Дискретная алгебра: Дискретная математика. Курс лекций

Содержание

2. Математическая логика. Дискретная математика

2.1. Высказывания

2.2. Логические связки (операции) над высказываниями

2.3. Пропозициональные формулы

2.4. Булевы функции. Таблицы истинности

2.5. Булевы функции одной переменной

2.6. Булевы функции двух переменных

2.7. Существенные и несущественные переменные

2.8. Равносильные формулы. Основные равносильности

2.9. Основные тавтологии

2.10. Основные равносильности

2.11. Понятие двойственной функции

2.12. Некоторые двойственные функции

2.13. Элементарные канонические формы

2.14. Нормальные формы формул

2.15. Приведение формул к нормальным формам

2.16. Минимизация д.н.ф.

2.17. Полные системы функций. Полином Жегалкина

2.18. Функционально замкнутые классы функций

2.19. Понятие алгоритма. Описание машины Тьюринга

2. 1. Высказывания

Определение. Высказывание

– повествовательное утверждение, которое либо истинно либо ложно (не то и другое одновременно).

Примеры высказываний: «Тише едешь – дальше будешь», «Париж – столица Франции». Но «Как бы чего не вышло» или «Миру – мир» не являются высказываниями.

Определение. Высказывание называется простым (элементарным), если оно рассматривается как одно неделимое целое.

Определение. Сложное высказывание – высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

2.2. Логические связки (операции) над высказываниями

Определение. Конъюнкцией («и») высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба истинны. Обозначается P&Q.

Таблица истинности:

P

Q

P&Q

л

л

л

л

и

л

и

л

л

и

и

и

Определение. Дизъюнкцией («или») высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба ложны. Обозначается .

Таблица истинности:

P

Q

л

л

л

л

и

и

и

л

и

и

и

и

Определение. Отрицанием («не») высказывания

P называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P истинно. Обозначается или .

Таблица истинности:

P

л

и

и

л

Определение. Импликацией высказываний P и Q называется высказывание, ложное, когда P истинно, а Q ложно, и истинное во всех остальных случаях. Обозначается .

Таблица истинности:

P

Q

л

л

и

л

и

и

и

л

л

и

и

и

Определение. Эквивалентностью высказываний P и Q называется высказывание истинное, когда истинностные значения P и Q совпадают, и ложное в противном случае. Обозначается или .

Таблица истинности:

P

Q

л

л

и

л

и

л

и

л

л

и

и

и

Определение. Неравнозначностью (сложение по модулю 2) высказываний P и Q называется высказывание истинное, когда истинностные значения P и Q различны, и ложное в противном случае. Обозначается .

Таблица истинности:

P

Q

л

л

л

л

и

и

и

л

и

и

и

л

2. 3. Пропозициональные формулы

Рассмотрим алфавит , где , ,.

Символы из называются переменными высказывания или пропозициональными переменными.

Символы из называются

логическими связками.

Скобки из называются вспомогательными символами.

Определение. Пропозициональная формула определяется следующим образом:

1) пропозициональная переменная есть формула;

2) если P и Q – формулы, то Ø P, (P&Q), (PÚ Q) ,(P® Q) ,(PÅ Q) ,(P|Q), (P¯ Q) – формулы,

3) других формул нет.

При этом

а) внешние скобки у формул опускаются;

б) устанавливаются следующие приоритеты:

Ø – выполняется в первую очередь;

& во вторую очередь;

Ú , ® , Å , |, ¯ – в третью очередь.

2.4. Булевы функции. Таблицы истинности

Определение. Булевой функцией булевых переменных называется функция с областью определения и областью значений , где .

Способы задания:

1) таблицами истинности; при этом 0 интерпретируется как «ложь», а 1 – как «истина»;
2) пропозициональными формулами.

Таблица истинностей некоторых логических связок:

x

y

x&y

xÚ y

Ø x

x® y

XÅ y

x~y

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

2. 5. Булевы функции одной переменной

Обозначение

Наименование

Константа 0

Тождественная

Отрицание

Константа 1

2. 6. Булевы функции двух переменных

Обозначение

Наименование

0 0 0 0

Константа 0

0 0 0 1

Конъюнкция

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

Сложение

0 1 1 1

Дизъюнкция

1 0 0 0

Стрелка Пирса

1 0 0 1

Эквиваленция

1 0 1 0

1 0 1 1

Импликация

1 1 0 0

1 1 0 1

Импликация

1 1 1 0

Штрих Шеффера

1 1 1 1

1

Константа 1

2. 7. Существенные и несущественные переменные

Определение. Переменная называется существенной для булевой функции , если

.

Определение. Переменная называется несущественной для булевой функции , если

.

2.8. Равносильные формулы. Основные равносильности

Определение. Формула называется тождественно истинной, или тавтологией, если эта формула принимает значение 1 при всех наборах значений переменных.

Определение. Формула называется тождественно ложной, или противоречием, если эта формула принимает значение 0 при всех наборах значений переменных.

2.9. Основные тавтологии

1.

Закон исключенного третьего

2.

3.

4.

Цепное рассуждение

5.

6.

Определение. Формулы P и Q называются равносильными (обозначается ), если при любых значениях переменных значение формулы P совпадает со значением Q.

2.10. Основные равносильности

Замечание. Здесь P, Q и R —пропозициональные формулы.

2.11. Понятие двойственной функции

Определение. Функцией, двойственной к булевой функции , называется функция .

Определение. Функция называется самодвойственной, если .

Теорема. (Принцип двойственности.) Пусть ,…, и — булевы функции и пусть =- сложная булева функция. Тогда

=

Следствие. Пусть P и Q —формулы. Если , тогда .

Принцип двойственности позволяет получать из доказанных равносильностей целый ряд новых. Кроме того, СКНФ(f)=.

2.12. Некоторые двойственные функции

1.

2.

3.

4.

5.

Замечание. .

2.13. Элементарные канонические формы

Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более 1 раза.

Определение. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более 1 раза.

2.14. Нормальные формы формул

Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (Д.Н.Ф.) называется произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Определение. Конъюнктивной нормальной формой (К.Н.Ф.) называется произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Определение. К.Н.Ф. называется совершенной и обозначается С.К.Н.Ф., если каждая переменная входит в каждую элементарную дизъюнкцию ровно один раз с отрицанием или без.

Определение. Д.Н.Ф. называется совершенной и обозначается С.Д.Н.Ф, если каждая переменная входит в каждую элементарную конъюнкцию ровно один раз с отрицанием или без.

Пример: – Д.Н.Ф; – С.Д.Н.Ф.

Теорема. Любая логическая функция кроме 0 имеет единственную С.Д.Н.Ф: .

Теорема. Любая логическая функция кроме 1 имеет единственную С.К.Н.Ф: .

Здесь .

Пример. Пусть функция трех переменных задана таблицей истинности:

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

Записать ее С. Д.Н.Ф. и С.К.Н.Ф.

С.Д.Н.Ф.(f)=

С.К.Н.Ф.(f)=

2.15. Приведение формул к нормальным формам

Любую логическую формулу (кроме 0) можно привести к С.Д.Н.Ф. следующим образом:

  1. Все не булевские операции заменить на булевские (&, Ú , Ø ) c помощью равносильностей:

    ; ; ; ; .

  2. Все отрицания «спустить» до переменных с помощью законов де Моргана.
  3. Раскрыть скобки (дистрибутивность, ассоциативность).
  4. Удалить лишние конъюнкции, повторения переменных в конъюнкциях и константы.

    Для приведения к С.Д.Н.Ф:

  5. Расщепить те конъюнкции, которые содержат не все переменные.

2.16. Минимизация д.н.ф.

Д.Н.Ф, содержащую минимальное число вхождений переменных, будем считать минимальной.

Приведем 2 наиболее простых метода минимизации Д. Н.Ф. функции:

  1. Группировка: элементарные конъюнкции , в ДНФ группируются в пары так, что после вынесения за скобку общего множителя K подформула имела вид или . Далее заменяем на эквивалентную ей конъюнкцию K.

    Пример:

    .

  2. Метод Блейка состоит в применении двух правил:

а) обобщенное склеивание – первое правило. С помощью формулы производим операцию обобщенного склеивания в Д.Н.Ф. пока это возможно. Для этого в Д.Н.Ф. отыскиваем подформулы вида и добавляем к ним . На этом этапе формула усложняется.

б) поглощение – второе правило. Оно основано на равенстве

.

Находим в Д.Н.Ф. конъюнкции с минимальным числом сомножителей и все конъюнкции, их содержащие, вычеркиваем.

Пример: .

Разумно в Д.Н.Ф. сначала применить метод группировки (как более простой), а затем метод Блейка.

2.17. Полные системы функций. Полином Жегалкина

Определение. Множество булевых функций называется полной системой, если любая булева функция может быть выражена через функции этого множества с помощью суперпозиции. Минимальная полная система называется базисом.

Примеры базисов:

— дизъюнктивный базис;

— конъюнктивный базис;

— базис Жегалкина;

— базис Пирса;

— базис Шеффера.

Определение Логическая функция, представленная над базисом называется многочленом Жегалкина. Он имеет вид:

,

где константы .

2.18. Функционально замкнутые классы функций

Ведем следующие классы Поста:

= – Класс функций, сохраняющих 0.

= – Класс функций, сохраняющих 1.

= – Класс самодвойственных функций.

= – Класс линейных функций.

= – Класс монотонных функций.

Каждый класс Поста является функционально замкнутым, т.е. все функции, реализованные формулами над данным классом, также принадлежат данному классу.

Таблица принадлежности функциональным классам основных булевых функций:

Теорема. (Теорема Поста.) Для того, чтобы система булевых функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов , , , , нашлась функция из системы, не принадлежащая данному классу.

2.19. Понятие алгоритма. Описание машины Тьюринга

Для решения ряда однотипных задач иногда целесообразно использовать чисто механические вычислительные процессы. Описание таких процессов называют алгоритмами.

Интуитивно: алгоритм – это некоторое формальное предписание, действуя согласно которому, можно получить решение задачи. Примеры алгоритмов:

  • Нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел.
  • Извлечение корня квадратного из рационального числа с заданной точностью.
  • Вычисление ранга матрицы, и так далее.

Перечисленные алгоритмы имеют ряд общих черт, которые естественно считать присущими любому алгоритму:

Дискретность. Решение задачи разбивается на этапы, каждый из которых прост и локален.

Детерминированность. После выполнения очередного этапа однозначно определено, что сделать на следующем этапе.

Направленность. Должно быть указано, что считать результатом применения алгоритма.

Массовость. Алгоритм служит для решения целого класса однотипных задач.

Конечность. Для решения задачи выполняется конечная последовательность шагов алгоритма.

Тезис Тьюринга Всякий интуитивный алгоритм может быть реализован с помощью некоторой машины Тьюринга.

Определение. Машиной Тьюринга (м-т) называется тройка , где —внешний алфавит, обычно ; —внутренний алфавит, элементами которого являются состояния управляющего устройства, —заключительное состояние, —начальное состояние; —программа, состоящая из команд вида: , где —один из символов: (налево), (направо), (на месте), , .

Имеется бесконечная в обе стороны лента, разбитая на ячейки. В начальный момент в конечном числе ячеек записаны символы из , в остальных ячейках записан пустой символ, обозначаемый через . Машина Тьюринга имеет головку, которая в любой момент времени обозревает некоторую ячейку, и управляющее устройство, которое может находиться в одном из состояний .

Шаг работы м-т. Если м-т имеет состояние , в обозреваемой ячейке записан символ , то выполняется команда , м-т переходит в состояние , в ячейке на место , записывается и головка сдвигается влево, вправо или остается на месте в зависимости от символа .

В начальный момент м-т находится в состоянии , останавливается м-т, если перейдет в одно из заключительных состояний либо при отсутствии команды, которую можно выполнить.

Конфигурацией (машинным словом) называется слово , где слово на ленте левее головки, слово правее головки, включая символ под головкой.

Говорят, что м-т применима к слову , если , начав работу на слове , машина остановится через конечное число шагов; если в результате получится слово , то пишут . Если не остановится, то она не применима к слову .

Веретенников_Дискретная математика часть 2.indd

%PDF-1.3 % 1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 573 0 obj >/Font>>>/Fields[]>> endobj 2 0 obj >stream 2017-09-06T10:55:06+05:002017-09-06T11:23:49+05:002017-09-06T11:23:49+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:2026a67b-429e-4066-a6c2-9975596e2b16xmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1xmp.id:43C437C6C692E711BD2CDA057F1A14CFproof:pdf1xmp.iid:F87D967EC692E711BD2CDA057F1A14CFxmp.did:E3B0011FA439E5118436ED2ED37270DDxmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1default

  • convertedfrom application/x-indesign to application/pdfAdobe InDesign CS6 (Windows)/2017-09-06T10:55:06+05:00
  • application/pdf
  • Веретенников_Дискретная математика часть 2.indd
  • Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001 endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 19 0 obj > endobj 20 0 obj > endobj 21 0 obj > endobj 22 0 obj > endobj 23 0 obj > endobj 24 0 obj > endobj 481 0 obj > endobj 55 0 obj >/Resources>/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.8vgB(-8Ų%9UpocbiO\? Tl]K+sL=ZzkuTV8

    Дискретная математика — Краткое руководство

    Математика может быть разделена на две категории:

    • Непрерывная математика — она ​​основана на непрерывной числовой линии или действительных числах. Он характеризуется тем, что между любыми двумя числами почти всегда существует бесконечный набор чисел. Например, функция в непрерывной математике может быть построена по гладкой кривой без разрывов.

    • Дискретная математика — включает в себя различные ценности; т. е. между любыми двумя точками существует счетное количество точек. Например, если у нас есть конечный набор объектов, функция может быть определена как список упорядоченных пар, имеющих эти объекты, и может быть представлена ​​как полный список этих пар.

    Непрерывная математика — она ​​основана на непрерывной числовой линии или действительных числах. Он характеризуется тем, что между любыми двумя числами почти всегда существует бесконечный набор чисел. Например, функция в непрерывной математике может быть построена по гладкой кривой без разрывов.

    Дискретная математика — включает в себя различные ценности; т. е. между любыми двумя точками существует счетное количество точек. Например, если у нас есть конечный набор объектов, функция может быть определена как список упорядоченных пар, имеющих эти объекты, и может быть представлена ​​как полный список этих пар.

    Темы в дискретной математике

    Хотя не может быть определенного числа разделов дискретной математики, следующие темы почти всегда рассматриваются в любом исследовании по этому вопросу:

    • Наборы, отношения и функции
    • Математическая логика
    • Теория групп
    • Теория счета
    • Вероятность
    • Математическая индукция и рекуррентные соотношения
    • Теория графов
    • деревья
    • Булева алгебра

    Мы обсудим каждую из этих концепций в последующих главах этого урока.

    Немецкий математик Г. Кантор ввел понятие множеств. Он определил набор как набор определенных и различимых объектов, выбранных с помощью определенных правил или описания.

    Теория множеств лежит в основе ряда других областей исследования, таких как теория подсчета, отношения, теория графов и конечные автоматы. В этой главе мы рассмотрим различные аспекты теории множеств .

    Set — Определение

    Набор представляет собой неупорядоченную коллекцию различных элементов. Множество может быть написано явно, перечисляя его элементы, используя скобку. Если порядок элементов изменяется или какой-либо элемент набора повторяется, он не вносит никаких изменений в набор.

    Некоторые примеры множеств

    • Набор всех натуральных чисел
    • Набор всех планет в солнечной системе
    • Множество всех штатов в Индии
    • Набор всех строчных букв алфавита

    Представление набора

    Наборы могут быть представлены двумя способами —

    • Реестр или Табличная форма
    • Установить нотацию Builder

    Реестр или Табличная форма

    Набор представлен списком всех элементов, из которых он состоит. Элементы заключены в фигурные скобки и разделены запятыми.

    Пример 1 — Набор гласных в английском алфавите, A= lbracea,e,i,o,u rbrace

    Пример 2 — Набор нечетных чисел меньше 10, B= lbrace1,3,5,7,9 rbrace

    Установить нотацию Builder

    Набор определяется путем указания свойства, которое имеет общие элементы набора. Множество описывается как A= lbracex:p(x) rbrace

    Пример 1. Множество  lbracea,e,i,o,u rbrace записывается как —

    A= lbracex: textx−гласныйванглийскомалфавите rbrace

    Пример 2 — Множество  lbrace1,3,5,7,9 rbrace записывается как —

    B= lbracex:1 lex lt10 and (x%2) ne0 rbrace

    Если элемент x является членом любого множества S, он обозначается как x inS, а если элемент y не является членом множества S, он обозначается как y notinS.

    Пример — если S= lbrace1,1.2,1.7,2 rbrace,1 inS, но 1.5 notinS

    Некоторые важные наборы

    N — множество всех натуральных чисел =  lbrace1,2,3,4,….. rbrace

    Z — множество всех целых чисел =  lbrace…..,−3,−2,−1,0,1,2,3,….. rbrace

    Z + — множество всех натуральных чисел

    Q — множество всех рациональных чисел

    R — множество всех действительных чисел

    W — множество всех целых чисел

    Мощность множества

    Мощность множества S, обозначаемого |S|, — это количество элементов множества. Номер также называется кардинальным числом. Если множество имеет бесконечное количество элементов, его мощность равна  infty.

    Пример — $ | \ lbrace 1, 4, 3, 5 \ rbrace | = 4, | \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace | = \ infty $

    Если есть два набора X и Y,

    • $ | X | = | Y | $ обозначает два множества X и Y, имеющих одинаковую мощность. Это происходит, когда количество элементов в X точно равно числу элементов в Y. В этом случае существует биективная функция ‘f’ от X до Y.

    • $ | X | \ le | Y | $ означает, что множество элементов X меньше или равно числу элементов множества Y. Это происходит, когда число элементов в X меньше или равно числу элементов в Y. Здесь существует инъективная функция ‘f’ от X до Y.

    • $ | X | \ lt | Y | $ означает, что множество элементов X меньше, чем множество элементов Y. Это происходит, когда число элементов в X меньше, чем в Y. Здесь функция ‘f’ из X в Y является инъективной функцией, но не биективной.

    • $ If \ | X | \ le | Y | и | X | \ ge | Y | ,то | X | = | Y | $. Наборы X и Y обычно называют эквивалентными наборами.

    $ | X | = | Y | $ обозначает два множества X и Y, имеющих одинаковую мощность. Это происходит, когда количество элементов в X точно равно числу элементов в Y. В этом случае существует биективная функция ‘f’ от X до Y.

    $ | X | \ le | Y | $ означает, что множество элементов X меньше или равно числу элементов множества Y. Это происходит, когда число элементов в X меньше или равно числу элементов в Y. Здесь существует инъективная функция ‘f’ от X до Y.

    $ | X | \ lt | Y | $ означает, что множество элементов X меньше, чем множество элементов Y. Это происходит, когда число элементов в X меньше, чем в Y. Здесь функция ‘f’ из X в Y является инъективной функцией, но не биективной.

    $ If \ | X | \ le | Y | и | X | \ ge | Y | ,то | X | = | Y | $. Наборы X и Y обычно называют эквивалентными наборами.

    Типы Наборов

    Наборы могут быть классифицированы на многие типы. Некоторые из них являются конечными, бесконечными, подмножествами, универсальными, собственными, одноэлементными множествами и т. Д.

    Конечный набор

    Множество, которое содержит определенное количество элементов, называется конечным множеством.

    Пример — $ S = \ lbrace x \: | \: x \ in N и 70 \ gt x \ gt 50 \ rbrace $

    Бесконечный набор

    Множество, которое содержит бесконечное количество элементов, называется бесконечным множеством.

    Пример — $ S = \ lbrace x \: | \: x \ in N и x \ gt 10 \ rbrace $

    Подмножество

    Множество X является подмножеством множества Y (записывается как X subseteqY), если каждый элемент X является элементом множества Y.

    Пример 1. Пусть X= lbrace1,2,3,4,5,6 rbrace и Y= lbrace1,2 rbrace. Здесь множество Y является подмножеством множества X, так как все элементы множества Y находятся в множестве X. Следовательно, мы можем написать Y subseteqX.

    Пример 2. Пусть X= lbrace1,2,3 rbrace и Y= lbrace1,2,3 rbrace. Здесь множество Y — это подмножество (не правильное подмножество) множества X, так как все элементы множества Y находятся в множестве X. Следовательно, мы можем записать Y subseteqX.

    Правильное подмножество

    Термин «правильное подмножество» может быть определен как «подмножество, но не равно». Набор X является собственным подмножеством множества Y (записывается как X subsetY), если каждый элемент X является элементом множества Y и $ | X | \ lt | Y | $.

    Пример. Пусть X= lbrace1,2,3,4,5,6 rbrace и Y= lbrace1,2 rbrace. Здесь установите Y subsetX, так как все элементы в Y также содержатся в X, и X имеет хотя бы один элемент больше, чем набор Y.

    Универсальный комплект

    Это коллекция всех элементов в определенном контексте или приложении. Все наборы в этом контексте или приложении по существу являются подмножествами этого универсального набора. Универсальные множества представлены как U.

    Пример. Мы можем определить U как совокупность всех животных на земле. В этом случае множество всех млекопитающих — это подмножество U, множество всех рыб — это подмножество U, множество всех насекомых — это подмножество U и так далее.

    Пустой набор или нулевой набор

    Пустой набор не содержит элементов. Обозначается  emptyset. Поскольку число элементов в пустом множестве конечно, пустое множество является конечным множеством. Мощность пустого набора или нулевого набора равна нулю.

    Пример — $ S = \ lbrace x \: | \: x \ in N и 7 \ lt x \ lt 8 \ rbrace = \ emptyset $

    Синглтон или блок

    Одиночный набор или единичный набор содержит только один элемент. Одноэлементное множество обозначается через  lbraces rbrace.

    Пример — $ S = \ lbrace x \: | \: x \ in N, \ 7 \ lt x \ lt 9 \ rbrace = \ lbrace 8 \ rbrace $

    Равный Набор

    Если два набора содержат одинаковые элементы, они называются равными.

    Пример — если A= lbrace1,2,6 rbrace и B= lbrace6,1,2 rbrace, они равны, так как каждый элемент множества A является элементом множества B и каждым элементом множество B является элементом множества A.

    Эквивалентный набор

    Если мощности двух множеств одинаковы, они называются эквивалентными множествами.

    Пример. Если A= lbrace1,2,6 rbrace и B= lbrace16,17,22 rbrace, они эквивалентны, поскольку мощность A равна мощности B. ie $ | A | = | B | = 3 $

    Набор перекрывающихся

    Два набора, которые имеют хотя бы один общий элемент, называются перекрывающимися наборами.

    В случае перекрывающихся наборов —

    n(A cupB)=n(A)+n(B)−n(A capB)

    n(A cupB)=n(A−B)+n(B−A)+n(A capB)

    n(A)=n(A−B)+n(A capB)

    n(B)=n(B−A)+n(A capB)

    Пример. Пусть A= lbrace1,2,6 rbrace и B= lbrace6,12,42 rbrace. Существует общий элемент «6», поэтому эти наборы являются перекрывающимися.

    Несвязанный набор

    Два набора A и B называются непересекающимися, если они не имеют хотя бы одного общего элемента. Следовательно, непересекающиеся множества обладают следующими свойствами:

    • n(A capB)= emptyset

    • n(A cupB)=n(A)+n(B)

    n(A capB)= emptyset

    n(A cupB)=n(A)+n(B)

    Пример — Пусть, A= lbrace1,2,6 rbrace и B= lbrace7,9,14 rbrace, не существует ни одного общего элемента, поэтому эти наборы являются перекрывающимися.

    Диаграммы Венна

    Диаграмма Венна, изобретенная в 1880 году Джоном Венном, является схематической диаграммой, которая показывает все возможные логические связи между различными математическими наборами.

    Примеры

    Операции над множествами

    Операции над множествами включают в себя объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств, дополнение множества и декартово произведение.

    Установить Союз

    Объединение множеств A и B (обозначается как A cupB) — это множество элементов, которые находятся в A, в B или в A и B. Следовательно, $ A \ cup B = \ lbrace x \: | \: x \ in A \ OR \ x \ in B \ rbrace $.

    Пример. Если A= lbrace10,11,12,13 rbrace и B =  lbrace13,14,15 rbrace, то A cupB= lbrace10,11,12,13,14,15. (Общий элемент встречается только один раз)

    Установить пересечение

    Пересечение множеств A и B (обозначается как A capB) — это множество элементов, которые находятся в A и B. Следовательно, A capB= lbracex|x вA AND x inB rbrace.

    Пример. Если A= lbrace11,12,13 rbrace и B= lbrace13,14,15 rbrace, то A capB= lbrace13 rbrace.

    Установить разницу / относительное дополнение

    Разность множеств множеств A и B (обозначаемая A — B ) — это множество элементов, которые находятся только в A, но не в B. Следовательно, $ A — B = \ lbrace x \: | \: x \ in A \ AND \ x \ notin B \ rbrace $.

    Пример. Если A = \ lbrace 10, 11, 12, 13 \ rbrace и B = \ lbrace 13, 14, 15 \ rbrace , то (A — B) = \ lbrace 10, 11, 12 \ rbrace и (B — A) = \ lbrace 14, 15 \ rbrace . Здесь мы можем увидеть (A — B) \ ne (B — A)

    Дополнение набора

    Дополнением к множеству A (обозначаемому A ‘) является множество элементов, не входящих в множество A. Следовательно, $ A’ = \ lbrace x | x \ notin A \ rbrace $.

    В частности, A ‘= (U — A) , где U — универсальное множество, которое содержит все объекты.

    Пример — если $ A = \ lbrace x \: | \: x \ \: {принадлежит \: к \: множеству \: из \: нечетных \: целых чисел} \ rbrace then A ‘= \ lbrace y \: | \: y \ \: {не \: не \: принадлежат \: к \: набору \: of \: нечетные \: целые числа} \ rbrace $

    Декартово произведение / кросс произведение

    Декартово произведение n числа множеств A_1, A_2, \ dots A_n , обозначаемого как A_1 \ times A_2 \ dots \ times A_n , может быть определено как все возможные упорядоченные пары (x_1, x_2, \ dots x_n) , где x_1 \ in A_1, x_2 \ in A_2, \ dots x_n \ in A_n

    Пример — Если мы возьмем два набора A = \ lbrace a, b \ rbrace и B = \ lbrace 1, 2 \ rbrace ,

    Декартово произведение A и B записывается в виде — A \ times B = \ lbrace (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) \ rbrace

    Декартово произведение B и A записывается в виде — B \ times A = \ lbrace (1, a), (1, b), (2, a), (2, b) \ rbrace

    Набор питания

    Набор мощности набора S — это набор всех подмножеств S, включая пустой набор. n . Набор мощности обозначается как P (S) .

    Пример —

    Для множества S = \ lbrace a, b, c, d \ rbrace вычислим подмножества —

    • Подмножества с 0 элементами — \ lbrace \ emptyset \ rbrace (пустой набор)

    • Подмножества с 1 элементом — \ lbrace a \ rbrace, \ lbrace b \ rbrace, \ lbrace c \ rbrace, \ lbrace d \ rbrace

    • Подмножества с 2 элементами — \ lbrace a, b \ rbrace, \ lbrace a, c \ rbrace, \ lbrace a, d \ rbrace, \ lbrace b, c \ rbrace, \ lbrace b, d \ rbrace, \ lbrace c, d \ rbrace

    • Подмножества с 3 элементами — \ lbrace a, b, c \ rbrace, \ lbrace a, b, d \ rbrace, \ lbrace a, c, d \ rbrace, \ lbrace b, c, d \ rbrace

    • Подмножества с 4 элементами — \ lbrace a, b, c, d \ rbrace

    Подмножества с 0 элементами — \ lbrace \ emptyset \ rbrace (пустой набор)

    Подмножества с 1 элементом — \ lbrace a \ rbrace, \ lbrace b \ rbrace, \ lbrace c \ rbrace, \ lbrace d \ rbrace

    Подмножества с 2 элементами — \ lbrace a, b \ rbrace, \ lbrace a, c \ rbrace, \ lbrace a, d \ rbrace, \ lbrace b, c \ rbrace, \ lbrace b, d \ rbrace, \ lbrace c, d \ rbrace

    Подмножества с 3 элементами — \ lbrace a, b, c \ rbrace, \ lbrace a, b, d \ rbrace, \ lbrace a, c, d \ rbrace, \ lbrace b, c, d \ rbrace

    Подмножества с 4 элементами — \ lbrace a, b, c, d \ rbrace

    Следовательно, P (S) =

    \ lbrace \ quad \ lbrace \ emptyset \ rbrace, \ lbrace a \ rbrace, \ lbrace b \ rbrace, \ lbrace c \ rbrace, \ lbrace d \ rbrace, \ lbrace a, b \ rbrace, \ lbrace a, c \ rbrace, \ lbrace a, d \ rbrace, \ lbrace b, c \ rbrace, \ lbrace b, d \ rbrace, \ lbrace c, d \ rbrace, \ lbrace a, b, c \ rbrace, \ lbrace a, b, d \ rbrace, \ lbrace a, c, d \ rbrace, \ lbrace b, c, d \ rbrace, \ lbrace a, b, c, d \ rbrace \ quad \ rbrace

    $ | P (S) | = 2 ^ 4 = 16 $

    Примечание. 0 = 1 $

    Разделение набора

    Разделение множества, скажем, S , представляет собой набор из n непересекающихся подмножеств, скажем, P_1, P_2, \ dots P_n , который удовлетворяет следующим трем условиям:

    • P_i не содержит пустого набора.

      \ lbrack P_i \ ne \ lbrace \ emptyset \ rbrace \ for \ all \ 0 \ lt i \ le n \ rbrack

    • Объединение подмножеств должно равняться всему исходному набору.

      \ lbrack P_1 \ cup P_2 \ cup \ dots \ cup P_n = S \ rbrack

    • Пересечение любых двух различных множеств пусто.

      \ lbrack P_a \ cap P_b = \ lbrace \ emptyset \ rbrace, \ for \ a \ ne b \ where \ n \ ge a, \: b \ ge 0 \ rbrack

    P_i не содержит пустого набора.

    \ lbrack P_i \ ne \ lbrace \ emptyset \ rbrace \ for \ all \ 0 \ lt i \ le n \ rbrack

    Объединение подмножеств должно равняться всему исходному набору.

    \ lbrack P_1 \ cup P_2 \ cup \ dots \ cup P_n = S \ rbrack

    Пересечение любых двух различных множеств пусто.

    \ lbrack P_a \ cap P_b = \ lbrace \ emptyset \ rbrace, \ for \ a \ ne b \ where \ n \ ge a, \: b \ ge 0 \ rbrack

    пример

    Пусть S = \ lbrace a, b, c, d, e, f, g, h \ rbrace

    Одним из вероятных разбиений является \ lbrace a \ rbrace, \ lbrace b, c, d \ rbrace, \ lbrace e, f, g, h \ rbrace

    Другим вероятным разбиением является \ lbrace a, b \ rbrace, \ lbrace c, d \ rbrace, \ lbrace e, f, g, h \ rbrace

    Белл номера

    Числа в колокольчиках подсчитывают количество способов разбить набор. Они обозначаются через B_n , где n — мощность множества.

    Пример

    Пусть S = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace , $ n = | S | = 3 $

    Альтернативные разделы —

    1. \ emptyset, \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace

    2. \ lbrace 1 \ rbrace, \ lbrace 2, 3 \ rbrace

    3. \ lbrace 1, 2 \ rbrace, \ lbrace 3 \ rbrace

    4. \ lbrace 1, 3 \ rbrace, \ lbrace 2 \ rbrace

    5. \ lbrace 1 \ rbrace, \ lbrace 2 \ rbrace, \ lbrace 3 \ rbrace

    Следовательно, B_3 = 5

    Всякий раз, когда обсуждаются наборы, возникает следующая взаимосвязь между элементами наборов. 2 .

    Бинарное отношение R на одном множестве A является подмножеством A \ times A .

    Для двух различных наборов, A и B, имеющих мощности m и n соответственно, максимальная мощность отношения R от A к B равна mn .

    Домен и Диапазон

    Если есть два набора A и B, и отношение R имеет пару порядка (x, y), то —

    • Области R, Dom (R), является множество $ \ lbrace x \: | \: (x, y) \ in R \: for \: some \: y \: in \: B \ rbrace $

    • Диапазон R, Ran (R), — это множество \ lbrace y \: | \: (x, y) \ in R \: for \: some \: x \: in \: A \ rbrace

    Области R, Dom (R), является множество $ \ lbrace x \: | \: (x, y) \ in R \: for \: some \: y \: in \: B \ rbrace $

    Диапазон R, Ran (R), — это множество \ lbrace y \: | \: (x, y) \ in R \: for \: some \: x \: in \: A \ rbrace

    Примеры

    Пусть A = \ lbrace 1, 2, 9 \ rbrace и B = \ lbrace 1, 3, 7 \ rbrace

    • Случай 1 — Если отношение R ‘равно’, то R = \ lbrace (1, 1), (3, 3) \ rbrace

      Dom (R) = \ lbrace 1, 3 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 1, 3 \ rbrace

    • Случай 2 — Если отношение R «меньше», то R = \ lbrace (1, 3), (1, 7), (2, 3), (2, 7) \ rbrace

      Dom (R) = \ lbrace 1, 2 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 3, 7 \ rbrace

    • Случай 3 — Если отношение R «больше чем», то R = \ lbrace (2, 1), (9, 1), (9, 3), (9, 7) \ rbrace

      Dom (R) = \ lbrace 2, 9 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 1, 3, 7 \ rbrace

    Случай 1 — Если отношение R ‘равно’, то R = \ lbrace (1, 1), (3, 3) \ rbrace

    Dom (R) = \ lbrace 1, 3 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 1, 3 \ rbrace

    Случай 2 — Если отношение R «меньше», то R = \ lbrace (1, 3), (1, 7), (2, 3), (2, 7) \ rbrace

    Dom (R) = \ lbrace 1, 2 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 3, 7 \ rbrace

    Случай 3 — Если отношение R «больше чем», то R = \ lbrace (2, 1), (9, 1), (9, 3), (9, 7) \ rbrace

    Dom (R) = \ lbrace 2, 9 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 1, 3, 7 \ rbrace

    Представление отношений с помощью графика

    Отношение может быть представлено с помощью ориентированного графа.

    Количество вершин в графе равно количеству элементов в наборе, из которого определено отношение. Для каждой упорядоченной пары (x, y) в отношении R будет направленное ребро от вершины ‘x’ до вершины ‘y’. Если есть упорядоченная пара (x, x), в вершине ‘x’ будет самоконтроль.

    Предположим, что на множестве S = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace существует отношение R = \ lbrace (1, 1), (1,2), (3, 2) \ rbrace , оно может быть представлен следующим графиком —

    Типы отношений

    • Пустая связь между множествами X и Y, или на E, является пустым множеством \ emptyset

    • Полная связь между множествами X и Y — это множество X \ times Y

    • Отношение идентичности на множестве X — это множество $ \ lbrace (x, x) | x \ in X \ rbrace $

    • Обратная связь R ‘отношения R определяется как — $ R’ = \ lbrace (b, a) | (a, b) \ in R \ rbrace $

      Пример — если R = \ lbrace (1, 2), (2, 3) \ rbrace , то R ‘ будет \ lbrace (2, 1), (3, 2) \ rbrace

    • Отношение R на множестве A называется рефлексивным, если \ forall a \ in A связано с a (выполняется aRa)

      Пример . Отношение R = \ lbrace (a, a), (b, b) \ rbrace на множестве X = \ lbrace a, b \ rbrace является рефлексивным.

    • Отношение R на множестве A называется иррефлексивным, если a \ in A не связано с a (aRa не имеет места).

      Пример — Соотношение R = \ lbrace (a, b), (b, a) \ rbrace на множестве X = \ lbrace a, b \ rbrace нерефлексивно.

    • Отношение R на множестве A называется симметричным, если из xRy следует yRx , \ forall x \ in A и \ forall y \ in A .

      Пример — Соотношение R = \ lbrace (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) \ rbrace на множестве A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace симметричный.

    • Отношение R на множестве A называется антисимметричным, если из xRy и yRx следует x = y \: \ forall x \ in A и \ forall y \ in A .

      Пример . Отношение R = \ lbrace (x, y) \ to N | \: x \ leq y \ rbrace антисимметрично, так как x \ leq y и y \ leq x влечет x = y .

    • Отношение R на множестве A называется транзитивным, если из xRy и yRz следует xRz, \ forall x, y, z \ in A .

      Пример — Соотношение R = \ lbrace (1, 2), (2, 3), (1, 3) \ rbrace на множестве A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace является транзитивным.

    • Отношение — это отношение эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

      Пример — Соотношение R = \ lbrace (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2,1), (2,3), (3,2) , (1,3), (3,1) \ rbrace на множестве A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace является отношением эквивалентности, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

    Пустая связь между множествами X и Y, или на E, является пустым множеством \ emptyset

    Полная связь между множествами X и Y — это множество X \ times Y

    Отношение идентичности на множестве X — это множество $ \ lbrace (x, x) | x \ in X \ rbrace $

    Обратная связь R ‘отношения R определяется как — $ R’ = \ lbrace (b, a) | (a, b) \ in R \ rbrace $

    Пример — если R = \ lbrace (1, 2), (2, 3) \ rbrace , то R ‘ будет \ lbrace (2, 1), (3, 2) \ rbrace

    Отношение R на множестве A называется рефлексивным, если \ forall a \ in A связано с a (выполняется aRa)

    Пример . Отношение R = \ lbrace (a, a), (b, b) \ rbrace на множестве X = \ lbrace a, b \ rbrace является рефлексивным.

    Отношение R на множестве A называется иррефлексивным, если a \ in A не связано с a (aRa не имеет места).

    Пример — Соотношение R = \ lbrace (a, b), (b, a) \ rbrace на множестве X = \ lbrace a, b \ rbrace нерефлексивно.

    Отношение R на множестве A называется симметричным, если из xRy следует yRx , \ forall x \ in A и \ forall y \ in A .

    Пример — Соотношение R = \ lbrace (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) \ rbrace на множестве A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace симметричный.

    Отношение R на множестве A называется антисимметричным, если из xRy и yRx следует x = y \: \ forall x \ in A и \ forall y \ in A .

    Пример . Отношение R = \ lbrace (x, y) \ to N | \: x \ leq y \ rbrace антисимметрично, так как x \ leq y и y \ leq x влечет x = y .

    Отношение R на множестве A называется транзитивным, если из xRy и yRz следует xRz, \ forall x, y, z \ in A .

    Пример — Соотношение R = \ lbrace (1, 2), (2, 3), (1, 3) \ rbrace на множестве A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace является транзитивным.

    Отношение — это отношение эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

    Пример — Соотношение R = \ lbrace (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2,1), (2,3), (3,2) , (1,3), (3,1) \ rbrace на множестве A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace является отношением эквивалентности, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

    Функция назначает каждому элементу набора ровно один элемент связанного набора. Функции находят свое применение в различных областях, таких как представление вычислительной сложности алгоритмов, подсчет объектов, изучение последовательностей и строк и многое другое. Третья и последняя глава этой части освещает важные аспекты функций.

    Функция — Определение

    Функция или отображение (определенное как f: X \ rightarrow Y ) представляет собой отношение элементов одного набора X к элементам другого набора Y (X и Y являются непустыми наборами). 2 не сюръективно, поскольку мы не можем найти вещественное число, квадрат которого отрицателен.

    Биектив / Один-на-один Корреспондент

    Функция f: A \ rightarrow B является биективной или взаимно-однозначной, если и только если f одновременно инъективна и сюръективна.

    проблема

    Докажите, что функция f: R \ rightarrow R , определенная как f (x) = 2x — 3 , является биективной функцией.

    Пояснение — Мы должны доказать, что эта функция является и инъективной, и сюръективной.

    Если f (x_1) = f (x_2) , то 2x_1 — 3 = 2x_2 — 3 , и это означает, что x_1 = x_2 .

    Следовательно, f инъективен .

    Здесь 2x — 3 = y

    Итак, x = (y + 5) / 3 , принадлежащая R, и f (x) = y .

    Следовательно, f сюръективно .

    Поскольку f одновременно сюръективен и инъективен , мы можем сказать, что f биективен .

    Обратная функция

    Обратной к функции «один к одному» f: A \ rightarrow B , является функция g: B \ rightarrow A , обладающая следующим свойством:

    f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x

    Функция f называется обратимой , если существует ее обратная функция g. 2 .

    Композиция функций

    Две функции f: A \ rightarrow B и g: B \ rightarrow C могут быть составлены так, чтобы получить композицию gof . Это функция из A в C, определяемая как (gof) (x) = g (f (x))

    пример

    Пусть f (x) = x + 2 и g (x) = 2x + 1 , найдите (туман) (x) и (gof) (x) .

    Решение

    (туман) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3

    (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5

    Следовательно, (туман) (x) \ neq (gof) (x)

    Некоторые факты о композиции

    • Если f и g взаимно однозначны, то функция (gof) также взаимно однозначна.

    • Если f и g на, то функция (gof) также на.

    • Композиция всегда обладает ассоциативным свойством, но не обладает коммутативным свойством.

    Если f и g взаимно однозначны, то функция (gof) также взаимно однозначна.

    Если f и g на, то функция (gof) также на.

    Композиция всегда обладает ассоциативным свойством, но не обладает коммутативным свойством.

    Правила математической логики определяют методы обоснования математических утверждений. Греческий философ Аристотель был пионером логических рассуждений. Логические рассуждения обеспечивают теоретическую основу для многих областей математики и, следовательно, информатики. Он имеет множество практических приложений в области компьютерных наук, таких как проектирование вычислительных машин, искусственный интеллект, определение структур данных для языков программирования и т. Д.

    Логика высказываний связана с утверждениями, которым могут быть присвоены значения истинности «истина» и «ложь». Цель состоит в том, чтобы проанализировать эти утверждения по отдельности или в совокупности.

    Предлогическая логика — определение

    Предложение — это совокупность декларативных утверждений, которые имеют либо значение истины «истина», либо значение истины «ложь». Пропозициональное предложение состоит из пропозициональных переменных и связок. Мы обозначаем пропозициональные переменные заглавными буквами (A, B и т. Д.). Связки соединяют пропозициональные переменные.

    Некоторые примеры предложений приведены ниже —

    • «Человек — смертный», он возвращает истинное значение «ИСТИНА»
    • «12 + 9 = 3 — 2», возвращает значение истинности «ЛОЖЬ»

    Следующее не является предложением —

    Дискретная математика — Функции — CoderLessons.com

    Функция назначает каждому элементу набора ровно один элемент связанного набора. Функции находят свое применение в различных областях, таких как представление вычислительной сложности алгоритмов, подсчет объектов, изучение последовательностей и строк и многое другое. Третья и последняя глава этой части освещает важные аспекты функций.

    Функция — Определение

    Функция или отображение (определенное как f:X rightarrowY) представляет собой отношение элементов одного набора X к элементам другого набора Y (X и Y являются непустыми наборами). X называется Доменом, а Y — Кодоменом функции ‘f’.

    Функция ‘f’ представляет собой отношение на X и Y такое, что для каждого x inX существует единственный y inY, такой что (x,y) inR. «x» называется предварительным изображением, а «y» — изображением функции f.

    Функция может быть один к одному или много к одному, но не один ко многим.

    Инъективная / индивидуальная функция

    Функция f:A rightarrowB является инъективной или взаимно-однозначной функцией, если для каждого b inB существует не более одного a inA, такого что f(s)=t ,

    Это означает, что функция f инъективна, если из a1 nea2 следует f(a1) nef(a2).

    пример

    • f:N rightarrowN,f(x)=5x инъективно.

    • f:N rightarrowN,f(x)=x2 инъективно.

    • f:R rightarrowR,f(x)=x2 не является инъективным, так как (−x)2=x2

    f:N rightarrowN,f(x)=5x инъективно.

    f:N rightarrowN,f(x)=x2 инъективно.

    f:R rightarrowR,f(x)=x2 не является инъективным, так как (−x)2=x2

    Surctive / Onto function

    Функция f:A rightarrowB сюръективна (на), если образ f равен его диапазону. Эквивалентно, для каждого b inB существует такой a inA, что f(a)=b. Это означает, что для любого y в B существует такое x в A, что y=f(x).

    пример

    • f:N rightarrowN,f(x)=x+2 сюръективно.

    • f:R rightarrowR,f(x)=x2 не сюръективно, поскольку мы не можем найти вещественное число, квадрат которого отрицателен.

    f:N rightarrowN,f(x)=x+2 сюръективно.

    f:R rightarrowR,f(x)=x2 не сюръективно, поскольку мы не можем найти вещественное число, квадрат которого отрицателен.

    Биектив / Один-на-один Корреспондент

    Функция f:A rightarrowB является биективной или взаимно-однозначной, если и только если f одновременно инъективна и сюръективна.

    проблема

    Докажите, что функция f:R rightarrowR, определенная как f(x)=2x−3, является биективной функцией.

    Пояснение — Мы должны доказать, что эта функция является и инъективной, и сюръективной.

    Если f(x1)=f(x2), то 2×1−3=2×2−3, и это означает, что x1=x2.

    Следовательно, f инъективен .

    Здесь 2x−3=y

    Итак, x=(y+5)/3, принадлежащая R, и f(x)=y.

    Следовательно, f сюръективно .

    Поскольку f одновременно сюръективен и инъективен , мы можем сказать, что f биективен .

    Обратная функция

    Обратной к функции «один к одному» f:A rightarrowB, является функция g:B rightarrowA, обладающая следующим свойством:

    f(x)=y Leftrightarrowg(y)=x

    Функция f называется обратимой , если существует ее обратная функция g.

    пример

    • Функция f:Z rightarrowZ,f(x)=x+5, обратима, поскольку имеет обратную функцию g:Z rightarrowZ,g(x)=x−5.

    • Функция f:Z rightarrowZ,f(x)=x2 не является обратимой, поскольку она не взаимно-однозначна, как (−x)2=x2.

    Функция f:Z rightarrowZ,f(x)=x+5, обратима, поскольку имеет обратную функцию g:Z rightarrowZ,g(x)=x−5.

    Функция f:Z rightarrowZ,f(x)=x2 не является обратимой, поскольку она не взаимно-однозначна, как (−x)2=x2.

    Композиция функций

    Две функции f:A rightarrowB и g:B rightarrowC могут быть составлены так, чтобы получить композицию gof. Это функция из A в C, определяемая как (gof)(x)=g(f(x))

    пример

    Пусть f(x)=x+2 и g(x)=2x+1, найдите (туман)(x) и (gof)(x).

    Решение

    (туман)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=2x+1+2=2x+3

    (gof)(x)=g(f(x))=g(x+2)=2(x+2)+1=2x+5

    Следовательно, (туман)(x) neq(gof)(x)

    Если f и g взаимно однозначны, то функция (gof) также взаимно однозначна.

    Если f и g на, то функция (gof) также на.

    Композиция всегда обладает ассоциативным свойством, но не обладает коммутативным свойством.

    НОУ ИНТУИТ | Учебный видеокурс

    Опубликован: 24.11.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

    Дискретная математика — одна из важнейших составляющих современной математики. С одной стороны, она включает фундаментальные основы математики — теорию множеств, математическую логику, теорию алгоритмов; с другой стороны, является основным математическим аппаратом информатики и вычислительной техники и потому служит базой для многочисленных приложений в экономике, технике, социальной сфере.

    В отличие от традиционной математики (математического анализа, линейной алгебры и др.), методы и конструкции которой имеют в основном числовую интерпретацию, дискретная математика имеет дело с объектами нечисловой природы: множествами, логическими высказываниями, алгоритмами, графами. Благодаря этому обстоятельству дискретная математика впервые позволила распространить математические методы на сферы и задачи, которые ранее были далеки от математики. Примером могут служить методы моделирования различных социальных и экономических процессов. Знание теории множеств, алгебры, математической логики и теории графов совершенно необходимо для четкой формулировки понятий и постановок различных прикладных задач, их формализации и компьютеризации, а также для усвоения и разработки современных информационных технологий. Понятия и методы теории алгоритмов и алгебры логики лежат в основе современной теории и практики программирования. Курс предусматривает изучение: языка дискретной математики, таких ее основных понятий, как множества, функции, отношения; основ комбинаторики, элементов общей алгебры; введения в математическую логику; теории графов.

    Цель: Дать представление о теоретических основах современных информационных технологий; научить пользоваться методами дискретной математики (в частности, методами комбинаторики, теории отношений, теории графов, математической логики) для формализации и решения прикладных задач.

    Необходимые знания: Изучение курса не требует предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней школы.

    Дискретная математика — Карта знаний

    Анализ как современный раздел математики — значительная часть математики, исторически выросшая из классического математического анализа, и охватывающая, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественной и комплексной переменной, теории дифференциальных и интегральных уравнений, вариационное исчисление, гармонический анализ, функциональный анализ, теорию динамических систем и эргодическую теорию, глобальный анализ. Нестандартный… Комбина́торная ло́гика — направление математической логики, занимающееся фундаментальными (то есть не нуждающимися в объяснении и не анализируемыми) понятиями и методами формальных логических систем или исчислений. В дискретной математике комбинаторная логика тесно связана с лямбда-исчислением, так как описывает вычислительные процессы. Функциональный анализ — раздел анализа, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства и их отображения. Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров. Комбинато́рика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана с другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике). Матема́тика (др.-греч. μᾰθημᾰτικά Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими алгебраическими конструкциями, как группы, кольца, модули, решётки, вводя присущие им всем понятия и общие для всех них утверждения и результаты. Является разделом, занимающим промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам. Вторичное дифференциа́льное исчисле́ние — раздел современной математики, который расширяет классическое дифференциальное исчисление на многообразиях до пространства решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Заслуга открытия вторичного дифференциального исчисления принадлежит профессору Александру Михайловичу Виноградову. Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий… Тео́рия алгори́тмов — наука, находящаяся на стыке математики и информатики, изучающая общие свойства и закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества алгоритмов и т. п. Вместе с математической логикой теория алгоритмов… Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств. Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики». Теория представлений — раздел математики, изучающий абстрактные алгебраические структуры с помощью представления их элементов в виде линейных преобразований векторных пространств. В сущности, представление делает абстрактные алгебраические объекты более конкретными, описывая их элементы матрицами, а операции сложения и умножения этих объектов — сложением и умножением матриц. Среди объектов, поддающихся такому описанию, находятся группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее известной (и, исторически… Теория функций вещественной переменной (или теория функций действительного переменного) — раздел анализа, нацеленный на углублённое изучение двух понятий «классического» математического анализа: производной и интеграла. Символьные вычисления — это преобразования и работа с математическими равенствами и формулами как с последовательностью символов. Они отличаются от численных расчётов, которые оперируют приближёнными численными значениями, стоящими за математическими выражениями. Системы символьных вычислений (их так же называют системами компьютерной алгебры) могут быть использованы для символьного интегрирования и дифференцирования, подстановки одних выражений в другие, упрощения формул и т. д. А́лгебра (от араб. الْجَبْر‎, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел. Теория автоматов — раздел дискретной математики, изучающий абстрактные автоматы — вычислительные машины, представленные в виде математических моделей — и задачи, которые они могут решать. Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре. Задача выполнимости формул в теориях (англ. satisfiability modulo theories, SMT) — это задача разрешимости для логических формул с учётом лежащих в их основе теорий. Примерами таких теорий для SMT-формул являются: теории целых и вещественных чисел, теории списков, массивов, битовых векторов и т. п. Комбинаторная оптимизация — область теории оптимизации в прикладной математике, связанная с исследованием операций, теорией алгоритмов и теорией вычислительной сложности. Проклятие размерности (ПР) — термин, используемый в отношении ряда свойств многомерных пространств и комбинаторных задач. В первую очередь это касается экспоненциального роста необходимых экспериментальных данных в зависимости от размерности пространства при решении задач вероятностно-статистического распознавания образов, машинного обучения, классификации и дискриминантного анализа. Также это касается экспоненциального роста числа вариантов в комбинаторных задачах в зависимости от размера исходных… Структурное прогнозирование или структурное обучение является собирательным термином для техник обучения машин с учителем, которые вовлекают предвидение структурных объектов, а не скалярных дискретных или вещественных значений. Структурная индукция — конструктивный метод математического доказательства, обобщающий математическую индукцию (применяемую над натуральным рядом) на произвольные рекурсивно определённые частично упорядоченные совокупности. Структурная рекурсия — реализация структурной индукции в форме определения, процедуры доказательства или программы, обеспечивающая индукционный переход над частично упорядоченной совокупностью. Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики (раздела математики), рассматривающая существование, построение и свойства семейств конечных множеств, структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии. Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах, а в другом случае могут отражать расположение…

    Подробнее: Комбинаторная схема

    Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона. Коиндукция в информатике — метод для определения и доказательства свойств систем параллельно взаимодействующих объектов (обобщённо). С математической точки зрения является дуальной к структурной индукции. Эрлангенская программа — выступление 23-летнего немецкого математика Феликса Клейна в Эрлангенском университете (октябрь 1872 года), в котором он предложил общий алгебраический подход к различным геометрическим теориям и наметил перспективный путь их развития. Доклад был связан с процедурой утверждения Клейна в должности профессора и был опубликован в том же году. Первый русский перевод появился в 1895 году. Геометрическое программирование — раздел математического программирования, изучающий подход к решению нелинейных задач оптимизации специальной структуры. Термин впервые ввели в 1967 году Р. Даффин, Э. Питерсон и К. Зенер. Название дисциплины связано с тем, что одним из основных в излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения. Предпосылкой к развитию ГП послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Базовым понятием ГП… Экспериментальная математика — область математики, отличающаяся использованием различных приёмов, в т. ч. приёмов подстановки, перемещения, доказательств от обратного, в т.ч. с использованием электронно-вычислительных инструментов для проверки, подтверждения старых и получения новых фактов (теорем) в математике. Все результаты, полученные в экспериментальной математике, являются строго доказанными утверждениями математики. Строго говоря, любые доказательства, выкладки, вычисления и т.д. являются… Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры. Дробно-линейное программирование (ДЛП) — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах отношений линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Теоретическая информатика — это научная область, предметом изучения которой являются информация и информационные процессы, в которой осуществляется изобретение и создание новых средств работы с информацией. Это подразделение общей информатики и математики, которое сосредотачивается на более абстрактных или математических аспектах вычислительной техники и включает в себя теорию алгоритмов. Вычислительная среда (англ. computational environment) — это совокупность объектов, участвующих в вычислениях, причем каждый раз требуется определение того, что считается объектом, и что понимается под вычислениями, то есть трактовка этих терминов зависит от контекста употребления. Так, например, в программной инженерии под вычислительной средой понимается совокупность программных компонентов и сервисов, интегрируемых в рамках одного приложения (реализующего некоторый процесс в определенной предметной… Машинное обучение (англ. machine learning, ML) — класс методов искусственного интеллекта, характерной чертой которых является не прямое решение задачи, а обучение в процессе применения решений множества сходных задач. Для построения таких методов используются средства математической статистики, численных методов, методов оптимизации, теории вероятностей, теории графов, различные техники работы с данными в цифровой форме. Универсальная алгебраическая геометрия (другое название — алгебраическая геометрия над алгебраическими системами) — направление в математике, изучающее связи между элементами алгебраической системы, выражаемые на языке алгебраических уравнений над алгебраическими системами. Классическая алгебраическая геометрия — это конкретный пример алгебраической геометрии над алгебраическими системами для случая алгебраического поля, в универсальном случае используется инструментарий универсальной алгебры для… Ядерные методы в машинном обучении — это класс алгоритмов распознавания образов, наиболее известным представителем которого является метод опорных векторов (МОВ, англ. SVM). Общая задача распознавания образов — найти и изучить общие типы связей (например, кластеров, ранжирования, главных компонент, корреляций, классификаций) в наборах данных. Для многих алгоритмов, решающих эти задачи, данные, представленные в сыром виде, явным образом преобразуются в представление в виде вектора признаков посредством…

    Подробнее: Ядерный метод

    Метод конечных элементов (МКЭ) — это численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики. Алгоритмическая теория информации — это область информатики, которая пытается уловить суть сложности, используя инструменты из теоретической информатики. Главная идея — это определить сложность (или описательную сложность, колмогоровскую сложность, сложность Колмогорова-Хайтина) строки как длину кратчайшей программы, которая выводит заданную строку. Строки, которые могут выводиться короткими программами, рассматриваются как не очень сложные. Эта нотация удивительно глубока и может быть использована… Прикладна́я матема́тика — область математики, рассматривающая применение математических методов, алгоритмов в других областях науки и техники. Примерами такого применения будут: численные методы, математическая физика, линейное программирование, оптимизация и исследование операций, моделирование сплошных сред (Механика сплошных сред), биоматематика и биоинформатика, теория информации, теория игр, теория вероятностей и статистика, финансовая математика и актуарные расчёты, криптография, а следовательно… Сема́нтика в программировании — дисциплина, изучающая формализации значений конструкций языков программирования посредством построения их формальных математических моделей. В качестве инструментов построения таких моделей могут использоваться различные средства, например, математическая логика, λ-исчисление, теория множеств, теория категорий, теория моделей, универсальная алгебра. Формализация семантики языка программирования может использоваться как для описания языка, определения свойств языка… Квантовые методы Монте-Карло — большая семья методов, для исследования сложных квантовых систем. Одна из главных задач — обеспечить надёжное решение (или достаточно точное приближение) квантовой задачи многих тел. Различные варианты этого метода имеют общую особенность: они используют метод Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов, возникающих в различных формулировках задачи многих тел. Квантовые методы Монте-Карло позволяют описывать сложные эффекты многих частиц, зашифрованные в волновой… Квантовое машинное обучение — раздел науки на стыке квантовой физики и информатики, в котором разрабатываются и изучаются методы машинного обучения, способные эффективно задействовать параллелизм квантовых компьютеров. Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры. Аппликативное программирование — один из видов декларативного программирования, в котором написание программы состоит в систематическом осуществлении применения одного объекта к другому. Результатом такого применения вновь является объект, который может участвовать в применениях как в роли функции, так и в роли аргумента и так далее. Это делает запись программы математически ясной. Тот факт, что функция обозначается выражением, свидетельствует о возможности использования значений-функций — функциональных… Иные значения см. разделе в Компьютерное моделирование.Теория вычислимости и теория сложности вычислений трактует модель вычисления (англ. model of computation) не только как определение множества допустимых операций, использованных для вычисления, но также и относительных издержек их применения. Охарактеризовать необходимые вычислительные ресурсы — время выполнения, объём памяти, а также ограничения алгоритмов или компьютера — можно только в том случае, если выбрана определённая модель вычислений…

    Подробнее: Модель вычислений

    Функциона́льное программи́рование — раздел дискретной математики и парадигма программирования, в которой процесс вычисления трактуется как вычисление значений функций в математическом понимании последних (в отличие от функций как подпрограмм в процедурном программировании). Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

    Подробнее: Измеримая функция

    Алгебра и математическая математика

    Алгебра и дискретная математика

    Алгебра и дискретная математика для информатики и мировой информации — Проф. Каригл
    TU Wien, 2018S


    Aktuelle Информация:

    Herzlich willkommen zur Mathematik für Informatik und Wirtschaftsinformatik!

    Die Vorlesung beginnt am Montag, 5.März 2018 und Findet jeweils Montag, 13:15 — 14:45 Uhr im Hörsaal HS 17 und Mittwoch, 08:30 — 10:00 в Hörsaal HS 13 (Hauptgebäude) statt.
    Alle Informationen zu den Übungen erfahren Sie in der Übungsvorbesprechung , welche ebenfalls am Montag, 5. März 2018 in der Vorlesung abgehalten wird. Die ersten Übungen finden je nach Übungsgruppe ab 19. März 2018 statt.

    Achtung : Im Fall von Abweichungen zu Informationen in TISS gelten die Informationen auf dieser Seite.

    ВОРЛЕСУНГ

    Inhaltsübersicht:

    • 1 Grundlagen (Бучкапитель 1.1 — 1.5)
      • Захлен
      • Elementare Zahlentheorie
      • Elementare Aussagenlogik
      • Менген
      • Relationen und Funktionen
    • 2 Diskrete Mathematik (Бучкапитель 2.1 — 2.3, 7.1 — 7.3)
      • Комбинаторик
      • Differenzengleichungen 1.und 2. Ordnung
      • Graphentheorie
      • Algebraische Strukturen
    • 3 Lineare Algebra (Бучкапитель 3.1 — 3.9)
      • Вектор
      • Матризен
      • Lineare Abbildungen
      • Lineare Gleichungssysteme
      • Gruppen- und Linearcodes
      • Детерминантен
      • Eigenwerte und Eigenvektoren
      • Скаларпродукт
      • Тензорен

    Literatur: Дрмота, Гиттенбергер, Каригл, Панхольцер: Mathematik für Информатик.Heldermann Verlag, 2014. (Die oben angegebenen Buchkapitel beziehen sich auf dieses Buch.)
    Brill: Mathematik für Informatiker. Hanser Verlag, 2005.

    .

    Цена:

    Die Prüfung zur Vorlesung wird in schriftlicher Form abgehalten und dauert 100 минут. Dabei sind in der Regel drei praktische Aufgaben (zur Orientierung dienen die Übungsaufgaben) und zwei Theoretische Aufgaben (Erklärung von Begriffen, Sätze, kurze Beweise oder Beweisskizzen, Zusammenhänge) zu lösen.Prüfungsstoff ist der gesamte Vorlesungsstoff, insbesondere также auch jene Gebiete, die in der Übung nicht behandelt werden (letzte Vorlesungs-Woche)! Eine Musterprüfung können Sie sich hier ansehen.

    Eine Übersicht über die Prüfungstermine finden Sie в TISS, wo auch die Anmeldung zur Prüfung erfolgt. Die Prüfungsergebnisse werden etwa zwei bis drei Wochen nach der Prüfung bekannt gegeben.

    Als Hilfsmittel kann folgende Formelsammlung (ohne Ergänzungen!) verwendet werden: «Mathematische Formelsammlung» фон Гётц / Крафт / Unfried im öbv-Verlag.Vorlesungsmitchriften, Übungsunterlagen und andere Formelsammlungen sind nicht erlaubt! Auch die Verwendung von Taschenrechnern ist bei der Prüfung nicht gestattet .


    ÜBUNG

    Anmeldung zur Übung:

    Die Übung wird in Gruppen zu anfänglich je 30-40 Studierenden abgehalten. Bitte Melden Sie sich vom 5.bis 11. März 2018 über TISS für eine Übungsgruppe an.

    Die Gruppengrößen werden während der Anmeldung laufend angepasst, es bekommen alle einen Platz! Achtung: Nach dem Anmeldeschluss ist eine Anoder Abmeldung zur Übung nicht mehr möglich.

    Übungsmodus:

    In den Übungen besteht Anwesenheitspflicht.

    Jede Woche werden Übungsbeispiele und — Fall Es die Zeit erlaubt — Themen aus der Vorlesung oder ergänzende Themen besprochen.Умереть Übungsbeispiele sind von den Studierenden als Hausübung vorzubereiten und in der Übung vorzurechnen. Ювелирные изделия Welche Beispiele vorzubereiten sind, erfahren Sie weiter unten.

    Bis zum Ende des jeweiligen Abgabetermins (d.i. in der Regel 23:55 Uhr am Tag vor der jeweiligen Übungsstunde) geben Sie über TUWEL bekannt, Welche Beispiele Sie gelöst haben. Zu diesen Beispielen können Sie aufgerufen Верден. Achtung : Bei Versäumen des Abgabetermins werden Ihnen keine Beispiele angerechnet! Ein nachträgliches Ankreuzen in der Übungsstunde ist nicht möglich!

    Wenn Sie in der Übung aufgerufen werden, lösen Sie die betreffende Aufgabe an der Тафель.Der verwendete Lösungsweg ist jedenfalls zu erklären und zu Begründen. Versuchen Sie dabei, auf Sätze aus der Vorlesung und auf andere Übungsbeispiele zurückzugreifen. Ihre Erläuterungen gehen bei der Beurteilung wesentlich ein.

    Dreimal im Semester findet ein schriftlicher Test statt. Prüfungsstoff eines Tests sind alle in der Übung seit dem letzten Test (bzw. seit Beginn der Übung) behandelten Themen.

    Für eine positive Beurteilung müssen die folgenden drei Bedingungen erfüllt sein:

    • Sie müssen mindestens 60% der Beispiele lösen.
    • Ihre Leistungen an der Tafel müssen insgesamt positiv sein.
    • Übungstests: Pro Test sind 20 Punkte erreichbar. Bei den zwei besseren Tests müssen Sie in Summe mindestens die Hälfte der maximal möglichen Punkte erreichen, d.h., die Summe der beiden besseren Testergebnisse muss mindestens 20 Punkte betragen. Zur Gesamtbeurteilung werden jedoch alle drei Тесты herangezogen.

    В бегрундетен Ауснахмефеллен (г.B. Krankheit) besteht die Möglichkeit, versäumte Beispiele innerhalb von 14 Tagen nachzubringen. Der Grund der Abwesenheit ist entsprechend zu belegen.

    Übungsaufgaben:

    Die Angaben zu den Übungsaufgaben finden Sie hier.

    Hier finden Sie zusätzlich eine umfangreiche Beispielsammlung zum selber üben.

    Die Übungen beginnen je nach Gruppe an folgenden Tagen:

    • Montag-Gruppen: 19.03.2018
    • Миттвох-Групп: 21.03.2018

    Folgende Beispiele aus der Übungssammlung sind vorzubereiten:

    Датаум Beispiele
    Montag-Gruppen
    Beispiele
    Mittwoch-Gruppen
    кВт 12: 19.03. — 23.03.2018 1–6 1–6
    кВт 13, 14 Остерфериен Остерфериен
    кВт 15:09.03. — 13.04.2018 7–12 7–12
    кВт 16: 16.04. — 20.04.2018 13–18 13–18
    кВт 17: 23.04. — 27.04.2018 1. Тест , 19 — 21 1. Тест , 19 — 21
    кВт 18: 30.04. — 04.05.2018 22–27 22–27
    кВт 19: 07.05. — 09.05.2018 28–33 28–33
    кВт 20: 14.05. — 18.05.2018 34–39 34–39
    кВт 21 entfällt entfällt
    кВт 22: 28.05. — 01.06.2018 2. Тест , 40 — 42 2. Тест , 40 — 42
    кВт 23: 04.06. — 08.06.2018 43–48 43–48
    кВт 24: 11.06. — 15.06.2018 49–54 49–54
    кВт 25: 18.06. — 22.06.2018 55–60 55–60
    кВт 26: 25.06. — 29.06.2018 3. Тест , 61–63 3. Тест , 61–63

    Gruppeneinteilung:

    • Gruppe G1: Пн, 09:15 — 10:45 Uhr, EI 8
    • Gruppe G2: Пн, 09:15 — 10:45 Uhr, HS 15
    • Gruppe G3: Mi, 13:15 — 14:45 Uhr, EI 1
    • Gruppe G4: Mi, 15:15 — 16:45 Uhr, EI 1
    • Gruppe G6: Mi, 17:15 — 18:45 Uhr, FH HS 2

    Letzte Änderung am 06.06.2018 фон Г. Каригл

    Diskrete Verteilung — Mathebibel.de

    В diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine diskrete Verteilung ist.
    [ Альтернативный номер: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]

    Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an,
    wie sich die Wahrscheinlichkeiten
    auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

    Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen lässt sich beschreiben durch:

    Beispiel

    Die Zufallsvariable \ (X \) sei die Augenzahl beim Wurf eines symrischen Würfels.

    Es gibt sechs mögliche Realisationen:
    \ (x_1 = 1 \), \ (x_2 = 2 \), \ (x_3 = 3 \), \ (x_4 = 4 \), \ (x_5 = 5 \), \ ( х_6 = 6 \)

    Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
    \ (p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \ frac {1} {6} \)

    1.) Wahrscheinlichkeitsfunktion

    \ [\ begin {уравнение *} f (x) = \ begin {cases} \ frac {1} {6} & \ text {für} x = 1 \\ \ frac {1} {6} & \ text { für} x = 2 \\ \ frac {1} {6} & \ text {für} x = 3 \\ \ frac {1} {6} & \ text {für} x = 4 \\ \ frac {1} {6} & \ text {für} x = 5 \\ \ frac {1} {6} & \ text {für} x = 6 \\ 0 & \ text {sonst} \ end {cases} \ end {формула * } \]

    Мерке: \ (f (x) = P (X = x) \)

    2.) Verteilungsfunktion

    \ [\ begin {уравнение *} F (x) = \ begin {cases} 0 & \ text {für} x <1 \\ \ frac {1} {6} & \ text {für} 1 \ le x < 2 \\ \ frac {2} {6} & \ text {für} 2 \ le x <3 \\ \ frac {3} {6} & \ text {für} 3 \ le x <4 \\ \ frac { 4} {6} & \ text {für} 4 \ le x <5 \\ \ frac {5} {6} & \ text {für} 5 \ le x <6 \\ 1 & \ text {für} x \ ge 6 \ end {cases} \ end {формула *} \]

    Мерк: \ (F (x) = P (X \ le x) \)

    Die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion enthalten die gleiche Information.
    Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Информация.

    Beispiele für diskrete Verteilungen

    • Binomialverteilung
    • Hypergeometrische Verteilung
    • Poisson-Verteilung

    Wir merken uns:

    Eine diskrete Verteilung lässt sich entweder

    vollständig beschreiben.

    Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig.Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

    Diskrete Mathematik — Mathepedia

    Die diskrete Mathematik как Zweig der Mathematik befasst sich mit Mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu anderen Gebieten wie der Analysis, die sich mit kontinuierlichen Strukturen beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht gebraucht.Anschaulich kann man sich den Begriff diskret als eckig verdeutlichen. Die diskrete Mathematik ist ein recht junges Gebiet. Ein wesentlicher Faktor in ihrer Entwicklung war das Aufkommen des binär rechnenden Computers, der systembedingt mit diskreten Zuständen arbeitet. Mangels Alternativen waren die Mathematiker gezwungen, Gebiete, die bisher rein stetig behandelt worden waren, auf zugrundeliegende diskrete Mengen zu überführen, um die Korrektheit umfangreicher maschineller Berechnungen durgendelt nzrusichern, die bisher rein stetig behandelt worden waren.Dabei sind vor allen Dingen die Bemühungen auf dem Gebiet der numerischen Mathematik zu würdigen, die der Beseitigung von Rundungsfehlern dienen, die durch die Diskretisierung hervorgerufen werden. Als ein Beispiel für die Auswirkung solcher Fehler kann die Simulation eines Physikalischen Pendels dienen. Wird die Auslenkung des Pendels auf herkömmliche Weise berechnet, поэтому kann man beobachten, wie das Pendel in der Simulation immer stärker ausschwingt, был einem Perpetuum Mobile entspräche.

    Zu den Kerngebieten der diskreten Mathematik zählen:

    Darüber hinaus hat die diskrete Mathematik in folgenden Gebieten zusätzliche Beiträge geliefert:

    • Weitere Beiträge der Numerik zur Verbesserung des diskreten Rechnens lassen sich auf den Gebieten der linearen und diskreten Optimierung (welche über kombinatorische Aufgaben hinausgeht) finden.
    • Die diskrete Mathematik hat viele Berührungspunkte mit der Algebra und der Zahlentheorie,
    • In der Geometrie gibt es das Teilgebiet der diskreten Geometrie.
    • In der Berechenbarkeitstheorie, die ein Teilgebiet der Theoretischen Informatik ist, benötigt man endliche Automaten, die in der diskreten Mathematik untersucht werden.

    Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik Studiert haben.

    Архимед

    Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Thomas Stеιnfеld • Дорфплац 25 • 17237 Бланкенсее • Тел .: 01734332309 (Vodafone / D2) • Почта: cο@maτhepedιa.dе

    Дискретная математика — Журнал — Elsevier

    Дискретная математика представляет собой общий форум для значительных исследований во многих областях дискретной математики и комбинаторики .

    Области исследований, охватываемые дискретной математикой, включают теорию графов и гиперграфов, перечисление, теорию кодирования, блочные конструкции, комбинаторику частично упорядоченных множеств…

    Прочитайте больше

    Дискретная математика представляет собой общий форум для значительных исследований во многих областях дискретной математики и комбинаторики .

    Области исследований, охватываемые дискретной математикой, включают теорию графов и гиперграфов, перечисление, теорию кодирования, блочные конструкции, комбинаторику частично упорядоченных множеств, теорию экстремальных множеств, теорию матроидов, алгебраическую комбинаторику, дискретную геометрию, матрицы, дискретную вероятность и части. криптографии.

    Дискретная математика обычно не включает в себя исследования динамических систем, дифференциальных уравнений или дискретных лапласовских операторов. Он также не публикует статьи, которые в основном посвящены линейной алгебре, абстрактным алгебраическим структурам или нечетким множествам, если они не имеют непосредственного отношения к одной из основных областей интересов. Кроме того, статьи, посвященные главным образом прикладным задачам или результатам экспериментов, выходят за рамки нашей компетенции.

    Публикации в журнале включают исследовательские статьи (статьи или примечания, в зависимости от объема) и обзорные / разъяснительные статьи (перспективы).Прилагаются усилия для быстрой обработки примечаний (коротких статей). В разделе «Перспективы» представлены доступные для широкой аудитории пояснительные статьи, которые проливают новый свет или представляют объединяющие точки зрения на известные или недостаточно известные темы.

    Discrete Mathematics также периодически издает специальные выпуски, содержащие избранные статьи. Такие выпуски полностью реферированы и соответствуют нормальным высоким стандартам журнала.

    Этот журнал имеет открытый архив.Все опубликованные элементы, включая исследовательские статьи, имеют неограниченный доступ и будут постоянно доступны для чтения и загрузки через 48 месяцев после публикации. Все документы в Архиве подлежат пользовательской лицензии Elsevier.

    Скрыть полную цель и объем

    GAP Система для вычислительной дискретной алгебры

    Добро пожаловать в

    GAP — Группы, алгоритмы, программирование —
    Система для вычислительной дискретной алгебры

    Текущая версия ПРОБЕЛ 4.11.0 выпущен 29 февраля 2020 г.


    Что такое GAP?

    GAP — это система для вычислительной дискретной алгебры, с особый упор на Вычислительная теория групп. GAP обеспечивает язык программирования, библиотека из тысяч функции, реализующие алгебраические алгоритмы, написанные также на языке GAP как большие библиотеки данных алгебраические объекты. См. Также обзор и описание математические возможности. GAP используется в исследования и обучение для обучающихся групп и их представительств, кольца, векторные пространства, алгебры, комбинаторные структуры и многое другое.Система, включая источник, распространяется свободно. Вы можете изучить и легко изменить или расширить его для специального использования.

    В июле 2008 г. компания GAP получила сертификат ACM / SIGSAM . Ричард Димик Дженкс Мемориальный приз за выдающиеся достижения Программная инженерия применительно к компьютерной алгебре .


    Как получить GAP?

    Текущая версия — GAP 4.11.0. и его можно получить на нашей странице загрузок. Этот веб-сайт описывает эту версию, если не указано иное.Изменения по сравнению с более ранними версиями описаны в История выпуска.


    Мы ждем с нетерпением вестей от Вас!

    Мы приветствуем вклад в GAP. Репозиторий разработки GAP размещен на GitHub. Вы можете найти руководство по внесению вклада через GitHub Вот. Если у вас есть вопросы или предложения по GAP, репозиторий, или документации, не стесняйтесь обращаться к нам через открыть список рассылки по разработке GAP или отправьте вопрос или запрос на перенос на GitHub.

    Существует обширная документация, как написать код GAP. Также есть руководство по разработке Пакет GAP и его представление в GAP.

    В GAP Group приветствует контакты с пользователями GAP и предлагает им поддержку. Чтобы быть в курсе новостей GAP (обсуждение проблемы, анонсы выпусков, исправления ошибок), мы предлагаем вам подписываться на электронную почту Форум GAP. Вы также можете следить за GAP в Twitter.

    пожалуйста расскажи нам о своем использование GAP в исследованиях или обучении.Мы вполне можем хочу предоставить ссылку на вашу работу. Если ваша работа опубликована тогда мы просим вас цитировать GAP как журнальная статья или книга. Мы ведем библиографию публикации со ссылкой на GAP. пожалуйста Помогите поддерживать его в актуальном состоянии.


    Благодарности

    GAP был и разрабатывается международным сотрудничество многих люди, включая пользователя взносы. Мы с благодарностью отмечаем всю эту помощь, а также некоторые финансирование. GAP был начат в Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen in 1986 г.После 1997 г. разработка GAP координировалась в Сент-Эндрюс. В настоящее время Центры GAP в Аахен, Брауншвейг, Форт Коллинз, Кайзерслаутерн и Сент-Эндрюс совместно координируем дальнейшую разработку и сопровождение GAP.

    Алгебра, дискретная математика и теория чисел

    Область алгебры, дискретной математики и теории чисел охватывает одну из основных областей чистой математики. Проблемы в этой области часто возникают (или естественным образом вытекают из) проблемы, которую легко сформулировать, включая подсчет, делимость или некоторые другие основные арифметические операции.

    Хотя многие проблемы легко сформулировать, методы, используемые для решения этих проблем, являются одними из самых сложных и продвинутых в математике. Алгебра, дискретная математика и теория чисел пережили некоторый ренессанс за последние пару десятилетий с доказательством Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, растущей потребностью в более продвинутых методах криптографии и теории кодирования, появившейся в Интернете, а также удивительные приложения в таких областях, как физика элементарных частиц и математическая биология.Алгебра, дискретная математика и теория чисел были представлены в фильме «Добрая Уилл Хантинг», пьесе «Последнее танго Ферма», а также в многочисленных эпизодах популярной драмы канала CBS «Numb3rs».

    Факультет

    • М. Берр: алгебраическая геометрия и вычислительная геометрия
    • Н. Дж. Калкин: комбинаторика, теория чисел, вероятностные методы
    • Дж. Койкендалл: коммутативная алгебра и алгебраическая теория чисел
    • С. Гао: Вычислительная алгебра, вычислительная теория чисел, теория кодирования, криптография и математическая биология
    • Вт.Годдард: теория графов, алгоритмы, игры
    • К. Джеймс: теория чисел, модульные формы, эллиптические кривые
    • М. Маколи: дискретные динамические системы, группы Кокстера, теория графов, геометрическая комбинаторика, дискретное моделирование в эпидемиологии, структура сложных сетей.
    • Ф. Манганьелло: теория кодирования, вычислительная алгебра
    • С. Познановик: алгебраическая и перечислительная комбинаторика, дискретная математическая биология
    • S. Sather-Wagstaff: Гомологическая и комбинаторная коммутативная алгебра
    • H.Сюэ: теория чисел

    Концентрации

    Дополнительные ссылки по алгебре / дискретной математике / теории чисел

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    Theme: Overlay by Kaira Extra Text
    Cape Town, South Africa