Обучение теория вероятностей: Теория вероятностей – Курсы – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Краткий конспект лекций по теории вероятностей Лекция1 Вероятность

35

В теории
вероятностей рассматриваются такие
явления или опыты, конкретный исход
которых не определяется однозначно
условиями опыта (случаен), но по результатам
большого числа экспериментов в среднем
может быть предсказан (свойство
статистической устойчивости).

Элементарным
событием (элементарным исходом)называется любое событие — исход опыта,
которое нельзя представить в виде
объединения других событий. Так как
исход опыта случаен, то и любое элементарное
событие случайно, далее будем говорить
просто о событиях, не подчеркивая их
случайность.

Пространством
элементарных событий 
(исходов) называется множество всех
элементарных событий (исходов). {₁,
…_n
…}, если в результате опыта обязательно
наступает какой-либо из элементарных
исходов и только один (один исход
исключает любой другой). Пространство
элементарных событий может содержать
конечное, счетное и даже бесконечное
множество элементарных событий.

Случайным
событием (событием) называется
подмножество пространства элементарных
событий. Любое множество – это совокупность
элементов. Элементами события являются
элементарные события, образующие это
событие.

Пример.
Бросается одна монета, она может упасть
гербом (₁=Г)
или решкой (₁=Р).=(Г,Р).

Пример. Бросаются
две монеты = {(Г, Г),
(Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}

Пример.
Капля дождя падает на прямоугольную
площадку.

= {(x,y),a<x<b,c<y<d}

Достоверное
событие – событие, которое всегда
происходит в результате данного опыта,
оно содержит все элементарные события
и обозначается.

Невозможное
событие– событие, которое не может
произойти в результате данного опыта,
оно не содержит элементарных событий
и обозначается.

Действия над событиями.

События определены
как множества, поэтому действия над
ними аналогичны действиям над множествами
и хорошо иллюстрируются диаграммами
Венна.

Пространство будем обозначать прямоугольником,
элементарное событие – точкой
прямоугольника, а каждое событие –
подмножеством точек этого прямоугольника.
Результат операции над событиями будем
заштриховывать.

Пусть выбираются
карты из колоды карт. Событие А – выбор
червонной карты, событие В – выбор
десятки

Классификация событий Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в а, обозначим и будем называть противоположным событием.

Пример. А
–выбор червонной карты;

–выбор любой карты другой масти..

= \А

Два
события
А
и В
будем называть совместными,
если каждое из них содержит хотя бы одно
общее элементарное событие, т.е если
АВØ
и
несовместными,
если АВ
= Ø.

Пример.
А
– выбор
червонной карты и В
– выбор десятки – совместные события,
так как

АВ
= выбор червонной десяткиØ

Пример.
А – выпадение четного числа очков А =
{2, 4, 6}. В – выпадение нечетного числа
очков В = {1, 3, 5}. Очевидно, что А и В
несовместны.

Задачи В6. Теория вероятностей. | Подготовка к ЕГЭ по математике

При изучении темы вам может пригодится это видео

Часть 1.

(Смотрите часть 2 здесь)

При решении задач мы будем опираться на классическое определение вероятности события.

Задача 1. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос. 

Решение: + показать

Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение: + показать

Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна

Ответ: 0,2. 

Задача 3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: + показать

В сумме выпадет 7 очков в следующих вариантах:

5+1+1 (3 комбинации)

1+2+4 (6 комбинаций)

1+3+3 (3 комбинации)

2+2+3 (3 комбинации)

Всего вариантов.

Каждый из трех кубиков может выпасть шестью гранями, поэтому общее число исходов равно .

Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков, равна

Ответ: 0,07. 

Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Решение: + показать

Благоприятный исход: орел-орел-орел-орел.

Всего исходов –

Значит, вероятность того, что решка не выпадет ни разу – есть

Ответ: 0,0625. 

Задача 5. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: + показать

Всего запланировано 75 докладов, и так как в первый день запланировано 27, то на оставшиеся два дня остается 75-27=48 докладов, при этом во второй и третий дни будет прочитано по 48:2=24 доклада.

Значит вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на третий день есть

Ответ: 0,32. 

Задача 6. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?

Решение: + показать

В первом туре Василий Лукин может сыграть с 26 − 1 = 25 шашистом, из которых 3 − 1 = 2 из России.

Значит, вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России, есть

Ответ: 0,08. 

Задача 7. В чемпионате мира учавствуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?

Решение: + показать

Количество карточек с номером «1» – 4 штуки. Всего карточек  (команд) – 20.

Значит, вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе равна

Ответ: 0,2.  

Задача 8. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?

Решение: + показать

На клавиатуре телефона  цифр меньше  4-х – 4 штуки (0; 1; 2; 3). Всего цифр 10.

Значит,  вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4 равна

 Ответ: 0,4. 

Задача 9. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?

Решение: + показать

От 41 до 56 ровно 16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56).

Значит, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна

Ответ: 0,5. 

Задача 10. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?

Решение: + показать

Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях:

4+6; 6+4; 5+5.

Ответ: 3. 

Задача 11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Решение: + показать

Пусть один из друзей  находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг  окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.

Ответ: 0,3. 

Задача 12. Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: + показать

Частота события «гарантийный ремонт» составляет

Вероятность же, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096.

Разница между частотой события и вероятностью составляет

Ответ: 0,006. 

Задача 13. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

Решение: + показать

На циферблате между 6 часами и 9  располагаются три часовых деления.

Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25. 

Задача 14. За круг­лый стол на 5 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 3 маль­чи­ка и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

Решение: + показать

«Фиксируем» одну из девочек на одном из стульев. Благоприятной ситуацией для нас будет посадка второй девочки на один из двух стульев, стоящих рядом со стулом, занятым первой девочкой. Всего свободных стульев для второй девочки – .

Итак, ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом есть , то есть

Ответ:  

Часть 2

Вы можете пройти тест по Задачам №4.

Алгебра. Урок 9. Статистика, вероятности

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Оглавление страницы:

Статистика. Числовые характеристики ряда чисел

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Другими словами, среднее арифметическое – это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а взнаменателе – их количество.

Пример:

• Вычислить среднее арифметическое данных чисел:  6, 10, 16, 20.

Среднее арифметрическое: (6+10+16+20)4=524=13

Медиана ряда чисел – это число, стоящее посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду нечётное.

Пример:

• Найти медиану ряда чисел:  12, 2, 11, 3, 7, 10, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):  2, 3, 3,  7, 10, 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоит число 7.

Медиана ряда чисел – это полусумма двух стоящих посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду чётное.

Пример:

• Найти медиану ряда чисел:  8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):   2, 3, 7,10, 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоят два числа: 7 и 10.

Их полусумма равна: 7+102=172=8,5

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом.

Пример:

• Найти размах ряда чисел: 8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Для удобства упорядочим этот ряд: 1, 2, 3, 3, 8, 10, 16

Наибольшее значение ряда: 16. Наименьшее значение ряда: 1.

Размах:  16−1=15

Мода ряда чисел – наиболее часто встречающееся число в этом ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может вообще не иметь моды.

Примеры:

1. Найти моду ряда: 1, 5, 6, 3,10, 32, 4, 3

Число, встречающееся в этом ряду чаще всех: 3.

Данный ряд имеет моду: 3.

1. Найти моду ряда: 5, 2, 3, 4, 1, 0, 8

Каждое число в данном ряде встречается одинаковое количество раз (один раз).

Данный ряд не имеет моды.

1. Найти моду ряда: 9,1,4,10,17,1,33,6,9,8,5,5

Числа 1,5,9  встречаются в этом ряде наибольшее количество раз (по два раза).

Данный ряд имеет три моды: 1,5,9.

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может не произойти.

Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Частота случайного события A в серии опытов – это отношение числа тех опытов, в которых событие A произошло, к общему числу проведенных опытов.

Примеры:

1. Какова частота события «выпал орёл», если в серии опытов из 20бросков монеты решка выпала 8раз?

Если решка выпала 8 раз, то орёл выпал 20−8=12 раз.

Частота: 1220=610=0,6

1. Какова частота события «выпало чётное число очков» в серии опытов из восьми бросков кубика, если результаты представлены в виде числового ряда: 3, 2, 3, 5, 1, 1, 6, 4

Как мы видим, чётных чисел выпало три штуки.

Частота: 38=0,375

Каждое случайное событие делится на несколько элементарных исходов.  Они делятся на благоприятные исходы и неблагоприятные исходы.

Например, для события «выпало четное число очков» при броске кубика:

• Благоприятные исходы:

«выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков»

• Неблагоприятные исходы:

«выпало одно очко», «выпало три очка», «выпало пять очков»

Все возможные исходы =благоприятные исходы +неблагоприятные исходы.

Вероятность случайного события P(A) – это отношение благоприятных исходов m к общему числу исходов n.P(A)=mn

Вероятность случайного события лежит в пределах от 0 до 1.0≤P(A)≤1

Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного эксперимента равна 1.

Примеры:

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, белого кролика?

Число благоприятных исходов: m=0, так как ни одного кролика нет.

Число всех возможных исходов: n=3, так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать кролика», посчитаем вероятность этого события. P(A)=mn=03=0

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, синий шар?

Число благоприятных исходов: m=3, так как каждый из трех шариков синий, каждый подходит.

Число всех возможных исходов: n=3, так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P(A)=mn=33=1

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара и девять красных шаров, синий шар?

Число благоприятных исходов: m=3, так как всего синих шаров в шляпе три.

Число всех возможных исходов: n=3+9=12, так как всего в шляпе 12 объектов, которые можно достать.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P(A)=mn=312=0,25

Событие A¯называется противоположным событию A, если событие A¯ происходит тогда, когда событие A не происходит (то есть вместо события A происходит событие A¯ ).

Примеры противоположных событий:

1. A: «купить молоко», A¯: «не купить молоко»

1. A: «прибор исправен», A¯: «прибор неисправен»

1. A: «выпал орёл», A¯: «выпала решка»

1. A: «на игральной кости выпало нечетное число», A¯: «на игральной кости выпало чётное число»

Вероятность противоположного события определяется по формуле: P(A¯)=1−P(A)

Примеры:

1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,28. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Пусть событие A: «ручка пишет плохо».

Противоположное событие: A¯: «ручка пишет хорошо»

P(A)=0,28. Найдём вероятность противоположного события по формуле:

P(A¯)=1−P(A)=1−0,28=0,72

1. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 8 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Пусть событие A: «фонарик неисправен»

Противоположное событие A¯: «фонарик исправен»

P(A)=8100=0,08

P(A¯)=1−P(A)=1−0,08=0,92

Ответ: 0,92

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными.

Примеры несовместных событий:

• Выпадение 1, выпадение 5, выпадение 6 при бросании кости

За один бросок может выпасть либо 1, либо 5, либо 6. Одновременно два или три значения выпасть не могут, только одно.

• Выпадение орла, выпадение решки при броске монеты

За один бросок может выпасить либо орёл, либо решка, одновременно орёл и решка выпасть не могут.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух (или более) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Примеры:

1. Паша на экзамене вытягивает билет. Все билеты относятся к одной из трех тем: «углы», «треугольники», «четырехугольники». Вероятность того, что Паше попадется билет по теме «треугольники» равна 0,22, вероятность того, что ему попадется билет по теме «четырехугольники» равна 0,31, вероятность того, что ему попадется билет по теме «углы» равна 0,47. Паша знает тему «углы» и тему «треугольники», но «четырехугольники» вызывают у него затруднения. Найдите вероятность того, что ему попадется билет по теме «треугольники» или по теме «углы».

Решение:

Событие A= «вытащить билет по теме углы» и событие B= «вытащить билет по теме треугольники» – несовместные.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A+B)=0,47+0,22=0,69

Ответ: 0,69

1. Макар играет в лотерею. Вероятность выиграть стиральную машину равна 0,001, вероятность выиграть денежный приз 0,013, вероятность выиграть сувенир 0,04. Найдите вероятность того, что лотерейный билет принесёт Макару какой-нибудь приз.

Решение:

Событие A= «выиграть машину», событие B= «выиграть денежный приз» и событие C= «выиграть сувенир» несовместные.

Вероятность появления одного из трех несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(A+B+C)=0,001+0,013+0,04=0,054

Ответ: 0,054

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. В противном случает события называются зависимыми.

Примеры независимых событий:

• Игральный кубик бросают два раза. Выпадение трех очков при первом броске и выпадение четырех очков при втором броске являются независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадания трех очков равна 16, при втором броске вероятность выпадания четырех очков снова равна 16. Не смотря на то, что кубик кидают два раза, у него по-прежнему остаётся шесть граней, при каждом новом броске может выпасть одно из шести чисел с той же самой вероятностью 16, вне зависимости от того, что выпадало до этого.

• Монету бросают три раза. Выпадение орла при первом броске, выпадение орла при втором броске, выпадение орла при третье броске явлюятся независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при втором броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при третьем броске вероятность выпадения орла равна 0,5. Не смотря на то, что монету кидают несколько раз, при каждом новом броске может выпасть орёл или решка с той же самой вероятностью 0,5, вне зависимости от того, что выпадало до этого.

Примеры зависимых событий:

• В шляпе лежат три синих шара и два красных. Последовательно извлекются два шара. Извлечь в первый раз синий шар и извлечь во второй раз синий шар – два зависимых события.

Почему же они зависимые? Потому что первоначально вероятность вытащить синий шар равна 35 (всего шаров 5, синих 3). После того, как один синий шар вытащили, количество благоприятных исходов изменилась, общее количество шаров изменилось. При следующем вынимании шара из шляпы вероятность вытащить синий шар равна 24=12 (всего шаров 4, синих 2). Таким образом наступление первого события влияет на вероятность наступления второго.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность появления двух (или более) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

Примеры:

1. В первой шляпе лежит один синий шар и один красный, во второй шляпе лежит 1 синий шар и 4 красных. Из каждой шляпы извлекли по одному шару. Найдите вероятность того, что оба шара красные.

Решение:

Событие A: «извлечь красный шар из первой шляпы».

Событие B: «извлечь красный шар из второй шляпы».

Оба этих события независимы друг от друга, так как при извлечении шпара из первой шляпы, вторая остаётся нетронутой. Найдём вероятности этих событий.

P(A)=12    (всего шаров два, красных – один).

P(B)=45    (всего шаров пять, красных четыре).

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

P(A⋅B)=12⋅45=0,4

Ответ: 0,4

1. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение:

Событие A: «попадание», событие B: «промах». По условию P(A)=0,9. Найдём вероятность промаха, она равна

P(B)=1−P(A)=1−0,9=0,1

Каждый из выстрелов – событие, не зависящее от предыдущих или последующих выстрелов, то есть все три события – независимые. Вероятность появления трех независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

P(A⋅A⋅B)=P(A)⋅P(A)⋅P(B)

P(A⋅A⋅B)=0,9⋅0,9⋅0,1=0,081

Ответ: 0,081

Математическая монета, которая используется в теории вероятности, лишена многих качеств бычной моенты: цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платёжным средством. Монета имеет две стороны, одна из которых орёл (О), а другая решка (Р). Монету бросают и она падает одной стороной вверх. Никаких других свойств у монеты нет. Рассмотрим различные опыты с монетой

Бросание одной монеты

Возможные исходы:
О
Р
Всего два исхода. Вероятность каждого исхода из двух возможных равна 12=0,5

Бросание двух монет (бросание одной монеты два раза подряд)

Возможные исходы:
О О
О Р
Р О
Р Р
Всего четыре исхода. Вероятность каждого исхода из четырех возможных равна 14=0,25

Бросание трех монет (бросание одной монеты три раза подряд)

Возможные исходы:
О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р
Всего восемь исходов. Вероятность каждого исхода из восьми возможных равна 18=0,125

Бросание четырех монет (бросание одной монеты четыре раза подряд)

Возможные исходы:
О О О О
О О О Р
О О Р О
О О Р Р
О Р О О
О Р О Р
О Р Р О
О Р Р Р
Р О О О
Р О О Р
Р О Р О
Р О Р Р
Р Р О О
Р Р О Р
Р Р Р О
Р Р Р Р
Всего шестнадцать исходов. Вероятность каждого исхода из шестнадцати возможных равна 116=0,0625

Примеры:

1. Симметричную монету бросают три раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет ровно один раз?

Решение:

Всего восемь различных исходов (см. опыт с бросанием трех монет). Исходов, в которых решка выпала ровно один раз, три.

P=38=0,375

Ответ: 0,375

1. Cимметричную монету бросают четыре раза подряд. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы два раза.

Решение:

В опыте с бросанием четырех монет всего шестнадцать различных исходов. Благоприятные исходы – те, в которых выпало два, три или четыре орла. Таких исходов всего одиннадцать.

P=1116=0,6875

Ответ: 0,6875

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности, это правильная кость, у которой шансы на выпадение каждой грани равны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера. Ни веса, ни иых материальных качеств. Рассмотрим различные опыты с игральной костью.

Бросание одной кости

Возможные исходы: 1,2,3,4,5,6. Всего шесть исходов. Вероятность каждого исхода из шести возможных равна 16.

Бросание двух костей (бросание одной кости два раза подряд)

Для того, чтобы перебрать все возможные варианты, составим таблицу:

Первое число в паре – количество очков, выпавших на первом кубике. Второе число в паре – количество очков, выпавших на втором кубике. Всего возможно тридцать шесть различных исходов.

Такую таблицу не составит труда нарисовать на экзамене, если попадётся задача на бросание двух кубиков. Сумма чисел в ячейке – сумма выпавших очков.

Примеры:

1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет равна 7?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятных вариантов – когда сумма очков будет равна семи – всего 6.

P=636=16

Ответ: 16

1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет меньше десяти?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятные варианты – когда сумма очков будет равна 1,2,3,4,5,6,7,8, или 9. Таких ячеек в таблице 30.

P=3036=56

Ответ: 56

Вероятность | Теория, решенные примеры и практические вопросы

Когда соискатели MS и MBA задают нам: « Каковы мои шансы поступить в Гарвард? ‘или‘ Какова моя вероятность получить стипендию Оксфорда? «косноязычны. В игре так много переменных, что трудно дать точный ответ.

Но когда вы получаете вопросы о вероятности в программе экзаменов GRE и GMAT, вы не должны запутаться. Понимание основных правил и формул вероятности поможет вам получить высокие баллы на вступительных экзаменах.

Значение и определение вероятности

Как сказано в Оксфордском словаре, «Вероятность» означает «степень, в которой что-то возможно; вероятность того, что что-то произойдет или произойдет ».

В математике вероятность означает то же самое — вероятность наступления события.

Примеры событий:

• Подбрасывание монеты головой вверх
• Рисование красной ручкой из пачки разноцветных ручек
• Вытягивание карты из колоды 52 карт и т. Д.

Либо событие обязательно произойдет, либо не произойдет вовсе. Или есть вероятность, что событие может произойти в разной степени.

Событие, которое обязательно произойдет, называется определенным событием, и его вероятность равна 1.

Событие, которое вообще не происходит, называется невозможным событием, и его вероятность равна 0.

Это означает, что все другие возможности возникновения события лежат в диапазоне от 0 до 1.

Это изображается следующим образом:

0 <= P (A) <= 1

, где A — событие, а P (A) — вероятность наступления события.

Это также означает, что значение вероятности никогда не может быть отрицательным.

Каждое событие будет иметь набор возможных исходов. Это называется «пробелом».

Рассмотрим пример подбрасывания монеты.

Когда подбрасывается монета, возможны следующие исходы: «орел» и «решка». Итак, образец пространства представлен как {H, T}.

Аналогично, когда подбрасываются две монеты, пробелом является {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}.

Вероятность выпадения орла каждый раз, когда вы подбрасываете монету, равна 1/2.Так вероятность хвоста.

Основная формула вероятности

Как вы, возможно, знаете из списка математических формул GMAT, вероятность наступления события A определяется как:

P (A) = (Количество способов, которыми может произойти A) / (Общее количество возможных результатов)

Другой пример — бросание игральных костей. Когда бросается один кубик, размер образца равен {1,2,3,4,5,6}.

Какова вероятность выпадения 5 при бросании кубика?

№способов, которыми это может произойти = 1

Общее количество возможных исходов = 6

Таким образом, вероятность выпадения определенного числа при бросании кубика = 1/6.

Сложная вероятность

Сложная вероятность — это когда в формулировке задачи задается вопрос о вероятности возникновения более чем одного результата.

Формула сложной вероятности

• P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B)

, где A и B — любые два события.

P (A или B) — вероятность наступления хотя бы одного из событий.

P (A и B) — это вероятность одновременного появления A и B.

Взаимоисключающие события:

Взаимоисключающие события — это события, в которых возникновение одного указывает на отсутствие другого

ИЛИ

Когда два события не могут произойти одновременно, они считаются взаимоисключающими.

Примечание: Для взаимоисключающего события P (A и B) = 0.

Пример 1: Какова вероятность выпадения 2 или 5 при броске кубика?

Решение:

Принимая индивидуальные вероятности каждого числа, получение 2 равно 1/6, а значит, и 5.

Применяя формулу сложной вероятности,

Вероятность получения 2 или а 5,

P (2 или 5) = P (2) + P (5) — P (2 и 5)

==> 1/6 + 1/6 — 0

==> 2/6 = 1/3.

Пример 2: Рассмотрим пример определения вероятности выбора черной карты или 6 из колоды из 52 карт.

Решение:

Нам нужно узнать P (B или 6)

Вероятность выбора черной карты = 26/52

Вероятность выбора 6 = 4/52

Вероятность выбора одновременно черной карты и 6 = 2/52

P (B или 6) = P (B) + P (6) — P (B и 6)

= 26/52 + 4/52 — 2/52

= 28/52

= 7/13.

Независимые и зависимые события

Независимое событие

Когда происходит несколько событий, если результат одного события НЕ влияет на исход других событий, они называются независимыми событиями.

Скажем, кубик бросается дважды. Результат первого броска не влияет на второй результат. Это два независимых события.

Пример 1: Допустим, монета подбрасывается дважды. Какова вероятность выпадения двух подряд решек?

Вероятность выпадения хвоста за один бросок = 1/2

Монета подбрасывается дважды.Итак, 1/2 * 1/2 = 1/4 — это ответ.

Вот подтверждение вышеприведенного ответа с помощью пробела.

Когда монета подбрасывается дважды, пробел равен {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}.

Наше желаемое событие — это (T, T), которое происходит только один раз из четырех возможных исходов, и, следовательно, наш ответ — 1/4.

Пример 2: Рассмотрим другой пример, когда пачка содержит 4 синих, 2 красных и 3 черных ручки. Если ручка случайным образом извлечена из пачки, заменена и процесс повторен еще 2 раза, какова вероятность того, что вы вытащите 2 синих ручки и 1 черную ручку?

Решение

Здесь общее количество ручек = 9

Вероятность рисования 1 синей ручкой = 4/9
Вероятность рисования другой синей ручкой = 4/9
Вероятность рисования 1 черной ручкой = 3/9
Вероятность рисования 2 синих и 1 черной ручки = 4/9 * 4 / 9 * 3/9 = 48/729 = 16/243

Зависимые события

Когда происходят два события, если результат одного события влияет на результат другого, они называются зависимыми событиями.

Рассмотрим вышеупомянутый пример рисования ручки из пачки с небольшими отличиями.

Пример 1: В упаковке 4 синих, 2 красных и 3 черных ручки. Если из колоды случайным образом извлекаются 2 ручки, заменяется НЕ , а затем вытягивается другая ручка. Какова вероятность нарисовать 2 синие ручки и 1 черную ручку?

Решение:

Вероятность рисования 1 синей ручкой = 4/9
Вероятность рисования другой синей ручкой = 3/8
Вероятность рисования 1 черной ручкой = 3/7
Вероятность рисования 2 синих и 1 черной ручки = 4/9 * 3 / 8 * 3/7 = 1/14

Рассмотрим другой пример:

Пример 2: Какова вероятность последовательного вытягивания короля и ферзя из колоды из 52 карт, без замены .

Вероятность выпадения короля = 4/52 = 1/13

После вытягивания одной карты количество карт равно 51.

Вероятность выпадения ферзя = 4/51.

Теперь вероятность того, что вы вытащите короля и ферзя подряд, равна 1/13 * 4/51 = 4/663

Условная вероятность

Условная вероятность — это вычисление вероятности события с учетом того, что другое событие уже произошло.

Формула условной вероятности P (A | B), читаемая как P (A при условии B):

P (A | B) = P (A и B) / P (B)

Рассмотрим следующий пример:

Пример: В классе 40% студентов изучают математику и естественные науки.60% студентов изучают математику. Какова вероятность того, что студент будет изучать естественные науки, если он / она уже изучает математику?

Решение

P (M и S) = 0,40

P (M) = 0,60

P (S | M) = P (M и S) / P (S) = 0,40 / 0,60 = 2/3 = 0,67

Дополнение к мероприятию

Дополнение к событию A может быть указано как то, которое НЕ содержит возникновения A.

Дополнение к событию обозначается как P (A ^c ) или P (A ’).

P (A ^c ) = 1 — P (A)

или, можно сказать, P (A) + P (A ^c ) = 1

Например,

, если A — это событие, когда при подбрасывании монеты выпадает голова, то A ^c не получает голову, то есть хвост.

, если A — это событие получения четного числа при броске кубика, A ^c — это событие НЕ получения четного числа, т.е. получение нечетного числа.

, если A — это событие случайного выбора числа в диапазоне от -3 до 3, A ^c — это событие выбора каждого числа, которое НЕ является отрицательным i.е., 0,1,2 & 3 (0 не является ни положительным, ни отрицательным).

Рассмотрим следующий пример:

Пример: Одна монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность получить хотя бы одну голову?

Решение:

Решите эту проблему с помощью дополнения.

Вероятность отсутствия головы = P (все решки) = 1/32

П (хотя бы одна голова) = 1 — П (все решки) = 1 — 1/32 = 31/32.

Примеры вопросов о вероятности с решениями

Пример вероятности 1

Какова вероятность выпадения нечетного числа или числа меньше 5 при выпадении правильного кубика.

Решение

Пусть событие появления нечетного числа будет «A», а событие появления числа, которое меньше 5, будет «B». Нам нужно найти P (A или B).

P (A) = 3/6 (нечетные числа = 1,3 и 5)

P (B) = 4/6 (числа меньше 5 = 1,2,3 и 4)

P (A и B) = 2/6 (числа, которые являются нечетными и меньше 5 = 1 и 3)

Теперь, P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A или B)

= 3/6 + 4/6 — 2/6

P (A или B) = 5/6.

Пример вероятности 2

В коробке 4 шоколадных батончика и 4 мороженого. Том съедает 3 из них по очереди. Какова вероятность последовательно выбрать 2 чокобара и 1 мороженое?

Решение

Вероятность выбора 1 чокобара = 4/8 = 1/2

После извлечения 1 чокобара общее количество составляет 7.

Вероятность выбора 2-го чокобара = 3/7

Вероятность выбора 1 мороженого из 6 = 4/6 = 2/3

Таким образом, окончательная вероятность выбора 2 чокобаров и 1 мороженого = 1/2 * 3/7 * 2/3 = 1/7

Пример вероятности 3

Когда выпадают два кубика, найдите вероятность выпадения большего числа на первом кубике, чем на втором, учитывая, что сумма должна быть равна 8.

Решение

Пусть событие выпадения большего числа на первом кубике будет G.

Есть 5 способов получить сумму 8, когда выпадают два кубика = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}.

И есть два способа, когда число на первом кубике больше, чем число на втором, при условии, что сумма должна быть равна 8, G = {(5,3), (6,2)}.

Следовательно, P (сумма равна 8) = 5/36 и P (G) = 2/36.

Итак, P (G | сумма равна 8) = P (G и сумма равна 8) / P (сумма равна 8)

= (2/36) / (5/36)

= 2/5

Тест на вероятность: примеры вопросов для практики

Проблема вероятности 1

В сумке находятся синие и красные шары. Случайно выпадают два шара без замены. Вероятность выбрать синий, а затем красный шар составляет 0,2. Вероятность выбрать синий шар при первом розыгрыше — 0,5. Какова вероятность выпадения красного шара, если первый выпавший шар был синим?
а) 0,4
б) 0,2
в) 0,1
г) 0,5

Задача 2

Трижды бросается игральная кость. Какова вероятность того, что сумма бросков будет как минимум 5.
a) 1/216
b) 1/6
c) 3/216
d) 212/216

Узнайте, как решать:
— Простые и сложные задачи
— Задачи о скорости, расстоянии и времени
— Соотношение и пропорции
— Список математических формул

Пройдите этот доступный онлайн-курс по вероятности и проверьте свои знания, задав более 600 практических вопросов.В нем обучается более 18 000 студентов, средний рейтинг 4,6 звезды. Щелкните ниже.
Станьте мастером теории вероятностей и статистики

Вероятность

Как вероятно, что-то должно произойти.

Многие события невозможно предсказать с полной уверенностью. Лучшее, что мы можем сказать, вероятности, они должны произойти, используя идею вероятности.

Подбрасывание монеты

Когда монета подбрасывается, возможны два исхода:

Мы говорим, что вероятность выпадения монеты H равна ½

А вероятность выпадения монеты T составляет ½

Игра в кости

Когда бросается один кубик, есть шесть возможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

Вероятность любого из них 1 6

Вероятность

Всего:

Вероятность наступления события =
Количество способов, которыми это может случиться
Общее количество исходов

Пример: шансы выпадения «4» на кубике

Количество способов, которыми это может произойти: 1 (есть только 1 грань с цифрой «4»)

Всего исходов: 6 (всего 6 граней)

Таким образом, вероятность =
1
6

Пример: в сумке 5 шариков: 4 синих и 1 красный. Какова вероятность того, что синий шарик будет сорван?

Количество способов, которыми это может случиться: 4 (всего 4 голубых)

Всего исходов: 5 (всего 5 шариков)

Таким образом, вероятность =
4
5
= 0,8

Линия вероятности

Мы можем показать вероятность на линии вероятности:

Вероятность всегда от 0 до 1

Вероятность — это просто путеводитель

Вероятность не говорит нам, что именно произойдет, это всего лишь ориентир

Пример: подбросьте монету 100 раз, сколько выпадет орлов?

Вероятность говорит, что у орла ½ шанса, поэтому мы можем ожидать, что выпадет 50 голов, .

Но , когда мы на самом деле попробуем, мы можем получить 48 или 55 голов … или что-то еще, но в большинстве случаев это будет число около 50.

Узнайте больше на сайте Probability Index.

слов

Некоторые слова имеют особое значение в Вероятности:

Эксперимент: повторяемая процедура с набором возможных результатов.

Пример: бросание кости

Мы можем бросать кости снова и снова, так что это повторяется.

Набор возможных результатов любого одиночного броска: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Результат: Возможный результат эксперимента.

Пример: получение «6»

Sample Space: все возможные результаты эксперимента.

Пример: выбор карты из колоды

В колоде 52 карты (не считая Джокеров)

Таким образом, пробел — это все 52 возможных карты : {Туз червей, 2 червей и т. Д…}

Пробное пространство состоит из контрольных точек:

Точка выборки: только один из возможных исходов

Пример: колода карт

• 5 треф — это образец
• Король червей — это точка отсчета

«Король» не является точкой отбора проб. Всего 4 короля, то есть 4 различных точек выборки.

Пример: бросание кости

В пространстве выборки имеется 6 различных точек выборки.

Событие: один или более исходов эксперимента

Пример событий:

У события может быть только один исход:

• Получение решки при подбрасывании монеты
• Прокатка «5»

Событие может включать более одного результата:

• Выбор «короля» из колоды карт (любого из 4-х королей)
• Выпадение «четного числа» (2, 4 или 6)

Эй, давайте использовать эти слова, чтобы вы к ним привыкли:

Пример: Алекс хочет посмотреть, сколько раз выпадет «дабл» при бросании 2 кубиков.

Пространство выборки — все возможные Результаты (36 точек выборки):

{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} … {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}

Событие , которое ищет Алекс, — это «дабл», где оба кубика имеют одинаковое число. Он состоит из этих 6 точек выборки :

{1,1} {2,2} {3,3} {4,4} {5,5} и {6,6}

Это результаты Алекса:

Эксперимент	Это дубль?
{3,4}	№
{5,1}	№
{2,2}	Есть
{6,3}	№
. ..	…

После 100 Экспериментов , у Алекса 19 «дублей» События … это близко к тому, что вы ожидали?

Вероятность, статистика и случайные процессы | Бесплатный учебник

Объявлений:

Зимние онлайн-курсы в Университете Массачусетса, Амхерст (7 декабря 2020 г. — 16 января 2021 г.)

Новый

Этот сайт является домашней страницей учебника Introduction to Probability,
Статистика и случайные процессы Хоссейна Пишро-Ника.Это открытый доступ
рецензируемый учебник, предназначенный как для бакалавриата, так и для первого курса
курсы повышения квалификации по этому предмету. Этот вероятностный учебник может быть использован как студентами, так и
практикующие специалисты в области инженерии, математики, финансов и других смежных областях.

На сайте:

• Учебник весь
• Короткие видеолекции, помогающие усвоить материал
• Онлайн-калькуляторы вероятностей для важных функций и распределений
• Руководство по решениям для инструкторов
• Слайды лекций

Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.

Этот учебник вероятности и статистики охватывает:

• Основные понятия, такие как случайные эксперименты, аксиомы вероятности,
  условная вероятность и методы подсчета
• Одиночные и множественные случайные величины (дискретные, непрерывные и
  смешанные), а также производящие моменты, характеристики
  функции, случайные векторы и неравенства
• Предельные теоремы и сходимость
• Введение в математическую статистику, в частности, байесовскую и классическую статистику
• Случайные процессы, включая обработку случайных сигналов, Пуассон
  процессы, цепи Маркова с дискретным и непрерывным временем, а также
  Броуновское движение
• Моделирование с использованием MATLAB и R

Цитировать этот учебник можно как:

H.Пишро-Ник, «Введение в вероятность, статистику и случайные процессы», доступно по адресу https://www.probabilitycourse.com, Kappa Research LLC, 2014.

С момента первой публикации учебника многие просили распространить
решений задач в учебнике. Мы опубликовали студенческую
руководство по решениям, которое включает в себя пошаговые решения нечетных проблем в конце главы.

Это руководство доступно на Amazon как в печатной, так и в электронной версии:

H.Пишро-Ник — профессор кафедры электротехники и
Компьютерная инженерия в Массачусетском университете в Амхерсте. Он
получил степень бакалавра наук. степень от Технологического университета Шарифа и M.Sc. а также
Кандидат наук. степени Технологического института Джорджии, все в области электротехники и
Компьютерная инженерия. Его исследовательские интересы включают теорию информации,
Кодирование с контролем ошибок и математический анализ беспроводных сетей.

Введение в теоретическую информатику: теория вероятностей 101

• Введение в теоретическую информатику
• стр. Предисловие
  • html»> стр.1 Студенту
    • с.1.1 Стоят ли усилия?
  • стр.2 Потенциальным преподавателям
  • стр.3 Благодарности
• 0 Введение
  • 0,1 Целочисленное умножение: пример алгоритма
  • 90 Расширенный пример: более быстрый способ умножения (необязательно)
  • 0,3 Не арифметические алгоритмы
  • 0.4 О важности отрицательных результатов
  • html»> 0,5 Дорожная карта до конца этой книги
    • 0,5,1 Зависимости между главами
  • 0,6 Упражнения
  • 0,7 21 Библиографические примечания
• 1 Математические основы
  • 1,1 Эта глава: руководство для читателя
  • 1,2 Краткий обзор математических предпосылок
  • 1.3 Чтение математических текстов
    • 1.3.1 Определения
    • 3.2″ data-path=»lec_00_1_math_background.html»> 1.3.2 Утверждения: теоремы, леммы, утверждения
    • 1.3.3 Доказательства
  • 1.4 Базовые дискретные математические объекты
    • 1.4.1 Наборы
    • 1.4.2 Специальные наборы
    • 1.4.3 Функции
    • 1.4.4 Графики
    • 1.4.5 Логические операторы и кванторы
    • 1.4.6 Кванторы для суммирования и произведений
    • 4.7″ data-path=»lec_00_1_math_background.html»> 1.4.7 Формулы синтаксического анализа: связанные и свободные переменные
    • 1.4.8 Асимптотика и нотация Big-O
    • 1.4.9 Некоторые практические правила для нотации Big-O
  • 1,5 Доказательства
    • 1.5.1 Доказательства и программы
    • 1.5.2 Стиль написания пробных отпечатков
    • 1.5.3 Шаблоны в доказательствах
  • 1.6 Расширенный пример: топологическая сортировка
    • 6.1″ data-path=»lec_00_1_math_background.html»> 1.6.1 Математическая индукция
    • 1.6.2 Доказательство результата по индукции
    • 1.6.3 Минимальность и уникальность
  • 1.7 Эта книга: обозначения и условные обозначения
    • 1.7.1 Условные обозначения переменных
    • 1.7.2 Некоторые идиомы
  • 1,8 Упражнения
  • 1,9 Библиографические примечания
• html»> 2 Вычисление и представление
  • 2,1 Представление 2,1 натуральных представлений числа
  • 2.1.2 Значение представлений (обсуждение)
• 2.2 Представления за пределами натуральных чисел
  • 2.2.1 Представление (потенциально отрицательных) целых чисел
  • 2.2.2 Представление с дополнением до двух (необязательно)
  • 2.2.3 Рациональные числа и представляющие пары строк
• 2.3 Представление действительных чисел
• 4″ data-path=»lec_02_representation.html»> 2,4 Теорема Кантора, счетные множества и строковые представления действительных чисел
  • 2.4.1 Следствие: булевы функции несчетны
  • 2.4.2 Эквивалентные условия для счетности
• 2,5 Представление объектов за пределами чисел
  • 2.5.1 Конечные представления
  • 2.5.2 Кодирование без префиксов
  • 2.5.3 Создание представлений без префикса
  • 2.5.4 «Proof by Python» (необязательно)
  • 2.5.5 Представление букв и текста
  • 2.5.6 Представление векторов, матриц, изображений
  • 2.5.7 Представление графиков
  • 2.5.8 Представление списков и вложенных списков
  • 2.5.9 Нотация
• 2.6 Определение вычислений задачи как математические функции
  • 2.6.1 Отличите функции от программ!
• 2,7 Упражнения
• 2.8 Библиографические примечания