Оценка факториала: Факториал ℹ️ определение, формула, обозначение, основные свойства и функции, таблица, алгоритмы нахождения, примеры задач с решениями, онлайн-калькулятор

Факториал — это… Что такое Факториал?

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Другие свойства

• Для натурального числа n

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

Кратный факториал

m-Кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом:

Пусть число n представимо в виде где Тогда^[1]

Двойной факториал является частным случаем m-кратного факториала для m = 2.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[2]:

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n. Например,

11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

где для и

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Примечания

1. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
2. ↑ wolframalpha.com.

Двойной факториал — это… Что такое Двойной факториал?

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = Γ(n + 1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

Таким образом,

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

• x!² > x^x > x! > = x, при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Основная статья: Большие числа

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

В общем

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Wikimedia Foundation.
2010.

0! = 1? или почему факториал нуля равен единице / Хабр

Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.

Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал 🙂

Для начала вспомним общую теорию:

Факториа́л числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

На самом же деле факториал нуля вполне вычислим!

Для этого нам нужно проделать простую последовательность обычных математических операций.

Попробуем в действии на примере факториала n = 4 (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)

Попробуем вычислить этим способом факториал 3 (3! = 1 * 2 * 3 = 6)

Берем четыре числа в степени 3 и вычисляем «пирамидальную разность» (сам придумал)

1³ 2³ 3³ 4³
1 8 27 64

(8 — 1) (27 — 8) (64 — 27)

7 19 37

(19 — 7) (37 — 19)

12 18

(18 — 12)

6

Все сходится!

Ну и для 1 попробуем (1! = 1)

1¹ 2¹
1 2

(2 — 1)

1

Вы уже догадались? 🙂

Все очень просто и для нуля:

Берем n + 1 чисел в степени 0, тоесть достаточно и одного

1^o
1

Вуaля! Любое число в степени 0 равно 1. В этом, кстати, слабость моего способа, он использует определение.

Но тем не менее, я считаю, что это здорово 🙂

Спасибо за внимание!

P.S.:

Как многие подметили это не доказательство, а всего лишь забавная закономерность.

Оценка сложности алгоритмов / Хабр

Введение

Для любого программиста важно знать основы теории алгоритмов, так как именно эта наука изучает общие характеристики алгоритмов и формальные модели их представления. Ещё с уроков информатики нас учат составлять блок-схемы, что, в последствии, помогает при написании более сложных задач, чем в школе. Также не секрет, что практически всегда существует несколько способов решения той или иной задачи: одни предполагают затратить много времени, другие ресурсов, а третьи помогают лишь приближённо найти решение.

Всегда следует искать оптимум в соответствии с поставленной задачей, в частности, при разработке алгоритмов решения класса задач.

Важно также оценивать, как будет вести себя алгоритм при начальных значениях разного объёма и количества, какие ресурсы ему потребуются и сколько времени уйдёт на вывод конечного результата.

Этим занимается раздел теории алгоритмов – теория асимптотического анализа алгоритмов.

Предлагаю в этой статье описать основные критерии оценки и привести пример оценки простейшего алгоритма. На Хабрахабре уже есть статья про методы оценки алгоритмов, но она ориентирована, в основном, на учащихся лицеев. Данную публикацию можно считать углублением той статьи.

Определения

Основным показателем сложности алгоритма является время, необходимое для решения задачи и объём требуемой памяти.
Также при анализе сложности для класса задач определяется некоторое число, характеризующее некоторый объём данных – размер входа.
Итак, можем сделать вывод, что сложность алгоритма – функция размера входа.
Сложность алгоритма может быть различной при одном и том же размере входа, но различных входных данных.

Существуют понятия сложности в худшем, среднем или лучшем случае. Обычно, оценивают сложность в худшем случае.

Временная сложность в худшем случае – функция размера входа, равная максимальному количеству операций, выполненных в ходе работы алгоритма при решении задачи данного размера.
Ёмкостная сложность в худшем случае – функция размера входа, равная максимальному количеству ячеек памяти, к которым было обращение при решении задач данного размера.

Порядок роста сложности алгоритмов

Порядок роста сложности (или аксиоматическая сложность) описывает приблизительное поведение функции сложности алгоритма при большом размере входа. Из этого следует, что при оценке временной сложности нет необходимости рассматривать элементарные операции, достаточно рассматривать шаги алгоритма.

Шаг алгоритма – совокупность последовательно-расположенных элементарных операций, время выполнения которых не зависит от размера входа, то есть ограничена сверху некоторой константой.

Виды асимптотических оценок

O – оценка для худшего случая

Рассмотрим сложность f(n) > 0, функцию того же порядка g(n) > 0, размер входа n > 0.
Если f(n) = O(g(n)) и существуют константы c > 0, n₀ > 0, то
0 < f(n) < c*g(n),
для n > n₀.

Функция g(n) в данном случае асимптотически-точная оценка f(n). Если f(n) – функция сложности алгоритма, то порядок сложности определяется как f(n) – O(g(n)).

Данное выражение определяет класс функций, которые растут не быстрее, чем g(n) с точностью до константного множителя.

Примеры асимптотических функций

Ω – оценка для лучшего случая

Определение схоже с определением оценки для худшего случая, однако
f(n) = Ω(g(n)), если
0 < c*g(n) < f(n)

Ω(g(n)) определяет класс функций, которые растут не медленнее, чем функция g(n) с точностью до константного множителя.

Θ – оценка для среднего случая

Стоит лишь упомянуть, что в данном случае функция f(n) при n > n₀ всюду находится между c₁*g(n) и c₂*g(n), где c – константный множитель.
Например, при f(n) = n² + n; g(n) = n².

Критерии оценки сложности алгоритмов

Равномерный весовой критерий (РВК) предполагает, что каждый шаг алгоритма выполняется за одну единицу времени, а ячейка памяти за одну единицу объёма (с точностью до константы).
Логарифмический весовой критерий (ЛВК) учитывает размер операнда, который обрабатывается той или иной операцией и значения, хранимого в ячейке памяти.

Временная сложность при ЛВК определяется значением l(O_p), где O_p – величина операнда.
Ёмкостная сложность при ЛВК определяется значением l(M), где M – величина ячейки памяти.

Пример оценки сложности при вычислении факториала

Необходимо проанализировать сложность алгоритма вычисление факториала. Для этого напишем на псевдокоде языка С данную задачу:

void main() {
  int result = 1;
  int i;
  const n = ...;
  for (i = 2; i <= n; i++)
    result = result * n;
}

Временная сложность при равномерном весовом критерии

Достаточно просто определить, что размер входа данной задачи – n.
Количество шагов – (n — 1).

Таким образом, временная сложность при РВК равна O(n).

Временная сложность при логарифмическом весовом критерии

В данном пункте следует выделить операции, которые необходимо оценить. Во-первых, это операции сравнения. Во-вторых, операции изменения переменных (сложение, умножение). Операции присваивания не учитываются, так как предполагается, что она происходят мгновенно.

Итак, в данной задаче выделяется три операции:

1) i <= n

На i-м шаге получится log(n).
Так как шагов (n-1), сложность данной операции составит (n-1)*log(n).

2) i = i + 1

На i-м шаге получится log(i).
Таким образом, получается сумма .

3) result = result * i

На i-м шаге получится log((i-1)!).
Таким образом, получается сумма .

Если сложить все получившиеся значения и отбросить слагаемые, которые заведомо растут медленнее с увеличением n, получим конечное выражение .

Ёмкостная сложность при равномерном весовом критерии

Здесь всё просто. Необходимо подсчитать количество переменных. Если в задаче используются массивы, за переменную считается каждая ячейка массива.
Так как количество переменных не зависит от размера входа, сложность будет равна O(1).

Ёмкостная сложность при логарифмическом весовом критерии

В данном случае следует учитывать максимальное значение, которое может находиться в ячейке памяти. Если значение не определено (например, при операнде i > 10), то считается, что существует какое-то предельное значение V_max.
В данной задаче существует переменная, значение которой не превосходит n (i), и переменная, значение которой не превышает n! (result). Таким образом, оценка равна O(log(n!)).

Выводы

Изучение сложности алгоритмов довольно увлекательная задача. На данный момент анализ простейших алгоритмов входит в учебные планы технических специальностей (если быть точным, обобщённого направления «Информатика и вычислительная техника»), занимающихся информатикой и прикладной математикой в сфере IT.
На основе сложности выделяются разные классы задач: P, NP, NPC. Но это уже не проблема теории асимптотического анализа алгоритмов.

Сколькими способами можно записать факториал на Scheme? / Хабр

Злые языки утверждают, что функциональные языки программирования — «языки для написания факториалов». Чаще всего так определяют язык Haskell, мы же начнем с того функционального языка, который сильно повлиял и на Haskell, и на подмножество средств для функционального программирования многих других языков — язык Scheme. По-крайней мере, map и for-each, filter и reduce, а так же apply и eval пришли в наши любимые языки программирования если не именно из Scheme, то в том числе и оттуда.

Рассмотрим некоторые возможные способы записи вычисления факториала. Заодно получится своеобразная ода языку программирования Scheme. Думаю, этот замечательный язык того вполне заслуживает.

У меня получилось 10 вариантов записи определений функций, которые можно свести к 3 основным способам вычисления: традиционному линейно-рекурсивному вычислительному процессу, итерации, генерации последовательности чисел с последующей сверткой умножением. Предлагаю рассмотреть эти варианты подробнее. Попутно мы рассмотрим: оптимизацию хвостовой рекурсии, функции высших порядков и метапрограммирование, отложенные вычисления, бесконечные списки, мемоизацию, способ создать статическую переменную в Scheme и гигиенические макросы.

Для экспериментов был использован старый добрый диалект Scheme R5RS и популярный принцип изобразительного искусства «минимум средств — максимум впечатлений».

Все примеры на Scheme были подготовлены в среде DrRacket 6.2 в режиме R5RS. Замеры времени выполнения были выполнены в Guile 2.0 в среде ОС OpenSUSE Leap 15.

Для начала можно взять рекурсивное определение факториала и просто переписать формулу на Scheme:

(define (factorial-classic n)
  (if (zero? n) 1 (* n (factorial-classic (- n 1)))))

Получилось определение функции (в терминах Scheme — процедуры, хотя по-сути она является функцией) для вычисления факториала, которое можно увидеть в бесчисленном множестве руководств по программированию, начиная с бессмертной книги Х. Абельсона и Д. Сассмана «Структура и интерпретация компьютерных программ».

Читать и понимать этот код можно так: факториал есть если , иначе — . Таким образом, этот код соответствует рекурсивному определению факториала, принятому в математике. Единственное, мы не проверяем принадлежность неотрицательным числам.

Будучи рекурсивным, код выше содержит очевидное ограничение на величину : на стеке будут накапливаться данные рекурсивных вызовов, пока не достигнет 0. Это может вызвать переполнение стека при больших .

Как можно снять это ограничение? Надо оптимизировать хвостовую рекурсию: переписать код таким образом, чтобы рекурсивный вызов стал хвостовым (т.е. последним в процедуре). Это позволит интерпретатору Scheme выполнить оптимизацию — заменить рекурсивное вычисление итеративным.

Если воспользоваться рекомендациями авторов упомянутой выше книги, можно получить следующее:

(define (factorial-classic-tco n)
  (define (iteration product counter)
    (if (> counter n)
        product
        (iteration (* product counter)
                   (+ counter 1))))
  (iteration 1 1))

Этот код является расхожим примером, и, начиная с книги «Структура и интерпретация компьютерных программ», именно на нем обычно объясняют оптимизацию хвостовой рекурсии.

Это была классика. Но Scheme — сама гибкость, нельзя ли записать то же самое принципиально иначе? И, желательно, еще короче? Например, согласно записи сформировать последовательность от до (или от до ) и затем свернуть её умножением? Благо, в Scheme это сделать достаточно просто благодаря встроенной процедуре apply, которая применяет процедуру с произвольным числом аргументов к списку:

(define (iota n)
  (define (iteration sequence i)
    (if (> i n)
        sequence
        (iteration (cons i sequence) (+ i 1))))
  (iteration '() 1))

(define (factorial-fold n) (apply * (iota n)))

Scheme славится своим удобством для символьных вычислений в силу «единства кода и данных» (так иногда говорят о языках семейства Лисп). Используем эту особенность: сформируем выражение для вычисления факториала числа , а затем его вычислим:

(define (factorial-eval n)
  (define expression `(* ,@(iota n)))
  (eval expression (interaction-environment)))

Символ «обратная одиночная кавычка» означает квазицитирование (quasiquotation). Без квазицитирования получение выражение для последующего вычисления можно было бы получить с помощью кода (cons '* (iota n)). Одиночная кавычка (цитирование, quotation) означает, что * надо подставить в выражение именно как имя (символ), а не соответствующее ему значение (здесь — процедуру). Так, при получим (* 3 2 1). Этот список является выражением на языке Scheme. Его значение может быть выполнено в подходящем окружении, лучше всего — в окружении (interaction-environment), содержащем встроенные процедуры и процедуры, определенные нами в программе. Собственно, это мы и делаем в теле factorial-eval.

Scheme поддерживает отложенные вычисления. Haskell, который испытал значительное влияние Scheme, использует ленивую модель вычислений, т.е. не вычисляет значение выражения до тех пор, пока результат этих вычислений не будет востребован. Это позволяет иметь в программах такие своеобразные структуры данных, как бесконечные списки. Если из них брать только часть, необходимую для дальнейших вычислений, программа не будет зацикливаться:

ghci> take 4 [1 ..]
[1,2,3,4]

Выражение [1 ..] генерирует бесконечный список целых чисел. Выражение take 4 получает из этого списка 4 первых элемента. Поскольку последующие элементы списка остаются невостребованными, они не вычисляются.

На Haskell получение из бесконечного списка можно записать так:

factorials :: [Integer]
factorials = next 0 1
  where next n fact = let n' = n + 1 in fact : next n' (fact * n')

factorial :: Integer -> Integer
factorial n = factorials !! fromIntegral n

ghci> take 7 $ factorials
[1,1,2,6,24,120,720]
ghci> factorial 6
720

Используя пару форм Scheme delay/force попробуем сделать нечто подобное. Ключевое слово delay создает обещание вычислить значение выражения. Ключевое слово force распоряжается осуществить эти вычисления, полученное значение вычисляется и запоминается. При повторном обращении новых вычислений не производится, а возвращается значение, вычисленное ранее.

В языках семейства Лисп списки строятся из пар. Для того, чтобы конструировать бесконечные списки, введем тип «ленивая пара» — пара, в которой первый элемент — вычисленное значение, а второй — обещание вычислить значение. Для этого нам надо дополнить «святую троицу» языков семейства Лисп (cons, car, cdr) их ленивыми версиями:

(define-syntax lazy-cons
  (syntax-rules ()
    ((_ first second) (cons first (delay second)))))

(define lazy-car car)

(define (lazy-cdr lazy-pair) (force (cdr lazy-pair)))

Конструктор ленивой пары lazy-cons реализован в виде макроса. Это сделано для того, чтобы избежать вычисления значения второго элемента пары при ее создании.

Идея состоит в том, чтобы создать бесконечный список значений, а потом взять из него то, которое нужно. Для этого определим ленивую версию процедуры для получения элемента по индексу:

(define (lazy-list-ref lazy-list index)
  (if (zero? index)
      (lazy-car lazy-list)
      (lazy-list-ref (lazy-cdr lazy-list) (- index 1))))

(define (generate-factorials)
  (define (next n n!)
    (define n+1 (+ n 1))
    (lazy-cons n! (next n+1 (* n! n+1))))
  (next 0 1))

Здесь n! и n+1 — имена переменных. В Scheme, по-сравнению с другими языками, существует очень немного символов, которые нельзя использовать в идентификаторах.

Обратите внимание, что генератор бесконечного списка generate-factorials не содержит выхода из рекурсии. Тем не менее, он не будет зацикливаться, так как при его вызове будет вычисляться только голова списка, хвост же будет представлен обещанием вычислить значение.

Теперь можно определить как получение -го элемента списка факториалов:

(define lazy-factorials (generate-factorials))

(define (factorial-lazy n) (lazy-list-ref lazy-factorials n))

Это работает. При этом, если в одной сессии интерпретатора вычислять факториалы различных чисел, то вычисления будут происходить быстрее, чем в строгих версиях, ведь часть значений в ленивом списке будет уже вычислена.

Кстати, код на Scheme весьма близок к таковому на Haskell. Так, оператор получения !! примерно соответствует процедуре lazy-list-ref, конструктор списка : соответствует lazy-cons. Соответствует примерно, потому что Haskell, хотя и исповедует ленивую модель вычислений, однако, в отличие от delay/force в Scheme, вычисленные значения не запоминает.

Кстати, для повышения производительности можно применить запоминание уже вычисленных значений — мемоизацию. Будем хранить вычисленные значения в ассоциативном списке, в котором ключами будут числа, а значениями — их факториалы. При вызове, просмотрим список на предмет уже вычисленных значений. Если значение присутствует в списке, будем возвращать это сохраненное значение. Если значение в списке отсутствует, будем вычислять его, помещать в список, и только потом возвращать. Чтобы этот список всегда находился при вызываемой функции, а не в глобальном окружении, разместим его в статической переменной:

(define factorial-memoized
  (let ((memo '()))
    (lambda (n)
      (let ((memoized (assq n memo)))
        (if memoized
            (cadr memoized)
            (if (zero? n)
                1
                (let ((computed (* n (factorial-memoized (- n 1)))))
                  (set! memo (cons (list n computed) memo))
                  computed)))))))

Статические переменные в Scheme

Код вида

(define proc
  (let ((static-var initial-value))
    (lambda args ...)))

является принятым в Scheme способом создать процедуру со статической переменной. Принцип такого объявления удобно пояснить на более коротком примере — процедуре, возвращающей число своих вызовов:

(define count
  (let ((n 0))
    (lambda () (set! n (+ n 1)) n)))

В одной сессии интерпретатора первый вызов (count) вернет 1, второй — 2, третий — 3 и т.д. Как это работает?

Без синтаксического сахара определение count выглядит так:

(define count
  ((lambda (n)
     (lambda () (set! n (+ n 1)) n)) 0))

Таким образом, с именем count связана процедура без аргументов (lambda () (set! n (+ n 1)) n), в которую свободно входит n. Получается, что n определена во внешнем окружении по отношению к (lambda () (set! n (+ n 1)) n), что означает, что значение n будет сохраняться между вызовами count. Значение n инициализируется нулем при запуске программы, так как (lambda (n) ...) применяется к аргументу 0. Поэтому n отсутствует в глобальном окружении, но всегда доступно из count.

Данная реализация также обещает прирост производительности при неоднократном вычислении факториалов различных чисел в одной сессии интерпретатора.

Разумеется, здесь также возможна оптимизация хвостовой рекурсии:

(define factorial-memoized-tco
  (let ((memo '()))
    (lambda (n)
      (define (iteration product counter)
        (cond
          ((> counter n) product)
          (else
           (set! memo (cons (list counter product) memo))
           (iteration (* product counter)
                      (+ counter 1)))))
      (iteration 1 1))))

«Зачем эти танцы с бубном?», — может сказать читатель. На императивных языках программирования то же самое пишется просто — через цикл, работает быстро и без лишних затрат памяти. В Scheme есть подмножество для императивного программирования, есть в нем и средство для организации циклов — специальная форма do. Процедура для вычисления факториала, записанная с её помощью, может выглядеть так:

(define (factorial-do n)
  (define product 1)
  (do ((i 1 (+ i 1))) ((> i n) product)
    (set! product (* product i))))

Конструкция do — достаточно универсальная, и именно поэтому — не слишком удобочитаемая. Не лучше ли организовать свой собственный цикл в императивном стиле? В этом помогут макросы:

(define-syntax for
  (syntax-rules ()
    ((_ (variable init test step) . body)
     (let loop ((variable init))
       (if test
           (begin
             (begin . body)
             (loop step)))))))

Благодаря оптимизации хвостовой рекурсии интерпретатором, получим цикл, к каким мы привыкли в императивных языках программирования. Благодаря оптимизации хвостовой рекурсии, стек расти не будет.

Определение факториала с использованием for:

(define (factorial-for n)
  (define product 1)
  (for (i 1 (<= i n) (+ i 1))
    (set! product (* product i)))
  product)

Как это работает

В данном примере выражение (for (i 1 (<= i n) (+ i 1)) (set! product (* product i))) будет сопоставлено с образцом (_ (variable init test step) . body) синтаксического правила. Будут выполнены следующие подстановки:

for  →  _
i  →  variable
1  →  init
(<= i n)  →  test
(+ i 1)  →  step
(set! product (* product i))  →  body

Отсюда, шаблоном синтаксического правила будет сформирован следующий код:

(define (factorial-for n)
  (define product 1)
  (let loop ((i 1))                                 ; этот фрагмент
    (if (<= i n)                                    ; кода
        (begin (begin (set! product (* product i))) ; сформирован
               (loop (+ i 1)))))                    ; макросом for
  product)

Возможен еще один вариант, внешне похожий на императивный цикл for — со встроенной процедурой for-each:

(define (factorial-for-each n)
  (define product 1)
  (for-each (lambda (i) (set! product (* product i))) (iota n))
  product)

Велик и могуч язык Scheme! А что с производительностью?

Для замеров производительности воспользуемся GNU Guile — в этой среде можно замерить время вычисления выражения наиболее просто.

Guile работает следующим образом: компилирует исходный текст программы в байт-код, который затем выполняется виртуальной машиной. Это — только одна из реализаций и один из нескольких возможных способов выполнения программы на Scheme, существуют и другие: Racket (использует JIT-компиляцию), Chicken Scheme (использует «честную» интерпретацию или компиляцию в подмножество C) и т.д. Очевидно, что и ограничения, и производительность программ в этих средах могут несколько отличаться.

Замеры будем производить при некотором значении . Каким должно быть это ? Таким, с каким наибольшим смогут «справиться» предложенные варианты. С настройками Guile 2.0 по-умолчанию, на ПК с Intel Core i5 и 4 Гб ОЗУ, меня получилось следующее:

Отсюда, тесты производительности выполнялись при . Результаты представлены в таблице ниже, где — время выполнения, — время работы сборщика мусора в секундах.

Для всех процедур, кроме ленивых и мемоизованных, указаны наименьшие значения времени выполнения и соответствующее ему время работы сборщика мусора, полученные по итогам трех запусков при .

Для мемоизованных и ленивых процедур указано время выполнения первого вызова, далее — меньшее из трех вызовов.

У нас есть 4 варианта, которые могут работать с большими . При они имеют следующие времена вычисления и сборки мусора:

Можно видеть, что при не слишком больших наиболее быстрым и, одновременно, самым коротким и оказывается первый. Этот же вариант наиболее полно соответствует математическому определению факториала. Вариант с оптимизацией хвостовой рекурсии ему не сильно уступает в производительности. Оба этих варианта являются идиоматическими, рекомендованными авторами языка. Вывод во многом очевиден: если не оговорено иное, подход, являющийся для языка «типовым», является предпочтительным, по-крайней мере, для первой реализации алгоритма или метода.

В то же время, язык Scheme позволил написать нам много вариантов реализации вычисления факториала, используя при этом весьма ограниченный набор примитивов (то самое «минимум средств — максимум впечатлений»). Поэтому, несмотря на почтенный возраст и не слишком широкую распространенность, этот язык всё ещё можно рекомендовать для исследовательского программирования: похоже, на нем можно реализовать всё что угодно и каким угодно (и каким удобно) способом.

ФАКТОРНЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ

ФАКТОРНЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ

Оценка капитальных затрат на химические перерабатывающие предприятия часто основывается на оценке стоимости приобретения основных единиц оборудования, необходимого для процесса, при этом другие затраты оцениваются как факторы стоимости оборудования. Точность этого типа оценки будет зависеть от того, на какой стадии проект находится на момент оценки, а также от надежности имеющихся данных о стоимости оборудования.На более поздних этапах разработки проекта, когда доступны подробные спецификации оборудования и получены твердые расценки
, можно сделать точную оценку капитальных затрат на проект.

1. Факторы языка

Факторный метод оценки затрат часто приписывают Лангу (1948). Затраты на основной капитал проекта рассчитываются как функция от общей стоимости закупаемого оборудования по формуле:

Cf = fL x Ce

где

Cf = основные капитальные затраты,
Ce = общая стоимость доставки всего основного оборудования: резервуаров для хранения, реакционных сосудов, колонн, теплообменников и т. Д.,
fL = «фактор Ланга», который зависит от типа процесса.
fL = 3,1 для завода по переработке преимущественно твердых веществ
fL = 4,7 для завода по переработке преимущественно жидкостей
fL = 3,6 для завода по переработке смешанных жидкостей и твердых веществ
Приведенные выше значения следует использовать в качестве ориентировочных; коэффициент лучше всего рассчитывать из собственных файлов затрат организации.
Уравнение можно использовать для быстрой оценки капитальных затрат на ранних этапах разработки проекта, когда составлены предварительные технологические карты и ориентированы основные элементы оборудования.

2. Подробные факториальные оценки

Чтобы сделать более точную оценку, факторы стоимости, включенные в «фактор Ланга», рассматриваются индивидуально. Статьи прямых затрат, понесенных при строительстве завода, помимо стоимости оборудования, составляют:

1. Монтаж оборудования, включая фундамент и мелкие строительные работы.
2. Трубопроводы, включая изоляцию и покраску.
3. Электроэнергетика и освещение.
4. Приборы местные и диспетчерские.
5. Технологические здания и сооружения.
6. Хозяйственные постройки, офисы, лабораторные корпуса, мастерские.
7. Склады, сырье и готовая продукция.
8. Коммунальные услуги (Услуги), предоставление установок для пара, воды, воздуха, пожаротушения (если отдельно не рассчитывается).
9. Площадка, и подготовка площадки.

Вклад каждой из этих позиций в общие капитальные затраты рассчитывается путем умножения общей суммы закупленного оборудования на соответствующий коэффициент. Как и в случае с основным «фактором Ланга», эти коэффициенты лучше всего выводить из исторических данных о затратах для аналогичных процессов.Типичные значения факторов приведены в нескольких источниках: Happle, Jordan (1975) и Garrett (1989). Гатри (1974) разделяет затраты на материальную и трудовую части и дает
отдельных факторов для каждого. В буклете, опубликованном Институтом инженеров-химиков, IChemE (1988), факторы показаны в зависимости от размера и сложности завода.

Точность и надежность оценки можно повысить, разделив процесс на подгруппы и используя факторы, которые зависят от функции подъединиц; см. Guthrie (1969).В подробном методе оценки затрат, разработанном Гатри, затраты на установку, трубопроводы и оборудование для каждой единицы оборудования рассчитываются отдельно. Подробная калькуляция оправдана только в том случае, если имеющиеся данные о затратах надежны и проект был доведен до точки
, где все статьи затрат могут быть идентифицированы и включены.

Типовые коэффициенты составляющих капитальных затрат приведены в табл. Их можно использовать для приблизительной оценки капитальных затрат с использованием данных о стоимости оборудования, опубликованных в литературе.Помимо прямых затрат на покупку и установку оборудования, капитальные затраты по проекту будут включать косвенные затраты, перечисленные ниже. Их можно оценить как функцию прямых затрат.

Косвенные затраты

1. Затраты на проектирование и инжиниринг, которые покрывают стоимость проектирования и стоимость «инжиниринга» завода: закупка, материально-техническое обеспечение и строительный надзор. Обычно от 20 до 30 процентов прямых капитальных затрат.
2.Гонорары подрядчика, если подрядчик нанимается, его гонорары (прибыль) добавляются к общим капитальным затратам и составляют от 5 до 10 процентов прямых затрат.
3. Резерв на непредвиденные обстоятельства, это резерв, включенный в смету капитальных затрат для покрытия непредвиденных обстоятельств (трудовые споры, ошибки проектирования, неблагоприятные погодные условия). Обычно от 5 до 10 процентов прямых затрат.
Факторы косвенных затрат включены в табл. Капитальные затраты, необходимые для предоставления коммунальных услуг и других услуг завода, будут зависеть от того, разрабатывается ли новый участок (с нуля), или же завод будет построен на
на существующем участке и будет использовать некоторые из существующих объекты.

Термин «пределы заряда батареи» используется для определения ответственности подрядчика. Главный перерабатывающий завод, в пределах установленного для батареи, обычно строится одним подрядчиком. За коммунальные услуги и другое вспомогательное оборудование часто несут ответственность другие подрядчики, и считается, что они выходят за пределы допустимого уровня заряда батареи. Их также часто называют «внешними».

Нравится:

Нравится Загрузка …

Связанные

.

Проведение и интерпретация факторного дисперсионного анализа

Что такое факторный дисперсионный анализ?

ANOVA является сокращением для анализа AN O f VA . Как обсуждалось в главе, посвященной одностороннему дисперсионному анализу, основная цель одностороннего дисперсионного анализа состоит в том, чтобы проверить, существенно ли две или несколько групп отличаются друг от друга по одной или нескольким характеристикам. Факториальный дисперсионный анализ сравнивает средние значения двух или более независимых переменных. Опять же, односторонний ANOVA имеет одну независимую переменную, которая разбивает выборку на две или более группы, тогда как факторный ANOVA имеет две или более независимых переменных, которые разделяют выборку на четыре или более групп.В простейшем случае факторного дисперсионного анализа две бинарные переменные используются в качестве независимых переменных, что позволяет создать четыре группы в выборке.

Для некоторых статистиков факторный дисперсионный анализ не только сравнивает различия, но и предполагает причинно-следственную связь; это означает, что одна или несколько независимых контролируемых переменных (факторов) вызывают значительную разницу одной или нескольких характеристик. Это работает следующим образом: факторы сортируют точки данных в одну из групп, вызывая разницу в средних значениях групп.

Пример. Предположим, что у блондинок в среднем более длинные волосы, чем у брюнеток, а также у мужчин всех цветов волос. Мы находим 100 студентов бакалавриата и измеряем длину их волос.Консервативный статистик тогда заявил бы, что мы измерили волосы у 50 женщин (25 блондинок, 25 брюнеток) и 25 студентов мужского пола, и мы провели дисперсионный анализ и обнаружили, что в среднем волосы студенток-блондинок были значительно длиннее, чем волосы. своих сокурсников. Более агрессивный статистик утверждал бы, что пол и цвет волос имеют прямое влияние на длину волос человека.

Большинство статистиков попадают во вторую категорию.Обычно предполагается, что факторный ANOVA представляет собой «анализ зависимостей». Он упоминается как таковой, потому что он проверяет, чтобы доказать предполагаемую причинно-следственную связь между двумя или более независимыми переменными и зависимыми переменными. В более статистических терминах он проверяет влияние одной или нескольких независимых переменных на одну зависимую переменную. Он предполагает эффект Y = f (x ₁ , x ₂ , x ₃ ,… x _n ).

Факторный дисперсионный анализ (ANOVA) тесно связан как с односторонним дисперсионным анализом (который мы уже обсуждали), так и с MANOVA ( M, мультивариант An анализ o f Va ).В то время как факторный ANOVA может иметь одну или несколько независимых переменных, односторонний ANOVA всегда имеет только одну зависимую переменную. С другой стороны, MANOVA может иметь две или более зависимых переменных.

Таблица помогает быстро определить правильный анализ отклонений для выбора в различных сценариях. Факторный дисперсионный анализ ANOVA следует использовать, когда в исследовательском вопросе задается вопрос о влиянии двух или более независимых переменных на одну зависимую переменную.

Примеры типичных вопросов, на которые дает ответ ANOVA:

• Лекарство — Действует ли препарат? Значительно ли различается средняя ожидаемая продолжительность жизни между 3 группами x 2 группами, которые получали лекарственное средство по сравнению с установленным продуктом по сравнению с контролем и для высокой дозы по сравнению с низкой дозой?
• Социология — Счастливее ли богатые люди, живущие в деревне? Сообщают ли разные классы дохода о существенно разной степени удовлетворенности жизнью по сравнению с жизнью в городских, пригородных и сельских районах?
• Управленческие исследования — Какие бренды из матрицы BCG имеют более высокую лояльность клиентов? Матрица BCG измеряет бренды в портфеле брендов с учетом темпов роста их бизнеса (высокий или низкий) и их доли на рынке (высокий или низкий).К какому бренду более лояльны покупатели — звезды, дойные коровы, собаки или вопросительные знаки?

.

Факториальная программа на C | Упрощенное программирование

Вы здесь

Факториальная программа на языке C, использующая цикл for, рекурсию и создавая функцию. Факториал обозначается знаком ‘!’, Поэтому пять факториалов записываются как (5!), А n факториалов — как (n!). Кроме того, n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) … 3.2.1 и нулевой факториал определяется как единица, то есть 0! = 1.

Факториал в C с использованием цикла for

#include

int main ()
{
int c, n, f = 1;

printf («Введите число, чтобы вычислить его факториал \ n»);
scanf («% d», & n);

для (c = 1; c <= n; c ++)
f = f * c;

printf («Факториал% d =% d \ n», n, f);

возврат 0;
}

Вывод программы C factorial:

Скачать программу Factorial.

Факториальная программа на C с использованием рекурсии

#include

long factorial (int);

int main ()
{
int n;
лонг ф;

printf («Введите целое число, чтобы найти его факториал \ n»);
scanf («% d», & n);

if (n <0)
printf («Факториал отрицательных целых чисел не определен. \ N»);
иначе
{
f = факториал (n);
printf («% d! =% Ld \ n», n, f);
}

возврат 0;
}

long factorial (int n)
{
if (n == 0) // Базовый случай
return 1;
else
return (n * факториал (n-1));
}

В рекурсии функция вызывает сама себя.В приведенной выше программе факториальная функция вызывает сама себя. Чтобы решить проблему с помощью рекурсии, вы должны сначала выразить ее решение в рекурсивной форме.

Программа на языке C для поиска факториала числа

#include

long factorial (int);

int main ()
{
int n;

printf («Введите число, чтобы вычислить его факториал \ n»);
scanf («% d», & n);

printf («% d! =% Ld \ n», n, факториал (n));

возврат 0;
}

длинный факториал (int n)
{
int c;
длинное r = 1;

для (c = 1; c <= n; c ++)
r = r * c;

возврат г;
}

.

r — Ошибка апостериорных тестов в ANCOVA с факторным дизайном

Переполнение стека

1. Около

2. Продукты

3. Для команд

1. Переполнение стека
   Общественные вопросы и ответы

2. Переполнение стека для команд
   Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

3. Вакансии
   Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

4. Талант
   Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

5. Реклама
   Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

6. О компании

.