевой вектор – начало и конец совпадают.

Единичный вектор – длина равна единице.

Векторы коллинеарные, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора, если на одной или на параллельных плоскостях.

Операции:

Сумма векторов – вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что второй вектор отложен из конца первого.

Разность двух векторов – такой вектор, который при сложении с меньшим равен большему.

Произведение вектора на число

Проекция вектора на ось – число, равное произведению длины вектора и угла между осью и этим вектором.

Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Действия над векторами, заданными своими координатами. Деление отрезка в данном отношении.

Декартовы прямоугольные координаты вектора – его проекции на координатные оси.

Действия над векторами:

Сумма векторов – сумма соответствующих координат.

Разность – разность соответствующих координат.

Произведение вектора на число – произведение координат на число.

Деление отрезка в данном отношении:

Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение прямой; исследование общего уравнения прямой; взаимное расположение прямых, заданных общими уравнениями.

Уравнение:

Даны точка и вектор ,

Т.к вектор и прямая перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, т.е, в координатной форме: Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Общее уравнение прямой —

Исследование прямой:
При A=0, прямая будет параллельна оси Ox;

При B=0, прямая будет параллельна оси Oy;

При C=0, прямая будет проходить через начало координат;

При A=C=0, при B не= 0, прямая совпадает с осью Ox; при B=C=0, А не= 0, с осью Oy.

Взаимное расположение двух прямых:

Параллельны и совпадают, если A/A1 = B/B1 = C/C1,

Параллельны и не совпадают, если A/A1 = B/B1 не= C/C1,

Пересекаются, если A/A1 не= B/B1.

Прямая на плоскости: векторное уравнение прямой; параметрические уравнения прямой; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; взаимное расположение двух прямых, заданных каноническими уравнениями.

r = r0 + st — векторное уравнение прямой.

S (m, n) – направляющий вектор, M0(r0)точка на прямой М0(x0, y0).

Параметрическое уравнение:

{х = х0 + mt

{y= y0 + nt

Выразим t:

x – x0 / m = t и y – y0 / n = t, т.е,

x – x0 / m = y – y0 / n = t – каноническое ур-е прямой.

Уравнение прямой, через две точки.

Условие параллельности — равное соотношение соответствующих величин.

Перпендикулярности – скалярное произведение направляющих векторов = 0.

Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении; уравнение прямой с угловым коэффициентом; взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом; расстояние от точки до прямой.

По направлению:

С угловым коэффициентом:

Число называется угловым коэффициентом прямой.

y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

b – отрезок, отсекаемы на оси Oy.

Прямые:

Расстояние от точки до прямой:

25) Кривые второго порядка. Эллипс: основные определения; вывод канонического уравнения.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний до которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами – постоянная величина.

отношение фокального расстояния к длине большой оси (эксцентриситет).

Директрисы: (две прямые, перпендикулярные оси Ox, на расстоянии от центра)

26) Кривые второго порядка. Гипербола: основные определения; вывод канонического уравнения.

Гипербола – множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами – постоянная величина.

отношение фокального расстояния к длине действительной(фокальной) оси (эксцентриситет).

Директрисы:

Ось, сопряженная с гиперболой:

27) Кривые второго порядка. Парабола: основные определения; вывод канонического уравнения.

Парабола – множество всех точек плоскости, равноудалённых от точки-фокуса и данной прямой, называемой директрисой.

Директриса:

Транспонирование матриц. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством)

Транспонированная матрица получается из исходной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером.

Квадратная матрица называется обратной к данной квадратной матрице, если их произведение равно единичной матрице.

Вырожденной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю.

Теорема:

Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

4) Ранг матрицы. Элементарные преобразования, не меняющие ранг матрицы (с доказательством).

1) Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, лежащих на пересечении каких-либо её k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы A.

2) Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Минор, имеющий порядок r, называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называется соответственно базисными строками и столбцами.

Т.е. ранг матрицы не изменится если в матрице следующие преобразования:

5) Системы линейных уравнений: основные понятия, теорема Кроннекера-Капелли.

Система уравнений – множество уравнений с n<=2 неизвестными, для которых требуется найти значения, удовлетворяющие всем ур-м системы.

Совокупность чисел a1, a2 …an называется решением системы, если она обращает все ур-я системы в тождества.

Если система имеет решения, то её называют совместной, иначе – несовместная. Если совместная система имеет одно решение – определённая, если >1, то неопределённая.

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу основной матрицы. При этом если они равны числу неизвестных, то система определённая. Если <числа неизвестных, то система неопределённая.



Свойства транспонированных матриц — Студопедия

1. Если E – единичная матрица, то E=E^T.

2. Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (A^T)^T = A.

3. Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц (A+B)^T = A^T+B^T.

4. Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц: (AⅹB)^T = A^TⅹBT.

5. Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице: (A^-1)^T = (A^T)^-1.

6. Если транспонированная матрица A^T совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметричной.

1.3. Обратная матрица

Матрица называется обратной к данной матрице A, если их произведение равно единичной матрице:

.

Вырожденной квадратной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю.

Матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной.

Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Для вычисления обратной матрицы к матрице А составим матрицу А* (присоединенную) из алгебраических дополнений матрицы А:

.

Матрицу транспонируем и каждый элемент разделим на определитель |A|. Нетрудно показать, что построенная таким образом матрица будет обратной к матрице А [6]:

.

F Пример 1.4. Дана матрица А. найти обратную матрицу при помощи MS Excel.

.

@ Решение

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:D3. Для нахождения обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы, пусть в нашем случае это будут ячейки G1:E3. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР(), предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 1.9), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций.

В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 1.10). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица – в нашем случае B1:D3. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Рис. 1.9. Мастер функций – шаг 1

Рис. 1.10. Мастер функций – шаг 2

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного диапазона под обратную матрицу появится некое число. Чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид, изображенный на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Пример вычисления обратной матрицы

Для того чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, необходимо умножить матрицу Aна А^обр и получить в результате единичную матрицу. В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид, изображенный на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Проверка правильности решения.

1.4. Сложение матриц

Суммой матриц A = (a_ij) и B(b_ij) одной и той же размерности (mⅹn) называется матрица того же размера C = (c_ij), каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B:

C = A+B = (c_ij), где (c_ij) = (a_ij) + (b_ij), i = 1,…,m; j = 1,…,n,(1.3)

Матрицы разных размерностей складывать нельзя [6].

F Пример 1.5. Сложить матрицы А и В при помощи MS Excel.

.

@ Решение

Введем исходные данные на рабочий лист. Для сложения матриц А и B выделим диапазон E4:F5 и введем формулу =B1:C2+F1:G2(рис. 1.13). Вычитание матриц выполняется аналогично. Для получения результата в обоих случаях необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 1.13. Пример сложения матриц

Свойства сложения матриц:

A+B = B+A.

(A+B) + C = A + (B+C).

Если О – нулевая матрица размера mⅹn, то A+O = A; A+(-A) = O.

Матрица С = А+(-В) называется разностью матриц А и В и записывается в виде С = А-В [7].

Мы видим, что квадратные матрицы порядка n можно складывать, вычитать и перемножать.

1.5. Вычисление определителей

Пусть A = (a_ij) (i, j = 1, …, n) – квадратная матрица порядка n. Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Простейший пример использования детерминанта – выяснение возможности обращения матрицы исходя из значения ее детерминанта. Если детерминант матрицы равен нулю, обратить ее невозможно.

Операция вычисления детерминанта определена только для квадратных матриц. Определители являются основными числовыми характеристиками квадратных матриц [7].

Определителем (детерминантом) матрицы A=(a₁₁), состоящей из одного числа a₁₁, называется само это число.

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

.

Рассмотрим матрицу третьего порядка:

.

Определителем матрицы A третьего порядка называется число

.

Данная формула называется формулой разложения определителя
3-го порядка по элементам первой строки [6].

Для вычисления детерминанта матрицы в Excel используется функция массива МОПРЕД().

F Пример 1.6. Вычислить определители заданных матриц:

1.6.1. .

Решение :

.

1.6.2. .

Решение:

.

1.6.3. .

Решение:

.

@ Решение

Решим примеры при помощи пакета MS Excel. Матрица А находится в ячейках B1:C2. Для нахождения определителя матрицы необходимо перейти в свободную ячейку и обратиться к Мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД(), предназначенную для вычисления определителя матрицы (рис. 1.14), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций.

В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 1.15) Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица, в нашем случае B1:С2.

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В ячейке, выделенной под определитель матрицы, появится решение для первого примера, что соответствует представленному решению примера 1.6.1 (рис. 1.16).

Рис. 1.15. Мастер функций – шаг 2

Рис. 1.16. Вычисления определителя для примера 1.6.1

Аналогично проводим вычисления для примеров 1.6.2 и 1.6.3 (рис. 1.17 и 1.18). Применяя пакет MS Excel, сделаем проверку уже решенным примерам.

1.6.2.

Рис.1.17. Вычисления определителя для примера 1.6.2

1.6.3.

Рис. 1.18. Вычисления определителя для примера 1.6.3

Определитель n-го порядка.

Определителем квадратной матрицы порядка n называется число:

.

Свойства определителей.

ВАРИАНТЫ

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

Вариант № 7

Вариант № 8

Вариант № 9

Вариант № 10

Вариант № 11

Вариант № 12

Вариант № 13

Вариант № 14

Вариант № 15

Вариант № 16

Вариант № 17

Вариант № 18

Вариант № 19

Вариант № 20

Вариант № 21

Вариант № 22

Вариант № 23

Вариант № 24

Вариант № 25

Вариант № 26

Вариант № 27

Вариант № 28

Вариант № 29

Транспонированная матрица

Если
в матрице
строки
и столбцы поменять местами, то получим
транспонированную матрицу.

Свойства:

1. дважды
   транспонированная матрица равна
   исходной

А^{‌ ‌}= (А^‌
)^‌= А;

2. (А+В)^‌
   =А^‌+ В^‌;

3. (АВ)^‌
   =В^‌А^‌, т.е. (АВ)^‌ ≠
   А^‌В^‌;

4. Если
   А^‌=А, то матрица А^‌—
   симметричная

(а_ij=a_ji)

Обратная матрица

Обратной
матрицей по отношению к данной квадратной,
называется матрица, которая, будучи
умноженной как справа, так и слева на
данную матрицу, дает единичную матрицу.
Обозначим для матрица А обратную ей
матрицу через А^-1.

АА^-1=А^-1А=Е.

Нахождение
обратной матрицы для данной называется
обращением данной матрицы.

Квадратная
матрица называется неособенной, если
ее определитель не равен нулю, в противном
случае матрица называется особенной
или сингулярной. Обратная матрица имеет
только у неособенной матрицы.

Пусть
имеем матричное равенство

АС=В.

Умножим
правую и левую часть равенства на
обратную матрицу А^-1

А^-1АС=
А^-1В.

Поскольку
известно, что А^-1А=Е, то

ЕС=
А^-1В.

И
поскольку известно, что ЕС=С, то

С=
А^-1В.

То
есть, мы равенство АС=В преобразовали
в равенство С= А^-1В, выразив матрицу
С.

Если
бы у нас были простые алгебраические
числа а, bи с, то аналогичные
преобразования были бы следующие:.

Сравнив
преобразования для алгебраических
чисел и матриц видим, что обращение
матрицы соответствует действию деления.
Поэтому понятна необходимость в обратной
матрице, в ее вычислениях.

Алгоритм получения обратной матрицы

1. Вычисление
   det A;

2. Транспонирование
   матрицы
   ;

3. Определение
   алгебраических дополнений А_ji,j=1,N;i=1,N;

4. Составление
   союзной матрицы
   ;

5. Вычисление
   обратной матрицы

;

6. Проверка
   А^-1А=Е.

Существуют
другие, более удобные способы вычисления
обратной матрицы, например, методом
Жордана – Гаусса, с которым познакомимся
позднее.

Классический
метод получения обратной матрицы

Пусть
данная матрица:

.

Транспортируем
ее
.

Найдем для каждого
элемента а_jiтранспортированной матрицыА^Талгебраические дополненияА_ji.

Теперь составим
для матрицы А так называемую присоединенную
(или союзную) матрицу

.

Обратная матрица
будет равна

.

Например: найти
обратную матрицу для матрицы третьего
порядка.

.

Основные
свойства обратной матрицы

1. Учитывая,
   что det(AB)=detA∙
   detB,можем
   записатьdetA^-1
   detA=detE=1.

Отсюда

.

Определитель
обратной матрицы равен обратной величине
определителя исходной матрицы.

2.
(АВ)^-1=В^-1А^-1

3.
(А^-1)=(A¹)^-1.

Тема
2.1. Теория графов в электроэнергетике

Некоторые
сведения об электрических системах

Следует иметь в
виду, что предлагаемая дисциплина
читается до изучения основных курсов
по специальности 140204 (100100). Поэтому для
того, чтобы приблизить излагаемый
материал не только по содержанию, но и
по форме к будущим специальным курсам,
вспомним некоторые понятия, уже знакомые
по курсу “Введение в специальность”.

Рис.1. Принципиальная
схема энергосистемы

Энергетическая
системаначинается с топлива и воды
и кончается потребителем (рис.1).

Электрическая
системаначинается с генератора и
кончается потребителем, т.е. электрическая
система – это электрическая часть
энергетической системы, состоящая из
совокупности элементов, вырабатывающих,
преобразующих, передающих, распределяющих
и потребляющих электроэнергию.

Электрическая
сетьначинается с повышающего
трансформатора и кончается потребителем.

Работа электрической
системы прежде всего характеризуется
значениями мощностей в МВт (и энергии
в МВт.час), вырабатываемых, преобразуемых,
передаваемых и потребляемых всеми ее
элементами.

Режим системы– это ее состояние в любой момент
времени, которое характеризуется
совокупностью параметров.

Параметры режима– это напряжение в различных точках
системы, токи в ее элементах, углы
расхождения векторов ЭДС и напряжений,
активные и реактивные мощности
генераторов, потоки активной и реактивной
мощности в линиях и трансформаторах,
потери мощности, энергии и напряжения
в элементах системы и т.д.

При анализе
различают два основных вида режимов
электросистем:

1. установившийся
   режим (нормальный или послеаварийный)
   ;

2. переходный режим
   (нормальный или аварийный ).

Установившиеся
режимы в электрической системе описываются
законами Ома и Кирхгофа или вытекающими
из них уравнениями узловых напряжений
и контурных токов. Математический анализ
установившихся режимов работы
электрических систем сводится к
составлению и решению систем линейных
и нелинейных уравнений. Переходные
процессы электрических систем описываются
системами дифференциальных уравнений.
Наиболее широко применяемые при анализе
режимов электрических систем методы
решения линейных, нелинейных и
дифференциальных уравнений будут
изложены во втором разделе данного
курса.

Электрической
схемой системыназывается графическое
изображение последовательности
соединения ее элементов между собой.
Элементы электрической системы обладают
активными и реактивными (индуктивными
или емкостными) сопротивлениями, активной
и реактивной (индуктивной или емкостной)
проводимостями. Если заменить в
электрической схеме элементы системы
их сопротивлениями и проводимостями,
то получим схему замещения электрической
системы. Расчеты и анализ режимов
электрической системы производятся на
основе ее схемы замещения. Каждый элемент
системы имеет свою схему замещения. ЛЭП
110 — 220 кВ обычно представляются П
-образной схемой замещения, а двухобмоточный
трансформатор – Г-образной. на рис.1 и
2 приведены соответственно электрическая
схема сети и ее схема замещения.

Рис.2. Электрическая
схема сети

Рис.3. Схема замещения

Перед тем, как
начать рассчитывать режим работы
электрической системы (т.е. определять
параметры режима) составляют схему
замещения электрической системы (или
сети) и вычисляют все параметры схемы
замещения – сопротивления и проводимости.
Электрическая схема сети и ее схема
замещения, представленные на рис.1 и 2,
очень малы, и рассчитать режимы для
такой схемы можно “вручную”. Однако
реальные электрические системы достигают
больших размеров, их схемы замещения
очень сложны и без использования
современных ЭВМ выполнить анализ режимов
электрических систем невозможно.
Использование же ЭВМ для указанной цели
основано на применении матричной алгебры
и теории графов.

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Нахождение обратной матрицы — процесс, который состоит из достаточно простых действий. Но эти
действия повторяются так часто, что процесс получается довольно продолжительным. Главное — не потерять внимание при решении.

При решении наиболее распространённым методом — алгебраических дополнений — потребуется:

При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория
об обратной матрице.

Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным
числом. Для каждого числа a, не равного нулю, существует такое число b, что произведение
a и b равно единице: ab = 1. Число
b называется обратным для числа b. Например, для числа 7 обратным является число 1/7,
так как 7*1/7=1.

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
.                (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные
элементы равны единице.

Нахождение обратной матрицы — задача, которая чаще решается двумя методами:

• методом алгебраических дополнений, при котором, как было замечено в начале урока, требуется находить определители, миноры и алгебраические дополнения
  и транспонировать матрицы;
• методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц
  (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных
преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы
этими методами.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно,
обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой
может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

На сайте есть онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы. Вы можете открыть
его в новом окне уже сейчас, если держите перед собой ваши собственные задания. А мы разберём несколько
разминочных.

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

,  (2)

где —
определитель матрицы А, а

— матрица, союзная с матрицей А.

Разберём ключевые понятия, которые потребуются для решения задач — союзная матрица, алгебраические дополнения и транспонированная матрица.

Пусть существует квадратная матрица A:

Транспонированная относительно матрицы A матрица A’ получается,
если из строк матрицы A сделать столбцы, а из её столбцов — наоборот, строки, то есть заменить строки
столбцами:

Остановимся на минорах и алгебраических дополнениях.

Пусть есть квадратная матрица третьего порядка:

.

Её определитель:

Вычислим алгебраическое дополнение элемента ,
то есть элемента 2, стоящего на пересечении первой строки и второго столбца.

Для этого нужно сначала найти минор этого элемента. Он получается вычёркиванием из
определителя строки и столбца, на пересечении которых стоит указанный элемент. В результате останется
следующий определитель, который и является минором элемента :

.

Алгебраическое дополнение элемента
получим, если умножим ,
где i — номер строки исходного элемента, а k — номер столбца исходного элемента, на
полученный в предыдущем действии минор этого исходного элемента. Получаем алгебраическое дополнение элемента
:

.

По этой инструкции нужно вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы
A’, транспонированной относительно матрицы матрица A.

И последнее из значимых для нахождение обратной матрицы понятий. Союзной с квадратной матрицей A называется матрица

того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы
,
транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, союзная матрица состоит из следующих элементов:

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение
обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A,
на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на
обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была
найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А .
Находим по правилу треугольников:

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу
,
транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы,
транспонированной относительно матрицы A:

Следовательно, матрица
,
союзная с матрицей A, имеет вид

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может
быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать
матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора
для нахождения обратной матрицы.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась
единичная матрица, тогда в правой части на месте
единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части
преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо
строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен
нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом
случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица.
Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой,
а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим
предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку
на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её
с третьей строкой. Тогда получим

.

Разделим третью строку на 8, тогда

.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части
получилась обратная матрица .
Таким образом:

.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

.

В результате должна получиться обратная матрица.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора
для нахождения обратной матрицы.

Пример 3. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй,
а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки
вычитаем вторую, тогда получим

.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю.
Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора
для нахождения обратной матрицы.

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице
соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот,
системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Поэтому существует метод линейных преобразований для нахождения обратной матрицы.
Для решения задач нам будет достаточно знать, что линейное преобразование — это система линейных
уравнений, вид которой будет приведён ниже в алгоритме.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

1. Для данной невырожденной матрицы A составить линейное преобразование —
систему линейных уравнений вида

,

где aij — элементы
матрицы A.

2. Решить полученную систему относительно y — найти для предыдущего
линейного преобразование обратное линейное преобразование

,

в котором Aij —
алгебраические дополнения элементов матрицы A, Δ — определитель матрицы A. Внимание!
Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице, то есть для элементов строки —
в столбце, а для элементов столбца — в строке.

3. Находим коэффициенты при y: ,
которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Наиболее наблюдательные могли заметить, что по сути метод линейных преобразований —
это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи. Для
кого-то метод линейных преобразований может оказаться более удобным как более компактный.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю,
следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется
находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне).
Запишем обратное линейное преобразование:

Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании — это элементы обратной матрицы
для матрицы A. Таким образом нашли обратную матрицу:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора
для нахождения обратной матрицы.

Начало темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

Помогите решить / разобраться (М)

Не могли бы подсказать, в каком месте рассуждения (чуть выше) логика не правильная?

Например откуда вы взяли вторую систему? — туда должны входить не , а элементы обратной матрицы.

— Вт сен 03, 2019 21:43:56 —

Тут есть одна неприятная проблема в терминологии (насколько я в курсе; хотя если читать только какую-то одну книгу, этого будет не видно) в том, что сопряжённым и/или транспонированным отображением называют иногда две разные вещи.

Первая определена для любого линейного отображения , обозначим её и определяется она как , где произвольные; более аккуратно это будет (но так труднее видеть естественность?..).

Вторая определена только для таких отображений , что имеют какие-то (невырожденные) билинейные формы (обычно скалярное произведение или эрмитово скалярное произведение). Тогда можно определить таким образом: , где произвольные. Можно определить через и билинейные формы.

Вторая штука делает из матрицы транспонированную, используя канонические скалярные произведения на пространствах -элементных столбцов, столбцам сопоставляющие . Первая штука оставляет матрицу как есть, мы просто умножаем её не на столбец, а на строку. С учётом того, что матрица линейного отображения определена для любого отображения , будь только выбраны базисы в , нам не обязательно интересоваться транспонированными матрицами, пока мы не начнём говорить о каких-нибудь евклидовых или гильбертовых . Когда начнём, тогда сможем например умножать матрицу на транспонированную к ней с осмысленным результатом.

Транспонированная матрица — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Транспонированная матрица — матрица AT{\displaystyle A^{T}}, полученная из исходной матрицы A{\displaystyle A} заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A{\displaystyle A} размеров m×n{\displaystyle m\times n} — матрица AT{\displaystyle A^{T}} размеров n×m{\displaystyle n\times m}, определённая как AijT=Aji{\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}.

Например,

[1234]T=[1324]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}} и [123456]T=[135246]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

• (AT)T=A{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• (A+B)T=AT+BT{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• (AB)T=BTAT{\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

• (λA)T=λAT{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}

При транспонировании можно выносить скаляр.

• detA=detAT{\displaystyle \det A=\det A^{T}}

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица,
удовлетворяющая соотношению ST=S{\displaystyle S^{T}=S}.

Для того чтобы матрица S{\displaystyle S} была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица,
удовлетворяющая соотношению AT=−A{\displaystyle A^{T}=-A}.

Для того чтобы матрица A{\displaystyle A} была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица A{\displaystyle A} была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть Aij=−Aji{\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю:
Aii=0{\displaystyle A_{ii}=0}.

Для любой квадратной матрицы M{\displaystyle M} имеется представление
M=S+A{\displaystyle M=S+A},

где S=M+MT2{\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}} — симметричная часть,
A=M−MT2{\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}} — антисимметричная часть.

См. также

Транспонированная матрица — Википедия. Что такое Транспонированная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Транспонированная матрица — матрица AT{\displaystyle A^{T}}, полученная из исходной матрицы A{\displaystyle A} заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A{\displaystyle A} размеров m×n{\displaystyle m\times n} — матрица AT{\displaystyle A^{T}} размеров n×m{\displaystyle n\times m}, определённая как AijT=Aji{\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}.

Например,

[1234]T=[1324]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}} и [123456]T=[135246]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

• (AT)T=A{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• (A+B)T=AT+BT{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• (AB)T=BTAT{\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

• (λA)T=λAT{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}

При транспонировании можно выносить скаляр.

• detA=detAT{\displaystyle \det A=\det A^{T}}

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица,
удовлетворяющая соотношению ST=S{\displaystyle S^{T}=S}.

Для того чтобы матрица S{\displaystyle S} была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица,
удовлетворяющая соотношению AT=−A{\displaystyle A^{T}=-A}.

Для того чтобы матрица A{\displaystyle A} была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица A{\displaystyle A} была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть Aij=−Aji{\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю:
Aii=0{\displaystyle A_{ii}=0}.

Для любой квадратной матрицы M{\displaystyle M} имеется представление
M=S+A{\displaystyle M=S+A},

где S=M+MT2{\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}} — симметричная часть,
A=M−MT2{\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}} — антисимметричная часть.

См. также

Обращение матрицы

Пожалуйста, прочтите сначала наше Введение в матрицы.

Что такое обратная матрица?

Это обратное число :

Взаимное значение числа

, инверсия матрицы — это , та же идея , но мы пишем это A ^-1

Почему не ¹ / _A ? Потому что мы не делим по матрице! Да и вообще ¹ / ₈ тоже можно написать 8 ^-1

И есть другие сходства:

Когда мы умножаем число на его , обратное , получаем 1

Когда мы умножаем матрицу на ее , обратную , мы получаем Identity Matrix (которая похожа на «1» для матриц):

То же, что и обратное:

Идентификационная матрица

Мы только что упомянули «Матрицу идентичности».Это матричный эквивалент числа «1»:

.

Матрица идентификации 3×3

• Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
• Он имеет 1 с по диагонали и 0 с по всей остальной части.
• Его символ — заглавная буква I .

Матрица идентичности может иметь размер 2 × 2 или 3 × 3, 4 × 4 и т. Д.

Определение

Вот определение:

Аргумент A равен A ^-1 , только если:

A × A ^-1 = A ^-1 × A = I

Иногда обратного нет вообще.

Матрица 2×2

Хорошо, как рассчитать обратное?

Ну, для матрицы 2×2 обратное значение:

Другими словами: поменять местами позиций a и d, поставить негативов перед b и c, а разделить все на определитель (ad-bc).

Давайте попробуем пример:

Как мы узнаем, что это правильный ответ?

Помните, должно быть верно, что: A × A ^-1 = I

Итак, давайте посмотрим, что произойдет, если мы умножим матрицу на ее обратную:

И, привет !, мы получили Матрицу идентичности! Так что это должно быть правильно.

Должно быть также , что: A ^-1 × A = I

Почему бы вам не попробовать их умножить? Посмотрите, получите ли вы также Identity Matrix:

Зачем нам инверс?

Потому что с матрицами мы не делим ! Если серьезно, нет понятия деления по матрице.

Но мы можем умножить на обратное , что даст то же самое.

Представьте, что мы не можем делить на числа…

… и кто-то спрашивает: «Как мне поделиться 10 яблоками с 2 людьми?»

Но мы можем взять , обратное из 2 (что составляет 0,5), поэтому мы ответим:

10 × 0,5 = 5

Получают по 5 яблок.

То же самое можно сделать и с матрицами:

Допустим, мы хотим найти матрицу X, и мы знаем матрицы A и B:

XA = B

Было бы неплохо разделить обе стороны на A (чтобы получить X = B / A), но помните, что мы не можем разделить .

Но что, если мы умножим обе стороны на A ^-1 ?

XAA ^-1 = BA ^-1

И мы знаем, что AA ^-1 = I, поэтому:

XI = BA ^-1

Мы можем удалить I (по той же причине мы можем удалить «1» из 1x = ab для чисел):

X = BA ^-1

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A ^-1 )

В этом примере мы очень внимательно следили за правильностью умножения, потому что в случае с матрицами порядок умножения имеет значение.AB почти никогда не совпадает с BA.

Пример из реальной жизни: автобус и поезд

Группа поехала на автобусе по цене 3 доллара за ребенка и 3,20 доллара за взрослого на общую сумму 118,40 доллара.

Они сели обратно на поезд по цене 3,50 доллара на ребенка и 3,60 доллара на взрослого, итого 135,20 доллара.

Сколько детей и сколько взрослых?

Во-первых, давайте настроим матрицы (будьте осторожны, чтобы строки и столбцы были правильными!):

Это как в примере выше:

XA = B

Итак, чтобы решить эту проблему, нам нужна обратная величина к «A»:

Теперь у нас есть обратное, которое мы можем решить с помощью:

X = BA ^-1

Было 16 детей и 22 взрослых!

Ответ кажется почти волшебным.Но он основан на хорошей математике.

Подобные вычисления (но с использованием гораздо больших матриц) помогают инженерам проектировать здания, используются в видеоиграх и компьютерной анимации, чтобы вещи выглядели трехмерными, и во многих других местах.

Это также способ решения систем линейных уравнений.

Расчеты производятся компьютером, но люди должны понимать формулы.

Порядок важен

Скажем, в данном случае мы пытаемся найти «X»:

AX = B

Это отличается от приведенного выше примера! X теперь после A.

В случае матриц порядок умножения обычно меняет ответ. Не думайте, что AB = BA, это почти никогда не верно.

Так как же решить эту проблему? Используя тот же метод, но поставьте впереди A ^-1 :

A ^-1 AX = A ^-1 B

И мы знаем, что A ^-1 A = I, поэтому:

IX = A ^-1 B

Мы можем удалить I:

X = A ^-1 B

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A ^-1 )

Почему бы нам не попробовать наш пример с автобусом и поездом, но с данными, настроенными таким образом.

Это можно сделать таким образом, но мы должны быть осторожны при настройке.

Вот как это выглядит как AX = B:

Выглядит так аккуратно! Думаю, мне больше нравится это.

Также обратите внимание на то, как строки и столбцы меняются местами в
(«транспонировано»)
по сравнению с предыдущим примером.

Чтобы решить эту проблему, нам понадобится обратная величина к «А»:

Это похоже на обратное, которое мы получили раньше, но
транспонировано (строки и столбцы поменялись местами).

Теперь мы можем решить, используя:

X = A ^-1 B

Тот же ответ: 16 детей и 22 взрослых.

Итак, матрицы — мощная вещь, но их нужно правильно настраивать!

Обратное может не существовать

Прежде всего, чтобы иметь инверсию, матрица должна быть «квадратной» (то же количество строк и столбцов).

Но также определитель не может быть нулем (или мы закончим делением на ноль). Как насчет этого:

24-24? Это равно 0, а 1/0 не определено .
Мы не можем идти дальше!
У этой Матрицы нет Инверсии.

Такая матрица называется «сингулярной», что происходит только тогда, когда определитель равен нулю.

И это имеет смысл … посмотрите на числа: вторая строка просто вдвое больше первой, и не добавляет никакой новой информации .

И определитель сообщает нам об этом факте.

(Представьте, что в нашем примере с автобусом и поездом цены на поезд были ровно на 50% выше, чем на автобусе: так что теперь мы не можем найти никаких различий между взрослыми и детьми.Должно быть что-то, что отличало бы их.)

Большие матрицы

Обратное к 2×2 — easy … по сравнению с более крупными матрицами (такими как 3×3, 4×4 и т. Д.).

Для этих больших матриц есть три основных метода вычисления обратного:

Заключение

• Обратное к A — это A ^-1 , только если A × A ^-1 = A ^-1 × A = I
• Чтобы найти обратную матрицу 2×2: поменять местами позиций a и d, поставить негативов перед b и c, и разделить всего на определитель (ad-bc).
• Иногда обратного нет вообще

.

Матрицы

Матрица — это массив чисел:

Матрица
(в ней 2 строки и 3 столбца)

Речь идет об одной матрице , или нескольких матрицах .

Мы можем многое с ними сделать …

Добавление

Чтобы сложить две матрицы: добавьте числа в соответствующие позиции:

Это расчеты:

Две матрицы должны быть одинакового размера, т.е.е. строки должны совпадать по размеру, а столбцы — по размеру.

Пример: матрица с 3 строками и 5 столбцами может быть добавлена ​​к другой матрице из 3 строк и 5 столбцов .

Но не удалось добавить в матрицу с 3 строки и 4 столбца (столбцы не совпадают по размеру)

отрицательный

Негатив матрицы тоже прост:

Это расчеты:

Вычитание

Чтобы вычесть две матрицы: вычтите числа в совпадающих позициях:

Это расчеты:

Примечание: вычитание фактически определяется как сложение отрицательной матрицы: A + (−B)

Умножить на константу

Мы можем умножить матрицу на константу (в данном случае значение 2) :

Это расчеты:

Мы называем константу скаляром , поэтому официально это называется «скалярное умножение».

Умножение на другую матрицу

Для умножить две матрицы вместе немного сложнее … прочтите Умножение матриц, чтобы узнать, как.

Разделение

А что с делением? Ну, мы не делим матрицы на , мы делаем это так:

A / B = A × (1 / B) = A × B ^-1

, где B ^-1 означает «инверсию» B.

Таким образом, мы не делим, вместо этого мы умножаем на обратное значение .

Есть особые способы найти обратное, подробнее см. Обратный к матрице.

Транспонирование

Чтобы «транспонировать» матрицу, поменяйте местами строки и столбцы.

Мы помещаем букву «Т» в верхнем правом углу, чтобы обозначить транспонирование:

Обозначение

Матрица обычно обозначается заглавной буквой (например, A или B)

Каждая запись (или «элемент») показана строчной буквой с «нижним индексом» строки , столбец :

Пример:

Вот несколько примеров записей:

b _1,1 = 6 (запись в строке 1, столбце 1 — 6)

b _1,3 = 24 (запись в строке 1, столбце 3 — 24)

b _2,3 = 8 (запись в строке 2, столбце 3 — 8)

.

Обратная матрица с использованием миноров, кофакторов и адъюгата

(Примечание: также проверьте матрицу, обратную операциями по строкам и калькулятор матрицы.)

Мы можем вычислить обратную матрицу по:

• Шаг 1: вычисление матрицы несовершеннолетних,
• Шаг 2: затем превратите это в матрицу сомножителей,
• Шаг 3: затем Адъюгат и
• Шаг 4: умножьте это на 1 / Определитель.

Но лучше всего это объяснить на примере!

Пример: найти обратное значение A:

Требуется 4 ступени. Это простая арифметика, но ее много, так что постарайтесь не ошибиться!

Шаг 1: Матрица несовершеннолетних

Первый шаг — создать «Матрицу несовершеннолетних». На этом этапе больше всего вычислений.

Для каждого элемента матрицы:

Поместите эти детерминанты в матрицу («Матрицу миноров»).

Определитель

Для матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца) определитель прост: ad-bc

(становится сложнее для матрицы 3 × 3 и т. Д.)

Расчеты

Вот первые два и последние два вычисления «Матрицы второстепенных » (обратите внимание, как я игнорирую значения в текущей строке и столбцах и вычисляю определитель, используя оставшиеся значения):

А вот расчет для всей матрицы:

Шаг 2: Матрица сомножителей

Это просто! Просто нанесите «шахматную доску» минусов на «Матрицу несовершеннолетних».Другими словами, нам нужно изменить знак альтернативных ячеек, например:

Шаг 3: Сопряжение (также называемое сопряженным)

Теперь «транспонируйте» все элементы предыдущей матрицы … другими словами, поменяйте местами их позиции по диагонали (диагональ остается прежней):

Шаг 4: Умножить на 1 / Определитель

Теперь найдите определитель исходной матрицы. Это не так уж сложно, потому что мы уже вычислили детерминанты более мелких частей, когда мы делали «Матрицу второстепенных».

На практике мы можем просто умножить каждый из элементов верхней строки на сомножитель для того же места:

Элементы верхнего ряда: 3, 0, 2
Коэффициенты для верхнего ряда: 2, −2, 2

Определитель = 3 × 2 + 0 × (−2) + 2 × 2 = 10

(Просто для удовольствия: попробуйте это для любой другой строки или столбца, они также должны получить 10.)

А теперь умножьте адъюгат на 1 / Определитель:

И готово!

Сравните этот ответ с тем, что мы получили на тему «Обращение матрицы».
с использованием элементарных операций со строками.Это то же самое? Какой метод вы предпочитаете?

Большие матрицы

Это точно такие же шаги для больших матриц (например, 4 × 4, 5 × 5 и т. Д.), Но ничего себе! здесь много расчетов.

Для матрицы 4 × 4 мы должны вычислить 16 определителей 3 × 3. Поэтому часто бывает проще использовать компьютеры (например, Матричный калькулятор).

Заключение

• Для каждого элемента вычислите определитель значений не в строке или столбце , чтобы получить матрицу второстепенных
• Примените шахматную доску минусов, чтобы получить Матрицу сомножителей
• Транспонировать для создания адъюгата
• Умножьте на 1 / Определитель , чтобы получить обратное значение

.