Сколько нулей в тысяче: сколько нулей, тысяч, цифр / 01.03.2021

Содержание

Урок 7. новые счётные единицы. класс единиц и класс тысяч — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок №7.Новые счётные единицы. Класс единиц и класс тысяч

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— что обозначает понятия «класс сотен», «класс единиц»?

— как образуются числа больше 1000?

— как составляются и читаются числа больше 1000?

Глоссарий по теме:

Многозначные числа – это целые числа, при записи которых нужно использовать несколько цифр (знаков).

Класс единиц или первый класс – это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.

Класс тысяч или второй класс – это класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Разряд – это место (позиция), на котором в записи числа стоит цифра.

Последовательность чисел – это целые числа, каждое из которых больше предыдущего на единицу

Миллион – натуральное число, равное тысяче тысяч. В десятичной системе счисления изображается единицей с шестью нулями(1 000 000).

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.22-23

2. Математика. Подготовка к Всероссийской проверочной работе. 4 кл.: тетрадь для самостоятельной работы/ О. А. Захарова. – М: Академкнига / Учебник, 2017. – с. 105-119

3.Готовимся к Всероссийской проверочной работе. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс/ под. ред. Г.С. Ковалевой – М.; Просвещение, 2017. – с. 68, 79,

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Если предметов много, то при счете используют не только знакомые единицы счета — единицы, десятки, сотни, но и более крупные, например тысячи.

Тысячи считают так же, как и простые единицы:

Десять тысяч – это один десяток тысяч.

Десять десятков тысяч – это одна сотня тысяч.

Десять сотен тысяч – это тысяча тысяч, или миллион.

10 тысяч — 1 десяток тысяч

10 десятков тысяч — 1 сотня тысяч

10 сотен тысяч — 1 тысяча тысяч или 1 миллион

Единицы, десятки, сотни составляют класс единиц, или первый класс.

Единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч составляют класс тысяч, или второй класс.

II класс — Класс тысяч

I класс — Класс единиц

Сотни

тысяч

Десятки

тысяч

Единицы

тысяч

Сотни

Десятки

Единицы

Посмотрите на таблицу: в каждом классе три разряда.

Разряды первого класса: единицы, десятки, сотни.

Разряды второго класса: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Чтобы прочитать многозначное число, его разбивают на классы, отсчитывая справа по три цифры, затем считают, сколько единиц каждого класса, начиная с высшего.

Например: 123 456

Читается три цифры справа класс тысяч — «сто двадцать три тысячи«.

Затем класс единиц — «четыреста пятьдесят шесть».

В числе 372 000 три нуля в записи показывают отсутствие единиц первого класса. Название класса единиц не произносится. Читаем число с высшего класса: «триста семьдесят две тысячи».

Прочитаем число, в котором 145 единиц второго класса и 312 единиц первого класса. Читаем число с высшего класса: «сто сорок пять тысяч триста двенадцать».

Научимся записывать числа больше 1000.

1. В таблице записано число, в котором содержится только 69 единиц класса тысяч, в классе единиц записываем нули или 6 единиц в разряде десятков тысяч и 9 единиц в разряде единиц тысяч.

II класс — Класс тысяч

I класс — Класс единиц

Сотни

тысяч

Десятки

тысяч

Единицы

тысяч

Сотни

Десятки

Единицы

Записывается это число, начиная с класса тысяч, а затем цифры в классе единиц

69 000

2. Запишем следующее число, в котором содержится 307 единиц класса тысяч, а в классе единиц число 1. Нули показывают отсутствие единиц в разрядах десятков тысяч, сотен и десятков.

II класс — Класс тысяч

I класс — Класс единиц

Сотни

тысяч

Десятки

тысяч

Единицы

тысяч

Сотни

Десятки

Единицы

Записывается это число, начиная с класса тысяч, а затем цифры в классе единиц

307 001

Таким образом, все числа больше 1000 читаются с класса тысяч (слева направо). Также производиться запись. В случае отсутствия единиц в разрядах записывается нуль.

Задания тренировочного модуля:

1.Укажите, сколько единиц тысяч в числах:

23 769
125 603

Правильный ответ:

1. 3 ед.

2. 5 ед.

2 .Установите соответствие между записью числа и его чтением

Пятьсот тысяч сто семь		500 107
Тридцать семь тысяч		190 003
Сто девяносто тысяч три		37 000
Двести шестьдесят восемь тысяч двести шестьдесят восемь		999 117
Девятьсот девяносто девять тысяч сто семнадцать		268 268

Правильный ответ:

Пятьсот тысяч сто семь		500 107
Тридцать семь тысяч		37 000
Сто девяносто тысяч три		190 003
Двести шестьдесят восемь тысяч двести шестьдесят восемь		268 268
Девятьсот девяносто девять тысяч сто семнадцать		999 117

БИЛЛИОН, МИЛЛИАРД — это… Что такое БИЛЛИОН, МИЛЛИАРД?

БИЛЛИОН, МИЛЛИАРД

(billion) Одна тысяча миллионов. Такой смысл вкладывают в слово «биллион» все современные авторы; в прежние времена биллионом называли миллион миллионов, однако об этом значении слова следует помнить лишь при чтении работ авторов, отошедших в мир иной, когда в каждом конкретном случае требуется уточнять смысл данного термина.

Экономика. Толковый словарь. — М.: «ИНФРА-М», Издательство «Весь Мир».
Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М..
2000.

Экономический словарь.
2000.

БИЗНЕС, ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВО, ДЕЛОВАЯ АКТИВНОСТЬ
БИМОДАЛЬНОЕ (ДВУХВЕРШИННОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Смотреть что такое «БИЛЛИОН, МИЛЛИАРД» в других словарях:

биллион — миллиард Словарь русских синонимов. биллион см. миллиард Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов
Биллион — У этого термина существуют и другие значения, см. Биллион (значения). Биллион (фр. billion) натуральное число, изображаемое единицей с 9 нулями ( 01000000000. 01 000 000 000=109, тысяча миллионов, то же, что миллиард) в… … Википедия
Миллиард — 1 000 000 000 один миллиард 999 999 999 · 1 000 000 000 · 1 000 000 001 Факторизация: Римская запись: Mn n n Двоичное: 111011100110101100101000000000 Восьмеричное: 7346545000 … Википедия
БИЛЛИОН — (франц. billon, от лат. bis дважды; по аналогии произведено от миллион). Миллион миллионов (1.000,000,000,000), у французов тысяча миллионов, т. е. то же, что миллиард (1.000,000,000). Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.… … Словарь иностранных слов русского языка
миллиард — мильярд, биллион Словарь русских синонимов. миллиард биллион Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов
МИЛЛИАРД — (фр.). Тысяча миллионов, биллион. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МИЛЛИАРД тысяча миллионов; м. называют также биллионом. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф.,… … Словарь иностранных слов русского языка
биллион — Биллион, есть такое понятие «ложные друзья переводчика»; под этим понятием подразумеваются слова, кажущиеся легкими для перевода. Ну, скажем, английское complexion. Что, казалось бы, может быть проще? И переводить нечего – комплекция. Однако на… … Словарь ошибок русского языка
Биллион — (billion) Формально одна тысяча миллионов (109) в США и один миллион миллионов (1012) в Великобритании; в настоящее время почти повсеместно равен одной тысяче миллионов. Бизнес. Толковый словарь. М.: ИНФРА М , Издательство Весь Мир . Грэхэм Бетс … Словарь бизнес-терминов
БИЛЛИОН — (франц. billion) обычно то же, что миллиард, т. е. число 109; в некоторых странах биллион число 1012 … Большой Энциклопедический словарь
БИЛЛИОН — БИЛЛИОН, биллиона, муж. (франц. billion) (мат.). Название числа по франц. системе 1000000000, то же, что миллиард; по нем. системе 1000000000000 (тысяча миллиардов). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

R : получить точное значение нулей (килограммов до 1000 и так далее)

У меня есть набор данных, который выглядит так:

dd <- read.csv(text="
value,zeroes 
1   ,1
12  ,2
123 ,k
1234,K
5   ,5
56  ,m
567 ,M")

Я хочу перевести их в точное число. Значение нулей указывает, сколько нулей должно быть в конце значения. Есть так что результаты должны появиться вот так :

Есть 13 уровней фактора на нулевом значении, как я должен подойти к этому в r? Спасибо

Поделиться

Источник

maulana

24 апреля 2020 в 03:34

3 ответа

Javascript и округление как положительных, так и отрицательных чисел до ближайшей 1000
У меня есть этот компонент, который принимает значения, не обязательно округленные до ближайшей 1000, в качестве входных данных, например (см.c(«1″=1, «2»=2, k=3, K=4, «5»=5, m=6, M=7)

А потом можете использовать это, чтобы взвесить свои цифры. Вы либо захотите убедиться, что ваш столбец является символьным столбцом, либо, если это фактор, убедитесь, что уровни факторов расположены в том же порядке, что и данные.
format( transform(dd, expand = value * scale[as.character(zeroes)]), scientific=20) # value zeroes expand # 1 1 1 10 # 2 12 2 1200 # K 123 k 1230000 # 5 1234 K 123400000 # k 5 5 5000 # m 56 m 56000000 # M 567 M 5670000000
format() здесь просто для того, чтобы отключить научную нотацию по умолчанию
Для факторного метода вы бы сделали
dd$zeros <- factor(d$zeros, levels=names(scale)) transform(dd, expand = value * scale[zeroes])
Поделиться

MrFlick
24 апреля 2020 в 03:54

1
Мы можем написать функцию :
return_zeroes <- function(x) { if(grepl('\\d', x)) paste0(rep(0, x), collapse = "") else switch(tolower(x), 'm'='000000','k'= '000') }
и используйте sapply , чтобы вызвать его.c(«1″=1, «2»=2, «k»=3, «K»=3, «5»=5, «m»=6, «M»=6)

сравнение нулей как фактора и символа
dd$zeroes <- as.factor(dd$zeroes) format( transform(dd, expand = value * scale[zeroes]), scientific=20) # value zeroes expand 1 1 10 12 2 1200 123 k 123000 1234 K 123400000 5 5 5000 56 m 56000000 567 M 567000000 ############### dd$zeroes <- as.character(dd$zeroes) format( transform(dd, expand = value * scale[zeroes]), scientific=20) # value zeroes expand 1 1 10 12 2 1200 123 k 123000 1234 K 1234000 5 5 500000 56 m 56000000 567 M 567000000
Мы можем разность результатов в нулях значений K и 5.
Я не уверен, почему он получил разный результат между as factor и as character
Поделиться

maulana
24 апреля 2020 в 15:59
как создать сигнал, состоящий из задержки 1000 отсчетов нулей?
Как написать код MATLAB чтобы создать сигнал, состоящий из ‘delay’ из 1000 выборок нулей, за которым следует переменная, которую я нашел в предыдущей части ‘sss’ из 1000 выборок, и сообщение, которое я создал ‘msg’ ? итак, есть три переменные ‘delay’, ‘sss’ и ‘msg’ пожалуйста, помогите. спасибо
Если значение меньше 500, добавьте 100 и так далее
Я хочу генерировать значения на основе оператора условия: Если A1 меньше или равно 500, то добавьте 100 , если A1 меньше 1000 и больше 500, то добавьте 200 , если A1 больше или равно 1000, то добавьте 300 и так далее. Как я мог бы достичь этого в Excel?
Похожие вопросы:
Как получить результаты от 1000 до 1000, если var = 0
У меня есть запрос, где num_rows возвращает миллион записей. Мне нужно перебрать этот миллион записей на 1000, я имею в виду начать с 0 до одного миллиона и каждые 1000 генерировать otuput (Excel…
Перевод из килограммов в граммы-JAVA
(Перевод из килограммов в граммы). Напишите программу, которая отображает следующую таблицу( обратите внимание, что 1 килограмм равен 1000 граммам) Килограммы Граммы 1 1000 2 2000 … 24 24000 25…
Разделите арбуз на две части так, чтобы в каждой из них было четное количество килограммов
Привет есть такая проблема : Однажды жарким летним днем Пит и его друг Билли решили купить арбуз. Они выбрали самый большой и спелый, по их мнению. После недолгой процедуры взвешивания, и весы…
Javascript и округление как положительных, так и отрицательных чисел до ближайшей 1000
У меня есть этот компонент, который принимает значения, не обязательно округленные до ближайшей 1000, в качестве входных данных, например (см. min, max): … scale: { majorUnit: 500, minorUnit: 100,…
UILabel чтобы показать 1k для int значения 1000 и 2k для 2000 и так далее
У меня есть UILabel , в котором показано значение int , я хочу, чтобы если значение находится в тысяче, например 1000, то метка должна показывать 1k и 2k для 2000 и далее. Как этого можно достичь?
как создать сигнал, состоящий из задержки 1000 отсчетов нулей?
Как написать код MATLAB чтобы создать сигнал, состоящий из ‘delay’ из 1000 выборок нулей, за которым следует переменная, которую я нашел в предыдущей части ‘sss’ из 1000 выборок, и сообщение,…
Если значение меньше 500, добавьте 100 и так далее
Я хочу генерировать значения на основе оператора условия: Если A1 меньше или равно 500, то добавьте 100 , если A1 меньше 1000 и больше 500, то добавьте 200 , если A1 больше или равно 1000, то…
Как увеличить значение числа до следующего кратного 10, 100, 1000, 10 000 и так далее
Вы должны простить мне формулировку этого вопроса, я уверен, что есть лучший, более краткий способ задать его, но я его не знаю. Допустим, у меня есть график, и все значения оси y [0,4,5,3,2,5,6]…
Не удается получить точное значение параметра
У меня есть примерный параметр ниже: Parameters: { utf8=>✓, authenticity_token=>xxxxxxxxxx, post => { product_attributes => { name=>Ruby, product_dtls_attributes => {…
Как получить точное p-значение критерия Крускала-Уоллиса в R?
Как получить точное p-значение теста Крускала-Уоллиса (например, с 3 группами) в R? Пример данных: df <- data.frame( dv = c(0.80, 0.83, 1.89, 1.04, 1.45, 1.38, 1.91, 1.64, 0.73, 1.46, 1.15, 0.88,…
Форматирование чисел в виде процентов

Отдельную ячейку

Щелкните ячейку или воспользуйтесь клавишами со стрелками, чтобы перейти к нужной ячейке.

Диапазон ячеек

Щелкните первую ячейку диапазона, а затем перетащите указатель мыши на его последнюю ячейку. Или удерживая нажатой клавишу SHIFT, нажимайте клавиши со стрелками, чтобы расширить выделение.

Кроме того, можно выделить первую ячейку диапазона, а затем нажать клавишу F8 для расширения выделения с помощью клавиш со стрелками. Чтобы остановить расширение выделенной области, еще раз нажмите клавишу F8.

Большой диапазон ячеек

Щелкните первую ячейку диапазона, а затем, удерживая нажатой клавишу SHIFT, щелкните последнюю ячейку диапазона. Чтобы перейти к последней ячейке, можно использовать полосу прокрутки.

Все ячейки листа

Нажмите кнопку Выделить все.

Чтобы выделить весь лист, также можно нажать клавиши CTRL+A.

Примечание: Если лист содержит данные, при нажатии клавиш CTRL+A выделяется текущий диапазон. Повторное нажатие клавиш CTRL+A приведет к выделению всего листа.

Несмежные ячейки или диапазоны ячеек

Выделите первую ячейку или диапазон ячеек, а затем, удерживая нажатой клавишу CTRL, выделите другие ячейки или диапазоны.

Можно также выбрать первую ячейку или диапазон ячеек, а затем нажать клавиши SHIFT+F8 для включения в выделение других несмежных ячеек или диапазонов. Чтобы остановить включение ячеек и диапазонов, снова нажмите клавиши SHIFT+F8.

Примечание: Отменить выделение отдельных несмежных ячеек или диапазонов без отмены всего выделения невозможно.

Столбец или строку целиком

Щелкните заголовок сроки или столбца.

1. Заголовок строки

2. Заголовок столбца

Можно также выделить ячейки в строке или столбце, выделив первую строку, а затем нажав сочетание клавиш CTRL+SHIFT+клавиша со стрелкой (СТРЕЛКА ВПРАВО или СТРЕЛКА ВЛЕВО — для строк, СТРЕЛКА ВВЕРХ или СТРЕЛКА ВНИЗ — для столбцов).

Примечание: Если в строке или столбце содержатся данные, при нажатии сочетания CTRL+SHIFT+клавиша со стрелкой будет выделена строка или столбец до последней заполненной ячейки. Повторное нажатие этого сочетания приведет к выделению строки или столбца полностью.

Смежные строки или столбцы

Протащите указатель мыши по заголовкам строк или столбцов. Либо выделите первую строку или первый столбец, а затем, удерживая нажатой клавишу SHIFT, выделите последнюю строку или последний столбец.

Несмежные строки или столбцы

Щелкните заголовок первой строки или столбца выделения, а затем, удерживая нажатой клавишу CTRL, щелкните заголовки столбцов или строк, которые требуется добавить в выделение.

Первую или последнюю ячейку в строке или столбце

Выделите ячейку в строке или столбце, а затем нажмите клавиши CTRL+СТРЕЛКА (ВПРАВО или ВЛЕВО — для строк, ВВЕРХ или ВНИЗ — для столбцов).

Первую или последнюю ячейку на листе или в таблице Microsoft Office Excel

Чтобы выделить первую ячейку на листе или в списке Excel, нажмите сочетание клавиш CTRL+HOME.

Чтобы выделить последнюю ячейку, содержащую данные или форматирование, на листе или в списке Excel, нажмите сочетание клавиш CTRL+END.

Ячейки до последней используемой ячейки листа (нижний правый угол)

Выделите первую ячейку, а затем нажмите клавиши CTRL+SHIFT+END, чтобы расширить выделенную область до последней используемой ячейки листа (нижний правый угол).

Ячейки до начала листа

Выделите первую ячейку и нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+HOME, чтобы расширить выделение до начала листа.

Больше или меньше ячеек, чем имеется в активном выделении

Удерживая нажатой клавишу SHIFT, щелкните последнюю ячейку, которую нужно включить в новую выделенную область. В эту область войдет прямоугольный диапазон между активная ячейка и выделенной ячейкой.

от литературных затей до шахмат»
Сайт «Занимательные и методические материалы из книг Игоря Сухина: от литературных затей до шахмат»

Сайт «Занимательные и методические материалы из книг Игоря Сухина: от литературных затей до шахмат»

Избранные занимательные задания из книги
И.Г.Сухина «1200 головоломок с неповторяющимися цифрами»

(М.: АСТ, Астрель, 2003, 400 с.).

АННОТАЦИЯ

В книге приведены новые занимательные задачи, которые помогут детям не только полюбить вычисления, но и получать по математике только пятёрки. Головоломки с неповторяющимися цифрами систематизированы, что позволит эффективно использовать их как для проведения олимпиад и праздников, так и для тренировки математического аппарата школьников. В результате ученики начальных классов быстрее запомнят таблицу умножения, а старшеклассники смогут развить свои творческие и комбинаторные способности. Важный раздел книги – «Страницы истории», в котором впервые указываются альтернативные решения самых известных задач. Особо нужно обратить внимание на самый большой на сегодняшний день перечень книг, где есть страницы, посвящённые занимательной математике.

Для учащихся 1-7 классов, учителей, руководителей математических кружков, родителей, методистов и всех интересующихся головоломками.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В отечественных и зарубежных математических пособиях издавна помещались всевозможные головоломки, поскольку привлечение занимательного материала оживляло учебный процесс.

Из дошедших до наших дней древних рукописей («Русская Правда», «Учение им же ведати человеку числа всех лет» и других) известно, что математические знания на Руси были распространены по крайней мере уже в 10–11 веках.

«На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение (конец 10 века) славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации. В греко-славянской системе нумерации буквы алфавита служили одновременно и числовыми знаками, только при этом над буквой ставили знак титло», – отмечает Б.В.Гнеденко в «Очерках по истории математики в России» (М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1946, с.17). Вот некоторые единицы древнего счёта: 1 – един, 10 – десять, 100 – сто, 1 000 – едина тысяча, 1 000 000 – едина тьма, 1 000 000 000 000 – един легион, 10²⁴ – един леодр, 10⁴⁸ – ворон, 10⁴⁹ – колода.

О существовании математических навыков у русских людей начала второго тысячелетия говорит также содержание международных договоров. Например, князь Олег заключил с греками договор о взаимном выкупе из плена жителей обеих государств по заранее оговоренной цене. Многие торговые соглашения содержат пункты о весе и о плате за взвешивание.

Так, в договоре новгородцев с немцами (1270 г.) сказано: «Гость платит весовщику 9 векшей с капи… Капь должна заключать в себе весу 8 ливонских фунтов». Взвешивание проводили специальные должностные лица – весцы, весовщики, пудовщики, которые, безусловно, должны были обладать достаточными арифметическими познаниями.

Только в 16–17 веках в России получила распространение специальная рукописная математическая литература. Как правило, она носила конкретный практический характер, так как предназначалась для землемеров, купцов, торговцев, т.е. всех тех, кто по роду своей деятельности должен был уметь оперировать большими числами.

До наших дней дошло очень мало старинных документов. Из сохранившихся рукописей 17 столетия – не более трёх посвящённых арифметике и геометрии; значительно больше сборников включали в себя и естественнонаучные сведения; также известны и две общеобразовательные энциклопедии – «Азбуковники». Подобно западноевропейским мыслителям, отечественные авторы разделяли науки на 7 «свободных мудростей»: Грамматику, Диалектику, Риторику, Музыку, Арифметику, Геометрию и Астрономию. При этом арифметику определяли так: «Арифметика, еже есть счётная мудрость, в седми мудростях пятая, свободная перед Богом».

Интересно, что математическая терминология рукописей 17 века существенно отличалась от нынешней. Слагаемые назывались перечнями, их сумма – исподним большим перечнем, уменьшаемое – заёмным перечнем, вычитаемое – платёжным перечнем, разность – остатком, делимое – большим перечнем, делитель – деловым перечнем, частное – жеребейным перечнем, остаток – остаточной долей, а сомножители и их произведение специальных наименований не имели.

Тогда же были впервые описаны многие из забавных задач, включённых позднее в 18 веке в учебники по математике. Многие из них настолько совершенны, что без изменений дошли до наших дней. Взять, к примеру, замечательный приём умножения однозначных чисел на 9 с помощью пальцев обеих рук, которым сейчас владеет любой школьник. Или определение загадочного числа 143, которое при умножении на 777 даёт в итоге 111 111. Или выявление свойств числа 481. Сюда же относится и чудесная головоломка «Волк, коза и капуста», а также остроумная задача «Сколько раз совместятся стрелки?», которая произвела огромное впечатление на зрителей в телевизионной игре «О, счастливчик!» в 2001 году. Этот ряд можно продолжать и продолжать.

Подобные задачи приводились в конце математических рукописей и рассматривались как арифметические развлечения. Часть их имела западное происхождение и была заимствована из сочинения Баше де Мизерака, изданного во Франции в 1612 г. – например, задачи «О плотниках», «О яйцах», «О хождении юношей», «О льве, волке и псе». Вот трактовка последней из них: «Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хощешь ведати, сколько бы они все три – лев и волк и пёс – овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми.»

1703 г. – важная веха в истории отечественной математики. Именно тогда в Москве был издан учебник выдающегося русского математика Леонтия Филипповича Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», который на протяжении полувека оставался лучшим учебником по математике и способствовал распространению математических знаний в России. Очень высоко оценил книгу Михаил Васильевич Ломоносов (он знал её наизусть). Магницкий даёт принципиально новое определение арифметики, характеризуя её как искусство: «Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретённое и изложенное». Любопытна терминология учебника, удержавшаяся в отечественных учебниках до конца 18 века. Все числа первого десятка названы перстами, круглые числа – суставами, а все остальные числа – сочинениями. Занимательным задачам был отведён целый раздел учебника: «Об утешных некиих действах, чрез арифметику употребляемых».

В дальнейшей популяризации математики в России и разработке занимательных задач велика роль швейцарского учёного Леонарда Эйлера, который в 1727 году был приглашён в Петербург и назначен адъюнктом по математике Петербургской Академии наук. Одно из интереснейших изобретений Эйлера – латинские квадраты (1782 г.).

В самом конце 18 века стали появляться брошюры, целиком заполненные забавными вопросами, загадками и задачами. Пожалуй, первой стала книга «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия» (СПб., 1789). Она представляла собой небольшое собрание занимательных задач (менее 50): на отгадывание задуманных чисел, на переправы, переливание жидкостей, угадывание числа лет и др.

Следующее издание подобного рода – «Детский гостинец, или Четыреста девяносто девять загадок с ответами в стихах и прозе, взятых как из древней, так и из новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения времени» (М., 1794). Эта небольшая по объёму книга интересует нас, прежде всего потому, что она предназначена детям. В предисловии имеются строчки, под которыми подписался бы любой современный автор: «Книга, сей источник просвещения и истинного удовольствия, не должна быть для детей источником скуки и горести».

Так, для того чтобы учение было привлекательным, обучение детей младшего возраста следует представлять как «забаву, а не как скучную должность». Кроме того, при обучении детей «надо знать их склонности и способности и надобно уметь делать в упражнениях радость, которая для них весьма приятна».

Огромную работу по сбору, систематизации и стилистической обработке старинных задач с интересным содержанием провели в конце 20 века С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко и М.К.Потапов. Её итогом стал выход книги «Старинные занимательные задачи» (М.: Наука, 1985), уникального издания, в котором приведены только задачи, опубликованные в России до 1800 года. Под одной обложкой была приведена 171 задача, часть из которых доступна детям младшего школьного возраста. В дальнейшем эта книга неоднократно переиздавалась (М.: АО «Столетие», 1994; М.: УНЦ ДО МГУ, 1996 и др.)

Нам показалось важным продолжить работу по сбору и анализу старинных и современных занимательных математических задач, чтобы определить виды головоломок, которые помогут учащимся полюбить вычисления. Наиболее перспективными оказались следующие: 1) задания с одинаковыми цифрами; 2) задания с неповторяющимися цифрами. Выяснилось, что задачи как одного, так и другого типа присутствуют практически в любой книге математических затей, но в очень малом количестве. При этом никто пока не занимался их классификацией. Немецкий математик В.Литцман в книге «Весёлое и занимательное о числах и фигурах: Занимательная математика всякого рода, о числах, о геометрических формах» (М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, 2-е издание, с.135) сообщает следующее: «Систематизации они, насколько нам известно, не подвергались». Часть этой работы мы выполнили, ограничив область исследований использованием только четырёх основных математических действий и применением скобок (что представляет большой интерес прежде всего для начальной школы, а также для пятого и шестого классов).

Итогом разработки числовых головоломок с одинаковыми цифрами стало наше пособие «Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1 – 7 класс» (М.: ТЦ «Сфера», 2002).

Новая книга посвящена занимательным задачам с неповторяющимися, неодинаковыми цифрами. Эти головоломки (их ещё называют числовыми ребусами) следует рассматривать не как математическую забаву, а как эффективный способ в самые короткие сроки развить вычислительные способности практически любого ученика.

Подавляющее большинство головоломок из данной книги можно охарактеризовать как «задачи с числами, расположенными последовательно» (их 1061 из 1200). Педагоги знают, как сложно порой подобрать для учащихся задания, в которых требуется не решать примеры, а самим их придумывать. Задания рассматриваемого вида – разновидность подобных «обратных» задач. Если в традиционных математических примерах требуется произвести вычисления и получить ответ, то здесь по имеющемуся ответу следует смоделировать исходный пример.

В других главах помещены головоломки с неповторяющимися числами в клетках, кружках и секторах («Числовые горизонтали с пустыми клетками», «Геометрические фигуры с пустыми секторами и кружками», «Магические квадраты», «Математические дорожки»).

В первой части данной книги мы познакомим вас с нашими собственными разработками, а во второй («Страницы истории») – с пособиями других методистов.

Основным недостатком классических задач рассматриваемого вида является то, что при наличии в большинстве из них нескольких верных решений в ответах приводится лишь одно из них.

Между тем данный вид числовых затей оптимально выполняет свою педагогическую, а не развлекательную функцию только в том случае, когда решения публикуются с достаточной полнотой. Поэтому в ответах на свои головоломки мы указываем все или почти все правильные решения.

Вместе с тем основу пособия составляют задачи, имеющие единственный правильный ответ.

Почти все головоломки придуманы автором и публикуются впервые.

Особенностью книги является то, что при решении разрешается использовать только знаки четырёх арифметических действий и при необходимости скобки (но не скобки в скобках). Это очень важно, так как данный вид числовых затей становится доступным и для детей младшего школьного возраста.

Ответы на задачи даны в конце пособия.

Следующий раздел книги – «Страницы истории». В нём впервые подробно прослеживается история числовых головоломок с неповторяющимися цифрами, доступных ученикам 1-7 классов. Ранее как в отечественных, так и в зарубежных журналах и монографиях публиковалась только история знаменитых задач для учащихся старших классов. В подтверждение укажем следующие книги: Э.Люкас «Математические развлечения: Приложение арифметики, геометрии и алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и играм» (СПб.: Издание Павленкова, 1883), Г.Н.Попов «Памятники математической старины в задачах» (М.-Л., 1929), В.Д.Чистяков «Старинные задачи по элементарной математике» (Минск: Вышейшая школа, 1978), И.И.Баврин, Е.А.Фрибус «Старинные задачи» (М.: Просвещение, 1994).

Ещё более значимо то обстоятельство, что в разделе «Страницы истории» не только приводятся тексты хрестоматийных задач с неодинаковыми цифрами, созданных классиками научно-популярной литературы, но и во многих случаях впервые предлагаются их альтернативные решения и существенные уточнения.

Завершает книгу наиболее полный на сегодняшний день перечень книг, в которых есть страницы, посвящённые занимательной математике.

1. ЗАДАЧИ С ЧИСЛАМИ, РАСПОЛОЖЕННЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО

Стоит отметить, что, в отличие от задач с одинаковыми цифрами, многие задачи рассматриваемого вида доступны самым маленьким детям. С подобных задач и начинается наша книга. Но сначала обратимся к сказочной истории о Нулях и Значащих Цифрах.

Приключения Нуля и Значащих Цифр в Королевстве Нуль-Девять (фрагмент)

…Очень огорчило Нулей, что не побывали у них в Нулевом посёлке Математические Знаки. Пришлось Нулям самим отправиться на поиски Знаков и пригласить их к себе.

Нули уже узнали обо всех полезных поступках, которые совершили Математические Знаки для Единиц, Двоек и других значащих цифр, и были уверены, что и им Знаки послужат верой-правдой. Но всё оказалось не так.

Впрочем, обо всём по порядку. Сначала решили Нули применить Знак Минус:

0.

0 = 0.

0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

Удивились Нули: из одного Нуля хоть один Нуль вычитай, хоть девять – ничего не получается.

Тут один Нулик расхохотался:

– И не получится, если мы и дальше отнимать будем. Не вычитать надо, а прибавлять!

Повеселели остальные Нули и стали складывать:

0.

0 = 0.

0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Удивительное дело: сколько Нулей к одному Нулю ни прибавляют, результат не меняется!

– Уж хоть бы Единицу получить, – горестно вздохнули Нули. – Чтобы приумножить наше Нулевое хозяйство, видимо, не складывать, а умножать надо!

И стали они умножать. Умножали, умножали, в конце концов, целых десять Нулей перемножили, да ничего у них не вышло:

0.

0 = 0.

0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

– Что же это за дела, – удивился один из Нулей. – Отнимали – и ничего не вычли. Складывали – и ничего не добавили. Умножали – и не приумножили. Как теперь поступить? Делить, что ли?

– Делить-то нечего, – фыркнули остальные Нули, посмотрев из стороны в сторону. – Давайте-ка лучше помирим остальные Цифры между собой и сами со всеми помиримся.

Это предложение всем Нулям понравилось. Нули не были такими гордыми, как остальные Цифры. Недолго раздумывая, они отправились в соседние города и уговорили все Цифры помириться.

Единицы, Двойки, Тройки и другие Цифры сами уже соскучились без товарищей и с радостью согласились со всеми встретиться.

Встреча произошла в Нулевом Посёлке, и можете себе представить, какой весёлой она выдалась.

Единицы выстроили высокую пирамиду, которая вскоре под смех остальных Цифр развалилась. Упали Единицы прямо на Семёрок, которые стояли рядом.

После падения Цифры Один стали похожи на Семёрки, а Цифры Семь превратились в Единиц.

Двойки лебедями плескались в поселковом пруду и осыпали брызгами друзей.

Тройки таким образом прислонились к зеркалам, что стали похожи на Восьмёрок.

Четвёрки перевернулись, превратившись в стулья, и предложили всем желающим на них посидеть. Но когда несколько Нулей забрались на такие стульчики, то Четвёрки перекувырнулись, и Нули под хохот друзей кубарем покатились прочь.

Пятёркам понравились проделки Троек и Четвёрок: они тоже перевернулись, посмотрели на себя в зеркало и обнаружили, что почти не отличаются от Двоек.

Тут уж почти все цифры стали переворачиваться. Шестёрки превратились в Девяток, Девятки в Шестёрок.

Восьмёрка перевернулась несколько раз, но с удивлением обнаружила, что, в отличие от некоторых других Цифр, не изменилась.

Тогда она рассудила, что, вероятно, переворачивалась не в ту сторону и только поэтому не стала другой Цифрой.

Тут один шалунишка-Нуль так резко толкнул Восьмёрку, что она развалилась на две части.

Два Нуля взгромоздились один на другой, закричали:

– Мы теперь – Восьмёрка! – и задорно пропели. —

А Восьмёрка – тра-ля-ля! —

А Восьмёрка – два Нуля!

Но обе части Восьмёрки снова заняли свои места, и Восьмёрка решила держаться подальше от проказников Нулей.

Больше всего Цифрам понравилось то, что теперь с помощью математических знаков гораздо легче стало представлять одни числа через другие. Если прежде, чтобы изобразить число 3 нужны были три Единицы (1 + 1 + 1) или три Двойки (2 : 2 + 2), то теперь хватило одной Единицы и одной Двойки:

1 + 2 = 3.

А если взять по одной Цифре Один, Два и Три и, расположив их по порядку, вставить между ними Математические Знаки, то легко можно получить такие числа первой сотни:

(1 + 2) : 3 = 1;

12 : 3 = 4;

1 · 2 + 3 = 5;

1 · (2 + 3) = 5;

1 + 2 + 3 = 6;

1 · 2 · 3 = 6;

1 + 2 · 3 = 7;

12 – 3 = 9;

(1 + 2) · 3 = 9;

12 + 3 = 15;

1 · 23 = 23;

1 + 23 = 24;

12 · 3 = 36.

А Нуля особенно обрадовало то, что таким образом и его можно было изобразить:

1 + 2 – 3 = 0.

Если же рядом встанут Единица, Двойка, Тройка и Четвёрка, то можно ещё больше чисел из первой сотни выразить!

Например, так:

12 – 3 · 4 = 0;

12 : 3 : 4 = 1;

1 + 2 + 3 – 4 = 2;

1 + 2 · 3 – 4 = 3;

1 + 2 – 3 + 4 = 4;

12 – 3 – 4 = 5;

(1 + 23) : 4 = 6;

12 : 3 + 4 = 8;

1 · 2 + 3 + 4 = 9;

1 + 2 + 3 + 4 = 10;

12 + 3 – 4 = 11;

12 – 3 + 4 = 13;

1 · 2 + 3 · 4 = 14;

1 + 2 + 3 · 4 = 15;

12 : 3 · 4 = 16;

12 + 3 + 4 = 19;

1 + 23 – 4 = 20;

1 + (2 + 3) · 4 = 21;

1 · 2 · 3 · 4 = 24;

1 + 2 · 3 · 4 = 25;

1 · 23 + 4 = 27;

1 + 23 + 4 = 28;

12 · 3 – 4 = 32;

1 · 2 + 34 = 36;

1 + 2 + 34 = 37;

12 · 3 + 4 = 40;

12 + 34 = 46;

(12 + 3) · 4 = 60;

1 · 2 · 34 = 68;

1 + 2 · 34 = 69;

12 · (3 + 4) = 84;

1 · 23 · 4 = 92;

1 + 23 · 4 = 93;

(1 + 23) · 4 = 96.

Во многих случаях есть и другие способы (о них мы поговорим позднее).

Хорошо теперь зажили Цифры, но больше всех был счастлив Нуль.

Правда, сначала он никак не мог понять, с какой стороны подойти к значащим Цифрам, чтобы результат получился наибольшим. Нуль знал, что число 9 самое большое из однозначных чисел и решил сдружиться с Девяткой. Но с каким Математическим Знаком ему отправиться к ней в гости? Понятно, что не со Знаками Вычитания и Деления. Решил Нуль заняться умножением:

0 · 9 = 0.

Ничего хорошего не получилось. Расплакалась Девятка. Вся надежда оставалась на Знак Плюс:

0 + 9 = 9.

Повеселел Нуль, наконец что-то стоящее в результате получилось, хоть это и не его заслуга, а Цифры 9.

Снова призадумался Нуль: «А нужны ли нам сейчас Математические Знаки? Как наше Королевство называется? Нуль-Девять. Встану-ка я рядом с Девяткой без всяких Знаков! Я – слева, Девятка – справа»:

09.

Нет, не то. А если перебежать на другую сторону?

Как задумано, так и сделано. Получилось 90!

Ай да Нуль! Без умножения увеличил значение Девятки в десять раз.

Так и стал Нуль с Девяткой под ручку ходить: Девятка – слева, Нуль – справа.

С тех пор Нуля стали уважать в Королевстве Нуль-Девять наравне с остальными Цифрами, да и само Королевство порой называли Королевством Девяносто.

А Нуль потом сообразил, что если справа поставить своего брата, то можно получить ещё большее число – 900! А так как братьев у Нуля видимо-невидимо, то получившееся число можно увеличивать бесконечно:

9000, 90000, 900000, 9000000, 90000000, 900000000, 9000000000…

Задачи с использованием знаков сложения и вычитания

(знаки умножения, деления и скобки не применять)

Во всех последующих задачах решающему предлагается некоторое количество последовательно расположенных однозначных чисел (1 2 3 4 и т.д.), между которыми в подходящих местах необходимо расставить знаки «плюс» и «минус». Порядок расположения цифр ни в одном из заданий менять нельзя. Также в процессе пооперационных вычислений не должны получаться отрицательные числа. К примеру, число 2 с помощью цифр 1, 2, 3 нельзя представить как:

1 – 2 + 3,

так как после выполнения первого действия (вычитания) возникает отрицательное число «минус 1».

Обратите внимание на то, что в разделе «Счёт до десяти» правильными решениями признаются только те, где при пооперационных вычислениях не фигурируют числа более 10, т.е. нельзя число 9 выразить следующим образом:

9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6,

так как после выполнения четвёртого действия (сложения) появляется число 15. Безусловно, в последующих разделах, где приведены задачи с большими числами, указанный ответ будет верным.

Ещё два важных обстоятельства:

1) Все числовые выражения данного раздела начинаются с цифры 1;

2) Скобки в математических выражениях нашей книги допускаются только начиная с задачи 775 (и то, если в условии задания не говорится, что их нельзя использовать), при этом запрещается применять скобки в скобках.

Последнее положение объясняется тем, что нагромождение скобок существенно снижает эстетичность искомого числового выражения и неоправданно затрудняет поиск правильного ответа.

Резюмируем: ответ к любой из задач 1–1061 должен иметь вид

1 2,

1 2 3,

1 2 3 4,

1 2 3 4 5,

1 2 3 4 5 6,

1 2 3 4 5 6 7,

1 2 3 4 5 6 7 8

или

1 2 3 4 5 6 7 8 9,

при этом во многих случаях между цифрами помещаются знаки арифметических действий и иногда скобки. Пример: число 15 можно выразить с помощью знаков сложения и пяти цифр так:

1 + 2 + 3 + 4 + 5,

а посредством трёх цифр так:

12 + 3.

Подчеркнём, что указанные требования и ограничения распространяются только на наши авторские задачи раздела «Разные цифры». В решениях подобных задач, придуманных другими методистами, почти всегда применяются и отрицательные числа, и дроби, и фигурные скобки, и другие математические действия. О наиболее интересных разработках предшественников речь пойдёт в рубрике «Страницы истории».

ЗАДАЧИ НА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Счёт от нуля до десяти: простые задачи

(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку, начиная с единицы)

1. Двумя цифрами. Представьте число 3 посредством цифр 1, 2 и знаков математических действий.

2. Тремя цифрами. Выразите число 0 с помощью цифр 1, 2, 3, знаков «плюс» и «минус». Напоминаем, что в подобных задачах нельзя менять порядок расположения цифр (цифры меньшие по значению всегда располагаются левее), причём каждая из них используется только один раз.

3. Тремя цифрами. Изобразите число 6 посредством единицы, двойки и тройки.

4. Четырьмя цифрами. Расставьте между числами 1, 2, 3, 4 знаки сложения и вычитания таким образом, чтобы в результате получилось 2.

5. Четырьмя цифрами. Представьте число 4 посредством первых четырёх значащих цифр.

6. Четырьмя цифрами. Запишите число 10 с помощью цифр 1, 2, 3 и 4.

7. Пятью цифрами. Выразите число 5 с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

8. Пятью цифрами. Изобразите число 7 посредством единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.

9. Пятью цифрами. Напишите число 9 с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

10. Шестью цифрами. Представьте число 1 посредством первых шести значащих цифр.

11. Шестью цифрами. Выразите число 3 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

12. Семью цифрами. Изобразите число 8 посредством единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

13. Семью цифрами. Запишите число 10 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

14. Восьмью цифрами. Представьте число 0 посредством первых восьми значащих цифр.

15. Восьмью цифрами. Выразите число 2 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

16. Девятью цифрами. Изобразите число 9 посредством всех значащих цифр.

Счёт от нуля до десяти: сложные задачи

(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку слева направо, начиная с единицы)

17. Представьте число 0 посредством нескольких последовательно расположенных цифр и знаков «плюс» и «минус» (как уже отмечалось, во всех подобных задачах данного раздела получившееся числовое выражение должно начинаться с цифры 1). Укажите два способа.

18. Изобразите таким же образом единицу (запись в виде одной цифры 1 в подобных задачах не допускается). Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

19. Двумя способами выразите число 2 с помощью некоторого количества значащих цифр.

20. Напишите подобным же образом число 3. Также найдите два способа.

21. Представьте четвёрку посредством нескольких последовательно расположенных цифр.

22. Выразите таким же образом число 5.

23. Изобразите число 6 с помощью некоторого количества значащих цифр.

24. Напишите подобным же образом число 7.

25. Представьте восьмёрку через несколько последовательно расположенных цифр. Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

26. Двумя способами изобразите число 9 с помощью некоторого количества значащих цифр.

27. Выразите подобным же образом число 10. Сможете ли вы указать два способа?

Счёт от нуля до двадцати

(внимание: при пооперационных вычислениях не должны получаться числа более 20, а все числовые выражения в ответах к данному разделу будут начинаться с цифры 1 и далее по порядку; скобки не использовать)

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3

28. Представьте число 9 посредством цифр 1, 2, 3 (не забудьте, что использовать их можно только по одному разу) и одного математического знака.

29. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки и тройки.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4

30. Изобразите число 5 посредством цифр от 1 до 4.

31. Расставьте между числами 1, 2, 3, 4 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 11.

32. Напишите число 13 с помощью четырёх цифр: единицы, двойки, тройки и четвёрки.

33. Выразите посредством четырёх первых значащих цифр число 19.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5

34. Представьте 0 посредством цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

35. Выразите число 6 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.

36. Изобразите число 8 посредством цифр от 1 до 5.

37. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 10.

38. Представьте число 14 посредством цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

39. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.

40. Изобразите число 16 посредством цифр от 1 до 5.

41. Напишите число 18, используя только первые пять значащих цифр.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6

42. Представьте 0 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

43. Выразите число 2 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.

44. Изобразите число 4, используя только первые шесть значащих цифр.

45. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 6.

46. Представьте число 8 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

47. Выразите число 9 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.

48. Изобразите число 10 посредством цифр от 1 до 6.

49. Напишите число 11 с помощью первых шести значащих цифр.

50. Двумя способами представьте число 12 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

51. Выразите число 13 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.

52. Изобразите число 14, используя только первые шесть значащих цифр.

53. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знаки сложения и вычитания таким образом, чтобы в результате получилось 15.

54. Представьте число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

55. Можно ли выразить числа 17, 18 и 19 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки таким образом, чтобы в результате пооперационных вычислений не получались числа большие, чем 20?

56. Изобразите число 20 посредством цифр от 1 до 6.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

57. Можно ли с помощью первых семи значащих цифр выразить число нуль (как и в других задачах, с учётом указанных в данном разделе ограничений: допускается применять только знаки «плюс» и «минус», при пооперационных вычислениях не должны получаться числа большие 20 и др.)?

58. Представьте единицу посредством цифр от 1 до 7.

59. Выразите число 2 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

60. Изобразите тройку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

61. Напишите число 4 с помощью цифр от 1 до 7.

62. Двумя способами расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 5.

63. Представьте число 6 посредством первых семи значащих цифр.

64. Выразите число 7 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки. Приведите два способа.

65. Изобразите восьмёрку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Найдите два способа.

66. Двумя способами напишите число 9 с помощью цифр от 1 до 7.

67. Выразите число 10 посредством семи первых значащих цифр.

68. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 11.

69. Можно ли с помощью первых семи значащих цифр выразить число 12 (как и в других задачах, с учётом указанных в данном разделе ограничений: разрешается применять только знаки «плюс» и «минус», при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, более 20 и др.)?

70. Представьте число 13 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Укажите два способа.

71. Возможно ли посредством семи первых значащих цифр изобразить число 14?

72. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

73. Изобразите число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

74. Напишите число 17 с помощью цифр от 1 до 7.

75. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 18.

76. Представьте число 19 посредством первых семи значащих цифр. Приведите два способа.

77. Выразите число 20 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

Счёт от нуля до двадцати: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

78. Двумя способами представьте нуль посредством первых восьми значащих цифр.

79. Выразите число 1 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки. Также найдите два способа.

80. Изобразите двойку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

81. Напишите число 3 с помощью цифр от 1 до 8.

82. Можно ли с помощью восьми первых значащих цифр представить число 4 (опять не забудьте про ограничения на числовые выражения в данном разделе)?

83. Двумя способами расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 5.

84. Возможно ли с помощью восьми первых значащих цифр изобразить число 6?

85. Выразите число 7 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки.

86. Изобразите восьмёрку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

87. Двумя способами напишите число 9 с помощью цифр от 1 до 8.

88. Выразите число 10 посредством восьми первых значащих цифр. Также укажите два способа.

89. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 11. Найдите три способа.

90. Двумя способами с помощью восьми первых значащих цифр выразите число 12.

91. Представьте число 13 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Укажите два способа.

92. Посредством восьми первых значащих цифр изобразите число 14.

93. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки. Укажите два способа.

94. Изобразите число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Также найдите два способа.

95. Двумя способами напишите число 17 с помощью цифр от 1 до 8.

96. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 18.

97. Представьте число 19 посредством восьми первых значащих цифр.

98. Возможно ли с помощью цифр от 1 до 8 (и, безусловно, всех налагаемых ограничений) изобразить число 20?

99. Какие из чисел в интервале 0 – 20 не удаётся выразить посредством восьми первых значащих цифр?

100. Какое из чисел в интервале 0 – 20 можно выразить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 наибольшим количеством способов? Укажите это количество.

…

…

…

Задачи на сложение

В пустые клетки надо поместить такие цифры, чтобы пример был решён правильно. При этом в одной клетке должна быть только одна цифра, причём одна и та же цифра не должна встречаться дважды (это относится ко всем заданиям данного раздела).

1062.

1063. В этом задании все числа чётные.

1064. В этом задании числа от 1 до 3.

Новые задания – равенства. Сумма чисел в его левой части должна быть равна сумме чисел в правой части. Дополнительное условие: сумма слагаемых может быть двузначным числом. Но в клетки, как и во всех остальных заданиях данного класса, записываются только однозначные числа.

1065.

1066.

1067. В задании все числа чётные.

2.2. ЧИСЛОВЫЕ ГОРИЗОНТАЛИ С ПУСТЫМИ ПРЯМОУГОЛЬНИКАМИ: ОДНОЗНАЧНЫЕ И ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

В задачах данного раздела:

однозначное число, а

– двузначное число.

Как обычно, в заданиях нет одинаковых цифр.

Задачи на сложение и вычитание

1145.

1146.

1147.

2.4. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Волшебные квадраты были известны на Востоке ещё в глубокой древности. Увлекались их составлением индусы и арабы. В странах Европы о них узнали в XV веке благодаря стараниям византийского писателя Мосхопуло. Средневековые звездочёты не сомневались, что эти квадраты обладают магической силой.

Волшебный квадрат расчерчен на клетки, в каждую из которых вписано число, причём сумма чисел в каждом горизонтальном и вертикальном (а подчас и самых длинных диагональных) рядах одинакова.

В этой главе представлены задачи с волшебными квадратами. Специально для данной книги мы придумали несколько новых головоломок.

1182. Расположи в пустых клетках недостающие числа от 2 до 9 таким образом, чтобы их сумма в каждом горизонтальном, вертикальном и одном трёхклеточном диагональном ряду равнялась 15, при этом цифры не должны повторяться.

4

1

1183. Впиши в свободные клетки магического квадрата числа от 3 до 9 таким образом, чтобы их сумма в каждом горизонтальном, вертикальном и трёхклеточном диагональном ряду равнялась 15.

1

2

2.5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОРОЖКИ

«Математические дорожки» – вид числовых ребусов, который называют также «Арифметические дорожки» и «Числовой коврик». Здесь надо решить не один-единственный пример, как в «Числовых горизонталях», а нередко от одного до трёх по горизонтали и от одного до трёх по вертикали (единственное исключение – задание «Числовая вертикаль»). Нам удалось разработать новые занимательные задачи, которые решаются с помощью несложных логических операций. Как и в «Числовых горизонталях», в каждой пустой клетке должна быть только одна цифра. При этом, как и во всех других задачах книги, цифры не должны повторяться.

1187. «Числовая вертикаль». В пустые клетки впиши недостающие числа от 1 до 4 таким образом, чтобы вертикальный пример был решён. Ещё раз напоминаем – в этой и всех следующих задачах не должно быть одинаковых цифр.

–

+

2

=

ОТВЕТЫ:

1. 1 + 2. 2. 1 + 2 – 3. 3. 1 + 2 + 3. 4. 1 + 2 + 3 – 4. 5. 1 + 2 – 3 + 4.

6. 1 + 2 + 3 + 4. 7. 1 + 2 + 3 + 4 – 5. 8. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.

9. 1 + 2 – 3 + 4 + 5. 10. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6.

11. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6. 12. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7.

13. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7. 14. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

15. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

16. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.

17. 1 + 2 – 3; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

18. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6; шесть.

19. 1 + 2 + 3 – 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

20. 1 + 2; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6. 21. 1 + 2 – 3 + 4.

22. 1 + 2 + 3 + 4 – 5. 23. 1 + 2 + 3. 24. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.

25. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; семь.

26. 1 + 2 – 3 + 4 + 5; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.

27. 1 + 2 + 3 + 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7.

28. 12 – 3. 29. 12 + 3. 30. 12 – 3 – 4. 31. 12 + 3 – 4.

32. 12 – 3 + 4. 33. 12 + 3 + 4. 34. 12 – 3 – 4 – 5.

35. 12 + 3 – 4 – 5. 36. 12 – 3 + 4 – 5. 37. 12 – 3 – 4 + 5.

38. 12 + 3 + 4 – 5. 39. 1 + 2 + 3 + 4 + 5. 40. 12 + 3 – 4 + 5.

41. 12 – 3 + 4 + 5. 42. 12 + 3 – 4 – 5 – 6. 43. 12 – 3 + 4 – 5 – 6.

44. 12 – 3 – 4 + 5 – 6. 45. 12 – 3 – 4 – 5 + 6.

46. 12 + 3 + 4 – 5 – 6. 47. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6.

48. 12 + 3 – 4 + 5 – 6. 49. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6.

50. 12 – 3 + 4 + 5 – 6; 12 + 3 – 4 – 5 + 6.

51. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6. 52. 12 – 3 + 4 – 5 + 6.

53. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6. 54. 12 – 3 – 4 + 5 + 6.

55. Нет. 56. 12 + 3 + 4 – 5 + 6. 57. Нет. 58. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7.

59. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7. 60. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7.

61. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7.

62. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 – 7.

63. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7.

64. 12 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7; 12 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7.

65. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7.

66. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7.

67. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7. 68. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7.

69. Нет. 70. 12 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7; 12 – 3 – 4 – 5 + 6 + 7. 71. Нет.

72. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7. 73. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7.

74. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7. 75. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7.

76. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7.

77. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7.

78. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 – 8.

79. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8.

80. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

81. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8. 82. Нет.

83. 12 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8; 12 – 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8. 84. Нет.

85. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8. 86. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

87. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7 + 8.

88. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8; 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8.

89. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8;

12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7 + 8.

90. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 – 8.

91. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 – 7 + 8.

92. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8.

93. 12 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8; 12 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7 + 8.

94. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8.

95. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8.

96. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 + 8. 97. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8.

98. Нет. 99. 4, 6 и 20. 100. Число 11; три способа.

Остальные ответы в Интернет-версии не приводим.

3. СТРАНИЦЫ ИСТОРИИ

(фрагменты нашей книги)

Старинные головоломки Е.И.Игнатьева,

С.Лойда и А.В.Сатарова

Задачи с неповторяющимися цифрами встречаем в замечательном отечественном трёхтомнике Е.И.Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы» (СПб.: Тип. А.С.Суворина, 1908–1911). В «Книге 1» (цитируемой по третьему изданию, 1911, с.48-49) приведены:

«Задача 31-я: Написать число 9 посредством десяти различных цифр (девяти значащих и одной незначащей)» и

«Задача 32-я: Написать число 100 посредством девяти различных значащих цифр».

Решение первой из них, согласно Е.И.Игнатьеву, таково:

«Число 9 может быть представлено в виде частного от деления одного пятизначного числа на другое, причём цифры обоих чисел будут различны. Дадим 6 таких решений:

97524
/₁₀₈₃₆, ⁹⁵⁸²³/₁₀₆₄₇, ⁹⁵⁷⁴²/₁₀₆₃₈, ⁷⁵²⁴⁹/₀₈₃₆₁, ⁵⁸²³⁹/₀₆₄₇₁, ⁵⁷⁴²⁹/₀₆₃₈₁«.

Наш комментарий. Три последних решения не вполне корректны, так как первые цифры в знаменателях – нули.

Далее Е.И.Игнатьев пишет:

«Задача 32 имеет много разных решений. Дадим из них такие:

91⁵⁷⁴²/₆₃₈, 91⁷⁵²⁴/₈₃₆, 91⁵⁸²³/₆₄₇, 94¹⁵⁷⁸/₂₆₃, 96²¹⁴⁸/₅₃₇, 96¹⁴²⁸/₃₅₇, 96¹⁷⁵²/₄₃₈.

Вот ещё решения, содержащие знак «+»:

100 = 97 + ^{(5 + 3)}/₈ + ⁶/₄+¹/₂,

100 = 75 + 24 + ⁹/₁₈ + ³/₆,

100 = 95¹/₂ + 4³⁸/₇₆ и т.д.

Сюда же можно отнести и такое решение данной задачи в целых числах:

46 + 37 + 15 = 98 + 2 = 100 или

56 + 8 + 4 + 3 = 71 + 29 = 100″.

Здесь Е.И.Игнатьев разъясняет: «Как видим, в предпоследнем решении допущен некоторый «фокус». Сначала из шести разных цифр составлено три числа, дающих в сумме 98 – число, опять-таки составленное из двух новых цифр, и к нему прибавляется число, изображённое недостающей цифрой 2. В сумме получается требуемое число 100. Подобно же составлено и последнее решение».

Интересно, что почти такую же задачу приводит И.Я.Герд в «Сборнике игр и полезных занятий для детей всех возрастов с предисловием для родителей и воспитателей» (СПб.: Шиповник, 1912, 5-е изд., с.234), раздел «Задачи»:

«17. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 такие числа, чтобы через сложение получить ровно 100».

При этом в ответе приводится только одно решение, немного отличающееся от указанных Е.И.Игнатьевым:

15 + 36 + 47 = 98 + 2 = 100.

Наш комментарий. Нетрудно найти и другие решения с «фокусом» помимо тех, которые присутствуют в пособиях Е.И.Игнатьева и И.Я.Герда:

73 + 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2 = 100;

70 + 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2 = 100;

53 + 8 + 4 + 6 = 71 + 29 = 100;

45 + 37 + 16 = 98 + 2 = 100;

58 + 3 + 4 + 6 = 71 + 29 = 100;

47 + 36 + 15 = 98 + 2 = 100

и т.п.

Ещё раньше головоломку о числе 100 привёл классик занимательной математики американец С.Лойд (1841–1911). В его книге «Математическая мозаика» (М.: Мир, 1980, с.172) находим такую задачу:

«169. Расположите цифры и точки таким образом, чтобы сумма равнялась 100.

Когда в Филадельфии праздновалось столетие независимости, я предложил маленькую арифметическую головоломку, которая вызвала заметную дискуссию. Требовалось расположить 10 цифр и 4 точки таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100 (Запрещается использование каких-либо других математических символов, однако точки можно использовать как для отделения дробной части в десятичном представлении числа, так и для указания на период десятичной дроби».

Здесь требуется пояснение: в англоязычных странах вместо десятичной запятой используется десятичная точка; в случае, когда целая часть числа равна нулю, этот нуль порой опускается и пишут, к примеру не 0,8, а .8).

Составитель и редактор цитируемого сборника М.Гарднер отметил:

«Лойд в своём ответе приводит решения, которые нельзя считать верными. Например,

70 + 13 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2 = 100.

Здесь вопреки условиям требуются два сложения.

Лойд также приводит 6 ответов с дробями (где, очевидно, две точки используются вместо черты в записи правильной дроби). Например,

24³/₆ + 75⁹/₁₈ = 100″.

Оригинальную трактовку задания с неповторяющимися цифрами находим в другой головоломке С.Лойда (с.206):

«214. Укажите недостающую цифру.

Китайцы – большие мастаки во всём, что касается манипуляций с цифрами. Один китайский профессор попросил меня выписать любые два числа при условии, что при записи я использую только девять цифр и нуль. Например, я мог записать:

342195

6087

Каждую цифру следовало использовать один и только один раз. Затем меня попросили сложить два числа. Наконец, мне сказали, чтобы я стёр оба числа и одну цифру в ответе. Профессор посмотрел на ответ и быстро сказал, какую цифру я стёр. Вот мой ответ:

1 1 341.

Не могли бы вы назвать недостающую цифру и объяснить, каким образом профессор быстро определил её?

Решение.

Сумма девяти цифр равна 45 и, следовательно, делится на 9. Вне зависимости от расположения в двух числах этих цифр и нуля сумма двух чисел также должна делиться на 9. Более того, когда вы складываете цифры в любом числе, кратном 9, результат тоже всегда будет кратен 9. Поэтому, чтобы определить недостающую цифру, мы должны сложить сохранившиеся цифры ответа; при этом получается 10. Затем мы вычитаем это число из 18 (наименьшее число, кратное 9 и превосходящее 10) и получаем 8. Это и есть недостающая цифра».

Наш комментарий. В задачу вкралась неточность. Если бы китайскому профессору был продемонстрирован ответ, сумма цифр которого делилась бы на 9, например 1 1 241, то он не смог бы точно установить недостающую цифру, так как это могли быть и 0, и 9.

Как видно, ответы на заинтересовавшие нас головоломки из книг Е.И.Игнатьева и С.Лойда либо очень сложны, либо не вполне корректны.

Целям нашей книги больше соответствует задание, которое привёл А.В.Сатаров в четырёхтомнике «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях» (М.: Издание Товарищества И.Д.Сытина, 1912). В «Книге второй» (с.5) он опубликовал следующую задачу:

«11. Составьте из первых семи цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 такие четыре числа, чтобы при сложении их получить ровно 100; при этом брать какую-либо цифру два или три раза нельзя.

Ответ:

Числа, удовлетворяющие условиям задачи, таковы: 2, 15, 36, 47.

Действительно: 2 + 15 + 36 + 47 = 100.

Возможны и другие решения, например:

2 + 17 + 35 + 46 = 100″.

Наш комментарий. В данной задаче очень много решений. Вот ещё некоторые из них:

5 + 12 + 37 + 46;

6 + 15 + 32 + 47;

7 + 16 + 35 + 42.

Очевидно, что иные решения легко получить перестановкой цифр в слагаемых (т.е. вместо 35 + 42 можно написать 32 + 45 и т.д.).

Математические находки Я.И.Перельмана и Г.Э.Дьюдени

«Доктор занимательных наук» Я.И.Перельман также не обошёл стороной данный вид арифметической затеи. В книге «Весёлые задачи: 101 головоломка для юных математиков с 112 рисунками» (Пг.: Начатки знаний, 1919, 2-е издание) он приводит задачу 24 (раздел III «Десять задач потруднее», с.21):

«Девять цифр.

Напишите по порядку девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Вы можете, не меняя их порядка, вставить между цифрами знаки «плюс» и «минус» таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100.

Нетрудно, например, вставив «+» и «–» шесть раз, получить 100 таким путём:

12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.

Если хотите вставить «+» или «–» всего 4 раза, вы тоже можете получить 100.

Вот пример:

123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100.

Попробуйте, однако, получить 100, пользуясь знаками «+» и «–» всего три раза!

Это будет гораздо труднее. И всё же это вполне возможно, надо только терпеливо искать.

Решение:

Вот каким способом можете вы получить 100 из ряда девяти цифр и трёх знаков «+» и «–»: 123 – 45 – 67 + 89 = 100.

В самом деле: 123 + 89 + 212; 45 + 67 = 112; 212 – 112 = 100.

Других решений задача не имеет.

Впрочем: если у вас есть терпение, попытайтесь испробовать другие сочетания».

В дальнейшем задачу «Девять цифр» Я.И.Перельман опубликовал и в других книгах, например, в пособии «Занимательные задачи» (Л.: Молодая гвардия, 1935, 4-е издание, с.67).

Если в сборниках Е.И.Игнатьева и А.В.Сатарова не оговаривалась последовательность расположения цифр, то в рассматриваемой работе (как и в большинстве наших задач) их требуется расставить уже по порядку.

Укажем, что первое издание книги «Весёлые задачи» относится к 1914 году (Пг.: Изд. А.С.Суворина).

Подобную числовую головоломку находим и в книге Я.И.Перельмана «Фокусы и развлечения» (М.: Молодая гвардия, 1933). В разделе «Весёлая арифметика» на с.81 читаем:

«49. Из семи цифр.

Напишите подряд семь цифр от 1 до 7: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Легко соединить их знаками «+» и «–» так, чтобы получилось 40:

12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 40.

Попробуйте найти другое сочетание тех же цифр, при котором получилось бы не 40, а 55.

Ответ:

Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:

123 + 4 – 5 – 67 = 55;

1 – 2 – 3 – 4 + 56 + 7 = 55;

12 – 3 + 45 – 6 + 7 = 55″.

Наш комментарий. Во втором случае уже после первой операции возникает отрицательное число (1 – 2 = – 1), что является некоторым изъяном в решении. Ещё важнее то, что задача имеет более простое решение (с использованием только знаков сложения):

1 + 2 + 34 + 5 + 6 + 7.

Парадоксально, упомянутая головоломка публиковалась во многих изданиях (не только в трудах Я.И.Перельмана), но существование данного решения не было отмечено ни в пособиях середины XX века, ни в книгах и журналах последних лет. Например, в сборнике «Лучшие задачи на сообразительность» (М.: АСТ-ПРЕСС, 1998) и журнале «Мурзилка» (№12, 2001, с.30, 32).

Есть в работах Я.И.Перельмана и несколько других задач с разными цифрами: «Десятью цифрами» («Живая математика» – Л.-М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934, с.183), «Единица» («Живая математика» – там же), «Необычайные дроби» («Занимательные задачи» – Л.: Молодая гвардия, 1935, 4-е издание, с.68), но все они связаны с применением дробей и в настоящем пособии не приводятся.

Из книг, содержащих задачи с дробными решениями, упомянем только работу А.М.Воронца и Г.Н.Попова «Математические развлечения: Библиотека «В помощь школьнику». Серия по математике. Выпуск II» (М.-Л.: Госиздат, 1928, с.32). В разделе «Числовые курьёзы» дано следующее задание:

«3. Число 100 может быть записано посредством всех десяти цифр, из коих каждая берётся только один раз, так: 100 = 78³/₆ + 21⁴⁵/₉₀.

Существует ещё 4 способа; найдите их».

Ответы в книге не приведены.

Из зарубежных авторов, публиковавших числовые ребусы с неповторяющимися цифрами, наряду с американцем С.Лойдом отметим англичанина Г.Э.Дьюдени (1857–1930). В книге «520 головоломок» (М.: Мир, 1975, с.37, 43), составленной М.Гарднером на основе сборников Г.Э.Дьюдени, вышедших в 1926 и 1931 годах, приводятся, в частности, три такие задачи:

«104. Две суммы.

Можно ли расположить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 двумя группами по четыре цифры в каждой так, чтобы суммы чисел, составленных из цифр каждой группы, были равны между собой?

Очень просто получить ответ, заменив 9 на 6. Например, каждая из сумм двух групп чисел 1, 2, 7, 8 и 3, 4, 5, 6 равна 18. Но такая замена не допускается.

Ответ:

Расположив цифры следующим образом:

173 + 4 = 177 и

85 + 92 = 177

мы увидим, что обе суммы равны».

Наш комментарий. Есть и схожие решения: 174 + 3 и 82 + 95, что является недостатком задачи.

«131. Жонглирование цифрами.

Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырёх арифметических действий – сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять лишь знаки трёх выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения:

3 + 4 = 7; 9 – 8 = 1; 30 : 6 = 5.

Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды.

Ответ:

7 + 1 = 8; 9 – 6 = 3; 4 · 5 = 20″.

Наш комментарий. Возможны и иные схожие решения:

8 – 1 = 7; 6 + 3 = 9; 5 · 4 = 20.

8 – 7 = 1; 3 + 6 = 9; 20 : 4 = 5.

1 + 7 = 8; 9 – 3 = 6; 20 : 5 = 4 и т.п.

Отметим, что задача 131 приведена также в книге В.Н.Болховитинова, Б.И.Колтового и И.К.Лаговского «Твоё свободное время: Занимательные задачи, опыты, игры» (М.: Детская литература, 1970), задание «Как это сделать?» (с.110–111).

«132. Равные дроби.

Можете ли вы составить три самые обычные дроби (скажем, что-нибудь вроде ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄ или ¹/₉), используя каждую из девяти цифр по одному и только одному разу? Дроби можно образовать одним из следующих способов: либо ^a/_b = ^c/_d = ^ef/_ghj, либо ^a/_b = ^c/_de = ^fg/_hj.

Существует только пять решений, но пятое содержит некую «изюминку» – тонкость, которая, быть может, ускользнёт от читателя.

Ответ:

Приведём пять решений задачи:

2
/₄ = ³/₆ = ⁷⁹/₁₅₈; ³/₆ = ⁷/₁₄ = ²⁹/₅₈; ³/₆ = ⁹/₁₈ = ²⁷/₅₄;

2
/₆ = ³/₉ = ⁵⁸/₁₇₄; ^.2/₁ = ^.6/₃ = ⁹⁷/₄₈₅«.

Наш комментарий. Как видно, последнее решение связано с применением десятичной точки.

Арифметические ребусы за рубежом

Вы уже, наверное, заметили, что в пособии рассмотрены большей частью находки отечественных авторов, обративших внимание на данный класс математических затей. А что же зарубежные математики? В огромном море переводной учебной литературы головоломок с неповторяющимися числами немного. Нет их в таких известных трудах, как: К.Баше «Игры и задачи, основанные на математике» (СПб.-М.: Изд. М.О.Вольфа, 1877), Э.Люкас «Математические развлечения: Приложение арифметики, геометрии и алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и играм» (СПб.: Изд. Павленкова, 1883), В.Шустер «Математические вечера: Весёлая математика» (СПб.: Вестник Знания, 1908), В.Аренс «Математические игры и развлечения» (СПб.: Физика, 1911), Г.Шуберт «Математические развлечения и игры» (Одесса: Матезис, 1923, 2-е изд.), У.Болл, Г.Коксетер «Математические эссе и развлечения (М.: Мир, 1986), С.Барр «Россыпи головоломок» (М.: Мир, 1987, 3-е изд.), Н.Лэнгдон, Ч.Снейп «С математикой в путь» (М.: Педагогика, 1987).

Вместе с тем, как было отмечено, данной проблематикой занимались англичанин Г.Э.Дьюдени и американцы С.Лойд и М.Гарднер.

Если обратиться к зарубежным публикациям последних лет, то лишь одна-единственная головоломка с неповторяющимися цифрами приведена в сборнике «The Little Giant Encyclopedia of Puzzles» (N.Y., 1996), да и та заимствована у М.Гарднера. Также одно подобное задание в книге K.Russel, F.Carter «Number Puzzles» (Foulsham, 1993), причём оно связано с дробями. А в содержательном пособии для начальной школы R.Allan, M.Williams «Mathswise» (Oxford University Press), выдержавшем с 1985 по 1994 год 11 изданий в одной только Великобритании, вообще нет подобных задач.

Отметить можно лишь книгу Л.Чилингировой и Б.Спиридоновой «Играя, учимся математике: Пособие для учителя начальных классов» (М.: Просвещение, 1993; год болгарского издания – 1987)…

Разновидности задач с неодинаковыми цифрами

Автор этих строк прежде лишь в одной книге обращался к задачам с неодинаковыми цифрами, расположенными по порядку. Вот два сказочных задания из пособия И.Г.Сухина «800 новых логических и математических головоломок» (СПб.: Союз, 2001, с.10):

«7. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр:

12345

как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл Путалка. Он тоже взял палочку и что-то начертил на песке. Тут к Путалке подошёл Загадалка и увидел вот что:

12345 = 60

Загадалка поморщился, почесал затылок, отобрал у Путалки палочку и кое-где вставил между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно. Как он расставил знаки?

8. Хотя это может показаться невероятным, но точно такая же история приключилась с гномами и на следующий день. На этот раз Забывалка писал цифры, начиная с единички, справа налево:

54321

А Загадалке удалось верно расставить плюсы в таком выражении:

54321 = 60

Как он это сделал?

Ответ:

7. 12 + 3 + 45 = 60.

8. 54 + 3 + 2 + 1 = 60″.

Впервые эти задачи под названием «Раз, два, три, четыре, пять!» я опубликовал в журнале «Мурзилка» (№5, 1999) в иной интерпретации, без сюжетной канвы.

В книге «800 новых логических и математических головоломок» гораздо больше нестандартных задач с неповторяющимися цифрами.

Отметим, что в рассматриваемом пособии задания с неодинаковыми цифрами специально не изучались и составляли незначительную часть книги. Вот примеры (с.45-46):

«Задачи из тетради гнома Забывалки.

Гном Забывалка принёс нам свою тетрадь, в которой он решал примеры на вычитание, сложение, умножение и деление однозначных чисел.

Но очень многие цифры Забывалка забыл поместить в квадратики и без твоей помощи тут не обойтись. Кое-что из этих задач гном помнит, и его подсказки помогут тебе справиться с заданиями.

В этих задачах впиши в пустые клетки-квадратики такие забытые гномом цифры, чтобы арифметический пример был решён правильно. И учти: в одной клетке должна быть только одна цифра.

Задачи на вычитание

4. В этой задаче нет одинаковых цифр.

–

8

=

Ответ: 9 – 8 = 1.

6. Тут нет цифр 5 и 7. Во всех клетках числа различны.

–

4

=

Ответ: 6 – 4 = 2 .

7. В новом примере – цифры от 0 до 4 (т.е. могут быть только 0, 1, 2, 3 или 4). Во всех клетках разные числа».

–

2

=

Ответ: 3 – 2 = 1.

А вот примеры головоломок из раздела «Цифры в буквах» (с.91, 92, 96):

«Задачи из тетради гнома Забывалки.

В этих задачах впиши в пустые клетки такие забытые гномом цифры, чтобы все арифметические примеры были верно решены. Не забудь: в одной клетке должна быть только одна цифра».

Примечания: в Интернет-версии данные задачи не приводим…

И в заключение – самый обширный список интересных математических пособий, книг-сказок, необычных учебников и т.п. из данной книги.

Список занимательной литературы к пособию И.Г.Сухина «1200 головоломок с неповторяющимися цифрами»

На форуме сайта «Афина Паллада»

Ego Darling: «Сейчас Лиза сидит и решает задачи из 1200 головоломок — и математика опять превращается в одно из Изящных Искусств и вовсе не кажется Великим и Тупым Занудством. Снова хочется сказать автору таких книг БОЛЬШОЕ СПАСИБО :-)» —
http://www.palada.ru/viewtopic.php?p=582.

800 новых логических и математических головоломок. – СПб.: Союз, 2001.

Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1-7 класс

Задача «Волк, коза и капуста»: удивительные находки и неразгаданные тайны. – М.: Начальная школа, 2002, №7, с.69-70.

ОСНОВНЫЕ РУБРИКИ САЙТА

ЛИТЕРАТУРНЫЕ ЗАТЕИ

Лучшие книги:
«Литературные викторины, тесты и сказки-загадки для дошкольников и младших школьников» (1998) и «Незнайка, Хоттабыч, Карлсон и все-все-все: литературные викторины, кроссворды и чайнворды для детей».

ЗАГАДКИ, ЗАГАДКИ-ШУТКИ, СКАЗКИ-ЗАГАДКИ, ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Лучшая книга:
«Новые 500 загадок – 70 кроссвордов».

ЛОГОПЕДИЯ И СКОРОГОВОРКИ

Лучшие книги:
«Чистоговорки, наоборотки, запрятки на звук «С» и «Весёлые скороговорки для «непослушных» звуков».

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Лучшие книги:
«800 новых логических и математических головоломок» и «Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1-7 класс».

ШАХМАТЫ ДЛЯ ДЕТЕЙ

Лучшие книги:
«Волшебные фигуры, или Шахматы для детей 2–5 лет» и «Удивительные приключения в Шахматной стране» (для детей 5-–8 лет).

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ

Занимательная библиография

ЧТО УЖЕ РАЗМЕЩЕНО НА САЙТЕ

КНИГИ, РУКОПИСИ, СТАТЬИ И.Г.СУХИНА

КТО ЗАЩИТИТ АВТОРА, ИЛИ ОХОТА НА ПЛАГИАТОРА

ИЗ ПЕРЕПИСКИ С ЧИТАТЕЛЯМИ

Калейдоскоп интересных ссылок

НА ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ

mailto:[email protected]

Home Page URL: http://suhin.narod.ru/mat5.htm

© 2003-2006 Сухин И.Г. Все права защищены.

Сайт управляется системой uCoz

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства
Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000, 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000, 100, 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.
Формулировка признака делимости на 10, 100 и т.д. с примерами
Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:
Определение 1
Если число заканчивается на 0, то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.
Теперь запишем признак делимости на 100:
Определение 2
На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.
Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.
Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0, поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.
Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.
Пример 1
Условие: определите, какие числа из ряда 500, −1 010, −50 012, 440 000 300 000, 67 893 можно разделить на 10, 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100.
Решение
Согласно признаку делимости на 10, мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с −1 010, 440 000 300 000, 500, ведь они все заканчиваются нулями. А вот для −50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3.
На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000, поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце (4). Зная признак делимости на 100, можно сказать, что −1 010, −50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.
Ответ: на 10 можно разделить числа 500, −1 010, 440 000 300 000; на 10 000 – число 440 000 300 000; на 100 не делятся числа 1 010, −50 012 и 67 893.
Как доказать признаки делимости на 10, 100, 1000 и др.
Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100, 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.
Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10. Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.
Определение 3
Чтобы определить, делится ли целое число на 10, нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0, то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.
Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10. Докажем, что в конце у него стоит 0.
Поскольку a можно разделить на 10, то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q, при котором будет верным равенство a=10·q. Вспомним правило умножения на 10: произведение 10·q должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a=10·q последним будет стоять 0. Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10. Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10, его можно представить в виде a=a1·10. Здесь число a1 получается из a, в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a=a1·10 будет следовать делимость a на 10. Таким образом мы доказали достаточность условия.
Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100, 1000 и т.д.
Прочие случаи делимости на 1000, 100, 10 и др.
В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10. Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.
Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.
Пример 2
Условие: определите, можно ли разделить 11n+20n-21 на 10 при любом натуральном значении n.
Решение
Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.
11n+20n-21=(10+1)n+20n-21==Cn0·10n+Cn1·10n-1·1+…+Cnn-2·102·10n-2+Cnn-1·10·1n-1+Cnn·1n++20n-21==10n+Cn1·10n-1·1+…+Cnn-2·102·n·10+1++20n-21==10n+Cn1·10n-1·1+…+Cnn-2·102+30n-20==10·10n-1+Cn1·10n-2+…+Cnn-2·101+3n-2
Мы получили выражение, которое можно разделить на 10,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n. Значит, исходное выражение 11n+20n-21 можно разделить на десять при любом натуральном n.
Ответ: данное выражение делится на 10.
Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.
Пример 3
Условие: выясните, будет ли 11n+20n-21 делится на 10 при любом натуральном n.
Решение
Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11n+20n-21=111+20·1-21=10. Деление десяти на десять возможно.
Допустим, что выражение 11n+20n-21 будет делиться на 10 при n=k, то есть 11k+20k-21 можно разделить на 10.
Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11n+20n-21 делится на 10 при n=k+1. Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:
11k+1+20·k+1-21=11·11k+20k-1=11·11k+20k-21-200k+230==11·11k+20k-21-10·20k-23
Выражение 11·11k+20k-21 в данной разности можно разделить на 10, поскольку такое деление возможно и для 11k+20k-21, а 10·20k-23 тоже делится на 10, потому что это выражение содержит множитель 10. Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11n+20n-21 делится на 10 при любом натуральном значении n.
Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n, допускается следующий подход: доказываем, что при n=10·m, n=10·m+1, …, n=10·m+9, где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10. Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n. Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.
Количественные числительные, обозначающие целые числа.

Количественные числительные
могут обозначать целые числа и количества в целых числах, например: пять, двадцать пять, сто двадцать пять.
Сколько цифр в числительном, столько и слов (не считая нулей)
Примеры:
21 – двадцать один,
132 – сто тридцать два,
200 – двести.

Морфологические признаки.

Род.
Не имеют категории рода, кроме числительных один (одна, одно) и два (две), причём числительное два имеет родовые формы только в И.п. и В.п.

Число.
Не имеют категории числа, кроме числительных тысяча (тысячи), миллиард (миллиарды), миллион (миллионы).

Виды числительных по строению (по структуре):
простые – состоят из одного слова с одним корнем: два, три, одиннадцать;

сложные – включают два корня: пятьдесят, семьдесят;

составные – состоят из двух или более отдельных слов: то двадцать пять.

Склонение по падежам.
Простые числительные склоняются как существительные 3-го склонения.
Слово один склоняется в зависимости от рода и числа. Окончание в винительном падеже зависит ещё от одушевлённости/неодушевлённости предмета

И.п.

один

одна

одно

одни

пять

Р.п.

одного

одной

одного

одних

пяти

Д.п.

одному

одной

одному

одним

пяти

В.п.

одно
одного

одну

одно

одни

пять

Т.п.

одним

одной

одним

одними

пятью

П.п.

об одном

об одной

об одном

об одних

о пяти

Сложные существительные.

20, 30

50-80

200-400

500-800

И.п.

двадцать

пятьдесят

двести

пятьсот

Р.п.

двадцати

пятидесяти

двухсот

пятисот

Д.п.

двадцати

пятидесяти

двумстам

пятистам

В.п.

двадцать

пятьдесят

двести

пятьсот

Т.п.

двадцатью

пятьюдесятью

двумястами

пятьюстами

П.п.

о двадцати

о пятидесяти

о двухстах

о пятистах

Примечание.
Восемьсот.
В Т.п. имеет две формы:
восьмьюстами

восемьюстами (книжная форма, имеет оттенок устарелости).

У числительных 5-19 и 20-30 буква ь пишется на конце, у числительных 50-80 и 500-900 — в середине слова (между двумя основами).
В составных числительных склоняется каждое слово отдельно.

И.п.

четыреста двадцать семь

Р.п.

четырёхсот двадцати семи

Д.п.

четырёмстам двадцати семи

В.п.

четыреста двадцать семь

Т.п.

четырьмястами двадцатью семью

П.п.

о четырёхстах двадцати семи

Склонение числительного тысяча, миллион, миллиард.
У количественного числительного одна тысяча обычно слово «одна» опускается. Все понимают, что имеется в виду именно одна тысяча чего-либо. Но там, где уточнение обязательно для исключения двусмысленности, например в платёжных документах, всегда говорят или пишут полностью: одна тысяча.
Тысяча – склоняется как существительное 1-го склонения.
Миллион, миллиард – склоняются как существительные 2-го склонения.

И.п.

одна тысяча

тысячи

миллион

миллиард

Р.п.

одной тысячи

тысяч

миллиона

миллиарда

Д.п.

одной тысяче

тысячам

миллиону

миллиарду

В.п.

одну тысячу

тысячи

миллион

миллиард

Т.п.

одной тысячей

тысячами

миллионом

миллиардом

П.п.

об одной тысяче

о тысячах

о миллионе

о миллиарде

Сорок, девяносто, сто.
Имеют только две формы.

И.п.
В.п.

сорок

девяносто

сто

Р.п.
Д.п.
Т.п.
П.п.

сорока

девяноста

ста

Некоторые случаи употребления количественных числительных.
Числительное один часто опускается, когда употребляется с существительными: купить килограмм муки.

При употреблении слова однис существительными оно перестаёт обозначать число и приобретает значение частицы.

           В классе одни девочки. (Одни = только.)
В разговорной речи при использовании числительных с существительными минута, час, год, градус, бензин и др. существительные часто опускаются. Примеры: на улице минус десять, мне двадцать, уже девять, заправиться девяносто пятым.

В книжной речи существительные, как правило, употребляются. Примеры: на улице минус десять градусов, мне двадцать лет.

Если существительное стоит перед числительным, то принято считать, что обозначается не точное число чего-либо, а приблизительное: расстояние тридцать километров (точно) — расстояние километров тридцать (приблизительно).

В И.п. и В.п. количественные числительные, обозначающие целые числа, требуют после себя существительных в форме Р.п., например:

           пять книг, семь роз, тридцать человек.
Числительные полтора, два, три, четыретребуют существительного в ед. ч., а остальные – во мн. ч.

         Примеры:
       Два окна – пять окон, три розы – тридцать роз, четыре мальчика – сорок      мальчиков.
Во всех остальных формах вид связи — согласование, т.е. числительные согласуются с существительными в падеже.

Примеры:
Р.п. шести окон, пяти роз
Д.п. шести окнам, пяти розам
Исключение составляет числительное один. Оно во всех падежах согласуется с существительным. (Р.п. — одного окна, Д.п. – одному окну).

Синтаксическая роль.
Количественные числительные выполняют разную синтаксическую роль.
Примеры.
^{подлежащее}Двадцать минус ^{подлежащее} десять – ^{сказуемое} десять.
Нужно вычесть из ^{дополнение} шести ^{дополнение} два.
Повесть была напечатана ^{обстоятельство} в трёх журналах.

Сколько нулей в миллионе, миллиарде и триллионе?
Имя Количество нулей Группы из (3) нулей
Тен 1 (10)
Сто 2 (100)
тыс. 3 1 (1 000)
Десять тысяч 4 (10 000)
Сто тысяч 5 (100 000)
миллионов 6 2 (1 000 000)
миллиардов 9 3 (1 000 000 000)
трлн 12 4 (1 000 000 000 000)
Квадриллион 15 5
Квинтиллион 18 6
Секстиллион 21 7
септиллион 24 8
Октиллион 27 9
Нониллион 30 10
Дециллион 33 11
Ундециллион 36 12
Duodecillion 39 13
Tredecillion 42 14
Кваттюор-дециллион 45 15
Квиндециллион 48 16
Сексдециллион 51 17
Септен-дециллион 54 18
Октодециллион 57 19
ноябрь 60 20
Вижинтиллион 63 21
Сентиллион 303 101
Все эти нули
Таблица, подобная приведенной выше, безусловно, может быть полезна для перечисления имен всех чисел в зависимости от того, сколько в них нулей.Но может быть действительно ошеломляющим видеть, как выглядят некоторые из этих чисел. Ниже приведен список, включающий все нули, для чисел до дециллиона, что немного больше, чем половина чисел, перечисленных в приведенной выше таблице.
Десять: 10 (1 ноль)
Сотня: 100 (2 нуля)
Тысяча: 1000 (3 нуля)
Десять тысяч 10000 (4 нуля)
Сотня тысяч 100000 (5 нулей)
Миллион 1000000 (6 нулей)
Миллиард 1000000000 ( 9 нулей)
триллион 1,000,000,000,000 (12 нулей)
квадриллион 1,000,000,000,000,000 (15 нулей)
Квинтиллион 1,000,000,000,000,000,000 (18 нулей)
Секстиллион 1,000,000,000,000,000,000,000 (21 ноль)
септиллион 1,000,000,000,000,000,000 (100000000000000) 30000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 нулей)
Дециллион 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (33 нуля)
Нули, сгруппированные в наборы по 3
Ссылка на наборы нулей зарезервирована для групп из трех нулей, что означает, что они не актуальны для меньших чисел.Мы пишем числа с запятыми, разделяющими наборы из трех нулей, чтобы было легче читать и понимать значение. Например, вы пишете один миллион как 1000000, а не 1000000.
В качестве другого примера гораздо проще вспомнить, что триллион записывается с четырьмя наборами из трех нулей, чем считать 12 отдельных нулей. Хотя вы можете подумать, что это довольно просто, просто подождите, пока вам не придется считать 27 нулей для октиллиона или 303 нуля для сантиллиона.
Тогда вы будете благодарны за то, что вам нужно запомнить только девять и 101 набор нулей соответственно.
Числа с очень большим числом нулей
У числа гугол (названного Милтоном Сироттой) после него 100 нулей. Вот как выглядит гугол, включая все обязательные нули:
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Как вы думаете, это число большое? Как насчет гуголплекс , который представляет собой единицу, за которой следует гугол нулей.Гуголплекс настолько велик, что пока не имеет смысла — он больше, чем количество атомов во Вселенной.
Миллиард и миллиард: некоторые различия
В Соединенных Штатах, а также во всем мире в области науки и финансов миллиард равен 1 000 миллионов, что записывается как единица с девятью нулями. Это также называется «короткой шкалой».
Существует также «длинная шкала», которая используется во Франции и ранее использовалась в Соединенном Королевстве, в которой миллиард означает один миллион миллионов.Согласно этому определению миллиарда, число записывается с единицей, за которой следуют 12 нулей. Краткая шкала и длинная шкала были описаны французским математиком Женевьев Гитель в 1975 году.
Сколько нулей в миллиард? Миллион? Триллион?
Хотите знать, сколько нулей в миллиард? Триллион? Нониллион?
Независимо от того, выиграли ли вы недавно в лотерею и пытаетесь убедиться, что на вашем банковском счете правильное количество нулей, или вы просто пытаетесь найти простой способ понять, сколько нулей в большом количестве (более миллиона), эта статья для вас.
Мы разберем простой трюк, позволяющий определить, сколько нулей в больших числах , и предоставим удобную диаграмму для удобства.
Сколько нулей в триллионе? Как создаются большие числа
Цифра ноль (0) важна для счета больших чисел. Чем больше число, тем больше в нем нулей.
Начиная с 1000, большие числа содержат группы нулей. Каждый раз, когда вы переходите на следующий уровень числа, добавляется еще 0.
Число одна тысяча состоит из трех нулей (1000). В числе 10 000 четыре нуля (10 000). В числе ста тысяч пять нулей (100 000). Число один миллион состоит из шести нулей (1 000 000).
Каждый раз, когда у вас есть полная группа из трех нулей, например, один миллион (1000000), вы разделяете их запятыми.
Сколько нулей в миллионе? Сколько нулей в миллиард? Справочная таблица
Вот как выглядят числа от 100 000 до 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (нониллион), записанные с правильными группами из трех нулей.
Имя
Количество нулей
Записано
Одна тысяча
3
1 000
Десять тысяч
4
10 000
Сто тысяч
5
100 000
Один миллион
6
1 000 000
миллиардов
9
1 000 000 000
трлн
12
1 000 000 000 000
Квадриллион
15
1 000 000 000 000 000
Квинтиллион
18
1 000 000 000 000 000 000
Секстиллион
21
1 000 000 000 000 000 000 000
септиллион
24
1 000 000 000 000 000 000 000 000
Октиллион
27
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000
нониллион
30
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Как определить, сколько нулей в миллионе
Пытаетесь вычислить, сколько нулей должно быть в большом числе?
Каждое большое число всегда добавляет ноль к непосредственно предшествующему числу, начиная с 1000.
У
1,000 три нуля. Это означает, что следующее большое число, десять тысяч (10 000), имеет четыре нуля.
То же самое и с миллионами. Один миллион имеет шесть нулей (1 000 000). У десяти миллионов семь нулей (10 000 000). У ста миллионов восемь нулей (100000000).
Когда вы переходите от одного большого числа к следующему обозначению (например, от одного миллиона до одного миллиарда), вы добавляете группу из трех нулей. Один миллион содержит шесть нулей (1 000 000), а один миллиард — девять нулей (1 000 000 000).
Резюме: Сколько нулей в миллиард?
Обнулить самую важную цифру для создания больших чисел. Большие числа выше 100 000 имеют группы из трех нулей, разделенных запятыми.
У миллиона шесть нулей, у миллиарда девять, а у триллиона 12.
Что дальше?
Пишете исследовательскую работу для школы, но не знаете, о чем писать? В нашем справочнике по темам исследовательских работ более 100 тем в десяти категориях, так что вы можете быть уверены, что найдете идеальную тему для себя.
Узнайте о натуральном бревне? Ознакомьтесь с нашим руководством по 11 правилам естественного журнала, которые вы должны знать, чтобы преуспеть в этом предмете.
Что такое динамическое равновесие и какое отношение оно имеет к ржавым автомобилям? Узнайте, прочитав наше полное руководство по динамическому равновесию.
Сколько нулей в миллионе, миллиарде и триллионе?
Вот названия чисел нулей на короткой шкале. (Тодд Хелменстайн, sciencenotes.org)
Вы когда-нибудь задумывались, сколько нулей в миллионе, миллиард или триллионе? Вы знаете, сколько нулей в вигинтиллионе или гуголе? Умение писать обычные большие числа полезно на уроках естественных наук или математики (или на вашем банковском счете, если вы богаты).Используйте свои знания о гигантских числах, чтобы произвести впечатление на своих друзей.
Числа, основанные на группах из трех нулей
Хотя десять и сотня имеют собственное имя, большие числа основаны на группах из трех нулей. В этой таблице даны названия групп нулей в числе.
9001 8 8
9 Duodecillion
Имя Количество нулей Группы (3) нулей
Тен 1 (10)
Сотня 2 (100)
Тысяч 3 1 (1,000)
Десять тысяч 4 (10,000)
Сотни тысяч 5 (100,000)
Миллион 6 2 (1000000)
Миллиард 9 3 (1000000000)
Триллион 12 4 (1000000000000)
Квадриллион 15 5
Квинтиллион 6
Секстиллион 21 7
Септиллион 24
Октиллион 27 9
Нониллион 30 10
Дециллион 33 11
Ундециллион 36 12
39 13
Tredecillion 42 14
Quatttuor-decillion 45 15
Quindecillion 48 16
17
Септен-дециллион 54 18
Октодециллион 57 19
Новемдециллион 60 20
Вигинтиллион
Сантиллион 303 9 0019
101
Как выглядят числа в письменном виде
Таблица может быть полезна для поиска количества нулей в больших числах.Но если вам нужно знать, как их писать, полезно видеть их написанными во всей красе.
Десять: 10 (1 ноль)
Сотня: 100 (2 нуля)
Тысяча: 1000 (3 нуля)
Десять тысяч 10000 (4 нуля)
Сотня тысяч 100000 (5 нулей)
Миллион 1000000 (6 нулей)
миллиарда 10000000000 (9 нулей)
триллион 1000000000000 (12 нулей)
квадриллион 10000000000000000 (15 нулей)
квинтиллион 1000000000000000000 (18 нулей)
секстиллион 10000000000000000000000 (21 ноль)
септиллион 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 септиллион) (30 нулей)
Дециллион 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (33 нуля)
Нули, сгруппированные в наборы по 3
Чем больше становится цифра, тем труднее становится считать цифры.Итак, большие цифры сгруппированы в наборы по три. Пишите числа через запятую, разделяя наборы из трех нулей, чтобы было легче читать и понимать значение. Например, запишите один миллион как 1 000 000, а не 1000000. Набор из трех начинается при перемещении влево от десятичной точки (последний ноль). Итак, вы пишете 10 000, а не 100,00. После десятичной точки запятые обычно не ставят, если только вы не имеете дело со значением, содержащим большое количество цифр, например пи. Иногда для разделения цифр используется пробел вместо запятой.
В качестве другого примера гораздо проще вспомнить, что триллион записан с четырьмя наборами из трех нулей, чем считать 12 отдельных нулей. Хотя вы можете подумать, что это довольно просто, просто подождите, пока вам не придется считать 27 нулей для октиллиона или 303 нуля для сантиллиона. Проще запомнить девять и 101 набор нулей соответственно.
Числа с очень большим числом нулей
У числа гугол (названного Милтоном Сироттой) после него 100 нулей.Вот как выглядит гугол со всеми его нулями:
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Гугол — это 10 в степени 100.
Вы можете заметить, что номер googol имеет сходство с названием компании Google . Это не случайно. Google — это неправильное написание слова googol, и он соответствует цели компании — стать чрезвычайно большой поисковой системой.
Как вы думаете, гугол большой? Как насчет гуголплекс , который представляет собой единицу, за которой следует гугол нулей. Гуголплекс настолько велик, что его стоимость превышает количество атомов в известной вселенной.
Тем не менее, гуголплексы — не самое большое число из описанных на сегодняшний день. Число Грэма настолько велико, что его невозможно описать с помощью повседневной математики. Когда в 1977 году было описано число Грэма, оно было наибольшим положительным целым числом, используемым в математическом доказательстве. С тех пор было описано еще большее число, например TREE (3).
Краткая шкала и длинная шкала
Имена, присвоенные большим числам, основанным на степени десяти, различаются в разных странах. Две основные системы именования — короткая шкала и длинная шкала. В США используется краткая шкала, в которой миллиард равен 1 000 миллионам и записывается как единица с девятью нулями.
Длинная шкала используется во Франции и ранее использовалась в Великобритании. В долгом масштабе миллиард означает один миллион миллионов. Согласно этому определению миллиарда, число записывается с единицей, за которой следуют 12 нулей.Как короткая шкала, так и длинная шкала были описаны французским математиком Женевьевой Гитель в 1975 году.
Ссылки
Hanley, Rachael (12 февраля 2003 г.). «От Googol к Google». Stanford Daily. Стэндфордский Университет. (заархивировано из оригинала)
Смит, Роджер. «Google означает каждое». Управление исследованиями и технологиями , т. 53 нет. 1, 2010, стр. 67-69, DOI: 10.1080 / 08956308.2010.11657613
Thompson, Ambler; Тейлор, Барри Н. (30 марта 2008 г.).«Руководство по использованию Международной системы единиц (СИ)». NIST SP — 811. США: Национальный институт стандартов и технологий.
Похожие сообщения
Большие числа | Britannica
Большие числа — это числа выше одного миллиона, которые обычно представлены либо с использованием показателя степени, например 10 ⁹, либо с помощью таких терминов, как миллиардов или миллиардов миллионов , которые часто различаются от системы к системе.Американская система счисления номиналов свыше одного миллиона была смоделирована по образцу французской системы, но в 1948 году французская система была изменена, чтобы соответствовать немецкой и британской системам. В американской системе каждая деноминация выше 1 000 миллионов (американская миллиардов ) в 1000 раз больше предыдущей (один триллион = 1 000 миллиардов; один квадриллион = 1 000 триллионов). В британской системе каждое из номиналов в 1000000 раз больше предыдущего (один триллион = 1 000 000 миллиардов), за исключением миллиардов , которое иногда используется для обозначения 1 000 миллионов.В последние годы британское использование отразило широкое и растущее использование американской системы.
В таблице приведены американские и британские названия различных больших чисел.
Большие числа
значение в десятичных дробях количество нулей Американское название Британское название
10 ⁹ 9 миллиардов миллиардов или миллиардов
10 ¹² 12 трлн миллиардов
10 ¹⁵ 15 квадриллион тысяч миллиардов
10 ¹⁸ 18 квинтиллион трлн
10 ²¹ 21 секстиллион тыс. Трлн
10 ²⁴ 24 септиллионов квадриллион
10 ²⁷ 27 октиллион тыс. Квадриллионов
10 ³⁰ 30 нониллион квинтиллион
10 ³³ 33 дециллион тыс. Квинтиллионов
10 ³⁶ 36 ундециллион секстиллион
10 ³⁹ 39 дуодециллион тысяч секстиллионов
10 ⁴² 42 тредециллион септиллионов
10 ⁴⁵ 45 кваттуордециллион тыс. Септиллионов
10 ⁸⁴ 84 кваттуордециллион
10 ¹⁰⁰ 100 гугол гугол
10 ³⁰³ 303 сантиллион
10 ⁶⁰⁰ 600 сантиллион
10 ^гугол гугол гуголплекс гуголплекс
больших чисел на китайском языке — борьба с нулями и другими характеристиками
Цифры есть повсюду, и, изучая китайский язык, вы очень скоро узнаете основные числа и будете считать, используя китайский язык.Сразу после этого появляются большие числа, вы будете считать еще больше: сначала до 100 （一百）, затем 1000 （一千） и, наконец, 10000 （一万）. Это основы, которые нужно знать, но что, если вы хотите использовать действительно большие числа, а количество нулей выходит из-под контроля? Узнайте, как это сделать, продолжая читать.
Итак, когда дело доходит до счета и жонглирования числами на китайском языке, это обычно не так сложно, если числа не становятся слишком большими. Большие числа немного отличаются.
«Слишком большой» в данном случае означает, скажем, более 100.000. Думаю, до этого все еще нормально. Однако даже после этого за этим стоит система, которая кажется логичной, как только вы с ней ознакомитесь.
Мне потребовалось довольно много времени, чтобы понять логику китайских чисел. Потому что, во-первых, мне никогда не приходило в голову, что мне могут понадобиться эти знания, и поэтому меня это не интересовало.
Во-вторых, в типичных китайских классах или рабочих тетрадях система никогда не объясняется должным образом.
Вы можете выучить символы только с помощью простого «все как есть», потому что, честно говоря, числа, которые вы в основном используете при изучении китайского, — это время, возраст, номера телефонов, цены, измерения, все это часть повседневной жизни. .Итак, давайте начнем с простого и взглянем на базовые числа:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
一二三四五六七八九〇
yī или сан sì wǔ liù qī bā jiǔ длина
Эта таблица является основным упрощенным способом выражения чисел.Осторожно, уже есть несколько специальностей, о которых я хочу упомянуть:
Число 1 — йи или яо?
Иногда число 1 一 произносится как «яо» вместо «йи».
Это тот случай, когда число, которое вы читаете вслух, не имеет математического значения, например номера телефонов, почтовые индексы и т. Д. Это просто для комбинаций чисел без какого-либо более глубокого значения, и это делает его более понятным при прослушивании, потому что 1 yī и 7 qī можно перепутать. Но как только число 1 является частью последовательности или порядка, оно произносится как yī — например, номера автобусов, номера этажей, месяц, возраст и т. Д.
Число 2 — èr или liǎng?
Подобно номеру 1, есть случаи, когда 2 меняется и становится лян 两. Это немного другое, потому что это совершенно другое слово, но оно также выражает два.
二 может выражать только порядковое число, например, февраль (二月 второй месяц), 第二…
Единственное исключение — время. Вы также можете сказать 两点钟.两 может использоваться только как числительное, например, 两天, и обычно используется перед словом классификатора / меры, например.两只猫，两张桌子
Если вы хотите выразить приблизительную сумму, используя два-три, вы должны использовать 两三, но только если выраженная сумма меньше 10.(например, я ходил туда 2-3 раза / 我去过那里两三次). Когда приблизительное количество больше 20, оно становится 二三 (например, в прошлом году я проехал 20 000-30 000 километров / 去年我旅行了二三万公里) .
Номер 0- 〇 или 零？
Числа в таблице просты, их легко выучить и запомнить, но вы можете задаться вопросом, почему я написал the, а не 零 для нуля. Причина в том, что технически круглый круг является упрощенной версией 0, а 零, с которым вы, возможно, знакомы, уже является сложной (не путать с традиционной) версией.零 используется банками, чтобы сделать написание номеров на банковских чеках более безопасным, более устойчивым к мошенничеству и во избежание ошибок.
Эти сложные формы существуют для всех основных чисел и даже для символов, выполняющих шаги десяти, сотен и тысяч. Картинка должна быть очевидной, какой символ и какой номер. Последние 4 поля — это нулевые символы:
Номера Упрощенное Комплекс
10 十拾
100 百佰
1000 千仟
10.000 万万
Хотя символы разные, пиньинь остается прежним. В следующем абзаце будут показаны некоторые случаи, когда пиньинь также немного меняется.
Числовой разговор
Немного реже известен тот факт, что основные китайские числа могут звучать по-разному, а символы могут быть изменены с помощью радикала, чтобы выразить количество чего-либо. В этом случае число как бы уже объединено со словом меры, поэтому вы не можете использовать другое слово за ним.
Они больше похожи на предопределенные, поэтому вы не можете просто сложить все, что задумали, и некоторые из этих символов также имеют больше значений, чем просто число.
Ниже приведены некоторые примеры. Я думаю, что наиболее распространенным среди изучающих китайский язык является 俩 — 我俩 = мы оба (我们俩 — добавление 们 больше используется в письменной речи). Имейте в виду, что есть также этот символ: 仁 (rén), который логически может уместиться в слот для числа два, но, учитывая правило для числа 2, упомянутое выше, этот символ на самом деле не имеет числового значения, поэтому вместо этого он 俩.
№ Количество объединено Пиньинь Пример Пример перевода
2 两个俩 liǎ 我俩 Мы оба
3 三仨 sā 我 Трое из нас
4 四个人伵 sì 我伵 Четверо из нас
4 四匹马驷 sì 驷 (упряжка) четыре лошади
5 五伍 wǔ 我伍 Пятеро из нас
8 八仈 bā 我 Восемь из нас
9 九仇 qiú 我 Девять из нас
10 十什 ши 我 Десять из нас
Как пользоваться большими цифрами на китайском языке
После того, как основа определена, давайте посмотрим на большие числа и нули:
С точки зрения жителей Запада, нули набиты тысячами, поэтому, когда начинается новый пакет из 1000, мы получим новое слово для его описания.Как бы просто это ни звучало, глядя на китайский перевод, кажется довольно запутанным, что там происходит. Это потому, что в китайском языке нули упаковываются в десятки тысяч, так что они будут использовать новое слово после каждых 4 нулей. Это важно знать, чтобы понимать китайские большие числа.
Примечание: Для обозначения этих больших чисел я использую обозначение по короткой шкале , которое также используется в США. Эта шкала не включает слова Миллиард и Бильярд и, следовательно, продолжается со следующего слова в строке.
Номер Сокращенное английское название Китайский
0 Ноль 〇
Линия
0 Тен 十
Ши
100 Сто 一百
Yī bǎi
1000 Одна тысяча 一千
Йи Цянь
10.000 Десять тысяч 一万
Yī wàn
100.21 Секстиллион 十垓
Шигай
Если переставить большие числа в китайской системе с четырьмя нулями, то получим следующее:
Для лучшего понимания логики больших чисел на китайском языке столбцы китайского языка и пиньинь выровнены по правому краю.
Номер Английское сокращенное название Китайский Дословный перевод
0 Ноль 〇
Линия Ноль
10 Тен 十
ши Тен
100 Сто 一百
Yī bǎi Сто
1000 Одна тысяча 一千
Йи Цянь Одна тысяча
10000 Десять тысяч 一万
Yī wàn Десять тысяч
10.24 септиллион 一秭
Yī zǐ Один септильон **
* Нет отдельных слов для прямого перевода 1 с 8 (или 16, 20 и т. 24), китайский иероглиф становится прямым эквивалентом западного имени.24 септиллион–
Существуют и другие варианты использования этих символов, и архаичное количество этих чисел было другим, но это отдельная тема.
Заключительные слова о больших китайских числах
Не беспокойтесь, если все эти нули и большие числа запутали вас. В повседневных разговорах вы их редко используете. Можете ли вы вспомнить, когда в последний раз вы говорили с кем-нибудь об этих количествах, даже на вашем родном языке? Просто приятно знать эти слова, когда вы их читаете, и в основном это просто для того, чтобы выразить огромное количество чего-то вместо точного числа.
Самая важная вещь, которую нужно знать, — это разделение на 4 , которое для меня действительно открыло мне глаза, когда я узнал об этом. Это также помогает запомнить число, прикрепленное к символам (также внимательный ученик поймет, что чем больше штрихов у символа большого числа, тем больше у него нулей)
Стефан и команда Nincha
Сколько стоит миллион?
Назначение
Это упражнение основано на книжке с картинками Сколько стоит миллион?
Конкретные результаты обучения
Учащиеся смогут выражать количество разрядов в мультипликативных терминах (например, 10 тысяч равно 100 x 100)
Учащиеся смогут складывать и вычитать целые числа до 1000000
Описание математики
Десятичная система значений основана на том факте, что каждая позиция увеличивается (влево) или уменьшается (вправо) в 10 раз.
Если учесть величину 1000, то миллион можно понять как 1000 тысяч.
Необходимые ресурсы
Деятельность
Израсходовано на миллион долларов
Это упражнение основано на книге с картинками: Сколько стоит миллион?
Автор: Дэвид М. Шварц
Иллюстратор: Стивен Келлог
Издатель: Харпер Коллинз (1985)
ISBN: 0-688-09933-5
Резюме:
Математический маг представляет числа: один миллион, один миллиард и один триллион как набор сценариев, которые помогут его аудитории осмыслить огромную разницу между этими числами.
Последовательность уроков:
Перед чтением выясните, как учащиеся понимают и осмысляют очень большие целые числа. Какой длины должен быть миллион миллиметров? Насколько тяжел миллион грамм? Если миллион равен 1000 тысячам, сколько будет миллиарда в тысячах или миллионах? Сколько времени нужно, чтобы сосчитать до миллиона? Миллиард? Триллион? Пересмотрите обозначения домов с номинальной стоимостью на миллион, миллиард и триллион.
1
10
100
1,000
10,000
100,000
1,000,000
10,000,000
100,000,000
1,000,000,000
10,000,000,000
100,000,000,000
1,000,000,000,000
Поделитесь книгой со своими учениками.Читая историю, обращайтесь к моделям, представленным для сравнения. Например, когда вы дойдете до описания подсчета до одного миллиарда, вернитесь к тому, что значит считать до одного миллиона. Прежде чем перейти к разделу с триллионами, попросите учащихся предсказать, сколько времени потребуется на подсчет, насколько большой будет чаша с золотой рыбкой и как долго будут страницы со звездами.
Обсудите несколько примеров из книги. Свяжите их с большими числами, записанными в начале сеанса.Миллион — это 1000 тысяч, миллиард — это 1000 миллионов, а триллион — это 1000 миллиардов. В Интернете есть примеры изображений или моделей этих цифр в долларах или зернах риса.
После прочтения раздайте каждому учащемуся банкноту в миллион долларов (по математике поставьте значение денег!) Скажите им, что у них есть миллион долларов, которые они могут потратить, и установите вместе критерии вашего класса.
Например: будут ли они ограничены определенным процентом для пожертвований на благотворительность? Будет ли у них тема для индивидуальных расходов (например, создание конной фермы или оркестра)? Каковы ваши ожидания от презентации (например, создадут ли они плакат с изображениями каждой вещи, которую они покупают, или презентацию в Power Point?).Как будет записываться математика: в виде промежуточной суммы или списка вычитания? Если они купят несколько вещей (например, 4 авиабилета), как они покажут свои расчеты?
Следуя этим проектам, узнайте, что означает миллиард долларов.
Что случилось с британским миллиардом? Когда у нас 100000000 стали миллиардом? И где же тогда триллион? | Примечания и запросы
ЭТО ОСТРОВ СЦЕПТРОВ
Что случилось с британским миллиардом? Когда у нас 100000000 стали миллиардом? И где же тогда триллион?
Джонни Коэн, Лидс, Великобритания
В 1975 году канцлер Денис Хили объявил, что с тех пор казначейство будет принимать миллиард США.Предположительно в то же время то, что было миллиардом, превратилось в триллион — в конце концов, инфляция в Великобритании была на пике, пока он занимал 11-е место!
Джефф Вагг, Бекенхэм, Великобритания
Я должен указать, что вопрос сам по себе неверен — здесь за миллиард принимается 1 000 000 000, а не 100 000 000, как заявил автор.
Крис, Лондон, Англия
Для американцев и французов миллиард означает тысячу миллионов (1 000 000 000, или от 10 до девятой, то, что некоторые британцы называют миллиардом, термин, который, кажется, никогда не получил широкого распространения).
Для Британии, включая Империю и Содружество, миллиард долгое время означал миллион миллионов (1 000 000 000 000, или 10 до двенадцатого), то, что американцы называют триллионом.
Именно для того, чтобы избежать этой двусмысленности, ученые, технические писатели и другие люди, для которых несколько нулей более или менее могут иметь значение, стали вообще избегать слов и обращаться к тысячам миллионов или миллионам миллионов, когда использование числительных было неуместно. Однако постепенно американская версия стала преобладать.
Фаулер просто отметил разницу в употреблении современного английского языка в 1926 году, но во втором издании (1965) посетовал: «Жаль, что мы [британцы] не подчиняемся. В третьем (1996 г.) отмечается, что с 1951 г. в Британии растет использование американцев в технических письмах и журналистике, но старый смысл все еще распространен. В последнее десятилетие британское правительство использовало эти термины в американском смысле в официальных публикациях.
Такая же двусмысленность существует в отношении триллиона (для американцев — тысяча миллиардов, или от 10 до 12-го; для британцев, миллион миллионов миллионов, или от 10 до 18-го) и квадриллиона (для американцев, тысяча миллиардов миллионов). , или 10 к 15-му; британцам, миллион миллионов миллионов миллионов, или 10 к 24-му).
Bill Dunlap, Hamden, Connecticut USA
Любопытно, что около четырех лет назад я написал Guardian, чтобы спросить, какой «миллиард» они использовали: США (1000 миллионов) или французов (миллион миллионов). Старым «британским миллиардом» были французы. Было немного сложно понять статьи Guardian, когда используются большие числа, если вы не знаете, на какой миллиард ссылаются.
Миллиард США стал повсеместно использоваться в англоязычных странах. В 1974 году статистика британского правительства приняла миллиард США.Британская пресса соглашается.
Французы меняли значения, но окончательно подтвердили «французский» миллиард в 1961 году. Большинство неанглоязычных стран следуют за французами, за заметным исключением России и Бразилии.
Поскольку общественность редко имеет опыт работы с такими большими числами, использование французского миллиарда в Великобритании сохраняется, особенно среди пожилых и классических людей. Напротив, американский сенатор Эверетт Дирксон, как сообщается, однажды заметил: «Миллиард здесь, миллиард там, и довольно скоро вы будете говорить о настоящих деньгах».
Медведь Дэвид Грез, Каньон Кондивов, Калифорния, США
На китайском языке миллиард — это 100000000. Он все еще широко используется сегодня. Когда я впервые овладел английским языком, меня часто сбивали с толку. Один миллиард (1 000 000 000) эквивалентен 10 китайским миллиардам.
Бенни, Лондон, Великобритания
Я думаю, в интересах здравого смысла и логики, мы должны вернуться к старому британскому миллиарду или миллиону к степени двойки. Американцы могут последовать нашему примеру!
Тим Холлоуэй, Ладлоу
Я удивлен, что французы изобрели «неправильный» миллиард, учитывая, что в их языке было «миллиард».Молодцы шведы за то, что придерживаются здравого смысла.
Род Симмондс, Малверн
Британский миллиард составлял 1 000 000 000 000 до примерно 1974 года, когда американские астрономы решили снизить его ценность до 100 000 000 000, поскольку они сказали, что легче вычислить световые годы.
Затем кто-то принял 1 000 000 000 за новый миллиард. Все это ерунда, а как насчет всех книг, написанных на оригинальный британский миллиард? Кто их поймет? Мне кажется, что если набору чисел присвоено имя, значит, так оно и должно быть.6 -> Один миллион
«(п + 1) -иллион» -> миллион «(п) -иллион»
(например, один миллиард — это миллион миллионов; или один триллион — это миллион миллиардов, и так далее …)
Карлос, Игуалада Испания
Учитывая, что большая часть США одержима деньгами, из этого следует, что превращение одной тысячи миллионов в миллиард звучит прекрасно — пока вы не начнете говорить о дефиците и процентах. Может быть, нынешний кризис привнесет немного смысла в аргумент, потому что затронуты не только деньги.Многие оценки роста населения за первую половину прошлого века предсказывали истинный миллиард к концу этого столетия — к счастью, на данный момент нас меньше десяти миллиардов.
Пол, Хобарт, Австралия
Ради интереса «погуглил» биллиметр!
Пол, Хобарт, Австралия
Я испанец и сначала меня это очень сбивало с толку, потому что меня учили, что один миллиард — это «миллион миллионов», то есть 1.000.000.000.000.
Лоис, Стерлинг, Шотландия
Некоторые вещи, кажется, идут по кругу — через нашу империю половина мира приняла некоторые из наших терминов и орфографии, а теперь мы перенимаем американские термины!
Одна вещь, которую я бы хотел, чтобы остальная часть Европы приняла нашу (кроме £!), — это, чтобы указать тысячу вместо. Это шокирует, когда я получаю счет после обеда и на мгновение думаю, что задолжал 12 456 евро!
И как янкам удается что-то измерить в этой их (нашей) безумной системе, я не знаю.И как, черт возьми, выглядит жидкая унция?
Джеймс, Ипсвич, Англия
Позвольте мне взглянуть на это в некоторой перспективе. Разница между миллиардом США и миллиардом Великобритании состоит в том, что на каждого жителя земли Зальцбург, Германия, они недавно обнаружили бы, что они потеряли только 6 000 евро, а не 6 миллионов евро!
Может быть, нам стоит попросить США рассмотреть вариант написания миллиарда с одной буквой l, так как он меньше!
Билл Гейтс, Гринвич, Великобритания
Прочитав список ответов, я чувствую, что я не изгой, а мыслящий.Понимание американских значений приводит к путанице.
Недавно я видел передачу, где ведущий сказал, что Плутон находится на расстоянии 3600 миллионов миль, а через минуту сказал, что он находится на расстоянии 3,6 миллиарда миль. Это чертовски крутая эллиптическая орбита. И это тот, кто работает на LHC!
Я не согласен с комментарием о старых людях и отказе от принятия «нового миллиарда». Иметь «живой язык», на котором добавляются новые слова и меняются значения, — это хорошо, но изменять значение числа только для того, чтобы создать впечатление, что в Штатах живет больше «миллиардеров», — это просто дешево! Я вырос, зная расстояния в (настоящие) миллиарды, и вот как я их использую.Если другие хотят выразить миллиард в меньшем смысле, они должны убедиться, что это подтверждено, указав количество использованных нулей (т.е. 2,3 миллиарда, 2 300 000 000), чтобы не было путаницы. Что касается действительно сбивающего с толку и нелогичного использования десятичной точки в качестве деления на тысячу, то почему? На языке мы заканчиваем абзац запятой? Нет. Так зачем показывать число с запятой, например, 914 012, а не 914 012, если первое число кажется в тысячу раз больше? Что дальше, моя левая рука на самом деле моя правая?
Джон, Ливерпуль
Меня забавляет солидарность британских комментаторов.Честно говоря, для меня не имеет значения, какой термин мы используем с лингвистической точки зрения, если у нас есть единое определение.
Я американец, и никогда раньше не слышал о другом миллиардном. Когда я увидел веб-сайт, на котором упоминалось об этой разнице между Великобританией и США, я поискал его и приехал сюда.
Для меня миллиард всегда был 1 000 000 000. Хотя я понимаю семантику миллиарда, триллиона и квадриллиона, которые, соответственно, составляют миллион, возведенный во вторую, третью и четвертую степени, мне кажется, что это определение имеет некоторые очевидные недостатки.Во-первых, в письменной форме было бы обременительно написать тысячу миллионов, которую можно было бы легко сократить до тысячи или другого такого термина. Но поскольку большая часть англоязычного мира уже использует миллиард для этого числа, почему бы не продолжать делать это, независимо от исходного термина?
Один человек поднял хороший вопрос: как насчет старых текстов, которые ссылаются на старый «британский миллиард»?
Я считаю, что большинство людей, которые копаются в старых текстах, либо уже знают, либо, безусловно, желают обнаружить такие различия для себя.Также вероятно, что статистические, финансовые данные или данные переписи в прошлом уже были преобразованы в цифровой формат, поэтому не должно возникнуть особых проблем с людьми, которые раскапывают старые пыльные записи и неправильно их понимают.
Я очень сомневаюсь, что в наш информационный век разница между старым «британским миллиардом» и миллиардом США останется скрытой от любопытного исследователя.
В любом случае, во имя науки и ради того, чтобы никогда не говорить «одна тысяча миллионов», я буду продолжать использовать американский миллиард.Это просто проще.
Надеюсь, все на другом берегу пруда меня поймут!
Джош, Сан-Хосе, Калифорния, США
Когда дело доходит до вещей, которые действительно не имеют значения, например, сколько нулей равняется тому или иному, то я должен признать, вы, британцы, нас победили. Но когда вы покупаете авиабилеты, чтобы навестить любимого человека, или включаете свой ПК или Mac, просто помните, у какой страны были знания и мудрость, чтобы изобрести эти две маленькие тривиальные вещи.
Ник Кон, Даллас, США
Вы можете подумать, что это всего лишь 3 нуля, поэтому что изменилось и каковы последствия.Убирая 3 нуля, вы изменяете Вселенную, вы увеличиваете ее возраст с 0,0137 миллиарда лет до огромных 13,7 миллиарда лет. Теперь у нас есть ложное представление о Времени и пространстве, трудно понять, насколько велико пространство, но, говоря, что это 0,0137 миллиарда световых лет, это дает нам меньшую перспективу. Вы уменьшаете количество галактик и звезд в Галактике. Теперь у планет будет больше места для понимания, если только у нас будет еще 3 нуля. Это делает начало более отдаленным и позволяет небу существовать.
Shannon, Fareham England
Серьезно, это было сделано, чтобы рассердить британцев, и я должен сказать, что мне очень приятно видеть, как это работает так великолепно.
Деннис К., Ричмонд, США
Как только что сказала мне моя жена,
«это в названии». Как всегда, она права, Бриллион, Триллион .
No related posts.
Share :

Навигация по записям
Previous: Как обновить айфон 4 до ios 9: Скачать бесплатно прошивки для iPhone, iPod touch и iPad всех версий, изменения в последней версии iOS. Информация о последней версии iOS
Next: Лафоре алгоритмы и структуры данных java: Структуры данных и алгоритмы в Java. Р. Лафоре
Related Post
Php выгрузка в excel: backnet – ответы на простые вопросы и не очень
Qt resources: The Qt Resource System | Qt Core 5.15.2
Линукс операционная: 10 лучших операционных систем на базе Linux на русском языке
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Рубрики
Jquery
Mysql
Php
Для чайников
Разное
Сервер
Советы
Установка
Декабрь 2024
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31
« Ноя
Архивы
Ноябрь 2024
Октябрь 2024
Ноябрь 2021
Октябрь 2021
Сентябрь 2021
Август 2021
Июль 2021
Июнь 2021
Май 2021
Апрель 2021
Март 2021
Февраль 2021
Январь 2021
Декабрь 2020
Ноябрь 2020
Октябрь 2020
Сентябрь 2020
Август 2020
Июль 2020
Июнь 2020
Май 2020
Апрель 2020
Март 2020
Февраль 2020
Январь 2020
Декабрь 2019
Ноябрь 2019
Октябрь 2019
Сентябрь 2019
Август 2019
Июль 2019
Июнь 2019
Май 2019
Апрель 2019
Март 2019
Февраль 2019
Январь 2019
Декабрь 2018
Ноябрь 2018
Октябрь 2018
Сентябрь 2018
Август 2018
Июль 2018
Июнь 2018
Май 2018
Апрель 2018
Март 2018
Февраль 2018
Январь 2018
Февраль 1970
Январь 1970
2024 © Все права защищены. Карта сайта

About Me

Dashy

Сколько нулей в тысяче: сколько нулей, тысяч, цифр / 01.03.2021

Урок 7. новые счётные единицы. класс единиц и класс тысяч — Математика — 4 класс

БИЛЛИОН, МИЛЛИАРД — это… Что такое БИЛЛИОН, МИЛЛИАРД?

Смотреть что такое «БИЛЛИОН, МИЛЛИАРД» в других словарях:

R : получить точное значение нулей (килограммов до 1000 и так далее)

3 ответа

Похожие вопросы:

Форматирование чисел в виде процентов

от литературных затей до шахмат»

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства

Формулировка признака делимости на 10, 100 и т.д. с примерами

Как доказать признаки делимости на 10, 100, 1000 и др.

Прочие случаи делимости на 1000, 100, 10 и др.

Количественные числительные, обозначающие целые числа.

Сколько нулей в миллионе, миллиарде и триллионе?

Все эти нули

Нули, сгруппированные в наборы по 3

Числа с очень большим числом нулей

Миллиард и миллиард: некоторые различия

Сколько нулей в миллиард? Миллион? Триллион?

Сколько нулей в триллионе? Как создаются большие числа

Сколько нулей в миллионе? Сколько нулей в миллиард? Справочная таблица

Как определить, сколько нулей в миллионе

Резюме: Сколько нулей в миллиард?

Что дальше?

Сколько нулей в миллионе, миллиарде и триллионе?

Числа, основанные на группах из трех нулей

Как выглядят числа в письменном виде

Нули, сгруппированные в наборы по 3

Числа с очень большим числом нулей

Краткая шкала и длинная шкала

Ссылки

Большие числа | Britannica

больших чисел на китайском языке — борьба с нулями и другими характеристиками

Сколько стоит миллион?

Что случилось с британским миллиардом? Когда у нас 100000000 стали миллиардом? И где же тогда триллион? | Примечания и запросы

Добавить комментарий Отменить ответ

Имя	Количество нулей	Группы из (3) нулей
Тен	1	(10)
Сто	2	(100)
тыс.	3	1 (1 000)
Десять тысяч	4	(10 000)
Сто тысяч	5	(100 000)
миллионов	6	2 (1 000 000)
миллиардов	9	3 (1 000 000 000)
трлн	12	4 (1 000 000 000 000)
Квадриллион	15	5
Квинтиллион	18	6
Секстиллион	21	7
септиллион	24	8
Октиллион	27	9
Нониллион	30	10
Дециллион	33	11
Ундециллион	36	12
Duodecillion	39	13
Tredecillion	42	14
Кваттюор-дециллион	45	15
Квиндециллион	48	16
Сексдециллион	51	17
Септен-дециллион	54	18
Октодециллион	57	19
ноябрь	60	20
Вижинтиллион	63	21
Сентиллион	303	101

Имя	Количество нулей	Записано
Одна тысяча	3	1 000
Десять тысяч	4	10 000
Сто тысяч	5	100 000
Один миллион	6	1 000 000
миллиардов	9	1 000 000 000
трлн	12	1 000 000 000 000
Квадриллион	15	1 000 000 000 000 000
Квинтиллион	18	1 000 000 000 000 000 000
Секстиллион	21	1 000 000 000 000 000 000 000
септиллион	24	1 000 000 000 000 000 000 000 000
Октиллион	27	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000
нониллион	30	1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

Имя	Количество нулей	Группы (3) нулей
Тен	1	(10)
Сотня	2	(100)
Тысяч	3	1 (1,000)
Десять тысяч	4	(10,000)
Сотни тысяч	5	(100,000)
Миллион	6	2 (1000000)
Миллиард	9	3 (1000000000)
Триллион	12	4 (1000000000000)
Квадриллион	15	5
Квинтиллион		6
Секстиллион	21	7
Септиллион	24
Октиллион	27	9
Нониллион	30	10
Дециллион	33	11
Ундециллион	36	12
39	13
Tredecillion	42	14
Quatttuor-decillion	45	15
Quindecillion	48	16
	17
Септен-дециллион	54	18
Октодециллион	57	19
Новемдециллион	60	20
Вигинтиллион
Сантиллион	303 9 0019	101

значение в десятичных дробях	количество нулей	Американское название	Британское название
10 ⁹	9	миллиардов	миллиардов или миллиардов
10 ¹²	12	трлн	миллиардов
10 ¹⁵	15	квадриллион	тысяч миллиардов
10 ¹⁸	18	квинтиллион	трлн
10 ²¹	21	секстиллион	тыс. Трлн
10 ²⁴	24	септиллионов	квадриллион
10 ²⁷	27	октиллион	тыс. Квадриллионов
10 ³⁰	30	нониллион	квинтиллион
10 ³³	33	дециллион	тыс. Квинтиллионов
10 ³⁶	36	ундециллион	секстиллион
10 ³⁹	39	дуодециллион	тысяч секстиллионов
10 ⁴²	42	тредециллион	септиллионов
10 ⁴⁵	45	кваттуордециллион	тыс. Септиллионов
10 ⁸⁴	84		кваттуордециллион
10 ¹⁰⁰	100	гугол	гугол
10 ³⁰³	303	сантиллион
10 ⁶⁰⁰	600		сантиллион
10 ^гугол	гугол	гуголплекс	гуголплекс

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
一	二	三	四	五	六	七	八	九	〇
yī	или	сан	sì	wǔ	liù	qī	bā	jiǔ	длина

Номера	Упрощенное	Комплекс
10	十	拾
100	百	佰
1000	千	仟
10.000	万	万

№	Количество	объединено	Пиньинь	Пример	Пример перевода
2	两个	俩	liǎ	我俩	Мы оба
3	三	仨	sā	我	Трое из нас
4	四个人	伵	sì	我伵	Четверо из нас
4	四匹马	驷	sì	驷	(упряжка) четыре лошади
5	五	伍	wǔ	我伍	Пятеро из нас
8	八	仈	bā	我	Восемь из нас
9	九	仇	qiú	我	Девять из нас
10	十	什	ши	我	Десять из нас

Номер	Сокращенное английское название	Китайский
0	Ноль	〇 Линия
0	Тен	十 Ши
100	Сто	一百 Yī bǎi
1000	Одна тысяча	一千 Йи Цянь
10.000	Десять тысяч	一万 Yī wàn
100.21	Секстиллион	十垓 Шигай

Номер	Английское сокращенное название	Китайский	Дословный перевод
0	Ноль	〇 Линия	Ноль
10	Тен	十 ши	Тен
100	Сто	一百 Yī bǎi	Сто
1000	Одна тысяча	一千 Йи Цянь	Одна тысяча
10000	Десять тысяч	一万 Yī wàn	Десять тысяч
10.24	септиллион	一秭 Yī zǐ	Один септильон **