Лямбда стремится к бесконечности: — Википедия

Лямбда-точка — Lambda point — qaz.wiki

График зависимости удельной теплоемкости от температуры.

Точка Лямбды является температурой , при которой нормальный жидкости гелия (гелий I) , делает переход к сверхтекучему гелию II (около 2,17 K при 1 атмосфере ). Самым низким давлением, при котором могут сосуществовать He-I и He-II, является тройная точка пар-He-I-He-II при 2,1768 К (-270,9732 ° C) и 5,048 кПа (0,04982 атм), что является «насыщенным паром. давление »при этой температуре (чистый газообразный гелий в тепловом равновесии над поверхностью жидкости в герметичном контейнере). Наивысшее давление, при котором могут сосуществовать He-I и He-II, — тройная точка ОЦК -He-I-He-II с твердым гелием при 1,762 К (-271,388 ° C), 29,725 атм (3011,9 кПа).

Название точки происходит от графика (изображенного), который получается в результате построения зависимости удельной теплоемкости от температуры (для заданного давления в указанном выше диапазоне, в показанном примере — 1 атмосфера), который напоминает греческую букву лямбда . Удельная теплоемкость имеет резкий пик при приближении температуры к лямбда-точке. Вершина пика настолько острая, что критический показатель, характеризующий дивергенцию теплоемкости, может быть точно измерен только в условиях невесомости, чтобы обеспечить однородную плотность в значительном объеме жидкости. Следовательно, теплоемкость была измерена в пределах 2 нК ниже точки перехода в эксперименте, включенном в полезную нагрузку космического челнока в 1992 году.

Хотя теплоемкость имеет пик, она не стремится к бесконечности (вопреки тому, что может предполагать график), но имеет конечные предельные значения при приближении к переходу сверху и снизу. Поведение теплоемкости вблизи пика описывается формулой где является пониженной температурой, температура точки лямбды, константы (различные выше и ниже температуры перехода) и α является критическим показателем : . {- \ alpha} + B _ {\ pm}}тзнак равно|1-Т/Тc|{\ displaystyle t = | 1-T / T_ {c} |}Тc{\ displaystyle T_ {c}}А±,B±{\ displaystyle A _ {\ pm}, B _ {\ pm}}αзнак равно-0,0127(3){\ Displaystyle \ альфа = -0,0127 (3)}

Приведенное экспериментальное значение α существенно не согласуется с наиболее точными теоретическими определениями, полученными с помощью методов высокотемпературного расширения, методов Монте-Карло и конформного бутстрапа .

Смотрите также

Ссылки

внешние ссылки

<img src=»https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>

Лямбда-точка Википедия

Лямбда-переход в жидком гелии: поведение удельной теплоёмкости при низких температурах

Лямбда-точка — температура (около 2,17 K), ниже которой жидкий гелий (гелий I), переходит в состояние сверхтекучести (гелий II).

Если быть более точным, существуют нижняя лямбда-точка (при 2,172 K и 0,0497 атм) и верхняя лямбда-точка (при 1,76 K и 29,8 атм).{-\alpha }+B_{\pm }}, где t=|1−T/Tc|{\displaystyle t=|1-T/T_{c}|} есть приведенная температура, Tc{\displaystyle T_{c}} температура лямбда-точки, A±,B±{\displaystyle A_{\pm },B_{\pm }} константы принимающие различные значения выше и ниже точки перехода, а α≈−0.01{\displaystyle \alpha \approx -0.01} критический индекс. Так как этот индекс имеет отрицательное значение для перехода в сверхтекучее состояние, теплоемкость в лямбда-точке имеет конечные (хотя и большие) пределы при приближении с низких и высоких температур .^[6]

Примечания

1. ↑ C. Buckingham and W.H. Fairbank. The Nature of the Lambda-Transition in Liquid Helium // Progress in Low Temperature Physics, vol. 3. — Amsterdam: North-Holland, 1961.
2. ↑ Guenther Ahlers. Heat Capacity at Constant Pressure near the Superfluid Transition in He 4 (англ.) // Physical Review Letters. — 1969-09-01. — Vol. 23, iss. 9. — P. 464—468. — ISSN 0031-9007. — doi:10.1103/PhysRevLett.23.464.
3. ↑ K. H. Mueller, Guenter Ahlers, F. Pobell. Thermal expansion coefficient, scaling, and universality near the superfluid transition of He 4 under pressure (англ.) // Physical Review B. — 1976-09-01. — Vol. 14, iss. 5. — P. 2096—2118. — ISSN 0556-2805. — doi:10.1103/PhysRevB.14.2096.
4. ↑ Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Том 1: Теория равновесных систем: Термодинамика. Учебное пособие. — Изд. 2-е, сущ. перераб. и доп.. — Москва: Едиториал УРСС, 2002. — С. 119. — 240 с. — ISBN 5-354-00077-7.
5. ↑ Lipa, J.A.; Swanson, D. R.; Nissen, J. A.; Chui, T. C. P.; Israelsson, U. E. Heat Capacity and Thermal Relaxation of Bulk Helium very near the Lambda Point (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1996. — Vol. 76, no. 6. — P. 944—947. — doi:10.1103/PhysRevLett.76.944. — Bibcode: 1996PhRvL..76..944L. — PMID 10061591.
6. ↑ Теплоемкость обращается в бесконечность только для фазовых переходах второго рода с положительным индексом α{\displaystyle \alpha }. Например, это просиходит в критической точке жидкость-пар, которая имеет изинговские критические индексы.

Что такое предел функции как его найти

При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти
предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень
маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.

А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть
вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.

Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.

Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:

Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.

Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется «доопределить функцию», с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы «Предел»). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину — последовательность сумм их диаметров:

Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.

Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых
потребуется чуть больше внимания.

Предел функции при

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и
пусть дана точка .
Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

   (1)

сходящуюся к .
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

   (2)

и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Пример 1. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:

.

Итак, предел данной функции при равен 1.

Предел функции при , при и при

Кроме рассмотренного понятия предела функции при
существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x)
при ,
если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2)
значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: .

Определение 3. Число A называется пределом функции f(x)
при (),
если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы
которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: ().

Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

Пример 2. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:

.

Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.

А проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

            (4)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

           (5)

Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Пример 3. Найти предел:

Решение.

А проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.

Пример 4. Найти предел:

Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

Таким образом, формула (5) применима и, значит,

А проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Пример 5. Найти предел:

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

где

корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида .
Эта неопределённость и неопределённость вида —
самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела.
Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений
квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Освоим эти приёмы на примерах.

Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Неопределённость вида

Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки
вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь
стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.

Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась
неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно,
но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки
бесконечности вместо «икса».

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.

Неопределённость вида

Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе — разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

.

В знаменателе — квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.

Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и
сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию  приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Продолжение темы «Предел»

Поделиться с друзьями

Scipy fsolve расходится в сторону бесконечности вместо решения

Я хочу решить это уравнение:

Однако, когда я пытаюсь решить его с помощью scipy fsolve, он сходится к бесконечности вместо того, чтобы дать мне решение.

Причина, по которой она стремится к бесконечности, заключается в том, что функция стремится к 0, когда x стремится к бесконечности:

Вот вам пример кода:

def f(x, r): return -e ** (-r * x)

def h(r): return 2 * f(4, r) - f(2, r) - f(10, r)

x0 = np.array([1])

print(optimize.fsolve(h, x0))

С некоторыми другими параметрами он находит решение. Однако я хочу, чтобы код работал с различными параметрами, а не только с теми, которые приведены в Примере. Я также хочу избежать нулевого решения.

Большое спасибо

python

math

optimization

scipy

Поделиться

Источник

Alex Ortiz    

24 июля 2019 в 19:01

1 ответ

• Scipy fsolve: ни одно решение не делает недействительными все допустимые решения

  Я пытаюсь отказаться от подразумеваемой Блэком-Шоулзом волатильности данных по финансовым опционам. Если данные содержат варианты, для которых подразумеваемая волатильность не может быть найдена, это сделает все результаты равными первоначальному предположению. Рассмотрим следующий пример from…

• найдите значение, отличное от корня, с помощью fsolve в python scipy

  Я знаю, как я могу решить для корня в python , используя scipy.optimize.fsolve . У меня есть определенная функция f = lambda : -1*numpy.exp(-x**2) и я хочу решить для x установку функции на определенное ненулевое значение. Например, я хочу решить для x , используя f(x) = 5 . Есть ли способ сделать…

1

Если вы позволите t = exp(-2x) , то уравнение будет просто полиномиальным, поэтому вы можете решить его с помощью numpy.roots

import numpy as np

roots = np.roots([[-1, 0, 0, 2, -1, 0])
solutions = map(lambda x: -log(x)/2, roots)

дает вам 3 реальных и 2 комплексных решения.

Поделиться

VersBersch    

24 июля 2019 в 19:39

Похожие вопросы:

fsolve с границами решения

Есть ли способ использовать fsolve в MATLAB, указав привязку для решения? т. е. все переменные решения > 0

Передать список значений в аргумент SciPy fsolve

У меня есть следующая функция: def equation1(xy, d=7.2 f1 = 2*g*d*((ep**-4.7) — 1) -…

scipy факторизованная ошибка

Я использую scipy.linalg для решения матричного уравнения A*x = b Следующий код не работает: from scipy import * from pylab import * from scipy.sparse import lil_matrix from scipy.sparse.linalg…

Scipy fsolve: ни одно решение не делает недействительными все допустимые решения

Я пытаюсь отказаться от подразумеваемой Блэком-Шоулзом волатильности данных по финансовым опционам. Если данные содержат варианты, для которых подразумеваемая волатильность не может быть найдена,…

найдите значение, отличное от корня, с помощью fsolve в python scipy

Я знаю, как я могу решить для корня в python , используя scipy.optimize.fsolve . У меня есть определенная функция f = lambda : -1*numpy.exp(-x**2) и я хочу решить для x установку функции на…

Преимущества использования усечения в сторону минус бесконечности и в сторону нуля

Мне было интересно, каковы преимущества использования усечения в сторону минус бесконечности ( Haskell , Ruby) вместо усечения в сторону нуля (C, PHP) с точки зрения реализации языков.2 )…

Python & SciPy-используйте fsolve с соединением COM

Я пытаюсь использовать функцию scipy Optimize fsolve , чтобы найти ноль функции, определенной с помощью объекта COM. Сначала я создаю объект COM: import win32com.client os =…

Можно ли векторизовать scipy fsolve?

Я знаю, как использовать fsolve в scipy from scipy.optimize import fsolve import numpy as np k=4 def equations(p): x,y=p eq_1 = x+y-k eq_2 = x-y return (eq_1,eq_2) fsolve(equations, (0,0)) Но я не…

использование ‘ fsolve` для решения m уравнений с n неизвестными, где n<m

Представьте, что у меня есть два уравнения с одним неизвестным, и я хочу использовать fsolve для его решения: 0 = 0.5*x[0]**2-2 0 = 2-x Ясно, что ответ x=2 . Я уже пробовал это import numpy as np;…

Смещение, дисперсия и регуляризация в линейной регрессии: лассо, хребет и эластичная сеть

Дата публикации Aug 22, 2019

фотоПан СяочжэньнаUnsplash

Регрессия — невероятно популярная и распространенная техника машинного обучения. Часто отправная точка в обучении машинному обучению, линейная регрессия является интуитивно понятным алгоритмом для простых для понимания задач. Обычно его можно использовать всякий раз, когда вы пытаетесь предсказать непрерывную переменную (переменную, которая может принимать любое значение в некотором числовом диапазоне), линейные регрессии и их родственники часто являются сильными вариантами и почти всегда являются лучшим местом для начала.

Этот блог предполагает функциональное знание линейной регрессии наименьших квадратов (OLS). Вы можете узнать больше о линейной регрессии МНКВот,Вот, илиВот,

ОтСима Сингх

Большая часть создания лучших моделей в машинном обучении связана с компромиссом между отклонениями. Смещение относится к тому, насколько правильной (или неправильной) является модель. Говорят, что очень простая модель, которая допускает много ошибок, имеет большой уклон. Говорят, что очень сложная модель, которая хорошо справляется со своими тренировочными данными, имеет низкий уклон. Отрицательно коррелирует со смещением дисперсия модели, которая описывает, насколько прогноз может потенциально измениться, если один из предикторов изменится незначительно. В простой модели, упомянутой выше, простота модели заставляет ее предсказания медленно изменяться вместе со значением предиктора, поэтому она имеет низкую дисперсию. С другой стороны, наша сложная модель с низким смещением, вероятно, очень хорошо соответствует обучающим данным, и поэтому прогнозы сильно различаются, так как значения предикторов изменяются незначительно. Это означает, что эта модель имеет высокую дисперсию и не будет хорошо обобщать новые / невидимые данные.

Модель с низким смещением / высокой дисперсией демонстрирует так называемое переоснащение, в котором модель содержит слишком много терминов и объясняет случайный шум в данных в верхней части общей тенденции. Это приводит к тому, что он плохо работает с данными, которые модель не видела ранее. Модель с большим смещением / низкой дисперсией демонстрирует то, что называется недостаточным соответствием, в котором модель слишком проста / имеет слишком мало терминов, чтобы правильно описать тенденцию, наблюдаемую в данных. Опять же, модель будет бороться с новыми данными. Ни один из этих типов моделей не является идеальным, мы хотели бы достичь некоторого среднего уровня, где у нас есть достаточное количество терминов для описания тренда без подгонки к шуму. Поэтому нам необходим некоторый выбор признаков, при котором предикторы, не имеющие отношения к зависимой переменной, не влияют на окончательную модель.

Изображение изСидней Фирмин

Компромисс смещения дисперсии представлен выше. Общая ошибка модели состоит из трех слагаемых: (смещение) ², дисперсия и неприводимый член ошибки. Как видно на графике, наше оптимальное решение, в котором суммарная ошибка минимизирована, имеет некоторую промежуточную сложность модели, где ни смещение, ни дисперсия не высоки.

Линейная регрессия находит значения коэффициентов, которые максимизируют R² / минимизируют RSS. Но это, возможно, не лучшая модель, и даст коэффициент для каждого предоставленного предиктора. Это включает в себя термины с небольшой предсказательной силой. Это приводит к модели с высокой дисперсией и низким смещением. Поэтому у нас есть потенциал, чтобы улучшить нашу модель путем обмена некоторой этой дисперсии с предвзятостью, чтобы уменьшить нашу общую ошибку. Эта сделка происходит в форме регуляризации, в которой мы модифицируем нашу функцию стоимости, чтобы ограничить значения наших коэффициентов. Это позволяет нам обменять нашу чрезмерную дисперсию на некоторое смещение, потенциально уменьшая нашу общую ошибку.

Функция стоимости Лассо, отВикипедия

Лассо (иногда стилизованное под LASSO или lasso) добавляет дополнительный термин к функции стоимости, добавляя сумму значений коэффициентов (норма L-1), умноженную на постоянную лямбду. Этот дополнительный термин наказывает модель за наличие коэффициентов, которые не объясняют достаточную разницу в данных. Он также имеет тенденцию устанавливать коэффициенты плохих предикторов, упомянутых выше 0. Это делает Лассо полезным при выборе объектов.

Лассо, однако, борется с некоторыми типами данных. Если количество предикторов (p) больше, чем количество наблюдений (n), Лассо выберет не более n предикторов как ненулевые, даже если все предикторы актуальны. Лассо также будет бороться с коллинеарными функциями (они тесно связаны / коррелированы), в которых он выберет только одного предиктора для представления полного набора коррелированных предикторов. Этот выбор также будет сделан случайным образом, что плохо для воспроизводимости и интерпретации.

Важно отметить, что если lambda = 0, у нас фактически нет регуляризации, и мы получим решение OLS. Поскольку лямбда стремится к бесконечности, коэффициенты будут стремиться к 0, и модель будет просто постоянной функцией

БлагодаряКеосик Ким

Регрессия гребня также добавляет дополнительный термин к функции стоимости, но вместо этого суммирует квадраты значений коэффициентов (норма L-2) и умножает их на некоторую постоянную лямбду. По сравнению с Лассо этот термин регуляризации уменьшит значения коэффициентов, но не сможет принудительно установить коэффициент равным 0. Это ограничивает использование регрессии гребня в отношении выбора признаков. Однако, когда p> n, он способен выбрать более n релевантных предикторов, если необходимо, в отличие от Лассо. Он также выберет группы коллинеарных элементов, которые его изобретатели назвали «эффектом группировки».

Как и в случае с Лассо, мы можем варьировать лямбду, чтобы получить модели с различными уровнями регуляризации, где лямбда = 0 соответствует OLS, а лямбда приближается к бесконечности, что соответствует постоянной функции.

Интересно, что анализ как регрессии Лассо, так и Риджа показал, что ни один метод не всегда лучше, чем другой; нужно попробовать оба метода, чтобы определить, какой использовать (Хоу, Хасти, 2005).

БлагодаряВикипедия

Elastic Net включает в себя термины регуляризации как L-1, так и L-2. Это дает нам преимущества регрессии Лассо и Риджа. Было установлено, что он обладает предсказательной способностью лучше, чем у Лассо, хотя все еще выполняет выбор функций. Поэтому мы получаем лучшее из обоих миров, выполняя выбор функции Лассо с выбором группы объектов Ridge.

Elastic Net поставляется с дополнительными издержками на определение двух лямбда-значений для оптимальных решений.

Используя набор данных Boston Housing Datase, доступный в sklearn, мы рассмотрим результаты всех 4 наших алгоритмов. Помимо этих данных, я масштабировал данные и создал 5 дополнительных «функций» случайного шума, чтобы проверить способность каждого алгоритма отфильтровывать нерелевантную информацию. Я не буду заниматься настройкой параметров; Я просто реализую эти алгоритмы из коробки. Вы можете увидеть параметры по умолчанию в документации sklearn. (Линейная регрессия,Лассо,гряда, а такжеЭластичная сеть.) Мой кодекс был в основном принятэтосообщение от Jayesh Bapu Ahire. Мой код можно найти на моем GitHubВот,

коэффициенты

Коэффициенты линейной регрессии

Мы можем видеть, что линейная регрессия присваивала ненулевые значения всем 5 нашим характеристикам шума, несмотря на то, что ни у одного из них не было предсказательной силы. Интересно, что эти характеристики шума имеют коэффициенты с величинами, аналогичными некоторым реальным объектам в наборе данных.

Коэффициенты лассо

Как мы и надеялись, Лассо проделал хорошую работу по сокращению всех 5 наших шумовых функций до 0, а также многих реальных функций из набора данных. Это действительно намного более простая модель, чем дано линейной регрессией

Коэффициенты регрессии хребта

Ridge Regression совершает ошибку, аналогичную нерегулярной линейной регрессии, присваивая значения коэффициента нашим характеристикам шума. Мы также видим, что некоторые функции имеют очень малые коэффициенты.

Эластичные чистые коэффициенты

Как и в случае с Лассо, Elastic Net создает коэффициенты для нескольких функций 0. Однако он не дает столько же коэффициентов, сколько Лассо.

Модель Производительность

Средняя квадратическая ошибка разных моделей

В приведенном примере регрессия Риджа была лучшей моделью по версии MSE. Это может показаться нелогичным, но важно помнить, что в модели регрессии гребня наблюдалась некоторая разница для смещения, что в конечном итоге приводит к общей меньшей ошибке. Модели Lasso и Elastic Net демонстрировали значительную разницу в отклонениях, и мы видим, что наша ошибка увеличилась.

Интересно, что у Lasso и Elastic Net MSE выше, чем у линейной регрессии. Но значит ли это, что эти модели однозначно хуже? Я бы не стал спорить, так как модели Lasso и Elastic Net также выполняли выбор функций, что дает нам лучшую интерпретируемость моделей. Коэффициенты интерпретируются как изменение зависимой переменной с увеличением значения предиктора на единицу,свсе остальные предикторы оставались постоянными.В случае сложных моделей предположение о том, что все остальные предикторы остаются постоянными, не может быть разумно выполнено.

В конечном счете, какую модель использовать в конечном итоге, зависит от цели анализа, с которой нужно начать. Ищем ли мы лучшие прогнозы? Тогда регрессия гребня выглядит лучше всего. Ищем ли мы интерпретируемость, для лучшего понимания лежащих в основе данных? Тогда Elastic Net может стать подходящим вариантом. Имейте в виду, я не делал настройки параметров. Все эти алгоритмы имеют много связанных параметров, которые можно настроить для улучшения модели в зависимости от целей анализа. Наша задача как специалистов по науке о данных определить эти ожидания (до начала анализа), чтобы помочь нам найти лучшее решение

1. Компромисс смещения дисперсии — это компромисс между сложной и простой моделью, в которой промежуточная сложность, вероятно, является наилучшей.
2. Лассо, Ридж-регрессия и Эластичная сеть — это модификации обычной линейной регрессии наименьших квадратов, которые используют дополнительные штрафные члены в функции стоимости, чтобы сохранить значения коэффициента небольшими и упростить модель.
3. Лассо полезно для выбора функций, когда наш набор данных имеет функции с плохой предсказательной силой.
4. Регрессия гребня полезна для группового эффекта, при котором коллинеарные элементы могут быть выбраны вместе.
5. Elastic Net сочетает в себе регрессию Лассо и Риджа, что потенциально приводит к модели, которая является простой и прогнозирующей.

Оригинальная статья

Признаки неисправности лямбда-зонд — Мой Солярис

Современные автомобили оборудованы системами электронного впрыска горючего с возможностью регулировки состава смеси. В случае поломки устройства знание признаков неисправности лямбда-зонда поможет определить причину проблемы.

Содержание

Описание устройства и где находится

В зависимости от конструкции выхлопной системы используется один или два датчика:

Производители установили для изделий срок службы:

Заявленный ресурс зондов не является точным. Срок работы устройств зависит от множества факторов и может быть меньше или больше указанных значений.

Схема устройства

Конструкция включает:

Основные признаки и причины неисправности лямбда-зонда

• перебои в работе и плавающие обороты на холостом ходу или низкой частоте вращения вала;
• снижение разгонных параметров автомобиля;
• заметное (иногда на несколько литров) увеличение расхода топлива;
• включение индикатора Check Engine и появление ошибок в памяти блока управления.

• поврежденный чувствительный элемент;
• засорение рабочей зоны зонда сажей или свинцом;
• разрушение проводки;
• выход из строя элемента подогрева.

При возникновении перечисленных выше проблем необходимо проверить состояние датчика кислорода. Проверка лямбда-зонда выполняется визуальным методом и с помощью электронного оборудования.

Самым первым этапом проверки является внешний осмотр детали, который состоит из этапов:

Внешний осмотр лямбда-зонда позволяет определить только малую часть неисправностей, более тщательный анализ выполняется при помощи тестера или мультиметра.

Проверка мультиметром

Существуют три разновидности штекеров лямбда-зонда:

Для выполнения проверки лямбда-зонда требуется заводская документация, позволяющая определить назначение проводов и цифровой мультиметр, переключенный в режим вольтметра и омметра.

1. Прогреть двигатель до рабочей температуры, поскольку только в этом случае обеспечивается возможность снятия корректных данных.
2. Прозвонить цепи подогрева. В нормальных условиях сопротивление находится в пределах 2-15 Ом, более точные данные можно получить из справочной литературы. Сопротивление измеряется подключением к двум пинам в штекере (для четырехпроводного зонда) или к пину нагревателя и корпусу автомобиля (в трехпроводных). Если сопротивление равно нулю, это значит, что выявлено короткое замыкание обмоток подогревательного элемента. Стремление сопротивления к бесконечности является симптомом обрыва нихромовых нитей обогрева.
3. Прозвонить проводку, идущую к подогревателю от блока управления, на отсутствие разрывов.
4. Проверить напряжение в сигнальной цепи. Отрицательный сигнал может браться с корпуса автомобиля или непосредственно с клеммы аккумулятора. Перед проверкой двигатель должен поработать на средних оборотах (2500-3000 об/мин) в течение 2-3 минут. Разъединить штекер и подключить тестовый прибор.
5. Довести обороты до 2500-2600 об/мин и резко бросить педаль газа. Показания вольтметра находятся в пределах 0,2-1,0 вольта и меняются с частотой 1 Гц (в среднем один раз в секунду).
6. Отключить трубку вакуума от регулятора давления для проверки степени обеднения смеси. Возможно принудительное обеднение смеси закрыванием рукой воздухозаборного отверстия дроссельного узла. Провести замер напряжения, которое должно находиться в пределах 0,2 вольта или ниже.
7. Установить трубку обратно.
8. Резко поднять обороты до максимальных. При этом напряжение должно составлять около 1 вольта.

Проверка с помощью осциллографа

Последовательность действий:

Как проверить датчик с помощью сканера ELM327 USB OBD II

Последовательность тестирования:

Ниже приведен видеоурок по работе сканера ELM327 с утилитой Torque Pro, предоставленный каналом Savontiy.

Перед началом работ требуется подготовить материалы и инструменты:

Менять лямбда-зонды следует на такую же модель или аналогичную, подходящую по параметрам. Устанавливать первый попавшийся датчик нельзя. Перед монтажом нужно внимательно изучить инструкцию, прилагаемую производителем.

Приблизительная последовательность действий при замене первого зонда:

При установке зонда требуется соблюдать момент затяжки. Превышение силы приводит к разрушению корпуса зонда или срыву резьбы, низкий момент является причиной прорыва выхлопных газов и неравномерного прогрева детали.

Как ремонтировать лямбда-зонд?

Владельцу автомобиля следует помнить, что подобный ремонт лямбда-зонда является временным мероприятием. Рекомендуется приобрести новый датчик, а отремонтированный использовать в качестве запасного.

Примерная последовательность разборки и ремонта датчика с поврежденным нагревательным элементом:

Ремонт неисправной проводки

Устранить неисправность, связанную с разорванным жгутом проводки, можно следующим образом:

При ремонте проводки лямбда-зонда рекомендуется на каждом этапе проверять отсутствие замыканий проводником на «массу» или между собой.

Очистка от нагара и сажи

1. Аккуратно спилить защитные колпачки.
2. Выдержать датчик в ортофосфорной кислоте, затем аккуратно счистить нагар кисточкой. Не рекомендуется прилагать усилие, поскольку измерительный элемент крайне хрупкий.
3. При необходимости дополнительно очистить элемент путем нагрева на газовой горелке. Процедуру следует выполнять аккуратно, поскольку возможно растрескивание детали. Рекомендуемый в ряде источников нагрев и охлаждение холодной водой делать запрещено, поскольку это приведет к полному выходу зонда из строя.
4. Собрать датчик обратно, соединив детали тугоплавким припоем или точечной сваркой.

Стоимость датчика зависит от типа изделия и распространенности модели. Ниже приведены справочные цены на устройства, применяемые на некоторых моделях авто.

Рекомендации по проверке лямбда-зонда показаны в видеоролике, снятом автором канала «v_i_t_a_l_y».

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Пуассоновский процесс

Аннотация: Пуассоновский процесс — самый важный точечный процесс. Позже мы поймем, что его роль среди точечных процессов столь же фундаментальна, как роль нормального распределения среди статистических распределений. Результатом сложения случайных переменных с помощью Центральной предельной теоремы является нормальное распределение. Подобным способом мы получаем экспоненциальное распределение при совмещении стохастических точечных процессов.
Большинство других прикладных точечных процессов являются обобщением или модификацией Пуассоновского процесса.
Этот процесс дает удивительно хорошее описание многих реальных процессов жизни. Чем сложнее процесс, тем лучше Пуассоновский процесс будет служить для него общей моделью.
Пуассоновский процесс имеет широкое практическое применение, поэтому мы изучим его подробно в этой лекции. Сначала (секция 6.2) поговорим о физической модели. При этом главное внимание будет уделено распределениям, связанным с процессом, а затем мы рассмотрим некоторые важные свойства Пуассоновского процесса (секция 6.3). Наконец, в секции 6.4 рассмотрим прерванный Пуассоновский процесс, как пример обобщения.

Характеристики Пуассоновского процесса

Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса определены в секции 5.2:

а. стационарность;

б. независимость (отсутствие последействия) во все моменты времени (периоды), и

в. простота (ординарность).

(б) и (в) — фундаментальные свойства, тогда как (а) не является необходимым. Таким образом, можно допустить, что Пуассоновский процесс может иметь интенсивность, зависящую от времени поступления. Из этих свойств можно получить другие свойства, которые являются достаточными, чтобы определить Пуассоновский процесс. Два самых важных:

• числовое представление: число событий в пределах временного интервала фиксированной длины имеет Пуассоновское распределение. Поэтому процесс называют Пуассоновским процессом ;
• представление с помощью интервала: интервал времени между последовательными событиями является экспоненциально распределенным.

В этом случае, используя (4.8) и (4.10) равенство Феллера- Дженсена (5.4), можно показать фундаментальное отношение между кумулятивным (накопленным) Пуассоновским распределением и распределением Эрланга:

Эта формула может также быть получена повторным интегрированием по частям.

Распределения Пуассоновского процесса

В этой секции мы поговорим о динамическом и физическом представлении Пуассоновского процесса (1928 [30] и Дженсен, 1954 [11] ). Дифференцирования основаны на простой физической модели и концентрируются на распределениях вероятности, связанных с Пуассоновским процессом.

Физическая модель получается следующим способом. События (поступление) помещены наугад на реальной оси времени независимо от всех других событий, т.е. мы помещаем события однородно и независимо на реальных осях времени.

Средняя плотность выбрана как события (поступление) в единицу времени. Если рассматривать ось как ось времени, то в среднем мы будем иметь поступлений в единицу времени.

Вероятность, что данное поступление заявки возникает в пределах временного интервала, не зависит от местоположения интервала на оси времени.

Рис.
6.1.

В Пуассоновском процессе мы рассматриваем поступление заявки в пределах двух не перекрывающихся временных интервалов продолжительностью и соответственно.

Пусть обозначают вероятность, что событий возникают в пределах временного интервала продолжительностью .

Математическая формулировка вышеупомянутой модели следующая.

1. Независимость (отсутствие последействия). Если ;и — два не перекрывающихся временных интервала (рис.6.1), мы предполагаем, что они независимы:

   ( 6.2)

   .

2. Средняя величина временного интервала между двумя последовательными поступлениями заявок — (3.4):

   ( 6.3)

   Здесь — вероятность, что в пределах временного интервала нет поступления заявок. Идентичная вероятность: время, пока произойдет первое событие первое событие, не больше, чем (дополнительное распределение). Средняя величина (6.3) получена непосредственно из (3.4). Формула (6.3) может также интерпретироваться как область под кривой Это никогда не увеличивающаяся функция, уменьшающаяся от 1 до 0.

3. Отметим, что (6.2) подразумевает, что событие нет поступления заявок в пределах интервала длиной 0 существует и равно:

   ( 6.4)

4. Отметим, что (6.3) подразумевает, что вероятность события нет никаких поступлений заявок в пределах интервала времени длиной является нулевым и никогда не имеет место

   ( 6.5)

Экспоненциальное распределение

Следующий существенный шаг в развитии Пуассоновского распределения — получение вероятности , которая является вероятностью непоступления заявки в пределах временного интервала длины , то есть вероятности, что первое поступление заявки произойдет позже, чем . Мы покажем, что — экспоненциальное распределение (сравните с результатом секции 4.1).

Из (6.2) мы имеем:

Обозначая , (6.6) может быть записано как:

Дифференцируя, например, по , мы имеем

Заметим, что должна быть константой, и поэтому

Подставляя (6.8) в (6.7), мы получаем . Тогда имеет форму

Из (6.3) мы получаем :

или

Таким образом, на основе пункта (1) и (2) выше мы показали, что:

Если мы рассматриваем как вероятность того, что следующее событие наступает позже, чем за время , тогда время до следующего прибытия является экспоненциально распределенным (секция. 4.1):

Мы имеем следующую среднюю величину и дисперсию (4.4):

Вероятность, что следующее появление заявки в пределах интервала может быть записана, как:

то есть вероятность, что заявка поступит в пределах интервала , равна , независимо om пропорционально (3.17).

Поскольку независима от величины ( возраста ) , экспоненциальное распределение не имеет памяти (сравните секции 4.1 и 3.1.2). Процесс не имеет возраста.

Параметр называется интенсивностью или скоростью экспоненциального распределения и соответствующего Пуассоновского процесса, и это соответствует интенсивности в (5.6). Экспоненциальное распределение — вообще очень хорошая модель для интервалов поступления вызовов, когда нагрузка генерируется автоматически, а не вручную (рис.6.2).

Рис.
6.2.
Распределение времени временного интервала вызовов на транзитной станции.

Теоретические значения получены при условии экспоненциально распределенных времен интервалов. Согласно принципу измерения (метод сканирования) непрерывное экспоненциальное распределение преобразовано в дискретное распределение Вестберга (Westerberg) (15.14) (критерий — = 18,86 с 19 степенями свободы, квантиль = 53)

Распределение Эрланга k-ого порядка

Из приведенного выше можно заметить, что время поступления точно событий определяется суммой IID (independently and identically distributed — независимо и тождественно распределенных) экспоненциально распределенных случайных переменных.

Распределение этой суммы — распределение Эрланга k — ого порядка (секция 4.2), и плотность равна:

Для мы получаем экспоненциальное распределение. Распределение , получено свертыванием и . Если мы принимаем, что выражение (6.14) правильно для , тогда получаем свертыванием:

Так как выражение справедливо при , согласно приведенной выше индукции мы имеем, что это справедливо для любого .

Распределение Эрланга -ого порядка со статистической точки зрения — это специальное гамма-распределение.

Средняя величина и дисперсия получаются из (6.12):

Пример 6.2.1: статистика вызова в системе с программным управлением (сравните с Примером 5.1.2)

Пусть вызовы поступают в систему с программным управлением, например, на программно управляемую телефонную станцию ( SPC — System Program Control ), согласно Пуассоновскому процессу. Станция автоматически собирает полную информацию о каждом 1000-ном вызове. Интервалы поступления между двумя регистрацией тогда будут иметь распределение Эрланга и иметь коэффициент формы , то есть регистрация будет очень регулярной.

Пуассоновское распределение

Покажем теперь, что число поступления заявок в интервал фиксированной длины имеет Пуассоновское распределение со средней величиной . Когда мы знаем вышеупомянутое экспоненциальное распределение и распределение Эрланга, дифференцирование Пуассоновского распределения — только вопрос применения простой комбинаторики. Доказательство может быть осуществлено по индукции.

Мы хотим получить = вероятность -ого поступления заявки в пределах временного интервала t. Предположим, что:

Это справедливо, для . Интервал (0, t) разделен на три не перекрывающихся интервала: и . Из предположения о независимости мы знаем, что события в пределах интервала не зависят от событий в других интервалах, потому что интервалы — не перекрывающиеся. Выбирая так, чтобы последнее поступление заявки в пределах появлялось в интервале , получим вероятность объединением по всем возможным значениям t как произведение следующих трех вероятностей.

Произведение первых двух вероятностей дает вероятность того, что -тая заявка поступит в момент т.е. будет иметь место Эрланговское распределение из предыдущей секции.

Интегрируя, мы получаем

Это — Пуасоновское распределение, которое мы, таким образом, получили из (6.9) индукцией. Средняя величина и дисперсия:

Пуассоновское распределение — очень хорошая модель для числа вызовов в телекоммуникационной системе (рис.6.3) или вакантных мест в компьютерной системе.

Машинное обучение

— Почему гребневая регрессия называется «гребнем», зачем она нужна и что происходит, когда $ \ lambda $ стремится к бесконечности?

1. Если $ \ lambda \ rightarrow \ infty $, то срок нашего штрафа будет бесконечным для любого $ \ beta $, кроме $ \ beta = 0 $, так что мы получим его. Нет другого вектора, который дал бы нам конечное значение целевой функции.

(Обновление: см. Ответ Glen_b. Это , а не , правильная историческая причина!)

2. Это получено из решения гребневой регрессии в матричной нотации.TY.
   $$
   Член $ \ lambda I $ добавляет «гребень» к главной диагонали и гарантирует обратимость полученной матрицы. Это означает, что, в отличие от OLS, мы всегда найдем решение.

Регрессия гребня полезна, когда предикторы коррелированы. В этом случае OLS может давать дикие результаты с огромными коэффициентами, но если они наказываются, мы можем получить гораздо более разумные результаты. В общем, большое преимущество регрессии гребня состоит в том, что решение всегда существует, как упоминалось выше. Это применимо даже к случаю, когда $ n

Очень простой пример: предположим, что $ n = p = 2 $. Тогда мы просто проведем линию между этими двумя точками. Теперь предположим, что $ n = 2 $, но $ p = 3 $. Представьте себе самолет с этими двумя точками. Мы можем вращать эту плоскость, не меняя того факта, что эти две точки находятся в ней, поэтому существует бесчисленное множество моделей с идеальным значением нашей целевой функции, поэтому даже помимо проблемы переобучения неясно, какую из них выбрать.

В качестве заключительного комментария (согласно предложению @gung) LASSO (с использованием штрафа $ L_1 $) обычно используется для задач большой размерности, потому что он автоматически выполняет выбор переменных (устанавливает некоторую $ \ beta_j = 0 $). Как ни странно, оказывается, что LASSO эквивалентен нахождению апостериорной моды при использовании априорной двойной экспоненты (также известной как Лапласа) в векторе $ \ beta $. LASSO также имеет некоторые ограничения, такие как насыщение на $ n $ предикторов и необязательно идеальная обработка групп коррелированных предикторов, поэтому может применяться эластичная сеть (выпуклая комбинация штрафов $ L_1 $ и $ L_2 $). .

Как изменяются коэффициенты Лассо, когда лямбда приближается к бесконечности

Как изменяются коэффициенты Лассо, когда лямбда приближается к бесконечности — перекрестная проверка

Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0

3. +0

6. Авторизоваться
   Подписаться

Cross Validated — это сайт вопросов и ответов для людей, интересующихся статистикой, машинным обучением, анализом данных, интеллектуальным анализом данных и визуализацией данных.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил
2 года, 7 мес назад

Просмотрено
772 раза

$ \ begingroup $

Закрыто. Это вопрос не по теме. В настоящее время он не принимает ответы.

Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме перекрестной проверки.

Закрыт 2 года назад.

Я столкнулся с такой проблемой.Думаю, 2, 3 и 4 картинки верны, но нет.
Кто-нибудь может помочь?

Dememel

2,16744 золотых знака1717 серебряных знаков3333 бронзовых знака

Создан 23 июл.

ВадимВадим

1311 бронзовый знак

$ \ endgroup $

1

$ \ begingroup $

Рассмотрим лагранжеву форму Лассо

$$ \ hat {\ beta} ^ {lasso} = argmin_ \ beta \ {\ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ {N} (y_i — \ beta_0 — \ sum_ {j = 1 } ^ {p} x_ {ij} \ beta_j) ^ 2 + \ lambda \ sum_ {j = 1} ^ {p} | \ beta_j | \} $$

, как показано в разделе «Элементы статистического обучения», стр. 68, уравнение.3.52.
Когда $ \ lambda $ приближается к $ \ infty $, как должны выглядеть коэффициенты в $ \ beta $, чтобы минимизировать это?

Создан 23 июл.

Demeldeemel

2,16744 золотых знака1717 серебряных знаков3333 бронзовых знака

$ \ endgroup $

0

Перекрестная проверка лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Расширенное машинное обучение: регуляризация

В этой статье о расширенном машинном обучении мы рассмотрим регуляризацию уровней L1 и L2 и их использование в процессе моделирования.

Если мы определяем сложность как количество параметров в модели, то управлять сложностью сложно: это может быть достигнуто только путем внесения крупномасштабных изменений в форму модели. Рассмотрим два простых режима, которые мы использовали в большинстве наших примеров в этом упражнении: Линейная регрессия и логистическая регрессия (рассматриваемая как линейный классификатор): Линейная регрессия: \ (\ hat y = \ beta_0 x_0 + \ beta_1 x_1 + \ beta_2 x_2 +… + \ Beta_n x_n \) Логистическая регрессия: \ (\ hat y = \ mathbf {I} (\ beta_0 x_0 + \ beta_1 x_1 + \ beta_2 x_2 +… + \ beta_n x_n \ geq 0) \) Помня, что \ ( \ mathbf {I} (p) = 1 \), если \ (p \) истинно, и 0 в противном случае.В обоих этих случаях, если сложность — это просто количество параметров, изменение сложности требует удаления одной из входных функций. Это связано с тем, что каждый параметр является коэффициентом входной характеристики (обработка точки пересечения \ (\ beta_0 \) как коэффициента фиктивной переменной \ (x_0 = 1 \)). Точно так же в более сложных моделях удаление параметров обычно приводит к к некоторому существенному изменению формы модели. В полиномиальной регрессии это требует удаления одного из полиномиальных членов. В базовых нейронных сетях это обычно возникает в результате удаления скрытых узлов и т. Д.Важнейшая идея в продвинутом машинном обучении заключается в том, что существует другой, более тонкий способ управления сложностью модели, по-прежнему рассматривая это как определенное в терминах параметров модели. Вместо того, чтобы удалять параметры , мы можем ограничить их способность свободно принимать значения . Это известно как регуляризация .

Регуляризация как оптимизация

В теории регуляризации это осуществляется путем добавления второго члена к решаемой задаче оптимизации при подборе значений параметров к данным.2 \] На словах, регуляризация L1 дает сумму абсолютных значений параметров, а L2 дает сумму их квадратов. Поскольку мы пытаемся минимизировать, выходные данные функции регуляризации действуют как штраф для проблемы оптимизации. В обоих случаях более крупные (по абсолютному размеру) параметры приведут к более высокому штрафу. Еще раз изучив пересмотренное уравнение оптимизации, мы увидим, что оно включает параметр настройки \ (\ lambda \), который регулирует относительную важность этого срока наказания по сравнению с с функцией потерь.Когда \ (\ lambda = 0 \) функция регуляризации не играет никакой роли: мы вообще не заботимся о сохранении малых параметров, а только о минимизации функции потерь. Поскольку \ (\ lambda \) приближается к бесконечности, мы заботимся только о том, чтобы параметры оставались маленькими, а вовсе не о минимизации функции потерь. Эффект от этой регуляризации ограничивает способность параметров модели свободно принимать большие значения. значения. В результате модель станет более гладкой (менее извилистой). Следовательно, он будет иметь меньшую дисперсию, что затрудняет моделирование сложных реальных функций и снижает вероятность переобучения при работе с недостаточным количеством данных.На приведенном ниже графике этот эффект показан с помощью модели полиномиальной регрессии четвертого порядка: по мере увеличения лямбда кривые регрессии становятся более плавными, выравнивая «холмы» и заполняя «впадины». Регуляризация — очень важный инструмент в продвинутом машинном обучении, и мы рассмотрим средства регуляризации большинства сложных моделей, с которыми мы столкнемся в ближайшие недели. Хотя регуляризация L1 и L2 очень похожа, часто используются совершенно разные средства вычислений, а регуляризация L2 часто позволяет формулы замкнутой формы, а регуляризация L1 требует численной оценки.T Y \] Это очень полезно. Мы уже упоминали (и увидим на следующей неделе), что многие передовые методы регрессии использовали сложные преобразования переменных до того, как просто выполняли линейную регрессию для полученного преобразования. Таким образом, эта формула является той, с которой вы будете постоянно сталкиваться в машинном обучении. Модели линейной регрессии, которые используют приведенную выше формулу для подбора своих параметров, также известны как модели гребневой регрессии (модель линейной регрессии с использованием регуляризации L1 известны как модели LASSO ).Матрица TX \) похожа на добавление к этой матрице небольшого гребня по диагонали. Об этом стоит поговорить подробнее. Во-первых, это гарантирует, что матрица всегда обратима (гребенчатая регрессия была первоначально введена для обеспечения этой обратимости, а не как форма регуляризации). Это может пригодиться при работе с таким количеством столбцов, сколько строк, что является тем, что делают некоторые передовые методы машинного обучения — обычно при преобразовании данных, чтобы дать меру каждой строки друг от друга с использованием ядра или радиальной базовой функции. .TX \) матрица результат будет просто добавлением к диагональному члену для каждой переменной. Если бы мы действительно добавили шум, это привело бы к немного другим значениям, добавленным к каждому диагональному элементу, поэтому мы говорим, что это эквивалентно добавлению ожидаемого значения гауссовского шума. Эта взаимосвязь привела к процедуре фактического добавления гауссовского шума к каждой переменной в качестве средства регуляризации (или эффективной регуляризации для тех, кто хочет зарезервировать «регуляризацию» для методов, которые добавляют функцию регуляризации к проблеме оптимизации).Мы увидим, как это применяется в более поздних упражнениях. Опять же, несмотря на их сходство, регуляризация L1 и L2 также по-разному влияет на параметры модели. Оси x дают немного разные статистические данные, но в обоих случаях они измеряют степень регуляризации. , так что слева все параметры максимально регуляризованы (\ (\ lambda = \ infty \)), а справа — совсем не регуляризованы (\ (\ lambda = 0 \)). Пунктирная красная линия показывает значение \ (\ lambda \) и, следовательно, значения параметров, выбранные путем перекрестной проверки в этих конкретных случаях.Как видите, по мере увеличения параметра настройки лямбда-регуляризации L1 монотонно сжимает все параметры, и после уменьшения параметра до 0 он остается равным 0. На практике это означает, что параметры могут быть исключены из модели по мере увеличения лямбда. Применительно к линейным моделям такое поведение привело к тому, что регуляризация L1 рассматривалась как форма непрерывного выбора признаков — медленно снижая важность определенных коэффициентов, а затем один за другим отбрасывая их и, следовательно, полностью отбрасывая связанные с ними переменные.Эффект регуляризации L2 совершенно иной. Хотя общий (возведенный в квадрат) размер параметров монотонно уменьшается при увеличении параметра настройки лямбда, это не относится к отдельным параметрам, некоторые из которых даже имеют периоды увеличения. Кроме того, параметры, уменьшенные до 0 (до того, как лямбда станет бесконечной), будут стремиться пройти через ноль и продолжаться с другой стороны (что приведет к периодам увеличения). На практике это означает, что ни один параметр никогда не будет отброшен.

Внимание: относительная координата

Обратите внимание, что параметры, используемые статистической моделью, относятся к системе координат, в которой представлены переменные.Это может привести к странным результатам. Рассмотрим следующие случаи, когда мы создаем две модели полиномиальной регрессии третьего порядка на одних и тех же данных, где единственное отличие состоит в том, что ось x смещена на 100 единиц влево: кривая нерегуляризованной регрессии идентична. Однако регуляризованная кривая претерпела драматические изменения. Поскольку наши точки данных имеют гораздо большие значения x в новых координатах, свободные от регуляризации параметры намного больше, что делает регуляризацию намного более жесткой.Самый простой способ избежать этого — масштабировать и центрировать переменные. Это позволяет избежать обработки переменных, зависящих от единиц, и позволяет одинаково обращаться со всеми переменными с их дисперсией и масштабом, зависящими только от их статистических свойств. Вы должны думать об этом как о простом ведении дел: если у вас нет очень веской причины не делать этого, масштабируйте и центрируйте как часть предварительной обработки.

Другие источники

Существует семейство подобных методов регуляризации.Заинтересованный студент может обратиться к The Elements of Statistical Learning Тревора Хасти и др. для всестороннего обсуждения таких методов в контексте линейной регрессии.

смещение, дисперсия и регуляризация в линейной регрессии: лассо, гребень и эластичная сеть — различия и применения | Энтони Шамс

Фото pan xiaozhen на Unsplash

Регрессия — невероятно популярный и распространенный метод машинного обучения. Линейная регрессия, часто являющаяся отправной точкой в ​​обучении машинному обучению, представляет собой интуитивно понятный алгоритм для простых для понимания проблем.Обычно его можно использовать всякий раз, когда вы пытаетесь предсказать непрерывную переменную (переменную, которая может принимать любое значение в некотором числовом диапазоне), линейная регрессия и ее родственники часто являются сильными вариантами и почти всегда являются лучшим местом для начала.

Этот блог предполагает функциональное знание обычной линейной регрессии методом наименьших квадратов (МНК). Вы можете узнать больше о линейной регрессии OLS здесь, здесь или здесь.

От Симы Сингх

Большая часть построения лучших моделей в машинном обучении связана с компромиссом смещения и дисперсии.Под смещением понимается правильность (или неправильность) модели. Говорят, что очень простая модель, допускающая множество ошибок, имеет большую систематическую ошибку. Говорят, что очень сложная модель, которая хорошо работает с данными обучения, имеет низкую систематическую ошибку. Отрицательно коррелирует со смещением дисперсия модели, которая описывает, насколько прогноз может потенциально измениться, если один из предикторов немного изменится. В простой модели, упомянутой выше, простота модели заставляет ее прогнозы медленно меняться вместе со значением предиктора, поэтому она имеет низкую дисперсию.С другой стороны, наша сложная модель с низким смещением, вероятно, очень хорошо соответствует обучающим данным, поэтому прогнозы сильно различаются, поскольку значения предикторов меняются незначительно. Это означает, что эта модель имеет высокую дисперсию и не будет хорошо обобщаться на новые / невидимые данные.

Модель с низким смещением / высокой дисперсией демонстрирует то, что называется переобучением, когда в модели слишком много терминов и объясняется случайный шум в данных поверх общей тенденции. Это приводит к тому, что он плохо работает с данными, которые модель не видела раньше.Модель с высоким смещением / низкой дисперсией демонстрирует то, что называется недостаточной подгонкой, когда модель слишком проста / содержит слишком мало терминов, чтобы должным образом описать тенденцию, наблюдаемую в данных. Опять же, модель будет бороться с новыми данными. Ни один из этих типов моделей не является идеальным, мы хотели бы достичь какой-то золотой середины, где у нас есть надлежащее количество терминов для описания тенденции без подгонки к шуму. Поэтому нам нужен какой-то выбор функций, в котором предикторы, не связанные с зависимой переменной, не влияют на окончательную модель.

Изображение из Sydney Firmin

Компромисс смещения и дисперсии визуализирован выше. Общая ошибка модели состоит из трех членов: (систематическая ошибка) ², дисперсия и член несводимой ошибки. Как мы можем видеть на графике, наше оптимальное решение, в котором общая ошибка минимизирована, находится на некоторой промежуточной сложности модели, где нет ни смещения, ни дисперсии.

Линейная регрессия находит значения коэффициентов, которые увеличивают R² / минимизируют RSS. Но это может быть не лучшая модель, и она даст коэффициент для каждого предиктора.Сюда входят термины с небольшой предсказательной силой. Это приводит к модели с высокой дисперсией и низким смещением. Следовательно, у нас есть возможность улучшить нашу модель, торгуя некоторыми из этих отклонений с предвзятостью, чтобы уменьшить нашу общую ошибку. Эта сделка осуществляется в форме регуляризации, при которой мы модифицируем нашу функцию затрат, чтобы ограничить значения наших коэффициентов. Это позволяет нам обменять нашу чрезмерную дисперсию на некоторую предвзятость, потенциально уменьшая нашу общую ошибку.

Функция стоимости лассо из Википедии

Лассо (иногда стилизованное как LASSO или лассо) добавляет дополнительный член к функции стоимости, добавляя сумму значений коэффициентов (норма L-1), умноженную на постоянную лямбду.Этот дополнительный термин наказывает модель за наличие коэффициентов, которые не объясняют достаточное количество дисперсии в данных. Он также имеет тенденцию устанавливать коэффициенты упомянутых выше плохих предикторов 0. Это делает лассо полезным при выборе признаков.

Лассо, однако, не справляется с некоторыми типами данных. Если количество предикторов (p) больше, чем количество наблюдений (n), Лассо выберет не более n предикторов как ненулевых, даже если все предикторы релевантны. Лассо также будет бороться с коллинеарными функциями (они сильно связаны / коррелированы), в которых он выберет только один предиктор для представления полного набора коррелированных предикторов.Этот выбор также будет производиться случайным образом, что плохо для воспроизводимости и интерпретации.

Важно отметить, что если лямбда = 0, у нас фактически нет регуляризации, и мы получим решение OLS. Поскольку лямбда стремится к бесконечности, коэффициенты будут стремиться к 0, и модель будет просто постоянной функцией.

Благодаря Kyoosik Kim

Ridge regression также добавляет дополнительный член к функции стоимости, но вместо этого суммирует квадраты значений коэффициентов (норма L-2) и умножает их на некоторую постоянную лямбду.По сравнению с лассо, этот член регуляризации будет уменьшать значения коэффициентов, но не может принудительно установить коэффициент ровно 0. Это ограничивает использование гребенчатой ​​регрессии в отношении выбора признаков. Однако, когда p> n, в отличие от Lasso, при необходимости он может выбрать более n релевантных предикторов. Он также выберет группы коллинеарных функций, которые его изобретатели назвали «эффектом группировки».

Как и в случае с лассо, мы можем варьировать лямбда для получения моделей с разными уровнями регуляризации с лямбда = 0, соответствующей OLS, и лямбда, приближающейся к бесконечности, соответствующей к постоянной функции.

Интересно, что анализ регрессии Лассо и Риджа показал, что ни один метод не всегда лучше другого; нужно попробовать оба метода, чтобы определить, какой из них использовать (Hou, Hastie, 2005).

Благодаря Википедии

Elastic Net включает в себя термины регуляризации норм L-1 и L-2. Это дает нам преимущества как регрессии Лассо, так и регрессии Риджа. Было обнаружено, что он обладает большей предсказательной силой, чем Lasso, но при этом выполняет выбор функций. Таким образом, мы получаем лучшее из обоих миров, выполняя выбор функций Лассо с выбором группы функций Ridge.

Elastic Net требует дополнительных затрат на определение двух значений лямбда для оптимальных решений.

Используя набор данных Boston Housing, доступный в sklearn, мы рассмотрим результаты всех 4 наших алгоритмов. В дополнение к этим данным я масштабировал данные и создал 5 дополнительных «функций» случайного шума, чтобы проверить способность каждого алгоритма отфильтровывать нерелевантную информацию. Я не буду выполнять настройку каких-либо параметров; Я просто реализую эти алгоритмы из коробки. Вы можете увидеть параметры по умолчанию в документации sklearn.(Линейная регрессия, лассо, гребень и эластичная сеть.) Мой код в значительной степени заимствован из этого сообщения Джайеша Бапу Ахире. Мой код можно найти на моем гитхабе здесь.

Коэффициенты

Коэффициенты линейной регрессии

Мы можем видеть, что линейная регрессия присвоила ненулевые значения всем 5 нашим шумовым характеристикам, несмотря на то, что ни одна из них не имела никакой предсказательной силы. Интересно, что у этих шумовых характеристик есть коэффициенты с величинами, подобными некоторым реальным характеристикам в наборе данных.

Коэффициенты Лассо

Как мы и надеялись, Лассо хорошо справился с уменьшением всех 5 наших шумовых характеристик до 0, а также многих реальных характеристик из набора данных.Это действительно намного более простая модель, чем модель линейной регрессии.

Коэффициенты регрессии гребня

Регрессия гребня совершает ту же ошибку, что и нерегуляризованная линейная регрессия, присваивая значения коэффициентов нашим характеристикам шума. Мы также видим, что у некоторых функций очень маленькие коэффициенты.

Elastic Net Coefficients

Как и Lasso, Elastic Net делает коэффициенты нескольких признаков 0. Однако он не делает столько коэффициентов 0, сколько делает Lasso.

Характеристики модели

Среднеквадратичная ошибка различных моделей

Для приведенного примера, Ridge Regression была лучшей моделью согласно MSE.Это может показаться нелогичным, но важно помнить, что в модели регрессии гребня некоторая дисперсия была заменена смещением, что в конечном итоге привело к общей меньшей ошибке. В моделях Lasso и Elastic Net была обнаружена значительная дисперсия смещения, и мы видим, что наша ошибка увеличилась.

Интересно, что у лассо и эластичной сети MSE выше, чем у линейной регрессии. Но означает ли это, что эти модели однозначно хуже? Я бы не стал возражать, поскольку модели Lasso и Elastic Net также выполняли выбор функций, что дает нам лучшую интерпретируемость моделей.Коэффициенты интерпретируются как изменение зависимой переменной при увеличении значения предиктора на одну единицу, при , все остальные предикторы остаются постоянными. В случае сложных моделей предположение о том, что все другие предикторы остаются постоянными, не может быть разумно выполнено.

В конечном счете, какую модель использовать, зависит от цели анализа, с которой нужно начинать. Ищем лучшие прогнозы? Тогда лучше всего проявляется регресс гребня. Ищем ли мы интерпретируемость, чтобы лучше понять лежащие в основе данные? Тогда Elastic Net может стать лучшим решением.Имейте в виду, что я не настраивал параметры. Все эти алгоритмы имеют множество связанных параметров, которые можно настроить для улучшения модели в зависимости от целей анализа. Наша работа как практиков в области науки о данных — определить эти ожидания (до начала анализа), чтобы помочь нам найти лучшее решение.

1. Компромисс смещения и дисперсии — это компромисс между сложной и простой моделью, в которой, вероятно, лучше всего будет промежуточная сложность.
2. Lasso, Ridge Regression и Elastic Net являются модификациями обычной линейной регрессии методом наименьших квадратов, которые используют дополнительные штрафные члены в функции стоимости для сохранения малых значений коэффициентов и упрощения модели.
3. Лассо полезно для выбора объектов, когда в нашем наборе данных есть объекты с плохой предсказательной силой.
4. Регрессия гребня полезна для эффекта группирования, при котором коллинеарные объекты могут быть выбраны вместе.
5. Эластичная сеть сочетает в себе лассо и гребенчатую регрессию, что потенциально приводит к модели, которая является одновременно простой и прогнозирующей.

Регрессия гребня для лучшего использования | автор: Qshick

Цель этого поста — дать вам возможность лучше использовать гребневую регрессию, чем просто использовать то, что предоставляют библиотеки.Затем «Что такое регрессия хребта?». Самый простой способ ответить на вопрос — « Вариация линейной регрессии» . Худший способ — начать со следующих математических уравнений, которые не многие могут понять с первого взгляда.

Плохая новость в том, что нам все еще предстоит с этим справиться, и хорошая новость в том, что мы не будем начинать с подобных уравнений, хотя и не сейчас. Я бы хотел начать с «Обычных наименьших квадратов (OLS)». Если вы мало или совсем не разбираетесь в линейной регрессии, это видео поможет вам понять, как она работает, используя «метод наименьших квадратов».Теперь вы знаете, что OLS подобен тому, что мы обычно называем «линейной регрессией», и я буду использовать этот термин как таковой.

Перед тем, как двигаться дальше

В следующих разделах я буду использовать разные подходы с различными терминами и цифрами. Вам нужно запомнить две вещи. Во-первых, мы не любим переоснащение. Другими словами, мы всегда предпочитаем модель, которая улавливает общие закономерности . Во-вторых, наша цель — прогнозировать это на основе новых данных, а не конкретных данных. Следовательно, оценка модели должна основываться на новых данных (тестовый набор), а не на данных (обучающий набор) .Кроме того, я буду использовать следующие термины как синонимы.

• Независимая переменная = Характеристика = Атрибут = Предиктор = X
• Коэффициент = Бета = β
• Остаточная сумма квадратов = RSS

Метод наименьших квадратов находит Лучшие несмещенные коэффициенты и

21

Возможно, вы знаете, что метод наименьших квадратов находит коэффициенты, которые лучше всего соответствуют данным. Еще одно условие, которое следует добавить, это то, что он также находит несмещенные коэффициенты.Здесь несмещенная означает, что OLS не учитывает, какая независимая переменная важнее других . Он просто находит коэффициенты для заданного набора данных. Короче говоря, можно найти только один набор бета-версий, что дает наименьшую «остаточную сумму квадратов (RSS)». Тогда возникает вопрос : «Действительно ли модель с самым низким RSS является лучшей моделью?» .

Смещение по сравнению с дисперсией

Ответ на вопрос выше: «Не совсем» . Как указано в слове «Беспристрастность», нам также необходимо учитывать «предвзятость».Смещение означает, насколько одинаково модель заботится о своих предсказателях. Допустим, есть две модели для прогнозирования цены на яблоко с двумя предикторами «сладость» и «блеск»; одна модель беспристрастна, а другая предвзята.

Во-первых, объективная модель пытается найти взаимосвязь между двумя функциями и ценами, как это делает метод OLS. Эта модель будет максимально соответствовать наблюдениям, чтобы минимизировать RSS. Однако это может легко привести к проблемам с переоборудованием. Другими словами, модель не будет работать так же хорошо с новыми данными, потому что она построена для данных данных настолько конкретно, что может не соответствовать новым данным.

Смещенная модель принимает переменные неодинаково, чтобы трактовать каждый предиктор по-разному. Возвращаясь к примеру, мы хотели бы заботиться только о «сладости» для построения модели, и это должно работать лучше с новыми данными. Причина будет объяснена после понимания отклонения и отклонения . Если вы не знакомы с темой о смещении и дисперсии, я настоятельно рекомендую вам посмотреть это видео, которое даст вам понимание.

Можно сказать, что смещение связано с тем, что модель не соответствует обучающему набору, а дисперсия связана с тем, что модель не соответствует набору тестирования .Смещение и дисперсия находятся в компромиссном соотношении по сравнению со сложностью модели, что означает, что простая модель будет иметь высокое смещение и низкую дисперсию, и наоборот. В нашем примере с яблоком модель, учитывающая только «сладость», не будет соответствовать обучающим данным в такой степени, как другая модель, учитывающая и «сладость», и «блеск», но более простая модель будет лучше предсказывать новые данные.

Это потому, что «сладость» является определяющим фактором цены, в то время как «сияние» не должно соответствовать здравому смыслу. Мы все знаем это как человек, но математические модели не думают так, как мы, и просто вычисляют то, что дано, до тех пор, пока не найдут некоторую связь между всеми предикторами и независимой переменной, подходящую для данных обучения.

* Примечание : Мы предполагаем, что «сладость» и «блеск» не коррелированы

Если посмотреть на фигуру смещения и дисперсии , ось Y — это «Ошибка», которая является «суммой смещения и дисперсии». . Поскольку оба они в основном связаны с ошибками, мы хотели бы минимизировать их. Теперь, внимательно посмотрев на рисунок, вы обнаружите, что место, где общая ошибка является наименьшей, находится где-то посередине. Это часто называют «сладким пятном».

Напомним, что OLS обрабатывает все переменные одинаково (беспристрастно).Следовательно, модель OLS становится более сложной по мере добавления новых переменных. Можно сказать, что модель OLS всегда находится в правой части фигуры, имея наименьшее смещение и наибольшую дисперсию. Он там зафиксирован, никогда не перемещается, но мы хотим переместить его в золотую середину. Именно тогда засияла бы регрессия гребня, также называемая Регуляризация . I n регрессия гребня, вы можете настроить параметр лямбда так, чтобы коэффициенты модели изменились на . Лучше всего это можно понять с помощью демонстрации программирования, которая будет представлена ​​в конце.

Часто графика помогает получить представление о том, как работает модель, и регресс гребня не является исключением. На следующем рисунке представлена ​​геометрическая интерпретация для сравнения МНК и регрессии гребня.

Контуры и оценка OLS

Каждый контур представляет собой соединение точек с одинаковым RSS, центрированным с оценкой OLS, где RSS является самым низким. Кроме того, оценка OLS — это точка, в которой она лучше всего соответствует обучающему набору (с низким смещением).

Оценка по кругу и гребню

В отличие от оценки OLS оценка гребня изменяется по мере изменения размера синего круга.Это просто место, где круг встречается с самым внешним контуром. Как работает гребневая регрессия, мы настраиваем размер круга. Ключевым моментом является то, что β меняются на другом уровне .

Допустим, β 1 — это «блеск», а β 2 — «сладость». Как вы можете видеть, гребень β 1 относительно быстрее падает до нуля, чем гребень β 2, при изменении размера круга (сравните два рисунка). Причина, по которой это происходит, заключается в том, что β по-разному изменяет RSS.Более интуитивно понятно, что контуры представляют собой не круги, а эллипсы, расположенные под наклоном.

Ridge β никогда не может быть нулевым, но только сходятся к нему , и это будет объяснено ниже с помощью математической формулы. Хотя подобное геометрическое выражение довольно хорошо объясняет основную идею, есть ограничение, что мы не можем выразить ее в трехмерном пространстве. Итак, все сводится к математическим выражениям.

Мы видели уравнение множественной линейной регрессии как в общих чертах, так и в матричной версии.В другой версии это можно записать следующим образом.

Здесь argmin означает «аргумент минимума», при котором функция достигает минимума. В контексте он находит β , которые минимизируют RSS. И мы знаем, как получить β из матричной формулы. Теперь возникает вопрос: «Какое это имеет отношение к регрессии гребня?».

Опять же, гребневая регрессия — это вариант линейной регрессии. Вышеупомянутый член является ограничением гребня для уравнения OLS.Мы ищем β , но теперь они также должны соответствовать указанным выше ограничениям. Возвращаясь к геометрической фигуре, C эквивалентен радиусу круга, таким образом, β должны попадать в область круга, вероятно, где-то на краю.

Vector Norm

Мы все еще хотим понять самое первое уравнение. Для этого нам нужно освежить векторную норму, которая представляет собой не что иное, как следующее определение.

Подписка 2 такая же, как в «L2 norm», и вы можете узнать больше о векторных нормах здесь.В данный момент нас интересует только норма L2, поэтому мы можем построить уравнение, которое мы уже видели. Следующее является самым простым, но все же говорит то же самое, что и то, что мы обсуждали. Обратите внимание, что первый член в следующем уравнении — это в основном OLS, а второй член с лямбда — это то, что делает регрессию гребня.

Что мы действительно хотим найти

Термин с лямбдой часто называют «штрафом», поскольку он увеличивает RSS. Мы повторяем определенные значения лямбда и оцениваем модель с помощью таких измерений, как «Среднеквадратичная ошибка (MSE)».Таким образом, значение лямбда, которое минимизирует MSE, должно быть выбрано в качестве окончательной модели. Эта модель регрессии гребня обычно лучше, чем модель OLS в прогнозе . Как видно из приведенной ниже формулы, гребень β изменяется с лямбда и становится таким же, как OLS β , если лямбда равна нулю (без штрафа).

Почему оно сходится к нулю, но не становится нулем

При развертывании матричной формулы, которую мы видели ранее, лямбда оказывается в знаменателе. Это означает, что если мы увеличим значение лямбда, ребро β должно уменьшиться.Но ребра β не могут быть нулями, независимо от того, насколько велико значение лямбда. Таким образом, гребенчатая регрессия присваивает характеристикам разные веса важности, но не отбрасывает неважные.

Набор данных «Boston House Price» из библиотеки sklearn используется для демонстрации. В этих метаданных описано более десятка функций. Следующие библиотеки python необходимы на протяжении всей демонстрации.

* Полный код можно найти на моем github

Теперь набор данных загружен, следовательно, функции должны быть стандартизированы.Поскольку регрессия гребня сужает коэффициенты за счет штрафов, функции должны быть масштабированы, чтобы начальное условие было справедливым. В этом посте объясняется еще несколько подробностей об этой проблеме.

Затем мы можем перебрать значения лямбда в диапазоне от 0 до 199. Обратите внимание, что коэффициенты при лямбда, равном нулю ( x = 0), совпадают с коэффициентами OLS.

Теперь мы можем нарисовать график из фрейма данных. Для лучшей визуализации выбраны только пять атрибутов.

«Комната» должна быть лучшим индикатором цены дома интуитивно.Вот почему красная линия не сжимается во время итерации. Напротив, «Доступ к автомагистрали» (синий) заметно уменьшается, что означает, что функция теряет свою важность, поскольку мы ищем более общие модели.

Аналогичные узоры видны от остальных, сходящихся к нулю, черной пунктирной линии. Если мы будем увеличивать лямбду все больше и больше (чрезвычайно предвзято), тогда только «Комната» будет оставаться значимой, что снова имеет смысл, потому что количество комнат должно больше всего объяснять.

Приведенный выше фрагмент кода рисует MSE, отслеживаемую лямбда-выражением.Поскольку модель становится проще (= смещенной) по мере того, как большее значение устанавливается на лямбда, ось X представляет простоту модели слева направо.

Зеленая пунктирная линия соответствует OLS на графике выше, ось X проведена путем увеличения значений лямбда. Значения MSE уменьшаются вначале по мере увеличения значения лямбда, что означает, что прогноз модели улучшается (меньше ошибок) до определенной точки. Короче говоря, модель OLS с некоторым смещением лучше предсказывает, чем чистая модель OLS , мы называем эту модифицированную модель OLS моделью регрессии гребня.

Мы рассмотрели гребневую регрессию под разными углами, от математической формулы, формата матрицы до геометрического выражения. Благодаря им мы могли понять, что регрессия гребня — это, по сути, линейная регрессия со штрафом. С помощью демонстрации мы подтвердили, что не существует уравнения для поиска наилучшего лямбда . Таким образом, нам нужно было перебрать серию значений и оценить характеристики прогнозирования с помощью MSE. Таким образом, мы обнаружили, что модель регрессии гребня работает лучше, чем модель простой линейной регрессии для прогнозирования.

• OLS просто находит наилучшее соответствие заданным данным
• Функции имеют различный вклад в RSS
• Регрессия гребня дает смещение к важным характеристикам
• MSE или R-квадрат можно использовать для поиска наилучшего лямбда

Штрафная регрессия Основы: гребень, лассо и эластичная сеть — Статьи

Стандартная линейная модель (или обычный метод наименьших квадратов) плохо работает в ситуации, когда у вас есть большой многомерный набор данных, содержащий количество переменных, превышающее количество выборок.

Лучшей альтернативой является штрафная регрессия , позволяющая создать модель линейной регрессии, которая штрафуется за слишком много переменных в модели, добавляя ограничение в уравнение (Джеймс и др., 2014, П. Брюс и Брюс (2017)). Это также известно как методы усадки или регуляризации .

Последствием наложения этого штрафа является уменьшение (т.е. уменьшение) значений коэффициентов до нуля. Это позволяет менее значимым переменным иметь коэффициент, близкий к нулю или равный нулю.

Обратите внимание, что усадка требует выбора параметра настройки (лямбда), который определяет величину усадки.

В этой главе мы опишем наиболее часто используемые методы регрессии со штрафами, включая гребенчатую регрессию , лассо-регрессию и эластичную чистую регрессию . Мы также предоставим практические примеры в р.

.

Методы усадки

Регрессия хребта

Регрессия Риджа сужает коэффициенты регрессии, так что переменные, с незначительным вкладом в результат, имеют коэффициенты, близкие к нулю.

Уменьшение коэффициентов достигается за счет наложения на регрессионную модель штрафного члена, называемого L2-норма , который представляет собой сумму квадратов коэффициентов.

Размер штрафа можно точно настроить с помощью константы, называемой лямбда (\ (\ lambda \)). Выбор хорошего значения для \ (\ lambda \) имеет решающее значение.

Когда \ (\ lambda = 0 \), штрафной член не действует, и гребенчатая регрессия дает классические коэффициенты наименьших квадратов. Однако, когда \ (\ lambda \) увеличивается до бесконечности, влияние штрафа за усадку возрастает, и коэффициенты регрессии гребня будут близки к нулю.

Обратите внимание, что, в отличие от обычной регрессии по методу наименьших квадратов, на гребневую регрессию сильно влияет масштаб предикторов. Следовательно, лучше стандартизировать (то есть масштабировать) предикторы перед применением гребневой регрессии (Джеймс и др., 2014), чтобы все предикторы были в одном масштабе.

Стандартизация предиктора x может быть достигнута с помощью формулы x '= x / sd (x) , где sd (x) — стандартное отклонение x. Следствием этого является то, что все стандартизованные предикторы будут иметь стандартное отклонение, равное единице, что позволяет окончательной подгонке не зависеть от шкалы, в которой измеряются предикторы.

Одним из важных преимуществ гребневой регрессии является то, что она по-прежнему хорошо работает по сравнению с обычным методом наименьших квадратов (глава @ref (линейная регрессия)) в ситуации, когда у вас есть большие многомерные данные с количеством предикторов ( p) больше, чем количество наблюдений (n).

Одним из недостатков гребневой регрессии является то, что она будет включать все предикторы в окончательную модель, в отличие от методов пошаговой регрессии (глава @ref (пошаговая регрессия)), которые обычно выбирают модели, которые включают сокращенный набор переменных.

Регрессия Риджа уменьшает коэффициенты до нуля, но не устанавливает ни один из них точно в ноль. Регрессия лассо — альтернатива, которая преодолевает этот недостаток.

Регрессия Лассо

Лассо означает оператор наименьшей абсолютной усадки и выделения. Он уменьшает коэффициенты регрессии до нуля, накладывая на модель регрессии штрафной член, называемый L1-norm , который представляет собой сумму абсолютных коэффициентов.

В случае регрессии лассо штраф приводит к тому, что некоторые оценки коэффициентов с незначительным вкладом в модель становятся точно равными нулю.Это означает, что лассо можно также рассматривать как альтернативу методам выбора подмножества для выполнения выбора переменных, чтобы уменьшить сложность модели.

Как и в случае регрессии гребня, выбор хорошего значения \ (\ lambda \) для лассо имеет решающее значение.

Одно очевидное преимущество регрессии лассо перед регрессией гребня состоит в том, что она дает более простые и более интерпретируемые модели, которые включают только сокращенный набор предикторов. Однако ни регрессия гребня, ни лассо не будут повсеместно доминировать над другим.

Как правило, лассо может работать лучше в ситуации, когда некоторые из предикторов имеют большие коэффициенты, а остальные предикторы имеют очень маленькие коэффициенты.

Регрессия хребта будет работать лучше, когда результат будет функцией многих предикторов, все с коэффициентами примерно одинакового размера (Джеймс и др., 2014).

Методы перекрестной проверки могут использоваться для определения того, какой из этих двух методов лучше подходит для конкретного набора данных.

Эластичная сетка

Elastic Net создает регрессионную модель, для которой применяются как L1-норма , так и L2-norm .Следствием этого является эффективное уменьшение коэффициентов (как в регрессии гребня) и установка некоторых коэффициентов на ноль (как в LASSO).

Загрузка необходимых пакетов R

• tidyverse для простой обработки данных и визуализации
• caret для упрощения рабочего процесса машинного обучения
• glmnet , для вычисления штрафной регрессии

  библиотека (tidyverse)
библиотека (каретка)
библиотека (glmnet)  

Подготовка данных

Мы будем использовать набор данных Boston [в пакете MASS ], представленный в главе @ref (регрессионный анализ), для прогнозирования медианной стоимости дома ( mdev ) в пригороде Бостона на основе множественного предиктора. переменные.

Мы случайным образом разделим данные на обучающий набор (80% для построения прогнозной модели) и тестовый набор (20% для оценки модели). Обязательно установите семена для воспроизводимости.

  # Загрузить данные
data ("Бостон", package = "MASS")
# Разделить данные на обучающий и тестовый набор
набор. семян (123)
training.samples%
  createDataPartition (p = 0,8, список = FALSE)
train.data  

Вычисление штрафной линейной регрессии

Дополнительная подготовка данных

Необходимо создать два объекта:

• y для хранения выходной переменной
• x для хранения переменных-предикторов.Это должно быть создано с помощью функции model.matrix () , позволяющей автоматически преобразовывать любые качественные переменные (если есть) в фиктивные переменные (Глава @ref (regression-with-category-variables)), что важно, потому что glmnet () может принимать только числовые, количественные данные. После создания матрицы модели мы удаляем компонент перехвата с индексом = 1.

  # Переменные-предикторы
х  

R функции

Мы будем использовать функцию R glmnet () [пакет glmnet] для вычисления моделей линейной регрессии со штрафом.

Упрощенный формат выглядит следующим образом:

  glmnet (x, y, альфа = 1, лямбда = NULL)  

• x : матрица переменных-предикторов
• y : переменная ответа или результата, которая является двоичной переменной.
• alpha : параметр смешивания эластичной сетки. Допустимые значения включают:
  • «1»: для регрессии лассо
  • «0»: для регрессии гребня
  • значение от 0 до 1 (скажем, 0,3) для эластичной чистой регрессии.
• lamba : числовое значение, определяющее степень усадки. Уточняет аналитик.

В регрессии со штрафами необходимо указать константу лямбда , чтобы отрегулировать величину сжатия коэффициента. Лучшая лямбда для ваших данных может быть определена как лямбда , которая минимизирует частоту ошибок предсказания перекрестной проверки. Это можно определить автоматически с помощью функции cv.glmnet () .

В следующих разделах мы начнем с вычисления моделей регрессии гребня, лассо и эластичной чистой регрессии. Затем мы сравним разные модели, чтобы выбрать лучшую для наших данных.

Лучшая модель определяется как модель с наименьшей ошибкой прогнозирования, RMSE (глава @ref (метрики точности модели регрессии)).

Вычислительная регрессия гребня

  # Найдите лучшую лямбду с помощью перекрестной проверки
набор. семян (123)
cv  

  ## [1] 0.758  

  # Подгоняем окончательную модель на данные обучения
модель  

  ## 14 x 1 разреженная матрица класса "dgCMatrix"
## s0
## (Перехват) 28.69633
## обжим -0.07285
## zn 0,03417
## indus -0.05745
## chas 2.49123
## nox -11.09232
## rm 3.98132
## возраст -0.00314
## дис -1.19296
## рад 0,14068
## налог -0.00610
## ptratio -0.86400
## черный 0,00937
## lstat -0.47914  

  # Делаем прогнозы на основе тестовых данных
x.test% предсказать (x.test)%>% as.vector ()
# Метрики производительности модели
data.frame (
  RMSE = RMSE (прогнозы, test.data $ medv),
  Rsquare = R2 (прогнозы, test.data $ medv)
)  

  ## RMSE Rsquare
## 1 4,98 0,671  

Обратите внимание, что по умолчанию функция glmnet () стандартизирует переменные, чтобы их масштабы были сопоставимы. Однако коэффициенты всегда возвращаются в исходном масштабе.

Вычисление регрессии лассо

Единственное различие между кодом R, используемым для регрессии гребня, состоит в том, что для регрессии лассо вам нужно указать аргумент альфа = 1 вместо альфа = 0 (для регрессии гребня).

  # Найдите лучшую лямбду с помощью перекрестной проверки
набор. семян (123)
cv  

  ## [1] 0,00852  

  # Подгоняем окончательную модель на данные обучения
модель  

  ## 14 x 1 разреженная матрица класса "dgCMatrix"
## s0
## (Перехват) 36.

## обжим -0.09222
## zn 0,04842
## indus -0.00841
## chas 2.28624
## nox -16.79651
## rm 3.81186
## возраст           .
## dis -1.59603
## рад 0,28546
## налог -0.01240
## ptratio -0.95041
## черный 0,00965
## lstat -0.52880  

  # Делаем прогнозы на основе тестовых данных
x.test% предсказать (x.test)%>% as.vector ()
# Метрики производительности модели
data.frame (
  RMSE = RMSE (прогнозы, тест.data $ medv),
  Rsquare = R2 (прогнозы, test.data $ medv)
)  

  ## RMSE Rsquare
## 1 4,99 0,671  

Вычисление эластичной сетевой регрессии

Эластичная чистая регрессия может быть легко вычислена с помощью рабочего процесса caret , который вызывает пакет glmnet .

Мы используем каретку для автоматического выбора наилучших параметров настройки альфа и лямбда . Пакеты caret тестируют диапазон возможных значений alpha, и lambda , затем выбирают лучшие значения для лямбда и альфа, в результате чего получается окончательная модель, которая является эластичной сетевой моделью.

Здесь мы проверим комбинацию 10 различных значений для альфа и лямбда . Это указывается с помощью опции tuneLength .

Наилучшие значения alpha и lambda — это те значения, которые минимизируют ошибку перекрестной проверки (глава @ref (перекрестная проверка)).

  # Построить модель с помощью обучающего набора
набор. семян (123)
модель  

  ## альфа лямбда
## 6 0,1 0,21  

  # Коэффициент финальной модели.Тебе нужно
# чтобы указать лучшую лямбду
coef (модель $ finalModel, модель $ bestTune $ lambda)  

  ## 14 x 1 разреженная матрица класса "dgCMatrix"
## 1
## (Перехват) 33.04083
## crim -0.07898
## zn 0,04136
## indus -0.03093
## chas 2.34443
## nox -14.30442
## rm 3.90863
## возраст           .
## dis -1.41783
## рад 0.20564
## налог -0.00879
## ptratio -0.91214
## черный 0.00946
## lstat -0.51770  

  # Делаем прогнозы на основе тестовых данных
x.test% предсказать (x.test)
# Метрики производительности модели
data.frame (
  RMSE = RMSE (прогнозы, test.data $ medv),
  Rsquare = R2 (прогнозы, test.data $ medv)
)  

  ## RMSE Rsquare
## 1 4,98 0,672  

Сравнение различных моделей

Показатели производительности различных моделей сопоставимы. Используя лассо или эластичную чистую регрессию, установите коэффициент переменной-предиктора , возраст равным нулю, что приведет к более простой модели по сравнению с регрессией гребня, которая включает все переменные-предикторы.

При прочих равных, мы должны выбрать более простую модель. В нашем примере мы можем выбрать модели лассо или эластичной чистой регрессии.

Обратите внимание, что мы можем легко вычислить и сравнить регрессию гребня, лассо и эластичную чистую регрессию, используя рабочий процесс caret .

caret автоматически выберет лучшие значения параметров настройки, вычислит окончательную модель и оценит производительность модели с использованием методов перекрестной проверки.

Использование пакета каретки

0. Настройка диапазона сетки лямбда-значений :

  лямбда  

1. Вычислить регрессию гребня :

  # Построить модель
набор.семя (123)
гребень% предсказать (test.data)
# Производительность прогнозирования модели
data.frame (
  RMSE = RMSE (прогнозы, test.data $ medv),
  Rsquare = R2 (прогнозы, test.data $ medv)
)  

2. Вычислить регрессию лассо :

  # Построить модель
набор. семян (123)
лассо% предсказать (test.data)
# Производительность прогнозирования модели
data.frame (
  RMSE = RMSE (прогнозы, test.data $ medv),
  Rsquare = R2 (прогнозы, test.data $ medv)
)  

3. Эластичная регрессия сети :

  # Построить модель
набор.семя (123)
эластичный% прогноз (test.data)
# Производительность прогнозирования модели
data.frame (
  RMSE = RMSE (прогнозы, test.data $ medv),
  Rsquare = R2 (прогнозы, test.data $ medv)
)  

4. Сравнение производительности моделей :

Характеристики различных моделей — конька, лассо и эластичной сетки — можно легко сравнить с кареткой . Лучшая модель определяется как та, которая минимизирует ошибку предсказания.

  моделей% сводка (метрика = "RMSE")  

  ##
## Вызов:
## резюме.повторные выборки (объект =., metric = "RMSE")
##
## Модели: конек, лассо, резинка
## Количество повторных выборок: 10
##
## RMSE
## Мин. 1st Qu. Среднее значение 3-го кв. Максимум. NA
## гребень 3,10 3,96 4,38 4,73 5,52 7,43 0
## лассо 3,16 4,03 4,39 4,73 5,51 7,27 0
## эластичный 3,13 4,00 4,37 4,72 5,52 7,32 0  

Видно, что модель эластичной сети имеет самую низкую медианную среднеквадратичную ошибку.

Лямбда | Ускоренный курс машинного обучения

Расчетное время: 8 минут

Разработчики моделей настраивают общее влияние срока регуляризации на
умножение его значения на скаляр, известный как лямбда (также называемый
(коэффициент регуляризации ).То есть разработчики модели стремятся
следующее:

$$ \ text {минимизировать (Потеря (Данные | Модель)} + \ lambda \ text {сложность (Модель))} $$

Выполнение L ₂ регуляризация имеет следующий эффект на модели

• Призывает значения веса к 0 (но не совсем 0)
• Поощряет среднее значение весов к 0, с нормальным
  (колоколообразное или гауссово) распределение.

Увеличение значения лямбда усиливает эффект регуляризации.Например, гистограмма весов для высокого значения лямбда
может выглядеть так, как показано на Рисунке 2.

Рисунок 2. Гистограмма весов.

Понижение значения лямбда имеет тенденцию давать более плоскую гистограмму, так как
показано на рисунке 3.

Рис. 3. Гистограмма весов, полученная при более низком значении лямбда.

При выборе значения лямбда цель состоит в том, чтобы найти правильный баланс между
простота и соответствие обучающим данным:

• Если ваше значение лямбда слишком велико, ваша модель будет простой, но вы
  рискуете, что не будет соответствовать вашим данным.Ваша модель недостаточно узнает
  об обучающих данных, чтобы делать полезные прогнозы.

• Если ваше значение лямбда слишком низкое, ваша модель будет более сложной, и вы
  рискуете, что переоборудуют ваших данных. Ваша модель тоже научится
  много об особенностях обучающих данных, и не буду
  возможность обобщения на новые данные.

Примечание: Установка лямбды на ноль полностью удаляет регуляризацию.
В этом случае тренировка ориентирована исключительно на минимизацию потерь, которые
представляет собой максимально возможный риск переобучения.

Идеальное значение лямбда дает модель, которая хорошо обобщается на
новые, ранее невидимые данные.
К сожалению, это идеальное значение лямбда зависит от данных,
так что тебе нужно будет сделать кое-что

тюнинг.

Щелкните значок плюса, чтобы узнать о регуляризации и скорости обучения

L ₂ .


Между скоростью обучения и лямбдой существует тесная связь.
Сильный L ₂ Значения регуляризации имеют тенденцию
чтобы приблизить вес элементов к 0. Уменьшить
темпы обучения (с ранним прекращением) часто дают одинаковые
эффект, потому что шаги от 0 не такие большие.Следовательно, настройка скорости обучения и лямбда
одновременно могут иметь смешанные эффекты.

Ранняя остановка означает завершение обучения до того, как модель полностью
достигает конвергенции. На практике мы часто получаем
количество неявных преждевременных остановок при обучении в
онлайн
(непрерывная) мода. То есть каких-то новых трендов просто не было.
достаточно данных, чтобы сойтись.

Как уже отмечалось, эффекты от изменений параметров регуляризации могут быть
смешанный с эффектами от изменений скорости обучения или количества
итераций.Одна полезная практика (при обучении на фиксированном пакете данных)
состоит в том, чтобы дать себе достаточно большое количество итераций, чтобы
остановка не играет роли.

Ключевые термины

.

No related posts.