Знак е в математике: Знаки и символы математики

Содержание

Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Алфавиты, номиналы, единицы / / Алфавиты, в т.ч. греческий и латинский. Символы. Коды. Альфа, бета, гамма, дельта, эпсилон…  / / Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.

Поделиться:   

Таблица научных обозначений, математических обозначений, физических символов и сокращений. Сокращённая и символьная запись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения / научные обозначения. Математический алфавит. Математическая скоропись. Негламурный эксклюзив от Проекта dpva.ru Вариант для печати.

Таблиця математичних символів — Вікіпедія

Символ (TeX) Символ (Unicode) Назва Значення Приклад
Вимова
Розділ математики
⇒{\displaystyle \Rightarrow \,} Імплікація, слідування A⇒B{\displaystyle A\Rightarrow B\,} означає «коли A{\displaystyle A} істинне, то B{\displaystyle B} також істинне».
Іноді використовують →{\displaystyle \rightarrow \,}.
x=2⇒x2=4{\displaystyle x=2\Rightarrow x^{2}=4\,} істинне, але x2=4⇒x=2{\displaystyle x^{2}=4\Rightarrow x=2\,} хибно (тому що x=−2{\displaystyle x=-2} також є розв’язком).
«з… випливає» або «якщо…, то…»
скрізь
⇔{\displaystyle \Leftrightarrow } ⇔, ↔ Рівносильність A⇔B{\displaystyle A\Leftrightarrow B} означає «A{\displaystyle A} істинне тоді і тільки тоді, коли B{\displaystyle B} істинне». x+5=y+2⇔x+3=y{\displaystyle x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y\,}
«тоді і тільки тоді» або «рівносильно»
скрізь
∧{\displaystyle \wedge } Кон’юнкція A∧B{\displaystyle A\wedge B} істинне тоді і тільки тоді, коли A{\displaystyle A} і B{\displaystyle B} обидва істині. (n>2)∧(n<4)⇔(n=3){\displaystyle (n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)}, якщо n{\displaystyle n} — натуральне число.
«і»
Математична логіка
∨{\displaystyle \vee } Диз’юнкція A∨B{\displaystyle A\vee B} істинне, коли хоча б одна з умов A{\displaystyle A} або B{\displaystyle B} є істинною. (n⩽2)∨(n⩾4)⇔n≠3{\displaystyle (n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\neq 3}, якщо n{\displaystyle n} — натуральне число.
«або»
Математична логіка
¬{\displaystyle \neg } ¬ Заперечення ¬A{\displaystyle \neg A} істинне тоді і тільки тоді, коли хибно A{\displaystyle A}. ¬(A∧B)⇔(¬A)∨(¬B){\displaystyle \neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)}
x∉S⇔¬(x∈S){\displaystyle x\notin S\Leftrightarrow \neg (x\in S)}
«не»
Математична логіка
∀{\displaystyle \forall } Квантор загальності ∀x,P(x){\displaystyle \forall x,P(x)} означає «P(x){\displaystyle P(x)} істинне для всіх x{\displaystyle x}». ∀n∈N,n2⩾n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;n^{2}\geqslant n}
«Для будь-яких», «Для всіх»
Математична логіка
∃{\displaystyle \exists } Квантор існування ∃x,P(x){\displaystyle \exists x,\;P(x)} означає «існує хоча б одне x{\displaystyle x} таке, що P(x){\displaystyle P(x)} істинне» ∃n∈N,n+5=2n{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,\;n+5=2n} (підходить число 5)
«існує»
Математична логіка
={\displaystyle =\,} = Рівність x=y{\displaystyle x=y} означає «x{\displaystyle x} і y{\displaystyle y} означають один і той же об’єкт». 1 + 2 = 6 − 3
«дорівнює»
скрізь
:={\displaystyle :=}
:⇔{\displaystyle :\Leftrightarrow }
=def{\displaystyle {\stackrel {\rm {def}}{=}}}
:=
:⇔
Визначення x:=y{\displaystyle x:=y} означає «x{\displaystyle x} за визначенням дорівнює y{\displaystyle y}».
P:⇔Q{\displaystyle P:\Leftrightarrow Q} означає «P{\displaystyle P} за визначенням рівносильно Q{\displaystyle Q}»
ch(x):=12(ex+e−x){\displaystyle {\rm {ch}}(x):={1 \over 2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)} (Гіперболічний косинус)
A⊕B:⇔(A∨B)∧¬(A∧B){\displaystyle A\oplus B:\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)} (Виключаюче або)
«дорівнює/рівносильно за визначенням»
скрізь
{,}{\displaystyle \{,\}} { , } Множина елементів {a,b,c}{\displaystyle \{a,\;b,\;c\}} означає множина, елементами якої є a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} та c{\displaystyle c}. N={0,1,2,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,\;1,\;2,\;\ldots \}} (множина натуральних чисел)
«Множина…»
Теорія множин
{|}{\displaystyle \{|\}}
{:}{\displaystyle \{:\}}
{ | }
{ : }
Множина елементів, що задовольняють умові {x|P(x)}{\displaystyle \{x\,|\,P(x)\}} означає множину усіх x{\displaystyle x} таких, що істинне P(x){\displaystyle P(x)}. {n∈N|n2<20}={1,2,3,4}{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \,|\,n^{2}<20\}=\{1,\;2,\;3,\;4\}}
«Множина всіх… таких, що істинне…»
Теорія множин
∅{\displaystyle \varnothing }
{}{\displaystyle \{\}}

{}
Порожня множина {}{\displaystyle \{\}} і ∅{\displaystyle \varnothing } означає множину, що не містить жодного елементу. {n∈N|1<n2<4}=∅{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \,|\,1<n^{2}<4\}=\varnothing }
«Порожня множина»
Теорія множин
∈{\displaystyle \in }
∉{\displaystyle \notin }

приналежність/неприналежність до множини a∈S{\displaystyle a\in S} означає «a{\displaystyle a} є елементом множини S{\displaystyle S}»
a∉S{\displaystyle a\notin S} означає «a{\displaystyle a} не є елементом S{\displaystyle S}»
2∈N{\displaystyle 2\in \mathbb {N} }
12∉N{\displaystyle {1 \over 2}\notin \mathbb {N} }
«належить», «з»
«не належить»
Теорія множин
⊆{\displaystyle \subseteq }
⊂{\displaystyle \subset }

Підмножина A⊆B{\displaystyle A\subseteq B} означає «кожний елемент з A{\displaystyle A} також є елементом з B{\displaystyle B}».
A⊂B{\displaystyle A\subset B} як правило означає те ж, що і A⊆B{\displaystyle A\subseteq B}. Однак деякі автори використовують ⊂{\displaystyle \subset }, щоб показати строге включення (а саме ⊊{\displaystyle \subsetneq }).
(A∩B)⊆A{\displaystyle (A\cap B)\subseteq A}
Q⊆R{\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} }
«є підмножиною», «включено в»
Теорія множин
⊊{\displaystyle \subsetneq } Власна підмножина A⊊B{\displaystyle A\subsetneq B} означає A⊆B{\displaystyle A\subseteq B} і A≠B{\displaystyle A\neq B}. N⊊Q{\displaystyle \mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Q} }
«є власною підмножиною», «строго включається в»
Теорія множин
∪{\displaystyle \cup } Об’єднання A∪B{\displaystyle A\cup B} означає множину елементів, що належать A{\displaystyle A} або B{\displaystyle B} (або обом одразу). A⊆B⇔A∪B=B{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B}
«Об’єднання … і …», «…, об’єднане з …»
Теорія множин
∩{\displaystyle \cap } Перетин A∩B{\displaystyle A\cap B} означає множину елементів, що належать і A{\displaystyle A}, і B{\displaystyle B}. {x∈R|x2=1}∩N={1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \,|\,x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}
«Перетин … і … », «…, перетнуте з …»
Теорія множин
∖{\displaystyle \setminus } \ Різниця множин A∖B{\displaystyle A\setminus B} означає множину елементів, що належать A{\displaystyle A}, але не належать B{\displaystyle B}. {1,2,3,4}∖{3,4,5,6}={1,2}{\displaystyle \{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\}=\{1,\;2\}}
«різниця … і … », «мінус», «… без …»
Теорія множин
→{\displaystyle \to } Функція f:X→Y{\displaystyle f\!\!:X\to Y} означає функцію f{\displaystyle f}, що відображає множину (область визначення) X{\displaystyle X} у множину Y{\displaystyle Y}. Функція f:Z→Z{\displaystyle f\!\!:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }, що визначення як f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}
«з … в»,
скрізь
↦{\displaystyle \mapsto } Відображення x↦f(x){\displaystyle x\mapsto f(x)} означає, що образом x{\displaystyle x} після застосування функції f{\displaystyle f} буде f(x){\displaystyle f(x)}. Функцію, що визначення як f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}, можна записати так: f:x↦x2{\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}
«відображується в»
скрізь
N{\displaystyle \mathbb {N} } N або ℕ Натуральні числа N{\displaystyle \mathbb {N} } означає множину {1,2,3,…}{\displaystyle \{1,\;2,\;3,\;\ldots \}} або {0,1,2,3,…}{\displaystyle \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}} (в залежності від ситуації). {|a||a∈Z}=N{\displaystyle \{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {N} }
«Ен»
Числа
Z{\displaystyle \mathbb {Z} } Z або ℤ Цілі числа Z{\displaystyle \mathbb {Z} } означає множину {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}{\displaystyle \{\ldots ,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}} {a,−a|a∈N}=Z{\displaystyle \{a,\;-a\,|\,a\in \mathbb {N} \}=\mathbb {Z} }
«Зет»
Числа
Q{\displaystyle \mathbb {Q} } Q або ℚ Раціональні числа Q{\displaystyle \mathbb {Q} } означає {pq|p∈Z∧q∈Z∧q≠0}{\displaystyle \left\{\left.{p \over q}\right|p\in \mathbb {Z} \wedge q\in \mathbb {Z} \wedge q\neq 0\right\}} 3,14∈Q{\displaystyle 3,\!14\in \mathbb {Q} }
π∉Q{\displaystyle \pi \notin \mathbb {Q} }
«Ку»
Числа
R{\displaystyle \mathbb {R} } R або ℝ Реальні числа, або дійсні числа R{\displaystyle \mathbb {R} }

Основные математические знаки и символы :: SYL.ru

Как известно, математика любит точность и краткость – недаром одна-единственная формула может в словесной форме занимать абзац, а порой и целую страницу текста. Таким образом, графические элементы, используемые во всем мире в науке, призваны увеличить скорость написания и компактность представления данных. Кроме того, стандартизованные графические изображения может распознать носитель любого языка, имеющий базовые знания в соответствующей сфере.

История математических знаков и символов насчитывает много столетий – некоторые из них были придуманы случайным образом и предназначались для обозначения иных явлений; другие же стали продуктом деятельности ученых, целенаправленно формирующих искусственный язык и руководствующихся исключительно практическими соображениями.

Плюс и минус

История происхождения символов, обозначающих простейшие арифметические операции, доподлинно неизвестна. Однако существует достаточно вероятная гипотеза происхождения знака «плюс», имеющего вид перекрещенных горизонтальной и вертикальной черт. В соответствии с ней символ сложения берет начало в латинском союзе et, который переводится на русский язык как «и». Постепенно, с целью ускорения процесса записи, слово было сокращено до вертикально ориентированного креста, напоминающего букву t. Самый ранний достоверный пример подобного сокращения датируется XIV веком.

Общепринятый знак «минус» появился, по всей видимости, позже. В XIV и даже XV веке в научной литературе использовался целый ряд символов, обозначающих операцию вычитания, и лишь к XVI веку «плюс» и «минус» в их современном виде стали встречаться в математических трудах вместе.

Умножение и деление

Как ни странно, математические знаки и символы для этих двух арифметических действий не полностью стандартизованы и сегодня. Популярным обозначением умножения является предложенный математиком Отредом в XVII веке диагональный крестик, который можно увидеть, например, на калькуляторах. На уроках математики в школе ту же операцию обычно представляют в виде точки – данный способ предложил в том же веке Лейбниц. Ещё один способ представления – звёздочка, которая наиболее часто используется при компьютерном представлении различных расчётов. Использовать её предложил всё в том же XVII веке Иоганн Ран.

Для операции деления предусмотрены знак наклонной черты (предложен Отредом) и горизонтальная линия с точками сверху и снизу (символ ввел Иоганн Ран). Первый вариант обозначения является более популярным, однако второй также достаточно распространен.

Математические знаки и символы и их значения порой изменяются во времени. Однако все три способа графического представления умножения, а также оба способа для деления являются в той или иной степени состоятельными и актуальными на сегодняшний день.

Равенство, тождество, эквивалентность

Как и в случае многих других математических знаков и символов, обозначение равенства изначально было словесным. Достаточно продолжительное время общепринятым обозначением служило сокращение ae от латинского aequalis («равны»). Однако в XVI веке математик из Уэльса по имени Роберт Рекорд предложил в качестве символа две горизонтальные прямые, расположенные друг под другом. Как утверждал ученый, нельзя придумать ничего более равного между собой, чем два параллельных отрезка.

Несмотря на то что аналогичный знак использовался для обозначения параллельности прямых, новый символ равенства постепенно получил распространение. К слову, такие знаки как «больше» и «меньше», изображающие развернутые в разные стороны галочки, появились лишь в XVII-XVIII веке. Сегодня же они кажутся интуитивно понятными любому школьнику.

Несколько более сложные знаки эквивалентности (две волнистые линии) и тождества (три горизонтальные параллельные прямые) вошли в обиход лишь во второй половине XIX века.

Знак неизвестного – «Икс»

История возникновения математических знаков и символов знает и весьма интересные случаи переосмысления графики по мере развития науки. Знак обозначения неизвестного, именуемый сегодня «иксом», берет своё начало на Ближнем Востоке на заре прошлого тысячелетия.

Ещё в X веке в арабском мире, славящемся в тот исторический период своими учеными, понятие неизвестного обозначалось словом, буквально переводящимся как «нечто» и начинающимся со звука «Ш». С целью экономии материалов и времени слово в трактатах стало сокращаться до первой буквы.

Спустя многие десятилетия письменные труды арабских ученых оказались в городах Пиренейского полуострова, на территории современной Испании. Научные трактаты стали переводиться на национальный язык, но возникла трудность — в испанском отсутствует фонема «Ш». Заимствованные арабские слова, начинающиеся с неё, записывались по особому правилу и предварялись буквой X. Научным языком того времени была латынь, в которой соответствующий знак имеет название «Икс».

Таким образом, знак, на первый взгляд являющийся лишь случайно выбранным символом, имеет глубокую историю и изначально является сокращением арабского слова «нечто».

Обозначение других неизвестных

В отличие от «Икса», знакомые нам со школьной скамьи Y и Z, а также a, b, c имеют гораздо более прозаичную историю происхождения.

В XVII веке была издана книга Декарта под названием «Геометрия». В этой книге автор предлагал стандартизировать символы в уравнениях: в соответствии с его идеей, последние три буквы латинского алфавита (начиная от «Икса») стали обозначать неизвестные, а три первые – известные значения.

Тригонометрические термины

По-настоящему необычна история такого слова, как «синус».

Первоначально соответствующие тригонометрические функции получили название в Индии. Слово, соответствующее понятию синуса, буквально означало «тетива». В эпоху расцвета арабской науки индийские трактаты были переведены, а понятие, аналога которому не оказалось в арабском языке, транскрибировано. По стечению обстоятельств, то, что получилось на письме, напоминало реально существующее слово «впадина», семантика которого не имела никакого отношения к исходному термину. В результате, когда в 12 веке арабские тексты были переведены на латынь, возникло слово «синус», означающее «впадина» и закрепившееся в качестве нового математического понятия.

А вот математические знаки и символы для тангенса и котангенса до сих пор не стандартизованы – в одних странах их принято писать как tg, а в других – как tan.

Некоторые другие знаки

Как видно из примеров, описанных выше, возникновение математических знаков и символов в значительной мере пришлось на XVI-XVII века. На этот же период пришлось возникновение привычных сегодня форм записи таких понятий, как процент, квадратный корень, степень.

Процент, т. е. сотая доля, долгое время обозначался как cto (сокращение от лат. cento). Считается, что общепринятый на сегодняшний день знак появился в результате опечатки около четырехсот лет назад. Получившееся изображение было воспринято как удачный способ сокращения и прижилось.

Знак корня изначально представлял собой стилизованную букву R (сокращение от латинского слова radix — «корень»). Верхняя черта, под которую сегодня записывается выражение, выполняла функцию скобок и являлась отдельным символом, обособленным от корня. Круглые скобки были придуманы позже — в повсеместное обращение они вошли благодаря деятельности Лейбница (1646-1716). Благодаря его же трудам был введен в науку и символ интеграла, выглядящий как вытянутая буква S — сокращение от слова «сумма».

Наконец, знак операции возведения в степень был придуман Декартом и доработан Ньютоном во второй половине XVII века.

Более поздние обозначения

Учитывая, что знакомые нам графические изображения «плюса» и «минуса» были введены в обращение всего несколько столетий назад, не кажется удивительным, что математические знаки и символы, обозначающие сложные явления, стали использоваться лишь в позапрошлом веке.

Так, факториал, имеющий вид восклицательного знака после числа или переменной, появился лишь в начале XIX века. Приблизительно тогда же появились заглавная «П» для обозначения произведения и символ предела.

Несколько странно, что знаки для числа Пи и алгебраической суммы появились лишь в XVIII веке – позже, чем, например, символ интеграла, хотя интуитивно кажется, что они являются более употребительными. Графическое изображение отношения длины окружности к диаметру происходит от первой буквы греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». А знак «сигма» для алгебраической суммы был предложен Эйлером в последней четверти XVIII столетия.

Названия символов на разных языках

Как известно, языком науки в Европе на протяжении многих веков была латынь. Физические, медицинские и многие другие термины часто заимствовались в виде транскрипций, значительно реже – в виде кальки. Таким образом, многие математические знаки и символы на английском называются почти так же, как на русском, французском или немецком. Чем сложнее суть явления, тем выше вероятность, что в разных языках оно будет иметь одинаковое название.

Компьютерная запись математических знаков

Простейшие математические знаки и символы в «Ворде» обозначаются обычной комбинацией клавиш Shift+цифра от 0 до 9 в русской или английской раскладке. Отдельные клавиши отведены под некоторые широкоупотребительные знаки: плюс, минус, равенство, наклонная черта.

Если же требуется использовать графические изображения интеграла, алгебраической суммы или произведения, числа Пи и т. д., требуется открыть в «Ворде» вкладку «Вставка» и найти одну из двух кнопок: «Формула» или «Символ». В первом случае откроется конструктор, позволяющий выстроить целую формулу в рамках одного поля, а во втором – таблица символов, где можно найти любые математические знаки.

Как запомнить математические символы

В отличие от химии и физики, где количество символов для запоминания может превосходить сотню единиц, математика оперирует относительно небольшим числом знаков. Простейшие из них мы усваиваем ещё в глубоком детстве, учась складывать и вычитать, и только в университете на определенных специальностях знакомимся с немногочисленными сложными математическими знаками и символами. Картинки для детей помогают за считанные недели достичь мгновенного узнавания графического изображения требуемой операции, гораздо больше времени может понадобиться для овладения навыком самого осуществления этих операций и понимания их сущности.

Таким образом, процесс запоминания знаков происходит автоматически и не требует особых усилий.

В заключение

Ценность математических знаков и символов заключается в том, что их без труда понимают люди, говорящие на разных языках и являющиеся носителями различных культур. По этой причине крайне полезно понимать и уметь воспроизводить графические изображения различных явлений и операций.

Высокий уровень стандартизации этих знаков обуславливает их использование в самых различных сферах: в области финансов, информационных технологий, инженерном деле и др. Для каждого, кто хочет заниматься делом, связанным с числами и расчетами, знание математических знаков и символов и их значений становится жизненной необходимостью.

Знаки математические — Большая советская энциклопедия

Зна́ки математические

Условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок. Например, √2

(квадратный корень из двух), 3 > 2 (три больше двух) и т.п.

Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми З. м. были знаки для изображения чисел — Цифры, возникновение которых, по-видимому, предшествовало письменности. Наиболее древние системы нумерации — вавилонская и египетская — появились ещё за 31/2 тысячелетия до н. э.

Первые З. м. для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5—4 вв. до н. э.) в Греции. Величины (площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин — в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами — начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до нашей эры) последний способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике буквенного исчисления создано не было.

Начатки буквенного изображения и исчисления возникают в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы. Диофант (вероятно, 3 в.) записывал неизвестную (х) и её степени следующими знаками:

[ — от греческого термина δυναμις (dynamis — сила), обозначавшего квадрат неизвестной, — от греческого χυβος (k_ybos) — куб]. Справа от неизвестной или её степеней Диофант писал коэффициенты, например 3х5 изображалось

(где = 3). При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для вычитания употреблял специальный знак ; равенство Диофант обозначал буквой ι [от греческого ισος (isos) — равный]. Например, уравнение

(x3 + 8x) — (5x2 + 1) = х

у Диофанта записалось бы так:

(здесь

означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного).

Несколько веков спустя индийцы ввели различные З. м. для нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, уравнение

3х2 + 10x — 8 = x2 + 1

в записи Брахмагупты (См. Брахмагупта) (7 в.) имело бы вид:

йа ва 3 йа 10 ру 8

йа ва 1 йа 0 ру 1

(йа — от йават — тават — неизвестное, ва — от варга — квадратное число, ру — от рупа — монета рупия — свободный член, точка над числом означает вычитаемое число).

Создание современной алгебраической символики относится к 14—17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются З. м. для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в конце 15 и. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания

(от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и —. Ещё в 17 в. можно насчитать около десятка З. м. для действия умножения.

Различны были и З. м. неизвестной и её степеней. В 16 — начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, например се (от census — латинский термин, служивший переводом греческого δυναμις, Q (от quadratum), , A (2), , Aii, aa, a2 и др. Так, уравнение

x3 + 5x = 12

имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:

у немецкого математика М. Штифеля (1544):

у итальянского математика Р. Бомбелли (1572):

французского математика Ф. Виета (1591):

у английского математика Т. Гарриота (1631):

В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.

Значительным шагом вперёд в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) З. м. для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,… Например, запись Виета

[cubus — куб, planus — плоский, т. е. В — двумерная величина; solidus — телесный (трёхмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны] в наших символах выглядит так:

x3 + 3bx = d.

Виет явился творцом алгебраических формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, z, а произвольные данные величины — начальными буквами а, b, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.

Дальнейшее развитие З. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.

Даты возникновения некоторых математических знаков

знак значение Кто ввёл Когда введён
Знаки индивидуальных объектов
бесконечность Дж. Валлис 1655
e основание натуральных логарифмов Л. Эйлер 1736
π отношение длины окружности к диаметру У. Джонс Л. Эйлер 1706 1736
i корень квадратный из -1 Л. Эйлер 1777 (в печати 1794)
i j k единичные векторы, орты У. Гамильтон 1853
П (а) угол параллельности Н.И. Лобачевский 1835
Знаки переменных объектов
x,y, z неизвестные или переменные величины Р. Декарт 1637
r вектор О. Коши 1853
Знаки индивидуальных операций
+ сложение немецкие математики Конец 15 в.
вычитание
× умножение У. Оутред 1631
умножение Г. Лейбниц 1698
: деление Г. Лейбниц 1684
a2, a3,…, an степени Р. Декарт 1637
И. Ньютон 1676
корни К. Рудольф 1525
А. Жирар 1629
Log логарифм И. Кеплер 1624
log Б. Кавальери 1632
sin синус Л. Эйлер 1748
cos косинус
tg тангенс Л. Эйлер 1753
arc.sin арксинус Ж. Лагранж 1772
Sh гиперболический синус В. Риккати 1757
Ch гиперболический косинус
dx, ddx, … дифференциал Г. Лейбниц 1675 (в печати
d2x, d3x,… 1684)
интеграл Г. Лейбниц 1675 (в печати 1686)
производная Г. Лейбниц 1675
ƒ’x производная Ж. Лагранж 1770, 1779
y’
ƒ'(x)
Δx разность Л. Эйлер 1755
частная производная А. Лежандр 1786
определённый интеграл Ж. Фурье 1819-22
Σ сумма Л. Эйлер 1755
П произведение К. Гаусс 1812
! факториал К. Крамп 1808
x модуль К. Вейерштрасс 1841
lim предел У. Гамильтон, 1853,
lim многие математики начало 20 в.
n = ∞
lim
n → ∞
ξ дзета-функция Б. Риман 1857
Г гамма-функция А. Лежандр 1808
В бета-функция Ж. Бине 1839
Δ дельта (оператор Лапласа) Р. Мёрфи 1833
набла (оператор Гамильтона) У. Гамильтон 1853
Знаки переменных операций
φx функция И. Бернули 1718
f (x) Л. Эйлер 1734
Знаки индивидуальных отношений
= равенство Р. Рекорд 1557
> больше Т. Гарриот 1631
< меньше
сравнимость К. Гаусс 1801
параллельность У. Оутред 1677
перпендикулярность П. Эригон 1634

И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины (в виде

и для бесконечно малого приращения o. Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности ∞.

Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне З. м. дифференциалов

dx, d 2x, d 3x

и интеграла

Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), π [вероятно, от греческого περιφερεια (periphereia) — окружность, периферия, 1736], мнимой единицы

(от французского imaginaire — мнимый, 1777, опубликовано в 1794).

В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс, 1841), вектора (О. Коши, 1853), определителя

(А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.

Наряду с указанным процессом стандартизации З. м. в современной литературе весьма часто можно встретить З. м., используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.

С точки зрения математической логики, среди З. м. можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определённое содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём основным группам З. м. примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.

Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки «неременных», или «неизвестных», объектов, операций и отношений.

Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):

A1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и π; мнимой единицы i.

Б1) Знаки арифметических действий +, —, ·, ×,:; извлечения корня , дифференцирования

знаки суммы (объединения) ∪ и произведения (пересечения) ∩ множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.

B1) Знаки равенства и неравенства =, >, <, ≠, знаки параллельности || и перпендикулярности ⊥, знаки принадлежности ∈ элемента некоторому множеству и включения ⊂ одного множества в другое и т.п.

Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые каким-либо заранее оговорённым условиям. Например, при записи тождества (a + b)(ab) = a2— b2 буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у = х2 буквы х и у — произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения

x2 — 1 = 0

х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и —1).

С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пустой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

A2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.

Б2) Обозначения f, F, φ для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:

Обозначения для «переменных отношений» менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.

Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1—2, Chi., 1928—29.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ — ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ — условные обозначения, служащие для записи математических понятий, предложений и выкладок. Напр., математические знаки +, -, =, > (больше) — (знак корня) — sin (синус) — (интеграл) и т. Большой энциклопедический словарь
  2. Знаки Математические — Условные обозначения, предназначенные для записи математич. понятий и выкладок. Напр., понятие «квадратный корень из числа… Математическая энциклопедия

число Эйлера | константа e (e = 2,71828183 …)

e константа или Число Эйлера — математическая константа. Константа е — действительное и иррациональное число.

e = 2,718281828459 …

Определение e

Константа e определяется как предел:

Альтернативные определения

Константа e определяется как предел:

Константа e определяется как бесконечный ряд:

Свойства е

Взаимное от е

Обратное значение e является пределом:

Производные от e

Производная экспоненциальной функции является экспоненциальной функцией:

( e x ) ‘= e x

Производная от функции натурального логарифма является обратной функцией:

(журнал e x ) ‘= (ln x )’ = 1/ x

Интегралы e

Неопределенный интеграл от экспоненциальной функции e x является экспоненциальной функцией e x .

e x dx = e x + c

Неопределенный интеграл от натурального логарифма log e x равен:

∫ log e x dx = ∫ ln x dx = x ln x — x + c

Определенный интеграл от 1 до e обратной функции 1 / x равен 1:

Основание электронного логарифма

Натуральный логарифм числа x определяется как логарифм числа x по основанию е:

ln x = log e x

Экспоненциальная функция

Экспоненциальная функция определяется как:

f ( x ) = exp ( x ) = e x

Формула Эйлера

Комплексное число e имеет тождество:

e = cos ( θ ) + i грех ( θ )

i — мнимая единица (квадратный корень из -1).

θ — любое действительное число.


См. Также

.

math — Математические функции — документация Python 3.8.6


Этот модуль обеспечивает доступ к математическим функциям, определенным C стандарт.

Эти функции нельзя использовать с комплексными числами; использовать функции то же имя из модуля cmath , если вам требуется поддержка сложных числа. Различие между функциями, поддерживающими комплексные числа, и те, которых не делают, поскольку большинство пользователей не хотят учиться так много математика, необходимая для понимания комплексных чисел.Получение исключения вместо сложного результата позволяет раньше обнаруживать неожиданный комплекс число, используемое в качестве параметра, чтобы программист мог определить, как и почему он был создан в первую очередь.

Этот модуль предоставляет следующие функции. За исключением случаев, когда явно в противном случае все возвращаемые значения являются плавающими.

Теоретико-числовые функции и функции представлений

математика. потолок ( x )

Вернуть потолок x , наименьшее целое число, большее или равное x .Если x не является float, делегирует x .__ ceil __ () , который должен вернуть Интегральное значение .

математика. гребень ( n , k )

Вернуть количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и без заказа.

Оценивается как n! / (k! * (n - k)!) , когда k <= n и вычисляет к нулю, когда k> n .

Также называется биномиальным коэффициентом, потому что он эквивалентен к коэффициенту k-го члена в полиномиальном разложении выражение (1 + x) ** n .

Вызывает TypeError , если какой-либо из аргументов не является целым числом. Вызывает ValueError , если любой из аргументов отрицательный.

математика. копия ( x , y )

Вернуть число с плавающей запятой с величиной (абсолютным значением) x , но со знаком л .На платформах, поддерживающих нули со знаком, copysign (1.0, -0.0) возвращает -1,0 .

математика. фабрик ( x )

Вернуть абсолютное значение x .

математика. факториал ( x )

Вернуть факториал x как целое число. Вызывает ValueError , если x не является целым или отрицательный.

математика. этаж ( x )

Вернуть нижний предел x , наибольшее целое число, меньшее или равное x . Если x не является плавающим, делегирует x .__ floor __ () , который должен вернуть Интегральное значение .

математика. fmod ( x , y )

Вернуть fmod (x, y) , как определено библиотекой платформы C.Обратите внимание, что Выражение Python x% y может не возвращать тот же результат. Намерение C стандартным является то, что fmod (x, y) должно быть точно (математически; до бесконечности точности) равным x - n * y для некоторого целого числа n , так что результат имеет тот же знак, что и x , и величина меньше абс (y) . Python x% y вместо этого возвращает результат со знаком y и может быть неточно вычислимым для аргументов с плавающей запятой.Например, fmod (-1e-100, 1e100) равно -1e-100 , но результат Python -1e-100% 1e100 будет 1e100-1e-100 , что не может быть представлен в точности как поплавок и округляется до удивительного 1e100 . За по этой причине функция fmod () обычно предпочтительнее при работе с float, тогда как Python x% y предпочтительнее при работе с целыми числами.

математика. frexp ( x )

Вернуть мантиссу и показатель степени x как пару (m, e) . м - поплавок и e - целое число, такое что x == m * 2 ** e точно. Если x равно нулю, возвращает (0,0, 0) , иначе 0,5 <= abs (m) <1 . Это используется, чтобы «выбрать отдельно »внутреннее представление поплавка портативным способом.

математика. fsum ( итерация )

Вернуть точную сумму значений с плавающей запятой в итерируемом объекте. Избегает потеря точности из-за отслеживания нескольких промежуточных частичных сумм:

 >>> сумма ([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0,9999999999999999
>>> fsum ([. 1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0
 

Точность алгоритма зависит от арифметических гарантий IEEE-754 и типичный случай, когда режим округления половинный. На некоторых не-Windows сборки, базовая библиотека C использует сложение с расширенной точностью и может иногда двойное округление промежуточной суммы, в результате чего она младший бит.

Для дальнейшего обсуждения и двух альтернативных подходов см. Поваренную книгу ASPN. рецепты точного суммирования с плавающей запятой.

математика. gcd ( a , b )

Вернуть наибольший общий делитель целых чисел a и b . Если либо a или b не равно нулю, тогда значение gcd (a, b) является наибольшим положительное целое число, которое делит на и на . gcd (0, 0) возвращает 0 .

математика. isclose ( a , b , * , rel_tol = 1e-09 , abs_tol = 0,0 )

Вернуть Истина , если значения a и b близки друг к другу и Неверно иначе.

Вт · ч

.

9.2. math - Математические функции - документация Python 2.7.18

Этот модуль всегда доступен. Он обеспечивает доступ к математическим функции, определенные стандартом C.

Эти функции нельзя использовать с комплексными числами; использовать функции то же имя из модуля cmath , если вам требуется поддержка сложных числа. Различие между функциями, поддерживающими комплексные числа, и те, которых не делают, поскольку большинство пользователей не хотят учиться так много математика, необходимая для понимания комплексных чисел.Получение исключения вместо сложного результата позволяет раньше обнаруживать неожиданный комплекс число, используемое в качестве параметра, чтобы программист мог определить, как и почему он был создан в первую очередь.

Этот модуль предоставляет следующие функции. За исключением случаев, когда явно в противном случае все возвращаемые значения являются плавающими.

9.2.1. Теоретико-числовые функции и функции представлений

математика. потолок ( x )

Вернуть потолок x как число с плавающей запятой, наименьшее целочисленное значение больше или равно x .

математика. копия ( x , y )

Возврат x со знаком y . На платформе, поддерживающей нули со знаком, copysign (1.0, -0.0) возвращает -1.0 .

математика. фабрик ( x )

Вернуть абсолютное значение x .

математика. факториал ( x )

Вернуть факториал x . Вызывает ValueError , если x не является целым или отрицательный.

математика. этаж ( x )

Возвращает пол x как число с плавающей запятой, наибольшее целое значение меньше или равно до x .

математика. fmod ( x , y )

Вернуть fmod (x, y) , как определено библиотекой платформы C.Обратите внимание, что Выражение Python x% y может не возвращать тот же результат. Намерение C стандартным является то, что fmod (x, y) будет точно (математически; до бесконечности точности) равным x - n * y для некоторого целого числа n , так что результат имеет тот же знак, что и x , и величина меньше абс. (y) . Python x% y вместо этого возвращает результат со знаком y и может быть неточно вычислимым для аргументов с плавающей запятой.Например, fmod (-1e-100, 1e100) - это -1e-100 , но результат Python -1e-100% 1e100 будет 1e100-1e-100 , что не может быть представлен в точности как поплавок и округляется до удивительного 1e100 . За по этой причине функция fmod () обычно предпочтительнее при работе с float, тогда как Python x% y предпочтительнее при работе с целыми числами.

математика. frexp ( x )

Вернуть мантиссу и показатель степени x как пару (m, e) . м - поплавок а e - целое число, такое что x == m * 2 ** e точно. Если x равно нулю, возвращает (0,0, 0) , иначе 0,5 <= abs (m) <1 . Это используется, чтобы «выбрать отдельно »внутреннее представление поплавка портативным способом.

математика. fsum ( итерация )

Вернуть точную сумму значений с плавающей запятой в итерируемом объекте. Избегает потеря точности из-за отслеживания нескольких промежуточных частичных сумм:

 >>> сумма ([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0,9999999999999999
>>> fsum ([. 1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0
 

Точность алгоритма зависит от арифметических гарантий IEEE-754 и типичный случай, когда режим округления половинный. На некоторых не-Windows сборки, базовая библиотека C использует сложение с расширенной точностью и может иногда двойное округление промежуточной суммы, в результате чего она младший бит.

Для дальнейшего обсуждения и двух альтернативных подходов см. Поваренную книгу ASPN рецепты точного суммирования с плавающей запятой.

математика. isinf ( x )

Проверьте, является ли число с плавающей запятой x положительной или отрицательной бесконечностью.

математика. иснан ( x )

Проверьте, является ли число с плавающей запятой x NaN (а не числом). Чтобы получить больше информации по NaN см. стандарты IEEE 754.

математика. ldexp ( x , и )

Возврат x * (2 ** i) .По сути, это обратная функция frexp () .

математика. мод ( x )

Вернуть дробную и целую части x . Оба результата имеют знак размером x и являются поплавками.

математика. усечение ( x )

Вернуть значение Real x , усеченное до Integral (обычно длинное целое число).Использует __trunc__ метод.

Обратите внимание, что frexp () и modf () имеют другой шаблон вызова / возврата чем их эквиваленты в C: они принимают один аргумент и возвращают пару значения, вместо того, чтобы возвращать их второе возвращаемое значение через вывод параметр ’(в Python такого нет).

Для ceil () , этаж ()

.2б Пример задачи Найдите LCM
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *