Названия функций: Графики простейших функций — линейная, параболы, гиперболы, экспоненты, показательные, степенные, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс изучаемых в школе Справочная таблица. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Графики простейших функций — линейная, параболы, гиперболы, экспоненты, показательные, степенные, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс изучаемых в школе Справочная таблица. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T₁, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Элементарные функции и их графики

Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».

И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.

Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, , , Все они содержат выражения вида x^α.

2. Показательные
Это функции вида y = a^x

3. Логарифмические
y = log_ax.

4. Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5. Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x² · e^x — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(a^x) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.

Выше приведены основные, «базовые» графики. А как будут выглядеть, например, графики функций y = sin(2x) или y = 4x² + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении 3^x = 3⁵ мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3^x возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

Линейная функция – функция вида y=ax+b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:

Если a>0, прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y.

Если a<0, прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y.

Если a=0, функция принимает вид y=b.

Отдельно выделим график уравнения x=a.

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Графиком функции y=ax2+bx+c является парабола.

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a,b,c:

1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.

• Если a>0 , ветки параболы направлены вверх.
• Если a<0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
2. Коэффициент b помогает найти xв – координату вершины параболы.

xв=−b2a

1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .

• Если D>0 – две точки пересечения.
• Если D=0 – одна точка пересечения.
• Если D<0 – нет точек пересечения.

Графиком функции y=kx является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k>0, то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k  <  0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y.

Функция y  =  x имеет следующий график:

Функция y = f(x)возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y).

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f(x)убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y).

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Скачать домашнее задание к уроку 5.

Список математических функций — это… Что такое Список математических функций?

Эта страница — информационный список.

В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций.

Элементарные функции

Элементарные функции — функции, построенные на основе базовых арифметических действий (например: сложение, возведение в степень, логарифм).

Алгебраические функции

Алгебраические функции являются функциями, которые могут быть описаны как многочлен с целыми коэффициентами.

Трансцендентные функции

Трансцендентные функции: аналитические функции, не являющиеся алгебраическими.

Специальные функции

Базовые специальные функции

Функции теории чисел

Первообразные элементарных функций

Гамма-функции

Эллиптические функции

Функции Бесселя

Дзета-функция Римана и связанные с нею

Гипергеометрические функции

Повторяющиеся экспоненциальные функции

Другие специальные функции

Прочие функции

• Функция Аккермана: простой пример вычислимой функции в теории алгоритмов, которая не является примитивно рекурсивной.
• Дельта-функция, также известная как δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция: позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т.п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
• Функция Дирихле: применяется в теории вероятностей и математической статистике.
• Символ Кронекера, также известный как дельта Кронекера: индикатор равенства элементов.
• Функция Минковского, также известная как функция «вопросительный знак» Минковского: монотонная сингулярная функция.
• Функция Вейерштрасса: непрерывная функция, нигде не имеющая производной.

Опорный конспект «Таблица элементарных функций»

Что такое функция — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

,

,

,

.

Это примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» — строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Читайте также: Чтение графика функции

имен функция | R Документация

Лучший способ удалить атрибут `names` — использовать [ʻunname ()`] (https://www.rdocumentation.org/packages/base/topics/unname).

« {r}
unname (острова)
« »

Основное преимущество наличия имен состоит в том, что это дает вам легкий для чтения способ подмножества.

« {r}
острова [c («Южная Америка», «Саутгемптон»)]
« »

Или, что более интересно, вы можете использовать регулярное выражение для извлечения, например, всех островов с именами, начинающимися с «A» «.

« {r}
острова [grepl («^ A», имена (острова))]
« »

Списки также могут иметь имена.« {r}
(l <- список (a = 1, b = буквы [1: 5], c = список (d = 1: 3))) names (l) # только имена элементов верхнего уровня, а не "d" names (unlist (l)) # unlist дает имя для каждого элемента `` '' Вы можете перезаписать все имена. `` {r} (l <- список (a = 1, b = буквы [1: 5], c = список (d = 1: 3))) имена (l) <- БУКВЫ [1: 3] л `` '' … Или только некоторые из них. `` {r} (l <- список (a = 1, b = буквы [1: 5], c = список (d = 1: 3))) имена (l) [1: 2] <- c («Альфа», «Бета») л `` '' Установка имен для объекта с последующим возвратом этого объекта может быть выполнена за один шаг с помощью [`setNames ()`] (https: // www.rdocumentation.org/packages/stats/topics/setNames). `` {r} (l <- список (a = 1, b = буквы [1: 5], c = список (d = 1: 3))) setNames (l, c («Алеф», «Бет», «Гимел»)) `` '' Если у объекта нет имен, то функция `names ()` возвращает `NULL`. `` {r} v <- 1: 3 имена (v) `` '' Если у объекта есть имена, функция names возвращает вектор символов с пропущенными значениями, в которых имена отсутствуют. `` {r} v <- 1: 3 имена (v) [2] <- "2-й" имена (v) v `` ''

.

макросов — есть ли способ получить имя функции внутри функции C ++?

Переполнение стека

1. Около

2. Продукты

3. Для команд

1. Переполнение стека
   Общественные вопросы и ответы

2. Переполнение стека для команд
   Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

3. Вакансии
   Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

4. Талант
   Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

5. Реклама
   Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

6. О компании

Загрузка…

.