Расстояние между двумя точками формула: Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками на поверхности Земли | by shemanovskiy

Представим, что для чего-то понадобилось измерить расстояние между двумя точками на поверхности Земли, например, расстояние между Красной площадью и Эрмитажем. Конечно, можно попробовать решить задачу в лоб и посчитать евклидово расстояние по формуле:

но этот подход не заработает по той простой причине, что евклидова метрика предназначена для вычисления расстояния на плоскости, а поверхность Земли — это всё-таки фигура, очень близкая к сфере.

Для решения такой задачи нужно обратиться к редко используемым тригонометрическим функциям.

Одна из таких функций, называется синус-верзус, или, по-другому, версинус. Он представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Вычисляется версинус по формуле:

Гаверсинус — это просто половина версинуса, и именно эта функция поможет нам в решении задачи с поиском расстояния:

Для любых двух точек на сфере гаверсинус центрального угла между ними вычисляется по формуле:

В этой формуле:

• d — это центральный угол между двумя точками, лежащими на большом круге
• r — радиус сферы
• φ₁ и φ₂ — широта первой и второй точек в радианах
• λ₁ и λ₂ — долгота первой и второй точек в радианах

Обозначим временно гаверсинус отношения длины к радиусу как переменную h:

Тогда длину d можно вынести за знак равенства:

а для того, чтобы избавиться от дроби, выразим гаверсинус через арксинус:

затем раскроем переменную h:

подставим формулу гаверсинуса и получим формулу вычисления расстояния:

Теперь вернёмся к исходной задаче поиска расстояния между Красной площадью и Эрмитажем.

Для Красной площади Гугл подсказал координаты (55.7539° N, 37.6208° E), а для Эрмитажа — (59.9398° N, 30.3146° E).

Прежде, чем подставлять координаты в формулу, их нужно перевести в радианы.

Для того, чтобы вычислить длину, нужно полученное значение арксинуса умножить на два радиуса сферы. Подсчёты усложняет тот факт, что Земля не является идеальной сферой и её радиус немного варьируется. Воспользуемся усреднённым значением радиуса, которое, в соответствии со стандартом WGS84 приблизительно равно 6371 км:

Произведя умножение, получаем искомое значение, которое приблизительно равно 634.57 км.

Кстати, из-за того, что Земля — не идеальная сфера, погрешность расчётов с использованием этой формулы, составляет около 0,5%.

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Формула расстояния между точками на координатной прямой:

AB = |a — b|,

где  A  и  B  — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка  AB,  a  и  b  — координаты точек.

Выражение  |a — b|  можно заменить выражением  |b — a|,  так как  a — b  и  b — a  являются противоположными числами и их модули равны.

Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Пример 1. Найти расстояние между точками  L(-3)  и  M(5),  отмеченными на координатной прямой.

Решение. Чтобы найти расстояние между точками  L  и  M  надо из координаты точки  L  вычесть координату точки  M  или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

|-3 — 5| = |-8| = 8

или

|5 — (-3)| = |5 + 3| = 8.

Ответ. Расстояние между точками  L  и  M  равно 8.

Пример 2. Найдите координаты середины отрезка  AB,  если  A(-5)  и  B(5).

Решение. Обозначим середину отрезка точкой  C.  Так как  C  — середина отрезка  AB,  то  |AC| = |CB|.  Значит, чтобы найти координату точки  C,  надо сначала вычислить длину отрезка  AB  и разделить её на 2, то есть, на две равные части  AC  и  CB:

AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

10 : 2 = 5,   значит   |AC| = |CB| = 5.

Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

-5 + 5 = 0

или

5 — 5 = 0.

Ответ. Координата середины отрезка  C(0).

Пример 3. Найдите координату точки  C,  которая является серединой отрезка с концами в точках  A(7)  и  B(25).

Решение.

AB = |7 — 25| = |-18| = 18;

AC = CB = 18 : 2 = 9;

7 + 9 = 16

или

25 — 9 = 16.

Ответ. Координата точки  C  — 16.

Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере

Измерение расстояния и начального азимута между точками без проекционных преобразований

Длина дуги большого круга – кратчайшее расстояние между любыми двумя точками находящимися на поверхности сферы, измеренное вдоль линии соединяющей эти две точки (такая линия носит название ортодромии) и проходящей по поверхности сферы или другой поверхности вращения. Сферическая геометрия отличается от обычной Эвклидовой и уравнения расстояния также принимают другую форму. В Эвклидовой геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая линия. На сфере, прямых линий не бывает. Эти линии на сфере являются частью больших кругов – окружностей, центры которых совпадают с центром сферы.

Начальный азимут — азимут, взяв который при начале движения из точки А, следуя по большому кругу на кратчайшее расстояние до точки B, конечной точкой будет точка B. При движении из точки A в точку B по линии большого круга азимут из текущего положения на конечную точку B постоянно меняется. Начальный азимут [angles-rhumb.html отличен от постоянного], следуя которому, азимут из текущей точки на конечную не меняется, но маршрут следования не является кратчайшим расстоянием между двумя точками.

большой круг

Через любые две точки на поверхности сферы, если они не прямо противоположны друг другу (то есть не являются антиподами), можно провести уникальный большой круг. Две точки, разделяют большой круг на две дуги. Длина короткой дуги – кратчайшее расстояние между двумя точками. Между двумя точками-антиподами можно провести бесконечное количество больших кругов, но расстояние между ними будет одинаково на любом круге и равно половине окружности круга, или pi*R, где R – радиус сферы.

расстояние большого круга

На плоскости (в прямоугольной системе координат), большие круги и их фрагменты, как было упомянуто выше, представляют собой дуги во всех проекциях, кроме гномонической, где большие круги — прямые линии. На практике это означает, что самолеты и другой авиатранспорт всегда использует маршрут минимального расстояния между точками для экономии топлива, то есть полет осуществляется по расстоянию большого круга, на плоскости это выглядит как дуга.

Маршрут Нью-Йорк — Пекин

Форма Земли может быть описана как сфера, поэтому уравнения для вычисления расстояний на большом круге важны для вычисления кратчайшего расстояния между точками на поверхности Земли и часто используются в навигации.

Вычисление расстояния этим методом более эффективно и во многих случаях более точно, чем вычисление его для спроектированных координат (в прямоугольных системах координат), поскольку, во-первых, для этого не надо переводить географические координаты в прямоугольную систему координат (осуществлять проекционные преобразования) и, во-вторых, многие проекции, если неправильно выбраны, могу привести к значительным искажениям длин в силу особенностей проекционных искажений.

Известно, что более точно описывает форму Земли не сфера, а эллипсоид, однако в данной статье рассматривается вычисление расстояний именно на сфере, для вычислений используется сфера радиусом 6372795 метров, что может привести к ошибке вычисления расстояний порядка 0. 5%.

Существует три способа расчета сферического расстояния большого круга (подробнее).

[править] Сферическая теорема косинусов

В случае маленьких расстояний и небольшой разрядности вычисления (количество знаков после запятой), использование формулы может приводить к значительным ошибкам связанным с округлением. Графическое изображение формул здесь и далее — из Википедии.

— широта и долгота двух точек в радианах

— разница координат по долготе

— угловая разница

Для перевода углового расстояния в метрическое, нужно угловую разницу умножить на радиус Земли (6372795 метров), единицы конечного расстояния будут равны единицам, в которых выражен радиус (в данном случае — метры).

[править] Формула гаверсинусов

Используется, чтобы избежать проблем с небольшими расстояниями.

[править] Модификация для антиподов

Предыдущая формула также подвержена проблеме точек-антиподов, чтобы ее решить используется следующая ее модификация. 0.5
p4 = sl1*sl2
p5 = cl1*cl2*cdelta
p6 = p4 + p5
p7 = p3/p6
anglerad = (p7.atan).SetFormatPrecision (num)
dist = anglerad*rad
‘вычисление начального азимута
x = (cl1*sl2) — (sl1*cl2*cdelta)
y = sdelta*cl2
z = (-y/x).ATan.AsDegrees
if (x < 0) then z = z+180 end
z = -(z + 180 mod 360 — 180).AsRadians
anglerad2 = z — ((2*pi)*((z/(2*pi)).floor))
angledeg = (anglerad2*180)/pi

‘возврат значений длины большого круга и начального азимута
distlist = {dist, angledeg}
return distlist

Для вызова процедуры расчета длин приведенной выше, можно также воспользоваться следующим скриптом, результатом его работы будет расчет длин между точкой testpont до всех точек активной темы вида и запись результата в поле Newdist атрибутивной таблицы этой темы:

atheme = av.getactivedoc.getactivethemes.get(0)
aftab = atheme.getftab
f_shape = aftab.findfield("Shape")

f_dist = aftab.findfield("dist")
f_ang = aftab.findfield("ang")
'testpoint - точка отсчета
testpoint = point. make(25.85, 55.15)
aftab.seteditable(true)

'для каждой точки темы до которых считают расстояния от точки отсчета
for each rec in aftab
	pnts = {}
	apoint = aftab.returnvalue(f_shape, rec)
	pnts.add(apoint.getx)
	pnts.add(testpoint.getx)
	pnts.add(apoint.gety)
	pnts.add(testpoint.gety)

	'Вызов процедуры расчета расстояний
	'"Calc-distance" - название скрипта с процедурой в проекте
	param = av.run("Calc-distance", pnts)
	aftab.setvalue(f_dist, rec, param.get(0))
	aftab.setvalue(f_ang, rec, param.get(1))
end
aftab.seteditable(false)

[править] Реализация на языке Python

Реализует полный вариант расчета через atan2(), более универсальнее, чем вариант для Avenue. (скачать скрипт)

import math
 
 #pi - число pi, rad - радиус сферы (Земли)
 rad = 6372795
 
 #координаты двух точек
 llat1 = 77.1539
 llong1 = -120.398
 
 llat2 = 77.1804
 llong2 = 129.55
 
 #в радианах
 lat1 = llat1*math.pi/180.
 lat2 = llat2*math.pi/180.
 long1 = llong1*math.pi/180.
 long2 = llong2*math. pi/180.
 
 #косинусы и синусы широт и разницы долгот
 cl1 = math.cos(lat1)
 cl2 = math.cos(lat2)
 sl1 = math.sin(lat1)
 sl2 = math.sin(lat2)
 delta = long2 - long1
 cdelta = math.cos(delta)
 sdelta = math.sin(delta)
 
 #вычисления длины большого круга
 y = math.sqrt(math.pow(cl2*sdelta,2)+math.pow(cl1*sl2-sl1*cl2*cdelta,2))
 x = sl1*sl2+cl1*cl2*cdelta
 ad = math.atan2(y,x)
 dist = ad*rad
 
 #вычисление начального азимута
 x = (cl1*sl2) - (sl1*cl2*cdelta)
 y = sdelta*cl2
 z = math.degrees(math.atan(-y/x))
 
 if (x < 0):
     z = z+180.
 
 z2 = (z+180.) % 360. - 180.
 z2 = - math.radians(z2)
 anglerad2 = z2 - ((2*math.pi)*math.floor((z2/(2*math.pi))) )
 angledeg = (anglerad2*180.)/math.pi
 
 print 'Distance >> %.0f' % dist, ' [meters]'
 print 'Initial bearing >> ', angledeg, '[degrees]'

[править] Реализация в Excel

Скачать пример расчета расстояния большого круга и начального азимута в Excel. Демонстрирует расчеты через закон косинусов, гаверсинус, полное уравнение и полное уравнение через atan2(). 0.5) * 6372795

End With

End Function

[править] Проверочный набор данных

Если все считается правильно, должны быть получены следующие результаты (координаты точек даны как широта/долгота, расстояние в метрах, начальный угол в десятичных градусах):

[править] Ссылки по теме

Расстояние между точками [wiki.eduVdom.com]

Пусть на плоскости хОу даны две точки: А₁ с координатами х₁, у₁ и А₂ с координатами х₂, у₂. Выразим расстояние между точками А₁ и А₂ через координаты этих точек. 2 } = \sqrt{ 9 + 16 } = \sqrt{25} = 5 \,\,. $$

Формула расстояния между двумя точками в списке Ru Python

Мне нужно взять список, который я создал, и найти ближайшие две точки и распечатать их. Как я могу сравнить все точки в списке?

Нет необходимости в сюжете или что-то в этом роде, просто сравните точки и найдите ближайших двух в списке.

Удобнее переписать функцию distance() чтобы взять два (x, y) кортежа в качестве параметров:

 def distance(p0, p1): return math.sqrt((p0[0] - p1[0])**2 + (p0[1] - p1[1])**2) 

Теперь вы хотите перебрать все пары точек из вашего списка fList . Для этой цели удобна функция iterools.combinations() :

 min_distance = distance(fList[0], fList[1]) for p0, p1 in itertools.combinations(fList, 2): min_distance = min(min_distance, distance(p0, p1)) 

Альтернативой является определение distance() для принятия пары точек в одном параметре

 def distance(points): p0, p1 = points return math. sqrt((p0[0] - p1[0])**2 + (p0[1] - p1[1])**2) 

и используйте key параметр для встроенной функции min() :

 min_pair = min(itertools.combinations(fList, 2), key=distance) min_distance = distance(min_pair) 

Я понимаю, что существуют ограничения библиотеки по этому вопросу, но для полноты, если у вас есть N точек в Nx2 numpy ndarray (2D-система):

 from scipy.spatial.distance import pdist x = numpy.array([[9.5,7.5],[10.2,19.1],[9.7,10.2]]) mindist = numpy.min(pdist(x)) 

Я всегда стараюсь побуждать людей использовать numpy / scipy, если они имеют дело с данными, которые лучше всего хранятся в числовом массиве, и хорошо знать, что инструменты доступны для дальнейшего использования.

Обратите внимание, что функция math.sqrt является медленной и в этом случае ненужной. Попробуйте сравнить квадрат расстояния, чтобы ускорить его (сортировка расстояний и квадрат расстояния всегда будет производить одинаковый порядок):

 def distSquared(p0, p1): return (p0[0] - p1[0])**2 + (p0[1] - p1[1])**2 

Ваш фиксированный код. Нет эффективного алгоритма, просто грубая сила.

 import math # math needed for sqrt # distance function def dist(p1, p2): return math.sqrt((p2[0] - p1[0]) ** 2 + (p2[1] - p1[1]) ** 2) # run through input and reorder in [(x, y), (x,y) ...] format input = ["9.5 7.5", "10.2 19.1", "9.7 10.2"] # original input list (entered by spacing the two points) points = [map(float, point.split()) for point in input] # final list # http://en.wikipedia.org/wiki/Closest_pair_of_points mindist = float("inf") for p1, p2 in itertools.combinations(points, 2): if dist(p1, p2) < mindist: mindist = dist(p1, p2) closestpair = (p1, p2) print(closestpair) 

Это может сработать:

 oInput = ["9.5 7.5", "10.2 19.1", "9.7 10.2"] # parse inputs inp = [(float(j[0]), float(j[1])) for j in [i.split() for i in oInput]] # initialize results with a really large value min_distance = float('infinity') min_pair = None # loop over inputs length = len(inp) for i in xrange(length): for j in xrange(i+1, length): point1 = inp[i] point2 = inp[j] if math. hypot(point1[0] - point2[0], point1[1] - point2[0]) < min_distance: min_pair = [point1, point2] 

как только петли будут выполнены, min_pair должен быть парой с наименьшим расстоянием.

Использование float () для анализа текста оставляет место для улучшения.

math.hypot примерно на треть быстрее, чем вычисление расстояния в рукописной функции python

Во-первых, некоторые примечания:

 a**2 # squares a (xi - xii)**2 # squares the expression in parentheses. 

mInput не нужно объявлять заранее.
fList.append((x, y)) более pythonic, чем использование += .

Теперь у вас есть fList . Ваша функция расстояния может быть переписана, чтобы принять 2 аргумента 2-кортежа (точки), которые я не буду здесь беспокоить.

Тогда вы можете просто написать:

 shortest = float('inf') for pair in itertools.combinations(fList, 2): shortest = min(shortest, distance(*pair)) 

Определение расстояний на поверхности Земли

Расстояние между точками по координатам

  Данный онлайн калькулятор считает расстояние между двумя точками двумерной плоскости исходя из координат этих точек. Вы можете посчитать длину отрезка между двумя точками или длину линии между двумя точками на основе координат этих точек.

  Значения координат могут быть положительными и отрицательными числами или так же равными 0. Так же можно использовать десятичные значения.

  Положение точек не принципиально, главное введите правильно координаты каждой из точек. Так для точки A это координаты A_x и A_y, a для точки B — координаты B_x и B_y. Если у вас есть координаты двух точек, можете любую из этих точек делать точкой A, вторая будет точкой B.

Результат:

Решение

Отправить ссылку в:

Теория

На двумерной плоскости координаты точки — это два числа, где первым числом указывается абсцисса (координата x), а вторым — ордината точки (координата y). 2}

• AB — отрезок между точками A и B
• A_x — координата x в точке A
• A_y — координата y в точке A
• B_x — координата x в точке B
• B_y — координата y в точке B

Формула расстояния | Purplemath

Purplemath

Формула расстояния — это вариант теоремы Пифагора, которую вы использовали еще в геометрии. Вот как мы переходим от одного к другому:

Предположим, вам даны две точки (–2, 1) и (1, 5), и они хотят, чтобы вы выяснили, насколько они далеко друг от друга.Очки выглядят так:

MathHelp.

com

Вы можете рисовать линии, образующие прямоугольный треугольник, используя эти точки как два угла:

Легко найти длины горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольного треугольника: просто вычтите значения x и значения y :

Затем используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину третьей стороны (которая является гипотенузой прямоугольного треугольника):

…so:

Этот формат всегда верен. Учитывая две точки, вы всегда можете построить их, нарисовать прямоугольный треугольник, а затем найти длину гипотенузы. Длина гипотенузы — это расстояние между двумя точками. Поскольку этот формат работает всегда, его можно превратить в формулу:

Формула расстояния: учитывая две точки ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ), дается расстояние d между этими точками по формуле:

Пусть вас не пугают индексы.Они только указывают на то, что есть «первая» точка и «вторая» точка; то есть у вас есть два очка. Какой из них вы назовете «первым» или «вторым» — решать вам. В любом случае расстояние будет таким же.

• Найдите расстояние между точками (–2, –3) и (–4, 4).

Я просто подставляю координаты в формулу расстояния:

Тогда расстояние будет sqrt (53), или около 7. 28 с округлением до двух десятичных знаков.

URL: https://www.purplemath.com/modules/distform.htm

Расстояние между двумя точками: определение, формулы и примеры

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «Почему» стоит за «Что.«Учащиеся могут изучить огромное количество интерактивных листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-классе Cuemath LIVE вместе со своим ребенком.

Определение расстояния между двумя точками

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки. 2} \]

Это называется формулой расстояния .

Давайте узнаем, как вывести эту формулу дальше.

Формула доказательства расстояния

Допустим, что:

\ [A = (x_1, y_1) \\ [0,2 см] B = (x_2, y_2) \]

Далее предположим, что \ (\ overline {AB} = d \)

Теперь мы нанесем данные точки на координатную плоскость и соединим их линией.

Затем мы построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \ (\ overline {AB} \).2} \]

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью фирменного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь проверить сейчас.

Решенные примеры

Найдите расстояние между двумя точками \ ((2, -6 \)) и \ ((7, 3 \))

Решение:

Допустим, что данные точки равны:

\ [\ begin {align} (x_1, y_1) & = (2, -6) \\ [0.2} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {25 + 81} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {106} \ end {align} \]

Покажите, что точки \ ((2, -1), (0, 1) \) и \ ((2, 3 \)) являются вершинами прямоугольного треугольника.

Решение:

Допустим, что данные точки равны:

\ [\ begin {align} A & = (2, -1) \\ [0,2 см] B & = (0,1) \\ [0.2 \\ [0,3 см] 8 + 8 & = 16 \\ [0,3 см] 16 & = 16 \ конец {выровнено} \]

Таким образом, \ (A, B \) и \ (C \) удовлетворяют теореме Пифагора.

Итак, \ (\ треугольник ABC \) прямоугольный треугольник.

Мы можем доказать то же самое, отметив все координаты на графике:

Таким образом,

Найдите точку на оси Y, которая равноудалена от точек \ ((- 1, 2 \)) и \ ((2, 3) \)

Решение:

Мы знаем, что координата x любой точки на оси y равна \ (0 \)

Следовательно, мы предполагаем, что точка, равноудаленная от данных точек, равна \ ((0, k \)).2-6k \\ 2k & = 8 \\ k & = 4 \ end {align} \]

Следовательно, требуется точка \ ((0, k) = (0, 4) \)

Калькулятор расстояния между двумя точками

Вот «Калькулятор расстояния между двумя точками».

Здесь вы можете ввести координаты двух точек, и вам будет показано расстояние между ними с пошаговым объяснением.

CLUEless по математике? Узнайте, как CUEMATH Учителя объяснят Расстояние между двумя точками вашему ребенку, используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не пришлось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, которые сделают вашего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

Практические вопросы

Сложные вопросы

1. Вершинами прямоугольника являются \ ((- 4, -3), (4, -3), (4, 3), \) и \ ((- 4, 3) \).Какова его площадь?
2. Вершины прямоугольного треугольника — это \ ((- 3, 6), (1, 6) \) и \ ((1, -1) \). Какова его площадь?

Образцы материалов олимпиады по математике

IMO (Международная олимпиада по математике) — конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1.Каково определение расстояния между двумя точками?

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки.

Например, если \ (A \) и \ (B \) — две точки, и если \ (\ overline {AB} = 10 \) см, это означает, что расстояние между \ (A \) и \ (B \ ) составляет \ (10 ​​\) см.

2. Какова формула расстояния между двумя точками?

Расстояние \ (d \) между двумя точками с координатами \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2 \)) составляет:

Это называется формулой расстояния .

Калькулятор расстояния и формула

Формула расстояния для евклидова расстояния

Евклидово пространство или Евклидова геометрия — это то, что мы все обычно думаем о двухмерном пространстве, это , прежде чем мы получим глубокую математическую подготовку в любом из этих аспектов. В евклидовом пространстве сумма углов треугольника равна 180 °, а все углы квадратов равны 90 °; всегда. Это то, что мы все принимаем как должное, но это не не во всех пространствах .Также не будем путать евклидово пространство с многомерными пространствами. Евклидово пространство может иметь сколько угодно измерений , если их конечное число, и они по-прежнему подчиняются правилам Евклида .

Мы не не хотим утомлять вас математическими определениями того, что такое пространство и что делает евклидово пространство уникальным, поскольку это было бы слишком сложно объяснить на простом калькуляторе расстояний. Однако мы можем попытаться дать вам несколько примеров других пространств, которые обычно используются, и которые могут помочь вам понять, почему евклидово пространство — не единственное пространство.Кроме того, вы, надеюсь, поймете, почему мы не будем беспокоиться о вычислении расстояний в других местах .

Первый пример, который мы вам представляем, немного неясен, но мы надеемся, что вы извините нас, как физиков , за то, что мы начали с этого очень важного типа пространства: пространство Минковского . Причина, по которой мы выбрали это, состоит в том, что это очень распространено в физике , в частности, оно используется в теории относительности, общей теории относительности и даже в релятивистской квантовой теории поля.Это пространство очень похоже на евклидово пространство, но отличается от него очень важной особенностью: добавлением скалярного произведения, также называемого внутренним произведением , (не путать с перекрестным произведением).

И евклидово пространство, и пространство Минковского — это то, что математики называют плоским пространством . Это означает, что само пространство имеет плоские свойства; например, кратчайшее расстояние между любыми двумя точками всегда представляет собой прямую линию между ними (проверьте калькулятор линейной интерполяции).Однако существуют и другие типы математических пространств, называемые искривленными пространствами , в которых пространство искривлено по своей природе, а кратчайшее расстояние между двумя точками не является прямой линией.

Это искривленное пространство трудно представить в 3D, но для 2D мы можем представить, что вместо плоской плоской области у нас есть 2D пространство, например, искривленное в форме поверхности сферы. В этом случае происходят очень странные вещи . Кратчайшее расстояние от одной точки до другой не является прямой линией, потому что любая линия в этом пространстве искривлена ​​из-за внутренней кривизны пространства. Другой очень странной особенностью этого пространства является то, что некоторые параллельные линии действительно встречаются в какой-то точке . Вы можете попытаться понять это, подумав о так называемых линиях долготы , которые делят Землю на множество часовых поясов и пересекают друг друга на полюсах.

Важно отметить, что концептуально ОЧЕНЬ отличается от изменения координат . Когда мы берем стандартные координаты x, y, z и преобразуем их в полярные, цилиндрические или даже сферические координаты, мы все равно будем находиться в евклидовом пространстве.Когда мы говорим о искривленном пространстве , мы говорим о совершенно другом пространстве с точки зрения его внутренних свойств . В сферических координатах у вас все еще может быть прямая линия, и расстояние по-прежнему измеряется по прямой, даже если это будет очень трудно выразить числами.

Возвращаясь к евклидову пространству, теперь мы можем представить вам формулу расстояния , которую мы обещали в начале . Формула расстояния

√ [(x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁) ²] ,

, который относится к теореме Пифагора: a² + b² = c² .Здесь a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза. Предположим, что две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂) являются координатами концов гипотенузы . Тогда (x₂ - x₁) ² в уравнении расстояния соответствует a² и (y₂ - y₁) ² соответствует b² . Поскольку c = √ (a² + b²) , вы можете понять, почему это просто расширение теоремы Пифагора .

Как рассчитать расстояние между двумя координатами

Обновлено 15 декабря 2020 г.

Нукрейша Лэнгдон

Знание того, как рассчитать расстояние между двумя координатами, имеет множество практических применений в науке и строительстве.Чтобы найти расстояние между двумя точками на двумерной сетке, вам необходимо знать координаты x и y каждой точки. Чтобы найти расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве, вам также необходимо знать z-координаты этих точек.

Формула расстояния, используемая для выполнения этой задачи, проста: возьмите разницу между значениями X и разницу между значениями Y, сложите их квадраты и извлеките квадратный корень из суммы, чтобы найти прямую -линейное расстояние, то есть расстояние между двумя точками на картах Google над землей, а не на извилистой дороге или водном пути.

Расстояние в двух измерениях

Вычислите положительную разницу между координатами x и назовите это число X. Координаты x — это первые числа в каждом наборе координат. Например, если две точки имеют координаты (-3, 7) и (1, 2), то разница между -3 и 1 равна 4, и поэтому X = 4.

Вычислите положительную разницу между координатами y. и назовем это число Y. Координаты Y — вторые числа в каждом наборе координат.2 = 41

Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 41.

Извлеките квадратный корень из D ² , чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D ² = 41, то D = 6,403, и поэтому расстояние между (-3, 7) и (1, 2) равно 6,403.

Расстояние в трех измерениях

Вычислите положительную разницу между координатами z и назовите это число Z. Координаты z — это третьи числа в каждом наборе координат.2 = 141

Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 141.

Извлеките квадратный корень из D ² , чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D ² = 141, то D = 11,874, и поэтому расстояние между (-3, 7, 10) и (1, 2, 0) равно 11,87.

Расстояние между двумя точками

При работе с графиками важно понимать, как найти расстояние между двумя точками. Это позволяет учащемуся определить длину очереди и может оказаться полезным в различных ситуациях. Самый распространенный способ найти расстояние — использовать формулу расстояния.

Найдите конечные точки и определите координаты

Конечные точки для этого типа проблемы будут указаны в письменном виде или на графике. Записанный формат выглядит как (x1, y1) и (x2, y2). Числа в этом примере — это просто индексы, то есть они просто нужны, чтобы различать две конечные точки (конечная точка 1 и конечная точка 2).

Если есть график, используйте его для определения конечных точек.2]. Это может выглядеть как сложная формула, но, следуя порядку операций, ее легко решить. Как только уравнение будет решено, ученик будет знать точное расстояние между двумя конечными точками.

Пример использования формулы расстояния

Может быть полезно увидеть пример использования этой формулы, чтобы увидеть, как именно определяется расстояние. В примере используются конечные точки (2,3) и (5,7). Чтобы решить, используйте первую конечную точку как (x1, y1), а вторую конечную точку как (x2, y2) для простоты. 2]

Возвести в квадрат оба числа, умножив их сами на себя:

d = √ [9 + 16]

Сложите числа:

d = √25

И, наконец, найдите квадратный корень из числа.

д = 5

Для конечных точек (2,3) и (5,7) расстояние будет 5.

Что следует помнить

Формула всегда будет заканчиваться положительным числом, поскольку координаты x и y возводятся в квадрат перед их сложением.Отрицательное число в квадрате означает умножение отрицательного числа на само себя, что приведет к положительному числу. Кроме того, ответ не всегда будет целым числом. Это могло быть десятичное число.

Может показаться, что это сложная формула, которую трудно решить, но после того, как вы попрактикуетесь с ней несколько раз, ее легко решить. Потратьте время на то, чтобы попрактиковаться в приведенном выше примере, не следуя объяснениям, чтобы увидеть, получите ли вы правильный ответ, и потренируйтесь, прежде чем переходить к другим вопросам. Вы увидите, насколько легко можно просто следовать формуле и находить правильный ответ.

Расстояние между двумя точками 2D Формула

Эта формула вычисляет расстояние между двумя точками

Для расчета расстояния между двумя точками в двух измерениях можно использовать формулу ниже.

Например, чтобы найти расстояние между точкой и точкой, подставьте их координаты в формулу следующим образом:

Рассчитайте результат.

Расстояние между двумя точками и составляет единицы.

Этот пример демонстрирует, как найти расстояние между двумя точками и.

1. Начните с формулы расстояния между двумя точками (2D).

2. Подставьте координаты точек в формулу.

3. Оцените выражения вычитания.

4. Оцените выражения абсолютного значения.

5. Вычислите выражения экспоненты.

6. Оцените операцию добавления.

   Извлеките квадратный корень.

   Расстояние между точками и равно единицам.

Этот пример демонстрирует, как найти расстояние между двумя точками и.

1. Начните с формулы расстояния между двумя точками (2D).

2. Подставьте координаты точек в формулу.

3. Оцените выражения вычитания.

4. Оцените выражения абсолютного значения.

5. Вычислите выражения экспоненты.

6. Вычислите выражение сложения.

   При желании извлеките квадратный корень.

   Расстояние между точками и равно единицам.

Этот пример демонстрирует, как найти расстояние между двумя точками и.

1. Начните с формулы расстояния между двумя точками (2D).

2. Подставьте координаты точек в формулу.

3. Оцените выражения вычитания.

4. Возьмите абсолютное значение двух выражений.

5. Вычислить выражения экспоненты.

6. Вычислите оператор сложения.

   При желании извлеките квадратный корень.

   Расстояние между точками и равно единицам.

Формула для расстояния между двумя точками и может быть получена с помощью комбинации теоремы Пифагора и формулы расстояния между двумя точками (1D).

1. Обратите внимание, что геометрия двух точек и образует форму прямоугольного треугольника в декартовой системе координат.Гипотенуза, помеченная переменной, равна расстоянию между двумя точками. Это проиллюстрировано ниже.

2. Составьте уравнение теоремы Пифагора.

3. Переставьте уравнение и извлеките квадратный корень из обеих частей.

4. Найдите длины смежного и противоположного прямоугольного треугольника, применив формулу одномерного расстояния.

5. Подставьте эти выражения в выражение из шага три.

   Наконец, измените переменную на представление расстояния, и мы вывели формулу.

Теорема Пифагора приравнивает квадрат сторон прямоугольного треугольника вместе.

Расстояние между двумя точками в одном измерении определяется абсолютным значением разницы между двумя значениями.

Урок по формуле расстояния — Бесплатная справка по математике

Введение

Мы используем так называемую формулу расстояния , чтобы получить расстояние между любыми двумя точками в пространстве.Допустим, вам нужно определить расстояние между точками (2,0) и (5,0). Вот как они выглядят на графике:

С первого взгляда можно сказать, что они разделены на 3 единицы. 2} $$

Разрушение

На первый взгляд, эта формула выглядит как беспорядок! Но просто подумайте о компонентах \ (x_ {2} -x_ {1} \) и \ (y_ {2} -y_ {1} \) как о длине в каждом направлении.Используя эти два значения, мы математически строим воображаемый треугольник с двумя катетами, длину которых мы можем вычислить. Позвольте мне показать вам, что я имею в виду визуально:

Мы просто измеряем расстояние вдоль каждой оси, а затем используем теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы, которая представляет собой воображаемую линию непосредственно между двумя нашими точками. Не имеет значения, какая точка равна \ ((x_ {1}, y_ {1}) \), а какая — \ ((x_ {2}, y_ {2}) \). Ключевая идея, которую следует извлечь из этого графика, заключается в том, что вас интересует только изменение на по x и изменение на по y.2} $$

Как мы пришли к этой формуле? Это просто теорема Пифагора, которая позволяет нам найти гипотенузу прямоугольного треугольника. В нашем случае гипотенуза — это расстояние между двумя точками!

Давайте теперь посмотрим на простой пример:

Пример:

Найдите расстояние между двумя точками (5,5) и (1,2), используя формулу расстояния.

Решение:

Вместо того, чтобы слепо подставлять числа в формулы, нарисуйте график, чтобы знать, что происходит.2} $$
$$ \ text {расстояние} = \ sqrt {16 + 9} $$
$$ \ text {расстояние} = \ sqrt {25} $$
$$ \ text {distance} = 5 $$

Как только мы узнали, что \ (x_ {2} -x_ {1} \) равно 4 и \ (y_ {2} -y_ {1} \) равно 3, мы просто вставили эти числа в формулу расстояния для решения .

Вам может быть интересно, что произойдет, если вы перевернете точки? Помните, что мы имеем дело с расстояниями, которые по своей сути положительны. Расстояние одинаково в обоих направлениях, от точки 1 до точки 2 или наоборот. Итак, просто используйте положительное расстояние между двумя точками.Если вы посмотрите на формулу, вы заметите, что \ (x_ {2} -x_ {1} \) и \ (y_ {2} -y_ {1} \) возведены в квадрат, что в любом случае автоматически делает их положительными. 2} $$
$$ \ text {расстояние} = \ sqrt {25 + 121} $$
$$ \ text {расстояние} = \ sqrt {146} $$
$$ \ text {distance} = 12.08 $$

Формула расстояния несложная — вам просто нужно попрактиковаться с графиком, чтобы понимать, что происходит. Вы просто строите треугольник и находите длину гипотенузы. Формула расстояния — это просто теорема Пифагора!

Расширение до трех измерений

А как насчет трехмерного пространства? Как найти расстояние между точками (1,5,0) и (2,0, 8)? Конечно, построить график и измерить расстояние намного сложнее! Формула трехмерного расстояния на самом деле очень проста.2} $$

Если вы зашли так далеко, надеюсь, вы лучше понимаете формулу расстояния. Если это не так, вот еще один урок по формуле расстояния, доступный в Интернете.

.