Как обозначается вероятность в математике: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Математика для ИИ: теория вероятностей

Машинное обучение, глубокое обучение и ИИ — интересные и широко обсуждаемые темы по всему миру. Но как и в разработке ПО, разобраться в этой области сможет не каждый. Многие думают, что если у них за плечами годы разработки различных приложений, то они имеют преимущество над простыми новичками. В какой-то степени они правы, но «не говори гоп, пока не перепрыгнешь», особенно когда дело касается математики.

В предыдущей статье вы познакомились с базовыми концепциями линейной алгебры. Эта статья поведает вам о теории вероятностей. Учитывайте, что цель статьи — не заменить курс в университете, а познакомить читателя с темой, чтобы дальше он уже сам решил, стоит ли ему углубляться.

Базовые термины

Может быть немного странно работать с вероятностями в информатике, так как большинство ветвей имеют дело с детерминированными и определёнными сущностями. Но когда речь идёт об искусственном интеллекте, неопределённость и хаотичность проявляется во многих формах. Безусловно, данные являются основным источником неопределённости, но источником может быть и модель. И теория вероятностей обеспечивает методы для моделирования и работы с неопределённостью, её используют для анализа частоты возникновения событий.

Вероятность — возможность осуществления чего-либо. По сути, это число от 0 до 1, где 0 указывает на невозможность возникновения события, а 1 указывает на достоверность его возникновения. Вероятность возникновения события A будет обозначаться P(A) или p(A). То есть, если P(A) = 1, то можно сказать, что событие A точно произойдёт, а если P(A) = 0, то событие точно не произойдёт. В связи с этим, можно вывести P(A^c), дополнение события. Оно имеет значение P(A^c) = 1 – P(A) и обозначает вероятность того, что событие A никогда не произойдёт.

Когда речь идёт о вероятностях нескольких событий и взаимодействиях между ними, используется термин совместная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что произойдут оба события. Если эти события независимы, совместную вероятность можно определить так:

Однако, если эти события являются взаимоисключающими, формула усложняется:Теперь будут приведены некоторые термины, которые используются при вычислении вероятности. Какова вероятность события A, если произошло событие B? Для того, чтобы узнать, нужно вычислить условную вероятность.

Очень интересно, что совместная вероятность по нескольким случайным переменным может быть разделена на условные распределения по одной переменной — такое преобразование называют цепным правилом:Также следует упомянуть простое, но основополагающее правило Байеса. Оно описывает вероятность события, базируясь на знании условий или других событий, связанных с главным событием:Или же его упорядоченная версия:
P(A) — априорная вероятность гипотезы A, P(A|B) – вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность), а P(B|A) – вероятность наступления события B при истинности гипотезы A. Когда мы говорим о машинном обучении, глубоком обучении или искусственном интеллекте, мы используем правило Байеса для обновления параметров нашей модели.

Случайные величины и распределение вероятностей

Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений. Или более точно — это функция, которая конвертирует результат какого-либо изменяющегося процесса в числовое значение. В математике обозначается так:

Здесь Ω — это набор возможных исходов, а Е — некоторое измеримое пространство. Однако, случайная величина — лишь шаблон, она содержит возможные значения процесса. И чтобы она стала по-настоящему полезной, её стоит объединить с распределением вероятностей. В итоге вы узнаете, насколько вероятно каждое значение. Случайные величины могут быть как дискретными, так и непрерывными, и как следствие, существуют два способа описания распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина имеет конечное число значений. Их можно рассматривать в качестве категориальных переменных или перечислений. Распределение вероятностей по этому типу случайных величин описывается с помощью функции вероятностной массы (англ. probability mass function — PMF). Эта функция определяет вероятность того, что дискретная случайная величина равняется тому или иному значению. Предполагается, что Х: Ω → [0, 1] — это дискретная случайная величина, содержащая набор возможных исходов Ω для пространства со значениями 0 и 1:

Непрерывная случайная величина имеет значения из множества действительных чисел (а их бесконечное множество). Распределение вероятностей случайной величины этого типа определяется при помощи функции плотности вероятности (англ. probability density function — PDF). Эта функция должна чётко соответствовать условиям: во-первых, область р — это набор всех возможных значений х. Стоит уточнить: функция принимает только значения больше или равные 0. Во-вторых, функция должна удовлетворять следующему условию:

Но проблема в том, что эта функция не определяет вероятность конкретного значения, а даёт вероятность нахождения этого значения в бесконечно малой области значений. И всё потому, что вероятность того, что распределение вероятности примет какое-либо конкретное значение, равна 0, так как существует бесконечное множество возможных значений. Вероятность того, что х находится где-то в промежутке [a, b], определяется так:

Математическое ожидание, дисперсия и ковариация

В теории вероятностей математическое ожидание определяется как среднее значение повторения некоторого события. То есть ожидаемое значение некоторой функции f(x) над распределением вероятностей P(x) является средним значением f, когда x берётся из P. Для дискретных случайных величин оно определяется следующим образом:

А для непрерывных случайных величин вот так:

Можно сказать, что данное значение является мерой так называемого «центра» распределения вероятностей. Но также хотелось бы узнать, как меняются значения функции f(x) случайной величины x, когда мы берём разные значения из её распределения вероятностей P(x). Это называется дисперсией. Она представляет собой среднеквадратическое отклонение значений f(x) от среднего значения f(x):

А корень этого выражения будет называться стандартным отклонением. Исходя из этого можно определить ковариацию. По сути, это мера линейной зависимости двух случайных величин. Она показывает, насколько сильно два числа линейно связаны:

Не смешно? А здесь смешно: @ithumor

Перевод статьи «Mathematics for Artificial Intelligence – Probability»

Теория вероятностей, виды событий, вычисление вероятности появления события

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Если говорить обобщенно, то теория вероятностей — математическая наука о вычислении
вероятностей случайных событий. Нередко приходится слышать, что вероятность такого-то события равна нулю,
единице, 50 процентам или другому числовому значению. Но насколько достоверны те или иные утверждения,
а точнее, в каких случаях они достоверны, а в каких — нет? Например, «блондинка из анекдота» утверждает,
что вероятность случайно встретить на улице динозавра равна 1/2 или 50 процентам. Насколько это достоверно?

Нельзя утверждать, что «блондинка из анекдота» совершенно не права. Ее заключение
основано на том, что динозавра на улице «можно встретить, а можно не встретить». Такое заключение может
быть истолковано по классическому определению вероятности: из двух возможностей одна благоприятствует
наступлению события, следовательно, вероятность наступления события равна 1/2. Но такие заключения, как говорят умудренные опытом люди, не
представляют окончательной познавательной ценности.

Ценность с точки зрения теории вероятностей представляют лишь такие заключения,
которые связывают наступление или ненаступление события с большим числом случайных и часто мало связанных
друг с другом факторов или условий.

Из этого вытекает более точное определение теории вероятностей. Теория вероятностей —
математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа
случайных факторов. Например, в случае анекдота про блондинку и динозавра требуется установить,
сохранились ли где-либо на Земле динозавры, и если да, то где их больше и где на карте «динозавренности Земли»
находится совершенно определенная улица. Если рассматривать более серьезные заключения, например, о том,
что футбольный матч между командами A и B закончится со счетом 3:1, то это субъективное
заключение, если оно не учитывает историю матчей между этими командами, матчей этих команд с другими
командами, текущего состава игроков команд и истории достижений этих игроков.

Обобщенно: о вероятности события A можно говорить с предположением, что
выполнен некоторый комплекс условий S. Если этот комплекс условий изменился, то и вероятность
наступнения собятия S должна измениться. Например, утверждение о том, что при бросании
игральной кости каждая сторона выпадет с одной и той же вероятностью, равной 1/6, предполагает следующий комплекс
условий: кость имеет одинаковую плотность, имеет точную форму куба и подбрасывается совершенно случайным
образом.

Именно на примерах азартных игр, в том числе игре в кости, учеными были впервые
обнаружены статистические закономерности, описывающие частоту наступления события. Это было сформулировано
так: наличие у события A при условиях S определенной вероятности, равной p,
проявляется в том, что в почти каждой достаточно длинной серии испытаний частота события приблизительно
равна p. На этой основе и возникла теория вероятностей в середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами,
поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. Ученые
того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705)
были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом
для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым
подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой
факт, который можно констатировать в результате наблюдения, испытания или опыта. Наблюдением, испытанием
или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Что нужно знать, чтобы определять вероятность появления события

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

достоверные события;

невозможные события;

случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан
определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если
сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число
студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события
связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги
в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это
можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если
создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс
15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса
условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб
может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть,
произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия
является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием
вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно
информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс
условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно
узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки
наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных
возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет
прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя
предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть
выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания,
теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения
ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется
в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических
процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

несовместными;

совместными.

События A, B, C … называют несовместными, если в результате
одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события,
то такие события называют совместными. Например, если с ленты конвейера
снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает
«деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает
«взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из
несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий.

Достоверным событием является наступление хотя бы одного
события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны,
то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить
две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;

будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;

будут решены обе задачи;

не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий.

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их
называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными, если ни у одного из них
нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в
результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных
событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном
подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным
случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А
происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных
случаев или возможностей.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию
возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N, которые могут произойти в
результате одного испытания или наблюдения.
Формула вероятности события А:

(1)

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность
обозначают маленькой буквой p, не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех
равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению
события А.

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров.
Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A — вытянут белый шар. Событие B —
вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её
рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности
вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить
все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно
возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных
событий вычисляют как число сочетаний:

(2)

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:

Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не
повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность
того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?

Посмотреть правильное решение и ответ.

Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.

Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N и

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и

Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.

Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:

или

Определение статистической вероятности. В определении статистической вероятности используется понятие относительно частоты события А. Относительной частотой события А называют отношение числа наблюдений, в которых наблюдается А, к числу всех наблюдений. Относительную частоту обычно обозначают буквой W. Если в n наблюдениях событие А наблюдается m раз, то относительная частота события А:

Например, баскетболист у штрафной линии готовится совершить бросок. Из собранной тренером статистической информации известно, что у этого баскетболиста из 100 штрафных бросков успешны 70. Вероятность того, что баскетболист реализует штрафной бросок:

Длительные наблюдения показали, что с увеличением числа наблюдений относительная частота события А становится всё более стабильной. Число, около которого при серии наблюдений колеблется относительная частота, называется статистической вероятностью события А. Формула статистической вероятности события А:

если .

Вычислить точную статистическую вероятность невозможно, так как невозможно выбрать бесконечно большое число наблюдений.

Преимущество статистического определения вероятности в том, что оно не требует
априорных знаний об исследуемом объекте. Классическую вероятность можно вычислить до наблюдения или
испытания, а статистическую – после наблюдения или испытания.

Вероятность равновозможных событий 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 21.

Вероятность. Вероятность равновозможных событий.

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями, которые могут произойти или не произойти. Эти закономерности изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Зарождение теории вероятности произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами?

Рассмотрим пример.

Провели такие испытания. Бросали 100 раз игральный кубик, то есть небольшой куб, на гранях которого выбиты очки от одного до шести, и наблюдали, сколько раз на верхней грани кубика выпадет 6 очков. При бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно, два, три, четыре, пять или шесть очков. Каждое из этих шести событий, или как говорят шести исходов испытания, является случайным. Допустим, что данной серии экспериментов «шестерка» выпала 19 раз. Число 19, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события. А отношение частоты к общему числу испытаний, равное 19100, называют относительной частотой этого события.

Итак, пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же условиях и при этом каждый раз фиксируется произошло событие или нет интересующее нас событие А. Обозначим буквой n общее число испытаний, а буквой m число испытаний, при которых произошло событие А. Число m называют частотой события А, а отношение mn – относительной частотой.

Титры: Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

Вообще если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот появления одного и того же события близки к некоторому определенному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим подходом.

События называют случайными, если заранее нельзя предугадать их результаты или исход. Несколько событий называют равновозможными, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Пример: в урне лежат три шара – белый, синий и красный. Однократные изъятия шаров любого цвета – равновозможные события.

Вообще исходы в определенном опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Итак, если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Обозначают вероятность буквой Р.

Такой подход вычисления вероятности называется классическим.

Рассмотрим несколько примеров:

Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Итак, вероятность равна:

Р=1201500=0,08

Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

Итак, всего 90 двузначных чисел, а чисел, сумма цифр которых равна 6 всего 6, это числа 15, 24, 33, 42, 51 и 60. Следовательно, вероятность равна

Р=690=115

Теория вероятности в жизни людей — Информио

Основы теории вероятностей нужно знать каждому человеку для формирования правильного мировоззрения, для осознания того, что мы живем в случайном, вероятностном мире.

Психология человека такова, что ему неуютно среди случайностей. Он жаждет определенности и справедливости, ищет причин и объяснений. Часто таким образом возникают суеверия: например, среди африканских племен распространено поверье о том, что бывают просто львы и львы, в которых переселились души умерших. Последние на людей не нападают. Это объяснение не несет полезной информации, поскольку нет признаков, по которым заранее можно было бы определить, из какой категории лев, но оно успокаивает психологически. Точно так же появляются известные всем суеверия при сдаче экзаменов. Некоторые суеверия, кстати, основаны на частотных совпадениях (например, мелких неприятностей и встреч с черной кошкой). Это относится и к приметам, которые порой подмечают вероятностные закономерности. Так, поговоркам «Беда никогда не приходит одна» или «Жизнь, она полосатая» соответствует в теории вероятностей закон серий.

Следует помнить и то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. [4]

Таким образом, теория вероятности актуальна в наши дни как в математике и точных науках, так и в нашей повседневной жизни.

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира [1].

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта [2, с.13].

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними [3].

Основные объекты теории вероятностей – случайные события, случайные величины, случайные процессы, то есть фактически весь окружающий нас мир [4, с.6].

Событие – это то, что может произойти или нет при выполнении определённого комплекса условий, или, как говорят, при проведении испытания. Среди возможных событий выделяют достоверные и невозможные. Если при каждом испытании всегда происходит некоторое событие, то оно называется достоверным. Если при испытании некоторое событие заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если событие не является достоверным или невозможным, то оно часто называется случайным [5, с.10].

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определённые явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Анализируя последовательно результаты таких простейших явлений, как подбрасывание монеты, игральной кости, выброс карты из колоды и т.п., мы замечаем две особенности, присущие такого рода экспериментам. Во-первых, не представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведённых испытаний. Во-вторых, относительная частота определённых исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определённому пределу [6, с.8].

Рассмотрим теорию вероятностей на очень простых примерах. Если у нас в ящике лежит 10 пронумерованных шаров с цифрами от 1 до 10, то вероятность вытянуть шар с числом 10 равна 10 процентам. Но более вероятней, что мы вытянем любое другое число от 1 до 9, а не самое большое (не 10), поскольку такая вероятность составляет 90 процентов. Вытянуть шар с самым большим числом из 10000 пронумерованных шаров уже слишком маловероятно. Скорее всего, мы вытянем любое другое число (не 10000). При 10 миллионах шарах вытянуть самое большое число (10000000) практически невозможно [7].

Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка [8].

Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента) [9].

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений [8].

Вероятностные представления довольно успешно применялись ещё в 18 веке такими выдающимися учеными как Лаплас, Лагранж, Лежандр, Гаусс для оценки ошибок измерений, в результате чего уже в то время были заложены основы теории ошибок [10, с.3].

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения [8].

Последние десятилетия характеризуются резким повышением интереса к тем разделам математики и ее приложений, которые анализируют явления, носящие «случайный» характер. Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [10, с.4].

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [8]

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. [9]

Решения чаще всего принимаются эмоционально. Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете – это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет чтобы погибнуть. По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяча людей… косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло. По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом, но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.

Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая [8].

Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.

Список использованных источников

Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)

Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.

Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018)

Крупкина Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. – 199 с.

Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/В. А. Семенов. – Санкт-Петербург: Питер, 2013. – 192 с.

Володин И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебник/И. Н. Володин. – Казань: (Издательство), 2006. – 271 с.

Екимов В. Д. Теория вероятностей как средство к успеху в своём деле, как и в любой деятельности [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://svoedel.ru/teorver.html (дата обращения — 25.01.2018)

Гатауллина Л. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/07/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni (дата обращения — 6.02.2018)

Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)

Агеев В. В. Введение в теорию вероятностей [Текст]: учебно-методическое пособие/В. В. Агеев, М. С. Тихов. – Нижний-Новгород: ФГБОУВПО Нижегородский Государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет, 2012. – 32 с.

Оригинал работы:

Теория вероятности в жизни людей

Теория вероятностей и основные понятия теории

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.

Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.

Испытанием в этом случае называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы.

Результатом испытания является событие. Событие бывает:

Например, при подбрасывании монеты невозможное событие — монета станет на ребро, случайное событие — выпадение «орла» или «решки». Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Вероятность — степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что количество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Вероятностное пространство — понятие, введенное А.Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

Вероятностное пространство — это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: , где

• — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
• — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Теорема Муавра-Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Она утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение. Она позволяет найти приближенное значение вероятности.

Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна () и — число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.

Функция распределения в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей). В англоязычной литературе обозначается через , в русской — . В статистике часто используют обозначение .

Пусть задано вероятностное пространство и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .

Дисперсия случайной величины — мера разброса данной случайной величины, т. е. ее отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Пусть — случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание.

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют зависимыми, если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть два случайных события, причем . Тогда условной вероятностью события при условии события называется
.
Закон больших чисел — это группа теорем, устанавливающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений и объясняющих причину этой устойчивости.

Простейшая форма закона больших чисел – это теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что среднее арифметическое конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему математическому ожиданию этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.

Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Центральные предельные теоремы — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Задачи теории вероятностей. Основные понятия

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, которые наблюдаются при многократном повторении опыта. На ее основе построены математическая и прикладная статистика. Ниже введен ряд основных понятий, которые Вам нужно понять при изучении курса теории вероятностей.

Под испытанием (экспериментом) понимают некоторую совокупность условий, при которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Опыт может проводиться многократно в подобных (неизменных основных) условиях, однако ряд второстепенных условий и факторов, которые невозможно проконтролировать изменяется от испытания к испытанию и приводят к разным результатам последствий эксперимента.

Случайным событием (событием) называется любой факт, который в результате эксперимента может состояться или не состояться. Случайные события обозначают большими латинскими буквами .

Вероятностью события называется численная мера свободы уверенности в появлении данного события вследствие нового испытания.

Вероятность события обозначается как .

Вероятной (достоверностью) называется событие , которое в результате испытания непременно должно произойти. Для достоверного события вероятность равна единице .

Невозможным называется такое событие , которое в результате опыта не может произойти.
Для невозможного события вероятность равна нулю .

Вероятность любого случайного события принимает значения между нулем и единицей:

Полной группой событий называется ряд таких событий , что в результате испытания непременно должно произойти хотя бы одно из них. Несколько событий в опыте называются несовместимыми, если никакие два из них не могут появиться одновременно.

Несколько событий в испытании называются равновозможными, если они имеют равные шансы появления в результате испытания. Примерами равновозможных событий можно отметить появление: герба или цифры при одном подбрасывании монеты; четного и нечетного числа очков при одном подбрасывании игрального кубика и т.д.

Если последствия испытания образуют полную группу несовместных равновозможных событий, то они называются случаями.

Множество всех результатов эксперимента, которое рассматривается называется пространством элементарных событий.

Следствие (случай) называется благоприятным событию , если оно приводит к обязательному появлению события .

Классическое определения вероятности

Если результаты испытания сводятся к схеме случаев, то вероятность события вычисляется по формуле

Где – общее число случаев; – число случаев, благоприятствующих событию .

Приведенное соотношение является классической формулой вычисления вероятности событий.

———————————————-

Приведем несколько типичных примеров.

Пример 1. В цеху по изготовлению мячей для гольфа в одной коробке было 67 мячей правильной формы и 23 мяча неправильной формы в другой. Мячи ссыпали в одну коробку. Какова вероятность того, что наугад извлечен мяч будет неправильной формы ?

Решение

Общее число равновозможных событий равна количеству всех мячей

Число способствующих событий, которые заключается в извлечении бракованного мяча — равны их количеству

По формуле вычисляем

———————————————-

Пример 2. На столе выложены кубики с номерами от единицы до девяти. Ученик наугад вытаскивает один кубик. Какова вероятность того, что:

— число из кубика делится на 3?

— число делится на 2?

Решение

Общее число случайных событий равно количеству кубиков

Число способствующих событию можно изобразить в виде множества , для В множество благоприятных событий будет следующим На основе этого число принимает значение и для первого и второго события соответственно. Вероятность их появления определяем по известной формуле

Пример 3. В группе 17 ребят и 13 девушек. Преподавателю нужно вызвать кого-то для проверки выполнения домашних заданий. Какова вероятность того, что к доске выйдет девушка?

Решение

Общее число равносильных событий равно количеству учащихся

Число девушек равно

Тогда искомая вероятность

6. Вероятность события

Определение вероятности

Предположим, что событие E может произойти r способами из n возможных равновероятных способов.

Тогда вероятность наступления события (называемого его успехом) обозначается

`P (E) = r / n`

Вероятность ненаступления события (называемого его отказом) обозначается как

`P (barE) = (n-r) / n = 1-r / n`

Обратите внимание на полоску над E , указывающую, что событие не происходит, а , а не .

Таким образом,

`P (barE) + P (E) = 1`

На словах это означает, что сумма вероятностей в любом эксперименте равна «1».

Определение вероятности с использованием выборочных пространств

Когда эксперимент проводится, мы устанавливаем пространство выборки для всех возможных результатов.

В выборке из N равновероятных исходов мы присваиваем шанс (или вес) «1 / N» каждому исходу.

Мы определяем вероятность события для такой выборки следующим образом:

Вероятность события E определяется как количество исходов, благоприятных для E , деленное на общее количество равновероятных исходов в пространстве выборки S эксперимента.

То есть:

`P (E) = (n (E)) / (n (S)`

где

Свойства вероятности

(а) 0 ≤ P (событие) ≤ 1

На словах это означает, что вероятность события должна быть числом от «0» до «1» (включительно).

(б) P (невозможное событие) = 0

Словами: Вероятность невозможного события равна «0».

(в) P (определенное событие) = 1

Словами: Вероятность абсолютно определенного события равна «1».

Пример 1

Какова вероятность …

(a) Получение туза, если я случайно выберу карту из стандартной колоды игральных карт «52».

Ответ

В стандартной колоде из 52 игральных карт у нас:

♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A

В обычной колоде 4 туза. Таким образом, вероятность выпадения туза составляет:

`P (» туз «) = 4/52 = 1 / 13`

(b) Получение «5», если я кидаю кубик.

Ответ

На кубике 6 цифр.

На кубике только одна 5, поэтому вероятность выпадения 5 равна:

`P (5) = 1 / 6`

Ответ

Четные числа — это «2, 4, 6». Итак,

`P (» четный «) = 3/6 = 1/2`

(d) У вас один вторник на этой неделе?

Ответ

У каждой недели есть вторник, поэтому вероятность = «1».

Пример 2

В сумке «15» мячей, пронумерованных от «1» до «15». Если человек выберет одно наугад, какова вероятность того, что число, напечатанное на шаре, будет простым числом больше «5»?

Ответ

Простые числа между «5» и «15»: «7, 11, 13».

Таким образом, вероятность `= 3/15 = 1 / 5`

Пример 3

Имена четырех директоров компании будут помещены в шляпу, и делегация из 2 человек будет выбрана случайным образом для представления компании на международной встрече.Пусть A, B, C и D обозначают директоров компании. Какова вероятность того, что

(а) А выбран? (b) Выбрано A или B? (c) А не выбрано?

Ответ

Возможные исходы: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

[Для каждого ответа есть несколько объяснений — надеюсь, хотя бы одно из них имеет смысл!]

Часть (а)

Объяснение 1: Вероятность равна «3/6 = 1/2», поскольку, когда мы выбираем A, мы должны выбрать одного из оставшихся 3 директоров, который будет работать с A.4`]

Часть (b)

Объяснение 1: Вероятность получить первым A или B равна «2/4 = 1/2».

Теперь рассмотрим вероятность выбора A или B в качестве второго директора. В этом случае первый директор должен быть C или D с вероятностью «2/4» (2 конкретных директора из 4 возможных).

Тогда вероятность того, что второй будет A или B, равна 2/3 (2 конкретных директора из оставшихся 3 директоров).

Нам нужно умножить две вероятности.4} `= frac {3 + 2} {6}` = 5 / 6`

[Выберите A, как указано выше, затем выберите B из оставшихся 2 директоров аналогичным образом.]

Explanation 3: Если выбрано A или B, то у нас не может быть случая C и D. Таким образом, вероятность A или B определяется как:

`P (» A или B «) = 1-P (» C и D «)` = 1-1 / 6` = 5 / 6`

Часть (с)

Вероятность того, что A не выбран, равна `1-1 / 2 = 1 / 2`

добавочный номер

Рассмотрим случай, если мы выбираем 2 директора из 5.5} `= frac {4 + 3} {10}` = 7/10`

[Выберите A, как указано выше, а затем выберите B из оставшихся 3].

Далее …

♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A

Следующие 2 раздела дают больше примеров вероятности:

Сингапур Тото
Покер

Mathematical Probability — обзор

4 Расширения системы Hintikka

Двумерный континуум Hintikka был опубликован в Aspect of Inductive Logic [1966] под редакцией Hintikka и Патрика Суппеса.Этот том основан на Международном симпозиуме по конфирмации и индукции, состоявшемся в Хельсинки в конце сентября 1965 года как продолжение более раннего семинара в Стэнфордском университете весной того же года. У Хинтикки в то время была совместная встреча в Хельсинки и Стэнфорде. Помимо эссе о парадоксах подтверждения (Макс Блэк, Суппес, фон Райт), в сборник включены несколько эссе по индукции финскими учениками Хинтикки: Ристо Хилпиненом, Раймо Туомела и Юхани Пиетариненом.

Подобно континууму Карнапа, двумерная система Hintikka сформулирована для монадического языка первого порядка с конечным числом предикатов. В качестве незначительного технического улучшения Q-предикаты могут иметь разную ширину (см. (2 ‘)). Предикаты Q могут быть определены семействами предикатов в стиле Карнапа, так что они допускают дискретные количественные описания. Более того, можно допустить, чтобы число предикатов было счетно бесконечным (см. [Kuipers, 1978b]).

Однако более сложные вопросы касаются расширений фреймворка Hintikka на языки, которые по сути являются более мощными, чем логика монадических предикатов.Хильпинен [1966] рассматривает монадических языков с идентичностью . На таких языках можно записать, что мы выбрали разных людей в наших доказательствах («выборка без замены»). Числовые кванторы «есть по крайней мере d таких людей» и «точно d — 1 человек» могут быть выражены предложениями, включающими слой взаимосвязанных кванторов d . Максимальное количество вложенных квантификаторов в формуле называется ее квантификационной глубиной .Следовательно, заменяя кванторы существования в формуле (9) числовыми кванторами, составляющие глубины d могут указывать, что каждый Q-предикат удовлетворяется либо 0,1,…, d −1, или, по крайней мере, d особи (см. [Niiniluoto, 1987, стр. 59]). Составляющая глубины d расщепляется на дизъюнкцию «подчиненных» составляющих на глубине d +1: утверждение, что в Q _и есть не менее d особей, означает, что существует ровно d или, по крайней мере, d +1 человек в Q _i .Для конечных вселенных монадические составляющие с идентичностью эквивалентны структурным описаниям Карнапа, но выражаются без индивидуальных констант.

Хильпинен расширяет иерусалимскую систему Hintikka до монадического языка с идентичностью, равномерно разделяя вероятностную массу на все составляющие на глубине d, а затем равномерно констатируя описания, влекущие за собой составляющую. Хильпинен показывает, что на основе этого распределения вероятностей неразумно предполагать, что клетки, не представленные в наших доказательствах, заняты более чем d индивидуумами.Также нерационально предполагать, что наблюдаемые сингулярности (то есть ячейки с одним наблюдаемым индивидуумом) являются реальными сингулярностями во всей вселенной. Однако все составляющие, согласно которым в нашей Вселенной существуют ненаблюдаемые сингулярности, имеют равную степень апостериорной вероятности при любом свидетельстве, и эти составляющие равновероятны, как составляющая, которая отрицает существование ненаблюдаемых сингулярностей. Последний результат не интуитивно понятен. Хилпинен показывает, что это можно изменить с помощью альтернативного назначения вероятности: распределить вероятность сначала равномерно по составляющим глубины 1, затем равномерно по всем подчиненным составляющим отдела 2 и т. Д.(ср. [Hintikka, 1965a]). Тогда наибольшая вероятность дается составляющей, которая отрицает существование ненаблюдаемых особенностей.

Туомела [1966] показывает, что основной результат Хинтикки (13) об индуктивном обобщении может быть достигнут в упорядоченной вселенной. Проблема решения для языка первого порядка, содержащего отношение Rxy = « y является непосредственным преемником x », эффективно разрешима. Предикаты Q для такого языка определяют тройки: предшественник, объект, преемник.Составляющие указывают, какие тройки существуют во Вселенной. Если всем составляющим даны равные априорные вероятности, самая простая составляющая, совместимая со свидетельством, будет иметь наибольшую апостериорную вероятность.

Индуктивная логика для полной логики первого порядка исследована Хильпиненом [1971]. ⁵ В принципе, подход Хинтикки для монадических языков может быть обобщен на эту ситуацию, поскольку сам Хинтикка в 1953 году показал, как дистрибутивные нормальные формы могут быть определены для языков первого порядка L с конечным классом полиадических отношений (см.[Ниинилуото, 1987, с. 61–80]). Для каждой количественной глубины d > 0, то есть количества уровней кванторов, формула L может быть выражена как дизъюнкция составляющих глубины d . Эта нормальная форма может быть расширена на большую глубину. Новая особенность этого метода проистекает из неразрешимости полной логики первого порядка: некоторые составляющие нетривиально противоречивы, и не существует эффективного метода их определения. Логическая форма составляющей глубины d по-прежнему (13), но теперь предикаты Q или «атрибутивные составляющие» представляют собой деревья с ветвями длиной d .Составляющая глубины 1 сообщает, какие типы людей существуют во вселенной, теперь описываемые их свойствами и их отношениями к себе. Составляющая C ⁽²⁾ глубины 2 — это систематическое описание всех различных типов пар индивидуумов, которые можно найти во Вселенной. Составляющая C ^{( d )} глубины d представляет собой конечный набор конечных деревьев с максимальными ветвями длины d. Каждая такая ветвь соответствует последовательности индивидов, которую можно нарисовать с заменой из вселенной.Такие составляющие C ^{( d )}, таким образом, являются сильнейшими обобщениями глубины ≤ d , выражаемыми на языке L . Каждая законченная теория в L может быть аксиоматизирована монотонной последовательностью подчиненных составляющих 〈 C ^{( d )} | d <∞〉, где… C ^{( d +1)} ⊢ C ^{( d )} ⊢… ⊢ C ⁽¹⁾.’index-De Morgan, A.

Учитывая общую теорию дистрибутивных нормальных форм, аксиоматический подход в принципе может быть применен к случаю составляющих глубины d. Всякий раз, когда могут быть сделаны предположения, соответствующие A1, A2, A3 и A6, будет одна составляющая C ^{( d )}, которая получает асимптотически вероятностную единицу на основе свидетельств, состоящих из разветвленных последовательностей d взаимосвязанных индивидов. . Общий случай еще не изучен.Работа Хильпинена 1971 года до сих пор остается наиболее подробным анализом индуктивной логики с отношениями. ⁶

Хилпинен изучает составляющие глубины 2. Доказательства e включают n наблюдаемых индивидов и полное описание отношений каждой пары индивидов в e . Теперь составляющие C ^w глубины 2 описывают, какие типы людей существуют во вселенной U . Утверждение D ^v , в котором для каждого индивидуума a _i в e , которому удовлетворяет атрибутивный компонент a _i , дает ответ на вопрос о том, как наблюдаемые люди связаны с ненаблюдаемыми. частные лица.Хильпинен равномерно распределяет индуктивную вероятность P ( C ^w ) по составляющим C ^w . Вероятности формы P ( D ^v / C ^w ) определяются репрезентативной функцией формы в стиле Карнапа-Хинтикки (15). Вероятность P ( e / D ^v и C ^w ) также определяется той же репрезентативной функцией, но теперь применяется к парам особей.Опять же, что соответствует основному асимптотическому результату Хинтикки (13), наивысшая апостериорная вероятность при большом свидетельстве дается простейшему соединению D ^e и C ^e , где D ^e утверждает, что индивиды в и связаны с ненаблюдаемыми индивидуумами так же, как и с наблюдаемыми индивидуумами, а C ^e утверждает, что во вселенной есть только те типы людей, которые, согласно D ^e , уже представлены в Е .Хилпинен замечает, что существует еще один вид «простоты»: количество видов индивидуумов в D ^e можно уменьшить, если предположить, что все особи в e имеют одинаковые отношения с наблюдаемыми и некоторыми еще ненаблюдаемыми индивидуумами. Если это выражение обозначено как D ¹, а соответствующая составляющая — как C ¹, то P ( D ^v / C ^v ) максимизируется на D . ¹ и С ¹.Следовательно, индуктивные методы, работающие с полиадическими языками, нуждаются, по крайней мере, в двух отдельных параметрах, которые регулируют веса, присвоенные двум видам простоты. ‘Индекс-подобные обобщения

Расширение системы Хинтикки на модальную логику было предложено Сошичи Учии [1972; 1973; 1977] (ср. [Niiniluoto, 1987, pp. 91–102]). Такое рассмотрение интересно, если формулировка законоподобных обобщений требует интенсиональных понятий, таких как необходимость и возможность (см. [Pietarinen, 1972]).Сам Хинтикка является одним из основоположников семантики возможных миров для модальной логики (см. [Bogdan, 1987; Hintikka, 2006]). Учи интересуется монадическим языком L (□) с операторами номической или причинной необходимости □ и номической возможности ♦. Здесь ♦ = ~ □ ~. Предполагается, что необходимость удовлетворяет условиям системы Льюиса S5. Номинальные составляющие L (□) теперь могут быть определены по аналогии с (10):

(29) ∈i∈CT⋄ (∃x) Qi (x) & □ (x) [∨i∈ CTQi (x)].

Учии называет (29) «непарадоксальным законом причинности». (29) определяет, какие типы людей физически возможны, а какие физически невозможны. Даже более сильные модальные утверждения могут быть определены как

(30) ∧i∈H⋄Ci & □ [∨i∈HCi].

, где C _i — обычные составляющие языка L без □. Законы, выражаемые в L (□), обычно являются тем, что Джон Стюарт Милль называл «законами сосуществования». Чтобы выразить «законы последовательности» Милля, необходимо добавить некоторые временные понятия к L (□) (см. [Uchii, 1977]).

Обозначим через B _i номную составляющую (29), которая имеет такие же положительные Q -предикаты, что и обычная составляющая C _i . Поскольку реальность влечет за собой возможность, существует K — w номных составляющих, совместимых с обычным составляющим C ^w шириной w . Обработка Учии предполагает, что P ( C _i ) = P ( B _i ) для всех и .Кроме того, вероятность свидетельства e с учетом фактического состава C _i вселенной не изменяется, если к свидетельству добавляется соответствующий номерной компонент B _i : P ( e / C _i ) = P ( e / C _i и B _i ). Из (13) следует, что

(31) P (Bc / enc) → 1, когда n → ∞ и правильно, тогда и только тогда, когда P (Bc / Cc) = 1.

Таким образом, если мы асимптотически убедились, что C ^c является истинным описанием действительного строения Вселенной, такая же уверенность сохраняется и для номической составляющей B ^c тогда и только тогда, когда P ( C ^c / B ^c ) = P ( B ^c / C ^c ) = 1.Учи делает это очень сильное предположение, которое просто исключает все номические составляющие K — c , совместимые с C ^c и опровергнутые асимптотическими доказательствами. Фактически, он постулирует, что P ((∃xϕ (x)) / ⋄ (∃x) ϕ (x)) = 1 для всех формул ϕ . Эта сомнительная метафизическая доктрина, которая утверждает, что все подлинные возможности реализуются в реальной истории, известна как Принцип полноты .

Альтернативная интерпретация предложена Ниинилуото [1987, стр.101–102]. Возможно, реальное строение Вселенной не так интересно, поскольку свидетельство e, полученное в результате активных экспериментов , откроет новые возможности. Поскольку законы природы имеют контрфактическую силу, эксперимент можно считать ключом к их подтверждению (см. [Von Wright, 1971]). Таким образом, вместо флуктуирующей истинной фактической составляющей C ^c мы должны больше интересоваться постоянными характеристиками Вселенной, выраженными истинной номической составляющей.Это говорит о том, что индуктивный подход из разделов 2 и 3 напрямую сформулирован с номическими составляющими, так что аксиоматические допущения подразумевают результат сходимости для составляющей B ^c на основе экспериментальных данных, прилагаемых.

Искусство решения проблем

Вероятность традиционно считается одной из самых сложных областей математики, поскольку вероятностные аргументы часто приводят к явно парадоксальным или нелогичным результатам.Примеры включают парадокс Монти Холла и проблему дня рождения. Вероятность можно условно определить как вероятность того, что событие произойдет.

Видео для начинающих!

Начальная вероятность

Прежде чем читать следующие темы, учащийся, изучающий вероятность, должен познакомиться с вводными методами счета.

Формальное определение вероятности

Основы вероятности лежат в области анализа, известной как теория меры.Теория меры в целом имеет дело с интеграцией, в частности, с тем, как определить и расширить понятие «площадь» или «объем». Таким образом, интуитивно можно сказать, что вероятность определяет, какой «объем» занимает событие в пространстве результатов. Теория меры предполагает значительную математическую зрелость, поэтому ее обычно игнорируют, пока человек не достигнет продвинутого уровня бакалавриата. Когда теория меры раскрыта, вероятность становится намного проще в использовании и понимании.

На языке теории меры вероятность формально определяется как тройка, известная как пространство вероятностей.Вот набор, называемый пробным пространством, и представляет собой класс событий, заданный определенными подмножествами. должен удовлетворять определенным свойствам (это должна быть -алгебра), чтобы квалифицироваться как класс событий. Вместе и образуют то, что известно как измеримое пространство. — это присвоение с определенными свойствами (это особый вид меры), называемое функцией вероятности или вероятностной мерой. Каждому возможному событию он присваивает «объем».

В качестве простого примера рассмотрим подбрасывание одной монеты. В этом случае, и присваивают следующие вероятности событиям в:
,

, г.

Мы можем интерпретировать это как утверждение, что событие получения решки и событие получения решки занимают равную половину множества возможных исходов; событие выпадения орла или решки неизбежно, и точно так же вероятность выпадения ни орла, ни решки равна нулю.

Конечно, для понимания этого примера не нужна теория меры, но он показывает, как перевести очень простую ситуацию на язык теории меры. Более того, если кто-то хочет определить, является ли монета честной или взвешенной, это будет трудно сделать без использования методов вывода, основанных на теории меры.

Типы вероятностей

Часть всестороннего понимания базовой вероятности включает понимание различий между различными типами вероятностных задач.

Важные подразделения вероятности включают:

Примеры проблем

Вводный

Средний

Ресурсы

Условная вероятность

Как обрабатывать зависимых событий

Жизнь полна случайных событий! Чтобы они были умными и успешными людьми, нужно их «чувствовать».

Независимые мероприятия

События могут быть «Независимыми», то есть на каждое событие не влияют какие-либо другие события.

Пример: подбрасывание монеты.

Каждое подбрасывание монеты — это совершенно изолированная вещь.

То, что он делал в прошлом, не повлияет на текущий бросок.

Вероятность просто 1 к 2, или 50%, как при ЛЮБОМ подбрасывании монеты.

Итак, каждый бросок — это Независимое событие .

Зависимые события

Но события также могут быть «зависимыми» … что означает, что на них могут влиять предыдущие события …

Пример: шарики в сумке

В сумке 2 синих и 3 красных шарика.

Каковы шансы получить синий шарик?

Вероятность 2 из 5

Но после того, как вынуть одну , шансы меняются!

Так в следующий раз:

, если раньше мы получали красный шарик , то вероятность следующего синего шарика составляет 2 из 4

, если раньше мы получали синий шарик , то вероятность следующего синего шарика составляет 1 из 4

Это потому, что мы удаляем из сумки шариков.

Итак, следующее событие зависит от того, что произошло в предыдущем событии, и называется зависимым .

Замена

Примечание: если мы заменяем шариков в сумке каждый раз, то шансы, что , а не , изменится, и события будут независимыми:

С заменой : события Независимые (шансы не меняются)
Без Замена: события Зависимые (шансы меняются)

Зависимые события — это то, что мы здесь рассматриваем.

Древовидная диаграмма

Древовидная диаграмма: прекрасный способ представить, что происходит, поэтому давайте построим ее для нашего примера с шариками.

Есть шанс 2/5 вытащить синий шарик и шанс 3/5 для красного:

Мы можем пойти еще дальше и посмотреть, что произойдет, когда мы возьмем второй шарик:

Если сначала был выбран синий шарик, то теперь шанс получить синий шарик составляет 1/4, а шанс получить красный шарик — 3/4.

Если первым был выбран красный шарик, то теперь шанс получить синий шарик составляет 2/4, а шанс получить красный шарик — 2/4.

Теперь мы можем ответить на такие вопросы, как «Каковы шансы нарисовать 2 синих шарика?»

Ответ: это шанс 2/5 , за которым следует шанс 1/4 :

Вы видели, как мы умножили шансы? И в результате получил 1/10.

Вероятность выпадения 2 синих шариков составляет 1/10

Обозначение

Мы любим обозначения в математике! Это означает, что затем мы можем использовать силу алгебры, чтобы поэкспериментировать с идеями.Вот обозначение вероятности:

P (A) означает «Вероятность события A»

В нашем примере с шариками Событие A — «сначала получите синий шарик» с вероятностью 2/5:

P (A) = 2/5

И событие B — это «получить секунду из синего мрамора» … но для этого у нас есть 2 варианта:

Если мы сначала получили Blue Marble , то теперь шанс 1/4
Если мы сначала получили красный мрамор , то теперь шанс 2/4

Итак, мы должны сказать , какой из них мы хотим , и использовать символ «|» означать «данный»:

P (B | A) означает «Событие B при Событие A»

Другими словами, событие A уже произошло, какова вероятность события B?

P (B | A) также называется «условной вероятностью» B для A.

А в нашем случае:

P (B | A) = 1/4

Таким образом, вероятность получить 2 синих шарика составляет:

И пишем как

«Вероятность события A и события B равна
вероятности события A, в раз превышающей вероятность события B для данного события A »

Давайте сделаем следующий пример, используя только обозначения:

Пример: извлечение 2 королей из колоды

Событие A рисует первым короля, а Событие B рисует второго короля.

Для первой карты шанс вытянуть короля — 4 из 52 (в колоде из 52 карт 4 короля):

P (А) = 4/52

Но после удаления короля из колоды вероятность того, что вторая карта будет вытянутой, будет минус , вероятно, король (только 3 из 51 оставшейся карты — короли):

P (B | A) = 3/51

А так:

P (A и B) = P (A) x P (B | A) = (4/52) x (3/51) = 12/2652 = 1/221

Таким образом, шанс получить 2 короля составляет 1 из 221, или около 0.5%

Поиск скрытых данных

Используя алгебру, мы также можем «изменить тему» формулы, например:

Начать с:		P (A и B) = P (A) x P (B \| A)
Поменять стороны:		P (A) x P (B \| A) = P (A и B)
Разделить на P (A):		P (B \| A) = P (A и B) / P (A)

А у нас есть еще одна полезная формула:

«Вероятность события B для данного события A равна
вероятности события A и события B , деленной на вероятность события A

Пример: Мороженое

70% ваших друзей любят шоколад и 35% любят шоколад И любят клубнику.

Какой процент любителей шоколада также любит клубнику?

P (клубника | шоколад) = P (шоколад и клубника) / P (шоколад)

0,35 / 0,7 = 50%

50% ваших друзей, которым нравится шоколад, также любят клубнику

Большой пример: футбольный матч

Вы ушли на футбол и хотите быть вратарем, но это зависит от того, кто сегодня является тренером:

с тренером Сэмом вероятность быть вратарем 0.5
с тренером Алексом вероятность быть вратарем 0,3

Сэм является тренером чаще … примерно в 6 из каждых 10 игр (вероятность 0,6 ).

Итак, какова вероятность того, что вы станете вратарем сегодня?

Построим древовидную диаграмму. Сначала мы показываем двух возможных тренеров: Сэм или Алекс:

Вероятность получить Сэма равна 0,6, поэтому вероятность появления Алекса должна быть 0.4 (вместе вероятность 1)

Теперь, если вы получите Сэма, вероятность быть вратарём 0,5 (и 0,5 не вратарём):

Если вы получите Алекса, вероятность быть вратарем 0,3 (и 0,7 нет):

Древовидная диаграмма завершена, теперь давайте посчитаем общие вероятности. Помните, что:

P (A и B) = P (A) x P (B | A)

Вот как это сделать для ветки «Sam, Yes»:

(Когда мы берем 0.Шанс 6 на то, что Сэм будет тренером, умноженный на 0,5 шанс того, что Сэм позволит вам стать вратарем, мы получаем шанс 0,3.)

Но мы еще не закончили! Мы не включили Алекса в качестве тренера:

Шанс 0,4 на роль Алекса в качестве тренера, за которым следует шанс 0,3, дает 0,12

И две ветви «Да» вместе составляют:

0,3 + 0,12 = 0,42 вероятность быть вратарем сегодня

(это шанс 42%)

Проверить

Последний шаг: завершите вычисления и убедитесь, что они прибавляют к 1:

0.3 + 0,3 + 0,12 + 0,28 = 1

Да, они добавляют к 1 , так что все выглядит правильно.

Друзья и случайные числа

Вот еще один совсем другой пример условной вероятности.

4 друга (Алекс, Блейк, Крис и Дасти) выбирают случайное число от 1 до 5. Какова вероятность того, что кто-то из них выберет одно и то же число?

Давайте добавлять наших друзей по одному …

Во-первых, каков шанс, что у Алекса и Блейка одинаковые номера?

Блейк сравнивает свой номер с номером Алекса.Вероятность совпадения составляет 1 из 5.

В виде древовидной диаграммы:

Примечание. «Да» и «Нет» вместе составляют 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)

Теперь давайте включим Криса …

Но теперь необходимо рассмотреть два случая:

Если Алекс и Блейк совпали , то у Криса есть только для сравнения с одним числом .
Но если у Алекс и Блейк не совпадают , то у Криса есть , два числа для сравнения.

И получаем это:

По верхней строчке (Алекс и Блейк совпали ) у нас уже есть совпадение (шанс 1/5).

Но для «Алекс и Блейк не совпали » теперь есть 2/5 шанс совпадения Криса (потому что Крис может сопоставить свой номер с Алексом и Блейком).

И мы можем вычислить совокупный шанс, умножив на шансы, которые потребовались, чтобы попасть туда:

По пути «Нет, Да»… есть вероятность 4/5 «Нет», а затем вероятность 2/5 «Да»:

(4/5) × (2/5) = 8/25

Следуя пути «Нет, Нет» … есть шанс 4/5 «Нет», за которым следует шанс 3/5 «Нет»:

(4/5) × (3/5) = 12/25

Также обратите внимание, что когда мы складываем все шансы вместе, мы все равно получаем 1 (хорошая проверка, что мы не ошиблись):

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

Что происходит, когда мы включаем Дасти?

Это та же идея, но в большей степени:

Хорошо, это все 4 друга, и шансы «Да» вместе составляют 101/125:

Ответ: 101/125

Но вот кое-что интересное… если мы пойдем по пути «Нет», мы сможем пропустить все остальные вычисления и облегчить себе жизнь:

Вероятность того, что не совпадет с , составляет:

(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125

Таким образом, шансы на совпадение равны:

1 — (24/125) = 101/125

(И для этого нам не нужна была древовидная диаграмма!)

И это популярный вероятностный трюк:

Часто проще решить случай «Нет»
(и вычесть из 1 для случая «Да»)

(Подробнее об этой идее можно прочитать в разделе «Общие дни рождения».)

Условная вероятность — определение, формула, вероятность событий

Что такое условная вероятность?

Условная вероятность — это вероятность наступления события при условии, что другое событие уже произошло. Эта концепция является одной из основных концепций теории вероятностей. Правило общей вероятности. Правило общей вероятности (также известное как закон полной вероятности) является фундаментальным правилом в статистике, относящейся к условным и предельным значениям.Обратите внимание, что условная вероятность не утверждает, что между двумя событиями всегда существует причинная связь, а также не указывает, что оба события происходят одновременно.

Понятие условной вероятности в первую очередь связано с теоремой Байеса Теорема Байеса В статистике и теории вероятностей теорема Байеса (также известная как правило Байеса) представляет собой математическую формулу, используемую для определения условной вероятности. которая является одной из самых влиятельных теорий в статистике.

Формула условной вероятности

Где:

P (A | B) — условная вероятность; вероятность наступления события A при условии, что событие B уже произошло
P (A ∩ B) — совместная вероятность событий A и B; вероятность того, что оба события A и B произойдут
P (B) — вероятность события B

Приведенная выше формула применяется для расчета условной вероятности событий, которые не являются независимыми Независимые события В статистике и теории вероятностей, Независимые события — это два события, в которых возникновение одного события не влияет на возникновение другого события и не исключает друг друга.

Другой способ вычисления условной вероятности — использование теоремы Байеса. Теорема может использоваться для определения условной вероятности события A, учитывая, что событие B произошло, зная условную вероятность события B, учитывая, что событие A произошло, а также индивидуальные вероятности событий A и B. , теорему Байеса можно обозначить следующим образом:

Наконец, условные вероятности можно найти с помощью древовидной диаграммы.На древовидной диаграмме вероятности в каждой ветви условны.

Условная вероятность для независимых событий

Два события являются независимыми, если вероятность исхода одного события не влияет на вероятность исхода другого события. По этой причине условная вероятность двух независимых событий A и B равна:

P (A | B) = P (A)

P (B | A) = P (B)

Условная вероятность для Взаимоисключающие события

В теории вероятностей взаимоисключающие события Взаимоисключающие события В статистике и теории вероятности два события являются взаимоисключающими, если они не могут происходить одновременно.Простейшим примером взаимоисключающих явлений являются события, которые не могут происходить одновременно. Другими словами, если одно событие уже произошло, другое может событие произойти не может. Таким образом, условная вероятность взаимоисключающих событий всегда равна нулю.

P (A | B) = 0

P (B | A) = 0

Дополнительные ресурсы

CFI предлагает сертификацию FMVA® Financial Modeling & Valuation Analyst (FMVA) ™ Присоединяйтесь к 350 600+ студентам, которые работают в компаниях как Amazon, J.П. Морган и программа сертификации Ferrari для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:

ForecastingForecastingForecasting — это практика прогнозирования того, что произойдет в будущем, с учетом событий в прошлом и настоящем. По сути, это инструмент для принятия решений, который помогает предприятиям справиться с последствиями неопределенности будущего путем изучения исторических данных и тенденций.
Закон больших чисел Закон больших чисел В статистике и теории вероятностей закон больших чисел — это теорема, которая описывает результат повторения одного и того же эксперимента большого количества
Непараметрических тестов Непараметрические тесты В статистике непараметрические тесты — это методы статистического анализа, которые не требуют распределения для соответствия требуемым допущениям для анализа
Количественный анализ Количественный анализ Количественный анализ — это процесс сбора и оценки поддающихся измерению и проверке данных, таких как доходы, доля рынка и заработная плата, чтобы понять поведение и эффективность бизнеса .В эпоху информационных технологий количественный анализ считается предпочтительным подходом к принятию обоснованных решений.

Правила вероятностей и независимых событий

Изучение
Вероятность в основном связана с объединением различных событий и их изучением.
события рядом друг с другом. От того, как эти разные события связаны друг с другом, зависит
методы и правила, которым нужно следовать, когда мы изучаем их вероятности.

События можно разделить на две основные категории: «Зависимые» или «Независимые».

Независимые события

Когда говорят, что два события независимы друг от друга, это означает, что
вероятность того, что одно событие произойдет, никоим образом не влияет на вероятность другого
событие происходит. Ниже приведен пример двух независимых событий; скажи, что ты катился
кубик и подбросил монетку.Вероятность выпадения любого числа на кубике
никоим образом не влияет на вероятность выпадения на монете орла или решки.

Зависимые события

Когда два события считаются зависимыми, вероятность возникновения одного события
влияет на вероятность другого события.

Например, если вы должны были взять две карты из колоды из 52 карт. Если на вашем
при первом розыгрыше у вас был туз, и вы откладываете его, вероятность того, что
туз во втором розыгрыше сильно изменился, потому что вы вытащили туз в первый раз.Давайте посчитаем эти разные вероятности, чтобы увидеть, что происходит.

В колоде из 52 карт 4 туза

При первом розыгрыше вероятность выпадения туза равна:

Если мы не вернем эту карту в колоду, вероятность выпадения туза на
второй выбор дает

Как вы можете ясно видеть, две вышеупомянутые вероятности различны, поэтому мы говорим, что
два события зависимы.Вероятность второго события зависит от того, что
происходит в первом событии.

Условная вероятность

Мы уже определили зависимые и независимые события и увидели, как вероятность
одного события относится к вероятности другого события.

Имея в виду эти концепции, мы можем теперь взглянуть на условную вероятность.

Условная вероятность имеет дело с дальнейшим определением зависимости событий путем поиска
при вероятности события при условии, что сначала происходит какое-то другое событие.

Условная вероятность обозначается следующим образом:

Вышеупомянутое читается как , вероятность того, что B произойдет, при условии, что A уже произошло .

Вышеупомянутое математически определяется как:

Установить теорию вероятности

Пространство выборки определяется как универсальный набор всех возможных результатов данного
эксперимент.

Учитывая два события A и B и учитывая, что эти события являются частью
пробел S . Этот образец пространства представлен в виде набора, как на диаграмме
ниже.

Полное пространство образцов S определяется по:

Помните следующее из теории множеств:

Различные регионы набора S можно объяснить как использование правил
вероятность.

Правила вероятности

Имея дело с более чем одним событием, мы должны соблюдать определенные правила.
при изучении вероятности этих событий. Эти правила во многом зависят от того,
События, на которые мы смотрим, Независимы или зависят друг от друга.

Сначала подтвердите, что

Правило умножения (A∩B)

Эта область упоминается как «пересечение B» и по вероятности; этот регион
относится к событию, в котором происходят как A, , так и B .Когда мы используем слово
и мы имеем в виду умножение, поэтому A и можно считать
как AxB или (с использованием точечной нотации, которая более популярна с точки зрения вероятности) A • B

Если A и B являются зависимыми событиями, вероятность того, что это событие произойдет
можно рассчитать, как показано ниже:

Если A и B являются независимыми событиями, вероятность того, что это событие произойдет
можно рассчитать, как показано ниже:

Условную вероятность для двух независимых событий можно переопределить с помощью отношения
вверху стать:

Сказанное выше согласуется с определением независимых событий, возникновение
события A никоим образом не влияет на возникновение события B , и поэтому
вероятность того, что событие B произойдет, учитывая, что событие A произошло
равна вероятности события B .

Аддитивное правило (A∪B)

Вероятно, мы будем ссылаться на оператор сложения ( + ) как на или . Таким образом, когда
мы хотим, чтобы мы хотели определить какое-то событие, такое, что событие может быть A или B, чтобы найти
вероятность того события:

Отсюда следует, что:

Но помните из теории множеств, что и из того, как мы определили пространство выборки выше:

и это:

Итак, теперь мы можем переопределить событие как

Вышеизложенное иногда называют правилом вычитания.

Взаимная эксклюзивность

Некоторые особые пары событий имеют уникальные отношения, называемые взаимными.
эксклюзивность.

Два события считаются взаимоисключающими, если они не могут происходить одновременно.
Для заданного пространства выборки либо одно, либо другое, но не то и другое одновременно. Как следствие,
вероятность взаимоисключающих событий определяется следующим образом:

Примером взаимоисключающих событий являются результаты честного подбрасывания монеты.Когда
вы подбрасываете честную монету, вы получаете либо голову, либо хвост, но не то и другое вместе, мы можем доказать
что эти события являются взаимоисключающими, добавляя их вероятности:

Для любой данной пары событий, если сумма их вероятностей равна единице,
тогда эти два события исключают друг друга.

Правила вероятности взаимоисключающих событий

Правило умножения
Из определения взаимоисключающих событий мы должны быстро заключить
следующее:
Дополнение Правило
Как мы определили выше, правило сложения применяется к взаимоисключающим событиям следующим образом:
Правило вычитания
Из приведенного выше правила сложения мы можем заключить, что правило вычитания для взаимно
эксклюзивные события принимают форму;

Условная вероятность взаимоисключающих событий

Мы определили условную вероятность с помощью следующего уравнения:

Мы можем переопределить вышеизложенное, используя правило умножения

следовательно

Ниже представлена диаграмма Венна набора, содержащего два взаимоисключающих события A
и B .

Вероятность

— По дополнению | Блестящая вики по математике и науке

При исследовании вероятностных проблем важно уметь описывать дополнения и распознавать, когда событие можно интерпретировать как дополнение.

Событие и его дополнение исключают друг друга. Это означает, что событие и его дополнение не имеют общих результатов. Событие и его дополнение также являются исчерпывающими. Это означает, что событие и его дополнение вместе содержат все исходы в пространстве выборки.

Пусть AAA и BBB будут событиями в SSS пространства отсчетов.
AAA и BBB являются исчерпывающими , если A∪B = SA \ cup B = SA∪B = S.

Когда событие описывается вам как что-то, что могло произойти, дополнение этого события составляет всех остальных возможных событий, которые могут произойти.

Есть коробка с красными, синими и зелеными шарами. Шарик наугад вытягивается из коробки. Пусть RRR будет событием, когда выпадает красный шар.cRc должно быть событием, когда вы вытаскиваете зеленый или синий шар.

Возможно, труднее распознать, когда событие может быть описано как дополнение к другому событию. Переосмысление событий как дополнений к другим событиям — полезный навык, который может помочь в эффективном вычислении вероятностей.

Честный 6-гранный кубик бросается три раза. Пусть AAA будет событием, при котором по крайней мере один роликов равен 6. Опишите AAA как дополнение к другому событию.cAc — это событие, при котором xxx происходит по крайней мере один раз в эксперименте.

Декабрь 2024
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Как обозначается вероятность в математике: Математическое Бюро. Страница 404

Математика для ИИ: теория вероятностей

Базовые термины

Случайные величины и распределение вероятностей

Математическое ожидание, дисперсия и ковариация

Теория вероятностей, виды событий, вычисление вероятности появления события

Что нужно знать, чтобы определять вероятность появления события

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение

Вероятность равновозможных событий 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Теория вероятности в жизни людей — Информио

Теория вероятностей и основные понятия теории

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Задачи теории вероятностей. Основные понятия

6. Вероятность события

Определение вероятности

Определение вероятности с использованием выборочных пространств

Свойства вероятности

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Часть (а)

Часть (b)

Часть (с)

добавочный номер

Далее …

Mathematical Probability — обзор

4 Расширения системы Hintikka

Искусство решения проблем

Видео для начинающих!

Начальная вероятность

Формальное определение вероятности

Типы вероятностей

Примеры проблем

Вводный

Средний

Ресурсы

Условная вероятность

Независимые мероприятия

Пример: подбрасывание монеты.

Зависимые события

Пример: шарики в сумке

Древовидная диаграмма

Обозначение

Пример: извлечение 2 королей из колоды

Поиск скрытых данных

Пример: Мороженое

Большой пример: футбольный матч

Проверить

Друзья и случайные числа

Во-первых, каков шанс, что у Алекса и Блейка одинаковые номера?

Теперь давайте включим Криса …

Что происходит, когда мы включаем Дасти?

Условная вероятность — определение, формула, вероятность событий

Что такое условная вероятность?

Формула условной вероятности

Условная вероятность для независимых событий

P (A | B) = P (A)

P (B | A) = P (B)

Условная вероятность для Взаимоисключающие события

P (A | B) = 0

P (B | A) = 0

Дополнительные ресурсы

Правила вероятностей и независимых событий

Независимые события

Зависимые события

Условная вероятность

Установить теорию вероятности

Правила вероятности

Правило умножения (A∩B)

Аддитивное правило (A∪B)

Взаимная эксклюзивность

Правила вероятности взаимоисключающих событий

Условная вероятность взаимоисключающих событий

— По дополнению | Блестящая вики по математике и науке

Добавить комментарий Отменить ответ