Разное

Сложение комплексных чисел онлайн в показательной форме: Онлайн калькулятор. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

(1/2))

 

Результат выражения 

Действительная часть 0.66468285388895

Мнимая часть 1.0051451851734

 

Как видите, сложность выражения может быть произвольной и включать в себя комплексные числа.

 

  • Уравнение пятой степени. Частное решение. >>

Содержание

Калькулятор комплексных чисел: сложение, вычитание, деление, умножение

Чтобы быстро и правильно выполнить операцию с комплексными числами, воспользуйтесь данным онлайн калькулятором, для этого необходимо:

  • ввести в ячейки калькулятора вещественную и мнимую части каждого числа;
  • выбрать из списка операцию, которую необходимо произвести;
  • нажать кнопку. Через считанные секунды вы получите точный ответ.

Числа вида a+bi называются комплексными (мнимыми) числами, где a,b — вещественные (или действительные) числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i2 = -1, т.е. мнимая единица в квадрате является отрицательным числом, равным -1. Комплексные числа расширяют понятие действительного числа, позволяют в удобной форме описывать математические модели всевозможных прикладных процессов.

Комплексное число z можно представить в алгебраической, тригонометрической или показательной (экспоненциальной) форме.

1. Алгебраическая запись: z = a + bi, где a и b являются вещественными числами, причем, a — действительная часть, bi — мнимая, i — мнимая единица.

2. Тригонометрическая запись: z = r (cos + i sin φ), где r — модуль комплексного числа, z — расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат.

Модуль комплексного числа — вещественное число |z|, равное корню квадратному из суммы квадратов вещественных чисел (a и b): r = |z| = √a2 + b2

Аргумент комплексного числа z — угол φ, образованный радиус-вектором точки, соответствующей комплексному числу. Значение аргумента находится в диапазоне (-π…π], для всех целых k определяется с точностью 2πk: φ = Аrg (z) = arctg (b/a). Для z, равного нулю, аргумент не определен.

3. Для сокращения Эйлер ввел Показательную запись: z = rе

Действия над комплексными числами

1. Сложение: z1 + z2 = (а1 + а2) + (b1 + b2) i, где z1 = а1 + b1i; z2 = а2 + b2i. При сложении комплексных чисел складываются их реальные и мнимые части, причем, сумма не изменится от перемены мест слагаемых.

2. Вычитание: z1 — z2 = (а1 — а2) + (b1 — b2) i. При вычитании комплексных чисел вычитаются их реальные и мнимые части.

3. Умножение: z1z2 = (а1а2 — b1b2) + (а1b2 + а2b1) i, зная что i*i=-1. Умножение комплексных чисел выполняется по правилам умножения многочленов.

4. Деление: z1 / z2 = (a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c2 + d2) + ((bc — ad) / (c2 + d2)) i, где z1 = a + bi; z2 = c + di. Деление выполняется путем умножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю.

5. Возведение в целую степень. Для возведения комплексного числа во вторую степень можно записать степень, как произведение двух множителей и выполнить операцию умножения по правилу умножения многочленов. Для возведения комплексного числа в большую степень проще воспользоваться показательной формой: zn = rneinφ полученной из формулы Муавра: (cos (х) + isin (х))n = cos (nх) + isin (nх).

6. Вычисление корня n-ой степени: , где k — целое число в диапазоне 0…n-1

Представить комплексное число в алгебраической форме онлайн калькулятор

Перевод комплексного числа в другую форму. Нужна помощь в решении этого задания 11 Вот что я сделал. В ходе работы калькулятора используются компонентыфункции и операции. В противоположность тригонометрической форме выражение вида называется алгебраической или. Перевести комплексное число из одной формы в другую онлайн. Датся геометрическая интерпретация и подробное решение. Модуль комплексного числа находим по формуле. Примеры с решением комплексных чисел даны в конце статьи, а пока разберемся с тем, что же такое комплексные. Округлять до цифр после запятой 0. В калькулятор вводим уравнение в виде 1232 данное уравнение уже вставлено в калькулятор. Онлайн калькулятор комплексных чисел. Представить комплексное число Z в алгебраической форме. ДВОЙСТВЕННОСТЬ 1 Д.Я представлю в комплексной форме числа. Воспользовавшись онлайн калькулятором для преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую и показательную, вы получите. деление с комплексными числами в алгебраической форме и в показательной форме записи, а также преобразовывать алгебраическую форму записи. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной. Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме. Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной формах. Калькулятор комплексных и рациональных чисел. Комплексное число в алгебраической форме, 1. С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, это и есть алгебраическая форма комплексного. В литературе часто встречается обобщнная алгебраическая форма комплексного числа с. Где, это мнимая единица, определяемая равенством 2 1. Комплексные числа в алгебраической форме. Калькулятор для ТОЭ. Записать алгебраическую форму записи комплексного числа. А в чм конкретно проблема? Представленный калькулятор позволяет производить такие действия над алгебраической формой комплексного числа онлайн, как сложение. Представить в алгебраической форме заданные комплексные числа, для которых. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Множество комплексных чисел обычно обозначается символом оно содержит множество вещественных чисел и. Представить в алгебраической форме комплексное число найти ошибку ТФКП. Комплексное число графически можно представить в прямоугольной системе координат. Выделяя в показателе числа слагаемое, кратное, представим в виде, так как множитель. Перевод в показательную форму XZ. Действия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме. Любое комплексное число можно представить в виде, где это модуль комплексного числа, а. Выразить комплексное число в тригонометрической форме. Онлайн Калькуляторы. Комплексные числа числа вида, где вещественные числа, мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство Термин комплексное число ввл в науку Гаусс в 1831 году. Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа. Калькулятор комплексных чисел. Как рассчитать комплексные числа, если на калькуляторе нет кнопок A. Два комплексных числа и называются равными, если, т. Представим число в тригонометрической форме. В ходе работы калькулятора используются компонентыфункции и. Программа переводит комплексное число, представленное в алгебраической форме, в. Пусть функция дифференцируема в точке х0, т. Онлайн Программа позволяет выполнять арифметические операции сложение, вычитание, умножение, деление с комплексными числами в алгебраической форме и. Перевести число из алгебраической формы записи в тригонометрическую. Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия. Здесь Вы сможете решать комплексные числа онлайн найти модуль и аргумент, различные формы чисел. Дано комплексное число Z. Программа выполняет вычисления комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а. Дано комплексное число 3, которое надо представить в показательной форме

» frameborder=»0″ allowfullscreen>

Суммой комплексных чисел 1 1 1 и 2 2 2 называется. Калькулятор который переводит комплексное число в показательную форму. {i n \phi}$

Читать дальше: сложение и вычитание комплексных чисел.

Слишком сложно?

Показательная форма комплексного числа не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Калькулятор комплексных чисел онлайн с решением в алгебраической форме — JSFiddle

Editor layout

Classic

Columns

Bottom results

Right results

Tabs (columns)

Tabs (rows)

Console

Console in the editor (beta)

Clear console on run

General

Line numbers

Wrap lines

Indent with tabs

Code hinting (autocomplete) (beta)

Indent size:

2 spaces3 spaces4 spaces

Key map:

DefaultSublime TextEMACS

Font size:

DefaultBigBiggerJabba

Behavior

Auto-run code

Only auto-run code that validates

Auto-save code (bumps the version)

Auto-close HTML tags

Auto-close brackets

Live code validation

Highlight matching tags

Boilerplates

Show boilerplates bar less often

Комплексные числа — презентация онлайн

1.

Комплексные числа

Основные понятия
Геометрическое изображение
комплексных чисел
Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного
числа

2. Основные понятия

Комплексным числом z называют выражение:
z a i b,
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица,
определяемая равенством:
i 1
i 2 1
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью. Их обозначают так:
a Re z;
b Im z.
Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными:
z a i b,
z a i b,

3. Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z a i b, можно изобразить на
плоскости XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют плоскостью комплексной переменной.
y
z
Точкам, лежащим на оси OX,
A(a; b)
b
соответствуют действительные числа
(b = 0), поэтому ось OX называют
действительной осью.
a х
0
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа
(a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа z вектор OA

4. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Обозначим через r модуль вектора OA , через φ угол между
вектором OA и положительным направлением оси OX.
Тогда имеют место равенства:
y
z
a r cos ; b r sin
A(a; b)
b
r
0
Следовательно, комплексное число z
можно представить в виде:
φ
a х
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
Модуль
комплексного
Аргумент
2комплексного
2
Тригонометрическая
arg z arctg
r zчисла
aчисла
b
форма записи
a
комплексного
числа числа z считается положительным, если
Аргумент
комплексного
он отсчитывается от положительного направления оси OX против
часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а
с точностью до слагаемого 2 k k Z.

5. Действия над комплексными числами

1
Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
называются равными : z1 z2 , если a1 a2 , b1 b2
Комплексное число z
тогда, когда a 0,
2
a i b равно нулю , тогда и только
b 0
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Суммой (разностью) комплексных чисел z1 a1 i b1 и
z2 a2 i b2 называется комплексное число, определяемое
равенством:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2

6. Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание
комплексных чисел, изображенных
векторами производится по правилу
сложения или вычитания векторов:
y
z
z1
z1 — z2
0
3
z1 + z2
z2
х
Умножение комплексных чисел.
Умножением комплексных чисел z1 a1 i b1 и z2 a2
называется число, получаемое при умножении этих чисел по
правилам алгебры как двучлены, учитывая что
i 2 1;
i 3 i ;
i 4 i i 1;
i5 i
При любом целом k:
i 4k 1;
i 4k 1 i ;
i 4k 2 1;
i 4k 3 i
i b2

7. Действия над комплексными числами

На основании этого правила получим:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
тогда произведение находится по формуле:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
Произведение сопряженных комплексных чисел:
2
2
2
2
a
(
i
b
)
a
b
z z ( a i b ) (a i b )
z z a b z
2
2
2

8. Действия над комплексными числами

4
Деление комплексных чисел.
Чтобы разделить z1 a1 i b1 на z2 a2 i b2
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное
делителю:
z1 a1 i b1
(a1 i b1 ) (a2 i b2 )
z2 a2 i b2 (a2 i b2 ) (a2 i b2 )
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) a1a2 b1b2
a2 b1 a1b2
i
2
2
2
2
a2 b2
a2 b2
a22 b22
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1)
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2

9.

Действия над комплексными числами

Найти произведение и частное комплексных чисел:
z1 2 3i ,
z2 1 4i
= -1
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
2
2
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )
1 4
10 11
10 11i
2 3i 8i 12
i
17 17
17
17

10. Действия над комплексными числами

5
Возведение в степень комплексного числа.
При возведении комплексного числа z r (cos i sin )
в целую положительную степень модуль возводится в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)
z n r n (cos n i sin n )
6
Извлечение корня из комплексного числа.
Корень n – ой степени из комплексного числа
z r (cos i sin ) находится по формуле:
n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Арифметическое значение корня из
положительного числа r

11. Действия над комплексными числами

n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных
значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от
полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут
получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n
значений, так как действительное число – частный случай
комплексного числа и может быть представлено в
тригонометрической форме:
A A (cos 0 i sin0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)

12. Действия над комплексными числами

Найти все значения кубического корня из единицы
1 cos 0 i sin0
3
(r 1; 0)
0 2k
0 2k
2k
2k
1 cos
i sin
cos
i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1 cos 0 i sin 0 1
3
3
2
2
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
y
z
В
A
х
С

13.

Показательная форма комплексного числа

Пусть z x i y . Если х и y – действительные переменные, то
z называется комплексной переменной.
Рассмотрим показательную функцию от комплексной
переменной z.
w ez
или
w e x i y
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
e x i y e x (cos y i sin y )
z 2 i
Пример:
e
2 i
4
(1)
4
e2 2
e2 2
e (cos i sin )
i
4
4
2
2
2

14. Показательная форма комплексного числа

Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:
ei y cos y i sin y
(2)
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая
показательную функцию с мнимым показателем через
тригонометрические функции.
Заменим в формуле (2) y на – y:
e i y cos( y ) i sin( y ) e i y cos y i sin y (3)
Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :
e e
cos y
2
iy
iy
e iy e iy
sin y
2i

15. Показательная форма комплексного числа

Представим комплексное число z в тригонометрической форме::
z r (cos i sin )
По формуле Эйлера: cos i sin e i
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в
показательной форме:
z r e i
Действия над комплексными числами в показательной форме:
Пусть имеем:
i 2
z
r
e
. Тогда:
z1 r1 e ; 2
2
i 1
z1 z2 r1 r2 e i 1 2 ;
z1 r1 i 1 2
e
;
z2 r2
zn r n ei n ;
n
z n r e
i
2 k
n
.

Показательная форма комплексного числа — Комплексные числа

Показательная форма записи комплексного числа

Рассмотрим произвольное комплексное число,
записанное в тригонометрической форме:
. По формуле Эйлера

а тогда

Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

Операции с комплексными числами в показательной форме

Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям
умножения комплексных чисел, их
деления и
возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа
на комплексное число
выглядит следующим образом:

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа
на комплексное число
:

Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.

Для возведения комплексного числа
в целую степень
нужно представить это число в показательной форме
, модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в
раз:

Примеры решения задач

            ПРИМЕР 1

Задание Записать комплексное число в показательной форме.
Решение Используя описанные выше формулы находим модуль и аргумент комплексного числа. Модуль:

   

Аргумент:

   

Используя формулу Эйлера, получаем показательную форму числа:

   

Ответ ПРИМЕР 2

Задание Записать комплексное число в показательной форме.
Решение Модуль комплексного числа равен

   

Аргумент равен:

   

Следовательно, показательная форма имеет вид:

   

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание Для комплексного числа в показательной форме найти его алгебраическую форму.
Решение Используя формулу Эйлера для комплексных чисел, получаем:

   

Ответ

i и наоборот, вычисляя значения модуля и главного аргумента комплексного числа.

Результаты

Экспоненциальная форма комплексных чисел — dCode

Тэги: Арифметика, Геометрия

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Инструмент для преобразования комплексных чисел в экспоненциальную форму записи re ^ i и наоборот путем вычисления значений модуля и главного аргумента комплексного числа. {i \ theta} = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} $$ с $ \ theta \ in \ mathbb {R} $

Как преобразовать комплексные декартовы координаты в комплексные полярные координаты?

Преобразование декартовых координат в полярные координаты для комплексных чисел $ z = ai + b $ (с $ (a, b) $ декартовыми координатами) заключается в том, чтобы записать это число в комплексной экспоненциальной форме, чтобы получить модуль $ r $ и аргумент $ \ theta $ (с полярными координатами $ (r, \ theta) $).{я (- \ pi / 2)} = \ cos {- \ pi / 2} + i \ sin {- \ pi / 2} = -i $

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Экспоненциальная форма комплексных чисел». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанные на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.)) никакие данные, скрипт, копипаст или доступ к API не будут бесплатными, то же самое для загрузки экспоненциальной формы комплексных чисел для использования в автономном режиме на ПК, планшете, iPhone или Android!

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Инструменты аналогичные

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

экспонента, запись, аргумент, модуль, комплекс, число

Ссылки

Источник: https: // www.i и наоборот, вычисляя значения модуля и главного аргумента комплексного числа. i и наоборот путем вычисления значений модуля и главного аргумента комплексного числа.{i \ theta} = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} $$ с $ \ theta \ in \ mathbb {R} $

Как преобразовать комплексные декартовы координаты в комплексные полярные координаты?

Преобразование декартовых координат в полярные координаты для комплексных чисел $ z = ai + b $ (с $ (a, b) $ декартовыми координатами) заключается в том, чтобы записать это число в комплексной экспоненциальной форме, чтобы получить модуль $ r $ и аргумент $ \ theta $ (с полярными координатами $ (r, \ theta) $).{я (- \ pi / 2)} = \ cos {- \ pi / 2} + i \ sin {- \ pi / 2} = -i $

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Экспоненциальная форма комплексных чисел». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанные на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.)) никакие данные, скрипт, копипаст или доступ к API не будут бесплатными, то же самое для загрузки экспоненциальной формы комплексных чисел для использования в автономном режиме на ПК, планшете, iPhone или Android!

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Инструменты аналогичные

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

экспонента, запись, аргумент, модуль, комплекс, число

Ссылки

Источник: https: // www. dcode.fr/complex-number-exponential-form

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокешинга / CTF.

5. Экспоненциальная форма комплексного числа

М. Борна

ВАЖНО:

В этом разделе `θ` ДОЛЖЕН быть выражен в
радианы.

Мы используем важную константу

`е = 2,718 281 8 …`

в этом разделе.

Впервые мы встретили e в разделе Натуральные логарифмы (с основанием e ).(1.77j) `

РЕЗЮМЕ: Формы комплексного числа

Эти выражения имеют одинаковое значение . Это просто разные способы выражения одного и того же комплексного числа.

а. Прямоугольная форма

x + yj

г. Полярная форма

r (cos θ + j sin θ) = r cis θ = r ∠θ

θ может быть в градусах ИЛИ радианах для полярной формы.

г[email protected]) `[полярная форма]

`-1,92 -1,61j` [прямоугольная форма]

Формула Эйлера и идентичность

В следующем разделе есть интерактивный график, где вы можете изучить особый случай комплексных чисел в экспоненциальной форме:

Формула Эйлера и интерактивный граф Эйлера

Онлайн-калькулятор: Комплексные числа

Начиная с XVI века математики столкнулись с необходимостью специальных чисел, также известных в настоящее время как комплексные числа.Комплексное число — это число вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — мнимая единица, является решением уравнения: i 2 = -1.

Интересно проследить эволюцию взглядов математиков на задачи со сложными числами. Вот цитаты из древних работ по этой теме:

  • 16 век: Так прогрессирует арифметическая тонкость, конец которой … утончен, но бесполезен.
  • 17 век: Это чудо анализа, это чудо мира идей, почти земноводный объект между Бытием и Небытием, который мы называем воображаемым числом.
  • 18 век: квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, они не меньше нуля, они не больше нуля. Квадратные корни отрицательных чисел не могут принадлежать действительным числам, поэтому это нереальных чисел . Это обстоятельство заставляет думать о числах, которые по своей сути невозможны и обычно называются воображаемыми, потому что их можно вообразить только в уме.
  • XIX век Никто не ставит под сомнение точность результатов, которые мы получаем с помощью исчисления мнимых величин, хотя это всего лишь алгебраические формы и иероглифы нереальных величин.

Используется по-разному при определении комплексных чисел. Покажем троих

Алгебраическая форма

,
где a и b — действительные числа, i — мнимая единица, так что i 2 = -1. а — соответствует действительной части, б — мнимой части.

Полярная форма

,
, где r — модуль комплексного числа:

— расстояние между точкой 0 и комплексной точкой на комплексной плоскости, а φ — угол между положительной действительной осью и комплексным вектором (аргументом).

Экспоненциальная форма (форма Эйлера)

— это упрощенная версия полярной формы, полученная из формулы Эйлера.

Комплексное число

Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

Главное значение аргумента (рад)

Главное значение аргумента (градусы)

Комплексная плоскость

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать
закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Аргумент комплексного числа является многозначной функцией для целого числа k.Главное значение аргумента — это одно значение в открытом периоде (-π. .π].
Главное значение может быть вычислено из алгебраической формы по следующей формуле:

Этот алгоритм реализован в функции javascript Math.atan2.

Все элементарные арифметические операции определены для комплексного числа:

Элементарные операции с комплексным числом

OperationAddSubtractMultiplyDivideExponentiateTake n-й корень Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать
закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Сложение комплексного числа

Одно комплексное число может быть добавлено к другому так же, как и многочлены:

Умножение комплексных чисел

Используя определение комплексного числа i * i = -1, мы можем легко объяснить формулу умножения комплексного числа:

Деление комплексных чисел

Чтобы вывести формулу деления комплексных чисел, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число (чтобы исключить мнимую единицу в знаменателе):

Сопряжение определяется как:

Итак, окончательная формула деления:

Возведение в степень комплексного числа

Используя форму Эйлера, это просто:

Эта формула получена из формулы Де Муавра:

корень n-й степени

По формуле Де Муавра корни n n степени z (степень 1 / n) даются по формуле:
,
корней n, где k = 0..n-1 — корневой целочисленный индекс. Корни могут отображаться на комплексной плоскости как вершины правого многоугольника.

Калькулятор комплексных чисел

Умножение и деление комплексных чисел

Теперь давайте перейдем к чему-то более сложному — мы хотим выяснить, как работает умножение комплексных чисел. Следуя обозначениям из предыдущего раздела, мы можем написать:

F * G = (a + bi) * (c + di) = a * c + a * d * i + b * c * i + b * d * i * i = (a * c - b * d ) + (а * г + Ь * в) * я .

На этот раз действительная часть может быть записана как Re (F * G) = a * c - b * d , а мнимая часть — как Im (F * G) = a * d + b * c .Обратите внимание, что в действительной части стоит знак минус, поскольку в какой-то момент мы столкнулись с умножением двух мнимых чисел i * i , что по определению равно -1 .

Умножение комплексных чисел не так уж и страшно, правда? Так что насчет деления комплексных чисел? Давайте посмотрим на расчеты с пошаговыми подсказками:

  • F / G = (a + bi) / (c + di) = , дополнить числитель и знаменатель конъюгатом комплексного числа последнего.
  • = (a + bi) * (c - di) / ((c + di) * (c - di)) = , выполнить стандартные умножения.
  • = (a * c - a * d * i + b * c * i - b * d * i * i) / (c² - (di) ²) = , снова используйте тот факт, что i * я = -1 .
  • = (a * c + b * d + (b * c - a * d) * i) / (c² + d²) .

Получаем следующие результаты: Re (F / G) = (a * c + b * d) / (c² + d²) , Im (F * G) = (b * c - a * d) / (c² + d²) . Конечно, деление возможно только при G 0 .

Мы также можем рассмотреть описанные выше операции в полярной записи, например, F = | z₁ | * exp (iφ₁) , G = | z₂ | * exp (iφ₂) . Тогда умножение комплексных чисел дает:

F * G = | z₁ | * exp (iφ₁) * | z₂ | * exp (iφ₂) = | z₁ * z₂ | * ехр (i (φ₁ + φ₂)) ,

, и мы видим, что: | F * G | = | z₁ * z₂ | и arg (F * G) = φ₁ + φ₂ .

Комплексные числа делятся почти так же, как и в этой записи:

F / G = | z₁ | * exp (iφ₁) / | z₂ | * exp (iφ₂) = | z₁ / z₂ | * ехр (я (φ₁-φ₂)) ,

, переписывая результат как: | F / G | = | z₁ / z₂ | и arg (F / G) = φ₁-φ₂ . -1 (x) acoth (x) acosh (1 / x) asech (x) asinh (1 / x) acsch (x)

Искусство решения проблем

Комплексные числа возникают, когда мы пытаемся решить уравнения, такие как.

Вывод

Мы знаем (из Тривиального неравенства), что квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет решений в действительных числах. Однако можно определить число, такое, что. Если мы добавим это новое число к реалам, у нас будут решения. Оказывается, что в системе, полученной в результате этого добавления, мы не только можем найти решения, но и теперь можем найти всех решений для каждого полинома .(Подробнее см. В Фундаментальной теореме алгебры.)

Формальное определение

Теперь мы готовы к более формальному определению. Комплексное число — это число в форме, где и — мнимая единица. Набор комплексных чисел обозначается. Набор комплексных чисел содержит набор действительных чисел, т.к., но он намного больше.

Детали

Каждое комплексное число имеет действительную часть , обозначенную или, и мнимую часть , обозначенную или.Обратите внимание, что мнимая часть комплексного числа действительна: например,. Итак, если, мы можем написать. (и традиционно используются вместо и в качестве переменных при работе с комплексными числами, в то время как и (а часто также и) используются для представления реальных значений, таких как действительная и мнимая части комплексных чисел. Это математическое соглашение часто нарушается, когда оно неудобно, поэтому убедитесь, что вы знаете, из какого набора берутся переменные при работе с комплексными числами.)

Как видите, комплексные числа позволяют нам снять ограничение на область определения функции (хотя необходимы некоторые дополнительные соображения).

Операции

Сложение и вычитание комплексных чисел аналогично выполнению тех же операций с многочленами — сложите действительные части, а затем сложите мнимые части.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены. Карта сайта