Как задать множество: Способы задания множеств — MT1100: Дискретная математика — SAVANT.PRO

Урок 10. некоторые сведения из теории множеств — Информатика — 10 класс

Информатика, 10 класс. Урок № 10.

Тема — Некоторые сведения из теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.

Георг Кантор

(1845—1918)

Немецкий математик, создатель теории множеств

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.

Например:

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.).

Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:

Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Е принято называть подмножеством D:

D={1,2,3,4,5,6,7,8…}

E={2,4,6,8…}

Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

Например:

Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:

Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.

Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:

A={1,3,6,9}

B={2,4,6,8}

A⋃B={1,2,3,4,6,8,9}

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:

A={1,3,6,9}

B={2,4,6,8}

A\B={1,3,9}

Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:

A={2,4,6}

B={1,2,3,4,5,6}

Мощностью множества называется число его элементов: A={1,2,3,4,5,6}

|A|=5

Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:

A={1,3,5,7}

B={2,4,6,8}

|A⋃B|=8

Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:

|A⋃B|= |A|+|B|–| A⋂B|

A={1,2,3,4,5,6}

B={2,4,6,8}

|A⋃B|=6+4–3=7

Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:

|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|-|B⋂C|+|A⋂B⋂C|

Задание №1.

В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?

Дано:

|A|=17, |B|=8, |C|=13

|A⋂B|=3, |A⋂C|=10, |B⋂C|=2

|A⋂B⋂C|=1

по формуле включения:

|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|–|B⋂C|+|A⋂B⋂C|=17+8+13–3–10–2+1=24

Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1

Задание №2.

1. Множество общих элементов двух множеств
2. Совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое
3. Число элементов множества
4. Множество элементов, не входящих в подмножество
5. Множество, состоящее из всех элементов двух (или более) множеств и не содержащее никаких других элементов

Проверьте свои ответы:

1. Пересечение
2. Множество
3. Мощность
4. Дополнение
5. Объединение

Задание №3

Закрасьте область цветом:

1. Зеленым — R\(P\Q)
2. Красным — (P⋂R)\Q
3. Желтым — (P∪Q)\R

Ваше решение должно быть таким:

Объявление множеств и действия над ними

Объявление множеств

В языке программирования Pascal существует понятие множества, имеющее смысл некоторого собрания элементов, одно и того же базового типа. Базовый тип определяет перечень всех элементов, которые вообще могут содержаться в данном множестве. В качестве базового типа может выступать любой простой порядковый тип. Но вещественные числа (real не порядковый тип) и строки (не простой и не порядковый тип) не могут быть элементами множества.

Размер множества в Turbo Pascal всегда ограничен некоторым предельно допустимым количеством элементов. Во множествах допускаются только такие элементы, порядковые значения которых не выходят за границы 0..255. Для целочисленных множеств это означает, что в них могут присутствовать только числа от 0 до 255. Отрицательные элементы множеств в Turbo Pascal не допускаются. Поэтому базовыми типами не могут быть типы shortint, integer, longint. Если же необходимо множество целочисленных объектов, то базовый тип должен объявлен как диапазон типа byte. Для множеств, содержащих символы, подобных затруднений нет, поскольку базовым типом для них является char (а в нем 256 значений с порядковыми номерами от 0 до 255).

В математике для обозначения множества используют фигурные скобки (например, {4, 7, 12}), в Паскаль — квадратные (например, [1, 3, 5]). Порядок элементов во множестве не имеет значения. Так, записав [3, 6, 9] или [9, 3, 6], мы будем иметь дело с одним и тем же множеством. Более того, многократное повторение одного и того же элемента не меняет множество. Например, [4, 7, 3] и [3, 7, 4, 4] – это одно и то же множество.

По форме записи объявление переменной типа множество сходно с объявлением одномерного массива:

var
	имя: set of тип;

Например, объявление переменной ch, рассматриваемой как множество с базовым типом char, имеет вид:

В отличие от элементов массива, элементы множества не упорядочены и не имеют индексов.

Можно сначала объявить тип множества, а потом использовать его для объявления переменных:

type
	t_ch = set of char;
var
	ch2, ch3: t_ch;

Довольно часто в качестве базового типа множества используется тип перечисления или некоторый его диапазон:

type
	week_days = (Mon, Tue, Wed, Thu, Fri);
var
	work_days: set of week_days;
	lett: set of 'A'..'Z';

Объявление переменной-множества не дает ей определенного значения.

Построение множества

Чтобы во множестве появились элементы, необходимо выполнить оператор присваивания, в левой части которого стоит имя переменной-множества, а в правой — конструктор множества или некоторое выражение над множествами.

Конструктор множества — это заключенный в квадратные скобки перечень элементов, разделенных запятыми. В качестве элементов могут использоваться диапазоны значений:

type
	week_days = (Mon, Tue, Wed, Thu, Fri);
var
	work_days: set of week_days;
	lett: set of 'A'..'Z';
begin
	work_days := [Mon, Wed, Thu];
	lett := ['C', 'E'..'M', 'Z']
end.

Следует помнить, что при задании множества порядок его элементов безразличен, но при задании диапазона такой порядок важен.

Множество, в котором нет элементов, называется пустым (или нуль-множеством). В языке программирования Паскаль обозначается квадратными скобками, между которыми нет элементов:

Множество может быть объявлено типизированной константой, для чего в описании после знака равенства следует указать конструктор множества. Например:

const lett: set of ['а'..'я'] = ['а', 'е', 'и', 'о', 'у', 'ы', 'э', 'ю', 'я'];

В данном случае оператор описывает множество, элементами которого могут быть буквы русского алфавита, с записью в него начального значения, которое представляет собой множество гласных букв.

Конструируя множества, можно использовать и переменные при условии, что их текущие значения попадают в диапазон базового типа множества. Так, если ch2 и ch3 имеют тип char, то допустима следующая последовательность операторов:

ch2 := 'A';
ch3 := 'K';
chs := [ch2, ch3, 'M'];

В результате получится множество [‘A’, ‘K’, ‘M’].

Элементы множества нельзя вводить и выводить. Для организации ввода-вывода элементов множества следует использовать вспомогательные переменные. В то же время можно использовать множества как элементы типизированных файлов.

Действия над множествами

Объединение, пересечение и разность множеств

Над множествами выполнимы объединение (+), пересечение (*) и разность (-).

Объединение двух множеств A и B (A + B) – это новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству A или B, либо тому и другому одновременно.

var
	chs1, chs2, chs3: set of char;
begin
	chs1 := ['a', 'b', 'd'];
	chs2 := ['m', 'd', 'e'];
	chs3 := chs1 + chs2 + ['k', 'n'];
end.

Результат: chs3 = ['a', 'b', 'd', 'm', 'e', 'k', 'n'].

Пересечение двух множеств A и B (A * B) – это множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множествам A и B.

Результат: chs3 = [‘d’].

Разность двух множеств A и B (A – B) – это новое множество, состоящее из элементов множества A, не вошедших в множество B.

chs1 := ['a', 'e', 't'];
chs2 := chs1 – ['e'] 		{ ['a', 't'] }
chs3 := ['m', 'n', 't'] – chs2 	{ ['m', 'n'] }

Манипулируя операциями над множествами, можно добавлять элементы к множествам или удалять их.

Для вставки и удаления элементов при работе с множествами в Pascal введены две процедуры:

include (имя_множества, элемент)
exclude (имя_множества, элемент)

Первая из них позволяет выполнить добавление одного элемента в указанное множество, а вторая удалить. Например:

include (chs1, 'g'); 	{ аналогично chs1 + ['g'] }
exclude (chs2, 'a');	{ аналогично chs2 - ['a'] }

Другие операции над множествами

Над множествами можно выполнять четыре операции сравнения: =, <>, >=, <=.

Два множества A и B равны (A = B), если каждый элемент множества A является элементом множества B и наоборот.

Два множества A и B не равны (A <> B), если они отличаются хотя бы одним элементом.

Множество A является подмножеством множества B (A <= B, или B >= A), если каждый элемент из A присутствует в B.

Имеется также возможность выяснить, принадлежит ли данный элемент некоторому множеству. Для этого служит операция in. Пусть A – множество элементов некоторого базового типа, а x – переменная (константа, выражение) этого типа. Тогда выражение x in A истинно, если значение x является элементом множества A.

Все операции сравнения множеств, а также операция in возвращают логическое значение true или false.

В сложных выражениях над множествами операции имеют следующие приоритеты:

1. *
2. +, —
3. =, <>, <=, >=, in

Что такое множество

Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел.

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }

Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D). Записывается это так:

2 ∈ D

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:

5 ∉ D

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число», чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем  число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

1 ∈ N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z.

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

−5 ∈ Z

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

10 ∈ Z

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

0 ∈ Z

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь    и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число  тоже может быть представлено в виде дроби .  Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

• целые числа
• обыкновенные дроби
• десятичные дроби
• смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

4,5 ∈ Q

Укажем, что смешанное число   принадлежит множеству рациональных чисел:

 ∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Применение цвета к HTML элементам с помощью CSS — HTML

Использование цвета — одна из фундаментальных форм человеческого восприятия, так дети экспериментируют с цветом ещё до того, как начинают осознанно рисовать. Возможно, именно поэтому цвет — одна из первых вещей, с которой люди хотят экспериментировать, изучая разработку веб-сайтов. С помощью CSS, существует множество способов присвоить цвет HTML элементам, чтобы придать им желаемый вид. Эта статья даёт базовые представления о всех способах применения цвета к HTML элементам с помощью CSS.

К счастью, присвоить цвет к HTML элементу очень просто, и это можно сделать практически со всеми элементами.

Мы затронем большинство из того, что нужно знать при использовании цвета, включая список элементов, которые могут иметь цвет, и необходимые для этого CSS свойства, как задать цвет, и как  использовать его в таблицах стилей и в JS скриптах. Мы также рассмотрим как предоставить возможность пользователю выбрать цвет. 

Завершим мы статью размышлениями на тему как использовать цвет с умом: как выбрать подходящий цвет, учитывая потребности людей с различными визуальными способностями.

На уровне элементов HTML, всему можно присвоить цвет. С точки зрения отдельных составляющих элементов, таких как текст, границы и т.д., существует ряд свойств CSS, с помощью которых можно присвоить цвет. 

На фундаментальном уровне, свойство color (en-US) определяет цвет текста HTML элемента, а свойство background-color — цвет фона элемента. Они работают практически для всех элементов.

Текст

Эти свойства используются для определения цвета текста, его фона и любого оформления текста.

color (en-US)

Свойство color применяется к тексту и любому оформлению текста, например: подчёркивание, линии на текстом, перечёркивание и т.д.

background-color

Цвет фона текста.

text-shadow

Добавляет и устанавливает параметры тени для текста. Один из параметров тени — это основной цвет, который размывается и смешивается с цветом фона на основе других параметров. См. Text drop shadows в Fundamental text and font styling, чтобы узнать больше.

text-decoration-color (en-US)

По умолчанию, элементы оформление текста (подчёркивание, перечёркивание) используют цвет свойства color. Но вы можете присвоить другой цвет с помощью свойства text-decoration-color.

text-emphasis-color (en-US)

Цвет, который используется для выделения диакритических знаков, прилегающих к каждому текстовому символу. Это свойство используется преимущественно для восточноазиатских языков.

caret-color (en-US)

Цвет, который используется для каретки (caret) (курсора ввода текста). Применимо только к редактируемым элементам, таким как <input> и <textarea> (en-US) или элементам , для которых установлен атрибут contenteditable.

Блоки

Каждый элемент представляет собой прямоугольный блок с каким-то содержимым, фоном и границей.

borders

См. раздел Borders с перечнем свойств CSS, с помощью которых можно присвоить цвет границам блока.

background-color

Цвет фона блока.

column-rule-color

Цвет линий, которые разделяют колонки текста.

outline-color (en-US)

Цвет контура, вокруг границы элемента.  Этот контур отличается от границы элемента тем, что он не занимает место в документе и может перекрывать другой элемент. Обычно его используют как рамку-индикатор, чтобы показать какой элемент находится в фокусе.

Границы

Вокруг любого элемента можно создать границу, т.е. линию вокруг содержимого элемента. См. Box properties в The box model, чтобы узнать больше про отношения между элементами и их границами, и статью Оформляем Границы с Помощью CSS, чтобы узнать больше про то, как применять стили к границам.

Существует краткая запись border, которая позволяет задать сразу все свойства границы, включая даже не связанные с цветом свойства, такие как толщина линии (width), стиль линии (style): сплошная (solid),  штриховая (dashed) и так далее.

border-color (en-US)

Задаёт единый цвет для всех сторон границы элемента.

border-left-color (en-US), border-right-color (en-US), border-top-color (en-US), and border-bottom-color (en-US)

Позволяет установить цвет соответствующей стороне границы элемента: border-left-color — левая граница, border-right-color — правая, border-top-color — верхняя, border-bottom-color — нижняя.

border-block-start-color (en-US) and border-block-end-color (en-US)

С помощью этих свойств вы можете установить цвет границ, которые расположены ближе всего к началу и концу блока. Для письменности слева направо, начало границы блока — верхний край, а конец — нижний. Не путайте с началом и концом строки, где начало — это левый край, а конец — правый.

border-inline-start-color (en-US) and border-inline-end-color (en-US)

Эти свойства определяют цвет границы, расположенной ближе всего к началу и концу текста в блоке. Сторона начала и конца зависит от свойств writing-mode, direction и text-orientation (en-US), которые обычно (но не всегда) используются для настройки направления текста.  Например, если текст отображается справа налево, то border-inline-start-color применяется к правой стороне границы.

Как можно ещё использовать цвет

CSS не единственная web-технология, которая поддерживает цвет.

HTML Canvas API

Позволяет создавать растровую 2D-графику в элементе <canvas>. См. Canvas tutorial, чтобы узнать больше.

SVG (Scalable Vector Graphics — Масштабируемая Векторная Графика)

Позволяет создавать изображения с помощью команд, которые рисуют определённые фигуры, узоры, линии для создания конечного изображения. Команды SVG форматируются в XML, и могут размещаться непосредственно на веб-странице, или в элементе <img>, как и любое другое изображение.

WebGL

Библиотека Веб-Графики (The Web Graphics Library) — это кроссплатформенный API на основе OpenGL ES, используется для создания высокопроизводительной 2D и 3D-графики в браузере. См. Learn WebGL for 2D and 3D, чтобы узнать больше..

Для того чтобы задать цвет в CSS, необходимо найти способ как перевести понятие «цвета» в цифровой формат, который может использовать компьютер. Обычно это делают разбивая цвет на компоненты, например какое количество единиц основных цветов содержится в данном цвете или степень яркости. Соответственно, есть несколько способов как можно задать цвет в CSS.

Подробнее о каждом значения цвета, можно прочитать в статье про CSS <color>.

Ключевые слова

Существует набор названий цветов стандартной палитры, который позволяет использовать ключевые слова вместо числового значения цвета. Ключевые слова включают основные и вторичные цвета (такие как красный (red), синий (blue), или оранжевый (orange)), оттенки серого (от чёрного (black) к белому (white), включая такие цвета как темносерый (darkgray) или светло-серый (lightgrey)), а также множество других смешанных цветов: lightseagreen, cornflowerblue, и rebeccapurple.

См. Color keywords в <color> — полный перечень всех доступных ключевых слов.

RGB значения

Есть три способа передачи RGB цвета в CSS.

Шестнадцатеричная запись в виде строки

Шестнадцатеричная запись передаёт цвет, используя шестнадцатеричные числа, которые передают каждый компонент цвета (красный, зелёный и синий). Запись также может включать четвёртый компонент: альфа-канал (или прозрачность). Каждый компонент цвета может быть представлен как число от 0 до 255 (0x00 — 0xFF) или, опционально, как число от 0 до 15 (0x0 — 0xF). Каждый компонент необходимо задавать используя одинаковое количество чисел. Так, если вы используете однозначное число, то итоговый цвет рассчитывается используя число каждого компонента дважды: "#D" превращается в "#DD".

Цвет в шестнадцатеричной записи всегда начинается с символа "#". После него начинаются шестнадцатеричные числа цветового кода. Запись не зависит от регистра.

"#rrggbb"

Задаёт полностью непрозрачный цвет, у которого компонент красного цвета представлен шестнадцатеричным числом 0xrr, зелёного — 0xgg и синего — 0xbb.

"#rrggbbaa"

Задаёт цвет, у которого компонент красного представлен шестнадцатеричным числом 0xrr, зелёного — 0xgg и синего — 0xbb. Альфа канал представлен 0xaa; чем ниже значение, тем прозрачнее становится цвет.

"#rgb"

Задаёт цвет, у которого компонент красного представлен шестнадцатеричным числом 0xr, зелёного — 0xg и синего — 0xb.

"#rgba"

Задаёт цвет, у которого компонент красного представлен шестнадцатеричным числом 0xr, зелёного — 0xg и синего — 0xb. Альфа канал представлен 0xa; чем ниже значение, тем прозрачнее становится цвет.

Например, вы можете представить непрозрачный ярко-синий цвет как "#0000ff" или "#00f". Для того, чтобы сделать его на 25% прозрачным, вы можете использовать "#0000ff44" или "#00f4".

RGB запись в виде функции

RGB запись в виде функции, как и шестнадцатеричная запись, представляет цвет, используя красный, зелёный и синий компоненты (также, опционально можно использовать компонент альфа канала для прозрачности). Но, вместо того, чтоб использовать строку, цвет определяется CSS функцией rgb(). Данная функция принимает как вводные параметры значения красного, зелёного и синего компонентов и, опционально, четвёртого компонента — значение альфа канала.

Допустимые значения для каждого из этих параметров:

red, green, и blue

Каждый параметр должен иметь <integer> значение между 0 и 255 (включительно), или <percentage> от 0% до 100%.

alpha

Альфа канал — это числовое значение между 0.0 (полностью прозрачный) и 1.0 (полностью непрозрачный). Также можно указать значение в процентах, где 0% соответствует 0.0, а 100% — 1.0.

Например, ярко-красный с 50% прозрачностью может быть представлен как rgb(255, 0, 0, 0.5) или rgb(100%, 0, 0, 50%).

HSL запись в виде функции

Дизайнеры часто предпочитают использовать цветовую модель HSL, где H — Hue (оттенок), S — Saturation (насыщенность), L — Lightness or Luminance (светлота). В браузерах HSL цвет представлен через запись HSL в виде функции. CSS функция hsl() очень похожа на rgb() функцию.

Рис. 1. Цилиндрическая модель HSL. Hue (оттенок) определяет фактический цвет, основанный на положении вдоль цветового круга, представляя цвета видимого спектра. Saturation (насыщенность) представляет собой процентное соотношение оттенка от серого до максимально насыщенного цвета.  По мере увеличения значения luminance/ lightness (светлоты) цвет переходит от самого тёмного к самому  светлому (от чёрного к белому). Изображение представлено пользователем SharkD в Wikipedia, распространяется на правах лицензии CC BY-SA 3.0 .

Значение компонента оттенок (H) цветовой модели HSL определяется углом при движении вдоль окружности цилиндра от красного через жёлтый, зелёный, голубой, синий и маджента, и заканчивая через 360° снова красным. Данное значение определяет базовый цвет. Его можно задать в любых единицах, поддерживаемых CSS свойством <angle>, а именно —  в градусах (deg), радианах (rad), градиентах (grad) или поворотах (turn). Но компонент оттенок никак не влияет на то, насколько насыщенным, ярким или темным будет цвет.

Компонент насыщенность (S) определяет количество конечного цвета из которого состоит указанный оттенок. Остальное определяется уровнем серого цвета, которое указывает компонент luminance/ lightness (L).

Подумайте об этом как о создании идеального цвета краски:

1. Вы начинаете с базовой краски, т.е. с максимально возможной интенсивности данного цвета. Например, наиболее насыщенный синий, который может быть представлен на экране пользователя. Это компонент hue (оттенок): значение представляющее угол вокруг цветового круга для насыщенного оттенка, который мы хотим использовать в качестве нашей базы.
2. Далее выберете краску серого оттенка, которая будет соответствовать тому, насколько ярким вы хотите сделать цвет. Это luminance/ lightness (яркость). Вы хотите, чтобы цвет был очень ярким, практически белым или очень темным, ближе к чёрному, или что-то среднее? Данный компонент определяется в процентах, где 0% — совершенный чёрный цвет и 100% — совершенный белый (независимо от насыщенности или оттенка). Средние значения — это буквальная серая область.
3. Теперь, когда у есть серый цвет и идеально насыщенный цвет, вам необходимо их смешать. Компонент saturation (насыщенность) определяет какой процент конечного цвета должен состоять из идеально насыщенного цвета. Остаток конечного цвета формируется серым цветом, который представляет насыщенность.

Опционально вы также можете включить альфа-канал, чтобы сделать цвет менее прозрачным.

Вот несколько примеров цвета в HSL записи:

Обратите внимание, что, когда вы не указываете единицу измерения оттенка (hue), то предполагается, что он указан в градусах (deg).

Теперь, когда вы знаете какие существуют свойства CSS для присваивания цвета к элементам и какие есть форматы описания цвета, вы можете соединить это вместе, чтобы начать использовать цвет. Как вы уже видели в списке под разделом Что может иметь цвет, существует множество вещей, к которым можно применить цвет, используя CSS. Давайте взглянем на это с двух сторон: использовать цвет в таблицах стилей (stylesheet) и добавлять, изменять цвет, используя JavaScript код.

Цвет в таблицах стилей CSS

Самый простой способ присвоить цвет элементу и то, как это обычно делается — это просто указать цвет в CSS. Мы не будем останавливаться на каждом из вышеупомянутых свойств, а просто рассмотрим несколько примеров. Где бы вы не использовали цвет, принцип один и тот же.

Давайте начнём наш пример с результата, который нам нужно достичь:

HTML

HTML, который создаёт вышеупомянутый пример:

<div>
  <div>
    <p>
      This is the first box.
    </p>
  </div>
  <div>
    <p>
      This is the second box.
    </p>
  </div>
</div>

Все довольно просто: первый <div> используется как обёртка (wrapper) содержимого, которое состоит из ещё двух <div>, каждый из которых содержит один параграф (<p>) и имеет свой стиль.

Все волшебство, как всегда, происходит в CSS, где мы и будем присваивать цвет к данным HTML элементам. .

CSS

CSS мы рассмотрим более детально, чтобы по очереди проанализировать все интересные части.

.wrapper {
  width: 620px;
  height: 110px;
  margin: 0;
  padding: 10px;
  border: 6px solid mediumturquoise;
}

Класс .wrapper определяет стиль для элемента <div>, который заключает в себе все остальные элементы. Он устанавливает размер контейнера с помощью свойств ширины width, высоты height, внешних margin и внутренних padding полей.

Но больше всего нас интересует свойство граница border, которое устанавливает границу вокруг внешнего края элемента. Данная граница представлена сплошной линией, шириной в 6 пикселей, светло-бирюзового цвета (mediumturquoise).

Два цветных блока имеют ряд одинаковых свойств, поэтому далее мы установим класс .box, который определит эти общие свойства:

.box {
  width: 290px;
  height: 100px;
  margin: 0;
  padding: 4px 6px;
  font: 28px "Marker Felt", "Zapfino", cursive;
  display: flex;
  justify-content: center;
  align-items: center;
}

Вкратце класс .box устанавливает размер каждого блока и параметры шрифта. Также мы используем CSS Flexbox, чтобы с лёгкостью отцентрировать содержимое каждого блока. Мы включаем режим flex с помощью display: flex, и присваиваем значение center justify-content и align-items. Затем мы создаём отдельные классы для каждого из двух блоков, которые определят индивидуальные свойства.

.boxLeft {
  float: left;
  background-color: rgb(245, 130, 130);
  outline: 2px solid darkred;
}

Класс .boxLeft, который используется для стилизации левого блока, выравнивает контейнер по левому краю и присваивает цвета:

• background-color определяет цвет фона блока значением rgb(245, 130, 130).
• outline (en-US), в отличие от привычного нам свойства border,  не влияет на положение блока и его ширину. Outline представлен сплошной, темно-красной линией, шириной в 2 пикселя. Обратите внимание на ключевое слово darkred, которое используется для определение цвета.
• Обратите внимание, что мы не определяем значение цвета текста. Это означает, что свойство color (en-US) будет унаследовано от ближайшего родительского элемента, у которого это свойство определено. По умолчанию это чёрный цвет.

.boxRight {
  float: right;
  background-color: hsl(270deg, 50%, 75%);
  outline: 4px dashed rgb(110, 20, 120);
  color: hsl(0deg, 100%, 100%);
  text-decoration: underline wavy #88ff88;
  text-shadow: 2px 2px 3px black;
}

Класс .boxRight описывает свойства правого блока. Блок выравнивается по правому краю и становится рядом с предыдущим блоком. Затем определяются следующие цвета:

• background-color определяется значением HSL: hsl(270deg, 50%, 75%). Это светло-фиолетовый цвет.
• Outline блока определяет, что вокруг блока должна быть прерывистая линия, шириной в четыре пикселя, фиолетового цвета немного темнее, чем цвет фона (rgb(110, 20, 120)).
• Цвет текста определяется свойством color (en-US), значение которого hsl(0deg, 100%, 100%). Это один из многих способов задать белый цвет.
• С помощью text-decoration (en-US) мы добавляем зелёную волнистую линию под текстом.
• И наконец, свойство text-shadow добавляет небольшую чёрную тень тексту.

There are many situations in which your web site may need to let the user select a color. Perhaps you have a customizable user interface, or you’re implementing a drawing app. Maybe you have editable text and need to let the user choose the text color. Or perhaps your app lets the user assign colors to folders or items. Although historically it’s been necessary to implement your own color picker, HTML now provides support for browsers to provide one for your use through the <input> element, by using "color" as the value of its type attribute.

The <input> element represents a color only in the hexadecimal string notation covered above.

Example: Picking a color

Let’s look at a simple example, in which the user can choose a color. As the user adjusts the color, the border around the example changes to reflect the new color. After finishing up and picking the final color, the color picker’s value is displayed.

On macOS, you indicate that you’ve finalized selection of the color by closing the color picker window.

HTML

The HTML here creates a box that contains a color picker control (with a label created using the <label> element) and an empty paragraph element (<p>) into which we’ll output some text from our JavaScript code.

<div>
  <label for="colorPicker">Border color:</label>
  <input type="color" value="#8888ff">
  <p></p>
</div>

CSS

The CSS simply establishes a size for the box and some basic styling for appearances. The border is also established with a 2-pixel width and a border color that won’t last, courtesy of the JavaScript below…

#box {
  width: 500px;
  height: 200px;
  border: 2px solid rgb(245, 220, 225);
  padding: 4px 6px;
  font: 16px "Lucida Grande", "Helvetica", "Arial", "sans-serif"
}

JavaScript

The script here handles the task of updating the starting color of the border to match the color picker’s value. Then two event handlers are added to deal with input from the <input type="color"> element.

let colorPicker = document. getElementById("colorPicker");
let box = document.getElementById("box");
let output = document.getElementById("output");

box.style.borderColor = colorPicker.value;

colorPicker.addEventListener("input", function(event) {
  box.style.borderColor = event.target.value;
}, false);

colorPicker.addEventListener("change", function(event) {
  output.innerText = "Color set to " + colorPicker.value + ".";
}, false);

The input (en-US) event is sent every time the value of the element changes; that is, every time the user adjusts the color in the color picker. Each time this event arrives, we set the box’s border color to match the color picker’s current value.

The change (en-US) event is received when the color picker’s value is finalized. We respond by setting the contents of the <p> element with the ID "output" to a string describing the finally selected color.

Making the right choices when selecting colors when designing a web site can be a tricky process, especially if you aren’t well-grounded in art, design, or at least basic color theory. The wrong color choice can render your site unattractive, or even worse, leave the content unreadable due to problems with contrast or conflicting colors. Worse still, if using the wrong colors can result in your content being outright unusable by people withcertain vision problems, particularly color blindness.

Finding the right colors

Coming up with just the right colors can be tricky, especially without training in art or design. Fortunately, there are tools available that can help you. While they can’t replace having a good designer helping you make these decisions, they can definitely get you started.

Base color

The first step is to choose your base color. This is the color that in some way defines your web site or the subject matter of the site. Just as we associate green with the beverage Mountain Dew and one might think of the color blue in relationship with the sky or the ocean, choosing an appropriate base color to represent your site is a good place to start. There are plenty of ways to select a base color; a few ideas include:

• A color that is naturally associated with the topic of your content, such as the existing color identified with a product or idea or a color representative of the emotion you wish to convey.
• A color that comes from imagery associated with what your content is about. If you’re creating a web site about a given item or product, choose a color that’s physically present on that item.
• Browse web sites that let you look at lots of existing color palettes and imags to find inspiration.

When trying to decide upon a base color, you may find that browser extensions that let you select colors from web content can be particularly handy. Some of these are even specifically designed to help with this sort of work. For example, the web site ColorZilla offers an extension (Chrome / Firefox) that offers an eyedropper tool for picking colors from the web. It can also take averages of the colors of pixels in various sized areas or even a selected area of the page.

The advantage to averaging colors can be that often what looks like a solid color is actually a surprisingly varied number of related colors all used in concert, blending to create a desired effect. Picking just one of these pixels can result in getting a color that on its own looks very out of place.

Fleshing out the palette

Once you have decided on your base color, there are plenty of online tools that can help you build out a palette of appropriate colors to use along with your base color by applying color theory to your base color to determine appropriate added colors. Many of these tools also support viewing the colors filtered so you can see what they would look like to people with various forms of color blindness. See Color and accessibility for a brief explanation of why this matters.

A few examples (all free to use as of the time this list was last revised):

When designing your palette, be sure to keep in mind that in addition to the colors these tools typically generate, you’ll probably also need to add some core neutral colors such as white (or nearly white), black (or nearly black), and some number of shades of gray.

Usually, you are far better off using the smallest number of colors possible. By using color to accentuate rather than adding color to everything on the page, you keep your content easy to read and the colors you do use have far more impact.

Color theory resources

A full review of color theory is beyond the scope of this article, but there are plenty of articles about color theory available, as well as courses you can find at nearby schools and universities. A couple of useful resources about color theory:

Color Science (Khan Academy in association with Pixar)

An online course which introduces concepts such as what color is, how it’s percieved, and how to use colors to express ideas. Presented by Pixar artists and designers.

Color theory on Wikipedia

Wikipedia’s entry on color theory, which has a lot of great information from a technical perspective. It’s not really a resource for helping you with the color sleection process, but is still full of useful information.

Color and accessibility

There are several ways color can be an accessibility problem. Improper or careless use of color can result in a web site or app that a percentage of your target audience may not be able to use adequately, resulting in lost traffic, lost business, and possibly even a public relations problem. So it’s important to consider your use of color carefully.

You should do at least basic research into color blindness. There are several kinds; the most common is red-green color blindness, which causes people to be unable to differentiate between the colors red and green. There are others, too, ranging from inabilities to tell the difference between certain colors to total inability to see color at all.

The most important rule: never use color as the only way to know something. If, for example, you indicate success or failure of an operation by changing the color of a shape from white to green for success and red for failure, users with red-green color-blindness won’t be able to use your site properly. Instead, perhaps use both text and color together, so that everyone can understand what’s happening.

For more information about color blindness, see the following articles:

Palette design example

Let’s consider a quick example of selecting an appropriate color palette for a site. Imagine that you’re building a web site for a new game that takes place on the planet Mars. So let’s do a Google search for photos of Mars. Lots of good examples of Martian coloration there. We carefully avoid the mockups and the photos from movies. And we decide to use a photo taken by one of the Mars landers humanity has parked on the surface over the last few decades, since the game takes place on the planet’s surface. We use a color picker tool to select a sample of the color we choose.

Using an eyedropper tool, we identify a color we like and determine that the color in question is #D79C7A, which is an appropriate rusty orange-red color that’s so stereotypical of the Martian surface.

Having selected our base color, we need to build out our palette. We decide to use Paletteon to come up with the other colors we need. Upon opening Paletton, we see:

Next, we enter our color’s hex code (D79C7A) into the «Base RGB» box at the bottom-left corner of the tool:

We now see a monochromatic palette based on the color we picked from the Mars photo. If you need a lot of related colors for some reason, those are likely to be good ones. But what we really want is an accent color. Something that will pop along side the base color. To find that, we click the «add complementary» toggle underneath the menu that lets you select the palette type (currently «Monochromatic»). Paletton computes an appropriate accent color; clicking on the accent color down in the bottom-right corner tells us that this color is #508D7C.

If you’re unhappy with the color that’s proposed to you, you can change the color scheme, to see if you find something you like better. For example, if we don’t like the proposed greenish-blue color, we can click the Triad color scheme icon, which presents us with the following:

That greyish blue in the top-right looks pretty good. Clicking on it, we find that it’s #556E8D. That would be used as the accent color, to be used sparingly to make things stand out, such as in headlines or in the highlighting of tabs or other indicators on the site:

Now we have our base color and our accent. On top of that, we have a few complementary shades of each, just in case we need them for gradients and the like. The colors can then be exported in a number of formats so you can make use of them.

Once you have these colors, you will probably still need to select appropriate neutral colors. Common design practice is to try to find the sweet spot where there’s just enough contrast that the text is crisp and readable but not enough contrast to become harsh for the eyes. It’s easy to go too far in one way or another so be sure to get feedback on your colors once you’ve selected them and have examples of them in use available. If the contrast is too low, your text will tend to be washed out by the background, leaving it unreadable, but if your contrast is too high, the user may find your site garish and unpleasant to look at.

Первая пресс-конференция Джо Байдена уже породила множество язвительных пародий

В США сегодня обсуждают большую пресс-конференцию Джо Байдена, где, казалось бы, тема борьбы с COVID-19 должна была стать одной из главных. 

Встречи с новым президентом журналисты ждали больше двух месяцев, а в итоге все обернулось постановочным шоу, как говорят сами репортеры. Никаких острых вопросов, шпаргалки и чтение по бумажке. В результате новые хлесткие пародии на Байдена.

Пресс-конференция Джо Байдена не для всех представителей прессы. Пока президент США отвечал на вопросы, съемочная группа Первого канала не смогла даже подойти к Белому дому. В правительственном квартале дежурит полиция и никого не пропускает к зданию.

Из подземной парковки на прилегающей к Белому дому улице полицейские выносят контейнер. Внутри одежда, коробки, провода. Но тревога оказалась ложной, ничего опасного не нашли. Полиция разбиралась с контейнером дольше, чем американский лидер общался с прессой.

Пресс-конференция длилась чуть больше часа, и вопросы смогли задать только десять человек. Среди них ни одного иностранца и ни одного оппозиционного журналиста. Зарубежным СМИ в зал для брифингов не попасть: пропуск в Белый дом теперь разыгрывают в лотерею. Но в день пресс-конференции отменили даже ее. А представителю единственного прореспубликанского канала Fox Байден просто не дал слова.

«Я уже говорил, что у меня целая папка с вопросами. Некоторые подумали, что я пошутил. Нет, смотрите, сколько их, но я не смог задать ни одного», – показывает Питер Дуси, корреспондент телеканала Fox News.

Консервативные СМИ назвали пресс-конференцию постановочным шоу. Байден пользовался шпаргалками и некоторые ответы зачитывал по бумажке. Выбирая, кого позвать к микрофону, смотрел не на поднятые в зале руки, а на листочек с фамилиями одобренных пресс-службой репортеров. 

Телекомментаторы не удержались от язвительных пародий. В социальных сетях больше всего обсуждают не о чем говорили, а о чем не говорили на пресс-конференции. Газета Politico написала про очередной скандал с участием сына Джо Байдена, Хантера. В 2018 году Хантер Байден, скрыв свою зависимость от наркотиков, по сути, незаконно купил оружие, которое потом нашли в мусорном контейнере через дорогу от школьного двора. Инцидент пыталась замять секретная служба. Тему на пресс-конференции обошли стороной. Не задали и ни одного вопроса про коронавирус или кризис в отношениях с Россией.

Через 40 минут после начала общения с прессой Байден начал поглядывать на часы. Еще через десять забыл, что нужно говорить в микрофон. Правда, быстро спохватился. Поведение Джо Байдена в США изучают, что называется, под лупой. После того как он трижды споткнулся и упал, поднимаясь по трапу самолета, многие всерьез заволновались, в надежных ли руках ядерный чемоданчик. В пресс-службе Белого дома заверили: виной всему сильный ветер, а сам Байден чувствует себя хорошо. Видимо настолько, что готов снова в бой.

«Вы собираетесь переизбираться в 2024 году? Ваш предшественник к этому времени уже запустил предвыборную кампанию, а вы – нет», – отметил один из журналистов.

«Мой предшественник. О боже, я скучаю по нему. Мой ответ – да. Я планирую переизбираться. Таковы мои ожидания», – ответил Байден.

К следующим президентским выборам Джо Байдену будет 81 – на три года больше, чем средняя продолжительность жизни в США. 

Функция СРЗНАЧЕСЛИ — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование С AVERAGEIF
 в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает среднее значение (среднее арифметическое) всех ячеек в диапазоне, которые соответствуют данному условию.

Синтаксис

СРЗНАЧЕСЛИ(диапазон, условия, [диапазон_усреднения])

Аргументы функции СРЗНАЧЕСЛИ указаны ниже.

• 
  Диапазон.    Обязательный. Одна или несколько ячеек для вычисления среднего, включающих числа или имена, массивы или ссылки, содержащие числа.

• 
  Условие.    Обязательный. Условие в форме числа, выражения, ссылки на ячейку или текста, которое определяет ячейки, используемые при вычислении среднего. Например, условие может быть выражено следующим образом: 32, «32», «>32», «яблоки» или B4.

• 
  Диапазон_усреднения.    Необязательный. Фактическое множество ячеек для вычисления среднего. Если этот параметр не указан, используется диапазон.

Замечания

• Ячейки в диапазоне, которые содержат значения ИСТИНА или ЛОЖЬ, игнорируются.

• Если ячейка в «диапазоне_усреднения» пустая, функция СРЗНАЧЕСЛИ игнорирует ее.

• Если диапазон является пустым или текстовым значением, то #DIV0! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если ячейка в условии пустая, «СРЗНАЧЕСЛИ» обрабатывает ее как ячейки со значением 0.

• Если ни одна из ячеек в диапазоне не соответствует условиям, то #DIV/0! значение ошибки #ДЕЛ/0!.

• В этом аргументе можно использовать подстановочные знаки: вопросительный знак (?) и звездочку (*). Вопросительный знак соответствует любому одиночному символу; звездочка — любой последовательности символов. Если нужно найти сам вопросительный знак или звездочку, то перед ними следует поставить знак тильды (~).

• Значение «диапазон_усреднения» не обязательно должно совпадать по размеру и форме с диапазоном. При определении фактических ячеек, для которых вычисляется среднее, в качестве начальной используется верхняя левая ячейка в «диапазоне_усреднения», а затем добавляются ячейки с совпадающим размером и формой. Например:

Примечание: Функция СРЗНАЧЕСЛИ измеряет среднее значение, то есть центр набора чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения среднего значения: :

• 
  Среднее значение     — это среднее арифметическое, которое вычисляется путем сложения набора чисел с последующим делением полученной суммы на их количество. Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.

• 
  Медиана     — это число, которое является серединой множества чисел, то есть половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана. Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.

• 
  Мода     — это число, наиболее часто встречающееся в данном наборе чисел. Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.

При симметричном распределении множества чисел все три значения центральной тенденции будут совпадать. При смещенном распределении множества чисел значения могут быть разными.

Примеры

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Пример 2

Pascal. Множество (SET OF) — Pascal

Множество — совокупность неупорядоченных данных одного типа.

Диапазон значений типа множество представляет собой мощность множества для определенного порядкового типа (базового типа). Каждое возможное значение типа множество является подмножеством возможных значений базового типа.

Переменная типа множество может принимать как все значения множества, так и ни одного.

Базовый тип не должен иметь более 256 возможных значений и порядковые значения верхней и нижней границы базового типа не должны превышать диапазона от 0 до 255. В силу этого базовый тип множества не может быть ShorInt, Integer, LongInt, Word.

Любой множественный тип может принимать значение [], которое называется пустым множеством.

Множество можно описать тремя способами:

1. В разделе описания переменных:
   

   var <имя множества>:set of <базовый тип>;

2. В разделе описания типов:

   type <имя типа>=set of <базовый тип>;
   >var <имя множества>:<имя типа>;

3. В разделе описания констант:
   

   type up =set of ‘A’..’Z’;
   low=set of ‘a’..’z’;
   const
   upcase:up=[’A’..’Z’] ;
   voc:low[’a’,’e’,’i’,’o’,’u’,’y’] ;
   delimeter: set of char=[’ ‘..’/’,’:’..’?’];

Значения переменных и константы множества задаются в разделе операторов с помощью конструктора. Конструктор-список элементов базового типа, заключенных в квадратные скобки.

Над множествами возможны операции:

1. Операция объединения (+):

   С:=А+В

2. Операция пересечения (*):

   С:=А*В

3. Операция разности (-):

   С:=А-В

4. Операция равенства (=):

   С=В

5. Операция неравенства (<>):

   C<>B

6. Операция проверки на вхождение множества в множество (>=,<=):

   A<=B - включено ли А в В;

   A>=B - включено ли В в А.

7. Операция проверки на вхождение элемента в множество (IN):

   С IN B - входит ли элемент С в множество В

Наборы Python

myset = {«яблоко», «банан», «вишня»}

Набор

Наборы используются для хранения нескольких элементов в одной переменной.

Set — один из 4 встроенных типов данных в Python, используемых для хранения коллекций
данные, остальные 3 — список,
Кортеж и Словарь — все с разным качеством и использованием.

Набор — это набор, состоящий одновременно из неупорядоченных и неиндексированных .

Наборы записываются фигурными скобками.

Пример

Создать набор:

thisset = {«яблоко», «банан», «вишня»}
печать (thisset)

Попробуй сам »

Примечание: Наборы неупорядочены, поэтому вы не можете быть уверены в том, какие
порядок товаров появится.

Предметы набора

Элементы набора неупорядочены, неизменяемы и не допускают повторяющихся значений.

Неупорядоченный

Неупорядоченный означает, что элементы в наборе не имеют определенного порядка.

Предметы из набора могут появляться в разном порядке каждый раз, когда вы их используете,
и на него нельзя ссылаться по индексу или ключу.

без изменений

Наборы неизменяемы, это означает, что мы не можем изменить элементы после того, как набор был создан.

После создания набора вы не можете изменять его элементы, но можете добавлять новые элементы.

Дубликаты не допускаются

В наборах не может быть двух предметов с одинаковым значением.

Пример

Повторяющиеся значения игнорируются:

thisset = {«яблоко», «банан», «вишня», «яблоко»}

печать (thisset)

Попробуй сам »

Определите длину набора

Чтобы определить, сколько элементов в наборе, используйте метод len () .

Пример

Получить количество предметов в наборе:

thisset = {«яблоко», «банан», «вишня»}

print (len (thisset))

Попробуй сам »

Установить элементы — типы данных

Элементы набора могут иметь любой тип данных:

Пример

Типы данных String, int и boolean:

set1 = {«яблоко», «банан», «вишня»}
set2 = {1, 5, 7, 9, 3}
set3 = {Истина, Ложь, Ложь}

Попробуй сам »

Набор может содержать разные типы данных:

Пример

Набор со строками, целыми числами и логическими значениями:

set1 = {«abc», 34, True, 40, «мужской»}

Попробуй сам »

тип ()

С точки зрения Python, наборы определяются как объекты с типом данных set:

<класс 'набор'>

Пример

Какой тип данных у набора?

myset = {«яблоко», «банан», «вишня»}
печать (тип (myset))

Попробуй сам »

Конструктор set ()

Также можно использовать set ()
конструктор для создания набора.

Пример

Использование конструктора set () для создания набора:

thisset = set ((«яблоко», «банан», «вишня»)) # обратите внимание на двойные круглые скобки
печать (этот набор)

Попробуй сам »

Коллекции Python (массивы)

В языке программирования Python существует четыре типа коллекционных данных:

• Список — это упорядоченная и изменяемая коллекция. Позволяет дублировать участников.
• Tuple — это упорядоченная и неизменяемая коллекция.Позволяет дублировать участников.
• Набор — это неупорядоченная и неиндексированная коллекция. Нет повторяющихся участников.
• Словарь представляет собой неупорядоченный сборник
  и изменчивый. Нет повторяющихся участников.

При выборе типа коллекции полезно понимать свойства этого типа. Выбор правильного типа для конкретного набора данных может означать сохранение смысла и может означать повышение эффективности или безопасности.

Наборы в Python — Real Python

Многие операции, которые можно использовать для других составных типов данных Python, не имеют смысла для наборов. Например, нельзя индексировать или разрезать наборы. Однако Python предоставляет целый ряд операций с объектами-наборами, которые обычно имитируют операции, определенные для математических наборов.

Операторы и методы

Большинство, хотя и не все, операции над множествами в Python могут выполняться двумя разными способами: оператором или методом.Давайте посмотрим, как работают эти операторы и методы, на примере объединения множеств.

Для двух наборов, x1 и x2 , объединение x1 и x2 представляет собой набор, состоящий из всех элементов любого набора.

Рассмотрим эти два набора:

  x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}
  

Объединение x1 и x2 составляет {'foo', 'bar', 'baz', 'qux', 'quux'} .

Примечание: Обратите внимание, что элемент 'baz' , который появляется как в x1 , так и в x2 , появляется в объединении только один раз. Наборы никогда не содержат повторяющихся значений.

В Python объединение множеств можно выполнить с помощью | оператор:

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}
>>> x1 | x2
{'baz', 'quux', 'qux', 'bar', 'foo'}
  

Комплектное соединение можно также получить с . union () метод. Метод вызывается для одного из наборов, а другой передается в качестве аргумента:

>>>

  >>> x1.union (x2)
{'baz', 'quux', 'qux', 'bar', 'foo'}
  

Оператор и метод в приведенных выше примерах ведут себя идентично. Но между ними есть тонкая разница. Когда вы используете | , должны быть установлены оба операнда. С другой стороны, метод .union () примет любую итерацию в качестве аргумента, преобразует ее в набор и затем выполнит объединение.

Обратите внимание на разницу между этими двумя утверждениями:

>>>

  >>> x1 | ('баз', 'qux', 'quux')
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
    x1 | ('баз', 'qux', 'quux')
TypeError: неподдерживаемые типы операндов для |: 'set' и 'tuple'

>>> x1.union (('баз', 'qux', 'quux'))
{'baz', 'quux', 'qux', 'bar', 'foo'}
  

Оба пытаются вычислить объединение x1 и кортежа ('baz', 'qux', 'quux') .Это не удается с | , но успешно справляется с методом .union () .

Доступные операторы и методы

Ниже приведен список установленных операций, доступных в Python. Некоторые выполняются оператором, некоторые — методом, а некоторые — обоими. Принцип, изложенный выше, обычно применяется: там, где ожидается набор, методы обычно принимают любую итерацию в качестве аргумента, но операторы требуют фактических наборов в качестве операндов.

x1.union (x2 [, x3...])

x1 | x2 [| x3 ...]

Вычислить объединение двух или более множеств.

Набор Union

x1.union (x2) и x1 | x2 оба возвращают набор всех элементов в x1 или x2 :

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}

>>> x1.union (x2)
{'foo', 'qux', 'quux', 'baz', 'bar'}

>>> x1 | x2
{'foo', 'qux', 'quux', 'baz', 'bar'}
  

Оператором или методом можно указать более двух наборов:

>>>

  >>> a = {1, 2, 3, 4}
>>> b = {2, 3, 4, 5}
>>> c = {3, 4, 5, 6}
>>> d = {4, 5, 6, 7}

>>> а. союз (b, c, d)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

>>> а | б | c | d
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
  

Результирующий набор содержит все элементы, которые присутствуют в любом из указанных наборов.

x1.пересечение (x2 [, x3 ...])

x1 и x2 [& x3 ...]

Вычислить пересечение двух или более множеств.

Set Intersection

x1.intersection (x2) и x1 & x2 возвращает набор элементов, общих для x1 и x2 :

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}

>>> x1.пересечение (x2)
{'baz'}

>>> x1 и x2
{'baz'}
  

Вы можете указать несколько наборов с помощью метода и оператора пересечения, как и с помощью set union:

>>>

  >>> a = {1, 2, 3, 4}
>>> b = {2, 3, 4, 5}
>>> c = {3, 4, 5, 6}
>>> d = {4, 5, 6, 7}

>>> a.intersection (b, c, d)
{4}

>>> a & b & c & d
{4}
  

Результирующий набор содержит только элементы, которые присутствуют во всех указанных наборах.

разность x1 (x2 [, x3 ...])

x1 - x2 [- x3 ...]

Вычислите разницу между двумя или более наборами.

Set Difference

x1.difference (x2) и x1 - x2 возвращают набор всех элементов, которые находятся в x1 , но не в x2 :

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}

>>> x1.difference (x2)
{'фу', 'бар'}

>>> x1 - x2
{'фу', 'бар'}
  

Другой способ думать об этом — x1.разница (x2) и x1 - x2 возвращают набор, который получается, когда любые элементы в x2 удаляются или вычитаются из x1 .

Еще раз, вы можете указать более двух наборов:

>>>

  >>> a = {1, 2, 3, 30, 300}
>>> b = {10, 20, 30, 40}
>>> c = {100, 200, 300, 400}

>>> a.  разница (b, c)
{1, 2, 3}

>>> а - б - в
{1, 2, 3}
  

Если указано несколько наборов, операция выполняется слева направо.Оператор допускает несколько наборов, метод .symmetric_difference () не поддерживает:

>>>

  >>> a = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> b = {10, 2, 3, 4, 50}
>>> c = {1, 50, 100}

>>> a.symmetric_difference (b, c)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
    a.symmetric_difference (b, c)
TypeError: symric_difference () принимает ровно один аргумент (задано 2)
  

x1.isdisjoint (x2)

Определяет, есть ли у двух наборов какие-либо общие элементы.

x1.isdisjoint (x2) возвращает True , если x1 и x2 не имеют общих элементов:

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}

>>> x1.isdisjoint (x2)
Ложь

>>> x2 - {'baz'}
{'quux', 'qux'}
>>> x1.isdisjoint (x2 - {'baz'})
Правда
  

Если x1.isdisjoint (x2) равно True , то x1 & x2 — это пустой набор:

>>>

  >>> x1 = {1, 3, 5}
>>> x2 = {2, 4, 6}

>>> x1.isdisjoint (x2)
Правда
>>> x1 и x2
набор()
  

Примечание: Нет оператора, соответствующего методу .isdisjoint () .

x1. Подмножество (x2)

x1 <= x2

Определите, является ли один набор подмножеством другого.

В теории множеств набор x1 считается подмножеством другого набора x2 , если каждый элемент x1 находится в x2 .

x1.issubset (x2) и x1 <= x2 возвращает True , если x1 является подмножеством x2 :

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x1. issubset ({'foo', 'bar', 'baz', 'qux', 'quux'})
Правда

>>> x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}
>>> х1 <= х2
Ложь
  

Набор считается подмножеством самого себя:

>>>

  >>> x = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> х.issubset (x)
Правда
>>> х <= х
Правда
  

Может показаться странным. Но это соответствует определению - каждый элемент x находится в x .

x1

Определяет, является ли один набор подходящим подмножеством другого.

Правильное подмножество - это то же самое, что и подмножество, за исключением того, что наборы не могут быть идентичными. Набор x1 считается правильным подмножеством другого набора x2 , если каждый элемент x1 находится в x2 , а x1 и x2 не равны.

x1 возвращает True , если x1 является правильным подмножеством x2 :

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar'}
>>> x2 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x1 >> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x1  

Хотя набор считается подмножеством самого себя, он не является правильным подмножеством самого себя:

>>>

  >>> x = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> х <= х
Правда
>>> х <х
Ложь
  

Примечание: Оператор < - единственный способ проверить, является ли набор правильным подмножеством.Соответствующего метода нет.

x1. Набор (x2)

x1> = x2

Определите, является ли один набор надмножеством другого.

Надмножество - это обратное подмножество. Набор x1 считается надмножеством другого набора x2 , если x1 содержит каждый элемент x2 .

x1.issuperset (x2) и x1> = x2 возвращает True , если x1 является расширенным набором x2 :

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}

>>> x1. Issueperset ({'фу', 'бар'})
Правда

>>> x2 = {'baz', 'qux', 'quux'}
>>> x1> = x2
Ложь
  

Вы уже видели, что набор считается подмножеством самого себя. Набор также считается надмножеством самого себя:

>>>

  >>> x = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> x.issuperset (x)
Правда
>>> х> = х
Правда
  

x1> x2

Определяет, является ли один набор подходящим надмножеством другого.

Правильный суперсет - это то же самое, что и суперсет, за исключением того, что наборы не могут быть идентичными.Набор x1 считается правильным надмножеством другого набора x2 , если x1 содержит каждый элемент x2 , а x1 и x2 не равны.

x1> x2 возвращает True , если x1 является правильным расширением x2 :

>>>

  >>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'foo', 'bar'}
>>> x1> x2
Правда

>>> x1 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x2 = {'foo', 'bar', 'baz'}
>>> x1> x2
Ложь
  

Набор не является полноценным надмножеством самого себя:

>>>

  >>> x = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> х> х
Ложь
  

Примечание: Оператор > - единственный способ проверить, является ли набор правильным надмножеством.Соответствующего метода нет.

Теория множеств> Основная теория множеств (Стэнфордская философская энциклопедия)

Теория базовых множеств

Наборы - это хорошо продуманные коллекции, полностью
характеризуются своими элементами. Таким образом, два множества равны тогда и только тогда, когда
если у них точно такие же элементы. Основное отношение в наборе
теория - это элементарность или членство. Мы пишем \ (a \ in A \) в
указывают, что объект \ (a \) является элементом , или
элемент из набора \ (A \).Мы также говорим, что \ (a \) принадлежит
к \ (A \). Таким образом, множество \ (A \) равно множеству \ (B \) тогда и только тогда, когда для
каждый \ (a \), \ (a \ in A \) тогда и только тогда, когда \ (a \ in B \). В частности, есть
только один набор без элементов. Этот набор, естественно, называется
пустой набор и представлен символом
\ ({\ varnothing} \).

Мы говорим, что \ (A \) является подмножеством \ (B \), записывается \ (A \ substeq
B \), если каждый элемент \ (A \) является элементом \ (B \). Таким образом, \ (A = B \), если и
только если \ (A \ substeq B \) и \ (B \ substeq A \).Заметить, что
\ ({\ varnothing} \ substeq A \) для каждого набора \ (A \).

Учитывая наборы \ (A \) и \ (B \), можно выполнять некоторые основные операции с
из них получены следующие наборы:

• Множество \ (A \ cup B \), называемое объединением \ (A \) и \ (B \), чье
элементы - это элементы \ (A \) и элементы \ (B \).

• Множество \ (A \ cap B \), называемое пересечением \ (A \) и \ (B \),
элементы которого являются элементами, общими для \ (A \) и \ (B \).

• Множество \ (A-B \), называемое разницей \ (A \) и \ (B \), чье
элементы - это те элементы \ (A \), которые не являются членами
\ (В \).

Обычно проверяют, что эти операции удовлетворяют следующим
недвижимость:

Для объекта \ (a \) мы можем сформировать множество, в котором \ (a \) является единственным
элемент. Этот набор обозначается \ (\ {a \} \). В более общем плане, учитывая
\ (a, b, c, \ ldots \), мы можем сформировать множество, имея \ (a, b, c, \ ldots \) ​​в качестве
элементы, которые мы обозначим через \ (\ {a, b, c, \ ldots \} \).Конечно можем
на самом деле запишите все элементы набора, когда их нет слишком
многие из них. В случае бесконечных множеств это явно не так.
возможный.

Если \ (a = b \), то \ (\ {a, b \} = \ {a \} \). Кроме того, для любых \ (a \) и \ (b \)
пара \ (\ {a, b \} \) совпадает с парой \ (\ {b, a \} \). Итак, если мы хотим
учитывать порядок, в котором два элемента пары
Учитывая, что нам нужно найти другой способ представления пары. Таким образом, мы
определим упорядоченную пару \ ((a, b) \) как набор \ (\ {\ {a \}, \ {
а, б \} \} \).Несложно проверить, что две упорядоченные пары \ ((a, b) \) и
\ ((c, d) \) равны тогда и только тогда, когда \ (a = c \) и \ (b = d \). Заказ сейчас
важно, так как если \ (a \ ne b \), то \ ((a, b) \ ne (b, a) \).

Декартово произведение \ (A \ times B \) двух множеств, \ (A \) и
\ (B \), определяется как множество всех упорядоченных пар \ ((a, b) \) таких, что
\ (а \ в А \) и \ (Ь \ в В \).

Определив упорядоченные пары, теперь можно определить упорядоченных
троек \ ((a, b, c) \) как \ ((a, (b, c)) \), или вообще упорядочено
\ (n \) - кортежи \ ((a_1, \ ldots, a_n) \) как \ ((a_1, (a_2, \ ldots, a_n)) \).п \).

Бинарное отношение \ (R \) на множестве \ (A \) называется рефлексивным , если
\ ((a, a) \ in R \) для любого \ (a \ in A \). Он называется симметричным , если
\ ((b, a) \ in R \) всякий раз, когда \ ((a, b) \ in R \). И это
называется транзитивным , если \ ((a, c) \ in R \) всякий раз, когда \ ((a, b) \ in R \) и
\ ((b, c) \ в R \). Отношение рефлексивное, симметричное и транзитивное.
называется отношением эквивалентности . Отношение идентичности на
любое множество \ (A \) является парадигматическим примером эквивалентности
связь.Другой пример - отношение на множестве всех конечных
наборы натуральных чисел, состоящие из всех пар \ ((a, b) \) таких, что
\ (a \) и \ (b \) имеют одинаковое количество элементов.

Если \ (R \) - отношение эквивалентности на множестве \ (A \) и \ ((a, b) \ in R \),
тогда мы говорим, что \ (a \) и \ (b \) являются \ (R \) - эквивалентными . Для
каждый \ (a \ in A \), класс эквивалентности \ (a \), обычно обозначаемый
by \ ([a] _R \), - это множество всех элементов \ (A \), которые являются \ (R \) - эквивалентными
к \ (а \). Множество всех классов \ (R \) - эквивалентности называется
фактор-множество и обозначается \ (A / R \). Легко можно
проверьте, что \ (A / R \) - это раздел \ (A \), то есть нет элемента
из \ (A / R \) пусто, любые два элемента из \ (A / R \) не пересекаются, и каждый
\ (a \ in A \) принадлежит (точно) одному элементу из \ (A / R \), а именно классу
\ ([а] _R \).

Если \ (R \) - бинарное отношение, то вместо него обычно пишут \ (aRb \)
из \ ((a, b) \ in R \).

Бинарное отношение \ (R \) на множестве \ (A \) называется антисимметричным
если \ (a = b \) всякий раз, когда \ (aRb \) и \ (bRa \).Отношение \ (R \) на множестве \ (A \), которое
рефлексивный, антисимметричный и транзитивный, называется
(возвратный) частичный порядок . Если удалить из \ (R \) все пары
\ ((a, a) \), для каждого \ (a \ in A \) мы получаем строгий частичный
приказ. Отношение \ (\ substeq \) на любом множестве множеств является примером
частичный порядок. Частичный порядок на данном множестве \ (A \) обычно
представлен символом \ (\ leq \), и соответствующий строгий частичный
упорядочивание по \ (<\). Частичный порядок \ (\ leq \) на множестве \ (A \) с дополнительное свойство, которое либо \ (a \ leq b \), либо \ (b \ leq a \), для всех элементы \ (a \) и \ (b \) из \ (A \), называется общим порядком , или
линейный порядок .2 \) также является линейным порядком на
\ (В \). Если \ (\ leq \) - линейный порядок на множестве \ (A \), то мы говорим, что \ (a \ in
A \) является \ (\ leq \) - наименьшим элементом \ (A \), если не существует \ (b \ in A \) различных
из \ (a \) такое, что \ (b \ leq a \). Число \ (0 \) - наименьший элемент
\ (\ mathbb {N} \), но \ (\ mathbb {Z} \) не имеет наименьшего элемента.

Линейный порядок \ (\ leq \) на множестве \ (A \) является хорошим порядком , если
каждое непустое подмножество \ (A \) имеет \ (\ leq \) - наименьшее
элемент. Эквивалентно, если нет бесконечного строго по убыванию
последовательность \ [\ ldots Таким образом,
обычный порядок \ (\ mathbb {N} \) - хороший порядок. Но обычный
порядок на \ (\ mathbb {Z} \) нет, потому что он не имеет наименьшего элемента.

Функции

A (\ (1 \) - арный) функция на множестве \ (A \) является бинарным отношением \ (F \)
на \ (A \) такая, что для каждого \ (a \ in A \) существует ровно одна пара
\ ((а, Ь) \ в F \). Элемент \ (b \) называется значением \ (F \) на
\ (a \), и обозначается \ (F (a) \). А множество \ (A \) называется
домен из \ (F \).п \ к В \),
для некоторого \ (B \).

Функция \ (F: A \ to B \) - это один к одному , если для всех элементов
\ (a \) и \ (b \) из \ (A \), если \ (a \ ne b \), то \ (F (a) \ ne F (b) \). И
будет на , если для каждого \ (b \ in B \) существует некоторый \ (a \ in A \) такой
что \ (F (a) = b \). Наконец, \ (F \) биективно , если оно взаимно однозначно
и дальше. Таким образом, биекция \ (F: A \ to B \) устанавливает взаимно однозначную
соответствие между элементами \ (A \) и элементами \ (B \), и \ (A \)
является биективным с \ (B \), если существует такой
биекция.Идентификационная функция на множестве \ (A \), обозначенная
\ (Id: A \ to A \), который состоит из всех пар \ ((a, a) \), причем \ (a \ in
А \) тривиально является биекцией.

Для заданных функций \ (F: A \ to B \) и \ (G: B \ to C \), композиция
\ (F \) и \ (G \) , обозначенное как \ (G \ circ F \), - это функция \ (G \ circ F: A \ to
C \), элементами которого являются пары \ ((a, G (F (a))) \), где \ (a \ in A \). Если \ (F \)
и \ (G \) - биекции, то же самое и \ (G \ circ F \).

Наборы и формулы

Формальный язык теории множеств является языком первого порядка
язык, единственным нелогическим символом которого является символ двоичного отношения
\(\в\).

Для любой формулы \ (\ varphi (x, y_1, \ ldots, y_n) \) языка
теории множеств и множеств \ (A, B_1, \ ldots, B_n \), можно сформировать множество всех
те элементы \ (A \), которые удовлетворяют формуле \ (\ varphi (x, B_1, \ ldots
, Б_н) \). Этот набор обозначается \ (\ {a \ in A: \ varphi (a, B_1, \ ldots
, B_n) \} \). Ниже приведены некоторые примеры

• \ ({\ varnothing} = \ {a \ in A: a \ ne a \} \)

• \ (A = \ {a \ in A: a = a \} \)

• \ (A-B = \ {a \ in A: a \ not \ in B \} \).

• \ (A \ cap B = \ {a \ in A: a \ in B \} \).

И если \ (B \) и \ (C \) являются подмножествами \ (A \), то

Учитывая подмножество \ (C \ substeq A \ times B \), проекция
\ (C \) (по первой координате) множество

\ (\ {a \ in A: \ существует b \ in B ((a, b) \ in C) \} \).

Однако это не так, чтобы любая формула
\ (\ varphi (x, y_1, \ ldots, y_n) \) и множества \ (B_1, \ ldots, B_n \), можно сформировать
множество всех тех множеств, которые удовлетворяют формуле
\ (\ varphi (x, B_1, \ ldots, B_n) \).Действительно, пусть \ (\ varphi (x) \) будет формулой
\ (х \ не \ в х \). Если бы \ (A \) было множеством всех множеств, удовлетворяющих
формула, то \ (A \ in A \) тогда и только тогда, когда \ (A \ not \ in A \). Противоречие!
Это противоречие известно как парадокс Рассела после
Бертран Рассел, открывший его в 1901 г. (см. Запись на
Парадокс Рассела).

порядковые номера

Первый порядковый номер - \ ({\ varnothing} \). Учитывая порядковый
\ (\ alpha \), следующий больший порядковый номер, называемый
(немедленно) преемник \ (\ alpha \), это набор \ (\ alpha \ cup \ {
\ альфа \} \).Таким образом, наследником \ (\ alpha \) является просто множество \ (\ alpha \)
вместе с еще одним элементом, а именно \ (\ alpha \)
сам. Конечные порядковые числа - это числа, полученные
начиная с \ ({\ varnothing} \) и многократно принимая преемника.

В теории множеств натуральные числа определяются как
конечные ординалы. Таким образом,

• \ (0 = {\ varnothing} \)

• \ (1 = {\ varnothing} \ cup \ {{\ varnothing} \} = \ {
{\ varnothing} \} \)

• \ (2 = \ {{\ varnothing} \} \ cup \ {\ {{\ varnothing} \} \} = \ {{\ varnothing},
\ {{\ varnothing} \} \} \)

• \ (3 = \ {{\ varnothing}, \ {{\ varnothing} \} \} \ cup \ {\ {{\ varnothing},
\ {{\ varnothing} \} \} \} = \ {{\ varnothing}, \ {{\ varnothing} \}, \ {
{\ varnothing}, \ {{\ varnothing} \} \} \} \)

• \ (\ vdots \) ​​

Обратите внимание, что \ (1 = \ {0 \} \), \ (2 = \ {0,1 \} \), \ (3 = \ {0,1,2 \} \) и в
обычно мы имеем \ (n = \ {0,1,2, \ ldots, n-1 \} \). Итак, каждое натуральное число
\ (n \) - это просто набор его предшественников.

Набор \ (A \) равен конечным , если существует взаимно однозначный
соответствие между некоторым натуральным числом \ (n \) и элементами
\ (A \), т.е. биекция \ (F: n \ на A \), и в этом случае мы говорим, что \ (A \) имеет
\ (n \) элементов. Набор - это бесконечный , если он не конечный.

Множество всех конечных ординалов обозначается греческой буквой омега.
(\(\омега\)). Таким образом, \ (\ omega \) - это просто набор \ (\ mathbb {N} \) естественных
числа.\ (\ omega \) тоже порядковый номер, первая бесконечная
порядковый. Обратите внимание, что \ (\ omega \) не является преемником какого-либо порядкового номера, и
поэтому он называется предельным порядковым номером . Когда у нас есть \ (\ omega \), мы можем
продолжайте генерировать больше ординалов, взяв его преемника \ (\ omega \ cup
\ {\ omega \} \), затем его преемник \ ((\ omega \ cup \ {\ omega \}) \ cup
\ {\ omega \ cup \ {\ omega \} \} \) и т. д. Все порядковые номера больше
чем \ (0 \) производятся таким образом, а именно, либо взяв
наследник последнего произведенного порядкового номера, или, если такого последнего нет
порядковый, взяв набор всех порядковых, произведенных до сих пор, как в
случай \ (\ omega \), который дает новый предельный порядковый номер.Обратите внимание, однако,
что нельзя взять набор из всех ординалов, ибо тогда это
set будет новым предельным порядковым номером, что невозможно, так как мы
все они уже были.

Как и в случае с конечными ординалами, каждый бесконечный ординал - это просто набор
его предшественники. Одним из следствий этого является то, что соотношение \ (\ in \)
является строгим порядком на любом наборе ординалов. Таким образом, для любых ординалов
\ (\ alpha \) и \ (\ beta \) мы определяем \ (\ alpha <\ beta \) тогда и только тогда, когда \ (\ альфа \ в \ бета \). Тогда соответствующий рефлексивный исправный порядок равен определяется как \ (\ alpha \ leq \ beta \) тогда и только тогда, когда \ (\ alpha <\ beta \) или \ (\ альфа = \ бета \). Заметим теперь, что \ (\ alpha \ substeq \ beta \), если
и только если \ (\ alpha \ leq \ beta \).

Счетные и бесчисленные наборы

Если \ (A \) - конечное множество, существует биекция \ (F: n \ to A \) между
натуральное число \ (n \) и \ (A \). Любая такая биекция дает
a , считая элементов \ (A \), а именно, \ (F (0) \) является
первый элемент \ (A \), \ (F (1) \) - второй и так далее. Таким образом, все
конечные множества счетны. Бесконечное множество \ (A \) есть
называется счетным , если есть биекция \ (F: \ omega \ to A \)
между множеством натуральных чисел и \ (A \).Множество \ (\ mathbb {N} \) из
натуральные числа (тривиально) счетны. Если \ (A \) - бесконечное подмножество
\ (\ omega \), то \ (A \) также счетно: ибо пусть \ (F: \ omega \ to A \) будет
такой, что \ (F (n) \) - наименьший элемент \ (A \), которого нет в множестве
\ (\ {F (m) \ in A: m

Каждое бесконечное подмножество счетного множества также счетно: для
предположим, что \ (F: \ omega \ to A \) - биекция, а \ (B \ substeq A \) -
бесконечно. Тогда множество \ (\ {n \ in \ omega: F (n) \ in B \} \) является бесконечным
подмножество \ (\ omega \), следовательно, счетное, и поэтому существует биекция
\ (G: \ omega \ to \ {n \ in \ omega: F (n) \ in B \} \).Тогда композиция
функция \ (F \ circ G: \ omega \ to B \) является биекцией.

Объединение счетного множества и конечного множества также
счетный. Для заданных множеств \ (A \) и \ (B \), которые без потери
общности, мы можем предположить, что они не пересекаются, и учитывая биекции
\ (F: \ omega \ to A \) и \ (G: n \ to B \), для некоторых \ (n <\ omega \) пусть \ (H: \ omega \ to A \ cup B \) - биекция, задаваемая формулой \ (H (m) = G (m) \) для каждого \ (m

Более того, объединение двух счетных множеств также счетно: так как
мы уже показали, что объединение счетного множества и конечного
множество тоже счетно, достаточно увидеть, что объединение двух
непересекающиеся счетные множества также счетны. Итак, предположим, что \ (A \) и \ (B \) являются
счетные множества и \ (F: \ omega \ to A \) и \ (G: \ omega \ to B \) являются
биекций, то функция \ (H: \ omega \ to A \ cup B \), состоящая из всех
пары \ ((2n, F (n)) \) плюс все пары \ ((2n + 1, G (n)) \) являются биекцией.

Таким образом, множество \ (\ mathbb {Z} \), являющееся объединением двух счетных множеств,
а именно \ [\ mathbb {N} \ cup \ {-1, -2, -3, -4, \ ldots \} \] также
счетный.

Декартово произведение двух бесконечных счетных множеств также
счетный. Предположим, что \ (F: \ omega \ to A \) и \ (G: \ omega \ to B \) являются
биекции.m (2n + 1) -1) = (F (m), G (n)) \) также является биекцией.

Поскольку любое рациональное число задается парой целых чисел, т.е.
частное \ (\ frac {m} {n} \), где \ (m, n \ in \ mathbb {Z} \) и \ (n \ ne 0 \),
множество \ (\ mathbb {Q} \) рациональных чисел также счетно.

Однако Георг Кантор обнаружил, что множество \ (\ mathbb {R} \) вещественных
числа не подсчитываются. Допустим, стремясь к противоречию,
что \ (F: \ omega \ to \ mathbb {R} \) - биекция. Пусть \ (a_0 = F (0) \). выбирать
наименьшее \ (k \) такое, что \ (a_0

Существование несчетных множеств следует из гораздо более общего
факт, также открытый Кантором.А именно, для любого множества \ (A \) множество
все его подмножества, называемые набором мощности \ (A \) и обозначаемые
\ (\ mathcal {P} (A) \), не является биективным с \ (A \): предположим, что \ (F: A \ to
\ mathcal {P} (A) \) - биекция. Тогда подмножество \ (\ {a \ in A: a \ not \ in
F (a) \} \) из \ (A \) - это значение \ (F (a) \) некоторого \ (a \ in A \). Но тогда \ (a \ in
F (a) \) тогда и только тогда, когда \ (a \ not \ in F (a) \). Следовательно, если \ (A \) - любое бесконечное
установлено, то \ (\ mathcal {P} (A) \) неисчислимо.

Существуют также бесчисленные порядковые номера.Множество всех конечных и
счетные ординалы также являются ординалами, называемыми \ (\ omega_1 \), и являются
первый несчетный порядковый номер. Аналогично, множество всех ординалов, которые
bijectable с некоторым порядковым номером, меньшим или равным \ (\ omega_1 \), также
порядковый номер, называемый \ (\ omega_2 \), и не допускающий взаимного инъекции с \ (\ omega_1 \),
и так далее.

Кардиналы

Мощность , или размер, конечного множества \ (A \) - это
уникальное натуральное число \ (n \) такое, что существует биекция \ (F: n \ к
А \).

В случае бесконечных множеств их мощность задается не
натуральное число, но по бесконечному порядковому номеру. Однако в отличие от
конечных множеств, бесконечное множество \ (A \) биективно со многими различными
порядковые номера. Например, множество \ (\ mathbb {N} \) биективно с
\ (\ omega \), но и его преемник \ (\ omega \ cup \ {\ omega \} \): by
присваивая \ (0 \) к \ (\ omega \) и \ (n + 1 \) к \ (n \), для всех \ (n \ in \ omega \), мы
получить взаимно однозначное соответствие между \ (\ omega \ cup \ {\ omega \} \) и \ (\ omega \).Но
так как ординалы хорошо упорядочены, мы можем определить мощность
бесконечное множество как наименьший ординал, взаимно инъектируемый с ним.

В частности, мощность порядкового числа \ (\ alpha \) равна
наименьший порядковый номер \ (\ kappa \), который биективно с ним. Заметить, что
\ (\ kappa \) не является взаимно однозначным с меньшим порядковым номером, иначе так
будет \ (\ alpha \). Порядковые числа, не допускающие однозначного соответствия
любые меньшие порядковые числа называются кардинальными числами . Таким образом, все
натуральные числа являются кардиналами, как и \ (\ omega \), \ (\ omega_1 \),
\ (\ omega_2 \) и так далее.В общем, для любого кардинала \ (\ kappa \)
множество всех ординалов, которые взаимно однозначно допускают некоторый ординал \ (\ leq
\ каппа \) тоже кардинал; это наименьший кардинал больше чем
\(\каппа\).

Бесконечные кардиналы представлены буквой алеф
(\ (\ aleph \)) еврейского алфавита. Таким образом, наименьшее бесконечное
кардинал \ (\ omega = \ aleph_0 \), следующий - \ (\ omega_1 = \ aleph_1 \),
который является первым несчетным кардиналом, затем идет
\ (\ omega_2 = \ aleph_2 \) и т. д.

Мощность любого множества \ (A \), обозначаемого \ (| A | \), является единственным
кардинальное число, которое биективно с \ (A \).Мы уже видели, что
\ (| \ mathbb {R} | \) несчетное число, следовательно, больше, чем \ (\ aleph_0 \), но оно
неизвестно, какое это количественное число. Гипотеза о том, что
\ (| \ mathbb {R} | = \ aleph_1 \), сформулированный Кантором в 1878 г., является
Знаменитая гипотеза о континууме .

Дополнительная литература

• Девлин К., 1979, Основы современного декора
Теория , Тексты для бакалавриата по математике, Springer, Second
издание 1993, Радость декораций: основы современного декора
Теория.Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк: Springer.
• Эндертон, Х. Б., 1977, Элементы теории множеств , Нью-Йорк:
Академическая пресса.
• Jech, T. and K. Hrbaček, 1978 [1999], Введение в набор
теория , Нью-Йорк: Марсель Деккер, 3-е издание, 1999 г.

Основы набора

Основы набора

Набор

Основы набора

Предметы для изучения

• равенство наборов
• подмножество, собственное подмножество
• пустой набор
• универсальный набор
• силовой агрегат

Содержание

Определение (равенство наборов): Два набора -
равно тогда и только тогда, когда
у них одинаковые элементы.
Более формально для любых наборов A и B ,
A = B тогда и только тогда, когда

х
[ x
A

х
B ].

Таким образом, например, { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } ,
то есть порядок элементов не имеет значения, и
{ 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1, 1 } , т. Е. Дублирование не
не имеет значения для наборов.

Определение (подмножество): Набор A является
подмножество набора B тогда и только тогда, когда
все в A также находится в B .

Более формально для любых наборов A и B ,
A представляет собой подмножество из B и обозначается
А
B , если и только если

х
[ x
A

х
B ].

Если
А
В ,
и
А
В ,
тогда A называется
собственное подмножество
из B и обозначается
А
В .

Например
{ 1, 2 }

{ 3, 2, 1 }.

Также
{ 1, 2 }

{ 3, 2, 1 }.

Определение (мощность): Если набор S имеет n
отдельные элементы для некоторого натурального числа n , n - это
мощность (размер) из S и S
является конечным множеством .Мощность S обозначается | S | .

Например, мощность набора { 3, 1, 2 } равна 3 .

Определение (пустой набор): Набор, не имеющий элементов, называется
пустой набор.

Более формально, пустой набор , обозначенный
, г.

- это набор, удовлетворяющий следующему:


х

х
,


где

означает «не входит» или «не является членом».

Обратите внимание, что
и
{} - разные наборы.
{}
в нем есть один элемент.
Так {}
не пусто.
Но

в нем ничего нет.

Определение (универсальный набор): Набор, в котором есть все элементы
вселенная дискурса называется
универсальный набор.

Более формально универсальный набор , обозначенный
U ,
- это набор, удовлетворяющий следующему:


х

х

U.


Три отношения подмножества, включающие пустой набор и универсальный набор, перечислены ниже.
как теоремы без доказательства.Их доказательства найдены
в другом месте.

Обратите внимание, , что набор A в следующих четырех теоремах произвольный.
Таким образом, A может быть пустым набором или универсальным набором.

Теорема 1: Для произвольного набора A

А
U .

Теорема 2: Для произвольного набора A
А .

Теорема 3: Для произвольного набора A

А
А .

Определение (набор мощности): Набор всех подмножеств набора A
называется набором мощности из A
и обозначается
2 A или

( А ).


Например, для A = { 1, 2 } ,
( A )
знак равно
,
{ 1 },
{ 2 },
{ 1, 2 }}.


Для B = {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2},

},
( B )
знак равно
,
{{ 1, 2 }}, {{{ 1 }, 2}},
{},
{{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}},
{{ 1, 2 },
},
{{{ 1 }, 2},
},
{{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2},

}}.

Также
()
знак равно
и
({})
знак равно
{}}.

Теорема 4: Для произвольного набора A ,
количество подмножеств A равно
2 | A | .

Проверьте свое понимание основных концепций набора



Далее - Математические рассуждения

Вернуться к расписанию

Вернуться к содержанию

Теория множеств | Введение в математику колледжа

Для нас естественно разделить элементы на группы или наборы и рассмотреть, как эти наборы пересекаются друг с другом.Мы можем использовать эти наборы для понимания взаимоотношений между группами и для анализа данных опросов.

Основы

Коллекционер произведений искусства может владеть коллекцией картин, а меломан - коллекцией компакт-дисков. Любую коллекцию предметов можно составить из набора .

комплект

Набор - это набор отдельных объектов, называемых элементами набора

Набор может быть определен путем описания содержимого или перечисления элементов набора, заключенных в фигурные скобки.

Пример 1

Некоторые примеры наборов, определенных описанием содержимого:

1. Набор всех четных чисел
2. Набор всех книг о путешествии в Чили

ответы

Некоторые примеры наборов, определенных путем перечисления элементов набора:

1. {1, 3, 9, 12}
2. {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, индиго, фиолетовый}

Набор просто определяет содержимое; порядок не важен.Набор, представленный {1, 2, 3}, эквивалентен набору {3, 1, 2}.

Обозначение

Обычно мы будем использовать переменную для представления набора, чтобы облегчить обращение к этому набору позже.

Символ ∈ означает «является элементом».

Набор, не содержащий элементов, {}, называется пустым набором и обозначается как ∅

Пример 2

Пусть A = {1, 2, 3, 4}

Чтобы отметить, что 2 является элементом множества, мы должны написать 2 ∈ A

Иногда коллекция может содержать не все элементы набора.Например, Крису принадлежат три альбома Мадонны. Хотя коллекция Криса - это набор, мы также можем сказать, что это подмножество большего набора всех альбомов Мадонны.

Подмножество

Подмножество набора A - это еще один набор, который содержит только элементы из набора A , но может не содержать всех элементов A .

Если B является подмножеством A , мы пишем B ⊆ A

Правильное подмножество - это подмножество, которое не идентично исходному набору - оно содержит меньше элементов.

Если B является правильным подмножеством A , мы пишем B ⊂ A

Пример 3

Рассмотрим эти три набора:

A = набор всех четных чисел
B = {2, 4, 6}
C = {2, 3, 4, 6}

Здесь B ⊂ A , поскольку каждый элемент B также является четным числом, так же как и элемент A .

Более формально мы могли бы сказать B ⊂ A , поскольку если x ∈ B , то x ∈ A .

Верно также, что B ⊂ C .

C не является подмножеством A , поскольку C содержит элемент 3, который не содержится в A

Пример 4

Предположим, что набор содержит пьесы «Много шума из ничего», «Макбет» и «Сон в летнюю ночь». Какой большой набор это может быть подмножество?

Здесь есть много возможных ответов. Один из них - пьесы Шекспира. Это также подмножество всех когда-либо написанных пьес.Это также часть всей британской литературы.

Попробовать

Набор A = {1, 3, 5}. Какой большой набор это может быть подмножество?

Союз, пересечение и дополнение

Обычно наборы взаимодействуют. Например, вы и ваш новый сосед по комнате решили устроить домашнюю вечеринку, и вы оба приглашаете свой круг друзей. На этой вечеринке объединяются два набора, хотя может оказаться, что есть друзья, которые были в обоих наборах.

Соединение, пересечение и дополнение

Объединение двух наборов содержит все элементы, содержащиеся в любом наборе (или в обоих наборах).Объединение имеет обозначение A ⋃ B. Более формально: x ∊ A ⋃ B , если x ∈ A или x ∈ B (или оба)

Пересечение двух наборов содержит только элементы, которые есть в обоих наборах. Пересечение обозначено как A ⋂ B. Более формально: x ∈ A ⋂ B , если x ∈ A и x ∈ B.

Дополнение набора A содержит все, что есть , а не в наборе A . Дополнение обозначается как A ’, или A, c , или иногда ~ A .

Пример 5

Рассмотрим комплектов:

A = {красный, зеленый, синий}
B = {красный, желтый, оранжевый}
C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, фиолетовый}

Найдите следующее:

1. Найти A ⋃ B
2. Найдите A ⋂ B
3. Найти A c ⋂ C

ответы

1. Объединение содержит все элементы в любом наборе: A ⋃ B = {красный, зеленый, синий, желтый, оранжевый} Обратите внимание, что мы указываем красный только один раз.
2. Пересечение содержит все элементы в обоих наборах: A ⋂ B = {красный}
3. Здесь мы ищем все элементы, которые являются , а не в наборе A , а также находятся в C . A c ⋂ C = {оранжевый, желтый, фиолетовый}

Попробовать

Используя наборы из предыдущего примера, найдите A ⋃ C и B c ⋂ A

Обратите внимание, что в приведенном выше примере было бы трудно просто попросить A c , поскольку все, от цвета фуксии до щенков и арахисового масла, входит в комплект.По этой причине дополнения обычно используются только на перекрестках или когда у нас есть универсальный набор.

Универсальный набор

Универсальный набор - это набор, который содержит все интересующие нас элементы. Это должно быть определено контекстом.

Дополнение относится к универсальному набору, поэтому A c содержит все элементы универсального набора, которых нет в A .

Пример 6

1. Если бы мы обсуждали поиск книг, универсальный набор мог бы включать все книги в библиотеке.
2. Если бы мы группировали ваших друзей на Facebook, универсальный набор состоял бы из всех ваших друзей на Facebook.
3. Если вы работали с наборами чисел, универсальный набор мог бы состоять из целых чисел, всех целых чисел или всех действительных чисел

Пример 7

Предположим, что универсальным набором является U = все целые числа от 1 до 9. Если A = {1, 2, 4}, то A c = {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

Как мы видели ранее с выражением A c ⋂ C , операции над множествами могут быть сгруппированы вместе.Символы группировки можно использовать так же, как и в арифметике - для принудительного выполнения порядка операций.

Пример 8

Предположим, что H = {кошка, собака, кролик, мышь}, F = {собака, корова, утка, свинья, кролик} и W = {утка, кролик, олень, лягушка, мышь}

1. Найти ( H ⋂ F ) ⋃ W
2. Найдите H ⋂ ( F ⋃ W )
3. Найти ( H ⋂ F ) c ⋂ W

Решения

1. Начинаем с перекрестка: H ⋂ F = {собака, кролик}.Теперь мы объединяем этот результат с W : ( H ⋂ F ) ⋃ W = {собака, утка, кролик, олень, лягушка, мышь}
2. Начинаем с союза: F ⋃ W = {собака, корова, кролик, утка, свинья, олень, лягушка, мышь}. Теперь мы пересекаем этот результат с H : H ⋂ ( F ⋃ W ) = {собака, кролик, мышь}
3. Начинаем с пересечения: H ⋂ F = {собака, кролик}. Теперь мы хотим найти элементы W , которые являются , а не в H ⋂ F. ( H ⋂ F) c ⋂ W = {утка, олень, лягушка, мышь}

Диаграммы Венна

Чтобы визуализировать взаимодействие множеств, Джон Венн в 1880 году подумал об использовании перекрывающихся кругов, опираясь на аналогичную идею, которую использовал Леонард Эйлер в восемнадцатом веке. Эти иллюстрации теперь называются Диаграммы Венна .

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна представляет каждый набор в виде круга, обычно рисуемого внутри контейнера, представляющего универсальный набор.Перекрывающиеся области указывают на элементы, общие для обоих наборов.

Базовые диаграммы Венна могут иллюстрировать взаимодействие двух или трех наборов.

Пример 9

Создайте диаграммы Венна для иллюстрации A 13 B , A ⋂ B и A c ⋂ B

A ⋃ B содержит все элементы из набора или .

A ⋂ B содержит только те элементы в обоих наборах - в перекрытии кругов.

A c будет содержать все элементы , а не в наборе A . A c ⋂ B будет содержать элементы в наборе B , которых нет в наборе A .

Пример 10

Используйте диаграмму Венна для иллюстрации ( H ⋂ F ) c ⋂ W

Начнем с идентификации всего в наборе H ⋂ F

Теперь ( H ⋂ F ) c ⋂ W будет содержать все , а не в указанном выше наборе, который также находится в наборе W .

Пример 11

Создайте выражение, представляющее выделенную часть показанной диаграммы Венна.

Элементы в выделенном наборе - это в наборах H и F , но их нет в наборе W . Таким образом, мы можем представить этот набор как H ⋂ F ⋂ W c

Попробовать

Создайте выражение для представления выделенной части диаграммы Венна, показанной

Мощность

Часто нас интересует количество элементов в наборе или подмножестве.Это называется мощностью множества.

Мощность

Количество элементов в наборе - это мощность этого набора.

Мощность набора A часто обозначается как | A | или n ( A )

Пример 12

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = {2, 4, 6, 8}.

Какая мощность у B ? A ⋃ B , A ⋂ B ?

ответов

Мощность элемента B равна 4, так как в наборе 4 элемента.

Количество элементов A ⋃ B равно 7, поскольку A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, которое содержит 7 элементов.

Количество элементов A ⋂ B равно 3, поскольку A ⋂ B = {2, 4, 6}, которое содержит 3 элемента.

Пример 13

Какова мощность числа P = набор английских названий месяцев года?

ответов

Количество элементов этого набора равно 12, поскольку в году 12 месяцев.

Иногда нас может интересовать мощность объединения или пересечения множеств, но мы не знаем фактических элементов каждого набора. Это обычное дело в геодезии.

Пример 14

В ходе опроса 200 человек спрашивают «Какой напиток вы пьете утром» и предлагают варианты выбора:

• Только чай
• Только кофе
• И кофе, и чай

Предположим, 20 сообщают только чай, 80 сообщают только кофе, 40 сообщают и то, и другое. Сколько людей пьют чай по утрам? Сколько людей не пьют ни чая, ни кофе?

ответов

На этот вопрос проще всего ответить, создав диаграмму Венна.Мы видим, что людей, пьющих чай, можно найти, добавив тех, кто пьет только чай, к тем, кто пьет и то, и другое: 60 человек.

Мы также можем видеть, что те, кто не пьет ни того, ни другого, не входят ни в одну из трех других групп, поэтому мы можем подсчитать их, вычтя из мощности универсального набора, 200.

200-20-80-40 = 60 человек, которые не пьют.

Пример 15

В ходе опроса задается вопрос: «Какими онлайн-сервисами вы пользовались за последний месяц?»

• Твиттер
• Facebook
• Использовали оба

Результаты показывают, что 40% опрошенных использовали Twitter, 70% использовали Facebook и 20% использовали оба.Сколько людей не использовали ни Twitter, ни Facebook?

ответов

Пусть T будет набором всех людей, которые использовали Twitter, а F будет набором всех людей, которые использовали Facebook. Обратите внимание, что, хотя мощность F составляет 70%, а мощность T составляет 40%, мощность F ⋃ T не просто 70% + 40%, так как это учитывает тех, кто использует оба услуги дважды. Чтобы найти мощность F ⋃ T , мы можем сложить мощность F и мощность T , а затем вычесть те, которые находятся в пересечении, которые мы посчитали дважды.В символах,

n ( F ⋃ T ) = n ( F ) + n ( T ) - n ( F ⋂ T )
n ( F ⋃ T ) = 70% + 40% - 20% = 90%

Теперь, чтобы узнать, сколько людей не использовали ни одну из услуг, мы ищем мощность ( F ⋃ T ) c . Поскольку универсальный набор содержит 100% людей и мощность F ⋃ T = 90%, мощность ( F ⋃ T ) c должна равняться остальным 10%.

Предыдущий пример проиллюстрировал два важных свойства

Свойства мощности

n ( A ⋃ B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A ⋂ B )

n ( Ac ) = n ( U ) - n ( A )

Обратите внимание, что первое свойство также можно записать в эквивалентной форме, решив мощность пересечения:

n ( A ⋂ B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A ⋃ B )

Пример 16

Было опрошено пятьдесят студентов, и их спросили, будут ли они проходить курс социальных наук (SS), гуманитарных наук (HM) или естественных наук (NS) в следующем квартале.

Сколько студентов проходят только курс SS?

ответов

Может помочь диаграмма Венна.Из приведенных данных мы знаем, что в районе е учатся 3 студента, а в районе х - 7 студентов.

Поскольку 7 студентов проходили курсы SS и NS, мы знаем, что n ( d ) + n ( e ) = 7. Поскольку мы знаем, что в регионе 3 3 студента, должно быть 7 - 3 = 4 студенты в районе д .

Точно так же, поскольку есть 10 студентов, изучающих HM и NS, включая регионы e и f , должно быть 10 - 3 = 7 студентов в регионе f .

Поскольку 9 студентов изучали SS и HM, должно быть 9 - 3 = 6 студентов в регионе b .

Теперь мы знаем, что 21 студент проходил курс SS. Сюда входят студенты из регионов a, b, d, и e . Поскольку мы знаем количество студентов во всех регионах, кроме регионов и , мы можем определить, что 21 - 6 - 4 - 3 = 8 студентов находятся в регионах - .

8 студентов проходят только курс SS.

Попробовать

Было опрошено сто пятьдесят человек, и их спросили, верят ли они в НЛО, призраков и снежного человека.

Сколько опрошенных верили хотя бы в одно из этих утверждений?

теория множеств | Символы, примеры и формулы

Теория множеств , раздел математики, который имеет дело со свойствами четко определенных наборов объектов, которые могут иметь или не иметь математическую природу, например числа или функции.Теория менее ценна в прямом применении к обычному опыту, чем как основа для точной и адаптируемой терминологии для определения сложных и изощренных математических понятий.

Между 1874 и 1897 годами немецкий математик и логик Георг Кантор создал теорию абстрактных множеств сущностей и превратил ее в математическую дисциплину. Эта теория выросла из его исследований некоторых конкретных проблем, касающихся определенных типов бесконечных множеств действительных чисел.Набор, как писал Кантор, представляет собой совокупность определенных, различимых объектов восприятия или мысли, задуманных как единое целое. Объекты называются элементами или членами набора.

Теория имела революционный аспект рассмотрения бесконечных множеств как математических объектов, которые находятся на равных с теми, которые могут быть построены за конечное число шагов. С древних времен большинство математиков тщательно избегали введения в свои аргументы фактической бесконечности (т.е., наборов, содержащих бесконечное количество объектов, рассматриваемых как существующие одновременно, по крайней мере, мысленно). Поскольку такое отношение сохранялось почти до конца XIX века, работа Кантора подвергалась серьезной критике, поскольку речь шла о художественной литературе - более того, что она вторгалась в сферу философии и нарушала принципы религии. Однако как только начали находить приложения к анализу, отношение начало меняться, и к 1890-м годам идеи и результаты Кантора получили признание.К 1900 году теория множеств была признана отдельной отраслью математики.

Однако именно тогда было обнаружено несколько противоречий в так называемой наивной теории множеств. Для устранения таких проблем была разработана аксиоматическая основа теории множеств, аналогичная той, которая была разработана для элементарной геометрии. Степень успеха, достигнутого в этом развитии, а также нынешний уровень теории множеств были хорошо выражены в Николя Бурбаки Éléments de mathématique (начат в 1939 г .; «Элементы математики»): «В настоящее время это известно, что логически можно вывести практически всю известную математику из единого источника - теории множеств.”

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишись сейчас

Введение в теорию наивных множеств

Основные концепции множеств

В теории наивных множеств набор - это совокупность объектов (называемых членами или элементами), которые рассматриваются как один объект. Чтобы указать, что объект x является членом набора A , пишут x ∊ A , а x ∉ A указывает, что x не является членом A .Набор может быть определен правилом членства (формулой) или перечислением его членов в фигурных скобках. Например, набор, заданный правилом «простые числа меньше 10», также может быть задан как {2, 3, 5, 7}. В принципе, любое конечное множество может быть определено явным списком его членов, но для определения бесконечных множеств требуется правило или шаблон, указывающий на членство; например, многоточие в {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} указывает, что список натуральных чисел ℕ продолжается бесконечно. Пустой (или void, или null) набор, обозначенный {} или Ø, не содержит вообще никаких элементов.Тем не менее, он имеет статус набора.

Набор A называется подмножеством набора B (обозначен символами A ⊆ B ), если все элементы A также являются членами B . Например, любой набор является подмножеством самого себя, а Ø - подмножеством любого набора. Если и A, ⊆ B и B ⊆ A , то A и B имеют точно такие же элементы. Часть концепции набора состоит в том, что в этом случае A = B ; то есть A, и B - это один и тот же набор.

Наборов в Python - GeeksforGeeks

Набор - это неупорядоченный тип данных коллекции, который является повторяемым, изменяемым и не имеет повторяющихся элементов. Класс набора Python представляет собой математическое понятие набора. Основное преимущество использования набора по сравнению со списком состоит в том, что он имеет высокооптимизированный метод проверки того, содержится ли в наборе конкретный элемент. Это основано на структуре данных, известной как хеш-таблица. Поскольку наборы неупорядочены, мы не можем получить доступ к элементам с помощью индексов, как в списках.

Вывод:

{'c', 'b', 'a'}
{'d', 'c', 'b', 'a'}
 

Замороженные наборы

Замороженные наборы в Python - это неизменяемые объекты, которые поддерживают только методы и операторы, которые производят результат, не затрагивая замороженный набор или наборы, к которым они применяются.Хотя элементы набора можно изменить в любое время, элементы замороженного набора остаются неизменными после создания.
Если никакие параметры не переданы, возвращается пустой Frozenset.

Выход:

Нормальный набор
set (['a', 'c', 'b'])

Замороженный набор
frozenset (['e', 'g', 'f'])
 

Внутренняя работа набора

Он основан на структуре данных, известной как хеш-таблица.
Если в одной позиции индекса присутствует несколько значений, то значение добавляется к этой позиции индекса, чтобы сформировать связанный список. В Python наборы реализованы с использованием словаря с фиктивными переменными, где ключевыми являются члены, установленные с большей оптимизацией по временной сложности.

Реализация набора: -

Наборы с многочисленными операциями в одной HashTable: -

Методы для наборов

Добавление элементов

Вставка в набор выполняется через набор.add (), где создается соответствующее значение записи для хранения в хеш-таблице. То же, что и проверка элемента, то есть в среднем O (1). Однако в худшем случае он может стать O (n).

Выход:

Люди: {'Идриш', 'Арчи', 'Джей'}

Устанавливается после добавления элемента: {1, 2, 3, 4, 5, 'Idrish', 'Archi', 'Jay', 'Daxit'}
 

Union

Два набора можно объединить с помощью функции union () или | оператор.Оба значения хеш-таблицы доступны и просматриваются с помощью операции слияния, выполняемой над ними для объединения элементов, в то же время удаляются дубликаты. Временная сложность этого составляет O (len (s1) + len (s2)), где s1 и s2 - два набора, объединение которых необходимо выполнить.

Выход :

Объединение с использованием функции union ()
{"Каран", "Идриш", "Джей", "Арджун", "Арчил"}

Союз, использующий '|' оператор
{"Дипаншу", "Идриш", "Джей", "Раджу", "Арчил"}
 

Intersection

Это можно сделать с помощью оператора crossction () или &.Выбраны общие элементы. Они аналогичны итерации по спискам хешей и объединению одинаковых значений в обеих таблицах. Временная сложность этого составляет O (min (len (s1), len (s2)), где s1 и s2 - два набора, объединение которых необходимо выполнить.

Вывод:

Пересечение с использованием функции Intersection ()
{3, 4}

Пересечение с использованием оператора '&'
{3, 4}
 

Разница

Чтобы найти разницу между наборами.Аналогично поиску различий в связанном списке. Это делается с помощью оператора difference () или -. Временная сложность нахождения разности s1 - s2 равна O (len (s1))

Вывод:

Разница двух наборов с использованием функции difference ()
{0, 1, 2}

Разница двух наборов с использованием оператора '-'
{0, 1, 2}
 

Очищающие наборы

Очистить () Метод очищает весь набор.

Выход:

Начальный набор
{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Устанавливается после использования функции clear ()
набор()
 

Однако в наборах Python есть две основные ловушки:

1. Набор не поддерживает элементы в каком-либо определенном порядке.
2. В набор Python можно добавлять только экземпляры неизменяемых типов.

Временная сложность наборов

9224

9224 Union s | t

Операторы для наборов

Наборы и замороженные наборы поддерживают следующие операторы:

9216 подмножество s2

Фрагмент кода для иллюстрации всех операций Set в Python