Шахматная задача о восьми ферзях: Разбираемся, что же там нового открыли в задаче о ферзях / Хабр

задача о 8 ферзях | C++ для приматов

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include<fstream>

using namespace std;

const int n = 8;// Размер поля

int count_test = 0;// Количество тестов

int mincountstep = n + 1; //Количество ходов

int frtest[n]; //расстановка теста

int fr[n]; //правильная расстановка

bool check(int nf)

// проверка битых полей

{

if ( fr[nf] < 0 )  return false; //На всякий случай, чтобы не проверять поля где нет ферзей

    for (int i = 0; i < n && fr[i] >= 0; i++) {          

        if ( i == nf ) continue;

        if (fr[nf] == fr[i]  ) return false;  // (Горизонталь)

        if ( (nf + fr[nf]) ==  (i + fr[i]) ) return false; // Нисходящая диагональ

        if ( (nf — fr[nf]) ==  (i — fr[i]) ) return false; // Восходящая диагональ

    }  

    return true; //если поле свободно

}

void calc_min_strok()

// Вычисление количества ходов и нахождение минимального

{

   int countstep = 0; // количество ходов

   for (int i = 0; i < n; i++){

      if ( frtest[i] != fr[i] ) countstep++;

   }

   if ( mincountstep > countstep ) mincountstep = countstep;

}

bool line_up(int i)

//рекурсивня функция установки ферзей (стек расстановок)

{

    if ( i > n-1) return false ;

    for (int j = 0; j < n; j++) {

        fr[i] = j;

        if ( check(i) == true ) {              

            if ( i == n-1) { //Если дошли до последней колонки и всё хорошо

            calc_min_strok();

            } else {

                line_up(i+1);

            }

        }

        fr[i] = -1 ;  

    }

  return false ;

}

int main()

{

cin >> count_test;

//Обнуление начального массива

for (int test = 0; test < count_test; test++ ){

   mincountstep = n + 1;

       for (int i = 0; i < n; i++) fr[i] = -1;

       //ввод данных теста

   for (int i = 0; i < n; i++) {    

         cin >> frtest[i];  

    frtest[i]—;    

   }

       line_up(0);    

       cout << mincountstep;

}  

    return 0;

}

Задача о восьми ферзях — это… Что такое Задача о восьми ферзях?

Задача о восьми ферзях.
Одно из решений: a7, b4, c2, d8, e6, f1, g3, h5:(87)

Задача о восьми ферзях — широко известная задача по расстановке фигур на шахматной доске. Исходная формулировка: «Расставить на стандартной 64-клеточной шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один из них не находился под боем другого».

Формулировка

В более «математическом» виде задача может быть сформулирована несколькими способами, например, так: «Заполнить матрицу размером 8×8 нулями и единицами таким образом, чтобы сумма всех элементов матрицы была равна 8, при этом сумма элементов ни в одном столбце, строке или диагональном ряде матрицы не превышала единицы».

Конечная цель, поставленная перед решающим задачу, может формулироваться в нескольких вариантах:

• Построить одно, любое решение задачи.
• Аналитически доказать, что решение существует.
• Определить количество решений.
• Построить все возможные решения.
• Одна из типовых задач по программированию алгоритмов перебора: создать компьютерную программу, находящую все возможные решения задачи.

Иногда постановка задачи требует нахождения способов расстановки N ферзей на доске N×N клеток (при этом при 1<N<4 задача не имеет решения).Подробно об этом изложено в украинской и английской версиях данной статьи в Википедии.

Мы же подробнее рассмотрим классический “шахматный” случай для доски 8*8.

Особенности решения

Общее число возможных расположений 8 ферзей на 64-клеточной доске равно 4426165368. Общее число возможных расположений, удовлетворяющих условию задачи равно 92. В принципе, современные компьютеры уже позволяют произвести решение задачи (нахождение любого или всех решений) путём прямого перебора всех возможных вариантов расстановки, но обычно такое решение считается некорректным, и от решающего задачу требуется найти алгоритм, который позволял бы существенно сократить объём перебора. Например, очевидно, что на одной горизонтали или вертикали доски не может находиться больше одного ферзя, поэтому алгоритм решения изначально не должен включать в перебор позиции, где два ферзя стоят на одной горизонтали или вертикали. Даже такое простое правило способно существенно уменьшить число возможных расположений: 16777216 (то есть ) вместо 4426165368. Генерируя перестановки, которые являются решениями задачи о восьми ладьях и затем проверяя атаки по диагоналям, можно сократить число возможных расположений всего до 40320 (то есть 8!). Однако, если условие нападения по диагонали учитывать при генерации позиций, скорость счёта возрастает на порядок.

Один из типовых алгоритмов решения задачи — использование поиска с возвратом: первый ферзь ставится на первую горизонталь, затем каждый следующий пытаются поставить на следующую так, чтобы его не били ранее установленные ферзи. Если на очередном этапе постановки свободных полей не оказывается, происходит возврат на шаг назад — переставляется ранее установленный ферзь (такой алгоритм использован в опубликованных ниже программах).

Ниже приведена программа, реализующая этот алгоритм на QBasic-е.

 CLS
 DEFINT A-I
 OPEN "ferz" FOR OUTPUT AS #1
 FOR a = 1 TO 8
 FOR b = 1 TO 8
  IF b = a THEN 8
  IF ABS(b - a) = 1 THEN 8
   FOR c = 1 TO 8
 IF c = a OR c = b THEN 7
 IF ABS(c - b) = 1 OR ABS(c - a) = 2 THEN 7
 FOR d = 1 TO 8
 IF d = a OR d = b OR d = c THEN 6
 IF ABS(d - c) = 1 OR ABS(d - b) = 2 OR ABS(d - a) = 3 THEN 6
 FOR e = 1 TO 8
 IF e = a OR e = b OR e = c OR e = d THEN 5
  IF ABS(e - d) = 1 OR ABS(e - c) = 2 OR ABS(e - b) = 3 OR ABS(e - a) = 4 THEN 5
 FOR f = 1 TO 8
 IF f = a OR f = b OR f = c OR f = d OR f = e THEN 4
   IF ABS(f - e) = 1 OR ABS(f - d) = 2 OR ABS(f - c) = 3 OR ABS(f - b) = 4 >
 OR ABS(f - a) = 5 THEN 4
 FOR g = 1 TO 8
 IF g = a OR g = b OR g = c OR g = d OR g = e OR g = f THEN 3
  IF ABS(g - f) = 1 OR ABS(g - e) = 2 OR ABS(g - d) = 3 OR ABS(g - c) = 4  >
 OR ABS(g - b) = 5 OR ABS(g - a) = 6 THEN 3
 FOR h = 1 TO 8
 IF h = a OR h = b OR h = c OR h = d OR h = e OR h = f OR h = g THEN 2
 IF ABS(h-g) = 1 OR ABS(h-f) = 2 OR ABS(h-e) = 3 OR ABS(h-d) = 4 OR ABS(h-c) = 5     >
 OR ABS(h-b) = 6 OR ABS(h-a) = 7 THEN 2
 i = i + 1 
 PRINT i; " "; "a"; a; " "; "b"; b; " "; "c"; c; " "; "d"; d;
 PRINT " "; "e"; e; " "; "f"; f; " "; "g"; g; " "; "h"; h
 PRINT #1, i; " "; "a"; a; " "; "b"; b; " "; "c"; c; " "; "d";
 PRINT #1, d; " "; "e"; e; " "; "f"; f; " "; "g"; g; " "; "h"; h
 2 NEXT h
 3 NEXT g
 4 NEXT f
 5 NEXT e
 6 NEXT d
 7 NEXT c
 8 NEXT b
 NEXT a
 END

Результаты работы программы (вывод)

Список позиций, выдаваемый программой, является списком решений исходной задачи:

1  a 1  b 5  c 8  d 6  e 3  f 7  g 2  h 4 
2  a 1  b 6  c 8  d 3  e 7  f 4  g 2  h 5 
3  a 1  b 7  c 4  d 6  e 8  f 2  g 5  h 3 
4  a 1  b 7  c 5  d 8  e 2  f 4  g 6  h 3 
5  a 2  b 4  c 6  d 8  e 3  f 1  g 7  h 5 
6  a 2  b 5  c 7  d 1  e 3  f 8  g 6  h 4 
7  a 2  b 5  c 7  d 4  e 1  f 8  g 6  h 3 
8  a 2  b 6  c 1  d 7  e 4  f 8  g 3  h 5 
9  a 2  b 6  c 8  d 3  e 1  f 4  g 7  h 5 
10  a 2  b 7  c 3  d 6  e 8  f 5  g 1  h 4 
11  a 2  b 7  c 5  d 8  e 1  f 4  g 6  h 3 
12  a 2  b 8  c 6  d 1  e 3  f 5  g 7  h 4 
13  a 3  b 1  c 7  d 5  e 8  f 2  g 4  h 6 
14  a 3  b 5  c 2  d 8  e 1  f 7  g 4  h 6 
15  a 3  b 5  c 2  d 8  e 6  f 4  g 7  h 1 
16  a 3  b 5  c 7  d 1  e 4  f 2  g 8  h 6 
17  a 3  b 5  c 8  d 4  e 1  f 7  g 2  h 6 
18  a 3  b 6  c 2  d 5  e 8  f 1  g 7  h 4 
19  a 3  b 6  c 2  d 7  e 1  f 4  g 8  h 5 
20  a 3  b 6  c 2  d 7  e 5  f 1  g 8  h 4 
21  a 3  b 6  c 4  d 1  e 8  f 5  g 7  h 2 
22  a 3  b 6  c 4  d 2  e 8  f 5  g 7  h 1 
23  a 3  b 6  c 8  d 1  e 4  f 7  g 5  h 2 
24  a 3  b 6  c 8  d 1  e 5  f 7  g 2  h 4 
25  a 3  b 6  c 8  d 2  e 4  f 1  g 7  h 5 
26  a 3  b 7  c 2  d 8  e 5  f 1  g 4  h 6 
27  a 3  b 7  c 2  d 8  e 6  f 4  g 1  h 5 
28  a 3  b 8  c 4  d 7  e 1  f 6  g 2  h 5 
29  a 4  b 1  c 5  d 8  e 2  f 7  g 3  h 6 
30  a 4  b 1  c 5  d 8  e 6  f 3  g 7  h 2 
31  a 4  b 2  c 5  d 8  e 6  f 1  g 3  h 7 
32  a 4  b 2  c 7  d 3  e 6  f 8  g 1  h 5 
33  a 4  b 2  c 7  d 3  e 6  f 8  g 5  h 1 
34  a 4  b 2  c 7  d 5  e 1  f 8  g 6  h 3 
35  a 4  b 2  c 8  d 5  e 7  f 1  g 3  h 6 
36  a 4  b 2  c 8  d 6  e 1  f 3  g 5  h 7 
37  a 4  b 6  c 1  d 5  e 2  f 8  g 3  h 7 
38  a 4  b 6  c 8  d 2  e 7  f 1  g 3  h 5 
39  a 4  b 6  c 8  d 3  e 1  f 7  g 5  h 2 
40  a 4  b 7  c 1  d 8  e 5  f 2  g 6  h 3 
41  a 4  b 7  c 3  d 8  e 2  f 5  g 1  h 6 
42  a 4  b 7  c 5  d 2  e 6  f 1  g 3  h 8 
43  a 4  b 7  c 5  d 3  e 1  f 6  g 8  h 2 
44  a 4  b 8  c 1  d 3  e 6  f 2  g 7  h 5 
45  a 4  b 8  c 1  d 5  e 7  f 2  g 6  h 3 
46  a 4  b 8  c 5  d 3  e 1  f 7  g 2  h 6 
47  a 5  b 1  c 4  d 6  e 8  f 2  g 7  h 3 
48  a 5  b 1  c 8  d 4  e 2  f 7  g 3  h 6 
49  a 5  b 1  c 8  d 6  e 3  f 7  g 2  h 4 
50  a 5  b 2  c 4  d 6  e 8  f 3  g 1  h 7 
51  a 5  b 2  c 4  d 7  e 3  f 8  g 6  h 1 
52  a 5  b 2  c 6  d 1  e 7  f 4  g 8  h 3 
53  a 5  b 2  c 8  d 1  e 4  f 7  g 3  h 6 
54  a 5  b 3  c 1  d 6  e 8  f 2  g 4  h 7 
55  a 5  b 3  c 1  d 7  e 2  f 8  g 6  h 4 
56  a 5  b 3  c 8  d 4  e 7  f 1  g 6  h 2 
57  a 5  b 7  c 1  d 3  e 8  f 6  g 4  h 2 
58  a 5  b 7  c 1  d 4  e 2  f 8  g 6  h 3 
59  a 5  b 7  c 2  d 4  e 8  f 1  g 3  h 6 
60  a 5  b 7  c 2  d 6  e 3  f 1  g 4  h 8 
61  a 5  b 7  c 2  d 6  e 3  f 1  g 8  h 4 
62  a 5  b 7  c 4  d 1  e 3  f 8  g 6  h 2 
63  a 5  b 8  c 4  d 1  e 3  f 6  g 2  h 7 
64  a 5  b 8  c 4  d 1  e 7  f 2  g 6  h 3 
65  a 6  b 1  c 5  d 2  e 8  f 3  g 7  h 4 
66  a 6  b 2  c 7  d 1  e 3  f 5  g 8  h 4 
67  a 6  b 2  c 7  d 1  e 4  f 8  g 5  h 3 
68  a 6  b 3  c 1  d 7  e 5  f 8  g 2  h 4 
69  a 6  b 3  c 1  d 8  e 4  f 2  g 7  h 5 
70  a 6  b 3  c 1  d 8  e 5  f 2  g 4  h 7 
71  a 6  b 3  c 5  d 7  e 1  f 4  g 2  h 8 
72  a 6  b 3  c 5  d 8  e 1  f 4  g 2  h 7 
73  a 6  b 3  c 7  d 2  e 4  f 8  g 1  h 5 
74  a 6  b 3  c 7  d 2  e 8  f 5  g 1  h 4 
75  a 6  b 3  c 7  d 4  e 1  f 8  g 2  h 5 
76  a 6  b 4  c 1  d 5  e 8  f 2  g 7  h 3 
77  a 6  b 4  c 2  d 8  e 5  f 7  g 1  h 3 
78  a 6  b 4  c 7  d 1  e 3  f 5  g 2  h 8 
79  a 6  b 4  c 7  d 1  e 8  f 2  g 5  h 3 
80  a 6  b 8  c 2  d 4  e 1  f 7  g 5  h 3 
81  a 7  b 1  c 3  d 8  e 6  f 4  g 2  h 5 
82  a 7  b 2  c 4  d 1  e 8  f 5  g 3  h 6 
83  a 7  b 2  c 6  d 3  e 1  f 4  g 8  h 5 
84  a 7  b 3  c 1  d 6  e 8  f 5  g 2  h 4 
85  a 7  b 3  c 8  d 2  e 5  f 1  g 6  h 4 
86  a 7  b 4  c 2  d 5  e 8  f 1  g 3  h 6 
87  a 7  b 4  c 2  d 8  e 6  f 1  g 3  h 5 
88  a 7  b 5  c 3  d 1  e 6  f 8  g 2  h 4 
89  a 8  b 2  c 4  d 1  e 7  f 5  g 3  h 6 
90  a 8  b 2  c 5  d 3  e 1  f 7  g 4  h 6 
91  a 8  b 3  c 1  d 6  e 2  f 5  g 7  h 4 
92  a 8  b 4  c 1  d 3  e 6  f 2  g 7  h 5 

Интересно отметить, что эти 92 расположения разбиваются на 12 групп:11 групп по 8 и 1-у из 4-х расположений. Положения внутри групп получаются из одного положения путем преобразований симметрии:отражения от вертикальной и горизонтальной осей, отражения от диагоналей доски и поворотов на 90,180 и 270 градусов.Пары расположений,симметричные относительно горизонтальной оси,имеют сумму номеров равную 93,т.е. для каждой группы эта суммма равна 93*4.Программу,получающую эти группы,программу,получающую позиции ферзей при любом n и другие программы на эту тему см.на сайте:

[ http://nabasice.narod2.ru/]
     

1

  a 1  b 5  c 8  d 6  e 3  f 7  g 2  h 4 :1
  a 4  b 2  c 7  d 3  e 6  f 8  g 5  h 1 :33
  a 8  b 4  c 1  d 3  e 6  f 2  g 7  h 5 :92
  a 1  b 7  c 5  d 8  e 2  f 4  g 6  h 3 :4  +(3)
  a 6  b 3  c 5  d 7  e 1  f 4  g 2  h 8 :71
  a 8  b 2  c 4  d 1  e 7  f 5  g 3  h 6 :89
  a 5  b 7  c 2  d 6  e 3  f 1  g 4  h 8 :60
  a 3  b 6  c 4  d 2  e 8  f 5  g 7  h 1 :22

2

  a 1  b 6  c 8  d 3  e 7  f 4  g 2  h 5 :2
  a 5  b 2  c 4  d 7  e 3  f 8  g 6  h 1 :51
  a 8  b 3  c 1  d 6  e 2  f 5  g 7  h 4 :91
  a 1  b 7  c 4  d 6  e 8  f 2  g 5  h 3 :3  +(2)
  a 6  b 4  c 7  d 1  e 3  f 5  g 2  h 8 :78
  a 8  b 2  c 5  d 3  e 1  f 7  g 4  h 6 :90
  a 4  b 7  c 5  d 2  e 6  f 1  g 3  h 8 :42
  a 3  b 5  c 2  d 8  e 6  f 4  g 7  h 1 :15

3

  a 2  b 4  c 6  d 8  e 3  f 1  g 7  h 5 :5  +(1)
  a 5  b 7  c 1  d 3  e 8  f 6  g 4  h 2 :57
  a 7  b 5  c 3  d 1  e 6  f 8  g 2  h 4 :88
  a 6  b 1  c 5  d 2  e 8  f 3  g 7  h 4 :65
  a 5  b 2  c 6  d 1  e 7  f 4  g 8  h 3 :52
  a 3  b 8  c 4  d 7  e 1  f 6  g 2  h 5 :28
  a 4  b 2  c 8  d 6  e 1  f 3  g 5  h 7 :36
  a 4  b 7  c 3  d 8  e 2  f 5  g 1  h 6 :41

4

  a 2  b 5  c 7  d 1  e 3  f 8  g 6  h 4:6
  a 4  b 6  c 8  d 3  e 1  f 7  g 5  h 2:39
  a 7  b 4  c 2  d 8  e 6  f 1  g 3  h 5:87
  a 4  b 1  c 5  d 8  e 2  f 7  g 3  h 6:29 +(4)
  a 3  b 6  c 2  d 7  e 1  f 4  g 8  h 5:19
  a 5  b 8  c 4  d 1  e 7  f 2  g 6  h 3:64
  a 5  b 3  c 1  d 6  e 8  f 2  g 4  h 7:54
  a 6  b 3  c 7  d 2  e 8  f 5  g 1  h 4:74  

5

  a 2  b 5  c 7  d 4  e 1  f 8  g 6  h 3 :7
  a 3  b 6  c 8  d 1  e 4  f 7  g 5  h 2 :23
  a 7  b 4  c 2  d 5  e 8  f 1  g 3  h 6 :86
  a 5  b 1  c 8  d 4  e 2  f 7  g 3  h 6 :48  +(5)
  a 3  b 6  c 2  d 7  e 5  f 1  g 8  h 4 :20
  a 4  b 8  c 1  d 5  e 7  f 2  g 6  h 3 :45
  a 6  b 3  c 1  d 8  e 5  f 2  g 4  h 7 :70
  a 6  b 3  c 7  d 2  e 4  f 8  g 1  h 5 :73

6

  a 2  b 6  c 1  d 7  e 4  f 8  g 3  h 5 :8
  a 5  b 3  c 8  d 4  e 7  f 1  g 6  h 2 :56
  a 7  b 3  c 8  d 2  e 5  f 1  g 6  h 4 :85
  a 3  b 1  c 7  d 5  e 8  f 2  g 4  h 6 :13  +(6)
  a 3  b 5  c 7  d 1  e 4  f 2  g 8  h 6 :16
  a 6  b 8  c 2  d 4  e 1  f 7  g 5  h 3 :80
  a 4  b 6  c 1  d 5  e 2  f 8  g 3  h 7 :37
  a 6  b 4  c 2  d 8  e 5  f 7  g 1  h 3 :77

7

  a 2  b 6  c 8  d 3  e 1  f 4  g 7  h 5 :9
  a 5  b 7  c 4  d 1  e 3  f 8  g 6  h 2 :62
  a 7  b 3  c 1  d 6  e 8  f 5  g 2  h 4 :84
  a 5  b 1  c 4  d 6  e 8  f 2  g 7  h 3 :47  +(7)
  a 6  b 2  c 7  d 1  e 3  f 5  g 8  h 4 :66
  a 4  b 8  c 5  d 3  e 1  f 7  g 2  h 6 :46
  a 4  b 2  c 5  d 8  e 6  f 1  g 3  h 7 :31
  a 3  b 7  c 2  d 8  e 6  f 4  g 1  h 5 :27

8

  a 2  b 7  c 3  d 6  e 8  f 5  g 1  h 4 :10
  a 4  b 1  c 5  d 8  e 6  f 3  g 7  h 2 :30
  a 7  b 2  c 6  d 3  e 1  f 4  g 8  h 5 :83
  a 7  b 1  c 3  d 8  e 6  f 4  g 2  h 5 :81  +(8)
  a 4  b 7  c 5  d 3  e 1  f 6  g 8  h 2 :43
  a 2  b 8  c 6  d 1  e 3  f 5  g 7  h 4 :12
  a 5  b 8  c 4  d 1  e 3  f 6  g 2  h 7 :63
  a 5  b 2  c 4  d 6  e 8  f 3  g 1  h 7 :50

9

  a 2  b 7  c 5  d 8  e 1  f 4  g 6  h 3 :11
  a 3  b 6  c 4  d 1  e 8  f 5  g 7  h 2 :21
  a 7  b 2  c 4  d 1  e 8  f 5  g 3  h 6 :82
  a 5  b 1  c 8  d 6  e 3  f 7  g 2  h 4 :49  +(9)
  a 5  b 7  c 2  d 6  e 3  f 1  g 8  h 4 :61
  a 4  b 8  c 1  d 3  e 6  f 2  g 7  h 5 :44 
  a 6  b 3  c 5  d 8  e 1  f 4  g 2  h 7 :72
  a 4  b 2  c 7  d 3  e 6  f 8  g 1  h 5 :32

10

  a 3  b 5  c 2  d 8  e 1  f 7  g 4  h 6 :14
  a 6  b 4  c 7  d 1  e 8  f 2  g 5  h 3 :79
  a 6  b 4  c 7  d 1  e 8  f 2  g 5  h 3 :79 
  a 5  b 3  c 1  d 7  e 2  f 8  g 6  h 4 :55 +(12)
  a 5  b 3  c 1  d 7  e 2  f 8  g 6  h 4 :55
  a 4  b 6  c 8  d 2  e 7  f 1  g 3  h 5 :38
  a 3  b 5  c 2  d 8  e 1  f 7  g 4  h 6 :14
  a 4  b 6  c 8  d 2  e 7  f 1  g 3  h 5 :38

11

  a 3  b 5  c 8  d 4  e 1  f 7  g 2  h 6 :17
  a 6  b 2  c 7  d 1  e 4  f 8  g 5  h 3 :67
  a 6  b 4  c 1  d 5  e 8  f 2  g 7  h 3 :76
  a 5  b 7  c 1  d 4  e 2  f 8  g 6  h 3 :58  +(10)
  a 6  b 3  c 1  d 7  e 5  f 8  g 2  h 4 :68
  a 4  b 2  c 8  d 5  e 7  f 1  g 3  h 6 :35
  a 3  b 7  c 2  d 8  e 5  f 1  g 4  h 6 :26
  a 3  b 6  c 8  d 2  e 4  f 1  g 7  h 5 :25  

12

  a 3  b 6  c 2  d 5  e 8  f 1  g 7  h 4 :18
  a 4  b 7  c 1  d 8  e 5  f 2  g 6  h 3 :40
  a 6  b 3  c 7  d 4  e 1  f 8  g 2  h 5 :75
  a 6  b 3  c 1  d 8  e 4  f 2  g 7  h 5 :69  +(11)
  a 4  b 2  c 7  d 5  e 1  f 8  g 6  h 3 :34
  a 3  b 6  c 8  d 1  e 5  f 7  g 2  h 4 :24
  a 5  b 2  c 8  d 1  e 4  f 7  g 3  h 6 :53
  a 5  b 7  c 2  d 4  e 8  f 1  g 3  h 6 :59  
                
 Вот как выглядит это разделение.Причём сумма номеров позиций 
 в каждой группе :372.Группа номер 10 – симметрическая.

В этой группе при повороте на 180 градусов позиции переходят сами в себя. Характерной особенностью симметрических положений является пустой квадрат 4*4 в середине доски и пустые диагонали. Таким образом,имея 12 расположений — по одному из каждой группы, можно получить все остальные,что,впрочем,известно из шахматной литературы: (Е.Я.Гик:Шахматы и математика,Наука,Москва 1983). В списке крестиком отмечены позиции,которые выбраны в качестве базовых (т.е. тех,с которыми производятся преобразования симметрии) в английской и украинской версии данной статьи в Википедии и указаны номера, под которыми они в ней фигурируют. Здесь же базовые позиции (первые позиции в каждой группе) выбраны по признаку минимального номера в группе. Очевидно, что наборов базовых позиций можно составить (8^11)*4.

Вариант решения для доски произвольного размера на C#

Ниже приведен только класс, непосредственно реализующий алгоритм решения. (Полный код программы можно скачать по ссылке: http://adels.zp.ua/other/queens_cs.zip).

  class QueensProblem : IProblem {
    private int size;
    private int[] positions;
    private List<int[]> saved;
    private IProblemCallback cb;
 
    public void Init(int size, IProblemCallback cb) {
      this.size = size;
      this.cb = cb;
      positions = new int[size];
      saved = new List<int[]>();
    }
 
    private void Save() {
      saved.Add((int[]) positions.Clone());
    }
 
    private bool Step() {
      int s = size;
      for (int i = 1; i < s; i++) {
        int pos = positions[i];
        while (true) {
          bool found = false;
          for (int j = 0; j < i; j++) {
            int epos = positions[j];
            if (epos == pos || pos - i == epos - j || pos + i == epos + j) {
              if (++pos >= s) {
                if (!Next(i)) return false;
                while (++i < s) positions[i] = 0;
                return true;
              }
              positions[i] = pos;
              found = true;
              break;
            }
          }
          if (!found) break;
        }
      }
      Save();
      return Next(s - 1);
    }
 
    private bool Next(int pos) {
      int s = size;
      if (++positions[pos] < s) return true;
      do {
        positions[pos] = 0;
        if (++positions[--pos] < s) return true;
      } while (pos > 0);
      return false;
    }
 
    public int Solve() {
      float prev = 0;
      int sq = size * size;
      while (Step()) {
        int part = positions[0] * size + positions[1];
        if (part != prev) cb.Progress((float) (prev = part) / sq);
      }
      return saved.Count;
    }
 
    public List<int[]> GetResults() {
      return saved;
    }
 
    public int Size {
      get { return size; }
    }
 
  }

Время выполнения алгоритма

График зависимости времени от размера (экспоненциальный)

Ниже представлена зависимость времени выполнения программы от размера доски (время приведено для компьютера с процессором Intel Core2 Q6600 @ 2.4 ГГц):

Характер зависимости времени выполнения от размера доски — экспоненциальный (как показано на графике).

Альтернативный подход

Если решать более общую задачу об N ферзях при помощи описанного выше алгоритма, то такой перебор вариантов даже с использованием описанных выше сокращений будет весьма долго работать уже при N = 20, так как 20! = 2.433·10¹⁸. Поэтому представляет особенный интерес следующий эвристический алгоритм, решающий задачу об N ферзях на поле размером N x N. Он работает для всех N ≥ 4 или N = 1:

1. Разделить N на 12 и запомнить остаток (N будет равно 8 для задачи о восьми ферзях).
2. Занести в список все четные числа от 2 до N по порядку.
3. Если остаток равен 3 или 9, перенести 2 в конец списка.
4. Добавить в список все нечетные числа от 1 до N по порядку, но, если остаток равен 8, перевернуть пары соседних чисел (например: 3, 1, 7, 5, 11, 9, …).
5. Если остаток равен 2 и N ≥ 3, поменять местами 1 и 3, затем, если N ≥ 5, перенести 5 в конец списка.
6. Если остаток равен 3 или 9, переместить 1 и 3 (именно в этом порядке, а не в котором они сейчас) в конец списка.
7. Разместить ферзя в первом столбце и в строке с номером, равным первому элементу списка, затем поместить следующего ферзя во втором столбце и в строке с номером, равным второму элементу списка, и т.д.

Для N = 8 результат работы этого алгоритма показан на картинке.

Еще несколько примеров:

• 14 ферзей (остаток 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 1, 7, 9, 11, 13, 5.
• 15 ферзей (остаток 3): 4, 6, 8, 10, 12, 14, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 1, 3.
• 20 ферзей (остаток 8): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 3, 1, 7, 5, 11, 9, 15, 13, 19, 17.

Реализация на C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
 
int main()
{
        int N, Mod;
        std::vector < int > L;
 
        std::cin >> N;
 
        Mod = N % 12;
 
        for ( int x = 2; x <= N; x += 2 )
                L.push_back( x );
 
        if ( Mod == 3 || Mod == 9 )
        {
                L.push_back( 2 );
                L.erase( L.begin() );
        }
 
        if ( Mod == 8 )
        {
                std::vector < int > V;
                for ( int x = 1; x <= N; x += 2 )
                        V.push_back( x );
                for ( int i = 1; i < V.size(); i += 2 )
                        std::swap( V.at( i ), V.at( i - 1 ) );
                for ( int i = 0; i < V.size(); ++i )
                        L.push_back( V.at( i ) );
        }
        else
                for ( int x = 1; x <= N; x += 2 )
                        L.push_back( x );
 
        if ( Mod == 2 && N >= 3 )
        {
                std::swap( *std::find( L.begin(), L.end(), 1 ), *std::find( L.begin(), L.end(), 3 ) );
                if ( N >= 5 )
                {
                        L.erase( std::find( L.begin(), L.end(), 5 ) );
                        L.push_back( 5 );
                }
        }
 
        if ( Mod == 3 || Mod == 9 )
        {
                L.erase( std::find( L.begin(), L.end(), 1 ) );
                L.push_back( 1 );
                L.erase( std::find( L.begin(), L.end(), 3 ) );
                L.push_back( 3 );
        }
 
        for ( int i = 0; i < L.size(); ++i )
                std::cout << L.at( i ) << " ";
 
        return 0;
}

Реализация на Haskell

position n = evenPosition ++ oddPosition where
  modN = n `mod` 12
  evenPosition
    | modN == 3 || modN == 9    = [4,6..n] ++ [2]
    | otherwise                 = [2,4..n]
  oddPosition = oneThree $ fiveSeven others where
    others
      | modN == 8       = swapPairs [9,11..n]
      | otherwise       = [9,11..n]
      where
        swapPairs []    = []
        swapPairs [x]   = [x]
        swapPairs (y:x:xs) = x:y:swapPairs xs   
    fiveSeven
      | modN == 2 && n >= 5     = ([7] ++) . (++ [5])
      | modN == 8               = ([7,5] ++)
      | n < 7                   = ([5,7..n] ++)
      | otherwise               = ([5,7] ++)
    oneThree
      | modN == 3 || modN == 9                  = (++ [1,3])
      | modN == 8 || (modN == 2 && n >= 3)      = ([3,1] ++)
      | n < 3                                   = ([1] ++)
      | otherwise                               = ([1,3] ++)
 
main = print $ map position [8,14,15,20]
-- [[2,4,6,8,3,1,7,5],
--  [2,4,6,8,10,12,14,3,1,7,9,11,13,5],
--  [4,6,8,10,12,14,2,5,7,9,11,13,15,1,3],
--  [2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,1,7,5,11,9,15,13,19,17]]

Ссылки

Задачу о N ферзях признали NP-полной задачей / Хабр

Первый вариант головоломки 1850 года, когда два ферзя заранее установлены на доску, а игрок должен расставить остальных ферзей (два решения задачи см. под катом)

Задача о N ферзях состоит в том, чтобы разместить N ферзей на доске размером N×N таким образом, чтобы ни один ферзь не находился под боем другого, при этом на доске заранее установлены несколько ферзей. То есть в итоге никакие два ферзя не должны находиться на одной линии или диагонали. Впервые задачку сформулировали в 1848 году, а в 1850 году придумали вариант головоломки, когда некоторое количество ферзей заранее поставлено на доску, а игрок должен расставить остальных, если это возможно.

Исследователи из Сент-Эндрюсского университета (Шотландия) опубликовали научную статью, в которой доказывают, что задача о N ферзях является не только #P-полной задачей, но также NP-полной задачей. Более того, Математический институт Клэя (США) готов заплатить миллион долларов любому, кто сможет оптимизировать решение этой задачи как задачи на доказательство P=NP.

Как известно, в теории сложности #P является классом проблем, решением которых является количество успешных, то есть, завершающихся в допускающих состояниях, путей вычислений для некой недетерминированной машины Тьюринга, работающей полиномиальное время. Вычислительные задачи класса #P (counting problems) связаны с соответствующими задачами разрешимости (decision problems) класса NP.

Учёные отмечают, что эта задача может быть самой простой среди NP-полных задач, чтобы объяснить суть этих проблем любому человеку, который знает правила игры в шахматы. У этой задачи вообще очень интересная история. В своё время она привлекла внимание Гаусса, который даже сделал небольшую ошибку в её решении (на доске 8×8 он сообщил о 76 решениях, но потом сам признал четыре из них ошибочными, так что остались только 72, а позже Гаусс установил все 92 решения для доски 8×8).

Обобщение задачи для доски N×N привлекло внимание многих математиков. За последние полвека вышло несколько десятков научных работ, посвящённых этой проблеме. Как минимум шесть из них цитируются более 400 раз на Google Scholar: это Golomb & Baumert, 1965; Bitner & Reingold, 1975; Mackworth & Freuder, 1985; Minton, Johnston, Philips, & Laird, 1992; Selman, Levesque & Mitchell, 1992; Crawford, Ginsberg, Luks, & Roy, 1996.

Сложность задачи о N ферзях часто неправильно оценивают. Даже в обильно цитируемых работах её часто называют NP-сложной задачей (NP-hard), но она будет таковой только при условии, что P=NP. На самом деле вычислительный вариант задачи, то есть определение количества решений для N ферзей, представляет собой последовательность A000170 из Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Эта последовательность сейчас известна максимум для n=27, где количество решений превышает 2,34×10¹⁷. Не известно ни одно более эффективное решение проблемы, чем простой перебор. Так, для n=27 в 2016 году использовался масштабный параллельный поиск на FPGA.

В то же время, если компьютер начнёт перебор возможных положений ферзей на доске 1000×1000 клеток, то он загрузится этой задачей навечно. По мнению учёных, если некто найдёт действительно быстрый и эффективный способ решения, то сможет извлечь из этого гораздо бóльшую выгоду, чем один миллион долларов от Математического института Клэя. «Если вы напишете программу, которая может решить проблему действительно быстро, вы могли бы адаптировать её для решения многих важных задач, с которыми мы сталкиваемся ежедневно, — говорит профессор информатики Ян Гент (Ian Gent), один из авторов научной работы. — Среди них тривиальные проблемы, такие как поиск самой большой группы ваших друзей в Facebook, которые не знают друг друга, или очень важные задачи, например, взлом кодов, которые обеспечивают безопасность всех наших онлайн-транзакций».

Но это чисто теоретические измышления. На практике никто пока не приблизился к решению задачи о N ферзях быстрым и эффективным способом. За доказательство, что существует более эффективный способ решения задачи, чем простой перебор всех вариантов, дадут миллион долларов.

Научная статья опубликована в августе 2017 года в журнале Journal of Artificial Intelligence Research (doi:10.1613/jair.5512, pdf).

P.S. Два решения задачи с КДПВ:

Кто может сделать быстрее? «Задача о восьми Ферзях»

Решение задачи о восьми ферзях методом ООП

Задача о восьми ферзях

В шахматах ферзь может бить любую фигуру, стоящую в одном с ним ряду, столбце или диагонали

Необходимо расставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один из них не бил другого

Одно из решений задачи о восьми ферзях

8Q

5Q

2

Традиционное (процедурное) решение задачи

Для описания позиций фигур используется матрица

Программа решает задачу, систематически перебирая значения в матрице и проверяя каждую позицию: не удовлетворяет ли она условию?

Традиционная программа подобна человеку, находящемуся над доской и передвигающему безжизненные фигуры

3

Объектно-ориентированное решение задачи

В объектно-ориентированном подходе фигуры наделяются жизнью, чтобы они решили проблему самостоятельно

Вместо одного существа, управляющего процессом, ответственность за нахождение решения разделяется среди многих взаимодействующих агентов

Шахматные фигуры выступают одушевленными существами, взаимодействующими между собой, которым поручено найти решение

4

Исследование задачи

В любом случае никакие два ферзя не могут занимать один столбец и, следовательно, все столбцы заняты

Каждый ферзь должен знать только о своем соседе слева

Приемлемое решение для столбца N — это такая конфигурация столбцов с 1 по N, в которой ни один

5 ферзь из этих столбцов не бьет другого

Исследование задачи

Каждому ферзю будет поручено найти приемлемое решение для себя и своих соседей слева

Решение всей задачи будет получено, когда самый правый ферзь отыщет приемлемое решение

Получение общего решения

Сначала все ферзи располагаются на первой строке разных столбцов доски

Последовательно для каждого ферзя, начиная с крайнего левого, находится приемлемое решение для него и его соседей слева

Решение будет получено, когда получим приемлемое решение для крайнего правого ферзя или когда

7 он не будет никем атакован

Получение приемлемого решения для ферзя и его соседей слева

Ферзь проверяет, находится ли он под атакой ферзей слева

Если его атакуют, то он смещается вверх

Если смещаться некуда, то он просит сместиться соседей слева для получения приемлемого решения и сам смещается на первую строку

Крайний левый ферзь перемещается вверх, а если 8 смещаться некуда, то — на первую строку

Расстановка первых трех ферзей

Задача восьми королев