Как найти последние две цифры числа: Теория чисел как найти две последние цифры / Математика

Содержание

Задача №16. Разбор различных типов задач.

Автор — Лада Борисовна Есакова.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

Например, .

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Ответ: 9

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение:

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

Ответ: 4, 68

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

Ответ: 5, 21

3. Решение уравнений

Пример 6

Решите уравнение:

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Решение:

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Решение:

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Ответ: 2015.

Задача по математике — 2778

2019-05-03
а) Найти последнюю цифру чисел $9^{(9^9)}, 2^{(3^4)}$.

б) Найти две последние цифры чисел $2^{999}, 3^{999}$.

в) * Найти две последние цифры числа $14^{(14^14)}$.

Решение:

а) Каждая четная степень 9 представима в виде

$9^{2n} = 81^n = \underbrace {81 \cdot 81 \cdots 81}_{n \:раз}$

и, следовательно, оканчивается цифрой 1. Каждая нечетная степень 9 представима в виде $9^{2n+1} = 9 \cdot 81^n$ и, следовательно, оканчивается цифрой 9 (как произведение числа, оканчивающегося единицей, на 9). В частности, $9^{(9*)}$ есть нечетная степень 9; значит, $9^{(9^9)}$ оканчивается цифрой 9.

Заметим теперь, что любая целая степень 6 оканчивается цифрой 6; действительно, $6^1 = 6$, и если $6^n$ оканчивается на 6, то и $6^{n+1} = 6^n \cdot 6$ оканчивается на 6. Но $16^n$ оканчивается на ту же цифру, что и $6^n$; следовательно, любая целая степень 16 оканчивается цифрой 6. Таким образом, любая степень двойки, кратная четырем, оканчивается шестеркой (ибо $2^{4n} = 16^n$). Но $3^4 — 1$ делится на $3+1 = 4$; значит, $2^{(3^4-1)}$ оканчивается цифрой 6, a $2^{(3^4)} = 2 \cdot 2^{2^{(3^4 — 1)}}$ оканчивается цифрой 2 (как произведение 2 на число, оканчивающееся шестеркой).

б) Нам надо найти остаток от деления $2^{999}$ на 100 (это и есть две последние цифры числа $2^{999}$). Покажем прежде всего, что при делении на 25 число $2^{1000}$ дает остаток 1. Действительно, $2^{10} + 1 = 1024 + 1 = 1025$ делится на 25; следовательно, и $2^{20} — 1 = (2^{10} + 1)(2^{10} — 1)$ делится на 25, а $2^{1000} — 1 = (2^{20})^{50} — 1$ делится на $2^{20} — 1$. Отсюда вытекает, что последние две цифры числа $2^{1000}$ могут образовать число 01, или $01 + 25 = 26$, или $01 + 50 = 51$, или $01 + 75 = 76$; но так как $2^{1000}$, конечно, делится на 4, то этими цифрами могут быть только 76. Таким образом, $2^{999}$ равно частному от деления числа, оканчивающегося на 76, на 2, т. е. оно может оканчиваться только цифрами 38 или 88 (так как $76:2 = 38, 176:2 = 88$). Но так как это число делится на 4, то оно оканчивается цифрами 88.

Найдем теперь остаток от деления числа $3^{999}$ на 100. Напомним, что каждая четная степень 9 оканчивается цифрой 1, а каждая нечетная степень 9 — цифрой 9 (см. решение задачи а)). Воспользовавшись этим, найдем остаток от деления числа $9^5 + 1$ на 100:

$9^5 + 1 = (9 + 1) \cdot (9^4 — 9^3 + 9^2 — 9 + 1) = 10 \cdot (9^4 — 9^3 + 9^2 — 9 + 1)$,

а в алгебраической сумме, стоящей в скобках, каждое из трех положительных слагаемых оканчивается на 1 и каждое из двух отрицательных слагаемых — на 9; таким образом, число $9^4 + 9^2 + 1$ оканчивается на 3, а число $9^3 + 9$ на 8 и, значит, все выражение, стоящее в скобках, оканчивается на 5. Итак, число $9^5 + 1$ при делении на 100 дает остаток $10 \cdot 5 = 50$. Отсюда вытекает, что число $9^{10} — 1 = (9^5 + 1) \cdot (9^5 — 1)$ делится на 100, а так как $3^{1000} — 1 = 9^{500} — 1 = (9^{10})^{50} — 1$ делится на $9^{10} — 1$ (разность целых степеней делится на разность оснований), то и $3^{1000} — 1$ делится на 100. Таким образом, число $3^{1000}$ оканчивается цифрами 01. Но это число делится на 3; следовательно, его число сотен при делении на 3 должно давать в остатке 2 (если бы при делении сотен на 3 в остатке оставалась одна сотня или ни одной, то это число сотен плюс 01 не могло бы делиться на 3). Итак, мы нашли, что число $3^{999} = 3^{1000} : 3$ должно оканчиваться теми же двумя цифрами, что и число $201 : 3 = 67$.

в) Нам надо найти остаток от деления числа $14^{(14^{14})} = (7 \cdot 2)^{(14^{14})}$ на 100, — это и есть две последние цифры числа $14^{(14^{14})}$. Найдем в отдельности остаток от деления на 100 чисел $7^{(14^{14})}$ и $2^{(14^{14})}$.

Число $7^4 — 1 = 2401 — 1 = 2400$ делится на 100. Отсюда следует, что если $n = 4k$ делится на 4, то $7^n — 1$ делится на 100 (ибо $7^{4k} — 1 = (7^4)^k — (1)^k$ делится на $7^4 — 1$). Но $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$ делится на 4; следовательно, $7^{(14^{14})} — 1$ делится на 100 и, значит, число $7^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 01.

Далее, в решении задачи б) было показано, что $2^{20} — 1$ делится на 25; следовательно, если $n = 20k$ делится на 20, то $2^n — 1$ делится на 25. Найдем теперь остаток от деления числа $14^{14}$ на 20. Очевидно, $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$. Но $2^{14} = 4 \cdot 2^{12}$; так как $2^{12} — 1 = (2^4)^3 — 1$ делится на $2^4 — 1 = 16 — 1 = 15$, то $4 (2^{12} — 1)$ делится на 20, а следовательно, $2^{14} = 4 \cdot 2^{12}$ дает при делении на 20 остаток 4. Далее, $7^{14} = 49 \cdot 7^{12}$; так как $7^{12}$ дает при делении на 20 остаток 1 (так как 12 делится на 4, то $7^{12} — 1$ делится на 100), то $49 \cdot 7^{12}$ дает при делении на 20 такой же остаток, как и число 49, т. е. 9. Таким образом, $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$ дает при делении на 20 такой же остаток, как и произведение $4 \cdot 9 = 36$, т. е. остаток $16: 14^{14} = 20K + 16$. А отсюда следует, что $2^{(14^{14})} = 2^{16} \cdot 2^{20K}$ дает при делении на 25 такой же остаток, как и число $2^{16} = 65536$, т. е. $2^{(14^{14})}$ может оканчиваться только цифрами 11, 36, 61 или 86. Но так как $2^{(14^{14})}$ делится на 4, то $2^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 36.

Итак, число $7^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 01, а число $2^{(14^{14})}$ — цифрами 36. Следовательно, их произведение $7^{(14^{14})} \cdot 2^{(14^{14})} = 14^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 36.

Ответ: 36.

Исследовательская работа «Ключ к угадыванию цифры»

Основная часть

I. Нахождение последней цифры в записи
степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным
показателем” была предложена такая задача:
найти последнюю цифру степеней:

а) , , , , ;

б) , .

Мы заметили, что в первом случае показатели
степеней составные числа, а во втором случае
показатели степеней простые числа. В обоих
случаях есть основания четные и нечетные. Мы
сначала попробовали представить степени в виде
произведения степеней с тем же основанием и
одинаковыми показателями, затем воспользовались
со свойствами степеней с натуральными
показателями

Например, = ***
или

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше
определили искомую цифру как последнюю цифру
числа .
Получили 1. Во втором случае сначала нашли
последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1.
Второй способ нам понравился больше. Аналогично
нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n
на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как
показатели степеней простые числа и мы не
можем представить эти степени в виде
произведения степеней с одинаковыми
показателями, как делали раньше. Но мы нашли
способы решения.

Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный,
универсальный способ нахождения последней цифры
степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой
строке написаны цифры, которыми оканчиваются
записи натуральных чисел. Во — второй строке -
цифры, которыми оканчиваются соответствующие
квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Мы заполнили пятую строку, затем шестую и
удивились. Оказывается, пятая степень числа
оканчивается той же цифрой, что и первая степень
числа; а шестая степень числа оканчивается той же
цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая
степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице
повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения
таблицы мы пришли к выводу, что:

Во-первых, квадрат натурального числа может
оканчиваться любой цифрой;

Во-вторых, куб натурального числа может
оканчиваться любой цифрой;

В-третьих, четвертая степень натурального числа
может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;

В-четвертых, пятая степень натурального числа
оканчивается той же цифрой, что и само число;

В-пятых, если запись натурального числа
оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого
числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;

В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются
цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Мы поставили перед собой такую задачу, а
нельзя ли найти способ определения последней
цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

II. Составление алгоритма нахождения
последней цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

Вернулись к нашим же примерам.

Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.

Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то
для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а
для четных, искомая цифра равна 6.

Далее мы начали подбирать такие степени, когда
при делении показателя степени на 4 получаются
остатки 1, 2, 3.

Например, .

	5: 4= 1 (остаток 1)	2
	1989:4 = 497 (остаток 1)	3

Если остаток равен 1, то искомая цифра будет
равна последней цифре основания степени.

	22: 4 = 5 (остаток 2)	4
	18: 4 = 4 (остаток 2)	9

Если остаток равен 2, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи квадрата
основания.

	43: 4 = 10 (остаток 3)	3
	19: 4 = 4 (остаток 3)	8

Если остаток равен 3, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи куба основания.

А если степени с очень большими показателями?

Например,

Мы легко справились и с этой задачей.

Итак, мы получили алгоритм нахождения
последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени
натурального числа с натуральным показателем,
надо:

Найти остаток от деления показателя степени на
4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с
последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для
четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна
6.

Мы научились быстро находить последнюю цифру
степени и попробовали расширить круг знаний.
Например, мы составили такие задачи.

III. Составление упражнений на применение
алгоритма.

1. Доказать, что число кратно 2.

2. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

Цифры трехзначного числа, операции div и mod

На предыдущей странице мы рассматривали задачу отделения цифр от двузначного числа. На этой странице решаем задачи Integer9 — Integer16 из задачника Абрамяна, в которых займёмся работой с цифрами трехзначного числа.

Integer9. Дано трехзначное число. Используя одну операцию деления нацело, вывести первую цифру данного числа (сотни).

Для примера возьмем трехзначное число 671. Если его разделить на 100 и отбросить остаток, то получим 6 — первая цифра (число сотен). Поскольку для целочисленного деления существует операция div, то здесь достаточно вычислить 671div 100, что возвратит нам результат 6. Аналогично мы поступали при вычислении первой цифры двузначного числа в программе Integer6, только там нужно было делить на 10. Этот способ используется и в данной программе.

Код Pascal

var
  N: word;

begin
  write('N = '); 
  readln(N); { <-- вводим трехзначное число }
  writeln; 
  { Находим и выводим первую цифру числа
  как целую часть при делени на 100: } 
  writeln('Первая цифра числа: ', N div 100);
  readln
end.

Integer10. Дано трехзначное число. Вывести вначале его последнюю цифру (единицы), а затем — его среднюю цифру (десятки).

Код Pascal

var
  N: word;

begin
  write('N = ');
  readln(N); { <-- вводим трехзначное число }
  writeln;
  N := N mod 100; { <== Последние две цифры }
  { Выводим последнюю и среднюю цифры числа: }
  writeln('Последняя цифра: ', N mod 10);
  writeln('Средняя цифра:   ', N div 10);
  readln
end.

Integer11. Дано трехзначное число. Найти сумму и произведение его цифр.

Код Pascal

var
  N: word; { Трехзначное число }
  t1, t2, t3: byte; { Цифры трехзначного числа }

begin 
  write('Введите трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим трехзначное число }
  writeln;
  t3 := N mod 10; { <== третья цифра }
  N := N div 10;  { <== число созданное первыми двумя цифрами }
  t2 := N mod 10; { <== вторая цифра }
  t1 := N div 10; { <== первая цифра }
  writeln('Сумма цифр: ', t1 + t2 + t3);
  writeln('Произведение цифр: ', t1 * t2 * t3);
  readln
end.

Integer12. Дано трехзначное число. Вывести число, полученное при прочтении исходного числа справа налево.

Код Pascal

var
  N: word; { Трехзначное число }
  t1, t2, t3: byte; { Цифры трехзначного числа }

begin
  write('Введите трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  writeln;
  t3 := N mod 10; { <== третья цифра - единицы }
  N := N div 10;  { <== число созданное первыми двумя цифрами }
  t2 := N mod 10; { <== вторая цифра - десятки }
  t1 := N div 10; { <== первая цифра - сотни }
  { t3 - сотни, t2 - десятки, t1 - единицы: }
  N := 100 * t3 + 10 * t2 + t1; { <== перевернутое число }
  writeln('Прочитанное в обратном порядке число: ', N);
  readln
end.

Второй вариант не предусматривает дополнительных переменных для хранения цифр числа:

Код Pascal

var
  N: word; { Трехзначное число }

begin
  write('Введите трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  writeln;
  { Вычисляем три цифры числа:
   1) N div 100 - первая цифра;
   2) N div 10 mod 10 - вторая цифра;
   3) N mod 10 - третья цифра.
  Составляем число с переставленными цифрами справа налево: }
  N := 100 * (N mod 10) + 10 * (N div 10 mod 10) + N div 100;
  writeln('Прочитанное в обратном порядке число: ', N);
  readln
end.

Integer13. Дано трехзначное число. В нем зачеркнули первую слева цифру и приписали ее справа. Вывести полученное число.

Код Pascal

var
  N: word;

begin 
  write('Введите трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  writeln;
  { N div 100 - первая цифра данного числа,
    N mod 100 - число составлено из последних двух цифр данного числа }
  N := 10 * (N mod 100) + N div 100; { <== новое число }
  writeln('Преобразованное число: ', N);
  readln
end.

Integer14. Дано трехзначное число. В нем зачеркнули первую справа цифру и приписали ее слева. Вывести полученное число.

Код Pascal

var
  N: word; { Трехзначное число }

begin
  write('Введите трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  writeln;
  { N mod 10 - последняя цифра данного числа,
    N div 10 - число составлено из первых двух цифр числа N }
  N := 100 * (N mod 10) + N div 10; { <== Формируем новое число }
  writeln('Последняя цифра стала первой: ', N);
  readln
end.

Integer15. Дано трехзначное число. Вывести число, полученное при перестановке цифр сотен и десятков исходного числа (например, 123 перейдет в 213).

Код Pascal

var
  N: word;
  p: byte;

begin
  write('Введите трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  writeln;
  p := N mod 10; { <-- запоминаем последнюю цифру числа }
  N := N div 10; { <== удаляем последнюю цифру, получив двузначное число }
  N := 10 * (N mod 10) + N div 10; { <== Меняем цифры местами }
  N := 10 * N + p; { <== новое трехзначное число }
  writeln('Преобразованное число: ', N);
  readln
end.

Второй вариант решения задачи Integer15 – это аналог второго способа решения Integer12:

Код Pascal

var
  N: word; { Трехзначное число }

begin
  write('Введите трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  writeln;
  { Вычисляем три цифры числа:
   1) N div 100 - первая цифра;
   2) N div 10 mod 10 - вторая цифра;
   3) N mod 10 - третья цифра.
  Составляем число с переставленными цифрами справа налево: }
  N := 100 * (N div 10 mod 10) + 10 * (N div 100) + N mod 10;
  writeln('Две первые цифры меняем местами: ', N);
  readln
end.

Integer16. Дано трехзначное число. Вывести число, полученное при перестановке цифр десятков и единиц исходного числа (например, 123 перейдет в 132).

Первый вариант:

Код Pascal

var
  N, p: word;

begin
  write('N = ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  p := N div 100; { <== запоминаем первую цифру числа }
  { Находим число, составленое из последних двух цифр числа N:}
  N := N mod 100;
  { N mod 10 - вторая цифра становится первой,
    N div 10 - певая цифра становится второй: }
  N := 10 * (N mod 10) + N div 10;
  N := 100 * p + N; { <== новое число }
  writeln;
  writeln('Преобразованное число: ', N);
  readln
end.

Второй вариант:

Код Pascal

var
  N: word;

begin
  write('Вводим трехзначное число: ');
  readln(N); { <-- вводим число }
  { Вычисляем три цифры числа:
   1) N div 100 - первая цифра;
   2) N div 10 mod 10 - вторая цифра;
   3) N mod 10 - третья цифра.
  Составляем число с переставленными цифрами справа налево: }
  N := 100 * (N div 100) + 10 * (N mod 10) + N div 10 mod 10;
  writeln('Две последние цифры меняем местами: ', N);
  readln
end.

Последняя цифра степени числа — математика, прочее

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

2¹= 2

2⁵ = 32

2⁹ = 512

2² = 4

2⁶= 64

2¹⁰ = 1024

2³= 8

2⁷= 128

2¹¹ = 2048

2⁴ = 16

2⁸= 256

2¹² = 4096

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n.

В самом деле, возьмем число 2¹⁰⁰. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴, 2⁸, 2¹², показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2²², если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень	02	03	04	05	06	07	08	09	10
Х²	04	09	16	25	36	49	64	81	00
Х³	08	27	64	25	16	43	12	29	00
Х⁴	16	81	56	25	96	01	96	61
Х⁵	32	43	24		76	07	68	49
Х⁶	64	29	96		56		44	41
Х⁷	28	87	84		36		52	69
Х⁸	56	61	36				16	21
Х⁹	12	83	44				28	89
Х¹⁰	24	49	76				24	01
Х¹¹	48	47	04				92	09
Х¹²	96	41					36
Х¹³	92	23					88
Х¹⁴	84	69					04
Х¹⁵	68	07					32
Х¹⁶	36	21					56
Х¹⁷	72	63					48
Х¹⁸	44	89					84
Х²⁰	88	67					72
Х²¹	76	01					76
Х²²	52	03					08
Х²³	04
Повтор	20	20	10	1	5	4	20	10	1

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Х²	21	44	69	96	25	56	89	24	61	00
Х³	31	28	97	44	75	96	13	32	59	00
Х⁴	41	36	61	16	25	36	21	76	21
Х⁵	51	32	93	24		76	57	68	99
Х⁶	61	84	09	36		16	69	24	81
Х⁷	71	08	17	04			73		39
Х⁸	81	96	21	56			41		41
Х⁹	91	52	73	84			97		79
Х¹⁰	01	24	49	76			49		01
Х¹¹	11	88	37	64			33		19
Х¹²		56	81	96			61
Х¹³		72	53				37
Х¹⁴		64	89				29
Х¹⁵		68	57				93
Х¹⁶		16	41				81
Х¹⁷		92	33				77
Х¹⁸		04	29				09
Х²⁰		48	77				53
Х²¹		76	01				01
Х²²		12	13				17
Х²³
Повтор	10	20	20	10	2	5	20	4	10	1

{48}} = 56 \ times 41 = 96 \).

Нахождение разряда десятков числа, оканчивающегося на 0 или 5

Любое число, в котором цифра единиц измерения равна 0, при возведении в любую степень имеет 00 в качестве последних двух цифр.

В таблице ниже приведены правила поиска последних двух цифр чисел, оканчивающихся на 5

5 = 33 75

Число десятков числа	Число единиц мощности	Последние две цифры	Пример	Четный	Четный	25	2 5 ² = 6 25
Четный	Нечетный	25	2 94 5 5
Нечетный	Четный	25	1 5 ² = 2 25
Нечетный	Нечетный

Пример: найти две последние цифры \ ({135 ^ {123}} \)

Решение:

Десятки цифра данного числа (135) = нечетное

Цифра единиц мощности (123) = нечетное

Из приведенной выше таблицы мы видим, что для нечетно-нечетной комбинации последние две цифры будут 75.

Статьи о системе счисления

БЕСПЛАТНЫЕ практические задачи CAT Quant

Онлайн-курс CAT Quant

Для регулярных обновлений и БЕСПЛАТНЫХ сессий присоединяйтесь к нашим следующим ГРУППАМ

c ++ — Как найти предпоследнюю цифру шестизначного числа?

Переполнение стека

Около
Продукты
Для команд

Переполнение стека
Общественные вопросы и ответы
Переполнение стека для команд
Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
Вакансии
Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
Талант
Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
Реклама
Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
О компании

About Me

Dashy

Как найти последние две цифры числа: Теория чисел как найти две последние цифры / Математика

Задача №16. Разбор различных типов задач.

Задача по математике — 2778

Исследовательская работа «Ключ к угадыванию цифры»

Цифры трехзначного числа, операции div и mod

Последняя цифра степени числа — математика, прочее

Нахождение разряда десятков числа, оканчивающегося на 0 или 5

Статьи о системе счисления

Для регулярных обновлений и БЕСПЛАТНЫХ сессий присоединяйтесь к нашим следующим ГРУППАМ

c ++ — Как найти предпоследнюю цифру шестизначного числа?

Добавить комментарий Отменить ответ

Ноябрь 2024
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30