Sin z комплексные числа: 9.13. exp(z), sinz, cosz

2=-1 \).

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения \(а + bi\). Число \(а\) называется действительной частью
комплексного числа \(а + bi\), а число \(b\) — его мнимой частью. Число \(i\) называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа \(2-3i\) равна \(2\), мнимая часть равна \(-3\).

Запись комплексного числа в виде \(а + bi\) называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.

Два комплексных числа \(a + bi\) и \(c + di\) называются равными тогда и только тогда, когда \(a =c\) и \(b =d\), т. е. когда равны
их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел \(a+ bi\) и \(c + di\) называется комплексное число \( (a+c) + (b+d)i \), т.2=-1 \).

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство

\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \),

\( z_1z_2 = z_2z_1 \)

2. Сочетательное свойство

\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \),

\( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)

3. Распределительное свойство

\( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом \(z = a + bi\) называется комплексное число \(a -bi\), которое обозначается \( \overline{z} \), т. е.

\( \overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi \)

Например :

\( \overline{3 + 4i} = 3-4i \),

\( \overline{-2-5i} = -2+5i \),

\( \overline{i} = -i \)

Отметим, что \( \overline{a-bi} = a+bi \), поэтому для любого комплексного числа \(z\) имеет место равенство

\( \overline{(\overline{z})} = z \)

Равенство \( \overline{z} = z \) справедливо тогда и только тогда, когда \(z\) — действительное число.2} \)

Из данной формулы следует, что \( |z| \geqslant 0 \) для любого комплексного числа \(z\), причем \(|z|=0\) тогда и только тогда,
когда \(z=0\), т.е. когда \(a=0\) и \(b=0\).

Вычитание комплексных чисел

Определение.

Комплексное число \( (-1)z \) называется противоположным комплексному числу \(z\) и обозначается \(-z\).

Если \(z = a + bi\), то \(-z = -a — bi\)

Например : \( -(3-5i) = -3+5i \)

Для любого комплексного числа \(z\) выполняется равенство

\( z+(-z) = 0 \).

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел \(z_1\) и
\(z_2\) существует, и притом только одно, число \(z\), такое, что

\( z + z_2 = z_1 \),

т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел \( z_1 \) и
\( z_2 \neq 0 \) существует, и притом только одно, число \( z \), такое, что \( z \cdot z_2=z_1 \) т.2_2}i $$

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число \(a + bi\) можно рассматривать как пару
действительных чисел \((a; b)\). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z = a + bi\) изображается точкой плоскости с
координатами \((a; b)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу \(a + bi\)
соответствует одна точка плоскости с координатами \((a; b)\) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((a; b)\) соответствует
одно комплексное число \(a + bi\). Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо
слов «точка, изображающая число \(1 + i\)» говорят «точка \(1 + i\)». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках \(i, \; 1+i, \; -i \)».

При такой интерпретации действительные числа \(a\), т.е. комплексные числа \(a+0i\), изображаются точками с координатами \((a; 0)\),
т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью.

Чисто мнимые числа \(bi = 0+bi\) изображаются точками с координатами \((0; b)\), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют
мнимой осью. При этом точка с координатами \((0; b)\) обозначается \(bi\).

Например, точка \((0; 1)\) обозначается \(i\), точка \((0; -1)\) — это \(-i\) , точка \((0; 2)\) — это точка \(2i\).

Начало координат — это точка \(O\).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\) (начала координат), а точки \( z \) и \( \overline{z} \) симметричны
относительно действительной оси.2} \) — модуль комплексного числа \(z\), \( \varphi \) — его аргумент. Запись комплексного числа в
виде (4), где \(r>0\), называют тригонометрической формой комплексного числа \(z\).

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел
\(z_1\) и \(z_2\). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :

\( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \)
то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:

\( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность
аргументов делимого и делителя является аргументом частного.n(\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) ) $$

которую называют формулой Муавра.

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Если для e^z мы хотим сохранить правила действий со степенями, то w = e^z = e^a + bi = e^a · e^ib. Если z₁ = a₁ + ib₁, z₂ = a₂ + ib₂, то w₁ · w₂ = e^z₁ · e^z₂ = e^a₁ · e^a₂ · e^i(b₁+b₂) и сравнивая это с правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, следует считать, что |w| = e^a, |e^ib| = 1, а b — обобщённый аргумент числа w.

e^ib = cos b + i sin b

Тогда комплексное число w приобретает экспоненциальную форму записи

w = |w| · e^{i arg w}

Обозначение: e^iφ = cos φ + i sin φ.

Умножение любого z на e^iφ означает поворот вектора z на угол φ против часовой стрелки. Поэтому z = |z|e^iφ. В такой форме произведение чисел z₁ = |z₁|e^iφ₁ и z₂ = |z₂|e^iφ₂ имеет вид: z₁ · z₂ = |z₁||z₂|e^{i(φ₁+φ₂)}.

Связь с тригонометрией: e^−iφ = cos φ − i sin φ. Отсюда

и

Открывается возможность определения функции переменной z:

,

e^z = e^x (cos y + i sin y) для z = x + iy

16/22

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2),

Онлайн калькулятор: Комплексные числа

Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i²=-1.

Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:

• XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны.
• XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.
• XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно.
• XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

Известно три способа записи комплексного числа z:

Алгебраическая запись комплексного числа

,
где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица. a — действительная часть, bi — мнимая часть.

Тригонометрическая запись комплексного числа

,
где r — модуль комплексного числа:

, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ — угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.

Показательная запись комплексного числа

была введена Леонардом Эйлером для сокращения тригонометрической записи.

Комплексное число

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

В тригонометрической форме

В показательной форме

Комплексное число

Главный аргумент (радианы)

Главный аргумент (градусы)

Сопряженное число

Комплексная плоскость

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Значение аргумент комплексного числа определяется с точностью до , для всех целых k. Главный аргумент — это значение аргумента, лежащее в диапазоне (-π..π].
Главный аргумент вычисляется как арктангенс двух аргументов мнимой и действительной части комплексного числа:
, см Арктангенс с двумя аргументами

Над комплексным числом возможны все алгебраические операции:

Действия над комплексными числами

ОперацияСложитьВычестьУмножитьПоделитьВозвести в степеньИзвлечь кореньТочность вычисления

Знаков после запятой: 2

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Сложение комплексных чисел

Комплексные числа складываются ровно так же, как и многочлены:

Умножение комплексных чисел

Помня о том, что i*i=-1, легко выразить формулу для умножения комплексных чисел:

Деление комплексных чисел

Формулу деления комплексных чисел проще всего вывести, путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число, для того, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе:

Сопряженное комплексное число, это число вида:

Раскрывая скобки получаем:

Возведение в целую степень

Проще всего комплексное число возводить в степень используя показательную форму:

формула вытекает из формулы Муавра:

Вычисление корня степени n

Из формулы Муавра вытекает решение для корней степени n из комплексного числа:
,
всего получается n корней, где k = 0..n-1 — целое число, определяющее индекс корня. Корни располагаются на комплексной плоскости, как вершины правильного многоугольника.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.

Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).

На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Откуда имеем:

Подставляя (2) в (1), получим:

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

Откуда:

r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1,… также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Ответ. z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. .

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. , где φ=arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂). Перемножим эти числа:

или

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z₁z₂|=r₁r₂, или

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей.

Далее имеем arg(z₁z₂)=φ₁+φ₂ или

т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Пример 4. Умножить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Ответ. .

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂) и пусть z₂≠0, т.е. r₂≠0. Вычислим z₁/z₂:

Получили

Отсюда следует, что или

Далее , или

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого.

Пример 5. Делить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (8):

Ответ. .

Геометрический смысл умножения и деления

На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z₁ и z₂. Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z₁z₂, нужно вектор-радиус точки z₁ повернуть против часовой стрелки на угол φ₂ и растянуть в |z₂| раз (при 0z₂|

Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z₁z₂ на z₁ (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z₁z₂ на модуль числа z₁, а аргумент равен: φ₂=φ−φ₁. В результате деления получим число z₂.

Смотрите также:

Комплексные числа

Комплексное число это пара двух действительных чисел (x, y).
Мы можем представить комплексные числа, как точки в системе координат.
Пусть z — комплексное число.
z = (x, y)
x — это вещественная часть z, а y — это мнимая часть z.

Комплексные числа образуют $\mathbb{C}$ поле комплексных чисел.
Поле действительных чисел является его частью.
Действительные числа, записанные в виде комплексных $(x, 0), \ \ x \in \mathbb{R}$

Каждое комплексное число (x, y) имеет соответствующую точку в системе координат. Мы не можем сказать точка A > B, потому что мы не можем
сказать так о двух комплексных числах (x₁, y₁) > (x₂, y₂)
Это значит что комплексные числа не имеют порядка.

Если у нас есть два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) то:

$z_1 = z_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2$ and $y_1 = y_2$
$z_1 \pm z_2 = (x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
$z_1z_2 = (x_1, y_1)\times (x_2, y_2) = (x_1x_2 — y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2)$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)}=\big(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\big)$

Другой способ записи z это: z = a + bi,
a
— вещественная часть z,
b — мнимая часть, а
i
— мнимая единица.{4n} = 1$Кратный 4
${4n, \ n \in \mathbb{Z}} = {4; 8; 12…}$

Полярная форма

Векторная форма комплексного числа это:

z = |z|(cosθ + isinθ) = |z|e^iθ
или
z = r(cos(θ) + i.sin(θ)) = r.e^i.θ

Здесь |z| — это модуль комплесного числа (совпадает с величиной OM), θ -это аргумент комплесного числа или фаза.
Заштрихованный круг наверху означает модуль |z| комплексного
числа z, а угол θ — аргумент комплексного
числа.

Формулы Муавра

zⁿ = rⁿ[cos(n.θ) + i.sin(n.θ)]

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i.sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$

k = 0, 1, 2,…, n-1

Пишите на нашем форуме касательно комплексных чисел.

8. Функции комплексного переменного

15

8.1Основные элементарные функции

По определению для всех значений z

Ряды, стоящие справа, абсолютно сходятся на всей комплексной плоскости и поэтому введение указанных функций корректно.

Для комплексных чисел сохраняют свою силу известные формулы для действительных чисел, например:

sin2 z +cos2 z =1,

cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ±cos z1 sin z2 .

Замечание. Определение таких понятий как непрерывность функции в точке, предел функции в точке остаются формально аналогичными действительному случаю.

8.2 Формулы Эйлера

Справедливы формулы

eiz = cos z +i sin z , e−iz = cos z −i sin z .

Тогда

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

16

Первую из этих формул чаще всего называют формулой Эйлера. Это название может быть применено и к любой из трёх остальных.

8.3 Показательная форма представления комплексного числа

41+3i = 42ei(π3+2kπ )4 , где k = 0,1,2,3 .

8.4 Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями

формулы), получим: cos(1+3i)= cos1 cos(i3)−sin1 sin (i3)= cos1 ch4 −i sin1 sh 3 .

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

17

2.Вычислим sin 1+ π i .

3

4. Аналогично можно вычислить и следующее:

ch (−1−2i)= ch (−1) ch (−2i)+sh (−1) sh (−2i)= cos 2 ch2+i sin 2 sh2.

8.5 Логарифмическая функция

Ln (1+i)= ln 2 +i π4 +2kπ , где k .

8.6 Общая показательная и общая степенная функции

Можно говорить о возведении комплексного числа в произвольную комплексную степень. По определению полагают, что az = ez Ln a , a ≠ 0 . При фиксированном a ≠ 0 это соотношение определяет, как говорят, общую показательную функцию. Как и в случае логарифма, выделяют

главное значение показательной функции a z , равное ez ln a . Значение, заданное равенством az = ez Ln a , иногда называют общим значением показательной функции.

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

Analysis WebNotes: Глава 07, класс 44

arrow_back
arrow_forward

Фактоид:

Фактоид:

Фактоид:

Фактоид:

Мы определяем синус и косинус как комплексные
функции комплексного переменного. Все перечисленные выше свойства верны для
любые комплексные числа z и w.

Однако важное свойство синуса и косинуса (хотя
настолько очевиден в гемоэрической обработке, что вряд ли стоит обращать на это внимание)
что когда их аргумент реален, они принимают реальные ценности.z производная sin (z) равна

Рассуждения для производной cos (z) аналогичны.

Самый яркий аспект тригонометрических функций, который все еще остается
на картинке отсутствует то, что они периодические. Мы должны
показать, что существует такое число a, что
sin (x + a) = sin (x) для всех a. (Фактически, число
a равно 2Pi, но мы еще даже не знаем, что такое Pi!)

Чтобы показать, что sin (x) периодичен, используя формулы сложения для синуса и косинуса,
нам нужно иметь

sin (z + a) = sin (z) cos (a) + sin (a) cos (z)

Итак, мы ищем такое число a, что

Конечно, a = 0 этому удовлетворяет, но на данный момент это даже не так.
очевидно, что существуют положительные числа, для которых
грех (г) = 0.Таким образом, наша первая цель — изучить нули sin (z).

Доказательство.

Доказательство.

Полярная форма для комплексных чисел

Одно из геометрических определений sin (x) и cos (x) — это координаты точек на единичной окружности. Мы можем восстановить эту точку зрения со следующим результатом:

Доказательство.

Доказательство.

Мы можем использовать эту «полярную форму для комплексных чисел», чтобы определить логарифм
комплексного числа.

Подумайте на минуту о том, какой логарифм
комплексное число должно быть.Помните, что основное свойство для
логарифмы это то, что

журнал (x + y) = журнал (x) + журнал (y)

и что каждое комплексное число может быть выражено как

re ^(it)

Вопрос:

Как вы думаете, каким должен быть логарифм от re ^(it) ?

sin (z) = 2, возможен ли корень для z?

Возникает вопрос, возможен ли какой-либо корень для z, если sin (z) = 2. Первый ответ, который приходит на ум, что такие корни невозможны, как

  -1 ≤ sin θ ≤ 1  

Но если мы углубимся, то обнаружим, что, хотя для z не могут быть настоящих корней, возможны только мнимых (или комплексных) корня.

Итак, давайте найдем решение:

По форме Эйлера :

 e  iθ  = cosθ + i * sinθ
 где, e = основание натурального логарифма
        i = мнимая часть, (i = √ (-1))
        θ = угол в радианах 

Итак, в приведенной выше формуле подставляем ∅ = z

Итак, уравнение принимает вид

e ^iz = cos z + i sin z —– (i)

Теперь положим z = -z

e ^{i (-z)} = cos (-z) + i sin (-z)

e ^-iz = cos z — i sin z —– (ii) [cos (-θ) = cosθ, sin (-θ) = -sinθ]

Теперь, вычитая уравнение (i) на (ii)

e ^iz — e ^-iz = (cos z + i sin z) — (cos z — i sin z)

e ^iz — e ^-iz = 2i sin z

e ^iz — e ^-iz = 2i * (2) [Поскольку, sin z = 2 (задано)]

e ^iz — 1 / e ^iz = 4i

Умножение обеих частей уравнения на e ^iz

e ^{2 (iz)} — 1 = 4i e ^iz

e ^{2 (iz)} — 4i e ^iz — 1 = 0

Теперь пусть y = e ^iz

y ² — 4iy — 1 = 0

Теперь, чтобы найти корни y в приведенном выше квадратном уравнении, мы применяем формулу Дхарачарьи, , которая гласит:

 Квадратное уравнение вида ax  2  + bx + c = 0, a 0
тогда корни x равны,  x = (-b ± √ (b  2-4ac) / 2a   

Итак, применяя формулу Дхарачарьи в приведенном выше уравнении,

y = (4i ± √ (16i ² + 4)) / 2

y = (4i ± √ (-16 + 4)) / 2 [i ² = -1]

y = (4i ± √ (-12)) / 2

y = (4i ± 2√3i) / 2 [√ (-12) = √ (-1 * 12) = √ (-1) * √12) = i * 2√3, поскольку √ (-1 ) = i]

y = 2i ± √3i

Теперь, возвращая значение y = e ^iz в приведенное выше уравнение

e ^iz = 2i ± √3i

e ^iz = i * (2 ± √3)

Теперь, взяв бревно (ln) с обеих сторон

iz = ln (i) + ln (2 ± √3) —– (iii) [ln (e ^a ) = a, а ln (a * b) = ln (a) + ln (b) ]

Теперь, чтобы решить ln (i), мы должны понять следующую концепцию:

 В полярном представлении комплексных чисел мы пишем z = re  iθ , где
г = а + ib,
r = | a  2  + b  2  |
θ = тангенс -1  (б / а),
Итак, беря логарифм с обеих сторон уравнения z = re  iθ 
ln (z) = ln (r) + iθ [ln (e  a ) = a, и ln (a * b) = ln (a) + ln (b)]
Подставляя значения z, r и θ в приведенное выше уравнение
  ln (a + ib) = ln (| a  2 + b2 |) + i * tan-1 (b / a)   

Итак, записав ln (i) = ln (0 + 1i) и применив приведенную выше формулу

ln (0 + 1i) = ln (| 0 ² + 1 ² |) + i * tan ^-1 (1/0)

ln (i) = ln1 + i * ∏ / 2 [tan ^-1 (1/0) = tan ^-1 (∞) = ∏ / 2]

ln (i) = i * ∏ / 2 [ln1 = 0]

Теперь поместим значение ln (i) в уравнение (iii)

iz = i * ∏ / 2 + ln (2 ± √3)

Делим обе части уравнения на i

г = / 2 + ln (2 ± √3) / я

z = ∏ / 2 + (ln (2 ± √3) * i) / (i * i) [Деление числителя и знаменателя на i]

z = ∏ / 2 — i * ln (2 ± √3) [i ² = -1]

z = ∏ / 2 — i * ln (2 ± √3)

Итак, у нас есть один сложный корень, но их больше,

 как  sin (θ ± 2n∏) = sin θ, n = 1,2,3 ,..  

Итак,

z = ∏ / 2 — i * ln (2 ± √3) ± ​​2n∏, n = 1,2,3,….

Таким образом, теперь мы получаем, что для sin (z) = 2 существуют бесконечные комплексные корни z.

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Ознакомьтесь со всеми важными концепциями теории CS для собеседований SDE с помощью курса CS Theory Course по доступной для студентов цене и подготовьтесь к работе в отрасли.

Математика — Функции комплексной переменной

На этой странице мы обсуждаем, как расширить скалярные функции (которые мы обсуждали на этой странице) в ситуации, когда домен и / или кодомен являются комплексными числами, мы также обсуждаем такие функции, как нормализация, которые специфичны для комплексных чисел.

Мы можем классифицировать эти функции в соответствии со следующими свойствами:

• Conformal — сохраняет углы
• Антиконформный — переворачивает углы
• Неконформная — не сохраняет углы

Оценка сложных функций

Мы можем оценить значение многих сложных функций, используя бесконечные ряды, так же, как мы можем для скалярных функций. Мы просто используем ту же серию, что и для скалярных функций, но подставляем комплексные значения вместо реальных.Итак, если существует ряд для реальных значений, мы можем оценить сложную функцию. Например:

В качестве альтернативы мы можем получить действительную и мнимую части в терминах реальных функций:

Мы можем преобразовать между круговыми и гиперболическими функциями следующим образом:

• sin (z) = -i sinh (iz)
• cos (z) = -cosh (iz)
• tan (z) = -i tanh (iz)

См. Также идентификаторы триггеров на этой странице.

Конъюгат

Когда мы умножаем комплексное число на его сопряжение, мы получаем действительное число, другими словами, мнимая часть сокращается.

Обратная функция

Чтобы вычислить обратное значение (1 / z), мы умножаем верхнюю и нижнюю часть на сопряжение, которое делает знаменатель действительным числом.

как был создан этот сюжет.

Пусть компоненты входной и выходной плоскостей будут:

z = x + i y и w = u + i v

В данном случае w = 1 / z

так:

Вт = 1 / (х + я у)

Как обычно, мы вычисляем обратное, умножая верх и низ на сопряжение:

вес = (х — я у) / (х + я у) (х — я у)

w = (x — i y) / (x² + y²)

, поэтому компоненты u и v равны:

u = x / (x² + y²)
v = -y / (x² + y²)

У этой функции есть очень интересные и полезные свойства:

• Прямые линии через исходную точку сопоставляют сами с собой.
• Прямые линии, не проходящие через исходную точку, преобразуются в окружности.
• Обводит исходную карту до прямых линий.
• Круги, не проходящие через исходную точку, преобразуются в круги.
• Двойное применение обратной функции восстанавливает оригинал.
• Обратную функцию можно разложить на сопряженную и отражение в круге.

Таким образом, эту функцию можно использовать для сопоставления кругов и линий.Мы также можем расширить концепцию до 3-х измерений, что позволяет нам отображать поверхность сферы на плоскости (см. Стереографические проекции).

Преобразование Мебиуса

Это можно обобщить до преобразования Мёбиуса (описанного здесь):

Где:

• z = ввод (комплексные значения)
• w = выход (комплексные значения)
• a, b, c, d = параметры (комплексные значения)

Обратная функция — это частный случай, когда a = d = 0 и b = c = 1, мы получаем:

w = 1 / z

Если мы теперь позволим d быть ненулевым, мы увидим, что это просто сдвинет линию в z-плоскости:

ш = 1 / (г + г)

Если мы теперь позволим c масштабировать, мы увидим, что это изменит положение на линии в z-плоскости:

w = 1 / (cz + d)

Если мы теперь позволим a и b варьироваться, все станет немного сложнее, но мы увидим, что можем перемещать круг вокруг плоскости w.

Экспоненциальная функция

Есть два метода вычисления экспоненциальной функции:

• полярная форма и уравнение Эйлера, как описано на этой странице.
• бесконечная серия, как описано на этой странице.

как был создан этот сюжет.

Пусть компоненты входной и выходной плоскостей будут:

z = x + i y и w = u + i v

В данном случае w = e ^z

так:

ш = е ^{(х + я у)}

по правилам экспонентов:

w = e ^x e ^{i y}

, применяя уравнение Эйлера, получаем:

w = e ^x (cos (y) + i sin (y))

, поэтому компоненты u и v равны:

u = e ^x cos (y)
v = e ^x sin (y)

Функция журнала

Натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию е, является обратной экспоненциальной функцией.Итак, если,

w = ln (z)

, затем, взяв показатель каждой стороны, получаем

e ^w = z

, так что у нас

x = e ^u cos (v)
y = e ^u sin (v)

, что дает:

u ^{= ln (√ (x² + y²))
v = атан (х / у)}

Степени комплексных чисел

Вот график для (x + i y) ², на этой странице дано более общее выражение для (x + i y) ⁿ .

как был создан этот сюжет.

Чистые действительные значения всегда квадраты к положительному значению, а чистые мнимые значения всегда квадраты к отрицательному значению. Однако действительная и мнимая части вместе покрывают всю плоскость.

Пусть компоненты входной и выходной плоскостей будут:

z = x + i y и w = u + i v

, возьмем пример функции квадрата w = z²

так:

w = (x + i y) ²

умножение дает:

w = x² — y² + i 2 x y

, поэтому компоненты u и v равны:

u = x² — y²
v = 2 x y

Норма

Это расстояние (r) точки a + i b от начала координат.

Записывается как:

r = | а + я б |

по Пифагору:

r = | а + я б | = math.sqrt (a * a + b * b)

Убедитесь, что:

| a + i b | * | c + i d | = | a * c — b * d + i (a * d + b * c) |

Преобразование Мёбиуса

Отображение между поверхностью сферы и плоскостью может быть представлено преобразованием Мёбиуса вида:

Где:

• z = комплексная переменная
• a, b, c и d = комплексные константы

Это полезно в стереографической проекции, описанной на этой странице.

Дальнейшее изучение

Я считаю интересным сравнить эти графики для комплексных чисел с эквивалентными графиками для двойных и двойных чисел.

Math 130 (весна 2002 г.) Примечания / Изображение функции: Образы сложных функций: Триггерные функции

Math 130 (Весна 2002 г.) Примечания / Изображение функции: Образы сложных функций: Триггерные функции

Это некоторые из изображений, которые мы видели сегодня в классе.

Первый набор показывает домен и его изображение, отображаемые sin ( z ) и
cos ( z ).Здесь домен работает от -p до
p в действительной части и от 0 до 2 в мнимой
часть. Для фиксированного x числа z = x +
iy отображаются на гиперболу. Для фиксированного y они отображают
в эллипсы. Эти кривые всюду перпендикулярны друг другу.

Если растянуть заплатку в реальном направлении, изображение продолжит
оборачиваться снова и снова. Увеличение значений изображения до более высоких
положительные значения заставляют эллипсы расширяться, в конечном итоге покрывая все
комплексная плоскость.И наоборот, переход к отрицательным мнимым частям
заставляет изображение перемещаться через сегмент [-1,1] на действительной оси и
обвивает самолет снизу.

Разница между синусом и косинусом составляет сдвиг фазы на 90
градусов. (Вы можете увидеть это по раскрашиванию двух изображений.)

Следующий набор диаграмм показывает результат сопоставления патча через
загар ( z ). Изображение образовано двумя семействами кругов, одним набором
с центром на действительной оси и один на мнимой оси.Последний
сжаться до точки i и — i .

Как вы оцениваете arcsin (2)?

Очевидно, что ни один правильный угол, ни действительное число не имеют синуса # 2 #.