Разное

Темы линейная алгебра: темы, основы, методы, применение, примеры

Содержание

Тема: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тест № 1

для студентов заочного факультета

Тема: Линейная алгебра и аналитическая
геометрия.

За каждое правильно выполненное
задание начисляется
один балл,
в противном случае –
ноль баллов.

I. Выяснить, делит ли точка
M(3,7) отрезок AB
пополам, если:

1. A(1,6), B(5,9) 2.
A(-4,6), B(10,8) 3.
A(8,5), B(-5,9) 4. A(1,5),
B(5,9).

II. Указать, принадлежит
ли точка A(4;5) прямой,
если уравнение этой прямой имеет вид:

5.
6.
7.
8.

III.
Известно, что уравнение прямой на рис.
имеет вид Ax+By+C=0. Тогда:

9. AB>0 10.
AC>0 11. BC

IV.
В треугольнике, вершины которого имеют
координаты A(1,2), B(2,5),C(-3,4)
уравнение высоты (CH) имеет
вид:

12. 2x+3y-3=0 13.
3x-5y-2=0

V.
Даны матрицы A, B
и C размера 4×2,
3×4 и 4×3
соответственно. Ответить, верно ли
указан размер матрицы после умножения:

14. [CxB]=4×3 15.
[CxBxA] =3×4

VI.
Указать, имеет ли система уравнений
решение, если:

16.
17.

VII.
Даны точки A(2,5), B(6,3),
C(-3,7), D(3,1).
Найти скалярное произведение:

18.
=11 19.

=28 20.

=-3 21.

=13

VIII.
Выяснить, образуют ли векторы

базис пространства R3,
если:

22.

23.

IX.
Укажите верные свойства определителя:

24. Если к столбцу определителя прибавить
другой столбец этого определителя,
умноженный на два, то определитель
увеличится в два раза.

25. Если какая-либо строка определителя
равна столбцу этого же, то такой
определитель равен нулю.

X.
Укажите случаи, когда матрица имеет
обратную:

26. Прямоугольная
матрица, на главной диагонали которой
стоят единицы.

27. Квадратная
матрица, определитель которой отличен
от нуля.

Часть II.

За каждое правильно выполненное
задание даётся
один балл, в
противном случае баллы не начисляются
.

    1. Известно
      уравнение прямой
      .
      Указать прямую, перпендикулярную
      данной прямой:

a).

b).
c).
d).

    1. Известно
      уравнение прямой
      .
      Указать прямую, параллельную данной
      прямой:

a).

b).

c).

d).

3. Найти
результат умножения матриц

и
:

a).

b).

c).

d).

4. Решить
матричное уравнение AX=B,
если
:

a).

b).

c).

d).

5.
Указать число ,
при котором векторы
=(3,2,-1)
и
=(,-8,4)
параллельны:

a). =4
b). =3
c). =-2
d). =-4

6. Указать
число
,
при котором векторы
=(2,-1,3)
и
=(-5,,2
)
перпендикулярны:

a). =5
b). =-6
c) =7
d). =-5

7.
Закончите утверждение: если из линейно
независимой системы векторов, содержащей
более двух векторов, исключить один
вектор, то эта система будет …

a)
линейно зависимой b)
неопределённой

c) неопределённой d) линейно
независимой

8. Закончите
утверждение: всякие два вектора, лежащие
в плоскости

a) ортогональны b)
коллинеарны

c) линейно зависимы d) компланарны

Часть III.

За каждое правильно выполненное
задание даётся
три балла, в
противном случае баллы не начисляются.

  1. Даны
    три вершины параллелограмма ABCD:
    A(1,3,1), B(2,1,3),
    C(3,1,-2). Найти координаты
    четвёртой вершины и записать в
    ответ сумму его координат.

  2. Найти
    длину средней линии трапеции ABCD:
    A(-2. 5,-15), B(4.5,-5),
    C(7,1), D(5,3).

  3. Найти
    матрицу, обратную

    и записать в ответ сумму всех её
    элементов.

  4. Решить
    систему:

    и записать в ответ сумму
    .

  5. Найти
    , при котором векторы
     линейно зависимы.

Тест
на экзамене будет состоять из других
задач, но содержит материал, отражённый
в этом образце. Количество задач в
экзаменационном тесте в каждой части
также отличается от приведённых здесь.

Содержние дисциплины «Линейная алгебра» : Кафедра МЭО : АлтГТУ

Кафедра «Международные экономические отношения»

Тема 1. Линейная алгебра

Понятие матрицы, типы матриц. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Минор и алгебраическое дополнение. Способы вычисления определителей, их основные свойства. Формулы Крамера. Обратная матрица. Теорема существования единственной обратной матрицы. Решение систем матричным способом. Ранг матрицы и его вычисление. Общая теория линейных систем. Теорема Кронекера-Капелли.  Метод Гаусса для решения определенных систем. Однородные системы и условия ненулевого решения.

Тема 2. Векторная алгебра

Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, ее свойства. Линейная зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение векторов. Свойства. Скалярное произведение в координатной форме, приложения. Векторное и смешанное произведения векторов. Свойства. Векторное и смешанное произведения в координатной форме, приложения. Линейные и аффинные пространства. Размерность. Система координат аффинного пространства. Линейные преобразования (операторы). Собственные векторы и собственные значения о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов. Применение линейных операторов в экономико-математических моделях.

Тема 3. Аналитическая геометрия

Понятия уравнений линии и поверхности.   Основные задачи аналитической геометрии. Плоскость. Прямая в пространстве. Прямая на плоскости. Полярная система координат. Кривые второго порядка. Классификация уравнений второй степени. Пример приведения квадратичной формы  к каноническому виду. Плоскости в аффинном пространстве; параметрическое задание плоскости. Геометрическое истолкование множества решений неоднородной системы линейных уравнений. Выпуклые множества.

Тема 4. Элементы линейного программирования

Построение опорных планов задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования графическим методом. Решение невырожденной задачи линейного программирования симплекс-методом.

Литература и учебно-методические материалы

Основная литература

  1. Высшая математика для экономистов: Учеб. Пос. для вузов/Н.Ш. Кремер и др. Под ред. Н.Ш. Кремера.-М.:Банки и биржи,БНИТИ,1997.
  2. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для студентов нематематических специальностей вузов/ Под ред. А.Н. Тихоноваю- М.Высшая школа, 1985.- 368 с.
  3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей.- М.: ИНФРА-М 1999.-463 с.
  4. Карасев А.И., Аксютина З. М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч 1−2.- М.: Высшая школа, 1982 г.
  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.- М.: Высшая школа, 1986.- Ч.1−2.- 319 с., 365 с.
  6. Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.- Минск: Высшая школа, 1989,- Ч.1−3.
  7. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Академия народного хоз-ва при правительстве РФ. Издательство “Дело”, Москва.2000 г.

Дополнительная литература

Егорова Г.В. Линейная алгебра. Определители и матрицы. Метод. Указания и варианты заданий к типовым расчетам по курсу высшей математики для студентов всех специальностей/ Алт. политехн. Ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.И.,19?

Жданова Е.М., Поддубная М.Л., Ким Л.С. Элементы векторной алгебры: Методические указания и варианты заданий для студентов всех специальностей/ Алт. политехн. ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.И.,1991.- 20 с.

Егорова Г.В. Функции, пределы, непрерывность.: Варианты заданий для самостоятельной работы студентов по курсу высшей математики / Алт. политехн.ин-т им. И.И. Ползунова.- Барнаул: Б.И.,1989.- 34 с.

Царегородцев А.И., Шапиро М.А. Линейная алгебра. Определители и матрицы. Метод. указания и варианты заданий к типовым расчетам по курсу высшей математики для студентов всех специальностей/ АПИ.- Барнаул,1988.- 32 с.

Царегородцев А.И., Шапиро М.А. Линейная алгебра.Системы линейных уравнений. Метод. указания и варианты заданий к типовым расчетам по курсу высшей математики для студентов всех специальностей/ АПИ.- Барнаул:,1988.- 32 с.

Жданова Е.М., Ким Л.С., Поддубная М.Л. Элементы векторной алгебры. Методические указания и варианты заданий для студентов всех специальностей.–АлтГТУ,Барнаул, 1994.–32 с.

Жеронкина Н.Г., Котова А.В., Сыченко Э.И. Аналитическая геометрия. Варианты заданий для СР студентов по курсу ВМ.- Алт.ГТУ, Барнаул, 1994.- 32 с

преп. каф. ВМиММ      Мурзина И.П.

Иллюстративный видеокурс по линейной алгебре: 11 уроков

Видеокурс по линейной алгебре с большим количеством анимаций будет полезен при создании компьютерной графики и решении задач ML.

Эти красочные, прекрасно иллюстрированные видеоуроки в Full HD разрешении, созданные выпускником Стэнфорда Грантом Сандерсоном, будут полезны всем, кто проходил или проходит курс по линейной алгебре, но не до конца ощутил, зачем это все нужно и как работает.

Уроки идут в порядке, предполагающем их последовательный просмотр – каждое следующее видео использует знания и иллюстрации из предыдущих. В этих уроках вы не найдете расчетов примеров из задачников по линейной алгебре и строгого доказательства теорем, однако визуализируете основные концепции линейной алгебры, действия с векторами и матрицами. Все видео имеют английские авторские субтитры, при этом первые пять также содержат их перевод на русский язык.

Задача этого краткого курса из 11 уроков – уложить в голове всю образную сторону вопросов, лежащих в основании линейной алгебры при помощи видео с анимацией. Знания в линейной алгебре важны для понимания многих технических дисциплин: computer science, статистики, анализа данных, физики, экономики и т. д.

Однако студенты, изучившие курс линейной алгебры и механически научившиеся массе операций, таких как матричное умножение, нахождение определителя и собственных чисел, обычно не представляют зачем на практике нужны эти инструменты. Курс поможет прочувствовать линейную алгебру на интуитивно понятном геометрическом уровне. Визуальные образы позволят пропустить через себя основные концепции линейной алгебры. Вычисления же всегда можно доверить компьютеру.

В основе любого курса по линейной алгебре лежит понятие о векторе. В первом уроке описываются три представления вектора: с точки зрения студента-физика, студента-программиста и математика. Поясняются понятие вектора в привязке к системе координат и запись в виде столбца чисел. Вводятся операции сложения векторов и умножения на скаляр: как геометрически, так и численно. Даются примеры использования операций над векторами в анализе данных и программировании компьютерной графики.

Во втором уроке вводится понятие базиса и базисных векторов i и j, а также линейной оболочки как множества линейных комбинаций векторов в двухмерном и трехмерном пространствах. Иллюстрируется представление векторов как точек, в которых расположены концы векторов, исходящих из центра системы координат. Вводятся понятия линейно зависимых и линейно независимых векторов.

В третьем уроке видеокурса по линейной алгебре показывается геометрическая интерпретация линейных преобразований (отображений), являющихся наиболее простыми из всех нетривиальных преобразований. Начало координат остается на своем месте, а параллельные и равноудаленные прямые линии сохраняют эти свойства при преобразовании. Через линейные отображения базисных векторов естественным образом можно ввести понятие матрицы.

В качестве примеров автором находятся матрицы для поворота вектора на 90° против часовой стрелки и наклона вектора. Иллюстрируется также случай, соответствующий линейно зависимым базисным векторам, когда двумерное пространство вырождается в линию.

Итак, умножение матрицы на вектор это фактически линейное преобразование вектора. Но что, если к вектору применяется несколько преобразований? Например, в компьютерной графике один за другим кадры сменяют друг друга, и одно изображение преобразуется в следующее. Такое отображение называют композицией преобразований. Как любое преобразование, оно может быть описано матрицей.

Фактически оно является произведением матриц соответствующих линейных отображений. В уроке иллюстрируется как сама операция умножения матриц, так и представление этой операции через последовательные преобразования базисных векторов. Показывается, почему важен порядок умножения одной матрицы на другую.

В этом видео линейные преобразования на плоскости расширяются до случая объемных отображений. Для этого используются уже три базисных вектора, а матрицы линейных преобразований имеют размерность 3х3. Перемножение таких матриц ничем не отличается от перемножения матриц 2х2.

https://www.youtube.com/watch?v=Ip3X9LOh3dk

В предыдущих уроках вы могли заметить, что одни преобразования в линейной алгебре растягивают пространство, а другие сжимают. Интересно определить число, которое показывает как меняется площадь или объем какой-либо фигуры при таких преобразованиях. В видео демонстрируются линейные преобразования различных фигур и соответствующее изменение их площади.

Параметр этого изменения называют определителем (детерминантом). Показывается, почему равенство определителя нулю соответствует уменьшению размерности пространства, а отрицательное значение – изменению ориентации пространства. Из геометрических соображений объясняется формула нахождения определителя.

В начале видео описывается линейная система уравнений и ее представление через матрицу и два вектора в виде Ax = v, в котором мы знаем матрицу A и вектор v. В геометрическом ключе, ища x, мы ищем вектор, который в результате линейного преобразования A совпадет с вектором v.

Такую задачу можно рассмотреть и в обратном ключе: x это тот вектор, в который преобразуется вектор v в результате преобразования, обратного A. Соответствующее отображение обозначают A-1. Нахождение такой обратной матрицы позволяет решить первое уравнение в виде x = A-1 v.

Урок содержит множество анимаций, иллюстрирующих эту концепцию. Описываются случаи ненулевого и нулевого определителей линейного преобразования. Вводится понятие ранга матрицы – количества измерений пространства, в которое переводит вектор линейное отображение.

Аналогично тому, как в последних видео при помощи квадратных матриц соответствующей размерности было рассмотрено преобразование двумерных векторов в двумерные и трехмерных в трехмерные, возможно и преобразование размерности пространства. В этом видео иллюстрируется как соотносятся размерности таких прямоугольных матриц и пространств, между которыми происходит линейное отображение векторов.

В этом видео дается алгебраическое и геометрическое определения скалярного произведения. Геометрическая интерпретация иллюстрирует тот факт, что знак скалярного произведения указывает на отношение направлений двух векторов. При этом, как подтверждают рассуждения, порядок умножения не влияет на результат скалярного произведения. Показывается, что проекции вектора на различные оси есть ничто иное, как скалярные произведения вектора с базисными векторами этих осей. Объясняется, почему скалярное произведение векторов идентично произведению матрицы-строки на матрицу-столбец.

Геометрический смысл векторного произведения двух векторов – вектор с длиной, равной площади параллелограмма между этими векторами. Направление вектора зависит от ориентации пространства. Соответственно при изменении порядка множителей меняется знак векторного произведения. Таким образом, понятие векторного произведения тесно связано с определением детерминанта.

В начале этого видео для лучшего понимания автор намеренно упрощает картину, усложняя ее по мере рассказа. Показывается как облегчается запись векторного произведения, если воспринимать его как определитель особой матрицы, состоящей из базисных векторов и координат перемножаемых векторов.

Отталкиваясь от последней идеи предыдущего видео и нескольких предшествовавших уроков, автор раскрывает идею векторного произведения трех векторов. Показывается связь между векторным и скалярными произведениями в трехмерном пространстве, а также связь между геометрическим и алгебраическим представлением этих операций.

Стандартно координаты вектора рассматриваются как скалярные числа, описывающие какое количество каждого из базисных векторов нужно взять, чтобы в сумме получить вектор с такими координатами. В этом видеоуроке показано, что при выполнении определенных условий базис может быть выбран различным образом. Базисные вектора лишь задают сетку пространства.

Урок показывает как преобразовать координаты одного базиса к координатам другого при помощи линейных преобразований в виде матриц, состоящих из базисных векторов и обратных матриц для обратного преобразования. В заключительной части на примере поворота на 90° против часовой стрелки иллюстрируется как изменяются в терминах другого базиса линейные преобразования. В результате объясняется, что означает характерное перемножение матриц вида A-1 MA.

Собственные векторы и числа представляют одну из наименее интуитивно понятных тем в линейной алгебре. Однако в геометрическом представлении это просто векторы, которые не отклоняются от своего направления в результате соответствующего им линейного преобразования – векторы растягиваются или сжимаются, но не поворачиваются вокруг начала координат.

В этом и заключается смысл известного выражения Av = λv – линейное преобразование заменяется на число, называемое собственным. Фактически собственные векторы и числа представляют другой способ рассмотрения линейного преобразования.

В уроке также даются определения диагональной и единичной матриц. Показывается логика нахождения собственных чисел и векторов через нулевой определитель. Иллюстрируется, в каких случаях возможны два, один, ноль или бесконечное количество собственных векторов.

В заключении видео описываются особые свойства диагональных матриц и построение нового базиса на собственных векторах. Последняя операция часто применяется в теории машинного обучения для диагонализации матриц. В конце видео дается небольшое упражнение для закрепления материала.

В заключительном видео курса по линейной алгебре автор возвращается к вопросу первого урока – что представляют собой векторы в самом абстрактном смысле?

Функции и линейные операции над функциями можно рассматривать в векторном ключе. Любые операторы, для которых выполняются свойства аддитивности и мультипликативности, можно рассматривать как линейные преобразования. При этом вместо базисных векторов можно использовать базисные функции.

В уроке эта идея иллюстрируется на примере записи полинома, состоящего из любого числа слагаемых, в виде вектора. Показывается как операция взятия производной может быть реализована при помощи матричного оператора, действующего на такой вектор.

Переводя концепции из других областей математического знания (различных векторных пространств) на язык линейной алгебры и составив соответствующие уравнения, рассмотренные в курсе свойства векторов и линейных отображений можно обобщать на другие области знания.

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Лекция 28 Глава 1.

Векторная алгебра

Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

-й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,…, x n ), Y =

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

УДК [ ](075.

8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Высшая математика для психологов

Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

1.

a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I

Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского АТ Козинова НН Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЧАСТЬ I Учебное пособие Рекомендовано методической

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ООО «Резольвента», wwwresolventru, [email protected], (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,…, n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора — точка А, а его

Подробнее

Список литературы на тему: Линейная алгебра



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бубнов, В.А. Линейная алгебра: компьютерный практикум / В.А. Бубнов, Г.С. Толстова, О.Е. Клемешева. — М.: ЛБЗ, 2012. — 168 c.

2. Бурмистрова, Е.Б. Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебник для студ. высш. учеб. заведений / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. — М.: ИЦ Академия, 2010. — 336 c.

3. Гомонов, С.А. Математика. Линейная алгебра: Учебно-справочное пособие / С.А. Гомонов. — М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 144 c.

4. Горлач, Б.А. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.А. Горлач. — СПб.: Лань, 2012. — 480 c.

5. Демидович, Б.П. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х т.Т. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учебное пособие для втузов / Б.П. Демидович. — М.: Альянс, 2011. — 480 c.

6. Епихин, В.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теория и решение задач: Учебное пособие / В.Е. Епихин, С.С. Граськин. — М.: КноРус, 2013. — 608 c.

7. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. — М.: Проспект, 2012. — 400 c.

8. Канатников, А.Н. Линейная алгебра: Учебник для вузов / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко; Под ред. В.С. Зарубин. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — 336 c.

9. Кожухов, И.Б. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х т.Т. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры: Учебное пособие для втузов / И.Б. Кожухов. — М.: Физматлит, 2009. — 288 c.

10. Кочетков, Е.С. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е.С. Кочетков, А.В. Осокин. — М.: Форум, 2012. — 416 c.

11. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс: С контрольными работами: линейная алгебра; аналитическая геометрия; основы математического анализа; комплексные числа / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. — М.: Айрис-пресс, 2011. — 576 c.

12. Михалев, А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / А.А. Михалев, И.Х. Сабитов. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 256 c.

13. Просветов, Г.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Задачи и решения: Учебно-практическое пособие / Г.И. Просветов. — М.: Альфа-Пресс, 2009. — 208 c.

14. Рудык, Б.М. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.М. Рудык. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 318 c.

15. Скрыдлова, Е.В. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е.В. Скрыдлова, О.О. Белова. — Рн/Д: Феникс, 2012. — 142 c.

16. Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г.С. Шевцов. — М.: Магистр, НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 528 c.


Банк тестовых заданий по курсу «Линейная алгебра» Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 378.16

Е.Ю. Напеденина, Е.Г. Рудаковская, А.Н. Шайкин Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия

БАНК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО КУРСУ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Bank of test items developed for the course «Linear Algebra» and written by twelve educational computer tests on the main sections of this course. In the bank of test items included assignments with the choice of one or more correct answers, job matching, and open the test tasks in which the response tasks calculated numbers to be entered via the keyboard. Computer test program allows you to adjust the number of jobs in a single test, and test time. After testing is complete, a rating, and the system can find answers to the job in which mistakes were made.

Разработан банк тестовых заданий по курсу «Линейная алгебра» и составлено двенадцать обучающих компьютерных тестов по основным разделам этого курса. В банк тестовых заданий включены задания с выбором одного или нескольких правильных ответов, задания на соответствие, а также открытые тестовые задания, в которых ответ расчетных задач вводится числом с помощью клавиатуры. Компьютерная тестирующая программа позволяет регулировать число заданий в одном тесте, а также время тестирования. После завершения тестирования выставляется оценка, и система позволяет просмотреть ответы на задания, в которых были допущены ошибки.

Разработан банк тестовых заданий по курсу «Линейная алгебра», который содержит 202 задания по следующим разделам курса:

1. Уравнения прямой на плоскости.

2. Кривые второго порядка.

3. Векторы. Операции над векторами. Скалярное произведение двух векторов.

4. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов

5. Комплексные числа. Операции над ними.

6. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Рациональная дробь.

7. Матрицы. Операции над матрицами. Ступенчатый вид, вид Гаусса, ранг матрицы.

8. Определитель матрицы и его свойства. Обратная матрица.

9. Решение систем алгебраических линейных уравнений.

10. Собственные векторы и собственные значения матрицы.

11. Линейные пространства. Базис. Координаты вектора в заданном базисе. Матрица перехода.

12. Евклидовы пространства. Ортогональный и ортонормирован-ный базисы.=1 3 9 2) у = Зх -27

3) Зх + 2у — 6 = 0 4)6х-2у+ 13 = 0

Правильный ответ: 2, 4

Задание 14. Раздел 2. Кривые второго порядка. Укажите уравнение параболы, представленной на рисунке.

Правильный ответ: 2.

Помимо заданий с выбором правильного варианта ответа в банк тестовых заданий включены также расчетные задачи, ответ в которых вводится числом с помощью клавиатуры.

Задание 6. Раздел 4. Векторное произведение двух векторов.

Смешанное произведение трех векторов.

Найдите | а. хЬ|, если \а\ = 5, |Ь| = 10, а ■ Ь = 30.

Правильный ответ: 40

Задание 8. Раздел 9. Решение систем лннейных алгебраических уравнений

Найти значение п, при котором система

х + у + г = 6 < Ъх + у + г = % пх + 2у + 2г = Ы

имеет бесконечно много решений. Ответ вписать целым числом.

Правильный ответ: 4.

Задание 16. Раздел 10. Собственные векторы и собственные значения матрицы_

Найти максимальный порядок присоединенного вектора линейного оператора, заданного матрицей

(6 -2 -1 -Л

3 0 0 -1

10 10 6-2-3 1

Ответ записать целым числом.

Правильный ответ: 2.

В заданиях на соответствие требуется установить соответствие между элементами двух множеств, причем второе множество содержит дис-тракторы — элементы, которым не соответствуют элементы первого множества:

Задание 8. Раздел 5. Комплексные числа. Операции над ними.

Установите соответствие между алгебраической и соответствующей показательной формой записи комплексного числа г:

Алгебраическая форма Показательная форма

(1). -1 + 7 А. 2-е 6

(2). -1 В. 2-е 3

(3). 1 —/л/3 С. 2-е2

(4). 2/ £>. 1-е

ЪЖ: Е. 42-е 4

Правильный ответ: (1)->(£), (2)->(£>), (3)->(Я), (4)->(С). Задание 7. Раздел 6. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители, рациональная дробь.

Установите соответствие между правильной рациональной дробью и числом неопределенных коэффициентов при разложении на сумму простейших дробей:

Рациональная дробь Rix) Число неопределенных коэффициентов

(1) + * (х + 7)3 А. 0

(2). Г’ (х-1)2(х2 +4) В. 5

(3). 2 1 + 1 з (х — 2х + 1)х С. 3

<4>- , х» — 4х — 5 В. 2

Е. 4

Е. ‘0 0 -2″

(2) 0 -3 -2 ;(3) 0 0 0 ;(4) 0-14

,0 0 — 2} ,0 0 ,3 1 2,

(5)

В качестве ответа введите последовательно номера выражений без знаков препинания.

Правильный ответ: (4), (1), (3), (5), (2).

На основе разработанных тестовых заданий составлены двенадцать обучающих компьютерных тестов по линейной алгебре, которые размещены на сайте кафедры высшей математики http://kvin.inuctr.ru и используются в учебном процессе.

Работа выполнена по проекту 3.4.1/9387 «Развитие независимой системы оценки качества высшего профессионального образования с использованием тестовых технологий» Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гоДЫ)»

Библиографический список

1. Паркина М. П., Щербаков Д. В. Система компьютерного тестирования для оценки знаний студентов //Повышение ресурсо- и энергоэффективности: наука, технология, образование: тр. Междунар. симпозиума, посвященного 175 — летию со дня рождения Д. И. Менделеева. Т. 1. М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2009. С. 80-83.

2. Автоматизация составления тестов для студентов /Г. С. Жукова, Е. Ю. Напеденина, Е. Г. Рудаковская, А. Н. Шайкин //Актуальные проблемы химико-технологического образования». XII Межвуз. учебно-методич. конф.: матер, конф. М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2010. С. 94-96.

Вычислительная линейная алгебра

Научная работа: темы и направления для студентов 3 курса МФТИ (2020 год)

Вычислительная линейная алгебра

Научный руководитель Академик РАН, проф., д.ф.-м.н. Тыртышников Е.Е., комната 704, email: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

1. Разреженные решения в задачах вычислительной линейной алгебры и математической физики.

Часто решение задачи ищется в виде разложения по заданному базису, и заметим, что заведомо существуют базисы, для которых вектор коэффициентов разложения оказывается разреженным. За последние 10-15 лет очень интенсивно развивалось новое научное направление, связанное с поиском разреженных или приближенно разреженных решений, в том числе в задачах линейной алгебры. Здесь сложность заключается прежде всего в том, что неизвестно, какие именно коэффициенты будут ненулевыми. Как выбрать базис, гарантирующий разреженность? Конечно, идеальная ситуация – когда базис содержит искомое решение. Но решение – это как раз то, что мы ищем! Цель исследования – понять, как можно находить разрежающие базисы в задачах математической физики, прежде всего для интегральных уравнений теории потенциала. Есть надежда, что в результате получатся совершенно новые эффективные методы решения многих практически важных задач.

2. Редукция моделей и обучающих выборок в задачах машинного обучения.
Мы постоянно имеем дело с отображениями, действие которых известно только на некоторой части точек их области определения. При этом есть желание понять, как они действуют в других точках. Обычно выбирается некоторая модель отображения с набором параметров, которые определяются с помощью методов машинного обучения. Одна из главных реальных проблем заключается в том, что для обучения необходимо использовать слишком много точек. Есть две идеи о том, как сократить число точек обучения. Во-первых, можно из всего множества точек обучения выбирать наиболее значимые. Во-вторых, можно попытаться редуцировать саму модель, сократив число ее параметров и, как следствие, число обучающих точек. Цель исследования – посмотреть, как эти идеи работают в задачах прогнозирования значений временных рядов по начальному отрезку времени, изучить современные статистические модели и возможности применения тензорных разложений для их эффективной реализации.

3. Как решать операторные уравнения в случае операторов с коэрцитивно расщепляемой главной частью.

Теория сходимости проекционных методов (методов Галеркина) для решения линейного операторного уравнения обычно предполагает выполнение двух условий: (а) аппроксимации для проекторов и (б) коэрцитивности для исходного оператора. Замечательно, что компактное возмущение оператора сохраняет сходимость. Однако есть задачи (например, знаменитое уравнение электрического поля в электродинамике), в которых оператор не является коэрцитивным, но с точностью до компактного возмущения допускает расщепление в прямую сумму коэрцитивных. Выбор составного базиса, объединяющего базисы соответствующих подпространств, дает теоретическое решение вопроса о гарантированно сходящемся методе. Но на практике такой выбор может вести к большим вычислительным трудностям (например, в случае уравнения электрического поля). Цель исследования – в случае несоставного базиса понять, какие его свойства обеспечивают сходимость проекционного метода, и, возможно, разобраться с до сих пор открытым вопросом от том, есть ли такие свойства у базиса Рао-Вилтона-Глиссона, который несколько десятилетий успешно применяется при численном решении уравнения электрического поля.

4. Применение тензорных разложений при решении кинетических уравнений.

Традиционно при решении уравнений Больцмана и уравнений Смолуховского используются стохастические методы, так как классические сеточные методы представляются катастрофически затратными. Совсем недавно для уравнений Больцмана и схожих популяционных уравнений удалось получить эффективные квазисеточные методы, в основе которых лежат традиционные сеточные методы и специальные тензорные представления решения и ядра. Цель исследования – посмотреть, как эти конструкции могут использоваться при решении уравнений Больцмана.

5. Принцип максимального объема в задачах оптимизации.

Принцип максимального объема в задачах малоранговой аппроксимации матриц дает замечательный рецепт для выбора малого числа строк и столбцов – креста, по которому матрица восстанавливается с гарантированной точностью: достаточно выбирать крест, в котором цетральная подматрица будет иметь максимальный объем среди всех подматриц такого же размера. Принцип появился в ИВМ РАН и недавно получил новое развитие в связи с различными обобщениями понятия объема матрицы. К простейшему методу оптимизации функционала от многих переменных относится, конечно, метод последовательной координатной оптимизации. При этом координаты можно объединять в блоки и последовательно оптимизировать по блокам. Цель исследования – построить метод выбора блока, основанный на принципе максимального объема, и, возможно, получить новые эффективные методы оптимизации.

 


Научная работа: темы и направления в 2020 году

Программа

| Линейная алгебра | Математика

«Предыдущая | Далее »

Видео-введение профессора Стрэнга

Введение в курс линейной алгебры

Обзор курса

Этот курс охватывает теорию матриц и линейную алгебру, уделяя особое внимание темам, полезным в других дисциплинах. Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий системы линейных уравнений и свойства матриц.Понятия линейной алгебры чрезвычайно полезны в физике, экономике и социальных науках, естественных науках и технике. Благодаря широкому спектру приложений линейная алгебра является одним из наиболее широко преподаваемых предметов в математике на уровне колледжа (и все чаще в средней школе).

Предварительные требования

18.02 Многопараметрическое исчисление является формальным предварительным условием для студентов MIT, желающих поступить по 18.06 линейной алгебры, но знание математического анализа не требуется для изучения предмета.

Для успешного прохождения этого курса вам необходимо хорошо разбираться в векторах, матрицах и трехмерных системах координат. Этот материал представлен в нескольких первых лекциях 18.02 Multivariable Calculus и снова здесь.

Основные операции линейной алгебры — это те операции, которым вы научились в начальной школе — сложение и умножение для получения «линейных комбинаций». Но с векторами мы перемещаемся в четырехмерное и n-мерное пространство!

Цели курса

После успешного завершения курса вы будете хорошо разбираться в следующих темах и их приложениях:

  • Системы линейных уравнений
  • Сокращение строк и эшелонированные формы
  • Матричные операции, включая обратные
  • Блок матрицы
  • Линейная зависимость и независимость
  • Подпространства, основания и измерения
  • Ортогональные основания и ортогональные проекции
  • Процесс Грама-Шмидта
  • Линейные модели и задачи наименьших квадратов
  • Детерминанты и их свойства
  • Правило Крамера
  • Собственные значения и собственные векторы
  • Диагонализация матрицы
  • Симметричные матрицы
  • Положительно определенные матрицы
  • Подобные матрицы
  • Линейные преобразования
  • Разложение по сингулярным значениям n

Формат

Этот курс, разработанный для самостоятельного изучения, организован таким образом, чтобы следовать последовательности тем, охватываемых курсом линейной алгебры Массачусетского технологического института.Контент организован в три основных блока:

  • Ax = b и четыре подпространства
  • Наименьшие квадраты, детерминанты и собственные значения
  • Положительно определенные матрицы и приложения

Каждый блок был дополнительно разделен на последовательность сеансов, охватывающих сумма, которую вы можете рассчитывать выполнить за один присест. Каждая сессия включает видеолекцию по теме, сопровождаемую кратким изложением лекции. Для дальнейшего изучения предлагаются варианты чтения в учебнике профессора Стрэнга (как 4-е, так и 5-е издания):

Strang, Gilbert.Введение в линейную алгебру. 4-е изд. Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press, февраль 2009 г. ISBN: 9780980232714

Стрэнг, Гилберт. Введение в линейную алгебру. 5-е изд. Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press, февраль 2016 г. ISBN: 9780980232776

Щелкните навигационные ссылки в левом столбце, чтобы отобразить сеансы в трех разделах.

Чтобы помочь вам в обучении, вы увидите, как опытный инструктор Массачусетского технологического института обучает решению проблем (шесть видеороликов по решению проблем также доступны на мандаринском диалекте китайского языка).

Наконец, в рамках каждого раздела вам будут представлены наборы задач в стратегических точках, чтобы вы могли проверить свое понимание материала.

MIT ожидает, что его студенты потратят на этот курс около 150 часов. Более половины этого времени уходит на подготовку к уроку и выполнение заданий. Трудно оценить, сколько времени вам понадобится, чтобы пройти курс, но вы, вероятно, можете рассчитывать потратить час или больше на проработку каждого отдельного занятия.

Познакомьтесь с командой

Этот курс для стипендиатов OCW был разработан:

  • Гилбертом Странгом, профессором математики Массачусетского технологического института

При технической поддержке и письменной поддержке:

  • Доктор математики, профессор математики и Компьютерные науки, Бриджуотерский государственный университет

Справочные видеоролики были разработаны:

  • Мартина Балагович
  • Линан Чен
  • Бенджамин Харрис
  • Ана Рита Пирес
  • Дэвид Широкофф
  • Никола Камбуров

Чтобы узнать больше о каждого ТА, посетите страницу Знакомство с ТА.

«Предыдущая | Следующая »

Что такое линейная алгебра? (Краткое введение)

В следующем видео представлен план всех тем, которые вы ожидаете увидеть в типичном классе линейной алгебры College (т. Е. Матричной алгебре).

Все темы подробно освещены в нашем онлайн-курсе линейной алгебры.

Онлайн-курс содержит:

  • Полные лекции — Предназначены для повышения результатов тестов.
  • 150+ HD Video Library — Больше не нужно тратить время на поиски на YouTube.
  • Доступен 24/7 — Никогда не беспокойтесь о том, что снова пропустите урок.
  • Практические экзамены — Убедитесь, что вы готовы к выпускным экзаменам.

Обзор линейной алгебры

Обзор линейной алгебры

Следующие разделы содержат ссылки на наши полные уроки по всем темам линейной алгебры.

Кроме того, не забудьте посмотреть наши БЕСПЛАТНЫЕ обучающие видео по исчислению и прочитать наши обзоры, чтобы увидеть, какие мы из себя представляем.