По каким правилам выполняется сложение двух положительных целых чисел: Сложение целых чисел. — tutomath
Сложение целых чисел. — tutomath
Чтобы выполнить сложение целых чисел, нужно учитывать знаки, которые стоят перед этими числами. Рассмотрим примеры:
Сложение целых чисел с одинаковыми знаками.
Сложение целых чисел с одинаковым знаком есть число, полученное в результате сложения модуля этих целых чисел, перед полученной суммой ставим знак слагаемых.
Сложение положительных целых чисел.
Выполним сложение чисел 4+3.
Рассмотри на числовой прямой пример 4+3=(+4)+(+3).
Сначала в положительную сторону от нуля пройдем (+4) единицы, а потом еще (+3) единицы и окажемся в точке (+7).
Сумма целых положительных чисел есть число положительное.
Сложение отрицательных целых чисел.
Рассмотрим еще пример -3+(-4).
Наглядно разберем на числовой прямой пример.
Идем в отрицательную сторону от 0 на (-3) единицы, потом еще на (-4) единицы и оказываемся в точке (-7).
Сумма целых отрицательных чисел есть число отрицательное.
Сложение целых чисел с разными знаками.
Следующий пример (-4)+(+3).
Смотрим на координатную прямую.
От нуля в отрицательную сторону отступаем на (-4) единицы, потом в положительную сторону идем на (+3) единицы и попадаем в точку (-1).
Правило:
Чтобы сложить целые числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего числа, а в результат поставить тот знак модуль числа, которого больше.
Рассмотрим пример:
Выполните сложение целых чисел (+25)+(-23).
Посчитаем модули чисел: |-23|=23 и |25|=25.
Сравним результат 23<25. Число 25 больше, оно имеет знак “+”, поэтому ответ будет с положительным знаком.
(+25)+(-23)=25-23=+2=2
Еще пример: (-9)+(+6).
Посчитаем модули чисел: |-9|=9 и |+6|=6.
Сравним результат 6<9. Число 9 больше, оно имеет знак “-”, поэтому ответ будет с отрицательным знаком.
(-9)+(+6)=-(9-6)=-3
Сложение противоположных целых чисел.
Сумма противоположных чисел равна нулю.
Пример:
(+10)+(-10)=0
Сложение целых чисел с нулем.
Если к нулю прибавить целое положительное или отрицательное число в результате получим то же самое целое число.
0+(+1)=+1 или 0+(-1)=-1
(+2)+0=+2 или (-2)+0=-2
Получим:
a+0=a или 0+a=a
Сложение нескольких целых чисел.
Чтобы сложить несколько чисел, нужно сначала сложить два числа, потом к их сумме добавить третье число и так далее.
Пример:
(+3)+(-1)+(+4)=+(3-1)+(+4)=(+2)+(+4)=+(2+4)=+6=6
Примечание: знак “+” и скобки, обычно, у положительных чисел опускают.
Например: (+3)+(-2)=3+(-2)
Вопросы по теме:
Как сложить два числа с одинаковыми знаками?
Ответ: складываем модули чисел и перед полученным результатом ставим знак слагаемых.
Как сложить два числа с разными знаками?
Ответ: у слагаемых из большего модуля вычитаем меньший, а в ответ пишем знак наибольшего числа по модулю.
Измениться ли число если к нему прибавить 0?
Ответ: нет.
Чему равна сумма противоположных числе?
Ответ: 0.
Пример №1:
Найдите сумму:
а) (+7)+(+5)
б) (+10)+(-8)
в) (-12)+(+8)
г) (-7)+(-3)
д) (-8)+(+8)
е) (+9)+0
ж) 0+(-12)
Решение:
а) (+7)+(+5)=7+5=12
б) (+10)+(-8)=10+(-8)=+(10-8)=+2=2, так как |+10|>|-8|
в) (-12)+(+8)=(-12)+8=-(12-8)=-4, так как |-12|>|+8|
г) (-7)+(-3)=-(7+3)=-10
д) (-8)+(+8)=(-8)+8=0
е) (+9)+0=9+0=9
ж) 0+(-12)=-12
Сложение положительных целых чисел — Студопедия.Нет
Лекция. Представление чисел в компьютерах. Двоичная арифметика. Точность вычислений. Память компьютеров и адреса.
Представление чисел в компьютерах
Числа, арифметические операции и символы
Представление чисел
Сложение положительных чисел
Сложение и вычитание чисел со знаком
Переполнение в целочисленной арифметике
Символы
Обработка чисел с плавающей запятой
Стандарт IEEE для чисел с плавающей запятой
Арифметические операции над числами с плавающей запятой
Точность вычислений. Разряды защиты и усечение
Память и адреса
Операции доступа к памяти. Коды ASCII символов
Пример доступа к памяти персонального компьютера
Все компьютеры работают с числами. У них имеются команды для осуществления базовых арифметических операций с данными. Кроме того, при выполнении машинных команд программы выполняется ряд арифметических операций, генерирующих числовые адреса для доступа к хранящимся в памяти операндам. Для того чтобы понять, как решаются эти задачи, студент должен знать, как числа представлены в компьютере и каким образом они складываются и вычитаются. Этому вопросу посвящена данная лекция. Подробное описание логических схем, реализующих компьютерную арифметику, можно узнать в литературе [2] по этому курсу.
Компьютеры работают не только с числовыми данными, но и с символами и даже со строками символов, то есть наряду с числовой информацией оперируют и текстовой. Поэтому наряду с числами и операциями над ними будет рассмотрено машинное представление символов.
Числа, арифметические операции и символы
Компьютеры состоят из логических схем, которые обрабатывают информацию в виде электрических сигналов, принимающих два значения. Мы обозначаем их цифрами 0 и 1. Количество информации, представленной таким сигналом, измеряется в битах. Наиболее естественный способ представления числа в компьютерной системе заключается в использовании строки битов, называемой двоичным числом. Символ текста тоже может быть представлен строкой битов, называемой кодом символа.
Для начала мы опишем представление чисел и арифметические операции над ними в двоичной системе счисления, а затем поговорим о представлении символов.
Представление целых чисел
Рассмотрим n-разрядный вектор
В = bn-1 … b1b0
Здесь bi = 0 или 1 при 0 ≤ i ≤ n-1. Этот вектор может представлять беззнаковое целочисленное значение V в диапазоне от 0 до 2n-1, где
V(B) = bn-1 x 2n-1 + …+b1 x 21 + b0 x 20
Совершенно очевидно, что нам необходимо как-то представлять и положительные, и отрицательные числа. Существуют три системы представления чисел со знаком:
— значение со знаком;
— дополнение до единицы;
— дополнение до двух.
Во всех трех системах крайний слева бит, называемый самым старшим разрядом (Most Significant Bit, MSB), равен 0 в случае положительных чисел и 1 — в случае отрицательных. На рис. 4.1 все три представления показаны на примере 4-разрядных (4-битовых) чисел. Положительные значения во всех трех системах представляются одинаково, а отрицательные — по-разному. В системе значения со знаком отрицательные числа отличаются от соответствующих положительных чисел тем, что значение самого старшего бита (bз на рисунке 4.1) в векторе В равняется не 0, а 1. Например, число +5 представляется как 0101, а число -5 как 1101. Такое представление чисел называют еще прямым кодом числа со знаком. В представлении дополнения до единицы отрицательные значения получают путем дополнения каждого разряда соответствующего положительного значения до единицы. Таким образом, представление числа -3 формируется путем дополнения каждого бита вектора 0011, так что в результате получается 1100. Такое представление чисел еще называют обратным кодом числа. Очевидно, что эту же операцию необходимо выполнить для преобразования отрицательного числа в соответствующее положительное значение. И в одном и в другом случае преобразование называется дополнением числа до единицы. Операция формирования дополнения заданного числа до единицы эквивалентна вычитанию этого числа из 2n-1, то есть из 1111 в случае 4-разрядных чисел (см. рис. 4.1). В системе дополнения до двух операция дополнения производится путем вычитания числа из 2n. То же самое значение можно получить и путем добавления 1 к дополнению этого числа до единицы. Такое представление числа еще называют дополнительным кодом числа.
Обратите внимание, что в системах значения со знаком и дополнения до единицы числа +0 и -0 представляются по-разному, а в системе дополнения до двух — одинаково. Имея всего четыре разряда, значение -8 можно представить в системе дополнения до двух, но нельзя представить ни в одной из двух других систем. Для нас наиболее естественной представляется система значения со знаком, поскольку мы привыкли иметь дело с десятичными значениями со знаком. Систему дополнения до единицы относительно легко связать с системой значения со знаком, а вот система дополнения до двух кажется несколько неестественной. Но, как будет показано дальше, именно она оказалась наиболее эффективным способом представления чисел с точки зрения выполнения операций сложения и вычитания. Поэтому она чаще всего используется и в компьютерах.
Двоичное значение
b3b2b1b0
| Представление числа в системе
| ||
| значения со знаком
| дополнения до единицы
| дополнения до двух
| |
| 0111
| +7
| +7
| +7
|
| 0110
| +6
| +6
| +6
|
| 0101
| +5
| +5
| +5
|
| 0100
| +4
| +4
| +4
|
| 0011
| +3
| +3
| +3
|
| 0010
| +2
| +2
| +2
|
| 0001
| +1
| +1
| +1
|
| 0000
| +0
| +0
| +0
|
| 1000
| -0
| -7
| -8
|
| 1001
| -1
| -6
| -7
|
| 1010
| -2
| -5
| -6
|
| 1011
| -3
| -4
| -5
|
| 1100
| -4
| -3
| -4
|
| 1101
| -5
| -2
| -3
|
| 1110
| -6
| -1
| -2
|
| 1111
| -7
| -0
| -1
|
Рис. 4.1. Двоичное представление целых чисел со знаком
Сложение положительных целых чисел
Рассмотрим принцип сложения двух одноразрядных чисел. Результат выполнения этой операции приведен на рис. 4.2. Обратите внимание, что для записи результата сложения двух единиц необходим 2-битовый вектор 10, представляющий значение 2. В этом случае говорят, что сумма равняется 0, а перенос — 1. Для сложения многоразрядных чисел используется метод, аналогичный тому, с помощью которого мы складываем десятичные числа на бумаге. Складываются пары разрядов, начиная с младшего разряда, то есть с правого края битового вектора, с переносом в направлении старшего разряда, то есть левого края битового вектора.
0 1 0 1
+0 +0 +1 +1
0 1 1 10
↑
Перенос
Рис. 4.2. Сложение одноразрядных чисел
Сложение и вычитание целых чисел
В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел расстраивают обучающихся больше всего.
Примеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.
Рассмотрим следующее простейшее выражение
1 + 3
Значение данного выражения равно 4
1 + 3 = 4
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3
Значение данного выражения равно −2
1 − 3 = −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
−2 + 4 = 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
−1 − 3 = −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
−2 + 2 = 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
5 − 3 = 2
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
5 + (−3)
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
(+3) − (+7)
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Приведём выражение к понятному виду:
(−4) − (+5)
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.
Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения:
−50 + 40
Решение
−50 + 40 = −10
Задание 2. Найдите значение выражения:
25 + (−5)
Решение
25 + (−5) = 20
Задание 3. Найдите значение выражения:
−20 + 60
Решение
−20 + 60 = 40
Задание 4. Найдите значение выражения:
20 + (−8)
Решение
20 + (−8) = 12
Задание 5. Найдите значение выражения:
30 + (−50)
Решение
30 + (−50) = −20
Задание 6. Найдите значение выражения:
27 + (−19)
Решение
27 + (−19) = 8
Задание 7. Найдите значение выражения:
−17 + (−12) + (−8)
Решение
Задание 8. Найдите значение выражения:
−6 − 4
Решение
−6 − 4 = −6 + (−4) = −10
Задание 9. Найдите значение выражения:
−6 − (−4)
Решение
−6 − (−4) = −6 + 4 = −2
Задание 10. Найдите значение выражения:
−15 − (−15)
Решение
−15 − (−15) = −15 + 15 = 0
Задание 11. Найдите значение выражения:
−11 − (−14)
Решение
−11 − (−14) = −11 + 14 = 3
Задание 12. Найдите значение выражения:
−3 + 2 − (−1)
Решение
Задание 13. Найдите значение выражения:
−5 − 6 − 3
Решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Законы сложения целых чисел. — tutomath
Законы сложения целых чисел нужны для того, чтобы упростить сложения чисел. Ведь, прибавить все подряд числа не всегда легко, иногда лучше их сгруппировать. Для этого и нужны законы сложения целых чисел.
Переместительный закон сложения.
Правило и формула переместительного закона сложения.
Сложение двух целых чисел не зависит от их порядка.
a+b=b+a
Пример:
Если мы сложим 3+5=8 или 5+3=8 результат сложения не измениться.
Если мы сложим (-3)+7=4 или 7+(-3)=4 результат сложения не измениться.
Сочетательный закон сложения.
Правило и формула сочетательного закона сложения.
К сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, и результат не измениться.
(a+b)+c=a+(b+c)
Рассмотрим пример:
(3+5)+9=8+9=17
3+(5+9)=3+14=17
От сочетания слагаемых сумма не поменялась.
Делаем вывод на основе переместительного и сочетательного законов:
- Можно слагаемые менять местами.
- Записывать пример со слагаемыми без скобок. Скобки в сложении нужны для удобства восприятия примера.
- Записывать пример со слагаемыми со скобками, для более простого вычисления суммы.
Доказательство:
a+b+c+d=(a+b+c)+d=d+(a+b+c)= d+((a+b)+c)= d+(c+(a+b))=(d+c)+(a+b)=(c+d)+(a+b)
a+b+c+d=(c+d)+(a+b)
6+8+(-6)+(-8)=(6+(-6))+(8+(-8))=0+0=0
Вопросы по теме:
Какие законы сложения вы знаете?
Ответ: переместительный и сочетательный закон.
Можно ли менять местами слагаемые?
Ответ: да по переместительному закону.
Обязательно ли при сложении числа заключать в скобки?
Ответ: нет.
Пример №1:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 12+479+88 б) 3+154+16
Решение:
а) 12+479+88=(12+88)+479=100+479=579
б) 3+154+16=3+(154+16)=3+170=173
Пример №2:
Примените переместительный закон сложения: а) 4+5 б) 1298+34
Решение:
а) 4+5=5+4=9
б) 1298+34=34+1298=1332
Пример №3:
Примените сочетательный закон сложения: а) 2+(-4+5) б) (-1+3)+(-8)
Решение:
а) 2+(-4+5)=(2+(-4))+5=(-2)+5=3
б) (-1+3)+(-8)=-1+(3+(-8))=-1+(-5)=-6
Пример №4:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 23+((-23)+50) б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2
Решение:
а) 23+((-23)+50)=(23+(-23))+50=0+50=50
б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2=(-2+2)+(-4+4)+(-8+8)=0
Урок 21. сложение целых чисел. часть 3 — Математика — 6 класс
Математика
6 класс
Урок №21
Сложение целых чисел (продолжение)
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Рассмотреть правило сложения нескольких целых чисел.
- Рассмотреть задачи с практическим содержанием.
- Обобщить и систематизировать знания и умения по теме «Сложение целых чисел».
Тезаурус
Чтобы сложить два числа одинаковых знаков, надо сложить их модули и поставить перед суммой знак слагаемых.
Чтобы сложить числа разных знаков, нужно из большего модуля вычесть меньший и полученную разность взять со знаком того слагаемого, модуль которого больше.
Чтобы сложить несколько целых чисел, нужно сначала складывать числа с одинаковыми знаками по правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, а затем, используя правило сложения чисел с разными знаками, получить окончательный результат
Для упрощения записи суммы у положительных слагаемых обычно знак «+» и скобки опускают.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы продолжаем рассматривать сложение положительных и отрицательных целых чисел.
Вспомним, как складывают два числа с одинаковыми знаками.
Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и поставить перед суммой знак слагаемых.
Вспомним, как складывают два числа с разными знаками.
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и полученную разность взять со знаком того слагаемого, модуль которого больше.
Бывают случаи, когда нужно сложить несколько чисел.
Рассмотрим задачу.
Утром температура была (– 10oС), днём она повысилась на 13оС, а вечером снова опустилась на 7oС. Узнаем, чему равна температура воздуха вечером.
Решение:
(– 10) + (+ 13) + (– 7) = – (10 + 7) + (+ 13) = (– 17) + 13 = – 4
Значит, вечером термометр покажет температуру (– 4оС).
Ответ: – 4оС
Итак, сформулируем правило сложения нескольких целых чисел.
Чтобы сложить несколько целых чисел, нужно сначала складывать числа с одинаковыми знаками, по правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, а затем, используя правило сложения чисел с разными знаками, получить окончательный результат.
Таким образом, на этом уроке мы вспомнили правила сложения для чисел с одинаковыми и разными знаками.
Узнали, как складывать несколько целых чисел, и научились решать задачи, используя эти правила.
Рассмотрим несколько задач.
Задача № 1.
В какой из дней недели температура днём была больше?
В понедельник утром температура была равна (– 2oС), а днём повысилась на 5oС.
Во вторник утром температура была равна (– 4oС), а днём повысилась на 6oС.
Решение.
Температура днём в понедельник:
(– 2) + 5 = 3 (oС)
Температура днём во вторник:
(– 4) + 6 = 2 (oС)
3 > 2
Значит, температура днём в понедельник была больше, чем во вторник.
Ответ: в понедельник.
Задача № 2.
Бензин замерзает при температуре (– 72oС). Если уменьшить эту температуру на 28oС и к разности прибавить (– 17oС), то получим температуру замерзания спирта. Определите её.
Решение:
(– 72) + (– 28) + (– 17) = – (72 + 28) – 17 = – 100 – 17 = – 117
Получили, что температура замерзания спирта (– 117oС).
Ответ: – 117 оС.
Тренировочные задания
1. Разместите нужные подписи под изображениями
Какие значения показывают термометры?
Рис.1
Рис. 2
Правильный ответ:
Рис. 1 – Положительное число
Рис. 2 – Отрицательное число
2. Вставьте в текст нужные слова
Чтобы …несколько целых чисел, нужно сначала… числа с…знаками, по правилу сложения чисел с одинаковыми…, а затем, используя правило сложения чисел с …знаками, получить окончательный результат.
Варианты слов для вставки:
сложить
вычитать
складывать
одинаковыми
знаками
разными
Правильный ответ:
Чтобы сложить несколько целых чисел, нужно сначала складывать числа с одинаковыми знаками, по правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, а затем, используя правило сложения чисел с разными знаками, получить окончательный результат.
СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Свойства СЛОЖЕНИЯ и Примеры
Сложение — это действие, в результате которого из двух и более чисел получается новое, содержащее столько единиц, сколько было в складываемых числах вместе. Сложение обозначается знаком «+» (плюс).
Если к числу ПРИВАРИТЬ ноль, то оно не изменится.
Записать сложение в буквенном виде можно следующим образом:
а + b = С,
где а и b — слагаемые, а С — сумма.
Это интересно, читайте также:
Примеры на Сложение
Вычитание Целых Чисел
Умножение Целых Чисел
Теперь разберем в примерах:
Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.
Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:
1 + 3 = 4
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.
Значение данного выражения равно −2
1 − 3 = −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
−2 + 4 = 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
−1 − 3 = −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
−2 + 2 = 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ
В математике, как и в любой другой науке, есть свои правила — свойства. Два таких свойства имеют непосредственное отношение к сложению.
Первое из них — переместительное. Уже по названию ты можешь догадаться, о чем идет речь. Правильно! О перемещении слагаемых. Давай рассмотрим такой пример:
10 + 8 = 18 и 8 + 10 = 18.
В обоих случаях сумма осталась прежней, т.е. она не изменилась от перестановки слагаемых.
Второе свойство — сочетательное. Работает
оно в том случае, если тебе нужно сложить три и более чисел. По лучить их сумму можно двумя способами:
1. Сложить два первых числа, а потом прибавить к ним третье, например:
7 + 3 + 6 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16.
2. Получить сумму второго и третьего чисел, а потом прибавить к ним первое:
7 + 3 + 6 = 7 + (3 + 6) = 7 + 9 = 16.
ЗАПОМНИ: от перестановки СЛАГАЕМЫХ СУММА НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ, Т.Е. А + В = В+А.
В буквенном выражении сочетательное свойство можно записать так:
(а + в) + с = а + {в + с).
Знание этих свойств может значительно облегчить любые вычисления. Давай рассмотрим это на конкретных примерах.
Сложение и вычитание целых чисел с разными знаками
Сложение
При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.
Примеры:
(+3) + (+7) = 10,
(-3) + (-7) = -10.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.
При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.
Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:
Примеры:
(-4) + (+11) = 7, так как 11 — 4 = 7;
(-5) + (+2) = -3, так как 5 — 2 = 3.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Примеры:
(-7) + 7 = 0,
(+12) + (-12) = 0.
Вычитание
Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.
Примеры:
(+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1,
(+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11,
(-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1,
(-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11.
Из данных примеров следует, что, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
При решении выражений, содержащих и сложение, и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.
Пример.
12 — 18 + 41 — 9.
Решение: Заменим вычитание на сложение:
12 + (-18) + 41 + (-9),
сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа:
(12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27).
Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов:
53 + (-27) = 26, значит 12 — 18 + 41 — 9 = 26.
Умножение и деление целых чисел
- БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
- КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
- BNAT
- Классы
- Класс 1-3
- Класс 4-5
- Класс 6-10
- Класс 110003 CBSE
- Книги NCERT
- Книги NCERT для класса 5
- Книги NCERT, класс 6
- Книги NCERT для класса 7
- Книги NCERT для класса 8
- Книги NCERT для класса 9
- Книги NCERT для класса 10
- NCERT Книги для класса 11
- NCERT Книги для класса 12
- NCERT Exemplar
- NCERT Exemplar Class 8
- NCERT Exemplar Class 9
- NCERT Exemplar Class 10
- NCERT Exemplar Class 11
9plar
- RS Aggarwal
- RS Aggarwal Решения класса 12
- RS Aggarwal Class 11 Solutions
- RS Aggarwal Решения класса 10
- Решения RS Aggarwal класса 9
- Решения RS Aggarwal класса 8
- Решения RS Aggarwal класса 7
- Решения RS Aggarwal класса 6
- RD Sharma
- RD Sharma Class 6 Решения
- RD Sharma Class 7 Решения
- Решения RD Sharma Class 8
- Решения RD Sharma Class 9
- Решения RD Sharma Class 10
- Решения RD Sharma Class 11
- Решения RD Sharma Class 12
- PHYSICS
- Механика
- Оптика
- Термодинамика
- Электромагнетизм
- ХИМИЯ
- Органическая химия
- Неорганическая химия
- Периодическая таблица
- MATHS
- Статистика
- Числа
- Числа Пифагора Тр Игонометрические функции
- Отношения и функции
- Последовательности и серии
- Таблицы умножения
- Книги NCERT
.
1) Каковы 2 правила сложения целых чисел? Найдите сумму.
Презентация на тему: «1) Каковы 2 правила сложения целых чисел? Найдите сумму» — стенограмма презентации:
1
1) Каковы 2 правила сложения целых чисел? Найдите сумму.
2
3
Чтобы использовать правила для вычитания целых чисел.
4
Использовать целые числа для решения реальных проблем, связанных с погодой.
5
Вычитание целых чисел Если знаки одинаковые: добавьте # и сохраните знак.Пример: Если знаки разные: вычтите # и сохраните знак большего #. Пример:
6
.
целочисленных операций. 1) Какое правило сложения целых чисел? * Если оба слагаемых положительные: — сложите, и сумма будет положительной (Пример = 12) * Если.
Презентация на тему: «Целочисленные операции. 1) Какое правило сложения целых чисел? * Если оба слагаемых положительные: — Сложите вместе, и сумма положительная (Пример 8 + 4 = 12) * Если.» — Стенограмма презентации:
1
Целочисленные операции
2
1) Какое правило сложения целых чисел? * Если оба слагаемых положительные: — сложите вместе, и сумма будет положительной (Пример.8 + 4 = 12) * Если оба слагаемых отрицательны: — сложите вместе, а сумма отрицательная (пример -6 + -5 = -11) * Если слагаемые имеют разные знаки: -вычтите абсолютные значения и -сумма будет иметь знак большего абсолютного значения (Пример -7 + 4 = -3)
3
Решите проблемы -3 + -5 = 4 + 7 = (+3) + (+4) = -6 + -7 = 5 + 9 = -9 + -9 = -8-18 14-13 7 11
4
2) Правило целочисленного вычитания. Вычитание отрицательного числа аналогично сложению положительного.Поменять вывески и доп. 2 — (-7) совпадает с 2 + (+7) 2 + 7 = 9!
5
Вот еще несколько примеров. 12 — (-8) 12 + (+8) 12 + 8 = 20-3 — (-11) -3 + (+11) -3 + 11 = 8
6
Примеры: 1. 8 — 13 2. 6 — 14 3. — 10 — 1 4. 1 — (-2) 5. 4 — (-8) 6. -3 — (-5) 7. -7 — (- 4) = -5 = -8 = -11 = 3 = 12 = 2 = -3
7
При умножении и делении целых чисел действуют два правила: 1.При умножении или делении целых чисел, имеющих ОДИН знак, ответ будет ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ. Положительный x положительный = положительный Отрицательный x отрицательный = положительный +7 x +12 = +84-6 x –5 = +30 3 & 4) Умножение и деление целых чисел
8
2. При умножении или делении целых чисел с РАЗНЫМИ знаками ответ всегда будет ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ. Положительный x отрицательный = отрицательный Отрицательный x положительный = отрицательный +8 x –4 = -32-5 x +7 = -35 Продолжение правил…
9
Давайте практиковаться! Какой знак будет в ответе перед целым числом ??? -5 х -7 = ???
.