Матрицы и векторы: Российское Хемометрическое Общество

Матрицы

Внимание! Данный сайт не обновляется. Новая версия: shatalov.su

Дата создания: 2009-04-23 10:20:06
Последний раз редактировалось: 2012-02-08 09:07:25

Есть такая шутка про определение матриц:

Матрица — это прямоугольная таблица чисел. Единственная проблема с данным определением, что это не таблица, она не прямоугольная и не чисел.

Но вообще, это удобно рассматривать матрицу в видет прямоугольной таблицы чисел.

Матрица представляет из себя таблицу чисел размером mxn, где первое число m — количество строк, а второе n — количество столбцов. Это нужно запомнить: первое число — строка, второе число — столбец.

Здесь мы видим матрицу из четырёх элементов. Размер данной матрицы 2×2 — две строки и два столбца.

Матрицы по многим свойствам аналогичны векторам и с помощью матрицы можно представить вектор, только у них есть ряд дополнительных возможностей.

Матрицы одна из самых главных тем математики в играх. С помощью матриц производятся линейные преобразования, что позволяет управлять объектами в пространстве.

Операции над матрицами

В примерах данной статьи мы будем использовать следующие четыре матрицы:

Некоторые операции над матрицами очень похожи на операции над векторами.

Равенство матриц

Две матрицы равны когда они одного размера и все их элементы совпадают.

A = B

Умножение матрицы на число

При умножении матрицы на число, все элементы перемножаются с этим числом.

Сложение и вычитание матриц

Для вычисления суммы двух матриц, необходимо сложить соответствующие элементы этих матриц. Понятно, что при этом матрицы должны быть одного размера.

Разность матриц вычисляется аналогично.

Произведение матриц

Пожалуй самая интересная операция — умножени двух матриц.

Обязательное условие — количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй.

Например у нас есть две матрицы размером: mxn и nxp. Вот эти две матрицы можно перемножать — количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй (число n). В результате перемножения двух матрицы мы получим матрицу размером mxp.

Рассмотрим произведение двух матриц K размером 4×3 и T размером 3×5. Найдём элемент 3×4 (находящийся в третьей строке и четвёртом столбце).

Каждый элемент матрицы вычисляется следующим образом: из первой матрицы берётся строка, номер которой совпадает с номером строки элемента, который мы вычисляем. То есть из первой матрицы берём все элементы из третьей строки. Из второй матрицы берутся элементы столбца, номер которого совпадает с номером столбца элемента, который мы вычисляем. Т.е. все элементы четвёртого столбца из второй матрицы. Обратите внимание что и из первой и из второй матрицы мы взяли одинаковое количество элементов (три).

Вот какие элементы мы взяли:

Из первой матрицы: k₃₁, k₃₂, k₃₃ — все элементы третьей строки.

Из второй матрицы: t₁₄, t₂₄, t₃₄ — все элементы четвёртого столбца.

Теперь находим элемент матрицы P=KT:

p₃₄ = k₃₁*t₁₄ + k₃₂*t₂₄ + k₃₃*t₃₄

Обратите внимание, что мы нашли только один элемент! Все остальные элементы находятся аналогично.

Произведение матриц BD будем выглядеть следующим образом:

Для закрепления материала возьмите две матрицы размером 5×4 и 4×3. Заполните эти матрицы числам. Сначала найдите произведение матрицы в форме индексов, затем вместо индексов подставьте соответствующие числа матриц. Если Вы в первый раз слышите о матрицах, то сделать всё это просто необходимо! Причём нужно сделать это не в уме :), а взять листок бумаги и карандаш, и всё подробно расписать.

Единичные матрицы

Единичная матрица — это квадратная (матрица у которой количество строк равно количеству столбцов) матрица на главной диагонали которой расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Транспонирование матриц

При транспонировании матрицы необходимо поменять местами строки и столбцы.

Представление векторов в матрицах

Векторы можно представлять в виде матриц. Например у нас есть вектор v = <x,y,z>. Его можно представить в виде матрицы: V = [ x y z ]. То есть это матрица с одной строкой. Ниже на картинке представлена матрица содержащая три вектора.

Данную матрицу можно записать в виде строки: M^T = [ v₁v₂v₃ ]. При этом, каждый вектор представлен столбцом.

Важно!!! Тема очень важная, нужно хорошо понимать материал. Поэтому если что-то непонятно по теме, то пожалуйста напишите мне на e-mail (ну или оставьте комментарий в одной из тем блога), что именно непонятно и что вызывает затруднения. Тогда я смогу сделать материал более доступным. Спасибо.

Российское Хемометрическое Общество

Дополнительная информация

Системы линейных уравнений

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размером $I×J$, а $\mathbf{b}$ — вектор размерности $J$. Рассмотрим уравнение

$$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

относительно вектора $\mathbf{x}$, размерности $I$. По сути — это система из $I$ линейных уравнений
с $J$ неизвестными $\mathbf{x}_1, \dots ,\mathbf{x}_J$. Решение существует в том, и только в том случае,
когда

$$\mathrm{rank}(\mathbf{A}) = \mathrm{rank}(\mathbf{B}) = R,$$

где $\mathbf{B}$ — это расширенная матрица размерности $I×(J+1)$, состоящая из матрицы $\mathbf{A}$,
дополненной столбцом $\mathbf{b}$, $\mathbf{B} = (\mathbf{A} \mathbf{b})$. В противном случае уравнения
несовместны.

Если $R = I = J$, то решение единственно

$$\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$$

Если $R < I$, то существует множество различных решений, которые можно выразить через линейную
комбинацию $J−R$ векторов. Система однородных уравнений $\mathbf{Ax} = \mathbf{0}$ с квадратной матрицей
$\mathbf{A}$ ($N×N$) имеет нетривиальное решение ($\mathbf{x} ≠ \mathbf{0}$) тогда и только тогда,
когда $\mathrm{det}(\mathbf{A}) = 0$. Если $R = \mathrm{rank}(\mathbf{A})<N$, то существуют $N−R$ линейно независимых
решений.

Билинейные и квадратичные формы

Если $\mathbf{A}$ — это квадратная матрица , а $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ — вектора соответствующей
размерности, то скалярное произведение вида $\mathbf{x}^\mathrm{t}\mathbf{A}\mathbf{y}$ называется
билинейной формой, определяемой матрицей $\mathbf{A}$. При $\mathbf{x} = \mathbf{y}$ выражение
$\mathbf{x}^\mathrm{t}\mathbf{A}\mathbf{x}$ называется квадратичной формой.

Положительно определенные матрицы

Квадратная матрица $\mathbf{A}$ называется положительно определенной, если для любого ненулевого
вектора $\mathbf{x} ≠ \mathbf{0}$,

$\mathbf{x}^\mathrm{t}\mathbf{A}\mathbf{x} > 0$.

Аналогично определяются отрицательно ($\mathbf{x}^\mathrm{t}\mathbf{A}\mathbf{x} < 0$), неотрицательно
($\mathbf{x}^\mathrm{t}\mathbf{A}\mathbf{x} ≥ 0$) и неположительно ($\mathbf{x}^\mathrm{t}\mathbf{A}\mathbf{x} ≤ 0$)
определенные матрицы.

Разложение Холецкого

Если симметричная матрица $\mathbf{A}$ положительно определена, то существует единственная
треугольная матрица $\mathbf{U}$ с положительными элементами, для которой

$$\mathbf{A} = \mathbf{U}^\mathrm{t}\mathbf{U}$$

Например,

Рис. 20 Разложение Холецкого

Полярное разложение

Пусть $\mathbf{A}$ — это невырожденная квадратная матрица размерности $N×N$. Тогда существует однозначное
полярное представление

$$\mathbf{A} = \mathbf{S}\mathbf{R},$$

где $\mathbf{S}$ — это неотрицательная симметричная матрица, а $\mathbf{R}$ — это ортогональная матрица.
Матрицы $\mathbf{S}$ и $\mathbf{R}$ могут быть определены явно:

$$\mathbf{S} = (\mathbf{AA}^\mathrm{t})^{1/2},
\mathbf{R} = \mathbf{S}^{−1}\mathbf{A} = (\mathbf{AA}^\mathrm{t})^{−1/2}\mathbf{A}.$$

Например,

Рис. 21 Полярное разложение

Если матрица $\mathbf{A}$ вырождена, то разложение не единственно — а именно: $\mathbf{S}$ по-прежнему одна,
а вот $\mathbf{R}$ может быть много. Полярное разложение представляет матрицу $\mathbf{A}$ как комбинацию
сжатия/растяжения $\mathbf{S}$ и поворота $\mathbf{R}$.

Собственные векторы и значения

Пусть $\mathbf{A}$ — это квадратная матрица. Вектор $\mathbf{v}$ называется собственным вектором
матрицы $\mathbf{A}$, если

$$\mathbf{Av} = \lambda\mathbf{v},$$

где число $\lambda$ называется собственным значением матрицы $\mathbf{A}$. Таким образом преобразование,
которое выполняет матрица $\mathbf{A}$ над вектором $\mathbf{v}$, сводится к простому растяжению или сжатию
с коэффициентом $\lambda$. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу
$\alpha ≠ 0$, т.е. если $\mathbf{v}$ — собственный вектор, то и $\alpha\mathbf{v}$ — тоже собственный вектор.

Собственные значения

У матрицы $\mathbf{A}$ , размерностью ($N×N$) не может быть больше чем $N$ собственных значений.
Они удовлетворяют характеристическому уравнению

$$\mathrm{det}(\mathbf{A} − \lambda\mathbf{I}) = 0,$$

являющемуся алгебраическим уравнением $N$-го порядка. В частности, для матрицы $2×2$ характеристическое
уравнение имеет вид

$$
\mathrm{det}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}) =
\mathrm{det} \bigg( \begin{bmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} — \lambda \end{bmatrix} \bigg) =
(a_{11} — \lambda)(a_{22} — \lambda) — a_{12}a_{21} = 0
$$

Например,

Рис. 22 Собственные значения

Набор собственных значений $\lambda_1,\dots,\lambda_N$ матрицы $\mathbf{A}$ называется
спектром $\mathbf{A}$.

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

$$
\mathrm{det}(\mathbf{A}) = \lambda_1\times\dots\times\lambda_N,
\mathrm{Sp}(\mathbf{A}) = \lambda_1+\dots+\lambda_N
$$

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица
симметричная ($\mathbf{A}^\mathrm{t} = \mathbf{A}$), то ее собственные значения вещественны.

Собственные векторы

У матрицы $\mathbf{A}$, размерностью ($N×N$) не может быть больше чем $N$ собственных векторов,
каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора
$\mathbf{v}_n$ нужно решить систему однородных уравнений

$$(\mathbf{A} − \lambda_n\mathbf{I})\mathbf{v}_n = \mathbf{0}$$

Она имеет нетривиальное решение, поскольку $\mathrm{det}(\mathbf{A} − \lambda_n\mathbf{I}) = 0$.

Например,

Рис. 22 Собственные векторы

Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.

Эквивалентные и подобные матрицы

Две прямоугольные матрицы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ одной размерности $I×J$ эквивалентны, если
существуют такие квадратные матрицы $\mathbf{S}$, размерности $I×I$, и $\mathbf{T}$, размерности $J×J$,
что:

$$\mathbf{B} = \mathbf{SAT}$$

Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.

Две прямоугольные матрицы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ одной размерности $N×N$ подобны, если существует
такая невырожденная матрица $\mathbf{T}$, что:

$$\mathbf{B} = \mathbf{T}^{−1}\mathbf{AT}$$

Матрица $\mathbf{T}$ называется преобразованием подобия.

Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.

Приведение матрицы к диагональному виду

Нормальную (в частности симметричную) матрицу $\mathbf{A}$ можно привести к диагональному виду
преобразованием подобия:

$$\mathbf{A} = \mathbf{T}\mathbf{\Lambda}\mathbf{T}^{−1}$$

Здесь $\mathbf{\Lambda} = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_N)$ — это диагональная матрица, элементами
которой являются собственные значения матрицы $\mathbf{A}$, а $\mathbf{T}$ — это матрица, составленная
из соответствующих собственных векторов матрицы $\mathbf{A}$, т.е.
$\mathbf{T} = (\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_N)$.

Например,

Рис. 23 Приведение к диагональному виду

Разложение по сингулярным значениям

Пусть имеется прямоугольная матрица $\mathbf{A}$ размерностью $I×J$ ранга $R$ ($I≤J≤R$).
Ее можно разложить в произведение трех матриц $\mathbf{P}_R$ ($I×R$), $\mathbf{D}_R$ ($R×R$) и
$\mathbf{Q}_R$ ($J×R$) —

$$\mathbf{A} = \mathbf{P}_R\mathbf{D}_R\mathbf{Q}_R^\mathrm{t}$$

так, чтобы —

$$\mathbf{P}_R^\mathrm{t}\mathbf{P}_R = \mathbf{Q}_R^\mathrm{t}\mathbf{Q}_R = \mathbf{I}_R$$

Здесь $\mathbf{P}_R$ — матрица, образованная $R$ ортонормированными собственными векторами
$\mathbf{p}_r$ матрицы $\mathbf{AA}^\mathrm{t}$, соответствующим $R$ наибольшим собственным значениям
$λ_r$:

$$\mathbf{AA}^\mathrm{t}\mathbf{p}_r = \lambda_r\mathbf{p}_r$$

$\mathbf{Q}_R$ — матрица, образованная $R$ ортонормированными собственными векторами $\mathbf{q}_r$
матрицы $\mathbf{A}^\mathrm{t}\mathbf{A}$:

$$\mathbf{A}^\mathrm{t}\mathbf{A}\mathbf{q}_r = \lambda_r\mathbf{q}_r$$

$\mathbf{D}_R = \mathrm{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_R)$ — положительно определенная диагональная матрица,
элементами которой являются $\sigma_1≥\dots≥\sigma_R≥0$ — сингулярные значения матрицы $\mathbf{A}$,
равные квадратным корням из собственных значений матрицы $\mathbf{A}^\mathrm{t}\mathbf{A}$:

$$\sigma_r=\sqrt{\lambda_r}$$

Пример,

Рис. 25 SVD разложение

Дополняя матрицы $\mathbf{P}_R$ и $\mathbf{Q}_R$ ортонормированными столбцами, а матрицу $\mathbf{D}_R$
нулевыми значениями, можно сконструировать матрицы $\mathbf{P}$ ($I×J$), $\mathbf{D}$ ($J×J$) и
$\mathbf{Q}$ ($J×J$) такие, что

$$\mathbf{A} = \mathbf{P}_R\mathbf{D}_R\mathbf{Q}_R^\mathrm{t} = \mathbf{PDQ}^\mathrm{t}$$

Об использовании SVD рассказано в других пособиях MatLab. Руководство для начинающих и
Метод главных компонент (PCA)

Линейное пространство и базис

Рассмотрим все возможные векторы размерности $N$. Это множество называется линейным пространством
размерности $N$ и обозначается $\mathbb{R}^N$ . Так как в $\mathbb{R}^N$ включены все возможные векторы, то
любая линейная комбинация векторов из $\mathbb{R}^N$ будет также принадлежать этому пространству.

Любой набор из $N$ линейно независимых векторов называется базисом в пространстве $\mathbb{R}^N$.
Простейший пример базиса — это набор векторов

$$
\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{bmatrix},
\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \dots \\ 0 \end{bmatrix},
\dots,
\mathbf{e}_N = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \end{bmatrix}
$$

в каждом из которых только один элемент равен $1$, а остальные равны нулю. Тогда любой вектор
$\mathbf{x} = (x_1, x_2,…,x_N)^\mathrm{t}$ может быть представлен как линейная комбинация
$\mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1+ x_2\mathbf{e}_2+\dots+x_N\mathbf{e}_N$ базисных векторов.

Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным, а если базисные
вектора еще и нормированы, то этот базис называется ортонормированным.

Геометрическая интерпретация

Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе $N$-мерное
пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный
вектор $\mathbf{x} = (x_1, x_2,…,x_N)^\mathrm{t}$ можно изобразить точкой в этом пространстве
с координатами $(x_1, x_2,…,x_N)$.

Рис. 26 Координатное пространство

Множественность базисов

В линейном пространстве могут быть неограниченное число базисов. Так, в пространстве $\mathbb{R}^3$
помимо обычного ортонормированного базиса

$$
\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
\mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$

можно установить и другой ортонормированный базис, например

$$
\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} \sqrt{0.5} \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix},
\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} -\sqrt{0.5} \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix},
\mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -\sqrt{0.5} \\ \sqrt{0.5} \end{bmatrix}
$$

Каждый базис можно представить матрицей $\mathbf{B} = (\mathbf{b}_1,…,\mathbf{b}_N)$, составленной
из базисных векторов. Переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной
квадратной матрицы $\mathbf{T}$, т.е. $\mathbf{B}_2 = \mathbf{TB}_1$.

Подпространство

Пусть имеется набор из $K$ линейно независимых векторов $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,…,\mathbf{x}_K$
в пространстве $\mathbb{R}^N$. Рассмотрим все возможные линейные комбинации этих векторов

$$\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1+ \alpha_2\mathbf{x}_2+\dots+\alpha_K\mathbf{x}_K$$

О получившимся множестве $Q$ говорят, что оно является линейной оболочкой или что оно
натянуто на векторы $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_K$. По определению линейного
пространства это множество $Q$ само является линейным пространством размерности $K$. При
этом оно принадлежит пространству $\mathbb{R}^N$, поэтому $Q$ называется линейным
подпространством $\mathbb{R}^K$ в пространстве $\mathbb{R}^N$.

Проекция на подпространство

Рассмотрим подпространство $\mathbb{R}^K$, натянутое на векторы
$\mathbf{X} = (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_K)$ в пространстве $\mathbb{R}^N$.
Матрица базиса $\mathbf{X}$ имеет размерность ($N×K$). Любой вектор $\mathbf{y}$ из $\mathbb{R}^N$
может быть спроецирован на подпространство $\mathbb{R}^K$, т.е. представлен в виде

$$\mathbf{y} = \mathbf{y}^\parallel + \mathbf{y}^\perp$$

где вектор $\mathbf{y}^\parallel$ принадлежит $\mathbb{R}^K$, а вектор
$\mathbf{y}^\perp$ ортогонален $\mathbf{y}^\parallel$.

Рис. 27 Проекция на подпространство

Проекцию $\mathbf{y}^\parallel$ можно представить как результат действия проекционной
матрицы $\mathbf{P}$

$$\mathbf{y}^\parallel = \mathbf{Py}$$

Проекционная матрица определяется как

$$\mathbf{P} = \mathbf{X}(\mathbf{X}^\mathrm{t}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\mathrm{t}$$

Пример:

Рис. 28 Проекционное разложение

Векторы и матрицы

Векторы и
матрицы.

Определение
вектора.

С упорядоченной
последовательностью действительных
чисел a1,a2,
… , an
можно связать понятие связанного вектора
в n-мерном
пространстве и обозначить как:

Типы и
характеристики векторов.

Нулевой
вектор –
вектор, все компоненты которого равны
нулю.

Единичный
вектор –
вектор, длина которого равна единице:

Транспонированный
вектор – вектор, компоненты которого
располагаются в виде строки:

Два вектора с
одинаковой размерностью равны тогда,
когда равны их соответствующие компоненты:

,
где i
= 1, 2, 3, …, n

Определение
матрицы.

Совокупность чисел
расположенных в прямоугольной таблице,
состоящей из n
строк и m
столбцов, называется матрицей и
обозначается как:

Положение элемента

в матрице определяется двумя индексами
(i
и j),
где i
– номер строки
,
а j
– номер столбца

Типы матриц:

Вектор строка
– матрица, состоящая из одной строки
n=1

Вектор столбец
– матрица, состоящая из одного столбца
m=1

Квадратная
матрица –
матрица, у которой n
= m

Верхне треугольная
– матрица, у которой

при i>j

Нижне треугольная
– матрица, у которой

при i<j

Диагональная
– матрица,
у которой

при

Единичная –
матрица, у которой

Равенство матриц
,
где i=1,2,
…, n;
j=1,2,
…, m

Характеристики
и операции.

Норма
(длина)
вектора:

Норма
матрицы (Эвклидова).

Сложение и
вычитание векторов.

Складывать и
вычитать можно только вектора с одинаковой
размерностью. Результатом операции
сложения (вычитания) является вектор,
компоненты которого равны сумме
(разности) соответствующих компонент
двух других векторов.

Сложение и
вычитание матриц.

Складывать и
вычитать можно только матрицы с одинаковой
размерностью. Результатом операции
сложения (вычитания) является матрица,
элементы которой равны сумме (разности)
соответствующих элементов двух других
матриц.

Свойство
операций сложения (вычитания) матриц:

1) коммутативность

;

2) ассоциативность

Умножение
вектора на константу.

Результатом
умножения является вектор, компоненты
которого равны произведению соответствующих
компонент исходного вектора на константу.

Умножение
матрицы на константу.

Результатом
умножения является матрица, элементы
которой равны произведению соответствующих
элементов исходной матрицы на константу.

i=1,2,
…,n;
j=1,2,
…,m

Свойства
операции:

Транспонирование
матрицы –
это замена строк матрицы соответствующими
столбцами, т.е.
,
где i=1,2,
…,n; j=1,2, …,m

Умножение
матриц.

Количество столбцов
матрицы A
должно равняться количеству строк
матрицы B.

Вариант №15

Задание:

Решить матричное
выражение:

Программа:

Sub
matrix()

Dim
A!(2, 3), B!(3, 2), C!(2, 1), D!(3, 1), i%, j%

Dim
S!, l%, Y1!(3, 2), Y2!(2, 1), Y3!(2, 2)

Dim
Ct!(1, 2), Y1t!(2, 3), r1!, r2!, r!

For
i = 1 To 2

For
j = 1 To 3

A(i,
j) = Cells(i, j)

Next
j

Next
i

For
i = 1 To 3

For
j = 1 To 2

B(i,
j) = Cells(i + 6, j)

Next
j

Next
i

For
i = 1 To 2

C(i,
1) = Cells(i + 3, 1)

Next
i

For
i = 1 To 3

D(i,
1) = Cells(i + 10, 1)

Next
i

For
i = 1 To 2

Ct(1,
i) = C(i, 1)

Next
i

For
j = 1 To 2

S
= 0

For
i = 1 To 3

S
= S + D(i, 1) * Ct(1, j)

Y1(i,
j) = S

Next
i

Next
j

For
i = 1 To 3

For
j = 1 To 2

Y1t(j,
i) = Y1(i, j)

Next
j

Next
i

For
i = 1 To 2

S
= 0

For
l = 1 To 3

S
= S + Y1t(i, l) * D(l, 1)

Next
l

Y2(i,
1) = S

Next
i

For
i = 1 To 2

For
j = 1 To 2

S
= 0

For
l = 1 To 3

S
= S + A(i, l) * B(l, j)

Next
l

Y3(i,
j) = S

Next
j

Next
i

For
i = 1 To 2

S
= 0

S
= S + Y2(i, 1) ^ 2

Next
i

r1
= Sqr(S)

For
i = 1 To 2

For
j = 1 To 2

S
= 0

S
= S + Y3(i, j) ^ 2

Next
j

Next
i

r2
= Sqr(S)

r
= r1
+ r2

Cells(15,
2) = r

End
Sub

Результат
вычислений:

Российский
Химико-Технологический Университет

Им.
Д. И. Менделеева

Отчет

По лабораторной
работе №1

на тему:
«Матричные
выражения»

Выполнила
студентка группы П-21: Тульская
Мария

Москва 2008

Умножение матрицы на вектор, формула и примеры

Умножение матрицы на вектор производится по правилу «строка на столбец». При умножении матрицы на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце. Результатом умножения матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец:

При умножении матрицы на вектор-строку, умножаемая матрица может быть только вектором-столбцом, причем количество строк в векторе-столбце должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом такого умножения будет квадратная матрица соответствующей размерности:

Примеры умножения матриц на вектора

Часть 3 — Криволинейные координаты / Хабр

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Читая отзывы к своим статьям, понял, что я излишне перегрузил читателя теоретическими вводными. Прошу за это прощения, признаться честно, я сам далек от формальной математики.

Однако, тензорное исчисление пестрит понятиями, многие из которых требуется вводить формально. Поэтому третья статься цикла тоже будет посвящена сухой теории. Тем не менее, я обещаю, что в следующей работе приступлю к тому, к чему сам давно хотел — к описанию практической ценности тензорного подхода. На примете имеется интересная задача, большая часть которой в моей голове уже разобрана. Тензорное исчисление для меня не праздный интерес, а способ обработать некоторые из своих теоретических и практических соображений в области механики. Так что практика по полной программе ещё предстоит.

А пока что рассмотрим некоторые теоретические основы. Добро пожаловать под кат.

1. Матрица Якоби и локальная метрика. «Жонглирование» индексами

Те системы координат, что мы рассматривали до сих пор были косоугольными. Но их оси были прямыми линиями. Однако, крайне часто приходится работать в пространстве, координатные линии которого — кривые. Такая система координат называется криволинейной.

Простейший жизненный пример криволинейной системы координат — географические координаты — широта, долгота и высота над уровнем моря, по которой определяется положение объектов вблизи поверхности Земли. Криволинейные координаты широко применяются в астрономии. В механике примером таких координат могут служить обобщенные координаты механической системы, однозначно определяющие её положение в пространстве с учетом геометрии наложенных на систему связей. На этом и строится аналитическая механика.

Рис. 1. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве

Рассмотрим криволинейные координаты, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (рисунок 1). Пусть положение точки задается в этих координатах вектором

и декартовы координаты точки связаны с (1) соотношением
или, в компонентной форме
Рассмотрим частную производную . Результат такого дифференцирования — это вектор, направленный по касательной к координатной линии . Дифференцируя (2) по всем криволинейным координатам получим тройку векторов
Эти векторы задают базис так называемого касательного пространства. И в отличие от базиса в косоугольной системе координат, модуль и направление этих векторов будут изменятся при переходе от одной точки к другой. Мы получаем переменный базис, зависящий от положения в пространстве, заданного вектором (1). Такой базис называется локальным

Векторы (4) собирают в матрицу

которая называется матрицей Якоби, и по сути определяется как производная от одного вектора по другому вектору. В нашем случае
Легко догадаться, что если функция (2) линейна относительно компонент вектора , то её можно выразить матричным соотношением
то мы рассматриваем косоугольную систему координат, и матрица Якоби будет равна матрице преобразования от косоугольных координат к декартовым
Теперь, любой вектор, заданный в пространстве (тензор ранга (1, 0)) можно представить через его контравариантные компоненты в криволинейной системе координат
Однако, компоненты вектора, из-за переменного базиса, будут зависеть от положения в пространстве точки приложения вектора. Кроме того, для того чтобы представление (6) существовало, надо чтобы векторы, составляющие базис были не компланарны. Из курса векторной алгебры нам известно, что векторы некомпланарны, если их смешанное произведение отлично от нуля. Отсюда возникает условие, которому должен удовлетворять определитель матрицы Якоби
Данный определитель как раз определяет смешанное произведение векторов базиса.

Теперь вычислим ковариантные компоненты вектора . Для этого, в самой первой статье цикла, мы умножали вектор скалярно на соответствующий вектор базиса

В той же, первой статье, мы определили, что ковариантные компоненты вектора связаны с контравариантными через метрический тензор
Сравнивая два последних выражения мы получаем определение метрического тензора в криволинейных координатах
которое можно представить в матричной форме
Эту связь можно представить и в тензорной форме, но для этого придется ввести явно метрику для декартовых координат
Тогда, преобразование декартовой метрики в криволинейную будет выглядеть так
Выражение (8) вводит метрический тензор для криволинейных координат. Этот тензор зависит от положения точки в пространстве, поэтому говорят что он задан локально или определяет локальную метрику

Определившись с метрикой, мы можем записать правила преобразования контравариантных координат в ковариантные

и ковариантных координат в контравариантные
В тензорном исчислении операции опускания (9) и поднятия (10) индексов называют «жонглированием» индексами.

Выписав соотношения (9) и (10) мы подразумевали, что матрицы и взаимно обратимы. Это возможно лишь в том случае, если

Данное условие выполняется для криволинейных координат, если матрица Якоби не вырождена, и это непосредственно следует из (8), так как
то есть условие (7) выполняемое для всех точек пространства — достаточное условие невырожденности локальной метрики.

Рассмотрение вырожденнных метрик, это отдельный и сложный вопрос, поэтому мы ограничимся метриками, в которых матрица метрического тензора обратима, то есть выполняется условие

где

• единичный тензор, называемый дельтой Кронекера. Видно, что его компоненты представлены единичной матрицей с размерностью, соответствующей размерности пространства.

2. Взаимный базис

Введем векторы , получаемые из векторов исходного базиса путем поднятия индекса
Теперь возьмем и умножим (11) скалярно на вектор
но, мы знаем, что — метрический тензор, поэтому, приходим к уравнению

Если мы возьмем, например, вектор , то в силу (12) он перпендикулярен векторам и (его скалярное произведение с ними равно нулю), а скалярное произведение этого вектора на — равно единице

Дальше возьмем и умножим (11) скалярно на

и в силу (12) это дает контравариантный метрический тензор
Система векторов тоже образует базис, который называют взаимным или сопряженным с базисом .

Снова рассмотрим вектор . Из соотношений (10) и (11) следует цепочка преобразований

Умножим (13) скалярно на
приходим к заключению, что любой вектор может быть разложен как по базису — тогда его компоненты будут контравариантные, так и по базису — компоненты будут ковариантными
При этом, ковариантные компоненты — это скалярные произведение вектора на векторы базиса , а контравариантные компоненты — скалярные произведения вектора на векторы базиса
что ещё раз иллюстрирует взаимность этих базисов.

Тут надо отметить, что векторы базиса получаются естественным путем — они касательны соответствующим координатным линиям и им можно приписать геометрический смысл. Что касается базиса , то его векторы не направлены по касательной координатным линиям, а перпендикулярны парам векторов касательного базиса. Такой базис иногда принято называть неголономным

3. Преобразование криволинейных координат. Формальное определение ковариантных и контравариантных компонент

Допустим, что мы работаем в криволинейной система координат, определенной вектором . Перейдем к другой системе координат, положение точек которой определяется вектором , таким, что преобразование от старой системы координат к новой определяется уравнениями
Будем считать преобразование (16) обратимым, то есть допустим существование функции
Для этого требуется, чтобы определитель матрицы Якоби
был отличен от нуля
Тогда существует матрица , обратная матрице (18), такая, что
Матрица является матрицей Якоби для преобразования (17). Тогда можно вычислить векторы нового базиса
Получаем связь между старым базисом и новым

Разложим вектор в новом базисе
и используя соотношение (19), напишем
С учетом того, что векторы базиса линейно независимы, приравниваем коэффициенты при них в (21)
Теперь умножим обе части (21) на
Учтем, что

То есть, получаем формулу обратного преобразования контравариантных компонент
Из (22) и (19) можно заключить следующее

Контравариантные компоненты вектора преобразуются оператором, обратным оператору преобразования базиса

Действительно, чтобы получить векторы нового базиса, мы использовали матрицу по формуле (19). Чтобы получить контравариантные компоненты заданного в новом базисе вектора мы используем матрицу

А теперь посмотрим, как преобразуется вектор, заданный своими ковариантными компонентами

Из (23) видно, что

Ковариантные компоненты вектора преобразуются тем же оператором, которым осуществляется преобразование базиса

Формулы (19), (22) и (23) и сформулированные определения, вынесенные в цитатный блок дают формальное определение контравариантных и и ковариантных координат и иллюстрируют разницу между ними. Можно сформулировать утверждение

Тензор ранга (1,0) преобразуется оператором обратным, используемому при преобразовании базиса, а тензор ранга (0,1) преобразуется тем же самым оператором, что используется при преобразовании базиса.

4. Ковариантная производная. Символы Кристоффеля 2-го рода

Предположим, что мы хотим продифференцировать вектор, заданный произвольными координатам по какой-то из координат. Что мы должны сделать? Давайте попробуем выполнить эту операцию
На каком основании мы выписали производную от базисного вектора? А на том основании, что базис в криволинейных координатах зависит от них, а значит его производная от координаты отлична от нуля. Ну и ладно, эта производная тоже будет вектором, а значит её можно разложить по локальному базису, например вот так
Найдем коэффициенты разложения в (25). Для этого, возьмем ковариантный метрический тензор и продифференцируем его по указанной координате
Подставим (25) в (26)
Здесь очевидно присутствие компонент метрического тензора, поэтому выполняем замену
Прежде чем начать работать с (27), скажем, что искомые коэффициенты разложения симметричны относительно нижних индексов, так как проведя прямое дифференцирования базисного вектора приходим к выражению
откуда, в силу непрерывности рассматриваемых функций, заключаем, что
Теперь, в (27) переставим индексы i и k
А теперь, переставим в (27) индексы j и k
Теперь сложим (29) и (30) учтя при этом симметричность (28)

Вычитаем (27) из (31), снова учитывая (28)

Умножаем (32) на , и получаем окончательно
Выражение (33) определяет так называемый символ Кристоффеля 2-го рода. Тогда
Выражение, стоящее в скобках в (34) называется ковариантной производной контравариантных компонент вектора
Исходя из (35) мы должны понимать, что пытаясь дифференцировать по криволинейной координате, мы обязаны учитывать зависимость базиса от координат. Если метрика не зависит от положения точки приложения вектора в пространстве, то (35) превращается в частную частную производную, ибо все символы Кристоффеля равны будут нулю, из-за того что метрический тензор не зависит от координат. В любой косоугольной системе координат, и в их частном случае — декартовых координатах, символы Кристоффеля, согласно (33) равны нулю. А значит, согласно (35) ковариантрая производная от вектора по координате будет совпадать с его частной производной по этой координате, к чему мы приучены вобщем-то давно. Но если бы (33) был тензором, то он, будучи равен нулю, остался бы нулевым в любой другой системе координат. Но в криволинейных координатах (33) нулю не равны. А значит символы Кристоффеля не являются тензором. При преобразовании системы координат меняются компоненты, но не сущность тензора. Нулевой тензор должен быть таковым в любой системе координат.

Заключение

Первичные теоретические основы разобраны. Со следующей статьи мы уйдем в практику использования тензорного исчисления для решения конкретных задач. Спасибо Вам за оказанное мне внимание и доверие.

Продолжение следует…

Виды матриц.

Навигация по странице:

Определение.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

Пример.

Определение.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. a_ij = 0, ∀i, j.

Пример.

Определение.

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

Пример.

Определение.

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

Пример.

Определение.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Пример диагональной матрицы.

Определение.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

Обозначение.

Единичную матрицу обычно обозначают символом E.

Пример единичной матрицы.

Определение.

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы.

Определение.

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

Пример нижней треугольной матрицы.

N.B. Диагональная матрица — матрица, которая одновременно является верхней треугольной и нижней треугольной.

Определение.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

• если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
• если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

Примеры ступенчатых матриц.

Векторы и матрицы

Марко Табога, доктор философии

Эта лекция представляет собой неформальное введение в матрицы и векторы.

Матрица

Матрица — это двумерный массив с фиксированным количеством строк.
и столбцы и содержит число на пересечении каждой строки и
столбец. Матрица обычно ограничивается квадратными скобками.

Пример
Ниже приведен пример матрицы, состоящей из двух строк и двух
столбцы:

Размерность матрицы

Количество строк и столбцов матрицы составляет ее размер.Если
матрица имеет

ряды и

столбцы, мы говорим, что это

матрица, или что она имеет размерность
.

Элементы матрицы

Числа, содержащиеся в матрице, называются элементами матрицы (или
записи или компоненты). Если

матрица, элемент на пересечении строки

и столбец

обычно обозначается

(или
)
и мы говорим, что это
-й
элемент
.

Векторы

Если матрица имеет только одну строку или только один столбец, она называется вектором.

Матрица, имеющая только одну строку, называется вектором-строкой .

Пример
В

матрица
вектор-строка, потому что он имеет только одну строку.

Матрица, имеющая только один столбец, называется вектором-столбцом .

Пример
В

матрица
вектор-столбец, потому что он имеет только один столбец.

Скаляры

Матрица, имеющая только одну строку и один столбец, называется скаляром.

Пример
В

матрица
скаляр. Другими словами, скаляр — это одно число.

Равные матрицы

Равенство между матрицами определяется очевидным образом. Два

матрицы

а также

имеющих одинаковую размерность, называются равными тогда и только тогда, когда все их
соответствующие элементы равны каждому
Другой:

Нулевые матрицы

Матрица

является нулевой матрицей , если все ее элементы равны нулю, и
мы пишем

Пример
Если

это

матрица и
,
тогда

Матрицы квадратные

А

Матрица называется квадратной матрицей , если количество ее строк равно
такое же, как количество его столбцов, то есть
.

Пример
В

матрица
квадратная матрица.

Пример
В

матрица
квадратная матрица.

Диагональные и недиагональные элементы

Позволять

— квадратная матрица. Диагональ (или главная диагональ
)
это набор всех элементов

такой, что
.
Элементы, принадлежащие диагонали, называются диагональными элементами, и все
остальные элементы называются недиагональными.

Идентификационная матрица

Квадратная матрица называется единичной матрицей , если все ее
диагональные элементы равны

и все его недиагональные элементы равны
.Обычно обозначается буквой
.

Пример
В

матрица
в

единичная матрица.

Транспонирование матрицы

Если

это

матрица, ее транспонирует , обозначается
,
это

матрица такая, что
-й
элемент

равно
-й
элемент
за
любой

а также

удовлетворение

а также
.
Другими словами, столбцы

равны строкам

(эквивалентно, строки

равны столбцам
).

Симметричные матрицы

Квадратная матрица называется симметричной , если она равна ее
транспонировать.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять

быть

матрица определена
byFind
его транспонировать.

Решение

Транспонирование

матрица, столбцы которой равны строкам
:

Упражнение 2

Позволять

быть

вектор-столбец определен
byShow
что его транспонирование представляет собой вектор-строку.

Решение

Упражнение 3

Позволять

быть

матрица определена
по
он симметричный?

Решение

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017). «Векторы и матрицы», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/vectors-and-matrices.

.

векторов и матриц в квантовых вычислениях — Microsoft Quantum

• 11.12.2017
• 5 минут на чтение

В этой статье

Некоторое знакомство с векторами и матрицами необходимо для понимания квантовых вычислений. Ниже мы приводим краткое введение, а заинтересованным читателям рекомендуется прочитать стандартный справочник по линейной алгебре, например Strang, G.{*} v_n.
$

Это обозначение также позволяет записать норму вектора $ v $ как $ \ sqrt {\ langle v, v \ rangle} $.

Мы можем умножить вектор на число $ c $, чтобы сформировать новый вектор, элементы которого умножаются на $ c $. Мы также можем сложить два вектора $ u $ и $ v $, чтобы сформировать новый вектор, элементы которого являются суммой элементов $ u $ и $ v $. Эти операции описаны ниже:

$$ \ mathrm {Если} ~ u = \ begin {bmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
\ vdots \\
ООН
\ end {bmatrix} ~ \ mathrm {и} ~
v = \ begin {bmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
\ vdots \\
v_n
\ end {bmatrix}, ~ \ mathrm {then} ~
au + bv = \ begin {bmatrix}
au_1 + bv_1 \\
au_2 + bv_2 \\
\ vdots \\
au_n + bv_n
\ end {bmatrix}.$

Матрица размера $ m \ times n $ представляет собой набор из $ mn $ комплексных чисел, упорядоченных в $ m $ строк и $ n $ столбцов, как показано ниже:

$$ M =
\ begin {bmatrix}
M_ {11} ~~ M_ {12} ~~ \ cdots ~~ M_ {1n} \\
M_ {21} ~~ M_ {22} ~~ \ cdots ~~ M_ {2n} \\
\ ddots \\
M_ {m1} ~~ M_ {m2} ~~ \ cdots ~~ M_ {mn} \\
\ end {bmatrix}. $$

Обратите внимание, что вектор размерности $ n $ — это просто матрица размера $ n \ times 1 $. Как и в случае с векторами, мы можем умножить матрицу на число $ c $, чтобы получить новую матрицу, в которой каждая запись умножается на $ c $, и мы можем добавить две матрицы одинакового размера, чтобы получить новую матрицу, элементы которой являются суммой соответствующих записей двух матриц.

Умножение матриц и тензорные произведения

Мы также можем перемножить две матрицы $ M $ размерности $ m \ times n $ и $ N $ размерности $ n \ times p $, чтобы получить новую матрицу $ P $ размерности $ m \ times p $ следующим образом:

\ begin {align}
& \ begin {bmatrix}
M_ {11} ~~ M_ {12} ~~ \ cdots ~~ M_ {1n} \\
M_ {21} ~~ M_ {22} ~~ \ cdots ~~ M_ {2n} \\
\ ddots \\
M_ {m1} ~~ M_ {m2} ~~ \ cdots ~~ M_ {mn}
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
N_ {11} ~~ N_ {12} ~~ \ cdots ~~ N_ {1p} \\
N_ {21} ~~ N_ {22} ~~ \ cdots ~~ N_ {2p} \\
\ ddots \\
N_ {n1} ~~ N_ {n2} ~~ \ cdots ~~ N_ {np}
\ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix}
P_ {11} ~~ P_ {12} ~~ \ cdots ~~ P_ {1p} \\
P_ {21} ~~ P_ {22} ~~ \ cdots ~~ P_ {2p} \\
\ ddots \\
P_ {m1} ~~ P_ {m2} ~~ \ cdots ~~ P_ {mp}
\ end {bmatrix}
\ end {align}

, где записи $ P $ равны $ P_ {ik} = \ sum_j M_ {ij} N_ {jk} $.Например, запись $ P_ {11} $ — это внутреннее произведение первой строки $ M $ на первый столбец $ N $. Обратите внимание, что поскольку вектор — это просто частный случай матрицы, это определение распространяется на умножение матрицы на вектор.

Все рассматриваемые нами матрицы будут либо квадратными матрицами, в которых количество строк и столбцов одинаково, либо векторами, что соответствует только столбцу $ 1 $. Одна специальная квадратная матрица — это единичная матрица , обозначенная $ \ boldone $, у которой все диагональные элементы равны $ 1 $, а остальные элементы равны $ 0 $:

$$ \ boldone = \ begin {bmatrix}
1 ~~ 0 ~~ \ cdots ~~ 0 \\
0 ~~ 1 ~~ \ cdots ~~ 0 \\
~~ \ ddots \\
0 ~~ 0 ~~ \ cdots ~~ 1
\ end {bmatrix}.\ dagger $.

Наконец, тензорное произведение (или произведение Кронекера) двух матриц $ M $ размера $ m \ times n $ и $ N $ размера $ p \ times q $ является большей матрицей $ P = M \ otimes N $ размера $ mp \ times nq $, и получается из $ M $ и $ N $ следующим образом:

\ begin {align}
Часто N & =
\ begin {bmatrix}
M_ {11} ~~ \ cdots ~~ M_ {1n} \\
\ ddots \\
M_ {m1} ~~ \ cdots ~~ M_ {mn}
\ end {bmatrix}
\ время
\ begin {bmatrix}
N_ {11} ~~ \ cdots ~~ N_ {1q} \\
\ ddots \\
N_ {p1} ~~ \ cdots ~~ N_ {pq}
\ end {bmatrix} \\
знак равно
\ begin {bmatrix}
M_ {11} \ begin {bmatrix} N_ {11} ~~ \ cdots ~~ N_ {1q} \\ \ ddots \\ N_ {p1} ~~ \ cdots ~~ N_ {pq} \ end {bmatrix} ~~ \ cdots ~~
M_ {1n} \ begin {bmatrix} N_ {11} ~~ \ cdots ~~ N_ {1q} \\ \ ddots \\ N_ {p1} ~~ \ cdots ~~ N_ {pq} \ end {bmatrix} \\
\ ddots \\
M_ {m1} \ begin {bmatrix} N_ {11} ~~ \ cdots ~~ N_ {1q} \\ \ ddots \\ N_ {p1} ~~ \ cdots ~~ N_ {pq} \ end {bmatrix} ~~ \ cdots ~~
M_ {mn} \ begin {bmatrix} N_ {11} ~~ \ cdots ~~ N_ {1q} \\ \ ddots \\ N_ {p1} ~~ \ cdots ~~ N_ {pq} \ end {bmatrix}
\ end {bmatrix}.\ end {align}

Это лучше продемонстрировать на нескольких примерах:

$$
\ begin {bmatrix}
a \\ b \ end {bmatrix} \ otimes \ begin {bmatrix} c \\ d \\ e
\ end {bmatrix} =
\ begin {bmatrix}
a \ begin {bmatrix} c \\ d \\ e \ end {bmatrix}
\\ [1.5em]
b \ begin {bmatrix} c \\ d \\ e \ end {bmatrix}
\ end {bmatrix}
= \ begin {bmatrix} a c \\ a d \\ a e \\ b c \\ b d \\ be \ end {bmatrix}
$

и

$$
\ begin {bmatrix}
а \ б \\ с \ д
\ end {bmatrix}
\ время
\ begin {bmatrix}
е \ е \\ г \ ч
\ end {bmatrix}
знак равно
\ begin {bmatrix}
а \ begin {bmatrix}
е \ е \\ г \ ч
\ end {bmatrix}
б \ begin {bmatrix}
е \ е \\ г \ ч
\ end {bmatrix}
\\ [1em]
с \ begin {bmatrix}
е \ е \\ г \ ч
\ end {bmatrix}
d \ begin {bmatrix}
е \ е \\ г \ ч
\ end {bmatrix}
\ end {bmatrix}
знак равно
\ begin {bmatrix}
ае \ аф \ быть \ bf \\
аг \ ах \ бг \ бх \\
ce \ cf \ de \ df \\
cg \ ch \ dg \ dh
\ end {bmatrix}.{\ otimes 2} = \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}.
\ end {align}

.

Страница не найдена · GitHub Pages

Страница не найдена · GitHub Pages

Файл не найден

Сайт, настроенный по этому адресу, не
содержать запрошенный файл.

Если это ваш сайт, убедитесь, что регистр имени файла соответствует URL-адресу.
Для корневых URL (например, http://example.com/ ) вы должны предоставить
index.html файл.

Прочтите полную документацию
для получения дополнительной информации об использовании GitHub Pages .

.

Страница не найдена · GitHub Pages

Страница не найдена · GitHub Pages

Файл не найден

Сайт, настроенный по этому адресу, не
содержать запрошенный файл.

Если это ваш сайт, убедитесь, что регистр имени файла соответствует URL-адресу.
Для корневых URL (например, http://example.com/ ) вы должны предоставить
index.html файл.

Прочтите полную документацию
для получения дополнительной информации об использовании GitHub Pages .

.