Изучаем математику: 13 ресурсов, чтобы выучить математику

13 ресурсов, чтобы выучить математику

Среди разработчиков часто возникают споры о том, необходимо ли изучать математику. Если вас мучает ее незнание, то скорее читайте нашу статью.

Одни утверждают, что знать математику совсем не нужно и что и без нее все будет прекрасно. Другие же напротив считают, что фундаментальные знания математики – основа осваивания ремесла программиста.

Как бы то ни было, некоторые области ИТ требуют определённых опыта и навыков. Например, криптография. Ее изучение будет максимально сложным и практически невозможным, если вы не имеете никакого представления о царице наук.
Теперь возникает другой вопрос: как учить то, чего не знаешь? С чего лучше начать? Пользователи toster.ru ответили на этот вопрос, а мы собрали все воедино в нашей статье.

Курсы по математике от Khan academy помогут вам изучить математику, даже если у вас нет никаких, даже базовых знаний.

Курсы по школьной программе математики.

1. Наращивайте мощность постепенно. Начните с элементарных, базовых вещей. Например, научитесь оперировать простыми числами, изучите способы вычисления суммы натуральных чисел, разберитесь с тем как находятся степени чисел и прочее.
2. Подберите для себя связку: теория, справочник, задачник. Теория поможет вам обрести знания, справочник – освежить информацию, найти нужную формулу, задачник поможет отработать все то, что вы уже изучили.
3. Не бойтесь если что-то не ясно. Эта ситуация абсолютно естественна. Если вы не понимаете какое-то предложение, формулировку, то постарайтесь ее перечитать, разбить на части. Можно так же перейти к чему-то другому, но затем обязательно вернитесь назад. В случае, если ничего не поможет, задайте вопрос на форуме или портале подходящей тематики.
4. Применяйте приобретенные знания на практике. Так уж устроен наш мозг, что некоторые вещи мы постепенно забываем. Поэтому следует закреплять определенные темы после того, как вы их прошли. Придумывайте для себя задачи, пытайтесь доказывать какие-либо теоремы самостоятельно.
5. Производите вычисления самостоятельно, без помощи калькулятора. Конечно звучит немного нецелесообразно, но поверьте, вам это обязательно поможет.
6. Делайте перерывы. После окончания темы, главы, раздела делайте паузу и проверяйте себя.

Как понять, что вы на верном пути? Если вы при виде задачи можете легко определить алгоритм ее решения, то все идет как надо.

Книга от одного из самых лучших преподавателей мира об основах математики. После прочтения вы начнете видеть математику не только в учебниках, но и во всем что вас окружает.

Автор, увлеченный красотой математики, погрузит вас в этот мир с головой. Самое главное, что вам это понравится и вы узнаете, что математика окружает нас абсолютно везде.

В этой книге легко и понятно рассказано как об элементарных понятиях математики, так и о важных, сложных областях науки.

Книги Владимира Левшина

Книги выдающегося математика и педагога, которые написаны в стиле «математических сказок» расскажет о математике совершено, с другой стороны.

Книги Якова Перельмана

Еще один выдающийся математик, который внес свою лепту в популяризацию точных наук. Его работы пробудили любовь к математике ни у одного поколения.

Книги Мартина Гарднера

После прочтения книг Гарднера вы перестанете думать, что математика — это скучно.
Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства, Леонард Млодинов
Вас ожидает путешествие в тысячелетнюю историю математической мысли. Вы узнаете о том, как устроено пространство, о том, как от камешков и палочек на теплом песке люди добрались до энтропии черных дыр

Книга о величайших математических задачах, которые до сих пор терзают величайшие умы человечества.

Великий математик откроет вам дверь в мир, который позволит вам понять законы Вселенной.

Книга расскажет о том, как в математике появляются новые идеи. Большое внимание уделено анализу задач.

Эта книга прольет свет на процесс математического творчества. Расскажет о том, как появляются новые теории и гипотезы и о том, как их принимать.

Книга откроет новые миры, где музыка Баха, картины Эшера, физика математика, биология психология, нейропсихология и дзен буддизм связаны между собой.

Другие материалы для того, чтобы изучить математику

4 книги, которые разбудят в вас математика

Как я перепрограммировала свой мозг, чтобы начать разбираться в математике / Хабр

Простите, реформаторы образования – нам всё ещё нужны зубрёжка и повторение

Я была капризным ребёнком, росшим на лирической стороне жизни, и относилась к математике и науке так, будто они были симптомами чумы. И потому странно, что я превратилась в человека, ежедневно имеющего дела с тройными интегралами, преобразованиями Фурье и, жемчужиной математики – уравнением Эйлера. Сложно поверить, что из матофоба я превратилась в профессора прикладных наук.

Однажды один из моих учеников спросил, как мне это удалось – как я изменила свой мозг. Мне хотелось ответить – чёрт возьми, с трудом! Я всё-таки заваливала экзамены по математике и физике в начальной, средней и высшей школах. Я записалась в класс для отстающих по математике после того, как отслужила в армии, в 26 лет. На выставке примеров нейропластичности у взрослых я была бы первым экземпляром.

Изучение математики и точных наук во взрослом возрасте открыло мне дверь в технические науки. Но эти тяжёлые взрослые изменения в мозгу открыли мне взгляд изнутри на нейропластичность, связанную со взрослым обучением. К счастью, моя докторская по системному проектированию, во время которой я постигала точные науки, технологии, технические науки и математику (STEM – Science, Technology, Engineering, Math), и моё последующее исследование на тему человеческого мышления, помогло мне понять недавние прорывы в неврологии и когнитивной психологии, связанные с обучением.

В последовавшие за получением мною докторской степени годы через мой класс прошли тысячи студентов – выращенных в начальной и средней школе с верой в то, что понимание математики через активное обсуждение является талисманом обучения. Если вы можете объяснить, что вы выучили, другим – допустим, нарисовав картинку,- тогда вы, наверное, действительно это поняли.

Примером этой техники, «сфокусированной на понимании», и объектом подражания стала Япония. Но из обсуждения часто пропадает конец истории: в Японии также изобрели и метод обучения «Кумон», который основан на запоминании, повторении и зубрёжке для достижения школьником отличного владения материалом. Эту интенсивную программу послешкольного обучения предпочитают тысячи родителей в Японии и во всём мире, дополняя совместное обучение детей большим количеством практики, повторений, и с умом разработанной системой зубрёжки, с целью обеспечить им прекрасное владение материалом.

В США концентрация на понимании иногда заменяет, а не дополняет более старые методы обучения, которые, как подтверждают учёные, работают с естественными процессами мозга, изучающего такие сложные вещи, как математика и точные науки.

Последняя волна реформы обучения математике включает «Общее ядро» – попытку назначить жёсткие общие стандарты по всем США, хотя критики и говорят, что эти стандарты не соответствуют достижениям других, более продвинутых стран. Внешне у стандартов есть некая перспектива. Предполагается, что в математике ученики должны иметь равные возможности в концептуальном понимании, практических и процедурных навыках.

Дьявол, как обычно, в мелочах реализации. В сегодняшнем образовательном климате запоминание и повторение STEM-дисциплин, в отличие от изучения языка и музыки, часто расцениваются, как недостойные занятия, тратящие время учеников и учителей. Многие учителя давно считают, что понимание концепций в дисциплинах STEM имеет наивысший приоритет. Конечно, учителям легче вовлечь учеников в обсуждение математических тем (и этот процесс при правильном руководстве может сильно помочь в понимании задач), чем корпеть над выставлением отметок за домашние задания. В результате, хотя процедурные умения и свободное владение предметом должны преподаваться в тех же дозах, что и концептуальное понимание, часто этого не происходит.

Проблема с концентрацией только на понимании состоит в том, что ученики, постигающие математику и точные науки, часто могут нахвататься основных понятий о важной идее, но её понимание быстро ускользает без его закрепления через практику и повторение. Хуже того, ученикам часто кажется, что они понимают что-то, в то время, когда это не так. Такой подход часто может принести лишь иллюзию понимания. Как недавно сказал мне один из неуспевающих учеников, «Не пойму, почему я так плохо справился с заданием. Я ведь в классе всё понимал». Ему казалось, что он всё понял, и возможно, что так и было, но он не использовал понятое на практике, чтобы оно закрепилось в мозгу. Он не выработал процедурного владения или способности применять знания.

Между обучением спортивной дисциплине и обучением математике и точным наукам есть интересная связь. Когда вы учитесь наносить удар клюшкой для гольфа, вы доводите удар до совершенства при помощи практики в течение нескольких лет. Ваше тело знает, что нужно делать, просто когда вы подумаете об этом – вам не нужно вспоминать все компоненты сложного взмаха для удара по мячу.

Точно так же, когда вы понимаете, почему вы что-то делаете в математика, вам не нужно каждый раз объяснять себе одно и то же. Вам не нужно носить с собой 25 шариков, выкладывать их по 5 рядов в 5 столбцов на столе, чтобы убедиться, что 5 х 5 = 25. В какой-то момент вы просто это знаете. Вы запоминаете, что при умножении одинаковых чисел в разной степени вы можете просто складывать степени (10⁴ x 10⁵ = 10⁹). Используя эту процедуру часто и в разных случаях, вы обнаружите, что вы понимаете, почему и как она работает. Лучшее понимание темы происходит из создания в мозгу осмысленного шаблона.

Я выучила всё это насчёт математики и насчёт самого процесса обучения не в классе, а по ходу течения моей жизни, как человек, в детстве читавший Мадлен Ленгль и Достоевского, изучавший языки в одном из ведущих мировых языковых институтов, а затем резко поменявший свой путь и ставший профессором технических наук.

Будучи молодой девушкой, страстно желавшей изучать языки, и не обладавшей нужными деньгами и навыками, я не могла позволить себе оплачивать колледж. Поэтому я после школы пошла в армию. Мне нравилось изучать языки в школе, и казалось, что армия – как раз то место, где человек может получать деньги за изучение языков, посещая высоко ценящийся языковой институт Минобороны – место, где изучение языков превратили в науку. Я выбрала русский, поскольку он сильно отличался от английского, но был не таким сложным, чтобы изучать его всю жизнь и дойти в итоге до уровня 4-летнего ребёнка. Кроме того, «Железный занавес» притягивал меня – не могла ли я использовать знание русского, чтобы заглянуть за него?

После армии я стала переводчиком на советских траулерах в Беринговом море. Работать на русских было интересно и увлекательно – но также это была внешне приукрашенная работа мигранта. Во время сезона добычи рыбы ты ходишь в море, зарабатываешь неплохо, периодически напиваешься, а затем возвращаешься в порт в конце сезона и надеешься, что тебя снова наймут в следующем году. Для русскоговорящего человека была практически только одна альтернатива этому – работа на АНБ. Мои армейские контакты подталкивали меня к этому, но у меня не лежала к этому душа.

Я начала понимать, что хотя знание другого языка – это хорошо, это был навык с ограниченными возможностями и потенциалом. Из-за моих возможностей склонять слова по-русски мой дом не осаждали. Если только я не была готова терпеть морскую болезнь и периодическое недоедание на вонючих траулерах посреди Берингова моря. Я не могла не вспоминать об инженерах из Вест-Поинта, с которыми я работала в армии. Их математический подход к решению проблем явно был полезен для реального мира – более полезен, чем мои неудачи с математикой.

Так что, в 26 лет я, уходя из армии и оценивая возможности, вдруг подумала: если я хочу заняться чем-то новым, почему бы мне не попробовать нечто, что открыло бы мне целый новый мир перспектив? Технические науки, например? А это значило, что мне предстоит изучить новый язык – язык счисления.

С моим плохим пониманием простейшей математики, после армии я занялась алгеброй и тригонометрией по курсу для отстающих. Пытаться перепрограммировать мозг иногда казалось глупой идеей – особенно, когда я смотрела на лица моих более молодых одноклассников. Но в моём случае, а я ведь изучила русский в зрелом возрасте, я надеялась, что некоторые аспекты изучения языка можно применить в изучении математики и точных наук.

Изучая русский, я старалась не только понимать что-либо, но и достигать беглости в этом. Беглость в таком обширном предмете, как язык, требует такой степени знакомства, которую можно выработать только повторяющейся и различающейся работой с различными областями. Мои одноклассники, изучавшие язык, концентрировались на простом понимании, а я старалась достичь внутренней беглости со словами и структурой языка. Мне недостаточно было того, что слово «понимать» означает «to understand». Я практиковалась с глаголом, постоянно использовала его в разных временах, в предложениях, а затем понимала не только то, где его можно использовать, но и где его использовать не нужно. Я практиковалась над быстрым извлечением из памяти этих аспектов и вариантов. Посредством практики можно понимать и переводить десятки и сотни слов с другого языка. Но если у вас нет беглости, то когда кто-то быстро выплёвывает вам кучку слов, как в обычном разговоре, у вас не возникает понятия о том, что этот человек говорит, хотя технически вы вроде бы понимаете все слова и структуру. И вы, конечно, не можете говорить достаточно быстро для носителей языка, чтобы им было приятно слушать вас.

Этот подход, сосредоточение на беглости, а не на простом понимании, вывел меня на первое место в классе. Тогда я этого не понимала, но этот подход дал мне интуитивное понимание основ обучения и выработки экспертных навыков – кускование [chunking].

Кускование впервые было предложено в революционной работе Герберта Саймона при анализе шахмат. Кусочками служили различные мысленные аналоги шахматных шаблонов. Нейробиологи постепенно пришли к пониманию того, что эксперты, допустим, в шахматах, являются таковыми, поскольку могут хранить тысячи кусочков знания в долгосрочной памяти. Мастера в шахматах могут вспомнить десятки тысяч различных шахматных шаблонов. В любой области эксперт может вспомнить один или несколько хорошо связанных вместе кусков нервных подпрограмм для анализа и реакции на новую ситуацию. Такой уровень настоящего понимания и возможность использовать это понимание в новых ситуациях приобретается только из знакомства с предметом, полученного от повторений, запоминаний и практики.

Изучение мастеров шахмат, врачей скорой помощи и пилотов истребителей показало, что в стрессовых ситуациях сознательный анализ ситуации уступает место быстрой подсознательной обработке данных, когда эксперты обращаются к глубоко интегрированному набору мысленных шаблонов – кусочков. В какой-то момент осознанное понимание того, почему вы делаете то, что делаете, начинает только замедлять вас и прерывает поток, что приводит к принятию худших решений. Я была права, интуитивно ощущая наличие связи между изучением нового языка и математики. Ежедневное и непрерывное изучение русского языка возбуждало и укрепляло нервные контуры в моём мозгу, и я постепенно начала связывать вместе славянские кусочки, которые легко можно было вызывать из памяти. Чередуя изучение, практикуясь так, что я знала не только когда можно использовать слово, но и когда его использовать не нужно, или нужно использовать другой его вариант, я использовала те же подходы, что используют для изучения математики.

Изучение математики и точных наук во взрослом возрасте я начала с той же стратегии. Я смотрела на уравнение – для простого примера возьмём второй закон Ньютона, F = ma. Я практиковалась в ощущении значения каждой буквы: «f», то есть сила,- это толчок, «m», масса,- тяжёлое сопротивление толканию, «a» было радостным ощущением ускорения. (В случае с русским языком я так же практиковала произношение букв кириллицы). Я запоминала уравнение, носила его в своей голове и игралась с ним. Если m и a – большие, то что будет с f в уравнении? Если f большое, а a – маленькое, какое будет m? Как с обеих сторон сходятся единицы измерения? Играться с уравнением – как связывать глагол с другими словами. Я начинала постигать, что смутные очертания уравнения напоминали метафорическую поэму, в которой существовали всякого рода красивые символические представления. И хотя тогда я бы так это не выразила, но для хорошего изучения математики и точных наук мне нужно было медленно и ежедневно строить прочные нервные кусковые подпрограммы.

Со временем профессора математики и точных наук сообщили мне, что построение хорошо зафиксированных в памяти кусочков опыта посредством практики и повторения было жизненно важно для достижения успеха. Понимание не приводит к беглости. Беглость приводит к пониманию. Вообще, я считаю, что реальное понимание сложной темы происходит исключительно от беглости.

Вторгаясь в новую для меня область, становясь инженером-электриком, и, в итоге, профессором инженерного дела, я оставила русский язык позади. Но через 25 лет после того, как я в последний раз подымала стакан на советских траулерах, мы с моей семьей решили совершить путешествие по Транссибу через всю Россию. И хотя я с удовольствием ожидала давно желанного путешествия, я ещё и волновалась. Всё это время я практически не говорила по-русски. Что, если я всё забыла? Что дали мне все те годы достижения беглости?

Конечно, впервые зайдя в поезд, я обнаружила, что говорю по-русски на уровне двухлетнего ребёнка. Я искала слова, мои склонения и спряжения путались, а почти идеальный ранее акцент звучал ужасно. Но основа никуда не делась, и постепенно мой русский улучшался. Даже рудиментарных знаний хватало для ежедневных нужд. Вскоре экскурсоводы начали подходить ко мне за помощью в переводе для других пассажиров. Прибыв в Москву, мы сели в такси. Водитель, как я потом поняла, попытался нас обмануть, поехав в другую сторону и застряв в пробке, считая, что не разбирающиеся иностранцы спокойно выдержат лишний час счётчика. Внезапно русские слова, которыми я не пользовалась десятки лет, вылетели из моего рта. Сознательно я даже не помнила, что знаю их.

Беглость, когда она понадобилась, оказалась под рукой – и выручила нас. Беглость позволяет пониманию встроиться в сознание, и всплывать по необходимости.

Смотря на недостаток людей, специализирующихся в точных науках и в математике в нашей стране, и наши текущие техники обучения, и вспоминая свой собственный путь, с сегодняшними моими знаниями о мозге, я понимаю, что мы можем достичь большего. Как родители и учителя, мы можем использовать простые методы углубления понимания и превращения его в полезный и гибкий инструмент.

Я открыла, что наличие основной и глубоко выученной беглости в математике и точных науках – а не простого «понимания», чрезвычайно важно. Оно открывает пути к самым интересным занятиям в жизни. Оглядываясь в прошлое, я понимаю, что мне не обязательно было слепо следовать моим изначальным склонностям и страстям. Та же самая «беглая» часть меня, обожавшая литературу и язык, в результате полюбила математику и точные науки – и в итоге, преобразила и обогатила мою жизнь.

Как самому выучить математику? — Хабр Q&A

Изучать школьную математику, значит уметь решать задачи. Берешь любой задачник и решаешь. Сначала будет тяжко, но потом мозг включится. Начинай с самого начала. С первых классов. В математике знания накладываются одни на другие и буз базы ничего не получится. Хороший сайт: interneturok.ru, и подобные. Отличные сайты на английском. Здесь учебники www.alleng.ru/.
Школьная математика, всего лишь запоминание правил и определений и потом их быстрое применение при решении задач. Ничего сложного. Но она основа, для всего остального. Вот здесь хорошо расписано: viripit.ru/index.htm . Купи старую книгу типа «Энциклопедия юного математика». Читай для удовольствия. Вообще процесс должен занять несколько месяцев, чтобы осилить школьную программу.

Натыкайся на те задачи которые не можешь решить и уделяй им время. Потом пойдет все быстрее и быстрее. Не слушай никого, кто говорит, что учить поздно. У каждого своя судьба, и свои стартовые условия. Но каждый в итоге получает то, что он действительно хочет. Осилить школьную математику, нармально любому человеку. Это общий культурный багаж, без понимания которого, человек будет ограничен. На самом деле все школьные предметы, развивают разные способности мышления. Потом неплохо повторить и физику — чтобы понимать, почему вокруг все так происходит.

Математика программисту в большинстве случаев не нужна. Но нужно знание основ, чтобы быстро разобраться в новом. Обязательно знание некоторых важных разделов:, типа логики и др. Без математики ты не сможешь зазкончить нормальное обучение по ComputerScience.
И самое главное, мозг должен уметь думать и решать задачи. Именно это и развивает в чистом виде — математика.

Но в реальности программисту, кроме умения думать, нужно и воображение, и абстрактное мышление, отличная память, знание английского, и умение общаться; еще умение постоянно учиться, хорошая общая эрудированность и вкус и тд. А так же крепкое здоровье. Так- что не циклись на математике, это всего лишь часть большого целого.

PS: Забудь про криптографию. Ты это не осилишь. Разберись, сейчас — как делить столбиком 🙂

40 лучших курсов по математике для программистов

Программистам нужно развивать логическое мышление и сообразительность, поэтому мы подобрали для вас 40 лучших курсов по математике.

Мы очень боимся математику. Почему? Потому что

мы боимся того, чего не понимаем.

А почему мы ее не понимаем? Из-за нашей системы образования и малого количества обучающих пособий для детей. Однако многие люди, которые не понимали и боялись математику в школе, начинают любить ее в университете.

Эта наука является неотъемлемой частью нашей жизни. Она нужна нам каждый день для решения повседневных проблем. А программистам математика нужна еще больше, ведь она прокачивает логику, сообразительность и творческое мышление.

Чтобы развиваться в программировании, необходимо знать хотя бы основы дискретной математики, линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей, криптографии, геометрии и статистики.

Ресурсы из этого списка помогут вам начать думать «математически».

Youtube-плейлисты

1. Основы линейной алгебры
2. Введение в высшую математику
3. Mathologar
4. PBS Infinite Series

Онлайн-курсы по математике

1. Основы линейной алгебры, Техасский университет в Остине
2. Математический анализ для абитуриентов, Делфтский технический университет
3. Введение в математическое мышление, Стэнфорд
4. Введение в дискретную математику, Калифорнийский университет в Сан-Диего
5. Математический анализ 1A: Дифференциальное исчисление, MIT
6. Математический анализ 1B: Интегральное исчисление, MIT
7. Математический анализ 1C: Системы координат и бесконечные последовательности, MIT
8. Математика для программистов, Pluralsight
9. Криптография 1, Стэнфорд
10. Теория игр, Стэнфорд и Университет Британской Колумбии
11. Наука о данных и математика, Университет Дьюка
12. Многомерный математический анализ, MIT
13. Введение в теорию вероятностей, Гарвард
14. Введение в теорию вероятностей – наука о неопределенности, MIT
15. Математика для машинного обучения, Имперский Колледж Лондона

Блоги и статьи

1. Дискретная математика на tutorialspoint
2. Координатная геометрия на tutorialspoint
3. Математика на портале Массачусетского Технологического Института
4. Декартовы координаты
5. Paul’s online math notes
6. Искусство программирования
7. Математическая статистика
8. Введение в математическую статистику
9. Евклидова геометрия

Книги по математике

1. Математика на Wikibooks
2. Дискретная математика и ее приложения, K. Rosen
3. Конкретная математика. Основание информатики, R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik
4. Теория категорий для информатики, M. Barr, C. Wells
5. 3D Math Primer для графики и разработки игр, F. Dunn, I. Parberry
6. Введение в координатную геометрию
7. Евклидова геометрия, R. Cochrane, A. McGettigan

Онлайн-ресурсы

1. Математика на Hackerrank
2. Khan Academy
3. Project Euler
4. Статистика и теория вероятностей на Khan Academy
5. Руководство по Евклидовой геометрии

Перевод статьи Dibakar Sutra Dhar: Be a Better Programmer with these 40 Mathematics Courses

Полезные статьи по математике

Математика для программиста: советы, разделы, литература

Наверняка вы задумывались над вопросом: нужна ли математика программисту? И если нужна, то как «приручить» эту самую математику?

Если у вас есть проблемы с математикой, вы решились на освоение предмета и не знаете, с чего начать, эта статья станет хорошим фундаментом для дальнейшего обучения. В ней собраны полезные советы, названы главные разделы математики для программиста и литература для самостоятельного обучения.

Человек, которому никогда прежде не приходилось сталкиваться с математическими рассуждениями, может испытывать некоторые трудности с решением задач, восприятием фактов. Ему трудно отличить истинные утверждения от ложных, понять, какие следствия вытекают из того или иного утверждения.

«Незнание математики грозит кашей в голове.»

— А. Савватеев, доктор физико-математических наук, эксперт отдела теоретических и прикладных разработок компании Яндекс, научный руководитель Лаборатории социального анализа при Университете Дмитрия Пожарского.

Статья разделена на несколько частей:

• советы;
• основные разделы математики для программиста;
• список полезной литературы.

1. Осознайте и примите тот факт, что хорошим математиком по одному желанию и щелчку пальцев стать невозможно. Все люди, добившиеся успехов в этом предмете, потратили на него часы упорного и напряжённого труда. Если вы встречаете человека, который решает математические задачи гораздо лучше вас, не стоит упрекать себя в отсутствии способностей к предмету или в отсутствии знаний.
2. Занимайтесь там, где вас ничто не может отвлекать; отключите телефон, выйдите из соц. сетей и проявите силу воли.
3. Занимайтесь ежедневно. Занимайтесь всегда и везде, где только возможно. Уберите из своих привычек бесцельный просмотр соцсетей, телевизора, увлечение видеоиграми и т. п. Вы сразу же ощутите, сколько свободного времени у вас появится. Используйте его с толком.
4. Не занимайтесь слишком долго. Делайте перерывы. Не засиживайтесь над одной задачей часами напролёт, это может привести к стрессу. Иногда полезно менять деятельность на день-два, чтобы отдохнуть, но не слишком часто.
5. Изучение нового в математике построено на уже приобретенных знаниях, поэтому все время повторяйте пройденное и упражняйтесь в решении задач. Если у вас есть пробелы в математике по программе пятого класса (да, бывает и такое), начните изучение с программы пятого класса. В этом нет ничего постыдного.
6. Обязательно заведите две тетради: одну для теории, другую для практики. Пронумеруйте каждый лист. На заднем листе тетради с теорией составьте оглавление (тема — страница). В будущем это вам очень пригодится.
7. Если в задаче у вас выходит неверный ответ, решите её ещё раз. Не надо придумывать себе оправдания и откладывать повторное решение. В таких ситуациях важно не просто найти правильный ответ, но и понять, почему в прошлый раз вы решили задачу неверно. Помните, что задача стоит потраченного времени.
8. Не стесняйтесь просить помощи у человека, разбирающегося в предмете. Идеальным вариантом будут платные занятия с высококвалифицированным репетитором, если у вас есть такая возможность.

• Логика и дискретная математика.Тут же основы теории множеств, теории чисел, теории графов. Базовые вещи начинают изучать ещё в школе.
• Математический анализ. С одной стороны, он демонстрирует всю красоту и мощь математики, а с другой – агонию математического образования. Раздел сложен в плане понимания, так что тут без посторонней помощи не обойтись. Необходим людям, собирающимся в Computer Science.
• Линейная алгебра. Необходимость освоения раздела зависит от будущих целей. Если вы хотите пойти в GameDev, VR, графику и проч. – линейная алгебра обязательна. Развивает абстрактное мышление, что важно в программировании в целом. Представлять себе многомерные структуры и их взаимосвязь: это очень круто.
• Статистика и комбинаторика. Базовый раздел, который начинают изучать ещё в школе. Темы из этого курса в работе программиста встречаются практически ежедневно.
• Теория алгоритмов. В русском языке принято такое название, однако оно не очень удачное. В оригинале это звучит как “Theory of Computation”. Для изучения потребуется основной мат. аппарат, поэтому начинать с этого раздела не рекомендуется. Зато после изучения вы понимаете, почему алгоритмы выполняются, и компьютеры на самом деле работают всегда.

Как отдельный пункт, стоит вынести криптографию. Она не изучается в школе и даже в некоторых технических вузах. К ней стоит приступать только с хорошей мат. подготовкой (разбираться во всех темах, описанных выше). Однако её необходимо знать, т.к. криптография используется повсеместно: от сообщений в мессенджерах до криптовалют.

Школьная программа:

• Сборник задач по алгебре. 8 — 9 класс. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман. Создан для учащихся в классах физико-математического профиля.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень) Мордкович А.Г., Семенов П.В. (2009, 424с.)
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник (профильный уровень). Мордкович А.Г. и др. (2009, 343с.
• Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник. (базовый и углублённый уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. (2014, 311с.)
• Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Задачник. (базовый и углублённый уровни). Мордкович А.Г. и др. (2014, 264с.)

Вузовская математика:

Наша статья с подборкой материалов по вузовской математике.

• Задачник Смирнов Ю.М. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб. пособие для студентов ун-тов, обучающихся по специальностям »Математика» и »Приклад. математика»
• Основы высшей алгебры — Сушкевич А. К. (1937 г.)
• Путь в современную математику — Сойер У. У. (1972 г.)
• Курс математического анализа. — Кудрявцев Л.Д.

Комбинаторика:

• Популярная комбинаторика — Н. Я. Виленкин (1975 г.)
• Статистика. Вероятность. Комбинаторика — Я. С. Бродский
• Комбинаторика для программистов — В. Липский
• Комбинаторика — М. Холл (1970 г.)
• Введение в комбинаторный анализ — Дж. Риордан (1963 г.)

Дискретная математика:

• Введение в дискретную математику — С. В. Яблонский
• Графы и их применение — Л. Ю. Березина
• Дискретная математика — Горбатов В.А., Горбатов А.В., Горбатова М.В. (2006 г.)

Видеокурс «Основы линейной алгебры» 

Видеокурс по алгоритмам

Основные операции

Основные операции, которые используются в математике это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций существуют ещё и операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Вообще, операции можно разделить на два вида:

1. операции действия;
2. операции отношения.

Операции действия это:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (×)
• деление ( ÷ ).

Операции отношения это:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠).

Операции отношения

Начнем с операций отношения. Слово «отношение» говорит само за себя. Примеры из жизни: что-то имеет отношение к чему-то. Папа имеет отношение к маме. Это отношение называют браком:

Примеров отношений множество. Можно сказать, что наш красивый мир, который развивается гармонично, тоже состоит из отношений.

Если пятёрка больше тройки, то мы говорим, что «пятерка больше по отношению к тройке» и записываем как 5 > 3 (читается: пять больше, чем три). Острый угол знака отношения должен быть направлен в сторону меньшего числá. В нашем примере число 3 было меньше, чем число 5, поэтому острый угол знака отношения был направлен в сторону числа 3.

Ещё пример. Число 11 меньше, чем число 15. Эту фразу можно записать так:

11 < 15

В математике с помощью отношений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Можно записать, что одно выражение равно другому, либо какое-то действие недопустимо по отношению к какому-нибудь объекту, числу, закону.

Например, знаменитая фраза «на ноль делить нельзя» записывается следующим образом:

Не будем опережать события и забегать вперёд. Просто скажем, что в этом выражении вместо a и b могут стоять любые числа. Но потом говорится, что b не должно быть равным нулю.

Знак равенства = стáвится между величинами и говорит о том, что эти величины равны между собой.

Например, «пять равно пять» записывается как 5 = 5. Понятно, что две пятерки равны между собой. Помимо простых чисел, знаком равенства могут соединяться более сложные выражения, например: 9 + x + y = 4 + 5 + x + y.

Ещё пример: если один большой арбуз весит 20 кг, а два маленьких арбуза весят по 10 кг каждый, то между арбузом в 20 кг и двумя арбузами по 10 кг можно поставить знак равенства. Это отношение можно прочитать так: «один арбуз весом в 20 килограмм равен весу двух арбузов, каждый из которых весит 10 кг». Ведь 20 кг = 10 кг + 10 кг.

Знак не равно ≠ ставится между величинами тогда, когда они не равны между собой.

Например, 5 ≠ 7. Ясно, что пятёрка не равна семёрке. Ещё примеры: отличник не равен двоечнику, собака не равна кошке, мандарин это не апельсин:

отличник  ≠  двоечник

собака  ≠  кошка

мандарин  ≠  апельсин

Вы можете осмотреться вокруг себя и найти множество примеров отношений, которые можно истолковать с точки зрения математики.

Операция сложения

Операция сложения обозначается знаком «плюс» (+) и используется, когда складывают числа.

Числа, которые складывают называются слагаемыми. Число, которое получается в результате их сложения, называется суммой.

Например, сложим числа 3 и 2.

Записываем 3 + 2 = 5

В этом примере 3 − это слагаемое, 2 − второе слагаемое, 5 − сумма.

В будущем придётся складывать довольно большие числа. Но сложение этих больших чисел в конечном итоге будет сводиться к тому, чтобы сложить маленькие.

Поэтому нужно научиться складывать маленькие числа в диапазоне от 0 до 9. Например:

2 + 2 = 4

3 + 4 = 7

7 + 2 = 9

0 + 7 = 7

Можете потренироваться, записав в тетради несколько простых примеров. Поверьте, ничего в этом постыдного нет.

Операция вычитания

Операция вычитания обозначается знаком «минус» (−) и используется тогда, когда из одного числа вычитают другое.

Число, из которого вычитают другое число, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают из уменьшаемого числа, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате, называется разностью.

Например, вычтем из числа 10 число 2.

10 − 2 = 8

В этом примере число 10 − это уменьшаемое, число 2 − вычитаемое, а число 8 − разность.

Операция умножения

Обозначается знаком умножения (×) и используется, когда одно число умножается на другое. Слово умножение говорит само за себя — какое-то число увеличивается в определенное количество раз, то есть множится.

Например, запись 4 × 3 означает, что четверка в ходе операции умножения будет увеличена в три раза.

Число, которое увеличивают, называется множимым. Число, которое показывает во сколько раз нужно увеличить множимое, называется множителем. Число, которое получается в результате называется произведением.

Например, умножим число 4 на 3.

4 × 3 = 12

В этом примере 4 − это множимое, 3 − множитель, 12 − произведение.

Запись 4 × 3 можно понимать как «повторить число 4 три раза». Например, если у нас имеются четыре конфеты и мы повторим их три раза, то полýчится двенадцать конфет:

Другими словами, умножение 4 на 3 можно представить как сумму трёх четвёрок. Схематически это выглядит следующим образом:

Умножение можно понимать и другим образом, а именно как взятие чего-то определенное количество раз. Допустим, в вазе лежат конфеты. Возьмём четыре конфеты один раз:

4 конф. × 1 = 4 конф.

У нас в руках окажется четыре конфеты.

Попробуем взять четыре конфеты 2 раза:

4 конф × 2 = 8 конф.

У нас в руках окажется восемь конфет.

Попробуем взять четыре конфеты ноль раз, то есть ни разу:

4 × 0 = 0

У нас на руках не окажется конфет, поскольку мы ни разу их не взяли. Поэтому умножение любого числа на ноль даёт в ответе ноль.

В некоторых книгах множимое и множитель называют одним общим словом — сомножители. Например, в записи 4 × 3 множимым является 4, а множителем 3, но эти два числа ещё можно назвать сомножителями. Ошибкой это не будет.

В будущем мы будем умножать довольно большие числа. Но умножение больших чисел свóдится к тому, чтобы умножить маленькие. Поэтому сначала нужно научиться умножать маленькие числа. Благо, они уже перемножены и записаны в специальную таблицу, которую называют таблицей умножения. Если вы живёте в России или в странах бывшего СССР, то наверняка знаете эту таблицу наизусть. Если не знаете, обязательно выучите!

Операция деления

Обозначается знаком деления (÷ или : ) и используется тогда, когда делят числа.

Число, которое делят называют делимым. Число, которое указывает на сколько частей делят делимое, называется делителем. Число, которое получается в результате, называется частным.

Например, разделим число 10 на 2.

10 :­ 2 = 5

В этом примере число 10 − это делимое, число 2 − делитель, число 5 − частное.

Если у нас имеются десять конфет и мы разделим их на две части, то в каждой части полýчится по пять конфет:

Так можно понять смысл записи 10 :­ 2 = 5.

Задания для самостоятельного решения

Большинство людей решат эти задания в уме что конечно похвально. Однако, рекомендуется выполнить эти задания именно в тетради, взяв в руку карандаш. К математике следует привыкать посредством решения простых примеров.

Задание 1. Запишите в тетради, что 2 больше, чем 1

Задание 2. Запишите в тетради, что 2 меньше, чем 3

Задание 3. Запишите в тетради, что 5 больше, чем 2

Задание 4. Запишите в тетради, что 8 больше, чем 5

Задание 5. Запишите в тетради, что 10 больше, чем 8

Задание 6. Запишите в тетради, что 1 равно 1

Задание 7. Запишите в тетради, что 10 равно 10

Задание 8. Запишите в тетради, что 7 не равно 8

Задание 9. Запишите в тетради, что 15 не равно 12

Задание 10. Запишите в тетради, что 3 не равно 2

Задание 11. Сложите числа 2 и 3

Задание 12. Сложите числа 7 и 2

Задание 13. Сложите числа 4 и 3

Задание 14. Сложите числа 10 и 5

Задание 15. Сложите числа 12 и 8

Задание 16. Вычесть из числа 5 число 2

Задание 17. Вычесть из числа 9 число 4

Задание 18. Вычесть из числа 10 число 8

Задание 19. Вычесть из числа 12 число 4

Задание 20. Вычесть из числа 20 число 12

Задание 21. Умножьте 2 на 3

Задание 22. Умножьте 3 на 4

Задание 23. Умножьте 5 на 3

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Изучение математики

Зачем изучать математику?

Технологии повсюду вокруг нас, и вам нужна математика, чтобы овладеть ими!

И математика — это не только числа, это еще и модели!

Значит, для таких профессий, как мода и дизайн интерьера, нужны математические навыки.

Математика пригодится и в повседневной жизни:

• Вложение денег (процентные ставки, прибыль и т. Д.)
• Сметная стоимость
• Шоппинг (неужели выгодно?)
• Понимание компьютеров
• Проектирование комнат и садов
• Планирование поездок

Математика также улучшает наши умственные способности, поскольку учит нас логическому мышлению.

И вообще, это просто забава: какой еще предмет о решении головоломок?

Как быть экспертом

Есть два основных этапа:

Использование — это так важно! Ответы на вопросы помогут вам систематизировать идеи в уме *.

Постарайтесь выполнять около 1 часа практики самостоятельно каждый день *

Как читать по математике

Математика говорит о многом в коротком пространстве .

Пример на английском языке: «Мы не знаем, сколько стоят степлеры или лотки, но знаем, что офис-менеджер купил 15 степлеров и 11 лотков на общую сумму 73 доллара».

А вот по математике: 15 с + 11 = 73

Так что хорошо перечитывать, ходить взад и вперед и играть с идеями.

Прочтите, подумайте об этом, прочтите еще раз, запишите или набросайте, а затем используйте (отвечая на вопросы), все это помогает проникнуть в ваши мысли.

Пример: преобразование Цельсия в Фаренгейт

° F = (° C × ⁹ / ₅ ) + 32

• Прочтите его сначала, чтобы увидеть, что с одной стороны ° F (что означает по Фаренгейту), а с другой стороны — ° C, (Цельсия).
• Теперь просмотрите это еще раз и увидите, что ° C умножить на 9/5 и подумайте: «Интересно, почему это делается? Почему 9/5?»
• Тогда обратите внимание, что добавлено 32 … почему это так?
• Может быть, вы могли бы сделать эскиз (как показано ниже)
• Затем используйте его самостоятельно, сделайте несколько преобразований и посмотрите, как это работает

Сделайте наброски

Наброски также очень полезны при ответе на вопросы.

Работать аккуратно

Имейте гордость за свою работу, даже если никто другой ее не увидит.

Не торопитесь!

Математика — это не чтение страниц … это построение концепций в уме.

Так что не думайте: «Я прочитал сегодня 2 страницы», вместо этого думайте: «Теперь я лучше понимаю графики».

Важно изучать одну идею за раз, убедиться, что вы ее понимаете, и выполнять множество упражнений, чтобы стать экспертом.

Важно: если вы пропустите раздел, остальное может не иметь смысла.

Вы запутаетесь, расстроитесь и начнете ненавидеть эту тему.

Лекарство?

• Вернуться туда, где это имело смысл,
• затем снова плавно двигаться вперед,
• делать много практических вещей например решать вопросы и делать наброски

И вы скоро «вернетесь в нужное русло»

Практика, Практика, Практика

У меня много вопросов.

Именно поэтому мы разработали базу данных вопросов по математике.

Если вам нужно сдать экзамен, найдите прошлые экзамены и выполните их *.

Читал лот

Возьмите несколько книг и прочтите их. Проведите время на математических сайтах (например, на этом!) И присоединитесь к форуму (например, на форуме Math is Fun).

Придумывайте свои собственные способы

У вас есть свой собственный стиль обучения .

Не просто следуйте инструкциям, которые вам показывают, попробуйте свои собственные идеи!

Играйте с идеями, которые вы изучаете.

И попробуйте прочитать на одну и ту же тему из разных мест, вы можете найти такие, которые имеют для вас гораздо больше смысла.

Ваш разум — удивительный и уникальный инструмент, и вы хотите использовать его наилучшим образом.

И изучение математики — хороший способ улучшить ее!

Все об идеях

Важнее знать идеи , чем запоминать формулы.

Если вы знаете, как работает , вы всегда можете воссоздать формулы, когда они вам понадобятся.И вы также можете делать более умные вещи с вашими идеями.

* Библиография:

• Рисование «неотъемлемая часть» обучения естествознанию https://www.nottingham.ac.uk/news/pressreleases/2011/august/drawing-integral-to-science-learning.aspx
• Практика поиска дает больше знаний, чем тщательное изучение с концептуальным картированием (Джеффри Д. Карпике и Дженелл Р. Блант)
  Наука 20 января 2011 г .: 1199327
• Тестирование улучшает память https: // www.ologicalscience.org/index.php/news/releases/testing-improves-memory.html
• Практическое тестирование защищает память от стресса
  https://now.tufts.edu/news-releases/practice-testing-protects-memory-against-stress
• Сколько домашнего задания по математике, естествознанию — слишком много?
  https://www.apa.org/news/press/releases/2015/03/math-science-homework.aspx
• Худшие и лучшие советы и привычки учебы на основе психологических исследований
  https: // cognitiontoday.ru / 2019/04 / худшие-и-лучшие-советы-исследования-привычки-от-психологического-исследования-как-к /
• Х. Сигмундссон, Р. К. Дж. Полман и Х. Лорос (2013) Изучение индивидуальных различий в математических навыках детей: корреляционный и размерный подход . Психологические отчеты: Том 113, Выпуск, стр. 23-30. DOI: 10.2466 / 04.10.PR0.113x12z2 https://www.eurekalert.org/pub_releases/2013-12/nuos-nmg121313.php

.

онлайн-курсов математики | Гарвардский университет

Перейти к основному содержанию

Просмотреть все курсы

• Искусство и дизайн
• Бизнес
• Компьютерные науки
• Наука о данных
• Образование и преподавание
• Здоровье и медицина
• Гуманитарные науки
• Математика
• Программирование
• Наука
• Общественные науки

Гарвардские онлайн-курсы

Продвигайтесь по карьерной лестнице.Развивайте свою страсть. Продолжай учиться.

Назад

Фильтры курса

Поиск

Предметная область

• Художественный дизайн

  • Дизайн и творчество

    • Креативность

    • дизайн

    • Дизайн-мышление

    • Инновации

    • Дизайн интерьера

    • UX

  • Цифровых средств массовой информации

    • 3D

    • Анимация

    • Цифровых средств массовой информации

    • Игровой дизайн

    • Графический дизайн

    • Видео игры

  • Драматическое искусство

    • Танец

    • Фильм

.{a_2} \ dots $, то количество делителей равно $ (a_1 + 1) (a_2 + 1) (a_3 + 1)… $. Его описание было менее экономичным, но все же точным.

Его виртуальный друг Сюэ сказал: «Это здорово. Давай поищем это в Википедии ».

Затем: «Нет. Давай не будем искать. Давайте представим, что мы этого не знаем, и посмотрим, сможем ли мы это доказать ». Именно это понимание его собственного обучения, а не какой-либо математический прорыв, я отмечаю в подзаголовке к этому разделу.

Дорогой читатель! Клянусь тебе на могиле Галуа, что я не выдумываю это.Я не буду здесь рассказывать и об остальной части виньетки.

Читать далее →

Опубликовано в Активное обучение в серии Математика 2015, Практика в классе, Коммуникация, Опыт преподавателей, Образование до 12 лет, Исследования в области математического образования, Онлайн-образование, Информационно-просветительская деятельность, Опыт учащихся
|

Tagged активное обучение, сообщество, разнообразие, математика K-12, математическая практика, математическое мышление, решение проблем, продуктивная борьба
|

Бен Блюм-Смит, редактор

По причинам, которые здесь не рассматриваются, я недавно выучил этот танец:

Хотя у меня нет опыта в каком-либо стиле танца, теперь я могу делать все, от начала до конца.Я очень горжусь.

Моя цель в достижении этой цели не была связана с математикой или преподаванием. Тем не менее, этот опыт красноречиво показал определенную диалектику математического образования.

Процедурные и концептуальные

Читать далее →

Опубликовано в Практика работы в классе, Опыт учащихся
|

Джефф Сузуки

CUNY Brooklyn

Принудительный переход на дистанционное обучение весной 2020 года застал большинство из нас врасплох.Одна из самых больших проблем, с которыми мы сталкиваемся, — это наличие бесплатных или бесплатных онлайн-калькуляторов, которые показывают все шаги, необходимые для создания идеального решения для учебника. Учащийся может просто ввести «Решить» или «Найти производную от», «Оценить» или «Решить», и на сайте будет предложено пошаговое решение, неотличимое от того, которое мы показываем в классе. С приближением осени 2020 года, когда нет никаких признаков отказа от дистанционного обучения, мы должны столкнуться с болезненной реальностью: каждый вопрос, на который можно ответить, выполнив последовательность шагов, теперь бессмысленен как способ измерения обучения учащихся.

Итак, как мы можем оценить обучение студентов? Те из нас, кому посчастливилось преподавать курсы с небольшим набором студентов, имеют множество вариантов: устные экзамены; семестровые проекты; студенческие интервью. Но для остальных из нас лучший вариант — задавать вопросы, устойчивые к Интернету. Вот три стратегии для написания таких вопросов:

● Требовать неэффективности.

● Ограничьте информацию.

● Переместите линии

Читать далее →

Дэниела Чазана, Мэрилендский университет; Уильям Вивиани, Мэрилендский университет; Кайла Уайт, старшая школа Paint Branch и Мэрилендский университет

В 2012 году, через 100 лет после смерти Анри Пуанкаре, журнал для членов Королевского математического общества Нидерландов опубликовал «интервью» с Пуанкаре, для которого он «написал» как вопросы, так и ответы (Verhulst, 2012).Отвечая на вопрос об элегантности в математике, Пуанкаре делает приписываемое ему знаменитое загадочное замечание: «Математика — это искусство давать одни и те же имена разным вещам» (стр. 157).

В этом сообщении блога мы рассматриваем перспективы изучающих математику, рассматривая, как учащиеся могут рассматривать два использования слова «касательная» — с кругами и в контексте производной — как «присвоение одного и того же имени разным вещам», но, как отрицательный, как препятствующий их пониманию.Мы также принимаем во внимание изобретательность, на которую указывает Пуанкаре, и спрашиваем об искусности преподавания математики; возможно, один из аспектов искусного обучения заключается в том, чтобы помочь учащимся понять, почему математики делают такой выбор.

Наши усилия были в контексте технологии, которая просит студентов приводить примеры математического объекта, который имеет определенные характеристики, или использовать примеры, которые они создают, чтобы поддержать или отклонить утверждение о таких объектах. ¹ Затем учитель может собрать эти несколько примеров и использовать их для достижения своих целей.

Читать далее →

Переверните свой класс: социальное дистанцирование, издание

Джеффа Сузуки

Если вы не жили под камнем в течение последнего десятилетия, вы знаете, что одним из модных словечек в образовании является активное обучение : Будьте проводником на стороне, а не мудрецом на сцене. Один из наиболее распространенных подходов к активному обучению — это так называемый перевернутый или перевернутый класс. В перевернутом классе студенты смотрят дома лекции, а затем приходят в класс, чтобы решать задачи.На самом деле это реализация очень традиционного подхода к педагогике в 21 веке, а именно чтения учебника перед тем, как прийти в класс. Многие из нас приняли эту идею и изменили свой подход к обучению.

Затем наступила эра социального дистанцирования и принудительного перехода на дистанционное обучение. Может показаться, что у тех, кто перешел на модель перевернутого класса, было преимущество: у нас лекций уже онлайн. И это правда. Но вторая часть перевернутого класса включает в себя рабочие задачи в классе. Сейчас это невозможно, и те из нас, кто принял перевернутую модель класса, провели последние несколько месяцев в экзистенциальной агонии. «Мудрец на сцене» все еще может читать лекции через Zoom, но «побочный гид» не может вести.

Новая нормальность?

И все же… сейчас как никогда важно быть проводником на стороне.

Читать далее →

Опубликовано в Практики в классе, Интернет-образование
|

Карен Холлебрандс, Эллисон Маккалок, Дэниел Шер и Скотт Стекети

Содействие пониманию и оценке глубоких и красивых нитей, которые объединяют, казалось бы, разрозненные области математики, является одним из наиболее ценных результатов обучения.Две такие области, которые созрели для построения мостов, — функции и геометрические преобразования — находятся в центре внимания нашего проекта NSF «Формирование связей через геометрию функций». В этом посте мы описываем педагогические преимущества знакомства учащихся с функциями через призму геометрических преобразований.

Геометрические преобразования как функции

Наиболее распространенные представления функций являются символьными и числовыми по своей природе. Такой упор на число ограничивает представление учащихся о разнообразии математических соотношений, которые могут быть представлены в виде функций.Таким образом, это способствует распространенным заблуждениям студентов. Студенты могут сделать вывод, что:

• каждая функция превращает входное число в выходное число;
• каждая функция может быть выражена в виде алгебраической формулы;
• формула — это первичное представление функции, и все остальные представления являются производными от нее; и
• Окончательный тест функции требует построения графика в прямоугольных координатах и ​​применения теста вертикальной линии.

Хотя студенты изучают отражения, перемещения, вращения, расширения и отражения скольжения в курсе геометрии, они обычно не рассматривают их как функции; функции, с которыми они сталкиваются в алгебре, всегда имеют числа на входе и выходе. Мы можем расширить кругозор студентов и углубить их концепцию функции, рассматривая геометрические преобразования как функции, которые принимают евклидову точку в качестве входных данных и создают другую точку в качестве выходных. Коксфорд и Усискин стали первопроходцами Продолжить чтение →

Опубликовано в Активное обучение в математике, 2015 г.
|

, Сара Хаген

Недавно, будучи аспирантом, я проводил недельный учебный лагерь для поступающих в аспирантуру по математике в Университете штата Орегон.Это была моя первая попытка преподавать в рамках модели активного обучения, и это был полностью преобразующий опыт для меня как инструктора. Изменение моего собственного отношения к обучению и педагогике было настолько резким и всеобъемлющим, что я почувствовал себя обязанным немедленно записать свои мысли об этом опыте. Читать далее →

Бен Блюм-Смит, редактор

«Трудность… в том, чтобы научиться думать совершенно изумленным и сбитым с толку о вещах, которые, как вы думали, вы всегда понимали.”- Пьер Бурдье, Язык и символическая сила , стр. 207

Доказательство является центральным эпистемологическим методом чистой математики и наиболее уникальной практикой среди дисциплин. Чтение и написание доказательств — важные навыки ( или основные навыки?) Для многих работающих математиков.

Тем не менее, студенты, осваивающие эти навыки, особенно впервые, находят их чрезвычайно сложными . ^[1]

Почему? Что мешает? И каковы процессы, с помощью которых студенты эффективно приобретают эти навыки?

Эти вопросы широко обсуждались как исследователями, так и учителями, ^[2] , и они лично увлекали меня на протяжении большей части моего двадцатилетнего обучения математике.

В этом сообщении в блоге я хотел бы исследовать один уголок этой головоломки.

Читать далее →

Опубликовано в Исследования в области математического образования, Опыт учащихся
|

Автор: Мэтт Стэмпс, Йельский колледж Нью-Йорка

Осенью 2018 года, когда Йельский колледж штата Нью-Йорк пересматривал учебную программу по специальности «Математические, вычислительные и статистические науки» (MCS), я провел несколько недель, читая о программах по математике в аналогичных учебных заведениях.Общей целью обучения среди многих программ был вариант «подготовки студентов к обучению на протяжении всей жизни». Мне очень нравится эта цель, потому что, среди многих других причин, она напоминает учителям, что ученики — это люди, чья жизнь выходит за рамки учебы, и напоминает ученикам, что обучение не ограничивается ранними годами их жизни. Размышляя о своей учебной жизни до сих пор, я не могу не заметить, насколько сильно изменился способ моего обучения с тех пор, как я был студентом.Некоторые из этих различий возникли естественным образом с изменением моих обстоятельств с годами, в то время как другие могли быть устранены, когда я был еще студентом.

В этом посте я хочу поделиться некоторыми наблюдениями о том, как изменился мой подход к обучению с тех пор, как я начал работать профессиональным математиком, и как я изменил свой подход к преподаванию в надежде помочь моим ученикам развить более эффективное и актуальное обучение. стратегии ранее в их математических путешествиях.

Читать далее →

Интервью с Ари Ние с комментариями Ивонн Лай

Как и многие из нас, этой весной я начал преподавать онлайн. В отличие от многих из нас, я начал делать это в начале семестра. Я совместно преподаю в классе в штате Мичиган и живу в Небраске. Один из самых полезных разговоров, которые у меня были при подготовке к этому заданию, произошел в 2013 году, задолго до нынешней эпидемии коронавируса.Математический факультет Университета Небраски-Линкольн рассматривал возможность синхронной онлайн-версии курса математики для сельских учителей. Я побеседовал с Ари Ние, тогда инструктором по искусству решения проблем, о том, что нужно для преподавания онлайн, особенно с помощью технологии чат-форумов. (Затем Ари стал лектором по письму, риторике и профессиональному общению в Массачусетском технологическом институте; а теперь он дизайнер игр в Wizards of the Coast.) В конце концов, этот курс проводился асинхронно (и во многом соответствовал данным советам. в предыдущем посте).Тем не менее, многие советы, которые я получил 7 лет назад, устарели. С разрешения Ари, я делюсь отрывками из нашей беседы в этом посте, отредактированным для удобства чтения, и с комментариями от меня сегодня.
Читать далее →

.

Преподавание математики с помощью концептуальной мотивации и практического обучения

Это практический концептуальный документ, описывающий избранные средства для практического обучения и концептуальной мотивации на всех уровнях математического образования. В нем подробно описывается подход, используемый авторами для разработки идей для практиков преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на практическом обучении в сочетании с естественной мотивацией, проистекающей из здравого смысла, является эффективным.Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и классические известные задачи являются важными инструментами мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках практического обучения. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под единым зонтом возможна, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом широком спектре. Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны на практике школьным учителям и преподавателям вузов.Авторы нашли прагматическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически на любом этапе академической жизни студентов.

1. Введение

В настоящее время студентам требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего их математического образования, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Происхождение этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, которая включает «развитие любого рода артистических способностей, особых научных способностей, эффективного гражданства, а также профессиональной и деловой активности. профессий »([1], с.307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции опыта обучения студентов высших учебных заведений в дисциплинах, связанных с сестринским уходом, и аналогичными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «возможно, можно полностью интегрировать практический опыт в совокупность опыта высшего образования, способствующего развитию прочных и критических профессиональных знаний »(стр. 840). Главный аргумент настоящей статьи состоит в том, что в контексте математического образования практическое обучение (концепция, представленная в разделе 3) — это сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концептуальной мотивацией (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20.С этой целью в этом концептуальном документе, основанном на практических примерах, подробно описывается подход, использованный авторами для разработки идей для практиков преподавания математики, предлагается обзор избранных средств практического обучения в рамках формального математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения на практике [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы, подтверждающие ценность практического обучения для всех вовлеченных лиц (на уровне колледжа, добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского профессионала-нематематика) (разделы 2–4).Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики сигнатур (CASP) и нецифровой технологии, а также эффективное опросы с обучением действием (разделы 5 и 6).

Учащиеся могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду с помощью обширных учебных программ по математике. Практическое обучение в математическом образовании в сочетании с механической теорией переносит математические темы в реальный мир. Естественно, что примеры начального уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется практическим обучением на вторичном уровне (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто можно знакомить с учащимися начальных, средних и высших учебных заведений (Раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только студентов, но и самих преподавателей. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, практическое обучение следует использовать на всех уровнях математического образования, зная, что будущие преподаватели входят в число нынешних учеников. Конечно, возможность участвовать в открытиях очень мотивирует всех, включая студентов и учителей математики, по крайней мере.

2. Любопытство и мотивация

Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, является спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия связаны с неоднородностью программ подготовки учителей, разногласиями между формализмом и смыслом между преподавателями математики и различными взглядами на использование технологий. Мы считаем, что надлежащий способ преподавания математики на всех уровнях — это делать это через приложения, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математического аппарата.Реальные приложения позволяют заинтересованным людям учиться математике. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на уровне высшего образования. Независимо от возраста учащихся, можно рассматривать любопытство как мотивацию «приобретать или преобразовывать информацию в обстоятельствах, которые не представляют немедленной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любопытство и мотивация — тесно связанные психологические черты.

Большинство исследований, посвященных развитию любознательности, касается начального образования. Однако эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать профессионалом высокого уровня. Например, Видлер [12] проводил различие между эпистемическим и перцептивным любопытством, которые проявляются, соответственно, «исследованием знания» и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-то научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенное внимание данные объектам в ближайшем окружении ребенка, например, когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не симметричную фигуру на экране »(стр.18). Точно так же взрослые учащиеся на высшем уровне могут быть мотивированы призывом своего учителя математики задать вопросы, касающимся информации, которой они поделились, или их опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира… [используя] некоторые причины максимум и минимум »(Эйлер, цит. по [13], с. 121).

Связанный с высшим уровнем, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоторого внутреннего стандарта качества» (стр.67). Есть также взрослые ученики, которые «заинтересованы в совершенстве ради него самого, а не ради вознаграждения, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] признает, что внутренняя мотивация в изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения проблем независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть вовлечены… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижения в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение (столетней давности) гипотезы Пуанкаре геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетия «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса («Медаль Филдса»). Нобелевская премия ») и (1 миллион долларов) Clay Millennium Prize (https: // www.Claymath.org/).

Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из дошкольных преподавателей математики, как сосредоточить внимание на любопытстве, когда преподавание математики: «Мотивируйте студентов тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы продвинуть их через то, что не весело, но необходимо» (стр.86). Именно такую ​​мотивацию авторы называют концептуальной мотивацией. В частности, в этой статье термин «мотивация концепции» означает стратегию обучения, с помощью которой, используя любопытство учащихся в качестве стержня, введение новой концепции оправдывается за счет ее использования в качестве инструмента в приложениях для решения реальных проблем. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью фиксировать увеличение большого количества объектов другой такой величиной, концепция иррационального числа может быть мотивирована необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геодиской на начальном уровне), или концепция интеграла может быть мотивирована необходимостью найти области криволинейных плоских фигур.

Еще один математически значимый инструмент мотивации — конкретность. Согласно Дэвиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказываемых миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» — подходящий синоним мотивации в отношении математического образования. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты объединяются и синтезируются. Цель изучения математики — конкретизировать понятия, как теоретические, так и прикладные.Полезно иметь четкое понимание чего-либо. Люди по своей природе хотят иметь «полное» знание определенных вещей. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем беспокойство, связанное с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, вовлеченные в математическое образование. Даже на административном уровне существует понимание, что «Основная учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить множество жизненно важных областей обучения, что сделает вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, которые глобальные реальности требуют »([18], курсив добавлено), где мы делаем акцент на« реалиях ».Это мотивация для всех, поскольку все мы хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация у взрослых учащихся пропорционально выше, чем у детей, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды преподавателей определенных курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные планы.

До недавнего времени термины «промышленный» и «технический» имели довольно уничижительную коннотацию в математическом образовании.Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему преобладает в большинстве классных комнат. Однако в изучении математической теории часто используется некоторая «отрасль» или «техника», поэтому эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно выделить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает теорию или возможный реальный

.