Формула расстояние между точками в пространстве: формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

Расстояние между двумя точками.

Навигация по странице:

Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;

BC = y_b — y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками

Пример вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² = √(6 — (-1))² + (2 — 3)² = √7² + 1² = √50 = 5√2

Ответ: AB = 5√2.

Пример вычисления расстояния между двумя точками в пространстве

Пример 2.

Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² + (z_b — z_a)² =

= √(6 — (-1))² + (2 — 3)² + (-2 — 3)² = √7² + 1² + 5² = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} — направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = {m; n; p} — направляющий вектор прямой и M₁(x₁, y₁, z₁) — координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M₀M₁×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Пример 1.

Найти расстояние между точкой M(0, 2, 3) и прямой

Решение.

Из уравнения прямой получим:

s = {2; 1; 2} — направляющий вектор прямой;

M₁(3; 1; -1) — точка лежащая на прямой.

Тогда

M₀M₁ = {3 — 0; 1 — 2; -1 — 3} = {3; -1; -4}

= i ((-1)·2 — (-4)·1) — j (3·2 — (-4)·2) + k (3·1 -(-1)·2) = {2; -14; 5}

d = |M₀M₁×s||s| = √2² + (-14)² + 5²√2² + 1² + 2² = √225√9 = 153 = 5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.

5.6.2 Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Видеоурок: Формула расстояния между двумя точками

Лекция: Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Расстояние между двумя точками

Для нахождения расстояния между двумя точками на прямой в предыдущем вопросе мы использовали формулу d = х₂ – х_1.

Но, что касается плоскости, дела обстоят иначе. Не достаточно просто найти разность координат. Для нахождения расстояния между точками по их координатам следует воспользоваться следующей формулой:

Например, если у Вас имеются две точки с некоторыми координатами, то найти расстояние между ними можно следующим образом:

А (4;-1), В (-4;6):

АВ = ((4 + 4)² + (-1 – 6)²)^1/2 ≈ 10,6.

То есть для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости необходимо найти корень из суммы квадратов разностей координат.

Если необходимо найти расстояние между двумя точками на плоскости, следует воспользоваться аналогичной формулой с дополнительной координатой:

Уравнение сферы

Для задания сферы в пространстве следует знать координаты её центра, а также её радиус, чтобы воспользоваться следующей формулой:

Данное уравнение соответствует сфере, центр которой находится в начале координат.

Если же центр сферы сдвинут на некоторое количество единиц по осям, то следует воспользоваться следующей формулой:

IV. Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим вектор
,
где

Тогда
разложение
по
ортам, где

Расстояние между
точками А
и В
равно
.значит

расстояние
между точками

Частный случай.

Расстояние между
точками на плоскости

,
где

V. Направляющие косинусы

Направление вектора
в пространстве определяется углами
которые вектор составляет с осямиOx,
Oy,
Oz.
Косинусы этих углов, т.е.
называютсянаправляющими
косинусами
вектора.

По свойству 1
проекций:

или

Тогда

VI. Условие коллинеарности двух векторов

Для того, чтобы
два вектора
ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы их проекции были пропорциональны

условие
коллинераности векторов.

§6. Скалярное произведение векторов

1. Определение

Опр. Скалярным
произведением
векторов
иназывается число, равное произведению
модулей этих векторов на косинус угла
между ними.

.
(3.5)

Придадим (3.5) другой
вид (по свойству 1 проекций).

проекция
на
ось, определяемую.

проекция
на
ось, определяемую.

(3.6)

2. Свойства
   скалярного произведения

1. Переместительное
   свойство

Доказательство
из определения.

2. Сочетательное
   свойство относительно скалярного
   множителя
   .

3. Распределительное
   свойство

Пример 6.1.
Векторы
иобразуют
уголЗная, чтовычислить

4. Условие
   ортогональности векторов

По определению
.,
еслиили,
или

т.е.

Пусть
и– ненулевые векторы. Тогда.

Итак,
для того, чтобы два ненулевых вектора
были ортогональны, необходимо и
достаточно, чтобы их скалярное произведение
равнялось нулю.

Пример 6.2.
При каком
векторыиортогональны, если

Ответ:

3. Скалярное
   произведение векторов, заданных
   координатами

Даны два вектора
и.
Найти

Найдем предварительно
скалярное произведение ортов.

Тогда
скалярное
произведение векторов, заданных
координатами.

Если
тоусловие
перпендикулярности векторов.

4. Угол между
   векторами в пространстве

По определению
,
значит

.

Пример 6.3.
Даны вершины четырехугольника А(1,
-2, 2), В(1,
4, 0), С(-4,
1, 1), D(-5,
-5, 3). Вычислить угол
между его диагоналями. Ответ:

§7. Векторное произведение векторов

1. Определение

Опр. Векторным
произведением
вектора
на векторназывается вектор,
который определяется следующим образом:

1) модуль вектора
численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторахикак на сторонах

2. вектор
   перпендикулярен перемножаемым векторам,
   т. е.,

3. направление
   вектора
   таково, что если смотреть с его конца
   (вдоль вектора), то поворот по кратчайшему
   пути от векторак векторувиден совершающимся против часовой
   стрелки.

ориентированы как
прав.
тройка).

Обозначается:
или.

Частные
случаи:

2. Свойства
   векторного произведения

1. При перестановке
   сомножителей
   векторное произведение меняет
   знак

.

Доказательство.

;

2. сочетательное
   свойство относительно скалярного
   множителя, т.е. числовой множитель можно
   выносить за знак векторного произведения.

3. распределительное
   свойство.

4. Условие
   коллинеарности векторов.

Векторное
произведение равно нуль-вектору, если
хотя бы один из перемножаемых векторов
нулевой или синус угла между ними равен
нулю, т.е. векторы коллинеарны.

Итак,
для того, чтобы два ненулевых вектора
были коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы их векторное произведение равнялось
нуль-вектору

3. Векторное
   произведение векторов, заданных
   координатами

Даны два вектора:
и.

Найти:
.

Предварительно
найдем векторное произведение ортов:

a)

.

Аналогично

б)
1)

2)

3) с
конца
поворот откпо
кратчайшему пути виден против часовой
стрелки;(по свойству 1).

Аналогично:

Тогда
Итак,.

Пример 7.1.

Найти:
а)
б)

Решение.
а)

б)

Пример 7.2. Найти
,
еслиA(0;2;1),
B(-1;3;4),
C(2;5;2).

Самостоятельно:
Деление
отрезка в данном отношении.

Даны
две точки пространства:и.
Разделить отрезокв
данном отношенииЭто значит найти на отрезе такую т.М,
что
(или.

Доказать, что
координаты т.
вычисляется по формулам:

Частный случай.
Деление
отрезка пополам.

Координаты середины
отрезка:

11

Расстояние от точки до прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до прямой, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения расстояния от точки M₀ до прямой L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)
• найти найти расстояние между точками M₀ и M₁.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L₁.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’.

Далее находим расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу:

Пример 1. Найти расстояние от точки M₀(−6, 2) до прямой

Решение.

Направляющий вектор прямой (8) имеет вид:

Т.е. m=2, p=−1. Из уравнения прямой (8) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(1, 7)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (8) получим тождество 0=0), т.е. x’=1, y’=7. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (6):

Подставляя значение t в (5), получим:

Вычислим расстояние между точками M₀(-6, 2) и M₁

Упростим и решим:

Ответ:

Расстояние от точки M₀(-6, 2) до прямой (8) :

2. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть в трехмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и прямая L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (9)(Рис.2).

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)
• найти расстояние между точками M₀ и M₁.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (10) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (9):

Подставим значения x и y в (11):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (11). Следовательно, подставляя значение t’ в (12) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’, z₁=lt’+z’.

Далее вычисляем расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу

которое является расстоянием между точкой M₀ и прямой (9).

Пример 2. Найти расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой

Решение.

Направляющий вектор прямой (15) имеет вид:

Т.е. m=2, p=4, l=−6. Из уравнения прямой (15) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(4, 3, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (15) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=4, y’=3, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (13):

Подставляя значение t=t’ в (12), получим координаты точки M₁:

Далее, используя формулу (14) вычисляем расстояние от точки M₀ до прямой (15):

Упростим и решим:

Ответ:

Расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой (15) :

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

где M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) − точки, лежащие на прямых L₁ и L₂, а q₁={m₁, p₁, l₁} и q₂={m₂, p₂, l₂} − направляющие векторы прямых L₁ и L₂, соответственно.

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Метод 1. От точки M₁ прямой L₁ проводим плоскость α, перпендикулярно прямой L₂. Находим точку M₃(x₃, y₃, y₃) пересечения плоскости α и прямой L₃. По сути мы находим проекцию точки M₁ на прямую L₂. Как найти проекцию точки на прямую посмотрите здесь. Далее вычисляем расстояние между точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₃(x₃, y₃, z₃):

которое и является расстоянием между прямыми L₁ и L₂ (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Найдем проекцию точки M₁ на прямую L₂. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямойL₂.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L₂, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L₂, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L₂. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет следующий вид:

Подставляя значения m₂, p₂, l₂, x₁, y₁, z₁ в (5) получим :

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Найдем точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L₂.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L₂:

Чтобы найти точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L₂ и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M₁ и M₃:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L₁ и L₂. Если направляющие векторы прямых L₁ и L₂ коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q₁=λq₂, то прямые L₁ и L₂ параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q₁ дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q₁ параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q₁:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

где

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Векторы q₁ и q₂ коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор ={x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁}={7, 2, 0}.

Вычислим векторное произведение векторов и q₁. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q₁:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q₁:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q₁ будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L₁ и L₂ не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L₁ и L₂ нужно построить параллельные плоскости α₁ и α₂ так, чтобы прямая L₁ лежал на плоскости α₁ а прямая L₂ − на плоскости α₂. Тогда расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между плоскостями L₁ и L₂ (Рис. 3).

Поскольку плоскость α₁, проходит через прямую L₁, то он проходит также через M₁(x₁, y₁, z₁). Следовательно справедливо следующее равенство:

где n₁={A₁, B₁, C₁} − нормальный вектор плоскости α₁. Для того, чтобы плоскость α₁ проходила через прямую L₁, нормальный вектор n₁ должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A₁, B₁, C₁, D₁, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α₁. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α₂:

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n₂ совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Полученное расстояние между плоскостями α₁ и α₂ является также расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q₁={m₁, p₁, l₁}={1, 3, −2}.

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q₂={m₂, p₂, l₂}={2, −3, 7}.

Шаг 1.

Построим плоскость α₁, проходящую через прямую L₁, параллельно прямой L₂.

Поскольку плоскость α₁ проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и нормальный вектор n₁={m₁, p₁, l₁} плоскости α₁ перпендикулярна направляющему вектору q₁ прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α₁ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (34)−(36). Подставим значения x₁, y₁, z₁, m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (27)−(29):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A₁, B₁, C₁, D₁:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A₁, B₁, C₁, D₁ в (42), получим:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Шаг 2.

Построим плоскость α₂, проходящую через прямую L₂, параллельно прямой L₁.

Поскольку плоскость α₂ проходит через прямую L₂ , то она проходит также через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и нормальный вектор n₂={m₂, p₂, l₂} плоскости α₂ перпендикулярна направляющему вектору q₂ прямой L₂. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₂ и искомой плоскости α₂ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₂ должна быть параллельной прямой L₁, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (37)−(39). Подставим значения x₂, y₂, z₂, m₂, p₂, l₂, m₁, p₁, l₁ в (37)−(39):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (50) отностительно A₂, B₂, C₂, D₂:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A₂, B₂, C₂, D₂ в (52), получим:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Шаг 3.

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α₁ и α₂ :

где n₁={A₁, B₁, C₁}={15, −11, −9} и n₂={A₂, B₂, C₂}={15, −11, −9} − нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂, соответственно, а свободные члены равны D₁=17, D₂=−83, соответственно.

Поскольку нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α₁ и α₂, используя следующую формулу:

Подставим значения A₁, B₁, C₁, D₁, D₂ в (54):

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Расстояние между 2 точками

Краткое объяснение

Когда мы знаем расстояния по горизонтали и по вертикали между двумя точками, мы можем вычислить расстояние по прямой следующим образом:

расстояние = √ a ² + b ²

Представьте, что вы знаете расположение двух точек (A и B), как здесь.

Какое расстояние между ними?

Мы можем провести линии вниз от A и вдоль от B, чтобы получился прямоугольный треугольник.

И с небольшой помощью Пифагора мы знаем, что:

a ² + b ² = c ²

Теперь отметьте координаты точек A и B.

x _A означает координату x точки A
y _A означает координату y точки A

Горизонтальное расстояние a равно (x _A — x _B )

Расстояние по вертикали b равно (y _A — y _B )

Теперь мы можем найти c (расстояние между точками):

Начнем с: c ² = a ² + b ²

Положите в вычисления для a и b: c ² = (x _A — x _B ) ² + (y _A — y _B ) ²

Корень квадратный из обеих сторон:

Готово!

Примеры

Пример 1

Пример 2

Неважно, в каком порядке расположены точки, потому что возведение в квадрат удаляет любые негативы:

Пример 3

А вот еще пример с некоторыми отрицательными координатами… все еще работает:

(Примечание √136 может быть дополнительно упрощено до 2√34, если хотите)

Попробуйте сами

Перетащите точки:

Три или более измерения

Отлично работает в 3 (и более!) Измерениях.

Возвести в квадрат разность для каждой оси, затем сложить их и извлечь квадратный корень:

Расстояние = √ [(x _A — x _B ) ² + (y _A — y _B ) ² + (z _A — z _B ) ² ]

Пример: расстояние между двумя точками (8,2,6) и (3,5,7) составляет:

.

Расстояние между двумя точками

Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего эти точки.

Доказательство формулы расстояния между двумя точками для плоской задачи

Из точек A и B опускаются перпендикуляры к осям координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Ноги треугольника равны:

AC = x _b — x _a ;

BC = y _b — y _a .

Используя теорему Пифагора, вычислите длину гипотенузы AB:

AB = √AC ² + BC ² .

Подставляя в это выражение длины AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, мы получаем формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Доказательство формулы для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве аналогично.

Примеры задач с расстоянием между двумя точками на 2D

Пример 1.

Найдите расстояние между двумя точками A (-1, 3) и B (6,2).

Решение.

AB = √ (x _b — x _a ) ² + (y _b — y _a ) ² = √ (6 — (-1)) ² + (2-3 ) ² = √7 ² + 1 ² = √50 = 5√2

Ответ: AB = 5√2.

Пример 2.

Найдите расстояние между двумя точками A (0, 1) и B (2, -2).

Решение.

AB = √ (x _b — x _a ) ² + (y _b — y _a ) ² = √ (2 — 0) ² + (-2 — 1) ² = √2 ² + (-3) ² = √13

Ответ: AB = √13.

Примеры задач с расстоянием между двумя точками на 3D

Пример 3.

Найдите расстояние между двумя точками A (-1, 3, 3) и B (6, 2, -2).

Решение.

AB = √ (x _b — x _a ) ² + (y _b — y _a ) ² + (z _b — z _a ) ² =

= √ (6 — (-1)) ² + (2-3) ² + (-2-3) ² = √7 ² + 1 ² + 5 ² = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Пример 4.

Найдите расстояние между двумя точками A (0, -3, 3) и B (3, 1, 3).

Решение.

AB = √ (x _b — x _a ) ² + (y _b — y _a ) ² + (z _b — z _a ) ² =

= √ (3 — 0) ² + (1 — (-3)) ² + (3 — 3) ² = √3 ² + 4 ² + 0 ² = √25 = 5

Ответ: AB = 5.

.

Расстояние от точки до линии

Расстояние от точки до линии в пространстве формула

Если M ₀ (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) координаты точки, s = {m; n; p} направляющий вектор линии l, M ₁ (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) — координаты точки на прямой l, затем расстояние между точкой M ₀ (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и строку l можно найти по следующей формуле:

Доказательство формулы расстояния от точки до линии для космической задачи

Если l — линейное уравнение, то s = {m; n; p} — направляющий вектор линии, M ₁ (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) — координаты точки на линии.Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах

A = | M ₀ M ₁ × с |.

С другой стороны, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную до этой стороны

А = | s | d.

Приравняв площади, несложно получить формулу расстояния от точки до линии.

Примеры задач от точки до линии в пространстве

Пример 1.

Найти расстояние между точкой M (0, 2, 3) и линией

Решение.

Из линейного уравнения найти:

s = {2; 1; 2} — направляющий вектор линии;
M ₁ (3; 1; -1) — координаты точки на прямой.

Затем

M ₀ M ₁ = {3 — 0; 1-2; -1 — 3} = {3; -1; -4}

= i ((-1) · 2 — (-4) · 1) — дж (3 · 2 — (-4) · 2) + k (3 · 1 — (- 1) · 2) = {2; -14; 5}

Ответ: расстояние от точки до линии равно 5.

.

math — алгоритм кратчайшего расстояния между точками

Переполнение стека

1. Около

2. Продукты

3. Для команд

1. Переполнение стека
   Общественные вопросы и ответы

2. Переполнение стека для команд
   Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

3. Вакансии
   Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

4. Талант
   Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

5. Реклама
   Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

.