Разное

По каким правилам выполняется сложение двух положительных целых чисел: Сложение целых чисел. — tutomath

Содержание

Сложение целых чисел. — tutomath

Чтобы выполнить сложение целых чисел, нужно учитывать знаки, которые стоят перед этими числами. Рассмотрим примеры:

Сложение целых чисел с одинаковыми знаками.

Сложение целых чисел с одинаковым знаком есть число, полученное в результате сложения модуля этих целых чисел, перед полученной суммой ставим знак слагаемых.

Сложение положительных целых чисел.

Выполним сложение чисел 4+3.
Рассмотри на числовой прямой пример 4+3=(+4)+(+3).

Сначала в положительную сторону от нуля пройдем (+4) единицы, а потом еще (+3) единицы и окажемся в точке (+7).
Сумма целых положительных чисел есть число положительное.

Сложение отрицательных целых чисел.

Рассмотрим еще пример -3+(-4).
Наглядно разберем на числовой прямой пример.

Идем в отрицательную сторону от 0 на (-3) единицы, потом еще на (-4) единицы и оказываемся в точке (-7).
Сумма целых отрицательных чисел есть число отрицательное.

Сложение целых чисел с разными знаками.

Следующий пример (-4)+(+3).
Смотрим на координатную прямую.

От нуля в отрицательную сторону отступаем на (-4) единицы, потом в положительную сторону идем на (+3) единицы и попадаем в точку (-1).

Правило:
Чтобы сложить целые числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего числа, а в результат поставить тот знак модуль числа, которого больше.

Рассмотрим пример:
Выполните сложение целых чисел (+25)+(-23).
Посчитаем модули чисел: |-23|=23 и |25|=25.

Сравним результат 23<25. Число 25 больше, оно имеет знак “+”, поэтому ответ будет с положительным знаком.

(+25)+(-23)=25-23=+2=2

Еще пример: (-9)+(+6).

Посчитаем модули чисел: |-9|=9 и |+6|=6.
Сравним результат 6<9. Число 9 больше, оно имеет знак “-”, поэтому ответ будет с отрицательным знаком.
(-9)+(+6)=-(9-6)=-3

Сложение противоположных целых чисел.

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Пример:
(+10)+(-10)=0

Сложение целых чисел с нулем.

Если к нулю прибавить целое положительное или отрицательное число в результате получим то же самое целое число.

0+(+1)=+1  или  0+(-1)=-1
(+2)+0=+2  или  (-2)+0=-2

Получим:
a+0=a или 0+a=a

Сложение нескольких целых чисел.

Чтобы сложить несколько чисел, нужно сначала сложить два числа, потом к их сумме добавить третье число и так далее.
Пример:
(+3)+(-1)+(+4)=+(3-1)+(+4)=(+2)+(+4)=+(2+4)=+6=6

Примечание: знак “+” и скобки, обычно, у положительных чисел опускают.

Например: (+3)+(-2)=3+(-2)

Вопросы по теме:
Как сложить два числа с одинаковыми знаками?
Ответ: складываем модули чисел и перед полученным результатом ставим знак слагаемых.

Как сложить два числа с разными знаками?
Ответ: у слагаемых из большего модуля вычитаем меньший, а в ответ пишем знак наибольшего числа по модулю.

Измениться ли число если к нему прибавить 0?
Ответ: нет.

Чему равна сумма противоположных числе?
Ответ: 0.

Пример №1:
Найдите сумму:
а) (+7)+(+5)
б) (+10)+(-8)
в) (-12)+(+8)
г) (-7)+(-3)
д) (-8)+(+8)
е) (+9)+0
ж) 0+(-12)

Решение:
а) (+7)+(+5)=7+5=12

б) (+10)+(-8)=10+(-8)=+(10-8)=+2=2, так как |+10|>|-8|

в) (-12)+(+8)=(-12)+8=-(12-8)=-4, так как |-12|>|+8|

г) (-7)+(-3)=-(7+3)=-10

д) (-8)+(+8)=(-8)+8=0

е) (+9)+0=9+0=9

ж) 0+(-12)=-12

Сложение положительных целых чисел — Студопедия.Нет

Лекция. Представление чисел в компьютерах. Двоичная арифметика. Точность вычислений. Память компьютеров и адреса.

Представление чисел в компьютерах

Числа, арифметические операции и символы

Представление чисел

Сложение положительных чисел

Сложение и вычитание чисел со знаком

Переполнение в целочисленной арифметике

Символы

Обработка чисел с плавающей запятой

Стандарт IEEE для чисел с плавающей запятой

Арифметические операции над числами с плавающей запятой

Точность вычислений. Разряды защиты и усечение

Память и адреса

Операции доступа к памяти. Коды ASCII символов

Пример доступа к памяти персонального компьютера

Все компьютеры работают с числами. У них имеются команды для осуществ­ления базовых арифметических операций с данными. Кроме того, при выполне­нии машинных команд программы выполняется ряд арифметических операций, генерирующих числовые адреса для доступа к хранящимся в памяти операндам. Для того чтобы понять, как решаются эти задачи, студент должен знать, как чис­ла представлены в компьютере и каким образом они складываются и вычитаются. Этому вопросу посвящена данная лекция. Подроб­ное описание логических схем, реализующих компьютерную арифметику, можно узнать в литературе [2] по этому курсу.

Компьютеры работают не только с числовыми данными, но и с символами и да­же со строками символов, то есть наряду с числовой информацией оперируют и текстовой. Поэтому наряду с числами и операциями над ними будет рассмотрено машинное представление символов.


Числа, арифметические операции и символы

Компьютеры состоят из логических схем, которые обрабатывают информацию в виде электрических сигналов, принимающих два значения. Мы обозначаем их цифрами 0 и 1. Количество информации, представленной та­ким сигналом, измеряется в битах. Наиболее есте­ственный способ представления числа в компьютерной системе заключается в использовании строки битов, называемой двоичным числом. Символ текста то­же может быть представлен строкой битов, называемой кодом символа.

Для начала мы опишем представление чисел и арифметические операции над ними в двоичной системе счисления, а затем поговорим о представлении символов.

Представление целых чисел

Рассмотрим n-разрядный вектор

В = bn-1 b1b0

Здесь bi = 0 или 1 при 0 ≤ i ≤ n-1. Этот вектор может представлять беззнаковое це­лочисленное значение V в диапазоне от 0 до 2n-1, где

V(B) = bn-1 x 2n-1 + …+b1 x 21 + b0 x 20

Совершенно очевидно, что нам необходимо как-то представлять и положи­тельные, и отрицательные числа. Существуют три системы представления чисел со знаком:

— значение со знаком;

— дополнение до единицы;

— дополнение до двух.

Во всех трех системах крайний слева бит, называемый самым старшим разря­дом (Most Significant Bit, MSB), равен 0 в случае положительных чисел и 1 — в случае отрицательных. На рис. 4.1 все три представления показаны на примере 4-разрядных (4-битовых) чисел. Положительные значения во всех трех системах представляются одинаково, а отрицательные — по-разному. В системе значения со знаком отрицательные числа отличаются от соответствующих положительных чисел тем, что значение самого старшего бита (bз на рисунке 4.1) в векторе В равня­ется не 0, а 1. Например, число +5 представляется как 0101, а число -5 как 1101. Такое представление чисел называют еще прямым кодом числа со знаком. В представлении дополнения до единицы отрицательные значения получают пу­тем дополнения каждого разряда соответствующего положительного значения до единицы. Таким образом, представление числа -3 формируется путем дополнения каждого бита вектора 0011, так что в результате получается 1100. Такое представление чисел еще называют обратным кодом числа. Очевидно, что эту же операцию необходимо выполнить для преобразования отрицательного числа в соответствующее положительное значение. И в одном и в другом случае преобразо­вание называется дополнением числа до единицы. Операция формирования до­полнения заданного числа до единицы эквивалентна вычитанию этого числа из 2n-1, то есть из 1111 в случае 4-разрядных чисел (см. рис. 4.1). В системе допол­нения до двух операция дополнения производится путем вычитания числа из 2n. То же самое значение можно получить и путем добавления 1 к дополнению этого числа до единицы. Такое представление числа еще называют дополнительным кодом числа.



Обратите внимание, что в системах значения со знаком и дополнения до едини­цы числа +0 и -0 представляются по-разному, а в системе дополнения до двух — одинаково. Имея всего четыре разряда, значение -8 можно представить в системе дополнения до двух, но нельзя представить ни в одной из двух других систем. Для нас наиболее естественной представляется система значения со знаком, по­скольку мы привыкли иметь дело с десятичными значениями со знаком. Систему дополнения до единицы относительно легко связать с системой значения со зна­ком, а вот система дополнения до двух кажется несколько неестественной. Но, как будет показано дальше, именно она оказалась наиболее эффективным способом представления чисел с точки зрения выполнения операций сложения и вычитания. Поэтому она чаще всего используется и в компьютерах.

Двоичное значение

b3b2b1b0

 

Представление числа в системе

 

значения со знаком
 
дополнения до единицы
 
дополнения до двух
 
0111
 
+7
 
+7
 
+7
 
0110
 
+6
 
+6
 
+6
 
0101
 
+5
 
+5
 
+5
 
0100
 
+4
 
+4
 
+4
 
0011
 
+3
 
+3
 
+3
 
0010
 
+2
 
+2
 
+2
 
0001
 
+1
 
+1
 
+1
 
0000
 
+0
 
+0
 
+0
 
1000
 
-0
 
-7
 
-8
 
1001
 
-1
 
-6
 
-7
 
1010
 
-2
 
-5
 
-6
 
1011
 
-3
 
-4
 
-5
 
1100
 
-4
 
-3
 
-4
 
1101
 
-5
 
-2
 
-3
 
1110
 
-6
 
-1
 
-2
 
1111
 
-7
 
-0
 
-1
 

Рис. 4.1. Двоичное представление целых чисел со знаком

Сложение положительных целых чисел

Рассмотрим принцип сложения двух одноразрядных чисел. Результат выполне­ния этой операции приведен на рис. 4.2. Обратите внимание, что для записи ре­зультата сложения двух единиц необходим 2-битовый вектор 10, представляю­щий значение 2. В этом случае говорят, что сумма равняется 0, а перенос — 1. Для сложения многоразрядных чисел используется метод, аналогичный тому, с помо­щью которого мы складываем десятичные числа на бумаге. Складываются пары разрядов, начиная с младшего разряда, то есть с правого края битового вектора, с переносом в направлении старшего разряда, то есть левого края битового вектора.

0 1 0 1

+0 +0 +1 +1

0 1 1 10

Перенос

Рис. 4.2. Сложение одноразрядных чисел

Сложение и вычитание целых чисел

В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел расстраивают обучающихся больше всего.

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.

Рассмотрим следующее простейшее выражение

1 + 3

Значение данного выражения равно 4

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.


Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.


Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.


Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.


Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.


Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3


Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1


Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

Итак, знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

5 − 3 = 2

Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

5 + (−3)

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1  знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

(+3) − (+1)

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

(+3) − (+7)

Заменим вычитание сложением:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4


Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Приведём выражение к понятному виду:

(−4) − (+5)

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или ещё короче:

−4 − 5 = −9


Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или ещё короче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24


Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.

Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

−50 + 40

Решение

−50 + 40 = −10

Задание 2. Найдите значение выражения:

25 + (−5)

Решение

25 + (−5) = 20

Задание 3. Найдите значение выражения:

−20 + 60

Решение

−20 + 60 = 40

Задание 4. Найдите значение выражения:

20 + (−8)

Решение

20 + (−8) = 12

Задание 5. Найдите значение выражения:

30 + (−50)

Решение

30 + (−50) = −20

Задание 6. Найдите значение выражения:

27 + (−19)

Решение

27 + (−19) = 8

Задание 7. Найдите значение выражения:

−17 + (−12) + (−8)

Решение

Задание 8. Найдите значение выражения:

−6 − 4

Решение

−6 − 4 = −6 + (−4) = −10

Задание 9. Найдите значение выражения:

−6 − (−4)

Решение

−6 − (−4) = −6 + 4 = −2

Задание 10. Найдите значение выражения:

−15 − (−15)

Решение

−15 − (−15) = −15 + 15 = 0

Задание 11. Найдите значение выражения:

−11 − (−14)

Решение

−11 − (−14) = −11 + 14 = 3

Задание 12. Найдите значение выражения:

−3 + 2 − (−1)

Решение

Задание 13. Найдите значение выражения:

−5 − 6 − 3

Решение


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Законы сложения целых чисел. — tutomath

Законы сложения целых чисел нужны для того, чтобы упростить сложения чисел. Ведь, прибавить все подряд числа не всегда легко, иногда лучше их сгруппировать. Для этого и нужны законы сложения целых чисел.

Переместительный закон сложения.

Правило и формула переместительного закона сложения.

Сложение двух целых чисел не зависит от их порядка.
a+b=b+a

Пример:
Если мы сложим 3+5=8 или 5+3=8 результат сложения не измениться.
Если мы сложим (-3)+7=4 или 7+(-3)=4 результат сложения не измениться.

Сочетательный закон сложения.

Правило и формула сочетательного закона сложения.

К сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, и результат не измениться.
(a+b)+c=a+(b+c)

Рассмотрим пример:
(3+5)+9=8+9=17
3+(5+9)=3+14=17
От сочетания слагаемых сумма не поменялась.

Делаем вывод на основе переместительного и сочетательного законов:

  1. Можно слагаемые менять местами.
  2. Записывать пример со слагаемыми без скобок. Скобки в сложении нужны для удобства восприятия примера.
  3. Записывать пример со слагаемыми со скобками, для более простого вычисления суммы.

Доказательство:
a+b+c+d=(a+b+c)+d=d+(a+b+c)= d+((a+b)+c)= d+(c+(a+b))=(d+c)+(a+b)=(c+d)+(a+b)

a+b+c+d=(c+d)+(a+b)

6+8+(-6)+(-8)=(6+(-6))+(8+(-8))=0+0=0

Вопросы по теме:
Какие законы сложения вы знаете?
Ответ: переместительный и сочетательный закон.

Можно ли менять местами слагаемые?
Ответ: да по переместительному закону.

Обязательно ли при сложении числа заключать в скобки?
Ответ: нет.

Пример №1:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 12+479+88 б) 3+154+16

Решение:
а) 12+479+88=(12+88)+479=100+479=579
б) 3+154+16=3+(154+16)=3+170=173

Пример №2:
Примените переместительный закон сложения: а) 4+5 б) 1298+34

Решение:
а) 4+5=5+4=9
б) 1298+34=34+1298=1332

Пример №3:
Примените сочетательный закон сложения: а) 2+(-4+5) б) (-1+3)+(-8)
Решение:
а) 2+(-4+5)=(2+(-4))+5=(-2)+5=3
б) (-1+3)+(-8)=-1+(3+(-8))=-1+(-5)=-6

Пример №4:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 23+((-23)+50) б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2
Решение:
а) 23+((-23)+50)=(23+(-23))+50=0+50=50
б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2=(-2+2)+(-4+4)+(-8+8)=0

Урок 21. сложение целых чисел. часть 3 — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок №21

Сложение целых чисел (продолжение)

Перечень рассматриваемых вопросов:

  1. Рассмотреть правило сложения нескольких целых чисел.
  2. Рассмотреть задачи с практическим содержанием.
  3. Обобщить и систематизировать знания и умения по теме «Сложение целых чисел».

Тезаурус

Чтобы сложить два числа одинаковых знаков, надо сложить их модули и поставить перед суммой знак слагаемых.

Чтобы сложить числа разных знаков, нужно из большего модуля вычесть меньший и полученную разность взять со знаком того слагаемого, модуль которого больше.

Чтобы сложить несколько целых чисел, нужно сначала складывать числа с одинаковыми знаками по правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, а затем, используя правило сложения чисел с разными знаками, получить окончательный результат

Для упрощения записи суммы у положительных слагаемых обычно знак «+» и скобки опускают.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы продолжаем рассматривать сложение положительных и отрицательных целых чисел. 

Вспомним, как складывают два числа с одинаковыми знаками.

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и поставить перед суммой знак слагаемых.

Вспомним, как складывают два числа с разными знаками.

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и полученную разность взять со знаком того слагаемого, модуль которого больше.

Бывают случаи, когда нужно сложить несколько чисел.

Рассмотрим задачу.

Утром температура была (– 10oС), днём она повысилась на 13оС, а вечером снова опустилась на 7oС. Узнаем, чему равна температура воздуха вечером.

Решение:

(– 10) + (+ 13) + (– 7) = – (10 + 7) + (+ 13) = (– 17) + 13 = – 4

Значит, вечером термометр покажет температуру (– 4оС).

Ответ: – 4оС

Итак, сформулируем правило сложения нескольких целых чисел.

Чтобы сложить несколько целых чисел, нужно сначала складывать числа с одинаковыми знаками, по правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, а затем, используя правило сложения чисел с разными знаками, получить окончательный результат.

Таким образом, на этом уроке мы вспомнили правила сложения для чисел с одинаковыми и разными знаками.

Узнали, как складывать несколько целых чисел, и научились решать задачи, используя эти правила.

Рассмотрим несколько задач.

Задача № 1.

В какой из дней недели температура днём была больше?

В понедельник утром температура была равна (– 2oС), а днём повысилась на 5oС.

Во вторник утром температура была равна (– 4oС), а днём повысилась на 6oС.

Решение.

Температура днём в понедельник:

(– 2) + 5 = 3 (oС)

Температура днём во вторник:

(– 4) + 6 = 2 (oС)

3 > 2

Значит, температура днём в понедельник была больше, чем во вторник.

Ответ: в понедельник.

Задача № 2.

Бензин замерзает при температуре (– 72oС). Если уменьшить эту температуру на 28oС и к разности прибавить (– 17oС), то получим температуру замерзания спирта. Определите её.

Решение:

(– 72) + (– 28) + (– 17) = – (72 + 28) – 17 = – 100 – 17 = – 117

Получили, что температура замерзания спирта (– 117oС).

Ответ: – 117 оС.

Тренировочные задания

1. Разместите нужные подписи под изображениями

Какие значения показывают термометры?

Рис.1

Рис. 2

Правильный ответ:

Рис. 1 – Положительное число

Рис. 2 – Отрицательное число

2. Вставьте в текст нужные слова

Чтобы …несколько целых чисел, нужно сначала… числа с…знаками, по правилу сложения чисел с одинаковыми…, а затем, используя правило сложения чисел с …знаками, получить окончательный результат.

Варианты слов для вставки:

сложить

вычитать

складывать

одинаковыми

знаками

разными

Правильный ответ:

Чтобы сложить несколько целых чисел, нужно сначала складывать числа с одинаковыми знаками, по правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, а затем, используя правило сложения чисел с разными знаками, получить окончательный результат.

СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Свойства СЛОЖЕНИЯ и Примеры

Сложение — это действие, в результате которого из двух и более чисел получается новое, содержащее столько единиц, сколько было в складываемых числах вместе. Сложение обозначается знаком «+» (плюс).

Если к числу ПРИВАРИТЬ ноль, то оно не изменится.

Записать сложение в буквенном виде можно следующим образом:
а + b = С,
где а и b — слагаемые, а С — сумма.

Это интересно, читайте также:

Примеры на Сложение
Вычитание Целых Чисел
Умножение Целых Чисел

Теперь разберем в примерах:

Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.

Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то  нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ

В математике, как и в любой другой науке, есть свои правила — свойства. Два таких свойства имеют непосредственное отношение к сложению.
Первое из них — переместительное. Уже по названию ты можешь догадаться, о чем идет речь. Правильно! О перемещении слагаемых. Давай рассмотрим такой пример:
10 + 8 = 18 и 8 + 10 = 18.

В обоих случаях сумма осталась прежней, т.е. она не изменилась от перестановки слагаемых.

Второе свойство — сочетательное. Работает
оно в том случае, если тебе нужно сложить три и более чисел. По лучить их сумму можно двумя способами:
1. Сложить два первых числа, а потом прибавить к ним третье, например:
7 + 3 + 6 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16.
2. Получить сумму второго и третьего чисел, а потом прибавить к ним первое:
7 + 3 + 6 = 7 + (3 + 6) = 7 + 9 = 16.

ЗАПОМНИ: от перестановки СЛАГАЕМЫХ СУММА НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ, Т.Е. А + В = В+А.

В буквенном выражении сочетательное свойство можно записать так:
(а + в) + с = а + {в + с).
Знание этих свойств может значительно облегчить любые вычисления. Давай рассмотрим это на конкретных примерах.

Сложение и вычитание целых чисел с разными знаками

Сложение

При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.

Примеры:

(+3) + (+7) = 10,

(-3) + (-7) = -10.

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.

При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.

Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:

Примеры:

(-4) + (+11) = 7,   так как   11 — 4 = 7;

(-5) + (+2) = -3,   так как   5 — 2 = 3.

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Примеры:

(-7) + 7 = 0,

(+12) + (-12) = 0.

Вычитание

Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.

Примеры:

(+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1,

(+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11,

(-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1,

(-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11.

Из данных примеров следует, что, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

При решении выражений, содержащих и сложение, и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.

Пример.

12 — 18 + 41 — 9.

Решение: Заменим вычитание на сложение:

12 + (-18) + 41 + (-9),

сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа:

(12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27).

Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов:

53 + (-27) = 26,   значит   12 — 18 + 41 — 9 = 26.

Умножение и деление целых чисел

    • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
    • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
      • BNAT
      • Классы
        • Класс 1-3
        • Класс 4-5
        • Класс 6-10
        • Класс 110003 CBSE
          • Книги NCERT
            • Книги NCERT для класса 5
            • Книги NCERT, класс 6
            • Книги NCERT для класса 7
            • Книги NCERT для класса 8
            • Книги NCERT для класса 9
            • Книги NCERT для класса 10
            • NCERT Книги для класса 11
            • NCERT Книги для класса 12
          • NCERT Exemplar
            • NCERT Exemplar Class 8
            • NCERT Exemplar Class 9
            • NCERT Exemplar Class 10
            • NCERT Exemplar Class 11
            • 9plar

            • RS Aggarwal
              • RS Aggarwal Решения класса 12
              • RS Aggarwal Class 11 Solutions
              • RS Aggarwal Решения класса 10
              • Решения RS Aggarwal класса 9
              • Решения RS Aggarwal класса 8
              • Решения RS Aggarwal класса 7
              • Решения RS Aggarwal класса 6
            • RD Sharma
              • RD Sharma Class 6 Решения
              • RD Sharma Class 7 Решения
              • Решения RD Sharma Class 8
              • Решения RD Sharma Class 9
              • Решения RD Sharma Class 10
              • Решения RD Sharma Class 11
              • Решения RD Sharma Class 12
            • PHYSICS
              • Механика
              • Оптика
              • Термодинамика
              • Электромагнетизм
            • ХИМИЯ
              • Органическая химия
              • Неорганическая химия
              • Периодическая таблица
            • MATHS
              • Статистика
              • Числа
              • Числа Пифагора Тр Игонометрические функции
              • Отношения и функции
              • Последовательности и серии
              • Таблицы умножения

      .

      1) Каковы 2 правила сложения целых чисел? Найдите сумму.

      Презентация на тему: «1) Каковы 2 правила сложения целых чисел? Найдите сумму» — стенограмма презентации:

      1

      1) Каковы 2 правила сложения целых чисел? Найдите сумму.

      2

      3

      Чтобы использовать правила для вычитания целых чисел.

      4

      Использовать целые числа для решения реальных проблем, связанных с погодой.

      5

      Вычитание целых чисел Если знаки одинаковые: добавьте # и сохраните знак.Пример: Если знаки разные: вычтите # и сохраните знак большего #. Пример:

      6

      .

      целочисленных операций. 1) Какое правило сложения целых чисел? * Если оба слагаемых положительные: — сложите, и сумма будет положительной (Пример = 12) * Если.

      Презентация на тему: «Целочисленные операции. 1) Какое правило сложения целых чисел? * Если оба слагаемых положительные: — Сложите вместе, и сумма положительная (Пример 8 + 4 = 12) * Если.» — Стенограмма презентации:

      1

      Целочисленные операции

      2

      1) Какое правило сложения целых чисел? * Если оба слагаемых положительные: — сложите вместе, и сумма будет положительной (Пример.8 + 4 = 12) * Если оба слагаемых отрицательны: — сложите вместе, а сумма отрицательная (пример -6 ​​+ -5 = -11) * Если слагаемые имеют разные знаки: -вычтите абсолютные значения и -сумма будет иметь знак большего абсолютного значения (Пример -7 + 4 = -3)

      3

      Решите проблемы -3 + -5 = 4 + 7 = (+3) + (+4) = -6 + -7 = 5 + 9 = -9 + -9 = -8-18 14-13 7 11

      4

      2) Правило целочисленного вычитания. Вычитание отрицательного числа аналогично сложению положительного.Поменять вывески и доп. 2 — (-7) совпадает с 2 + (+7) 2 + 7 = 9!

      5

      Вот еще несколько примеров. 12 — (-8) 12 + (+8) 12 + 8 = 20-3 — (-11) -3 + (+11) -3 + 11 = 8

      6

      Примеры: 1. 8 — 13 2. 6 — 14 3. — 10 — 1 4. 1 — (-2) 5. 4 — (-8) 6. -3 — (-5) 7. -7 — (- 4) = -5 = -8 = -11 = 3 = 12 = 2 = -3

      7

      При умножении и делении целых чисел действуют два правила: 1.При умножении или делении целых чисел, имеющих ОДИН знак, ответ будет ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ. Положительный x положительный = положительный Отрицательный x отрицательный = положительный +7 x +12 = +84-6 x –5 = +30 3 & 4) Умножение и деление целых чисел

      8

      2. При умножении или делении целых чисел с РАЗНЫМИ знаками ответ всегда будет ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ. Положительный x отрицательный = отрицательный Отрицательный x положительный = отрицательный +8 x –4 = -32-5 x +7 = -35 Продолжение правил…

      9

      Давайте практиковаться! Какой знак будет в ответе перед целым числом ??? -5 х -7 = ???

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены. Карта сайта